AP EAMCET 2024 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(D) ધારો કે $L = \lim _{x}$ ${\rightarrow \infty} \frac{(\sqrt{2 x+1}+\sqrt{2 x-1})^8+(\sqrt{2 x+1}-\sqrt{2 x-1})^8(P x^4-16)}{(x+\sqrt{x^2-2})^8+(x-\sqrt{x^2-2})^8} = 1$.
$x \rightarrow \infty$ માટે,$(\sqrt{2x+1} + \sqrt{2x-1})^8 \approx 256x^4$ અને $(x+\sqrt{x^2-2})^8 \approx 256x^8$.
આમ,પદાવલિ $\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{256x^4 + \frac{1}{16x^4}(Px^4-16)}{256x^8} = 1$ બને છે.
ગણતરી કરતા $P = \frac{1}{16}$ મળે છે.

(A) ધારો કે $L = \lim _{x \rightarrow 1} \left( \frac{x+x^2+x^3+\ldots+x^n-n}{x-1} \right)$.
અંશને આ રીતે લખી શકાય: $(x-1) + (x^2-1) + (x^3-1) + \ldots + (x^n-1)$.
તેથી,$L = \lim _{x \rightarrow 1} \left( \frac{(x-1) + (x^2-1) + (x^3-1) + \ldots + (x^n-1)}{x-1} \right)$.
$L = \lim _{x}$ ${\rightarrow 1} \left( \frac{x-1}{x-1} + \frac{x^2-1}{x-1} + \frac{x^3-1}{x-1} + \ldots + \frac{x^n-1}{x-1} \right)$.
પ્રમાણિત લક્ષ $\lim _{x \rightarrow a} \frac{x^n-a^n}{x-a} = na^{n-1}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$L = 1 + 2(1)^{2-1} + 3(1)^{3-1} + \ldots + n(1)^{n-1}$.
$L = 1 + 2 + 3 + \ldots + n$.
$L = \frac{n(n+1)}{2}$.

(A) $L'H\hat{o}pital$ ના નિયમનો ઉપયોગ કરીને,આપણે અંશ અને છેદનું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીએ છીએ:
$\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\frac{d}{dx}(\cos 2x - \cos 3x)}{\frac{d}{dx}(\cos 4x - \cos 5x)} = \lim _{x \rightarrow 0} \frac{-2 \sin 2x + 3 \sin 3x}{-4 \sin 4x + 5 \sin 5x}$
આ હજુ પણ $\frac{0}{0}$ સ્વરૂપમાં હોવાથી,આપણે ફરીથી $L'H\hat{o}pital$ નો નિયમ લાગુ કરીએ છીએ:
$\lim _{x \rightarrow 0} \frac{-4 \cos 2x + 9 \cos 3x}{-16 \cos 4x + 25 \cos 5x}$
$x = 0$ મૂકતા:
$= \frac{-4 \cos(0) + 9 \cos(0)}{-16 \cos(0) + 25 \cos(0)} = \frac{-4(1) + 9(1)}{-16(1) + 25(1)} = \frac{5}{9}$

(B) આપણે લક્ષ $L = \lim _{x \rightarrow 0} \frac{1-\cos x \cos 2 x}{\sin ^2 x}$ ની કિંમત શોધવાની છે.
નિત્યસમ $\cos 2x = 1 - 2\sin^2 x$ નો ઉપયોગ કરીને અંશને ફરીથી લખતા:
$1 - \cos x(1 - 2\sin^2 x) = 1 - \cos x + 2\sin^2 x \cos x$.
તેથી,$L = \lim _{x \rightarrow 0} \frac{1 - \cos x + 2\sin^2 x \cos x}{\sin^2 x}$.
$L = \lim _{x \rightarrow 0} \left( \frac{1 - \cos x}{\sin^2 x} + \frac{2\sin^2 x \cos x}{\sin^2 x} \right)$.
$\sin^2 x = 1 - \cos^2 x = (1 - \cos x)(1 + \cos x)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$L = \lim _{x \rightarrow 0} \left( \frac{1 - \cos x}{(1 - \cos x)(1 + \cos x)} + 2\cos x \right)$.
$L = \lim _{x \rightarrow 0} \left( \frac{1}{1 + \cos x} + 2\cos x \right)$.
$x = 0$ મૂકતા:
$L = \frac{1}{1 + 1} + 2(1) = \frac{1}{2} + 2 = \frac{5}{2}$.

