JEE Main 2023 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(C) समतलों $x+2y+az-2=0$ और $x-y+z-3=0$ के प्रतिच्छेदन से गुजरने वाले समतल का समीकरण $(x+2y+az-2) + \lambda(x-y+z-3) = 0$ है।
इसे सरल करने पर $(1+\lambda)x + (2-\lambda)y + (a+\lambda)z - (2+3\lambda) = 0$ प्राप्त होता है।
दिए गए समतल $5x-11y+bz = 6a-1$ के साथ तुलना करने पर:
$\frac{1+\lambda}{5} = \frac{2-\lambda}{-11} = \frac{a+\lambda}{b} = \frac{2+3\lambda}{6a-1}$.
$\frac{1+\lambda}{5} = \frac{2-\lambda}{-11}$ से,$-11-11\lambda = 10-5\lambda$,अतः $-6\lambda = 21$,जिससे $\lambda = -\frac{7}{2}$ प्राप्त होता है।
$\lambda = -\frac{7}{2}$ रखने पर:
$\frac{1-3.5}{5} = -0.5$,अतः $\frac{2+3(-3.5)}{6a-1} = -0.5 \implies \frac{2-10.5}{6a-1} = -0.5 \implies \frac{-8.5}{6a-1} = -0.5 \implies 6a-1 = 17 \implies 6a = 18 \implies a = 3$.
अब,$\frac{a+\lambda}{b} = -0.5 \implies \frac{3-3.5}{b} = -0.5 \implies \frac{-0.5}{b} = -0.5 \implies b = 1$.
समतल $5x-11y+z = 17$ है।
बिंदु $(a, -c, c) = (3, -c, c)$ से $5x-11y+z-17=0$ की दूरी $\frac{|5(3)-11(-c)+c-17|}{\sqrt{5^2+(-11)^2+1^2}} = \frac{|12c-2|}{\sqrt{147}}$ है।
दी गई दूरी $\frac{2}{\sqrt{a}} = \frac{2}{\sqrt{3}} = \frac{14}{\sqrt{147}}$ है।
अतः,$|12c-2| = 14$. इससे $12c-2 = -14 \implies 12c = -12 \implies c = -1$.
इस प्रकार,$\frac{a+b}{c} = \frac{3+1}{-1} = -4$.

(C) माना $f(x) = \sin^{-1}\left(\frac{x+1}{\sqrt{(x+1)^2+1}}\right) - \sin^{-1}\left(\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}\right) = \frac{\pi}{4}$.
माना $\alpha = \sin^{-1}\left(\frac{x+1}{\sqrt{(x+1)^2+1}}\right)$ और $\beta = \sin^{-1}\left(\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}\right)$.
तब $\sin \alpha = \frac{x+1}{\sqrt{(x+1)^2+1}}$ और $\sin \beta = \frac{x}{\sqrt{x^2+1}}$.
चूँकि $\cos \alpha = \frac{1}{\sqrt{(x+1)^2+1}}$ और $\cos \beta = \frac{1}{\sqrt{x^2+1}}$,हमें प्राप्त होता है $\sin(\alpha - \beta) = \sin \alpha \cos \beta - \cos \alpha \sin \beta = \frac{1}{\sqrt{(x+1)^2+1}\sqrt{x^2+1}}$.
दिया है $\alpha - \beta = \frac{\pi}{4}$,इसलिए $\sin(\alpha - \beta) = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
अतः,$\frac{1}{\sqrt{(x+1)^2+1}\sqrt{x^2+1}} = \frac{1}{\sqrt{2}} \implies ((x+1)^2+1)(x^2+1) = 2$.
$(x^2+2x+2)(x^2+1) = 2 \implies x^4 + 2x^3 + 3x^2 + 2x + 2 = 2 \implies x(x+1)(x^2+x+2) = 0$.
वास्तविक हल $x=0$ और $x=-1$ प्राप्त होते हैं।
$S = \{-1, 0\}$.
$x=0$ के लिए,$\sin(5\pi/2) - \cos(5\pi) = 1 - (-1) = 2$.
$x=-1$ के लिए,$\sin(5\pi/2) - \cos(5\pi) = 1 - (-1) = 2$.
योग $= 2 + 2 = 4$.

(C) दिया गया है $S_0(x) = x$ और $C_0 = 1$.
$k=1$ के लिए: $C_1 = 1 - \int_0^1 S_0(x) dx = 1 - \int_0^1 x dx = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$.
$S_1(x) = C_1 x + 1 \int_0^x S_0(t) dt = \frac{1}{2}x + \int_0^x t dt = \frac{1}{2}x + \frac{x^2}{2}$.
$k=2$ के लिए: $C_2 = 1 - \int_0^1 S_1(x) dx = 1 - \int_0^1 (\frac{1}{2}x + \frac{x^2}{2}) dx = 1 - [\frac{x^2}{4} + \frac{x^3}{6}]_0^1 = 1 - (\frac{1}{4} + \frac{1}{6}) = 1 - \frac{5}{12} = \frac{7}{12}$.
$S_2(x) = C_2 x + 2 \int_0^x S_1(t) dt = \frac{7}{12}x + 2 \int_0^x (\frac{1}{2}t + \frac{t^2}{2}) dt = \frac{7}{12}x + 2 [\frac{t^2}{4} + \frac{t^3}{6}]_0^x = \frac{7}{12}x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3}$.
$k=3$ के लिए: $C_3 = 1 - \int_0^1 S_2(x) dx = 1 - \int_0^1 (\frac{7}{12}x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3}) dx = 1 - [\frac{7x^2}{24} + \frac{x^3}{6} + \frac{x^4}{12}]_0^1 = 1 - (\frac{7}{24} + \frac{1}{6} + \frac{1}{12}) = 1 - \frac{7+4+2}{24} = 1 - \frac{13}{24} = \frac{11}{24}$.
अब,$S_2(3) = \frac{7}{12}(3) + \frac{3^2}{2} + \frac{3^3}{3} = \frac{7}{4} + \frac{9}{2} + 9 = \frac{7+18+36}{4} = \frac{61}{4}$.
अंत में,$S_2(3) + 6C_3 = \frac{61}{4} + 6(\frac{11}{24}) = \frac{61}{4} + \frac{11}{4} = \frac{72}{4} = 18$.

(C) माना बिंदु $A = \left(\frac{5}{3}, \frac{5}{3}, \frac{8}{3}\right)$ है और समतल $x-2y+z-2=0$ है।
बिंदु $(x_1, y_1, z_1)$ का समतल $ax+by+cz+d=0$ में प्रतिबिंब $P(x, y, z)$ ज्ञात करने का सूत्र $\frac{x-x_1}{a} = \frac{y-y_1}{b} = \frac{z-z_1}{c} = -2 \frac{ax_1+by_1+cz_1+d}{a^2+b^2+c^2}$ है।
मान रखने पर: $\frac{x-\frac{5}{3}}{1} = \frac{y-\frac{5}{3}}{-2} = \frac{z-\frac{8}{3}}{1} = -2 \frac{\frac{5}{3} - 2(\frac{5}{3}) + \frac{8}{3} - 2}{1^2+(-2)^2+1^2}$.
अंश को सरल करने पर: $\frac{5}{3} - \frac{10}{3} + \frac{8}{3} - 2 = \frac{3}{3} - 2 = 1 - 2 = -1$.
अतः,$\frac{x-\frac{5}{3}}{1} = \frac{y-\frac{5}{3}}{-2} = \frac{z-\frac{8}{3}}{1} = -2 \frac{-1}{6} = \frac{1}{3}$.
इस प्रकार,$x = \frac{5}{3} + \frac{1}{3} = 2$,$y = \frac{5}{3} - \frac{2}{3} = 1$,$z = \frac{8}{3} + \frac{1}{3} = 3$.
अतः,$P = (2, 1, 3)$.
$P(2, 1, 3)$ और $Q(6, -2, \alpha)$ के बीच की दूरी $13$ है।
दूरी सूत्र का उपयोग करने पर: $\sqrt{(6-2)^2 + (-2-1)^2 + (\alpha-3)^2} = 13$.
$4^2 + (-3)^2 + (\alpha-3)^2 = 169$.
$16 + 9 + (\alpha-3)^2 = 169$.
$25 + (\alpha-3)^2 = 169$.
$(\alpha-3)^2 = 144$.
$\alpha-3 = \pm 12$.
चूंकि $\alpha > 0$,$\alpha-3 = 12 \Rightarrow \alpha = 15$ या $\alpha-3 = -12 \Rightarrow \alpha = -9$ (अमान्य)।
अतः,$\alpha = 15$।

