गुणनफल 2^{frac{1}{4}} cdot 4^{frac{1}{16}} cd | vedclass

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Question

(A) दी गई अभिव्यक्ति $P = 2^{\frac{1}{4}} \cdot 4^{\frac{1}{16}} \cdot 8^{\frac{1}{48}} \cdot 16^{\frac{1}{128}} \cdot \dots \infty$ है। सभी पदों को आ

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$2^{\frac{1}{2}}$

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(A) दी गई अभिव्यक्ति $P = 2^{\frac{1}{4}} \cdot 4^{\frac{1}{16}} \cdot 8^{\frac{1}{48}} \cdot 16^{\frac{1}{128}} \cdot \dots \infty$ है। सभी पदों को आधार $2$ में व्यक्त करने पर: $P = 2^{\frac{1}{4}} \cdot (2^2)^{\frac{1}{16}} \cdot (2^3)^{\frac{1}{48}} \cdot (2^4)^{\frac{1}{128}} \cdot \dots$ $P = 2^{\frac{1}{4}} \cdot 2^{\frac{2}{16}} \cdot 2^{\frac{3}{48}} \cdot 2^{\frac{4}{128}} \cdot \dots$ $P = 2^{\frac{1}{4}} \cdot 2^{\frac{1}{8}} \cdot 2^{\frac{1}{16}} \cdot 2^{\frac{1}{32}} \cdot \dots$ गुणधर्म $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$ का उपयोग करने पर: $P = 2^{(\frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \frac{1}{16} + \frac{1}{32} + \dots)}$ घातांक एक अनंत गुणोत्तर श्रेणी है जिसमें प्रथम पद $a = \frac{1}{4}$ और सार्व अनुपात $r = \frac{1}{2}$ है। अनंत गुणोत्तर श्रेणी का योग $S = \frac{a}{1-r}$ होता है। $S = \frac{1/4}{1 - 1/2} = \frac{1/4}{1/2} = \frac{1}{2}$. अतः,$P = 2^{\frac{1}{2}}$.

गुणनफल $2^{\frac{1}{4}} \cdot 4^{\frac{1}{16}} \cdot 8^{\frac{1}{48}} \cdot 16^{\frac{1}{128}} \cdot \dots$ अनंत तक $\infty$ किसके बराबर है?

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मान लीजिए $n (> 1)$ एक धनात्मक पूर्णांक है,तो सबसे बड़ा पूर्णांक $m$ ज्ञात कीजिए ताकि $(n^m + 1)$,$(1 + n + n^2 + \dots + n^{127})$ को विभाजित करे:

$1, 2, 2^2, \dots, 2^n$ अनुक्रम का गुणोत्तर माध्य $(G.M.)$ ज्ञात कीजिए।

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