(C) આપેલ છે કે $f(x) = \frac{5x \operatorname{cosec}(\sqrt{x}) - 1}{(x - 2) \operatorname{cosec}(\sqrt{x})}$.
$x$ ની જગ્યાએ $x^2$ મૂકતા,આપણને મળે:
$f(x^2) = \frac{5x^2 \operatorname{cosec}(x) - 1}{(x^2 - 2) \operatorname{cosec}(x)} = \frac{5x^2 \operatorname{cosec}(x)}{(x^2 - 2) \operatorname{cosec}(x)} - \frac{1}{(x^2 - 2) \operatorname{cosec}(x)}$.
$f(x^2) = \frac{5x^2}{x^2 - 2} - \frac{\sin(x)}{x^2 - 2}$.
હવે,$x \rightarrow \infty$ માટે લક્ષ લેતા:
$\lim_{x \rightarrow \infty} f(x^2) = \lim_{x \rightarrow \infty} \left( \frac{5x^2}{x^2 - 2} - \frac{\sin(x)}{x^2 - 2} \right)$.
કારણ કે $\lim_{x \rightarrow \infty} \frac{5x^2}{x^2 - 2} = 5$ અને $\lim_{x \rightarrow \infty} \frac{\sin(x)}{x^2 - 2} = 0$ (કારણ કે $-1 \leq \sin(x) \leq 1$ અને $x^2 - 2 \rightarrow \infty$),
$\lim_{x \rightarrow \infty} f(x^2) = 5 - 0 = 5$.

(B) આપેલ લક્ષ: $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin (\pi \cos ^2 x)}{x^2}$
કારણ કે $\cos ^2 x = 1 - \sin ^2 x$,તેથી $\pi \cos ^2 x = \pi - \pi \sin ^2 x$.
નિત્યસમ $\sin (\pi - \theta) = \sin \theta$ નો ઉપયોગ કરતા,$\sin (\pi - \pi \sin ^2 x) = \sin (\pi \sin ^2 x)$ મળે.
હવે,લક્ષ આ મુજબ થાય: $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin (\pi \sin ^2 x)}{x^2}$.
$\pi \sin ^2 x$ વડે ગુણતા અને ભાગતા:
$\lim _{x}$ ${\rightarrow 0} \left( \frac{\sin (\pi \sin ^2 x)}{\pi \sin ^2 x} \right) \times \left( \frac{\pi \sin ^2 x}{x^2} \right)$.
જેમ $x \rightarrow 0$,તેમ $\sin ^2 x \rightarrow 0$,તેથી $\frac{\sin (\pi \sin ^2 x)}{\pi \sin ^2 x} \rightarrow 1$.
વળી,$\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin ^2 x}{x^2} = 1$.
તેથી,લક્ષનું મૂલ્ય $1 \times \pi \times 1 = \pi$ થાય.

(D) આપેલ છે $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{e^x-a-\log (1+x)}{\sin x}=0$.
લક્ષનું અસ્તિત્વ હોય અને તે શાંત હોય તે માટે,જ્યારે $x \rightarrow 0$ થાય ત્યારે અંશ $0$ થવો જોઈએ કારણ કે છેદ $\sin x \rightarrow 0$ થાય છે.
અંશમાં $x=0$ મૂકતા: $e^0 - a - \log(1+0) = 0$.
$1 - a - 0 = 0$.
તેથી,$a = 1$.
$a=1$ માટે ચકાસણી: $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{e^x-1-\log (1+x)}{\sin x}$.
એલ-હોસ્પિટલના નિયમનો ઉપયોગ કરતા: $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{e^x - \frac{1}{1+x}}{\cos x} = \frac{1-1}{1} = 0$.
આમ,$a=1$ માટે શરત સંતોષાય છે.

