AP EAMCET 2024 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(B) રેખાઓ $3x + y - 4 = 0$ અને $3x + y + k = 0$ સમાંતર છે,જે ચોરસની સામસામેની બાજુઓ દર્શાવે છે. ઢાળ $m_1 = -3$ અને $m_2 = -3$ છે.
બાજુઓ લંબ હોવાથી,બીજી બાજુઓની જોડીનો ઢાળ $m_3 = \frac{1}{3}$ હોવો જોઈએ.
રેખા $x - \alpha y + 10 = 0$ માટે,ઢાળ $\frac{1}{\alpha}$ છે. તેથી,$\frac{1}{\alpha} = \frac{1}{3} \Rightarrow \alpha = 3$.
રેખા $\beta x + 2y + 4 = 0$ માટે,ઢાળ $-\frac{\beta}{2}$ છે. તેથી,$-\frac{\beta}{2} = \frac{1}{3} \Rightarrow \beta = -\frac{2}{3}$.
સમાંતર રેખાઓ વચ્ચેનું અંતર $d = \frac{|k + 4|}{\sqrt{10}}$ છે.
બીજી બાજુઓ વચ્ચેનું અંતર $d = \frac{16}{\sqrt{10}}$ છે.
ચોરસ હોવાથી,અંતર સમાન હોવું જોઈએ: $|k + 4| = 16$.
તેથી,$\alpha \beta (k + 4)^2 = (3) \left(-\frac{2}{3}\right) (16)^2 = -2 \times 256 = -512$.

(B) આપેલ રેખાનું સમીકરણ $(\alpha+1)x + \alpha y + \alpha - 1 = 0$ છે.
$\alpha$ ના સહગુણકોને જૂથબદ્ધ કરવા માટે પદોને ફરીથી ગોઠવતા:
$\alpha(x + y + 1) + (x - 1) = 0$.
આ રેખા તમામ $\alpha$ માટે નિશ્ચિત બિંદુ $(h, k)$ માંથી પસાર થાય તે માટે,$\alpha$ નો સહગુણક અને અચળ પદ સ્વતંત્ર રીતે શૂન્ય હોવા જોઈએ:
$x + y + 1 = 0$ અને $x - 1 = 0$.
$x - 1 = 0$ પરથી,આપણને $x = h = 1$ મળે છે.
$x = 1$ ને $x + y + 1 = 0$ માં મૂકતા,આપણને $1 + y + 1 = 0$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $y = k = -2$.
આમ,નિશ્ચિત બિંદુ $(1, -2)$ છે.
અંતે,$h^2 + k^2 = (1)^2 + (-2)^2 = 1 + 4 = 5$.

(C) ધારો કે રેખા $L$ એ $P(-5, -4)$ માંથી પસાર થાય છે અને તેનો ઢાળ $m = \tan \theta$ છે. રેખાનું પ્રચલિત સમીકરણ $\frac{x+5}{\cos \theta} = \frac{y+4}{\sin \theta} = r$ છે. તેથી,$x = -5 + r \cos \theta$ અને $y = -4 + r \sin \theta$.
રેખા $x-y-5=0$ પરના બિંદુ $Q$ માટે: $(-5 + PQ \cos \theta) - (-4 + PQ \sin \theta) - 5 = 0$ $\Rightarrow PQ(\cos \theta - \sin \theta) = 6$ $\Rightarrow \frac{6}{PQ} = \cos \theta - \sin \theta$.
$3$ વડે ગુણતા,$\frac{18}{PQ} = 3 \cos \theta - 3 \sin \theta$ ... $(i)$.
રેખા $x+3y+2=0$ પરના બિંદુ $R$ માટે: $(-5 + PR \cos \theta) + 3(-4 + PR \sin \theta) + 2 = 0$ $\Rightarrow PR(\cos \theta + 3 \sin \theta) = 15$ $\Rightarrow \frac{15}{PR} = \cos \theta + 3 \sin \theta$ ... $(ii)$.
આપેલ શરત $\frac{18}{PQ} + \frac{15}{PR} = 2$ માં $(i)$ અને $(ii)$ મૂકતા: $(3 \cos \theta - 3 \sin \theta) + (\cos \theta + 3 \sin \theta) = 2$ $\Rightarrow 4 \cos \theta = 2$ $\Rightarrow \cos \theta = \frac{1}{2}$.
તેથી,$\sin \theta = \pm \frac{\sqrt{3}}{2}$.
ઢાળ $m = \tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta} = \pm \sqrt{3}$.

(D) બિંદુ $(x, y)$ નું $X$-અક્ષમાં પ્રતિબિંબ $(x, -y)$ છે.
તેથી,$B$ ના યામ $(2, -3)$ છે.
બિંદુ $(x, y)$ નું રેખા $x+y=0$ માં પ્રતિબિંબ $(-y, -x)$ છે.
તેથી,$C$ ના યામ $(3, -2)$ છે.
બિંદુ $(x, y)$ નું રેખા $x-y=0$ માં પ્રતિબિંબ $(y, x)$ છે.
તેથી,$D$ ના યામ $(-2, 3)$ છે.
રેખા $AB$ એ $(2, 3)$ અને $(2, -3)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી તેનું સમીકરણ $x=2$ છે.
રેખા $CD$ એ $(3, -2)$ અને $(-2, 3)$ માંથી પસાર થાય છે. ઢાળ $m = \frac{3 - (-2)}{-2 - 3} = -1$ છે.
$CD$ નું સમીકરણ $y - 3 = -1(x + 2) \Rightarrow x + y = 1$ છે.
$x=2$ ને $x+y=1$ માં મૂકતા,$2+y=1 \Rightarrow y=-1$ મળે છે.
આમ,છેદબિંદુ $(2, -1)$ છે.

(B) પગલું $1$: રેખાઓ $3x + y - 4 = 0$ અને $x - y = 0$ નું છેદબિંદુ $A$ શોધો. સમીકરણોનો સરવાળો કરતા,$4x = 4 \Rightarrow x = 1$. $x = 1$ ને $x - y = 0$ માં મૂકતા,$y = 1$ મળે. આમ,$A = (1, 1)$.
પગલું $2$: ધારો કે જરૂરી રેખાનો ઢાળ $m$ છે. રેખા $x - 3y + 5 = 0$ નો ઢાળ $m_1 = 1/3$ છે.
પગલું $3$: રેખાઓ વચ્ચેનો ખૂણો $45^{\circ}$ છે. સૂત્ર $\tan \theta = |(m - m_1) / (1 + m \cdot m_1)|$ નો ઉપયોગ કરતા,$\tan 45^{\circ} = |(m - 1/3) / (1 + m/3)| = 1$.
પગલું $4$: આનાથી $(m - 1/3) / (1 + m/3) = 1$ અથવા $(m - 1/3) / (1 + m/3) = -1$ મળે.
કિસ્સો $1$: $m = 2$.
કિસ્સો $2$: $m = -1/2$.
ઢાળ ઋણ હોવાથી,આપણે $m = -1/2$ પસંદ કરીએ છીએ.
પગલું $5$: $(1, 1)$ માંથી પસાર થતી અને $m = -1/2$ ઢાળ ધરાવતી રેખાનું સમીકરણ $y - 1 = -1/2(x - 1) \Rightarrow x + 2y = 3$ છે.

(B) ધારો કે બિંદુઓ $A(1, -2)$ અને $B(\alpha, \beta)$ છે. $AB$ નું મધ્યબિંદુ $M$ એ $\left(\frac{\alpha + 1}{2}, \frac{\beta - 2}{2}\right)$ છે.
$M$ એ રેખા $2x - 3y + 5 = 0$ પર હોવાથી,$2\left(\frac{\alpha + 1}{2}\right) - 3\left(\frac{\beta - 2}{2}\right) + 5 = 0$,જેનું સાદુંરૂપ $2\alpha - 3\beta + 18 = 0$ $(i)$ થાય છે.
રેખા $AB$ નો ઢાળ $m_1 = \frac{\beta + 2}{\alpha - 1}$ છે. આપેલી રેખા $2x - 3y + 5 = 0$ નો ઢાળ $m_2 = \frac{2}{3}$ છે.
$AB$ એ આપેલી રેખાને લંબ હોવાથી,$m_1 \times m_2 = -1$,તેથી $\left(\frac{\beta + 2}{\alpha - 1}\right) \times \frac{2}{3} = -1$,જે $2\beta + 4 = -3\alpha + 3$ અથવા $3\alpha + 2\beta + 1 = 0$ $(ii)$ આપે છે.
સમીકરણો $(i)$ અને $(ii)$ ઉકેલતા: $\alpha = -3$ અને $\beta = 4$ મળે છે.
તેથી,$\alpha + \beta = -3 + 4 = 1$.

(A) આપેલ રેખાઓ:
$L_1: x+y+1=0$
$L_2: x-y-1=0$
$L_3: 3x+4y+5=0$
$L_1$ નો ઢાળ $(m_1)$ $-1$ છે.
$L_2$ નો ઢાળ $(m_2)$ $1$ છે.
અહીં $m_1 \times m_2 = (-1) \times (1) = -1$ હોવાથી,રેખાઓ $L_1$ અને $L_2$ પરસ્પર લંબ છે.
તેથી,આ ત્રિકોણ કાટકોણ ત્રિકોણ છે અને કાટકોણ ત્રિકોણનું લંબકેન્દ્ર તે શિરોબિંદુ હોય છે જ્યાં કાટખૂણો બને છે.
શિરોબિંદુ શોધવા માટે $L_1$ અને $L_2$ નો ઉકેલ મેળવો:
$x+y+1=0$
$x-y-1=0$
બંને સમીકરણોનો સરવાળો કરતા: $2x = 0 \Rightarrow x = 0$.
$x=0$ ને $x+y+1=0$ માં મૂકતા,$0+y+1=0 \Rightarrow y = -1$.
આમ,લંબકેન્દ્ર $(0, -1)$ છે.

(A) ધારો કે $A = (1, -2)$. $AB$ નો લંબદ્વિભાજક $L_1: x-y+5=0$ છે. $L_1$ નો ઢાળ $1$ છે,તેથી $AB$ નો ઢાળ $-1$ છે. $AB$ નું સમીકરણ $y - (-2) = -1(x - 1) \Rightarrow x+y+1=0$ છે.
$AB$ અને $L_1$ નું છેદબિંદુ: $x - (-x-1) + 5 = 0$ $\Rightarrow 2x = -6$ $\Rightarrow x = -3, y = 2$.
$E$ એ $AB$ નું મધ્યબિંદુ હોવાથી,$\frac{x_B+1}{2} = -3 \Rightarrow x_B = -7$ અને $\frac{y_B-2}{2} = 2 \Rightarrow y_B = 6$. તેથી $B = (-7, 6)$.
$AC$ નો લંબદ્વિભાજક $L_2: x+2y=0$ છે. $L_2$ નો ઢાળ $-1/2$ છે,તેથી $AC$ નો ઢાળ $2$ છે. $AC$ નું સમીકરણ $y - (-2) = 2(x - 1) \Rightarrow 2x-y-4=0$ છે.
$AC$ અને $L_2$ નું છેદબિંદુ: $x + 2(2x-4) = 0$ $\Rightarrow 5x = 8$ $\Rightarrow x = 8/5, y = -4/5$.
$F$ એ $AC$ નું મધ્યબિંદુ હોવાથી,$\frac{x_C+1}{2} = 8/5 \Rightarrow x_C = 11/5$ અને $\frac{y_C-2}{2} = -4/5 \Rightarrow y_C = 2/5$. તેથી $C = (11/5, 2/5)$.
$(-7, 6)$ અને $(11/5, 2/5)$ માંથી પસાર થતી રેખા $BC$ નું સમીકરણ:
$y - 6 = \frac{2/5 - 6}{11/5 - (-7)} (x - (-7))
$ $\Rightarrow y - 6 = -\frac{14}{23} (x + 7)
$ $\Rightarrow 14x + 23y - 40 = 0$.

(C) ધારો કે બિંદુ $P$ એ $(0, b)$ છે કારણ કે તે $Y$-અક્ષ પર છે. તેથી,$a = 0$.
પરાવર્તનના નિયમ મુજબ,આપાતકોણ અને પરાવર્તનકોણ સમાન હોય છે. આનો અર્થ એ છે કે $Y$-અક્ષની સાપેક્ષમાં $(2, 3)$ બિંદુનું પ્રતિબિંબ,જે $(-2, 3)$ છે,તે પરાવર્તિત કિરણની રેખા પર આવેલું છે.
પરાવર્તિત કિરણ $P(0, b)$ અને $(3, 2)$ માંથી પસાર થાય છે.
$(-2, 3)$ અને $(3, 2)$ માંથી પસાર થતી રેખાનું સમીકરણ:
$y - 3 = \frac{2 - 3}{3 - (-2)} (x - (-2))$
$y - 3 = \frac{-1}{5} (x + 2)$
$5y - 15 = -x - 2$
$x + 5y = 13$
બિંદુ $P(0, b)$ આ રેખા પર હોવાથી,$x = 0$ અને $y = b$ મૂકતા:
$0 + 5b = 13$
$5b = 13$
$a = 0$ હોવાથી,આપણે $13 = a + 13$ લખી શકીએ.
તેથી,$5b = a + 13$.

(B) બિંદુ $(a, b)$ એ $(3, 1)$ થી રેખા $x + 3y + 4 = 0$ પરનો લંબપાદ હોવાથી,$a + 3b + 4 = 0$ $(i)$.
$(3, 1)$ માંથી પસાર થતી અને $x + 3y + 4 = 0$ ને લંબ રેખાનું સમીકરણ $3x - y - 8 = 0$ છે,તેથી $3a - b - 8 = 0$ $(ii)$.
$(i)$ અને $(ii)$ ઉકેલતા,આપણને $(a, b) = (2, -2)$ મળે છે.
ધારો કે $(p, q)$ એ રેખા $3x - 4y + 11 = 0$ ની સાપેક્ષે $(2, -2)$ નું પ્રતિબિંબ છે. મધ્યબિંદુ $P = \left(\frac{2+p}{2}, \frac{-2+q}{2}\right)$ એ રેખા $3x - 4y + 11 = 0$ પર આવેલું છે,તેથી $3(\frac{2+p}{2}) - 4(\frac{-2+q}{2}) + 11 = 0$,જેનું સાદુંરૂપ $3p - 4q + 36 = 0$ $(iii)$ થાય છે.
$(2, -2)$ અને $(p, q)$ ને જોડતી રેખા $3x - 4y + 11 = 0$ ને લંબ છે. આપેલી રેખાનો ઢાળ $\frac{3}{4}$ છે,તેથી $(2, -2)$ અને $(p, q)$ ને જોડતી રેખાનો ઢાળ $-\frac{4}{3}$ થાય.
તેથી,$\frac{q - (-2)}{p - 2} = -\frac{4}{3}$ $\Rightarrow 3(q + 2) = -4(p - 2)$ $\Rightarrow 4p + 3q - 2 = 0$ $(iv)$.
$(iii)$ અને $(iv)$ ઉકેલતા,આપણને $p = -4$ અને $q = 6$ મળે છે.
અંતે,$\frac{p}{a} + \frac{q}{b} = \frac{-4}{2} + \frac{6}{-2} = -2 - 3 = -5$.

(C) ધારો કે $P = (x, y)$. આપેલ શરત $PA = 2PB$ છે.
$\sqrt{(x-4)^2 + y^2} = 2\sqrt{(x+4)^2 + y^2}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $(x-4)^2 + y^2 = 4((x+4)^2 + y^2)$.
$x^2 - 8x + 16 + y^2 = 4(x^2 + 8x + 16 + y^2)$.
$3x^2 + 3y^2 + 40x + 48 = 0$.
$3$ વડે ભાગતા: $x^2 + y^2 + \frac{40}{3}x + 16 = 0$.
આ એક વર્તુળ છે જેનું કેન્દ્ર $O' = (-\frac{20}{3}, 0)$ અને ત્રિજ્યા $r = \sqrt{(-\frac{20}{3})^2 - 16} = \frac{16}{3}$ છે.
આપેલ રેખા $3y - 3x - 20 = 0$ છે,જે $y - x - \frac{20}{3} = 0$ તરીકે લખી શકાય.
ચકાસો કે કેન્દ્ર $(-\frac{20}{3}, 0)$ રેખા પર છે કે નહીં: $0 - (-\frac{20}{3}) - \frac{20}{3} = 0$. હા,તે છે.
રેખા વર્તુળના કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી હોવાથી,જીવા $CD$ એ વ્યાસ છે.
અંતર $CD = 2r = 2 \times \frac{16}{3} = \frac{32}{3}$.

