JEE Main 2020 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(B) माना दीर्घवृत्त का समीकरण $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ है,जहाँ $a > b$ है।
लघु अक्ष की लंबाई $2b = \frac{4}{\sqrt{3}}$ दी गई है,अतः $b = \frac{2}{\sqrt{3}}$ और $b^2 = \frac{4}{3}$ है।
रेखा $x + 6y = 8$ को $y = -\frac{1}{6}x + \frac{4}{3}$ के रूप में लिखा जा सकता है।
रेखा $y = mx + c$ के दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ को स्पर्श करने की शर्त $c^2 = a^2m^2 + b^2$ है।
यहाँ $m = -\frac{1}{6}$ और $c = \frac{4}{3}$ है।
मान रखने पर: $(\frac{4}{3})^2 = a^2(-\frac{1}{6})^2 + \frac{4}{3}$.
$\frac{16}{9} = \frac{a^2}{36} + \frac{4}{3}$.
$\frac{a^2}{36} = \frac{16}{9} - \frac{12}{9} = \frac{4}{9}$.
$a^2 = 16$,अतः $a = 4$ है।
उत्केंद्रता $e = \sqrt{1 - \frac{b^2}{a^2}} = \sqrt{1 - \frac{4/3}{16}} = \sqrt{\frac{11}{12}} = \frac{1}{2} \sqrt{\frac{11}{3}}$।

(B) समीकरण $a x^{2}-2 b x+5=0$ के लिए,मूल $\alpha, \alpha$ हैं।
अतः,मूलों का योग $2\alpha = \frac{2b}{a} \Rightarrow \alpha = \frac{b}{a}$ और मूलों का गुणनफल $\alpha^{2} = \frac{5}{a}$ है।
इनसे,$b = a\alpha$ और $a = \frac{5}{\alpha^{2}}$ प्राप्त होता है। $a$ का मान रखने पर,$b = \frac{5}{\alpha}$ मिलता है।
चूंकि $\alpha$,$x^{2}-2 b x-10=0$ का भी एक मूल है,इसलिए $\alpha^{2}-2 b \alpha-10=0$ होगा।
$b = \frac{5}{\alpha}$ को इस समीकरण में रखने पर: $\alpha^{2}-2(\frac{5}{\alpha})\alpha-10=0$ $\Rightarrow \alpha^{2}-10-10=0$ $\Rightarrow \alpha^{2}=20$।
अब,समीकरण $x^{2}-2 b x-10=0$ के लिए,मूलों का गुणनफल $\alpha \beta = -10$ है।
$\alpha^{2} = 20$ होने के कारण,$\alpha = \pm \sqrt{20}$ है।
तब $\beta = \frac{-10}{\alpha}$ होगा।
अतः,$\beta^{2} = \frac{100}{\alpha^{2}} = \frac{100}{20} = 5$।
इसलिए,$\alpha^{2}+\beta^{2} = 20 + 5 = 25$।

(C) $x$ के लिए व्यंजक एक गुणोत्तर श्रेणी है जिसका प्रथम पद $a = 1$ और सार्व अनुपात $r = -\tan^2 \theta$ है।
चूंकि $0 < \theta < \frac{\pi}{4}$,इसलिए $0 < \tan^2 \theta < 1$,अतः श्रेणी का योग $x = \frac{1}{1 - (-\tan^2 \theta)} = \frac{1}{1 + \tan^2 \theta} = \cos^2 \theta$ होगा।
$y$ के लिए व्यंजक एक गुणोत्तर श्रेणी है जिसका प्रथम पद $a = 1$ और सार्व अनुपात $r = \cos^2 \theta$ है।
चूंकि $0 < \theta < \frac{\pi}{4}$,इसलिए $\frac{1}{2} < \cos^2 \theta < 1$,अतः श्रेणी का योग $y = \frac{1}{1 - \cos^2 \theta} = \frac{1}{\sin^2 \theta}$ होगा।
$x = \cos^2 \theta$ से,हमें $\sin^2 \theta = 1 - x$ प्राप्त होता है।
इस मान को $y$ में प्रतिस्थापित करने पर,$y = \frac{1}{1 - x}$ प्राप्त होता है।
अतः,$y(1 - x) = 1$।

(B) परवलय का समीकरण $y^{2}=8x$ है,जो $y^{2}=4ax$ के रूप में है,जहाँ $4a=8$,इसलिए $a=2$ है।
परवलय पर किसी भी बिंदु के निर्देशांक $(at^{2}, 2at) = (2t^{2}, 4t)$ होते हैं।
बिंदु $A\left(\frac{1}{2}, -2\right)$ के लिए,$4t_{1}=-2$,जिससे $t_{1}=-\frac{1}{2}$ प्राप्त होता है।
नाभीय जीवा के लिए,अंतिम बिंदुओं के प्राचलों का गुणनफल $t_{1}t_{2}=-1$ होता है।
$t_{1}=-\frac{1}{2}$ रखने पर,हमें $t_{2} = -\frac{1}{t_{1}} = -\frac{1}{-1/2} = 2$ प्राप्त होता है।
बिंदु $B$ के निर्देशांक $(2t_{2}^{2}, 4t_{2}) = (2(2)^{2}, 4(2)) = (8, 8)$ हैं।
परवलय $y^{2}=4ax$ के बिंदु $(x_{1}, y_{1})$ पर स्पर्शरेखा का समीकरण $yy_{1}=2a(x+x_{1})$ होता है।
बिंदु $B(8, 8)$ और $a=2$ के लिए,स्पर्शरेखा का समीकरण $y(8) = 2(2)(x+8)$ है।
$8y = 4(x+8)$ $\Rightarrow 2y = x+8$ $\Rightarrow x-2y+8=0$।

(C) दिया गया है $A = \{x \in R : |x| < 2\} = (-2, 2)$.
दिया गया है $B = \{x \in R : |x - 2| \geq 3\}$.
इसका अर्थ है $x - 2 \geq 3$ या $x - 2 \leq -3$.
अतः,$x \geq 5$ या $x \leq -1$.
इस प्रकार,$B = (-\infty, -1] \cup [5, \infty)$.
अब,$B - A$ उन अवयवों का समुच्चय है जो $B$ में हैं लेकिन $A$ में नहीं हैं।
$B - A = ((-\infty, -1] \cup [5, \infty)) - (-2, 2)$.
चूंकि $(-2, 2)$ और $(-\infty, -1]$ का प्रतिच्छेदन $(-2, -1]$ है,इसलिए हम इस भाग को हटा देते हैं।
$B - A = (-\infty, -2] \cup [5, \infty)$.
इसे $R - (-2, 5)$ के रूप में लिखा जा सकता है।
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(D) माना $z = x + iy.$ दिया गया समीकरण $|x| + |y| = 4$ है.
यह सम्मिश्र तल में $(4, 0), (0, 4), (-4, 0),$ और $(0, -4)$ शीर्षों वाला एक वर्ग दर्शाता है.
$|z| = \sqrt{x^2 + y^2}$ मूल बिंदु $(0, 0)$ से बिंदु $(x, y)$ की दूरी को दर्शाता है.
मूल बिंदु से $(4, 0)$ और $(0, 4)$ को जोड़ने वाले रेखाखंड की न्यूनतम दूरी,रेखा $x + y = 4$ पर मूल बिंदु से डाले गए लंब की लंबाई है.
बिंदु $(x_0, y_0)$ से रेखा $Ax + By + C = 0$ की दूरी के सूत्र का उपयोग करने पर,$d = \frac{|0 + 0 - 4|}{\sqrt{1^2 + 1^2}} = \frac{4}{\sqrt{2}} = 2\sqrt{2} = \sqrt{8}.$
मूल बिंदु से वर्ग की अधिकतम दूरी उसके शीर्षों पर होती है,जो $4 = \sqrt{16}$ है.
अतः,$|z|$ को अंतराल $[\sqrt{8}, \sqrt{16}]$ में होना चाहिए.
चूंकि $\sqrt{7} < \sqrt{8},$ इसलिए $|z|$ का मान $\sqrt{7}$ नहीं हो सकता है.

(B) प्रतिबंधात्मक कथन $p \rightarrow (p \wedge \neg q)$ केवल तब असत्य होता है जब पूर्ववर्ती $p$ का मान $T$ हो और परिणामी $(p \wedge \neg q)$ का मान $F$ हो।
चूंकि $p$ का मान $T$ है,इसलिए $(p \wedge \neg q)$ का मान $(T \wedge \neg q)$ हो जाता है।
$(T \wedge \neg q)$ को $F$ होने के लिए,$\neg q$ को $F$ होना चाहिए,जिसका अर्थ है कि $q$ का मान $T$ है।
अतः,सत्यता मान $p = T$ और $q = T$ हैं।

(D) व्यापक पद $T_{r+1} = ^{16}C_{r} \left(\frac{x}{\cos \theta}\right)^{16-r} \left(\frac{1}{x \sin \theta}\right)^{r}$ है।
सरल करने पर,$T_{r+1} = ^{16}C_{r} x^{16-2r} \frac{1}{(\cos \theta)^{16-r} (\sin \theta)^{r}}$.
$x$ से स्वतंत्र पद के लिए,$16-2r = 0$ रखने पर,$r = 8$ प्राप्त होता है।
अतः,स्वतंत्र पद $T_{9} = ^{16}C_{8} \frac{2^{8}}{(\sin 2\theta)^{8}}$ है।
माना $f(\theta) = \frac{^{16}C_{8} \cdot 2^{8}}{(\sin 2\theta)^{8}}$.
$\theta \in [\frac{\pi}{8}, \frac{\pi}{4}]$ के लिए,$\sin 2\theta$ वर्धमान है,इसलिए $f(\theta)$ न्यूनतम तब होता है जब $\sin 2\theta$ अधिकतम हो,अर्थात $\theta = \frac{\pi}{4}$ पर। अतः,$\ell_{1} = ^{16}C_{8} \cdot 2^{8}$.
$\theta \in [\frac{\pi}{16}, \frac{\pi}{8}]$ के लिए,$f(\theta)$ न्यूनतम तब होता है जब $\sin 2\theta$ अधिकतम हो,अर्थात $\theta = \frac{\pi}{8}$ पर। अतः,$\ell_{2} = ^{16}C_{8} \cdot 2^{12}$.
अनुपात $\frac{\ell_{2}}{\ell_{1}} = \frac{^{16}C_{8} \cdot 2^{12}}{^{16}C_{8} \cdot 2^{8}} = 2^{4} = 16$.

(D) दिया गया है कि $a_n$ एक $G$.$P$. है जिसका सार्व अनुपात $r$ है।
$\sum_{n=1}^{100} a_{2n+1} = a_3 + a_5 + \dots + a_{201} = 200$
यह $100$ पदों की एक $G$.$P$. है जिसका प्रथम पद $a_3 = ar^2$ और सार्व अनुपात $r^2$ है।
अतः,$ar^2 \frac{r^{200} - 1}{r^2 - 1} = 200$
$\sum_{n=1}^{100} a_{2n} = a_2 + a_4 + \dots + a_{200} = 100$
यह $100$ पदों की एक $G$.$P$. है जिसका प्रथम पद $a_2 = ar$ और सार्व अनुपात $r^2$ है।
अतः,$ar \frac{r^{200} - 1}{r^2 - 1} = 100$
दोनों समीकरणों को विभाजित करने पर: $\frac{ar^2 \frac{r^{200} - 1}{r^2 - 1}}{ar \frac{r^{200} - 1}{r^2 - 1}} = \frac{200}{100} \Rightarrow r = 2$
हमें $S = \sum_{n=1}^{200} a_n = a_1 + a_2 + \dots + a_{200}$ ज्ञात करना है।
ध्यान दें कि $\sum_{n=1}^{100} a_{2n+1} + \sum_{n=1}^{100} a_{2n} = a_2 + a_3 + a_4 + \dots + a_{201} = 300$
चूंकि $a_{k+1} = r a_k$,इसलिए $a_2 + a_3 + \dots + a_{201} = r(a_1 + a_2 + \dots + a_{200}) = 300$
$r = 2$ रखने पर: $2 \sum_{n=1}^{200} a_n = 300 \Rightarrow \sum_{n=1}^{200} a_n = 150$.

(D) पहली समांतर श्रेणी $A_1: 3, 7, 11, \ldots, 407$ है। यहाँ,$a_1 = 3$ और $d_1 = 4$ है। सामान्य पद $T_n = 4n - 1$ है।
दूसरी समांतर श्रेणी $A_2: 2, 9, 16, \ldots, 709$ है। यहाँ,$a_2 = 2$ और $d_2 = 7$ है। सामान्य पद $T_m = 7m - 5$ है।
उभयनिष्ठ पद के लिए,$4n - 1 = 7m - 5$,जिसका अर्थ है $4n = 7m - 4$। इसका मतलब है कि $7m$ को $4$ का गुणज होना चाहिए। अतः $m = 4k$ लेने पर,$n = 7k - 1$ प्राप्त होता है।
पहला उभयनिष्ठ पद $k=1$ के लिए $23$ है।
नई समांतर श्रेणी का सार्व अंतर $\text{lcm}(4, 7) = 28$ है।
उभयनिष्ठ पद $23, 51, 79, \ldots$ हैं। अंतिम पद $\leq 407$ होना चाहिए।
$23 + (N-1)28 \leq 407$
$(N-1)28 \leq 384$
$N \leq 14.71$.
अतः,उभयनिष्ठ पदों की संख्या $N = 14$ है।

(C) माना $S = \sum_{r=0}^{25} (4r + 1) \cdot ^{25}C_{r}$.
गुणधर्म $^{n}C_{r} = ^{n}C_{n-r}$ का उपयोग करते हुए:
$S = 1 \cdot ^{25}C_{0} + 5 \cdot ^{25}C_{1} + 9 \cdot ^{25}C_{2} + \ldots + 101 \cdot ^{25}C_{25}$.
क्रम उलटने पर:
$S = 101 \cdot ^{25}C_{25} + 97 \cdot ^{25}C_{24} + \ldots + 1 \cdot ^{25}C_{0}$.
दोनों व्यंजकों को जोड़ने पर:
$2S = \sum_{r=0}^{25} (4r + 1 + 101 - 4r) \cdot ^{25}C_{r} = \sum_{r=0}^{25} (102) \cdot ^{25}C_{r}$.
$2S = 102 \sum_{r=0}^{25} {^{25}C_{r}} = 102 \cdot 2^{25}$.
$S = 51 \cdot 2^{25}$.
$2^{25} \cdot k$ के साथ तुलना करने पर,हमें $k = 51$ प्राप्त होता है।

(B) दिए गए वृत्तों के समीकरण $S_{1}: x^{2}+y^{2}-6x+8=0$ और $S_{2}: x^{2}+y^{2}-8y+16-k=0$ हैं।
$S_{1}$ के लिए,केंद्र $C_{1} = (3, 0)$ और त्रिज्या $r_{1} = \sqrt{3^{2}+0^{2}-8} = 1$ है।
$S_{2}$ के लिए,केंद्र $C_{2} = (0, 4)$ और त्रिज्या $r_{2} = \sqrt{0^{2}+4^{2}-(16-k)} = \sqrt{k}$ है।
केंद्रों के बीच की दूरी $d = \sqrt{(3-0)^{2}+(0-4)^{2}} = 5$ है।
चूंकि वृत्त एक-दूसरे को स्पर्श करते हैं,इसलिए $d = |r_{1} \pm r_{2}|$ होगा।
स्थिति $1$: $5 = 1+\sqrt{k}$ $\Rightarrow \sqrt{k} = 4$ $\Rightarrow k = 16$.
स्थिति $2$: $5 = |1-\sqrt{k}|$ $\Rightarrow 1-\sqrt{k} = -5$ $\Rightarrow \sqrt{k} = 6$ $\Rightarrow k = 36$.
अतः,$k$ का अधिकतम मान $36$ है।

(A) पाँच अंकों की संख्या को $\_ \;\_\;\_\;\underline{2}\;\_$. के रूप में दर्शाया जा सकता है।
$10$ वाँ स्थान $2$ के रूप में निश्चित है।
$10,000$ वें स्थान के लिए,हम $0$ या $2$ का उपयोग नहीं कर सकते,इसलिए $8$ विकल्प $(1, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9)$ हैं।
$1,000$ वें स्थान के लिए,हम $0$ और शेष $7$ अंकों में से किसी का भी उपयोग कर सकते हैं,इसलिए $8$ विकल्प हैं।
$100$ वें स्थान के लिए,शेष $7$ विकल्प हैं।
इकाई के स्थान के लिए,शेष $6$ विकल्प हैं।
ऐसी पाँच अंकों की संख्याओं की कुल संख्या $= 8 \times 8 \times 7 \times 6 = 2688$ है।
दिया गया है कि संख्या $336k$ है,इसलिए $336k = 2688$ है।
अतः,$k = \frac{2688}{336} = 8$।

(C) दिया गया है $\left|\frac{z-i}{z+2i}\right|=1$,जिसका अर्थ है $|z-i|=|z+2i|$.
इसका मतलब है कि $z$ बिंदुओं $(0, 1)$ और $(0, -2)$ के लंब समद्विभाजक पर स्थित है।
लंब समद्विभाजक रेखा $\text{Im}(z) = -\frac{1}{2}$ है।
मान लीजिए $z = x - \frac{i}{2}$ है।
$|z| = \frac{5}{2}$ दिया गया है,इसलिए $x^2 + (-\frac{1}{2})^2 = (\frac{5}{2})^2$.
$x^2 + \frac{1}{4} = \frac{25}{4} \Rightarrow x^2 = 6$.
अब,$|z+3i| = |x - \frac{i}{2} + 3i| = |x + \frac{5i}{2}|$.
$|z+3i| = \sqrt{x^2 + (\frac{5}{2})^2} = \sqrt{6 + \frac{25}{4}} = \sqrt{\frac{49}{4}} = \frac{7}{2}$.

