જો operatorname{gcd}(m, n) = 1 અને 1^2 - 2^2 | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(B) આપેલ પદાવલિ $S = (1^2 - 2^2) + (3^2 - 4^2) + \ldots + (2021^2 - 2022^2) + 2023^2$ છે. $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$ નિત્યસમનો ઉપયોગ કરતા: $S = (1 -

Vedclass · Accepted Answer

$240$

Vedclass · Answer

(B) આપેલ પદાવલિ $S = (1^2 - 2^2) + (3^2 - 4^2) + \ldots + (2021^2 - 2022^2) + 2023^2$ છે. $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$ નિત્યસમનો ઉપયોગ કરતા: $S = (1 - 2)(1 + 2) + (3 - 4)(3 + 4) + \ldots + (2021 - 2022)(2021 + 2022) + 2023^2$. $S = -1(1 + 2 + 3 + 4 + \ldots + 2022) + 2023^2$. પ્રથમ $n$ પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓનો સરવાળો $\frac{n(n+1)}{2}$ થાય,તેથી: $S = -\frac{2022 	imes 2023}{2} + 2023^2$. $S = -1011 	imes 2023 + 2023^2$. $S = 2023(2023 - 1011) = 2023 	imes 1012$. આપેલ છે કે $1012 m^2 n = 2023 	imes 1012$,તેથી $m^2 n = 2023$. $2023 = 17^2 	imes 7$ હોવાથી,$m = 17$ અને $n = 7$ મળે. તેથી,$m^2 - n^2 = 17^2 - 7^2 = 289 - 49 = 240$.

જો $\operatorname{gcd}(m, n) = 1$ અને $1^2 - 2^2 + 3^2 - 4^2 + \ldots + (2021)^2 - (2022)^2 + (2023)^2 = 1012 m^2 n$ હોય,તો $m^2 - n^2$ ની કિંમત શોધો.

Similar Questions

અનંત શ્રેણી $1+\frac{5}{6}+\frac{12}{6^{2}}+\frac{22}{6^{3}}+\frac{35}{6^{4}}+\frac{51}{6^{5}}+\frac{70}{6^{6}}+\ldots$ નો સરવાળો કેટલો થાય?

જો $1^4+2^4+3^4+\ldots+n^4=f(n) \left(1^2+2^2+\ldots+n^2\right)$,તમામ $n \in N$ માટે,તો $f(4)$ ની કિંમત શોધો.

બધા જ ધન પૂર્ણાંકો $n$ નો સરવાળો શોધો જેના માટે $\frac{1^3+2^3+\ldots+(2n)^3}{1^2+2^2+\ldots+n^2}$ પણ એક પૂર્ણાંક હોય.

$1 + 3 + 7 + 15 + 31 + \dots$ શ્રેણીના $n$ પદોનો સરવાળો શોધો.

$2, 1\frac{3}{4}, 1\frac{5}{9}, \dots$ શ્રેણીનું છઠ્ઠું પદ કયું હશે?

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module