JEE Main 2020 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(D) दिया है $\operatorname{Re}(z)=|z-1|$। माना $z=x+iy$ है। तब $x=\sqrt{(x-1)^2+y^2}$।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर, $x^2=(x-1)^2+y^2$ $\Rightarrow x^2=x^2-2x+1+y^2$ $\Rightarrow y^2=2x-1$।
यह एक परवलय $y^2=4a(x-h)$ को दर्शाता है जहाँ $4a=2 \Rightarrow a=\frac{1}{2}$ और शीर्ष $(\frac{1}{2}, 0)$ है।
बिंदु $z_1$ और $z_2$ इस परवलय पर स्थित हैं। जीवा $z_1z_2$ की ढाल $\tan(\arg(z_1-z_2)) = \tan(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{\sqrt{3}}$ है।
परवलय $y^2=4ax$ के लिए, प्राचल $t_1$ और $t_2$ वाले बिंदुओं को जोड़ने वाली जीवा की ढाल $m = \frac{2}{t_1+t_2}$ होती है।
चूँकि $y=2at$, इसलिए $y_1+y_2 = 2a(t_1+t_2) = 2a(\frac{2}{m}) = \frac{4a}{m}$।
$a=\frac{1}{2}$ और $m=\frac{1}{\sqrt{3}}$ रखने पर, $y_1+y_2 = \frac{4(1/2)}{1/\sqrt{3}} = 2\sqrt{3}$।
अतः, $\operatorname{Im}(z_1+z_2) = y_1+y_2 = 2\sqrt{3}$।

(A) माना $L = \lim_{x \rightarrow a} \frac{(a+2x)^{1/3}-(3x)^{1/3}}{(3a+x)^{1/3}-(4x)^{1/3}}$.
$L$'$H$ôpital नियम का उपयोग करते हुए,अंश और हर का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
अंश का अवकलन: $\frac{2}{3}(a+2x)^{-2/3} - (3x)^{-2/3}$.
हर का अवकलन: $\frac{1}{3}(3a+x)^{-2/3} - \frac{4}{3}(4x)^{-2/3}$.
$x = a$ रखने पर:
अंश: $-\frac{1}{3}(3a)^{-2/3}$.
हर: $-(4a)^{-2/3}$.
अतः,$L = \frac{-\frac{1}{3}(3a)^{-2/3}}{-(4a)^{-2/3}} = \frac{1}{3} \left(\frac{4}{3}\right)^{2/3} = \frac{2}{3} \left(\frac{2}{9}\right)^{1/3}$.

(C) दी गई श्रेणी एक समांतर श्रेणी $(AP)$ है जिसमें प्रथम पद $a = 20$ और सार्व अंतर $d = -\frac{2}{5}$ है।
$n$ पदों का योग $S_n = \frac{n}{2} [2a + (n - 1)d] = 488$ है।
मान रखने पर: $\frac{n}{2} [40 + (n - 1)(-\frac{2}{5})] = 488$।
$n(101 - n) = 2440$।
$n^2 - 101n + 2440 = 0$।
हल करने पर,$n = 40$ या $n = 61$ प्राप्त होता है।
यदि $n = 61$ है,तो $n$ वां पद $T_n = 20 + (60)(-\frac{2}{5}) = -4$ है,जो ऋणात्मक है।
अतः,$n = 61$ और $n$ वां पद $-4$ है।

(C) अवलोकनों $x_{i}$ का प्रसरण $p$ के विस्थापन से स्वतंत्र होता है। मान लीजिए $y_{i} = x_{i} - p$.
दिया गया है कि $\sum_{i=1}^{10} y_{i} = 3$ और $\sum_{i=1}^{10} y_{i}^{2} = 9$.
प्रसरण $\sigma^{2}$ का सूत्र है:
$\sigma^{2} = \frac{\sum y_{i}^{2}}{n} - \left( \frac{\sum y_{i}}{n} \right)^{2}$
$n = 10$ रखने पर:
$\sigma^{2} = \frac{9}{10} - \left( \frac{3}{10} \right)^{2}$
$\sigma^{2} = 0.9 - 0.09 = 0.81$
मानक विचलन $\sigma = \sqrt{0.81} = 0.9 = \frac{9}{10}$.

(A) दीर्घवृत्त $\frac{x^{2}}{25}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ $(b < 5)$ के लिए,उत्केंद्रता $e_{1}$ समीकरण $b^{2}=25(1-e_{1}^{2})$ को संतुष्ट करती है।
अतिपरवलय $\frac{x^{2}}{16}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ के लिए,उत्केंद्रता $e_{2}$ समीकरण $b^{2}=16(e_{2}^{2}-1)$ को संतुष्ट करती है।
$b^{2}$ के लिए दोनों व्यंजकों को बराबर करने पर,हमें $25(1-e_{1}^{2})=16(e_{2}^{2}-1)$ प्राप्त होता है।
दिया है $e_{1}e_{2}=1$,इसलिए $e_{2}=\frac{1}{e_{1}}$ प्रतिस्थापित करने पर:
$25(1-e_{1}^{2})=16(\frac{1}{e_{1}^{2}}-1) = 16(\frac{1-e_{1}^{2}}{e_{1}^{2}})$.
चूंकि $b < 5$,$e_{1} \neq 1$,इसलिए $(1-e_{1}^{2})$ से विभाजित करने पर $25 = \frac{16}{e_{1}^{2}}$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $e_{1}^{2}=\frac{16}{25}$,अतः $e_{1}=\frac{4}{5}$.
तब $e_{2}=\frac{1}{e_{1}}=\frac{5}{4}$.
दीर्घवृत्त की नाभियों के बीच की दूरी $2ae_{1} = 2(5)(\frac{4}{5}) = 8 = \alpha$.
अतिपरवलय की नाभियों के बीच की दूरी $2ae_{2} = 2(4)(\frac{5}{4}) = 10 = \beta$.
अतः,क्रमित युग्म $(\alpha, \beta) = (8, 10)$ है।

(B) माना $f(x) = (\lambda^{2}+1)x^{2}-4\lambda x+2$.
अंतराल $(0,1)$ में ठीक एक मूल होने के लिए,हम शर्त $f(0) \cdot f(1) < 0$ पर विचार करते हैं।
$f(0) = 2$
$f(1) = \lambda^{2}+1-4\lambda+2 = \lambda^{2}-4\lambda+3 = (\lambda-1)(\lambda-3)$
अतः,$f(0) \cdot f(1) = 2(\lambda-1)(\lambda-3) < 0$.
इसका अर्थ है $1 < \lambda < 3$.
अब,हम अंतिम बिंदुओं की जाँच करते हैं:
स्थिति $1$: यदि $\lambda = 1$,तो समीकरण $2x^{2}-4x+2 = 0$ हो जाता है,जो $2(x-1)^{2} = 0$ है। मूल $x=1, 1$ हैं। कोई भी मूल $(0,1)$ में नहीं है। इसलिए $\lambda \neq 1$.
स्थिति $2$: यदि $\lambda = 3$,तो समीकरण $10x^{2}-12x+2 = 0$ हो जाता है,जो $2(5x^{2}-6x+1) = 0$ या $2(5x-1)(x-1) = 0$ है। मूल $x = 1/5$ और $x = 1$ हैं। चूँकि $1/5 \in (0,1)$,इसलिए $\lambda = 3$ एक सही समाधान है।
इन दोनों को मिलाने पर,मानों का समुच्चय $\lambda \in (1,3]$ है।

(D) $(a+b)^n$ के विस्तार में सामान्य पद $T_{r+1} = {}^{n}C_{r} a^{n-r} b^r$ द्वारा दिया जाता है।
$\left(\frac{3}{2} x^{2}-\frac{1}{3 x}\right)^{9}$ के विस्तार के लिए,सामान्य पद:
$T_{r+1} = {}^{9}C_{r} \left(\frac{3}{2} x^{2}\right)^{9-r} \left(-\frac{1}{3x}\right)^{r}$
$T_{r+1} = {}^{9}C_{r} \left(\frac{3}{2}\right)^{9-r} \left(-\frac{1}{3}\right)^{r} x^{18-3r}$
$x$ से स्वतंत्र पद के लिए,$x$ का घातांक $0$ होना चाहिए:
$18 - 3r = 0 \implies r = 6$
$k$ ज्ञात करने के लिए $r = 6$ रखने पर:
$k = {}^{9}C_{6} \left(\frac{3}{2}\right)^{3} \left(-\frac{1}{3}\right)^{6} = \frac{7}{18}$
अतः,$18k = 18 \times \frac{7}{18} = 7$.

(A) माना $3$ और $243$ के बीच समांतर माध्य $A_1, A_2, \dots, A_m$ हैं। सार्व अंतर $d = \frac{243 - 3}{m + 1} = \frac{240}{m + 1}$ है।
$4^{\text{th}}$ $A.M.$ का मान $A_4 = a + 4d = 3 + 4 \left( \frac{240}{m + 1} \right)$ है।
माना $3$ और $243$ के बीच गुणोत्तर माध्य $G_1, G_2, G_3$ हैं। सार्व अनुपात $r = \left( \frac{243}{3} \right)^{\frac{1}{3 + 1}} = (81)^{\frac{1}{4}} = 3$ है।
$2^{\text{nd}}$ $G.M.$ का मान $G_2 = ar^2 = 3 \times (3)^2 = 27$ है।
चूंकि $A_4 = G_2$,इसलिए $3 + \frac{960}{m + 1} = 27$ है।
$\frac{960}{m + 1} = 24$ है।
$m + 1 = 40$ है।
$m = 39$ है।

(A) माना कि $3$-अंकीय संख्या $xyz$ है,जहाँ $x$ सैकड़ा का अंक,$y$ दहाई का अंक और $z$ इकाई का अंक है।
हमें शर्त दी गई है कि $x + y + z = 10$,जहाँ $1 \leq x \leq 9$ और $0 \leq y, z \leq 9$ है।
माना $T = x - 1$,तो $x = T + 1$ है। चूँकि $1 \leq x \leq 9$,इसलिए $0 \leq T \leq 8$ है।
समीकरण में रखने पर: $(T + 1) + y + z = 10 \implies T + y + z = 9$।
$T + y + z = 9$ के गैर-ऋणात्मक पूर्णांक हलों की संख्या $\binom{n+r-1}{r-1} = \binom{9+3-1}{3-1} = \binom{11}{2} = 55$ है।
हालाँकि,हमें उन स्थितियों को बाहर करना होगा जहाँ अंक $9$ से अधिक हो जाते हैं।
चूँकि $T \leq 8$,$y \leq 9$,और $z \leq 9$ है,इसलिए केवल $T=9$ वाली स्थिति को बाहर करना होगा (जिसका अर्थ है $x=10$,जो संभव नहीं है)।
यदि $T=9$ है,तो $y=0$ और $z=0$ होगा। यह $1$ स्थिति है।
अतः,कुल $3$-अंकीय संख्याएँ $55 - 1 = 54$ हैं।

(B) दिया गया दीर्घवृत्त $3x^{2} + 4y^{2} = 12$ है,जिसे $\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{3} = 1$ के रूप में लिखा जा सकता है।
यहाँ,$a^{2} = 4$ और $b^{2} = 3$ है। उत्केंद्रता $e = \sqrt{1 - \frac{3}{4}} = \frac{1}{2}$ है।
नाभियाँ $(\pm ae, 0) = (\pm 1, 0)$ हैं।
अतिपरवलय के लिए,अनुप्रस्थ अक्ष की लंबाई $2a_{h} = \sqrt{2}$ है,इसलिए $a_{h}^{2} = \frac{1}{2}$ है।
अतिपरवलय का समीकरण $\frac{x^{2}}{1/2} - \frac{y^{2}}{b_{h}^{2}} = 1$ है।
नाभियाँ $(\pm \sqrt{a_{h}^{2} + b_{h}^{2}}, 0) = (\pm \sqrt{\frac{1}{2} + b_{h}^{2}}, 0)$ हैं।
चूँकि नाभियाँ समान हैं,$\frac{1}{2} + b_{h}^{2} = 1$,जिससे $b_{h}^{2} = \frac{1}{2}$ प्राप्त होता है।
अतिपरवलय का समीकरण $x^{2} - y^{2} = \frac{1}{2}$ है।
बिंदु $\left(\sqrt{\frac{3}{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}}\right)$ के लिए,$\frac{3}{2} - \frac{1}{2} = 1 \neq \frac{1}{2}$ है।
अतः,यह बिंदु अतिपरवलय पर स्थित नहीं है।

(D) माना प्रथम पद $a = 3$ और सार्व अंतर $d$ है।
प्रश्न के अनुसार,प्रथम $25$ पदों का योग अगले $15$ पदों के योग के बराबर है।
$S_{25} = S_{40} - S_{25}$ अर्थात $2S_{25} = S_{40}$।
सूत्र $S_n = \frac{n}{2}[2a + (n-1)d]$ का उपयोग करने पर:
$2 \times \frac{25}{2}[2(3) + 24d] = \frac{40}{2}[2(3) + 39d]$
$25[6 + 24d] = 20[6 + 39d]$
$5[6 + 24d] = 4[6 + 39d]$
$30 + 120d = 24 + 156d$
$6 = 36d$
$d = \frac{1}{6}$.

(C) परवलय का समीकरण $y^{2}=12x$ है,इसलिए $4a=12$,जिसका अर्थ है $a=3$ है।
मान लीजिए $P = (3t^{2}, 6t)$ है। चूंकि $N$ अक्ष ($x$-अक्ष) पर लंब का पाद है,इसलिए $N = (3t^{2}, 0)$ है।
$PN$ का मध्य-बिंदु $M = (3t^{2}, 3t)$ है।
$M$ से होकर जाने वाली और अक्ष के समानांतर रेखा $y=3t$ है।
चूंकि $Q$ परवलय $y^{2}=12x$ पर स्थित है और इसका $y$-निर्देशांक $3t$ है,इसलिए $(3t)^{2} = 12x_Q$,जिससे $9t^{2} = 12x_Q$,अर्थात $x_Q = \frac{3}{4}t^{2}$ प्राप्त होता है। अतः $Q = (\frac{3}{4}t^{2}, 3t)$ है।
रेखा $NQ$,$N(3t^{2}, 0)$ और $Q(\frac{3}{4}t^{2}, 3t)$ से होकर गुजरती है।
$NQ$ की ढाल $m = \frac{3t-0}{\frac{3}{4}t^{2}-3t^{2}} = \frac{3t}{-\frac{9}{4}t^{2}} = -\frac{4}{3t}$ है।
रेखा $NQ$ का समीकरण $y - 0 = -\frac{4}{3t}(x - 3t^{2})$ है।
$y$-अंतःखंड ज्ञात करने के लिए $x=0$ रखने पर: $y = -\frac{4}{3t}(-3t^{2}) = 4t$ प्राप्त होता है।
चूंकि $y$-अंतःखंड $\frac{4}{3}$ दिया गया है,इसलिए $4t = \frac{4}{3} \Rightarrow t = \frac{1}{3}$ है।
अब,$MQ$,$M(3t^{2}, 3t)$ और $Q(\frac{3}{4}t^{2}, 3t)$ के बीच की क्षैतिज दूरी है,इसलिए $MQ = |3t^{2} - \frac{3}{4}t^{2}| = \frac{9}{4}t^{2}$ है।
$t = \frac{1}{3}$ रखने पर,$MQ = \frac{9}{4}(\frac{1}{3})^{2} = \frac{9}{4} \times \frac{1}{9} = \frac{1}{4}$ प्राप्त होता है।
अतः,विकल्प $C$ सही है।

(D) डेटा की सीमा अंतराल $[0, 10]$ द्वारा दी गई है।
किसी भी आवृत्ति वितरण के लिए,मानक विचलन $\sigma$ असमिका $\sigma \leq \frac{1}{2}(M - m)$ को संतुष्ट करता है,जहाँ $M$ और $m$ क्रमशः चर के अधिकतम और न्यूनतम मान हैं।
यहाँ,$M = 10$ और $m = 0$ है।
इसलिए,$\sigma \leq \frac{1}{2}(10 - 0) = 5$।
चूंकि मान अलग-अलग हैं $(x_{1} < x_{2} < \ldots < x_{15})$,इसलिए मानक विचलन $5$ से कम होना चाहिए।
अतः,$\sigma < 5$।
दिए गए विकल्पों में से,$6$ का मान $5$ से अधिक है,इसलिए मानक विचलन $6$ नहीं हो सकता है।

(A) द्विघात समीकरण $x^{2} - (m+1)x + m+4 = 0$ के मूल वास्तविक होने के लिए,विविक्तकर $D \geq 0$ होना चाहिए।
$D = (m+1)^{2} - 4(m+4) \geq 0$
$m^{2} + 2m + 1 - 4m - 16 \geq 0$
$m^{2} - 2m - 15 \geq 0$
$(m-5)(m+3) \geq 0$
अतः,$m \in (-\infty, -3] \cup [5, \infty)$,यानी $A = (-\infty, -3] \cup [5, \infty)$.
दिया गया है $B = [-3, 5)$।
अब,विकल्पों की जाँच करने पर,सभी विकल्प सत्य हैं।