(D) दिया गया समीकरण: $e^{4x} + e^{3x} - 4e^{2x} + e^x + 1 = 0$।
पूरे समीकरण को $e^{2x}$ से विभाजित करने पर:
$e^{2x} + e^x - 4 + \frac{1}{e^x} + \frac{1}{e^{2x}} = 0$।
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर:
$(e^{2x} + \frac{1}{e^{2x}}) + (e^x + \frac{1}{e^x}) - 4 = 0$।
सर्वसमिका $a^2 + \frac{1}{a^2} = (a + \frac{1}{a})^2 - 2$ का उपयोग करने पर:
$(e^x + \frac{1}{e^x})^2 - 2 + (e^x + \frac{1}{e^x}) - 4 = 0$।
माना $t = e^x + \frac{1}{e^x}$। चूंकि $e^x > 0$,$AM$-$GM$ असमिका के अनुसार $t = e^x + \frac{1}{e^x} \geq 2$।
समीकरण $t^2 + t - 6 = 0$ बन जाता है।
गुणनखंड करने पर: $(t + 3)(t - 2) = 0$।
अतः $t = -3$ या $t = 2$।
चूंकि $t \geq 2$,इसलिए $t = 2$ होगा।
$e^x + \frac{1}{e^x} = 2$ $\Rightarrow e^{2x} - 2e^x + 1 = 0$ $\Rightarrow (e^x - 1)^2 = 0$।
$e^x = 1 \Rightarrow x = 0$।
अतः,केवल $1$ वास्तविक मूल है।

(B) मान लीजिए $p$ कथन है: $\sqrt{5}$ एक पूर्णांक है।
मान लीजिए $q$ कथन है: $5$ अपरिमेय है।
दिया गया कथन $p \vee q$ है।
कथन का निषेध $\sim(p \vee q)$ है।
डी मॉर्गन के नियम के अनुसार,$\sim(p \vee q) \equiv \sim p \wedge \sim q$ होता है।
अतः,निषेध है: $\sqrt{5}$ एक पूर्णांक नहीं है और $5$ अपरिमेय नहीं है।

(D) मान लीजिए $y_{i} = x_{i} - 5$ है। तब $\sum_{i=1}^{10} y_{i} = 10$ और $\sum_{i=1}^{10} y_{i}^{2} = 40$ है।
$y_{i}$ का माध्य $\bar{y} = \frac{1}{10} \sum y_{i} = \frac{10}{10} = 1$ है।
$y_{i}$ का प्रसरण $\sigma_{y}^{2} = \frac{1}{10} \sum y_{i}^{2} - (\bar{y})^{2} = \frac{40}{10} - (1)^{2} = 4 - 1 = 3$ है।
अब,मान लीजिए $z_{i} = x_{i} - 3$ है। हम लिख सकते हैं $z_{i} = (x_{i} - 5) + 2 = y_{i} + 2$।
$z_{i}$ का माध्य $\mu$ है $\bar{z} = \bar{y} + 2 = 1 + 2 = 3$।
$z_{i}$ का प्रसरण $\lambda$ है $\text{Var}(y_{i} + 2) = \text{Var}(y_{i}) = 3$।
अतः,क्रमित युग्म $(\mu, \lambda) = (3, 3)$ है।

(A) दी गई अभिव्यक्ति $P = 2^{\frac{1}{4}} \cdot 4^{\frac{1}{16}} \cdot 8^{\frac{1}{48}} \cdot 16^{\frac{1}{128}} \cdot \dots \infty$ है।
सभी पदों को आधार $2$ में व्यक्त करने पर:
$P = 2^{\frac{1}{4}} \cdot (2^2)^{\frac{1}{16}} \cdot (2^3)^{\frac{1}{48}} \cdot (2^4)^{\frac{1}{128}} \cdot \dots$
$P = 2^{\frac{1}{4}} \cdot 2^{\frac{2}{16}} \cdot 2^{\frac{3}{48}} \cdot 2^{\frac{4}{128}} \cdot \dots$
$P = 2^{\frac{1}{4}} \cdot 2^{\frac{1}{8}} \cdot 2^{\frac{1}{16}} \cdot 2^{\frac{1}{32}} \cdot \dots$
गुणधर्म $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$ का उपयोग करने पर:
$P = 2^{(\frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \frac{1}{16} + \frac{1}{32} + \dots)}$
घातांक एक अनंत गुणोत्तर श्रेणी है जिसमें प्रथम पद $a = \frac{1}{4}$ और सार्व अनुपात $r = \frac{1}{2}$ है।
अनंत गुणोत्तर श्रेणी का योग $S = \frac{a}{1-r}$ होता है।
$S = \frac{1/4}{1 - 1/2} = \frac{1/4}{1/2} = \frac{1}{2}$.
अतः,$P = 2^{\frac{1}{2}}$.

(C) $y$-अक्ष को $(0,4)$ पर स्पर्श करने वाले वृत्त का समीकरण $(x-0)^2 + (y-4)^2 + \lambda x = 0$ है।
यह $(2,0)$ से गुजरता है,इसलिए $x=2$ और $y=0$ रखने पर:
$(2-0)^2 + (0-4)^2 + \lambda(2) = 0$ $\Rightarrow 4 + 16 + 2\lambda = 0$ $\Rightarrow 2\lambda = -20$ $\Rightarrow \lambda = -10$.
अतः,वृत्त का समीकरण $x^2 + y^2 - 10x - 8y + 16 = 0$ है।
केंद्र $(5,4)$ और त्रिज्या $r = 5$ है।
रेखा $ax + by + c = 0$ स्पर्श रेखा होगी यदि केंद्र से रेखा की लंबवत दूरी $5$ हो।
विकल्प $C$ के लिए: $|4(5) + 3(4) - 8| / 5 = 24/5 = 4.8 \neq 5$,इसलिए यह स्पर्श रेखा नहीं है।

(D) दीर्घवृत्त $\frac{x^{2}}{18}+\frac{y^{2}}{4}=1$ के लिए,$a^{2}=18$ और $b^{2}=4$ है। उत्केंद्रता $e_{1} = \sqrt{1-\frac{4}{18}} = \sqrt{\frac{7}{9}} = \frac{\sqrt{7}}{3}$ है।
अतिपरवलय $\frac{x^{2}}{9}-\frac{y^{2}}{4}=1$ के लिए,$a^{2}=9$ और $b^{2}=4$ है। उत्केंद्रता $e_{2} = \sqrt{1+\frac{4}{9}} = \sqrt{\frac{13}{9}} = \frac{\sqrt{13}}{3}$ है।
चूँकि बिंदु $(e_{1}, e_{2})$ समीकरण $15x^{2}+3y^{2}=k$ पर स्थित है,इसलिए:
$15(\frac{7}{9}) + 3(\frac{13}{9}) = k$
$\frac{105+39}{9} = k$
$k = \frac{144}{9} = 16$.

(B) त्रिभुज के शीर्षों $(3, -1), (1, 3)$ और $(2, 4)$ के लिए केंद्रक $C = (\frac{3+1+2}{3}, \frac{-1+3+4}{3}) = (2, 2).$
रेखाओं $x + 3y - 1 = 0$ और $3x - y + 1 = 0$ का प्रतिच्छेदन बिंदु $P = (-\frac{1}{5}, \frac{2}{5}).$
$C(2, 2)$ और $P(-\frac{1}{5}, \frac{2}{5})$ से गुजरने वाली रेखा का समीकरण $8x - 11y + 6 = 0$ है।
इस समीकरण में $(-9, -6)$ बिंदु रखने पर: $8(-9) - 11(-6) + 6 = -72 + 66 + 6 = 0.$
अतः,रेखा $(-9, -6)$ से गुजरती है।

(C) माना $\theta = \frac{\pi}{8}$। तब $\frac{3\pi}{8} = 3\theta$।
दिया गया व्यंजक $\cos^{3}(\theta) \cos(3\theta) + \sin^{3}(\theta) \sin(3\theta)$ है।
हम जानते हैं कि $\cos(\frac{3\pi}{8}) = \sin(\frac{\pi}{8})$ और $\sin(\frac{3\pi}{8}) = \cos(\frac{\pi}{8})$।
मान रखने पर: $\cos^{3}(\frac{\pi}{8}) \sin(\frac{\pi}{8}) + \sin^{3}(\frac{\pi}{8}) \cos(\frac{\pi}{8})$।
$\sin(\frac{\pi}{8}) \cos(\frac{\pi}{8})$ को उभयनिष्ठ लेने पर:
$= \sin(\frac{\pi}{8}) \cos(\frac{\pi}{8}) [\cos^{2}(\frac{\pi}{8}) + \sin^{2}(\frac{\pi}{8})]$।
चूंकि $\cos^{2}(\theta) + \sin^{2}(\theta) = 1$,यह $\sin(\frac{\pi}{8}) \cos(\frac{\pi}{8})$ हो जाता है।
$\sin(2\theta) = 2\sin(\theta)\cos(\theta)$ सूत्र का उपयोग करने पर,$\frac{1}{2} \sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{1}{2\sqrt{2}}$।

(A) व्यंजक $(1+x+x^{2})^{10} = (1 + x(1+x))^{10}$ है।
द्विपद विस्तार $(1+y)^{n} = \sum_{k=0}^{n} {}^{n}C_{k} y^{k}$ का उपयोग करते हुए:
$(1+x+x^{2})^{10} = \sum_{k=0}^{10} {}^{10}C_{k} x^{k} (1+x)^{k}$।
$x^{4}$ का गुणांक ज्ञात करने के लिए,हम $x^{k} (1+x)^{k}$ के पदों पर विचार करते हैं:
$k=2$ के लिए: ${}^{10}C_{2} x^{2} (1+x)^{2} = {}^{10}C_{2} x^{2} (1 + 2x + x^{2}) = {}^{10}C_{2} x^{2} + 2({}^{10}C_{2}) x^{3} + {}^{10}C_{2} x^{4}$। गुणांक ${}^{10}C_{2} = 45$ है।
$k=3$ के लिए: ${}^{10}C_{3} x^{3} (1+x)^{3} = {}^{10}C_{3} x^{3} (1 + 3x + \dots) = {}^{10}C_{3} x^{3} + 3({}^{10}C_{3}) x^{4} + \dots$। गुणांक $3 \times {}^{10}C_{3} = 3 \times 120 = 360$ है।
$k=4$ के लिए: ${}^{10}C_{4} x^{4} (1+x)^{4} = {}^{10}C_{4} x^{4} (1 + \dots) = {}^{10}C_{4} x^{4} + \dots$। गुणांक ${}^{10}C_{4} = 210$ है।
$x^{4}$ का कुल गुणांक $= 45 + 360 + 210 = 615$।

(A) दिया गया समीकरण: $\log _{1 / 2}|\sin x|=2-\log _{1 / 2}|\cos x|$,जहाँ $x \in [0, 2\pi]$ है।
पदों को व्यवस्थित करने पर: $\log _{1 / 2}|\sin x| + \log _{1 / 2}|\cos x| = 2$ प्राप्त होता है।
गुणधर्म $\log_a m + \log_a n = \log_a (mn)$ का उपयोग करने पर: $\log _{1 / 2}(|\sin x \cos x|) = 2$ प्राप्त होता है।
घातांकीय रूप में बदलने पर: $|\sin x \cos x| = (1/2)^2 = 1/4$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों को $2$ से गुणा करने पर: $|2 \sin x \cos x| = 2 \times (1/4) = 1/2$ प्राप्त होता है।
अतः,$|\sin 2x| = 1/2$ है।
अंतराल $x \in [0, 2\pi]$ के लिए,कोण $2x$ अंतराल $[0, 4\pi]$ में स्थित है।
$|\sin \theta| = 1/2$ के लिए,प्रत्येक $2\pi$ लंबाई के अंतराल में $4$ हल होते हैं।
चूँकि $2x$ के लिए अंतराल $[0, 4\pi]$ है,इसलिए कुल हलों की संख्या $4 \times 2 = 8$ होगी।

(A) दी गई श्रेणी $S = (x+y)+(x^{2}+xy+y^{2})+(x^{3}+x^{2}y+xy^{2}+y^{3})+\ldots$ है।
$(x-y)$ से गुणा और भाग करने पर:
$S = \frac{(x-y)(x+y)+(x-y)(x^{2}+xy+y^{2})+(x-y)(x^{3}+x^{2}y+xy^{2}+y^{3})+\ldots}{x-y}$
सर्वसमिका $(x-y)(x^n + x^{n-1}y + \ldots + y^n) = x^{n+1} - y^{n+1}$ का उपयोग करने पर:
$S = \frac{(x^{2}-y^{2})+(x^{3}-y^{3})+(x^{4}-y^{4})+\ldots}{x-y}$
$S = \frac{(x^{2}+x^{3}+x^{4}+\ldots) - (y^{2}+y^{3}+y^{4}+\ldots)}{x-y}$
अनंत गुणोत्तर श्रेणी के योग के सूत्र $S_{\infty} = \frac{a}{1-r}$ का उपयोग करने पर:
$S = \frac{\frac{x^{2}}{1-x} - \frac{y^{2}}{1-y}}{x-y}$
सरल करने पर:
$S = \frac{x+y-xy}{(1-x)(1-y)}$

(B) $(\alpha x^{\frac{1}{9}} + \beta x^{-\frac{1}{6}})^{10}$ के विस्तार में सामान्य पद $T_{r+1} = {}^{10}C_{r} \alpha^{10-r} \beta^{r} x^{\frac{10-r}{9} - \frac{r}{6}}$ है।
$x$ से स्वतंत्र पद के लिए,घात शून्य होनी चाहिए:
$\frac{10-r}{9} - \frac{r}{6} = 0 \Rightarrow r = 4$.
स्वतंत्र पद $T_{5} = {}^{10}C_{4} \alpha^{6} \beta^{4} = 210 \alpha^{6} \beta^{4}$ है।
$\alpha^{3} + \beta^{2} = 4$ दिया गया है। $AM \geq GM$ का उपयोग करने पर:
$\frac{\frac{\alpha^{3}}{2} + \frac{\alpha^{3}}{2} + \frac{\beta^{2}}{2} + \frac{\beta^{2}}{2}}{4} \geq \sqrt[4]{\frac{\alpha^{6} \beta^{4}}{16}}$
$1 \geq \frac{\alpha^{6} \beta^{4}}{16} \Rightarrow \alpha^{6} \beta^{4} \leq 16$.
$T_{5}$ का अधिकतम मान $210 \times 16 = 3360$ है।
चूंकि $10k = 3360$,इसलिए $k = 336$ प्राप्त होता है।

(C) मान लीजिए $p$ और $q$ कथन हैं:
$p: \text{मैं समय पर स्टेशन पहुँचता हूँ.}$
$q: \text{मैं ट्रेन पकड़ लूँगा.}$
दिया गया कथन $p \rightarrow q$ के रूप में है।
$p \rightarrow q$ का प्रतिधनात्मक (contrapositive) $\sim q \rightarrow \sim p$ होता है।
यहाँ,$\sim q$ है "मैं ट्रेन नहीं पकड़ पाऊँगा" और $\sim p$ है "मैं समय पर स्टेशन नहीं पहुँचूँगा।"
अतः,प्रतिधनात्मक कथन है: "यदि मैं ट्रेन नहीं पकड़ पाऊँगा,तो मैं समय पर स्टेशन नहीं पहुँचूँगा।"
यह विकल्प $C$ से मेल खाता है।

(A) दिया गया है $X = \{1, 2, \dots, 17\}$। $X$ का माध्य $\bar{x} = \frac{1+17}{2} = 9$ है। $X$ का प्रसरण $\sigma_X^2 = \frac{17^2 - 1}{12} = \frac{288}{12} = 24$ है।
$Y = aX + b$ के लिए,माध्य $\bar{Y} = a\bar{x} + b = 9a + b = 17$ (समीकरण $1$)।
$Y$ का प्रसरण $\sigma_Y^2 = a^2 \sigma_X^2 = a^2(24) = 216$ है।
$a^2 = \frac{216}{24} = 9$। चूँकि $a > 0$,इसलिए $a = 3$ है।
समीकरण $1$ में $a = 3$ रखने पर: $9(3) + b = 17$ $\Rightarrow 27 + b = 17$ $\Rightarrow b = -10$।
अतः,$a + b = 3 + (-10) = -7$।

