JEE Main 2020 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(D) दी गई श्रेणी $\sum_{n=2}^{21} \log_{7^{1/n}} x = 460$ है।
गुणधर्म $\log_{a^k} b = \frac{1}{k} \log_a b$ का उपयोग करने पर,$\log_{7^{1/n}} x = n \log_7 x$ प्राप्त होता है।
अतः,योग $\sum_{n=2}^{21} n \log_7 x = 460$ है।
$\log_7 x \cdot (2 + 3 + 4 + \dots + 21) = 460$.
समांतर श्रेणी $2 + 3 + \dots + 21$ का योग $\frac{20}{2} (2 + 21) = 10 \times 23 = 230$ है।
इसलिए,$230 \cdot \log_7 x = 460$.
$\log_7 x = 2$.
अतः,$x = 7^2 = 49$.

(B) माना प्रथम पद $a > 0$ और सार्व अनुपात $r > 0$ है।
दूसरे,तीसरे और चौथे पदों का योग $3$ दिया गया है:
$ar + ar^2 + ar^3 = 3$ --- $(1)$
छठे,सातवें और आठवें पदों का योग $243$ दिया गया है:
$ar^5 + ar^6 + ar^7 = 243$
$r^4(ar + ar^2 + ar^3) = 243$
इस समीकरण में $(1)$ का मान रखने पर:
$r^4(3) = 243$ $\Rightarrow r^4 = 81$ $\Rightarrow r = 3$ (चूंकि $r > 0$ है)।
$r = 3$ का मान $(1)$ में रखने पर:
$a(3) + a(9) + a(27) = 3$
$39a = 3 \Rightarrow a = \frac{3}{39} = \frac{1}{13}$.
पहले $50$ पदों का योग $S_{50}$ इस प्रकार है:
$S_{50} = \frac{a(r^{50}-1)}{r-1} = \frac{\frac{1}{13}(3^{50}-1)}{3-1} = \frac{1}{26}(3^{50}-1)$.

(C) माना $z = \frac{-1+i \sqrt{3}}{1-i}$.
अंश को ध्रुवीय रूप में लिखने पर: $-1+i \sqrt{3} = 2 \left( \cos \frac{2\pi}{3} + i \sin \frac{2\pi}{3} \right) = 2e^{i 2\pi/3}$.
हर को लिखने पर: $1-i = \sqrt{2} \left( \cos \frac{-\pi}{4} + i \sin \frac{-\pi}{4} \right) = \sqrt{2}e^{-i \pi/4}$.
अतः,$z = \frac{2e^{i 2\pi/3}}{\sqrt{2}e^{-i \pi/4}} = \sqrt{2} e^{i (2\pi/3 + \pi/4)} = \sqrt{2} e^{i 11\pi/12}$.
अब,$z^{30} = (\sqrt{2})^{30} e^{i (11\pi/12) \cdot 30} = 2^{15} e^{i 55\pi/2}$.
चूँकि $e^{i 55\pi/2} = e^{i (26\pi + 3\pi/2)} = e^{i 3\pi/2} = -i$.
इसलिए,$z^{30} = 2^{15} \cdot (-i) = -2^{15} i$.

(B) वृत्त का समीकरण $x^{2}+y^{2}=r^{2}$ है,जिसका केंद्र $O(0,0)$ और त्रिज्या $r$ है।
माना जीवा $AB$ की लंबाई $AB=r$ है।
माना $M$ जीवा $AB$ का मध्य बिंदु है। अतः $OM \perp AB$.
समकोण त्रिभुज $\Delta OAM$ में,$OA=r$ (त्रिज्या) और $AM = \frac{AB}{2} = \frac{r}{2}$ है।
पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार,$OM^{2} = OA^{2} - AM^{2} = r^{2} - (\frac{r}{2})^{2} = \frac{3r^{2}}{4}$ है।
अतः,$OM = \frac{r\sqrt{3}}{2}$ है।
केंद्र $(0,0)$ से रेखा $2x-y+3=0$ की लंबवत दूरी $d = \frac{|2(0) - (0) + 3|}{\sqrt{2^{2} + (-1)^{2}}} = \frac{3}{\sqrt{5}}$ है।
$OM = d$ रखने पर,$\frac{r\sqrt{3}}{2} = \frac{3}{\sqrt{5}}$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$\frac{3r^{2}}{4} = \frac{9}{5}$ है।
अतः,$r^{2} = \frac{9}{5} \times \frac{4}{3} = \frac{12}{5}$ है।

(B) दिए गए आँकड़ों $3, 5, 7, a, b$ के लिए माध्य $\bar{x} = 5$ है।
$\frac{3+5+7+a+b}{5} = 5$ $\Rightarrow 15+a+b = 25$ $\Rightarrow a+b = 10$.
दिया गया मानक विचलन $\sigma = 2$ है।
$\sigma^{2} = \frac{\sum x_{i}^{2}}{n} - (\bar{x})^{2} = 4$.
$\frac{3^{2}+5^{2}+7^{2}+a^{2}+b^{2}}{5} - 5^{2} = 4$.
$\frac{9+25+49+a^{2}+b^{2}}{5} = 29$.
$83+a^{2}+b^{2} = 145 \Rightarrow a^{2}+b^{2} = 62$.
हम जानते हैं कि $(a+b)^{2} = a^{2}+b^{2}+2ab$.
$10^{2} = 62+2ab$ $\Rightarrow 100-62 = 2ab$ $\Rightarrow 2ab = 38$ $\Rightarrow ab = 19$.
$a$ और $b$ मूलों वाला द्विघात समीकरण $x^{2} - (a+b)x + ab = 0$ है।
मान रखने पर,हमें $x^{2} - 10x + 19 = 0$ प्राप्त होता है।

(B) रेखा $y=mx+c$ के अतिपरवलय $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ की स्पर्शरेखा होने की शर्त $c^{2}=a^{2}m^{2}-b^{2}$ है।
दिए गए अतिपरवलय $\frac{x^{2}}{100}-\frac{y^{2}}{64}=1$ के लिए,$a^{2}=100$ और $b^{2}=64$ है,इसलिए $c^{2}=100m^{2}-64$ है।
रेखा $y=mx+c$ के वृत्त $x^{2}+y^{2}=r^{2}$ की स्पर्शरेखा होने की शर्त $c^{2}=r^{2}(1+m^{2})$ है।
दिए गए वृत्त $x^{2}+y^{2}=36$ के लिए,$r^{2}=36$ है,इसलिए $c^{2}=36(1+m^{2})$ है।
$c^{2}$ के लिए दोनों व्यंजकों की तुलना करने पर:
$100m^{2}-64=36(1+m^{2})$
$100m^{2}-64=36+36m^{2}$
$64m^{2}=100$
$m^{2}=\frac{100}{64}=\frac{25}{16}$ है।
अब,$m^{2}$ का मान वृत्त की शर्त में रखने पर:
$c^{2}=36(1+\frac{25}{16})$
$c^{2}=36(\frac{16+25}{16})$
$c^{2}=36(\frac{41}{16})$
$c^{2}=\frac{9 \times 41}{4}$
$4c^{2}=369$।

(D) मान लीजिए कि खंड $A, B,$ और $C$ से चुने गए प्रश्नों की संख्या क्रमशः $n_1, n_2,$ और $n_3$ है,ताकि $n_1 + n_2 + n_3 = 5$ और $n_i \ge 1$ हो।
संभावित वितरण $(n_1, n_2, n_3)$ हैं:
$1. (1, 2, 2)$ और इसके क्रमपरिवर्तन: $(1, 2, 2), (2, 1, 2), (2, 2, 1)$ (कुल $3$ तरीके)।
$2. (1, 1, 3)$ और इसके क्रमपरिवर्तन: $(1, 1, 3), (1, 3, 1), (3, 1, 1)$ (कुल $3$ तरीके)।
स्थिति $(1, 2, 2)$ के लिए तरीकों की संख्या $= \binom{5}{1} \times \binom{5}{2} \times \binom{5}{2} = 5 \times 10 \times 10 = 500$।
चूंकि ऐसे $3$ क्रमपरिवर्तन हैं,इसलिए कुल तरीके $= 3 \times 500 = 1500$।
स्थिति $(1, 1, 3)$ के लिए तरीकों की संख्या $= \binom{5}{1} \times \binom{5}{1} \times \binom{5}{3} = 5 \times 5 \times 10 = 250$।
चूंकि ऐसे $3$ क्रमपरिवर्तन हैं,इसलिए कुल तरीके $= 3 \times 250 = 750$।
कुल तरीके $= 1500 + 750 = 2250$।

(C) यह जांचने के लिए कि क्या कथन $(p$ $\rightarrow (q$ $\rightarrow p))$ $\rightarrow (p$ $\rightarrow (p \vee q))$ एक पुनरुक्ति है,हम सत्यता सारणी (truth table) बनाते हैं।

$p$	$q$	$q \rightarrow p$	$p$ $\rightarrow (q$ $\rightarrow p)$	$p \vee q$	$p \rightarrow (p \vee q)$	$(p$ $\rightarrow (q$ $\rightarrow p))$ $\rightarrow (p$ $\rightarrow (p \vee q))$
$T$	$T$	$T$	$T$	$T$	$T$	$T$
$T$	$F$	$T$	$T$	$T$	$T$	$T$
$F$	$T$	$F$	$T$	$T$	$T$	$T$
$F$	$F$	$T$	$T$	$F$	$T$	$T$

चूंकि अंतिम कॉलम में सभी मान $T$ (सत्य) हैं,इसलिए यह कथन एक पुनरुक्ति है।

(A) दिया गया है $L = \sin^{2}\left(\frac{\pi}{16}\right) - \sin^{2}\left(\frac{\pi}{8}\right)$.
सर्वसमिका $\sin^{2} \theta = \frac{1 - \cos 2\theta}{2}$ का उपयोग करने पर:
$L = \left(\frac{1 - \cos(\pi/8)}{2}\right) - \left(\frac{1 - \cos(\pi/4)}{2}\right)$
$L = \frac{1}{2} \left[ \cos(\pi/4) - \cos(\pi/8) \right] = \frac{1}{2\sqrt{2}} - \frac{1}{2} \cos\left(\frac{\pi}{8}\right)$.
दिया गया है $M = \cos^{2}\left(\frac{\pi}{16}\right) - \sin^{2}\left(\frac{\pi}{8}\right)$.
सर्वसमिका $\cos^{2} \theta = \frac{1 + \cos 2\theta}{2}$ और $\sin^{2} \theta = \frac{1 - \cos 2\theta}{2}$ का उपयोग करने पर:
$M = \left(\frac{1 + \cos(\pi/8)}{2}\right) - \left(\frac{1 - \cos(\pi/4)}{2}\right)$
$M = \frac{1}{2} \cos\left(\frac{\pi}{8}\right) + \frac{1}{2\sqrt{2}}$.
अतः,विकल्प $A$ सही है.

(C) हमारे पास $(1+x+x^{2}+x^{3})^{6} = ((1+x)(1+x^{2}))^{6} = (1+x)^{6}(1+x^{2})^{6}$ है।
द्विपद विस्तार का उपयोग करते हुए,$(1+x)^{6} = \sum_{r=0}^{6} {}^{6}C_{r} x^{r}$ और $(1+x^{2})^{6} = \sum_{t=0}^{6} {}^{6}C_{t} x^{2t}$ है।
गुणनफल $\sum_{r=0}^{6} \sum_{t=0}^{6} {}^{6}C_{r} {}^{6}C_{t} x^{r+2t}$ है।
$x^{4}$ का गुणांक ज्ञात करने के लिए,$r+2t = 4$ रखते हैं। संभावित पूर्णांक हल $(r, t)$ इस प्रकार हैं:

$r$	$t$
$0$	$2$
$2$	$1$
$4$	$0$

गुणांक ${}^{6}C_{0} \times {}^{6}C_{2} + {}^{6}C_{2} \times {}^{6}C_{1} + {}^{6}C_{4} \times {}^{6}C_{0}$ है।
$= (1 \times 15) + (15 \times 6) + (15 \times 1) = 15 + 90 + 15 = 120$.

(A) माना पद $a_1 = 3^{2 \sin 2 \alpha - 1}$,$a_2 = 14$,और $a_3 = 3^{4 - 2 \sin 2 \alpha}$ हैं।
चूंकि वे $A.P.$ में हैं,$2a_2 = a_1 + a_3$.
$2(14) = 3^{2 \sin 2 \alpha - 1} + 3^{4 - 2 \sin 2 \alpha} = 28$.
माना $x = 3^{2 \sin 2 \alpha}$। तो समीकरण $\frac{x}{3} + \frac{81}{x} = 28$ बन जाता है।
$x^2 - 84x + 243 = 0$.
$(x - 81)(x - 3) = 0$,इसलिए $x = 81$ या $x = 3$.
यदि $x = 3$ है,तो $3^{2 \sin 2 \alpha} = 3^1 \implies 2 \sin 2 \alpha = 1 \implies \sin 2 \alpha = 0.5$.
तब $a_1 = 3^{1-1} = 1$ और $a_2 = 14$। सार्व अंतर $d = 14 - 1 = 13$ है।
छठा पद $T_6 = a_1 + 5d = 1 + 5(13) = 1 + 65 = 66$.
यदि $x = 81$ है,तो $3^{2 \sin 2 \alpha} = 3^4 \implies 2 \sin 2 \alpha = 4 \implies \sin 2 \alpha = 2$,जो असंभव है।

(C) परवलय $y^{2}=4x$ के लिए $m$ ढाल वाली स्पर्शरेखा का समीकरण $y=mx+\frac{1}{m}$ है।
परवलय $x^{2}=4y$ के लिए $m$ ढाल वाली स्पर्शरेखा का समीकरण $y=mx-m^{2}$ है।
उभयनिष्ठ स्पर्शरेखा के लिए,अंतःखंडों की तुलना करने पर: $\frac{1}{m}=-m^{2}$,जिसका अर्थ है $m^{3}=-1$,अतः $m=-1$.
$m=-1$ को स्पर्शरेखा के समीकरण में रखने पर,हमें $y=-x-1$ या $x+y+1=0$ प्राप्त होता है।
यह रेखा वृत्त $x^{2}+y^{2}=c^{2}$ को स्पर्श करती है। केंद्र $(0,0)$ से रेखा $x+y+1=0$ की लंबवत दूरी त्रिज्या $c$ के बराबर होनी चाहिए।
सूत्र $d=\frac{|ax_{0}+by_{0}+k|}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}$ का उपयोग करने पर,$c=\frac{|0+0+1|}{\sqrt{1^{2}+1^{2}}}=\frac{1}{\sqrt{2}}$ प्राप्त होता है।

(C) दिया गया व्यंजक $x \leftrightarrow \sim y$ है।
हम जानते हैं कि $p \leftrightarrow q \equiv (p$ $\rightarrow q) \wedge (q$ $\rightarrow p)$.
अतः,$x \leftrightarrow \sim y \equiv (x$ $\rightarrow \sim y) \wedge (\sim y$ $\rightarrow x)$.
सर्वसमिका $p \rightarrow q \equiv \sim p \vee q$ का उपयोग करने पर:
$x \leftrightarrow \sim y \equiv (\sim x \vee \sim y) \wedge (y \vee x)$.
अब,हम निषेध ज्ञात करते हैं:
$\sim(x \leftrightarrow \sim y) \equiv \sim((\sim x \vee \sim y) \wedge (x \vee y))$.
डी मॉर्गन के नियम के अनुसार,$\sim(A \wedge B) \equiv \sim A \vee \sim B$:
$\sim(x \leftrightarrow \sim y) \equiv \sim(\sim x \vee \sim y) \vee \sim(x \vee y)$.
पुनः डी मॉर्गन के नियम को लागू करने पर:
$\sim(x \leftrightarrow \sim y) \equiv (x \wedge y) \vee (\sim x \wedge \sim y)$.