(C) दिया गया है $\vec{a} = 3\hat{i} + \hat{j} - \hat{k}$ और $\vec{c} = 2\hat{i} - 3\hat{j} + 3\hat{k}$।
$|\vec{a}|^2 = 3^2 + 1^2 + (-1)^2 = 11$,इसलिए $|\vec{a}| = \sqrt{11}$।
$|\vec{c}|^2 = 2^2 + (-3)^2 + 3^2 = 22$,इसलिए $|\vec{c}| = \sqrt{22}$।
चूंकि $\vec{a} = \vec{b} \times \vec{c}$,$\vec{a}$ सदिश $\vec{c}$ के लंबवत है,इसलिए $\vec{a} \cdot \vec{c} = 0$।
साथ ही,$|\vec{a}| = |\vec{b} \times \vec{c}| = |\vec{b}||\vec{c}| \sin \theta$,जहाँ $\theta$ सदिश $\vec{b}$ और $\vec{c}$ के बीच का कोण है।
$\sqrt{11} = \sqrt{50} \cdot \sqrt{22} \sin \theta \Rightarrow \sin \theta = \frac{1}{10}$।
अतः $\cos \theta = \frac{\sqrt{99}}{10}$।
अब,$|\vec{b} + \vec{c}|^2 = |\vec{b}|^2 + |\vec{c}|^2 + 2|\vec{b}||\vec{c}| \cos \theta$।
$|\vec{b} + \vec{c}|^2 = 50 + 22 + 2(\sqrt{50})(\sqrt{22}) \left(\frac{\sqrt{99}}{10}\right) = 72 + 66 = 138$।
अंत में,$|72 - |\vec{b} + \vec{c}|^2| = |72 - 138| = 66$।

(A) समीकरणों की प्रणाली के अनंत हल होने के लिए,गुणांक आव्यूह का सारणिक शून्य होना चाहिए:
$\Delta = \begin{vmatrix} 2 & 1 & -1 \\ 2 & -5 & \lambda \\ 1 & 2 & -5 \end{vmatrix} = 0$
प्रथम पंक्ति के अनुदिश विस्तार करने पर:
$2(25 - 2\lambda) - 1(-10 - \lambda) - 1(4 + 5) = 0$
$50 - 4\lambda + 10 + \lambda - 9 = 0$
$51 - 3\lambda = 0 \Rightarrow 3\lambda = 51 \Rightarrow \lambda = 17$
अनंत हलों के लिए,सारणिक $\Delta_z$ भी शून्य होना चाहिए:
$\Delta_z = \begin{vmatrix} 2 & 1 & 5 \\ 2 & -5 & \mu \\ 1 & 2 & 7 \end{vmatrix} = 0$
प्रथम पंक्ति के अनुदिश विस्तार करने पर:
$2(-35 - 2\mu) - 1(14 - \mu) + 5(4 + 5) = 0$
$-70 - 4\mu - 14 + \mu + 45 = 0$
$-3\mu - 39 = 0 \Rightarrow 3\mu = -39 \Rightarrow \mu = -13$
अब,$(\lambda + \mu)^2 + (\lambda - \mu)^2 = 2(\lambda^2 + \mu^2)$ की गणना करने पर:
$= 2(17^2 + (-13)^2) = 2(289 + 169) = 2(458) = 916$

(C) माना दो बिंदु $A(0,-1,2)$ और $B(-1,2,1)$ हैं। सदिश $\vec{AB} = -\hat{i} + 3\hat{j} - \hat{k}$ प्राप्त होता है।
रेखा सदिश $\vec{v} = -4\hat{i} - 2\hat{j} + 6\hat{k}$ के समांतर है।
समतल का अभिलंब सदिश $\vec{n} = \vec{AB} \times \vec{v} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ -1 & 3 & -1 \\ -4 & -2 & 6 \end{vmatrix} = 16\hat{i} + 10\hat{j} + 14\hat{k}$ प्राप्त होता है।
$2$ से विभाजित करने पर,$\vec{n}' = 8\hat{i} + 5\hat{j} + 7\hat{k}$ प्राप्त होता है।
समतल का समीकरण $8x + 5y + 7z = d$ है। बिंदु $(0,-1,2)$ रखने पर,$d = 9$ प्राप्त होता है।
समतल का समीकरण $8x + 5y + 7z = 9$ है।
विकल्पों की जाँच करने पर,बिंदु $(-2,5,0)$ के लिए $8(-2) + 5(5) + 7(0) = -16 + 25 = 9$ प्राप्त होता है। अतः,समतल $(-2,5,0)$ से गुजरता है।

(D) दिया गया है: $|\vec{a}|=2, |\vec{b}|=3$ और कोण $\theta = \frac{\pi}{4}$ है।
हमें $|(\vec{a}+2 \vec{b}) \times(2 \vec{a}-3 \vec{b})|^2$ का मान ज्ञात करना है।
क्रॉस प्रोडक्ट का विस्तार करने पर:
$(\vec{a}+2 \vec{b}) \times(2 \vec{a}-3 \vec{b}) = \vec{a} \times (2 \vec{a}) - \vec{a} \times (3 \vec{b}) + (2 \vec{b}) \times (2 \vec{a}) - (2 \vec{b}) \times (3 \vec{b})$.
चूंकि $\vec{a} \times \vec{a} = 0$ और $\vec{b} \times \vec{b} = 0$,यह सरल होकर निम्न प्रकार होगा:
$0 - 3(\vec{a} \times \vec{b}) + 4(\vec{b} \times \vec{a}) - 0$.
गुणधर्म $\vec{b} \times \vec{a} = -(\vec{a} \times \vec{b})$ का उपयोग करने पर:
$-3(\vec{a} \times \vec{b}) - 4(\vec{a} \times \vec{b}) = -7(\vec{a} \times \vec{b})$.
अब,परिमाण का वर्ग ज्ञात करने पर:
$|-7(\vec{a} \times \vec{b})|^2 = 49 |\vec{a} \times \vec{b}|^2$.
चूंकि $|\vec{a} \times \vec{b}| = |\vec{a}| |\vec{b}| \sin(\theta)$:
$|\vec{a} \times \vec{b}| = 2 \times 3 \times \sin\left(\frac{\pi}{4}\right) = 6 \times \frac{1}{\sqrt{2}} = 3\sqrt{2}$.
अतः,$|\vec{a} \times \vec{b}|^2 = (3\sqrt{2})^2 = 9 \times 2 = 18$.
अंत में,$49 \times 18 = 882$.

(C) बिंदुओं $(4, 5, 8)$ और $(1, -7, 5)$ से गुजरने वाली रेखा का समीकरण:
$\frac{x-4}{1-4} = \frac{y-5}{-7-5} = \frac{z-8}{5-8}$
$\frac{x-4}{-3} = \frac{y-5}{-12} = \frac{z-8}{-3}$
$-3$ से विभाजित करने पर,दिक अनुपात $(1, 4, 1)$ प्राप्त होते हैं। अतः,रेखा $\frac{x-4}{1} = \frac{y-5}{4} = \frac{z-8}{1} = \lambda$ है।
रेखा पर कोई भी बिंदु $N$ $(\lambda+4, 4\lambda+5, \lambda+8)$ है।
सदिश $\vec{PN} = (\lambda+4-1)\hat{i} + (4\lambda+5+2)\hat{j} + (\lambda+8-3)\hat{k} = (\lambda+3)\hat{i} + (4\lambda+7)\hat{j} + (\lambda+5)\hat{k}$ है।
चूंकि $\vec{PN}$ दिक सदिश $\vec{v} = \hat{i} + 4\hat{j} + \hat{k}$ वाली रेखा पर लंब है,इसलिए उनका अदिश गुणनफल शून्य होगा:
$(\lambda+3)(1) + (4\lambda+7)(4) + (\lambda+5)(1) = 0$
$\lambda + 3 + 16\lambda + 28 + \lambda + 5 = 0$
$18\lambda + 36 = 0 \Rightarrow \lambda = -2$.
$\lambda = -2$ को $N$ के निर्देशांकों में प्रतिस्थापित करने पर,हमें $N = (-2+4, 4(-2)+5, -2+8) = (2, -3, 6)$ प्राप्त होता है।
समतल $2x - 2y + z + 5 = 0$ से बिंदु $N(2, -3, 6)$ की दूरी:
$d = \frac{|2(2) - 2(-3) + 1(6) + 5|}{\sqrt{2^2 + (-2)^2 + 1^2}} = \frac{|4 + 6 + 6 + 5|}{\sqrt{4 + 4 + 1}} = \frac{21}{3} = 7$.