(C) माना $S = S_{1} + S_{2}$,जहाँ $S_{1} = \sum_{n=1}^{51} (-1)^{n-1} (n+1) \cdot {}^{n}P_{n-1}$ और $S_{2} = \sum_{n=1}^{51} (-1)^{n-1} n!$ है।
चूँकि ${}^{n}P_{n-1} = n!$,इसलिए $S_{1} = \sum_{n=1}^{51} (-1)^{n-1} (n+1) n! = \sum_{n=1}^{51} (-1)^{n-1} (n+1)!$।
$S_{1}$ का विस्तार $2! - 3! + 4! - \dots + 52!$ है।
$S_{2}$ का विस्तार $1! - 2! + 3! - 4! + \dots + (51)!$ है।
$S_{1}$ और $S_{2}$ को जोड़ने पर,पद कट जाते हैं:
$S = 1! + 52! = 1 + 52!$।

(B) विस्तार का सामान्य पद $T_{r+1} = {^nC_r} (3)^{\frac{n-r}{2}} (5)^{\frac{r}{8}}$ है,जहाँ $0 \le r \le n$ है।
पद को पूर्णांक होने के लिए,घातांक $\frac{n-r}{2}$ और $\frac{r}{8}$ दोनों को अऋणात्मक पूर्णांक होना चाहिए।
इसका अर्थ है कि $r$ को $8$ का गुणज होना चाहिए,अर्थात $r \in \{0, 8, 16, \dots, 8k\}$।
साथ ही,$\frac{n-r}{2}$ को पूर्णांक होना चाहिए,जिसका अर्थ है कि $(n-r)$ सम होना चाहिए। चूँकि $r$ आठ का गुणज है,इसलिए $n$ को भी सम होना चाहिए।
चूँकि यहाँ $33$ पूर्णांक पद हैं,$r$ के संभावित मान $0, 8, 16, \dots, 8 \times 32$ हैं।
$r$ का अधिकतम मान $8 \times 32 = 256$ है।
चूँकि $r \le n$ है,इसलिए $n$ का न्यूनतम मान $256$ है।

(C) दिया गया है कि $\alpha, \beta$ समीकरण $x^{2}+px+2=0$ के मूल हैं,अतः $\alpha+\beta = -p$ और $\alpha\beta = 2$.
समीकरण $2x^{2}+2qx+1=0$ के मूल $\frac{1}{\alpha}$ और $\frac{1}{\beta}$ हैं।
मूलों का योग: $\frac{1}{\alpha} + \frac{1}{\beta} = \frac{\alpha+\beta}{\alpha\beta} = \frac{-p}{2} = -q \Rightarrow p = 2q$.
हमें $E = \left(\alpha-\frac{1}{\alpha}\right)\left(\beta-\frac{1}{\beta}\right)\left(\alpha+\frac{1}{\beta}\right)\left(\beta+\frac{1}{\alpha}\right)$ का मान ज्ञात करना है।
$E = \frac{(\alpha^{2}-1)(\beta^{2}-1)(\alpha\beta+1)^{2}}{(\alpha\beta)^{2}}$.
चूँकि $\alpha^{2} = -p\alpha-2$ और $\beta^{2} = -p\beta-2$,इसलिए $\alpha^{2}-1 = -p\alpha-3$ और $\beta^{2}-1 = -p\beta-3$.
$E = \frac{(-p\alpha-3)(-p\beta-3)(2+1)^{2}}{2^{2}} = \frac{9}{4}(p^{2}\alpha\beta + 3p(\alpha+\beta) + 9)$.
$\alpha\beta=2$ और $\alpha+\beta=-p$ रखने पर:
$E = \frac{9}{4}(2p^{2} - 3p^{2} + 9) = \frac{9}{4}(9-p^{2})$.

(B) सीमा के अस्तित्व के लिए,बाएँ हाथ की सीमा $(LHL)$ और दाएँ हाथ की सीमा $(RHL)$ बराबर होनी चाहिए।
$LHL = \lim_{x \rightarrow 0^{-}} \left| \frac{1-x+(-x)}{\lambda-x+(-1)} \right| = \left| \frac{1}{\lambda-1} \right|$
$RHL = \lim_{x \rightarrow 0^{+}} \left| \frac{1-x+x}{\lambda-x+0} \right| = \left| \frac{1}{\lambda} \right|$
$LHL$ और $RHL$ को बराबर करने पर:
$\left| \frac{1}{\lambda-1} \right| = \left| \frac{1}{\lambda} \right| \Rightarrow |\lambda| = |\lambda-1|$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $\lambda^2 = \lambda^2 - 2\lambda + 1$ $\Rightarrow 2\lambda = 1$ $\Rightarrow \lambda = \frac{1}{2}$.
$\lambda = \frac{1}{2}$ को $L$ के व्यंजक में रखने पर:
$L = \left| \frac{1}{1/2} \right| = 2$.

(A) दिया गया कथन: $p \rightarrow \sim( p \wedge \sim q )$
निहितार्थ नियम $A \rightarrow B \equiv \sim A \vee B$ का उपयोग करने पर:
$\sim p \vee \sim( p \wedge \sim q )$
डी मॉर्गन के नियम $\sim( A \wedge B ) \equiv \sim A \vee \sim B$ को लागू करने पर:
$\sim p \vee (\sim p \vee \sim(\sim q))$
चूंकि $\sim(\sim q) \equiv q$:
$\sim p \vee \sim p \vee q$
आइडेंपोटेंट नियम $\sim p \vee \sim p \equiv \sim p$ का उपयोग करने पर:
$\sim p \vee q$
अतः,कथन $(\sim p) \vee q$ के समतुल्य है.

(B) दिया गया व्यंजक $\lim_{x}$ ${\rightarrow 0} \frac{1}{x^{8}} \left( 1 - \cos \frac{x^{2}}{2} - \cos \frac{x^{2}}{4} + \cos \frac{x^{2}}{2} \cos \frac{x^{2}}{4} \right)$ है।
अंश का गुणनखंड करने पर,हमें $\lim_{x \rightarrow 0} \frac{(1 - \cos \frac{x^{2}}{2})(1 - \cos \frac{x^{2}}{4})}{x^{8}}$ प्राप्त होता है।
सीमा सूत्र $\lim_{\theta \rightarrow 0} \frac{1 - \cos \theta}{\theta^{2}} = \frac{1}{2}$ का उपयोग करने पर:
$\lim_{x}$ ${\rightarrow 0} \left( \frac{1 - \cos \frac{x^{2}}{2}}{(x^{2}/2)^{2} \cdot 4} \right) \cdot \left( \frac{1 - \cos \frac{x^{2}}{4}}{(x^{2}/4)^{2} \cdot 16} \right) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{16} = \frac{1}{256}$.
चूंकि $\frac{1}{256} = \frac{1}{2^{8}} = 2^{-8}$,इसलिए $2^{-8} = 2^{-k}$ है।
अतः,$k = 8$।

(C) माना वृत्त का केंद्र $(\alpha, 2-\alpha)$ है क्योंकि यह रेखा $x+y=2$ पर स्थित है।
चूंकि वृत्त प्रथम चतुर्थांश में है,$\alpha > 0$ और $2-\alpha > 0$,जिसका अर्थ है $0 < \alpha < 2$।
वृत्त रेखाओं $x=3$ और $y=2$ को स्पर्श करता है। त्रिज्या $r$ केंद्र से इन रेखाओं की दूरी है:
$r = |3-\alpha| = |2-(2-\alpha)| = |\alpha|$।
चूंकि $0 < \alpha < 2$,इसलिए $|3-\alpha| = 3-\alpha$ और $|\alpha| = \alpha$ होगा।
त्रिज्या के लिए दोनों व्यंजकों को बराबर करने पर:
$3-\alpha = \alpha$
$2\alpha = 3$
$\alpha = \frac{3}{2}$।
त्रिज्या $r = \alpha = \frac{3}{2}$।
वृत्त का व्यास $2r = 2 \times \frac{3}{2} = 3$ है।

(A) माना $S = \frac{1}{3} + \frac{1}{3^2} + \frac{1}{3^3} + \ldots \infty$। यह एक अनंत गुणोत्तर श्रेणी है जिसका प्रथम पद $a = \frac{1}{3}$ और सार्व अनुपात $r = \frac{1}{3}$ है।
सूत्र $S = \frac{a}{1-r}$ का उपयोग करने पर,$S = \frac{1/3}{1 - 1/3} = \frac{1/3}{2/3} = \frac{1}{2}$ प्राप्त होता है।
अब,व्यंजक $(0.16)^{\log_{2.5}(1/2)}$ है।
ध्यान दें कि $0.16 = \frac{16}{100} = \frac{4}{25} = (2.5)^{-2}$।
अतः,व्यंजक $((2.5)^{-2})^{\log_{2.5}(1/2)}$ हो जाता है।
गुणधर्म $(a^b)^c = a^{bc}$ का उपयोग करने पर,$(2.5)^{-2 \log_{2.5}(1/2)} = (2.5)^{\log_{2.5}((1/2)^{-2})}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $a^{\log_a(x)} = x$,व्यंजक का मान $(1/2)^{-2} = 2^2 = 4$ होगा।

(A) आधार पदों को सरल करने पर:
$\frac{1+i}{1-i} = i$ और $\frac{1+i}{i-1} = -i$.
दिए गए समीकरण:
$(i)^{m/2} = 1$ और $(-i)^{n/3} = 1$.
$(i)^{m/2} = 1$ के लिए,$m/2$ को $4$ का गुणज होना चाहिए। अतः,$m/2 = 4k_1 \Rightarrow m = 8k_1$. $m$ का न्यूनतम मान $8$ है।
$(-i)^{n/3} = 1$ के लिए,$n/3 = 4k_2 \Rightarrow n = 12k_2$. $n$ का न्यूनतम मान $12$ है।
$8$ और $12$ का महत्तम समापवर्तक $(GCD)$ $4$ है।

(D) मान लीजिए $n(T)$ समुच्चय $T$ में अवयवों की संख्या है।
दिया गया है कि $\bigcup_{i=1}^{50} X_{i} = T$ और प्रत्येक $X_{i}$ में $10$ अवयव हैं,इसलिए सभी $X_{i}$ के अवयवों का योग $50 \times 10 = 500$ है।
चूंकि $T$ का प्रत्येक अवयव ठीक $20$ समुच्चयों $X_{i}$ में है,इसलिए $20 \times n(T) = 500$,जिससे $n(T) = \frac{500}{20} = 25$ प्राप्त होता है।
इसी प्रकार,समुच्चयों $Y_{i}$ के लिए,$\bigcup_{i=1}^{n} Y_{i} = T$ और प्रत्येक $Y_{i}$ में $5$ अवयव हैं,इसलिए सभी $Y_{i}$ के अवयवों का योग $n \times 5 = 5n$ है।
चूंकि $T$ का प्रत्येक अवयव ठीक $6$ समुच्चयों $Y_{i}$ में है,इसलिए $6 \times n(T) = 5n$।
$n(T) = 25$ रखने पर,हमें $6 \times 25 = 5n$ प्राप्त होता है,जो $150 = 5n$ में सरल हो जाता है,अतः $n = 30$।

(D) समीकरण $x^{2}-x+2\lambda=0$ के लिए,$\alpha+\beta=1$ और $\alpha\beta=2\lambda$ है।
समीकरण $3x^{2}-10x+27\lambda=0$ के लिए,$\alpha+\gamma=\frac{10}{3}$ और $\alpha\gamma=9\lambda$ है।
मूलों के योग को घटाने पर: $(\alpha+\gamma)-(\alpha+\beta)=\frac{10}{3}-1 \Rightarrow \gamma-\beta=\frac{7}{3}$।
मूलों के गुणनफल का भाग देने पर: $\frac{\alpha\gamma}{\alpha\beta}=\frac{9\lambda}{2\lambda}$ $\Rightarrow \frac{\gamma}{\beta}=\frac{9}{2}$ $\Rightarrow \gamma=\frac{9}{2}\beta$।
$\gamma$ का मान $\gamma-\beta=\frac{7}{3}$ में रखने पर: $\frac{9}{2}\beta-\beta=\frac{7}{3}$ $\Rightarrow \frac{7}{2}\beta=\frac{7}{3}$ $\Rightarrow \beta=\frac{2}{3}$।
अतः $\gamma=\frac{9}{2} \times \frac{2}{3}=3$।
चूंकि $\alpha+\beta=1$,इसलिए $\alpha=1-\frac{2}{3}=\frac{1}{3}$।
$\alpha\beta=2\lambda$ का उपयोग करने पर: $\frac{1}{3} \times \frac{2}{3}=2\lambda \Rightarrow \lambda=\frac{1}{9}$।
अंत में,$\frac{\beta\gamma}{\lambda}=\frac{(2/3) \times 3}{1/9}=18$।

(C) $A.P.$ के $n$ वें पद का सूत्र $a_{n} = a_{1} + (n-1)d$ है।
दिया गया है $a_{1} = 1$ और $a_{n} = 300$,अतः $300 = 1 + (n-1)d$,जिसका अर्थ है $(n-1)d = 299$ है।
$299$ का अभाज्य गुणनखंड $13 \times 23$ है।
चूंकि $15 \leq n \leq 50$ है,इसलिए $14 \leq n-1 \leq 49$ है।
$299$ के गुणनखंड $1, 13, 23, 299$ हैं।
$n-1$ के लिए $[14, 49]$ के बीच होने के लिए,एकमात्र संभव मान $n-1 = 23$ है,जिससे $n = 24$ प्राप्त होता है।
अतः $d = 13$ है।
हमें $(S_{n-4}, a_{n-4})$ ज्ञात करना है। चूंकि $n = 24$ है,इसलिए $n-4 = 20$ है।
$a_{20} = a_{1} + 19d = 1 + 19(13) = 1 + 247 = 248$ है।
$S_{20} = \frac{20}{2}(a_{1} + a_{20}) = 10(1 + 248) = 10(249) = 2490$ है।
अतः,क्रमित युग्म $(2490, 248)$ है।

(A) $AM \geq GM$ असमिका का उपयोग करते हुए:
$\frac{2^{\sin x} + 2^{\cos x}}{2} \geq \sqrt{2^{\sin x} \cdot 2^{\cos x}}$
$\Rightarrow 2^{\sin x} + 2^{\cos x} \geq 2 \cdot 2^{\frac{\sin x + \cos x}{2}}$
$\Rightarrow 2^{\sin x} + 2^{\cos x} \geq 2^{1 + \frac{\sin x + \cos x}{2}}$
हम जानते हैं कि $\sin x + \cos x$ का न्यूनतम मान $-\sqrt{2}$ है।
यह मान रखने पर:
$\min(2^{\sin x} + 2^{\cos x}) = 2^{1 + \frac{-\sqrt{2}}{2}} = 2^{1 - \frac{\sqrt{2}}{2}} = 2^{1 - \frac{1}{\sqrt{2}}}$

(D) माना $S_{1} = x^{2}+y^{2}-6x=0$ और $S_{2} = x^{2}+y^{2}-4y=0$ के प्रतिच्छेदन से गुजरने वाले वृत्त का समीकरण $S_{1} + \lambda S_{2} = 0$ है।
$(x^{2}+y^{2}-6x) + \lambda(x^{2}+y^{2}-4y) = 0$
$(1+\lambda)x^{2} + (1+\lambda)y^{2} - 6x - 4\lambda y = 0$
केंद्र $\left(\frac{3}{1+\lambda}, \frac{2\lambda}{1+\lambda}\right)$ है।
चूंकि केंद्र रेखा $2x - 3y + 12 = 0$ पर स्थित है,इसलिए $\lambda = -3$ प्राप्त होता है।
समीकरण में $\lambda = -3$ रखने पर,$x^{2} + y^{2} + 3x - 6y = 0$ प्राप्त होता है।
बिंदु $(-3, 6)$ इस समीकरण को संतुष्ट करता है।

(A) माना $PA = x$ बिंदु $P$ से बादल $C$ से गुजरने वाली ऊर्ध्वाधर रेखा की क्षैतिज दूरी है।
$\Delta PAC$ में,$\tan(30^{\circ}) = \frac{AC}{PA} \Rightarrow AC = \frac{x}{\sqrt{3}}$.
झील की सतह से बादल की ऊँचाई $H = AC + 200 = \frac{x}{\sqrt{3}} + 200$ है।
प्रतिबिंब $C'$ सतह से $H$ गहराई पर है,इसलिए $BC' = \frac{x}{\sqrt{3}} + 200$.
$\Delta PBC'$ में,कुल ऊर्ध्वाधर दूरी $AC' = 200 + (\frac{x}{\sqrt{3}} + 200) = 400 + \frac{x}{\sqrt{3}}$.
अवनमन कोण $60^{\circ}$ है,इसलिए $\tan(60^{\circ}) = \frac{AC'}{PA} = \frac{400 + x/\sqrt{3}}{x}$.
$\sqrt{3}x = 400 + \frac{x}{\sqrt{3}}$ $\Rightarrow 3x = 400\sqrt{3} + x$ $\Rightarrow 2x = 400\sqrt{3}$ $\Rightarrow x = 200\sqrt{3}$.
$\Delta PAC$ में,$PC = \frac{PA}{\cos(30^{\circ})} = \frac{2x}{\sqrt{3}} = \frac{2(200\sqrt{3})}{\sqrt{3}} = 400 \ m$.