(D) मान लीजिए $C$ कॉफी पसंद करने वाले लोगों का समुच्चय है और $T$ चाय पसंद करने वाले लोगों का समुच्चय है।
दिया गया है $n(C) = 73$ और $n(T) = 65$।
मान लीजिए $x = n(C \cap T)$ उन लोगों का प्रतिशत है जो दोनों पसंद करते हैं।
हम जानते हैं कि $n(C \cup T) = n(C) + n(T) - n(C \cap T) = 73 + 65 - x = 138 - x$।
चूंकि $n(C \cup T) \leq 100$,इसलिए $138 - x \leq 100$,जिसका अर्थ है $x \geq 38$।
साथ ही,केवल कॉफी पसंद करने वाले लोगों की संख्या $n(C) - x = 73 - x \geq 0$ है,इसलिए $x \leq 73$।
और केवल चाय पसंद करने वाले लोगों की संख्या $n(T) - x = 65 - x \geq 0$ है,इसलिए $x \leq 65$।
इन सबको मिलाने पर,हमें $38 \leq x \leq 65$ प्राप्त होता है।
इस प्रकार,$x$ को $[38, 65]$ की सीमा में होना चाहिए।
दिए गए विकल्पों की तुलना करने पर,$36$ सीमा $[38, 65]$ में नहीं है।
इसलिए,$x$ का मान $36$ नहीं हो सकता है।

(B) दिया गया समीकरण: $9x^{2}-18|x|+5=0$
चूंकि $x^{2} = |x|^{2}$,समीकरण $9|x|^{2}-18|x|+5=0$ हो जाता है।
माना $t = |x|$,तो $9t^{2}-18t+5=0$ है।
गुणनखंड करने पर: $9t^{2}-15t-3t+5=0$ है।
$3t(3t-5)-1(3t-5)=0$ है।
$(3t-1)(3t-5)=0$ है।
अतः,$|x| = \frac{1}{3}$ या $|x| = \frac{5}{3}$ है।
मूल $x = \frac{1}{3}, -\frac{1}{3}, \frac{5}{3}, -\frac{5}{3}$ हैं।
मूलों का गुणनफल $(\frac{1}{3}) \times (-\frac{1}{3}) \times (\frac{5}{3}) \times (-\frac{5}{3}) = \frac{25}{81}$ है।

(D) श्रेणी का $n$-वाँ पद $T_n = \tan ^{-1}\left(\frac{1}{n^2+n+1}\right)$ है।
हम इसे $T_n = \tan ^{-1}\left(\frac{(n+1)-n}{1+n(n+1)}\right) = \tan ^{-1}(n+1) - \tan ^{-1}(n)$ के रूप में लिख सकते हैं।
प्रथम $10$ पदों के लिए,योग $S$ इस प्रकार है:
$S = \sum_{n=1}^{10} (\tan ^{-1}(n+1) - \tan ^{-1}(n))$.
यह एक टेलीस्कोपिंग श्रेणी है:
$S = (\tan ^{-1}(2) - \tan ^{-1}(1)) + (\tan ^{-1}(3) - \tan ^{-1}(2)) + \ldots + (\tan ^{-1}(11) - \tan ^{-1}(10))$.
$S = \tan ^{-1}(11) - \tan ^{-1}(1)$.
सूत्र $\tan ^{-1}(x) - \tan ^{-1}(y) = \tan ^{-1}\left(\frac{x-y}{1+xy}\right)$ का उपयोग करने पर:
$S = \tan ^{-1}\left(\frac{11-1}{1+11 \times 1}\right) = \tan ^{-1}\left(\frac{10}{12}\right) = \tan ^{-1}\left(\frac{5}{6}\right)$.
अतः,$\tan (S) = \frac{5}{6}$।

(D) माना $z = x + iy$ है। तब $\overline{z} = x - iy$ है।
$\operatorname{Re}(z) = x$ और $\operatorname{Re}(\overline{z}) = x$ है।
चार शीर्ष $A(x + iy)$,$B(x - iy)$,$C(-x - iy)$ और $D(-x + iy)$ हैं।
वर्ग की भुजा की लंबाई $4$ इकाई दी गई है।
$A$ और $B$ के बीच की दूरी $|(x + iy) - (x - iy)| = |2iy| = 2|y| = 4$ है,जिसका अर्थ है कि $|y| = 2$ है।
$B$ और $C$ के बीच की दूरी $|(x - iy) - (-x - iy)| = |2x| = 2|x| = 4$ है,जिसका अर्थ है कि $|x| = 2$ है।
अतः,$|z| = \sqrt{x^2 + y^2} = \sqrt{2^2 + 2^2} = \sqrt{4 + 4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$ है।

(B) दीर्घवृत्त का दिया गया समीकरण $4x^{2} + 5y^{2} = 20$ है,जिसे $\frac{x^{2}}{5} + \frac{y^{2}}{4} = 1$ के रूप में लिखा जा सकता है।
माना दीर्घवृत्त पर बिंदु $P$ $(\sqrt{5} \cos \theta, 2 \sin \theta)$ है।
दूरी $PQ$ का वर्ग $PQ^{2} = (\sqrt{5} \cos \theta - 0)^{2} + (2 \sin \theta - (-4))^{2}$ द्वारा दिया जाता है।
$PQ^{2} = 5 \cos^{2} \theta + (2 \sin \theta + 4)^{2}$.
$PQ^{2} = 5(1 - \sin^{2} \theta) + 4 \sin^{2} \theta + 16 \sin \theta + 16$.
$PQ^{2} = 5 - 5 \sin^{2} \theta + 4 \sin^{2} \theta + 16 \sin \theta + 16$.
$PQ^{2} = -\sin^{2} \theta + 16 \sin \theta + 21$.
अधिकतम मान ज्ञात करने के लिए,हम पूर्ण वर्ग बनाते हैं: $PQ^{2} = -(\sin^{2} \theta - 16 \sin \theta + 64) + 64 + 21$.
$PQ^{2} = 85 - (\sin \theta - 8)^{2}$.
चूंकि $-1 \leq \sin \theta \leq 1$,व्यंजक $85 - (\sin \theta - 8)^{2}$ का मान तब अधिकतम होगा जब $\sin \theta = 1$ हो।
$\sin \theta = 1$ रखने पर,$PQ^{2} = 85 - (1 - 8)^{2} = 85 - (-7)^{2} = 85 - 49 = 36$.

(C) दी गई व्यंजक एक गुणोत्तर श्रेणी है जिसमें प्रथम पद $a = 2^{10}$,सार्व अनुपात $r = \frac{3}{2}$ और पदों की संख्या $n = 11$ है।
गुणोत्तर श्रेणी का योग $S' = a \frac{r^n - 1}{r - 1}$ सूत्र द्वारा प्राप्त होता है।
मान रखने पर: $S' = 2^{10} \frac{(\frac{3}{2})^{11} - 1}{\frac{3}{2} - 1} = 2^{10} \frac{\frac{3^{11}}{2^{11}} - 1}{\frac{1}{2}} = 2^{11} \left( \frac{3^{11} - 2^{11}}{2^{11}} \right) = 3^{11} - 2^{11}$.
दिया गया है कि $S' = S - 2^{11}$,इसलिए $3^{11} - 2^{11} = S - 2^{11}$.
अतः,$S = 3^{11}$.

(A) शांकव का दिया गया समीकरण $9x^{2} + 16y^{2} = 144$ है।
$144$ से भाग देने पर,हमें $\frac{x^{2}}{16} + \frac{y^{2}}{9} = 1$ प्राप्त होता है।
यह दीर्घवृत्त का मानक समीकरण $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ है,जहाँ $a^{2} = 16$ और $b^{2} = 9$ है।
अतः,$a = 4$ और $b = 3$ है।
उत्केंद्रता $e = \sqrt{1 - \frac{b^{2}}{a^{2}}} = \sqrt{1 - \frac{9}{16}} = \frac{\sqrt{7}}{4}$ है।
नाभियों के निर्देशांक $(\pm ae, 0) = (\pm \sqrt{7}, 0)$ हैं।
चूंकि $A$ और $B$ नाभियाँ हैं,दीर्घवृत्त की परिभाषा के अनुसार $PA + PB = 2a = 2 \times 4 = 8$ होगा।

(A) दिया गया समीकरण $p(x) = x^{2} - x - 2 = 0$ है।
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर,$(x - 2)(x + 1) = 0$ प्राप्त होता है,अतः मूल $x = 2$ और $x = -1$ हैं।
चूंकि $\alpha$ धनात्मक मूल है,इसलिए $\alpha = 2$।
सीमा व्यंजक में $\alpha = 2$ प्रतिस्थापित करने पर,$\lim_{x \rightarrow 2^{+}} \frac{\sqrt{1 - \cos(x^{2} - x - 2)}}{x + 2 - 4} = \lim_{x \rightarrow 2^{+}} \frac{\sqrt{1 - \cos(x^{2} - x - 2)}}{x - 2}$ प्राप्त होता है।
सर्वसमिका $1 - \cos(\theta) = 2 \sin^{2}(\frac{\theta}{2})$ का उपयोग करने पर,व्यंजक $\lim_{x \rightarrow 2^{+}} \frac{\sqrt{2 \sin^{2}(\frac{x^{2} - x - 2}{2})}}{x - 2}$ हो जाता है।
चूंकि $x \rightarrow 2^{+}$,$\sin(\frac{x^{2} - x - 2}{2})$ धनात्मक है,इसलिए $\sqrt{\sin^{2}(\theta)} = \sin(\theta)$।
यह सरल होकर $\lim_{x \rightarrow 2^{+}} \frac{\sqrt{2} \sin(\frac{(x - 2)(x + 1)}{2})}{x - 2}$ हो जाता है।
सीमा $\lim_{u \rightarrow 0} \frac{\sin(u)}{u} = 1$ का उपयोग करते हुए,$\frac{x + 1}{2}$ से गुणा और भाग करने पर:
$\lim_{x \rightarrow 2^{+}} \sqrt{2} \cdot \frac{\sin(\frac{(x - 2)(x + 1)}{2})}{\frac{(x - 2)(x + 1)}{2}} \cdot \frac{x + 1}{2} = \sqrt{2} \cdot 1 \cdot \frac{2 + 1}{2} = \frac{3\sqrt{2}}{2} = \frac{3}{\sqrt{2}}$।

(B) दो समांतर रेखाओं $Ax + By + C_1 = 0$ और $Ax + By + C_2 = 0$ के बीच की दूरी $d = \frac{|C_1 - C_2|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$ द्वारा दी जाती है।
पहले युग्म के लिए,$2x - y + 3 = 0$ को $4x - 2y + 6 = 0$ के रूप में लिखें। दूरी $\frac{1}{\sqrt{5}} = \frac{|\alpha - 6|}{\sqrt{4^2 + (-2)^2}} = \frac{|\alpha - 6|}{2\sqrt{5}}$ है।
अतः,$|\alpha - 6| = 2$,जिससे $\alpha = 8$ या $\alpha = 4$ प्राप्त होता है।
दूसरे युग्म के लिए,$2x - y + 3 = 0$ को $6x - 3y + 9 = 0$ के रूप में लिखें। दूरी $\frac{2}{\sqrt{5}} = \frac{|\beta - 9|}{\sqrt{6^2 + (-3)^2}} = \frac{|\beta - 9|}{3\sqrt{5}}$ है।
अतः,$|\beta - 9| = 6$,जिससे $\beta = 15$ या $\beta = 3$ प्राप्त होता है।
$\alpha$ और $\beta$ के सभी संभावित मानों का योग $(8 + 4) + (15 + 3) = 12 + 18 = 30$ है।

(C) $\left( x^{m} + x^{-2} \right)^{22}$ के विस्तार में सामान्य पद $T_{r+1} = {}^{22}C_{r} (x^{m})^{22-r} (x^{-2})^{r} = {}^{22}C_{r} x^{22m - mr - 2r}$ द्वारा दिया जाता है।
$x$ के गुणांक के लिए,हम $x$ के घातांक को $1$ के बराबर रखते हैं:
$22m - mr - 2r = 1 \implies r(m+2) = 22m - 1$।
हमें दिया गया है कि गुणांक $1540$ है,इसलिए ${}^{22}C_{r} = 1540$।
चूंकि ${}^{22}C_{3} = 1540$,इसलिए $r = 3$ या $r = 19$।
स्थिति $1$: यदि $r = 3$,तो $3(m+2) = 22m - 1 \implies 3m + 6 = 22m - 1 \implies 19m = 7$,जिससे $m = \frac{7}{19}$ प्राप्त होता है,जो एक प्राकृतिक संख्या नहीं है।
स्थिति $2$: यदि $r = 19$,तो $19(m+2) = 22m - 1 \implies 19m + 38 = 22m - 1 \implies 3m = 39 \implies m = 13$।
अतः,प्राकृतिक संख्या $m$ का मान $13$ है।

(D) शब्द $'SYLLABUS'$ में $8$ अक्षर हैं: $S, S, L, L, Y, A, B, U$।
इसमें $2$ समान अक्षरों के जोड़े ($S, S$ और $L, L$) और $4$ भिन्न अक्षर $(Y, A, B, U)$ हैं।
हमें $2$ समान और $2$ भिन्न अक्षरों का उपयोग करके $4$ अक्षरों वाला शब्द बनाना है।
चरण $1$: समान अक्षरों का जोड़ा चुनें। $2$ जोड़ों में से $1$ जोड़ा चुनने के $^2C_1 = 2$ तरीके हैं।
चरण $2$: शेष $5$ प्रकार के अक्षरों में से $2$ भिन्न अक्षर चुनने के $^5C_2 = 10$ तरीके हैं।
चरण $3$: $4$ अक्षरों की व्यवस्था (जहाँ $2$ समान हैं): $\frac{4!}{2!} = 12$।
कुल शब्द = $2 \times 10 \times 12 = 240$।

(B) प्रतिबंधात्मक कथन $(p \rightarrow q)$ का प्रतिधनात्मक $(\sim q \rightarrow \sim p)$ होता है।
यहाँ,$p$ कथन "$n^{3}-1$ सम है" है और $q$ कथन "$n$ विषम है" है।
निषेध $\sim q$ का अर्थ है "$n$ विषम नहीं है",जिसका अर्थ है "$n$ सम है"।
निषेध $\sim p$ का अर्थ है "$n^{3}-1$ सम नहीं है",जिसका अर्थ है "$n^{3}-1$ विषम है"।
अतः,प्रतिधनात्मक कथन है: "एक पूर्णांक $n$ के लिए,यदि $n$ सम है,तो $n^{3}-1$ विषम है।"

(D) दीर्घवृत्त $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ के बिंदु $(x_{1}, y_{1})$ पर अभिलंब का समीकरण $\frac{a^{2}x}{x_{1}}-\frac{b^{2}y}{y_{1}}=a^{2}e^{2}$ है।
नाभिलंब के एक सिरे के निर्देशांक $(ae, \frac{b^{2}}{a})$ हैं।
इन मानों को अभिलंब के समीकरण में रखने पर:
$\frac{a^{2}x}{ae}-\frac{b^{2}y}{b^{2}/a} = a^{2}e^{2}$
$\frac{ax}{e}-ay = a^{2}e^{2} \Rightarrow \frac{x}{e}-y = ae^{2}$.
चूंकि यह अभिलंब लघु अक्ष के एक सिरे $(0, b)$ से होकर गुजरता है,इसलिए:
$0 - b = ae^{2} \Rightarrow b = -ae^{2}$.
लंबाई धनात्मक होने के कारण $b = ae^{2}$ लेने पर,$b^{2} = a^{2}e^{4}$ प्राप्त होता है।
$b^{2} = a^{2}(1-e^{2})$ का उपयोग करने पर:
$a^{2}(1-e^{2}) = a^{2}e^{4}$
$1-e^{2} = e^{4} \Rightarrow e^{4}+e^{2}-1=0$.