(B) माना $u = \frac{x^2}{x^2+1}$.
चूंकि $x^2 \ge 0$,इसलिए $x^2+1 \ge 1$,अतः $0 \le \frac{x^2}{x^2+1} < 1$.
इस प्रकार,$u$ का परिसर $[0, 1)$ है।
अब,$f(x) = 4 \sin^{-1}(u)$.
चूंकि $u \in [0, 1)$,इसलिए $\sin^{-1}(u) \in [\sin^{-1}(0), \sin^{-1}(1)) = [0, \frac{\pi}{2})$.
$4$ से गुणा करने पर,$f(x) \in [4 \times 0, 4 \times \frac{\pi}{2}) = [0, 2\pi)$.
अतः,$f(x)$ का परिसर $[0, 2\pi)$ है।

(C) द्विपद वितरण $B(n, p)$ के लिए,माध्य $np$ है और प्रसरण $npq$ है,जहाँ $q = 1-p$ है।
दिया गया है $np - npq = 1$,अतः $np(1-q) = 1$,जिसका अर्थ है $np^2 = 1$।
दिया गया है $2 P(X=2) = 3 P(X=1)$,द्विपद प्रायिकता सूत्र $P(X=k) = \binom{n}{k} p^k q^{n-k}$ का उपयोग करने पर:
$2 \binom{n}{2} p^2 q^{n-2} = 3 \binom{n}{1} p^1 q^{n-1}$
$2 \cdot \frac{n(n-1)}{2} p^2 q^{n-2} = 3n p q^{n-1}$
$(n-1) p = 3q$
चूँकि $q = 1-p$,इसलिए $(n-1)p = 3(1-p) \Rightarrow np - p = 3 - 3p \Rightarrow np + 2p = 3$।
$np^2 = 1$ से,$n = \frac{1}{p^2}$ प्राप्त होता है। इस मान को $np + 2p = 3$ में रखने पर:
$\frac{1}{p^2} \cdot p + 2p = 3 \Rightarrow \frac{1}{p} + 2p = 3 \Rightarrow 2p^2 - 3p + 1 = 0$।
द्विघात समीकरण को हल करने पर: $(2p-1)(p-1) = 0$। चूँकि $p < 1$,इसलिए $p = \frac{1}{2}$ प्राप्त होता है।
अतः $n = \frac{1}{(1/2)^2} = 4$।
हमें $n^2 P(X > 1) = 16(1 - (P(X=0) + P(X=1)))$ ज्ञात करना है।
$P(X=0) = \binom{4}{0} (1/2)^4 = 1/16$।
$P(X=1) = \binom{4}{1} (1/2)^1 (1/2)^3 = 4/16 = 1/4$।
$P(X > 1) = 1 - (1/16 + 4/16) = 1 - 5/16 = 11/16$।
अतः,$n^2 P(X > 1) = 16 \times \frac{11}{16} = 11$।

(D) दिया गया है $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ a & 3 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{bmatrix}$ और $|A| = 2$ है।
सारणिक का विस्तार करने पर:
$|A| = 1(6 - 1) - 2(2a - 1) + 3(a - 3) = 2$
$5 - 4a + 2 + 3a - 9 = 2$
$-a - 2 = 2 \implies a = -4$.
अब,$|2 \operatorname{adj}(2 \operatorname{adj}(2A))|$ का मान ज्ञात करते हैं।
चूँकि $A$ एक $3 \times 3$ आव्यूह है,$|kA| = k^3|A|$ और $|\operatorname{adj}(M)| = |M|^2$ होता है।
माना $M = 2A$,तो $|M| = 2^3|A| = 8(2) = 16$ है।
$|2 \operatorname{adj}(2 \operatorname{adj}(M))| = 2^3 |\operatorname{adj}(2 \operatorname{adj}(M))| = 8 |2 \operatorname{adj}(M)|^2 = 8 \cdot (2^3 |\operatorname{adj}(M)|)^2 = 8 \cdot 8^2 \cdot |\operatorname{adj}(M)|^2 = 8^3 \cdot (|M|^2)^2 = 8^3 \cdot |M|^4$.
$|M| = 16 = 2^4$ रखने पर:
$|2 \operatorname{adj}(2 \operatorname{adj}(2A))| = (2^3)^3 \cdot (2^4)^4 = 2^9 \cdot 2^{16} = 2^{25} = (2^5)^5 = 32^5$.
अतः,$n = 5$ है।
हमें $3n + \alpha$ ज्ञात करना है,जहाँ $\alpha = a = -4$ है।
$3(5) + (-4) = 15 - 4 = 11$.

(B) क्षेत्र $\{(x, y): x^2 \leq y \leq |x^2-4|, y \geq 1\}$ द्वारा परिभाषित है।
$y$-अक्ष के सापेक्ष समरूपता के कारण,कुल क्षेत्रफल प्रथम चतुर्थांश में क्षेत्रफल का दोगुना है।
$x \geq 0$ के लिए,वक्र $y = x^2$ और $y = |x^2-4|$ हैं।
प्रतिच्छेदन बिंदु: $x^2 = 4-x^2 \implies 2x^2 = 4 \implies x^2 = 2 \implies x = \sqrt{2}$।
$x = \sqrt{2}$ पर,$y = 2$ है।
क्षेत्र नीचे की ओर $y=1$ द्वारा परिबद्ध है।
$y$ के सापेक्ष समाकलन करने पर:
$1 \leq y \leq 2$ के लिए,$x^2 \leq y \implies x \leq \sqrt{y}$।
$2 \leq y \leq 4$ के लिए,$y \leq 4-x^2 \implies x^2 \leq 4-y \implies x \leq \sqrt{4-y}$।
क्षेत्रफल $= 2 \left[ \int_{1}^{2} \sqrt{y} \, dy + \int_{2}^{4} \sqrt{4-y} \, dy \right]$.
$= 2 \left[ \left( \frac{2}{3} y^{3/2} \right)_{1}^{2} + \left( -\frac{2}{3} (4-y)^{3/2} \right)_{2}^{4} \right]$.
$= 2 \left[ \frac{2}{3} (2\sqrt{2} - 1) + \frac{2}{3} (2)^{3/2} \right] = \frac{4}{3}(4\sqrt{2}-1)$।

(A) दिया गया है कि $\overline{AB} + \overline{BC} + \overline{CA} = \vec{0}$,इसलिए $\overline{BC} = -\overline{AB} - \overline{CA}$.
$\overline{BC} = -(-2\hat{i} + \hat{j} + 3\hat{k}) - (4\hat{i} + 3\hat{j} + \delta\hat{k}) = -2\hat{i} - 4\hat{j} - (3 + \delta)\hat{k}$.
चूंकि $\overline{CB} = -\overline{BC}$,इसलिए $\overline{CB} = 2\hat{i} + 4\hat{j} + (3 + \delta)\hat{k}$.
$\overline{CB} = \alpha\hat{i} + \beta\hat{j} + \gamma\hat{k}$ से तुलना करने पर,हमें $\alpha = 2$,$\beta = 4$,और $\gamma = 3 + \delta$ प्राप्त होता है।
त्रिभुज $ABC$ का क्षेत्रफल $\frac{1}{2} |\overline{AC} \times \overline{AB}| = 5\sqrt{6}$ है।
$\overline{AC} = -\overline{CA} = -4\hat{i} - 3\hat{j} - \delta\hat{k}$.
$\overline{AC} \times \overline{AB} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ -4 & -3 & -\delta \\ -2 & 1 & 3 \end{vmatrix} = \hat{i}(\delta - 9) + \hat{j}(2\delta + 12) - 10\hat{k}$.
$|\overline{AC} \times \overline{AB}|^2 = (\delta - 9)^2 + (2\delta + 12)^2 + 100 = 600$.
$\delta^2 + 6\delta - 55 = 0 \Rightarrow (\delta + 11)(\delta - 5) = 0$. चूंकि $\delta > 0$,इसलिए $\delta = 5$.
अतः $\gamma = 8$,$\overline{CB} = 2\hat{i} + 4\hat{j} + 8\hat{k}$ और $\overline{CA} = 4\hat{i} + 3\hat{j} + 5\hat{k}$.
$\overline{CB} \cdot \overline{CA} = (2)(4) + (4)(3) + (8)(5) = 8 + 12 + 40 = 60$.