(D) આપેલ લક્ષ: $L = \lim _{x \rightarrow 0} \left[ \frac{1}{x} - \frac{1}{e^x - 1} \right] = \lim _{x \rightarrow 0} \left[ \frac{e^x - 1 - x}{x(e^x - 1)} \right]$
આ $\frac{0}{0}$ અનિશ્ચિત સ્વરૂપમાં છે.
$L'\text{Hopital}$ નો નિયમ લાગુ પાડતા:
$= \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\frac{d}{dx}(e^x - 1 - x)}{\frac{d}{dx}(xe^x - x)} = \lim _{x \rightarrow 0} \frac{e^x - 1}{e^x + xe^x - 1}$
આ હજુ પણ $\frac{0}{0}$ સ્વરૂપમાં છે.
ફરીથી $L'\text{Hopital}$ નો નિયમ લાગુ પાડતા:
$= \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\frac{d}{dx}(e^x - 1)}{\frac{d}{dx}(e^x + xe^x - 1)} = \lim _{x \rightarrow 0} \frac{e^x}{e^x + e^x + xe^x} = \lim _{x \rightarrow 0} \frac{e^x}{2e^x + xe^x}$
$x = 0$ મૂકતા:
$= \frac{e^0}{2e^0 + 0 \cdot e^0} = \frac{1}{2 + 0} = \frac{1}{2}$

(C) આપેલ લક્ષ $1^\infty$ સ્વરૂપમાં છે.
આપણે સૂત્ર $\lim _{x \rightarrow \infty} (f(x))^{g(x)} = e^{\lim _{x \rightarrow \infty} (f(x)-1)g(x)}$ નો ઉપયોગ કરીએ છીએ.
અહીં,$f(x) = \frac{3x^2-2x+3}{3x^2+x-2}$ અને $g(x) = 3x-2$ છે.
$(f(x)-1) = \frac{3x^2-2x+3 - (3x^2+x-2)}{3x^2+x-2} = \frac{-3x+5}{3x^2+x-2}$.
હવે,$\lim _{x \rightarrow \infty} (f(x)-1)g(x) = \lim _{x \rightarrow \infty} \left(\frac{-3x+5}{3x^2+x-2}\right)(3x-2)$.
$= \lim _{x \rightarrow \infty} \frac{-9x^2+6x+15x-10}{3x^2+x-2} = \lim _{x \rightarrow \infty} \frac{-9x^2+21x-10}{3x^2+x-2}$.
અંશ અને છેદને $x^2$ વડે ભાગતા,આપણને $\frac{-9}{3} = -3$ મળે છે.
તેથી,લક્ષ $e^{-3}$ છે.

(D) આપણે જાણીએ છીએ કે કોઈપણ વાસ્તવિક સંખ્યા $y$ માટે,$y - 1 < [y] \leq y$ થાય.
$y = 2x - 3$ મૂકતા,આપણને મળે છે:
$(2x - 3) - 1 < [2x - 3] \leq 2x - 3$
$2x - 4 < [2x - 3] \leq 2x - 3$
આખી અસમતાને $x$ વડે ભાગતા ($x > 0$ માટે):
$\frac{2x - 4}{x} < \frac{[2x - 3]}{x} \leq \frac{2x - 3}{x}$
$2 - \frac{4}{x} < \frac{[2x - 3]}{x} \leq 2 - \frac{3}{x}$
$x \rightarrow \infty$ તરીકે લક્ષ લેતા:
$\lim_{x \rightarrow \infty} (2 - \frac{4}{x}) \leq \lim_{x \rightarrow \infty} \frac{[2x - 3]}{x} \leq \lim_{x \rightarrow \infty} (2 - \frac{3}{x})$
$2 - 0 \leq \lim_{x \rightarrow \infty} \frac{[2x - 3]}{x} \leq 2 - 0$
સ્ક્વીઝ પ્રમેય (Squeeze Theorem) મુજબ,$\lim_{x \rightarrow \infty} \frac{[2x - 3]}{x} = 2$.

(A) આપેલ માહિતી $20, 5, 15, 2, 7, 3, 11$ છે. અવલોકનોની સંખ્યા $n = 7$ છે.
મધ્યક $\bar{x} = \frac{63}{7} = 9$.
મધ્યકની સાપેક્ષ સરેરાશ વિચલન $m = \frac{38}{7}$.
ચડતા ક્રમમાં ગોઠવતા: $2, 3, 5, 7, 11, 15, 20$. મધ્યસ્થ $= 7$.
મધ્યસ્થની સાપેક્ષ સરેરાશ વિચલન $M = \frac{36}{7}$.
$m$ અને $M$ નો મધ્યક $\bar{x}^{\prime} = \frac{37}{7}$.
$m$ અને $M$ નું મધ્યકની સાપેક્ષ સરેરાશ વિચલન $= \frac{1}{2} (|\frac{38}{7} - \frac{37}{7}| + |\frac{36}{7} - \frac{37}{7}|) = \frac{1}{7}$.