(C) दिया गया समीकरण $2x(2x+1)=1$ है,जो $4x^{2}+2x-1=0$ में सरल हो जाता है।
चूंकि $\alpha$ और $\beta$ मूल हैं,इसलिए $\alpha+\beta = -\frac{1}{2}$ होगा।
अतः,$\beta = -\frac{1}{2} - \alpha$।
चूंकि $\alpha$ एक मूल है,यह $4\alpha^{2}+2\alpha-1=0$ को संतुष्ट करता है,जिसका अर्थ है $1 = 4\alpha^{2}+2\alpha$।
$\beta$ के व्यंजक में यह मान रखने पर:
$\beta = -\frac{4\alpha^{2}+2\alpha}{2} - \alpha = -2\alpha^{2} - \alpha - \alpha = -2\alpha^{2} - 2\alpha = -2\alpha(\alpha+1)$।

(C) दिया गया है $z = x + iy$ और $z^{2} = i|z|^{2}.$
$z = x + iy$ और $|z|^{2} = x^{2} + y^{2}$ का मान समीकरण में रखने पर:
$(x + iy)^{2} = i(x^{2} + y^{2})$
$x^{2} - y^{2} + 2ixy = i(x^{2} + y^{2})$
वास्तविक और काल्पनिक भागों की तुलना करने पर:
वास्तविक भाग: $x^{2} - y^{2} = 0 \Rightarrow (x - y)(x + y) = 0$
काल्पनिक भाग: $2xy = x^{2} + y^{2}$ $\Rightarrow x^{2} - 2xy + y^{2} = 0$ $\Rightarrow (x - y)^{2} = 0$
काल्पनिक भाग से,हमें $x = y$ प्राप्त होता है।
$x = y$ को वास्तविक भाग के समीकरण में रखने पर: $y^{2} - y^{2} = 0,$ जो संतुष्ट होता है।
अतः,$z$ रेखा $y = x$ पर स्थित है।

(B) माना $A.P.$ $a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{n}$ का सार्व अंतर $d$ है।
तब $A.P.$ $b_{1}, b_{2}, \ldots, b_{m}$ का सार्व अंतर $d + 2$ है।
प्रथम $A.P.$ के लिए,$a_{40} = a + 39d = -159$ और $a_{100} = a + 99d = -399$ है।
इन समीकरणों को घटाने पर: $(a + 99d) - (a + 39d) = -399 - (-159)$ $\Rightarrow 60d = -240$ $\Rightarrow d = -4$ प्राप्त होता है।
$d = -4$ को $a + 39d = -159$ में रखने पर: $a + 39(-4) = -159$ $\Rightarrow a - 156 = -159$ $\Rightarrow a = -3$ प्राप्त होता है।
अब,$a_{70} = a + 69d = -3 + 69(-4) = -3 - 276 = -279$ है।
दिया गया है कि $b_{100} = a_{70}$,अतः $b_{100} = -279$ है।
दूसरे $A.P.$ के $n$ वें पद के सूत्र का उपयोग करने पर: $b_{100} = b_{1} + 99(d + 2) = -279$ है।
$d = -4$ रखने पर: $b_{1} + 99(-4 + 2) = -279 \Rightarrow b_{1} + 99(-2) = -279$ है।
$b_{1} - 198 = -279 \Rightarrow b_{1} = -279 + 198 = -81$ प्राप्त होता है।

(A) माना शिखर की ऊँचाई $h$ है। प्रारंभिक बिंदु से,$\tan 45^{\circ} = \frac{h}{d} \Rightarrow d = h$,जहाँ $d$ पर्वत के आधार तक की क्षैतिज दूरी है।
$30^{\circ}$ के कोण पर $1 \ km$ चढ़ने के बाद,नई स्थिति ऊँचाई $x = 1 \cdot \sin 30^{\circ} = \frac{1}{2} \ km$ और प्रारंभिक बिंदु से क्षैतिज दूरी $z = 1 \cdot \cos 30^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2} \ km$ पर है।
पर्वत तक की नई क्षैतिज दूरी $y = d - z = h - \frac{\sqrt{3}}{2}$ है।
वर्तमान स्थिति के सापेक्ष नई ऊँचाई $h - x = h - \frac{1}{2}$ है।
चूँकि नया उन्नयन कोण $60^{\circ}$ है,इसलिए $\tan 60^{\circ} = \frac{h - x}{y}$ होगा।
$\sqrt{3} = \frac{h - 1/2}{h - \sqrt{3}/2}$.
$\sqrt{3}(h - \frac{\sqrt{3}}{2}) = h - \frac{1}{2}$.
$\sqrt{3}h - \frac{3}{2} = h - \frac{1}{2}$.
$h(\sqrt{3} - 1) = \frac{3}{2} - \frac{1}{2} = 1$.
$h = \frac{1}{\sqrt{3} - 1}$.

(C) दिया गया है $P(A)=0.6, P(B)=0.4, P(C)=0.5, P(A \cup B)=0.8, P(A \cap C)=0.3, P(A \cap B \cap C)=0.2$.
$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$ का उपयोग करने पर,$0.8 = 0.6 + 0.4 - P(A \cap B)$,अतः $P(A \cap B) = 0.2$.
सूत्र $P(A \cup B \cup C) = P(A) + P(B) + P(C) - P(A \cap B) - P(B \cap C) - P(C \cap A) + P(A \cap B \cap C)$ का उपयोग करने पर:
$\alpha = 0.6 + 0.4 + 0.5 - 0.2 - \beta - 0.3 + 0.2 = 1.2 - \beta$.
दिया गया है $0.85 \leq \alpha \leq 0.95$,इसलिए $0.85 \leq 1.2 - \beta \leq 0.95$.
सभी पदों से $1.2$ घटाने पर: $-0.35 \leq -\beta \leq -0.25$.
$-1$ से गुणा करने पर असमिका बदल जाएगी: $0.25 \leq \beta \leq 0.35$.
अतः,$\beta \in [0.25, 0.35]$.

(C) $\left(\sqrt{x}-\frac{k}{x^{2}}\right)^{10}$ के विस्तार में व्यापक पद $T_{r+1}$ इस प्रकार है:
$T_{r+1} = {}^{10}C_{r} (x^{1/2})^{10-r} (-k x^{-2})^{r}$
$T_{r+1} = {}^{10}C_{r} x^{(10-r)/2} (-k)^{r} x^{-2r}$
$T_{r+1} = {}^{10}C_{r} (-k)^{r} x^{(10-5r)/2}$
अचर पद के लिए,$x$ का घातांक $0$ होना चाहिए:
$\frac{10-5r}{2} = 0$ $\Rightarrow 5r = 10$ $\Rightarrow r = 2$
$r = 2$ रखने पर:
$T_{3} = {}^{10}C_{2} (-k)^{2} = 405$
$45 \cdot k^{2} = 405$
$k^{2} = \frac{405}{45} = 9$
$|k| = \sqrt{9} = 3$

(C) $x$-अंतःखंड $3$ और $y$-अंतःखंड $1$ वाली रेखा $L$ का समीकरण $\frac{x}{3} + \frac{y}{1} = 1$ है,जो $x + 3y - 3 = 0$ के रूप में सरल होता है।
रेखा $ax + by + c = 0$ में बिंदु $(x_0, y_0) = (-1, -4)$ का प्रतिबिंब $(x', y')$ ज्ञात करने के लिए सूत्र $\frac{x' - x_0}{a} = \frac{y' - y_0}{b} = -2 \frac{ax_0 + by_0 + c}{a^2 + b^2}$ का उपयोग करते हैं।
मान रखने पर: $\frac{x' + 1}{1} = \frac{y' + 4}{3} = -2 \frac{1(-1) + 3(-4) - 3}{1^2 + 3^2}$.
$\frac{x' + 1}{1} = \frac{y' + 4}{3} = -2 \frac{-16}{10} = \frac{16}{5}$.
$x'$ के लिए: $x' + 1 = \frac{16}{5} \Rightarrow x' = \frac{11}{5}$.
$y'$ के लिए: $\frac{y' + 4}{3} = \frac{16}{5}$ $\Rightarrow y' + 4 = \frac{48}{5}$ $\Rightarrow y' = \frac{28}{5}$.
अतः,प्रतिबिंब $\left(\frac{11}{5}, \frac{28}{5}\right)$ है।

(B) परवलय का समीकरण $y=x^{2}$ है।
बिंदु $(2,4)$ पर स्पर्श रेखा की ढाल $\left.\frac{dy}{dx}\right|_{(2,4)} = 2x|_{x=2} = 4$ है।
$(2,4)$ पर स्पर्श रेखा का समीकरण $(y-4) = 4(x-2)$ अर्थात $4x-y-4=0$ है।
परवलय को $(2,4)$ पर स्पर्श करने वाले वृत्तों का परिवार $(x-2)^{2} + (y-4)^{2} + \lambda(4x-y-4) = 0$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि वृत्त $(0,1)$ से गुजरता है,$x=0$ और $y=1$ रखने पर:
$(0-2)^{2} + (1-4)^{2} + \lambda(4(0)-1-4) = 0$
$4 + 9 - 5\lambda = 0$ $\Rightarrow 13 = 5\lambda$ $\Rightarrow \lambda = \frac{13}{5}$.
$\lambda = \frac{13}{5}$ को वृत्त के समीकरण में रखने पर:
$x^{2} + y^{2} + \frac{32}{5}x - \frac{53}{5}y + \frac{48}{5} = 0$.
वृत्त $x^{2} + y^{2} + 2gx + 2fy + c = 0$ का केंद्र $(-g, -f)$ होता है।
यहाँ,$g = \frac{16}{5}$ और $f = -\frac{53}{10}$ है।
अतः,केंद्र $(-\frac{16}{5}, \frac{53}{10})$ है।

(C) $LETTER$ शब्द में $6$ अक्षर हैं: $L, E, T, T, E, R$.
स्वर $E, E$ हैं और व्यंजन $L, T, T, R$ हैं।
सबसे पहले,व्यंजनों $L, T, T, R$ को व्यवस्थित करें। इन्हें व्यवस्थित करने के तरीकों की संख्या $\frac{4!}{2!} = 12$ है।
इन $4$ व्यंजनों द्वारा $5$ रिक्त स्थान बनते हैं (सिरों सहित) जहाँ $2$ स्वरों को रखा जा सकता है: $\_ L \_ T \_ T \_ R \_$.
$5$ में से $2$ स्थानों को चुनने के तरीकों की संख्या $^{5}C_{2} = 10$ है।
$2$ स्वर $(E, E)$ समान हैं,इसलिए उन्हें चुने गए स्थानों में $\frac{2!}{2!} = 1$ तरीके से व्यवस्थित किया जा सकता है।
कुल शब्दों की संख्या = $12 \times 10 \times 1 = 120$.

(D) माध्य $\text{Mean} = \frac{\sum_{i=0}^{n} x_i f_i}{\sum_{i=0}^{n} f_i}$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ,$x_i = 2^i$ और $f_i = {}^nC_i$ है।
अतः,$\text{Mean} = \frac{\sum_{i=0}^{n} 2^i {}^nC_i}{\sum_{i=0}^{n} {}^nC_i}$.
द्विपद प्रमेय का उपयोग करते हुए,$\sum_{i=0}^{n} {}^nC_i = (1+1)^n = 2^n$.
साथ ही,$\sum_{i=0}^{n} 2^i {}^nC_i = (1+2)^n = 3^n$.
अतः,$\text{Mean} = \frac{3^n}{2^n}$.
दिया गया है कि $\text{Mean} = \frac{728}{2^n}$,इसलिए $\frac{3^n - 1}{2^n} = \frac{728}{2^n}$ (क्योंकि $x=0$ के लिए $2^0=1$ और $f_0={}^nC_0=1$ है)।
इससे $3^n - 1 = 728$,अर्थात $3^n = 729$ प्राप्त होता है।
चूँकि $3^6 = 729$,इसलिए $n = 6$।

(A) दीर्घवृत्त की नाभि से उसके किसी भी स्पर्शरेखा पर खींचे गए लंब के पाद का बिंदुपथ उसका सहायक वृत्त (auxiliary circle) होता है।
दीर्घवृत्त $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ के लिए,सहायक वृत्त $x^{2}+y^{2}=a^{2}$ है।
दिए गए दीर्घवृत्त $\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{2}=1$ के लिए,$a^{2}=4$ है।
अतः,बिंदुपथ $x^{2}+y^{2}=4$ है।
दिए गए बिंदुओं की जाँच करने पर:
$A: (-1)^{2}+(\sqrt{3})^{2} = 1+3=4$ (संतुष्ट करता है)
अतः,बिंदु $(-1, \sqrt{3})$ बिंदुपथ पर स्थित है।

(B) मान लीजिए कि तीन परिवार $F_1, F_2,$ और $F_3$ हैं। इन परिवारों में सदस्यों की संख्या क्रमशः $3, 3,$ और $4$ है।
चूंकि एक ही परिवार के सदस्य एक साथ रहने चाहिए,इसलिए हम प्रत्येक परिवार को एक इकाई के रूप में मान सकते हैं।
ऐसी $3$ इकाइयाँ (परिवार) हैं जिन्हें आपस में $3!$ तरीकों से व्यवस्थित किया जा सकता है।
प्रत्येक परिवार के भीतर,सदस्यों को आपस में व्यवस्थित किया जा सकता है:
- परिवार $1$ ($3$ सदस्य) को $3!$ तरीकों से व्यवस्थित किया जा सकता है।
- परिवार $2$ ($3$ सदस्य) को $3!$ तरीकों से व्यवस्थित किया जा सकता है।
- परिवार $3$ ($4$ सदस्य) को $4!$ तरीकों से व्यवस्थित किया जा सकता है।
इसलिए,कुल तरीकों की संख्या $3! \times (3! \times 3! \times 4!) = (3!)^2 \times 3! \times 4!$ है।

(A) हमें $\frac{3^{200}}{8}$ का भिन्नात्मक भाग ज्ञात करना है।
$\frac{3^{200}}{8} = \frac{(3^2)^{100}}{8} = \frac{9^{100}}{8}$.
हम $9$ को $(1 + 8)$ के रूप में लिख सकते हैं।
अतः,$\frac{9^{100}}{8} = \frac{(1 + 8)^{100}}{8}$.
द्विपद प्रमेय का उपयोग करते हुए,$(1 + 8)^{100} = 1 + \binom{100}{1}8 + \binom{100}{2}8^2 + \dots + \binom{100}{100}8^{100}$.
इसे $8$ से विभाजित करने पर,$\frac{(1 + 8)^{100}}{8} = \frac{1}{8} + \binom{100}{1} + \binom{100}{2}8 + \dots + \binom{100}{100}8^{99}$.
चूंकि $\binom{100}{1} + \binom{100}{2}8 + \dots + \binom{100}{100}8^{99}$ एक पूर्णांक है,मान लीजिए यह $k$ है।
तब $\frac{3^{200}}{8} = k + \frac{1}{8}$.
भिन्नात्मक भाग $\{ p \}$ की परिभाषा के अनुसार,$\left\{\frac{3^{200}}{8}\right\} = \left\{ k + \frac{1}{8} \right\} = \frac{1}{8}$.

