જો y=y(x) એ વિકલ સમીકરણ frac{dy}{dx} + y tan | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ સ્વરૂપનું સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે,જ્યાં $P = 	an x$ અને $Q = x \sec x$ છે. સંકલ્યકારક અવયવ ($I$.$F$.) $e^{

Vedclass · Accepted Answer

$\frac{\pi}{12} - \frac{\sqrt{3}}{2} \log_e\left(\frac{2}{e\sqrt{3}}\right)$

Vedclass · Answer

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ સ્વરૂપનું સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે,જ્યાં $P = 	an x$ અને $Q = x \sec x$ છે. સંકલ્યકારક અવયવ ($I$.$F$.) $e^{\int P dx} = e^{\int 	an x dx} = e^{\ln|\sec x|} = \sec x$ છે. વ્યાપક ઉકેલ $y \cdot (I.F.) = \int Q \cdot (I.F.) dx + C$ છે. $y \sec x = \int (x \sec x) \cdot \sec x dx = \int x \sec^2 x dx$. ખંડશઃ સંકલનનો ઉપયોગ કરતા,$\int x \sec^2 x dx = x 	an x - \int 	an x dx = x 	an x - \ln|\sec x| + C$. તેથી,$y \sec x = x 	an x - \ln|\sec x| + C$. $y(0) = 1$ આપેલ હોવાથી,$1 \cdot \sec(0) = 0 \cdot 	an(0) - \ln|\sec(0)| + C \Rightarrow 1 = 0 - 0 + C \Rightarrow C = 1$. આમ,$y \sec x = x 	an x - \ln|\sec x| + 1$. $x = \frac{\pi}{6}$ માટે,$\sec\left(\frac{\pi}{6}ight) = \frac{2}{\sqrt{3}}$ અને $	an\left(\frac{\pi}{6}ight) = \frac{1}{\sqrt{3}}$. $y \cdot \frac{2}{\sqrt{3}} = \frac{\pi}{6} \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} - \ln\left(\frac{2}{\sqrt{3}}ight) + 1$. $y = \frac{\sqrt{3}}{2} \left( \frac{\pi}{6\sqrt{3}} - \ln\left(\frac{2}{\sqrt{3}}ight) + 1 ight) = \frac{\pi}{12} - \frac{\sqrt{3}}{2} \ln\left(\frac{2}{\sqrt{3}}ight) + \frac{\sqrt{3}}{2}$. $1 = \ln e$ હોવાથી,$y = \frac{\pi}{12} + \frac{\sqrt{3}}{2} \left( 1 - \ln\left(\frac{2}{\sqrt{3}}ight) ight) = \frac{\pi}{12} + \frac{\sqrt{3}}{2} \ln\left(\frac{e\sqrt{3}}{2}ight) = \frac{\pi}{12} - \frac{\sqrt{3}}{2} \ln\left(\frac{2}{e\sqrt{3}}ight)$.

જો $y=y(x)$ એ વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} + y \tan x = x \sec x$,$0 \leq x \leq \frac{\pi}{3}$,$y(0)=1$ નો ઉકેલ વક્ર હોય,તો $y\left(\frac{\pi}{6}\right)$ ની કિંમત શોધો.

Similar Questions

ધારો કે એક વિકલનીય વિધેય $f$ એ $f(x) + \int_{3}^{x} \frac{f(t)}{t} dt = \sqrt{x+1}$ શરતનું પાલન કરે છે,જ્યાં $x \geq 3$. તો $12f(8)$ ની કિંમત શોધો.

વિકલ સમીકરણ $(x^2 + 1)\frac{dy}{dx} + 2xy = x^2 - 1$ નો સંકલ્યકારક અવયવ (Integrating Factor) શોધો.

ધારો કે $x = x(y)$ એ વિકલ સમીકરણ $2(y + 2) \log_e(y + 2) dx + (x + 4 - 2 \log_e(y + 2)) dy = 0$,$y > -1$ નો ઉકેલ છે,જ્યાં $x(e^4 - 2) = 1$ છે. તો $x(e^9 - 2)$ ની કિંમત શોધો.

વિકલ સમીકરણ $(1+y^2) + (x - e^{\tan^{-1} y}) \frac{dx}{dy} = 0$ નો ઉકેલ શોધો.

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module