(D) दिया गया है कि $\alpha = \frac{-1+i \sqrt{3}}{2} = \omega,$ जहाँ $\omega$ इकाई का सम्मिश्र घनमूल है।
हम जानते हैं कि $\omega^2 + \omega + 1 = 0$ और $\omega^3 = 1$.
द्विपद प्रमेय का उपयोग करके $(2+\omega)^4$ का विस्तार करने पर:
$(2+\omega)^4 = 2^4 + 4(2^3)(\omega) + 6(2^2)(\omega^2) + 4(2)(\omega^3) + \omega^4$
$= 16 + 32\omega + 24\omega^2 + 8(1) + \omega$
$= 24 + 33\omega + 24\omega^2$
$\omega^2 = -1 - \omega$ प्रतिस्थापित करने पर:
$= 24 + 33\omega + 24(-1 - \omega)$
$= 24 + 33\omega - 24 - 24\omega$
$= 9\omega$
$a + b\omega$ के साथ तुलना करने पर,$a = 0$ और $b = 9$ प्राप्त होता है।
अतः,$a + b = 0 + 9 = 9$.

(B) दीर्घवृत्त का समीकरण $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ है।
दी गई नियता $x = \frac{a}{e} = 4$ और उत्केंद्रता $e = \frac{1}{2}$ से,हमें $a = 4 \times \frac{1}{2} = 2$ प्राप्त होता है।
$b^2 = a^2(1 - e^2)$ का उपयोग करने पर,$b^2 = 4(1 - \frac{1}{4}) = 4(\frac{3}{4}) = 3$ प्राप्त होता है।
अतः,दीर्घवृत्त का समीकरण $\frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{3} = 1$ है।
चूंकि $P(1, \beta)$ दीर्घवृत्त पर स्थित है,$\frac{1^2}{4} + \frac{\beta^2}{3} = 1 \Rightarrow \frac{\beta^2}{3} = \frac{3}{4} \Rightarrow \beta^2 = \frac{9}{4} \Rightarrow \beta = \frac{3}{2}$ (क्योंकि $\beta > 0$)।
दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ के बिंदु $(x_1, y_1)$ पर अभिलंब का समीकरण $\frac{a^2x}{x_1} - \frac{b^2y}{y_1} = a^2 - b^2$ होता है।
$a^2=4, b^2=3, x_1=1, y_1=\frac{3}{2}$ रखने पर,$\frac{4x}{1} - \frac{3y}{3/2} = 4 - 3$ प्राप्त होता है।
$4x - 2y = 1$.

(C) माना $p$ कथन है: 'फलन $f$,$a$ पर अवकलनीय है'।
माना $q$ कथन है: 'फलन $f$,$a$ पर संतत है'।
दिया गया कथन $p \rightarrow q$ है।
$p \rightarrow q$ का प्रतिधनात्मक $\sim q \rightarrow \sim p$ होता है।
यहाँ,$\sim q$ है: 'फलन $f$,$a$ पर संतत नहीं है'।
और $\sim p$ है: 'फलन $f$,$a$ पर अवकलनीय नहीं है'।
अतः,प्रतिधनात्मक कथन है: 'यदि एक फलन $f$,$a$ पर संतत नहीं है,तो वह $a$ पर अवकलनीय नहीं है'।

(C) माना $N = n+5.$
$(1+x)^N$ के विस्तार में तीन क्रमागत पदों के गुणांक $^N C_{r-1}, ^N C_r,$ और $^N C_{r+1}$ हैं।
दिया गया अनुपात $^N C_{r-1} : ^N C_r : ^N C_{r+1} = 5 : 10 : 14$ है।
$\frac{^N C_r}{^N C_{r-1}} = \frac{10}{5} = 2$ से,
$\frac{N-r+1}{r} = 2 \Rightarrow N+1 = 3r. \quad (1)$
$\frac{^N C_{r+1}}{^N C_r} = \frac{14}{10} = \frac{7}{5}$ से,
$\frac{N-r}{r+1} = \frac{7}{5} \Rightarrow 5N-12r = 7. \quad (2)$
$r = \frac{N+1}{3}$ को $(2)$ में रखने पर:
$5N - 4(N+1) = 7 \Rightarrow N = 11.$
अतः $r = 4.$
विस्तार $(1+x)^{11}$ है। सबसे बड़ा गुणांक मध्य पद है,जो $^{11} C_6 = 462$ है।

(D) रेखाखंड $PQ$ का मध्यबिंदु $M = \left(\frac{k+1}{2}, \frac{7}{2}\right)$ है।
रेखाखंड $PQ$ की ढाल $m_{PQ} = \frac{3-4}{k-1} = \frac{-1}{k-1}$ है।
अतः,लंब समद्विभाजक की ढाल $m = k-1$ होगी।
लंब समद्विभाजक का समीकरण $y - \frac{7}{2} = (k-1)\left(x - \frac{k+1}{2}\right)$ है।
$y$-अंतःखंड $-4$ दिया गया है,इसलिए $x=0$ और $y=-4$ रखने पर:
$-4 - \frac{7}{2} = (k-1)\left(-\frac{k+1}{2}\right)$
$-\frac{15}{2} = -\frac{k^2-1}{2}$
$k^2 = 16 \Rightarrow k = \pm 4$।

(B) मान लीजिए $P$ के निर्देशांक $(3 \cos \theta, 3 \sin \theta)$ हैं।
चूंकि $PQ$ एक व्यास है,इसलिए $Q$ के निर्देशांक $(-3 \cos \theta, -3 \sin \theta)$ होंगे।
बिंदु $(x_1, y_1)$ से रेखा $Ax+By+C=0$ पर लंब की लंबाई $\frac{|Ax_1+By_1+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}$ द्वारा दी जाती है।
रेखा $x+y-2=0$ के लिए,लंब की लंबाइयाँ हैं:
$\alpha = \frac{|3 \cos \theta + 3 \sin \theta - 2|}{\sqrt{1^2+1^2}} = \frac{|3(\cos \theta + \sin \theta) - 2|}{\sqrt{2}}$
$\beta = \frac{|-3 \cos \theta - 3 \sin \theta - 2|}{\sqrt{1^2+1^2}} = \frac{|-(3(\cos \theta + \sin \theta) + 2)|}{\sqrt{2}} = \frac{|3(\cos \theta + \sin \theta) + 2|}{\sqrt{2}}$
अतः,$\alpha \beta = \frac{|(3(\cos \theta + \sin \theta) - 2)(3(\cos \theta + \sin \theta) + 2)|}{2} = \frac{|9(\cos \theta + \sin \theta)^2 - 4|}{2}$
$(\cos \theta + \sin \theta)^2 = 1 + \sin 2\theta$ का उपयोग करने पर:
$\alpha \beta = \frac{|9(1 + \sin 2\theta) - 4|}{2} = \frac{|9 + 9 \sin 2\theta - 4|}{2} = \frac{|5 + 9 \sin 2\theta|}{2}$
चूंकि $\sin 2\theta$ का अधिकतम मान $1$ है,इसलिए $\alpha \beta$ का अधिकतम मान $\frac{5 + 9(1)}{2} = \frac{14}{2} = 7$ है।

(A) माना वर्गों के मध्य बिंदु $x_i = 15, 25, 35$ हैं।
सरलता के लिए,मूल बिंदु को $d_i = x_i - 25$ द्वारा स्थानांतरित करें,जिससे $d_i = -10, 0, 10$ प्राप्त होता है।
बारंबारताएँ $f_i = 2, x, 2$ हैं।
माध्य $\bar{d} = \frac{\sum f_i d_i}{\sum f_i} = \frac{2(-10) + x(0) + 2(10)}{2+x+2} = \frac{0}{x+4} = 0$.
प्रसरण $\sigma^2 = \frac{\sum f_i d_i^2}{\sum f_i} - (\bar{d})^2$.
दिया गया है कि $\sigma^2 = 50$,इसलिए $50 = \frac{2(-10)^2 + x(0)^2 + 2(10)^2}{x+4} - 0^2$.
$50 = \frac{200 + 0 + 200}{x+4}$.
$50 = \frac{400}{x+4}$.
$x+4 = \frac{400}{50} = 8$.
$x = 8 - 4 = 4$.

(D) दिया गया समीकरण: $[x]^{2}+2[x+2]-7=0$
गुणधर्म $[x+n] = [x]+n$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $n$ एक पूर्णांक है,हमें मिलता है $[x+2] = [x]+2$।
समीकरण में मान रखने पर: $[x]^{2}+2([x]+2)-7=0$
$[x]^{2}+2[x]+4-7=0$
$[x]^{2}+2[x]-3=0$
मान लीजिए $y = [x]$,तो $y^{2}+2y-3=0$
$(y+3)(y-1)=0$
अतः,$[x] = 1$ या $[x] = -3$
यदि $[x] = 1$,तो $x \in [1, 2)$
यदि $[x] = -3$,तो $x \in [-3, -2)$
इस प्रकार,हल समुच्चय $x \in [-3, -2) \cup [1, 2)$ है,जिसमें अनंत वास्तविक मान हैं।

(C) दिए गए समीकरण $x^{2}-3x+p=0$ के मूल $\alpha, \beta$ हैं और $x^{2}-6x+q=0$ के मूल $\gamma, \delta$ हैं।
चूंकि $\alpha, \beta, \gamma, \delta$ गुणोत्तर श्रेणी में हैं,उन्हें $a, ar, ar^{2}, ar^{3}$ के रूप में लें।
प्रथम समीकरण से,$\alpha+\beta = a+ar = 3$ और $\alpha\beta = a^{2}r = p$ है।
दूसरे समीकरण से,$\gamma+\delta = ar^{2}+ar^{3} = 6$ और $\gamma\delta = a^{2}r^{5} = q$ है।
दूसरे समीकरण के मूलों का योगफल को प्रथम समीकरण के मूलों के योगफल से विभाजित करने पर: $\frac{ar^{2}(1+r)}{a(1+r)} = \frac{6}{3} \implies r^{2} = 2$ प्राप्त होता है।
अब,$p$ और $q$ का मान $a$ और $r$ के पदों में: $p = a^{2}r$ और $q = a^{2}r^{5} = a^{2}r(r^{2})^{2} = p(2)^{2} = 4p$ है।
अनुपात $\frac{2q+p}{2q-p} = \frac{2(4p)+p}{2(4p)-p} = \frac{8p+p}{8p-p} = \frac{9p}{7p} = \frac{9}{7}$ है।

(A) दीर्घवृत्त का समीकरण $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ है जहाँ $a > b$ है।
नाभिलंब की लंबाई $\frac{2b^{2}}{a} = 10$ दी गई है,जिससे $b^{2} = 5a$ प्राप्त होता है ... $(i)$.
अब,फलन $\phi(t) = \frac{5}{12} + t - t^{2}$ पर विचार करें।
अधिकतम मान ज्ञात करने के लिए,पूर्ण वर्ग बनाने पर: $\phi(t) = -\left(t^{2} - t + \frac{1}{4}\right) + \frac{1}{4} + \frac{5}{12} = -\left(t - \frac{1}{2}\right)^{2} + \frac{8}{12} = -\left(t - \frac{1}{2}\right)^{2} + \frac{2}{3}$.
अधिकतम मान $\phi(t)_{\text{max}} = \frac{2}{3}$ है,अतः $e = \frac{2}{3}$.
हम जानते हैं कि $e^{2} = 1 - \frac{b^{2}}{a^{2}}$,इसलिए $\frac{4}{9} = 1 - \frac{b^{2}}{a^{2}}$,जिसका अर्थ है $\frac{b^{2}}{a^{2}} = \frac{5}{9}$,अतः $b^{2} = \frac{5}{9}a^{2}$ ... $(ii)$.
$(i)$ और $(ii)$ की तुलना करने पर,$5a = \frac{5}{9}a^{2} \Rightarrow a = \frac{a^{2}}{9} \Rightarrow a = 9$.
अतः $a^{2} = 81$ और $b^{2} = 5(9) = 45$.
इस प्रकार,$a^{2} + b^{2} = 81 + 45 = 126$.

(C) माना शीर्ष $C$ के निर्देशांक $(h, K)$ हैं।
चूँकि $\angle BAC = 90^{\circ}$,$AB$ और $AC$ की प्रवणताओं का गुणनफल $-1$ है।
$AB$ की प्रवणता $= \frac{1 - 2}{3 - 1} = -\frac{1}{2}$.
$AC$ की प्रवणता $= \frac{K - 2}{h - 1}$.
अतः,$\left(\frac{K - 2}{h - 1}\right) \times \left(-\frac{1}{2}\right) = -1$ $\Rightarrow K - 2 = 2(h - 1)$ $\Rightarrow K = 2h$.
$AB$ की लंबाई $= \sqrt{(3 - 1)^2 + (1 - 2)^2} = \sqrt{5}$.
$\Delta ABC$ का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times AB \times AC = 5\sqrt{5}$.
$\frac{1}{2} \times \sqrt{5} \times \sqrt{(h - 1)^2 + (K - 2)^2} = 5\sqrt{5}$.
$\sqrt{(h - 1)^2 + (2h - 2)^2} = 10$.
$\sqrt{5(h - 1)^2} = 10 \Rightarrow |h - 1| = 2\sqrt{5}$.
प्रथम चतुर्थांश में होने के कारण $h > 0$,इसलिए $h = 1 + 2\sqrt{5}$।

(C) $(S_{1}): (q \vee p) \rightarrow (p \leftrightarrow \sim q)$ के लिए
यदि $p = T$ और $q = T$ है,तो $(T \vee T)$ $\rightarrow (T \leftrightarrow F)$ $\Rightarrow T$ $\rightarrow F = F$। चूंकि यह सभी सत्य मानों के लिए सत्य नहीं है,इसलिए $(S_{1})$ एक पुनरुक्ति नहीं है।
$(S_{2}): \sim q \wedge (\sim p \leftrightarrow q)$ के लिए
यदि $p = F$ और $q = F$ है,तो $\sim F \wedge (\sim F \leftrightarrow F)$ $\Rightarrow T \wedge (T \leftrightarrow F)$ $\Rightarrow T \wedge F = F$।
यदि $p = T$ और $q = F$ है,तो $\sim F \wedge (\sim T \leftrightarrow F)$ $\Rightarrow T \wedge (F \leftrightarrow F)$ $\Rightarrow T \wedge T = T$।
चूंकि यहाँ एक स्थिति ऐसी है जहाँ सत्य मान $T$ है,इसलिए $(S_{2})$ एक व्याघात नहीं है।
अतः,$(S_{1})$ और $(S_{2})$ दोनों गलत हैं।

(A) चूंकि बिंदु $(3,3)$ अतिपरवलय $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ पर स्थित है,इसलिए $\frac{9}{a^{2}}-\frac{9}{b^{2}}=1$ $(i)$.
अतिपरवलय $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ के लिए $(x_{1}, y_{1})$ पर अभिलंब का समीकरण $\frac{a^{2}x}{x_{1}} + \frac{b^{2}y}{y_{1}} = a^{2} + b^{2}$ होता है।
$(x_{1}, y_{1}) = (3,3)$ रखने पर,अभिलंब $\frac{a^{2}x}{3} + \frac{b^{2}y}{3} = a^{2} + b^{2}$ है।
यह अभिलंब $(9,0)$ से गुजरता है,इसलिए $\frac{a^{2}(9)}{3} + 0 = a^{2} + b^{2}$ $\Rightarrow 3a^{2} = a^{2} + b^{2}$ $\Rightarrow b^{2} = 2a^{2}$ $(ii)$.
$(ii)$ को $(i)$ में रखने पर: $\frac{9}{a^{2}} - \frac{9}{2a^{2}} = 1$ $\Rightarrow \frac{18-9}{2a^{2}} = 1$ $\Rightarrow 9 = 2a^{2}$ $\Rightarrow a^{2} = \frac{9}{2}$.
अतः $b^{2} = 2(\frac{9}{2}) = 9$.
उत्केंद्रता $e$ के लिए $e^{2} = 1 + \frac{b^{2}}{a^{2}} = 1 + \frac{9}{9/2} = 1 + 2 = 3$.
इस प्रकार,क्रमित युग्म $(a^{2}, e^{2})$ का मान $(\frac{9}{2}, 3)$ है।