(C) मान लीजिए कि $11$ क्रमागत प्राकृतिक संख्याएँ $n, n+1, n+2, \dots, n+10$ हैं।
$11$ में से $3$ संख्याएँ चुनने के कुल तरीके ${}^{11}C_{3} = \frac{11 \times 10 \times 9}{3 \times 2 \times 1} = 165$ हैं।
तीन संख्याओं $a, b, c$ के $A.P.$ में होने के लिए,उन्हें $a + c = 2b$ को संतुष्ट करना होगा। इसका अर्थ है कि $a + c$ एक सम संख्या होनी चाहिए।
$a + c$ सम होता है यदि $a$ और $c$ दोनों सम हों या $a$ और $c$ दोनों विषम हों।
स्थिति $1$: $11$ क्रमागत संख्याओं में $6$ सम और $5$ विषम संख्याएँ होती हैं।
$2$ सम संख्याएँ चुनने के तरीके ${}^{6}C_{2} = 15$ हैं।
$2$ विषम संख्याएँ चुनने के तरीके ${}^{5}C_{2} = 10$ हैं।
कुल अनुकूल स्थितियाँ $= 15 + 10 = 25$ हैं।
स्थिति $2$: $11$ क्रमागत संख्याओं में $5$ सम और $6$ विषम संख्याएँ होती हैं।
$2$ सम संख्याएँ चुनने के तरीके ${}^{5}C_{2} = 10$ हैं।
$2$ विषम संख्याएँ चुनने के तरीके ${}^{6}C_{2} = 15$ हैं।
कुल अनुकूल स्थितियाँ $= 10 + 15 = 25$ हैं।
दोनों स्थितियों में,अनुकूल परिणामों की संख्या $25$ है।
अतः,प्रायिकता $P = \frac{25}{165} = \frac{5}{33}$ है।

(B) मानक विचलन $(S.D.)$ का सूत्र:
$S.D. = \sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{n}(x_{i}-a)^{2}}{n} - \left(\frac{\sum_{i=1}^{n}(x_{i}-a)}{n}\right)^{2}}$
दिया गया है कि $\sum_{i=1}^{n}(x_{i}-a) = n$ और $\sum_{i=1}^{n}(x_{i}-a)^{2} = na$:
$S.D. = \sqrt{\frac{na}{n} - \left(\frac{n}{n}\right)^{2}}$
$S.D. = \sqrt{a - 1^{2}}$
$S.D. = \sqrt{a-1}$

(A) परवलय $y^{2}=4a(x-h)$ की स्पर्श रेखा का समीकरण $y=m(x-h)+\frac{a}{m}$ होता है।
परवलय $y^{2}=4(x+1)$ के लिए,$a=1$ और $h=-1$ है। स्पर्श रेखा $L_{1}$ का समीकरण $y=m(x+1)+\frac{1}{m}$ है,जिसे $y=mx+m+\frac{1}{m}$ लिखा जा सकता है।
परवलय $y^{2}=8(x+2)$ के लिए,$a=2$ और $h=-2$ है। स्पर्श रेखा $L_{2}$ का समीकरण $y=m'(x+2)+\frac{2}{m'}$ है,जिसे $y=m'x+2m'+\frac{2}{m'}$ लिखा जा सकता है।
चूंकि $L_{1}$ और $L_{2}$ समकोण पर प्रतिच्छेद करते हैं,इसलिए $m \cdot m' = -1$,अतः $m' = -\frac{1}{m}$।
$m'$ का मान $L_{2}$ के समीकरण में रखने पर:
$y = -\frac{1}{m}x + 2(-\frac{1}{m}) + \frac{2}{-1/m} = -\frac{1}{m}x - \frac{2}{m} - 2m = -\frac{1}{m}x - 2(m+\frac{1}{m})$.
$y$ के दोनों समीकरणों की तुलना करने पर:
$mx + m + \frac{1}{m} = -\frac{1}{m}x - 2(m+\frac{1}{m})$.
पदों को व्यवस्थित करने पर:
$(m+\frac{1}{m})x + (m+\frac{1}{m}) + 2(m+\frac{1}{m}) = 0$.
$(m+\frac{1}{m})(x+3) = 0$.
वास्तविक स्पर्श रेखाओं के लिए $m+\frac{1}{m} \neq 0$ होता है,इसलिए $x+3=0$ प्राप्त होता है।

(C) दिया गया व्यंजक: $p \vee (\sim p \wedge q)$
वितरण नियम का उपयोग करने पर: $p \vee (\sim p \wedge q) = (p \vee \sim p) \wedge (p \vee q)$
चूंकि $(p \vee \sim p) = T$ (पुनरुक्ति):
$= T \wedge (p \vee q) = p \vee q$
अब,$(p \vee q)$ का निषेध ज्ञात करने पर:
$\sim (p \vee q) = \sim p \wedge \sim q$
अतः,सही विकल्प $C$ है.

(B) माना बिंदु $A$ $(1, k)$ है। आपतित किरण रेखा $x=1$ के अभिलंब के साथ $30^{\circ}$ का कोण बनाती है। चित्र के अनुसार,यह क्षैतिज के साथ $60^{\circ}$ का कोण बनाती है।
आपतित किरण की ढाल $m_1 = \tan(180^{\circ} - 60^{\circ}) = -\sqrt{3}$ है।
समीकरण: $y - 2\sqrt{3} = -\sqrt{3}(x - 2) \implies y = -\sqrt{3}x + 4\sqrt{3}$।
$x=1$ के लिए,$y = -\sqrt{3} + 4\sqrt{3} = 3\sqrt{3}$। अतः $A = (1, 3\sqrt{3})$।
परावर्तित किरण क्षैतिज के साथ $-60^{\circ}$ का कोण बनाती है,इसलिए इसकी ढाल $m_2 = -\sqrt{3}$ है।
रेखा $AB$ का समीकरण $y - \sqrt{3} = -\sqrt{3}(x - 1) \implies y = -\sqrt{3}x + 2\sqrt{3}$ प्राप्त होता है।
विकल्प $B$ $(3, -\sqrt{3})$ के लिए: $y = -\sqrt{3}(3) + 2\sqrt{3} = -\sqrt{3}$। जो सही है।

(C) दिया गया समीकरण: $(a^{2}+b^{2}+c^{2}) p^{2} - 2(ab+bc+cd) p + (b^{2}+c^{2}+d^{2}) = 0$ है।
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर: $(a^{2}p^{2} - 2abp + b^{2}) + (b^{2}p^{2} - 2bcp + c^{2}) + (c^{2}p^{2} - 2cdp + d^{2}) = 0$ प्राप्त होता है।
इसे इस प्रकार लिखा जा सकता है: $(ap - b)^{2} + (bp - c)^{2} + (cp - d)^{2} = 0$।
चूंकि $a, b, c, d, p$ वास्तविक संख्याएँ हैं,वर्गों का योग शून्य तभी होता है जब प्रत्येक पद शून्य हो:
$ap - b = 0 \Rightarrow p = \frac{b}{a}$
$bp - c = 0 \Rightarrow p = \frac{c}{b}$
$cp - d = 0 \Rightarrow p = \frac{d}{c}$
अतः,$\frac{b}{a} = \frac{c}{b} = \frac{d}{c} = p$।
यह दर्शाता है कि $a, b, c, d$ $G.P.$ में हैं।

(D) दी गई असमिका $|z|-\operatorname{Re}(z) \leq 1$ है,जहाँ $z = x+iy$.
मान प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\sqrt{x^{2}+y^{2}} - x \leq 1$ प्राप्त होता है।
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर,$\sqrt{x^{2}+y^{2}} \leq 1+x$ प्राप्त होता है।
चूँकि वर्गमूल हमेशा गैर-ऋणात्मक होता है,इसलिए $1+x \geq 0$ अर्थात $x \geq -1$ होना चाहिए।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$x^{2}+y^{2} \leq (1+x)^{2}$ प्राप्त होता है।
दाएँ पक्ष का विस्तार करने पर,$x^{2}+y^{2} \leq 1+2x+x^{2}$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों से $x^{2}$ घटाने पर,$y^{2} \leq 2x+1$ प्राप्त होता है।
$2$ को उभयनिष्ठ लेने पर,हमें $y^{2} \leq 2\left(x+\frac{1}{2}\right)$ प्राप्त होता है।

(D) दिया गया द्विघात समीकरण $x^{2}-64x+256=0$ है।
मूलों के गुणों से,$\alpha+\beta = 64$ और $\alpha\beta = 256$ है।
हमें व्यंजक $E = \left(\frac{\alpha^{3}}{\beta^{5}}\right)^{\frac{1}{8}}+\left(\frac{\beta^{3}}{\alpha^{5}}\right)^{\frac{1}{8}}$ का मान ज्ञात करना है।
$E = \frac{\alpha^{3/8}}{\beta^{5/8}} + \frac{\beta^{3/8}}{\alpha^{5/8}}$.
लघुत्तम समापवर्त्य लेने पर,$E = \frac{\alpha^{3/8} \cdot \alpha^{5/8} + \beta^{3/8} \cdot \beta^{5/8}}{(\alpha\beta)^{5/8}}$.
$E = \frac{\alpha^{(3/8+5/8)} + \beta^{(3/8+5/8)}}{(\alpha\beta)^{5/8}} = \frac{\alpha+\beta}{(\alpha\beta)^{5/8}}$.
चूंकि $\alpha\beta = 256 = 2^{8}$,इसलिए $(\alpha\beta)^{5/8} = (2^{8})^{5/8} = 2^{5} = 32$.
मान रखने पर,$E = \frac{64}{32} = 2$.

(B) माना पहाड़ी की ऊँचाई $H$ है। प्रारंभिक बिंदु पहाड़ी के आधार से $H$ दूरी पर है क्योंकि उन्नयन कोण $45^{\circ}$ है।
$30^{\circ}$ के ढलान पर $80 \ m$ चलने के बाद,नया स्थान प्रारंभिक बिंदु से $80 \cos 30^{\circ} = 40\sqrt{3} \ m$ की क्षैतिज दूरी पर और क्षैतिज तल से $80 \sin 30^{\circ} = 40 \ m$ की ऊँचाई पर है।
पहाड़ी के आधार तक शेष क्षैतिज दूरी $H - 40\sqrt{3}$ है।
वर्तमान स्थिति से नई ऊँचाई $H - 40$ है।
नया उन्नयन कोण $75^{\circ}$ होने के कारण,$\tan 75^{\circ} = \frac{H - 40}{H - 40\sqrt{3}}$.
चूँकि $\tan 75^{\circ} = 2 + \sqrt{3}$,इसलिए $2 + \sqrt{3} = \frac{H - 40}{H - 40\sqrt{3}}$.
$(2 + \sqrt{3})(H - 40\sqrt{3}) = H - 40$.
$2H - 80\sqrt{3} + \sqrt{3}H - 120 = H - 40$.
$H(1 + \sqrt{3}) = 80 + 80\sqrt{3} = 80(1 + \sqrt{3})$.
$H = 80 \ m$.

(C) $k$ अवयवों वाले समुच्चय के उपसमुच्चयों की संख्या $2^k$ होती है।
दिया गया है कि $A$ के उपसमुच्चयों की संख्या $B$ के उपसमुच्चयों की संख्या से $112$ अधिक है,इसलिए समीकरण: $2^m - 2^n = 112$ है।
इसे $2^n(2^{m-n} - 1) = 112$ के रूप में लिखा जा सकता है।
चूंकि $112 = 16 \times 7 = 2^4 \times (2^3 - 1)$,हम पदों की तुलना करते हैं:
$2^n = 2^4 \implies n = 4$.
$2^{m-n} - 1 = 2^3 - 1 \implies m - n = 3$.
$n = 4$ रखने पर,$m - 4 = 3$,अतः $m = 7$.
इसलिए,$m \times n = 7 \times 4 = 28$.

(B) दिया गया वक्र समीकरण: $x^{4} e^{y}+2 \sqrt{y+1}=3$.
$x$ के सापेक्ष दोनों पक्षों का अवकलन करने पर:
$x^{4} e^{y} y^{\prime} + 4x^{3} e^{y} + \frac{2 y^{\prime}}{2 \sqrt{y+1}} = 0$.
बिंदु $P(1,0)$ पर,$x=1$ और $y=0$ रखने पर:
$(1)^{4} e^{0} y^{\prime} + 4(1)^{3} e^{0} + \frac{y^{\prime}}{\sqrt{0+1}} = 0$.
$y^{\prime} + 4 + y^{\prime} = 0$.
$2y^{\prime} = -4$,जिससे $y^{\prime} = -2$ प्राप्त होता है।
बिंदु $P(1,0)$ पर स्पर्शरेखा का समीकरण जिसका ढाल $m = -2$ है:
$y - 0 = -2(x - 1)$.
$y = -2x + 2$,या $2x + y = 2$.
विकल्पों की जाँच करने पर:
$(-2, 6)$ के लिए,$2(-2) + 6 = -4 + 6 = 2$.
अतः,बिंदु $(-2, 6)$ स्पर्शरेखा पर स्थित है।

(A) मान लीजिए कि गिराए गए बमों की संख्या $n$ है। बम के लक्ष्य को हिट करने की संभावना $p = \frac{1}{2}$ है,और चूकने की संभावना $q = 1 - p = \frac{1}{2}$ है।
यदि कम से कम $2$ हिट होते हैं तो लक्ष्य नष्ट हो जाता है। मान लीजिए $X$ हिट की संख्या है। हम चाहते हैं कि $P(X \geq 2) \geq 0.99$ हो।
यह $1 - P(X < 2) \geq 0.99$ के बराबर है,जिसका अर्थ है $1 - [P(X=0) + P(X=1)] \geq 0.99$।
द्विपद वितरण का उपयोग करते हुए,$P(X=k) = {}^{n}C_{k} p^k q^{n-k}$।
$1 - [{}^{n}C_{0} (\frac{1}{2})^n + {}^{n}C_{1} (\frac{1}{2})^n] \geq 0.99$
$1 - \frac{1 + n}{2^n} \geq 0.99$
$\frac{1 + n}{2^n} \leq 0.01 = \frac{1}{100}$
$2^n \geq 100(n + 1)$।
$n$ के मानों की जाँच करने पर:
$n=10$ के लिए: $2^{10} = 1024$,$100(11) = 1100$। $1024 \geq 1100$ गलत है।
$n=11$ के लिए: $2^{11} = 2048$,$100(12) = 1200$। $2048 \geq 1200$ सही है।
अतः,आवश्यक बमों की न्यूनतम संख्या $11$ है।

(B) समुच्चय $C$ उन सभी फलनों $f: A \rightarrow B$ से बना है जिनमें $2 \in f(A)$ है और $f$ एकैकी नहीं है।
$A$ से $B$ तक के कुल फलन जिनमें $2 \in f(A)$ है,की गणना इस प्रकार है: (कुल फलन) - (वे फलन जिनमें $2 \notin f(A)$ है)।
कुल फलन = $4^3 = 64$।
वे फलन जिनमें $2 \notin f(A)$ है = $3^3 = 27$।
अतः,वे फलन जिनमें $2 \in f(A)$ है = $64 - 27 = 37$।
अब,हम $37$ में से उन एकैकी फलनों की संख्या घटाएंगे जिनमें $2 \in f(A)$ है।
$A$ से $B$ तक के एकैकी फलनों की संख्या $^4P_3 = 4 \times 3 \times 2 = 24$ है।
इन $24$ एकैकी फलनों में से कितने फलनों के परिसर (range) में $2$ शामिल है?
कुल एकैकी फलन = $24$।
वे एकैकी फलन जिनमें $2 \notin f(A)$ है = $^3P_3 = 3 \times 2 \times 1 = 6$।
अतः,वे एकैकी फलन जिनमें $2 \in f(A)$ है = $24 - 6 = 18$।
इसलिए,उन फलनों की संख्या जो एकैकी नहीं हैं और जिनमें $2 \in f(A)$ है,$37 - 18 = 19$ है।

(D) वक्र का समीकरण $y = x^{2}-3x+2$ है।
जहाँ वक्र $x$-अक्ष को काटता है,उन बिंदुओं को ज्ञात करने के लिए,हम $y = 0$ रखते हैं:
$x^{2}-3x+2 = 0$
$(x-1)(x-2) = 0$
अतः,प्रतिच्छेदन बिंदु $A(1, 0)$ और $B(2, 0)$ हैं।
वक्र की स्पर्शरेखा की ढाल $\frac{dy}{dx} = 2x - 3$ द्वारा दी जाती है।
बिंदु $A(1, 0)$ पर,ढाल $m_1 = 2(1) - 3 = -1$ है।
बिंदु $B(2, 0)$ पर,ढाल $m_2 = 2(2) - 3 = 1$ है।
रेखा $x+y=a$ की ढाल $-1$ है। चूँकि यह वक्र को $A(1, 0)$ पर स्पर्श करती है,हम बिंदुओं के निर्देशांक को रेखा के समीकरण में रखते हैं:
$1 + 0 = a \implies a = 1$.
रेखा $x-y=b$ की ढाल $1$ है। चूँकि यह वक्र को $B(2, 0)$ पर स्पर्श करती है,हम बिंदुओं के निर्देशांक को रेखा के समीकरण में रखते हैं:
$2 - 0 = b \implies b = 2$.
अतः,$\frac{a}{b} = \frac{1}{2} = 0.50$.