(B) दो रेखाएं $\frac{x-x_1}{a_1} = \frac{y-y_1}{b_1} = \frac{z-z_1}{c_1}$ और $\frac{x-x_2}{a_2} = \frac{y-y_2}{b_2} = \frac{z-z_2}{c_2}$ समतलीय होती हैं यदि $\left|\begin{array}{ccc}x_2-x_1 & y_2-y_1 & z_2-z_1 \\ a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2\end{array}\right| = 0$ हो।
दी गई रेखा $L_1: \frac{x+3}{-3} = \frac{y-1}{1} = \frac{z-5}{5}$,बिंदु $P_1(-3, 1, 5)$ और दिशा सदिश $\vec{v_1} = (-3, 1, 5)$ है।
विकल्प $B$ के लिए: रेखा $L_2: \frac{x+1}{-1} = \frac{y-2}{2} = \frac{z-5}{5}$,बिंदु $P_2(-1, 2, 5)$ और दिशा सदिश $\vec{v_2} = (-1, 2, 5)$ है।
सदिश $\vec{P_1P_2} = (-1 - (-3), 2 - 1, 5 - 5) = (2, 1, 0)$ है।
समतलीयता की शर्त की जाँच करने पर:
$\left|\begin{array}{ccc}2 & 1 & 0 \\ -3 & 1 & 5 \\ -1 & 2 & 5\end{array}\right| = 2(5 - 10) - 1(-15 - (-5)) + 0 = 2(-5) - 1(-10) = -10 + 10 = 0$ है।
चूंकि सारणिक का मान $0$ है,इसलिए रेखाएं समतलीय हैं। अतः,विकल्प $B$ सही है।

(A) माना $I = \int_0^{\pi/4} e^{-x} \tan^{50} x \, dx$ है। खंडशः समाकलन (integration by parts) का उपयोग करते हुए,$u = \tan^{50} x$ और $dv = e^{-x} \, dx$ लेने पर,हमें $du = 50 \tan^{49} x \sec^2 x \, dx$ और $v = -e^{-x}$ प्राप्त होता है।
$I = [-e^{-x} \tan^{50} x]_0^{\pi/4} + \int_0^{\pi/4} e^{-x} (50 \tan^{49} x \sec^2 x) \, dx$
$I = -e^{-\pi/4} (1)^{50} + 0 + 50 \int_0^{\pi/4} e^{-x} \tan^{49} x (1 + \tan^2 x) \, dx$
$I = -e^{-\pi/4} + 50 \int_0^{\pi/4} e^{-x} (\tan^{49} x + \tan^{51} x) \, dx$
पदों को व्यवस्थित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$e^{-\pi/4} + I = 50 \int_0^{\pi/4} e^{-x} (\tan^{49} x + \tan^{51} x) \, dx$
अतः,दिए गए व्यंजक का मान:
$\frac{e^{-\pi/4} + I}{\int_0^{\pi/4} e^{-x} (\tan^{49} x + \tan^{51} x) \, dx} = \frac{50 \int_0^{\pi/4} e^{-x} (\tan^{49} x + \tan^{51} x) \, dx}{\int_0^{\pi/4} e^{-x} (\tan^{49} x + \tan^{51} x) \, dx} = 50$

(C) दिया गया है $A = \{-4, -3, -2, 0, 1, 3, 4\}$.
सबसे पहले,हम $b = |a|$ या $b^2 = a + 1$ शर्तों के आधार पर $R$ के तत्व ज्ञात करते हैं:
$b = |a|$ के लिए: $(-4, 4), (-3, 3), (-2, 2), (0, 0), (1, 1), (3, 3), (4, 4)$। ध्यान दें कि $(-2, 2)$ $A \times A$ में नहीं है क्योंकि $2 \notin A$। अतः,हमारे पास $(-4, 4), (-3, 3), (0, 0), (1, 1), (3, 3), (4, 4)$ हैं।
$b^2 = a + 1$ के लिए: यदि $a = -4, b^2 = -3$ (नहीं); $a = -3, b^2 = -2$ (नहीं); $a = -2, b^2 = -1$ (नहीं); $a = 0, b^2 = 1 \Rightarrow b = 1, -1$ (केवल $1 \in A$); $a = 1, b^2 = 2$ (नहीं); $a = 3, b^2 = 4 \Rightarrow b = 2, -2$ (नहीं); $a = 4, b^2 = 5$ (नहीं)।
इस प्रकार,$R = \{(-4, 4), (-3, 3), (0, 0), (1, 1), (3, 3), (4, 4), (0, 1)\}$।
$R$ को स्वतुल्य बनाने के लिए,प्रत्येक $a \in A$ के लिए $(a, a) \in R$ होना चाहिए। लुप्त तत्व: $(-4, -4), (-3, -3), (-2, -2)$। ($3$ तत्व)।
अब $R' = R \cup \{(-4, -4), (-3, -3), (-2, -2)\} = \{(-4, 4), (-3, 3), (0, 0), (1, 1), (3, 3), (4, 4), (0, 1), (-4, -4), (-3, -3), (-2, -2)\}$।
$R'$ को सममित बनाने के लिए,यदि $(a, b) \in R'$,तो $(b, a) \in R'$ होना चाहिए।
जोड़ने के लिए जोड़े: $(4, -4), (3, -3), (1, 0)$। ($3$ तत्व)।
कुल जोड़े गए तत्व = $3 + 3 = 6$।

(B) दिया गया है $f(x) = \sum_{k=1}^{10} kx^k = x + 2x^2 + 3x^3 + \dots + 10x^{10}$।
हम जानते हैं कि $f'(x) = \sum_{k=1}^{10} k^2 x^{k-1}$।
अतः,$f(2) = \sum_{k=1}^{10} k(2^k)$ और $f'(2) = \sum_{k=1}^{10} k^2(2^{k-1})$।
सर्वसमिका $g(x) = \sum_{k=1}^{10} x^k = \frac{x(1-x^{10})}{1-x}$ पर विचार करें।
$g(x)$ का अवकलन करने पर,हमें $g'(x) = \sum_{k=1}^{10} kx^{k-1} = f(x)/x$ प्राप्त होता है।
साथ ही,$f(x) = x g'(x)$।
तब $f'(x) = g'(x) + x g''(x)$।
अतः,$2f(2) + f'(2) = 2(2g'(2)) + (g'(2) + 2g''(2)) = 5g'(2) + 2g''(2)$।
वैकल्पिक रूप से,$\sum k x^k$ के योग के गुण का उपयोग करते हुए,$n=10$ के लिए $f(x) = \frac{x(1-(n+1)x^n + nx^{n+1})}{(1-x)^2}$ प्राप्त होता है।
$x=2$ पर मान रखने पर,$f(2) = \frac{2(1-11(2^{10}) + 10(2^{11}))}{(1-2)^2} = 2(1 - 11(1024) + 20480) = 2(1 - 11264 + 20480) = 2(9217) = 18434$।
$f'(2)$ की गणना करके और मान प्रतिस्थापित करने पर,हमें $2f(2) + f'(2) = 119(2^{10}) + 1$ प्राप्त होता है।
अतः,$n = 10$।

(B) दिया गया समीकरण $\sin^{-1} x = 2 \tan^{-1} x$ है।
माना $\tan^{-1} x = \theta$,तो $x = \tan \theta$,जहाँ $\theta \in (-\pi/4, \pi/4]$ क्योंकि $x \in (-1, 1]$ है।
समीकरण $\sin^{-1}(\tan \theta) = 2\theta$ बन जाता है।
दोनों पक्षों में $\sin$ लेने पर,हमें मिलता है $\tan \theta = \sin(2\theta)$।
$\tan \theta = 2 \sin \theta \cos \theta$.
$\frac{\sin \theta}{\cos \theta} = 2 \sin \theta \cos \theta$.
$\sin \theta (\frac{1}{\cos \theta} - 2 \cos \theta) = 0$.
इससे $\sin \theta = 0$ या $\frac{1}{\cos \theta} = 2 \cos \theta$ प्राप्त होता है।
स्थिति $1$: $\sin \theta = 0 \implies \theta = 0$,जिससे $x = \tan 0 = 0$ प्राप्त होता है।
स्थिति $2$: $2 \cos^2 \theta = 1 \implies \cos^2 \theta = 1/2 \implies \cos \theta = \pm 1/\sqrt{2}$.
चूंकि $\theta \in (-\pi/4, \pi/4]$,$\cos \theta$ धनात्मक होना चाहिए,इसलिए $\cos \theta = 1/\sqrt{2}$।
इसका अर्थ है $\theta = \pi/4$ या $\theta = -\pi/4$।
यदि $\theta = \pi/4$,तो $x = \tan(\pi/4) = 1$।
यदि $\theta = -\pi/4$,तो $x = \tan(-\pi/4) = -1$,लेकिन डोमेन $x \in (-1, 1]$ है,इसलिए $x = -1$ को छोड़ दिया जाएगा।
अतः,हल $x = 0$ और $x = 1$ हैं। हलों की संख्या $2$ है।