(A) चूंकि $\alpha$ और $\beta$ समीकरण $5x^{2} + 6x - 2 = 0$ के मूल हैं,इसलिए वे समीकरण को संतुष्ट करते हैं।
$5\alpha^{2} + 6\alpha - 2 = 0 \implies 5\alpha^{n+2} + 6\alpha^{n+1} - 2\alpha^{n} = 0$ ($\alpha^{n}$ से गुणा करने पर)।
इसी प्रकार,$5\beta^{n+2} + 6\beta^{n+1} - 2\beta^{n} = 0$।
इन दोनों समीकरणों को जोड़ने पर,हमें $5(\alpha^{n+2} + \beta^{n+2}) + 6(\alpha^{n+1} + \beta^{n+1}) - 2(\alpha^{n} + \beta^{n}) = 0$ प्राप्त होता है।
यह $5S_{n+2} + 6S_{n+1} - 2S_{n} = 0$ में सरल हो जाता है।
$n = 4$ के लिए,$5S_{6} + 6S_{5} - 2S_{4} = 0$,जिसका अर्थ है $5S_{6} + 6S_{5} = 2S_{4}$।

(B) $R^{-1}$ का प्रांत,संबंध $R$ का परिसर (range) होता है। $R$ का परिसर उन सभी संभावित पूर्णांक $y$ के मानों का संग्रह है जिनके लिए कम से कम एक पूर्णांक $x$ ऐसा मौजूद हो जो $x^{2} + 3y^{2} \leq 8$ को संतुष्ट करे।
असमिका $3y^{2} \leq 8 - x^{2}$ दी गई है,चूँकि $x^{2} \geq 0$,इसलिए $3y^{2} \leq 8$ होना चाहिए,जिसका अर्थ है $y^{2} \leq \frac{8}{3} \approx 2.66$.
चूँकि $y$ एक पूर्णांक होना चाहिए,इसलिए $y$ के संभावित मान $y \in \{-1, 0, 1\}$ हैं।
आइए इन मानों की जाँच करें:
यदि $y = 0$ है,तो $x^{2} \leq 8 \Rightarrow x \in \{-2, -1, 0, 1, 2\}$.
यदि $y = 1$ है,तो $x^{2} + 3(1)^{2} \leq 8 \Rightarrow x^{2} \leq 5 \Rightarrow x \in \{-2, -1, 0, 1, 2\}$.
यदि $y = -1$ है,तो $x^{2} + 3(-1)^{2} \leq 8 \Rightarrow x^{2} \leq 5 \Rightarrow x \in \{-2, -1, 0, 1, 2\}$.
अतः,$y$ के सभी संभावित मानों का समुच्चय $\{-1, 0, 1\}$ है।
इसलिए,$R^{-1}$ का प्रांत $\{-1, 0, 1\}$ है।

(D) माना $G.P.$ के तीन पद $\frac{a}{r}, a, ar$ हैं।
दिया गया है कि गुणनफल $27$ है,अतः $\frac{a}{r} \times a \times ar = 27$ $\Rightarrow a^3 = 27$ $\Rightarrow a = 3$.
योग $S = \frac{3}{r} + 3 + 3r = 3(\frac{1}{r} + r + 1)$.
स्थिति $1$: यदि $r > 0$ है,तो $AM \geq GM$ द्वारा,$\frac{1}{r} + r \geq 2$. अतः,$S = 3(\frac{1}{r} + r + 1) \geq 3(2 + 1) = 9$.
स्थिति $2$: यदि $r < 0$ है,तो $r = -k$ लें जहाँ $k > 0$ है। तब $\frac{1}{r} + r = -(\frac{1}{k} + k) \leq -2$. अतः,$S = 3(\frac{1}{r} + r + 1) \leq 3(-2 + 1) = -3$.
अतः,$S \in (-\infty, -3] \cup [9, \infty)$.

(B) रेखा $2x - y = 0$ की ढाल $2$ है। चूंकि स्पर्श रेखा इस रेखा के समानांतर है,इसलिए इसकी ढाल $m = 2$ है।
अतिपरवलय $\frac{x^{2}}{4} - \frac{y^{2}}{2} = 1$ के बिंदु $(x_{1}, y_{1})$ पर स्पर्श रेखा का समीकरण $\frac{xx_{1}}{4} - \frac{yy_{1}}{2} = 1$ है।
इस स्पर्श रेखा की ढाल $\frac{x_{1}/4}{y_{1}/2} = \frac{x_{1}}{2y_{1}}$ है।
ढाल की तुलना करने पर: $\frac{x_{1}}{2y_{1}} = 2 \Rightarrow x_{1} = 4y_{1} \quad (1)$.
चूंकि $(x_{1}, y_{1})$ अतिपरवलय पर स्थित है,इसलिए $\frac{x_{1}^{2}}{4} - \frac{y_{1}^{2}}{2} = 1 \quad (2)$.
$(1)$ को $(2)$ में प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{(4y_{1})^{2}}{4} - \frac{y_{1}^{2}}{2} = 1 \Rightarrow 4y_{1}^{2} - \frac{y_{1}^{2}}{2} = 1$.
$\frac{7y_{1}^{2}}{2} = 1 \Rightarrow y_{1}^{2} = \frac{2}{7}$.
अब,$x_{1}^{2} + 5y_{1}^{2} = (4y_{1})^{2} + 5y_{1}^{2} = 16y_{1}^{2} + 5y_{1}^{2} = 21y_{1}^{2}$.
$y_{1}^{2} = \frac{2}{7}$ रखने पर: $21 \times \frac{2}{7} = 3 \times 2 = 6$.

(C) दिया गया सीमा: $\lim_{x \rightarrow 1} \frac{x+x^{2}+\ldots+x^{n}-n}{x-1}=820$
अंश को प्रत्येक पद से $1$ घटाकर पुनर्व्यवस्थित करने पर: $\lim_{x \rightarrow 1} \left(\frac{x-1}{x-1} + \frac{x^{2}-1}{x-1} + \ldots + \frac{x^{n}-1}{x-1}\right) = 820$
मानक सीमा सूत्र $\lim_{x \rightarrow a} \frac{x^{n}-a^{n}}{x-a} = na^{n-1}$ का उपयोग करने पर,जब $x \rightarrow 1$ होता है तो प्रत्येक पद $k$ हो जाता है: $\sum_{k=1}^{n} k = 820$
प्रथम $n$ प्राकृतिक संख्याओं का योग $\frac{n(n+1)}{2} = 820$ होता है।
$\Rightarrow n(n+1) = 1640$
$\Rightarrow n^{2}+n-1640 = 0$
द्विघात समीकरण को हल करने पर,हमें $n(n+1) = 40 \times 41$ प्राप्त होता है।
चूंकि $n \in N$,इसलिए $n = 40$।

(D) $MOTHER$ शब्द के अक्षरों को वर्णानुक्रम में व्यवस्थित करने पर: $E, H, M, O, R, T$ प्राप्त होते हैं।
$E$ से शुरू होने वाले शब्द: $5! = 120$
$H$ से शुरू होने वाले शब्द: $5! = 120$
$ME$ से शुरू होने वाले शब्द: $4! = 24$
$MH$ से शुरू होने वाले शब्द: $4! = 24$
$MOE$ से शुरू होने वाले शब्द: $3! = 6$
$MOH$ से शुरू होने वाले शब्द: $3! = 6$
$MOR$ से शुरू होने वाले शब्द: $3! = 6$
$MOTE$ से शुरू होने वाले शब्द: $2! = 2$
$MOTHER$ शब्द का स्थान: $1$
कुल रैंक = $120 + 120 + 24 + 24 + 6 + 6 + 6 + 2 + 1 = 309$.

(A) दिया गया वृत्त $x^{2} + y^{2} - 2x - 4y + 4 = 0$ है।
पूर्ण वर्ग बनाने पर,$(x - 1)^{2} + (y - 2)^{2} = 1$ प्राप्त होता है।
अतः,केंद्र $(1, 2)$ है और त्रिज्या $r = 1$ है।
रेखा $3x + 4y - k = 0$ के वृत्त को दो भिन्न बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करने के लिए,केंद्र से रेखा की लंबवत दूरी त्रिज्या से कम होनी चाहिए।
दूरी $d = \frac{|3(1) + 4(2) - k|}{\sqrt{3^{2} + 4^{2}}} < 1$.
$\frac{|11 - k|}{5} < 1$.
$|11 - k| < 5$.
$-5 < 11 - k < 5$.
$-16 < -k < -6$.
$6 < k < 16$.
$k$ के पूर्णांक मान $7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15$ हैं।
ऐसे मानों की कुल संख्या $9$ है।

(C) माना परवलय $y^2 = 8x$ है। इसका शीर्ष $O(0,0)$ पर है।
माना समबाहु त्रिभुज $OAB$ है, जहाँ $A$ और $B$ परवलय पर स्थित हैं।
माना $A$ के निर्देशांक $(2t^2, 4t)$ हैं, जहाँ $t > 0$ है।
चूंकि त्रिभुज समबाहु है और $x$-अक्ष के सापेक्ष सममित है, इसलिए $B$ के निर्देशांक $(2t^2, -4t)$ होंगे।
त्रिभुज की भुजा की लंबाई $AB = 4t - (-4t) = 8t$ है।
कोण $\angle AOx = 30^{\circ}$ है क्योंकि त्रिभुज समबाहु है और $x$-अक्ष शीर्ष पर बने कोण को समद्विभाजित करता है।
अतः, $\tan 30^{\circ} = \frac{4t}{2t^2} = \frac{2}{t}$ है।
चूंकि $\tan 30^{\circ} = \frac{1}{\sqrt{3}}$, इसलिए $\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{2}{t}$, जिससे $t = 2\sqrt{3}$ प्राप्त होता है।
भुजा की लंबाई $s = 8t = 8(2\sqrt{3}) = 16\sqrt{3}$ है।
समबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल $\frac{\sqrt{3}}{4} s^2$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
क्षेत्रफल $= \frac{\sqrt{3}}{4} (16\sqrt{3})^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} (256 \times 3) = \frac{\sqrt{3}}{4} (768) = 192\sqrt{3}$ वर्ग इकाई।

(C) नीली रेखाओं की संख्या $n$ स्टेशनों द्वारा निर्मित बहुभुज की भुजाओं की संख्या के बराबर है,जो $n$ है।
किन्हीं दो स्टेशनों को जोड़ने के कुल तरीकों की संख्या संचय सूत्र ${}^{n}C_{2}$ द्वारा दी जाती है।
लाल रेखाओं की संख्या कुल कनेक्शनों में से नीली रेखाओं (भुजाओं) की संख्या को घटाकर प्राप्त होती है,जो विकर्णों की संख्या है: ${}^{n}C_{2} - n$.
प्रश्न के अनुसार,लाल रेखाओं की संख्या नीली रेखाओं की संख्या की $99$ गुनी है:
${}^{n}C_{2} - n = 99n$
${}^{n}C_{2}$ के लिए सूत्र प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{n(n-1)}{2} - n = 99n$
दोनों पक्षों को $n$ से विभाजित करने पर (चूंकि $n > 2$):
$\frac{n-1}{2} - 1 = 99$
$\frac{n-1}{2} = 100$
$n - 1 = 200$
$n = 201$

(C) मान लीजिए द्विघात बहुपद $f(x) = a(x - 3)(x - \alpha)$ है,जहाँ $\alpha$ दूसरा मूल है।
दिया है $f(2) = a(2 - 3)(2 - \alpha) = a(-1)(2 - \alpha) = a(\alpha - 2)$.
दिया है $f(-1) = a(-1 - 3)(-1 - \alpha) = a(-4)(-1 - \alpha) = 4a(1 + \alpha)$.
चूँकि $f(-1) + f(2) = 0$,इसलिए $4a(1 + \alpha) + a(\alpha - 2) = 0$.
चूँकि $a \neq 0$,हम $a$ से विभाजित कर सकते हैं: $4 + 4\alpha + \alpha - 2 = 0$.
$5\alpha + 2 = 0$ $\Rightarrow 5\alpha = -2$ $\Rightarrow \alpha = -\frac{2}{5} = -0.4$.
अतः,दूसरा मूल $\alpha = -0.4$ अंतराल $(-1, 0)$ में स्थित है।

(B) $A.P.$ के प्रथम $11$ पदों का योग $0$ है:
$S_{11} = \frac{11}{2}(2a_{1} + 10d) = 0$
$11(a_{1} + 5d) = 0 \Rightarrow a_{1} = -5d$ या $d = -\frac{a_{1}}{5}$.
हमें $A.P.$ $a_{1}, a_{3}, a_{5}, \ldots, a_{23}$ का योग ज्ञात करना है।
यह $12$ पदों वाली एक $A.P.$ है,जिसका प्रथम पद $A = a_{1}$ और सार्व अंतर $D = 2d$ है।
योग $= \frac{12}{2}(2A + (12-1)D) = 6(2a_{1} + 11(2d)) = 6(2a_{1} + 22d)$.
$d = -\frac{a_{1}}{5}$ रखने पर:
योग $= 6(2a_{1} + 22(-\frac{a_{1}}{5})) = 6(2a_{1} - \frac{22a_{1}}{5}) = 6(\frac{10a_{1} - 22a_{1}}{5}) = 6(-\frac{12a_{1}}{5}) = -\frac{72}{5}a_{1}$.
अतः,$k = -\frac{72}{5}$.

(A) माना $z = (3+2 \sqrt{-54})^{1/2} - (3-2 \sqrt{-54})^{1/2}$.
यहाँ,$\sqrt{-54} = 3\sqrt{6}i$ है।
$(3+2\sqrt{-54})^{1/2} = \pm(3+\sqrt{6}i)$ और $(3-2\sqrt{-54})^{1/2} = \pm(3-\sqrt{6}i)$ प्राप्त होता है।
अतः,व्यंजक के संभावित मान $\pm 2\sqrt{6}i$ या $\pm 6$ हैं।
इसलिए,काल्पनिक भाग $2\sqrt{6}$ या $-2\sqrt{6}$ हो सकता है।

(D) दिया गया सीमा $1^{\infty}$ के रूप में है।
हम सूत्र $\lim \limits_{x \rightarrow a} f(x)^{g(x)} = e^{\lim \limits_{x \rightarrow a} g(x)(f(x)-1)}$ का उपयोग करते हैं।
यहाँ,$f(x) = \tan(\frac{\pi}{4} + x)$ और $g(x) = \frac{1}{x}$ है।
$\lim \limits_{x \rightarrow 0} \left(\tan \left(\frac{\pi}{4}+x\right)\right)^{\frac{1}{x}} = e^{\lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{1}{x} \left(\tan \left(\frac{\pi}{4}+x\right)-1\right)}$.
सर्वसमिका $\tan(A+B) = \frac{\tan A + \tan B}{1 - \tan A \tan B}$ का उपयोग करने पर,$\tan(\frac{\pi}{4}+x) = \frac{1+\tan x}{1-\tan x}$ प्राप्त होता है।
अतः,$\tan(\frac{\pi}{4}+x)-1 = \frac{1+\tan x - (1-\tan x)}{1-\tan x} = \frac{2\tan x}{1-\tan x}$।
इस प्रकार,घातांक $\lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{2\tan x}{x(1-\tan x)} = \lim \limits_{x \rightarrow 0} 2 \cdot \frac{\tan x}{x} \cdot \frac{1}{1-\tan x} = 2 \cdot 1 \cdot 1 = 2$ हो जाता है।
अतः,सीमा का मान $e^{2}$ है।

(B) अतिपरवलय का समीकरण: $x^{2} - y^{2} \sec^{2} \theta = 10 \Rightarrow \frac{x^{2}}{10} - \frac{y^{2}}{10 \cos^{2} \theta} = 1.$
अतिपरवलय की उत्केंद्रता $e_{H} = \sqrt{1 + \cos^{2} \theta}.$
दीर्घवृत्त का समीकरण: $x^{2} \sec^{2} \theta + y^{2} = 5 \Rightarrow \frac{x^{2}}{5 \cos^{2} \theta} + \frac{y^{2}}{5} = 1.$
दीर्घवृत्त की उत्केंद्रता $e_{E} = \sqrt{1 - \cos^{2} \theta} = \sin \theta.$
दिया है $e_{H} = \sqrt{5} e_{E} \Rightarrow \sqrt{1 + \cos^{2} \theta} = \sqrt{5} \sin \theta.$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $1 + \cos^{2} \theta = 5 \sin^{2} \theta = 5(1 - \cos^{2} \theta).$
$6 \cos^{2} \theta = 4 \Rightarrow \cos^{2} \theta = \frac{2}{3}.$
दीर्घवृत्त के नाभिलंब की लंबाई $= \frac{2b^{2}}{a} = \frac{2(5 \cos^{2} \theta)}{\sqrt{5}} = \frac{4 \sqrt{5}}{3}.$

