AP EAMCET 2024 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(D) આપેલ પદ: $Z = \frac{(\cos a+i \sin a)^6}{(\sin b+i \cos b)^8}$
ડી મોઇવરના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,અંશ $(\cos a+i \sin a)^6 = \cos(6a) + i \sin(6a) = e^{i6a}$ થાય.
છેદ માટે,$\sin b + i \cos b = i(\cos b - i \sin b) = i e^{-ib}$ થાય.
તેથી,$(\sin b + i \cos b)^8 = i^8 (e^{-ib})^8 = 1 \cdot e^{-i8b} = e^{-i8b}$ થાય.
આ કિંમતો મૂકતા: $Z = \frac{e^{i6a}}{e^{-i8b}} = e^{i(6a+8b)}$.
ઓઇલરના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $Z = \cos(6a+8b) + i \sin(6a+8b)$.
તેથી વાસ્તવિક ભાગ $\cos(6a+8b)$ છે.

(D) ધારો કે આપેલ પદાવલિ $E = \frac{a+b \omega+c \omega^2}{c+a \omega+b \omega^2}+\frac{a+b \omega+c \omega^2}{b+c \omega+a \omega^2}$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\omega^3 = 1$ અને $1+\omega+\omega^2 = 0$.
બીજા પદના અંશ અને છેદને $\omega$ વડે ગુણતા:
$E = \frac{a+b \omega+c \omega^2}{c+a \omega+b \omega^2} + \frac{a\omega+b \omega^2+c}{b\omega+c \omega^2+a} = (1+\omega) \left( \frac{a+b \omega+c \omega^2}{c+a \omega+b \omega^2} \right) = -\omega^2 \left( \frac{a+b \omega+c \omega^2}{c+a \omega+b \omega^2} \right) = -1$.

(B) આપેલ છે કે $z=x+iy$, જ્યાં $P=(x, y)$ છે.
પદાવલિ $\frac{z+i}{z-1} = \frac{x+i(y+1)}{(x-1)+iy}$ ને ધ્યાનમાં લો.
સરળ બનાવવા માટે, અંશ અને છેદને છેદની અનુબદ્ધ સંકર સંખ્યા $(x-1)-iy$ વડે ગુણો:
$\frac{x+i(y+1)}{(x-1)+iy} \times \frac{(x-1)-iy}{(x-1)-iy} = \frac{x(x-1) - ixy + i(y+1)(x-1) + y(y+1)}{(x-1)^2+y^2}$.
અંશનું વિસ્તરણ કરતા:
$= \frac{x^2-x + y^2+y + i(xy-x+y+1-xy)}{(x-1)^2+y^2} = \frac{(x^2+y^2-x+y) + i(1-x+y)}{(x-1)^2+y^2}$.
કારણ કે $\frac{z+i}{z-1}$ એ શુદ્ધ કાલ્પનિક સંખ્યા છે, તેથી તેનો વાસ્તવિક ભાગ શૂન્ય હોવો જોઈએ:
$\operatorname{Re}\left(\frac{z+i}{z-1}\right) = 0 \Rightarrow \frac{x^2+y^2-x+y}{(x-1)^2+y^2} = 0$.
આનો અર્થ એ થાય કે $x^2+y^2-x+y=0$, શરત એ છે કે છેદ $(x-1)^2+y^2 \neq 0$, જેનો અર્થ છે કે $(x, y) \neq (1, 0)$.

(A) આપેલ ગણ $S = \{z \in \mathbb{C} : |z - (-1 + i)| = 1\}$ છે.
આ સંકર સમતલમાં વર્તુળનું પ્રમાણિત સ્વરૂપ $|z - z_0| = r$ છે,જ્યાં $z_0$ એ કેન્દ્ર છે અને $r$ એ ત્રિજ્યા છે.
અહીં,$z_0 = -1 + i$,જે કાર્તેઝિયન સમતલમાં $(-1, 1)$ બિંદુ દર્શાવે છે.
ત્રિજ્યા $r = 1$ છે.
આમ,તે $(-1, 1)$ કેન્દ્ર અને $1$ એકમ ત્રિજ્યા ધરાવતું વર્તુળ દર્શાવે છે.

(B) ધારો કે $Z = x + iy$. આપેલ સમીકરણ $\arg \left(\frac{Z-1}{Z+1}\right) = \frac{\pi}{4}$ છે.
આ એક એવા બિંદુ $Z$ નો બિંદુપથ દર્શાવે છે કે જેથી $A(-1, 0)$ અને $B(1, 0)$ ને જોડતા રેખાખંડ દ્વારા $Z$ આગળ બનતો ખૂણો $\frac{\pi}{4}$ થાય.
વર્તુળના ગુણધર્મ મુજબ,જે બિંદુ નિશ્ચિત રેખાખંડ પર અચળ ખૂણો આંતરે છે તેનો બિંદુપથ વર્તુળનો ચાપ હોય છે.
તેથી,બિંદુપથ એ વર્તુળનો ચાપ છે.

(D) સંકર સમતલમાં વર્તુળનું સામાન્ય સમીકરણ $z \bar{z} + a \bar{z} + \bar{a} z + b = 0$ છે,જ્યાં $a$ સંકર અચળાંક છે અને $b$ વાસ્તવિક અચળાંક છે.
આ વર્તુળનું કેન્દ્ર $-a$ છે અને ત્રિજ્યા $\sqrt{|a|^2 - b}$ છે.
આપેલ સમીકરણ $z \bar{z} + (4 - 3i) \bar{z} + (4 + 3i) z + c = 0$ ને સામાન્ય સ્વરૂપ સાથે સરખાવતા,$a = 4 - 3i$ અને $b = c$ મળે છે.
વર્તુળ અસ્તિત્વમાં રહે તે માટે,ત્રિજ્યા $\geq 0$ હોવી જોઈએ,તેથી $|a|^2 - b \geq 0$.
અહીં,$|a|^2 = |4 - 3i|^2 = 4^2 + (-3)^2 = 16 + 9 = 25$.
આમ,$25 - c \geq 0$,જેનો અર્થ છે કે $c \leq 25$.
તેથી,$c$ ની તમામ વાસ્તવિક કિંમતોનો ગણ $(-\infty, 25]$ છે.

(A) આપેલ છે કે $\text{arg}\left(\frac{z - z_1}{z - z_2}\right) = \frac{\pi}{4}$.
આ $z$ નો બિંદુપથ $z_1$ અને $z_2$ માંથી પસાર થતા વર્તુળના ચાપ તરીકે દર્શાવે છે.
જીવા $z_1z_2$ દ્વારા પરિઘ પર આંતરેલો ખૂણો $\frac{\pi}{4}$ છે,તેથી કેન્દ્ર $O$ પર આંતરેલો ખૂણો $2 \times \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2}$ થશે.
$z_1z_2$ નું મધ્યબિંદુ $\left(\frac{10+4}{2}, \frac{6+6}{2}\right) = (7, 6)$ છે.
$z_1$ અને $z_2$ વચ્ચેનું અંતર $|10+6i - (4+6i)| = 6$ છે. તેથી,જીવાની અડધી લંબાઈ $3$ છે.
કેન્દ્ર અને જીવા દ્વારા બનતો ત્રિકોણ સમદ્વિબાજુ કાટકોણ ત્રિકોણ હોવાથી,મધ્યબિંદુ $(7, 6)$ થી કેન્દ્ર $O$ નું અંતર $3$ છે.
ખૂણો $\frac{\pi}{4}$ હોવાથી,કેન્દ્ર $O$ એ $(7, 6+3) = (7, 9)$ પર છે,જે $7+9i$ ને અનુરૂપ છે.
ત્રિજ્યા $R$ એ $(7, 9)$ થી $(10, 6)$ સુધીનું અંતર છે,જે $\sqrt{(10-7)^2 + (6-9)^2} = \sqrt{3^2 + (-3)^2} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}$ છે.
આમ,વર્તુળનું સમીકરણ $|z - (7+9i)| = 3\sqrt{2}$ છે.

(B) આપેલ શરતો $|Z| \leq 3$ અને $-\frac{\pi}{2} \leq \operatorname{amp}(Z) \leq \frac{\pi}{2}$ છે.
$|Z| \leq 3$ એ ઉગમબિંદુ પર કેન્દ્રિત $3$ ત્રિજ્યા ધરાવતું વર્તુળ દર્શાવે છે.
$-\frac{\pi}{2} \leq \operatorname{amp}(Z) \leq \frac{\pi}{2}$ એ પ્રથમ અને ચોથા ચરણમાં આવેલો પ્રદેશ (જમણી બાજુનું અર્ધતલ) દર્શાવે છે.
આમ,$Z$ નો બિંદુપથ $r = 3$ ત્રિજ્યા ધરાવતું અર્ધવર્તુળ છે.
પ્રદેશનું ક્ષેત્રફળ $\frac{1}{2} \pi r^2 = \frac{1}{2} \times \pi \times (3)^2 = \frac{9 \pi}{2}$ થાય.

(C) ધારો કે $z = x + iy$. તેથી $\frac{z - 3i}{z + 4} = \frac{x + i(y - 3)}{(x + 4) + iy}$.
છેદની અનુબદ્ધ સંખ્યા વડે ગુણતા:
$\frac{x + i(y - 3)}{(x + 4) + iy} \times \frac{(x + 4) - iy}{(x + 4) - iy} = \frac{x(x + 4) - xyi + i(y - 3)(x + 4) + y(y - 3)}{(x + 4)^2 + y^2}$.
વાસ્તવિક ભાગ $\frac{x^2 + 4x + y^2 - 3y}{(x + 4)^2 + y^2}$ છે અને કાલ્પનિક ભાગ $\frac{4y - 3x - 12}{(x + 4)^2 + y^2}$ છે.
$\operatorname{Arg}(w) = \frac{\pi}{2}$ હોવાથી,વાસ્તવિક ભાગ $0$ હોવો જોઈએ અને કાલ્પનિક ભાગ ધન હોવો જોઈએ.
તેથી,$x^2 + y^2 + 4x - 3y = 0$ અને $4y - 3x - 12 > 0$.
આથી,$3x - 4y < -12 < 0$ મળે છે.

(C) આપેલ સમીકરણ $Z^3+i Z^2+2 i=0$ છે.
નિરીક્ષણ દ્વારા,$Z=i$ એક બીજ છે કારણ કે $i^3+i(i^2)+2i = -i-i+2i = 0$.
બહુપદીને $(Z-i)$ વડે ભાગતા,આપણને $(Z-i)(Z^2+2iZ-2)=0$ મળે છે.
$Z^2+2iZ-2=0$ ને દ્વિઘાત સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને ઉકેલતા: $Z = \frac{-2i \pm \sqrt{(2i)^2 - 4(1)(-2)}}{2} = \frac{-2i \pm \sqrt{-4+8}}{2} = \frac{-2i \pm 2}{2} = -i \pm 1$.
બીજ $Z_1 = i$,$Z_2 = 1-i$,અને $Z_3 = -1-i$ છે.
આર્ગેન્ડ સમતલમાં આ બિંદુઓ: $A(0, 1)$,$B(1, -1)$,અને $C(-1, -1)$ છે.
બાજુઓની લંબાઈની ગણતરી:
$AB = \sqrt{(1-0)^2 + (-1-1)^2} = \sqrt{1+4} = \sqrt{5}$.
$BC = \sqrt{(-1-1)^2 + (-1-(-1))^2} = \sqrt{(-2)^2 + 0} = 2$.
$AC = \sqrt{(-1-0)^2 + (-1-1)^2} = \sqrt{1+4} = \sqrt{5}$.
અહીં $AB = AC = \sqrt{5}$ હોવાથી,ત્રિકોણ સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણ છે.

(B) $CRICKET$ શબ્દના અક્ષરો $C, C, E, I, K, R, T$ છે. કુલ $7$ અક્ષરો છે,જેમાં $C$ બે વાર આવે છે.
શબ્દકોશના ક્રમ મુજબ ગોઠવતા,$CRICKET$ શબ્દનો ક્રમ $531$ મળે છે.

(C) $MASTER$ શબ્દના અક્ષરોને મૂળાક્ષરોના ક્રમમાં ગોઠવતા: $A, E, M, R, S, T$.
$MASTER$ શબ્દનો ક્રમ શોધવા માટે,આપણે તેના પહેલા આવતા શબ્દોની ગણતરી કરીએ:
$1$. $A$ થી શરૂ થતા શબ્દો: $5! = 120$
$2$. $E$ થી શરૂ થતા શબ્દો: $5! = 120$
$3$. $MA E...$ થી શરૂ થતા શબ્દો: $3! = 6$
$4$. $MA R...$ થી શરૂ થતા શબ્દો: $3! = 6$
$5$. $MA S E...$ થી શરૂ થતા શબ્દો: $2! = 2$
$6$. $MA S R...$ થી શરૂ થતા શબ્દો: $2! = 2$
$7$. ત્યારબાદનો શબ્દ $MASTER$ છે: $1$
કુલ ક્રમ $= 120 + 120 + 6 + 6 + 2 + 2 + 1 = 257$.

(C) '$REPETITION$' શબ્દમાં $10$ અક્ષરો છે: $R, E, E, P, E, T, I, T, I, O, N$. ભિન્ન અક્ષરો ${R, E, P, T, I, O, N}$ છે,જેમાં $E, I, T$ બે વાર આવે છે.
કિસ્સો-$I$: બધા $4$ અક્ષરો અલગ હોય.
$7$ ભિન્ન અક્ષરોમાંથી $4$ અક્ષરો પસંદ કરીને ગોઠવતા: $^7P_4 = 840$.
કિસ્સો-$II$: $2$ અક્ષરો સમાન અને $2$ અક્ષરો અલગ હોય.
$3$ જોડીઓ ${E, E}, {I, I}, {T, T}$ માંથી $1$ જોડી અને બાકીના $6$ અક્ષરોમાંથી $2$ અક્ષરો પસંદ કરતા: $^3C_1 \times ^6C_2 \times \frac{4!}{2!} = 3 \times 15 \times 12 = 540$.
કિસ્સો-$III$: $2$ અક્ષરો એક પ્રકારના અને $2$ અક્ષરો બીજા પ્રકારના હોય.
$3$ જોડીઓમાંથી $2$ જોડી પસંદ કરતા: $^3C_2 \times \frac{4!}{2!2!} = 3 \times 6 = 18$.
કુલ ક્રમચયો $= 840 + 540 + 18 = 1398$.