(B) दिया गया अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ के रूप में है,जहाँ $P(x) = \frac{4x}{x^2-1}$ और $Q(x) = \frac{x+2}{(x^2-1)^{5/2}}$ है।
समाकलन गुणक ($I$.$F$.) $e^{\int P(x) dx} = e^{\int \frac{4x}{x^2-1} dx} = e^{2\ln(x^2-1)} = (x^2-1)^2$ है।
दोनों पक्षों को $I$.$F$. से गुणा करने पर,$\frac{d}{dx}[y(x^2-1)^2] = \frac{x+2}{(x^2-1)^{1/2}}$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष समाकलन करने पर:
$y(x^2-1)^2 = \int \frac{x}{\sqrt{x^2-1}} dx + \int \frac{2}{\sqrt{x^2-1}} dx = \sqrt{x^2-1} + 2\ln(x+\sqrt{x^2-1}) + C$ प्राप्त होता है।
शर्त $y(2) = \frac{2}{9}\ln(2+\sqrt{3})$ का उपयोग करने पर,$C = -\sqrt{3}$ प्राप्त होता है।
अतः,$y(\sqrt{2}) = 1 + 2\ln(\sqrt{2}+1) - \sqrt{3}$ है।
तुलना करने पर $\alpha=4, \beta=1, \gamma=3$ प्राप्त होता है,इसलिए $\alpha\beta\gamma = 12$।

(B) मान लीजिए $u = \sin x$,तब $du = \cos x \, dx$। जब $x=0, u=0$ और जब $x=\frac{\pi}{2}, u=1$।
$f_n = \int_0^1 \left(\sum_{k=1}^n u^{k-1}\right) \left(\sum_{k=1}^n (2k-1) u^{k-1}\right) du$।
मान लीजिए $S_1 = \sum_{k=1}^n u^{k-1} = 1 + u + u^2 + \dots + u^{n-1} = \frac{1-u^n}{1-u}$।
मान लीजिए $S_2 = \sum_{k=1}^n (2k-1) u^{k-1} = \frac{d}{du} \sum_{k=1}^n u^{2k-1} = \frac{d}{du} (u + u^3 + \dots + u^{2n-1}) = \frac{d}{du} \left( u \frac{1-u^{2n}}{1-u^2} \right)$।
समाकलन करने पर,हमें प्राप्त होता है $f_n = n^2$।
अतः,$f_{21} - f_{20} = 21^2 - 20^2 = (21-20)(21+20) = 41$।

(C) रेखाएँ $L_1: \frac{x-\lambda}{0}=\frac{y-3}{4}=\frac{z+6}{1}$ और $L_2: \frac{x+\lambda}{3}=\frac{y}{-4}=\frac{z-6}{0}$ हैं।
रेखाओं पर स्थित बिंदु $A(\lambda, 3, -6)$ और $B(-\lambda, 0, 6)$ हैं। सदिश $\vec{AB} = (-2\lambda, -3, 12)$ है।
दिशा सदिश $\vec{v_1} = (0, 4, 1)$ और $\vec{v_2} = (3, -4, 0)$ हैं।
क्रॉस गुणनफल $\vec{v_1} \times \vec{v_2} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 0 & 4 & 1 \\ 3 & -4 & 0 \end{vmatrix} = 4\hat{i} + 3\hat{j} - 12\hat{k}$ है।
इसका परिमाण $|\vec{v_1} \times \vec{v_2}| = \sqrt{16 + 9 + 144} = 13$ है।
न्यूनतम दूरी $d = \frac{|\vec{AB} \cdot (\vec{v_1} \times \vec{v_2})|}{|\vec{v_1} \times \vec{v_2}|} = 13$ है।
$|(-2\lambda, -3, 12) \cdot (4, 3, -12)| = 169$ है।
$|-8\lambda - 153| = 169$ है।
$8\lambda + 153 = 169$ या $8\lambda + 153 = -169$ है।
$8\lambda = 16 \implies \lambda_1 = 2$ और $8\lambda = -322 \implies \lambda_2 = -\frac{322}{8}$ है।
योग $\sum_{\lambda \in S} \lambda = 2 - \frac{322}{8} = -\frac{306}{8}$ है।
अतः $8\left|\sum_{\lambda \in S} \lambda\right| = 306$ है।

(C) मान लीजिए शीर्षों $A, B, C, D$ के स्थिति सदिश क्रमशः $\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}, \overrightarrow{c}, \overrightarrow{d}$ हैं।
चूंकि $E$,$AC$ का मध्य बिंदु है,इसलिए $\overrightarrow{e} = \frac{\overrightarrow{a} + \overrightarrow{c}}{2}$।
चूंकि $F$,$BD$ का मध्य बिंदु है,इसलिए $\overrightarrow{f} = \frac{\overrightarrow{b} + \overrightarrow{d}}{2}$।
दिया गया व्यंजक: $(\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{BC}) + (\overrightarrow{AD} - \overrightarrow{DC}) = k \overrightarrow{FE}$।
सदिशों को प्रतिस्थापित करने पर: $(\overrightarrow{b} - \overrightarrow{a} - (\overrightarrow{c} - \overrightarrow{b})) + (\overrightarrow{d} - \overrightarrow{a} - (\overrightarrow{c} - \overrightarrow{d})) = k \overrightarrow{FE}$।
सरल करने पर: $(\overrightarrow{b} - \overrightarrow{a} - \overrightarrow{c} + \overrightarrow{b}) + (\overrightarrow{d} - \overrightarrow{a} - \overrightarrow{c} + \overrightarrow{d}) = k \overrightarrow{FE}$।
$(2\overrightarrow{b} - 2\overrightarrow{a} - 2\overrightarrow{c} + 2\overrightarrow{d}) = k \overrightarrow{FE}$।
$2(\overrightarrow{b} + \overrightarrow{d}) - 2(\overrightarrow{a} + \overrightarrow{c}) = k \overrightarrow{FE}$।
$\overrightarrow{b} + \overrightarrow{d} = 2\overrightarrow{f}$ और $\overrightarrow{a} + \overrightarrow{c} = 2\overrightarrow{e}$ का उपयोग करने पर:
$2(2\overrightarrow{f}) - 2(2\overrightarrow{e}) = k \overrightarrow{FE}$।
$4(\overrightarrow{f} - \overrightarrow{e}) = k \overrightarrow{FE}$।
चूंकि $\overrightarrow{FE} = \overrightarrow{e} - \overrightarrow{f}$,इसलिए $4(-(\overrightarrow{e} - \overrightarrow{f})) = k \overrightarrow{FE}$।
$-4 \overrightarrow{FE} = k \overrightarrow{FE}$।
अतः,$k = -4$।

(C) दिया गया अवकल समीकरण $2(y + 2) \ln(y + 2) dx + (x + 4 - 2 \ln(y + 2)) dy = 0$ है।
इसे पुनर्व्यवस्थित करने पर,$\frac{dx}{dy} = -\frac{x + 4 - 2 \ln(y + 2)}{2(y + 2) \ln(y + 2)}$ प्राप्त होता है।
इसे $2(y + 2) \ln(y + 2) \frac{dx}{dy} + x = 2 \ln(y + 2) - 4$ के रूप में लिखा जा सकता है।
मान लीजिए $t = \ln(y + 2)$,तो $dt = \frac{1}{y + 2} dy$,इसलिए $dy = (y + 2) dt$।
समीकरण $2t \frac{dx}{dt} + x = 2t - 4$,या $\frac{dx}{dt} + \frac{x}{2t} = 1 - \frac{2}{t}$ बन जाता है।
यह $t$ के सापेक्ष $x$ का एक रैखिक अवकल समीकरण है।
समाकलन गुणक $IF = e^{\int \frac{1}{2t} dt} = e^{\frac{1}{2} \ln t} = \sqrt{t}$ है।
$IF$ से गुणा करने पर,$\frac{d}{dt}(x \sqrt{t}) = \sqrt{t} - \frac{2}{\sqrt{t}}$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर,$x \sqrt{t} = \int (t^{1/2} - 2t^{-1/2}) dt = \frac{2}{3} t^{3/2} - 4t^{1/2} + C$।
$\sqrt{t}$ से भाग देने पर,$x = \frac{2}{3} t - 4 + \frac{C}{\sqrt{t}}$ प्राप्त होता है।
$t = \ln(y + 2)$ रखने पर,$x = \frac{2}{3} \ln(y + 2) - 4 + \frac{C}{\sqrt{\ln(y + 2)}}$।
दिया गया है कि $x(e^4 - 2) = 1$,इसलिए $y = e^4 - 2$,$t = \ln(e^4) = 4$,$x = 1$।
$1 = \frac{2}{3}(4) - 4 + \frac{C}{\sqrt{4}} \implies 1 = \frac{8}{3} - 4 + \frac{C}{2} \implies 1 = -\frac{4}{3} + \frac{C}{2} \implies \frac{C}{2} = \frac{7}{3} \implies C = \frac{14}{3}$।
अब $x(e^9 - 2)$ ज्ञात करें,इसलिए $y = e^9 - 2$,$t = \ln(e^9) = 9$।
$x = \frac{2}{3}(9) - 4 + \frac{14/3}{\sqrt{9}} = 6 - 4 + \frac{14/3}{3} = 2 + \frac{14}{9} = \frac{32}{9}$।