(D) माना $n(A) = 63$ और $n(B) = 76$ क्रमशः समाचार पत्र $A$ और $B$ पढ़ने वाले लोगों का प्रतिशत दर्शाते हैं।
समुच्चय सिद्धांत के अनुसार,$n(A \cup B) = n(A) + n(B) - n(A \cap B) = 63 + 76 - x = 139 - x$.
हम जानते हैं कि कुल प्रतिशत $100$ से अधिक नहीं हो सकता,इसलिए $n(A \cup B) \leq 100$.
साथ ही,चूंकि $B \subseteq (A \cup B)$,इसलिए $n(A \cup B) \geq n(B)$ होना चाहिए,जिसका अर्थ है $n(A \cup B) \geq 76$.
इन दोनों को मिलाने पर,हमें $76 \leq 139 - x \leq 100$ प्राप्त होता है।
सभी भागों से $139$ घटाने पर: $76 - 139 \leq -x \leq 100 - 139$,जो $-63 \leq -x \leq -39$ देता है।
$-1$ से गुणा करने पर असमिका बदल जाती है: $39 \leq x \leq 63$.
दिए गए विकल्पों में से,केवल $39$ ही $[39, 63]$ की सीमा में आता है।

(C) दिया है $u = \frac{2z + i}{z - ki} = \frac{2(x + iy) + i}{(x + iy) - ki} = \frac{2x + i(2y + 1)}{x + i(y - k)}$.
अंश और हर को संयुग्मी $x - i(y - k)$ से गुणा करने पर:
$u = \frac{2x^2 + (2y + 1)(y - k) + i[x(2y + 1) - 2x(y - k)]}{x^2 + (y - k)^2}$.
$\operatorname{Re}(u) + \operatorname{Im}(u) = 1$ दिया गया है, अतः:
$2x^2 + (2y + 1)(y - k) + x(2y + 1) - 2x(y - k) = x^2 + (y - k)^2$.
$y$-अक्ष पर प्रतिच्छेदन के लिए $x = 0$ रखने पर:
$(2y + 1)(y - k) = (y - k)^2$.
$(y - k)[(2y + 1) - (y - k)] = 0 \Rightarrow (y - k)(y + k + 1) = 0$.
इससे $y_1 = k$ और $y_2 = -k - 1$ प्राप्त होता है।
दूरी $PQ = |y_1 - y_2| = |k - (-k - 1)| = |2k + 1| = 5$.
चूंकि $k > 0$, इसलिए $2k + 1 = 5$ $\Rightarrow 2k = 4$ $\Rightarrow k = 2$.

(D) मान लीजिए कि खंभों के बीच की क्षैतिज दूरी $x$ है। मान लीजिए कि जमीन $AC$ के ऊपर प्रतिच्छेदन बिंदु $P$ की ऊँचाई $h$ है।
मान लीजिए कि $P$ से $AC$ पर लंब का पाद $M$ है। मान लीजिए $AM = x_2$ और $MC = x_1$,इसलिए $x_1 + x_2 = x$.
$\triangle AMC$ और $\triangle BCD$ में,हमारे पास $\triangle PMC \sim \triangle ABC$ और $\triangle PMA \sim \triangle ADC$ है।
समरूपता से,$\frac{h}{15} = \frac{x_1}{x}$ और $\frac{h}{10} = \frac{x_2}{x}$।
इन दो समीकरणों को जोड़ने पर: $\frac{h}{15} + \frac{h}{10} = \frac{x_1 + x_2}{x} = \frac{x}{x} = 1$।
$\frac{2h + 3h}{30} = 1$ $\Rightarrow \frac{5h}{30} = 1$ $\Rightarrow \frac{h}{6} = 1$।
अतः,$h = 6 \ m$।

(A) माना शेष दो प्रेक्षण $a$ और $b$ हैं।
$8$ प्रेक्षणों के लिए माध्य $\bar{x} = 10$ दिया गया है:
$\frac{5+7+10+12+14+15+a+b}{8} = 10$
$63 + a + b = 80 \Rightarrow a + b = 17 \quad (1)$
प्रसरण $\sigma^2 = 13.5$ दिया गया है:
$\sigma^2 = \frac{\sum x_i^2}{n} - (\bar{x})^2$
$13.5 = \frac{5^2+7^2+10^2+12^2+14^2+15^2+a^2+b^2}{8} - 10^2$
$113.5 = \frac{25+49+100+144+196+225+a^2+b^2}{8}$
$908 = 739 + a^2 + b^2 \Rightarrow a^2 + b^2 = 169 \quad (2)$
$(a+b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab$ से,$17^2 = 169 + 2ab$ $\Rightarrow 289 = 169 + 2ab$ $\Rightarrow 2ab = 120$ $\Rightarrow ab = 60$.
अब,$(a-b)^2 = (a+b)^2 - 4ab = 17^2 - 4(60) = 289 - 240 = 49$.
अतः,$|a-b| = \sqrt{49} = 7$.

(B) दी गई अभिव्यक्ति $S = 1 + \sum_{n=1}^{10} (1 - (2n)^2(2n-1))$ है।
इसे $S = 1 + \sum_{n=1}^{10} 1 - \sum_{n=1}^{10} (4n^2)(2n-1)$ के रूप में लिखा जा सकता है।
$S = 1 + 10 - 4 \sum_{n=1}^{10} (2n^3 - n^2)$।
$S = 11 - 4 [2 \sum_{n=1}^{10} n^3 - \sum_{n=1}^{10} n^2]$।
सूत्रों $\sum n^3 = [\frac{n(n+1)}{2}]^2$ और $\sum n^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ का उपयोग करने पर:
$S = 11 - 4 [2 \cdot (55)^2 - \frac{10 \cdot 11 \cdot 21}{6}]$।
$S = 11 - 4 [2 \cdot 3025 - 385] = 11 - 4 [6050 - 385] = 11 - 4 [5665]$।
$S = 11 - 22660 = 11 - 220(103)$।
$\alpha - 220 \beta$ के साथ तुलना करने पर,हमें $\alpha = 11$ और $\beta = 103$ प्राप्त होता है।
अतः,क्रमित युग्म $(11, 103)$ है।

(B) हमें योग $S = \sum_{r=0}^{20} {}^{50-r}C_{6} = {}^{50}C_{6} + {}^{49}C_{6} + \dots + {}^{30}C_{6}$ का मूल्यांकन करना है।
सर्वसमिका ${}^{n}C_{r} + {}^{n}C_{r+1} = {}^{n+1}C_{r+1}$ का उपयोग करके,हम योग को फिर से लिख सकते हैं।
ध्यान दें कि ${}^{30}C_{6} = {}^{31}C_{7} - {}^{30}C_{7}$ है।
अतः,$S = {}^{50}C_{6} + {}^{49}C_{6} + \dots + {}^{31}C_{6} + ({}^{31}C_{7} - {}^{30}C_{7})$ है।
इस सर्वसमिका का बार-बार उपयोग करने पर: ${}^{n}C_{r} + {}^{n+1}C_{r+1} = {}^{n+1}C_{r+1}$,हमें प्राप्त होता है:
${}^{31}C_{6} + {}^{31}C_{7} = {}^{32}C_{7}$।
इस प्रक्रिया को जारी रखने पर,योग ${}^{51}C_{7} - {}^{30}C_{7}$ में बदल जाता है।

(D) दिया गया है $(2x^2 + 3x + 4)^{10} = \sum_{r=0}^{20} a_r x^r$.
इस सर्वसमिका में $x$ को $\frac{2}{x}$ से प्रतिस्थापित करने पर:
$(2(\frac{2}{x})^2 + 3(\frac{2}{x}) + 4)^{10} = \sum_{r=0}^{20} a_r (\frac{2}{x})^r$.
$\frac{2^{10}(2x^2 + 3x + 4)^{10}}{x^{20}} = \sum_{r=0}^{20} a_r 2^r x^{-r}$.
$2^{10} \sum_{r=0}^{20} a_r x^r = \sum_{r=0}^{20} a_r 2^r x^{20-r}$.
$\frac{a_7}{a_{13}}$ का अनुपात प्राप्त करने के लिए,दोनों पक्षों में $x^7$ के गुणांकों की तुलना करने पर।
$L$.$H$.$S$. पर,$x^7$ का गुणांक $2^{10} a_7$ है।
$R$.$H$.$S$. पर,$20-r = 7$ रखने पर $r = 13$ प्राप्त होता है,अतः गुणांक $a_{13} 2^{13}$ है।
तुलना करने पर: $2^{10} a_7 = a_{13} 2^{13}$.
अतः,$\frac{a_7}{a_{13}} = \frac{2^{13}}{2^{10}} = 2^3 = 8$.

(A) दिया गया द्विघात समीकरण $7x^{2}-3x-2=0$ है।
मूलों के गुणों से,$\alpha+\beta = \frac{3}{7}$ और $\alpha\beta = \frac{-2}{7}$ है।
हमें $S = \frac{\alpha}{1-\alpha^{2}}+\frac{\beta}{1-\beta^{2}}$ का मान ज्ञात करना है।
$S = \frac{(\alpha+\beta)-\alpha\beta(\alpha+\beta)}{1-((\alpha+\beta)^{2}-2\alpha\beta)+(\alpha\beta)^{2}}$.
मान रखने पर: अंश = $\frac{27}{49}$ और हर = $\frac{16}{49}$ प्राप्त होता है।
अतः,$S = \frac{27}{16}$।

(D) एक संबंध $R$ संक्रामक होता है यदि $(a, b) \in R$ और $(b, c) \in R$ का अर्थ है $(a, c) \in R$.
$R_{1}$ के लिए: मान लीजिए $a = 2 + \sqrt{3}$,$b = 2 - \sqrt{3}$,और $c = 1 + 2\sqrt{3}$.
तब $a^{2} + b^{2} = (7 + 4\sqrt{3}) + (7 - 4\sqrt{3}) = 14 \in \mathbb{Q}$. अतः $(a, b) \in R_{1}$.
साथ ही $b^{2} + c^{2} = (7 - 4\sqrt{3}) + (13 + 4\sqrt{3}) = 20 \in \mathbb{Q}$. अतः $(b, c) \in R_{1}$.
लेकिन $a^{2} + c^{2} = (7 + 4\sqrt{3}) + (13 + 4\sqrt{3}) = 20 + 8\sqrt{3} \notin \mathbb{Q}$.
इस प्रकार,$(a, c) \notin R_{1}$,इसलिए $R_{1}$ संक्रामक नहीं है.
$R_{2}$ के लिए: यदि हम $a^{2} = 1$,$b^{2} = \sqrt{3}$,और $c^{2} = 2$ लें,तो $a^{2} + b^{2} \notin \mathbb{Q}$ और $b^{2} + c^{2} \notin \mathbb{Q}$,लेकिन $a^{2} + c^{2} = 3 \in \mathbb{Q}$.
इस प्रकार,$(a, c) \notin R_{2}$,इसलिए $R_{2}$ संक्रामक नहीं है.
अतः,न तो $R_{1}$ और न ही $R_{2}$ संक्रामक है।

(C) माना $x = \tan^2 \theta$,तब $dx = 2 \tan \theta \sec^2 \theta d\theta$ है।
इस मान को समाकलन में रखने पर:
$\int \sin^{-1}\left(\sqrt{\frac{\tan^2 \theta}{1+\tan^2 \theta}}\right) (2 \tan \theta \sec^2 \theta) d\theta$
$= \int \sin^{-1}(\sin \theta) (2 \tan \theta \sec^2 \theta) d\theta = \int \theta (2 \tan \theta \sec^2 \theta) d\theta$.
खंडशः समाकलन का उपयोग करते हुए,$u = \theta$ और $dv = 2 \tan \theta \sec^2 \theta d\theta$ लेने पर,$du = d\theta$ और $v = \tan^2 \theta$ प्राप्त होता है।
$= \theta \tan^2 \theta - \int \tan^2 \theta d\theta$
$= \theta \tan^2 \theta - \int (\sec^2 \theta - 1) d\theta$
$= \theta \tan^2 \theta - (\tan \theta - \theta) + C$
$= \theta (\tan^2 \theta + 1) - \tan \theta + C$
$= (1+x) \tan^{-1}(\sqrt{x}) - \sqrt{x} + C$.
इसे $A(x) \tan^{-1}(\sqrt{x}) + B(x) + C$ के साथ तुलना करने पर,$A(x) = x+1$ और $B(x) = -\sqrt{x}$ प्राप्त होता है।

(A) माना बिंदु $A(4, -2, 3)$ और $B(2, 4, -1)$ हैं।
रेखाखंड $AB$ का मध्य-बिंदु $M$ इस प्रकार है:
$M = \left( \frac{4+2}{2}, \frac{-2+4}{2}, \frac{3-1}{2} \right) = (3, 1, 1)$.
समतल का अभिलंब सदिश $\vec{n}$,सदिश $\vec{AB}$ है:
$\vec{n} = \vec{AB} = (2-4, 4-(-2), -1-3) = (-2, 6, -4)$.
अभिलंब सदिश को $-2$ से विभाजित करने पर,हम $\vec{n} = (1, -3, 2)$ ले सकते हैं।
बिंदु $M(3, 1, 1)$ से गुजरने वाले और अभिलंब सदिश $\vec{n} = (1, -3, 2)$ वाले समतल का समीकरण है:
$1(x - 3) - 3(y - 1) + 2(z - 1) = 0$
$x - 3 - 3y + 3 + 2z - 2 = 0$
$x - 3y + 2z - 2 = 0$.
अब,हम जाँचते हैं कि कौन सा बिंदु इस समीकरण को संतुष्ट करता है:
$(4, 0, -1)$ के लिए: $4 - 3(0) + 2(-1) - 2 = 4 - 0 - 2 - 2 = 0$. यह बिंदु समीकरण को संतुष्ट करता है।
अतः,समतल बिंदु $(4, 0, -1)$ से होकर गुजरता है।

(C) दिया गया है $C = \operatorname{adj} A = \begin{bmatrix} 2 & -1 & 1 \\ -1 & 0 & 2 \\ 1 & -2 & -1 \end{bmatrix}$।
सारणिक $|C| = |\operatorname{adj} A| = 2(0 - (-4)) - (-1)(1 - 2) + 1(2 - 0) = 2(4) + 1(-1) + 1(2) = 8 - 1 + 2 = 9$ है।
हम जानते हैं कि $|\operatorname{adj} A| = |A|^{n-1}$,जहाँ $n=3$ है। अतः,$|A|^2 = 9$,जिसका अर्थ है $|A| = \pm 3$। इस प्रकार,$\lambda = \pm 3$ और $|\lambda| = 3$ है।
दिया गया है $B = \operatorname{adj} C = \operatorname{adj}(\operatorname{adj} A)$।
गुणधर्म $|\operatorname{adj} M| = |M|^{n-1}$ का उपयोग करते हुए,हमें $|B| = |\operatorname{adj} C| = |C|^{n-1} = |C|^2 = 9^2 = 81$ प्राप्त होता है।
हमें $\mu = |(B^{-1})^T|$ ज्ञात करना है। चूँकि $|(B^{-1})^T| = |B^{-1}| = \frac{1}{|B|}$ है,इसलिए $\mu = \frac{1}{81}$ है।
अतः,क्रमित युग्म $(|\lambda|, \mu) = (3, 1/81)$ है।

(C) चूंकि $f(x)$ चार घात का बहुपद है,इसका अवकलज $f'(x)$ तीन घात का बहुपद है।
दिया गया है कि क्रांतिक बिंदु $-1, 0, 1$ हैं,इसलिए $f'(x) = k(x+1)(x)(x-1) = k(x^3 - x)$ जहाँ $k \neq 0$ एक स्थिरांक है।
$f'(x)$ का समाकलन करने पर,हमें $f(x) = k(\frac{x^4}{4} - \frac{x^2}{2}) + C$ प्राप्त होता है।
हमें $T = \{x \in \mathbb{R} \mid f(x) = f(0)\}$ ज्ञात करना है।
$f(x) = f(0)$ रखने पर,हमें $k(\frac{x^4}{4} - \frac{x^2}{2}) + C = C$ प्राप्त होता है।
इसे सरल करने पर $\frac{x^4}{4} - \frac{x^2}{2} = 0$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $x^2(\frac{x^2}{4} - \frac{1}{2}) = 0$।
अतः,$x^2 = 0$ या $x^2 = 2$।
$T$ के तत्व $0, \sqrt{2}, -\sqrt{2}$ हैं।
इन तत्वों के वर्गों का योग $0^2 + (\sqrt{2})^2 + (-\sqrt{2})^2 = 0 + 2 + 2 = 4$ है।

