यदि सदिश overrightarrow{p}=(a+1) hat{i}+a hat | vedclass

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Question

(B) दिए गए सदिश $\overrightarrow{p}=(a+1) \hat{i}+a \hat{j}+a \hat{k}$,$\overrightarrow{q}=a \hat{i}+(a+1) \hat{j}+a \hat{k}$,और $\overrightarrow{r}=a

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$1$

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(B) दिए गए सदिश $\overrightarrow{p}=(a+1) \hat{i}+a \hat{j}+a \hat{k}$,$\overrightarrow{q}=a \hat{i}+(a+1) \hat{j}+a \hat{k}$,और $\overrightarrow{r}=a \hat{i}+a \hat{j}+(a+1) \hat{k}$ हैं।चूंकि $\overrightarrow{p}, \overrightarrow{q}, \overrightarrow{r}$ समतलीय हैं,उनका अदिश त्रिक गुणनफल शून्य होगा:$\left|\begin{array}{ccc} a+1 & a & a \ a & a+1 & a \ a & a & a+1 \end{array}ight|=0$$R_1 	o R_1+R_2+R_3$ लागू करने पर,$(3a+1) \left|\begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 \ a & a+1 & a \ a & a & a+1 \end{array}ight|=0$,जो सरल होकर $(3a+1)=0$ देता है,इसलिए $a = -\frac{1}{3}$.अब,$\overrightarrow{p} \cdot \overrightarrow{q} = 3a^2+2a = 3(-\frac{1}{3})^2 + 2(-\frac{1}{3}) = \frac{1}{3} - \frac{2}{3} = -\frac{1}{3}$.साथ ही,$|\overrightarrow{r}|^2 = |\overrightarrow{q}|^2 = 3a^2+2a+1 = 3(1/9) - 2/3 + 1 = 2/3$.$\overrightarrow{r} \cdot \overrightarrow{q} = 3a^2+2a = -1/3$.लाग्रेंज की सर्वसमिका का उपयोग करते हुए,$|\overrightarrow{r} 	imes \overrightarrow{q}|^2 = |\overrightarrow{r}|^2 |\overrightarrow{q}|^2 - (\overrightarrow{r} \cdot \overrightarrow{q})^2 = (2/3)(2/3) - (-1/3)^2 = 4/9 - 1/9 = 3/9 = 1/3$.दिए गए समीकरण $3(\overrightarrow{p} \cdot \overrightarrow{q})^2 - \lambda |\overrightarrow{r} 	imes \overrightarrow{q}|^2 = 0$ में मान रखने पर,$3(-1/3)^2 - \lambda(1/3) = 0 \Rightarrow 3(1/9) - \lambda/3 = 0 \Rightarrow 1/3 = \lambda/3 \Rightarrow \lambda = 1$.

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