(A) यह निर्धारित करने के लिए कि कौन सा व्यंजक एक पुनरुक्ति है,हम सत्यता सारणी का मूल्यांकन करते हैं या तार्किक व्यंजकों को सरल बनाते हैं।
विकल्प $A$ के लिए: $(\sim p \wedge (p \vee q)) \rightarrow q$
वितरण नियम का उपयोग करते हुए: $(\sim p \wedge p) \vee (\sim p \wedge q) \rightarrow q$
चूंकि $(\sim p \wedge p) \equiv F$ (व्याघात),हमारे पास है: $F \vee (\sim p \wedge q) \rightarrow q$
यह सरल होकर बनता है: $(\sim p \wedge q) \rightarrow q$
निहितार्थ नियम $a \rightarrow b \equiv \sim a \vee b$ का उपयोग करते हुए: $\sim (\sim p \wedge q) \vee q$
डी मॉर्गन के नियम को लागू करने पर: $(p \vee \sim q) \vee q$
साहचर्य नियम द्वारा: $p \vee (\sim q \vee q)$
चूंकि $(\sim q \vee q) \equiv T$ (पुनरुक्ति): $p \vee T \equiv T$
अतः,विकल्प $A$ एक पुनरुक्ति है।

(C) श्रेणी $S = \sum_{n=1}^{9} [x^n + (k + 2(n-1))a]$ द्वारा दी गई है।
योग का विस्तार करने पर,हमें $S = (x + x^2 + \ldots + x^9) + \sum_{n=1}^{9} (k + 2n - 2)a$ प्राप्त होता है।
गुणोत्तर श्रेणी का योग $\sum_{n=1}^{9} x^n = x \frac{x^9 - 1}{x - 1} = \frac{x^{10} - x}{x - 1}$ है।
अंकगणितीय भाग का योग $\sum_{n=0}^{8} (k + 2n)a = 9ka + 72a = a(9k + 72)$ है।
अतः,$S = \frac{x^{10} - x + (9k + 72)a(x - 1)}{x - 1}$ है।
दिए गए $S = \frac{x^{10} - x + 45a(x - 1)}{x - 1}$ से तुलना करने पर,$9k + 72 = 45$ प्राप्त होता है।
$9k = -27$,इसलिए $k = -3$।

(D) दो बिंदु $(x_1, y_1)$ और $(x_2, y_2)$ रेखा $ax+by+c=0$ के एक ही ओर स्थित होते हैं यदि व्यंजक $(ax_1+by_1+c)$ और $(ax_2+by_2+c)$ का चिह्न समान हो,अर्थात $(ax_1+by_1+c)(ax_2+by_2+c) > 0$ हो।
दी गई रेखा $x+y-1=0$ और बिंदु $(1, 2)$ तथा $(\sin \theta, \cos \theta)$ हैं।
सबसे पहले,$(1, 2)$ पर व्यंजक का मान ज्ञात करें:
$1+2-1 = 2$,जो धनात्मक है।
अतः,बिंदुओं के एक ही ओर स्थित होने के लिए,$(\sin \theta, \cos \theta)$ पर व्यंजक का मान भी धनात्मक होना चाहिए:
$\sin \theta + \cos \theta - 1 > 0$
$\Rightarrow \sin \theta + \cos \theta > 1$
$\sqrt{2}$ से भाग देने पर:
$\frac{1}{\sqrt{2}} \sin \theta + \frac{1}{\sqrt{2}} \cos \theta > \frac{1}{\sqrt{2}}$
$\Rightarrow \sin \left(\theta + \frac{\pi}{4}\right) > \sin \left(\frac{\pi}{4}\right)$
चूंकि $\theta \in (0, \pi)$,इसलिए $\theta + \frac{\pi}{4} \in \left(\frac{\pi}{4}, \frac{5\pi}{4}\right)$।
इस अंतराल में,$\sin \left(\theta + \frac{\pi}{4}\right) > \frac{1}{\sqrt{2}}$ तब होता है जब:
$\frac{\pi}{4} < \theta + \frac{\pi}{4} < \frac{3\pi}{4}$
सभी भागों से $\frac{\pi}{4}$ घटाने पर:
$0 < \theta < \frac{\pi}{2}$

(A) माना $a$ प्रथम पद है और $d$ सार्व अंतर है। चूँकि $A.P.$ वर्धमान है,$d > 0$ है।
पद $a, a+d, a+2d, \ldots, a+10d$ हैं।
माध्य $\bar{X} = a + 5d$ है।
प्रसरण $\sigma^2 = \frac{1}{11} \sum_{i=0}^{10} (a + id - (a + 5d))^2 = \frac{d^2}{11} \sum_{i=0}^{10} (i-5)^2$ है।
योगफल: $\sum_{i=0}^{10} (i-5)^2 = 110$ है।
अतः,$90 = \frac{d^2}{11} \times 110 = 10d^2$ है।
$d^2 = 9 \Rightarrow d = 3$ (क्योंकि $d > 0$ है)।

(D) $(1+\frac{1}{x})^n$ का विस्तार $\sum_{k=0}^{n} {}^{n}C_k x^{-k}$ है।
यहाँ तीन क्रमागत गुणांकों ${}^{n}C_{r-1}, {}^{n}C_r, {}^{n}C_{r+1}$ का अनुपात $2:5:12$ दिया गया है।
$\frac{{}^{n}C_{r-1}}{{}^{n}C_r} = \frac{2}{5} \Rightarrow 7r = 2n + 2$ (समीकरण $1$).
$\frac{{}^{n}C_r}{{}^{n}C_{r+1}} = \frac{5}{12} \Rightarrow 17r = 5n - 12$ (समीकरण $2$).
दोनों समीकरणों को हल करने पर,$n = 118$ प्राप्त होता है।

(A) परवलय $y^{2} = 4x$ है। $y^{2} = 4ax$ से तुलना करने पर,$a = 1$ प्राप्त होता है।
नाभिलंब की लंबाई $4a = 4(1) = 4$ है।
दोनों वृत्तों $C_{1}$ और $C_{2}$ की उभयनिष्ठ जीवा परवलय का नाभिलंब है,इसलिए इसकी लंबाई $4$ है।
माना $D$ नाभिलंब का एक अंतिम बिंदु है और $B$ उभयनिष्ठ जीवा का मध्य बिंदु है। अतः,$DB = \frac{4}{2} = 2$ है।
माना $r$ वृत्तों की त्रिज्या है,$r = 2\sqrt{5}$ है।
त्रिज्या,केंद्र से जीवा तक की दूरी और जीवा की आधी लंबाई द्वारा निर्मित समकोण त्रिभुज में,माना $x$ वृत्त के केंद्र से उभयनिष्ठ जीवा तक की दूरी है।
$x^{2} + DB^{2} = r^{2}$
$x^{2} + 2^{2} = (2\sqrt{5})^{2}$
$x^{2} + 4 = 20$
$x^{2} = 16 \implies x = 4$ है।
केंद्रों $C_{1}$ और $C_{2}$ के बीच की दूरी $x + x = 4 + 4 = 8$ है।

(C) कुल $5-\text{अंकीय}$ संख्याओं की संख्या $9 \times 10^{4}$ है।
स्थिति $1$: चुने गए दोनों अंक शून्येतर हैं।
${1, 2, \dots, 9}$ में से $2$ अंक चुनने के तरीके $^{9}C_{2} = 36$ हैं।
प्रत्येक चयन के लिए,दोनों अंकों का उपयोग करने वाली $5-\text{अंकीय}$ संख्याओं की संख्या $2^{5} - 2 = 30$ है।
स्थिति $1$ के लिए कुल $= 36 \times 30 = 1080$ है।
स्थिति $2$: एक अंक शून्य है और दूसरा शून्येतर है।
${1, 2, \dots, 9}$ में से $1$ शून्येतर अंक चुनने के तरीके $^{9}C_{1} = 9$ हैं।
पहला अंक शून्येतर होना चाहिए ($1$ तरीका),और शेष $4$ स्थानों को $0$ या चुने गए शून्येतर अंक द्वारा भरा जा सकता है,उस स्थिति को छोड़कर जहाँ सभी $4$ अंक शून्येतर हों। यह $2^{4} - 1 = 15$ तरीके देता है।
स्थिति $2$ के लिए कुल $= 9 \times 15 = 135$ है।
कुल अनुकूल परिणाम $= 1080 + 135 = 1215$ है।
प्रायिकता $= \frac{1215}{9 \times 10^{4}} = \frac{135}{10^{4}}$।

(C) माना लंबकेंद्र $H(x_0, y_0)$ है।
$BC$ की ढाल $m_{BC} = \frac{-5-1}{5-(-7)} = \frac{-6}{12} = -\frac{1}{2}$ है।
चूंकि $AH \perp BC$,इसलिए $AH$ की ढाल $m_{AH} = -\frac{1}{m_{BC}} = 2$ है।
$A(-1, 7)$ से गुजरने वाले शीर्षलंब $AH$ का समीकरण $y - 7 = 2(x + 1)$ है,जो $2x - y + 9 = 0$ में सरल हो जाता है ... $(1)$।
$AC$ की ढाल $m_{AC} = \frac{-5-7}{5-(-1)} = \frac{-12}{6} = -2$ है।
चूंकि $BH \perp AC$,इसलिए $BH$ की ढाल $m_{BH} = -\frac{1}{m_{AC}} = \frac{1}{2}$ है।
$B(-7, 1)$ से गुजरने वाले शीर्षलंब $BH$ का समीकरण $y - 1 = \frac{1}{2}(x + 7)$ है,जो $x - 2y + 9 = 0$ में सरल हो जाता है ... $(2)$।
समीकरण $(1)$ और $(2)$ को हल करने पर:
$(1)$ से,$y = 2x + 9$। इसे $(2)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$x - 2(2x + 9) + 9 = 0$
$x - 4x - 18 + 9 = 0$
$-3x - 9 = 0 \Rightarrow x = -3$।
तब $y = 2(-3) + 9 = 3$।
अतः,लंबकेंद्र $(-3, 3)$ है।

(A) दिया गया समीकरण निकाय समघात है:
$7x + 6y - 2z = 0 \dots (1)$
$3x + 4y + 2z = 0 \dots (2)$
$x - 2y - 6z = 0 \dots (3)$
सबसे पहले,हम गुणांक आव्यूह का सारणिक $\Delta$ ज्ञात करते हैं:
$\Delta = \begin{vmatrix} 7 & 6 & -2 \\ 3 & 4 & 2 \\ 1 & -2 & -6 \end{vmatrix}$
$= 7(-24 + 4) - 6(-18 - 2) - 2(-6 - 4)$
$= 7(-20) - 6(-20) - 2(-10) = -140 + 120 + 20 = 0$
चूंकि $\Delta = 0$,निकाय के अनंत हल हैं।
समीकरण $(1)$ और $(2)$ को जोड़ने पर:
$10x + 10y = 0 \Rightarrow y = -x$
समीकरण $(1)$ में $y = -x$ रखने पर:
$7x + 6(-x) - 2z = 0$
$x - 2z = 0 \Rightarrow x = 2z$
अतः,हल $x = 2z$ को संतुष्ट करते हैं।

(D) दिया गया है $x = 2 \sin \theta - \sin 2 \theta$ और $y = 2 \cos \theta - \cos 2 \theta$।
सबसे पहले,$\theta$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dx}{d\theta} = 2 \cos \theta - 2 \cos 2 \theta = 4 \sin \frac{3\theta}{2} \sin \frac{\theta}{2}$.
$\frac{dy}{d\theta} = -2 \sin \theta + 2 \sin 2 \theta = 4 \cos \frac{3\theta}{2} \sin \frac{\theta}{2}$.
अब,$\frac{dy}{dx} = \frac{dy/d\theta}{dx/d\theta} = \frac{4 \cos(3\theta/2) \sin(\theta/2)}{4 \sin(3\theta/2) \sin(\theta/2)} = \cot \frac{3\theta}{2}$.
अब,$\frac{dy}{dx}$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{d}{d\theta} \left( \cot \frac{3\theta}{2} \right) \cdot \frac{d\theta}{dx} = -\frac{3}{2} \csc^2 \frac{3\theta}{2} \cdot \frac{1}{dx/d\theta}$.
$\theta = \pi$ पर,$\frac{dx}{d\theta} = 2 \cos \pi - 2 \cos 2 \pi = -4$.
अतः,$\frac{d^2y}{dx^2} = -\frac{3}{2} \csc^2 \frac{3\pi}{2} \cdot \frac{1}{-4} = \frac{3}{8}$.

(B) यह क्षेत्र $x = \frac{1}{2}$ और $x = \frac{\sqrt{3}}{2}$ के बीच स्थित है। इस अंतराल में,$f(x) = 1-x$ और $g(x) = (x-\frac{1}{2})^2$ है।
क्षेत्रफल $A$ समाकलन द्वारा प्राप्त होता है:
$A = \int_{1/2}^{\sqrt{3}/2} (f(x) - g(x)) dx$
$A = \int_{1/2}^{\sqrt{3}/2} ((1-x) - (x-\frac{1}{2})^2) dx$
माना $u = x - \frac{1}{2}$,तब $du = dx$. जब $x = 1/2, u = 0$. जब $x = \sqrt{3}/2, u = \frac{\sqrt{3}-1}{2}$.
$A = \int_{0}^{(\sqrt{3}-1)/2} (1/2 - u - u^2) du$
$A = [\frac{1}{2}u - \frac{u^2}{2} - \frac{u^3}{3}]_{0}^{(\sqrt{3}-1)/2}$
ऊपरी सीमा रखने पर:
$A = \frac{\sqrt{3}}{4} - \frac{1}{3}$.

(B) प्रायिकता वितरण में सभी प्रायिकताओं का योग $1$ होता है।
$\sum P(X) = 1 \Rightarrow K^2 + 2K + K + 2K + 5K^2 = 1$
$6K^2 + 5K - 1 = 0$
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर: $(6K - 1)(K + 1) = 0$
इससे $K = \frac{1}{6}$ या $K = -1$ प्राप्त होता है।
चूंकि प्रायिकता $P(X)$ ऋणात्मक नहीं हो सकती,इसलिए $K = -1$ को अस्वीकार करते हैं। अतः $K = \frac{1}{6}$ है।
हमें $P(X > 2) = P(X = 3) + P(X = 4) + P(X = 5)$ ज्ञात करना है।
$P(X > 2) = K + 2K + 5K^2 = 3K + 5K^2$.
$K = \frac{1}{6}$ रखने पर:
$P(X > 2) = 3(\frac{1}{6}) + 5(\frac{1}{6})^2 = \frac{1}{2} + \frac{5}{36} = \frac{18}{36} + \frac{5}{36} = \frac{23}{36}$.

(A) दिया गया है $F(x) = \int_{1}^{x} t^{2} g(t) dt$. कलन के मूलभूत प्रमेय के अनुसार,$F'(x) = x^{2} g(x) = x^{2} \int_{1}^{x} f(u) du$.
$x=1$ पर,$F'(1) = 1^{2} \int_{1}^{1} f(u) du = 0$. अतः,$x=1$ एक क्रांतिक बिंदु है।
अब,द्वितीय अवकलज ज्ञात करें: $F''(x) = \frac{d}{dx} [x^{2} g(x)] = x^{2} g'(x) + 2x g(x)$.
चूँकि $g(t) = \int_{1}^{t} f(u) du$,इसलिए $g'(t) = f(t)$.
अतः,$F''(x) = x^{2} f(x) + 2x \int_{1}^{x} f(u) du$.
$x=1$ पर मान रखने पर: $F''(1) = 1^{2} f(1) + 2(1) \int_{1}^{1} f(u) du = f(1) + 0 = 3$.
चूँकि $F'(1) = 0$ और $F''(1) = 3 > 0$,द्वितीय अवकलज परीक्षण के अनुसार,$x=1$ स्थानीय निम्निष्ठ का बिंदु है।

(C) $10$ अलग-अलग गेंदों को $4$ अलग-अलग बक्सों में रखने के कुल तरीके $4^{10}$ हैं।
उन तरीकों की संख्या जिनमें दो बक्सों में क्रमशः $2$ और $3$ गेंदें हों:
$1$. $4$ में से $2$ बक्सों का चयन करें: $P(4, 2) = 12$ तरीके।
$2$. $10$ गेंदों में से $2$ और $3$ गेंदों का चयन करें: $\binom{10}{2} \times \binom{8}{3} = 2520$ तरीके।
$3$. शेष $5$ गेंदों को शेष $2$ बक्सों में $2^5 = 32$ तरीकों से रखा जा सकता है।
कुल अनुकूल तरीके $= 12 \times 2520 \times 32 = 967680$।
प्रायिकता $= \frac{967680}{4^{10}} = \frac{945}{2^{10}}$।

(D) दिया गया अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} = \frac{xy}{x^2 + y^2}$ है।
$y = vx$ रखने पर,$\frac{dy}{dx} = v + x \frac{dv}{dx}$ प्राप्त होता है।
समीकरण में मान रखने पर: $v + x \frac{dv}{dx} = \frac{x(vx)}{x^2 + v^2 x^2} = \frac{v}{1 + v^2}$।
$x \frac{dv}{dx} = \frac{v}{1 + v^2} - v = \frac{v - v - v^3}{1 + v^2} = -\frac{v^3}{1 + v^2}$।
चरों को अलग करने पर: $\int \frac{1 + v^2}{v^3} dv = -\int \frac{dx}{x}$।
$\int (v^{-3} + v^{-1}) dv = -\int \frac{dx}{x}$।
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $-\frac{1}{2v^2} + \ln|v| = -\ln|x| + C$।
$v = \frac{y}{x}$ रखने पर: $-\frac{x^2}{2y^2} + \ln|\frac{y}{x}| = -\ln|x| + C$।
$-\frac{x^2}{2y^2} + \ln|y| - \ln|x| = -\ln|x| + C \implies -\frac{x^2}{2y^2} + \ln|y| = C$।
$y(1) = 1$ का उपयोग करने पर: $-\frac{1^2}{2(1)^2} + \ln(1) = C \implies C = -\frac{1}{2}$।
समीकरण $-\frac{x^2}{2y^2} + \ln|y| = -\frac{1}{2}$ है।
$y = e$ के लिए: $-\frac{x^2}{2e^2} + \ln(e) = -\frac{1}{2} \implies -\frac{x^2}{2e^2} + 1 = -\frac{1}{2}$।
$-\frac{x^2}{2e^2} = -\frac{3}{2} \implies x^2 = 3e^2 \implies x = \sqrt{3}e$।