(A) સુસંગતતા (consistency) એ વિચલન ગુણાંક $(CV)$ દ્વારા માપવામાં આવે છે. ઓછો $CV$ વધુ સુસંગતતા સૂચવે છે.
બેટ્સમેન $A$ એ $B$ કરતા વધુ સુસંગત છે,તેથી $CV_{A} < CV_{B}$.
આનો અર્થ એ છે કે $\frac{\sigma_{A}}{\bar{x}} < \frac{\sigma_{B}}{\bar{y}}$.
આને ફરીથી ગોઠવતા $\frac{\sigma_{A}}{\sigma_{B}} < \frac{\bar{x}}{\bar{y}}$ મળે છે.
કારણ કે $\sigma_{A}, \sigma_{B}, \bar{x}, \bar{y} > 0$,તેથી $0 < \frac{\sigma_{A}}{\sigma_{B}} < \frac{\bar{x}}{\bar{y}}$.
$A$ વધુ રન બનાવનાર હોય તે માટે,$\bar{x} > \bar{y}$ હોવું જરૂરી છે,જેનો અર્થ છે કે $\frac{\bar{x}}{\bar{y}} > 1$.

(D) આપેલ માહિતી $7, 8, 9, 7, 8, 7, \lambda, 8$ નો મધ્યક $8$ છે.
મધ્યક $= \frac{7+8+9+7+8+7+\lambda+8}{8} = 8$
$\Rightarrow \frac{54+\lambda}{8} = 8$
$\Rightarrow 54+\lambda = 64$
$\Rightarrow \lambda = 10$
હવે,માહિતીનો સમૂહ $7, 8, 9, 7, 8, 7, 10, 8$ છે.
વિચરણ $(\sigma^2) = \frac{1}{n} \sum (x_i - \bar{x})^2$
વિચરણ $= \frac{(7-8)^2 + (8-8)^2 + (9-8)^2 + (7-8)^2 + (8-8)^2 + (7-8)^2 + (10-8)^2 + (8-8)^2}{8}$
વિચરણ $= \frac{(-1)^2 + 0^2 + 1^2 + (-1)^2 + 0^2 + (-1)^2 + 2^2 + 0^2}{8}$
વિચરણ $= \frac{1 + 0 + 1 + 1 + 0 + 1 + 4 + 0}{8} = \frac{8}{8} = 1$.

(B) પગલું $1$: વર્ગ મધ્યબિંદુઓ $(x_i)$ શોધો:
વર્ગ અંતરાલ માટે મધ્યબિંદુ આ રીતે ગણવામાં આવે છે: $x_i = \frac{\text{અધઃસીમા} + \text{ઉર્ધ્વસીમા}}{2}$
- $x_1 = 3, x_2 = 9, x_3 = 15, x_4 = 21, x_5 = 27$
પગલું $2$: મધ્યક $(\bar{x})$ ની ગણતરી કરો:
- $\sum f_i = 9$
- $\sum f_i x_i = 135$
- $\bar{x} = \frac{135}{9} = 15$
પગલું $3$: $|x_i - \bar{x}|$ અને $f_i |x_i - \bar{x}|$ શોધો:
- ગણતરી કરતા સરવાળો $\sum f_i |x_i - \bar{x}| = 48$ મળે છે.
પગલું $4$: મધ્યક સાપેક્ષ સરેરાશ વિચલન શોધો:
- $\text{સરેરાશ વિચલન} = \frac{48}{9} = \frac{16}{3}$

(D) મધ્યક $(\mu) = \frac{\sum f_i x_i}{\sum f_i} = \frac{18}{9} = 2$
પ્રમાણિત વિચલન $(\sigma) = \sqrt{\frac{\sum f_i (x_i - \mu)^2}{\sum f_i}} = \sqrt{\frac{12}{9}} = \frac{2}{\sqrt{3}}$
વિચલન ગુણાંક $= \frac{\sigma}{\mu} \times 100 = \frac{2/\sqrt{3}}{2} \times 100 = \frac{100}{\sqrt{3}}$.