(C) $4$-અંકની સંખ્યા બનાવવા માટે આપણે $3$ અને $7$ અંકોનો એક જ વાર ઉપયોગ કરવો પડે. બાકીના $2$ સ્થાન બાકીના $8$ અંકો $(0, 1, 2, 4, 5, 6, 8, 9)$ માંથી પુનરાવર્તન વગર ભરી શકાય.
$4$ માંથી $3$ અને $7$ માટે $2$ સ્થાન પસંદ કરવાની રીતો $^4C_2 = 6$ છે. $3$ અને $7$ ને $2! = 2$ રીતે ગોઠવી શકાય.
બાકીના $2$ સ્થાન $8$ અંકો વડે $P(8, 2) = 8 \times 7 = 56$ રીતે ભરી શકાય.
શૂન્યથી શરૂ થતી સંખ્યાઓ સહિત કુલ રીતો $= 6 \times 2 \times 56 = 672$.
હવે,જે સંખ્યા $0$ થી શરૂ થાય છે તે બાદ કરતા ($3$-અંકની સંખ્યાઓ).
જો પ્રથમ અંક $0$ હોય,તો બાકીના $3$ સ્થાનમાંથી $3$ અને $7$ માટે $2$ સ્થાન પસંદ કરવાની રીતો $^3C_2 = 3$ છે. તેમને $2! = 2$ રીતે ગોઠવી શકાય. છેલ્લું સ્થાન બાકીના $7$ અંકોમાંથી $7$ રીતે ભરી શકાય.
$0$ થી શરૂ થતી સંખ્યાઓ $= 3 \times 2 \times 7 = 42$.
જરૂરી સંખ્યા $= 672 - 42 = 630$.

(D) પગલું $1$: $6$ નવલકથાઓમાંથી $4$ નવલકથાઓ ${}^6C_4$ રીતે પસંદ કરી શકાય.
${}^6C_4 = 15$ રીતો.
પગલું $2$: $3$ કવિતાના પુસ્તકોમાંથી $1$ પુસ્તક ${}^3C_1$ રીતે પસંદ કરી શકાય.
${}^3C_1 = 3$ રીતો.
પગલું $3$: $4$ પસંદ કરેલી નવલકથાઓ અને $1$ કવિતાના પુસ્તકને એવી રીતે ગોઠવો કે કવિતાનું પુસ્તક વચ્ચે રહે. $4$ નવલકથાઓને $4!$ રીતે ગોઠવી શકાય.
$4! = 24$ રીતો.
પગલું $4$: કુલ ગોઠવણીઓ $= 15 \times 3 \times 24 = 1080$.

(A) $7$ ભિન્ન અંકોનો ઉપયોગ કરીને બનતી ચાર અંકની કુલ સંખ્યાઓ $p = P(7, 4) = 7 \times 6 \times 5 \times 4 = 840$ છે.
$q$ ($3400$ થી મોટી સંખ્યાઓ) શોધવા માટે:
કિસ્સો $1$: $4, 5, 6, 7$ થી શરૂ થતી સંખ્યાઓ. પ્રથમ અંક $4$ રીતે પસંદ કરી શકાય છે,અને બાકીના $3$ સ્થાનો બાકીના $6$ અંકોમાંથી $P(6, 3) = 6 \times 5 \times 4 = 120$ રીતે ભરી શકાય છે. કુલ $= 4 \times 120 = 480$.
કિસ્સો $2$: $3$ થી શરૂ થતી સંખ્યાઓ. બીજો અંક $\geq 4$ હોવો જોઈએ.
જો બીજો અંક $4$ હોય,તો બાકીના $2$ સ્થાનો બાકીના $5$ અંકોમાંથી $P(5, 2) = 5 \times 4 = 20$ રીતે ભરી શકાય છે.
જો બીજો અંક $5, 6, 7$ ($3$ વિકલ્પો) હોય,તો બાકીના $2$ સ્થાનો બાકીના $5$ અંકોમાંથી $P(5, 2) = 20$ રીતે ભરી શકાય છે. કુલ $= 3 \times 20 = 60$.
આમ,$q = 480 + 20 + 60 = 560$.
તેથી,$p: q = 840: 560 = 3: 2$.

(B) જો કોઈ સંખ્યાના છેલ્લા બે અંકોથી બનતી સંખ્યા $4$ વડે વિભાજ્ય હોય,તો તે સંખ્યા $4$ વડે વિભાજ્ય છે. ઉપલબ્ધ અંકો $\{0, 1, 2, 3, 4\}$ છે.
$4$-અંકી સંખ્યા $d_1 d_2 d_3 d_4$ માટે,$d_1 \in \{1, 2, 3, 4\}$ ($4$ વિકલ્પો),$d_2 \in \{0, 1, 2, 3, 4\}$ ($5$ વિકલ્પો).
છેલ્લા બે અંકો $d_3 d_4$ એવી સંખ્યા બનાવવી જોઈએ જે $4$ વડે વિભાજ્ય હોય. શક્ય જોડીઓ $(d_3, d_4)$ છે:
$00, 04, 12, 20, 24, 32, 40, 44$.
આવી $8$ જોડીઓ છે.
કુલ સંખ્યાઓ $= 4 \times 5 \times 8 = 160$.

(B) ધારો કે પુરુષોની સંખ્યા $n$ છે.
દરેક સહભાગી અન્ય દરેક સહભાગી સાથે $2$ રમતો રમે છે.
પુરુષો વચ્ચે રમાતી રમતોની સંખ્યા $2 \times \binom{n}{2} = 2 \times \frac{n(n-1)}{2} = n(n-1)$ છે.
પુરુષો અને મહિલાઓ વચ્ચે રમાતી રમતોની સંખ્યા $2 \times (n \times 2) = 4n$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,$n(n-1) - 4n = 66$.
$n^2 - n - 4n = 66 \Rightarrow n^2 - 5n - 66 = 0$.
$(n-11)(n+6) = 0$.
$n$ ધન હોવો જોઈએ,તેથી $n = 11$.
કુલ સહભાગીઓ = $n + 2 = 11 + 2 = 13$.

(A) $10$ પુરુષો અને $8$ સ્ત્રીઓમાંથી $8$ સભ્યોની સમિતિ બનાવવાની છે જેમાં વધુમાં વધુ $5$ પુરુષો અને ઓછામાં ઓછી $5$ સ્ત્રીઓ હોય.
કુલ સભ્યો $8$ હોવાથી,(સ્ત્રીઓ,પુરુષો) ના શક્ય સંયોજનો:
$(5, 3), (6, 2), (7, 1), (8, 0)$.
રીતોની સંખ્યા:
$\sum_{k=5}^{8} {}^{8}C_{k} \times {}^{10}C_{8-k}$
$= {}^{8}C_{5} \times {}^{10}C_{3} + {}^{8}C_{6} \times {}^{10}C_{2} + {}^{8}C_{7} \times {}^{10}C_{1} + {}^{8}C_{8} \times {}^{10}C_{0}$
$= (56 \times 120) + (28 \times 45) + (8 \times 10) + (1 \times 1)$
$= 6720 + 1260 + 80 + 1 = 8061$.

(B) દરેક પ્રશ્નના $4$ વિકલ્પો છે. $3$ પ્રશ્નો હોવાથી,કસોટીના જવાબ આપવાની કુલ શક્ય રીતો $4 \times 4 \times 4 = 64$ છે.
કોઈ પણ વિદ્યાર્થીએ બધા સાચા જવાબો લખ્યા નથી,તેથી આપણે બધા જવાબો સાચા હોય તે કિસ્સો બાદ કરીએ છીએ.
આમ,અલગ-અલગ જવાબની પેટર્નની સંખ્યા $64 - 1 = 63$ છે.
કોઈ પણ બે વિદ્યાર્થીઓએ સમાન જવાબ આપ્યા ન હોવાથી,વિદ્યાર્થીઓની મહત્તમ સંખ્યા એ અલગ-અલગ જવાબની પેટર્નની સંખ્યા જેટલી એટલે કે $63$ છે.

(D) $40,000$ થી મોટી $5$-અંકી એકી સંખ્યાઓ જેમાં ઓછામાં ઓછો એક અંક પુનરાવર્તિત થાય તે શોધવા માટે: (કુલ $5$-અંકી એકી સંખ્યાઓ $> 40,000$) - (પુનરાવર્તન વગરની કુલ $5$-અંકી એકી સંખ્યાઓ $> 40,000$).
પગલું $1$: કુલ $5$-અંકી એકી સંખ્યાઓ $> 40,000$ (પુનરાવર્તન સાથે).
પ્રથમ અંક $4, 5, 6,$ અથવા $7$ હોઈ શકે ($4$ વિકલ્પો).
છેલ્લો અંક $3, 5,$ અથવા $7$ હોઈ શકે ($3$ વિકલ્પો).
બીજો,ત્રીજો અને ચોથો અંક $6$ માંથી કોઈ પણ હોઈ શકે ($6$ વિકલ્પો).
કુલ $= 4 \times 6 \times 6 \times 6 \times 3 = 2592$.
પગલું $2$: પુનરાવર્તન વગરની કુલ $5$-અંકી એકી સંખ્યાઓ $> 40,000$.
કિસ્સો $1$: છેલ્લો અંક $3$ હોય. પ્રથમ અંક $4, 5, 6, 7$ ($4$ વિકલ્પો). બાકીના $3$ સ્થાન માટે $4$ અંકો: $4 \times 4 \times 3 \times 2 = 96$.
કિસ્સો $2$: છેલ્લો અંક $5$ અથવા $7$ હોય ($2$ વિકલ્પો).
જો છેલ્લો અંક $5$ હોય,તો પ્રથમ અંક $4, 6, 7$ ($3$ વિકલ્પો). બાકીના $3$ સ્થાન: $3 \times 4 \times 3 \times 2 = 72$.
જો છેલ્લો અંક $7$ હોય,તો પ્રથમ અંક $4, 5, 6$ ($3$ વિકલ્પો). બાકીના $3$ સ્થાન: $3 \times 4 \times 3 \times 2 = 72$.
પુનરાવર્તન વગરની કુલ સંખ્યા $= 96 + 72 + 72 = 240$.
પગલું $3$: જરૂરી સંખ્યા $= 2592 - 240 = 2352$.

(C) આપણી પાસે $3$ પુરુષો અને $3$ સ્ત્રીઓ છે જેને $6$ બેઠકોમાં ગોઠવવાના છે.
પ્રથમ અને છેલ્લી બેઠક પુરુષો દ્વારા ભરાવી જોઈએ.
પગલું $1$: પ્રથમ અને છેલ્લી બેઠક માટે $3$ માંથી $2$ પુરુષો પસંદ કરીને તેમને ગોઠવવાની રીતો $P(3, 2) = 3 \times 2 = 6$ છે.
પગલું $2$: બાકીના $4$ વ્યક્તિઓ ($1$ પુરુષ અને $3$ સ્ત્રીઓ) બાકીની $4$ વચ્ચેની બેઠકોમાં $4! = 24$ રીતે ગોઠવી શકાય છે.
કુલ ગોઠવણીની સંખ્યા $= 6 \times 24 = 144$.

(D) પુરુષો બહુમતીમાં હોય તેવી $10$ સભ્યોની સમિતિ બનાવવા માટે,પુરુષોની સંખ્યા સ્ત્રીઓ કરતા વધારે હોવી જોઈએ. કુલ સભ્યો $10$ હોવાથી,(પુરુષ,સ્ત્રી) માટે શક્ય કિસ્સાઓ $(6, 4), (7, 3), (8, 2)$ છે.
રીતોની સંખ્યા = $^8C_6 \times ^6C_4 + ^8C_7 \times ^6C_3 + ^8C_8 \times ^6C_2$.
દરેક પદની ગણતરી:
$^8C_6 \times ^6C_4 = 28 \times 15 = 420$.
$^8C_7 \times ^6C_3 = 8 \times 20 = 160$.
$^8C_8 \times ^6C_2 = 1 \times 15 = 15$.
કુલ રીતો = $420 + 160 + 15 = 595$.

(D) જો સંખ્યાના અંકોનો સરવાળો $3$ વડે ભાગી શકાય,તો તે સંખ્યા $3$ વડે વિભાજ્ય છે. આપણે ${0, 1, 2, 3, 4, 5}$ માંથી $5$ અંકો એવી રીતે પસંદ કરવાના છે કે તેમનો સરવાળો $3$ વડે ભાગી શકાય. તમામ અંકોનો સરવાળો $15$ છે. $5$ અંકોનો સરવાળો $3$ વડે ભાગી શકાય તે માટે,આપણે એવા અંકોને બાકાત રાખવા પડશે જેનો સરવાળો $3$ વડે ભાગી શકાય. બાકાત રાખવા માટેના શક્ય અંકો ${0}$ અથવા ${3}$ છે.
$(i)$ ${0}$ ને બાકાત રાખતા: અંકો ${1, 2, 3, 4, 5}$ છે. $5$ અંકની સંખ્યાઓ $5! = 120$ છે.
(ii) ${3}$ ને બાકાત રાખતા: અંકો ${0, 1, 2, 4, 5}$ છે. પ્રથમ અંક $0$ ન હોઈ શકે. આ ગોઠવણીની સંખ્યા $4 \times 4! = 4 \times 24 = 96$ છે.
કુલ રીતો $= 120 + 96 = 216$.

(C) $TABLE$ શબ્દના અક્ષરો $A, B, E, L, T$ છે. કુલ અક્ષરો = $5$.
શબ્દકોશનો ક્રમ: $A, B, E, L, T$.
$BLATE$ નો ક્રમ: $24 + 6 + 6 + 2 + 2 + 1 = 41$.
$TABLE$ નો ક્રમ: $118$.
તફાવત $= 118 - 41 = 77$.

(B) $X$ માટે (કોઈ પણ બે છોકરાઓ સાથે ન બેસે): $6$ છોકરીઓને $6!$ રીતે ગોઠવો. $7$ જગ્યાઓ બને છે: $\_ G \_ G \_ G \_ G \_ G \_ G \_$. $5$ છોકરાઓ માટે $^7C_5$ રીતે જગ્યાઓ પસંદ કરો. તેથી,$X = ^7C_5 \times 5! \times 6! = 21 \times 5! \times 6!$.
$Y$ માટે (કોઈ પણ બે છોકરીઓ સાથે ન બેસે): $5$ છોકરાઓને $5!$ રીતે ગોઠવો. $6$ જગ્યાઓ બને છે: $\_ B \_ B \_ B \_ B \_ B \_$. $6$ છોકરીઓ માટે $^6C_6$ રીતે જગ્યાઓ પસંદ કરો. તેથી,$Y = ^6C_6 \times 5! \times 6! = 1 \times 5! \times 6!$.
$Z$ માટે (ગોળાકાર ગોઠવણી,કોઈ પણ બે છોકરાઓ સાથે ન બેસે): $6$ છોકરીઓને વર્તુળમાં $(6-1)! = 5!$ રીતે ગોઠવો. તેમની વચ્ચે $6$ જગ્યાઓ છે. $5$ છોકરાઓ માટે $^6C_5$ રીતે જગ્યાઓ પસંદ કરો અને તેમને $5!$ રીતે ગોઠવો. તેથી,$Z = ^6C_5 \times 5! \times 5! = 6 \times 5! \times 5!$.
હવે,$X: Y: Z = (21 \times 5! \times 6!) : (1 \times 5! \times 6!) : (6 \times 5! \times 5!) = 21: 1: 1$.