(C) दिया गया सारणिक $f(x) = \begin{vmatrix} x+a & x+2 & x+1 \\ x+b & x+3 & x+2 \\ x+c & x+4 & x+3 \end{vmatrix}$ है।
पंक्ति संक्रिया $R_1 \rightarrow R_1 + R_3 - 2R_2$ लागू करने पर:
पहली पंक्ति इस प्रकार हो जाती है:
$(x+a) + (x+c) - 2(x+b) = x+a+x+c-2x-2b = a-2b+c = 1$.
$(x+2) + (x+4) - 2(x+3) = 2x+6-2x-6 = 0$.
$(x+1) + (x+3) - 2(x+2) = 2x+4-2x-4 = 0$.
अतः,$f(x) = \begin{vmatrix} 1 & 0 & 0 \\ x+b & x+3 & x+2 \\ x+c & x+4 & x+3 \end{vmatrix}$ है।
पहली पंक्ति के अनुदिश विस्तार करने पर:
$f(x) = 1 \cdot ((x+3)(x+3) - (x+2)(x+4)) = (x^2+6x+9) - (x^2+6x+8) = 1$.
चूंकि सभी $x$ के लिए $f(x) = 1$ है,इसलिए $f(50) = 1$।

(C) दिया गया है कि $f \circ g$ एक तत्समक फलन है,इसलिए सभी $x \in R$ के लिए $f(g(x)) = x$ है।
श्रृंखला नियम (chain rule) का उपयोग करते हुए दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$f^{\prime}(g(x)) \cdot g^{\prime}(x) = 1$.
हमें दिया गया है कि $g(a) = b$ और $g^{\prime}(a) = 5$ है।
अवकलित समीकरण में $x = a$ रखने पर:
$f^{\prime}(g(a)) \cdot g^{\prime}(a) = 1$.
ज्ञात मानों $g(a) = b$ और $g^{\prime}(a) = 5$ को प्रतिस्थापित करने पर:
$f^{\prime}(b) \cdot 5 = 1$.
अतः,$f^{\prime}(b) = 1/5$.

(C) दिया गया है कि $\vec{b} \cdot \vec{c} = |\vec{b}| |\vec{c}| \cos(\frac{\pi}{3}) = 10$.
चूंकि $|\vec{b}| = 5$,इसलिए $5 |\vec{c}| (\frac{1}{2}) = 10$,जिसका अर्थ है कि $|\vec{c}| = 4$.
अब,सदिश गुणन का परिमाण $|\vec{b} \times \vec{c}| = |\vec{b}| |\vec{c}| \sin(\frac{\pi}{3}) = 5 \times 4 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 10\sqrt{3}$ है।
चूंकि $\vec{a}$,$\vec{b} \times \vec{c}$ के लंबवत है,इसलिए $\vec{a}$ और $\vec{b} \times \vec{c}$ के बीच का कोण $\frac{\pi}{2}$ है।
अतः,$|\vec{a} \times (\vec{b} \times \vec{c})| = |\vec{a}| |\vec{b} \times \vec{c}| \sin(\frac{\pi}{2}) = \sqrt{3} \times 10\sqrt{3} \times 1 = 30$.

(B) दो रेखाओं को समाहित करने वाले समतल का अभिलंब सदिश $\vec{n}$,रेखाओं के दिशा सदिशों $\vec{v_1} = (2, 4, 3)$ और $\vec{v_2} = (2, 6, \lambda)$ के लंबवत होना चाहिए।
अतः,$\vec{n} = \vec{v_1} \times \vec{v_2} = (4\lambda - 18, 6 - 2\lambda, 4)$.
रेखाओं के समतलीय होने के लिए,बिंदुओं $(-1, 3, -1)$ और $(-3, -2, 1)$ को जोड़ने वाला सदिश $\vec{a} = (-2, -5, 2)$,$\vec{n}$ के लंबवत होना चाहिए।
अतः,$\vec{a} \cdot \vec{n} = -2(4\lambda - 18) - 5(6 - 2\lambda) + 2(4) = 2\lambda + 14 = 0$,जिससे $\lambda = -7$ प्राप्त होता है।
$\lambda = -7$ रखने पर,$\vec{n} = (-46, 20, 4)$,जिसे $-2$ से विभाजित करने पर $(23, -10, -2)$ प्राप्त होता है,जो दिए गए समतल के समानांतर है।
रेखाओं को समाहित करने वाला समतल $(-1, 3, -1)$ से गुजरता है,इसलिए इसका समीकरण $23x - 10y - 2z + 51 = 0$ है।
दोनों समतलों के बीच की दूरी $d = \frac{|51 - 48|}{\sqrt{23^2 + (-10)^2 + (-2)^2}} = \frac{3}{\sqrt{633}}$ है।
अतः $k = 3$ प्राप्त होता है।

(A) माना $P(A) = \frac{10}{20} = \frac{1}{2}$ और $P(B) = \frac{10}{20} = \frac{1}{2}$.
हम चाहते हैं कि दूसरा $A$,तीसरे $B$ से पहले आए।
इसका अर्थ है कि ड्रा के अनुक्रम में,दूसरे $A$ से पहले अधिकतम दो $B$ होने चाहिए।
संभावित अनुकूल अनुक्रम हैं:
$1$. $AA$: प्रायिकता $= (\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{4}$
$2$. $ABA, BAA$: प्रायिकता $= 2 \times (\frac{1}{2})^3 = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}$
$3$. $ABBA, BABA, BBAA$: प्रायिकता $= 3 \times (\frac{1}{2})^4 = \frac{3}{16}$
इन प्रायिकताओं का योग: $\frac{1}{4} + \frac{1}{4} + \frac{3}{16} = \frac{4}{16} + \frac{4}{16} + \frac{3}{16} = \frac{11}{16}$.

(D) माना $I = \int_{0}^{2 \pi} \frac{x \sin^{8} x}{\sin^{8} x + \cos^{8} x} dx$ है।
गुणधर्म $\int_{0}^{a} f(x) dx = \int_{0}^{a} f(a-x) dx$ का उपयोग करने पर:
$I = \int_{0}^{2 \pi} \frac{(2 \pi - x) \sin^{8}(2 \pi - x)}{\sin^{8}(2 \pi - x) + \cos^{8}(2 \pi - x)} dx = \int_{0}^{2 \pi} \frac{(2 \pi - x) \sin^{8} x}{\sin^{8} x + \cos^{8} x} dx$ प्राप्त होता है।
दोनों समीकरणों को जोड़ने पर:
$2I = \int_{0}^{2 \pi} \frac{2 \pi \sin^{8} x}{\sin^{8} x + \cos^{8} x} dx = 2 \pi \int_{0}^{2 \pi} \frac{\sin^{8} x}{\sin^{8} x + \cos^{8} x} dx$ मिलता है।
$I = \pi \int_{0}^{2 \pi} \frac{\sin^{8} x}{\sin^{8} x + \cos^{8} x} dx$।
गुणधर्म $\int_{0}^{2a} f(x) dx = 2 \int_{0}^{a} f(x) dx$ का उपयोग करने पर:
$I = 2 \pi \int_{0}^{\pi} \frac{\sin^{8} x}{\sin^{8} x + \cos^{8} x} dx = 4 \pi \int_{0}^{\pi/2} \frac{\sin^{8} x}{\sin^{8} x + \cos^{8} x} dx$।
अब $\int_{0}^{a} f(x) dx = \int_{0}^{a} f(a-x) dx$ का उपयोग करने पर:
$I = 4 \pi \int_{0}^{\pi/2} \frac{\cos^{8} x}{\cos^{8} x + \sin^{8} x} dx$।
दोनों को जोड़ने पर: $2I = 4 \pi \int_{0}^{\pi/2} 1 dx = 4 \pi \cdot \frac{\pi}{2} = 2 \pi^{2}$।
अतः,$I = \pi^{2}$।

(C) दिया गया है $f^{\prime}(x)=\tan^{-1}(\sec x+\tan x)$.
इनवर्स टेंजेंट के अंदर के व्यंजक को सरल करने पर:
$f^{\prime}(x)=\tan^{-1}\left(\frac{1+\sin x}{\cos x}\right) = \tan^{-1}\left(\frac{(\cos \frac{x}{2} + \sin \frac{x}{2})^2}{\cos^2 \frac{x}{2} - \sin^2 \frac{x}{2}}\right) = \tan^{-1}\left(\frac{\cos \frac{x}{2} + \sin \frac{x}{2}}{\cos \frac{x}{2} - \sin \frac{x}{2}}\right)$
अंश और हर को $\cos \frac{x}{2}$ से विभाजित करने पर:
$f^{\prime}(x)=\tan^{-1}\left(\frac{1+\tan \frac{x}{2}}{1-\tan \frac{x}{2}}\right) = \tan^{-1}\left(\tan(\frac{\pi}{4}+\frac{x}{2})\right)$
चूँकि $-\frac{\pi}{2} < x < \frac{\pi}{2}$,इसलिए $0 < \frac{\pi}{4}+\frac{x}{2} < \frac{\pi}{2}$,अतः $f^{\prime}(x) = \frac{\pi}{4} + \frac{x}{2}$.
$x$ के सापेक्ष समाकलन करने पर:
$f(x) = \int (\frac{\pi}{4} + \frac{x}{2}) dx = \frac{\pi}{4}x + \frac{x^2}{4} + C$.
चूँकि $f(0)=0$ दिया गया है,इसलिए $C=0$ प्राप्त होता है।
अतः,$f(x) = \frac{\pi x + x^2}{4}$.
$x=1$ के लिए,$f(1) = \frac{\pi(1) + (1)^2}{4} = \frac{\pi+1}{4}$.

(C) दिया गया है $A = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 2 \\ 1 & 3 & 4 \\ 1 & -1 & 3 \end{bmatrix}$.
सबसे पहले,$A$ का सारणिक ज्ञात करें:
$|A| = 1(9 + 4) - 1(3 - 4) + 2(-1 - 3) = 13 + 1 - 8 = 6$.
हमें $B = \operatorname{adj} A$ और $C = 3A$ दिया गया है। हमें $\frac{|\operatorname{adj} B|}{|C|}$ ज्ञात करना है।
चूंकि $B = \operatorname{adj} A$,इसलिए $\operatorname{adj} B = \operatorname{adj}(\operatorname{adj} A)$ होगा।
गुणधर्म $|\operatorname{adj} M| = |M|^{n-1}$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $n$ आव्यूह की कोटि है:
$|\operatorname{adj} B| = |\operatorname{adj}(\operatorname{adj} A)| = |A|^{(n-1)^2} = |A|^{(3-1)^2} = |A|^4$.
हर के लिए,$|C| = |3A| = 3^n |A| = 3^3 |A| = 27 |A|$.
अतः,$\frac{|\operatorname{adj} B|}{|C|} = \frac{|A|^4}{27 |A|} = \frac{|A|^3}{27}$.
$|A| = 6$ रखने पर:
$\frac{6^3}{27} = \frac{216}{27} = 8$.

(C) दिया गया है कि सभी $x \in (a, b)$ के लिए $f^{\prime}(x) > 0$ और $f^{\prime \prime}(x) < 0$ है,अतः फलन $f$ अंतराल $[a, b]$ पर निरंतर वर्धमान और अवतल (concave downwards) है।
मान लीजिए $m_1$ बिंदु $(a, f(a))$ और $(c, f(c))$ से गुजरने वाली छेदक रेखा की ढाल है,और $m_2$ बिंदु $(c, f(c))$ और $(b, f(b))$ से गुजरने वाली छेदक रेखा की ढाल है।
$m_1 = \frac{f(c)-f(a)}{c-a}$ और $m_2 = \frac{f(b)-f(c)}{b-c}$.
चूंकि फलन अवतल है,इसलिए जैसे-जैसे हम दाईं ओर बढ़ते हैं,छेदक रेखा की ढाल कम होती जाती है। इसलिए,$m_1 > m_2$.
$m_1$ और $m_2$ के व्यंजकों को प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{f(c)-f(a)}{c-a} > \frac{f(b)-f(c)}{b-c}$.
आवश्यक अनुपात को अलग करने के लिए पदों को व्यवस्थित करने पर:
$\frac{f(c)-f(a)}{f(b)-f(c)} > \frac{c-a}{b-c}$.

(A) तीनों समतलों के एक रेखा में प्रतिच्छेद करने के लिए,रैखिक समीकरणों के निकाय के अनंत हल होने चाहिए। यह तब होता है जब गुणांक आव्यूह का सारणिक $\Delta = 0$ हो और संवर्धित सारणिक $\Delta_x, \Delta_y, \Delta_z$ भी $0$ हों।
सबसे पहले,हम गुणांक आव्यूह का सारणिक निकालते हैं:
$\Delta = \begin{vmatrix} 1 & 4 & -2 \\ 1 & 7 & -5 \\ 1 & 5 & \alpha \end{vmatrix} = 1(7\alpha + 25) - 4(\alpha + 5) - 2(5 - 7) = 3\alpha + 9$.
$\Delta = 0$ रखने पर,हमें $3\alpha + 9 = 0$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $\alpha = -3$.
इसके बाद,निकाय के अनंत हल होने के लिए $\Delta_z = 0$ होना चाहिए:
$\Delta_z = \begin{vmatrix} 1 & 4 & 1 \\ 1 & 7 & \beta \\ 1 & 5 & 5 \end{vmatrix} = 1(35 - 5\beta) - 4(5 - \beta) + 1(5 - 7) = 13 - \beta$.
$\Delta_z = 0$ रखने पर,हमें $13 - \beta = 0$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $\beta = 13$.
$\alpha = -3$ और $\beta = 13$ के साथ,निकाय संगत है और एक रेखा को दर्शाता है। अतः,$\alpha + \beta = -3 + 13 = 10$.

(A) माना $I = \int \frac{dx}{(x+4)^{\frac{8}{7}}(x-3)^{\frac{6}{7}}}$.
हम समाकल्य को इस प्रकार लिख सकते हैं: $I = \int \frac{dx}{\left(\frac{x+4}{x-3}\right)^{\frac{8}{7}}(x-3)^{2}}$.
माना $t = \frac{x+4}{x-3}$. तब $dt = \frac{(x-3)(1) - (x+4)(1)}{(x-3)^2} dx = \frac{-7}{(x-3)^2} dx$,जिसका अर्थ है कि $\frac{dx}{(x-3)^2} = -\frac{1}{7} dt$.
इन मानों को समाकलन में प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है $I = \int \frac{1}{t^{\frac{8}{7}}} \left(-\frac{1}{7} dt\right) = -\frac{1}{7} \int t^{-\frac{8}{7}} dt$.
समाकलन करने पर,$I = -\frac{1}{7} \left( \frac{t^{-\frac{8}{7} + 1}}{-\frac{8}{7} + 1} \right) + C = -\frac{1}{7} \left( \frac{t^{-\frac{1}{7}}}{-\frac{1}{7}} \right) + C = t^{-\frac{1}{7}} + C$.
$t = \frac{x+4}{x-3}$ वापस रखने पर,हमें प्राप्त होता है $I = \left(\frac{x+4}{x-3}\right)^{-\frac{1}{7}} + C = \left(\frac{x-3}{x+4}\right)^{\frac{1}{7}} + C$.

(D) फलन $f(x)$ के $x = 0$ पर सतत होने के लिए, बायां सीमा $(LHL)$, दायां सीमा $(RHL)$ और $x = 0$ पर फलन का मान समान होना चाहिए।
$1$. बायां सीमा $(LHL)$:
$\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0} \left( \frac{\sin(a+2)x}{x} + \frac{\sin x}{x} \right) = (a+2) + 1 = a+3$.
$2$. दायां सीमा $(RHL)$:
$\lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0} \frac{(x+3x^2)^{1/3} - x^{1/3}}{x^{4/3}} = \lim_{x \to 0} \frac{x^{1/3}((1+3x)^{1/3} - 1)}{x^{4/3}} = \lim_{x \to 0} \frac{(1+3x)^{1/3} - 1}{x}$.
द्विपद विस्तार $(1+u)^n \approx 1 + nu$ का उपयोग करने पर:
$\lim_{x \to 0} \frac{(1 + \frac{1}{3}(3x)) - 1}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{1+x-1}{x} = 1$.
$3$. $x=0$ पर मान:
$f(0) = b$.
सांतत्य के लिए, $a+3 = b = 1$.
अतः, $a = -2$ और $b = 1$.
इसलिए, $a+2b = -2 + 2(1) = 0$.