(A) दिया गया है कि $\overrightarrow{a}$ पर $\overrightarrow{b}$ का प्रक्षेप = $\overrightarrow{a}$ पर $\overrightarrow{c}$ का प्रक्षेप।
$\Rightarrow \frac{\overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{a}}{|\overrightarrow{a}|} = \frac{\overrightarrow{c} \cdot \overrightarrow{a}}{|\overrightarrow{a}|} \Rightarrow \overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{a} = \overrightarrow{c} \cdot \overrightarrow{a}$.
साथ ही,$\overrightarrow{b}, \overrightarrow{c}$ पर लंबवत है,इसलिए $\overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{c} = 0$.
मान लीजिए $k = |\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} - \overrightarrow{c}|$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$k^2 = |\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} - \overrightarrow{c}|^2 = |\overrightarrow{a}|^2 + |\overrightarrow{b}|^2 + |\overrightarrow{c}|^2 + 2(\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}) - 2(\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{c}) - 2(\overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{c})$.
चूंकि $\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{c}$ और $\overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{c} = 0$,पद कट जाएंगे:
$k^2 = |\overrightarrow{a}|^2 + |\overrightarrow{b}|^2 + |\overrightarrow{c}|^2 + 2(\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} - \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{c}) - 2(0) = |\overrightarrow{a}|^2 + |\overrightarrow{b}|^2 + |\overrightarrow{c}|^2$.
दिए गए परिमाण $|\overrightarrow{a}|=2, |\overrightarrow{b}|=4, |\overrightarrow{c}|=4$ को प्रतिस्थापित करने पर:
$k^2 = 2^2 + 4^2 + 4^2 = 4 + 16 + 16 = 36$.
अतः,$k = \sqrt{36} = 6$.

(A) $f(x)$ के दो बार अवकलनीय होने के लिए,इसे $x = \pi$ पर सतत और अवकलनीय होना चाहिए।
$1$. $x = \pi$ पर सांतत्य:
$f(\pi^{-}) = f(\pi) = f(\pi^{+})$
$k_{1}(\pi-\pi)^{2} - 1 = k_{2} \cos(\pi)$
$-1 = -k_{2} \implies k_{2} = 1$.
$2$. प्रथम अवकलज $f'(x)$:
$f'(x) = \begin{cases} 2k_{1}(x-\pi), & x \leq \pi \\ -k_{2} \sin x, & x > \pi \end{cases}$
$x = \pi$ पर,$f'(\pi^{-}) = 2k_{1}(\pi-\pi) = 0$ और $f'(\pi^{+}) = -k_{2} \sin(\pi) = 0$.
चूंकि $0 = 0$,फलन $x = \pi$ पर किसी भी $k_{1}, k_{2}$ के लिए अवकलनीय है।
$3$. द्वितीय अवकलज $f''(x)$:
$f''(x) = \begin{cases} 2k_{1}, & x \leq \pi \\ -k_{2} \cos x, & x > \pi \end{cases}$
$f''(x)$ के $x = \pi$ पर सतत होने के लिए:
$f''(\pi^{-}) = f''(\pi^{+})$
$2k_{1} = -k_{2} \cos(\pi)$
$2k_{1} = -k_{2}(-1) = k_{2}$
चूंकि $k_{2} = 1$,इसलिए $2k_{1} = 1 \implies k_{1} = \frac{1}{2}$.
अतः,$(k_{1}, k_{2}) = (\frac{1}{2}, 1)$.

(B) समांतर षट्फलक का आयतन $V = |[\overrightarrow{a} \overrightarrow{b} \overrightarrow{c}]|$ द्वारा दिया जाता है।
$V = |\det(\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}, \overrightarrow{c})| = 158$
$\det(\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}, \overrightarrow{c}) = \begin{vmatrix} 1 & 1 & n \\ 2 & 4 & -n \\ 1 & n & 3 \end{vmatrix} = 1(12 + n^2) - 1(6 + n) + n(2n - 4)$
$= 12 + n^2 - 6 - n + 2n^2 - 4n = 3n^2 - 5n + 6$
चूंकि $V = 158$,इसलिए $|3n^2 - 5n + 6| = 158$। $n \geq 0$ दिया गया है,इसलिए $3n^2 - 5n + 6 = 158$।
$3n^2 - 5n - 152 = 0$। $n$ के लिए हल करने पर: $n = \frac{5 \pm 43}{6}$।
चूंकि $n \geq 0$,इसलिए $n = 8$।
अब,विकल्पों की जाँच करने पर:
$A$. $\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{c} = 1 + 4n = 1 + 4(8) = 33$।
$B$. $\overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{c} = 2 + n = 2 + 8 = 10$।
अतः,विकल्प $B$ सही है।

(A) माना $I = \int (e^{2x} + 2e^{x} - e^{-x} - 1) e^{(e^{x} + e^{-x})} dx$.
हम समाकल्य को इस प्रकार लिख सकते हैं:
$(e^{2x} + 2e^{x} - e^{-x} - 1) = e^{x}(e^{x} + 1) - e^{-x}(e^{x} + 1) + e^{x} = (e^{x} + 1)(e^{x} - e^{-x}) + e^{x}$.
अतः,$I = \int (e^{x} + 1)(e^{x} - e^{-x}) e^{(e^{x} + e^{-x})} dx + \int e^{x} e^{(e^{x} + e^{-x})} dx$.
प्रथम भाग के लिए खंडशः समाकलन (Integration by parts) का उपयोग करने पर:
$f(x) = e^{x} + 1$ और $h'(x) = (e^{x} - e^{-x}) e^{(e^{x} + e^{-x})}$ लें।
तब $h(x) = e^{(e^{x} + e^{-x})}$.
खंडशः समाकलन $\int f h' = fh - \int f' h$ के अनुसार:
$I = (e^{x} + 1) e^{(e^{x} + e^{-x})} - \int e^{x} e^{(e^{x} + e^{-x})} dx + \int e^{x} e^{(e^{x} + e^{-x})} dx$.
$I = (e^{x} + 1) e^{(e^{x} + e^{-x})} + c$.
इसकी तुलना $g(x) e^{(e^{x} + e^{-x})} + c$ से करने पर,हमें $g(x) = e^{x} + 1$ प्राप्त होता है।
इसलिए,$g(0) = e^{0} + 1 = 1 + 1 = 2$.

(D) दिया गया है $f(\theta) = \left|\begin{array}{ccc} -\sin^2 \theta & -1-\sin^2 \theta & 1 \\ -\cos^2 \theta & -1-\cos^2 \theta & 1 \\ 12 & 10 & -2 \end{array}\right|$.
स्तंभ संक्रिया $C_2 \rightarrow C_2 - C_1$ लागू करने पर:
$f(\theta) = \left|\begin{array}{ccc} -\sin^2 \theta & -1 & 1 \\ -\cos^2 \theta & -1 & 1 \\ 12 & -2 & -2 \end{array}\right|$.
अब $C_3 \rightarrow C_3 + C_2$ लागू करने पर:
$f(\theta) = \left|\begin{array}{ccc} -\sin^2 \theta & -1 & 0 \\ -\cos^2 \theta & -1 & 0 \\ 12 & -2 & -4 \end{array}\right|$.
$C_3$ के अनुदिश विस्तार करने पर:
$f(\theta) = -4 [(-\sin^2 \theta)(-1) - (-1)(-\cos^2 \theta)] = -4 [\sin^2 \theta - \cos^2 \theta] = -4 [-\cos 2\theta] = 4 \cos 2\theta$.
दिया है $\theta \in \left[\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2}\right]$,अतः $2\theta \in \left[\frac{\pi}{2}, \pi\right]$.
जब $2\theta \in [\frac{\pi}{2}, \pi]$ हो,तो $\cos 2\theta$ का मान $-1$ से $0$ के बीच होता है।
अतः,$f(\theta) = 4 \cos 2\theta$ का मान $4(-1) = -4$ से $4(0) = 0$ तक प्राप्त होता है।
इसलिए,$m = -4$ और $M = 0$,अतः क्रमित युग्म $(m, M) = (-4, 0)$ है।

(A) निकाय असंगत होता है यदि सारणिक $D = 0$ हो और $D_{1}, D_{2}, D_{3}$ में से कम से कम एक शून्य न हो।
सबसे पहले,सारणिक $D$ की गणना करें:
$D = \begin{vmatrix} 2 & -4 & \lambda \\ 1 & -6 & 1 \\ \lambda & -10 & 4 \end{vmatrix} = 2(-24 + 10) + 4(4 - \lambda) + \lambda(-10 + 6\lambda)$
$D = 2(-14) + 16 - 4\lambda - 10\lambda + 6\lambda^{2} = 6\lambda^{2} - 14\lambda - 12 = 2(3\lambda + 2)(\lambda - 3)$.
$D = 0$ रखने पर,हमें $\lambda = 3$ या $\lambda = -\frac{2}{3}$ प्राप्त होता है।
अब $D_{1}, D_{2}, D_{3}$ की गणना करें:
$D_{1} = \begin{vmatrix} 1 & -4 & \lambda \\ 2 & -6 & 1 \\ 3 & -10 & 4 \end{vmatrix} = 1(-24 + 10) + 4(8 - 3) + \lambda(-20 + 18) = -14 + 20 - 2\lambda = 6 - 2\lambda = -2(\lambda - 3)$.
जब $\lambda = 3$ है,तो $D = 0$ और $D_{1} = 0$ होता है। $\lambda = 3$ के लिए $D_{2}$ और $D_{3}$ भी $0$ होते हैं,जिसका अर्थ है कि अनंत हल प्राप्त होते हैं।
जब $\lambda = -\frac{2}{3}$ है,तो $D = 0$ लेकिन $D_{1} = -2(-\frac{2}{3} - 3) = -2(-\frac{11}{3}) = \frac{22}{3} \neq 0$ होता है।
अतः,$\lambda = -\frac{2}{3}$ के लिए निकाय असंगत है,जो $\lambda$ का एक ऋणात्मक मान है।

(B) माना दी गई रेखा $\frac{x+1}{2} = \frac{y-3}{-2} = \frac{z}{-1} = \lambda$ है।
रेखा पर कोई भी बिंदु $R$,$(2\lambda-1, -2\lambda+3, -\lambda)$ द्वारा दिया जाता है।
माना $P = (1, 2, -3)$ और $Q = (a, b, c)$ रेखा में $P$ का प्रतिबिंब है।
सदिश $\vec{PQ} = (a-1, b-2, c+3)$ रेखा के लंबवत होना चाहिए,जिसके दिक अनुपात $(2, -2, -1)$ हैं।
अतः,$2(a-1) - 2(b-2) - 1(c+3) = 0 \implies 2a - 2b - c = 1$.
साथ ही,$PQ$ का मध्य बिंदु $R$ रेखा पर स्थित है:
$R = \left(\frac{a+1}{2}, \frac{b+2}{2}, \frac{c-3}{2}\right)$.
चूंकि $R$ रेखा पर स्थित है,इसलिए:
$\frac{\frac{a+1}{2} + 1}{2} = \frac{\frac{b+2}{2} - 3}{-2} = \frac{\frac{c-3}{2}}{-1} = \lambda$.
$\lambda$ के पदों में $a, b, c$ के लिए हल करने पर:
$a = 4\lambda - 3, b = -4\lambda + 4, c = -2\lambda + 3$.
इन मानों को लंबवतता की शर्त $2a - 2b - c = 1$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$2(4\lambda - 3) - 2(-4\lambda + 4) - (-2\lambda + 3) = 1
\implies 8\lambda - 6 + 8\lambda - 8 + 2\lambda - 3 = 1
\implies 18\lambda = 18 \implies \lambda = 1$.
अतः,$a = 4(1) - 3 = 1$,$b = -4(1) + 4 = 0$,$c = -2(1) + 3 = 1$.
इसलिए,$a+b+c = 1 + 0 + 1 = 2$.

(D) मान लीजिए $I = \int_{-\pi / 2}^{\pi / 2} \frac{1}{1+e^{\sin x}} dx$ $(1)$
गुणधर्म $\int_{a}^{b} f(x) dx = \int_{a}^{b} f(a+b-x) dx$ का उपयोग करने पर:
$I = \int_{-\pi / 2}^{\pi / 2} \frac{1}{1+e^{\sin(-\pi / 2 + \pi / 2 - x)}} dx = \int_{-\pi / 2}^{\pi / 2} \frac{1}{1+e^{-\sin x}} dx$
$I = \int_{-\pi / 2}^{\pi / 2} \frac{e^{\sin x}}{e^{\sin x} + 1} dx$ $(2)$
समीकरण $(1)$ और $(2)$ को जोड़ने पर:
$2I = \int_{-\pi / 2}^{\pi / 2} \left( \frac{1}{1+e^{\sin x}} + \frac{e^{\sin x}}{1+e^{\sin x}} \right) dx$
$2I = \int_{-\pi / 2}^{\pi / 2} \frac{1+e^{\sin x}}{1+e^{\sin x}} dx = \int_{-\pi / 2}^{\pi / 2} 1 dx$
$2I = [x]_{-\pi / 2}^{\pi / 2} = \frac{\pi}{2} - (-\frac{\pi}{2}) = \pi$
$I = \frac{\pi}{2}$

(A) मान लीजिए कि $4$ पासों के एक फेंक में $3$ या $5$ दिखाने वाले पासों की संख्या $X$ है। एक पासे के लिए सफलता ( $3$ या $5$ प्राप्त करना) की प्रायिकता $p = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$ है।
असफलता की प्रायिकता $q = 1 - p = \frac{2}{3}$ है।
चूंकि $n = 4$ पासे हैं,सफलताओं की संख्या $X$ द्विपद वितरण $B(4, \frac{1}{3})$ का पालन करती है।
हमें वह प्रायिकता ज्ञात करनी है कि कम से कम दो पासों पर $3$ या $5$ आए,जो $P(X \ge 2) = 1 - P(X = 0) - P(X = 1)$ है।
$P(X = 0) = \binom{4}{0} (\frac{1}{3})^0 (\frac{2}{3})^4 = 1 \times 1 \times \frac{16}{81} = \frac{16}{81}$.
$P(X = 1) = \binom{4}{1} (\frac{1}{3})^1 (\frac{2}{3})^3 = 4 \times \frac{1}{3} \times \frac{8}{27} = \frac{32}{81}$.
$P(X \ge 2) = 1 - (\frac{16}{81} + \frac{32}{81}) = 1 - \frac{48}{81} = \frac{81 - 48}{81} = \frac{33}{81}$.
यह प्रयोग $N = 27$ बार किया जाता है। अपेक्षित संख्या $E = N \times P(X \ge 2) = 27 \times \frac{33}{81} = \frac{33}{3} = 11$ है।

(A) फलन $f(x) = x \cdot \left[ \frac{x}{2} \right]$ को $x \in (-10, 10)$ के लिए परिभाषित किया गया है।
महत्तम पूर्णांक फलन $[t]$,$t$ के सभी पूर्णांक मानों पर असंतत होता है।
यहाँ,$t = \frac{x}{2}$ है। अतः,$f(x)$ तब असंतत हो सकता है जब $\frac{x}{2} = k$,जहाँ $k \in \mathbb{Z}$ है।
दिया गया है कि $-10 < x < 10$,इसलिए $-5 < \frac{x}{2} < 5$ है।
$k = \frac{x}{2}$ के लिए संभावित पूर्णांक मान $\{-4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4\}$ हैं।
आइए इन बिंदुओं पर सांतत्य की जाँच करें:
$1$. $k \neq 0$ (अर्थात $x \neq 0$) के लिए,फलन $f(x) = x \cdot \left[ \frac{x}{2} \right]$ असंतत है क्योंकि महत्तम पूर्णांक फलन $\left[ \frac{x}{2} \right]$ इन बिंदुओं पर कूदता है और $x$ शून्य नहीं है।
$2$. $k = 0$ के लिए,$x = 0$ है। हम $x = 0$ पर सांतत्य की जाँच करते हैं:
$f(0) = 0 \cdot [0] = 0$.
$\lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^+} x \cdot [0] = 0$.
$\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^-} x \cdot [-1] = 0$.
चूंकि $f(0) = \lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^-} f(x) = 0$,इसलिए फलन $x = 0$ पर संतत है।
अतः,असंतत बिंदु $\frac{x}{2} \in \{-4, -3, -2, -1, 1, 2, 3, 4\}$ हैं,जो $x \in \{-8, -6, -4, -2, 2, 4, 6, 8\}$ के अनुरूप हैं।
ऐसे कुल $8$ बिंदु हैं।

