JEE Main 2020 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(C) माना $z = \sin \frac{2 \pi}{9} + i \cos \frac{2 \pi}{9}$.
चूंकि $|z|^2 = 1$,इसलिए $\bar{z} = \frac{1}{z}$ है।
व्यंजक $\left(\frac{1+z}{1+\bar{z}}\right)^3 = \left(\frac{1+z}{1+\frac{1}{z}}\right)^3 = z^3$ हो जाता है।
अब,$z = i(\cos \frac{2 \pi}{9} - i \sin \frac{2 \pi}{9}) = i e^{-i \frac{2 \pi}{9}}$.
अतः $z^3 = (i e^{-i \frac{2 \pi}{9}})^3 = i^3 e^{-i \frac{6 \pi}{9}} = -i e^{-i \frac{2 \pi}{3}}$.
$z^3 = -i (\cos \frac{2 \pi}{3} - i \sin \frac{2 \pi}{3}) = -i (-\frac{1}{2} - i \frac{\sqrt{3}}{2}) = -\frac{1}{2}(\sqrt{3}-i)$.

(D) प्रतिबंधात्मक कथन $(p \wedge q) \rightarrow (\sim q \vee r)$ केवल तब असत्य $(F)$ होता है जब पूर्ववर्ती $(p \wedge q)$ सत्य $(T)$ हो और परिणामी $(\sim q \vee r)$ असत्य $(F)$ हो।
$(p \wedge q)$ के सत्य होने के लिए,$p$ और $q$ दोनों का सत्य $(T)$ होना आवश्यक है।
$(\sim q \vee r)$ के असत्य होने के लिए,$\sim q$ और $r$ दोनों का असत्य $(F)$ होना आवश्यक है।
चूंकि $q$ सत्य है,इसलिए $\sim q$ असत्य है। $r$ के असत्य होने के लिए,$r$ का मान $F$ होना चाहिए।
अतः,सत्यता मान $p = T, q = T, r = F$ हैं।

(A) दिया गया है: मूल माध्य $\bar{x} = 20$,मूल मानक विचलन $\sigma = 2$ है।
यदि प्रत्येक प्रेक्षण $x_i$ को $y_i = p x_i - q$ में परिवर्तित किया जाता है,तो नया माध्य $\bar{y} = p \bar{x} - q$ और नया मानक विचलन $\sigma_y = |p| \sigma$ होता है।
नया माध्य मूल माध्य का आधा है: $\bar{y} = \frac{20}{2} = 10$।
अतः,$p(20) - q = 10 \implies 20p - q = 10$ $(i)$।
नया मानक विचलन मूल मानक विचलन का आधा है: $\sigma_y = \frac{2}{2} = 1$।
अतः,$|p| \times 2 = 1 \implies |p| = \frac{1}{2} \implies p = \pm \frac{1}{2}$।
स्थिति $1$: यदि $p = \frac{1}{2}$,तो $20(\frac{1}{2}) - q = 10 \implies 10 - q = 10 \implies q = 0$। यह $q \neq 0$ शर्त का उल्लंघन करता है।
स्थिति $2$: यदि $p = -\frac{1}{2}$,तो $20(-\frac{1}{2}) - q = 10 \implies -10 - q = 10 \implies q = -20$।
अतः,$q = -20$।

(B) माना अज्ञात संख्याएँ $x$ और $y$ हैं।
दिया गया माध्य $\bar{x} = 8$ है।
$\frac{2+4+10+12+14+x+y}{7} = 8$
$42 + x + y = 56$
$x + y = 14$ $... (i)$
दिया गया प्रसरण $\sigma^2 = 16$ है।
हम जानते हैं कि $\sigma^2 = \frac{\sum x_i^2}{n} - (\bar{x})^2$ होता है।
$16 = \frac{2^2+4^2+10^2+12^2+14^2+x^2+y^2}{7} - 8^2$
$16 + 64 = \frac{4+16+100+144+196+x^2+y^2}{7}$
$80 \times 7 = 460 + x^2 + y^2$
$560 = 460 + x^2 + y^2$
$x^2 + y^2 = 100$ $... (ii)$
$(x+y)^2 = x^2 + y^2 + 2xy$ से,$14^2 = 100 + 2xy$ मिलता है।
$196 - 100 = 2xy$ $\Rightarrow 2xy = 96$ $\Rightarrow xy = 48$
अब,$(x-y)^2 = (x+y)^2 - 4xy = 14^2 - 4(48) = 196 - 192 = 4$
$|x-y| = \sqrt{4} = 2$.

(D) दिया गया समीकरण $\cos^4 \theta + \sin^4 \theta + \lambda = 0$ है।
हम जानते हैं कि $\sin^4 \theta + \cos^4 \theta = (\sin^2 \theta + \cos^2 \theta)^2 - 2 \sin^2 \theta \cos^2 \theta = 1 - 2 \sin^2 \theta \cos^2 \theta$।
इसे समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $1 - 2 \sin^2 \theta \cos^2 \theta + \lambda = 0$।
सर्वसमिका $\sin 2\theta = 2 \sin \theta \cos \theta$ का उपयोग करते हुए,$\sin^2 \theta \cos^2 \theta = \frac{\sin^2 2\theta}{4}$।
अतः,$1 - 2 \left(\frac{\sin^2 2\theta}{4}\right) + \lambda = 0$,जो सरल होकर $1 - \frac{\sin^2 2\theta}{2} + \lambda = 0$ हो जाता है।
इसलिए,$\lambda = \frac{\sin^2 2\theta}{2} - 1$।
चूंकि $0 \leq \sin^2 2\theta \leq 1$,इसलिए $0 \leq \frac{\sin^2 2\theta}{2} \leq \frac{1}{2}$।
सभी पदों में से $1$ घटाने पर,$-1 \leq \frac{\sin^2 2\theta}{2} - 1 \leq -\frac{1}{2}$।
अतः,$\lambda \in \left[-1, -\frac{1}{2}\right]$।