(D) પ્રથમ $n$ બેકી પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓ $2, 4, 6, \dots, 2n$ છે.
મધ્યક $\bar{x} = \frac{2(1+2+\dots+n)}{n} = \frac{2 \times n(n+1)}{2n} = n+1$.
વિચરણ $\sigma^2 = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n (2i)^2 - (n+1)^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$\sigma^2 = \frac{4}{n} \times \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} - (n+1)^2 = \frac{2(n+1)(2n+1)}{3} - (n+1)^2$.
$\sigma^2 = (n+1) \left[ \frac{4n+2-3n-3}{3} \right] = \frac{(n+1)(n-1)}{3} = \frac{n^2-1}{3}$.
આમ,વિધાન-$I$ ખોટું છે.
$n=20$ માટે,મધ્યક $20+1 = 21$ છે.
વિચરણ $\frac{20^2-1}{3} = \frac{399}{3} = 133$ છે.
તફાવત $133 - 21 = 112$ છે.
આમ,વિધાન-$II$ સાચું છે.

(B) આપણે જાણીએ છીએ કે વિચરણનો ગુણાંક $(CV)$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$CV = \frac{\sigma}{|\bar{x}|} \times 100$
અહીં $CV = 25$ અને મધ્યક $\bar{x} = 44$ આપેલ છે.
કિંમતો મૂકતા:
$25 = \frac{\sigma}{44} \times 100$
$\sigma = \frac{25 \times 44}{100} = \frac{1100}{100} = 11$
હવે,વિચરણ એ પ્રમાણિત વિચલનનો વર્ગ છે:
$\text{Variance} = \sigma^2 = 11^2 = 121$

(D) સૌ પ્રથમ,આપણે મધ્યક $\bar{x} = \frac{\sum f_i x_i}{\sum f_i} = \frac{4(1) + 24(3) + 28(5) + 16(7) + 8(9)}{4 + 24 + 28 + 16 + 8} = \frac{400}{80} = 5$ શોધીએ છીએ.
ત્યારબાદ,મધ્યક સાપેક્ષ સરેરાશ વિચલન $m = \frac{\sum f_i |x_i - \bar{x}|}{\sum f_i} = \frac{128}{80} = \frac{8}{5} = 1.6$.
વિચરણ $\sigma^2 = \frac{\sum f_i x_i^2}{\sum f_i} - (\bar{x})^2 = \frac{2352}{80} - 25 = 29.4 - 25 = 4.4 = \frac{22}{5}$.
અંતે,$m + \sigma^2 = \frac{8}{5} + \frac{22}{5} = \frac{30}{5} = 6$.

(A) આપેલ છે કે $\sum(x_i+2)^2 = 28n$
$\Rightarrow \sum x_i^2 + 4\sum x_i + 4n = 28n$
$\Rightarrow \sum x_i^2 + 4\sum x_i = 24n$ $... (i)$
તેવી જ રીતે,$\sum(x_i-2)^2 = 12n$
$\Rightarrow \sum x_i^2 - 4\sum x_i + 4n = 12n$
$\Rightarrow \sum x_i^2 - 4\sum x_i = 8n$ $... (ii)$
સમીકરણ $(i)$ અને $(ii)$ નો સરવાળો કરતા:
$2\sum x_i^2 = 32n \Rightarrow \sum x_i^2 = 16n$
સમીકરણ $(i)$ માંથી $(ii)$ બાદ કરતા:
$8\sum x_i = 16n \Rightarrow \sum x_i = 2n$
વિચરણ $\sigma^2 = \frac{\sum x_i^2}{n} - \left(\frac{\sum x_i}{n}\right)^2$
$\sigma^2 = \frac{16n}{n} - \left(\frac{2n}{n}\right)^2 = 16 - 4 = 12$