(B) ધારો કે બિંદુ $P$ ના યામ $(x, y)$ છે. $P$ એ $x+y+5=0$ પર હોવાથી,$y = -x-5$ મળે. તેથી,$P = (x, -x-5)$.
રેખા $Ax+By+C=0$ થી બિંદુ $(x_1, y_1)$ નું લંબ અંતર $d = \frac{|Ax_1+By_1+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
$2x+3y+3=0$ થી અંતર $\sqrt{13}$ આપેલ છે,તેથી:
$\frac{|2x+3(-x-5)+3|}{\sqrt{2^2+3^2}} = \sqrt{13}$
$\frac{|2x-3x-15+3|}{\sqrt{13}} = \sqrt{13}$
$|-x-12| = 13$
$|x+12| = 13$
આના બે કિસ્સા મળે:
$1) x+12 = 13 \Rightarrow x = 1$. તેથી $y = -1-5 = -6$. એટલે કે,$P = (1, -6)$.
$2) x+12 = -13 \Rightarrow x = -25$. તેથી $y = -(-25)-5 = 20$. એટલે કે,$P = (-25, 20)$.
આપેલા વિકલ્પો મુજબ,સાચો જવાબ $(1, -6)$ છે.

(A) બાજુનું સમીકરણ $x+y-2=0$ છે.
શિરોબિંદુ $V(2,-1)$ છે.
શિરોબિંદુ $(2,-1)$ થી રેખા $x+y-2=0$ પરના લંબ અંતર $h$ ને સમબાજુ ત્રિકોણની ઊંચાઈ કહેવાય છે.
$h = \frac{|2 + (-1) - 2|}{\sqrt{1^2 + 1^2}} = \frac{|-1|}{\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
સમબાજુ ત્રિકોણ માટે,ઊંચાઈ $h = \frac{\sqrt{3}}{2}a$ થાય,જ્યાં $a$ બાજુની લંબાઈ છે.
તેથી,$\frac{\sqrt{3}}{2}a = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
$a = \frac{2}{\sqrt{3} \times \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$.

(D) $P(3,4)$ માંથી પસાર થતી અને $30^{\circ}$ નો ખૂણો બનાવતી રેખાનું સમીકરણ $\frac{x-3}{\cos 30^{\circ}} = \frac{y-4}{\sin 30^{\circ}} = r$ છે.
આ રેખા પરનું કોઈપણ બિંદુ $Q = (3 + \frac{r\sqrt{3}}{2}, 4 + \frac{r}{2})$ છે.
$Q$ એ $12x + 5y + 10 = 0$ પર હોવાથી,$12(3 + \frac{r\sqrt{3}}{2}) + 5(4 + \frac{r}{2}) + 10 = 0$.
$36 + 6r\sqrt{3} + 20 + 2.5r + 10 = 0$.
$66 + r(6\sqrt{3} + 2.5) = 0$.
લંબાઈ $PQ = |r| = \frac{132}{12\sqrt{3} + 5}$.

(A) આપેલ સમીકરણ $2 x^2-3 x y-2 y^2=0$ ને $(2 x+y)(x-2 y)=0$ તરીકે અવયવ પાડી શકાય છે.
ધારો કે $L_1: 2 x+y=0$ અને $L_2: x-2 y=0$.
બીજું સમીકરણ $2 x^2-3 x y-2 y^2-x+7 y-3=0$ ને $(2 x+y-1)(x-2 y+3)=0$ તરીકે અવયવ પાડી શકાય છે.
ધારો કે $L_3: x-2 y+3=0$ અને $L_4: 2 x+y-1=0$.
$L_1$ અને $L_3$ ઉકેલતા,$A = \left(-\frac{3}{5}, \frac{6}{5}\right)$ મળે છે.
$L_2$ અને $L_4$ ઉકેલતા,$B = \left(\frac{2}{5}, \frac{1}{5}\right)$ મળે છે.
$L_3$ અને $L_4$ ઉકેલતા,$C = \left(-\frac{1}{5}, \frac{7}{5}\right)$ મળે છે.
ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $\frac{1}{2} |x_A(y_B-y_C) + x_B(y_C-y_A) + x_C(y_A-y_B)|$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,ક્ષેત્રફળ $\frac{3}{10}$ મળે છે.

(B) આપેલ સમીકરણ $x^2+4xy+3y^2-4x-10y+3=0$ છે.
$ax^2+2hxy+by^2+2gx+2fy+c=0$ સાથે સરખાવતા,$a=1, h=2, b=3, g=-2, f=-5, c=3$ મળે છે.
છેદબિંદુ $(x_1, y_1) = \left(\frac{bg-fh}{h^2-ab}, \frac{af-gh}{h^2-ab}\right)$ દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા: $x_1 = \frac{3(-2)-(-5)(2)}{4-3} = 4$ અને $y_1 = \frac{1(-5)-(-2)(2)}{4-3} = -1$.
તેથી,છેદબિંદુ $(4, -1)$ છે.
$(4, -1)$ અને $(2, 2)$ માંથી પસાર થતી રેખાનું સમીકરણ $y - y_1 = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}(x - x_1)$ છે.
$y + 1 = \frac{2 + 1}{2 - 4}(x - 4) \Rightarrow y + 1 = -\frac{3}{2}(x - 4)$.
$2y + 2 = -3x + 12 \Rightarrow 3x + 2y - 10 = 0$.

(C) રેખાઓના પ્રથમ સમૂહ $(x-2y-1)+\lambda(3x+2y-11)=0$ નું છેદબિંદુ $x-2y-1=0$ અને $3x+2y-11=0$ નો ઉકેલ મેળવતા $(3,1)$ મળે છે.
રેખાઓના બીજા સમૂહ $(3x+4y-11)+\mu(-x+2y-3)=0$ નું છેદબિંદુ $3x+4y-11=0$ અને $-x+2y-3=0$ નો ઉકેલ મેળવતા $(1,2)$ મળે છે.
બંને સમૂહો માટે સામાન્ય રેખા $(3,1)$ અને $(1,2)$ માંથી પસાર થાય છે.
$(3,1)$ અને $(1,2)$ માંથી પસાર થતી રેખાનું સમીકરણ $\frac{y-1}{x-3} = \frac{2-1}{1-3} = \frac{1}{-2}$ છે.
$-2(y-1) = x-3$ $\Rightarrow -2y+2 = x-3$ $\Rightarrow x+2y-5=0$.
$x+2y-5=0$ ને $ax+by-5=0$ સાથે સરખાવતા,$a=1$ અને $b=2$ મળે છે.
તેથી,$2a+b = 2(1)+2 = 4$.

(B) પ્રથમ,$\triangle ABC$ ની બાજુઓની લંબાઈ શોધો:
$AB = \sqrt{6}$,$AC = 2\sqrt{6}$,$BC = \sqrt{26}$
$AD$ એ $\angle BAC$ નો દ્વિભાજક હોવાથી,તે $BC$ ને $AB:AC = 1:2$ ના ગુણોત્તરમાં વિભાજિત કરે છે.
વિભાજન સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને,$D$ ના યામ $\left( \frac{1}{3}, 0, \frac{4}{3} \right)$ મળે છે.
$AD$ ની લંબાઈ $\sqrt{(1 - 1/3)^2 + (2 - 0)^2 + (0 - 4/3)^2} = \frac{2\sqrt{14}}{3}$ થાય છે.

(A) ધારો કે $P = (h, k)$,$A = (1, 0)$,અને $B = (0, 1)$.
$AP$ નો ઢાળ $m_1 = \frac{k}{h-1}$ છે.
$BP$ નો ઢાળ $m_2 = \frac{k-1}{h}$ છે.
$AP$ અને $BP$ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta = 45^{\circ}$ છે.
સૂત્ર $\tan \theta = \left| \frac{m_1 - m_2}{1 + m_1 m_2} \right|$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\tan 45^{\circ} = \left| \frac{\frac{k}{h-1} - \frac{k-1}{h}}{1 + \left(\frac{k}{h-1}\right)\left(\frac{k-1}{h}\right)} \right|$
$1 = \left| \frac{h + k - 1}{h^2 + k^2 - h - k} \right|$
આના પરથી બે કિસ્સા મળે: $h^2 + k^2 - 2h - 2k + 1 = 0$ અથવા $h^2 + k^2 - 1 = 0$.
તેથી,બિંદુપથ $(x^2 + y^2 - 1)(x^2 + y^2 - 2x - 2y + 1) = 0$ છે.

(A) અહીં $\angle APB = 90^{\circ}$ હોવાથી,બિંદુ $P$ એ $AB$ વ્યાસવાળા વર્તુળ પર આવેલું છે.
વ્યાસના અંત્યબિંદુઓ $(x_1, y_1)$ અને $(x_2, y_2)$ હોય તેવા વર્તુળનું સમીકરણ $(x-x_1)(x-x_2) + (y-y_1)(y-y_2) = 0$ છે.
અહીં,$(x_1, y_1) = (2, 3)$ અને $(x_2, y_2) = (-1, 1)$ છે.
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
$(x-2)(x+1) + (y-3)(y-1) = 0$
$x^2 + x - 2x - 2 + y^2 - y - 3y + 3 = 0$
$x^2 + y^2 - x - 4y + 1 = 0$

(B) ધારો કે $Q = (3 \cos \theta, 3 \sin \theta)$ એ વર્તુળ $x^2+y^2=9$ પરનું બિંદુ છે.
ધારો કે $P = (h, k)$ એ બિંદુ છે જે રેખાખંડ $QA$ ને $1:2$ ના ગુણોત્તરમાં વિભાજિત કરે છે.
વિભાજન સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$P$ ના યામ નીચે મુજબ છે:
$h = \frac{1(4) + 2(3 \cos \theta)}{1+2} = \frac{4 + 6 \cos \theta}{3}$
$k = \frac{1(4) + 2(3 \sin \theta)}{1+2} = \frac{4 + 6 \sin \theta}{3}$
આ સમીકરણોને ફરીથી ગોઠવતા:
$3h - 4 = 6 \cos \theta$
$3k - 4 = 6 \sin \theta$
બંને સમીકરણોનો વર્ગ કરીને સરવાળો કરતા:
$(3h - 4)^2 + (3k - 4)^2 = (6 \cos \theta)^2 + (6 \sin \theta)^2$
$9(h - \frac{4}{3})^2 + 9(k - \frac{4}{3})^2 = 36$
$(h - \frac{4}{3})^2 + (k - \frac{4}{3})^2 = 4$
આ $r = \sqrt{4} = 2$ ત્રિજ્યા ધરાવતું વર્તુળ દર્શાવે છે.
બિંદુપથની પરિમિતિ $2 \pi r = 2 \pi (2) = 4 \pi$ થાય.

(B) ધારો કે $P(x, y)$ એ $A(2, 3)$ અને $B(4, 5)$ થી સમાન અંતરે આવેલું બિંદુ છે.
સમાન અંતરની વ્યાખ્યા મુજબ,$PA = PB$,જેનો અર્થ છે કે $PA^2 = PB^2$.
$(x-2)^2 + (y-3)^2 = (x-4)^2 + (y-5)^2$
બંને બાજુ વિસ્તરણ કરતા:
$(x^2 - 4x + 4) + (y^2 - 6y + 9) = (x^2 - 8x + 16) + (y^2 - 10y + 25)$
બંને બાજુથી $x^2$ અને $y^2$ દૂર કરતા:
$-4x - 6y + 13 = -8x - 10y + 41$
પદોને એક બાજુ ગોઠવતા:
$4x + 4y = 28$
$4$ વડે ભાગતા,આપણને મળે છે:
$x + y = 7$

(D) ધારો કે $C$ એ ચલ બિંદુ છે અને $A, B$ એ બે નિશ્ચિત બિંદુઓ છે.
$\triangle ABC$ નું ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times AB \times \text{વેધ}$.
$AB$ નિશ્ચિત હોવાથી,નિશ્ચિત ક્ષેત્રફળ માટે વેધ સમાન રહેવો જોઈએ.
આ ત્યારે જ શક્ય છે જો બિંદુ $C$ એ રેખાખંડ $AB$ ને સમાંતર રેખા પર ગતિ કરે.
બિંદુ $C$ એ રેખા $AB$ ની બંને બાજુએ સમાન અંતરે હોઈ શકે છે,તેથી $C$ નો બિંદુપથ એ બે સમાંતર રેખાઓની જોડી છે,જે $AB$ ની બંને બાજુએ એક-એક આવેલી છે.

(B) આપેલ રેખાનું સમીકરણ: $x \cos \alpha + y \sin \alpha = p$ ...$(i)$
ધારો કે $P(h, k)$ એ યામ અક્ષો દ્વારા કપાયેલા રેખાખંડનું મધ્યબિંદુ છે.
જ્યારે $x = 0$,ત્યારે રેખા $y$-અક્ષને $y = \frac{p}{\sin \alpha}$ પર મળે છે. તેથી,બિંદુ $B$ એ $(0, \frac{p}{\sin \alpha})$ છે.
જ્યારે $y = 0$,ત્યારે રેખા $x$-અક્ષને $x = \frac{p}{\cos \alpha}$ પર મળે છે. તેથી,બિંદુ $A$ એ $(\frac{p}{\cos \alpha}, 0)$ છે.
મધ્યબિંદુ $P(h, k) = (\frac{p}{2 \cos \alpha}, \frac{p}{2 \sin \alpha})$ છે.
તેથી,$h = \frac{p}{2 \cos \alpha} \Rightarrow \cos \alpha = \frac{p}{2h}$ અને $k = \frac{p}{2 \sin \alpha} \Rightarrow \sin \alpha = \frac{p}{2k}$.
નિત્યસમ $\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha = 1$ નો ઉપયોગ કરતા:
$(\frac{p}{2h})^2 + (\frac{p}{2k})^2 = 1$
$\frac{p^2}{4h^2} + \frac{p^2}{4k^2} = 1$
$\frac{1}{h^2} + \frac{1}{k^2} = \frac{4}{p^2}$.
$(h, k)$ ને $(x, y)$ વડે બદલતા,બિંદુપથ $\frac{1}{x^2} + \frac{1}{y^2} = \frac{4}{p^2}$ મળે છે.

(D) આપેલ સમીકરણ $2x^2 + hxy + 6y^2 = 0$ છે.
તેને વ્યાપક સ્વરૂપ $ax^2 + 2h'xy + by^2 = 0$ સાથે સરખાવતા,$a = 2$,$2h' = h$,અને $b = 6$ મળે છે.
ધારો કે બે રેખાઓના ઢાળ $m_1$ અને $m_2$ છે.
આપેલ છે કે $m_1 = 3m_2$.
આપણે જાણીએ છીએ કે ઢાળનો ગુણાકાર $m_1 m_2 = \frac{a}{b} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$ થાય.
$m_1 = 3m_2$ ને ગુણાકારમાં મૂકતા,$(3m_2)m_2 = \frac{1}{3}$ $\Rightarrow 3m_2^2 = \frac{1}{3}$ $\Rightarrow m_2^2 = \frac{1}{9}$ $\Rightarrow m_2 = \pm \frac{1}{3}$.
તેથી,$m_1 = 3(\pm \frac{1}{3}) = \pm 1$.
ઢાળનો સરવાળો $m_1 + m_2 = -\frac{2h'}{b} = -\frac{h}{6}$ છે.
$m_1$ અને $m_2$ ની કિંમતો મૂકતા: $\pm 1 \pm \frac{1}{3} = -\frac{h}{6}$.
ધન કિસ્સા માટે: $1 + \frac{1}{3} = \frac{4}{3} = -\frac{h}{6} \Rightarrow h = -8$.
ઋણ કિસ્સા માટે: $-1 - \frac{1}{3} = -\frac{4}{3} = -\frac{h}{6} \Rightarrow h = 8$.
તેથી,$h = \pm 8$.

(A) આપેલ રેખાઓની જોડી: $xy-x-y+1=0$
$\Rightarrow x(y-1)-1(y-1)=0$
$\Rightarrow (x-1)(y-1)=0$
રેખાઓ $x=1$ અને $y=1$ છે.
ધારો કે જરૂરી રેખા $y=mx+c$ છે.
રેખા $y=mx+c$ અને $x=1$ વચ્ચેનો ખૂણો $45^{\circ}$ છે.
$\tan 45^{\circ} = |\frac{1}{m}| = 1 \Rightarrow m = \pm 1$.
રેખા $y=mx+c$ અને $y=1$ વચ્ચેનો ખૂણો $45^{\circ}$ છે.
$\tan 45^{\circ} = |m| = 1 \Rightarrow m = \pm 1$.
વિકલ્પો તપાસતા,$x-y=5$ નો ઢાળ $1$ છે,જે શરતનું પાલન કરે છે.