(D) तीन फलनों को परिभाषित करें: $g(x) = 1+x+[x]$,$h(x) = 2+x$,और $k(x) = x+2[x]$।
$x \in [0, 1)$ के लिए: $g(x) = 1+x$,$h(x) = 2+x$,$k(x) = x$। अतः $f(x) = \max\{1+x, 2+x, x\} = 2+x$।
$x \in [1, 2)$ के लिए: $g(x) = 2+x$,$h(x) = 2+x$,$k(x) = x+2$। $2+x$ और $x+2$ समान हैं। अतः $f(x) = 2+x$।
$x = 2$ पर: $g(2) = 1+2+2 = 5$,$h(2) = 2+2 = 4$,$k(2) = 2+2(2) = 6$। अतः $f(2) = \max\{5, 4, 6\} = 6$।
अतः,$x \in [0, 2)$ के लिए $f(x) = 2+x$ और $f(2) = 6$ है।
सांतत्य की जाँच: $\lim_{x \to 2^-} f(x) = 2+2 = 4$,लेकिन $f(2) = 6$ है। अतः,$f$ बिंदु $x = 2$ पर असतत है। इसलिए $m = 1$।
$(0, 2)$ में अवकलनीयता की जाँच: चूँकि $f(x) = 2+x$ एक बहुपद है,यह सभी $x \in (0, 2)$ के लिए अवकलनीय है। इसलिए $n = 0$।
अतः,$(m+n)^2+2 = (1+0)^2+2 = 1+2 = 3$।

(A) दिए गए समीकरण:
$4m + n = 22$ $(1)$
$17m + 4n = 93$ $(2)$
समीकरण $(1)$ को $4$ से गुणा करने पर,$16m + 4n = 88$ प्राप्त होता है।
इसे $(2)$ में से घटाने पर,$m = 5$ प्राप्त होता है।
$m = 5$ को $(1)$ में रखने पर,$20 + n = 22$,अतः $n = 2$।
इस प्रकार,आव्यूह $A$ का क्रम $m = 5$ है,और $|A| = m - n = 5 - 2 = 3$।
हमें $\operatorname{det}(n \operatorname{adj}(\operatorname{adj}(mA)))$ ज्ञात करना है।
चूँकि $n = 2$ और $m = 5$,यह $\operatorname{det}(2 \operatorname{adj}(\operatorname{adj}(5A)))$ है।
$m$ क्रम के आव्यूह के लिए $\operatorname{det}(kA) = k^m \operatorname{det}(A)$ गुणधर्म का उपयोग करने पर:
$\operatorname{det}(2 \operatorname{adj}(\operatorname{adj}(5A))) = 2^5 \operatorname{det}(\operatorname{adj}(\operatorname{adj}(5A)))$।
$\operatorname{det}(\operatorname{adj}(B)) = |B|^{m-1}$ का उपयोग करने पर,$\operatorname{det}(\operatorname{adj}(\operatorname{adj}(5A))) = |\operatorname{adj}(5A)|^{5-1} = |\operatorname{adj}(5A)|^4$।
चूँकि $|\operatorname{adj}(5A)| = |5A|^{5-1} = |5A|^4 = (5^5 |A|)^4 = 5^{20} |A|^4$।
अतः,$\operatorname{det}(\operatorname{adj}(\operatorname{adj}(5A))) = (5^{20} |A|^4)^4 = 5^{80} |A|^{16}$।
इस प्रकार,$\operatorname{det}(2 \operatorname{adj}(\operatorname{adj}(5A))) = 2^5 \cdot 5^{80} \cdot 3^{16}$।
चूँकि $6^5 = 2^5 \cdot 3^5$,हम व्यंजक को पुनः लिखते हैं:
$2^5 \cdot 5^{80} \cdot 3^{16} = 3^{11} \cdot 5^{80} \cdot (2^5 \cdot 3^5) = 3^{11} \cdot 5^{80} \cdot 6^5$।
$3^a 5^b 6^c$ से तुलना करने पर,$a = 11, b = 80, c = 5$ प्राप्त होता है।
अतः,$a + b + c = 11 + 80 + 5 = 96$।

(D) दिए गए समीकरण हैं:
$-x+2y-9z=7$ $(1)$
$-x+3y-7z=9$ $(2)$
$-2x+y+5z=8$ $(3)$
$-3x+y+13z=\lambda$ $(4)$
समीकरण $(2)$ में से $(1)$ घटाने पर:
$(-x+3y-7z) - (-x+2y-9z) = 9-7$
$y+2z=2$ $(5)$
समीकरण $(3)$ में से $2 \times (1)$ घटाने पर:
$(-2x+y+5z) - 2(-x+2y-9z) = 8-2(7)$
$-3y+23z=-6$ $(6)$
समीकरण $(5)$ को $3$ से गुणा करके $(6)$ में जोड़ने पर:
$3(y+2z) + (-3y+23z) = 3(2) - 6$
$29z = 0 \Rightarrow z=0$
$z=0$ को $(5)$ में रखने पर:
$y=2$
$y=2, z=0$ को $(1)$ में रखने पर:
$-x+2(2)-9(0)=7 \Rightarrow -x+4=7 \Rightarrow x=-3$
अतः,$(\alpha, \beta, \gamma) = (-3, 2, 0)$.
$\lambda$ ज्ञात करने के लिए इन मानों को $(4)$ में रखने पर:
$-3(-3) + 2 + 13(0) = \lambda \Rightarrow 9+2 = \lambda \Rightarrow \lambda = 11$.
बिंदु $(-3, 2, 0)$ की समतल $2x-2y+z-11=0$ से दूरी:
$d = \frac{|2(-3) - 2(2) + 1(0) - 11|}{\sqrt{2^2 + (-2)^2 + 1^2}} = \frac{|-6 - 4 - 11|}{\sqrt{4+4+1}} = \frac{|-21|}{3} = 7$.

(C) बिंदुओं $A(-1, -2, -3)$,$B(9, 3, 4)$,और $C(9, -2, 1)$ से गुजरने वाले समतल का समीकरण सारणिक द्वारा दिया जाता है:
$\begin{vmatrix} x+1 & y+2 & z+3 \\ 10 & 5 & 7 \\ 10 & 0 & 4 \end{vmatrix} = 0$
तीसरी पंक्ति के अनुदिश विस्तार करने पर:
$10(7(y+2) - 5(z+3)) + 4(5(x+1) - 10(y+2)) = 0$
$10(7y - 5z - 1) + 4(5x - 10y - 15) = 0$
$20x + 30y - 50z - 70 = 0$
$10$ से विभाजित करने पर,समतल का समीकरण: $2x + 3y - 5z - 7 = 0$ प्राप्त होता है।
मान लीजिए $P(3, -2, -9)$ से समतल पर लंब का पाद $Q(x, y, z)$ है।
रेखा का समीकरण: $\frac{x-3}{2} = \frac{y+2}{3} = \frac{z+9}{-5} = k$ है।
अतः,$x = 2k+3, y = 3k-2, z = -5k-9$ है।
चूंकि $Q$ समतल पर स्थित है,$2(2k+3) + 3(3k-2) - 5(-5k-9) - 7 = 0$ होगा।
$38k + 38 = 0 \implies k = -1$ प्राप्त होता है।
$k = -1$ रखने पर,$Q(1, -5, -4)$ प्राप्त होता है।
मूल बिंदु $(0, 0, 0)$ से $Q(1, -5, -4)$ की दूरी $\sqrt{1^2 + (-5)^2 + (-4)^2} = \sqrt{1 + 25 + 16} = \sqrt{42}$ है।

(A) माना $I = \int \limits_0^1 \frac{dx}{(5+2x-2x^2)(1+e^{2-4x})}$.
गुणधर्म $\int_0^a f(x) dx = \int_0^a f(a-x) dx$ का उपयोग करते हुए,$x$ को $1-x$ से प्रतिस्थापित करने पर:
$I = \int \limits_0^1 \frac{dx}{(5+2(1-x)-2(1-x)^2)(1+e^{2-4(1-x)})} = \int \limits_0^1 \frac{e^{2-4x} dx}{(5+2x-2x^2)(1+e^{2-4x})}$.
दोनों समीकरणों को जोड़ने पर:
$2I = \int \limits_0^1 \frac{dx}{5+2x-2x^2} = \int \limits_0^1 \frac{dx}{2(\frac{11}{4} - (x-\frac{1}{2})^2)}$.
समाकलन करने पर,$I = \frac{1}{\sqrt{11}} \ln \left( \frac{\sqrt{11}+1}{\sqrt{10}} \right)$.
तुलना करने पर,$\alpha = \sqrt{11}$ और $\beta = \sqrt{10}$.
अतः,$\alpha^4 - \beta^4 = 121 - 100 = 21$.