(D) दिया गया है $f(x) = (1 - \cos^2 x)(\lambda + \sin x) = \sin^2 x(\lambda + \sin x) = \lambda \sin^2 x + \sin^3 x$.
अवकलन करने पर: $f'(x) = 2\lambda \sin x \cos x + 3 \sin^2 x \cos x = \sin x \cos x (2\lambda + 3 \sin x)$.
क्रांतिक बिंदुओं के लिए,$f'(x) = 0$ रखें। चूँकि $x \in (-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$ के लिए $\cos x \neq 0$,इसलिए $\sin x = 0$ या $\sin x = -\frac{2\lambda}{3}$ प्राप्त होता है।
$x = 0$ हमेशा एक क्रांतिक बिंदु है। फलन के ठीक एक उच्चिष्ठ और एक निम्निष्ठ होने के लिए,अंतराल $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$ में एक और क्रांतिक बिंदु होना चाहिए।
अतः,$-1 < -\frac{2\lambda}{3} < 1$ और $-\frac{2\lambda}{3} \neq 0$.
$-1 < -\frac{2\lambda}{3} < 1$ को हल करने पर $-\frac{3}{2} < \lambda < \frac{3}{2}$ प्राप्त होता है।
$\lambda = 0$ को छोड़कर (जहाँ दोनों क्रांतिक बिंदु $x=0$ पर संपाती हो जाते हैं),मानों का समुच्चय $(-\frac{3}{2}, \frac{3}{2}) - \{0\}$ है।

(A) दिया गया है कि $f(0)=f(1)=f^{\prime}(0)=0$.
अंतराल $[0, 1]$ में $f(x)$ पर रोले की प्रमेय लागू करने पर.
चूँकि $f(0)=f(1)=0$ और $f$ अवकलनीय है,इसलिए कोई $\alpha \in (0, 1)$ मौजूद है जिसके लिए $f^{\prime}(\alpha)=0$ है।
अब,अंतराल $[0, \alpha]$ पर फलन $f^{\prime}(x)$ पर विचार करें।
हमारे पास $f^{\prime}(0)=0$ और $f^{\prime}(\alpha)=0$ है।
चूँकि $f$ दो बार अवकलनीय है,$f^{\prime}$ अंतराल $[0, \alpha]$ पर सतत है और $(0, \alpha)$ पर अवकलनीय है।
$f^{\prime}(x)$ पर रोले की प्रमेय लागू करने पर,कोई $\beta \in (0, \alpha)$ मौजूद है जिसके लिए $f^{\prime \prime}(\beta)=0$ है।
चूँकि $\beta \in (0, \alpha) \subset (0, 1)$,यह सिद्ध होता है कि किसी $x \in (0, 1)$ के लिए $f^{\prime \prime}(x)=0$ है।

(C) बिंदुओं $(1, 0)$ और $(e, e)$ को जोड़ने वाले रेखाखंड की ढाल $m = \frac{e - 0}{e - 1} = \frac{e}{e - 1}$ है।
फलन $f(x) = x \log_{e} x$ का अवकलज $f'(x) = \log_{e} x + 1$ है।
चूंकि स्पर्श रेखा रेखाखंड के समांतर है,इसलिए स्पर्श रेखा की ढाल $f'(c) = m$ होनी चाहिए:
$f'(c) = \log_{e} c + 1 = \frac{e}{e - 1}$.
$\log_{e} c$ के लिए हल करने पर:
$\log_{e} c = \frac{e}{e - 1} - 1 = \frac{e - (e - 1)}{e - 1} = \frac{1}{e - 1}$.
अतः,$c = e^{\frac{1}{e - 1}}$।

(B) माना समतल का समीकरण $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1$ है।
बिंदुओं के निर्देशांक $A(a, 0, 0)$,$B(0, b, 0)$ और $C(0, 0, c)$ हैं।
$\Delta ABC$ का केंद्रक $\left(\frac{a+0+0}{3}, \frac{0+b+0}{3}, \frac{0+0+c}{3}\right) = \left(\frac{a}{3}, \frac{b}{3}, \frac{c}{3}\right)$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है कि केंद्रक $(1, 1, 2)$ है,इसलिए $\frac{a}{3} = 1$,$\frac{b}{3} = 1$ और $\frac{c}{3} = 2$ है।
अतः,$a = 3$,$b = 3$ और $c = 6$ है।
समतल का समीकरण $\frac{x}{3} + \frac{y}{3} + \frac{z}{6} = 1$ है,जिसे सरल करने पर $2x + 2y + z = 6$ प्राप्त होता है।
समतल का अभिलंब सदिश $\vec{n} = 2\hat{i} + 2\hat{j} + \hat{k}$ है,जो समतल के लंबवत रेखा के दिक अनुपात के रूप में कार्य करता है।
रेखा केंद्रक $(1, 1, 2)$ से गुजरती है और इसकी दिशा $(2, 2, 1)$ है।
इसलिए,रेखा का समीकरण $\frac{x-1}{2} = \frac{y-1}{2} = \frac{z-2}{1}$ है।

(B) दिया गया है $A = \begin{bmatrix} \cos \theta & \sin \theta \\ -\sin \theta & \cos \theta \end{bmatrix}$.
रोटेशन मैट्रिक्स के गुणधर्म के अनुसार,$A^n = \begin{bmatrix} \cos(n\theta) & \sin(n\theta) \\ -\sin(n\theta) & \cos(n\theta) \end{bmatrix}$.
अतः,$A^4 = \begin{bmatrix} \cos 4\theta & \sin 4\theta \\ -\sin 4\theta & \cos 4\theta \end{bmatrix}$.
$B = A + A^4 = \begin{bmatrix} \cos \theta + \cos 4\theta & \sin \theta + \sin 4\theta \\ -(\sin \theta + \sin 4\theta) & \cos \theta + \cos 4\theta \end{bmatrix}$.
माना $x = \cos \theta + \cos 4\theta$ और $y = \sin \theta + \sin 4\theta$. तब $B = \begin{bmatrix} x & y \\ -y & x \end{bmatrix}$.
$\det(B) = x^2 + y^2 = (\cos \theta + \cos 4\theta)^2 + (\sin \theta + \sin 4\theta)^2$.
$\det(B) = \cos^2 \theta + \cos^2 4\theta + 2\cos \theta \cos 4\theta + \sin^2 \theta + \sin^2 4\theta + 2\sin \theta \sin 4\theta$.
$\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha = 1$ और $\cos(A-B) = \cos A \cos B + \sin A \sin B$ का उपयोग करने पर:
$\det(B) = 1 + 1 + 2\cos(4\theta - \theta) = 2 + 2\cos 3\theta$.
चूंकि $\theta = \frac{\pi}{5}$ दिया गया है,$\det(B) = 2 + 2\cos\left(\frac{3\pi}{5}\right)$.
चूंकि $\cos\left(\frac{3\pi}{5}\right) = \cos(108^\circ) = -\sin(18^\circ) = -\left(\frac{\sqrt{5}-1}{4}\right)$.
$\det(B) = 2 + 2\left(-\frac{\sqrt{5}-1}{4}\right) = 2 - \frac{\sqrt{5}-1}{2} = \frac{4 - \sqrt{5} + 1}{2} = \frac{5 - \sqrt{5}}{2}$.
चूंकि $\sqrt{5} \approx 2.236$,$\det(B) = \frac{5 - 2.236}{2} = \frac{2.764}{2} = 1.382$.
यह मान $(1, 2)$ अंतराल में स्थित है।

(A) फलन को $f(x) = \begin{cases} x^2, & x < 0 \\ x, & 0 \leq x \leq 1 \\ x^2, & x > 1 \end{cases}$ के रूप में परिभाषित किया गया है।
$x = 0$ पर अवकलनीयता की जाँच करने के लिए:
$x = 0$ पर बायाँ अवकलज $(LHD)$ $\frac{d}{dx}(x^2) = 2x = 0$ है।
$x = 0$ पर दायाँ अवकलज $(RHD)$ $\frac{d}{dx}(x) = 1$ है।
चूँकि $LHD \neq RHD$,इसलिए $f$,$x = 0$ पर अवकलनीय नहीं है।
$x = 1$ पर अवकलनीयता की जाँच करने के लिए:
$x = 1$ पर बायाँ अवकलज $(LHD)$ $\frac{d}{dx}(x) = 1$ है।
$x = 1$ पर दायाँ अवकलज $(RHD)$ $\frac{d}{dx}(x^2) = 2x = 2$ है।
चूँकि $LHD \neq RHD$,इसलिए $f$,$x = 1$ पर अवकलनीय नहीं है।
अतः,जिन बिंदुओं पर $f$ अवकलनीय नहीं है,उनका समुच्चय $S = \{0, 1\}$ है।

(B) वक्रों $y=x^{2}-1$ और $y=1-x^{2}$ द्वारा घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए,हम पहले उनके प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करते हैं,जिसके लिए $x^{2}-1 = 1-x^{2}$ रखते हैं।
इससे $2x^{2} = 2$ प्राप्त होता है,इसलिए $x^{2} = 1$,जिसका अर्थ है कि $x = -1$ और $x = 1$ है।
क्षेत्रफल $A$ ऊपरी वक्र में से निचले वक्र को घटाकर $x = -1$ से $x = 1$ तक के समाकलन द्वारा प्राप्त होता है।
$A = \int_{-1}^{1} ((1-x^{2}) - (x^{2}-1)) dx$
$A = \int_{-1}^{1} (2 - 2x^{2}) dx$
चूंकि फलन $f(x) = 2 - 2x^{2}$ एक सम फलन है,हम लिख सकते हैं:
$A = 2 \int_{0}^{1} (2 - 2x^{2}) dx = 4 \int_{0}^{1} (1 - x^{2}) dx$
$A = 4 [x - \frac{x^{3}}{3}]_{0}^{1}$
$A = 4 (1 - \frac{1}{3}) = 4 (\frac{2}{3}) = \frac{8}{3}$ वर्ग इकाई।

(D) माना $I = \int_{1}^{2} e^{x} x^{x} (2 + \log_{e} x) dx$.
हम समाकल्य को इस प्रकार लिख सकते हैं:
$I = \int_{1}^{2} e^{x} [x^{x} + x^{x}(1 + \log_{e} x)] dx$.
माना $f(x) = x^{x}$.
तब $f'(x) = \frac{d}{dx}(e^{x \log_{e} x}) = e^{x \log_{e} x} \cdot \frac{d}{dx}(x \log_{e} x) = x^{x} (1 \cdot \log_{e} x + x \cdot \frac{1}{x}) = x^{x} (1 + \log_{e} x)$.
अतः,समाकल $\int_{1}^{2} e^{x} [f(x) + f'(x)] dx$ के रूप में है।
इस समाकल का परिणाम $[e^{x} f(x)]_{1}^{2}$ होता है।
$f(x) = x^{x}$ रखने पर:
$I = [e^{x} x^{x}]_{1}^{2} = (e^{2} \cdot 2^{2}) - (e^{1} \cdot 1^{1}) = 4e^{2} - e = e(4e - 1)$.

(A) दिया गया हल $y = \left(\frac{2x}{\pi} - 1\right) \operatorname{cosec} x$ है।
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}\left(\frac{2x}{\pi} - 1\right) \operatorname{cosec} x + \left(\frac{2x}{\pi} - 1\right) \frac{d}{dx}(\operatorname{cosec} x)$
$\frac{dy}{dx} = \frac{2}{\pi} \operatorname{cosec} x + \left(\frac{2x}{\pi} - 1\right) (-\operatorname{cosec} x \cot x)$
$y = \left(\frac{2x}{\pi} - 1\right) \operatorname{cosec} x$ को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{dy}{dx} = \frac{2}{\pi} \operatorname{cosec} x - y \cot x$
पदों को $\frac{dy}{dx} + p(x) y = Q(x)$ के रूप में व्यवस्थित करने पर:
$\frac{dy}{dx} + y \cot x = \frac{2}{\pi} \operatorname{cosec} x$
दिए गए अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} + p(x) y = \frac{2}{\pi} \operatorname{cosec} x$ के साथ तुलना करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$p(x) = \cot x$.

(A) समघात रैखिक समीकरण निकाय के अशून्य हल होने के लिए,गुणांक आव्यूह का सारणिक शून्य होना चाहिए।
$\Delta = \begin{vmatrix} \lambda-1 & 3 \lambda+1 & 2 \lambda \\ \lambda-1 & 4 \lambda-2 & \lambda+3 \\ 2 & 3 \lambda+1 & 3 \lambda-3 \end{vmatrix} = 0$
पंक्ति संक्रियाओं $R_1 \rightarrow R_1 - R_2$ और $R_2 \rightarrow R_2 - R_3$ को लागू करने पर:
$\Delta = \begin{vmatrix} 0 & 3-\lambda & \lambda-3 \\ \lambda-3 & \lambda-3 & -2(\lambda-3) \\ 2 & 3 \lambda+1 & 3 \lambda-3 \end{vmatrix} = 0$
$R_1$ और $R_2$ से $(\lambda-3)$ उभयनिष्ठ लेने पर:
$(\lambda-3)^2 \begin{vmatrix} 0 & -1 & 1 \\ 1 & 1 & -2 \\ 2 & 3 \lambda+1 & 3 \lambda-3 \end{vmatrix} = 0$
सारणिक का विस्तार करने पर:
$(\lambda-3)^2 [0 - (-1)(3 \lambda-3 + 4) + 1(3 \lambda+1 - 2)] = 0$
$(\lambda-3)^2 [3 \lambda+1 + 3 \lambda-1] = 0$
$(\lambda-3)^2 [6 \lambda] = 0$
इससे $\lambda = 3$ या $\lambda = 0$ प्राप्त होता है।
$\lambda$ के भिन्न मान $0$ और $3$ हैं।
अतः इनका योग $0 + 3 = 3$ है।

(B) दिया गया फलन समीकरण $f(x+y)=f(x)f(y)$ है।
$x=y=1$ रखने पर,हमें प्राप्त होता है $f(2)=f(1+1)=f(1)f(1)=(f(1))^2=3^2=9$.
$x=2, y=1$ रखने पर,हमें प्राप्त होता है $f(3)=f(2+1)=f(2)f(1)=3^2 \times 3=3^3=27$.
गणितीय आगमन के सिद्धांत से,यह निष्कर्ष निकलता है कि सभी $n \in N$ के लिए $f(n)=3^n$ है।
हमें योग $\sum_{i=1}^{n} f(i)=363$ दिया गया है,जिसका अर्थ है $\sum_{i=1}^{n} 3^i=363$.
यह एक गुणोत्तर श्रेणी है जिसमें प्रथम पद $a=3$,सार्व अनुपात $r=3$ और $n$ पद हैं।
प्रथम $n$ पदों का योग $S_n = \frac{a(r^n-1)}{r-1}$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर,$\frac{3(3^n-1)}{3-1}=363$.
$\frac{3(3^n-1)}{2}=363$.
$3(3^n-1)=726$.
$3^n-1=242$.
$3^n=243$.
चूंकि $243=3^5$,इसलिए $n=5$ प्राप्त होता है।

(A) दिया गया है कि $|\overrightarrow{x}+\overrightarrow{y}|=|\overrightarrow{x}|$। दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$|\overrightarrow{x}|^2+|\overrightarrow{y}|^2+2\overrightarrow{x}\cdot\overrightarrow{y}=|\overrightarrow{x}|^2$
$|\overrightarrow{y}|^2+2\overrightarrow{x}\cdot\overrightarrow{y}=0$ --- $(1)$
दिया गया है कि $(2\overrightarrow{x}+\lambda\overrightarrow{y})$,$\overrightarrow{y}$ पर लंब है,इसलिए उनका अदिश गुणनफल शून्य होगा:
$(2\overrightarrow{x}+\lambda\overrightarrow{y})\cdot\overrightarrow{y}=0$
$2\overrightarrow{x}\cdot\overrightarrow{y}+\lambda|\overrightarrow{y}|^2=0$ --- $(2)$
समीकरण $(1)$ से,$2\overrightarrow{x}\cdot\overrightarrow{y}=-|\overrightarrow{y}|^2$। इस मान को समीकरण $(2)$ में रखने पर:
$-|\overrightarrow{y}|^2+\lambda|\overrightarrow{y}|^2=0$
$(\lambda-1)|\overrightarrow{y}|^2=0$
चूंकि $\overrightarrow{y}$ एक शून्येतर सदिश है,इसलिए $|\overrightarrow{y}|^2 \neq 0$। अतः,$\lambda-1=0$,जिससे $\lambda=1$ प्राप्त होता है।

(D) माना $L = \lim \limits_{x \rightarrow 1} \frac{\int_{0}^{(x-1)^{2}} t \cos(t^{2}) dt}{(x-1) \sin(x-1)}$.
यह $\frac{0}{0}$ रूप है।
लेबनीज़ नियम का उपयोग करते हुए,अंश का अवकलन $\frac{d}{dx} \int_{0}^{(x-1)^{2}} t \cos(t^{2}) dt = (x-1)^{2} \cos((x-1)^{4}) \cdot 2(x-1) = 2(x-1)^{3} \cos((x-1)^{4})$ है।
हर का अवकलन $\frac{d}{dx} ((x-1) \sin(x-1)) = \sin(x-1) + (x-1) \cos(x-1)$ है।
एल-हॉस्पिटल नियम का उपयोग करने पर:
$L = \lim \limits_{x \rightarrow 1} \frac{2(x-1)^{3} \cos((x-1)^{4})}{\sin(x-1) + (x-1) \cos(x-1)}$.
अंश और हर को $(x-1)$ से विभाजित करने पर:
$L = \lim \limits_{x \rightarrow 1} \frac{2(x-1)^{2} \cos((x-1)^{4})}{\frac{\sin(x-1)}{x-1} + \cos(x-1)}$.
जैसे ही $x \rightarrow 1$,$(x-1) \rightarrow 0$,इसलिए $\frac{\sin(x-1)}{x-1} \rightarrow 1$ और $\cos(x-1) \rightarrow 1$.
$L = \frac{2(0)^{2} \cdot \cos(0)}{1 + 1} = \frac{0}{2} = 0$.