(D) આપેલ છે કે $\triangle ABC$ માં,$r_1 = 2r_2 = 3r_3$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $r_1 = \frac{\Delta}{s-a}$,$r_2 = \frac{\Delta}{s-b}$,અને $r_3 = \frac{\Delta}{s-c}$.
ધારો કે $\frac{\Delta}{s-a} = \frac{2\Delta}{s-b} = \frac{3\Delta}{s-c} = \frac{1}{K}$.
તેથી $s-a = K$,$s-b = 2K$,અને $s-c = 3K$.
આ ત્રણેયનો સરવાળો કરતા,$(s-a) + (s-b) + (s-c) = K + 2K + 3K = 6K$.
$3s - (a+b+c) = 6K$ $\Rightarrow 3s - 2s = 6K$ $\Rightarrow s = 6K$.
આમ,$a = s - K = 5K$,$b = s - 2K = 4K$,અને $c = s - 3K = 3K$.
સાઇન નિયમનો ઉપયોગ કરતા,$\sin A : \sin B : \sin C = a : b : c = 5K : 4K : 3K = 5 : 4 : 3$.

(C) આપેલ છે,$\triangle ABC$ માં,$B=90^{\circ}$.
સાઇન નિયમનો ઉપયોગ કરતા,$\frac{\sin A}{a} = \frac{\sin B}{b} = \frac{\sin C}{c} = \frac{1}{2R}$.
$B=90^{\circ}$ હોવાથી,$\frac{\sin 90^{\circ}}{b} = \frac{1}{2R} \implies b = 2R$.
અંતઃત્રિજ્યા $r$ એ $r = (s-b) \tan(\frac{B}{2})$ દ્વારા મળે છે.
$B=90^{\circ}$ મૂકતા,$r = (s-b) \tan(45^{\circ}) = s-b$.
$s = \frac{a+b+c}{2}$ હોવાથી,$r = \frac{a+b+c}{2} - b = \frac{a-b+c}{2}$.
આમ,$2r = a-b+c$.
છેલ્લે,$2(r+R) = 2r + 2R = (a-b+c) + b = a+c$.

(B) આપેલ છે $(a+c)^2 = b^2 + 3ca$,ડાબી બાજુનું વિસ્તરણ કરતા: $a^2 + c^2 + 2ac = b^2 + 3ca$.
પુનઃગોઠવણ કરતા $a^2 + c^2 - b^2 = ca$ મળે.
કોસાઇનના નિયમ મુજબ,$\cos B = \frac{a^2 + c^2 - b^2}{2ac} = \frac{ca}{2ac} = \frac{1}{2}$.
આમ,$B = 60^{\circ}$,જેનો અર્થ છે કે $\frac{B}{2} = 30^{\circ}$.
સાઇનના નિયમ મુજબ,$\frac{a}{2R} = \sin A$ અને $\frac{c}{2R} = \sin C$,તેથી $\frac{a+c}{2R} = \sin A + \sin C$.
સરવાળાથી ગુણાકારના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$\sin A + \sin C = 2 \sin \left(\frac{A+C}{2}\right) \cos \left(\frac{A-C}{2}\right)$.
કારણ કે $A+B+C = 180^{\circ}$,$\frac{A+C}{2} = 90^{\circ} - \frac{B}{2}$.
તેથી,$\frac{a+c}{2R} = 2 \sin \left(90^{\circ} - \frac{B}{2}\right) \cos \left(\frac{A-C}{2}\right) = 2 \cos \left(\frac{B}{2}\right) \cos \left(\frac{A-C}{2}\right)$.
$B/2 = 30^{\circ}$ મૂકતા,આપણને $2 \cos 30^{\circ} \cos \left(\frac{A-C}{2}\right) = 2 \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) \cos \left(\frac{A-C}{2}\right) = \sqrt{3} \cos \left(\frac{A-C}{2}\right)$ મળે છે.

(D) આપેલ છે કે $r: R: r_2 = 1: 3: 7$. ધારો કે $r = k, R = 3k, r_2 = 7k$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $r_2 - r = 4R \sin \frac{B}{2} \cos \left( \frac{A+C}{2} \right)$.
કિંમતો મૂકતા: $7k - k = 4(3k) \sin \frac{B}{2} \sin \frac{B}{2}$.
$6k = 12k \sin^2 \frac{B}{2} \Rightarrow \sin^2 \frac{B}{2} = \frac{1}{2}$.
આથી $\cos B = 0$,એટલે કે $B = 90^{\circ}$.
હવે,$\sin(A+C) + \sin B = \sin(\pi - B) + \sin B = 2 \sin 90^{\circ} = 2$.

