यदि frac{1}{n+1} {}^{n}C_{n} + frac{1}{n} {}^ | vedclass

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Question

(B) दी गई अभिव्यक्ति $\sum_{r=0}^{n} \frac{{}^{n}C_{r}}{r+1} = \frac{1023}{10}$ है।सर्वसमिका $\frac{1}{r+1} {}^{n}C_{r} = \frac{1}{n+1} {}^{n+1}C_{r+1

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$9$

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(B) दी गई अभिव्यक्ति $\sum_{r=0}^{n} \frac{{}^{n}C_{r}}{r+1} = \frac{1023}{10}$ है।सर्वसमिका $\frac{1}{r+1} {}^{n}C_{r} = \frac{1}{n+1} {}^{n+1}C_{r+1}$ का उपयोग करने पर:$\sum_{r=0}^{n} \frac{1}{n+1} {}^{n+1}C_{r+1} = \frac{1}{n+1} \sum_{r=0}^{n} {}^{n+1}C_{r+1}$.माना $k = r+1$,तो योग $\frac{1}{n+1} \sum_{k=1}^{n+1} {}^{n+1}C_{k}$ हो जाता है।चूंकि $\sum_{k=0}^{n+1} {}^{n+1}C_{k} = 2^{n+1}$,इसलिए $\sum_{k=1}^{n+1} {}^{n+1}C_{k} = 2^{n+1} - {}^{n+1}C_{0} = 2^{n+1} - 1$ है।अतः,$\frac{2^{n+1}-1}{n+1} = \frac{1023}{10}$।हर की तुलना करने पर,$n+1 = 10$,जिससे $n = 9$ प्राप्त होता है।अंश की जाँच करने पर: $2^{9+1} - 1 = 2^{10} - 1 = 1024 - 1 = 1023$। यह दिए गए मान से मेल खाता है।

यदि $\frac{1}{n+1} {}^{n}C_{n} + \frac{1}{n} {}^{n}C_{n-1} + \dots + \frac{1}{2} {}^{n}C_{1} + {}^{n}C_{0} = \frac{1023}{10}$ है,तो $n$ का मान ज्ञात कीजिए।

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