(D) मान लीजिए $\vec{p} = a \hat{i} + b \hat{j} + c \hat{k}$ और $\vec{q} = b \hat{i} + c \hat{j} + a \hat{k}$ है।
दिया गया है $a^{2} + b^{2} + c^{2} = 1$,इसलिए $|\vec{p}| = 1$ और $|\vec{q}| = 1$ है।
अदिश गुणनफल $\vec{p} \cdot \vec{q} = ab + bc + ca$ है।
मान लीजिए $a \cos \theta = b \cos \left(\theta + \frac{2\pi}{3}\right) = c \cos \left(\theta + \frac{4\pi}{3}\right) = k$ है।
अतः $a = \frac{k}{\cos \theta}$,$b = \frac{k}{\cos(\theta + 2\pi/3)}$,$c = \frac{k}{\cos(\theta + 4\pi/3)}$ है।
सेकेंट के योग के सर्वसमिका का उपयोग करने पर,$a+b+c = 0$ प्राप्त होता है।
इसलिए $(a+b+c)^{2} = a^{2} + b^{2} + c^{2} + 2(ab + bc + ca) = 0$ है।
चूँकि $1 + 2(ab + bc + ca) = 0$,इसलिए $ab + bc + ca = -1/2$ है।
अतः $\cos \phi = \frac{-1/2}{1} = -1/2$,जिससे $\phi = \frac{2\pi}{3}$ प्राप्त होता है।

(B) दिया गया समीकरण: $x^{3} dy + xy dx = x^{2} dy + 2y dx$
पदों को व्यवस्थित करने पर: $(x^{3} - x^{2}) dy = (2y - xy) dx$
$(x^{3} - x^{2}) dy = y(2 - x) dx$
चरों को अलग करने पर: $\frac{dy}{y} = \frac{2 - x}{x^{2}(x - 1)} dx$
आंशिक भिन्न का उपयोग करने पर: $\frac{2 - x}{x^{2}(x - 1)} = \frac{A}{x} + \frac{B}{x^{2}} + \frac{C}{x - 1}$
$2 - x = Ax(x - 1) + B(x - 1) + Cx^{2}$
$x = 0$ के लिए,$2 = -B \Rightarrow B = -2$. $x = 1$ के लिए,$1 = C$. $x^{2}$ के गुणांकों की तुलना करने पर,$0 = A + C \Rightarrow A = -1$.
समाकलन करने पर: $\int \frac{dy}{y} = \int \left( -\frac{1}{x} - \frac{2}{x^{2}} + \frac{1}{x - 1} \right) dx$
$\ln y = -\ln x + \frac{2}{x} + \ln(x - 1) + C_{1}$
$y(2) = e$ दिया गया है: $\ln e = -\ln 2 + \frac{2}{2} + \ln(2 - 1) + C_{1} \Rightarrow 1 = -\ln 2 + 1 + 0 + C_{1} \Rightarrow C_{1} = \ln 2$.
अतः,$\ln y = \ln \left( \frac{2(x - 1)}{x} \right) + \frac{2}{x}$.
$x = 4$ के लिए: $\ln y = \ln \left( \frac{2(3)}{4} \right) + \frac{2}{4} = \ln \left( \frac{3}{2} \right) + \frac{1}{2} = \ln \left( \frac{3}{2} \right) + \ln \sqrt{e}$.
$y = \frac{3}{2} \sqrt{e}$.

(B) वक्र $y=e^{x}$ के लिए,बिंदु $(c, e^{c})$ पर स्पर्श रेखा की ढाल $\frac{dy}{dx} = e^{x} \implies m_{t} = e^{c}$ है।
बिंदु $(c, e^{c})$ पर स्पर्श रेखा का समीकरण $y - e^{c} = e^{c}(x - c)$ है।
$x$-अक्ष के साथ प्रतिच्छेदन बिंदु के लिए,$y=0$ रखने पर: $-e^{c} = e^{c}(x - c) \implies -1 = x - c \implies x = c - 1$।
परवलय $y^{2}=4x$ के लिए,अवकलन करने पर $2y \frac{dy}{dx} = 4 \implies \frac{dy}{dx} = \frac{2}{y}$ प्राप्त होता है।
बिंदु $(1,2)$ पर स्पर्श रेखा की ढाल $m = \frac{2}{2} = 1$ है।
अभिलंब की ढाल $m_{n} = -\frac{1}{m} = -1$ होगी।
बिंदु $(1,2)$ पर अभिलंब का समीकरण $y - 2 = -1(x - 1) \implies y - 2 = -x + 1 \implies x + y = 3$ है।
$x$-अक्ष के साथ प्रतिच्छेदन बिंदु के लिए,$y=0$ रखने पर: $x = 3$।
चूंकि प्रतिच्छेदन बिंदु समान हैं,इसलिए $x$-निर्देशांकों की तुलना करने पर: $c - 1 = 3 \implies c = 4$।

(C) दोनों रेखाओं के दिशा सदिश $\vec{v}_1 = \hat{i} + \hat{j}$ और $\vec{v}_2 = \hat{j} - \hat{k}$ हैं।
समतल $P$ का अभिलंब सदिश $\vec{n}$,$\vec{v}_1 \times \vec{v}_2$ द्वारा प्राप्त होता है:
$\vec{n} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & -1 \end{vmatrix} = -\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$.
समतल बिंदु $(1, 0, 0)$ से गुजरता है। अतः,समतल का समीकरण:
$-1(x - 1) + 1(y - 0) + 1(z - 0) = 0 \implies x - y - z - 1 = 0$.
मान लीजिए $Q(\alpha, \beta, \gamma)$ बिंदु $M(1, 0, 1)$ से समतल $x - y - z - 1 = 0$ पर लंब का पाद है। लंब रेखा का समीकरण:
$\frac{\alpha - 1}{1} = \frac{\beta - 0}{-1} = \frac{\gamma - 1}{-1} = k$.
अतः,$\alpha = k + 1, \beta = -k, \gamma = 1 - k$.
चूँकि $Q$ समतल पर स्थित है:
$(k + 1) - (-k) - (1 - k) - 1 = 0 \implies 3k - 1 = 0 \implies k = \frac{1}{3}$.
अतः,$\alpha = \frac{4}{3}, \beta = -\frac{1}{3}, \gamma = \frac{2}{3}$.
अंत में,$3(\alpha + \beta + \gamma) = 3(\frac{4}{3} - \frac{1}{3} + \frac{2}{3}) = 5$.

(D) दी गई समीकरण प्रणाली है:
$x - 2y + 5z = 0$ $(1)$
$-2x + 4y + z = 0$ $(2)$
$-7x + 14y + 9z = 0$ $(3)$
सबसे पहले,हम गुणांक आव्यूह का सारणिक ज्ञात करते हैं:
$\Delta = \begin{vmatrix} 1 & -2 & 5 \\ -2 & 4 & 1 \\ -7 & 14 & 9 \end{vmatrix} = 1(36 - 14) - (-2)(-18 + 7) + 5(-28 + 28) = 1(22) + 2(-11) + 0 = 22 - 22 = 0$.
चूंकि $\Delta = 0$,प्रणाली के अनंत हल हैं।
$(1)$ और $(2)$ से,हमें मिलता है:
$x - 2y = -5z$
$-2x + 4y = -z$
पहले समीकरण को $2$ से गुणा करने पर,$2x - 4y = -10z$ प्राप्त होता है। इसे दूसरे समीकरण में जोड़ने पर $0 = -11z$ मिलता है,इसलिए $z = 0$.
$z = 0$ को $(1)$ में रखने पर,$x - 2y = 0$ मिलता है,जिसका अर्थ है $x = 2y$.
मान लीजिए $y = k$,जहाँ $k$ एक पूर्णांक है। तो $x = 2k$ और $z = 0$.
शर्त $15 \leq x^{2} + y^{2} + z^{2} \leq 150$ इस प्रकार हो जाती है:
$15 \leq (2k)^{2} + k^{2} + 0^{2} \leq 150$
$15 \leq 5k^{2} \leq 150$
$3 \leq k^{2} \leq 30$.
चूंकि $k$ एक पूर्णांक है,$k^{2}$ का मान $4, 9, 16, 25$ हो सकता है।
अतः,$k \in \{ \pm 2, \pm 3, \pm 4, \pm 5 \}$.
$k$ के लिए $8$ संभावित मान हैं,जिनमें से प्रत्येक एक अद्वितीय हल $(x, y, z)$ के अनुरूप है।
इसलिए,$S$ में अवयवों की संख्या $8$ है।

(B) मान लीजिए $A$ वह घटना है कि अंकों का योग $4$ का गुणज है।
$A$ के लिए संभावित परिणाम हैं: $\{(1,3), (2,2), (3,1), (2,6), (3,5), (4,4), (5,3), (6,2), (6,6)\}$.
अतः,$A$ में परिणामों की संख्या $n(A) = 9$ है।
मान लीजिए $B$ वह घटना है कि अंक $4$ कम से कम एक बार आता है।
हमें $B \cap A$ में रुचि है,जो उन परिणामों का समूह है जहाँ योग $4$ का गुणज है और $4$ कम से कम एक बार आता है।
समुच्चय $A$ को देखने पर,$4$ वाले परिणाम हैं: $\{(4,4)\}$.
अतः,$B \cap A = \{(4,4)\}$ और $n(B \cap A) = 1$.
सप्रतिबंध प्रायिकता $P(B|A) = \frac{n(B \cap A)}{n(A)}$ द्वारा दी जाती है।
$P(B|A) = \frac{1}{9}$.

(C) दी गई रेखाएँ $\overrightarrow{r} = \hat{i}(1 + 2\ell) + \hat{j}(-1) + \hat{k}(\ell)$ और $\overrightarrow{r} = \hat{i}(2 + m) + \hat{j}(m - 1) + \hat{k}(-m)$ हैं।
रेखाओं के प्रतिच्छेद करने के लिए,$\ell$ और $m$ के ऐसे मान होने चाहिए कि निर्देशांक समान हों:
$1 + 2\ell = 2 + m$ $(i)$
$-1 = m - 1$ $(ii)$
$\ell = -m$ $(iii)$
समीकरण $(ii)$ से,हमें $m = 0$ प्राप्त होता है।
$m = 0$ को समीकरण $(iii)$ में रखने पर,हमें $\ell = 0$ प्राप्त होता है।
अब,जाँचें कि क्या ये मान समीकरण $(i)$ को संतुष्ट करते हैं:
$1 + 2(0) = 2 + 0 \implies 1 = 2$,जो एक विरोधाभास है।
चूँकि $\ell$ और $m$ के मान तीनों समीकरणों को एक साथ संतुष्ट नहीं करते हैं,इसलिए रेखाएँ $\ell$ और $m$ के किसी भी मान के लिए प्रतिच्छेद नहीं करती हैं।

(D) माना बिंदु $P(4,2,3)$,$A(1,-2,3)$ और $B(1,1,0)$ हैं।
रेखा $AB$ का दिशा सदिश $\vec{v} = (1-1, 1-(-2), 0-3) = (0, 3, -3)$ है।
रेखा $AB$ का समीकरण $\vec{r} = (1, -2, 3) + \lambda(0, 3, -3) = (1, -2+3\lambda, 3-3\lambda)$ है।
माना $M$,$P$ से $AB$ पर खींचे गए लंब का पाद है। अतः,$M = (1, -2+3\lambda, 3-3\lambda)$ है।
सदिश $\vec{PM} = M - P = (1-4, -2+3\lambda-2, 3-3\lambda-3) = (-3, 3\lambda-4, -3\lambda)$ है।
चूंकि $\vec{PM} \perp \vec{AB}$,उनका अदिश गुणनफल शून्य है:
$(-3)(0) + (3\lambda-4)(3) + (-3\lambda)(-3) = 0$
$0 + 9\lambda - 12 + 9\lambda = 0$
$18\lambda = 12 \Rightarrow \lambda = \frac{2}{3}$ है।
$\lambda = \frac{2}{3}$ को $M$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$M = (1, -2+3(\frac{2}{3}), 3-3(\frac{2}{3})) = (1, -2+2, 3-2) = (1, 0, 1)$ प्राप्त होता है।
अब,जांचें कि कौन सा समतल बिंदु $(1, 0, 1)$ को समाहित करता है:
$2x+y-z=1$ के लिए: $2(1) + 0 - 1 = 2 - 1 = 1$ है। यह सही है।
अतः,बिंदु $M$ समतल $2x+y-z=1$ पर स्थित है।

(C) क्षेत्र $\frac{1}{2} \leq x \leq 2$ के लिए $0 \leq y \leq \min(x^{2}+1, x+1)$ द्वारा परिभाषित है।
सबसे पहले,$y = x^{2}+1$ और $y = x+1$ का प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करें:
$x^{2}+1 = x+1 \implies x^{2}-x = 0 \implies x(x-1) = 0$.
अतः,वक्र $x = 0$ और $x = 1$ पर प्रतिच्छेद करते हैं।
$\frac{1}{2} \leq x \leq 1$ के लिए,$x+1 \geq x^{2}+1$,इसलिए क्षेत्रफल $\int_{1/2}^{1} (x^{2}+1) dx$ है।
$1 \leq x \leq 2$ के लिए,$x^{2}+1 \geq x+1$,इसलिए क्षेत्रफल $\int_{1}^{2} (x+1) dx$ है।
क्षेत्रफल $= \int_{1/2}^{1} (x^{2}+1) dx + \int_{1}^{2} (x+1) dx$.
$= [\frac{x^{3}}{3} + x]_{1/2}^{1} + [\frac{x^{2}}{2} + x]_{1}^{2}$.
$= ((\frac{1}{3} + 1) - (\frac{1}{24} + \frac{1}{2})) + ((2 + 2) - (\frac{1}{2} + 1))$.
$= (\frac{4}{3} - \frac{13}{24}) + (4 - \frac{3}{2}) = \frac{32-13}{24} + \frac{5}{2} = \frac{19}{24} + \frac{60}{24} = \frac{79}{24}$.

(A) माना $I = \int_{-\pi}^{\pi} |\pi - |x|| \, dx$.
चूँकि फलन $f(x) = |\pi - |x||$ एक सम फलन है,हम लिख सकते हैं:
$I = 2 \int_{0}^{\pi} |\pi - |x|| \, dx$.
अंतराल $x \in [0, \pi]$ के लिए,$|x| = x$ होता है,अतः व्यंजक इस प्रकार होगा:
$I = 2 \int_{0}^{\pi} |\pi - x| \, dx$.
अंतराल $[0, \pi]$ में $x \leq \pi$ है,इसलिए $\pi - x \geq 0$,अतः $|\pi - x| = \pi - x$.
$I = 2 \int_{0}^{\pi} (\pi - x) \, dx$.
$I = 2 \left[ \pi x - \frac{x^{2}}{2} \right]_{0}^{\pi}$.
$I = 2 \left( (\pi(\pi) - \frac{\pi^{2}}{2}) - (0 - 0) \right)$.
$I = 2 \left( \pi^{2} - \frac{\pi^{2}}{2} \right) = 2 \left( \frac{\pi^{2}}{2} \right) = \pi^{2}$.