(C) दिया गया है $f(x) = a + bx + cx^2$.
निश्चित समाकलन की गणना करने पर:
$\int_{0}^{1} (a + bx + cx^2) dx = [ax + \frac{bx^2}{2} + \frac{cx^3}{3}]_{0}^{1} = a + \frac{b}{2} + \frac{c}{3}$.
व्यंजक को सरल करने पर:
$a + \frac{b}{2} + \frac{c}{3} = \frac{6a + 3b + 2c}{6}$.
अब,विकल्प $C$ में दिए गए पदों का मान रखने पर:
$f(0) = a$.
$f(1) = a + b + c$.
$f(\frac{1}{2}) = a + \frac{b}{2} + \frac{c}{4}$.
इन मानों को $\frac{1}{6} \{f(0) + f(1) + 4f(\frac{1}{2})\}$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$= \frac{1}{6} \{a + (a + b + c) + 4(a + \frac{b}{2} + \frac{c}{4})\}$
$= \frac{1}{6} \{a + a + b + c + 4a + 2b + c\}$
$= \frac{1}{6} \{6a + 3b + 2c\} = a + \frac{b}{2} + \frac{c}{3}$.
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(D) दिया गया अवकल समीकरण $(x+1) dy = ((x+1)^{2} + y - 3) dx$ है।
पदों को व्यवस्थित करने पर,हमें $(x+1) dy - y dx = ((x+1)^{2} - 3) dx$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों को $(x+1)^{2}$ से विभाजित करने पर,हमें $\frac{(x+1) dy - y dx}{(x+1)^{2}} = \left(1 - \frac{3}{(x+1)^{2}}\right) dx$ प्राप्त होता है।
यह $d\left(\frac{y}{x+1}\right) = \left(1 - \frac{3}{(x+1)^{2}}\right) dx$ के बराबर है।
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर,$\frac{y}{x+1} = x + \frac{3}{x+1} + C$ प्राप्त होता है।
दिया गया है कि $y(2) = 0$,इसलिए $x=2$ और $y=0$ रखने पर: $0 = 2 + \frac{3}{3} + C \Rightarrow 0 = 3 + C \Rightarrow C = -3$।
अतः,हल $\frac{y}{x+1} = x + \frac{3}{x+1} - 3$ है।
$(x+1)$ से गुणा करने पर,$y = x(x+1) + 3 - 3(x+1) = x^{2} + x + 3 - 3x - 3 = x^{2} - 2x$ प्राप्त होता है।
$y(3)$ के लिए,$x=3$ रखने पर: $y(3) = 3^{2} - 2(3) = 9 - 6 = 3$।

(B) दिए गए सदिश $\overrightarrow{p}=(a+1) \hat{i}+a \hat{j}+a \hat{k}$,$\overrightarrow{q}=a \hat{i}+(a+1) \hat{j}+a \hat{k}$,और $\overrightarrow{r}=a \hat{i}+a \hat{j}+(a+1) \hat{k}$ हैं।
चूंकि $\overrightarrow{p}, \overrightarrow{q}, \overrightarrow{r}$ समतलीय हैं,उनका अदिश त्रिक गुणनफल शून्य होगा:
$\left|\begin{array}{ccc} a+1 & a & a \\ a & a+1 & a \\ a & a & a+1 \end{array}\right|=0$
$R_1 \to R_1+R_2+R_3$ लागू करने पर,$(3a+1) \left|\begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 \\ a & a+1 & a \\ a & a & a+1 \end{array}\right|=0$,जो सरल होकर $(3a+1)=0$ देता है,इसलिए $a = -\frac{1}{3}$.
अब,$\overrightarrow{p} \cdot \overrightarrow{q} = 3a^2+2a = 3(-\frac{1}{3})^2 + 2(-\frac{1}{3}) = \frac{1}{3} - \frac{2}{3} = -\frac{1}{3}$.
साथ ही,$|\overrightarrow{r}|^2 = |\overrightarrow{q}|^2 = 3a^2+2a+1 = 3(1/9) - 2/3 + 1 = 2/3$.
$\overrightarrow{r} \cdot \overrightarrow{q} = 3a^2+2a = -1/3$.
लाग्रेंज की सर्वसमिका का उपयोग करते हुए,$|\overrightarrow{r} \times \overrightarrow{q}|^2 = |\overrightarrow{r}|^2 |\overrightarrow{q}|^2 - (\overrightarrow{r} \cdot \overrightarrow{q})^2 = (2/3)(2/3) - (-1/3)^2 = 4/9 - 1/9 = 3/9 = 1/3$.
दिए गए समीकरण $3(\overrightarrow{p} \cdot \overrightarrow{q})^2 - \lambda |\overrightarrow{r} \times \overrightarrow{q}|^2 = 0$ में मान रखने पर,$3(-1/3)^2 - \lambda(1/3) = 0 \Rightarrow 3(1/9) - \lambda/3 = 0 \Rightarrow 1/3 = \lambda/3 \Rightarrow \lambda = 1$.

(A) माना बिंदु $P(1, -1, 3)$ और $Q(2, -4, 11)$ हैं। सदिश $\overrightarrow{PQ} = (2-1)\hat{i} + (-4 - (-1))\hat{j} + (11-3)\hat{k} = \hat{i} - 3\hat{j} + 8\hat{k}$ है।
माना रेखा पर स्थित बिंदु $A(-1, 2, 3)$ और $B(3, -2, 10)$ हैं। सदिश $\overrightarrow{AB} = (3 - (-1))\hat{i} + (-2-2)\hat{j} + (10-3)\hat{k} = 4\hat{i} - 4\hat{j} + 7\hat{k}$ है।
$\overrightarrow{AB}$ का परिमाण $|\overrightarrow{AB}| = \sqrt{4^2 + (-4)^2 + 7^2} = \sqrt{16 + 16 + 49} = \sqrt{81} = 9$ है।
$\overrightarrow{PQ}$ का $\overrightarrow{AB}$ पर प्रक्षेप सूत्र $\left| \frac{\overrightarrow{PQ} \cdot \overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}|} \right|$ द्वारा दिया जाता है।
अदिश गुणनफल की गणना करने पर: $\overrightarrow{PQ} \cdot \overrightarrow{AB} = (1)(4) + (-3)(-4) + (8)(7) = 4 + 12 + 56 = 72$ है।
अतः,प्रक्षेप $\left| \frac{72}{9} \right| = 8$ है।

(D) दिया गया है कि $f(x)$,$x=1$ और $x=3$ पर सतत है।
$x=1$ पर सांतत्य के लिए: $\lim_{x \rightarrow 1^{-}} f(x) = \lim_{x \rightarrow 1^{+}} f(x) \Rightarrow a e + b e^{-1} = c(1)^2 \Rightarrow a e + b/e = c \Rightarrow b = c e - a e^2 \quad (1)$.
$x=3$ पर सांतत्य के लिए: $\lim_{x \rightarrow 3^{-}} f(x) = \lim_{x \rightarrow 3^{+}} f(x) \Rightarrow c(3)^2 = a(3)^2 + 2c(3) \Rightarrow 9c = 9a + 6c \Rightarrow 3c = 9a \Rightarrow c = 3a \quad (2)$.
$(2)$ को $(1)$ में प्रतिस्थापित करने पर: $b = (3a)e - a e^2 = a(3e - e^2) \quad (3)$.
अब,$f^{\prime}(x) = \begin{cases} a e^x - b e^{-x}, & -1 < x < 1 \\ 2cx, & 1 < x < 3 \\ 2ax + 2c, & 3 < x < 4 \end{cases}$.
दिया गया है कि $f^{\prime}(0) + f^{\prime}(2) = e$.
$f^{\prime}(0) = a e^0 - b e^0 = a - b$.
$f^{\prime}(2) = 2c(2) = 4c$.
अतः,$a - b + 4c = e$.
$b = 3ae - ae^2$ और $c = 3a$ को समीकरण में रखने पर:
$a - (3ae - ae^2) + 4(3a) = e$.
$a - 3ae + ae^2 + 12a = e$.
$a(e^2 - 3e + 13) = e$.
इसलिए,$a = \frac{e}{e^2 - 3e + 13}$.

(A) माना $B_{1}$ वह घटना है कि बॉक्स-$I$ चुना गया है और $B_{2}$ वह घटना है कि बॉक्स-$II$ चुना गया है।
$P(B_{1}) = P(B_{2}) = \frac{1}{2}$.
माना $E$ वह घटना है कि चुना गया कार्ड एक अभाज्य संख्या नहीं है।
बॉक्स-$I$ में ($1$ से $30$ कार्ड),अभाज्य संख्याएँ $\{2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29\}$ ($10$ अभाज्य संख्याएँ) हैं। अतः,$30 - 10 = 20$ अभाज्य संख्याएँ नहीं हैं। इसलिए,$P(E|B_{1}) = \frac{20}{30} = \frac{2}{3}$.
बॉक्स-$II$ में ($31$ से $50$ कार्ड),अभाज्य संख्याएँ $\{31, 37, 41, 43, 47\}$ ($5$ अभाज्य संख्याएँ) हैं। अतः,$20 - 5 = 15$ अभाज्य संख्याएँ नहीं हैं। इसलिए,$P(E|B_{2}) = \frac{15}{20} = \frac{3}{4}$.
बेयस प्रमेय का उपयोग करते हुए,इस बात की प्रायिकता कि कार्ड बॉक्स-$I$ से निकाला गया था,यदि वह अभाज्य नहीं है:
$P(B_{1}|E) = \frac{P(B_{1})P(E|B_{1})}{P(B_{1})P(E|B_{1}) + P(B_{2})P(E|B_{2})}$
$P(B_{1}|E) = \frac{\frac{1}{2} \times \frac{2}{3}}{\frac{1}{2} \times \frac{2}{3} + \frac{1}{2} \times \frac{3}{4}} = \frac{\frac{1}{3}}{\frac{1}{3} + \frac{3}{8}} = \frac{\frac{1}{3}}{\frac{8+9}{24}} = \frac{1}{3} \times \frac{24}{17} = \frac{8}{17}$.

(B) दिए गए समीकरण $\frac{|x|}{2}+\frac{|y|}{3}=1$ (एक समचतुर्भुज) और $\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{9}=1$ (एक दीर्घवृत्त) हैं।
दीर्घवृत्त का क्षेत्रफल $A_{e} = \pi ab = \pi \times 2 \times 3 = 6\pi$ है।
क्षेत्र $\frac{|x|}{2}+\frac{|y|}{3}=1$ एक समचतुर्भुज को दर्शाता है जिसके शीर्ष $(\pm 2, 0)$ और $(0, \pm 3)$ हैं।
इस समचतुर्भुज का क्षेत्रफल $A_{r} = \frac{1}{2} \times d_{1} \times d_{2} = \frac{1}{2} \times 4 \times 6 = 12$ है।
वांछित क्षेत्रफल दीर्घवृत्त के अंदर लेकिन समचतुर्भुज के बाहर का क्षेत्र है,जो $A = A_{e} - A_{r} = 6\pi - 12 = 6(\pi - 2)$ है।

(C) रैखिक समीकरण निकाय का कोई हल न होने के लिए,गुणांक आव्यूह का सारणिक $D = 0$ होना चाहिए और क्रेमर के सारणिकों $(D_x, D_y, D_z)$ में से कम से कम एक शून्य के बराबर नहीं होना चाहिए।
सारणिक $D$ इस प्रकार है:
$D = \begin{vmatrix} 2 & -1 & 2 \\ 1 & -2 & \lambda \\ 1 & \lambda & 1 \end{vmatrix} = 2(-2 - \lambda^2) + 1(1 - \lambda) + 2(\lambda + 2) = -2\lambda^2 + \lambda + 1$
$D = 0$ रखने पर:
$-2\lambda^2 + \lambda + 1 = 0 \Rightarrow (2\lambda + 1)(\lambda - 1) = 0$
अतः,$\lambda = 1$ या $\lambda = -\frac{1}{2}$.
अब,इन मानों के लिए $D_x$ की जाँच करें:
$D_x = \begin{vmatrix} 2 & -1 & 2 \\ -4 & -2 & \lambda \\ 4 & \lambda & 1 \end{vmatrix} = -2\lambda^2 - 12\lambda + 8$
$\lambda = 1$ के लिए,$D_x = -6 \neq 0$.
$\lambda = -\frac{1}{2}$ के लिए,$D_x = 13.5 \neq 0$.
चूंकि दोनों मानों के लिए $D=0$ और $D_x \neq 0$ है,इसलिए निकाय का कोई हल नहीं है।
अतः,$S = \{1, -\frac{1}{2}\}$ है,जिसमें ठीक दो अवयव हैं।

(D) दिया गया है कि $A$ एक $2 \times 2$ आव्यूह है जिसके अवयव $\{0, 1\}$ से हैं और $|A| \neq 0$ है।
कथन $(P)$ के लिए: यदि $A \neq I_{2}$,तो $|A| = -1$ है।
मान लीजिए $A = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$। यहाँ $A \neq I_{2}$ है और $|A| = (1)(1) - (1)(0) = 1$ है।
चूंकि हमें एक ऐसा मामला मिला है जहाँ $A \neq I_{2}$ है लेकिन $|A| = 1$ है,इसलिए कथन $(P)$ असत्य है।
कथन $(Q)$ के लिए: यदि $|A| = 1$,तो $\operatorname{tr}(A) = 2$ है।
$\{0, 1\}$ से अवयव वाले $2 \times 2$ आव्यूह जिनके लिए $|A| = 1$ है,वे हैं:
$A_1 = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \implies \operatorname{tr}(A_1) = 1+1 = 2$
$A_2 = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \implies \operatorname{tr}(A_2) = 1+1 = 2$
$A_3 = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{bmatrix} \implies \operatorname{tr}(A_3) = 1+1 = 2$
सभी मामलों में जहाँ $|A| = 1$ है,ट्रेस $2$ है। अतः,कथन $(Q)$ सत्य है।
इसलिए,$(P)$ असत्य है और $(Q)$ सत्य है।

(D) दिया गया अवकल समीकरण: $\frac{2+\sin x}{y+1} \frac{dy}{dx} = -\cos x$.
चरों को अलग करने पर: $\frac{dy}{y+1} = \frac{-\cos x}{2+\sin x} dx$.
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\int \frac{dy}{y+1} = -\int \frac{\cos x}{2+\sin x} dx$.
इससे प्राप्त होता है: $\ln(y+1) = -\ln(2+\sin x) + C$.
प्रारंभिक शर्त $y(0) = 1$ का उपयोग करने पर: $\ln(1+1) = -\ln(2+\sin 0) + C \Rightarrow \ln 2 = -\ln 2 + C \Rightarrow C = 2\ln 2 = \ln 4$.
अतः,$\ln(y+1) = \ln\left(\frac{4}{2+\sin x}\right)$,जिसका अर्थ है $y+1 = \frac{4}{2+\sin x}$,या $y(x) = \frac{4}{2+\sin x} - 1$.
$x = \pi$ के लिए,$a = y(\pi) = \frac{4}{2+\sin \pi} - 1 = \frac{4}{2} - 1 = 1$.
अब,$x = \pi$ पर $b = \frac{dy}{dx}$ ज्ञात करते हैं: $\frac{dy}{dx} = \frac{-\cos x}{2+\sin x} (y+1) = \frac{-\cos x}{2+\sin x} \left(\frac{4}{2+\sin x}\right) = \frac{-4\cos x}{(2+\sin x)^2}$.
$x = \pi$ पर,$b = \frac{-4\cos \pi}{(2+\sin \pi)^2} = \frac{-4(-1)}{(2+0)^2} = \frac{4}{4} = 1$.
अतः,क्रमित युग्म $(a, b) = (1, 1)$ है।

(C) $\left(0, \frac{3}{2}\right)$ और $\left(\frac{1}{2}, 2\right)$ को मिलाने वाली रेखा की प्रवणता $m = \frac{2 - \frac{3}{2}}{\frac{1}{2} - 0} = \frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}} = 1$ है।
चूंकि बिंदु $(a, b)$ पर स्पर्श रेखा इस रेखा के समांतर है,इसलिए स्पर्श रेखा की प्रवणता $\left. \frac{dy}{dx} \right|_{(a, b)} = 1$ होगी।
वक्र $y = x + \sin y$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$\frac{dy}{dx} = 1 + \cos y \cdot \frac{dy}{dx}$ प्राप्त होता है।
बिंदु $(a, b)$ और प्रवणता $1$ रखने पर,$1 = 1 + \cos b \cdot (1)$ प्राप्त होता है।
इसका अर्थ है $\cos b = 0$,जिसका मतलब है $\sin b = \pm 1$।
चूंकि $(a, b)$ वक्र पर स्थित है,इसलिए $b = a + \sin b$ होगा।
अतः,$b - a = \sin b$।
दोनों पक्षों का मापांक लेने पर,$|b - a| = |\sin b| = 1$ प्राप्त होता है।