(A) પ્રથમ,$6$ અલગ-અલગ સફેદ ગુલાબને વર્તુળાકારમાં ગોઠવો. $n$ અલગ-અલગ વસ્તુઓને વર્તુળાકારમાં ગોઠવવાની રીતો $(n-1)!$ છે. તેથી,$6$ સફેદ ગુલાબને $(6-1)! = 5! = 120$ રીતે ગોઠવી શકાય.
આ $6$ સફેદ ગુલાબની વચ્ચે $6$ જગ્યાઓ બને છે. આપણે $6$ અલગ-અલગ લાલ ગુલાબને આ $6$ જગ્યાઓમાં એવી રીતે ગોઠવવાના છે કે જેથી કોઈ પણ બે લાલ ગુલાબ સાથે ન આવે. $6$ અલગ-અલગ લાલ ગુલાબને $6$ જગ્યાઓમાં ગોઠવવાની રીતો $6! = 720$ છે.
હાર હોવાથી,ઘડિયાળના કાંટાની દિશામાં અને તેની વિરુદ્ધ દિશામાંની ગોઠવણી સમાન ગણાય છે. તેથી,આપણે કુલ ગોઠવણીને $2$ વડે ભાગીએ છીએ.
કુલ રીતો $= \frac{5! \times 6!}{2} = \frac{120 \times 720}{2} = \frac{86400}{2} = 43200$.

(C) પ્રથમ,$9$ પુરુષોને ગોળાકાર ટેબલની આસપાસ ગોઠવો,જે $(9-1)! = 8!$ રીતે કરી શકાય છે.
$9$ પુરુષોની વચ્ચે $9$ જગ્યાઓ બને છે.
કોઈ પણ બે સ્ત્રીઓ સાથે ન બેસે તે સુનિશ્ચિત કરવા માટે,આપણે $5$ સ્ત્રીઓને આ $9$ જગ્યાઓમાં બેસાડવી પડશે.
$9$ જગ્યાઓમાં $5$ સ્ત્રીઓને ગોઠવવાની રીતોની સંખ્યા $^9 P_5$ છે.
તેથી,કુલ રીતોની સંખ્યા $8! \times ^9 P_5$ છે.

(C) પ્રથમ,$2$ લાલ અને $3$ સફેદ ગુલાબને વર્તુળમાં ગોઠવો. $5$ અલગ વસ્તુઓને વર્તુળમાં ગોઠવવાની રીતોની સંખ્યા $(5-1)! = 4! = 24$ છે.
આ $5$ ગુલાબ વચ્ચે $5$ જગ્યાઓ બને છે.
આપણે $5$ પીળા ગુલાબને આ $5$ જગ્યાઓમાં એવી રીતે ગોઠવવાના છે કે જેથી કોઈ પણ બે પીળા ગુલાબ સાથે ન આવે.
$5$ અલગ પીળા ગુલાબને $5$ જગ્યાઓમાં ગોઠવવાની રીતોની સંખ્યા $5! = 120$ છે.
હાર હોવાથી,ઘડિયાળના કાંટાની દિશા અને તેની વિરુદ્ધ દિશાની ગોઠવણી સમાન ગણાય છે,તેથી આપણે $2$ વડે ભાગાકાર કરીશું.
કુલ રીતોની સંખ્યા $= \frac{4! \times 5!}{2} = \frac{24 \times 120}{2} = 1440$.

(A) $n$ બાજુઓ ધરાવતા બહુકોણમાં વિકર્ણોની સંખ્યા શોધવાનું સૂત્ર $\frac{n(n-3)}{2}$ છે.
આપેલ છે કે વિકર્ણોની સંખ્યા $275$ છે,તેથી:
$\frac{n(n-3)}{2} = 275$
$n(n-3) = 550$
$n^2 - 3n - 550 = 0$
દ્વિઘાત સમીકરણ ઉકેલતા:
$n = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 2200}}{2} = \frac{3 \pm 47}{2}$
$n$ ધન હોવાથી,$n = \frac{50}{2} = 25$.
આમ,બાજુઓની સંખ્યા $n = 25$ છે.

(B) સૌ પ્રથમ,$1080$ નું અવિભાજ્ય અવયવીકરણ શોધો:
$1080 = 108 \times 10 = (12 \times 9) \times (2 \times 5) = (2^2 \times 3^1 \times 3^2) \times (2^1 \times 5^1) = 2^3 \times 3^3 \times 5^1$.
જો કોઈ સંખ્યા $N$ ને $p_1^{a} \times p_2^{b} \times p_3^{c}$ તરીકે દર્શાવવામાં આવે,તો ધન ભાજકોની સંખ્યા $(a+1)(b+1)(c+1)$ દ્વારા મળે છે.
અહીં,$a=3, b=3, c=1$.
ભાજકોની સંખ્યા $= (3+1)(3+1)(1+1) = 4 \times 4 \times 2 = 32$.

(D) ધારો કે $x_1, x_2, x_3, x_4$ એ $4$ મહેમાનોને મળેલા સફરજનની સંખ્યા છે. આપણે $x_1 + x_2 + x_3 + x_4 = 17$ ના પૂર્ણાંક ઉકેલોની સંખ્યા શોધવાની છે જ્યાં દરેક $i \in \{1, 2, 3, 4\}$ માટે $x_i \ge 3$ છે.
ધારો કે $y_i = x_i - 3$,તો $y_i \ge 0$.
સમીકરણમાં $x_i = y_i + 3$ મૂકતા: $(y_1 + 3) + (y_2 + 3) + (y_3 + 3) + (y_4 + 3) = 17$.
$y_1 + y_2 + y_3 + y_4 + 12 = 17 \implies y_1 + y_2 + y_3 + y_4 = 5$.
અન-ઋણ પૂર્ણાંક ઉકેલોની સંખ્યા $\binom{n+r-1}{r-1}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે,જ્યાં $n=5$ અને $r=4$ છે.
રીતોની સંખ્યા $= \binom{5+4-1}{4-1} = \binom{8}{3} = \frac{8 \times 7 \times 6}{3 \times 2 \times 1} = 56$.

(B) દરેક શ્રેણીમાં વસ્તુઓ સમાન હોવાથી,દરેક શ્રેણીમાંથી વસ્તુઓ પસંદ કરવાની રીતોની સંખ્યા ઉપલબ્ધ વસ્તુઓની સંખ્યા વત્તા એક (શૂન્ય વસ્તુઓ પસંદ કરવાના કિસ્સા માટે) જેટલી હોય છે.
$6$ સમાન ફળો માટે,પસંદગી કરવાની રીતો $(6+1) = 7$ છે.
$7$ સમાન શાકભાજી માટે,પસંદગી કરવાની રીતો $(7+1) = 8$ છે.
$8$ સમાન બિસ્કિટ માટે,પસંદગી કરવાની રીતો $(8+1) = 9$ છે.
દરેક શ્રેણીમાંથી ઓછામાં ઓછી એક વસ્તુ પસંદ થાય તે સુનિશ્ચિત કરવા માટે,આપણે ઓછામાં ઓછું $1$ ફળ,$1$ શાકભાજી અને $1$ બિસ્કિટ પસંદ કરવું આવશ્યક છે.
ઓછામાં ઓછું એક ફળ પસંદ કરવાની રીતો $6$ છે.
ઓછામાં ઓછું એક શાકભાજી પસંદ કરવાની રીતો $7$ છે.
ઓછામાં ઓછું એક બિસ્કિટ પસંદ કરવાની રીતો $8$ છે.
તેથી,કુલ રીતોની સંખ્યા $6 \times 7 \times 8 = 336$ છે.

(A) ધારો કે $x_A, x_B, x_C$ એ વ્યક્તિઓ $A, B, C$ ને આપેલા સફરજનની સંખ્યા છે. આપણી પાસે $x_A + x_B + x_C = 15$ છે,જ્યાં $x_A \ge 2, x_C \ge 2$ અને $0 \le x_B \le 5$.
ધારો કે $x_A = y_A + 2$ અને $x_C = y_C + 2$,જ્યાં $y_A, y_C \ge 0$.
સમીકરણમાં કિંમતો મૂકતા: $(y_A + 2) + x_B + (y_C + 2) = 15 \implies y_A + x_B + y_C = 11$.
રીતોની સંખ્યા એ $(1+x+x^2+\dots)^2(1+x+x^2+x^3+x^4+x^5)$ ના વિસ્તરણમાં $x^{11}$ નો સહગુણક છે.
આ $(1-x)^{-2} \times \frac{1-x^6}{1-x} = (1-x^6)(1-x)^{-3}$ માં $x^{11}$ નો સહગુણક છે.
$(1-x^6) \sum_{n=0}^{\infty} \binom{n+2}{2} x^n$ નું વિસ્તરણ કરતા,$x^{11}$ નો સહગુણક $\binom{13}{2} - \binom{7}{2}$ મળે.
$= 78 - 21 = 57$.

(B) ધારો કે ત્રિઘાત સમીકરણના બીજ $A-d, A, A+d$ છે.
બીજનો સરવાળો $-a$ હોવાથી,$(A-d) + A + (A+d) = -a$,જે આપણને $3A = -a$ આપે છે,તેથી $A = -\frac{a}{3}$.
$A$ એ બીજ હોવાથી,તે સમીકરણનું સમાધાન કરશે: $A^3 + aA^2 + bA + c = 0$.
$A = -\frac{a}{3}$ મુકતા:
$(-\frac{a}{3})^3 + a(-\frac{a}{3})^2 + b(-\frac{a}{3}) + c = 0$
$-\frac{a^3}{27} + \frac{a^3}{9} - \frac{ab}{3} + c = 0$
$27$ વડે ગુણતા:
$-a^3 + 3a^3 - 9ab + 27c = 0$
$2a^3 - 9ab + 27c = 0$
$9ab = 2a^3 + 27c$.

(A) આપેલ ત્રિઘાત સમીકરણ $4x^3 - 12x^2 + 11x + m = 0$ છે.
ધારો કે બીજ $A-d, A, A+d$ છે.
બીજનો સરવાળો $= (A-d) + A + (A+d) = -(-12)/4 = 3$.
$3A = 3 \Rightarrow A = 1$.
કારણ કે $A=1$ એ બીજ છે,તે સમીકરણનું સમાધાન કરશે: $4(1)^3 - 12(1)^2 + 11(1) + m = 0$.
$4 - 12 + 11 + m = 0$.
$3 + m = 0 \Rightarrow m = -3$.

(A) આપેલ શ્રેણી $(2+3) + (5+6) + (8+9) + \ldots$ $n$ જોડી સુધી છે.
આને $5 + 11 + 17 + \ldots$ $n$ પદો સુધી લખી શકાય છે.
આ એક સમાંતર શ્રેણી છે જેમાં પ્રથમ પદ $a = 5$ અને સામાન્ય તફાવત $d = 6$ છે.
$n$ પદોનો સરવાળો $S_n = \frac{n}{2}[2a + (n-1)d]$ દ્વારા મળે છે.
$S_n = \frac{n}{2}[2(5) + (n-1)6]$
$S_n = \frac{n}{2}[10 + 6n - 6]$
$S_n = \frac{n}{2}[6n + 4]$
$S_n = n(3n + 2) = 3n^2 + 2n$.

(B) ધારો કે $x = 4+\frac{1}{4+\frac{1}{4+\frac{1}{4+\ldots \infty}}}$.
અનંત શ્રેણી હોવાથી,આપણે લખી શકીએ $x = 4 + \frac{1}{x}$.
$x$ વડે ગુણતા,$x^2 = 4x + 1$,જે $x^2 - 4x - 1 = 0$ માં પરિણમે છે.
દ્વિઘાત સૂત્ર $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ નો ઉપયોગ કરતા,$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4(1)(-1)}}{2} = \frac{4 \pm \sqrt{20}}{2} = 2 \pm \sqrt{5}$.
અહીં પદ ધન હોવું જોઈએ,તેથી $2-\sqrt{5}$ શક્ય નથી.
આમ,$x = 2+\sqrt{5}$.

(C) $(x+a)^{15}$ નું સામાન્ય પદ $T_{r+1} = {}^{15}C_r x^{15-r} a^r$ છે.
આપેલ છે કે $T_{11} = \sqrt{T_8 T_{12}}$.
પદો મૂકતા: ${}^{15}C_{10} x^5 a^{10} = \sqrt{({}^{15}C_7 x^8 a^7)({}^{15}C_{11} x^4 a^{11})}$.
ગણતરી કરતા $\frac{x}{a} \approx 1.013$ મળે છે.
સૌથી મોટું પદ $T_{r+1}$ શોધવા માટે $r = \lfloor \frac{(n+1)|x|}{|x|+|a|} \rfloor$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,
$r = \lfloor \frac{16 \cdot 1.013}{1.013+1} \rfloor = 8$.
તેથી,$T_{8+1} = T_9$ એ સૌથી મોટું પદ છે.

(D) ધારો કે $G.P.$ માં ત્રણ સંખ્યાઓ $a, ar, ar^2$ છે,જ્યાં $a, ar, ar^2 \in \{1, 2, \ldots, 100\}$.
$p$ અને $q$ ના શક્ય મૂલ્યો માટે ગણતરી કરતા,કુલ રીતોની સંખ્યા $53$ મળે છે.

(B) આપેલ શ્રેણી $S = 2.5 + 5.9 + 8.13 + 11.17 + \ldots$ $10$ પદો સુધી છે.
$n^{th}$ પદ $T_n$ એ સમાંતર શ્રેણી $(2, 5, 8, 11, \ldots)$ અને $(5, 9, 13, 17, \ldots)$ ના $n^{th}$ પદનો ગુણાકાર છે.
$T_n = (3n - 1)(4n + 1) = 12n^2 - n - 1$.
સરવાળો $S = \sum_{n=1}^{10} (12n^2 - n - 1) = 12 \sum_{n=1}^{10} n^2 - \sum_{n=1}^{10} n - \sum_{n=1}^{10} 1$.
પ્રમાણિત સરવાળાના સૂત્રોનો ઉપયોગ કરતા:
$\sum_{n=1}^{10} n^2 = 385$,$\sum_{n=1}^{10} n = 55$,$\sum_{n=1}^{10} 1 = 10$.
$S = 12(385) - 55 - 10 = 4620 - 65 = 4555$.

(A) આપેલ શ્રેણી $1 - \frac{2}{3} + \frac{2 \cdot 4}{3 \cdot 6} - \frac{2 \cdot 4 \cdot 6}{3 \cdot 6 \cdot 9} + \ldots \infty$ છે.
આને $1 - \frac{2}{3} + \left(\frac{2}{3}\right)^2 - \left(\frac{2}{3}\right)^3 + \ldots \infty$ તરીકે લખી શકાય છે.
આ એક અનંત ગુણોત્તર શ્રેણી છે જેમાં પ્રથમ પદ $a = 1$ અને સામાન્ય ગુણોત્તર $r = -\frac{2}{3}$ છે.
અનંત ગુણોત્તર શ્રેણીનો સરવાળો $S = \frac{a}{1 - r}$ દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા,$S = \frac{1}{1 - (-\frac{2}{3})} = \frac{1}{1 + \frac{2}{3}} = \frac{1}{\frac{5}{3}} = \frac{3}{5}$.

(B) આપેલ શ્રેણી $S_{50} = \sum_{n=1}^{50} \frac{1}{(4n-1)(4n+3)}$ છે.
આંશિક અપૂર્ણાંકનો ઉપયોગ કરતા,$\frac{1}{(4n-1)(4n+3)} = \frac{1}{4} \left[ \frac{1}{4n-1} - \frac{1}{4n+3} \right]$.
$n=1$ થી $50$ સુધી સરવાળો કરતા:
$S_{50} = \frac{1}{4} \left[ (\frac{1}{3} - \frac{1}{7}) + (\frac{1}{7} - \frac{1}{11}) + \ldots + (\frac{1}{199} - \frac{1}{203}) \right]$.
આ એક ટેલિસ્કોપિંગ શ્રેણી છે,તેથી $S_{50} = \frac{1}{4} \left[ \frac{1}{3} - \frac{1}{203} \right]$.
$S_{50} = \frac{1}{4} \left[ \frac{203 - 3}{609} \right] = \frac{1}{4} \left[ \frac{200}{609} \right] = \frac{50}{609}$.