(A) આપેલ સમીકરણ $8x^2 + axy + y^2 = 0$ છે.
ધારો કે બે રેખાઓના ઢાળ $m_1$ અને $m_2$ છે.
સમપરિમાણીય સમીકરણ $Ax^2 + Bxy + Cy^2 = 0$ માટે,ઢાળનો સરવાળો $m_1 + m_2 = -B/C$ અને ઢાળનો ગુણાકાર $m_1 m_2 = A/C$ થાય.
અહીં,$A = 8$,$B = a$,અને $C = 1$.
તેથી,$m_1 + m_2 = -a$ અને $m_1 m_2 = 8$.
આપેલ છે કે એક ઢાળ બીજા કરતા ત્રણ ગણો છે,તેથી $m_1 = 3m_2$ લો.
ગુણાકારના સમીકરણમાં કિંમત મૂકતા: $(3m_2) \times m_2 = 8$ $\Rightarrow 3m_2^2 = 8$ $\Rightarrow m_2^2 = 8/3$.
સરવાળાના સમીકરણમાં કિંમત મૂકતા: $3m_2 + m_2 = -a$ $\Rightarrow 4m_2 = -a$ $\Rightarrow m_2 = -a/4$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $m_2^2 = a^2/16$.
$m_2^2$ ની બંને કિંમતોને સરખાવતા: $a^2/16 = 8/3$ $\Rightarrow a^2 = 128/3$ $\Rightarrow a = \pm 8 \sqrt{2/3}$.
વિકલ્પોમાં ધન કિંમત આપેલી હોવાથી,$a = 8 \sqrt{\frac{2}{3}}$.

(A) આપેલ સમીકરણ $2x^2 + 3xy + Ky^2 = 0$ છે.
$Ky^2$ વડે ભાગતા,આપણને ઢાળ $m = \frac{y}{x}$ ના સ્વરૂપમાં દ્વિઘાત સમીકરણ મળે છે:
$Km^2 + 3m + 2 = 0$.
એક ઢાળ $m_1 = 2$ હોવાથી,તે સમીકરણનું સમાધાન કરશે:
$K(2)^2 + 3(2) + 2 = 0$ $\Rightarrow 4K + 8 = 0$ $\Rightarrow K = -2$.
$K = -2$ ને $Km^2 + 3m + 2 = 0$ માં મૂકતા:
$-2m^2 + 3m + 2 = 0 \Rightarrow 2m^2 - 3m - 2 = 0$.
અવયવ પાડતા: $(2m + 1)(m - 2) = 0$.
આમ,ઢાળ $m_1 = 2$ અને $m_2 = -\frac{1}{2}$ છે.
$m_1 \times m_2 = 2 \times (-\frac{1}{2}) = -1$ હોવાથી,રેખાઓ પરસ્પર લંબ છે અને તેમની વચ્ચેનો ખૂણો $\theta = \frac{\pi}{2}$ છે.

(C) આપેલ સમીકરણ $2x^2 + xy - 6y^2 - 2x + 17y - 12 = 0$ છે.
તેને રેખાઓની જોડીના વ્યાપક સમીકરણ $ax^2 + 2hxy + by^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ સાથે સરખાવતા,આપણને $a = 2$,$g = -1$,અને $c = -12$ મળે છે.
રેખાઓની જોડી દ્વારા બનતા $x$-અંતઃખંડની લંબાઈનું સૂત્ર $\frac{2\sqrt{g^2 - ac}}{a}$ છે.
કિંમતો મૂકતા,આપણને મળે છે:
$\text{લંબાઈ} = \frac{2\sqrt{(-1)^2 - 2(-12)}}{2} = \frac{2\sqrt{1 + 24}}{2} = \sqrt{25} = 5$.
આમ,$x$-અંતઃખંડની લંબાઈ $5$ છે.

(A) આપેલ વક્રનું સમીકરણ: $x^2+xy+y^2+x+3y+1=0$ ...$(i)$
આપેલ રેખાનું સમીકરણ: $x+y+2=0 \Rightarrow \frac{x+y}{-2}=1$ ...(ii)
સમીકરણ (ii) નો ઉપયોગ કરીને સમીકરણ $(i)$ ને સમઘાત બનાવતા:
$x^2+xy+y^2+x(1)+3y(1)+1(1)^2=0$
$1 = \frac{x+y}{-2}$ મૂકતા:
$x^2+xy+y^2+x(\frac{x+y}{-2})+3y(\frac{x+y}{-2})+(\frac{x+y}{-2})^2=0$
છેદ દૂર કરવા માટે $4$ વડે ગુણતા:
$4x^2+4xy+4y^2-2x(x+y)-6y(x+y)+(x+y)^2=0$
$3x^2-2xy-y^2=0$
$ax^2+2hxy+by^2=0$ સાથે સરખાવતા,$a=3, 2h=-2, b=-1$ મળે.
ખૂણાના દ્વિભાજકોનું સમીકરણ $\frac{x^2-y^2}{a-b} = \frac{xy}{h}$ છે.
$\frac{x^2-y^2}{3-(-1)} = \frac{xy}{-1}$
$\frac{x^2-y^2}{4} = -xy$
$x^2+4xy-y^2=0$.

(C) આપેલ સમીકરણ: $x^2-y^2+2x+4y=0$
ધારો કે નવા યામ $(X, Y)$ છે અને ઉગમબિંદુ $(-1, 2)$ પર ખસેડવામાં આવ્યું છે.
રૂપાંતરના સમીકરણો $x = X - 1$ અને $y = Y + 2$ છે.
આ કિંમતો મૂળ સમીકરણમાં મૂકતા:
$(X-1)^2 - (Y+2)^2 + 2(X-1) + 4(Y+2) = 0$
$(X^2 - 2X + 1) - (Y^2 + 4Y + 4) + 2X - 2 + 4Y + 8 = 0$
$X^2 - Y^2 + 3 = 0$

(C) આપેલ સમીકરણ: $x^2-y^2+2x+4y=0$.
જ્યારે ઉગમબિંદુને $(h, k) = (-1, 2)$ પર ખસેડવામાં આવે,ત્યારે રૂપાંતરણ સમીકરણો $x = X - 1$ અને $y = Y + 2$ થાય છે.
આ કિંમતો મૂળ સમીકરણમાં મૂકતા:
$(X-1)^2 - (Y+2)^2 + 2(X-1) + 4(Y+2) = 0$.
પદોનું વિસ્તરણ કરતા:
$(X^2 - 2X + 1) - (Y^2 + 4Y + 4) + 2X - 2 + 4Y + 8 = 0$.
સાદુરૂપ આપતા:
$X^2 - Y^2 + 3 = 0$.

(A) આપેલ સમીકરણ $x^2+y^2+2x+2y-5=0$ છે.
ધારો કે અક્ષોને $\alpha$ ખૂણે ફેરવવામાં આવે છે. રૂપાંતરણ સમીકરણો $x = X \cos \alpha - Y \sin \alpha$ અને $y = X \sin \alpha + Y \cos \alpha$ છે.
આ કિંમતો સમીકરણમાં મૂકતા:
$(X \cos \alpha - Y \sin \alpha)^2 + (X \sin \alpha + Y \cos \alpha)^2 + 2(X \cos \alpha - Y \sin \alpha) + 2(X \sin \alpha + Y \cos \alpha) - 5 = 0$.
દ્વિઘાત પદોનું સાદુંરૂપ આપતા:
$X^2(\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha) + Y^2(\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha) = X^2 + Y^2$.
રેખીય પદોનું સાદુંરૂપ આપતા:
$2X(\cos \alpha + \sin \alpha) + 2Y(\cos \alpha - \sin \alpha)$.
આમ,રૂપાંતરિત સમીકરણ $X^2 + Y^2 + 2X(\cos \alpha + \sin \alpha) + 2Y(\cos \alpha - \sin \alpha) - 5 = 0$ મળે છે.
સમીકરણમાં કોઈ રેખીય પદો ન હોય તે માટે,$X$ અને $Y$ ના સહગુણકો શૂન્ય હોવા જોઈએ:
$\cos \alpha + \sin \alpha = 0 \implies \tan \alpha = -1$
$\cos \alpha - \sin \alpha = 0 \implies \tan \alpha = 1$
કારણ કે $\tan \alpha$ એકસાથે $1$ અને $-1$ ન હોઈ શકે,તેથી $\alpha$ નું એવું કોઈ મૂલ્ય નથી જે બંને શરતોને સંતોષે.
તેથી,$\alpha$ ના મૂલ્યોની સંખ્યા $0$ છે.

(C) આપેલ રેખાઓની જોડી $3x^2 + 11xy - 4y^2 = 0$ છે.
અવયવ પાડતા,$(3x - y)(x + 4y) = 0$ મળે.
આ રેખાઓના ઢાળ $m_1 = 3$ અને $m_2 = -\frac{1}{4}$ છે.
તેમને લંબ રેખાઓના ઢાળ $m_1' = -\frac{1}{3}$ અને $m_2' = 4$ થશે.
આ રેખાઓ $(1, 1)$ માંથી પસાર થતી હોવાથી,તેમના સમીકરણો:
$y - 1 = -\frac{1}{3}(x - 1) \Rightarrow x + 3y - 4 = 0$
$y - 1 = 4(x - 1) \Rightarrow 4x - y - 3 = 0$
સંયુક્ત સમીકરણ $(x + 3y - 4)(4x - y - 3) = 0$ છે.
વિસ્તરણ કરતા: $4x^2 + 11xy - 3y^2 - 19x - 5y + 12 = 0$.
સરખામણી કરતા $a = 4, h = \frac{11}{2}, b = -3, g = -\frac{19}{2}, f = -\frac{5}{2}$ મળે.
$2(a - h + b - g + f - 12) = 2(4 - \frac{11}{2} - 3 + \frac{19}{2} - \frac{5}{2} - 12) = -19$.

(C) આપેલ રેખાઓની જોડ $3x^2+11xy-4y^2=0$ છે.
અવયવ પાડતા,$(3x-y)(x+4y)=0$ મળે.
આ રેખાઓના ઢાળ $m_1=3$ અને $m_2=-\frac{1}{4}$ છે.
તેમને લંબ રેખાઓના ઢાળ $m_1'=-\frac{1}{3}$ અને $m_2'=-4$ થશે.
આ રેખાઓ $(1,1)$ માંથી પસાર થતી હોવાથી,તેમના સમીકરણો:
$y-1=-\frac{1}{3}(x-1) \Rightarrow x+3y-4=0$
$y-1=-4(x-1) \Rightarrow 4x-y-3=0$
સંયુક્ત સમીકરણ $(x+3y-4)(4x-y-3)=0$ છે.
વિસ્તરણ કરતા: $4x^2+11xy-3y^2-19x-5y+12=0$.
સરખામણી કરતા $a=4, h=\frac{11}{2}, b=-3, g=-\frac{19}{2}, f=-\frac{5}{2}$ મળે.
$2(a-h+b-g+f-12) = -19$.

(D) સમીકરણ $6x^2 - xy - 5y^2 = 0$ ના અવયવો $(6x + 5y)(x - y) = 0$ થાય છે.
આથી બે રેખાઓ મળે છે: $y = x$ અને $y = -\frac{6x}{5}$.
કિસ્સો $1$: જો $y = x$ સામાન્ય રેખા હોય,તો $3x^2 - 5xy + Py^2 = 0$ માં $y = x$ મૂકતા $3x^2 - 5x^2 + Px^2 = 0$ મળે,જેનો અર્થ છે કે $x^2(P - 2) = 0$,તેથી $P = 2$.
કિસ્સો $2$: જો $y = -\frac{6x}{5}$ સામાન્ય રેખા હોય,તો $3x^2 - 5xy + Py^2 = 0$ માં $y = -\frac{6x}{5}$ મૂકતા $3x^2 - 5x(-\frac{6x}{5}) + P(-\frac{6x}{5})^2 = 0$ મળે.
આનું સાદું રૂપ $3x^2 + 6x^2 + P(\frac{36x^2}{25}) = 0$ એટલે કે $9x^2 + \frac{36Px^2}{25} = 0$ થાય છે.
$9x^2$ વડે ભાગતા,$1 + \frac{4P}{25} = 0$ મળે,તેથી $P = -\frac{25}{4}$.
$P$ ના તમામ શક્ય મૂલ્યોનો સરવાળો $2 + (-\frac{25}{4}) = \frac{8 - 25}{4} = -\frac{17}{4}$ થાય છે.

(A) ધારો કે અક્ષોને $\theta$ ખૂણે ફેરવવામાં આવે છે. રૂપાંતરણ સમીકરણો $x = X \cos \theta - Y \sin \theta$ અને $y = X \sin \theta + Y \cos \theta$ છે.
$3x^2 + 2\sqrt{3}xy + y^2 = 0$ સમીકરણ માટે,$XY$ નો સહગુણક $2(A-B)\sin \theta \cos \theta + 2H(\cos^2 \theta - \sin^2 \theta)$ છે.
અહીં $A=3, H=\sqrt{3}, B=1$. નવા $XY$ સહગુણકને $0$ લેતા,આપણને $2\sin 2\theta + 2\sqrt{3}\cos 2\theta = 0$ મળે છે.
આનો અર્થ એ છે કે $\tan 2\theta = -\sqrt{3}$,તેથી $2\theta = 120^{\circ}$ અથવા $\theta = 60^{\circ}$.
$x^2 + y^2 + 2xy = 2$ માં $\theta = 60^{\circ}$ મૂકતા,આપણને રૂપાંતરિત સમીકરણ $(2+\sqrt{3})X^2 + (2-\sqrt{3})Y^2 + 2XY = 4$ મળે છે.

(A) રેખાઓની જોડનું સમીકરણ $2x^2 + 3xy + ky^2 = 0$ છે.
$x^2$ વડે ભાગતા,$k(\frac{y}{x})^2 + 3(\frac{y}{x}) + 2 = 0$ મળે.
ધારો કે $m = \frac{y}{x}$ એ રેખાઓનો ઢાળ છે. તેથી $km^2 + 3m + 2 = 0$.
આપેલ છે કે એક ઢાળ $m_1 = 2$ છે,તેથી $k(2)^2 + 3(2) + 2 = 0 \implies 4k + 8 = 0 \implies k = -2$.
સમીકરણ $2x^2 + 3xy - 2y^2 = 0$ બને છે.
$ax^2 + 2hxy + by^2 = 0$ સાથે સરખાવતા,$a = 2, b = -2$ મળે.
અહીં $a + b = 2 - 2 = 0$ હોવાથી,રેખાઓ પરસ્પર લંબ છે.
તેથી,$\theta = \frac{\pi}{2}$.

(C) ધારો કે નવા યામ $(X, Y)$ છે જેથી $x = X+h$ અને $y = Y+k$.
સમીકરણ $x^2+2x+2y-7=0$ માં આ કિંમતો મૂકતા:
$(X+h)^2 + 2(X+h) + 2(Y+k) - 7 = 0$
$X^2 + 2hX + h^2 + 2X + 2h + 2Y + 2k - 7 = 0$
$X^2 + (2h+2)X + 2Y + (h^2+2h+2k-7) = 0$
$x$ પદ દૂર કરવા માટે,$X$ નો સહગુણક શૂન્ય હોવો જોઈએ:
$2h+2 = 0 \Rightarrow h = -1$
અચળ પદ દૂર કરવા માટે,અચળ ભાગ શૂન્ય હોવો જોઈએ:
$h^2+2h+2k-7 = 0$
$h = -1$ મૂકતા:
$(-1)^2 + 2(-1) + 2k - 7 = 0$
$1 - 2 + 2k - 7 = 0$
$2k - 8 = 0 \Rightarrow k = 4$
તેથી,$2h+k = 2(-1) + 4 = -2 + 4 = 2$.

(B) વર્તુળના બે અભિલંબનું છેદબિંદુ એ વર્તુળનું કેન્દ્ર છે.
આપેલ અભિલંબના સમીકરણો:
$2x - 3y + 4 = 0$ ... $(i)$
$x + y - 3 = 0$ ... $(ii)$
સમીકરણ $(ii)$ ને $2$ વડે ગુણતા,$2x + 2y - 6 = 0$ ... $(iii)$
$(iii)$ માંથી $(i)$ બાદ કરતા:
$(2x + 2y - 6) - (2x - 3y + 4) = 0$
$5y - 10 = 0 \implies y = 2$
$y = 2$ ને $(ii)$ માં મૂકતા:
$x + 2 - 3 = 0 \implies x = 1$
તેથી,વર્તુળનું કેન્દ્ર $(1, 2)$ છે.
વર્તુળ $(4, 6)$ બિંદુમાંથી પસાર થાય છે.
ત્રિજ્યા $r$ એ $(1, 2)$ અને $(4, 6)$ વચ્ચેનું અંતર છે:
$r = \sqrt{(4 - 1)^2 + (6 - 2)^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$.
વર્તુળનો પરિઘ $2 \pi r = 2 \pi (5) = 10 \pi$ થાય.