(A) दिया गया समीकरण: $y^{2}+\ln(\cos^{2}x) = y$ जहाँ $x \in \left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)$.
$x=0$ पर,$\cos^{2}(0) = 1$,इसलिए $\ln(1) = 0$. समीकरण $y^{2} = y$ बन जाता है,जिसका अर्थ है $y(y-1) = 0$,अतः $y=0$ या $y=1$.
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $2yy^{\prime} + \frac{1}{\cos^{2}x} \cdot 2\cos x \cdot (-\sin x) = y^{\prime}$.
सरल करने पर: $2yy^{\prime} - 2\tan x = y^{\prime}$.
$x=0$ पर,$y=0$ और $y=1$ दोनों के लिए,हमें $2y(0) - 2(0) = y^{\prime}$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $y^{\prime}(0) = 0$.
पुनः अवकलन करने पर: $2y y^{\prime \prime} + 2(y^{\prime})^{2} - 2\sec^{2}x = y^{\prime \prime}$.
$x=0$ और $y^{\prime}(0)=0$ पर: $2y y^{\prime \prime} + 0 - 2(1) = y^{\prime \prime}$.
यदि $y=0$ है,तो $0 - 2 = y^{\prime \prime} \implies y^{\prime \prime}(0) = -2$.
यदि $y=1$ है,तो $2y^{\prime \prime} - 2 = y^{\prime \prime} \implies y^{\prime \prime}(0) = 2$.
दोनों स्थितियों में,$|y^{\prime \prime}(0)| = 2$ प्राप्त होता है।

(B) दिया गया फलन: $f(x) = (3x - 7)x^{2/3} = 3x^{5/3} - 7x^{2/3}$.
यह ज्ञात करने के लिए कि फलन किस अंतराल में वर्धमान है,हम अवकलज $f'(x)$ ज्ञात करते हैं:
$f'(x) = 3 \cdot \frac{5}{3}x^{2/3} - 7 \cdot \frac{2}{3}x^{-1/3}$
$f'(x) = 5x^{2/3} - \frac{14}{3x^{1/3}}$
$f'(x)$ के व्यंजक को सरल करने पर:
$f'(x) = \frac{5x^{2/3} \cdot 3x^{1/3} - 14}{3x^{1/3}} = \frac{15x - 14}{3x^{1/3}}$
फलन के वर्धमान होने के लिए,हमें $f'(x) > 0$ की आवश्यकता है:
$\frac{15x - 14}{3x^{1/3}} > 0$
हम क्रांतिक बिंदुओं $x = 0$ और $x = \frac{14}{15}$ का उपयोग करके $f'(x)$ के चिह्न की जाँच करते हैं:
- $x < 0$ के लिए,$15x - 14 < 0$ और $3x^{1/3} < 0$,इसलिए $f'(x) > 0$.
- $0 < x < \frac{14}{15}$ के लिए,$15x - 14 < 0$ और $3x^{1/3} > 0$,इसलिए $f'(x) < 0$.
- $x > \frac{14}{15}$ के लिए,$15x - 14 > 0$ और $3x^{1/3} > 0$,इसलिए $f'(x) > 0$.
अतः,$f(x)$ अंतराल $x \in (-\infty, 0) \cup \left(\frac{14}{15}, \infty\right)$ में वर्धमान है।

(C) दिया गया है $\Delta = \left|\begin{array}{ccc}x-2 & 2 x-3 & 3 x-4 \\ 2 x-3 & 3 x-4 & 4 x-5 \\ 3 x-5 & 5 x-8 & 10 x-17\end{array}\right| = Ax^{3}+Bx^{2}+Cx+D$.
पंक्ति संक्रियाओं $R_{2} \rightarrow R_{2}-R_{1}$ और $R_{3} \rightarrow R_{3}-R_{2}$ को लागू करने पर:
$\Delta = \left|\begin{array}{ccc}x-2 & 2 x-3 & 3 x-4 \\ x-1 & x-1 & x-1 \\ x-2 & 2x-4 & 6x-12\end{array}\right|$
$R_{2}$ से $(x-1)$ और $R_{3}$ से $(x-2)$ उभयनिष्ठ लेने पर:
$\Delta = (x-1)(x-2) \left|\begin{array}{ccc}x-2 & 2 x-3 & 3 x-4 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 6\end{array}\right|$
सारणिक का विस्तार करने पर:
$\Delta = (x-1)(x-2) [ (x-2)(6-2) - (2x-3)(6-1) + (3x-4)(2-1) ]$
$\Delta = (x-1)(x-2) [ 4(x-2) - 5(2x-3) + 1(3x-4) ]$
$\Delta = (x-1)(x-2) [ 4x-8 - 10x+15 + 3x-4 ]$
$\Delta = (x-1)(x-2) [ -3x+3 ] = -3(x-1)^{2}(x-2)$
विस्तार करने पर $-3(x^{2}-2x+1)(x-2) = -3(x^{3}-4x^{2}+5x-2) = -3x^{3}+12x^{2}-15x+6$.
$Ax^{3}+Bx^{2}+Cx+D$ से तुलना करने पर,$B=12$ और $C=-15$ प्राप्त होता है।
अतः,$B+C = 12-15 = -3$.

(A) दिया गया अवकल समीकरण: $(1+e^{-x})(1+y^{2}) \frac{dy}{dx} = y^{2}$.
चरों को अलग करने पर:
$\frac{1+y^{2}}{y^{2}} dy = \frac{1}{1+e^{-x}} dx$
$\Rightarrow (y^{-2}+1) dy = \frac{e^{x}}{e^{x}+1} dx$.
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर:
$\int (y^{-2}+1) dy = \int \frac{e^{x}}{e^{x}+1} dx$
$-y^{-1} + y = \ln(e^{x}+1) + C$
$y - \frac{1}{y} = \ln(e^{x}+1) + C$.
चूंकि वक्र बिंदु $(0,1)$ से गुजरता है,$x=0$ और $y=1$ रखने पर:
$1 - \frac{1}{1} = \ln(e^{0}+1) + C$
$0 = \ln(2) + C \Rightarrow C = -\ln(2)$.
$C$ का मान समीकरण में रखने पर:
$y - \frac{1}{y} = \ln(e^{x}+1) - \ln(2)$
$y - \frac{1}{y} = \ln\left(\frac{e^{x}+1}{2}\right)$
$y$ से गुणा करने पर:
$y^{2} - 1 = y \ln\left(\frac{1+e^{x}}{2}\right)$
$y^{2} = 1 + y \ln\left(\frac{1+e^{x}}{2}\right)$.

(A) दिया गया है $A = \begin{bmatrix} x & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}$.
सबसे पहले,$A^{2}$ की गणना करें:
$A^{2} = \begin{bmatrix} x & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} x^{2} + 1 & x \\ x & 1 \end{bmatrix}$.
अब,$A^{4} = A^{2} \times A^{2}$ की गणना करें:
$A^{4} = \begin{bmatrix} x^{2} + 1 & x \\ x & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x^{2} + 1 & x \\ x & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} (x^{2} + 1)^{2} + x^{2} & x(x^{2} + 1) + x \\ x(x^{2} + 1) + x & x^{2} + 1 \end{bmatrix}$.
हमें $a_{11} = 109$ दिया गया है,इसलिए:
$(x^{2} + 1)^{2} + x^{2} = 109$.
मान लीजिए $y = x^{2}$ है। तो $(y + 1)^{2} + y = 109$.
$y^{2} + 2y + 1 + y = 109 \Rightarrow y^{2} + 3y - 108 = 0$.
$(y + 12)(y - 9) = 0$.
चूंकि $y = x^{2} \geq 0$,इसलिए $y = 9$,जिसका अर्थ है $x^{2} = 9$.
अब,$a_{22}$ ज्ञात करें:
आव्यूह $A^{4}$ से,$a_{22} = x^{2} + 1$.
$x^{2} = 9$ रखने पर,हमें $a_{22} = 9 + 1 = 10$ प्राप्त होता है।

(A) फलन को इस प्रकार परिभाषित किया गया है:
$f(x) = \begin{cases} \frac{\pi}{4} + \tan^{-1} x, & x \in [-1, 1] \\ \frac{1}{2}(-x-1), & x < -1 \\ \frac{1}{2}(x-1), & x > 1 \end{cases}$
$x = -1$ पर सांतत्य की जाँच:
$LHL = \lim_{x \to -1^-} \frac{1}{2}(-x-1) = 0$
$RHL = \lim_{x \to -1^+} (\frac{\pi}{4} + \tan^{-1} x) = \frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{4} = 0$
चूँकि $LHL = RHL = f(-1)$,फलन $x = -1$ पर सतत है।
$x = 1$ पर सांतत्य की जाँच:
$LHL = \lim_{x \to 1^-} (\frac{\pi}{4} + \tan^{-1} x) = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2}$
$RHL = \lim_{x \to 1^+} \frac{1}{2}(x-1) = 0$
चूँकि $LHL \neq RHL$,फलन $x = 1$ पर असतत है।
$x = -1$ पर अवकलनीयता की जाँच:
$LHD = \frac{d}{dx} [\frac{1}{2}(-x-1)] = -\frac{1}{2}$
$RHD = \frac{d}{dx} [\frac{\pi}{4} + \tan^{-1} x] = \frac{1}{1+x^2} = \frac{1}{1+(-1)^2} = \frac{1}{2}$
चूँकि $LHD \neq RHD$,फलन $x = -1$ पर अवकलनीय नहीं है।
अतः,फलन $R - \{1\}$ पर सतत है और $R - \{-1, 1\}$ पर अवकलनीय है।

(C) दिया गया अवकल समीकरण: $\frac{dy}{dx} + 3 = \frac{y+3x}{\log_{e}(y+3x)}$.
माना $z = y + 3x$. तब $\frac{dz}{dx} = \frac{dy}{dx} + 3$.
इसे समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है $\frac{dz}{dx} = \frac{z}{\log_{e}z}$.
चरों को अलग करने पर: $\frac{\log_{e}z}{z} dz = dx$.
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\int \frac{\log_{e}z}{z} dz = \int dx$.
माना $u = \log_{e}z$,तो $du = \frac{1}{z} dz$. समाकलन $\int u du = x + C$ हो जाता है।
अतः,$\frac{u^{2}}{2} = x + C$.
$u = \log_{e}(y+3x)$ वापस रखने पर,हमें प्राप्त होता है $\frac{1}{2}(\log_{e}(y+3x))^{2} = x + C$.
पुनर्व्यवस्थित करने पर $x - \frac{1}{2}(\log_{e}(y+3x))^{2} = C$ प्राप्त होता है।

(B) बिंदु $(1, -2, 3)$ से गुजरने वाली और रेखा $\frac{x}{2} = \frac{y}{3} = \frac{z}{-6}$ के समांतर रेखा का समीकरण $\frac{x-1}{2} = \frac{y+2}{3} = \frac{z-3}{-6} = r$ है।
इस रेखा पर कोई भी बिंदु $(2r+1, 3r-2, -6r+3)$ है।
चूंकि यह बिंदु समतल $x - y + z = 5$ पर स्थित है,हम इन निर्देशांकों को समतल के समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं:
$(2r+1) - (3r-2) + (-6r+3) = 5$.
$2r + 1 - 3r + 2 - 6r + 3 = 5$.
$-7r + 6 = 5$.
$-7r = -1$.
$r = \frac{1}{7}$.
बिंदु $(1, -2, 3)$ और प्रतिच्छेदन बिंदु $(2r+1, 3r-2, -6r+3)$ के बीच की दूरी $\sqrt{(2r)^2 + (3r)^2 + (-6r)^2} = \sqrt{4r^2 + 9r^2 + 36r^2} = \sqrt{49r^2} = 7|r|$ है।
$r = \frac{1}{7}$ रखने पर,दूरी $7 \times \frac{1}{7} = 1$ प्राप्त होती है।

(D) दिया गया सीमा $L = \lim_{t \rightarrow x} \frac{t^{2} f^{2}(x) - x^{2} f^{2}(t)}{t - x} = 0$ है।
$t$ के सापेक्ष $L$'$H$ôpital नियम का उपयोग करने पर:
$L = \lim_{t \rightarrow x} \frac{2t f^{2}(x) - x^{2} \cdot 2f(t) f'(t)}{1} = 0$.
$t = x$ रखने पर:
$2x f^{2}(x) - 2x^{2} f(x) f'(x) = 0$.
$2x f(x)$ से भाग देने पर (चूंकि $x > 0$ और $f(x) > 0$):
$f(x) - x f'(x) = 0 \Rightarrow \frac{f'(x)}{f(x)} = \frac{1}{x}$.
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष समाकलन करने पर:
$\int \frac{f'(x)}{f(x)} dx = \int \frac{1}{x} dx \Rightarrow \ln|f(x)| = \ln|x| + C$.
चूंकि $f(x) > 0$ और $x > 0$,इसलिए $f(x) = Cx$ है।
$f(1) = e$ शर्त का उपयोग करने पर:
$e = C(1) \Rightarrow C = e$.
अतः,$f(x) = ex$ है।
यदि $f(x) = 1$ है,तो $ex = 1$,जिसका अर्थ है कि $x = \frac{1}{e}$।

(C) रैखिक समीकरणों के निकाय के अनंत हल होने के लिए,गुणांक आव्यूह का सारणिक $\Delta = 0$ होना चाहिए और संवर्धित सारणिक $\Delta_x, \Delta_y, \Delta_z$ भी $0$ होने चाहिए।
सबसे पहले,$\Delta = 0$ की गणना करें:
$\Delta = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 2 & 4 & -1 \\ 3 & 2 & \lambda \end{vmatrix} = 1(4\lambda + 2) - 1(2\lambda + 3) + 1(4 - 12) = 0$
$4\lambda + 2 - 2\lambda - 3 - 8 = 0$
$2\lambda - 9 = 0 \Rightarrow \lambda = \frac{9}{2}$.
इसके बाद,$\Delta_x = 0$ की गणना करें:
$\Delta_x = \begin{vmatrix} 2 & 1 & 1 \\ 6 & 4 & -1 \\ \mu & 2 & \lambda \end{vmatrix} = 2(4\lambda + 2) - 1(6\lambda + \mu) + 1(12 - 4\mu) = 0$
$\lambda = \frac{9}{2}$ रखने पर:
$2(18 + 2) - (27 + \mu) + 12 - 4\mu = 0$
$40 - 27 - \mu + 12 - 4\mu = 0$
$25 - 5\mu = 0 \Rightarrow \mu = 5$.
अब,$\lambda = 4.5$ और $\mu = 5$ के लिए विकल्पों की जाँच करें:
$2\lambda + \mu = 2(4.5) + 5 = 9 + 5 = 14$.
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(C) माना $I = \int_{\pi / 6}^{\pi / 3} \tan ^{3} x \cdot \sin ^{2} 3 x\left(2 \sec ^{2} x \cdot \sin ^{2} 3 x+3 \tan x \cdot \sin 6 x\right) d x$.
ध्यान दें कि $\sin 6x = 2 \sin 3x \cos 3x$.
समाकल्य को इस प्रकार लिखा जा सकता है:
$f(x) = 2 \tan^3 x \sec^2 x \sin^4 3x + 3 \tan^4 x \sin^2 3x (2 \sin 3x \cos 3x) = 2 \tan^3 x \sec^2 x \sin^4 3x + 6 \tan^4 x \sin^3 3x \cos 3x$.
यहाँ $\frac{d}{dx} [(\tan x)^4 (\sin 3x)^4] = 4 \tan^3 x \sec^2 x \sin^4 3x + 4 \tan^4 x \sin^3 3x (3 \cos 3x) = 4 [\tan^3 x \sec^2 x \sin^4 3x + 3 \tan^4 x \sin^3 3x \cos 3x]$.
अतः,समाकल्य $\frac{1}{2} \frac{d}{dx} [(\tan x)^4 (\sin 3x)^4]$ है।
$I = \frac{1}{2} [\tan^4 x \sin^4 3x]_{\pi/6}^{\pi/3} = \frac{1}{2} [(\tan^4 \frac{\pi}{3} \sin^4 \pi) - (\tan^4 \frac{\pi}{6} \sin^4 \frac{\pi}{2})]$.
चूँकि $\sin \pi = 0$ और $\tan \frac{\pi}{6} = \frac{1}{\sqrt{3}}$,$\sin \frac{\pi}{2} = 1$:
$I = \frac{1}{2} [0 - ((\frac{1}{\sqrt{3}})^4 \cdot 1^4)] = \frac{1}{2} [0 - \frac{1}{9}] = -\frac{1}{18}$.

(D) माना $A$ के लिए $6$ प्राप्त करने की प्रायिकता $p_A = \frac{5}{36}$ है।
माना $B$ के लिए $7$ प्राप्त करने की प्रायिकता $p_B = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}$ है।
$q_A = 1 - p_A = \frac{31}{36}$ और $q_B = 1 - p_B = \frac{5}{6}$ है।
$A$ के जीतने की प्रायिकता $P(A \text{ wins}) = p_A + (q_A q_B) p_A + (q_A q_B)^2 p_A + \dots$
यह एक गुणोत्तर श्रेणी है जहाँ प्रथम पद $a = \frac{5}{36}$ और सार्व अनुपात $r = \frac{155}{216}$ है।
$P(A \text{ wins}) = \frac{a}{1-r} = \frac{5/36}{1 - 155/216} = \frac{30}{61}$.

