જો ચલ રેખા $3x + 4y = \alpha$ એ બે વર્તુળો $(x - 1)^2 + (y - 1)^2 = 1$ અને $(x - 9)^2 + (y - 1)^2 = 4$ ની વચ્ચે આવેલી હોય અને કોઈ પણ વર્તુળ પર જીવા ન બનાવતી હોય,તો $\alpha$ ના તમામ પૂર્ણાંક મૂલ્યોનો સરવાળો .... છે.

વર્તુળ $C_1: x^2+y^2=3$,જેનું કેન્દ્ર $O$ છે,તે પરવલય $x^2=2y$ ને પ્રથમ ચરણમાં બિંદુ $P$ પર છેદે છે. ધારો કે $P$ આગળ વર્તુળ $C_1$ ને સ્પર્શક અન્ય બે વર્તુળો $C_2$ અને $C_3$ ને અનુક્રમે $R_2$ અને $R_3$ પર સ્પર્શે છે. ધારો કે $C_2$ અને $C_3$ ની ત્રિજ્યા સમાન $2\sqrt{3}$ છે અને તેમના કેન્દ્રો અનુક્રમે $Q_2$ અને $Q_3$ છે. જો $Q_2$ અને $Q_3$ એ $y$-અક્ષ પર આવેલા હોય,તો:
$(A)$ $Q_2Q_3=12$
$(B)$ $R_2R_3=4\sqrt{6}$
$(C)$ ત્રિકોણ $OR_2R_3$ નું ક્ષેત્રફળ $6\sqrt{2}$ છે
$(D)$ ત્રિકોણ $PQ_2Q_3$ નું ક્ષેત્રફળ $4\sqrt{2}$ છે

વર્તુળ $x^2+y^2=4$ પર બિંદુ $P(\sqrt{3}, 1)$ આગળ સ્પર્શક $PT$ દોરવામાં આવ્યો છે. એક સીધી રેખા $L$,જે $PT$ ને લંબ છે,તે વર્તુળ $(x-3)^2+y^2=1$ નો સ્પર્શક છે.
$1.$ બે વર્તુળોનો સામાન્ય સ્પર્શક છે:
$(A)$ $x=4$ $(B)$ $y=2$ $(C)$ $x+\sqrt{3} y=4$ $(D)$ $x+2 \sqrt{2} y=6$
$2.$ $L$ નું એક શક્ય સમીકરણ છે:
$(A)$ $x-\sqrt{3} y=1$ $(B)$ $x+\sqrt{3} y=1$ $(C)$ $x-\sqrt{3} y=-1$ $(D)$ $x+\sqrt{3} y=5$

બે વક્રો $C_1: y^2=4x$ અને $C_2: x^2+y^2-6x+1=0$ ધ્યાનમાં લો. તો,

$2$ ત્રિજ્યા ધરાવતું એક વર્તુળ $C$ બીજા ચરણમાં આવેલું છે અને બંને યામ અક્ષોને સ્પર્શે છે. ધારો કે $r$ એવા વર્તુળની ત્રિજ્યા છે જેનું કેન્દ્ર $(2, 5)$ બિંદુ પર છે અને તે વર્તુળ $C$ ને બરાબર બે બિંદુઓમાં છેદે છે. જો $r$ ના તમામ શક્ય મૂલ્યોનો ગણ અંતરાલ $(\alpha, \beta)$ હોય,તો $3 \beta - 2 \alpha$ ની કિંમત શોધો:

$ax - y + c = 0$ એ પરવલય $y^2 = 8\sqrt{5}x$ અને વર્તુળ $x^2 + y^2 = 1$ નો સામાન્ય સ્પર્શક છે. જો આ સ્પર્શક ધન $X$-અક્ષ સાથે લઘુકોણ બનાવે,તો $a^2c^2 =$