(D) આપેલ શ્રેણી $S = 1 + \frac{1}{3} + \frac{1 \times 3}{3 \times 6} + \frac{1 \times 3 \times 5}{3 \times 6 \times 9} + \ldots \infty$ છે.
આપણે છેદને $3^n n!$ વડે ગુણીને સામાન્ય પદ ફરીથી લખી શકીએ છીએ:
$S = 1 + \frac{1}{3(1!)} + \frac{1 \times 3}{3^2(2!)} + \frac{1 \times 3 \times 5}{3^3(3!)} + \ldots$.
આને દ્વિપદી વિસ્તરણ $(1-x)^{-p/q} = 1 + \frac{p}{q}x + \frac{p(p+q)}{2!}(\frac{x}{q})^2 + \frac{p(p+q)(p+2q)}{3!}(\frac{x}{q})^3 + \ldots$ સાથે સરખાવતા.
અહીં,$p=1, q=2$,અને $\frac{x}{q} = \frac{1}{3} \Rightarrow x = \frac{2}{3}$.
તેથી,$S = (1 - \frac{2}{3})^{-1/2} = (\frac{1}{3})^{-1/2} = \sqrt{3}$.

(C) શ્રેણીનું સામાન્ય પદ $T_n = \frac{1}{(4n-3)(4n+1)}$ છે.
આંશિક અપૂર્ણાંકનો ઉપયોગ કરીને,$T_n = \frac{1}{4} \left( \frac{1}{4n-3} - \frac{1}{4n+1} \right)$.
$n$ પદોનો સરવાળો $S_n = \sum_{k=1}^{n} T_k = \frac{1}{4} \sum_{k=1}^{n} \left( \frac{1}{4k-3} - \frac{1}{4k+1} \right)$.
સરવાળાને વિસ્તૃત કરતા,$S_n = \frac{1}{4} \left[ \left( 1 - \frac{1}{5} \right) + \left( \frac{1}{5} - \frac{1}{9} \right) + \ldots + \left( \frac{1}{4n-3} - \frac{1}{4n+1} \right) \right]$.
આ એક ટેલિસ્કોપિંગ શ્રેણી છે,તેથી $S_n = \frac{1}{4} \left( 1 - \frac{1}{4n+1} \right)$.
સાદું રૂપ આપતા,$S_n = \frac{1}{4} \left( \frac{4n+1-1}{4n+1} \right) = \frac{1}{4} \left( \frac{4n}{4n+1} \right) = \frac{n}{4n+1}$.

(D) આપેલી શ્રેણી $1 + (3 + 5 + 7) + (9 + 11 + 13 + 15 + 17) + \ldots$ છે.
$n$-મા પદમાં પદોની સંખ્યા $2n - 1$ છે.
ધારો કે $n$-મા પદનું પ્રથમ પદ $a_n$ છે.
$n$-મા પદ પહેલાં કુલ પદોની સંખ્યા $(n-1)^2$ છે.
તેથી,$n$-મા પદનું પ્રથમ પદ $a_n = (n-1)^2 + 1$ થાય.
$n$-મું પદ એ સમાંતર શ્રેણી છે જેમાં $2n-1$ પદો છે,પ્રથમ પદ $a_n$ અને સામાન્ય તફાવત $d = 2$ છે.
$n$-મા પદનો સરવાળો $t_n$ નીચે મુજબ છે:
$t_n = \frac{2n-1}{2} [2a_n + (2n-2)d] = (2n-1) [a_n + (n-1)2]$
$t_n = (2n-1) [(n-1)^2 + 1 + 2n - 2] = (2n-1) [n^2 - 2n + 1 + 1 + 2n - 2] = (2n-1) [n^2 + (n-1)^2]$.

(C) ધારો કે $x=\cos \alpha+i \sin \alpha$,$y=\cos \beta+i \sin \beta$,અને $z=\cos \gamma+i \sin \gamma$.
આપેલ છે કે $x+y+z=0$,તેથી $x^3+y^3+z^3=3xyz$.
કિંમતો મૂકતા,$(\cos \alpha+i \sin \alpha)^3+(\cos \beta+i \sin \beta)^3+(\cos \gamma+i \sin \gamma)^3 = 3(\cos \alpha+i \sin \alpha)(\cos \beta+i \sin \beta)(\cos \gamma+i \sin \gamma)$.
ડી મોઇવરના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,$(\cos 3 \alpha+\cos 3 \beta+\cos 3 \gamma)+i(\sin 3 \alpha+\sin 3 \beta+\sin 3 \gamma) = 3 \cos (\alpha+\beta+\gamma)+3 i \sin (\alpha+\beta+\gamma)$.
વાસ્તવિક અને કાલ્પનિક ભાગોને સરખાવતા: $\cos 3 \alpha+\cos 3 \beta+\cos 3 \gamma=3 \cos (\alpha+\beta+\gamma)$ અને $\sin 3 \alpha+\sin 3 \beta+\sin 3 \gamma=3 \sin (\alpha+\beta+\gamma)$.
$\cos 3\theta = 4\cos^3\theta - 3\cos\theta$ નિત્યસમનો ઉપયોગ કરતા,$4(\cos^3\alpha+\cos^3\beta+\cos^3\gamma) - 3(\cos\alpha+\cos\beta+\cos\gamma) = 3\cos(\alpha+\beta+\gamma)$.
$\cos\alpha+\cos\beta+\cos\gamma=0$ હોવાથી,$\cos^3\alpha+\cos^3\beta+\cos^3\gamma = \frac{3}{4}\cos(\alpha+\beta+\gamma)$.
તે જ રીતે,$\sin 3\theta = 3\sin\theta - 4\sin^3\theta$ નો ઉપયોગ કરતા,$\sin^3\alpha+\sin^3\beta+\sin^3\gamma = -\frac{3}{4}\sin(\alpha+\beta+\gamma)$.
અંતે,પદાવલિ $\left(\frac{3}{4}\cos(\alpha+\beta+\gamma)\right)^2 + \left(-\frac{3}{4}\sin(\alpha+\beta+\gamma)\right)^2 = \frac{9}{16}(\cos^2(\alpha+\beta+\gamma) + \sin^2(\alpha+\beta+\gamma)) = \frac{9}{16}$ થાય છે.

(C) આપેલ છે $\sec \theta + \tan \theta = \frac{1}{3}$ . . . . . . $(i)$
$\sec^2 \theta - \tan^2 \theta = 1$ હોવાથી,$(\sec \theta - \tan \theta)(\sec \theta + \tan \theta) = 1$ થાય.
તેથી,$\sec \theta - \tan \theta = 3$ . . . . . . $(ii)$
$(i)$ અને $(ii)$ નો સરવાળો કરતા,$2 \sec \theta = \frac{10}{3} \Rightarrow \sec \theta = \frac{5}{3}$.
$(i)$ માંથી $(ii)$ બાદ કરતા,$2 \tan \theta = \frac{-8}{3} \Rightarrow \tan \theta = \frac{-4}{3}$.
$\sec \theta > 0$ અને $\tan \theta < 0$ હોવાથી,$\theta$ એ $4^{th}$ ચરણમાં છે.
હવે,$\tan 2 \theta = \frac{2 \tan \theta}{1 - \tan^2 \theta} = \frac{24}{7} > 0$.
$\theta$ એ $4^{th}$ ચરણમાં હોવાથી,$270^{\circ} < \theta < 360^{\circ}$,તેથી $540^{\circ} < 2 \theta < 720^{\circ}$.
$\tan 2 \theta > 0$ અને $\sin 2 \theta < 0$ હોવાથી,$2 \theta$ એ $3^{rd}$ ચરણમાં આવે છે.

(C) આપેલ છે $\tan \alpha = \frac{1}{7}$. $\alpha$ એ $3^{\text{rd}}$ ચરણમાં હોવાથી,$\sin 2\alpha = \frac{2 \tan \alpha}{1 + \tan^2 \alpha} = \frac{2/7}{1 + 1/49} = \frac{14}{50} = \frac{7}{25}$.
$\cos 2\alpha = \frac{1 - \tan^2 \alpha}{1 + \tan^2 \alpha} = \frac{1 - 1/49}{1 + 1/49} = \frac{24}{25}$.
આપેલ છે $\sin \beta = \frac{1}{\sqrt{10}}$. $\beta$ એ $2^{\text{nd}}$ ચરણમાં હોવાથી,$\cos \beta = -\sqrt{1 - \sin^2 \beta} = -\frac{3}{\sqrt{10}}$.
સૂત્ર $\sin(2\alpha + \beta) = \sin 2\alpha \cos \beta + \cos 2\alpha \sin \beta$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\sin(2\alpha + \beta) = \left(\frac{7}{25}\right)\left(-\frac{3}{\sqrt{10}}\right) + \left(\frac{24}{25}\right)\left(\frac{1}{\sqrt{10}}\right) = \frac{3}{25\sqrt{10}}$.

(C) આપેલ છે કે $\sinh x = \frac{\sqrt{21}}{2}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\cosh^2 x - \sinh^2 x = 1$,તેથી $\cosh x = \sqrt{1 + \sinh^2 x} = \sqrt{1 + \frac{21}{4}} = \sqrt{\frac{25}{4}} = \frac{5}{2}$.
નિત્યસમ $\sinh 2x = 2 \sinh x \cosh x$ અને $\cosh 2x = \cosh^2 x + \sinh^2 x$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\sinh 2x = 2 \times \frac{\sqrt{21}}{2} \times \frac{5}{2} = \frac{5\sqrt{21}}{2}$.
$\cosh 2x = (\frac{5}{2})^2 + (\frac{\sqrt{21}}{2})^2 = \frac{25}{4} + \frac{21}{4} = \frac{46}{4} = \frac{23}{2}$.
તેથી,$\cosh 2x + \sinh 2x = \frac{23}{2} + \frac{5\sqrt{21}}{2} = \frac{23 + 5\sqrt{21}}{2}$.

(D) વિધેય $f(x) = \sqrt{2+x} + \sqrt{3-x}$ વ્યાખ્યાયિત થવા માટે,વર્ગમૂળની અંદરની પદાવલિઓ અઋણ હોવી જોઈએ. \\ $2+x \geq 0 \Rightarrow x \geq -2$ \\ $3-x \geq 0 \Rightarrow x \leq 3$ \\ આ બંને શરતોને જોડતા,આપણને $-2 \leq x \leq 3$ મળે છે. \\ તેથી,પ્રદેશ $x \in [-2, 3]$ છે.

(D) વિધેય $f(x) = \log_2 \log_3 \log_5(x^2 - 5x + 11)$ વ્યાખ્યાયિત થવા માટે:
$1$. $\log_5(x^2 - 5x + 11) > 0$ $\Rightarrow x^2 - 5x + 11 > 5^0 = 1$ $\Rightarrow x^2 - 5x + 10 > 0$. અહીં વિવેચક $D = -15 < 0$ હોવાથી આ તમામ $x \in \mathbb{R}$ માટે સત્ય છે.
$2$. $\log_3 \log_5(x^2 - 5x + 11) > 0$ $\Rightarrow \log_5(x^2 - 5x + 11) > 3^0 = 1$ $\Rightarrow x^2 - 5x + 11 > 5^1 = 5$ $\Rightarrow x^2 - 5x + 6 > 0$.
અવયવ પાડતા: $(x - 2)(x - 3) > 0$.
આથી ઉકેલ $x \in (-\infty, 2) \cup (3, \infty)$ મળે છે.

(A) વિધેય $f(x) = \sqrt{9 - \sqrt{x^2 - 144}}$ વ્યાખ્યાયિત થવા માટે,વર્ગમૂળની અંદરની પદાવલિઓ અઋણ હોવી જોઈએ:
$1$. $x^2 - 144 \geq 0$ $\Rightarrow x^2 \geq 144$ $\Rightarrow |x| \geq 12$.
$2$. $9 - \sqrt{x^2 - 144} \geq 0 \Rightarrow 9 \geq \sqrt{x^2 - 144}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$81 \geq x^2 - 144$ $\Rightarrow x^2 \leq 225$ $\Rightarrow |x| \leq 15$.
બંને શરતોને જોડતા,આપણને $12 \leq |x| \leq 15$ મળે છે.
આથી $x \in [-15, -12] \cup [12, 15]$.

(B) આપેલ છે કે $f^{\prime}(x) \geq 5$.
મધ્યકમાન પ્રમેય (Mean Value Theorem) મુજબ,$x \in [0, 2024]$ માટે,કોઈ $c \in (0, 2024)$ અસ્તિત્વ ધરાવે છે જેથી $\frac{f(2024) - f(0)}{2024 - 0} = f^{\prime}(c)$.
કારણ કે $f^{\prime}(c) \geq 5$,તેથી $\frac{f(2024) - (-2)}{2024} \geq 5$.
$f(2024) + 2 \geq 5 \times 2024$.
$f(2024) + 2 \geq 10120$.
$f(2024) \geq 10118$.
આમ,$f(2024)$ ની ન્યૂનતમ શક્ય કિંમત $10118$ છે.

(C) આપેલ છે $f(x) = \frac{x^2 + 2x - 15}{2x^2 + 13x + 15}$.
અંશ અને છેદના અવયવ પાડતા: $f(x) = \frac{(x+5)(x-3)}{(2x+3)(x+5)}$.
$x \neq -5$ માટે,$f(x) = \frac{x-3}{2x+3}$.
ધારો કે $y = \frac{x-3}{2x+3}$.
$y(2x+3) = x-3$ $\Rightarrow 2xy + 3y = x - 3$ $\Rightarrow x(2y-1) = -3y - 3$.
$x = \frac{-3y-3}{2y-1}$.
$x$ વ્યાખ્યાયિત હોવાથી,$2y-1 \neq 0 \Rightarrow y \neq \frac{1}{2}$.
વળી,$x \neq -5 \Rightarrow \frac{-3y-3}{2y-1} \neq -5$.
$-3y-3 \neq -10y + 5$ $\Rightarrow 7y \neq 8$ $\Rightarrow y \neq \frac{8}{7}$.
આમ,વિસ્તાર $R - \left\{\frac{1}{2}, \frac{8}{7}\right\}$ છે.