(D) वक्र $y=x^{2}+7x+2$ पर स्थित बिंदु $P$ जो रेखा $y=3x-3$ के सबसे निकट है,वह बिंदु है जहाँ वक्र की स्पर्श रेखा दी गई रेखा के समानांतर होती है।
$1$. वक्र पर किसी भी बिंदु $(x, y)$ पर स्पर्श रेखा की ढाल ज्ञात करें:
$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(x^{2}+7x+2) = 2x+7$
$2$. चूंकि स्पर्श रेखा,रेखा $y=3x-3$ के समानांतर है,इसलिए इसकी ढाल रेखा की ढाल के बराबर यानी $3$ होनी चाहिए:
$2x+7 = 3$
$2x = -4$
$x = -2$
$3$. $x=-2$ को वक्र के समीकरण में रखकर $P$ का $y$-निर्देशांक ज्ञात करें:
$y = (-2)^{2} + 7(-2) + 2 = 4 - 14 + 2 = -8$
अतः,बिंदु $P$ $(-2, -8)$ है।
$4$. $P$ पर अभिलंब,स्पर्श रेखा के लंबवत होता है। स्पर्श रेखा की ढाल $3$ है,इसलिए अभिलंब की ढाल $-\frac{1}{3}$ होगी।
$5$. $P(-2, -8)$ से गुजरने वाले और $-\frac{1}{3}$ ढाल वाले अभिलंब का समीकरण:
$y - (-8) = -\frac{1}{3}(x - (-2))$
$y + 8 = -\frac{1}{3}(x + 2)$
$3(y + 8) = -(x + 2)$
$3y + 24 = -x - 2$
$x + 3y + 26 = 0$

(B) दी गई रेखा $2x = 3y, z = 1$ है,जिसे $\frac{x}{3} = \frac{y}{2}, z = 1$ के रूप में लिखा जा सकता है। इस रेखा का दिशा सदिश $\vec{v} = 3\hat{i} + 2\hat{j} + 0\hat{k}$ है।
समतल बिंदुओं $A(1, 2, 1)$ और $B(2, 1, 2)$ से गुजरता है। सदिश $\vec{AB} = (2-1)\hat{i} + (1-2)\hat{j} + (2-1)\hat{k} = \hat{i} - \hat{j} + \hat{k}$ है।
समतल का अभिलंब सदिश $\vec{n}$,$\vec{AB}$ और $\vec{v}$ का क्रॉस गुणनफल है:
$\vec{n} = \vec{AB} \times \vec{v} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & -1 & 1 \\ 3 & 2 & 0 \end{vmatrix} = \hat{i}(0-2) - \hat{j}(0-3) + \hat{k}(2+3) = -2\hat{i} + 3\hat{j} + 5\hat{k}$.
$(1, 2, 1)$ से गुजरने वाले और अभिलंब $\vec{n} = -2\hat{i} + 3\hat{j} + 5\hat{k}$ वाले समतल का समीकरण है:
$-2(x-1) + 3(y-2) + 5(z-1) = 0$
$-2x + 2 + 3y - 6 + 5z - 5 = 0$
$-2x + 3y + 5z - 9 = 0$ या $2x - 3y - 5z + 9 = 0$.
अब,विकल्पों की जाँच करें:
$(-2, 0, 1)$ के लिए: $2(-2) - 3(0) - 5(1) + 9 = -4 - 0 - 5 + 9 = 0$.
अतः,समतल $(-2, 0, 1)$ से गुजरता है।

(A) फलन $f(x) = \sin^{-1}\left(\frac{|x|+5}{x^2+1}\right)$ को परिभाषित होने के लिए,इसका मान $-1 \leq \frac{|x|+5}{x^2+1} \leq 1$ के बीच होना चाहिए।
चूंकि $|x|+5 > 0$ और $x^2+1 > 0$ सभी $x \in \mathbb{R}$ के लिए है,इसलिए $\frac{|x|+5}{x^2+1} \geq -1$ हमेशा सत्य है।
अतः,हमें केवल $\frac{|x|+5}{x^2+1} \leq 1$ को हल करना है।
$x^2+1$ से गुणा करने पर,हमें $|x|+5 \leq x^2+1$ प्राप्त होता है।
पदों को व्यवस्थित करने पर,$x^2 - |x| - 4 \geq 0$ मिलता है।
माना $t = |x|$,जहाँ $t \geq 0$ है। तब $t^2 - t - 4 \geq 0$ होगा।
$t^2 - t - 4 = 0$ के मूल $t = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4(1)(-4)}}{2} = \frac{1 \pm \sqrt{17}}{2}$ हैं।
चूंकि $t = |x| \geq 0$ है,इसलिए हमें $t \geq \frac{1+\sqrt{17}}{2}$ लेना होगा।
अतः,$|x| \geq \frac{1+\sqrt{17}}{2}$,जिसका अर्थ है कि $x \in \left(-\infty, -\frac{1+\sqrt{17}}{2}\right] \cup \left[\frac{1+\sqrt{17}}{2}, \infty\right)$ है।
दिए गए प्रांत $(-\infty, -a] \cup [a, \infty)$ के साथ तुलना करने पर,$a = \frac{1+\sqrt{17}}{2}$ प्राप्त होता है।

(D) चूंकि $p(x)$ के सापेक्ष चरम बिंदु $x=1$ और $x=2$ पर हैं,इसलिए $x=1$ और $x=2$ पर $p'(x) = 0$ है।
अतः,$p'(x) = A(x-1)(x-2) = A(x^2 - 3x + 2)$ है।
$p'(x)$ का समाकलन करने पर,हमें $p(x) = A(\frac{x^3}{3} - \frac{3x^2}{2} + 2x) + C$ प्राप्त होता है।
दिया है कि $p(1) = 8$,इसलिए $8 = A(\frac{1}{3} - \frac{3}{2} + 2) + C = A(\frac{2-9+12}{6}) + C = \frac{5A}{6} + C$,अर्थात $48 = 5A + 6C$ (समीकरण $1$)।
दिया है कि $p(2) = 4$,इसलिए $4 = A(\frac{8}{3} - 6 + 4) + C = A(\frac{8-6}{3}) + C = \frac{2A}{3} + C$,अर्थात $12 = 2A + 3C$ (समीकरण $2$)।
समीकरण $2$ को $2$ से गुणा करने पर,हमें $24 = 4A + 6C$ प्राप्त होता है।
समीकरण $1$ में से इसे घटाने पर,$48 - 24 = (5A - 4A) + (6C - 6C)$,जिससे $A = 24$ प्राप्त होता है।
$A = 24$ को समीकरण $2$ में रखने पर,$12 = 2(24) + 3C$,इसलिए $12 = 48 + 3C$,जिसका अर्थ है कि $3C = -36$,अर्थात $C = -12$ है।
चूंकि $p(0) = C$,इसलिए $p(0) = -12$ है।

(A) माना $f(x) = ||x-1|-x|$ है।
हम निरपेक्ष मान के अंदर के व्यंजक का विश्लेषण करते हैं:
यदि $x \geq 1$ है,तो $|x-1| = x-1$,इसलिए $f(x) = |(x-1)-x| = |-1| = 1$ होगा।
यदि $x < 1$ है,तो $|x-1| = 1-x$,इसलिए $f(x) = |(1-x)-x| = |1-2x|$ होगा।
अतः,$f(x) = \begin{cases} |1-2x|, & 0 \leq x < 1 \\ 1, & 1 \leq x \leq 2 \end{cases}$ है।
अब,हम समाकलन का मान ज्ञात करते हैं:
$\int_{0}^{2} f(x) dx = \int_{0}^{1} |1-2x| dx + \int_{1}^{2} 1 dx$।
पहले भाग के लिए,जब $x \leq 1/2$ है तो $|1-2x| = 1-2x$ और जब $x > 1/2$ है तो $2x-1$ होता है:
$\int_{0}^{1} |1-2x| dx = \int_{0}^{1/2} (1-2x) dx + \int_{1/2}^{1} (2x-1) dx$
$= [x-x^2]_{0}^{1/2} + [x^2-x]_{1/2}^{1}$
$= (1/2 - 1/4) - 0 + (1-1) - (1/4 - 1/2) = 1/4 + 1/4 = 1/2$।
दूसरे भाग के लिए:
$\int_{1}^{2} 1 dx = [x]_{1}^{2} = 2-1 = 1$।
कुल समाकलन = $1/2 + 1 = 1.5$।

(B) दिया गया है कि $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ इकाई सदिश हैं,इसलिए $|\vec{a}| = |\vec{b}| = |\vec{c}| = 1$ है।
दिए गए समीकरण $|\vec{a}-\vec{b}|^{2}+|\vec{a}-\vec{c}|^{2}=8$ का विस्तार करने पर:
$(|\vec{a}|^{2} + |\vec{b}|^{2} - 2\vec{a}\cdot\vec{b}) + (|\vec{a}|^{2} + |\vec{c}|^{2} - 2\vec{a}\cdot\vec{c}) = 8$
चूंकि $|\vec{a}|^{2} = |\vec{b}|^{2} = |\vec{c}|^{2} = 1$,इसलिए:
$(1 + 1 - 2\vec{a}\cdot\vec{b}) + (1 + 1 - 2\vec{a}\cdot\vec{c}) = 8$
$4 - 2(\vec{a}\cdot\vec{b} + \vec{a}\cdot\vec{c}) = 8$
$-2(\vec{a}\cdot\vec{b} + \vec{a}\cdot\vec{c}) = 4$
$\vec{a}\cdot\vec{b} + \vec{a}\cdot\vec{c} = -2$
अब,$|\vec{a}+2\vec{b}|^{2}+|\vec{a}+2\vec{c}|^{2}$ का मान ज्ञात करते हैं:
$= (|\vec{a}|^{2} + 4|\vec{b}|^{2} + 4\vec{a}\cdot\vec{b}) + (|\vec{a}|^{2} + 4|\vec{c}|^{2} + 4\vec{a}\cdot\vec{c})$
$= (1 + 4 + 4\vec{a}\cdot\vec{b}) + (1 + 4 + 4\vec{a}\cdot\vec{c})$
$= 10 + 4(\vec{a}\cdot\vec{b} + \vec{a}\cdot\vec{c})$
$\vec{a}\cdot\vec{b} + \vec{a}\cdot\vec{c} = -2$ का मान रखने पर:
$= 10 + 4(-2) = 10 - 8 = 2$.

(A) दिया गया फलन समीकरण $f(x+y)=f(x)+f(y)$ कौशी का फलन समीकरण है,जो यह दर्शाता है कि किसी स्थिरांक $c$ के लिए $f(x)=cx$ है।
चूंकि $f(1)=2$,हमें $c(1)=2$ प्राप्त होता है,इसलिए $c=2$ है। अतः,$f(x)=2x$ है।
अब,हम $g(n) = \sum_{k=1}^{n-1} f(k) = \sum_{k=1}^{n-1} 2k$ की गणना करते हैं।
योग सूत्र $\sum_{k=1}^{m} k = \frac{m(m+1)}{2}$ का उपयोग करने पर,हमें $g(n) = 2 \times \frac{(n-1)n}{2} = n(n-1)$ प्राप्त होता है।
हमें $g(n)=20$ दिया गया है,इसलिए $n(n-1)=20$ है।
$n^2 - n - 20 = 0$.
$(n-5)(n+4) = 0$.
चूंकि $n \in N$,इसलिए $n=5$ होगा।

(D) दिया गया है कि $A^{T} A = I$,अतः आव्यूह $A$ एक लांबिक (orthogonal) आव्यूह है।
आव्यूह $A = \begin{bmatrix} a & b & c \\ b & c & a \\ c & a & b \end{bmatrix}$ के लिए,$A^{T} A = I$ की शर्त का अर्थ है:
$a^2 + b^2 + c^2 = 1$
$ab + bc + ca = 0$
हम जानते हैं कि: $(a+b+c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2(ab + bc + ca) = 1 + 2(0) = 1$.
अतः,$a+b+c = \pm 1$.
बीजगणितीय सर्वसमिका का उपयोग करते हुए: $a^3 + b^3 + c^3 - 3abc = (a+b+c)(a^2 + b^2 + c^2 - (ab + bc + ca))$.
ज्ञात मान रखने पर: $2 - 3abc = (\pm 1)(1 - 0) = \pm 1$.
स्थिति $1$: $2 - 3abc = 1 \Rightarrow 3abc = 1 \Rightarrow abc = \frac{1}{3}$.
स्थिति $2$: $2 - 3abc = -1 \Rightarrow 3abc = 3 \Rightarrow abc = 1$.
दिए गए विकल्पों की तुलना करने पर,संभावित मान $\frac{1}{3}$ है।

(A) $x \neq 0$ के लिए,$f'(x) = \frac{d}{dx} \left( \frac{\ln(1+x)}{x} \right) = \frac{x \cdot \frac{1}{1+x} - \ln(1+x)}{x^2} = \frac{x - (1+x)\ln(1+x)}{x^2(1+x)}$.
मान लीजिए $h(x) = x - (1+x)\ln(1+x)$.
तब $h'(x) = 1 - [\ln(1+x) + (1+x) \cdot \frac{1}{1+x}] = 1 - \ln(1+x) - 1 = -\ln(1+x)$.
$x \in (-1, 0)$ के लिए,$1+x \in (0, 1)$,इसलिए $\ln(1+x) < 0$,जिसका अर्थ है $h'(x) > 0$.
$x \in (0, \infty)$ के लिए,$1+x > 1$,इसलिए $\ln(1+x) > 0$,जिसका अर्थ है $h'(x) < 0$.
चूंकि $h(0) = 0 - (1)\ln(1) = 0$,$h(x)$ अंतराल $(-1, 0)$ में बढ़ता है और $(0, \infty)$ में घटता है।
अतः,सभी $x \in (-1, \infty) \setminus \{0\}$ के लिए $h(x) < h(0) = 0$.
चूंकि सभी $x \in (-1, \infty) \setminus \{0\}$ के लिए $x^2(1+x) > 0$,इसलिए $f'(x) = \frac{h(x)}{x^2(1+x)} < 0$.
इसलिए,फलन $f$ अंतराल $(-1, \infty)$ पर निरंतर घटता हुआ फलन है।

(B) दिया गया वक्र का समीकरण $y=(1+x)^{2y}+\cos^{2}(\sin^{-1} x)$ है।
$x=0$ पर,$y=(1+0)^{2y}+\cos^{2}(\sin^{-1} 0) = 1+1 = 2$ प्राप्त होता है।
अतः,हमें बिंदु $(0, 2)$ पर अभिलंब ज्ञात करना है।
समीकरण को $y=e^{2y \ln(1+x)} + (1-x^2)$ के रूप में पुनः लिखने पर।
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$y' = e^{2y \ln(1+x)} \left[ 2y \cdot \frac{1}{1+x} + \ln(1+x) \cdot 2y' \right] - 2x$.
$x=0$ और $y=2$ रखने पर:
$y' = e^{2(2) \ln(1)} \left[ 2(2) \cdot \frac{1}{1+0} + \ln(1) \cdot 2y' \right] - 2(0)$.
$y' = e^0 [4 + 0] - 0 = 4$.
इस प्रकार,स्पर्श रेखा की ढाल $m_t = 4$ है।
अभिलंब की ढाल $m_n = -\frac{1}{m_t} = -\frac{1}{4}$ होगी।
बिंदु $(0, 2)$ पर अभिलंब का समीकरण $y - 2 = -\frac{1}{4}(x - 0)$ है।
$4y - 8 = -x$,जिसे सरल करने पर $x + 4y = 8$ प्राप्त होता है।

(B) समतल का अभिलंब सदिश $\overrightarrow{n}$ दोनों रेखाओं के लंबवत है। अतः,$\overrightarrow{n}$ दोनों रेखाओं के दिशा सदिशों का क्रॉस गुणनफल है:
$\overrightarrow{n} = (\hat{i} - 2\hat{j} + 2\hat{k}) \times (2\hat{i} + 3\hat{j} - \hat{k})$
$\overrightarrow{n} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & -2 & 2 \\ 2 & 3 & -1 \end{vmatrix} = \hat{i}(2 - 6) - \hat{j}(-1 - 4) + \hat{k}(3 + 4) = -4\hat{i} + 5\hat{j} + 7\hat{k}$
बिंदु $(3, 1, 1)$ से गुजरने वाले और अभिलंब सदिश $\overrightarrow{n} = -4\hat{i} + 5\hat{j} + 7\hat{k}$ वाले समतल का समीकरण है:
$-4(x - 3) + 5(y - 1) + 7(z - 1) = 0$
$-4x + 12 + 5y - 5 + 7z - 7 = 0$
$-4x + 5y + 7z = 0$
चूँकि समतल बिंदु $(\alpha, -3, 5)$ से गुजरता है,इसलिए यह बिंदु समतल के समीकरण को संतुष्ट करेगा:
$-4(\alpha) + 5(-3) + 7(5) = 0$
$-4\alpha - 15 + 35 = 0$
$-4\alpha + 20 = 0$
$4\alpha = 20$
$\alpha = 5$

(A) दिया गया है कि $E_{1}, E_{2}, E_{3}$ युग्मवार स्वतंत्र घटनाएं हैं,इसलिए $P(E_{1} \cap E_{2}) = P(E_{1})P(E_{2})$,$P(E_{2} \cap E_{3}) = P(E_{2})P(E_{3})$,और $P(E_{3} \cap E_{1}) = P(E_{3})P(E_{1})$.
साथ ही,$P(E_{1} \cap E_{2} \cap E_{3}) = 0$.
हमें $P(E_{2}^{C} \cap E_{3}^{C} | E_{1})$ ज्ञात करना है।
सप्रतिबंध प्रायिकता की परिभाषा के अनुसार,$P(E_{2}^{C} \cap E_{3}^{C} | E_{1}) = \frac{P(E_{1} \cap E_{2}^{C} \cap E_{3}^{C})}{P(E_{1})}$.
डी मॉर्गन के नियम के अनुसार,$E_{2}^{C} \cap E_{3}^{C} = (E_{2} \cup E_{3})^{C}$.
अतः,$E_{1} \cap (E_{2} \cup E_{3})^{C} = E_{1} \setminus (E_{1} \cap (E_{2} \cup E_{3})) = E_{1} \setminus ((E_{1} \cap E_{2}) \cup (E_{1} \cap E_{3}))$.
प्रायिकता के लिए समावेशन-अपवर्जन सिद्धांत का उपयोग करते हुए,$P(E_{1} \cap (E_{2} \cup E_{3})) = P(E_{1} \cap E_{2}) + P(E_{1} \cap E_{3}) - P(E_{1} \cap E_{2} \cap E_{3})$.
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर,$P(E_{1} \cap (E_{2} \cup E_{3})) = P(E_{1})P(E_{2}) + P(E_{1})P(E_{3}) - 0 = P(E_{1})(P(E_{2}) + P(E_{3}))$.
इसलिए,$P(E_{1} \cap E_{2}^{C} \cap E_{3}^{C}) = P(E_{1}) - P(E_{1} \cap (E_{2} \cup E_{3})) = P(E_{1}) - P(E_{1})(P(E_{2}) + P(E_{3})) = P(E_{1})(1 - P(E_{2}) - P(E_{3}))$.
अंत में,$P(E_{2}^{C} \cap E_{3}^{C} | E_{1}) = \frac{P(E_{1})(1 - P(E_{2}) - P(E_{3}))}{P(E_{1})} = 1 - P(E_{2}) - P(E_{3}) = (1 - P(E_{3})) - P(E_{2}) = P(E_{3}^{C}) - P(E_{2})$.