(B) આપેલ વર્તુળનું સમીકરણ $x^2+y^2-4x+1=0$ છે.
તેને $(x-2)^2+y^2=3$ તરીકે લખી શકાય.
તેથી,કેન્દ્ર $C = (2, 0)$ અને ત્રિજ્યાનો વર્ગ $r^2 = 3$ છે.
વર્તુળના સંદર્ભમાં બિંદુ $P(x_1, y_1)$ નું વ્યસ્ત બિંદુ $Q(h, k)$ શોધવાનું સૂત્ર:
$h = x_0 + \frac{r^2(x_1-x_0)}{(x_1-x_0)^2+(y_1-y_0)^2}$ અને $k = y_0 + \frac{r^2(y_1-y_0)}{(x_1-x_0)^2+(y_1-y_0)^2}$.
અહીં,$(x_0, y_0) = (2, 0)$,$(x_1, y_1) = (1, 2)$,અને $r^2 = 3$.
છેદ $(1-2)^2+(2-0)^2 = 1+4 = 5$ થાય.
તેથી,$h = 2 + \frac{3(-1)}{5} = 2 - \frac{3}{5} = \frac{7}{5}$.
અને $k = 0 + \frac{3(2)}{5} = \frac{6}{5}$.
આમ,$2h+k = 2(\frac{7}{5}) + \frac{6}{5} = \frac{14}{5} + \frac{6}{5} = \frac{20}{5} = 4$.

(D) આપેલ રેખાઓ $3x + 4y - 18 = 0$ અને $3x + 4y + 2 = 0$ વર્તુળના સમાંતર સ્પર્શકો છે.
આ સમાંતર રેખાઓ વચ્ચેનું અંતર $d = \frac{|c_2 - c_1|}{\sqrt{a^2 + b^2}} = \frac{|2 - (-18)|}{\sqrt{3^2 + 4^2}} = \frac{20}{5} = 4$ છે.
વર્તુળનો વ્યાસ $4$ છે,તેથી ત્રિજ્યા $r = \frac{4}{2} = 2$ થાય.
ધારો કે વર્તુળનું કેન્દ્ર $(h, k)$ છે. કેન્દ્ર $2x + y + 3 = 0$ પર હોવાથી,$2h + k + 3 = 0 \Rightarrow k = -2h - 3$ મળે.
કેન્દ્ર $(h, k)$ થી સ્પર્શક $3x + 4y + 2 = 0$ નું લંબ અંતર ત્રિજ્યા $r = 2$ જેટલું થાય:
$\frac{|3h + 4k + 2|}{\sqrt{3^2 + 4^2}} = 2$ $\Rightarrow |3h + 4(-2h - 3) + 2| = 10$ $\Rightarrow |-5h - 10| = 10$.
આથી $h = -4$ અથવા $h = 0$ મળે.
જો $h = -4$ હોય,તો $k = 5$ મળે. કેન્દ્ર $(-4, 5)$ છે.
વર્તુળનું સમીકરણ $(x + 4)^2 + (y - 5)^2 = 2^2 \Rightarrow x^2 + y^2 + 8x - 10y + 37 = 0$ થાય.

(A) વર્તુળનું સમીકરણ $x^2 + y^2 - 2\alpha x + 6y + \alpha^2 - 16 = 0$ છે.
બિંદુ $(4, 2)$ માટે પાવર $9$ છે:
$16 + 4 - 8\alpha + 12 + \alpha^2 - 16 = 9
$ $\Rightarrow \alpha^2 - 8\alpha + 7 = 0$ $\Rightarrow \alpha = 1, 7$.
કિસ્સો $1$: $\alpha = 1$ માટે,$x$-અંતઃખંડ $8$ અને $y$-અંતઃખંડ $4\sqrt{6}$ મળે છે.
કિસ્સો $2$: $\alpha = 7$ માટે,$x$-અંતઃખંડ $8$ મળે છે અને $y$-અંતઃખંડ મળતો નથી.
કુલ સરવાળો $= 8 + 4\sqrt{6} + 8 = 16 + 4\sqrt{6}$.

(C) વર્તુળનું સમીકરણ $x^2 + y^2 - 6x - 8y - 11 = 0$ છે.
વ્યાપક સ્વરૂપ $x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ સાથે સરખાવતા,$g = -3$ અને $f = -4$ મળે છે.
વર્તુળનું કેન્દ્ર $C(-g, -f) = (3, 4)$ છે.
વર્તુળની ત્રિજ્યા $r = \sqrt{g^2 + f^2 - c} = \sqrt{(-3)^2 + (-4)^2 - (-11)} = \sqrt{9 + 16 + 11} = \sqrt{36} = 6$ છે.
બિંદુ $P(15, 9)$ અને કેન્દ્ર $C(3, 4)$ વચ્ચેનું અંતર $CP = \sqrt{(15 - 3)^2 + (9 - 4)^2} = \sqrt{12^2 + 5^2} = \sqrt{144 + 25} = \sqrt{169} = 13$ છે.
બિંદુ $P$ થી વર્તુળનું સૌથી મોટું અંતર $CP + r = 13 + 6 = 19$ છે.

(A) $x^2+y^2+px+qy+r=0$ એ આપેલ વર્તુળને $(-1,-1)$ પર સ્પર્શે છે.
તેથી $(-1)^2+(-1)^2-p-q+r=0$
$\Rightarrow p+q-r=2$.

(B) આપેલ વર્તુળ $x^2+y^2-6x+6y+17=0$ છે. તેનું કેન્દ્ર $C_1 = (3, -3)$ અને ત્રિજ્યા $r_1 = \sqrt{3^2+(-3)^2-17} = 1$ છે.
રેખાઓ $x^2-3xy-3x+9y=0$ એ માંગેલ વર્તુળના અભિલંબ છે. અવયવ પાડતા: $(x-3)(x-3y) = 0$. તેથી,રેખાઓ $x=3$ અને $y=x/3$ છે. આ અભિલંબનું છેદબિંદુ માંગેલ વર્તુળનું કેન્દ્ર $C_2 = (3, 1)$ છે.
વર્તુળો બહારથી સ્પર્શતા હોવાથી,કેન્દ્રો વચ્ચેનું અંતર $d = C_1C_2 = 4$ છે.
બહારના સ્પર્શ માટે,$d = r_1 + r_2$. તેથી,$4 = 1 + r_2$,જે $r_2 = 3$ આપે છે.
કેન્દ્ર $(3, 1)$ અને ત્રિજ્યા $3$ વાળા વર્તુળનું સમીકરણ $(x-3)^2 + (y-1)^2 = 3^2$ થાય.
વિસ્તરણ કરતા: $x^2 + y^2 - 6x - 2y + 1 = 0$.

(C) ધારો કે જરૂરી વર્તુળની ત્રિજ્યા $r$ છે.
ભૂમિતિ પરથી,વર્તુળનું કેન્દ્ર $x$-અક્ષ પર $(h, 0)$ પર આવેલું છે.
રેખાઓ $x+y=2$ અને $x-y=2$ એ $P(2, 0)$ પર છેદે છે.
કેન્દ્ર $(h, 0)$ થી રેખા $x+y-2=0$ નું અંતર ત્રિજ્યા $r$ જેટલું છે.
$\frac{|h+0-2|}{\sqrt{1^2+1^2}} = r \Rightarrow \frac{|h-2|}{\sqrt{2}} = r$.
વર્તુળ $P(2, 0)$ ની ડાબી બાજુએ હોવાથી,$h < 2$,તેથી $\frac{2-h}{\sqrt{2}} = r \Rightarrow h = 2 - r\sqrt{2}$.
વળી,વર્તુળ $x^2+y^2=1$ ને બહારથી સ્પર્શે છે,તેથી કેન્દ્રો વચ્ચેનું અંતર $r_1+r_2$ થાય.
$(h, 0)$ અને $(0, 0)$ વચ્ચેનું અંતર $h = 1+r$ છે.
$h$ માટેના બંને સમીકરણોને સરખાવતા:
$1+r = 2 - r\sqrt{2}$
$r(1+\sqrt{2}) = 1$
$r = \frac{1}{\sqrt{2}+1} = \sqrt{2}-1$.
તેથી $h = 1 + (\sqrt{2}-1) = \sqrt{2}$.
વર્તુળનું સમીકરણ $(x-\sqrt{2})^2 + y^2 = r^2 = (\sqrt{2}-1)^2 = 3-2\sqrt{2}$ છે.

(D) વર્તુળ $S_1 \equiv x^2+y^2-14x+6y+33=0$ માટે,કેન્દ્ર $C_1 = (7, -3)$ અને ત્રિજ્યા $r_1 = 5$ છે.
વર્તુળ $S_2 \equiv x^2+y^2+30x-2y+1=0$ માટે,કેન્દ્ર $C_2 = (-15, 1)$ અને ત્રિજ્યા $r_2 = 15$ છે.
આંતરિક સમાનતાનું કેન્દ્ર $A$ એ $C_1C_2$ ને $r_1:r_2 = 1:3$ ના ગુણોત્તરમાં વિભાજિત કરે છે.
$A = \left(\frac{3}{2}, -2\right)$.
બાહ્ય સમાનતાનું કેન્દ્ર $B$ એ $C_1C_2$ ને $1:3$ ના ગુણોત્તરમાં બહારની તરફ વિભાજિત કરે છે.
$B = (18, -5)$.
$AB$ નું મધ્યબિંદુ $\left(\frac{39}{4}, \frac{-7}{2}\right)$ છે.

(C) આપેલ વર્તુળનું સમીકરણ $x^2+y^2=25$ છે.
તેથી,કેન્દ્ર $O$ એ $(0,0)$ છે અને ત્રિજ્યા $r=5$ છે.
હવે,$QR$ નું અંતર શોધો:
$QR = \sqrt{(-4-3)^2 + (3-4)^2} = \sqrt{(-7)^2 + (-1)^2} = \sqrt{49+1} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}$.
કેન્દ્ર $O$ હોવાથી,$OQ = OR = 5$.
$\triangle OQR$ માં કોસાઇનના નિયમનો ઉપયોગ કરતા:
$\cos(\angle QOR) = \frac{OQ^2 + OR^2 - QR^2}{2 \times OQ \times OR} = \frac{25 + 25 - 50}{2 \times 5 \times 5} = \frac{0}{50} = 0$.
આમ,$\angle QOR = \frac{\pi}{2}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે વર્તુળના કેન્દ્ર આગળ ચાપ દ્વારા બનતો ખૂણો એ વર્તુળના બાકીના ભાગ પરના કોઈપણ બિંદુએ તે જ ચાપ દ્વારા બનતા ખૂણા કરતા બમણો હોય છે.
તેથી,$\angle QOR = 2 \angle QPR$.
$\frac{\pi}{2} = 2 \angle QPR \implies \angle QPR = \frac{\pi}{4}$.

(C) આપેલ વર્તુળનું સમીકરણ $2x^2 + 2y^2 = 9$ છે.
$2$ વડે ભાગતા,આપણને $x^2 + y^2 = \frac{9}{2}$ મળે છે.
આ $x^2 + y^2 = r^2$ સ્વરૂપમાં છે,જ્યાં $r^2 = \frac{9}{2}$,તેથી $r = \frac{3}{\sqrt{2}}$.
વર્તુળ $x^2 + y^2 = r^2$ માટે પ્રચલ સમીકરણો $x = r \cos \theta$ અને $y = r \sin \theta$ છે.
$r = \frac{3}{\sqrt{2}}$ મૂકતા,આપણને $x = \frac{3}{\sqrt{2}} \cos \theta$ અને $y = \frac{3}{\sqrt{2}} \sin \theta$ મળે છે.

(B) આપેલ છે $I = \int \sqrt{\frac{2}{1+\sin x}} dx$.
$\sin x = \cos(\frac{\pi}{2} - x)$ નો ઉપયોગ કરતા,$1 + \sin x = 1 + \cos(\frac{\pi}{2} - x) = 2 \cos^2(\frac{\pi}{4} - \frac{x}{2})$.
તેથી,$\sqrt{\frac{2}{1+\sin x}} = \sqrt{\frac{2}{2 \cos^2(\frac{\pi}{4} - \frac{x}{2})}} = \frac{1}{|\cos(\frac{\pi}{4} - \frac{x}{2})|} = \sec(\frac{\pi}{4} - \frac{x}{2})$.
$0 \leq x \leq \frac{\pi}{2}$ હોવાથી,$\frac{\pi}{4} - \frac{x}{2}$ એ $[0, \frac{\pi}{4}]$ માં છે,જ્યાં $\cos$ ધન છે.
તેથી,$I = \int \sec(\frac{\pi}{4} - \frac{x}{2}) dx = -2 \log |\sec(\frac{\pi}{4} - \frac{x}{2}) + \tan(\frac{\pi}{4} - \frac{x}{2})| + C$.
$\sec \theta + \tan \theta = \tan(\frac{\pi}{4} + \frac{\theta}{2})$ નો ઉપયોગ કરતા,આને $2 \log |\sec(\frac{x}{2} - \frac{\pi}{4}) + \tan(\frac{x}{2} - \frac{\pi}{4})| + C$ તરીકે લખી શકાય.
$2 \log |A(x) - B(x)|$ સાથે સરખાવતા,$B(x) = -\tan(\frac{x}{2} - \frac{\pi}{4}) = \tan(\frac{\pi}{4} - \frac{x}{2})$ મળે છે.
તેથી $B(\frac{\pi}{4}) = \tan(\frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{8}) = \tan(\frac{\pi}{8})$.
$\tan(\frac{\pi}{4}) = \frac{2 \tan(\pi/8)}{1 - \tan^2(\pi/8)} = 1$ હોવાથી,$y = \tan(\frac{\pi}{8})$ લેતા,$2y = 1 - y^2 \Rightarrow y^2 + 2y - 1 = 0$.
$y > 0$ માટે ઉકેલતા,$y = \frac{-2 + \sqrt{4 + 4}}{2} = \sqrt{2} - 1$.
તેથી $B(\frac{\pi}{4}) = \sqrt{2} - 1 = \frac{1}{\sqrt{2} + 1} = \frac{1}{\sqrt{(\sqrt{2} + 1)^2}} = \frac{1}{\sqrt{3 + 2\sqrt{2}}}$.

(D) આપેલ સંકલન $I = \int \frac{3}{2 \cos ^3 x \sqrt{2 \sin 2 x}} d x$ છે.
$\sin 2x = \frac{2 \tan x}{1 + \tan^2 x}$ નો ઉપયોગ કરતા,$\sqrt{2 \sin 2x} = \sqrt{\frac{4 \tan x}{1 + \tan^2 x}} = \frac{2 \sqrt{\tan x}}{\sec x}$ મળે.
આ કિંમત સંકલનમાં મૂકતા:
$I = \int \frac{3}{2 \cos^3 x \cdot \frac{2 \sqrt{\tan x}}{\sec x}} d x = \int \frac{3 \sec^2 x}{4 \sqrt{\tan x}} d x$.
$\sec^2 x = 1 + \tan^2 x$ હોવાથી,સંકલનને આ રીતે લખી શકાય:
$I = \int \frac{3(1 + \tan^2 x)}{4 \sqrt{\tan x}} \sec^2 x d x$.
ધારો કે $t = \tan x$,તો $dt = \sec^2 x d x$.
$I = \frac{3}{4} \int (t^{-1/2} + t^{3/2}) dt = \frac{3}{4} [2t^{1/2} + \frac{2}{5} t^{5/2}] + c = \frac{3}{2} (\tan x)^{1/2} + \frac{3}{10} (\tan x)^{5/2} + c$.
આપેલ સ્વરૂપ $\frac{3}{2}(\tan x)^B + \frac{1}{10}(\tan x)^A + c$ સાથે સરખાવતા,$A = \frac{5}{2}$ મળે છે.