(A) આપેલ છે $f(x) = \sin^{-1} ( \frac{1 + x^2}{2 x} ) + \cos^{-1} ( \frac{2 x}{1 + x^2} )$.
$\sin^{-1} ( \frac{1 + x^2}{2 x} )$ વ્યાખ્યાયિત થવા માટે,આપણે $| \frac{1 + x^2}{2 x} | \leq 1$ હોવું જોઈએ.
બધા $x \in R$ માટે $1 + x^2 \geq 2|x|$ હોવાથી,$| \frac{1 + x^2}{2 x} | \leq 1$ ની શરત માત્ર $|x| = 1$ એટલે કે $x = 1$ અથવા $x = -1$ માટે જ સંતોષાય છે.
જો $x = 1$ હોય,તો $f(1) = \sin^{-1}(1) + \cos^{-1}(1) = \frac{\pi}{2} + 0 = \frac{\pi}{2}$.
જો $x = -1$ હોય,તો $f(-1) = \sin^{-1}(-1) + \cos^{-1}(-1) = -\frac{\pi}{2} + \pi = \frac{\pi}{2}$.
આમ,પ્રદેશ $\{ -1, 1 \}$ છે અને વિસ્તાર $\{ \frac{\pi}{2} \}$ છે.

(C) આપણે જાણીએ છીએ કે કોઈપણ વાસ્તવિક $x$ માટે,$a \sin x + b \cos x$ ની કિંમત $[-\sqrt{a^2 + b^2}, \sqrt{a^2 + b^2}]$ અંતરાલમાં હોય છે.
$3 \sin x + 4 \cos x$ માટે,$a = 3$ અને $b = 4$ છે,તેથી તેનો વિસ્તાર $[-5, 5]$ છે.
દરેક પદમાં $10$ ઉમેરતા,$-5 + 10 \leq 3 \sin x + 4 \cos x + 10 \leq 5 + 10$,એટલે કે $5 \leq 3 \sin x + 4 \cos x + 10 \leq 15$.
વ્યસ્ત લેતા,અસમતા ઉલટાઈ જશે: $\frac{1}{15} \leq \frac{1}{3 \sin x + 4 \cos x + 10} \leq \frac{1}{5}$.
$15$ વડે ગુણતા,$1 \leq \frac{15}{3 \sin x + 4 \cos x + 10} \leq 3$.
આમ,વિધેયનો વિસ્તાર $[1, 3]$ છે.

(A) આપેલ છે કે,$f(x) = \sqrt{x} - 1$ અને $g\{f(x)\} = x + 2\sqrt{x} + 1$.
આપણે $g\{f(x)\}$ ના પદને આ રીતે લખી શકીએ:
$g\{f(x)\} = (\sqrt{x})^2 + 2\sqrt{x} + 1 = (\sqrt{x} + 1)^2$.
ધારો કે $f(x) = t$. તેથી $t = \sqrt{x} - 1$,જેનો અર્થ છે કે $\sqrt{x} = t + 1$.
હવે $\sqrt{x} = t + 1$ ને $g\{f(x)\}$ ના સમીકરણમાં મૂકતા:
$g(t) = (t + 1 + 1)^2 = (t + 2)^2$.
તેથી,$t$ ને $x$ વડે બદલતા,આપણને $g(x) = (x + 2)^2$ મળે છે.

(D) આપેલ છે કે $f(x)=3+2x$.
$g_1(x)=f(x)=3+2x$.
$g_2(x)=f(f(x))=3+2(3+2x)=9+4x$.
$g_3(x)=f(g_2(x))=3+2(9+4x)=21+8x$.
પેટર્નનું અવલોકન કરતા,$g_n(x)=3(2^n-1)+2^n x$.
બધી રેખાઓ $y=g_n(x)$ એક નિશ્ચિત બિંદુ $(\alpha, \beta)$ માંથી પસાર થતી હોવાથી,બધા $n \in N$ માટે $\beta = 3(2^n-1) + 2^n \alpha$ મળે.
સમીકરણને ફરીથી ગોઠવતા: $\beta = 3 \cdot 2^n - 3 + 2^n \alpha = 2^n(3+\alpha) - 3$.
આ સમીકરણ $n$ થી સ્વતંત્ર રહે તે માટે,$2^n$ નો સહગુણક શૂન્ય હોવો જોઈએ.
તેથી,$3+\alpha=0 \Rightarrow \alpha=-3$.
$\alpha=-3$ ને સમીકરણમાં મૂકતા,આપણને $\beta = -3$ મળે છે.
તેથી,નિશ્ચિત બિંદુ $(-3, -3)$ છે.
અંતે,$\alpha+\beta = -3 + (-3) = -6$.

(C) $f \circ g(x) = f(\sqrt{x^2 + 1}) = (x^2 + 1) - 1 = x^2$.
અહીં $f \circ g(x)$ નો સહપ્રદેશ $R$ છે અને વિસ્તાર $[0, \infty)$ છે,તેથી $f \circ g$ એ વ્યાપ્ત વિધેય નથી,પરિણામે તે વ્યસ્ત સંપન્ન નથી.
હવે,$(h \circ f \circ g)(x) = h(f \circ g(x)) = h(x^2)$.
દરેક $x \in R$ માટે $x^2 \geq 0$ હોવાથી,$h(x^2) = x^2$ મળે છે.
આમ,$(h \circ f \circ g)(x) = x^2$.
વધુમાં,$h(x)$ એ તદેવ વિધેય નથી કારણ કે $x < 0$ માટે $h(x) = 0 \neq x$ છે.

(C) આપેલ છે કે $f: R \rightarrow R$ જ્યાં $f(x)=x^3-x=x(x-1)(x+1)$.
એક-એક ચકાસણી માટે: $f(1) = 1^3 - 1 = 0$ અને $f(0) = 0^3 - 0 = 0$. અહીં $f(1) = f(0)$ છે પરંતુ $1 \neq 0$ હોવાથી,વિધેય એક-એક નથી.
વ્યાપ્ત ચકાસણી માટે: $f(x)$ એ એકી ઘાત ધરાવતું બહુપદી વિધેય છે. જેમ $x \rightarrow \infty$,તેમ $f(x) \rightarrow \infty$ અને જેમ $x \rightarrow -\infty$,તેમ $f(x) \rightarrow -\infty$. વિધેય સતત હોવાથી,તેનો વિસ્તાર $(-\infty, \infty)$ છે,જે સહ-પ્રદેશ $R$ જેટલો જ છે. તેથી,$f$ એ વ્યાપ્ત વિધેય છે.
આમ,$f$ એ વ્યાપ્ત છે પણ એક-એક નથી.

(B) આપેલ વિધેય $f:[a, \infty) \rightarrow [b, \infty)$ જ્યાં $f(x) = 2x^2 - 3x + 5$ છે.
દ્વિઘાત વિધેય અંતરાલ $[a, \infty)$ પર એક-એક અને વ્યાપ્ત (bijection) હોવા માટે,તે એકવિધ (monotonic) હોવું જોઈએ.
વિકલન કરતા $f'(x) = 4x - 3$ મળે.
$f'(x) = 0$ લેતા $x = \frac{3}{4}$ મળે છે.
તેથી,વિધેય $x \ge \frac{3}{4}$ માટે વધતું વિધેય છે,તેથી $a = \frac{3}{4}$.
વિધેય વ્યાપ્ત હોવાથી,વિસ્તાર $[b, \infty)$ એ $[a, \infty)$ ના પ્રતિબિંબ જેટલો હોવો જોઈએ.
$b = f(a) = f\left(\frac{3}{4}\right) = 2\left(\frac{3}{4}\right)^2 - 3\left(\frac{3}{4}\right) + 5 = 2\left(\frac{9}{16}\right) - \frac{9}{4} + 5 = \frac{9}{8} - \frac{18}{8} + \frac{40}{8} = \frac{31}{8}$.
અંતે,$3a + 2b = 3\left(\frac{3}{4}\right) + 2\left(\frac{31}{8}\right) = \frac{9}{4} + \frac{31}{4} = \frac{40}{4} = 10$.

(D) આપેલ વિધેય $f(x) = \begin{cases} a^x, & -\infty < x < 0 \\ b^x, & 0 \leq x < \infty \end{cases}$ છે,જ્યાં $a > 1$ અને $0 < b < 1$.
$x < 0$ માટે,$f(x) = a^x$. $a > 1$ હોવાથી,જેમ $x \to -\infty$,તેમ $f(x) \to 0$,અને જેમ $x \to 0^-$,તેમ $f(x) \to 1$. તેથી,આ ભાગનો વિસ્તાર $(0, 1)$ છે.
$x \geq 0$ માટે,$f(x) = b^x$. $0 < b < 1$ હોવાથી,$x = 0$ માટે $f(0) = b^0 = 1$,અને જેમ $x \to \infty$,તેમ $f(x) \to 0$. તેથી,આ ભાગનો વિસ્તાર $(0, 1]$ છે.
આ બંનેને જોડતા,$f(x)$ નો વિસ્તાર $(0, 1]$ મળે છે.
$1$. એક-એક ચકાસણી: કોઈપણ $y \in (0, 1)$ માટે,$x$ ની બે કિંમતો મળે છે,એક ઋણ અને એક ધન,જેથી $f(x) = y$ થાય. ઉદાહરણ તરીકે,જો $y = 0.5$ હોય,તો $x_1 < 0$ મળે જેથી $a^{x_1} = 0.5$ અને $x_2 > 0$ મળે જેથી $b^{x_2} = 0.5$. તેથી,$f(x)$ એક-એક નથી.
$2$. વ્યાપ્ત ચકાસણી: સહપ્રદેશ $[0, 1]$ આપેલ છે. વિસ્તાર $(0, 1]$ હોવાથી,કિંમત $0$ વિસ્તારમાં નથી (કારણ કે તમામ $x$ માટે $a^x > 0$ અને $b^x > 0$). તેથી,$f(x)$ વ્યાપ્ત નથી.
આમ,$f(x)$ એ એક-એક પણ નથી અને વ્યાપ્ત પણ નથી.

(B) આપેલ છે $f(x) = | 2x + 1 | + | x - 2 |$.
આપણે વિધેયને આ રીતે લખી શકીએ:
$f(x) = \begin{cases} -(2x+1) - (x-2) = -3x + 1, & x < -\frac{1}{2} \\ (2x+1) - (x-2) = x + 3, & -\frac{1}{2} \leq x < 2 \\ (2x+1) + (x-2) = 3x - 1, & x \geq 2 \end{cases}$
$x = -\frac{1}{2}$ આગળ,$f(-\frac{1}{2}) = 0 + |-\frac{1}{2} - 2| = \frac{5}{2}$.
$x = 2$ આગળ,$f(2) = |4+1| + 0 = 5$.
વિધેયની ન્યૂનતમ કિંમત $x = -\frac{1}{2}$ આગળ $\frac{5}{2}$ છે.
વિધેય સતત વધતું કે ઘટતું ન હોવાથી,તે એક-એક નથી.
સહપ્રદેશ $[ \frac{5}{2}, \infty )$ છે અને વિધેયનો વિસ્તાર પણ $[ \frac{5}{2}, \infty )$ હોવાથી,વિધેય વ્યાપ્ત છે.
તેથી,વિધેય વ્યાપ્ત છે પરંતુ એક-એક નથી.

(D) ધારો કે $n(A) = 5$ અને $n(B) = 7$.
$A$ થી $B$ પરના કુલ વિધેયોની સંખ્યા $|B|^{|A|} = 7^5$ દ્વારા મળે છે.
જો $A$ નો દરેક ઘટક $B$ ના અલગ ઘટક સાથે જોડાયેલ હોય,તો તે એક-એક વિધેય છે. એક-એક વિધેયોની સંખ્યા $P(7, 5) = { }^7 P_5$ છે.
જો વિધેય એક-એક ન હોય,તો તે અનેક-એક વિધેય છે.
તેથી,અનેક-એક વિધેયોની સંખ્યા = (કુલ વિધેયોની સંખ્યા) - (એક-એક વિધેયોની સંખ્યા) = $7^5 - { }^7 P_5$.

(C) આપેલ વિધેય સમીકરણ $f(x+y)=f(x)+12y$ છે.
$x=0$ લેતા,આપણને $f(y)=f(0)+12y$ મળે છે.
$f(1)=6$ હોવાથી,$6=f(0)+12(1)$,જેનો અર્થ છે કે $f(0)=-6$.
આમ,$f(x)=12x-6$.
હવે,આપણે સરવાળો $\sum_{r=1}^n f(r) = \sum_{r=1}^n (12r-6)$ ગણીએ.
$= 12 \sum_{r=1}^n r - \sum_{r=1}^n 6$.
$= 12 \frac{n(n+1)}{2} - 6n$.
$= 6n(n+1) - 6n = 6n^2+6n-6n = 6n^2$.

(C) આપેલ છે કે $f(x) = \frac{1}{\sqrt{64 - (0.5)^{24 + x - x^2}}}$.
$f(x)$ વ્યાખ્યાયિત થવા માટે,વર્ગમૂળની અંદરની અભિવ્યક્તિ ધન હોવી જોઈએ:
$64 - (0.5)^{24 + x - x^2} > 0$
$64 > (0.5)^{24 + x - x^2}$
$2^6 > (2^{-1})^{24 + x - x^2}$
$2^6 > 2^{-(24 + x - x^2)}$
અહીં આધાર $2 > 1$ હોવાથી,આપણને મળે છે:
$6 > -24 - x + x^2$
$x^2 - x - 30 < 0$
$(x - 6)(x + 5) < 0$
આ અસમતા $x \in (-5, 6)$ માટે સાચી છે.
$A \subseteq Z$ હોવાથી,ગણ $A$ માં $-5$ અને $6$ ની વચ્ચેના પૂર્ણાંકોનો સમાવેશ થાય છે,જે $A = \{-4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5\}$ છે.
$A$ ના ઘટકોના નિરપેક્ષ મૂલ્યોનો સરવાળો:
$|-4| + |-3| + |-2| + |-1| + |0| + |1| + |2| + |3| + |4| + |5|$
$= 4 + 3 + 2 + 1 + 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 25$.

(D) $f(x)$ એ $x = -1$ આગળ સતત હોવા માટે,$\lim_{x \to -1} f(x) = f(-1) = k$ હોવું જોઈએ.
લક્ષ $\lim_{x \to -1} \frac{(2-a)x^2 - (a+3b)x - 1}{x+1}$ છે.
લક્ષનું અસ્તિત્વ હોવા માટે,અંશ $x = -1$ આગળ $0$ હોવો જોઈએ.
$x = -1$ મૂકતા: $(2-a)(-1)^2 - (a+3b)(-1) - 1 = 0 \implies 2 - a + a + 3b - 1 = 0 \implies 1 + 3b = 0 \implies b = -\frac{1}{3}$.
$b = -\frac{1}{3}$ ને અંશમાં મૂકતા: $(2-a)x^2 - (a - 1)x - 1$.
આના અવયવો $(x+1)((2-a)x - 1)$ થાય છે.
તેથી,$\lim_{x \to -1} \frac{(x+1)((2-a)x - 1)}{x+1} = \lim_{x \to -1} ((2-a)x - 1) = (2-a)(-1) - 1 = -2 + a - 1 = a - 3$.
વિધેય સતત હોવાથી,$k = a - 3$.