(A) माना शीर्ष $C$ के निर्देशांक $(t, t^{2}-1)$ हैं जहाँ $0 < t < 1$ है। चूँकि परवलय $y$-अक्ष के सापेक्ष सममित है,शीर्ष $D$ के निर्देशांक $(-t, t^{2}-1)$ होंगे।
आयत की लंबाई $2t$ है और ऊँचाई $|t^{2}-1| = 1-t^{2}$ है (क्योंकि आयत $x$-अक्ष के नीचे है)।
आयत का क्षेत्रफल $A = (2t)(1-t^{2}) = 2t - 2t^{3}$ द्वारा दिया जाता है।
अधिकतम क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए,हम $A$ का $t$ के सापेक्ष अवकलन करते हैं:
$\frac{dA}{dt} = 2 - 6t^{2}$.
$\frac{dA}{dt} = 0$ रखने पर,हमें $6t^{2} = 2$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $t^{2} = \frac{1}{3}$,अतः $t = \frac{1}{\sqrt{3}}$.
अधिकतम क्षेत्रफल $A = 2(\frac{1}{\sqrt{3}}) - 2(\frac{1}{\sqrt{3}})^{3} = \frac{2}{\sqrt{3}} - \frac{2}{3\sqrt{3}} = \frac{6-2}{3\sqrt{3}} = \frac{4}{3\sqrt{3}}$ वर्ग इकाई है।

(D) दिया गया है कि $Ax_{1} = b_{1}$,$Ax_{2} = b_{2}$,और $Ax_{3} = b_{3}$ है।
हम इन समीकरणों को एक एकल मैट्रिक्स समीकरण में जोड़ सकते हैं: $A[x_{1} \ x_{2} \ x_{3}] = [b_{1} \ b_{2} \ b_{3}]$।
मान लीजिए $X = [x_{1} \ x_{2} \ x_{3}] = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \end{bmatrix}$ और $B = [b_{1} \ b_{2} \ b_{3}] = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{bmatrix}$ है।
तब $AX = B$,जिसका अर्थ है $|A||X| = |B|$।
$X$ का सारणिक ज्ञात करने पर: $|X| = 1(2 \times 1 - 0 \times 1) = 2$।
$B$ का सारणिक ज्ञात करने पर: $|B| = 1(2 \times 2 - 0 \times 0) = 4$।
अतः,$|A| \times 2 = 4$,जिससे हमें $|A| = 4/2 = 2$ प्राप्त होता है।

(A) कुल प्रश्नों की संख्या $n = 6$ है।
$6$ में से $4$ प्रश्नों को सही चुनने के तरीके ${}^{6}C_{4}$ हैं।
प्रत्येक $4$ सही प्रश्नों के लिए,सही उत्तर चुनने का केवल $1$ तरीका है।
शेष $2$ प्रश्नों $(6 - 4 = 2)$ के लिए,उम्मीदवार को गलत उत्तर चुनना होगा। चूंकि $4$ विकल्पों में से केवल $1$ सही है,इसलिए प्रत्येक प्रश्न के लिए $3$ गलत विकल्प हैं।
अतः,तरीकों की संख्या = ${}^{6}C_{4} \times (1)^4 \times (3)^2$ है।
${}^{6}C_{4} = 15$ है।
कुल तरीके = $15 \times 1 \times 9 = 135$।

(C) सबसे पहले,हम समाकलनों का मूल्यांकन करते हैं:
$\int_{0}^{n}\{x\} dx = n \int_{0}^{1} x dx = n \left[ \frac{x^{2}}{2} \right]_{0}^{1} = \frac{n}{2}$.
इसके बाद,$\int_{0}^{n}[x] dx = \int_{0}^{n} (x - \{x\}) dx = \int_{0}^{n} x dx - \int_{0}^{n} \{x\} dx = \frac{n^{2}}{2} - \frac{n}{2} = \frac{n(n-1)}{2}$.
यह दिया गया है कि $\frac{n}{2}$,$\frac{n(n-1)}{2}$,और $10n(n-1)$ एक $G.P.$ में हैं,इसलिए मध्य पद का वर्ग चरम पदों के गुणनफल के बराबर होता है:
$\left( \frac{n(n-1)}{2} \right)^{2} = \left( \frac{n}{2} \right) \cdot 10n(n-1)$.
$\frac{n^{2}(n-1)^{2}}{4} = 5n^{2}(n-1)$.
चूंकि $n > 1$,हम दोनों पक्षों को $\frac{n^{2}(n-1)}{4}$ से विभाजित कर सकते हैं:
$n-1 = 5 \cdot 4 = 20$.
अतः,$n = 21$.

(D) सदिश त्रिक गुणन सर्वसमिका $\vec{u} \times (\vec{v} \times \vec{w}) = (\vec{u} \cdot \vec{w})\vec{v} - (\vec{u} \cdot \vec{v})\vec{w}$ का उपयोग करते हुए,हमें प्राप्त होता है $\hat{i} \times (\vec{a} \times \hat{i}) = (\hat{i} \cdot \hat{i})\vec{a} - (\hat{i} \cdot \vec{a})\hat{i} = \vec{a} - a_x \hat{i}$.
इसी प्रकार,$\hat{j} \times (\vec{a} \times \hat{j}) = \vec{a} - a_y \hat{j}$ और $\hat{k} \times (\vec{a} \times \hat{k}) = \vec{a} - a_z \hat{k}$.
दिया गया है $\vec{a} = 2\hat{i} + \hat{j} + 2\hat{k}$,अतः $|\vec{a}|^2 = 2^2 + 1^2 + 2^2 = 4 + 1 + 4 = 9$.
यह व्यंजक $|\vec{a} - a_x \hat{i}|^2 + |\vec{a} - a_y \hat{j}|^2 + |\vec{a} - a_z \hat{k}|^2$ है।
प्रत्येक पद का विस्तार करने पर: $|\vec{a}|^2 + a_x^2 - 2a_x^2 = |\vec{a}|^2 - a_x^2$,$|\vec{a}|^2 - a_y^2$,और $|\vec{a}|^2 - a_z^2$.
इनका योग करने पर: $3|\vec{a}|^2 - (a_x^2 + a_y^2 + a_z^2) = 3|\vec{a}|^2 - |\vec{a}|^2 = 2|\vec{a}|^2$.
$|\vec{a}|^2 = 9$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $2 \times 9 = 18$ प्राप्त होता है।

(C) दिया गया है $A = \begin{bmatrix} \cos \theta & i \sin \theta \\ i \sin \theta & \cos \theta \end{bmatrix}$.
इस विशिष्ट आव्यूह रूप के गुण का उपयोग करते हुए,$A^{n} = \begin{bmatrix} \cos n\theta & i \sin n\theta \\ i \sin n\theta & \cos n\theta \end{bmatrix}$ होता है।
$n = 5$ के लिए,$A^{5} = \begin{bmatrix} \cos 5\theta & i \sin 5\theta \\ i \sin 5\theta & \cos 5\theta \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}$.
अतः,$a = \cos 5\theta$,$b = i \sin 5\theta$,$c = i \sin 5\theta$,$d = \cos 5\theta$.
अब,विकल्पों का मूल्यांकन करते हैं:
$a^{2} + b^{2} = \cos^{2} 5\theta + (i \sin 5\theta)^{2} = \cos^{2} 5\theta - \sin^{2} 5\theta = \cos 10\theta = \cos(10 \times \frac{\pi}{24}) = \cos(\frac{5\pi}{12}) = \cos 75^{\circ}$. चूँकि $0 \leq \cos 75^{\circ} \leq 1$,विकल्प $A$ सत्य है।
$a^{2} - d^{2} = \cos^{2} 5\theta - \cos^{2} 5\theta = 0$. विकल्प $B$ सत्य है।
$a^{2} - b^{2} = \cos^{2} 5\theta - (i \sin 5\theta)^{2} = \cos^{2} 5\theta + \sin^{2} 5\theta = 1$. विकल्प $C$ कहता है कि $a^{2} - b^{2} = \frac{1}{2}$,जो कि असत्य है।
$a^{2} - c^{2} = \cos^{2} 5\theta - (i \sin 5\theta)^{2} = \cos^{2} 5\theta + \sin^{2} 5\theta = 1$. विकल्प $D$ सत्य है।
अतः,जो कथन सत्य नहीं है वह $a^{2} - b^{2} = \frac{1}{2}$ है।

(D) दिया गया है $f(x) = |x - 2|$ और $g(x) = f(f(x)) = ||x - 2| - 2|$।
हमें $I = \int_{0}^{3} (g(x) - f(x)) \, dx = \int_{0}^{3} g(x) \, dx - \int_{0}^{3} f(x) \, dx$ का मूल्यांकन करना है।
सबसे पहले,$\int_{0}^{3} f(x) \, dx = \int_{0}^{3} |x - 2| \, dx$ की गणना करें।
यह $x = 0$ से $x = 3$ तक $f(x)$ के ग्राफ के नीचे का क्षेत्रफल दर्शाता है। ग्राफ दो त्रिभुजों से बना है: एक $2$ आधार और $2$ ऊंचाई वाला ($0$ से $2$ तक),और दूसरा $1$ आधार और $1$ ऊंचाई वाला ($2$ से $3$ तक)।
क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times 2 \times 2 + \frac{1}{2} \times 1 \times 1 = 2 + 0.5 = 2.5$.
अब,$\int_{0}^{3} g(x) \, dx = \int_{0}^{3} ||x - 2| - 2| \, dx$ की गणना करें।
$x \in [0, 2]$ के लिए,$g(x) = |(2 - x) - 2| = |-x| = x$। क्षेत्रफल $= \int_{0}^{2} x \, dx = \frac{1}{2} \times 2 \times 2 = 2$.
$x \in [2, 3]$ के लिए,$g(x) = |(x - 2) - 2| = |x - 4| = 4 - x$। क्षेत्रफल $= \int_{2}^{3} (4 - x) \, dx = \frac{1}{2} \times (2 + 1) \times 1 = 1.5$.
कुल $\int_{0}^{3} g(x) \, dx = 2 + 1.5 = 3.5$.
अतः,$I = 3.5 - 2.5 = 1$।

(D) हमें $f(3) - f(1) = \int_{1}^{3} \frac{\sqrt{x}}{(1+x)^2} dx$ का मान ज्ञात करना है।
माना $\sqrt{x} = t$,तब $x = t^2$ और $dx = 2t dt$ होगा।
जब $x=1$,तब $t=1$ और जब $x=3$,तब $t=\sqrt{3}$।
इन मानों को समाकलन में प्रतिस्थापित करने पर:
$f(3) - f(1) = \int_{1}^{\sqrt{3}} \frac{t \cdot 2t}{(1+t^2)^2} dt = 2 \int_{1}^{\sqrt{3}} \frac{t^2}{(1+t^2)^2} dt$.
खंडशः समाकलन (Integration by parts) का उपयोग करते हुए,$u = t$ और $dv = \frac{t}{(1+t^2)^2} dt$ लेने पर,$du = dt$ और $v = -\frac{1}{2(1+t^2)}$ प्राप्त होता है।
$2 \int \frac{t^2}{(1+t^2)^2} dt = 2 \left[ -\frac{t}{2(1+t^2)} + \int \frac{1}{2(1+t^2)} dt \right] = -\frac{t}{1+t^2} + \tan^{-1}(t)$.
$1$ से $\sqrt{3}$ तक सीमाएं लागू करने पर:
$f(3) - f(1) = \left[ -\frac{\sqrt{3}}{1+3} + \tan^{-1}(\sqrt{3}) \right] - \left[ -\frac{1}{1+1} + \tan^{-1}(1) \right]$.
$= \left( -\frac{\sqrt{3}}{4} + \frac{\pi}{3} \right) - \left( -\frac{1}{2} + \frac{\pi}{4} \right) = \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{4} + \frac{\pi}{12}$.

(D) फलन को अदिश त्रिक गुणनफल के रूप में परिभाषित किया गया है $f(x) = [\vec{a} \vec{b} \vec{c}] = \begin{vmatrix} x & -2 & 3 \\ -2 & x & -1 \\ 7 & -2 & x \end{vmatrix}$.
सारणिक का विस्तार करने पर: $f(x) = x(x^2 - 2) + 2(-2x + 7) + 3(4 - 7x) = x^3 - 2x - 4x + 14 + 12 - 21x = x^3 - 27x + 26$.
स्थानीय उच्चिष्ठ ज्ञात करने के लिए,हम अवकलन करते हैं: $f'(x) = 3x^2 - 27$. $f'(x) = 0$ रखने पर $x^2 = 9$ प्राप्त होता है,इसलिए $x = \pm 3$.
द्वितीय अवकलज $f''(x) = 6x$ है। $x = -3$ के लिए,$f''(-3) = -18 < 0$,इसलिए $x_0 = -3$ स्थानीय उच्चिष्ठ बिंदु है।
$x = -3$ पर,सदिश $\vec{a} = -3\hat{i} - 2\hat{j} + 3\hat{k}$,$\vec{b} = -2\hat{i} - 3\hat{j} - \hat{k}$,और $\vec{c} = 7\hat{i} - 2\hat{j} - 3\hat{k}$ हैं।
अदिश गुणनफल की गणना करने पर:
$\vec{a} \cdot \vec{b} = (-3)(-2) + (-2)(-3) + (3)(-1) = 6 + 6 - 3 = 9$.
$\vec{b} \cdot \vec{c} = (-2)(7) + (-3)(-2) + (-1)(-3) = -14 + 6 + 3 = -5$.
$\vec{c} \cdot \vec{a} = (7)(-3) + (-2)(-2) + (-3)(3) = -21 + 4 - 9 = -26$.
इनका योग: $9 - 5 - 26 = -22$.

(D) माना $I = \int \left(\frac{x}{x \sin x + \cos x}\right)^2 dx$.
हम समाकल्य को इस प्रकार लिख सकते हैं:
$I = \int \left(\frac{x \sec x}{x \sin x + \cos x}\right) \cdot \left(\frac{\cos x}{x \sin x + \cos x}\right) dx$.
खंडशः समाकलन का उपयोग करते हुए,$u = x \sec x$ और $dv = \frac{\cos x}{(x \sin x + \cos x)^2} dx$ लें।
तब $du = (\sec x + x \sec x \tan x) dx = \frac{\cos x + x \sin x}{\cos^2 x} dx$ और $v = -\frac{1}{x \sin x + \cos x}$ होगा।
सूत्र $\int u dv = uv - \int v du$ का उपयोग करने पर:
$I = (x \sec x) \left(-\frac{1}{x \sin x + \cos x}\right) - \int \left(-\frac{1}{x \sin x + \cos x}\right) \left(\frac{\cos x + x \sin x}{\cos^2 x}\right) dx$.
$I = -\frac{x \sec x}{x \sin x + \cos x} + \int \frac{1}{\cos^2 x} dx$.
$I = -\frac{x \sec x}{x \sin x + \cos x} + \int \sec^2 x dx$.
$I = \tan x - \frac{x \sec x}{x \sin x + \cos x} + C$.

(A) दिया गया अवकल समीकरण $x \frac{dy}{dx}-y=x^{2}(x \cos x+\sin x)$ है।
$x$ से भाग देने पर,हमें $\frac{dy}{dx}-\frac{y}{x}=x(x \cos x+\sin x)$ प्राप्त होता है।
यह $\frac{dy}{dx}+Py=Q$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P=-\frac{1}{x}$ और $Q=x^{2} \cos x+x \sin x$ है।
समाकलन गुणक $I.F. = e^{\int P dx} = e^{-\int \frac{1}{x} dx} = e^{-\ln x} = \frac{1}{x}$ है।
हल $y \cdot (I.F.) = \int Q \cdot (I.F.) dx + C$ द्वारा दिया जाता है।
$\frac{y}{x} = \int \frac{1}{x} \cdot x(x \cos x+\sin x) dx = \int (x \cos x+\sin x) dx$.
खंडशः समाकलन का उपयोग करने पर,$\int x \cos x dx = x \sin x - \int \sin x dx = x \sin x + \cos x$.
अतः,$\frac{y}{x} = x \sin x + \cos x - \cos x + C = x \sin x + C$.
चूँकि $y(\pi)=\pi$ दिया गया है,तो $\frac{\pi}{\pi} = \pi \sin(\pi) + C \Rightarrow 1 = 0 + C \Rightarrow C=1$.
इस प्रकार,$y = x^{2} \sin x + x$.
अब,$y\left(\frac{\pi}{2}\right) = \left(\frac{\pi}{2}\right)^{2} \sin\left(\frac{\pi}{2}\right) + \frac{\pi}{2} = \frac{\pi^{2}}{4} + \frac{\pi}{2}$.
आगे,$\frac{dy}{dx} = x^{2} \cos x + 2x \sin x + 1$.
तब,$\frac{d^{2}y}{dx^{2}} = -x^{2} \sin x + 2x \cos x + 2x \cos x + 2 \sin x = -x^{2} \sin x + 4x \cos x + 2 \sin x$.
$x=\frac{\pi}{2}$ पर मान रखने पर,$\frac{d^{2}y}{dx^{2}}\left(\frac{\pi}{2}\right) = -\left(\frac{\pi}{2}\right)^{2} \sin\left(\frac{\pi}{2}\right) + 4\left(\frac{\pi}{2}\right) \cos\left(\frac{\pi}{2}\right) + 2 \sin\left(\frac{\pi}{2}\right) = -\frac{\pi^{2}}{4} + 0 + 2 = 2 - \frac{\pi^{2}}{4}$.
अंत में,$y^{\prime \prime}\left(\frac{\pi}{2}\right) + y\left(\frac{\pi}{2}\right) = \left(2 - \frac{\pi^{2}}{4}\right) + \left(\frac{\pi^{2}}{4} + \frac{\pi}{2}\right) = 2 + \frac{\pi}{2}$.