(D) સંકલન $I = \int \frac{dx}{x(x^4+1)}$ ઉકેલવા માટે,અંશ અને છેદને $x^3$ વડે ગુણો:
$I = \int \frac{x^3 dx}{x^4(x^4+1)}$
ધારો કે $x^4 = t$,તેથી $4x^3 dx = dt$,જેનો અર્થ છે કે $x^3 dx = \frac{dt}{4}$.
આ કિંમતોને સંકલનમાં મૂકતા:
$I = \frac{1}{4} \int \frac{dt}{t(t+1)}$
આંશિક અપૂર્ણાંકનો ઉપયોગ કરતા,$\frac{1}{t(t+1)} = \frac{1}{t} - \frac{1}{t+1}$.
$I = \frac{1}{4} \int \left( \frac{1}{t} - \frac{1}{t+1} \right) dt$
$I = \frac{1}{4} [\log|t| - \log|t+1|] + C$
$I = \frac{1}{4} \log \left| \frac{t}{t+1} \right| + C$
$t = x^4$ પાછું મૂકતા:
$I = \frac{1}{4} \log \left( \frac{x^4}{x^4+1} \right) + C$

(D) $I = \int \frac{d x}{\sqrt{\sin ^3 x \cos (x-\alpha)}}$
$\cos(x-\alpha) = \cos x \cos \alpha + \sin x \sin \alpha$ નિત્યસમનો ઉપયોગ કરતા:
$I = \int \frac{d x}{\sqrt{\sin ^3 x (\cos x \cos \alpha + \sin x \sin \alpha)}}$
કૌંસમાંથી $\sin x$ સામાન્ય લેતા:
$I = \int \frac{d x}{\sqrt{\sin ^4 x (\cot x \cos \alpha + \sin \alpha)}} = \int \frac{\csc^2 x}{\sqrt{\cot x \cos \alpha + \sin \alpha}} d x$
ધારો કે $t = \cot x \cos \alpha + \sin \alpha$.
તેથી $dt = -\csc^2 x \cos \alpha \, dx$,જેનો અર્થ છે કે $\csc^2 x \, dx = -\frac{dt}{\cos \alpha}$.
આ કિંમતો સંકલનમાં મૂકતા:
$I = \int \frac{-dt}{\cos \alpha \sqrt{t}} = -\frac{1}{\cos \alpha} \int t^{-1/2} dt$
$I = -\frac{1}{\cos \alpha} (2 \sqrt{t}) + C = -\frac{2}{\cos \alpha} \sqrt{\cot x \cos \alpha + \sin \alpha} + C$
વર્ગમૂળમાંથી $\cos \alpha$ સામાન્ય લેતા:
$I = -\frac{2}{\cos \alpha} \sqrt{\cos \alpha (\cot x + \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha})} + C$
$I = -\frac{2}{\sqrt{\cos \alpha}} \sqrt{\cot x + \tan \alpha} + C$

(C) ધારો કે $I = \int \frac{e^{2x}}{(e^x+1)^{1/4}} dx$.
$t = (e^x+1)^{1/4}$ લેતા,$t^4 = e^x+1$,તેથી $e^x = t^4-1$.
બંને બાજુ વિકલન કરતા,$e^x dx = 4t^3 dt$.
આ કિંમતો સંકલનમાં મૂકતા:
$I = \int \frac{(t^4-1) \cdot (4t^3 dt)}{t} = 4 \int (t^4-1)t^2 dt$.
$I = 4 \int (t^6-t^2) dt = 4 \left( \frac{t^7}{7} - \frac{t^3}{3} \right) + C$.
$I = 4t^3 \left( \frac{t^4}{7} - \frac{1}{3} \right) + C$.
$t = (e^x+1)^{1/4}$ પાછા મૂકતા:
$I = 4(e^x+1)^{3/4} \left( \frac{e^x+1}{7} - \frac{1}{3} \right) + C$.
$I = 4(e^x+1)^{3/4} \left( \frac{3e^x+3-7}{21} \right) + C$.
$I = \frac{4}{21}(e^x+1)^{3/4}(3e^x-4) + C$.

(A) $I = \int \sin ^{-1} \sqrt{\frac{x}{a+x}} dx$
ધારો કે $x = a \tan^2 t$,તેથી $dx = 2a \tan t \sec^2 t dt$.
સંકલનમાં આ કિંમતો મૂકતા:
$I = \int \sin^{-1} \sqrt{\frac{a \tan^2 t}{a(1 + \tan^2 t)}} (2a \tan t \sec^2 t) dt$
$I = \int \sin^{-1} \sqrt{\frac{\tan^2 t}{\sec^2 t}} (2a \tan t \sec^2 t) dt$
$I = \int t (2a \tan t \sec^2 t) dt = 2a \int t \tan t \sec^2 t dt$
ખંડશઃ સંકલનનો ઉપયોગ કરતા:
$I = 2a \left[ t \int \tan t \sec^2 t dt - \int (1 \cdot \int \tan t \sec^2 t dt) dt \right]$
કારણ કે $\int \tan t \sec^2 t dt = \frac{\tan^2 t}{2}$:
$I = 2a \left[ t \cdot \frac{\tan^2 t}{2} - \int \frac{\tan^2 t}{2} dt \right] = a t \tan^2 t - a \int (\sec^2 t - 1) dt$
$I = a t \tan^2 t - a (\tan t - t) + C = a t \tan^2 t - a \tan t + at + C$
$I = a t (\tan^2 t + 1) - a \tan t + C = a t \sec^2 t - a \tan t + C$
$t = \tan^{-1} \sqrt{\frac{x}{a}}$ અને $\tan^2 t = \frac{x}{a}$ મૂકતા:
$I = a \tan^{-1} \sqrt{\frac{x}{a}} (1 + \frac{x}{a}) - a \sqrt{\frac{x}{a}} + C$
$I = (a+x) \tan^{-1} \sqrt{\frac{x}{a}} - \sqrt{ax} + C$

(D) ધારો કે $I = \int \frac{x^2-1}{x^3 \sqrt{2 x^4-2 x^2+1}} d x$.
અંશ અને છેદને $x^5$ વડે ભાગતા:
$I = \int \frac{\frac{1}{x^3} - \frac{1}{x^5}}{\sqrt{2 - \frac{2}{x^2} + \frac{1}{x^4}}} d x$.
ધારો કે $t = 2 - \frac{2}{x^2} + \frac{1}{x^4}$.
તેથી $dt = (\frac{4}{x^3} - \frac{4}{x^5}) d x$,જેનો અર્થ છે કે $(\frac{1}{x^3} - \frac{1}{x^5}) d x = \frac{dt}{4}$.
આ કિંમતો સંકલનમાં મૂકતા:
$I = \frac{1}{4} \int \frac{1}{\sqrt{t}} dt = \frac{1}{4} (2\sqrt{t}) + c = \frac{\sqrt{t}}{2} + c$.
$t = 2 - \frac{2}{x^2} + \frac{1}{x^4} = \frac{2x^4 - 2x^2 + 1}{x^4}$ પાછું મૂકતા:
$I = \frac{1}{2} \sqrt{\frac{2x^4 - 2x^2 + 1}{x^4}} + c = \frac{\sqrt{2x^4 - 2x^2 + 1}}{2x^2} + c$.

(A) ધારો કે $I = \int \frac{x^3 \tan^{-1} x^4}{1+x^8} dx$.
$t = x^4$ આદેશ લેતા,$dt = 4x^3 dx$ મળે,જેનો અર્થ છે કે $x^3 dx = \frac{1}{4} dt$.
આ કિંમતો સંકલનમાં મૂકતા,$I = \frac{1}{4} \int \frac{\tan^{-1} t}{1+t^2} dt$ મળે.
હવે,$u = \tan^{-1} t$ લેતા,$du = \frac{1}{1+t^2} dt$ મળે.
$u$ ને સંકલનમાં મૂકતા,$I = \frac{1}{4} \int u du$ મળે.
$u$ ની સાપેક્ષે સંકલન કરતા,$I = \frac{1}{4} \cdot \frac{u^2}{2} + c = \frac{u^2}{8} + c$ મળે.
અંતે $u = \tan^{-1} t$ અને $t = x^4$ પાછા મૂકતા,$I = \frac{(\tan^{-1}(x^4))^2}{8} + c$ મળે.

(B) $I = \int \frac{2}{1+x+x^2} dx = \int \frac{2}{(x+\frac{1}{2})^2 + \frac{3}{4}} dx$
ધારો કે $x + \frac{1}{2} = v$,તેથી $dx = dv$.
સૂત્ર $\int \frac{1}{v^2 + a^2} dv = \frac{1}{a} \tan^{-1}(\frac{v}{a}) + c$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $a = \frac{\sqrt{3}}{2}$:
$I = 2 \times \frac{1}{\frac{\sqrt{3}}{2}} \tan^{-1}(\frac{v}{\frac{\sqrt{3}}{2}}) + c$
$I = \frac{4}{\sqrt{3}} \tan^{-1}(\frac{2v}{\sqrt{3}}) + c$
$v = x + \frac{1}{2}$ મૂકતા:
$I = \frac{4}{\sqrt{3}} \tan^{-1}(\frac{2(x + \frac{1}{2})}{\sqrt{3}}) + c = \frac{4}{\sqrt{3}} \tan^{-1}(\frac{2x+1}{\sqrt{3}}) + c$

(A) ધારો કે $I = \int \frac{1}{x^2\sqrt{1+x^2}} dx$.
વર્ગમૂળમાંથી $x^2$ સામાન્ય લેતા: $I = \int \frac{1}{x^2 \sqrt{x^2(1 + \frac{1}{x^2})}} dx = \int \frac{1}{x^3 \sqrt{1 + \frac{1}{x^2}}} dx$.
ધારો કે $1 + \frac{1}{x^2} = t^2$.
હવે,બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,$-\frac{2}{x^3} dx = 2t dt$,જેનો અર્થ છે કે $\frac{dx}{x^3} = -t dt$.
આ કિંમતો સંકલનમાં મૂકતા: $I = \int -t dt / t = -\int dt = -t + c$.
અહીં $t = \sqrt{1 + \frac{1}{x^2}} = \sqrt{\frac{x^2+1}{x^2}} = \frac{\sqrt{x^2+1}}{|x|}$ હોવાથી,$x > 0$ માટે,$I = -\frac{\sqrt{x^2+1}}{x} + c$.

(B) ધારો કે $I = \int e^{4 x^2+8 x-4}(x+1) \cos \left(3 x^2+6 x-4\right) d x$.
$t = x^2 + 2x$ આદેશ લેતા,$dt = (2x + 2) dx = 2(x+1) dx$,તેથી $(x+1) dx = \frac{dt}{2}$.
સંકલન $I = \frac{1}{2} \int e^{4t-4} \cos(3t-4) dt$ બને છે.
પ્રમાણિત સૂત્ર $\int e^{ax+k} \cos(bt+m) dt = \frac{e^{ax+k}}{a^2+b^2} [a \cos(bt+m) + b \sin(bt+m)] + C$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $a=4$ અને $b=3$:
$I = \frac{1}{2} \cdot \frac{e^{4t-4}}{4^2+3^2} [4 \cos(3t-4) + 3 \sin(3t-4)] + C$.
$I = \frac{e^{4t-4}}{2 \cdot 25} [4 \cos(3t-4) + 3 \sin(3t-4)] + C$.
$t = x^2 + 2x$ પાછું મૂકતા,$4t-4 = 4x^2+8x-4$ અને $3t-4 = 3x^2+6x-4$ મળે છે.
આમ,$I = \frac{e^{4x^2+8x-4}}{50} [4 \cos(3x^2+6x-4) + 3 \sin(3x^2+6x-4)] + C$.

(A) ધારો કે $I = \int \frac{1}{(1+x^2) \sqrt{x^2+2}} dx$.
$x = \sqrt{2} \tan \theta$ આદેશ લેતા,$dx = \sqrt{2} \sec^2 \theta d\theta$ મળે.
$I = \int \frac{\sqrt{2} \sec^2 \theta}{(1 + 2 \tan^2 \theta) \sqrt{2 \tan^2 \theta + 2}} d\theta = \int \frac{\sec \theta}{1 + 2 \tan^2 \theta} d\theta$.
$1 + 2 \tan^2 \theta = 2 \sec^2 \theta - 1$ નો ઉપયોગ કરતા,$I = \int \frac{\cos \theta}{1 + \sin^2 \theta} d\theta$ મળે.
$t = \sin \theta$ લેતા,$dt = \cos \theta d\theta$ થાય.
$I = \int \frac{1}{1 + t^2} dt = \tan^{-1}(t) + c = \tan^{-1}(\sin \theta) + c$.
$x = \sqrt{2} \tan \theta$ હોવાથી,$\sin \theta = \frac{x}{\sqrt{x^2+2}}$.
તેથી,$I = \tan^{-1} \left( \frac{x}{\sqrt{x^2+2}} \right) + c$.
આપેલ વિકલ્પો મુજબ,સાચો જવાબ $-\tan^{-1} \frac{\sqrt{x^2+2}}{|x|} + c$ છે.

(B) ધારો કે $I = \int \frac{\sqrt[4]{x}}{\sqrt{x}+\sqrt[4]{x}} dx$.
$u = \sqrt[4]{x}$ આદેશ લેતા,$x = u^4$ અને $dx = 4u^3 du$ મળે.
સંકલનમાં કિંમતો મૂકતા:
$I = \int \frac{u}{u^2+u} (4u^3 du) = 4 \int \frac{u^4}{u(u+1)} du = 4 \int \frac{u^3}{u+1} du$.
બહુપદીના ભાગાકારની રીત વાપરતા,$\frac{u^3}{u+1} = u^2 - u + 1 - \frac{1}{u+1}$.
$I = 4 \int (u^2 - u + 1 - \frac{1}{u+1}) du = 4 (\frac{u^3}{3} - \frac{u^2}{2} + u - \log|u+1|) + K$.
$I = \frac{4}{3}u^3 - 2u^2 + 4u - 4 \log(u+1) + K$.
$\frac{2}{3}$ સામાન્ય કાઢતા:
$I = \frac{2}{3} [2u^3 - 3u^2 + 6u - 6 \log(u+1)] + K$.
$u = \sqrt[4]{x}$ પાછા મૂકતા:
$I = \frac{2}{3} [2 \sqrt[4]{x^3} - 3 \sqrt[4]{x^2} + 6 \sqrt[4]{x} - 6 \log(1+\sqrt[4]{x})] + K$.
આપેલ સ્વરૂપ સાથે સરખાવતા,$A=2, B=-3, C=6, D=-6$ મળે.
તેથી,$\frac{2}{3}(A+B+C+D) = \frac{2}{3}(2 - 3 + 6 - 6) = \frac{2}{3}(-1) = -\frac{2}{3}$.

(C) ધારો કે $I = \int (\log x)^m x^n \, dx$.
$\log x = t$ લેતા,તેથી $x = e^t$ મળે.
હવે,બંને બાજુ $t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,$dx = e^t \, dt$ મળે.
આ કિંમતો સંકલનમાં મૂકતા:
$I = \int t^m (e^t)^n \cdot e^t \, dt$
$I = \int t^m e^{nt} \cdot e^t \, dt$
$I = \int t^m e^{(n+1)t} \, dt$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $x = e^t$ અને પરિણામી સંકલન $\int t^m e^{(n+1)t} \, dt$ છે.

(A) ધારો કે $I = \int \sin ^{-1}\left(\sqrt{\frac{x-a}{x}}\right) d x$.
$x = a \sec^2 \theta$ આદેશ લેતા,$dx = 2a \sec^2 \theta \tan \theta \, d\theta$ મળે.
અહીં $\sqrt{\frac{x-a}{x}} = \sqrt{\frac{a \sec^2 \theta - a}{a \sec^2 \theta}} = \sin \theta$ હોવાથી,સંકલન નીચે મુજબ થશે:
$I = \int \theta \cdot (2a \sec^2 \theta \tan \theta) \, d\theta = 2a \int \theta \sec^2 \theta \tan \theta \, d\theta$.
ખંડશઃ સંકલનનો ઉપયોગ કરતા,$I = \theta \tan^2 \theta - \int \tan^2 \theta \, d\theta = \theta \tan^2 \theta - \int (\sec^2 \theta - 1) \, d\theta = \theta \sec^2 \theta - \tan \theta + C$.
$x = a \sec^2 \theta$ હોવાથી,$\theta = \cos^{-1} \sqrt{\frac{a}{x}}$ અને $\tan \theta = \sqrt{\frac{x-a}{a}}$ મળે.
તેથી,$I = x \cos^{-1} \sqrt{\frac{a}{x}} - \sqrt{ax-a^2} + C$.

(C) આપેલ સંકલન $I = \int \frac{\sin x \cos x}{\sqrt{\cos^4 x - \sin^4 x}} dx$ છે.
$\sin 2x = 2 \sin x \cos x$ અને $\cos^4 x - \sin^4 x = \cos 2x$ નો ઉપયોગ કરતા.
તેથી,$I = \int \frac{\frac{1}{2} \sin 2x}{\sqrt{\cos 2x}} dx = \frac{1}{2} \int \sin 2x (\cos 2x)^{-1/2} dx$.
$t = \cos 2x$ લેતા,$dt = -2 \sin 2x dx$,તેથી $\sin 2x dx = -\frac{1}{2} dt$.
$I = \frac{1}{2} \int -\frac{1}{2} t^{-1/2} dt = -\frac{1}{4} \cdot 2 t^{1/2} + c = -\frac{1}{2} \sqrt{\cos 2x} + c$.
$-\frac{f(x)}{2} + c$ સાથે સરખાવતા,$f(x) = \sqrt{\cos 2x}$ મળે.
પ્રદેશ માટે,$\cos 2x \geq 0$ હોવું જોઈએ.
આનો અર્થ છે કે $2n\pi - \frac{\pi}{2} \leq 2x \leq 2n\pi + \frac{\pi}{2}$.
$2$ વડે ભાગતા,$n\pi - \frac{\pi}{4} \leq x \leq n\pi + \frac{\pi}{4}$ મળે.
જે સામાન્ય સ્વરૂપ $[(4n-1)\frac{\pi}{4}, (4n+1)\frac{\pi}{4}]$ સાથે સુસંગત છે.