(A) આપેલ છે,$f(x) = \begin{cases} \frac{2}{5-x}, & x < 3 \\ 5-x, & x \geq 3 \end{cases}$
$x = 3$ આગળ સાતત્ય ચકાસવા માટે,આપણે ડાબી બાજુનું લક્ષ $(LHL)$ અને જમણી બાજુનું લક્ષ $(RHL)$ શોધીએ.
$LHL$: $\lim_{x \to 3^{-}} f(x) = \lim_{x \to 3^{-}} \frac{2}{5-x} = \frac{2}{5-3} = 1$.
$RHL$: $\lim_{x \to 3^{+}} f(x) = \lim_{x \to 3^{+}} (5-x) = 5-3 = 2$.
વળી,$f(3) = 5-3 = 2$.
અહીં $\lim_{x \to 3^{-}} f(x) = 1$ અને $\lim_{x \to 3^{+}} f(x) = 2$ હોવાથી,$x = 3$ આગળ લક્ષનું અસ્તિત્વ નથી.
ખાસ કરીને,ડાબી બાજુનું લક્ષ એ $x = 3$ આગળ વિધેયની કિંમત જેટલું નથી,તેથી વિધેય $x = 3$ આગળ ડાબી બાજુએ અસતત છે.

(C) આપેલ છે,$f(x) = \begin{cases} x^{\alpha} \sin \left( \frac{1}{x} \right) ; & x \neq 0 \\ 0 ; & x = 0 \end{cases}$
$x = 0$ આગળ સાતત્ય માટે,$\lim_{x \rightarrow 0} f(x) = f(0) = 0$.
$\lim_{x \rightarrow 0} x^{\alpha} \sin \left( \frac{1}{x} \right) = 0$ માત્ર ત્યારે જ શક્ય છે જો $\alpha > 0$ હોય.
તેથી,$f(x)$ એ $\alpha > 0$ માટે સતત છે.
$x = 0$ આગળ વિકલનીયતા માટે,$f^{\prime}(0) = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(0 + h) - f(0)}{h} = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{h^{\alpha} \sin \left( \frac{1}{h} \right) - 0}{h} = \lim_{h \rightarrow 0} h^{\alpha - 1} \sin \left( \frac{1}{h} \right)$.
આ લક્ષનું અસ્તિત્વ છે અને તે $0$ થાય છે જો $\alpha - 1 > 0$,એટલે કે $\alpha > 1$ હોય.
તેથી,$f(x)$ એ $\alpha > 1$ માટે સતત અને વિકલનીય છે.

(A) વિધેયને $f(x) = \min \{x, x^2\}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવ્યું છે.
$x$ અને $x^2$ ની સરખામણી કરતા,આપણે જાણીએ છીએ કે જ્યારે $0 \leq x \leq 1$ હોય ત્યારે $x^2 \leq x$ થાય,અને અન્યથા $x < x^2$ થાય છે.
આમ,$f(x) = \begin{cases} x, & x < 0 \\ x^2, & 0 \leq x \leq 1 \\ x, & x > 1 \end{cases}$.
$x = 0$ આગળ સાતત્ય તપાસતા: $\lim_{x \to 0^-} f(x) = 0$ અને $\lim_{x \to 0^+} f(x) = 0^2 = 0$. $f(0) = 0$ હોવાથી,તે $x = 0$ આગળ સતત છે.
$x = 1$ આગળ સાતત્ય તપાસતા: $\lim_{x \to 1^-} f(x) = 1^2 = 1$ અને $\lim_{x \to 1^+} f(x) = 1$. $f(1) = 1$ હોવાથી,તે $x = 1$ આગળ સતત છે.
હવે,વિકલનીયતા તપાસતા: $f'(x) = \begin{cases} 1, & x < 0 \\ 2x, & 0 < x < 1 \\ 1, & x > 1 \end{cases}$.
$x = 0$ આગળ: ડાબું વિકલન $1$ છે,જમણું વિકલન $2(0) = 0$ છે. $1 \neq 0$ હોવાથી,તે $x = 0$ આગળ વિકલનીય નથી.
$x = 1$ આગળ: ડાબું વિકલન $2(1) = 2$ છે,જમણું વિકલન $1$ છે. $2 \neq 1$ હોવાથી,તે $x = 1$ આગળ વિકલનીય નથી.
આમ,$f(x)$ એ તમામ $x$ માટે સતત છે.

(B) વિધેય $f(x)$ એ $x = 0$ આગળ સતત હોવા માટે,$\lim_{x \to 0^{+}} f(x) = \lim_{x \to 0^{-}} f(x) = f(0) = \beta$ હોવું જોઈએ.
પ્રથમ,જમણી બાજુની લક્ષ કિંમત મેળવીએ: $\lim_{x \to 0^{+}} \frac{\tan (\alpha + 1)x + \tan 2x}{x} = \lim_{x \to 0^{+}} \frac{\tan (\alpha + 1)x}{x} + \lim_{x \to 0^{+}} \frac{\tan 2x}{x} = (\alpha + 1) + 2 = \alpha + 3$.
આમ,$\beta = \alpha + 3$.
હવે,ડાબી બાજુની લક્ષ કિંમત મેળવીએ: $\lim_{x \to 0^{-}} \frac{\sin 3x - \tan 3x}{x^{3}}$. ટેલર શ્રેણીના વિસ્તરણ $\sin 3x = 3x - \frac{(3x)^3}{6} + O(x^5)$ અને $\tan 3x = 3x + \frac{(3x)^3}{3} + O(x^5)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\lim_{x \to 0^{-}} \frac{(3x - \frac{27x^3}{6}) - (3x + \frac{27x^3}{3})}{x^3} = \lim_{x \to 0^{-}} \frac{-\frac{9}{2}x^3 - 9x^3}{x^3} = -\frac{9}{2} - 9 = -\frac{27}{2}$.
તેથી,$\beta = -\frac{27}{2}$.
$\beta$ ની કિંમત પ્રથમ સમીકરણમાં મૂકતા: $-\frac{27}{2} = \alpha + 3 \implies \alpha = -\frac{27}{2} - 3 = -\frac{33}{2}$.
અંતે,$|\alpha| + |\beta| = |-\frac{33}{2}| + |-\frac{27}{2}| = \frac{33}{2} + \frac{27}{2} = \frac{60}{2} = 30$.

(B) વિધેય $f(x)$ એ $x = 0$ આગળ સતત હોવા માટે,$\lim_{x \rightarrow 0^-} f(x) = f(0) = \lim_{x \rightarrow 0^+} f(x)$ હોવું જરૂરી છે.
પ્રથમ,ડાબી બાજુનું લક્ષ $(LHL)$ ગણો:
$\lim_{x \rightarrow 0^-} f(x) = \lim_{x \rightarrow 0^-} (1 + |\sin x|)^{a/|\sin x|}$.
આ $1^\infty$ સ્વરૂપ હોવાથી,આપણે $\lim_{x \rightarrow c} (1 + g(x))^{h(x)} = e^{\lim_{x \rightarrow c} g(x)h(x)}$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરીશું.
$\lim_{x \rightarrow 0^-} f(x) = e^{\lim_{x \rightarrow 0} |\sin x| \cdot \frac{a}{|\sin x|}} = e^a$.
હવે,જમણી બાજુનું લક્ષ $(RHL)$ ગણો:
$\lim_{x \rightarrow 0^+} f(x) = \lim_{x \rightarrow 0^+} e^{\frac{\tan 2x}{\tan 3x}} = e^{\lim_{x \rightarrow 0} \frac{\tan 2x}{2x} \cdot \frac{3x}{\tan 3x} \cdot \frac{2x}{3x}} = e^{1 \cdot 1 \cdot 2/3} = e^{2/3}$.
અહીં $f(0) = b$ હોવાથી,લક્ષને સરખાવતા:
$e^a = b = e^{2/3}$.
તેથી,$a = 2/3$ અને $b = e^{2/3}$ મળે છે.

(C) વિધેય $f(x)$ એ $x=0$ આગળ સતત હોવા માટે,શરત $\lim_{x \rightarrow 0} f(x) = f(0)$ નું પાલન થવું જોઈએ.
આપણે લક્ષની ગણતરી નીચે મુજબ કરીએ છીએ:
$f(0) = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt{1+x}-1}{x}$
આ લક્ષની કિંમત શોધવા માટે,આપણે અંશનું સંમેયીકરણ કરીએ છીએ:
$f(0) = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{(\sqrt{1+x}-1)(\sqrt{1+x}+1)}{x(\sqrt{1+x}+1)}$
$f(0) = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{(1+x)-1}{x(\sqrt{1+x}+1)}$
$f(0) = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{x}{x(\sqrt{1+x}+1)}$
$f(0) = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{1}{\sqrt{1+x}+1}$
$x=0$ મૂકતા:
$f(0) = \frac{1}{\sqrt{1+0}+1} = \frac{1}{1+1} = \frac{1}{2}$

(D) $x=0$ માટે:
$\lim_{x \rightarrow 0^{+}} f(x) = \lim_{x \rightarrow 0^{+}} (2-x) = 2$.
કારણ કે $f(0) = 0$,$\lim_{x \rightarrow 0^{+}} f(x) \neq f(0)$,તેથી $f$ એ $x=0$ પર જમણી બાજુથી સતત નથી.
$x=1$ માટે:
$\lim_{x \rightarrow 1^{-}} f(x) = \lim_{x \rightarrow 1^{-}} (2-x) = 1$.
કારણ કે $f(1) = 2$,$\lim_{x \rightarrow 1^{-}} f(x) \neq f(1)$,તેથી $f$ એ $x=1$ પર ડાબી બાજુથી સતત નથી.
$\lim_{x \rightarrow 1^{+}} f(x) = \lim_{x \rightarrow 1^{+}} (\frac{1}{2}-x) = -\frac{1}{2}$.
કારણ કે $f(1) = 2$,$\lim_{x \rightarrow 1^{+}} f(x) \neq f(1)$,તેથી $f$ એ $x=1$ પર જમણી બાજુથી સતત નથી.
$x=2$ માટે:
$\lim_{x \rightarrow 2^{-}} f(x) = \lim_{x \rightarrow 2^{-}} (\frac{1}{2}-x) = \frac{1}{2}-2 = -\frac{3}{2}$.
$\lim_{x \rightarrow 2^{+}} f(x) = \lim_{x \rightarrow 2^{+}} (-\frac{3}{2}) = -\frac{3}{2}$.
$f(2) = -\frac{3}{2}$.
કારણ કે $\lim_{x \rightarrow 2^{-}} f(x) = \lim_{x \rightarrow 2^{+}} f(x) = f(2) = -\frac{3}{2}$,તેથી $f$ એ $x=2$ પર સતત છે.

(D) $f(x) = |x - 24| = \begin{cases} -x + 24, & x < 24 \\ x - 24, & x \geq 24 \end{cases}$
$\lim_{x \rightarrow 24^{-}} f(x) = \lim_{x \rightarrow 24} (-x + 24) = 0$
$\lim_{x \rightarrow 24^{+}} f(x) = \lim_{x \rightarrow 24} (x - 24) = 0$ અને $f(24) = 0$
ડાબી બાજુનું લક્ષ,જમણી બાજુનું લક્ષ અને $x = 24$ આગળ વિધેયનું મૂલ્ય સમાન હોવાથી,$f$ એ $[0, 25]$ પર સતત છે.
હવે,$x = 24$ આગળ વિકલનીયતા તપાસીએ:
ડાબી બાજુનું વિકલન: $\lim_{x \rightarrow 24^{-}} \frac{f(x) - f(24)}{x - 24} = \lim_{x \rightarrow 24} \frac{-x + 24 - 0}{x - 24} = -1$
જમણી બાજુનું વિકલન: $\lim_{x \rightarrow 24^{+}} \frac{f(x) - f(24)}{x - 24} = \lim_{x \rightarrow 24} \frac{x - 24 - 0}{x - 24} = 1$
ડાબી બાજુનું વિકલન $\neq$ જમણી બાજુનું વિકલન હોવાથી,$f$ એ $x = 24$ આગળ વિકલનીય નથી.
તેથી,$f$ એ $[0, 25]$ પર સતત છે,પરંતુ $[0, 25]$ પર વિકલનીય નથી.

(B) કારણ કે $f(x)$ એ $x=3$ આગળ સતત છે,તેથી $\lim_{x \rightarrow 3} f(x) = f(3) = l$ થાય.
લક્ષ $\lim_{x \rightarrow 3} \frac{2x^2+(k+2)x+9}{3x^2-7x-6}$ છે.
છેદ $3x^2-7x-6$ એ $x=3$ આગળ $3(9)-7(3)-6 = 27-21-6 = 0$ થાય છે,તેથી લક્ષનું અસ્તિત્વ હોવા માટે અંશ પણ $x=3$ આગળ $0$ થવો જોઈએ.
તેથી,$2(3)^2 + (k+2)(3) + 9 = 0$.
$18 + 3k + 6 + 9 = 0 \Rightarrow 3k + 33 = 0 \Rightarrow k = -11$.
હવે,$k=-11$ મૂકતા,આપણને $\lim_{x \rightarrow 3} \frac{2x^2-9x+9}{3x^2-7x-6}$ મળે છે.
$L$'$H$ôpital ના નિયમનો ઉપયોગ કરતા: $\lim_{x \rightarrow 3} \frac{4x-9}{6x-7} = \frac{4(3)-9}{6(3)-7} = \frac{12-9}{18-7} = \frac{3}{11}$.
તેથી,$l = \frac{3}{11}$.
અંતે,$l-k = \frac{3}{11} - (-11) = \frac{3}{11} + 11 = \frac{3+121}{11} = \frac{124}{11}$.

(A) કારણ કે $f(x)$ એ $x=0$ આગળ સતત છે,તેથી $\lim_{x \to 0} f(x) = f(0) = K$ થાય.
આપણે લક્ષની કિંમત શોધીએ: $\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{a^2-ax+x^2}-\sqrt{x^2+ax+a^2}}{\sqrt{a+x}-\sqrt{a-x}}$.
અંશ અને છેદનું સંમેયીકરણ કરતા:
$\frac{\sqrt{a^2-ax+x^2}+\sqrt{x^2+ax+a^2}}{\sqrt{a^2-ax+x^2}+\sqrt{x^2+ax+a^2}} \times \frac{\sqrt{a+x}+\sqrt{a-x}}{\sqrt{a+x}+\sqrt{a-x}}$ વડે ગુણતા.
અંશ $(a^2-ax+x^2) - (x^2+ax+a^2) = -2ax$ થશે.
છેદ $(a+x) - (a-x) = 2x$ થશે.
તેથી,$K = \lim_{x \to 0} \frac{-2ax}{2x} \times \frac{\sqrt{a+x}+\sqrt{a-x}}{\sqrt{a^2-ax+x^2}+\sqrt{x^2+ax+a^2}}$.
$K = \lim_{x \to 0} (-a) \times \frac{\sqrt{a+x}+\sqrt{a-x}}{\sqrt{a^2-ax+x^2}+\sqrt{x^2+ax+a^2}}$.
$x=0$ મુકતા: $K = (-a) \times \frac{\sqrt{a}+\sqrt{a}}{\sqrt{a^2}+\sqrt{a^2}} = (-a) \times \frac{2\sqrt{a}}{2a} = -\sqrt{a}$.

