(1+x+x^{2})^{10} के विस्तार में x^{4} का गुणा | vedclass

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Question

(A) व्यंजक $(1+x+x^{2})^{10} = (1 + x(1+x))^{10}$ है।द्विपद विस्तार $(1+y)^{n} = \sum_{k=0}^{n} {}^{n}C_{k} y^{k}$ का उपयोग करते हुए:$(1+x+x^{2})^{10}

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$615$

Vedclass · Answer

(A) व्यंजक $(1+x+x^{2})^{10} = (1 + x(1+x))^{10}$ है।द्विपद विस्तार $(1+y)^{n} = \sum_{k=0}^{n} {}^{n}C_{k} y^{k}$ का उपयोग करते हुए:$(1+x+x^{2})^{10} = \sum_{k=0}^{10} {}^{10}C_{k} x^{k} (1+x)^{k}$।$x^{4}$ का गुणांक ज्ञात करने के लिए,हम $x^{k} (1+x)^{k}$ के पदों पर विचार करते हैं:$k=2$ के लिए: ${}^{10}C_{2} x^{2} (1+x)^{2} = {}^{10}C_{2} x^{2} (1 + 2x + x^{2}) = {}^{10}C_{2} x^{2} + 2({}^{10}C_{2}) x^{3} + {}^{10}C_{2} x^{4}$। गुणांक ${}^{10}C_{2} = 45$ है।$k=3$ के लिए: ${}^{10}C_{3} x^{3} (1+x)^{3} = {}^{10}C_{3} x^{3} (1 + 3x + \dots) = {}^{10}C_{3} x^{3} + 3({}^{10}C_{3}) x^{4} + \dots$। गुणांक $3 	imes {}^{10}C_{3} = 3 	imes 120 = 360$ है।$k=4$ के लिए: ${}^{10}C_{4} x^{4} (1+x)^{4} = {}^{10}C_{4} x^{4} (1 + \dots) = {}^{10}C_{4} x^{4} + \dots$। गुणांक ${}^{10}C_{4} = 210$ है।$x^{4}$ का कुल गुणांक $= 45 + 360 + 210 = 615$।

$(1+x+x^{2})^{10}$ के विस्तार में $x^{4}$ का गुणांक है

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