(A) ધારો કે $I = \int e^{2x+3} \sin 6x \, dx$.
ખંડશઃ સંકલન (Integration by parts) $\int u \, dv = uv - \int v \, du$ નો ઉપયોગ કરતા,$u = \sin 6x$ અને $dv = e^{2x+3} \, dx$ લો.
તેથી $du = 6 \cos 6x \, dx$ અને $v = \frac{e^{2x+3}}{2}$ મળે.
$I = \frac{e^{2x+3}}{2} \sin 6x - \int \frac{e^{2x+3}}{2} \cdot 6 \cos 6x \, dx = \frac{e^{2x+3}}{2} \sin 6x - 3 \int e^{2x+3} \cos 6x \, dx$.
ફરીથી $\int e^{2x+3} \cos 6x \, dx$ માટે ખંડશઃ સંકલન કરતા:
$u = \cos 6x, dv = e^{2x+3} \, dx \implies du = -6 \sin 6x \, dx, v = \frac{e^{2x+3}}{2}$.
$I = \frac{e^{2x+3}}{2} \sin 6x - 3 \left[ \frac{e^{2x+3}}{2} \cos 6x - \int \frac{e^{2x+3}}{2} (-6 \sin 6x) \, dx \right]$.
$I = \frac{e^{2x+3}}{2} \sin 6x - \frac{3}{2} e^{2x+3} \cos 6x - 9 \int e^{2x+3} \sin 6x \, dx$.
$I = \frac{e^{2x+3}}{2} \sin 6x - \frac{3}{2} e^{2x+3} \cos 6x - 9I$.
$10I = \frac{e^{2x+3}}{2} (\sin 6x - 3 \cos 6x) + C$.
$I = \frac{e^{2x+3}}{20} (\sin 6x - 3 \cos 6x) + C = \frac{e^{2x+3}}{40} (2 \sin 6x - 6 \cos 6x) + C$.

(C) આપણી પાસે $I = \int e^x \left(\frac{x+2}{x+4}\right)^2 dx$ છે.
અંશને $(x+4-2)$ તરીકે લખો:
$I = \int e^x \left(\frac{x+4-2}{x+4}\right)^2 dx = \int e^x \left(1 - \frac{2}{x+4}\right)^2 dx$.
વર્ગનું વિસ્તરણ કરતા:
$I = \int e^x \left(1 - \frac{4}{x+4} + \frac{4}{(x+4)^2}\right) dx$.
આને આ રીતે લખી શકાય:
$I = \int e^x \left(1 - \frac{4}{x+4}\right) dx + \int \frac{4 e^x}{(x+4)^2} dx$.
ધારો કે $f(x) = 1 - \frac{4}{x+4}$. તો $f'(x) = -(-4)(x+4)^{-2} = \frac{4}{(x+4)^2}$.
પ્રમાણિત સંકલન સૂત્ર $\int e^x (f(x) + f'(x)) dx = e^x f(x) + c$ નો ઉપયોગ કરતા:
$I = e^x \left(1 - \frac{4}{x+4}\right) + c = e^x \left(\frac{x+4-4}{x+4}\right) + c = \frac{x e^x}{x+4} + c$.

(A) આપણે સૂત્ર $\int e^x [f(x) + f'(x)] dx = e^x f(x) + c$ નો ઉપયોગ કરીએ છીએ.
ધારો કે $f(x) = (x+1)^2 = x^2 + 2x + 1$.
તો $f'(x) = 2x + 2 = 2(x+1)$.
આ સીધું આ સ્વરૂપમાં બંધબેસતું નથી.
વૈકલ્પિક રીતે,પદાવલિનું વિસ્તરણ કરો:
$\int e^x(x^2+2x+1) dx = \int e^x x^2 dx + \int e^x(2x+1) dx$.
$\int e^x x^2 dx$ પર ખંડશઃ સંકલનનો ઉપયોગ કરતા:
$= x^2 e^x - \int 2x e^x dx + \int 2x e^x dx + \int e^x dx = x^2 e^x + e^x + c = e^x(x^2+1) + c$.

(C) ધારો કે $I = \int [(\ln x)^2 + 2 \ln x] dx$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\frac{d}{dx} [x(\ln x)^2] = 1 \cdot (\ln x)^2 + x \cdot 2 \ln x \cdot \frac{1}{x} = (\ln x)^2 + 2 \ln x$.
તેથી,વિકલનના મૂળભૂત પ્રમેય મુજબ,$\int [(\ln x)^2 + 2 \ln x] dx = x(\ln x)^2 + c$ થાય છે.

(D) ધારો કે $I = \int \log (6 \sin^2 x + 17 \sin x + 12)^{\cos x} dx$.
$\sin x = t$ લેતા,$\cos x dx = dt$ મળે.
તેથી $I = \int \log (6t^2 + 17t + 12) dt = \int \log ((2t+3)(3t+4)) dt = \int (\log(2t+3) + \log(3t+4)) dt$.
ખંડશઃ સંકલન (Integration by parts) $\int u dv = uv - \int v du$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\int \log(2t+3) dt = t \log(2t+3) - \int \frac{2t}{2t+3} dt = t \log(2t+3) - \int (1 - \frac{3}{2t+3}) dt = (t + \frac{3}{2}) \log(2t+3) - t$.
તે જ રીતે,$\int \log(3t+4) dt = (t + \frac{4}{3}) \log(3t+4) - t$.
આમ,$f(t) = (t + \frac{3}{2}) \log(2t+3) + (t + \frac{4}{3}) \log(3t+4) - 2t$.
$x = \frac{\pi}{2}$ માટે,$t = \sin(\frac{\pi}{2}) = 1$.
$f(1) = (1 + \frac{3}{2}) \log(5) + (1 + \frac{4}{3}) \log(7) - 2(1) = \frac{5}{2} \log 5 + \frac{7}{3} \log 7 - 2 = \frac{15 \log 5 + 14 \log 7 - 12}{6}$.

(A) આપેલ છે કે $f(x) = \int \frac{x}{(x^2+1)(x^2+3)} dx$.
ધારો કે $x^2 = t$,તેથી $2x dx = dt$,એટલે કે $x dx = \frac{1}{2} dt$.
આ કિંમતો સંકલનમાં મૂકતા:
$f(x) = \frac{1}{2} \int \frac{1}{(t+1)(t+3)} dt$.
આંશિક અપૂર્ણાંકની રીતનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{1}{(t+1)(t+3)} = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{t+1} - \frac{1}{t+3} \right)$.
તેથી,$f(x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \int \left( \frac{1}{t+1} - \frac{1}{t+3} \right) dt = \frac{1}{4} [\log|t+1| - \log|t+3|] + C = \frac{1}{4} \log \left( \frac{x^2+1}{x^2+3} \right) + C$.
આપેલ છે કે $f(3) = \frac{1}{4} \log \left( \frac{5}{6} \right)$,તેથી:
$\frac{1}{4} \log \left( \frac{3^2+1}{3^2+3} \right) + C = \frac{1}{4} \log \left( \frac{10}{12} \right) + C = \frac{1}{4} \log \left( \frac{5}{6} \right) + C$.
આ કિંમતને સરખાવતા,આપણને $C = 0$ મળે છે.
તેથી,$f(x) = \frac{1}{4} \log \left( \frac{x^2+1}{x^2+3} \right)$.
અંતે,$f(0) = \frac{1}{4} \log \left( \frac{0^2+1}{0^2+3} \right) = \frac{1}{4} \log \left( \frac{1}{3} \right)$.

(B) ધારો કે $I = \int \frac{2-\sin x}{2 \cos x+3} dx$.
આપણે સંકલનને બે ભાગમાં વિભાજિત કરી શકીએ છીએ: $I = \int \frac{2}{2 \cos x+3} dx - \int \frac{\sin x}{2 \cos x+3} dx = I_1 + I_2$.
$I_1 = \int \frac{2}{2 \cos x+3} dx$ માટે,અડધા ખૂણાના આદેશ $\cos x = \frac{1-\tan^2(x/2)}{1+\tan^2(x/2)} = \frac{1-t^2}{1+t^2}$ નો ઉપયોગ કરો,જ્યાં $t = \tan(x/2)$ અને $dx = \frac{2 dt}{1+t^2}$ છે.
$I_1 = \int \frac{2}{2(\frac{1-t^2}{1+t^2})+3} \cdot \frac{2 dt}{1+t^2} = \int \frac{4}{2-2t^2+3+3t^2} dt = \int \frac{4}{t^2+5} dt$.
$I_1 = \frac{4}{\sqrt{5}} \tan^{-1}(\frac{t}{\sqrt{5}}) = \frac{4}{\sqrt{5}} \tan^{-1}(\frac{1}{\sqrt{5}} \tan \frac{x}{2}) + C_1$.
$I_2 = \int \frac{-\sin x}{2 \cos x+3} dx$ માટે,$u = 2 \cos x + 3$ લો,તો $du = -2 \sin x dx$,તેથી $-\sin x dx = \frac{1}{2} du$.
$I_2 = \frac{1}{2} \int \frac{1}{u} du = \frac{1}{2} \log|2 \cos x + 3| = \log \sqrt{2 \cos x + 3} + C_2$.
આ બંનેને જોડતા,$I = \frac{4}{\sqrt{5}} \tan^{-1}(\frac{1}{\sqrt{5}} \tan \frac{x}{2}) + \log \sqrt{2 \cos x + 3} + C$.

(D) આપણી પાસે સંકલન $I = \int \frac{x^4+1}{x^6+1} \, dx$ છે.
પ્રથમ,અંશને $x^4+1 = (x^4-x^2+1) + x^2$ તરીકે લખો.
કારણ કે $x^6+1 = (x^2)^3 + 1^3 = (x^2+1)(x^4-x^2+1)$,આપણે સંકલનને બે ભાગમાં વહેંચી શકીએ છીએ:
$\frac{x^4+1}{x^6+1} = \frac{x^4-x^2+1}{x^6+1} + \frac{x^2}{x^6+1} = \frac{1}{x^2+1} + \frac{x^2}{(x^3)^2+1}$.
હવે,પદવાર સંકલન કરો:
$\int \frac{1}{x^2+1} \, dx + \int \frac{x^2}{(x^3)^2+1} \, dx$.
પ્રથમ સંકલન $\tan^{-1} x$ છે.
બીજા સંકલન માટે,ધારો કે $u = x^3$,તેથી $du = 3x^2 \, dx$,એટલે કે $x^2 \, dx = \frac{1}{3} du$.
આમ,$\int \frac{1}{3} \frac{du}{u^2+1} = \frac{1}{3} \tan^{-1} u = \frac{1}{3} \tan^{-1} x^3$.
આ બંનેને જોડતા,આપણને $\tan^{-1} x + \frac{1}{3} \tan^{-1} x^3 + c$ મળે છે.

(C) ધારો કે $I = \int \frac{1+x^2}{1+x^4} dx = \int \frac{1 + \frac{1}{x^2}}{x^2 + \frac{1}{x^2}} dx$.
$A = \int_0^{\infty} \frac{1+x^2}{1+x^4} dx$ માટે,અંશ અને છેદને $x^2$ વડે ભાગતા:
$A = \int_0^{\infty} \frac{1 + \frac{1}{x^2}}{(x - \frac{1}{x})^2 + 2} dx$.
ધારો કે $t = x - \frac{1}{x}$,તેથી $dt = (1 + \frac{1}{x^2}) dx$.
જ્યારે $x \to 0, t \to -\infty$ અને જ્યારે $x \to \infty, t \to \infty$.
$A = \int_{-\infty}^{\infty} \frac{dt}{t^2 + 2} = \left[ \frac{1}{\sqrt{2}} \tan^{-1}(\frac{t}{\sqrt{2}}) \right]_{-\infty}^{\infty} = \frac{1}{\sqrt{2}} (\frac{\pi}{2} - (-\frac{\pi}{2})) = \frac{\pi}{\sqrt{2}}$.
$B = \int_0^1 \frac{1+x^2}{1+x^4} dx$ માટે,$x = \frac{1}{u}$ લેતા,$dx = -\frac{1}{u^2} du$.
$B = \int_{\infty}^1 \frac{1 + \frac{1}{u^2}}{1 + \frac{1}{u^4}} (-\frac{1}{u^2}) du = \int_1^{\infty} \frac{u^2 + 1}{u^4 + 1} du$.
કારણ કે $A = \int_0^1 \frac{1+x^2}{1+x^4} dx + \int_1^{\infty} \frac{1+x^2}{1+x^4} dx = B + B = 2B$.
તેથી,$2B = A$.

(B) આપેલ છે કે,$I_n = \int_0^{\pi/4} \tan^n x \, dx$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $I_n = \int_0^{\pi/4} \tan^n x \, dx$ માટે,રિડક્શન ફોર્મ્યુલા $I_n + I_{n-2} = \int_0^{\pi/4} \tan^{n-2} x (\tan^2 x + 1) \, dx = \int_0^{\pi/4} \tan^{n-2} x \sec^2 x \, dx$ છે.
ધારો કે $u = \tan x$,તો $du = \sec^2 x \, dx$.
જ્યારે $x = 0, u = 0$ અને જ્યારે $x = \pi/4, u = 1$.
તેથી,$I_n + I_{n-2} = \int_0^1 u^{n-2} \, du = \left[ \frac{u^{n-1}}{n-1} \right]_0^1 = \frac{1}{n-1}$.
$I_{13} + I_{11}$ માટે,આપણે $n = 13$ લઈએ.
આમ,$I_{13} + I_{11} = \frac{1}{13-1} = \frac{1}{12}$.

(B) આપેલ સંકલન $\int_1^n [x] dx = 120$ છે.
આપણે સંકલનને એકમ લંબાઈના અંતરાલોમાં વિભાજિત કરી શકીએ છીએ:
$\int_1^2 1 dx + \int_2^3 2 dx + \int_3^4 3 dx + \dots + \int_{n-1}^n (n-1) dx = 120$.
આ પ્રથમ $(n-1)$ પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓના સરવાળામાં પરિણમે છે:
$1 + 2 + 3 + \dots + (n-1) = 120$.
પ્રથમ $k$ પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓના સરવાળા માટેના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$\frac{k(k+1)}{2}$,જ્યાં $k = n-1$:
$\frac{(n-1)n}{2} = 120$.
$(n-1)n = 240$.
$n^2 - n - 240 = 0$.
$(n - 16)(n + 15) = 0$.
$n$ ધન હોવો જોઈએ,તેથી $n = 16$.

(B) ધારો કે $I = \int \frac{x^2}{(x \sin x + \cos x)^2} dx$.
આપણે સંકલ્યને $I = \int (x \sec x) \left( \frac{x \cos x}{(x \sin x + \cos x)^2} \right) dx$ તરીકે ફરીથી લખી શકીએ.
ખંડશઃ સંકલનનો ઉપયોગ કરતા,$u = x \sec x$ અને $dv = \frac{x \cos x}{(x \sin x + \cos x)^2} dx$ લો.
તેથી $du = (\sec x + x \sec x \tan x) dx$ અને $v = \frac{-1}{x \sin x + \cos x}$ મળે.
$I = (x \sec x) \left( \frac{-1}{x \sin x + \cos x} \right) - \int (\sec x + x \sec x \tan x) \left( \frac{-1}{x \sin x + \cos x} \right) dx$.
$I = \frac{-x \sec x}{x \sin x + \cos x} + \int \frac{\sec x (1 + x \tan x)}{x \sin x + \cos x} dx$.
કારણ કે $x \sin x + \cos x = \cos x (x \tan x + 1)$,સંકલન $\int \frac{\sec x \cdot \cos x (x \tan x + 1)}{\cos x (x \tan x + 1)} dx = \int \sec^2 x dx = \tan x$ બને છે.
આમ,$I = \frac{-x \sec x}{x \sin x + \cos x} + \tan x = \frac{-x + \tan x (x \sin x + \cos x)}{\cos x (x \sin x + \cos x)} = \frac{\sin x - x \cos x}{x \sin x + \cos x}$.
નિશ્ચિત સંકલનનું મૂલ્ય: $\left[ \frac{\sin x - x \cos x}{x \sin x + \cos x} \right]_0^{\pi / 4} = \frac{\frac{1}{\sqrt{2}} - \frac{\pi}{4} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}}}{\frac{\pi}{4} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2}}} - 0 = \frac{1 - \pi/4}{1 + \pi/4} = \frac{4 - \pi}{4 + \pi}$.

