मान लीजिए S उन सभी lambda in mathbb{R} का समु | vedclass

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Question

(C) रैखिक समीकरण निकाय का कोई हल न होने के लिए,गुणांक आव्यूह का सारणिक $D = 0$ होना चाहिए और क्रेमर के सारणिकों $(D_x, D_y, D_z)$ में से कम से कम एक श

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ठीक दो अवयव रखता है।

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(C) रैखिक समीकरण निकाय का कोई हल न होने के लिए,गुणांक आव्यूह का सारणिक $D = 0$ होना चाहिए और क्रेमर के सारणिकों $(D_x, D_y, D_z)$ में से कम से कम एक शून्य के बराबर नहीं होना चाहिए।सारणिक $D$ इस प्रकार है:$D = \begin{vmatrix} 2 & -1 & 2 \ 1 & -2 & \lambda \ 1 & \lambda & 1 \end{vmatrix} = 2(-2 - \lambda^2) + 1(1 - \lambda) + 2(\lambda + 2) = -2\lambda^2 + \lambda + 1$$D = 0$ रखने पर:$-2\lambda^2 + \lambda + 1 = 0 \Rightarrow (2\lambda + 1)(\lambda - 1) = 0$अतः,$\lambda = 1$ या $\lambda = -\frac{1}{2}$.अब,इन मानों के लिए $D_x$ की जाँच करें:$D_x = \begin{vmatrix} 2 & -1 & 2 \ -4 & -2 & \lambda \ 4 & \lambda & 1 \end{vmatrix} = -2\lambda^2 - 12\lambda + 8$$\lambda = 1$ के लिए,$D_x = -6 
eq 0$.$\lambda = -\frac{1}{2}$ के लिए,$D_x = 13.5 
eq 0$.चूंकि दोनों मानों के लिए $D=0$ और $D_x 
eq 0$ है,इसलिए निकाय का कोई हल नहीं है।अतः,$S = \{1, -\frac{1}{2}\}$ है,जिसमें ठीक दो अवयव हैं।

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यदि समीकरण निकाय $x+2y-3z=2$,$2x+\lambda y+5z=5$,$14x+3y+\mu z=33$ के अनंत हल हैं,तो $\lambda+\mu$ का मान ज्ञात कीजिए:

$\alpha$ के कितने वास्तविक मानों के लिए समीकरण निकाय
$x+3y+5z=\alpha x$
$5x+y+3z=\alpha y$
$3x+5y+z=\alpha z$
के अनंत हल हैं?

यदि रैखिक समीकरण निकाय
$7x + 11y + \alpha z = 13$
$5x + 4y + 7z = \beta$
$175x + 194y + 57z = 361$
के अनंत हल हैं,तो $\alpha + \beta + 2$ का मान ज्ञात कीजिए।

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