क्षेत्र {(x, y): x^2+(y-2)^2 leq 4, x^2 geq 2 | vedclass

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Question

(D) यह क्षेत्र वृत्त $x^2 + (y-2)^2 = 4$ (केंद्र $(0, 2)$,त्रिज्या $2$) और परवलय $x^2 = 2y$ (शीर्ष $(0, 0)$) द्वारा घिरा हुआ है।प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञा

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$2\pi + \frac{16}{3}$

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(D) यह क्षेत्र वृत्त $x^2 + (y-2)^2 = 4$ (केंद्र $(0, 2)$,त्रिज्या $2$) और परवलय $x^2 = 2y$ (शीर्ष $(0, 0)$) द्वारा घिरा हुआ है।प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करने के लिए,$x^2 = 2y$ को वृत्त के समीकरण में रखने पर:$2y + (y-2)^2 = 4$$2y + y^2 - 4y + 4 = 4$$y^2 - 2y = 0 \implies y(y-2) = 0$अतः,$y = 0$ या $y = 2$.$y = 2$ के लिए,$x^2 = 4 \implies x = \pm 2$. प्रतिच्छेदन बिंदु $(2, 2)$ और $(-2, 2)$ हैं।क्षेत्रफल $x = -2$ से $x = 2$ के बीच ऊपरी वक्र और निचले वक्र के अंतर का समाकलन है।क्षेत्रफल $= \int_{-2}^{2} [(\sqrt{4 - x^2} + 2) - \frac{x^2}{2}] dx$$= 2 \int_{0}^{2} (\sqrt{2^2 - x^2} + 2 - \frac{x^2}{2}) dx$$= 2 [(\frac{x}{2}\sqrt{4-x^2} + 2\sin^{-1}(\frac{x}{2})) + 2x - \frac{x^3}{6}]_0^2$$= 2 [(0 + 2\sin^{-1}(1)) + 4 - \frac{8}{6}]$$= 2 [2(\frac{\pi}{2}) + 4 - \frac{4}{3}]$$= 2 [\pi + \frac{8}{3}] = 2\pi + \frac{16}{3}$.

क्षेत्र $\{(x, y): x^2+(y-2)^2 \leq 4, x^2 \geq 2y\}$ का क्षेत्रफल है

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