(D) ધારો કે $I = \int_{\log 4}^{\log 5} \frac{e^{2x} + e^x}{e^{2x} - 5e^x + 6} dx$.
$e^x = t$ આદેશ લેતા,$e^x dx = dt$ મળે.
જ્યારે $x = \log 4$,ત્યારે $t = 4$ અને જ્યારે $x = \log 5$,ત્યારે $t = 5$.
$I = \int_4^5 \frac{t+1}{(t-3)(t-2)} dt$.
આંશિક અપૂર્ણાંકની રીત વાપરતા: $\frac{t+1}{(t-3)(t-2)} = \frac{4}{t-3} - \frac{3}{t-2}$.
$I = \int_4^5 \left( \frac{4}{t-3} - \frac{3}{t-2} \right) dt$.
$I = [4 \log|t-3| - 3 \log|t-2|]_4^5$.
$I = (4 \log 2 - 3 \log 3) - (4 \log 1 - 3 \log 2)$.
$I = 4 \log 2 - 3 \log 3 + 3 \log 2 = 7 \log 2 - 3 \log 3$.
$I = \log(2^7) - \log(3^3) = \log\left(\frac{128}{27}\right)$.

(D) ધારો કે $I = \int_{\frac{1}{\sqrt[5]{31}}}^{\frac{1}{\sqrt[5]{242}}} \frac{dx}{\sqrt[5]{x^{30}+x^{25}}}$.
છેદમાંથી $x^{30}$ સામાન્ય લેતા: $I = \int_{\frac{1}{\sqrt[5]{31}}}^{\frac{1}{\sqrt[5]{242}}} \frac{dx}{\sqrt[5]{x^{30}(1+x^{-5})}} = \int_{\frac{1}{\sqrt[5]{31}}}^{\frac{1}{\sqrt[5]{242}}} \frac{dx}{x^6(1+x^{-5})^{1/5}}$.
ધારો કે $t = 1 + x^{-5}$. તેથી $dt = -5x^{-6} dx$,જેનો અર્થ છે કે $x^{-6} dx = -\frac{1}{5} dt$.
સંકલનની સીમાઓ બદલતા:
જ્યારે $x = \frac{1}{\sqrt[5]{31}}$,ત્યારે $t = 1 + (\sqrt[5]{31})^5 = 1 + 31 = 32$.
જ્યારે $x = \frac{1}{\sqrt[5]{242}}$,ત્યારે $t = 1 + (\sqrt[5]{242})^5 = 1 + 242 = 243$.
આ કિંમતો સંકલનમાં મૂકતા:
$I = \int_{32}^{243} -\frac{1}{5} t^{-1/5} dt = -\frac{1}{5} \left[ \frac{t^{4/5}}{4/5} \right]_{32}^{243} = -\frac{1}{4} [t^{4/5}]_{32}^{243}$.
$I = -\frac{1}{4} (243^{4/5} - 32^{4/5}) = -\frac{1}{4} ((3^5)^{4/5} - (2^5)^{4/5}) = -\frac{1}{4} (3^4 - 2^4) = -\frac{1}{4} (81 - 16) = -\frac{65}{4}$.

(A) ધારો કે $I = 729 \int_1^3 \frac{1}{x^3(x^2+9)^2} dx$.
આંશિક અપૂર્ણાંકનો ઉપયોગ કરીને,આપણે લખી શકીએ કે $\frac{1}{x^3(x^2+9)^2} = \frac{A}{x} + \frac{B}{x^2} + \frac{C}{x^3} + \frac{Dx+E}{x^2+9} + \frac{Fx+G}{(x^2+9)^2}$.
સહગુણકો શોધતા,આપણને $A = -\frac{2}{729}$,$B = 0$,$C = \frac{1}{81}$,$D = \frac{2}{729}$,$E = 0$,$F = \frac{1}{81}$,$G = 0$ મળે છે.
આ કિંમતોને સંકલનમાં મૂકતા:
$I = 729 \int_1^3 \left( -\frac{2}{729x} + \frac{1}{81x^3} + \frac{2x}{729(x^2+9)} + \frac{x}{81(x^2+9)^2} \right) dx$
$I = \int_1^3 \left( -\frac{2}{x} + \frac{9}{x^3} + \frac{2x}{x^2+9} + \frac{9x}{(x^2+9)^2} \right) dx$
દરેક પદનું સંકલન કરતા:
$I = \left[ -2 \log|x| - \frac{9}{2x^2} + \log(x^2+9) - \frac{9}{2(x^2+9)} \right]_1^3$
$I = \left[ \log\left(\frac{x^2+9}{x^2}\right) - \frac{9}{2x^2} - \frac{9}{2(x^2+9)} \right]_1^3$
સીમાઓ મૂકતા:
$I = \left( \log\left(\frac{18}{9}\right) - \frac{9}{18} - \frac{9}{36} \right) - \left( \log\left(\frac{10}{1}\right) - \frac{9}{2} - \frac{9}{20} \right)$
$I = \log 2 - \frac{1}{2} - \frac{1}{4} - \log 10 + \frac{9}{2} + \frac{9}{20}$
$I = \log\left(\frac{2}{10}\right) + \left( 4 - \frac{1}{4} + \frac{9}{20} \right) = \log\left(\frac{1}{5}\right) + \left( \frac{80 - 5 + 9}{20} \right) = \log\left(\frac{1}{5}\right) + \frac{84}{20} = \frac{21}{5} + \log\left(\frac{1}{5}\right)$
$a + \log b$ સાથે સરખાવતા,આપણને $a = \frac{21}{5}$ અને $b = \frac{1}{5}$ મળે છે.
તેથી,$a - b = \frac{21}{5} - \frac{1}{5} = \frac{20}{5} = 4$.

(A) $\int_0^2 f(x) dx$ ની કિંમત શોધવા માટે,આપણે સંકલનને $x = 1$ પર વિભાજિત કરીએ છીએ:
$\int_0^2 f(x) dx = \int_0^1 \frac{6 x^2 + 1}{4 x^3 + 2 x + 3} dx + \int_1^2 (x^2 + 1) dx$
પ્રથમ સંકલન માટે,ધારો કે $u = 4 x^3 + 2 x + 3$,તો $du = (12 x^2 + 2) dx = 2(6 x^2 + 1) dx$.
તેથી,$\int_0^1 \frac{6 x^2 + 1}{4 x^3 + 2 x + 3} dx = \frac{1}{2} \int_{u(0)}^{u(1)} \frac{1}{u} du = \frac{1}{2} [\log |u|]_3^9 = \frac{1}{2} (\log 9 - \log 3) = \frac{1}{2} \log 3$.
બીજા સંકલન માટે,$\int_1^2 (x^2 + 1) dx = [\frac{x^3}{3} + x]_1^2 = (\frac{8}{3} + 2) - (\frac{1}{3} + 1) = \frac{14}{3} - \frac{4}{3} = \frac{10}{3}$.
બંને ભાગોનો સરવાળો કરતા,$\int_0^2 f(x) dx = \frac{1}{2} \log 3 + \frac{10}{3}$.

(D) ધારો કે $I = \int_0^1 \frac{x}{(1-x)^{3/4}} dx$.
$t = 1 - x$ આદેશ લેતા,$dt = -dx$ મળે. જ્યારે $x = 0, t = 1$ અને જ્યારે $x = 1, t = 0$ થાય.
$I = \int_1^0 \frac{1-t}{t^{3/4}} (-dt) = \int_0^1 \frac{1-t}{t^{3/4}} dt$.
$I = \int_0^1 (t^{-3/4} - t^{1/4}) dt$.
$I = \left[ \frac{t^{1/4}}{1/4} - \frac{t^{5/4}}{5/4} \right]_0^1$.
$I = \left[ 4t^{1/4} - \frac{4}{5}t^{5/4} \right]_0^1 = 4 - \frac{4}{5} = \frac{20-4}{5} = \frac{16}{5}$.

(D) ધારો કે $I = \int_0^1 \sqrt{\frac{2+x}{2-x}} \, dx$.
સંકલિતનું સંમેયીકરણ કરતા: $I = \int_0^1 \frac{2+x}{\sqrt{4-x^2}} \, dx = \int_0^1 \frac{2}{\sqrt{4-x^2}} \, dx + \int_0^1 \frac{x}{\sqrt{4-x^2}} \, dx$.
પ્રથમ ભાગ માટે,$\int_0^1 \frac{2}{\sqrt{2^2-x^2}} \, dx = 2 \left[ \sin^{-1} \left( \frac{x}{2} \right) \right]_0^1 = 2 \left( \sin^{-1} \frac{1}{2} - \sin^{-1} 0 \right) = 2 \left( \frac{\pi}{6} - 0 \right) = \frac{\pi}{3}$.
બીજા ભાગ માટે,ધારો કે $t = 4-x^2$,તો $dt = -2x \, dx$,તેથી $x \, dx = -\frac{1}{2} \, dt$.
$\int_0^1 \frac{x}{\sqrt{4-x^2}} \, dx = -\frac{1}{2} \int_4^3 \frac{1}{\sqrt{t}} \, dt = \frac{1}{2} \int_3^4 t^{-1/2} \, dt = \frac{1}{2} [2\sqrt{t}]_3^4 = \sqrt{4} - \sqrt{3} = 2 - \sqrt{3}$.
બંને ભાગોનો સરવાળો કરતા: $I = \frac{\pi}{3} + 2 - \sqrt{3}$.

(D) આપેલ છે કે $M = \int_0^{\infty} \frac{\log t}{1+t^3} dt$ અને $N = \int_{-\infty}^{\infty} \frac{t e^{2 t}}{1+e^{3 t}} dt$.
$M$ માટે,ધારો કે $t = e^{-x}$,તેથી $dt = -e^{-x} dx$.
જ્યારે $t = 0, x = \infty$ અને જ્યારે $t = \infty, x = -\infty$.
આ કિંમતો $M$ માં મૂકતા:
$M = \int_{\infty}^{-\infty} \frac{\log(e^{-x})}{1+(e^{-x})^3} (-e^{-x}) dx = \int_{-\infty}^{\infty} \frac{-x}{1+e^{-3x}} e^{-x} dx$.
અંશ અને છેદને $e^{3x}$ વડે ગુણતા:
$M = \int_{-\infty}^{\infty} \frac{-x e^{2x}}{e^{3x} + 1} dx = -\int_{-\infty}^{\infty} \frac{x e^{2x}}{1+e^{3x}} dx$.
આને $N$ સાથે સરખાવતા,આપણને $M = -N$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $N = -M$.

(B) અહીં $f(x) = (4-x^2)^{5/2}$ એ યુગ્મ વિધેય હોવાથી, $I = 2 \int_0^2 (4-x^2)^{5/2} dx$ થાય.
ધારો કે $x = 2 \sin \theta$, તેથી $dx = 2 \cos \theta d\theta$.
જ્યારે $x = 0, \theta = 0$ અને જ્યારે $x = 2, \theta = \frac{\pi}{2}$.
$I = 2 \int_0^{\pi/2} (4 - 4 \sin^2 \theta)^{5/2} (2 \cos \theta) d\theta$.
$I = 2 \int_0^{\pi/2} (4 \cos^2 \theta)^{5/2} (2 \cos \theta) d\theta = 2 \int_0^{\pi/2} (32 \cos^5 \theta) (2 \cos \theta) d\theta$.
$I = 128 \int_0^{\pi/2} \cos^6 \theta d\theta$.
વોલિસના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા, $\int_0^{\pi/2} \cos^n \theta d\theta = \frac{(n-1)(n-3)...(1)}{n(n-2)...(2)} \times \frac{\pi}{2}$ (જ્યાં $n$ યુગ્મ છે).
$I = 128 \times \frac{5 \times 3 \times 1}{6 \times 4 \times 2} \times \frac{\pi}{2} = 128 \times \frac{15}{48} \times \frac{\pi}{2} = 128 \times \frac{5}{16} \times \frac{\pi}{2} = 8 \times 5 \times \frac{\pi}{2} = 20 \pi$.

(D) ધારો કે $I = \int_{-5 \pi}^{5 \pi} (1-\cos 2x)^{\frac{5}{2}} dx$.
કારણ કે $f(x) = (1-\cos 2x)^{\frac{5}{2}}$ એ યુગ્મ વિધેય છે,તેથી $I = 2 \int_{0}^{5 \pi} (2 \sin^2 x)^{\frac{5}{2}} dx$.
$I = 2 \int_{0}^{5 \pi} 2^{\frac{5}{2}} |\sin x|^5 dx = 2 \times 4 \sqrt{2} \int_{0}^{5 \pi} |\sin x|^5 dx = 8 \sqrt{2} \int_{0}^{5 \pi} |\sin x|^5 dx$.
$|\sin x|^5$ એ $\pi$ આવર્તકાળ ધરાવતું વિધેય હોવાથી,$\int_{0}^{5 \pi} |\sin x|^5 dx = 5 \int_{0}^{\pi} \sin^5 x dx = 5 \times 2 \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^5 x dx$.
વોલિસના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^5 x dx = \frac{4 \times 2}{5 \times 3} = \frac{8}{15}$.
આમ,$I = 8 \sqrt{2} \times 5 \times 2 \times \frac{8}{15} = 80 \sqrt{2} \times \frac{8}{15} = 16 \sqrt{2} \times \frac{8}{3} = \frac{128 \sqrt{2}}{3}$.

(A) ધારો કે $I = \int_0^\pi x \sin^4 x \cos^6 x \, dx$.
ગુણધર્મ $\int_0^a f(x) \, dx = \int_0^a f(a-x) \, dx$ નો ઉપયોગ કરતા:
$I = \int_0^\pi (\pi - x) \sin^4(\pi - x) \cos^6(\pi - x) \, dx$
કારણ કે $\sin(\pi - x) = \sin x$ અને $\cos(\pi - x) = -\cos x$,તેથી:
$I = \int_0^\pi (\pi - x) \sin^4 x (-\cos x)^6 \, dx = \int_0^\pi (\pi - x) \sin^4 x \cos^6 x \, dx$
$I = \pi \int_0^\pi \sin^4 x \cos^6 x \, dx - I$
$2I = \pi \int_0^\pi \sin^4 x \cos^6 x \, dx$
જો $f(2a-x) = f(x)$ હોય તો $\int_0^{2a} f(x) \, dx = 2 \int_0^a f(x) \, dx$ નો ઉપયોગ કરતા:
$2I = 2\pi \int_0^{\pi/2} \sin^4 x \cos^6 x \, dx$
$I = \pi \int_0^{\pi/2} \sin^4 x \cos^6 x \, dx$
વોલિસના સૂત્ર $\int_0^{\pi/2} \sin^m x \cos^n x \, dx = \frac{(m-1)!!(n-1)!!}{(m+n)!!} \cdot \frac{\pi}{2}$ (જ્યારે $m, n$ બેકી હોય) નો ઉપયોગ કરતા:
$I = \pi \left( \frac{3 \cdot 1 \cdot 5 \cdot 3 \cdot 1}{10 \cdot 8 \cdot 6 \cdot 4 \cdot 2} \cdot \frac{\pi}{2} \right) = \pi \left( \frac{45}{3840} \cdot \frac{\pi}{2} \right) = \pi \left( \frac{3}{256} \cdot \frac{\pi}{2} \right) = \frac{3 \pi^2}{512}$.

(B) ધારો કે $I = \int_{-\pi}^\pi \frac{x \sin ^3 x}{4-\cos ^2 x} d x$.
અહીં $f(x) = \frac{x \sin ^3 x}{4-\cos ^2 x}$ એ યુગ્મ વિધેય છે (કારણ કે $f(-x) = f(x)$),તેથી:
$I = 2 \int_0^\pi \frac{x \sin ^3 x}{4-\cos ^2 x} d x$ ....$(i)$
ગુણધર્મ $\int_0^a f(x) dx = \int_0^a f(a-x) dx$ નો ઉપયોગ કરતા:
$I = 2 \int_0^\pi \frac{(\pi-x) \sin ^3 x}{4-\cos ^2 x} d x$ ....(ii)
$(i)$ અને (ii) નો સરવાળો કરતા:
$2I = 2 \pi \int_0^\pi \frac{\sin ^3 x}{4-\cos ^2 x} d x \Rightarrow I = \pi \int_0^\pi \frac{(1-\cos^2 x) \sin x}{4-\cos ^2 x} d x$.
ધારો કે $\cos x = t$,તો $-\sin x dx = dt$. જ્યારે $x=0, t=1$; જ્યારે $x=\pi, t=-1$.
$I = -\pi \int_1^{-1} \frac{1-t^2}{4-t^2} dt = 2\pi \int_0^1 \frac{1-t^2}{4-t^2} dt$.
$I = 2\pi \int_0^1 (1 - \frac{3}{4-t^2}) dt = 2\pi [t - \frac{3}{4} \log |\frac{2+t}{2-t}|]_0^1 = 2\pi [1 - \frac{3}{4} \log 3]$.

