વિકલ સમીકરણ frac{dy}{dx} + frac{x+a}{y-2} = 0 | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(D) આપેલ વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} = -\frac{x+a}{y-2}$ છે.બંને બાજુ સંકલન કરતા,$\int (y-2) dy = -\int (x+a) dx$,જે $\frac{(y-2)^2}{2} = -\frac{(x+a)^

Vedclass · Accepted Answer

$\frac{4\sqrt{3}}{3}$

Vedclass · Answer

(D) આપેલ વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} = -\frac{x+a}{y-2}$ છે.બંને બાજુ સંકલન કરતા,$\int (y-2) dy = -\int (x+a) dx$,જે $\frac{(y-2)^2}{2} = -\frac{(x+a)^2}{2} + k$ આપે છે.આનું સાદું રૂપ $(x+a)^2 + (y-2)^2 = 2k$ થાય છે. ક્ષેત્રફળ $4\pi$ હોવાથી,ત્રિજ્યા $r = 2$ છે,તેથી $2k = 4$,એટલે કે $(x+a)^2 + (y-2)^2 = 4$.$y(1) = 0$ નો ઉપયોગ કરતા,$(1+a)^2 + (0-2)^2 = 4$,તેથી $(1+a)^2 = 0$,જે $a = -1$ આપે છે.વર્તુળનું સમીકરણ $(x-1)^2 + (y-2)^2 = 4$ છે.$y$-અક્ષ સાથેના છેદબિંદુ માટે,$x=0$ લેતા: $(0-1)^2 + (y-2)^2 = 4 \implies (y-2)^2 = 3 \implies y = 2 \pm \sqrt{3}$.તેથી $P = (0, 2+\sqrt{3})$ અને $Q = (0, 2-\sqrt{3})$.વર્તુળનું કેન્દ્ર $(1, 2)$ છે. $P$ સુધીની ત્રિજ્યાનો ઢાળ $\frac{(2+\sqrt{3})-2}{0-1} = -\sqrt{3}$ છે.$P$ આગળના અભિલંબનો ઢાળ ત્રિજ્યાના ઢાળ જેટલો જ હોય છે,જે $-\sqrt{3}$ છે.$P$ આગળના અભિલંબનું સમીકરણ $y - (2+\sqrt{3}) = -\sqrt{3}(x-0) \implies y = -\sqrt{3}x + 2 + \sqrt{3}$ છે.$R$ માટે $y=0$ લેતા,$0 = -\sqrt{3}x + 2 + \sqrt{3} \implies x_R = 1 + \frac{2}{\sqrt{3}}$.તે જ રીતે,$Q$ માટે,ત્રિજ્યાનો ઢાળ $\frac{(2-\sqrt{3})-2}{0-1} = \sqrt{3}$ છે.$Q$ આગળના અભિલંબનું સમીકરણ $y - (2-\sqrt{3}) = \sqrt{3}(x-0) \implies y = \sqrt{3}x + 2 - \sqrt{3}$ છે.$S$ માટે $y=0$ લેતા,$0 = \sqrt{3}x + 2 - \sqrt{3} \implies x_S = 1 - \frac{2}{\sqrt{3}}$.લંબાઈ $RS = |x_R - x_S| = |(1 + \frac{2}{\sqrt{3}}) - (1 - \frac{2}{\sqrt{3}})| = \frac{4}{\sqrt{3}} = \frac{4\sqrt{3}}{3}$.

Similar Questions

વક્ર,જેનો ગુણધર્મ એ છે કે અભિલંબ પર ઓર્ડિનેટ (કોટિ) નો પ્રક્ષેપ અચળ છે અને તેની લંબાઈ $a$ જેટલી છે,તે છે:

$y' = \frac{y + 1}{x - 1}, y(1) = 2$ ના ઉકેલોની સંખ્યા કેટલી છે?

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module