मान लीजिए S,lambda के उन मानों का समुच्चय है, | vedclass

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Question

(C) रैखिक समीकरण निकाय का कोई हल न होने के लिए,गुणांक आव्यूह का सारणिक $\Delta = 0$ होना चाहिए और क्रेमर के सारणिकों $\Delta_x, \Delta_y, \Delta_z$ मे

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$24$

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(C) रैखिक समीकरण निकाय का कोई हल न होने के लिए,गुणांक आव्यूह का सारणिक $\Delta = 0$ होना चाहिए और क्रेमर के सारणिकों $\Delta_x, \Delta_y, \Delta_z$ में से कम से कम एक अशून्य होना चाहिए।सबसे पहले,$\Delta = \begin{vmatrix} 6 \lambda & -3 & 3 \ 2 & 6 \lambda & 4 \ 3 & 2 & 3 \lambda \end{vmatrix} = 0$ की गणना करें।पहली पंक्ति के अनुदिश विस्तार करने पर:$\Delta = 6 \lambda (18 \lambda^2 - 8) + 3 (6 \lambda - 12) + 3 (4 - 18 \lambda) = 0$$108 \lambda^3 - 48 \lambda + 18 \lambda - 36 + 12 - 54 \lambda = 0$$108 \lambda^3 - 84 \lambda - 24 = 0$$12$ से विभाजित करने पर: $9 \lambda^3 - 7 \lambda - 2 = 0$.निरीक्षण द्वारा,$\lambda = 1$ एक मूल है। सिंथेटिक विभाजन का उपयोग करने पर,$( \lambda - 1 )( 9 \lambda^2 + 9 \lambda + 2 ) = 0$.$( \lambda - 1 )( 3 \lambda + 1 )( 3 \lambda + 2 ) = 0$.अतः,$\lambda \in \{ 1, -1/3, -2/3 \}$.इन मानों के लिए,हम जाँचते हैं कि $\Delta_1 = \begin{vmatrix} 4 \lambda^2 & -3 & 3 \ 1 & 6 \lambda & 4 \ \lambda & 2 & 3 \lambda \end{vmatrix} 
eq 0$.$\lambda = 1$ के लिए,$\Delta_1 = \begin{vmatrix} 4 & -3 & 3 \ 1 & 6 & 4 \ 1 & 2 & 3 \end{vmatrix} = 4(18-8) + 3(3-4) + 3(2-6) = 40 - 3 - 12 = 25 
eq 0$.$\lambda = -1/3$ और $\lambda = -2/3$ के लिए भी $\Delta_1 
eq 0$ प्राप्त होता है।इस प्रकार,$S = \{ 1, -1/3, -2/3 \}$.$12 \sum_{\lambda \in S} |\lambda| = 12 ( |1| + |-1/3| + |-2/3| ) = 12 ( 1 + 1/3 + 2/3 ) = 12 ( 2 ) = 24$.

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यदि $\frac{5}{m}+\frac{2}{n}=9$ और $\frac{3}{m}+\frac{4}{n}=11$ तथा $mn \neq 0$ है,तो $m$ और $n$ के मान क्रमशः . . . . . . हैं।

$\alpha$ के उन मानों की संख्या जिनके लिए समीकरण निकाय: $x+y+z=\alpha$,$\alpha x+2 \alpha y+3 z=-1$,और $x+3 \alpha y+5 z=4$ असंगत है,है:

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