(C) सदिशों के समतलीय होने के लिए,उनका अदिश त्रिक गुणनफल शून्य होना चाहिए:
$\begin{vmatrix} \lambda & -1 & 1 \\ 1 & 2 & \mu \\ 3 & -4 & 5 \end{vmatrix} = 0$
सारणिक का विस्तार करने पर:
$\lambda(10 + 4\mu) - (-1)(5 - 3\mu) + 1(-4 - 6) = 0$
$10\lambda + 4\lambda\mu + 5 - 3\mu - 10 = 0$
$10\lambda + 4\lambda\mu - 3\mu - 5 = 0$
दिया गया है $\lambda - \mu = 5$,इसलिए $\lambda = \mu + 5$. इस मान को समीकरण में रखने पर:
$10(\mu + 5) + 4(\mu + 5)\mu - 3\mu - 5 = 0$
$10\mu + 50 + 4\mu^2 + 20\mu - 3\mu - 5 = 0$
$4\mu^2 + 27\mu + 45 = 0$
$(4\mu + 15)(\mu + 3) = 0$
अतः,$\mu_1 = -15/4$ और $\mu_2 = -3$.
संगत $\lambda$ के मान $\lambda_1 = -15/4 + 5 = 5/4$ और $\lambda_2 = -3 + 5 = 2$ हैं।
समुच्चय $S = \{(5/4, -15/4), (2, -3)\}$ है।
अब,$\sum_{(\lambda, \mu) \in S} 80(\lambda^2 + \mu^2)$ की गणना करने पर:
$= 80[((5/4)^2 + (-15/4)^2) + (2^2 + (-3)^2)]$
$= 80[(25/16 + 225/16) + (4 + 9)]$
$= 80[250/16 + 13] = 80[15.625 + 13] = 80[28.625] = 2290$.

(B) $f(x)$ का प्रांत इसके तीनों घटकों के प्रांतों का सर्वनिष्ठ (intersection) है।
$(i)$ $\log_e(4x^2 + 11x + 6)$ के लिए,$4x^2 + 11x + 6 > 0$ आवश्यक है।
गुणनखंड करने पर $(4x + 3)(x + 2) > 0$ प्राप्त होता है,अतः $x \in (-\infty, -2) \cup (-\frac{3}{4}, \infty)$।
(ii) $\sin^{-1}(4x + 3)$ के लिए,$-1 \le 4x + 3 \le 1$ आवश्यक है।
$-4 \le 4x \le -2$,जिसका अर्थ है $x \in [-1, -\frac{1}{2}]$।
(iii) $\cos^{-1}\left(\frac{10x + 6}{3}\right)$ के लिए,$-1 \le \frac{10x + 6}{3} \le 1$ आवश्यक है।
$-3 \le 10x + 6 \le 3$,अतः $-9 \le 10x \le -3$,जिसका अर्थ है $x \in [-\frac{9}{10}, -\frac{3}{10}]$।
तीनों अंतरालों का सर्वनिष्ठ लेने पर:
$x \in ((-\infty, -2) \cup (-\frac{3}{4}, \infty)) \cap [-1, -\frac{1}{2}] \cap [-\frac{9}{10}, -\frac{3}{10}]$।
$[-1, -\frac{1}{2}]$ और $[-\frac{9}{10}, -\frac{3}{10}]$ का सर्वनिष्ठ $[-\frac{9}{10}, -\frac{1}{2}]$ है।
अब,इसका $(-\infty, -2) \cup (-\frac{3}{4}, \infty)$ के साथ सर्वनिष्ठ लेने पर:
चूंकि $-\frac{9}{10} < -\frac{3}{4}$,सर्वनिष्ठ $(-\frac{3}{4}, -\frac{1}{2}]$ प्राप्त होता है।
अतः,$\alpha = -\frac{3}{4}$ और $\beta = -\frac{1}{2}$।
इसलिए $|\alpha + \beta| = |-\frac{3}{4} - \frac{1}{2}| = |-\frac{5}{4}| = \frac{5}{4}$।
अंत में,$36|\alpha + \beta| = 36 \times \frac{5}{4} = 9 \times 5 = 45$।

(A) रेखा $2x+y-z-3=0$ और $5x-3y+4z+9=0$ से गुजरने वाले समतलों के परिवार का समीकरण $(2x+y-z-3) + \lambda(5x-3y+4z+9) = 0$ है।
इसे सरल करने पर $(2+5\lambda)x + (1-3\lambda)y + (-1+4\lambda)z + (9\lambda-3) = 0$ प्राप्त होता है।
चूंकि यह समतल दिशा सदिश $\vec{b} = (2, 4, 5)$ वाली रेखा के समानांतर है,इसलिए समतल का अभिलंब सदिश $\vec{n} = (2+5\lambda, 1-3\lambda, -1+4\lambda)$,$\vec{b}$ के लंबवत होना चाहिए।
अतः,$\vec{n} \cdot \vec{b} = 0 \implies 2(2+5\lambda) + 4(1-3\lambda) + 5(-1+4\lambda) = 0$.
$4 + 10\lambda + 4 - 12\lambda - 5 + 20\lambda = 0 \implies 18\lambda + 3 = 0 \implies \lambda = -\frac{1}{6}$.
$\lambda = -\frac{1}{6}$ को समतल के समीकरण में रखने पर: $(2 - \frac{5}{6})x + (1 + \frac{3}{6})y + (-1 - \frac{4}{6})z + (-\frac{9}{6} - 3) = 0$.
$6$ से गुणा करने पर: $(12-5)x + (6+3)y + (-6-4)z + (-9-18) = 0 \implies 7x + 9y - 10z - 27 = 0$.
बिंदु $A(8, -1, -19)$ से गुजरने वाली और $\frac{x}{-3} = \frac{y-5}{4} = \frac{z-2}{12}$ के समानांतर रेखा का समीकरण $\frac{x-8}{-3} = \frac{y+1}{4} = \frac{z+19}{12} = k$ है।
इस रेखा पर कोई भी बिंदु $B(8-3k, -1+4k, -19+12k)$ है।
यदि $B$,समतल $7x + 9y - 10z - 27 = 0$ पर स्थित है,तो $7(8-3k) + 9(-1+4k) - 10(-19+12k) - 27 = 0$.
$56 - 21k - 9 + 36k + 190 - 120k - 27 = 0 \implies -105k + 210 = 0 \implies k = 2$.
दूरी $AB$,$k=2$ पर सदिश $\vec{AB} = (-3k, 4k, 12k)$ का परिमाण है,जो $\sqrt{(-6)^2 + 8^2 + 24^2} = \sqrt{36 + 64 + 576} = \sqrt{676} = 26$ है।