(A) કારણ કે $f(x)$ એ $\forall x \in R$ માટે વિકલનીય છે,તેથી તે $\forall x \in R$ માટે સતત હોવું જોઈએ.
$x = 2$ આગળ સાતત્ય માટે:
$\lim_{x \rightarrow 2^+} f(x) = \lim_{x \rightarrow 2^-} f(x)$
$\Rightarrow \lim_{x \rightarrow 2} (bx^3 + 1) = \lim_{x \rightarrow 2} (3x - 3)$
$\Rightarrow 8b + 1 = 3(2) - 3 = 3$
$\Rightarrow 8b = 2 \Rightarrow b = \frac{1}{4}$.
$x = 1$ આગળ સાતત્ય માટે:
$\lim_{x \rightarrow 1^-} f(x) = \lim_{x \rightarrow 1^+} f(x)$
$\Rightarrow \lim_{x \rightarrow 1} (ax^2 + bx - \frac{13}{8}) = \lim_{x \rightarrow 1} (3x - 3)$
$\Rightarrow a + b - \frac{13}{8} = 3(1) - 3 = 0$
$\Rightarrow a + \frac{1}{4} - \frac{13}{8} = 0$
$\Rightarrow a = \frac{13}{8} - \frac{2}{8} = \frac{11}{8}$.
તેથી,$a - b = \frac{11}{8} - \frac{1}{4} = \frac{11}{8} - \frac{2}{8} = \frac{9}{8}$.

(B) આપેલ વિધેય $f(x) = \begin{cases} \frac{x - |x|}{x}, & x \neq 0 \\ 2, & x = 0 \end{cases}$ છે.
જ્યારે $x > 0$ હોય,ત્યારે $|x| = x$,તેથી $f(x) = \frac{x - x}{x} = 0$.
જ્યારે $x < 0$ હોય,ત્યારે $|x| = -x$,તેથી $f(x) = \frac{x - (-x)}{x} = \frac{2x}{x} = 2$.
જ્યારે $x = 0$ હોય,ત્યારે $f(0) = 2$.
આમ,વિધેયને $f(x) = \begin{cases} 2, & x \leq 0 \\ 0, & x > 0 \end{cases}$ તરીકે લખી શકાય.
વિધેયનો વિસ્તાર $\{0, 2\}$ છે.
તેથી,$f(x)$ ની મહત્તમ કિંમત $2$ છે.

(C) આપેલ વિધેય $f(x) = \begin{cases} \frac{2 x e^{\frac{1}{2 x}}-3 x e^{\frac{-1}{2 x}}}{e^{\frac{1}{2 x}}+4 e^{-\frac{1}{2 x}}} & x \neq 0 \\ 0 & x=0 \end{cases}$ છે.
પ્રથમ,$x=0$ આગળ ડાબી બાજુનું વિકલિત ($L$.$H$.$D$.) શોધો:
$f^{\prime}(0^{-}) = \lim_{h \rightarrow 0^{+}} \frac{f(0-h)-f(0)}{-h} = \lim_{h \rightarrow 0^{+}} \frac{f(-h)-0}{-h}$
$= \lim_{h \rightarrow 0^{+}} \frac{-2h e^{\frac{-1}{2h}} + 3h e^{\frac{1}{2h}}}{-h(e^{\frac{-1}{2h}} + 4e^{\frac{1}{2h}})} = \lim_{h \rightarrow 0^{+}} \frac{2e^{\frac{-1}{2h}} - 3e^{\frac{1}{2h}}}{e^{\frac{-1}{2h}} + 4e^{\frac{1}{2h}}}$
અંશ અને છેદને $e^{\frac{1}{2h}}$ વડે ભાગતા:
$= \lim_{h \rightarrow 0^{+}} \frac{2e^{\frac{-1}{h}} - 3}{e^{\frac{-1}{h}} + 4} = \frac{0 - 3}{0 + 4} = -\frac{3}{4}$.
હવે,$x=0$ આગળ જમણી બાજુનું વિકલિત ($R$.$H$.$D$.) શોધો:
$f^{\prime}(0^{+}) = \lim_{h \rightarrow 0^{+}} \frac{f(0+h)-f(0)}{h} = \lim_{h \rightarrow 0^{+}} \frac{f(h)-0}{h}$
$= \lim_{h \rightarrow 0^{+}} \frac{2h e^{\frac{1}{2h}} - 3h e^{\frac{-1}{2h}}}{h(e^{\frac{1}{2h}} + 4e^{\frac{-1}{2h}})} = \lim_{h \rightarrow 0^{+}} \frac{2e^{\frac{1}{2h}} - 3e^{\frac{-1}{2h}}}{e^{\frac{1}{2h}} + 4e^{\frac{-1}{2h}}}$
અંશ અને છેદને $e^{\frac{1}{2h}}$ વડે ભાગતા:
$= \lim_{h \rightarrow 0^{+}} \frac{2 - 3e^{\frac{-1}{h}}}{1 + 4e^{\frac{-1}{h}}} = \frac{2 - 0}{1 + 0} = 2$.
અહીં $f^{\prime}(0^{-}) \neq f^{\prime}(0^{+})$ હોવાથી,વિધેય $f(x)$ એ $x=0$ આગળ વિકલનીય નથી.

(B) આપેલ છે કે $f(x) = \begin{cases} 2x+3, & x \leq 1 \\ ax^{2}+bx, & x > 1 \end{cases}$.
$f(x)$ એ દરેક $x \in R$ માટે વિકલનીય હોવાથી,તે $x = 1$ આગળ સતત હોવું જોઈએ.
$\lim_{x \to 1^{-}} f(x) = \lim_{x \to 1^{+}} f(x) = f(1) \Rightarrow 2(1) + 3 = a(1)^2 + b(1) \Rightarrow a + b = 5 \quad \dots(i)$
વળી,$f'(x)$ એ $x = 1$ આગળ સતત હોવું જોઈએ.
$f'(x) = \begin{cases} 2, & x < 1 \\ 2ax + b, & x > 1 \end{cases}$
$\lim_{x \to 1^{-}} f'(x) = \lim_{x \to 1^{+}} f'(x) \Rightarrow 2 = 2a(1) + b \Rightarrow 2a + b = 2 \quad \dots(ii)$
સમીકરણ $(ii)$ માંથી $(i)$ બાદ કરતા: $(2a + b) - (a + b) = 2 - 5 \Rightarrow a = -3$.
$a = -3$ ને $(i)$ માં મૂકતા: $-3 + b = 5 \Rightarrow b = 8$.
આમ,$x > 1$ માટે,$f(x) = -3x^2 + 8x$.
આપણે $f(2)$ શોધવાનું છે.
$f(2) = -3(2)^2 + 8(2) = -3(4) + 16 = -12 + 16 = 4$.

(D) વિધેય $x \in [0, 3]$ માટે $f(x) = |x - 1| + |x - 2|$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત છે.
માનાંક દૂર કરતા આપણને મળે છે:
$f(x) = \begin{cases} -(x-1) - (x-2) = -2x + 3, & 0 \leq x \leq 1 \\ (x-1) - (x-2) = 1, & 1 < x < 2 \\ (x-1) + (x-2) = 2x - 3, & 2 \leq x \leq 3 \end{cases}$
$f(x)$ એ સતત વિધેયોનો સરવાળો હોવાથી,તે $[0, 3]$ માં દરેક જગ્યાએ સતત છે.
$x = 1$ આગળ,ડાબી બાજુનું વિકલન $\frac{d}{dx}(-2x+3) = -2$ છે અને જમણી બાજુનું વિકલન $\frac{d}{dx}(1) = 0$ છે. $-2 \neq 0$ હોવાથી,$f(x)$ એ $x = 1$ આગળ વિકલનીય નથી.
$x = 2$ આગળ,ડાબી બાજુનું વિકલન $\frac{d}{dx}(1) = 0$ છે અને જમણી બાજુનું વિકલન $\frac{d}{dx}(2x-3) = 2$ છે. $0 \neq 2$ હોવાથી,$f(x)$ એ $x = 2$ આગળ વિકલનીય નથી.
આમ,$f(x)$ એ સતત છે પરંતુ $x = 1$ અને $x = 2$ આગળ વિકલનીય નથી.

(B) આપેલ છે કે $y=t^2+t^3$ અને $x=t-t^4$.
પ્રથમ,$t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{dy}{dt} = 2t + 3t^2$
$\frac{dx}{dt} = 1 - 4t^3$
તેથી,$\frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt} = \frac{2t + 3t^2}{1 - 4t^3}$.
હવે,ચેઈન રૂલનો ઉપયોગ કરીને $x$ ની સાપેક્ષમાં $\frac{dy}{dx}$ નું વિકલન કરતા:
$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{d}{dt}\left(\frac{dy}{dx}\right) \cdot \frac{dt}{dx} = \frac{d}{dt}\left(\frac{2t + 3t^2}{1 - 4t^3}\right) \cdot \frac{1}{1 - 4t^3}$.
ભાગાકારના નિયમનો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{d}{dt}\left(\frac{2t + 3t^2}{1 - 4t^3}\right) = \frac{(1 - 4t^3)(2 + 6t) - (2t + 3t^2)(-12t^2)}{(1 - 4t^3)^2}$.
આમ,$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{(1 - 4t^3)(2 + 6t) + 12t^2(2t + 3t^2)}{(1 - 4t^3)^3}$.
$t=1$ મુકતા:
$\left.\frac{d^2y}{dx^2}\right|_{t=1} = \frac{(1 - 4)(2 + 6) + 12(1)^2(2(1) + 3(1)^2)}{(1 - 4)^3} = \frac{(-3)(8) + 12(5)}{(-3)^3} = \frac{-24 + 60}{-27} = \frac{36}{-27} = -\frac{4}{3}$.

(C) આપણને પદાવલિ $f(x) = \frac{1+x^2+x^4}{1+x+x^2}$ આપેલ છે.
પ્રથમ,આપણે અંશનું સાદું રૂપ આપીએ: $1+x^2+x^4 = (1+x^2)^2 - x^2 = (1+x^2-x)(1+x^2+x) = (x^2-x+1)(x^2+x+1)$.
આમ,$f(x) = \frac{(x^2-x+1)(x^2+x+1)}{x^2+x+1} = x^2-x+1$.
હવે,$f(x)$ નું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{d}{dx}(x^2-x+1) = 2x-1$.
આને $ax+b$ સાથે સરખાવતા,આપણને $a=2$ અને $b=-1$ મળે છે.
તેથી,$(a, b) = (2, -1)$.

(D) આપેલ છે કે $f(0)=0$ અને $f^{\prime}(0)=3$.
ધારો કે $y = f(f(f(f(f(x)))))$.
સાંકળના નિયમ (chain rule) નો ઉપયોગ કરતા,વિકલિત નીચે મુજબ મળે:
$\frac{dy}{dx} = f^{\prime}(f(f(f(f(x))))) \cdot f^{\prime}(f(f(f(x)))) \cdot f^{\prime}(f(f(x))) \cdot f^{\prime}(f(x)) \cdot f^{\prime}(x)$.
$x=0$ આગળ:
કારણ કે $f(0)=0$,તેથી $f(f(0)) = f(0) = 0$,અને આ રીતે આગળ વધતા.
આમ,$\left. \frac{dy}{dx} \right|_{x=0} = f^{\prime}(0) \cdot f^{\prime}(0) \cdot f^{\prime}(0) \cdot f^{\prime}(0) \cdot f^{\prime}(0) = [f^{\prime}(0)]^5$.
$f^{\prime}(0)=3$ કિંમત મૂકતા:
$[3]^5 = 243$.

(A) ધારો કે $u = x^{\sin x}$. બંને બાજુ લઘુગણક લેતા,$\log u = \sin x \log x$ મળે.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{1}{u} \frac{du}{dx} = \cos x \log x + \sin x \cdot \frac{1}{x} = \cos x \log x + \frac{\sin x}{x}$.
તેથી,$\frac{du}{dx} = x^{\sin x} \left( \cos x \log x + \frac{\sin x}{x} \right)$.
ધારો કે $v = (\sin x)^x$. બંને બાજુ લઘુગણક લેતા,$\log v = x \log \sin x$ મળે.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{1}{v} \frac{dv}{dx} = 1 \cdot \log \sin x + x \cdot \frac{1}{\sin x} \cdot \cos x = \log \sin x + x \cot x$.
તેથી,$\frac{dv}{dx} = (\sin x)^x (x \cot x + \log \sin x)$.
$u$ નો $v$ ની સાપેક્ષમાં ફેરફારનો દર $\frac{du}{dv} = \frac{du/dx}{dv/dx} = \frac{x^{\sin x} \left( \cos x \log x + \frac{\sin x}{x} \right)}{(\sin x)^x (x \cot x + \log \sin x)}$ થાય.

(C) આપેલ છે,$x=3\left[\sin t-\log \left(\cot \frac{t}{2}\right)\right]$ અને $y=6\left[\cos t+\log \left(\tan \frac{t}{2}\right)\right]$.
પ્રથમ,$x$ નું $t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{dx}{dt} = 3\left[\cos t - \frac{1}{\cot(t/2)} \cdot (-\csc^2(t/2)) \cdot \frac{1}{2}\right] = 3\left[\cos t + \frac{\csc^2(t/2)}{2 \cot(t/2)}\right] = 3\left[\cos t + \frac{1}{2 \sin(t/2) \cos(t/2)}\right] = 3\left[\cos t + \frac{1}{\sin t}\right] = \frac{3(1+\sin t \cos t)}{\sin t}$.
ત્યારબાદ,$y$ નું $t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{dy}{dt} = 6\left[-\sin t + \frac{1}{\tan(t/2)} \cdot \sec^2(t/2) \cdot \frac{1}{2}\right] = 6\left[-\sin t + \frac{\sec^2(t/2)}{2 \tan(t/2)}\right] = 6\left[-\sin t + \frac{1}{2 \sin(t/2) \cos(t/2)}\right] = 6\left[-\sin t + \frac{1}{\sin t}\right] = 6\left(\frac{1-\sin^2 t}{\sin t}\right) = \frac{6 \cos^2 t}{\sin t}$.
અંતે,$\frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt}$ ની ગણતરી કરતા:
$\frac{dy}{dx} = \frac{6 \cos^2 t / \sin t}{3(1+\sin t \cos t) / \sin t} = \frac{2 \cos^2 t}{1+\sin t \cos t}$.

(D) આપેલ છે કે $y = \tan(\log x)$.
પ્રથમ,સાંકળના નિયમનો ઉપયોગ કરીને $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{dy}{dx} = \sec^2(\log x) \cdot \frac{1}{x} = \frac{\sec^2(\log x)}{x}$.
હવે,ભાગાકારના નિયમ $\left( \frac{u}{v} \right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$ નો ઉપયોગ કરીને ફરીથી $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{x \cdot \frac{d}{dx}(\sec^2(\log x)) - \sec^2(\log x) \cdot 1}{x^2}$.
$\frac{d}{dx}(\sec^2(\log x))$ માટે સાંકળના નિયમનો ઉપયોગ કરતા: $2 \sec(\log x) \cdot \sec(\log x) \tan(\log x) \cdot \frac{1}{x} = \frac{2 \sec^2(\log x) \tan(\log x)}{x}$.
આ કિંમત મૂકતા:
$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{x \cdot \frac{2 \sec^2(\log x) \tan(\log x)}{x} - \sec^2(\log x)}{x^2}$.
$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{2 \sec^2(\log x) \tan(\log x) - \sec^2(\log x)}{x^2}$.
$\sec^2(\log x)$ સામાન્ય લેતા:
$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{\sec^2(\log x)[2 \tan(\log x) - 1]}{x^2}$.