(C) दिया गया है कि $f(2)=8$,$f'(2)=5$,$f'(x) \geq 1$,और $f''(x) \geq 4$ सभी $x \in (1,6)$ के लिए है।
फलन $f'(x)$ के लिए अंतराल $[2, 5]$ पर माध्य मान प्रमेय (Mean Value Theorem) के अनुसार,एक $c \in (2, 5)$ मौजूद है ताकि $f''(c) = \frac{f'(5)-f'(2)}{5-2}$ हो।
चूंकि $f''(x) \geq 4$,इसलिए $\frac{f'(5)-5}{3} \geq 4 \Rightarrow f'(5)-5 \geq 12 \Rightarrow f'(5) \geq 17$ है।
फलन $f(x)$ के लिए अंतराल $[2, 5]$ पर माध्य मान प्रमेय के अनुसार,एक $d \in (2, 5)$ मौजूद है ताकि $f'(d) = \frac{f(5)-f(2)}{5-2}$ हो।
चूंकि $f'(x) \geq 1$,इसलिए $\frac{f(5)-8}{3} \geq 1 \Rightarrow f(5)-8 \geq 3 \Rightarrow f(5) \geq 11$ है।
अतः,$f(5)+f'(5) \geq 11+17 = 28$ है।

(A) रैखिक समीकरण निकाय के अनंत हल होने के लिए,गुणांक आव्यूह का सारणिक $D = 0$ होना चाहिए और सारणिक $D_1, D_2, D_3$ भी $0$ होने चाहिए।
सबसे पहले,$D = \begin{vmatrix} 1 & -2 & 3 \\ 2 & 1 & 1 \\ 1 & -7 & a \end{vmatrix} = 0$ की गणना करें।
$1(a + 7) + 2(2a - 1) + 3(-14 - 1) = 0$
$a + 7 + 4a - 2 - 45 = 0$
$5a - 40 = 0 \Rightarrow a = 8$.
इसके बाद,$D_1 = \begin{vmatrix} 9 & -2 & 3 \\ b & 1 & 1 \\ 24 & -7 & 8 \end{vmatrix} = 0$ की गणना करें।
$9(8 + 7) + 2(8b - 24) + 3(-7b - 24) = 0$
$9(15) + 16b - 48 - 21b - 72 = 0$
$135 - 5b - 120 = 0$
$15 - 5b = 0 \Rightarrow b = 3$.
अतः,$a - b = 8 - 3 = 5$.

(B) माना कि $n$ शॉट्स की संख्या है।
एक शॉट में लक्ष्य को भेदने की प्रायिकता $p = \frac{1}{10}$ है।
एक शॉट में लक्ष्य से चूकने की प्रायिकता $q = 1 - p = 1 - \frac{1}{10} = \frac{9}{10}$ है।
सभी $n$ शॉट्स में लक्ष्य से चूकने की प्रायिकता $q^n = \left(\frac{9}{10}\right)^n$ है।
लक्ष्य को कम से कम एक बार भेदने की प्रायिकता $1 - P(\text{सभी में चूकने}) = 1 - \left(\frac{9}{10}\right)^n$ है।
हमें दिया गया है कि यह प्रायिकता $\frac{1}{4}$ से अधिक है:
$1 - \left(\frac{9}{10}\right)^n > \frac{1}{4}$
$\Rightarrow \frac{3}{4} > \left(\frac{9}{10}\right)^n$.
$n = 1$ के लिए: $\left(\frac{9}{10}\right)^1 = 0.9 > 0.75$ (असत्य)।
$n = 2$ के लिए: $\left(\frac{9}{10}\right)^2 = 0.81 > 0.75$ (असत्य)।
$n = 3$ के लिए: $\left(\frac{9}{10}\right)^3 = 0.729 < 0.75$ (सत्य)।
अतः,आवश्यक शॉट्स की न्यूनतम संख्या $3$ है।

(C) दी गई सर्वसमिका $f(x+y) = f(x) + f(y) + xy^2 + x^2y$ है।
$x=0$ और $y=0$ रखने पर,हमें $f(0) = f(0) + f(0) + 0 + 0$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $f(0) = 0$।
अवकलज की परिभाषा के अनुसार,$f'(x) = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}$।
दी गई सर्वसमिका का उपयोग करते हुए,$f(x+h) = f(x) + f(h) + xh^2 + x^2h$।
इस मान को अवकलज के सूत्र में रखने पर:
$f'(x) = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(x) + f(h) + xh^2 + x^2h - f(x)}{h} = \lim_{h \rightarrow 0} \left( \frac{f(h)}{h} + xh + x^2 \right)$।
चूंकि $\lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(h)}{h} = 1$ (दिया गया है),इसलिए $f'(x) = 1 + 0 + x^2 = 1 + x^2$।
अतः,$f'(3) = 1 + (3)^2 = 1 + 9 = 10$।

(A) दो समतलों $P_1: x+4y-z+7=0$ और $P_2: 3x+y+5z-8=0$ के प्रतिच्छेदन से गुजरने वाले समतल का समीकरण $P_1 + \lambda P_2 = 0$ द्वारा दिया जाता है।
$(x+4y-z+7) + \lambda(3x+y+5z-8) = 0$
$(1+3\lambda)x + (4+\lambda)y + (-1+5\lambda)z + (7-8\lambda) = 0$.
इसे दिए गए समतल $ax+by+6z=15$ के साथ तुलना करने पर,हमें $a=2$ और $b=-3$ प्राप्त होता है।
अतः समतल $P: 2x-3y+6z=15$ है।
बिंदु $(3,2,-1)$ की समतल $2x-3y+6z-15=0$ से दूरी $d = \frac{|2(3)-3(2)+6(-1)-15|}{\sqrt{2^2+(-3)^2+6^2}} = \frac{|6-6-6-15|}{\sqrt{4+9+36}} = \frac{|-21|}{7} = 3$ है।

(B) दिए गए रैखिक समीकरण निकाय इस प्रकार हैं:
$x+y+3z=0$ $(i)$
$x+3y+k^{2}z=0$ (ii)
$3x+y+3z=0$ (iii)
शून्येतर हल के अस्तित्व के लिए,गुणांक आव्यूह का सारणिक शून्य होना चाहिए:
$\begin{vmatrix} 1 & 1 & 3 \\ 1 & 3 & k^{2} \\ 3 & 1 & 3 \end{vmatrix} = 0$
सारणिक का विस्तार करने पर:
$1(9 - k^{2}) - 1(3 - 3k^{2}) + 3(1 - 9) = 0$
$9 - k^{2} - 3 + 3k^{2} - 24 = 0$
$2k^{2} - 18 = 0$
$2k^{2} = 18 \Rightarrow k^{2} = 9$
अब,$k^{2} = 9$ को समीकरणों में रखने पर:
$(i)$ $x+y+3z=0$
(iii) $3x+y+3z=0$
(iii) में से $(i)$ को घटाने पर: $(3x+y+3z) - (x+y+3z) = 0 \Rightarrow 2x = 0 \Rightarrow x = 0$
$x=0$ को $(i)$ में रखने पर: $0 + y + 3z = 0 \Rightarrow y = -3z$
अतः,$\frac{y}{z} = -3$
अंत में,$x + \frac{y}{z} = 0 + (-3) = -3$

(B) माना $f = \tan ^{-1}\left(\frac{\sqrt{1+x^{2}}-1}{x}\right)$.
$x = \tan \theta$ रखने पर,$\theta = \tan ^{-1} x$.
अतः $f = \tan ^{-1}\left(\frac{\sec \theta - 1}{\tan \theta}\right) = \tan ^{-1}\left(\frac{1 - \cos \theta}{\sin \theta}\right) = \tan ^{-1}\left(\tan \frac{\theta}{2}\right) = \frac{\theta}{2} = \frac{1}{2} \tan ^{-1} x$.
इस प्रकार,$\frac{df}{dx} = \frac{1}{2(1+x^{2})}$.
माना $g = \tan ^{-1}\left(\frac{2x\sqrt{1-x^{2}}}{1-2x^{2}}\right)$.
$x = \sin \theta$ रखने पर,$\theta = \sin ^{-1} x$.
अतः $g = \tan ^{-1}\left(\frac{2 \sin \theta \cos \theta}{1-2 \sin ^{2} \theta}\right) = \tan ^{-1}(\tan 2\theta) = 2\theta = 2 \sin ^{-1} x$.
इस प्रकार,$\frac{dg}{dx} = \frac{2}{\sqrt{1-x^{2}}}$.
अतः,$\frac{df}{dg} = \frac{df/dx}{dg/dx} = \frac{1}{2(1+x^{2})} \cdot \frac{\sqrt{1-x^{2}}}{2} = \frac{\sqrt{1-x^{2}}}{4(1+x^{2})}$.
$x = \frac{1}{2}$ पर,$\frac{df}{dg} = \frac{\sqrt{1-(1/2)^{2}}}{4(1+(1/2)^{2})} = \frac{\sqrt{3/4}}{4(5/4)} = \frac{\sqrt{3}/2}{5} = \frac{\sqrt{3}}{10}$.

(A) क्षेत्र $0 \leq x \leq 2$ के लिए $(x-1)[x] \leq y \leq 2\sqrt{x}$ द्वारा परिभाषित है।
सबसे पहले,हम फलन $f(x) = (x-1)[x]$ को परिभाषित करते हैं:
$0 \leq x < 1$ के लिए,$[x] = 0$,इसलिए $f(x) = (x-1)(0) = 0$ है।
$1 \leq x < 2$ के लिए,$[x] = 1$,इसलिए $f(x) = (x-1)(1) = x-1$ है।
$x = 2$ पर,$[x] = 2$,इसलिए $f(2) = (2-1)(2) = 2$ है।
ऊपरी सीमा $y = 2\sqrt{x}$ है।
क्षेत्रफल $A$ ऊपरी वक्र और निचले वक्र के बीच के समाकलन द्वारा प्राप्त होता है:
$A = \int_{0}^{2} 2\sqrt{x} \, dx - \int_{1}^{2} (x-1) \, dx$.
प्रथम समाकलन की गणना:
$\int_{0}^{2} 2\sqrt{x} \, dx = 2 \left[ \frac{x^{3/2}}{3/2} \right]_{0}^{2} = 2 \cdot \frac{2}{3} \cdot 2^{3/2} = \frac{4}{3} \cdot 2\sqrt{2} = \frac{8\sqrt{2}}{3}$.
द्वितीय समाकलन की गणना ($x=1$ से $x=2$ तक $y=x-1$ द्वारा निर्मित त्रिभुज का क्षेत्रफल):
$\int_{1}^{2} (x-1) \, dx = \left[ \frac{(x-1)^2}{2} \right]_{1}^{2} = \frac{1^2}{2} - 0 = \frac{1}{2}$.
अतः,कुल क्षेत्रफल $A = \frac{8\sqrt{2}}{3} - \frac{1}{2}$ है।

(A) दिया गया है $f(x) = (3x^{2} + ax - 2 - a)e^{x}$।
गुणन नियम का उपयोग करके $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$f'(x) = (6x + a)e^{x} + (3x^{2} + ax - 2 - a)e^{x}$
$f'(x) = e^{x}(3x^{2} + (6 + a)x - 2)$
चूँकि $x = 1$ एक क्रांतिक बिंदु है,$f'(1) = 0$:
$e^{1}(3(1)^{2} + (6 + a)(1) - 2) = 0$
$3 + 6 + a - 2 = 0$
$7 + a = 0 \implies a = -7$
$a = -7$ को $f'(x)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$f'(x) = e^{x}(3x^{2} + (6 - 7)x - 2)$
$f'(x) = e^{x}(3x^{2} - x - 2)$
$f'(x) = e^{x}(3x + 2)(x - 1)$
$f'(x) = 0$ रखने पर,हमें क्रांतिक बिंदु $x = 1$ और $x = -\frac{2}{3}$ प्राप्त होते हैं।
प्रथम अवकलज परीक्षण का उपयोग करने पर:
$x < -\frac{2}{3}$ के लिए,$f'(x) > 0$ है।
$-\frac{2}{3} < x < 1$ के लिए,$f'(x) < 0$ है।
$x > 1$ के लिए,$f'(x) > 0$ है।
चूँकि $x = -\frac{2}{3}$ पर $f'(x)$ धनात्मक से ऋणात्मक में बदलता है,यह स्थानीय उच्चतम का बिंदु है।
चूँकि $x = 1$ पर $f'(x)$ ऋणात्मक से धनात्मक में बदलता है,यह स्थानीय निम्नतम का बिंदु है।

(B) माना $a+x=b+y=c+z+1=k$.
माना $\Delta = \left|\begin{array}{lll}x & a+y & x+a \\ y & b+y & y+b \\ z & c+y & z+c\end{array}\right|$.
$C_3 \rightarrow C_3 - C_1$ लागू करने पर:
$\Delta = \left|\begin{array}{lll}x & a+y & a \\ y & b+y & b \\ z & c+y & c\end{array}\right|$.
$C_2 \rightarrow C_2 - C_3$ लागू करने पर:
$\Delta = \left|\begin{array}{lll}x & y & a \\ y & y & b \\ z & y & c\end{array}\right|$.
$C_2$ से $y$ उभयनिष्ठ लेने पर:
$\Delta = y \left|\begin{array}{lll}x & 1 & a \\ y & 1 & b \\ z & 1 & c\end{array}\right|$.
दिए गए समीकरणों से: $x = k-a, y = k-b, z = k-c-1$.
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$\Delta = y \left|\begin{array}{lll}k-a & 1 & a \\ k-b & 1 & b \\ k-c-1 & 1 & c\end{array}\right|$.
$R_2 \rightarrow R_2 - R_1$ और $R_3 \rightarrow R_3 - R_1$ लागू करने पर:
$\Delta = y \left|\begin{array}{lll}k-a & 1 & a \\ b-a & 0 & b-a \\ c-a-1 & 0 & c-a\end{array}\right|$.
$C_2$ के अनुदिश विस्तार करने पर:
$\Delta = y(-1) [(b-a)(c-a) - (c-a-1)(b-a)]$
$\Delta = -y(b-a) [c-a - (c-a-1)]$
$\Delta = -y(b-a) [1] = y(a-b)$.

(D) दिया गया समाकलन: $I = \int \frac{\cos \theta d \theta}{5+7 \sin \theta-2 \cos ^{2} \theta}$
$\cos^2 \theta = 1 - \sin^2 \theta$ रखने पर:
$I = \int \frac{\cos \theta d \theta}{5+7 \sin \theta-2(1-\sin^2 \theta)} = \int \frac{\cos \theta d \theta}{2 \sin^2 \theta+7 \sin \theta+3}$
माना $\sin \theta = t$,अतः $\cos \theta d \theta = dt$:
$I = \int \frac{dt}{2t^2+7t+3} = \int \frac{dt}{(2t+1)(t+3)}$
आंशिक भिन्न (partial fractions) का उपयोग करने पर:
$\frac{1}{(2t+1)(t+3)} = \frac{1}{5} \left( \frac{2}{2t+1} - \frac{1}{t+3} \right)$
समाकलन करने पर:
$I = \frac{1}{5} \int \left( \frac{2}{2t+1} - \frac{1}{t+3} \right) dt = \frac{1}{5} \ln \left| \frac{2t+1}{t+3} \right| + C$
$t = \sin \theta$ वापस रखने पर:
$I = \frac{1}{5} \ln \left| \frac{2 \sin \theta+1}{\sin \theta+3} \right| + C$
$A \log _{e}|B(\theta)|+C$ से तुलना करने पर,$A = \frac{1}{5}$ और $B(\theta) = \frac{2 \sin \theta+1}{\sin \theta+3}$ प्राप्त होता है।
अतः,$\frac{B(\theta)}{A} = \frac{\frac{2 \sin \theta+1}{\sin \theta+3}}{\frac{1}{5}} = \frac{5(2 \sin \theta+1)}{\sin \theta+3}$.

(A) दिया गया अवकल समीकरण: $\cos x \frac{dy}{dx} + 2y \sin x = \sin 2x$ है।
$\cos x$ से भाग देने पर,हमें प्राप्त होता है: $\frac{dy}{dx} + 2y \tan x = 2 \sin x$।
यह $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P = 2 \tan x$ और $Q = 2 \sin x$ है।
समाकलन गुणक ($I$.$F$.) = $e^{\int P dx} = e^{\int 2 \tan x dx} = e^{2 \ln |\sec x|} = \sec^2 x$ है।
सामान्य हल $y \cdot (I.F.) = \int Q \cdot (I.F.) dx + C$ है।
$y \sec^2 x = \int 2 \sin x \cdot \sec^2 x dx + C$।
$y \sec^2 x = 2 \int \tan x \sec x dx + C$।
$y \sec^2 x = 2 \sec x + C$।
दिया गया है कि $y(\frac{\pi}{3}) = 0$,इसलिए $x = \frac{\pi}{3}$ और $y = 0$ रखने पर:
$0 \cdot \sec^2(\frac{\pi}{3}) = 2 \sec(\frac{\pi}{3}) + C$।
$0 = 2(2) + C \implies C = -4$।
अतः,हल $y \sec^2 x = 2 \sec x - 4$ है।
$x = \frac{\pi}{4}$ के लिए,$y \sec^2(\frac{\pi}{4}) = 2 \sec(\frac{\pi}{4}) - 4$।
$y(2) = 2(\sqrt{2}) - 4$।
$2y = 2\sqrt{2} - 4$।
$y = \sqrt{2} - 2$।