(B) दिया गया है $P = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 1 \\ -2 & 3 & -4 \\ 1 & 9 & -1 \end{bmatrix}$.
सबसे पहले,हम $P$ का सारणिक ज्ञात करते हैं:
$|P| = 1(-3 + 36) - 2(2 + 4) + 1(-18 - 3) = 33 - 12 - 21 = 0$.
चूँकि $|P| = 0$,निकाय $PX = 0$ के अनंत हल हैं।
समीकरण हैं:
$x + 2y + z = 0$ $(i)$
$-2x + 3y - 4z = 0$ (ii)
$x + 9y - z = 0$ (iii)
$(i)$ और (iii) को जोड़ने पर $2x + 11y = 0 \Rightarrow x = -\frac{11}{2}y$ प्राप्त होता है।
$x$ का मान $(i)$ में रखने पर: $-\frac{11}{2}y + 2y + z = 0 \Rightarrow z = \frac{7}{2}y$.
मान लीजिए $y = \lambda$,तो $x = -\frac{11}{2}\lambda$ और $z = \frac{7}{2}\lambda$.
दिया गया है $x^{2} + y^{2} + z^{2} = 1$,मान रखने पर:
$(-\frac{11}{2}\lambda)^{2} + \lambda^{2} + (\frac{7}{2}\lambda)^{2} = 1$
$\frac{121}{4}\lambda^{2} + \lambda^{2} + \frac{49}{4}\lambda^{2} = 1$
$\frac{121 + 4 + 49}{4}\lambda^{2} = 1 \Rightarrow \frac{174}{4}\lambda^{2} = 1 \Rightarrow \lambda^{2} = \frac{4}{174} = \frac{2}{87}$.
चूँकि $\lambda^{2} = \frac{2}{87}$,$\lambda$ के लिए दो संभावित मान हैं $(\lambda = \pm \sqrt{\frac{2}{87}})$।
अतः,$(x, y, z)$ के लिए ठीक दो हल प्राप्त होते हैं।

(D) क्षेत्र $R$ परवलय $y=x^{2}$ और रेखा $y=2x$ द्वारा घिरा हुआ है। प्रतिच्छेदन बिंदु $x^{2}=2x$ द्वारा प्राप्त होते हैं,जो $x=0$ और $x=2$ देते हैं। अतः,बिंदु $(0,0)$ और $(2,4)$ हैं।
क्षेत्र $R$ का कुल क्षेत्रफल $A$ इस प्रकार है:
$A = \int_{0}^{2} (2x - x^{2}) dx = [x^{2} - \frac{x^{3}}{3}]_{0}^{2} = 4 - \frac{8}{3} = \frac{4}{3}$.
वैकल्पिक रूप से,$y$ के सापेक्ष समाकलन करने पर,क्षेत्र $y \in [0, 4]$ के लिए $x = \sqrt{y}$ (दाहिनी ओर) और $x = y/2$ (बाईं ओर) द्वारा घिरा हुआ है:
$A = \int_{0}^{4} (\sqrt{y} - \frac{y}{2}) dy = [\frac{2}{3}y^{3/2} - \frac{y^{2}}{4}]_{0}^{4} = \frac{2}{3}(8) - \frac{16}{4} = \frac{16}{3} - 4 = \frac{4}{3}$.
रेखा $y=\alpha$ क्षेत्रफल को दो बराबर भागों में विभाजित करती है। निचले भाग का क्षेत्रफल ($y=0$ से $y=\alpha$) कुल क्षेत्रफल का आधा है:
$\int_{0}^{\alpha} (\sqrt{y} - \frac{y}{2}) dy = \frac{1}{2} \times \frac{4}{3} = \frac{2}{3}$.
समाकलन का मान ज्ञात करने पर:
$[\frac{2}{3}y^{3/2} - \frac{y^{2}}{4}]_{0}^{\alpha} = \frac{2}{3} \Rightarrow \frac{2}{3}\alpha^{3/2} - \frac{\alpha^{2}}{4} = \frac{2}{3}$.
हर को हटाने के लिए $12$ से गुणा करने पर:
$8\alpha^{3/2} - 3\alpha^{2} = 8 \Rightarrow 3\alpha^{2} - 8\alpha^{3/2} + 8 = 0$.

(B) दिया गया अवकल समीकरण: $2 x^{2} dy = (2 xy + y^{2}) dx$
$\frac{dy}{dx} = \frac{2xy + y^{2}}{2x^{2}}$
यह एक समघातीय अवकल समीकरण है। मान लीजिए $y = vx$,तब $\frac{dy}{dx} = v + x\frac{dv}{dx}$.
इन मानों को समीकरण में रखने पर:
$v + x\frac{dv}{dx} = \frac{2x(vx) + (vx)^{2}}{2x^{2}} = \frac{2x^{2}v + x^{2}v^{2}}{2x^{2}} = v + \frac{v^{2}}{2}$
$x\frac{dv}{dx} = \frac{v^{2}}{2}$
चरों को अलग करने पर:
$\frac{2}{v^{2}} dv = \frac{1}{x} dx$
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर:
$\int 2v^{-2} dv = \int \frac{1}{x} dx$
$-2v^{-1} = \ln|x| + C$
$-\frac{2}{v} = \ln|x| + C$
चूंकि $v = \frac{y}{x}$,हमारे पास $-\frac{2x}{y} = \ln|x| + C$ है।
वक्र बिंदु $(1, 2)$ से गुजरता है,इसलिए $x=1, y=2$ रखने पर:
$-\frac{2(1)}{2} = \ln(1) + C \Rightarrow -1 = 0 + C \Rightarrow C = -1$.
अतः,$-\frac{2x}{y} = \ln|x| - 1$,जिसका अर्थ है $\frac{2x}{y} = 1 - \ln x$.
$y = \frac{2x}{1 - \ln x} \Rightarrow f(x) = \frac{2x}{1 - \ln x}$.
अब,$f\left(\frac{1}{2}\right)$ की गणना करने पर:
$f\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{2(\frac{1}{2})}{1 - \ln(\frac{1}{2})} = \frac{1}{1 - (\ln 1 - \ln 2)} = \frac{1}{1 - (0 - \ln 2)} = \frac{1}{1 + \ln 2}$.

(B) माना $\cos \alpha = \frac{3}{5}$ और $\sin \alpha = \frac{4}{5}$,जहाँ $0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$ है।
$\cos^{-1}$ फलन के अंदर का पद $\frac{3}{5} \cos kx - \frac{4}{5} \sin kx$ है।
त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $\cos(A+B) = \cos A \cos B - \sin A \sin B$ का उपयोग करने पर,हमें $\cos \alpha \cos kx - \sin \alpha \sin kx = \cos(\alpha + kx)$ प्राप्त होता है।
अतः,$y = \sum_{k=1}^{6} k \cos^{-1}(\cos(\alpha + kx))$.
$x$ के $0$ के निकट मानों के लिए,$\cos^{-1}(\cos(\alpha + kx)) = \alpha + kx$ होता है।
इसलिए,$y = \sum_{k=1}^{6} k(\alpha + kx) = \sum_{k=1}^{6} (k\alpha + k^2 x)$.
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$\frac{dy}{dx} = \sum_{k=1}^{6} k^2$ प्राप्त होता है।
$x = 0$ पर,$\frac{dy}{dx} = \sum_{k=1}^{6} k^2 = 1^2 + 2^2 + 3^2 + 4^2 + 5^2 + 6^2$.
वर्गों के योग के सूत्र $\sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ का उपयोग करने पर,$n=6$ के लिए:
$\frac{6(7)(13)}{6} = 91$.

(C) विभाजन सूत्र का उपयोग करते हुए,बिंदु $P$ का स्थिति सदिश है:
$\overrightarrow{OP} = \frac{\lambda(2\hat{i}+\hat{j}+3\hat{k}) + 1(\hat{i}+\hat{j}+\hat{k})}{\lambda+1} = \frac{2\lambda+1}{\lambda+1}\hat{i} + \frac{\lambda+1}{\lambda+1}\hat{j} + \frac{3\lambda+1}{\lambda+1}\hat{k}$
अब,$\overrightarrow{OB} \cdot \overrightarrow{OP}$ की गणना करते हैं:
$\overrightarrow{OB} \cdot \overrightarrow{OP} = (2\hat{i}+\hat{j}+3\hat{k}) \cdot \left( \frac{2\lambda+1}{\lambda+1}\hat{i} + \hat{j} + \frac{3\lambda+1}{\lambda+1}\hat{k} \right) = \frac{4\lambda+2 + \lambda+1 + 9\lambda+3}{\lambda+1} = \frac{14\lambda+6}{\lambda+1}$
इसके बाद,$\overrightarrow{OA} \times \overrightarrow{OP}$ की गणना करते हैं:
$\overrightarrow{OA} \times \overrightarrow{OP} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 1 & 1 \\ \frac{2\lambda+1}{\lambda+1} & 1 & \frac{3\lambda+1}{\lambda+1} \end{vmatrix} = \left( \frac{3\lambda+1}{\lambda+1} - 1 \right)\hat{i} - \left( \frac{3\lambda+1}{\lambda+1} - \frac{2\lambda+1}{\lambda+1} \right)\hat{j} + \left( 1 - \frac{2\lambda+1}{\lambda+1} \right)\hat{k}$
$= \frac{2\lambda}{\lambda+1}\hat{i} - \frac{\lambda}{\lambda+1}\hat{j} - \frac{\lambda}{\lambda+1}\hat{k}$
$|\overrightarrow{OA} \times \overrightarrow{OP}|^{2} = \frac{4\lambda^{2} + \lambda^{2} + \lambda^{2}}{(\lambda+1)^{2}} = \frac{6\lambda^{2}}{(\lambda+1)^{2}}$
इन मानों को दिए गए समीकरण में रखने पर:
$\frac{14\lambda+6}{\lambda+1} - 3 \left( \frac{6\lambda^{2}}{(\lambda+1)^{2}} \right) = 6$
$(\lambda+1)^{2}$ से गुणा करने पर:
$(14\lambda+6)(\lambda+1) - 18\lambda^{2} = 6(\lambda+1)^{2}$
$14\lambda^{2} + 20\lambda + 6 - 18\lambda^{2} = 6(\lambda^{2} + 2\lambda + 1)$
$-4\lambda^{2} + 20\lambda + 6 = 6\lambda^{2} + 12\lambda + 6$
$10\lambda^{2} - 8\lambda = 0$
चूंकि $\lambda > 0$,इसलिए $10\lambda = 8 \Rightarrow \lambda = 0.8$.

(A) मान लीजिए $I = \int_{1}^{2} |2x - [3x]| dx$. चूंकि $1 \le x \le 2$,इसलिए $3 \le 3x \le 6$ है।
हम $[3x]$ के मानों के आधार पर अंतराल $[1, 2]$ को विभाजित करते हैं:
स्थिति $1$: $1 \le x < 4/3$,तब $3 \le 3x < 4$,इसलिए $[3x] = 3$। समाकल्य $|2x - 3| = 3 - 2x$ है।
स्थिति $2$: $4/3 \le x < 5/3$,तब $4 \le 3x < 5$,इसलिए $[3x] = 4$। समाकल्य $|2x - 4| = 4 - 2x$ है।
स्थिति $3$: $5/3 \le x \le 2$,तब $5 \le 3x \le 6$,इसलिए $[3x] = 5$। समाकल्य $|2x - 5| = 5 - 2x$ है।
अब,$I = \int_{1}^{4/3} (3 - 2x) dx + \int_{4/3}^{5/3} (4 - 2x) dx + \int_{5/3}^{2} (5 - 2x) dx$।
प्रत्येक समाकलन का मान ज्ञात करने पर:
$\int_{1}^{4/3} (3 - 2x) dx = [3x - x^2]_{1}^{4/3} = (4 - 16/9) - (3 - 1) = 2/9$।
$\int_{4/3}^{5/3} (4 - 2x) dx = [4x - x^2]_{4/3}^{5/3} = (20/3 - 25/9) - (16/3 - 16/9) = 3/9 = 1/3$।
$\int_{5/3}^{2} (5 - 2x) dx = [5x - x^2]_{5/3}^{2} = (10 - 4) - (25/3 - 25/9) = 4/9$।
योग करने पर: $I = 2/9 + 3/9 + 4/9 = 9/9 = 1$।

(A) माना घन की भुजा की लंबाई $a$ है। घन का पृष्ठीय क्षेत्रफल $S = 6a^2$ होता है।
दिया गया है कि $\frac{dS}{dt} = 3.6 \text{ cm}^2/\text{sec}$ है।
$S$ का $t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$\frac{dS}{dt} = 12a \frac{da}{dt}$ प्राप्त होता है।
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $3.6 = 12(10) \frac{da}{dt} \Rightarrow 3.6 = 120 \frac{da}{dt} \Rightarrow \frac{da}{dt} = \frac{3.6}{120} = 0.03 \text{ cm}/\text{sec}$।
घन का आयतन $V = a^3$ होता है।
$V$ का $t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$\frac{dV}{dt} = 3a^2 \frac{da}{dt}$ प्राप्त होता है।
$a = 10$ और $\frac{da}{dt} = 0.03$ रखने पर: $\frac{dV}{dt} = 3(10)^2(0.03) = 3(100)(0.03) = 300 \times 0.03 = 9 \text{ cm}^3/\text{sec}$।

(A) माना $I = \int_{0}^{1/2} \frac{x^{2}}{(1-x^{2})^{3/2}} dx$.
हम अंश को $x^{2} = (x^{2}-1) + 1$ के रूप में लिख सकते हैं।
अतः,$I = \int_{0}^{1/2} \frac{x^{2}-1}{(1-x^{2})^{3/2}} dx + \int_{0}^{1/2} \frac{1}{(1-x^{2})^{3/2}} dx$.
$I = -\int_{0}^{1/2} \frac{1}{(1-x^{2})^{1/2}} dx + \int_{0}^{1/2} \frac{1}{(1-x^{2})^{3/2}} dx$.
प्रथम समाकलन के लिए,$\int \frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}} dx = \sin^{-1}(x)$.
$0$ से $1/2$ तक मान रखने पर,हमें $-[\sin^{-1}(1/2) - \sin^{-1}(0)] = -\pi/6$ प्राप्त होता है।
दूसरे समाकलन के लिए,$x = \sin(\theta)$ लें,तो $dx = \cos(\theta) d\theta$.
जब $x=0, \theta=0$; जब $x=1/2, \theta=\pi/6$.
$\int_{0}^{\pi/6} \frac{\cos(\theta)}{\cos^{3}(\theta)} d\theta = \int_{0}^{\pi/6} \sec^{2}(\theta) d\theta = [\tan(\theta)]_{0}^{\pi/6} = \tan(\pi/6) - \tan(0) = 1/\sqrt{3}$.
इस प्रकार,$I = \frac{1}{\sqrt{3}} - \frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{3} - \frac{\pi}{6} = \frac{2\sqrt{3}-\pi}{6}$.
इसकी तुलना $\frac{k}{6}$ से करने पर,हमें $k = 2\sqrt{3}-\pi$ प्राप्त होता है।