$\left(1+x+x^{2}\right)^{10}$ के प्रसार में $x^{4}$ का गुणांक है

यदि द्विपद ${\left( {\sqrt[3]{2} + \frac{1}{{\sqrt[3]{3}}}} \right)^n}$ है और यदि प्रारम्भ से सातवें पद और अन्त से सातवें पद का अनुपात $\frac{1}{6}$ हो, तो $n = $

यदि द्विपद ${\left[ {\sqrt {{2^{\log (10 - {3^x})}}} + \sqrt[5]{{{2^{(x - 2)\log 3}}}}} \right]^m}$ के प्रसार में $6$ वां पद $21$ के बराबर है तथा यह ज्ञात है कि प्रसार में दूसरे, तीसरे तथा चौथे पदों के द्विपद गुणांक क्रमश: समान्तर श्रेणी के प्रथम, तृतीय तथा पंचम पद हैं. (संकेत $log$ आधार $10$ के सापेक्ष लघुगणक के लिये प्रयुक्त है), तब $x = $

${\left( {{x^2} + \frac{a}{x}} \right)^5}$ के प्रसार में $x$ का गुणांक है  

यदि धन पूर्णाकों $m$ तथा $n$ के लिए

$(1-y)^{m}(1+y)^{n}=1+a_{1} y+a_{2} y^{2}+\ldots .+a_{m-n} y^{m+n}$ तथा $a_{1}=a_{2}=10$ हैं, तो $(m+n)$ बराबर है

${\left( {{x^2} - \frac{1}{{3x}}} \right)^9}$ के प्रसार में $x$ रहित पद होगा