(D) रैखिक समीकरण निकाय के अनंततः अनेक हल होने के लिए,गुणांक आव्यूह का सारणिक $D = 0$ होना चाहिए और $D_1, D_2, D_3$ भी $0$ होने चाहिए।
सबसे पहले,हम $D = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 3 \\ 1 & 3 & \lambda \end{vmatrix} = 0$ की गणना करते हैं।
पहली पंक्ति के अनुदिश विस्तार करने पर: $1(2\lambda - 9) - 1(\lambda - 3) + 1(3 - 2) = 0$.
$2\lambda - 9 - \lambda + 3 + 1 = 0 \implies \lambda - 5 = 0 \implies \lambda = 5$.
इसके बाद,हम $D_1 = \begin{vmatrix} 2 & 1 & 1 \\ 5 & 2 & 3 \\ \mu & 3 & 5 \end{vmatrix} = 0$ रखते हैं।
पहली पंक्ति के अनुदिश विस्तार करने पर: $2(10 - 9) - 1(25 - 3\mu) + 1(15 - 2\mu) = 0$.
$2(1) - 25 + 3\mu + 15 - 2\mu = 0$.
$2 - 10 + \mu = 0 \implies \mu - 8 = 0 \implies \mu = 8$.
अतः,$\lambda = 5$ और $\mu = 8$ मान प्राप्त होते हैं।

(C) यह क्षेत्र $|x|+|y| \leq 1$ और $2y^{2} \geq |x|$ द्वारा परिभाषित है।
दोनों अक्षों के सापेक्ष समरूपता के कारण,हम प्रथम चतुर्थांश में क्षेत्रफल की गणना करेंगे और उसे $4$ से गुणा करेंगे।
प्रथम चतुर्थांश $(x \geq 0, y \geq 0)$ में,क्षेत्र रेखा $x+y=1$ और वक्र $2y^{2}=x$ द्वारा घिरा हुआ है।
प्रतिच्छेदन बिंदु $2y^{2} = 1-y$ है,जो $2y^{2}+y-1=0$ देता है।
$(2y-1)(y+1)=0$ को हल करने पर,हमें $y=\frac{1}{2}$ प्राप्त होता है (चूंकि $y \geq 0$)।
$y=\frac{1}{2}$ पर,$x=1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}$ प्राप्त होता है।
प्रथम चतुर्थांश में क्षेत्रफल रेखा $x+y=1$ के नीचे का क्षेत्रफल और वक्र $x=2y^{2}$ के नीचे के क्षेत्रफल का अंतर है,जहाँ $y=0$ से $y=\frac{1}{2}$ है।
क्षेत्रफल $= \int_{0}^{1/2} (1-y) dy - \int_{0}^{1/2} 2y^{2} dy = [y - \frac{y^{2}}{2}]_{0}^{1/2} - [\frac{2y^{3}}{3}]_{0}^{1/2} = (\frac{1}{2} - \frac{1}{8}) - (\frac{2}{3} \times \frac{1}{8}) = \frac{3}{8} - \frac{1}{12} = \frac{9-2}{24} = \frac{7}{24}$.
कुल क्षेत्रफल $= 4 \times \frac{7}{24} = \frac{7}{6}$ वर्ग इकाई।

(B) दिया गया फलन समीकरण $f(x + y) = f(x)f(y)$ है।
$x = 1, y = 1$ के लिए,$f(2) = f(1)^2$ प्राप्त होता है।
$x = 2, y = 1$ के लिए,$f(3) = f(2)f(1) = f(1)^3$ प्राप्त होता है।
सामान्यतः,$f(x) = f(1)^x$ होता है।
अनंत गुणोत्तर श्रेणी $\sum_{x=1}^{\infty} f(x) = 2$ दी गई है,अतः $f(1) + f(1)^2 + f(1)^3 + \dots = 2$ है।
यह एक गुणोत्तर श्रेणी है जिसका प्रथम पद $a = f(1)$ और सार्व अनुपात $r = f(1)$ है।
श्रेणी का योग $\frac{a}{1 - r} = 2$ सूत्र के अनुसार,$\frac{f(1)}{1 - f(1)} = 2$ होगा।
$f(1) = 2 - 2f(1) \implies 3f(1) = 2 \implies f(1) = \frac{2}{3}$।
अब,हमें $\frac{f(4)}{f(2)}$ का मान ज्ञात करना है।
चूँकि $f(x) = f(1)^x$,इसलिए $\frac{f(4)}{f(2)} = \frac{f(1)^4}{f(1)^2} = f(1)^2$ होगा।
$f(1) = \frac{2}{3}$ रखने पर,$\left(\frac{2}{3}\right)^2 = \frac{4}{9}$ प्राप्त होता है।

(B) दिया गया समीकरण: $\sqrt{(1+x^{2})(1+y^{2})} + xy \frac{dy}{dx} = 0$
$\Rightarrow \sqrt{1+x^{2}} \sqrt{1+y^{2}} = -xy \frac{dy}{dx}$
$\Rightarrow \int \frac{y}{\sqrt{1+y^{2}}} dy = -\int \frac{\sqrt{1+x^{2}}}{x} dx$
माना $1+y^{2} = v^{2} \Rightarrow y dy = v dv$ और $1+x^{2} = u^{2} \Rightarrow x dx = u du \Rightarrow dx = \frac{u du}{x} = \frac{u du}{\sqrt{u^{2}-1}}$
इन मानों को समाकलन में प्रतिस्थापित करने पर:
$\int \frac{v dv}{v} = -\int \frac{u}{\sqrt{u^{2}-1}} \cdot \frac{u du}{\sqrt{u^{2}-1}}$
$\Rightarrow \int dv = -\int \frac{u^{2}}{u^{2}-1} du$
$\Rightarrow v = -\int \left( 1 + \frac{1}{u^{2}-1} \right) du$
$\Rightarrow v = -u - \frac{1}{2} \log_{e} \left| \frac{u-1}{u+1} \right| + C$
$\Rightarrow v = -u + \frac{1}{2} \log_{e} \left| \frac{u+1}{u-1} \right| + C$
$u = \sqrt{1+x^{2}}$ और $v = \sqrt{1+y^{2}}$ वापस रखने पर:
$\sqrt{1+y^{2}} = -\sqrt{1+x^{2}} + \frac{1}{2} \log_{e} \left( \frac{\sqrt{1+x^{2}}+1}{\sqrt{1+x^{2}}-1} \right) + C$
$\Rightarrow \sqrt{1+y^{2}} + \sqrt{1+x^{2}} = \frac{1}{2} \log_{e} \left( \frac{\sqrt{1+x^{2}}+1}{\sqrt{1+x^{2}}-1} \right) + C$

(A) हमें दिया गया है $I_{1} = \int_{0}^{1} (1 - x^{50})^{100} dx$ और $I_{2} = \int_{0}^{1} (1 - x^{50})^{101} dx$.
हम $I_{2}$ को इस प्रकार लिख सकते हैं:
$I_{2} = \int_{0}^{1} (1 - x^{50}) (1 - x^{50})^{100} dx$
$I_{2} = \int_{0}^{1} (1 - x^{50})^{100} dx - \int_{0}^{1} x^{50} (1 - x^{50})^{100} dx$
$I_{2} = I_{1} - \int_{0}^{1} x \cdot (x^{49} (1 - x^{50})^{100}) dx$
दूसरे समाकलन के लिए खंडशः समाकलन (Integration by Parts - $IBP$) का उपयोग करते हुए,मान लीजिए $u = x$ और $dv = x^{49} (1 - x^{50})^{100} dx$.
तब $du = dx$ और $v = \int x^{49} (1 - x^{50})^{100} dx$.
मान लीजिए $1 - x^{50} = t$,तो $-50x^{49} dx = dt$,इसलिए $x^{49} dx = -\frac{dt}{50}$.
$v = \int t^{100} (-\frac{dt}{50}) = -\frac{t^{101}}{5050} = -\frac{(1 - x^{50})^{101}}{5050}$.
$IBP$ लागू करने पर:
$\int_{0}^{1} x \cdot (x^{49} (1 - x^{50})^{100}) dx = [x \cdot (-\frac{(1 - x^{50})^{101}}{5050})]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} (-\frac{(1 - x^{50})^{101}}{5050}) dx$
$= [0 - 0] + \frac{1}{5050} \int_{0}^{1} (1 - x^{50})^{101} dx = \frac{1}{5050} I_{2}$.
इस मान को $I_{2}$ के समीकरण में रखने पर:
$I_{2} = I_{1} - \frac{1}{5050} I_{2}$
$I_{2} (1 + \frac{1}{5050}) = I_{1}$
$I_{2} (\frac{5051}{5050}) = I_{1}$
$I_{2} = \frac{5050}{5051} I_{1}$.
चूंकि $I_{2} = \alpha I_{1}$,इसलिए $\alpha = \frac{5050}{5051}$.

(D) अंतराल $[t_{1}, t_{2}]$ पर कार की औसत गति निम्नलिखित सूत्र द्वारा दी जाती है: $\text{औसत गति} = \frac{f(t_{2}) - f(t_{1})}{t_{2} - t_{1}}$
सूत्र में $f(t) = at^{2} + bt + c$ रखने पर:
$\frac{(at_{2}^{2} + bt_{2} + c) - (at_{1}^{2} + bt_{1} + c)}{t_{2} - t_{1}} = \frac{a(t_{2}^{2} - t_{1}^{2}) + b(t_{2} - t_{1})}{t_{2} - t_{1}}$
$= \frac{a(t_{2} - t_{1})(t_{2} + t_{1}) + b(t_{2} - t_{1})}{t_{2} - t_{1}} = a(t_{1} + t_{2}) + b$
हम वह समय $t$ ज्ञात करना चाहते हैं जिस पर तात्कालिक गति $f'(t)$ इस औसत गति के बराबर हो।
$f'(t) = \frac{d}{dt}(at^{2} + bt + c) = 2at + b$
तात्कालिक गति को औसत गति के बराबर रखने पर:
$2at + b = a(t_{1} + t_{2}) + b$
$2at = a(t_{1} + t_{2})$
$t = \frac{t_{1} + t_{2}}{2}$

(D) पहली रेखा $L_1: \frac{x-1}{0} = \frac{y+1}{-1} = \frac{z}{1}$ है। $L_1$ पर एक बिंदु $A(1, -1, 0)$ है और इसका दिशा सदिश $\vec{c} = (0, -1, 1)$ है।
दूसरी रेखा $L_2$ समतलों $x+y+z+1=0$ और $2x-y+z+3=0$ का प्रतिच्छेदन है।
दोनों समीकरणों को जोड़ने पर: $(x+y+z+1) + (2x-y+z+3) = 3x + 2z + 4 = 0$,अतः $x = \frac{-2z-4}{3}$.
$x$ का मान पहले समतल में रखने पर: $\frac{-2z-4}{3} + y + z + 1 = 0 \Rightarrow y = -z - 1 + \frac{2z+4}{3} = \frac{-3z-3+2z+4}{3} = \frac{-z+1}{3}$.
अतः,$x = \frac{-2z-4}{3}, y = \frac{-z+1}{3}, z = z$. इसे सममित रूप में लिखने पर: $\frac{x+4/3}{-2/3} = \frac{y-1/3}{-1/3} = \frac{z}{1}$.
$L_2$ पर एक बिंदु $B(-\frac{4}{3}, \frac{1}{3}, 0)$ है और इसका दिशा सदिश $\vec{d} = (-\frac{2}{3}, -\frac{1}{3}, 1)$ है।
सदिश $\vec{AB} = B - A = (-\frac{7}{3}, \frac{4}{3}, 0)$.
क्रॉस गुणनफल $\vec{c} \times \vec{d} = (-\frac{2}{3}, -\frac{2}{3}, -\frac{2}{3})$.
इसका परिमाण $|\vec{c} \times \vec{d}| = \frac{2}{\sqrt{3}}$.
न्यूनतम दूरी $d = \frac{|\vec{AB} \cdot (\vec{c} \times \vec{d})|}{|\vec{c} \times \vec{d}|} = \frac{|\frac{14}{9} - \frac{8}{9}|}{2/\sqrt{3}} = \frac{6/9}{2/\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}}$.

(A) मान लीजिए कि सारणिक $\Delta$ है।
पंक्ति संक्रियाओं $R_{1} \rightarrow R_{1} - R_{2}$ और $R_{2} \rightarrow R_{2} - R_{3}$ को लागू करने पर:
$\Delta = \left|\begin{array}{ccc} -1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & -1 \\ \cos ^{2} x & \sin ^{2} x & 1+\sin 2 x \end{array}\right|$
पहली पंक्ति के अनुदिश विस्तार करने पर:
$\Delta = -1(0 - (-\sin ^{2} x)) - 1(1 + \sin 2 x + \cos ^{2} x) + 0$
$\Delta = -\sin ^{2} x - 1 - \sin 2 x - \cos ^{2} x$
हम जानते हैं कि $\sin ^{2} x + \cos ^{2} x = 1$,इसलिए:
$\Delta = -1 - 1 - \sin 2 x = -2 - \sin 2 x$
हम जानते हैं कि $-1 \leq \sin 2 x \leq 1$.
न्यूनतम मान $m$ के लिए,$\sin 2 x = 1$,इसलिए $m = -2 - 1 = -3$.
अधिकतम मान $M$ के लिए,$\sin 2 x = -1$,इसलिए $M = -2 - (-1) = -1$.
अतः,$(m, M) = (-3, -1)$.