(C) આ સંકલન $x = -3$ થી $x = 3$ સુધીના વક્ર $y = |2-x|$ હેઠળના ક્ષેત્રફળને દર્શાવે છે.
આપણે સંકલનને તે બિંદુએ વિભાજિત કરી શકીએ છીએ જ્યાં માનાંકની અંદરની અભિવ્યક્તિ શૂન્ય થાય છે,જે $x = 2$ છે.
$\int_{-3}^3 |2-x| dx = \int_{-3}^2 (2-x) dx + \int_{2}^3 (x-2) dx$
પ્રથમ ભાગની ગણતરી: $\int_{-3}^2 (2-x) dx = [2x - \frac{x^2}{2}]_{-3}^2 = (4 - 2) - (-6 - \frac{9}{2}) = 2 - (-10.5) = 12.5$.
બીજા ભાગની ગણતરી: $\int_{2}^3 (x-2) dx = [\frac{x^2}{2} - 2x]_{2}^3 = (4.5 - 6) - (2 - 4) = -1.5 - (-2) = 0.5$.
બંને ભાગોનો સરવાળો: $12.5 + 0.5 = 13$.
વૈકલ્પિક રીતે,આલેખ પરથી ભૌમિતિક અર્થઘટનનો ઉપયોગ કરતા,ક્ષેત્રફળ બે કાટકોણ ત્રિકોણનો બનેલો છે:
ત્રિકોણ $1$ (પાયો $-3$ થી $2$,$x=-3$ પર ઊંચાઈ $|2-(-3)|=5$ છે): ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times 5 \times 5 = 12.5$.
ત્રિકોણ $2$ (પાયો $2$ થી $3$,$x=3$ પર ઊંચાઈ $|2-3|=1$ છે): ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times 1 \times 1 = 0.5$.
કુલ ક્ષેત્રફળ $= 12.5 + 0.5 = 13$.

(D) ધારો કે $I = \int_0^5 [x] \, dx$.
કારણ કે $[x]$ એ મહત્તમ પૂર્ણાંક વિધેય છે,તે દરેક પૂર્ણાંક બિંદુ પર તેનું મૂલ્ય બદલે છે.
આપણે સંકલનને નીચે મુજબ વિભાજિત કરી શકીએ છીએ:
$I = \int_0^1 [x] \, dx + \int_1^2 [x] \, dx + \int_2^3 [x] \, dx + \int_3^4 [x] \, dx + \int_4^5 [x] \, dx$
$I = \int_0^1 0 \, dx + \int_1^2 1 \, dx + \int_2^3 2 \, dx + \int_3^4 3 \, dx + \int_4^5 4 \, dx$
$I = 0(1-0) + 1(2-1) + 2(3-2) + 3(4-3) + 4(5-4)$
$I = 0 + 1 + 2 + 3 + 4 = 10$.

(D) ધારો કે $I = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{1}{1+\sqrt{\tan x}} dx$ $\qquad ....(i)$
ગુણધર્મ $\int_0^a f(x) dx = \int_0^a f(a-x) dx$ નો ઉપયોગ કરતા:
$I = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{1}{1+\sqrt{\tan(\frac{\pi}{2}-x)}} dx$
$I = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{1}{1+\sqrt{\cot x}} dx = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sqrt{\tan x}}{1+\sqrt{\tan x}} dx$ $\qquad ....(ii)$
$(i)$ અને $(ii)$ નો સરવાળો કરતા:
$2I = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{1+\sqrt{\tan x}}{1+\sqrt{\tan x}} dx$
$2I = \int_0^{\frac{\pi}{2}} 1 dx = [x]_0^{\frac{\pi}{2}} = \frac{\pi}{2}$
$I = \frac{\pi}{4}$

(D) ધારો કે $I = \int_0^\pi \frac{x \sin x}{1+\cos^2 x} dx \qquad ....(i)$
ગુણધર્મ $\int_0^a f(x) dx = \int_0^a f(a-x) dx$ નો ઉપયોગ કરતા:
$I = \int_0^\pi \frac{(\pi-x) \sin(\pi-x)}{1+\cos^2(\pi-x)} dx = \int_0^\pi \frac{(\pi-x) \sin x}{1+\cos^2 x} dx \qquad ....(ii)$
$(i)$ અને $(ii)$ નો સરવાળો કરતા:
$2I = \int_0^\pi \frac{\pi \sin x}{1+\cos^2 x} dx$
$I = \frac{\pi}{2} \int_0^\pi \frac{\sin x}{1+\cos^2 x} dx$
ધારો કે $\cos x = t$,તેથી $-\sin x dx = dt$. જ્યારે $x=0, t=1$ અને જ્યારે $x=\pi, t=-1$.
$I = \frac{\pi}{2} \int_1^{-1} \frac{-dt}{1+t^2} = \frac{\pi}{2} \int_{-1}^1 \frac{dt}{1+t^2}$
$I = \frac{\pi}{2} [\tan^{-1}(t)]_{-1}^1 = \frac{\pi}{2} [\tan^{-1}(1) - \tan^{-1}(-1)]$
$I = \frac{\pi}{2} [\frac{\pi}{4} - (-\frac{\pi}{4})] = \frac{\pi}{2} [\frac{\pi}{2}] = \frac{\pi^2}{4}$

(C) ધારો કે $I = \int_{-1}^1 \left(\sqrt{1+x+x^2}-\sqrt{1-x+x^2}\right) dx$.
$f(x) = \sqrt{1+x+x^2} - \sqrt{1-x+x^2}$ લો.
આપણે ચકાસીએ કે $f(x)$ એ અયુગ્મ વિધેય છે કે નહીં:
$f(-x) = \sqrt{1+(-x)+(-x)^2} - \sqrt{1-(-x)+(-x)^2} = \sqrt{1-x+x^2} - \sqrt{1+x+x^2}$.
અહીં $f(-x) = -(\sqrt{1+x+x^2} - \sqrt{1-x+x^2}) = -f(x)$ હોવાથી,$f(x)$ એ અયુગ્મ વિધેય છે.
અયુગ્મ વિધેય માટે,$\int_{-a}^a f(x) dx = 0$ થાય.
તેથી,$\int_{-1}^1 \left(\sqrt{1+x+x^2}-\sqrt{1-x+x^2}\right) dx = 0$.

(C) આપણે સંકલન $I = \int_{1}^{5} (|x-3| + |1-x|) dx$ ની કિંમત શોધવાની છે.
અહીં $x$ ની સીમા $1$ થી $5$ છે,તેથી $|1-x| = x-1$ થાય કારણ કે $x \ge 1$.
હવે,$|x-3|$ ના કારણે આપણે સંકલનને $x=3$ આગળ વિભાજિત કરીશું:
$1 \le x < 3$ માટે,$|x-3| = 3-x$.
$3 \le x \le 5$ માટે,$|x-3| = x-3$.
તેથી,$I = \int_{1}^{3} (3-x + x-1) dx + \int_{3}^{5} (x-3 + x-1) dx$.
$I = \int_{1}^{3} 2 dx + \int_{3}^{5} (2x-4) dx$.
$I = [2x]_{1}^{3} + [x^2-4x]_{3}^{5}$.
$I = (6-2) + ((25-20) - (9-12))$.
$I = 4 + (5 - (-3)) = 4 + 8 = 12$.

(D) ધારો કે $I = \int_{-\pi}^\pi \frac{x \sin x}{1+\cos^2 x} dx$.
અહીં $f(x) = \frac{x \sin x}{1+\cos^2 x}$ એ યુગ્મ વિધેય છે કારણ કે $f(-x) = f(x)$,તેથી:
$I = 2 \int_0^\pi \frac{x \sin x}{1+\cos^2 x} dx$.
ગુણધર્મ $\int_0^a f(x) dx = \int_0^a f(a-x) dx$ નો ઉપયોગ કરતા:
$I = 2 \int_0^\pi \frac{(\pi-x) \sin x}{1+\cos^2 x} dx = 2\pi \int_0^\pi \frac{\sin x}{1+\cos^2 x} dx - I$.
$2I = 2\pi \int_0^\pi \frac{\sin x}{1+\cos^2 x} dx \Rightarrow I = \pi \int_0^\pi \frac{\sin x}{1+\cos^2 x} dx$.
ધારો કે $\cos x = t$,તો $-\sin x dx = dt$.
$I = \pi \int_{-1}^1 \frac{dt}{1+t^2} = \pi [\tan^{-1} t]_{-1}^1 = \pi (\frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{4}) = \frac{\pi^2}{2}$.

(B) $L$.$H$.$S$. $= \int_0^{2 \pi} (\sin ^4 x + \cos ^4 x) dx = 2 \int_0^{\pi} (\sin ^4 x + \cos ^4 x) dx = 4 \int_0^{\pi/2} (\sin ^4 x + \cos ^4 x) dx$.
વોલિસના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$\int_0^{\pi/2} \sin^4 x dx = \int_0^{\pi/2} \cos^4 x dx = \frac{3 \times 1}{4 \times 2} \times \frac{\pi}{2} = \frac{3\pi}{16}$.
તેથી,$L$.$H$.$S$. $= 4 \times (\frac{3\pi}{16} + \frac{3\pi}{16}) = 4 \times \frac{6\pi}{16} = \frac{3\pi}{2}$.
$R$.$H$.$S$. $= K \int_0^{\pi} \sin^2 x dx + L \int_0^{\pi/2} \cos^2 x dx = K(2 \int_0^{\pi/2} \sin^2 x dx) + L \int_0^{\pi/2} \cos^2 x dx$.
$\int_0^{\pi/2} \sin^2 x dx = \int_0^{\pi/2} \cos^2 x dx = \frac{1}{2} \times \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{4}$ નો ઉપયોગ કરતા.
$R$.$H$.$S$. $= K(2 \times \frac{\pi}{4}) + L(\frac{\pi}{4}) = \frac{K\pi}{2} + \frac{L\pi}{4} = \frac{(2K + L)\pi}{4}$.
$L$.$H$.$S$. અને $R$.$H$.$S$. ને સરખાવતા: $\frac{3\pi}{2} = \frac{(2K + L)\pi}{4} \Rightarrow 6 = 2K + L$.
કારણ કે $K, L \in N$ (પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓ),આપણે $K$ માટે કિંમતો ચકાસીએ:
જો $K=1$,તો $L = 6 - 2(1) = 4$.
જો $K=2$,તો $L = 6 - 2(2) = 2$.
જો $K=3$,તો $L = 6 - 2(3) = 0$ ($N$ માં નથી).
આમ,શક્ય ક્રમયુક્ત જોડીઓ $(K, L)$ એ $(1, 4)$ અને $(2, 2)$ છે.
આવી $2$ જોડીઓ શક્ય છે.

(A) $I = \int_0^\pi \frac{x \sin x}{4 \cos^2 x + 3 \sin^2 x} dx$
ગુણધર્મ $\int_0^a f(x) dx = \int_0^a f(a-x) dx$ નો ઉપયોગ કરતા:
$I = \int_0^\pi \frac{(\pi - x) \sin x}{4 \cos^2(\pi - x) + 3 \sin^2(\pi - x)} dx = \int_0^\pi \frac{(\pi - x) \sin x}{4 \cos^2 x + 3 \sin^2 x} dx$
$I$ માટેના બંને પદોનો સરવાળો કરતા:
$2I = \int_0^\pi \frac{\pi \sin x}{4 \cos^2 x + 3 \sin^2 x} dx = \pi \int_0^\pi \frac{\sin x}{4 \cos^2 x + 3(1 - \cos^2 x)} dx$
$2I = \pi \int_0^\pi \frac{\sin x}{\cos^2 x + 3} dx$
ધારો કે $t = \cos x$,તો $dt = -\sin x dx$. જ્યારે $x=0, t=1$; જ્યારે $x=\pi, t=-1$.
$2I = -\pi \int_1^{-1} \frac{dt}{t^2 + 3} = \pi \int_{-1}^1 \frac{dt}{t^2 + 3}$
$2I = \pi \left[ \frac{1}{\sqrt{3}} \tan^{-1} \left( \frac{t}{\sqrt{3}} \right) \right]_{-1}^1 = \frac{\pi}{\sqrt{3}} \left( \tan^{-1} \frac{1}{\sqrt{3}} - \tan^{-1} \left( -\frac{1}{\sqrt{3}} \right) \right)$
$2I = \frac{\pi}{\sqrt{3}} \left( \frac{\pi}{6} - (-\frac{\pi}{6}) \right) = \frac{\pi}{\sqrt{3}} \left( \frac{\pi}{3} \right) = \frac{\pi^2}{3 \sqrt{3}}$
$I = \frac{\pi^2}{6 \sqrt{3}}$

(D) ધારો કે $I = \int \frac{(\cos ^n \theta-\cos \theta)^{\frac{1}{n}}}{\cos ^{n+1} \theta} \sin \theta d \theta$.
અંશમાંથી $\cos^n \theta$ સામાન્ય લેતા:
$I = \int \frac{(\cos^n \theta (1 - \cos^{1-n} \theta))^{\frac{1}{n}}}{\cos^{n+1} \theta} \sin \theta d \theta$
$I = \int \frac{\cos \theta (1 - \cos^{1-n} \theta)^{\frac{1}{n}}}{\cos^{n+1} \theta} \sin \theta d \theta = \int \frac{(1 - \cos^{1-n} \theta)^{\frac{1}{n}}}{\cos^n \theta} \sin \theta d \theta$.
ધારો કે $t = 1 - \cos^{1-n} \theta$.
તેથી $dt = -(1-n) \cos^{-n} \theta (-\sin \theta) d \theta = (1-n) \cos^{-n} \theta \sin \theta d \theta$.
આમ,$\frac{dt}{1-n} = \frac{\sin \theta}{\cos^n \theta} d \theta$.
સંકલનમાં કિંમત મૂકતા:
$I = \int \frac{t^{\frac{1}{n}}}{1-n} dt = \frac{1}{1-n} \cdot \frac{t^{\frac{1}{n}+1}}{\frac{1}{n}+1} + c = \frac{1}{1-n} \cdot \frac{t^{\frac{n+1}{n}}}{\frac{n+1}{n}} + c$
$I = \frac{n}{(1-n)(n+1)} t^{\frac{n+1}{n}} + c = \frac{n}{1-n^2} (1 - \cos^{1-n} \theta)^{\frac{n+1}{n}} + c$.

(C) આપેલ લક્ષ: $\lim _{n \rightarrow \infty} n^4 \sum_{r=0}^n \frac{1}{\left(n^2+r^2\right)^{\frac{5}{2}}}$
$= \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \sum_{r=0}^n \frac{n^5}{\left(n^2+r^2\right)^{\frac{5}{2}}}$
$= \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \sum_{r=0}^n \frac{1}{\left(1+\left(\frac{r}{n}\right)^2\right)^{\frac{5}{2}}}$
$= \int_0^1 \frac{1}{\left(1+x^2\right)^{\frac{5}{2}}} dx$
ધારો કે $x = \tan \theta$,તો $dx = \sec^2 \theta d\theta$. જ્યારે $x=0, \theta=0$ અને જ્યારે $x=1, \theta=\frac{\pi}{4}$.
$I = \int_0^{\frac{\pi}{4}} \frac{\sec^2 \theta d\theta}{(\sec^2 \theta)^{\frac{5}{2}}} = \int_0^{\frac{\pi}{4}} \frac{\sec^2 \theta}{\sec^5 \theta} d\theta = \int_0^{\frac{\pi}{4}} \cos^3 \theta d\theta$
$I = \int_0^{\frac{\pi}{4}} \cos \theta (1 - \sin^2 \theta) d\theta$
ધારો કે $\sin \theta = t$,તો $\cos \theta d\theta = dt$. જ્યારે $\theta=0, t=0$ અને જ્યારે $\theta=\frac{\pi}{4}, t=\frac{1}{\sqrt{2}}$.
$I = \int_0^{\frac{1}{\sqrt{2}}} (1 - t^2) dt = \left[ t - \frac{t^3}{3} \right]_0^{\frac{1}{\sqrt{2}}}$
$I = \frac{1}{\sqrt{2}} - \frac{1}{3(2\sqrt{2})} = \frac{1}{\sqrt{2}} - \frac{1}{6\sqrt{2}} = \frac{6-1}{6\sqrt{2}} = \frac{5}{6\sqrt{2}}$