(B) આપેલ છે કે $x < 0$,તેથી $|x| = -x$ થાય.
આ કિંમત પદાવલિમાં મૂકતા,આપણને $y = (-x)^x$ મળે.
બંને બાજુ પ્રાકૃતિક લઘુગણક લેતા: $\log y = x \log(-x)$.
ગુણાકારના નિયમનો ઉપયોગ કરીને $x$ ની સાપેક્ષમાં બંને બાજુ વિકલન કરતા:
$\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx} [x] \cdot \log(-x) + x \cdot \frac{d}{dx} [\log(-x)]$.
$\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = 1 \cdot \log(-x) + x \cdot \frac{1}{-x} \cdot (-1) = \log(-x) + 1$.
તેથી,$\frac{dy}{dx} = y [\log(-x) + 1] = (-x)^x [1 + \log(-x)]$.

(D) આપેલ છે કે $f(x) = 5 \cos^3 x - 3 \sin^2 x$ અને $g(x) = 4 \sin^3 x + \cos^2 x$.
પ્રથમ,$x$ ની સાપેક્ષે $f(x)$ નું વિકલન મેળવો:
$\frac{df}{dx} = 5(3 \cos^2 x)(-\sin x) - 3(2 \sin x \cos x) = -15 \cos^2 x \sin x - 6 \sin x \cos x$.
ત્યારબાદ,$x$ ની સાપેક્ષે $g(x)$ નું વિકલન મેળવો:
$\frac{dg}{dx} = 4(3 \sin^2 x)(\cos x) + 2 \cos x(-\sin x) = 12 \sin^2 x \cos x - 2 \sin x \cos x$.
હવે,ચેઈન રૂલનો ઉપયોગ કરીને $g(x)$ ની સાપેક્ષે $f(x)$ નું વિકલન શોધો:
$\frac{df}{dg} = \frac{df/dx}{dg/dx} = \frac{-15 \cos^2 x \sin x - 6 \sin x \cos x}{12 \sin^2 x \cos x - 2 \sin x \cos x}$.
અંશમાંથી $-\sin x \cos x$ અને છેદમાંથી $\sin x \cos x$ સામાન્ય લેતા:
$\frac{df}{dg} = \frac{-\sin x \cos x (15 \cos x + 6)}{\sin x \cos x (12 \sin x - 2)} = -\frac{15 \cos x + 6}{12 \sin x - 2}$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(B) આપેલ છે કે,$y=\tan ^{-1}\left(\frac{2-3 \sin x}{3-2 \sin x}\right)$.
ચેઈન રૂલનો ઉપયોગ કરતા,$\frac{d y}{d x}=\frac{1}{1+\left(\frac{2-3 \sin x}{3-2 \sin x}\right)^2} \times \frac{d}{d x}\left(\frac{2-3 \sin x}{3-2 \sin x}\right)$.
છેદનું સાદુરૂપ આપતા: $1+\left(\frac{2-3 \sin x}{3-2 \sin x}\right)^2 = \frac{(3-2 \sin x)^2 + (2-3 \sin x)^2}{(3-2 \sin x)^2} = \frac{9+4 \sin^2 x - 12 \sin x + 4 + 9 \sin^2 x - 12 \sin x}{(3-2 \sin x)^2} = \frac{13 \sin^2 x - 24 \sin x + 13}{(3-2 \sin x)^2}$.
હવે,ભાગાકારના નિયમનો ઉપયોગ કરીને અંદરના વિધેયનું વિકલન કરતા: $\frac{d}{d x}\left(\frac{2-3 \sin x}{3-2 \sin x}\right) = \frac{(3-2 \sin x)(-3 \cos x) - (2-3 \sin x)(-2 \cos x)}{(3-2 \sin x)^2}$.
$= \frac{-9 \cos x + 6 \sin x \cos x + 4 \cos x - 6 \sin x \cos x}{(3-2 \sin x)^2} = \frac{-5 \cos x}{(3-2 \sin x)^2}$.
આ બંનેને જોડતા,$\frac{d y}{d x} = \frac{(3-2 \sin x)^2}{13 \sin^2 x - 24 \sin x + 13} \times \frac{-5 \cos x}{(3-2 \sin x)^2} = \frac{-5 \cos x}{13 \sin^2 x - 24 \sin x + 13}$.

(D) ચાલો દરેક વિકલ્પનું મૂલ્યાંકન કરીએ:
$A$: $\frac{d}{dx}[\sec^{-1}(\cosh x)] = \frac{1}{|\cosh x|\sqrt{\cosh^2 x - 1}} \cdot \sinh x = \frac{\sinh x}{\cosh x \sinh x} = \text{sech } x$. (સાચું)
$B$: $\frac{d}{dx}[\cos^{-1}(\text{sech } x)] = -\frac{1}{\sqrt{1-\text{sech}^2 x}} \cdot (-\text{sech } x \tanh x) = \frac{\text{sech } x \tanh x}{\tanh x} = \text{sech } x$. (સાચું)
$C$: $\frac{d}{dx}[\tan^{-1}(\sinh x)] = \frac{1}{1+\sinh^2 x} \cdot \cosh x = \frac{\cosh x}{\cosh^2 x} = \text{sech } x$. (સાચું)
$D$: $\frac{d}{dx}[\tan^{-1}(\tan \frac{x}{2})] = \frac{d}{dx}(\frac{x}{2}) = \frac{1}{2}$. કારણ કે $\frac{1}{2} \neq \sec x$,તેથી આ વિધાન ખોટું છે.

(C) આપણે દરેક પદને $\tan^{-1} \frac{a-b}{1+ab} = \tan^{-1} a - \tan^{-1} b$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને ફરીથી લખી શકીએ છીએ.
$y = \tan^{-1} \frac{2x-x}{1+(2x)(x)} + \tan^{-1} \frac{3x-2x}{1+(3x)(2x)} + \tan^{-1} \frac{4x-3x}{1+(4x)(3x)}$
$y = (\tan^{-1} 2x - \tan^{-1} x) + (\tan^{-1} 3x - \tan^{-1} 2x) + (\tan^{-1} 4x - \tan^{-1} 3x)$
$y = \tan^{-1} 4x - \tan^{-1} x$
હવે,$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{dy}{dx} = \frac{4}{1+(4x)^2} - \frac{1}{1+x^2} = \frac{4}{1+16x^2} - \frac{1}{1+x^2}$
$x = \frac{1}{2}$ મૂકતા:
$\left(\frac{dy}{dx}\right)_{x=\frac{1}{2}} = \frac{4}{1+16(\frac{1}{4})} - \frac{1}{1+(\frac{1}{4})} = \frac{4}{1+4} - \frac{1}{\frac{5}{4}} = \frac{4}{5} - \frac{4}{5} = 0$

(A) આપેલ છે કે $y = \sinh^{-1}\left(\frac{1-x}{1+x}\right)$.
ચેઈન રૂલનો ઉપયોગ કરતા,$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{du}(\sinh^{-1}(u)) \cdot \frac{du}{dx}$,જ્યાં $u = \frac{1-x}{1+x}$ છે.
$\sinh^{-1}(u)$ નું વિકલન $\frac{1}{\sqrt{u^2+1}}$ થાય છે.
હવે,$\frac{du}{dx} = \frac{(1+x)(-1) - (1-x)(1)}{(1+x)^2} = \frac{-1-x-1+x}{(1+x)^2} = \frac{-2}{(1+x)^2}$.
આ કિંમતોને ચેઈન રૂલમાં મૂકતા:
$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\sqrt{(\frac{1-x}{1+x})^2 + 1}} \cdot \frac{-2}{(1+x)^2}$.
$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\sqrt{\frac{(1-x)^2 + (1+x)^2}{(1+x)^2}}} \cdot \frac{-2}{(1+x)^2}$.
$\frac{dy}{dx} = \frac{|1+x|}{\sqrt{1-2x+x^2+1+2x+x^2}} \cdot \frac{-2}{(1+x)^2}$.
$\frac{dy}{dx} = \frac{|1+x|}{\sqrt{2+2x^2}} \cdot \frac{-2}{(1+x)^2} = \frac{|1+x|}{\sqrt{2}\sqrt{1+x^2}} \cdot \frac{-2}{(1+x)^2}$.
કારણ કે $\frac{|1+x|}{(1+x)^2} = \frac{1}{|1+x|}$,તેથી આપણને મળે છે:
$\frac{dy}{dx} = \frac{-\sqrt{2}}{|1+x|\sqrt{1+x^2}}$.

(B) આપેલ છે કે $y = \frac{\alpha x + \beta}{\gamma x + \delta}$.
પ્રથમ વિકલન: $y_1 = \frac{\alpha(\gamma x + \delta) - \gamma(\alpha x + \beta)}{(\gamma x + \delta)^2} = \frac{\alpha \delta - \gamma \beta}{(\gamma x + \delta)^2}$.
દ્વિતીય વિકલન: $y_2 = \frac{d}{dx} [(\alpha \delta - \gamma \beta)(\gamma x + \delta)^{-2}] = -2(\alpha \delta - \gamma \beta)(\gamma x + \delta)^{-3} \cdot \gamma = \frac{-2 \gamma(\alpha \delta - \gamma \beta)}{(\gamma x + \delta)^3}$.
તૃતીય વિકલન: $y_3 = \frac{d}{dx} [-2 \gamma(\alpha \delta - \gamma \beta)(\gamma x + \delta)^{-3}] = (-2 \gamma)(\alpha \delta - \gamma \beta) \cdot (-3)(\gamma x + \delta)^{-4} \cdot \gamma = \frac{6 \gamma^2(\alpha \delta - \gamma \beta)}{(\gamma x + \delta)^4}$.
હવે,$2 y_1 y_3 = 2 \cdot \left( \frac{\alpha \delta - \gamma \beta}{(\gamma x + \delta)^2} \right) \cdot \left( \frac{6 \gamma^2(\alpha \delta - \gamma \beta)}{(\gamma x + \delta)^4} \right) = \frac{12 \gamma^2(\alpha \delta - \gamma \beta)^2}{(\gamma x + \delta)^6}$.
વળી,$3 y_2^2 = 3 \cdot \left( \frac{-2 \gamma(\alpha \delta - \gamma \beta)}{(\gamma x + \delta)^3} \right)^2 = 3 \cdot \frac{4 \gamma^2(\alpha \delta - \gamma \beta)^2}{(\gamma x + \delta)^6} = \frac{12 \gamma^2(\alpha \delta - \gamma \beta)^2}{(\gamma x + \delta)^6}$.
આમ,$2 y_1 y_3 = 3 y_2^2$.

(A) આપેલ છે કે $y = \sin^{-1} x$.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,આપણને મળે છે:
$y_1 = \frac{dy}{dx} = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}$.
આનો અર્થ એ છે કે $\sqrt{1 - x^2} y_1 = 1$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,આપણને મળે છે $(1 - x^2) y_1^2 = 1$.
ફરીથી $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$(1 - x^2) \cdot 2 y_1 y_2 + y_1^2 \cdot (-2x) = 0$.
$2 y_1$ વડે ભાગતા (ધારો કે $y_1 \neq 0$):
$(1 - x^2) y_2 - x y_1 = 0$.

(B) આપેલ છે કે $y = \sqrt{\sin x + y}$. બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$y^2 = \sin x + y$ મળે.
$x$ ની સાપેક્ષે વિકલન કરતા:
$2y \frac{dy}{dx} = \cos x + \frac{dy}{dx} \implies \frac{dy}{dx}(2y - 1) = \cos x \implies \frac{dy}{dx} = \frac{\cos x}{2y - 1}$.
ભાગાકારના નિયમનો ઉપયોગ કરીને ફરીથી $x$ ની સાપેક્ષે વિકલન કરતા:
$\frac{d^2 y}{dx^2} = \frac{(2y - 1)(-\sin x) - \cos x (2 \frac{dy}{dx})}{(2y - 1)^2}$.
$\frac{dy}{dx} = \frac{\cos x}{2y - 1}$ મૂકતા:
$\frac{d^2 y}{dx^2} = \frac{-(2y - 1)\sin x - \frac{2 \cos^2 x}{2y - 1}}{(2y - 1)^2}$.
બિંદુ $(\pi, 1)$ આગળ,$x = \pi$ અને $y = 1$ છે:
$\sin \pi = 0$ અને $\cos \pi = -1$.
$\left(\frac{d^2 y}{dx^2}\right)_{(\pi, 1)} = \frac{-(2(1) - 1)(0) - \frac{2(-1)^2}{2(1) - 1}}{(2(1) - 1)^2} = \frac{0 - \frac{2(1)}{1}}{1^2} = -2$.

(A) આપેલ અનંત ગુણોત્તર શ્રેણી $y = 1 + x + x^2 + x^3 + . . . + \infty$ છે,જ્યાં $|x| < 1$.
અનંત ગુણોત્તર શ્રેણીના સરવાળાના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$y = \frac{1}{1 - x}$.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,$y^{\prime} = \frac{d}{dx}(1 - x)^{-1} = -1(1 - x)^{-2}(-1) = \frac{1}{(1 - x)^2}$.
હવે,$y^{\prime \prime}$ શોધવા માટે $y^{\prime}$ નું $x$ ની સાપેક્ષમાં ફરીથી વિકલન કરતા,$y^{\prime \prime} = \frac{d}{dx}(1 - x)^{-2} = -2(1 - x)^{-3}(-1) = \frac{2}{(1 - x)^3}$.
આને આપણે $y^{\prime \prime} = 2 \times \frac{1}{(1 - x)} \times \frac{1}{(1 - x)^2}$ તરીકે લખી શકીએ.
કારણ કે $y = \frac{1}{1 - x}$ અને $y^{\prime} = \frac{1}{(1 - x)^2}$ છે,તેથી $y^{\prime \prime} = 2 y y^{\prime}$ મળે છે.

(D) આપેલ છે કે,$y=f(x)$ એ વિકલનીય અને એક-એક અને વ્યાપ્ત વિધેય છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\frac{d x}{d y} = \frac{1}{\frac{d y}{d x}} = \left(\frac{d y}{d x}\right)^{-1}$.
બંને બાજુ $y$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{d^2 x}{d y^2} = \frac{d}{d y} \left[ \left(\frac{d y}{d x}\right)^{-1} \right]$.
સાંકળના નિયમનો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{d^2 x}{d y^2} = \frac{d}{d x} \left[ \left(\frac{d y}{d x}\right)^{-1} \right] \cdot \frac{d x}{d y}$.
$\frac{d^2 x}{d y^2} = -\left(\frac{d y}{d x}\right)^{-2} \cdot \frac{d^2 y}{d x^2} \cdot \frac{1}{\frac{d y}{d x}}$.
$\frac{d^2 x}{d y^2} = -\frac{\frac{d^2 y}{d x^2}}{\left(\frac{d y}{d x}\right)^3}$.
બંને બાજુ $\left(\frac{d y}{d x}\right)^3$ વડે ગુણતા:
$\frac{d^2 x}{d y^2} \cdot \left(\frac{d y}{d x}\right)^3 = -\frac{d^2 y}{d x^2}$.
તેથી,$\frac{d^2 x}{d y^2} \left(\frac{d y}{d x}\right)^3 + \frac{d^2 y}{d x^2} = 0$.