(A) मान लीजिए बिंदु $A$ मूल बिंदु $(0, 0)$ पर है। चूँकि $AB = 10 \ m$ है,निर्देशांक $A(0, 0)$ और $B(10, 0)$ हैं।
खंभे ऊर्ध्वाधर हैं,इसलिए $D$ के निर्देशांक $(0, 8)$ और $C$ के निर्देशांक $(10, 11)$ हैं।
मान लीजिए $M$,$AB$ पर स्थित एक बिंदु है जो $A$ से $h$ दूरी पर है,इसलिए $M$ के निर्देशांक $(h, 0)$ हैं जहाँ $0 \le h \le 10$ है।
दूरी के वर्ग $MD^{2} = (h-0)^{2} + (0-8)^{2} = h^{2} + 64$ और $MC^{2} = (h-10)^{2} + (0-11)^{2} = (h-10)^{2} + 121$ हैं।
मान लीजिए $f(h) = MD^{2} + MC^{2} = h^{2} + 64 + (h-10)^{2} + 121$ है।
$f(h) = h^{2} + 64 + h^{2} - 20h + 100 + 121 = 2h^{2} - 20h + 285$ है।
न्यूनतम मान ज्ञात करने के लिए,हम अवकलन करते हैं $f'(h) = 4h - 20$।
$f'(h) = 0$ रखने पर $4h = 20$ प्राप्त होता है,इसलिए $h = 5$ है।
चूँकि $f''(h) = 4 > 0$ है,फलन $h = 5 \ m$ पर न्यूनतम है।

(D) माना $\theta$ इकाई सदिशों $\overrightarrow{a}$ और $\overrightarrow{b}$ के बीच का कोण है।
हम जानते हैं कि $|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}| = \sqrt{|\overrightarrow{a}|^2 + |\overrightarrow{b}|^2 + 2\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}} = \sqrt{1+1+2\cos \theta} = \sqrt{2+2\cos \theta} = 2|\cos(\theta/2)|$.
इसी प्रकार,$|\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}| = \sqrt{|\overrightarrow{a}|^2 + |\overrightarrow{b}|^2 - 2\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}} = \sqrt{2-2\cos \theta} = 2|\sin(\theta/2)|$.
व्यंजक $f(\theta) = \sqrt{3}(2|\cos(\theta/2)|) + 2|\sin(\theta/2)|$ बन जाता है।
कॉची-श्वार्ट्ज असमिका या $a\cos x + b\sin x \leq \sqrt{a^2+b^2}$ के गुणधर्म का उपयोग करने पर,अधिकतम मान $\sqrt{(\sqrt{3} \times 2)^2 + 2^2} = \sqrt{12+4} = \sqrt{16} = 4$ प्राप्त होता है।

(A) $f''(0)$ ज्ञात करने के लिए,हम पहले $f'(x)$ ज्ञात करते हैं।
$x < 0$ के लिए,$f'(x) = 5x^4 \sin(1/x) - x^3 \cos(1/x) + 10x$. अतः,$f'(0) = \lim_{h \to 0^-} \frac{f(h) - f(0)}{h} = \lim_{h \to 0^-} (h^4 \sin(1/h) + 5h) = 0$.
$x > 0$ के लिए,$f'(x) = 5x^4 \cos(1/x) + x^3 \sin(1/h) + 2\lambda x$. अतः,$f'(0) = \lim_{h \to 0^+} \frac{f(h) - f(0)}{h} = \lim_{h \to 0^+} (h^4 \cos(1/h) + \lambda h) = 0$.
अब,$f''(0) = \lim_{h \to 0} \frac{f'(h) - f'(0)}{h}$.
$x=0$ पर बायां अवकलज $(LHD)$: $\lim_{h \to 0^-} \frac{5h^4 \sin(1/h) - h^3 \cos(1/h) + 10h - 0}{h} = \lim_{h \to 0^-} (5h^3 \sin(1/h) - h^2 \cos(1/h) + 10) = 10$.
$x=0$ पर दायां अवकलज $(RHD)$: $\lim_{h \to 0^+} \frac{5h^4 \cos(1/h) + h^3 \sin(1/h) + 2\lambda h - 0}{h} = \lim_{h \to 0^+} (5h^3 \cos(1/h) + h^2 \sin(1/h) + 2\lambda) = 2\lambda$.
$f''(0)$ के अस्तित्व के लिए,$LHD$ = $RHD$,इसलिए $2\lambda = 10$,जिसका अर्थ है $\lambda = 5$।

(A) दिया गया अवकल समीकरण: $\left(\frac{5+e^x}{2+y}\right) \frac{dy}{dx} + e^x = 0$.
चरों को अलग करने पर: $\frac{dy}{2+y} = -\frac{e^x}{5+e^x} dx$.
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\int \frac{dy}{2+y} = -\int \frac{e^x}{5+e^x} dx$.
इससे प्राप्त होता है: $\log |2+y| = -\log |5+e^x| + C$.
प्रारंभिक स्थिति $y(0)=1$ का उपयोग करने पर: $\log |2+1| = -\log |5+e^0| + C \Rightarrow \log 3 = -\log 6 + C \Rightarrow C = \log 3 + \log 6 = \log 18$.
अतः,$\log |2+y| = \log \left|\frac{18}{5+e^x}\right|$,जिसका अर्थ है $2+y = \frac{18}{5+e^x}$.
इस प्रकार,$y(x) = \frac{18}{5+e^x} - 2$.
$x = \log 13$ के लिए,$y(\log 13) = \frac{18}{5+e^{\log 13}} - 2 = \frac{18}{5+13} - 2 = \frac{18}{18} - 2 = 1 - 2 = -1$.

(D) दिया गया है कि $f(x) = \frac{a-x}{a+x}$.
हमें दिया गया है कि $(f \circ f)(x) = x$.
$f(f(x)) = f\left(\frac{a-x}{a+x}\right) = \frac{a - \left(\frac{a-x}{a+x}\right)}{a + \left(\frac{a-x}{a+x}\right)} = x$.
व्यंजक को सरल करने पर:
$\frac{a(a+x) - (a-x)}{a(a+x) + (a-x)} = x$
$\frac{a^2 + ax - a + x}{a^2 + ax + a - x} = x$
$a^2 + ax - a + x = x(a^2 + ax + a - x)$
$a^2 + ax - a + x = a^2x + ax^2 + ax - x^2$
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर:
$(a-1)x^2 + (a^2-1)x - a(a-1) = 0$
$(a-1)(x^2 + (a+1)x - a) = 0$
$(a-1)(x+a)(x-1) = 0$
चूंकि यह सभी $x \neq -a$ के लिए सत्य होना चाहिए,इसलिए $a-1 = 0$ होना चाहिए,अर्थात $a = 1$.
अतः,$f(x) = \frac{1-x}{1+x}$.
अब,$f\left(-\frac{1}{2}\right)$ की गणना करने पर:
$f\left(-\frac{1}{2}\right) = \frac{1 - (-1/2)}{1 + (-1/2)} = \frac{1 + 1/2}{1 - 1/2} = \frac{3/2}{1/2} = 3$.

(C) माना $I = \int \frac{d \theta}{\cos ^2 \theta(\tan 2 \theta+\sec 2 \theta)}$।
सर्वसमिकाओं $\tan 2\theta = \frac{2\tan \theta}{1-\tan^2 \theta}$ और $\sec 2\theta = \frac{1+\tan^2 \theta}{1-\tan^2 \theta}$ का उपयोग करने पर:
$I = \int \frac{\sec^2 \theta \, d\theta}{\frac{2\tan \theta}{1-\tan^2 \theta} + \frac{1+\tan^2 \theta}{1-\tan^2 \theta}}$
$I = \int \frac{\sec^2 \theta (1-\tan^2 \theta) \, d\theta}{1 + 2\tan \theta + \tan^2 \theta} = \int \frac{\sec^2 \theta (1-\tan \theta)(1+\tan \theta) \, d\theta}{(1+\tan \theta)^2}$
$I = \int \frac{\sec^2 \theta (1-\tan \theta) \, d\theta}{1+\tan \theta}$।
$\tan \theta = t$ रखने पर,$\sec^2 \theta \, d\theta = dt$ प्राप्त होता है:
$I = \int \frac{1-t}{1+t} \, dt = \int \frac{2-(1+t)}{1+t} \, dt = \int \left( \frac{2}{1+t} - 1 \right) \, dt$
$I = 2 \log |1+t| - t + c = 2 \log |1+\tan \theta| - \tan \theta + c$।
इसकी तुलना $\lambda \tan \theta + 2 \log |f(\theta)| + c$ से करने पर,हमें $\lambda = -1$ और $f(\theta) = 1+\tan \theta$ प्राप्त होता है।
अतः,क्रमित युग्म $(-1, |1+\tan \theta|)$ है।

(D) माना $S = \sin ^{-1} \frac{4}{5} + \sin ^{-1} \frac{5}{13} + \sin ^{-1} \frac{16}{65}$ है।
सबसे पहले,$\sin ^{-1} \frac{4}{5}$ और $\sin ^{-1} \frac{5}{13}$ को $\tan ^{-1}$ रूप में बदलें:
$\sin ^{-1} \frac{4}{5} = \tan ^{-1} \frac{4}{3}$ और $\sin ^{-1} \frac{5}{13} = \tan ^{-1} \frac{5}{12}$।
अब,पहले दो पदों का योग ज्ञात करें:
$\tan ^{-1} \frac{4}{3} + \tan ^{-1} \frac{5}{12} = \tan ^{-1} \left(\frac{\frac{4}{3} + \frac{5}{12}}{1 - \frac{4}{3} \times \frac{5}{12}}\right) = \tan ^{-1} \left(\frac{63}{16}\right)$।
यहाँ $\tan ^{-1} \frac{63}{16} = \cos ^{-1} \frac{16}{65}$ होता है।
अतः,$S = \cos ^{-1} \frac{16}{65} + \sin ^{-1} \frac{16}{65}$।
सर्वसमिका $\sin ^{-1} x + \cos ^{-1} x = \frac{\pi}{2}$ का उपयोग करने पर,$S = \frac{\pi}{2}$ प्राप्त होता है।
अंत में,व्यंजक का मान $2 \pi - \frac{\pi}{2} = \frac{3 \pi}{2}$ है।

(C) $(2,1,0)$,$(4,1,1)$ और $(5,0,1)$ से गुजरने वाले समतल का समीकरण सारणिक द्वारा:
$\begin{vmatrix} x-2 & y-1 & z-0 \\ 4-2 & 1-1 & 1-0 \\ 5-2 & 0-1 & 1-0 \end{vmatrix} = 0$
$\Rightarrow \begin{vmatrix} x-2 & y-1 & z \\ 2 & 0 & 1 \\ 3 & -1 & 1 \end{vmatrix} = 0$
प्रथम पंक्ति के अनुदिश विस्तार करने पर:
$(x-2)(0 - (-1)) - (y-1)(2 - 3) + z(-2 - 0) = 0$
$(x-2)(1) - (y-1)(-1) - 2z = 0$
$x - 2 + y - 1 - 2z = 0$
$x + y - 2z = 3$
मान लीजिए $R'(x, y, z)$ समतल $x + y - 2z - 3 = 0$ के सापेक्ष $R(2, 1, 6)$ का प्रतिबिंब है।
प्रतिबिंब का सूत्र:
$\frac{x-x_1}{a} = \frac{y-y_1}{b} = \frac{z-z_1}{c} = -2 \frac{ax_1 + by_1 + cz_1 + d}{a^2 + b^2 + c^2}$
मान रखने पर:
$\frac{x-2}{1} = \frac{y-1}{1} = \frac{z-6}{-2} = -2 \frac{2 + 1 - 2(6) - 3}{1^2 + 1^2 + (-2)^2}$
$\frac{x-2}{1} = \frac{y-1}{1} = \frac{z-6}{-2} = -2 \frac{3 - 12 - 3}{6} = 4$
प्रत्येक भाग को $4$ के बराबर रखने पर:
$x - 2 = 4 \Rightarrow x = 6$
$y - 1 = 4 \Rightarrow y = 5$
$z - 6 = -8 \Rightarrow z = -2$
अतः,प्रतिबिंब $R'$ का मान $(6, 5, -2)$ है।

(B) रेखाएं $L_1$ और $L_2$ समतलीय होती हैं यदि प्रत्येक रेखा पर एक बिंदु को जोड़ने वाले सदिश और उनकी दिशा सदिशों का सारणिक शून्य हो।
दिए गए बिंदु: $P_1 = (-1, 2, 1)$ और $P_2 = (-2, -1, -1)$।
दिशा सदिश: $\vec{v_1} = (2, -1, 1)$ और $\vec{v_2} = (\alpha, 5-\alpha, 1)$।
समतलीयता के लिए शर्त:
$\begin{vmatrix} x_2-x_1 & y_2-y_1 & z_2-z_1 \\ a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \end{vmatrix} = 0$
$\begin{vmatrix} -2-(-1) & -1-2 & -1-1 \\ 2 & -1 & 1 \\ \alpha & 5-\alpha & 1 \end{vmatrix} = 0$
$\begin{vmatrix} -1 & -3 & -2 \\ 2 & -1 & 1 \\ \alpha & 5-\alpha & 1 \end{vmatrix} = 0$
सारणिक का विस्तार करने पर:
$-1(-1 - (5-\alpha)) + 3(2 - \alpha) - 2(2(5-\alpha) - (-1)\alpha) = 0$
$-1(-6+\alpha) + 6 - 3\alpha - 2(10 - 2\alpha + \alpha) = 0$
$6 - \alpha + 6 - 3\alpha - 20 + 2\alpha = 0$
$-2\alpha - 8 = 0 \Rightarrow \alpha = -4$।
$\alpha = -4$ को $L_2$ में रखने पर:
$L_2: \frac{x+2}{-4} = \frac{y+1}{5-(-4)} = \frac{z+1}{1} \Rightarrow \frac{x+2}{-4} = \frac{y+1}{9} = \frac{z+1}{1}$।
विकल्प $(B) (2, -10, -2)$ की जाँच करने पर:
$\frac{2+2}{-4} = \frac{-10+1}{9} = \frac{-2+1}{1} \Rightarrow -1 = -1 = -1$।
अतः,रेखा $L_2$ बिंदु $(2, -10, -2)$ से होकर गुजरती है।

(B) दिया गया समीकरण: $(a+\sqrt{2} b \cos x)(a-\sqrt{2} b \cos y)=a^2-b^2$ है।
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$(a+\sqrt{2} b \cos x) \cdot (\sqrt{2} b \sin y \frac{dy}{dx}) + (a-\sqrt{2} b \cos y) \cdot (-\sqrt{2} b \sin x) = 0$।
बिंदु $\left(\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{4}\right)$ पर,$\cos x = \cos y = \frac{1}{\sqrt{2}}$ और $\sin x = \sin y = \frac{1}{\sqrt{2}}$ है।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$(a+\sqrt{2} b \cdot \frac{1}{\sqrt{2}}) \cdot (\sqrt{2} b \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{dy}{dx}) + (a-\sqrt{2} b \cdot \frac{1}{\sqrt{2}}) \cdot (-\sqrt{2} b \cdot \frac{1}{\sqrt{2}}) = 0$।
$(a+b) \cdot (b \frac{dy}{dx}) + (a-b) \cdot (-b) = 0$।
$(a+b) b \frac{dy}{dx} = b(a-b)$।
चूंकि $b > 0$,$b$ से भाग देने पर:
$(a+b) \frac{dy}{dx} = a-b$।
अतः,$\frac{dy}{dx} = \frac{a-b}{a+b}$।

(D) माना लोहे की गेंद की त्रिज्या $r_0 = 10 \ cm$ है और बर्फ की परत की मोटाई $x \ cm$ है। गोले की कुल त्रिज्या (लोहे की गेंद + बर्फ) $R = 10 + x \ cm$ है।
बर्फ की परत का आयतन $V = \frac{4}{3}\pi (10+x)^3 - \frac{4}{3}\pi (10)^3$ है।
चूंकि लोहे की गेंद स्थिर है,कुल आयतन में परिवर्तन की दर बर्फ के आयतन में परिवर्तन की दर के बराबर है।
$V = \frac{4}{3}\pi (10+x)^3$.
समय $t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dV}{dt} = 4\pi (10+x)^2 \frac{dx}{dt}$.
दिया गया है कि $\frac{dV}{dt} = -50 \ cm^3/min$ (क्योंकि यह पिघल रही है) और $x = 5 \ cm$:
$-50 = 4\pi (10+5)^2 \frac{dx}{dt}$.
$-50 = 4\pi (15)^2 \frac{dx}{dt}$.
$-50 = 4\pi (225) \frac{dx}{dt}$.
$-50 = 900\pi \frac{dx}{dt}$.
$\frac{dx}{dt} = -\frac{50}{900\pi} = -\frac{1}{18\pi} \ cm/min$.
ऋणात्मक चिह्न मोटाई में कमी को दर्शाता है।
अतः,मोटाई घटने की दर $\frac{1}{18\pi} \ cm/min$ है।
इस प्रकार,विकल्प $(D)$ सही है।