(A) दिया गया है $A = \{1, 2, 3, 4\}$। संबंध $R$,$A \times A$ पर इस प्रकार परिभाषित है कि $2a + 3b = 4c + 5d$,जहाँ $a, b, c, d \in A$ है।
माना $S_1 = 2a + 3b$ और $S_2 = 4c + 5d$ है।
$a, b \in \{1, 2, 3, 4\}$ के लिए $S_1$ के संभावित मान:
यदि $a=1: 2+3=5, 2+6=8, 2+9=11, 2+12=14$
यदि $a=2: 4+3=7, 4+6=10, 4+9=13, 4+12=16$
यदि $a=3: 6+3=9, 6+6=12, 6+9=15, 6+12=18$
यदि $a=4: 8+3=11, 8+6=14, 8+9=17, 8+12=20$
$c, d \in \{1, 2, 3, 4\}$ के लिए $S_2$ के संभावित मान:
यदि $c=1: 4+5=9, 4+10=14, 4+15=19, 4+20=24$
यदि $c=2: 8+5=13, 8+10=18, 8+15=23, 8+20=28$
यदि $c=3: 12+5=17, 12+10=22, 12+15=27, 12+20=32$
यदि $c=4: 16+5=21, 16+10=26, 16+15=31, 16+20=36$
हम उभयनिष्ठ मान $\alpha = S_1 = S_2$ देखते हैं:
$\alpha = 9$ के लिए: $(a,b)=(3,1)$ और $(c,d)=(1,1) \implies ((3,1),(1,1))$
$\alpha = 13$ के लिए: $(a,b)=(2,3)$ और $(c,d)=(2,1) \implies ((2,3),(2,1))$
$\alpha = 14$ के लिए: $(a,b)=(1,4)$ और $(c,d)=(1,2) \implies ((1,4),(1,2))$
$\alpha = 14$ के लिए: $(a,b)=(4,2)$ और $(c,d)=(1,2) \implies ((4,2),(1,2))$
$\alpha = 17$ के लिए: $(a,b)=(4,3)$ और $(c,d)=(3,1) \implies ((4,3),(3,1))$
$\alpha = 18$ के लिए: $(a,b)=(3,4)$ और $(c,d)=(2,2) \implies ((3,4),(2,2))$
कुल अवयवों की संख्या $6$ है।

(A) माना प्रतिच्छेदन बिंदु $(k, k, k)$ है।
चूंकि यह बिंदु समतलों $x \sin A + y \sin B + z \sin C = 18$ और $x \sin 2A + y \sin 2B + z \sin 2C = 9$ पर स्थित है,इसलिए:
$k(\sin A + \sin B + \sin C) = 18 \implies \sin A + \sin B + \sin C = \frac{18}{k}$
$k(\sin 2A + \sin 2B + \sin 2C) = 9 \implies \sin 2A + \sin 2B + \sin 2C = \frac{9}{k}$
दोनों समीकरणों को विभाजित करने पर,हमें $\frac{\sin A + \sin B + \sin C}{\sin 2A + \sin 2B + \sin 2C} = \frac{18}{9} = 2$ प्राप्त होता है।
अतः,$\sin A + \sin B + \sin C = 2(\sin 2A + \sin 2B + \sin 2C)$.
सर्वसमिकाओं $\sin A + \sin B + \sin C = 4 \cos \frac{A}{2} \cos \frac{B}{2} \cos \frac{C}{2}$ और $\sin 2A + \sin 2B + \sin 2C = 32 \sin \frac{A}{2} \sin \frac{B}{2} \sin \frac{C}{2} \cos \frac{A}{2} \cos \frac{B}{2} \cos \frac{C}{2}$ का उपयोग करने पर।
समीकरण में मान रखने पर: $4 \cos \frac{A}{2} \cos \frac{B}{2} \cos \frac{C}{2} = 2(32 \sin \frac{A}{2} \sin \frac{B}{2} \sin \frac{C}{2} \cos \frac{A}{2} \cos \frac{B}{2} \cos \frac{C}{2})$.
$4 \cos \frac{A}{2} \cos \frac{B}{2} \cos \frac{C}{2}$ को हटाने पर,हमें $1 = 16 \sin \frac{A}{2} \sin \frac{B}{2} \sin \frac{C}{2}$ प्राप्त होता है।
इसलिए,$\sin \frac{A}{2} \sin \frac{B}{2} \sin \frac{C}{2} = \frac{1}{16}$.
अंत में,$80 \left( \sin \frac{A}{2} \sin \frac{B}{2} \sin \frac{C}{2} \right) = 80 \times \frac{1}{16} = 5$.

(A) यह क्षेत्र परवलय $x = \frac{2y^2}{3}$,रेखा $x = 3-y$,और $x$-अक्ष $(y=0)$ द्वारा परिबद्ध है।
सबसे पहले,परवलय और रेखा का प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करें:
$2y^2 = 3(3-y) \implies 2y^2 + 3y - 9 = 0$
$(2y-3)(y+3) = 0$. चूँकि $y \ge 0$,इसलिए $y = \frac{3}{2}$ प्राप्त होता है।
परवलय,रेखा और $x$-अक्ष द्वारा परिबद्ध क्षेत्र का क्षेत्रफल:
$Area_{total} = \int_0^{3/2} ((3-y) - \frac{2y^2}{3}) dy = [3y - \frac{y^2}{2} - \frac{2y^3}{9}]_0^{3/2} = (3(\frac{3}{2}) - \frac{9}{8} - \frac{2}{9} \cdot \frac{27}{8}) = \frac{9}{2} - \frac{9}{8} - \frac{3}{4} = \frac{36-9-6}{8} = \frac{21}{8}$.
वृत्त $(x-3)^2 + y^2 = 2$ का केंद्र $(3,0)$ और त्रिज्या $\sqrt{2}$ है। रेखा $x+y=3$ बिंदु $(3,0)$ से गुजरती है।
क्षेत्र के अंदर वृत्त का भाग एक त्रिज्यखंड है,जिसका क्षेत्रफल $\frac{1}{8} \pi r^2 = \frac{1}{8} \pi (2) = \frac{\pi}{4}$ है।
अतः,$A = \frac{21}{8} - \frac{\pi}{4}$.
हमें $4(\pi + 4A) = 4(\pi + 4(\frac{21}{8} - \frac{\pi}{4})) = 4(\pi + \frac{21}{2} - \pi) = 4(\frac{21}{2}) = 42$ प्राप्त होता है।

(A) मान लीजिए $I = \int \frac{dx}{(3+4x^2) \sqrt{4-3x^2}}$ है। $x = \frac{2}{\sqrt{3}} \sin \theta$ प्रतिस्थापित करने पर,$dx = \frac{2}{\sqrt{3}} \cos \theta d\theta$ प्राप्त होता है।
तब $\sqrt{4-3x^2} = \sqrt{4-4\sin^2 \theta} = 2 \cos \theta$ है।
$I = \int \frac{\frac{2}{\sqrt{3}} \cos \theta d\theta}{(3 + 4(\frac{4}{3} \sin^2 \theta)) (2 \cos \theta)} = \int \frac{\frac{1}{\sqrt{3}} d\theta}{3 + \frac{16}{3} \sin^2 \theta} = \int \frac{\sqrt{3} d\theta}{9 + 16 \sin^2 \theta}$ है।
अंश और हर को $\cos^2 \theta$ से विभाजित करने पर:
$I = \int \frac{\sqrt{3} \sec^2 \theta d\theta}{9 \sec^2 \theta + 16 \tan^2 \theta} = \int \frac{\sqrt{3} \sec^2 \theta d\theta}{9(1 + \tan^2 \theta) + 16 \tan^2 \theta} = \int \frac{\sqrt{3} \sec^2 \theta d\theta}{9 + 25 \tan^2 \theta}$ है।
$u = \tan \theta$ लेने पर,$du = \sec^2 \theta d\theta$ प्राप्त होता है।
$I = \sqrt{3} \int \frac{du}{9 + 25u^2} = \frac{\sqrt{3}}{25} \int \frac{du}{\frac{9}{25} + u^2} = \frac{\sqrt{3}}{25} \cdot \frac{5}{3} \tan^{-1}\left(\frac{5u}{3}\right) + C = \frac{1}{5\sqrt{3}} \tan^{-1}\left(\frac{5 \tan \theta}{3}\right) + C$ है।
चूंकि $x = \frac{2}{\sqrt{3}} \sin \theta$,इसलिए $\sin \theta = \frac{\sqrt{3}x}{2}$,और $\tan \theta = \frac{\sqrt{3}x}{\sqrt{4-3x^2}}$ है।
$f(x) = \frac{1}{5\sqrt{3}} \tan^{-1}\left(\frac{5\sqrt{3}x}{3\sqrt{4-3x^2}}\right) + C = \frac{1}{5\sqrt{3}} \tan^{-1}\left(\frac{5x}{\sqrt{3(4-3x^2)}}\right) + C$ है।
$f(0) = 0 \implies C = 0$ है।
$f(1) = \frac{1}{5\sqrt{3}} \tan^{-1}\left(\frac{5}{\sqrt{3(4-3)}}\right) = \frac{1}{5\sqrt{3}} \tan^{-1}\left(\frac{5}{\sqrt{3}}\right)$ है।
$\frac{1}{\alpha \beta} \tan^{-1}\left(\frac{\alpha}{\beta}\right)$ से तुलना करने पर,$\alpha = 5, \beta = \sqrt{3}$ प्राप्त होता है।
$\alpha^2 + \beta^2 = 25 + 3 = 28$।