int_0^pi x sin^4 x cos^6 x , dx = | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(A) ધારો કે $I = \int_0^\pi x \sin^4 x \cos^6 x \, dx$. ગુણધર્મ $\int_0^a f(x) \, dx = \int_0^a f(a-x) \, dx$ નો ઉપયોગ કરતા: $I = \int_0^\pi (\pi - x)

Vedclass · Accepted Answer

$\frac{3 \pi^2}{512}$

Vedclass · Answer

(A) ધારો કે $I = \int_0^\pi x \sin^4 x \cos^6 x \, dx$. ગુણધર્મ $\int_0^a f(x) \, dx = \int_0^a f(a-x) \, dx$ નો ઉપયોગ કરતા: $I = \int_0^\pi (\pi - x) \sin^4(\pi - x) \cos^6(\pi - x) \, dx$ કારણ કે $\sin(\pi - x) = \sin x$ અને $\cos(\pi - x) = -\cos x$,તેથી: $I = \int_0^\pi (\pi - x) \sin^4 x (-\cos x)^6 \, dx = \int_0^\pi (\pi - x) \sin^4 x \cos^6 x \, dx$ $I = \pi \int_0^\pi \sin^4 x \cos^6 x \, dx - I$ $2I = \pi \int_0^\pi \sin^4 x \cos^6 x \, dx$ જો $f(2a-x) = f(x)$ હોય તો $\int_0^{2a} f(x) \, dx = 2 \int_0^a f(x) \, dx$ નો ઉપયોગ કરતા: $2I = 2\pi \int_0^{\pi/2} \sin^4 x \cos^6 x \, dx$ $I = \pi \int_0^{\pi/2} \sin^4 x \cos^6 x \, dx$ વોલિસના સૂત્ર $\int_0^{\pi/2} \sin^m x \cos^n x \, dx = \frac{(m-1)!!(n-1)!!}{(m+n)!!} \cdot \frac{\pi}{2}$ (જ્યારે $m, n$ બેકી હોય) નો ઉપયોગ કરતા: $I = \pi \left( \frac{3 \cdot 1 \cdot 5 \cdot 3 \cdot 1}{10 \cdot 8 \cdot 6 \cdot 4 \cdot 2} \cdot \frac{\pi}{2} \right) = \pi \left( \frac{45}{3840} \cdot \frac{\pi}{2} \right) = \pi \left( \frac{3}{256} \cdot \frac{\pi}{2} \right) = \frac{3 \pi^2}{512}$.

$\int_0^\pi x \sin^4 x \cos^6 x \, dx =$

Similar Questions

આપેલ છે કે $\frac{d}{d x} \int_0^{\phi(x)} f(t) d t=f(\phi(x)) \phi^{\prime}(x)$. બધા $x \in \left(0, \frac{\pi}{2}\right)$ માટે,જો $\int_1^{\cos x} t^2 f(t) d t=\cos 2 x$ હોય,તો $f\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)=$

ધારો કે $f(x) = \int_{\sin x}^{\cos x} e^{-t^2} dt$. તો $f^{\prime}\left(\frac{\pi}{4}\right)$ ની કિંમત શોધો.

જો $f(x) = \int_a^x {t^3 e^t \, dt}$ હોય,તો $\frac{d}{dx} f(x) = $

$\int_0^{\pi / 2} \sin ^m x \cos ^4 x \, dx = \frac{7 \pi}{2048} \Rightarrow m = ?$

વિધેય $f(x) = \int_{x^2}^{x^2+1} e^{-t^2} dt$ એ કયા અંતરાલમાં વધતું વિધેય છે?

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module