(C) સાઇન નિયમ મુજબ,$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = K$.
તેથી,$a = K \sin A$ અને $b = K \sin B$.
આ કિંમતો પદાવલિમાં મૂકતા:
$a^2 \sin 2B + b^2 \sin 2A = (K \sin A)^2 (2 \sin B \cos B) + (K \sin B)^2 (2 \sin A \cos A)$
$= 2K^2 \sin A \sin B (\sin A \cos B + \cos A \sin B)$
$= 2(K \sin A)(K \sin B) \sin(A + B)$
$= 2ab \sin(A + B)$
કારણ કે $A + B + C = \pi$,તેથી $\sin(A + B) = \sin(\pi - C) = \sin C$.
આમ,જવાબ $2ab \sin C$ મળે છે.

(D) આપણે જાણીએ છીએ કે કોઈપણ $\triangle ABC$ માં,$\cos A + \cos B + \cos C = 1 + 4 \sin \left(\frac{A}{2}\right) \sin \left(\frac{B}{2}\right) \sin \left(\frac{C}{2}\right)$ થાય છે.
અંતઃત્રિજ્યા $r = 4R \sin \left(\frac{A}{2}\right) \sin \left(\frac{B}{2}\right) \sin \left(\frac{C}{2}\right)$ માટેના નિત્યસમનો ઉપયોગ કરીને,આપણે સાઈનનો ગુણાકાર મૂકી શકીએ છીએ.
આમ,$4 \sin \left(\frac{A}{2}\right) \sin \left(\frac{B}{2}\right) \sin \left(\frac{C}{2}\right) = \frac{r}{R}$ થાય.
તેથી,$\cos A + \cos B + \cos C = 1 + \frac{r}{R}$.

(D) $\triangle ABC$ માં આપેલ છે:
$a=26, b=30, \cos C=\frac{63}{65}$.
કોસાઇનના નિયમનો ઉપયોગ કરતા:
$\cos C = \frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}$
$\frac{63}{65} = \frac{26^2+30^2-c^2}{2 \times 26 \times 30}$
$\frac{63}{65} = \frac{676+900-c^2}{1560}$
$c^2 = 1576 - \frac{63 \times 1560}{65}$
$c^2 = 1576 - (63 \times 24)$
$c^2 = 1576 - 1512 = 64$
$c = \sqrt{64} = 8$.

(B) ધારો કે ત્રિકોણના ખૂણાઓ $A - d, A, A + d$ છે. ખૂણાઓનો સરવાળો $180^{\circ}$ હોવાથી,$3A = 180^{\circ}$,તેથી $A = 60^{\circ}$.
આમ,ખૂણાઓ $60^{\circ} - d, 60^{\circ}, 60^{\circ} + d$ છે.
આ ખૂણાઓની સામેની બાજુઓ $a, b, c$ છે. આપેલી બે બાજુઓ $7$ અને $8$ છે. ધારો કે બાજુઓ $a, 7, 8$ છે જ્યાં $a$ સૌથી નાની બાજુ છે.
$60^{\circ}$ ખૂણા માટે કોસાઇનના નિયમનો ઉપયોગ કરતા:
કિસ્સો $3$: જો $60^{\circ}$ ખૂણો $8$ બાજુની સામે હોય,તો $7^2 = a^2 + 8^2 - 2(a)(8) \cos 60^{\circ}$ $\Rightarrow 49 = a^2 + 64 - 8a$ $\Rightarrow a^2 - 8a + 15 = 0$.
$a^2 - 8a + 15 = 0$ ઉકેલતા $(a - 3)(a - 5) = 0$ મળે,તેથી $a = 3$ અથવા $a = 5$.
$a$ સૌથી નાની બાજુ હોવાથી,$3 < 7$ અને $5 < 7$ બંને માન્ય છે.
આમ,$a_1 = 3$ અને $a_2 = 5$.
છેલ્લે,$2 a_1 + 3 a_2 = 2(3) + 3(5) = 6 + 15 = 21$.

(C) આપેલ છે $a=13, b=14$ અને $\cos \frac{C}{2}=\frac{3}{\sqrt{13}}$.
સૂત્ર $\cos \frac{C}{2} = \sqrt{\frac{s(s-c)}{ab}}$ નો ઉપયોગ કરતા,$\frac{s(s-c)}{ab} = \frac{9}{13}$ મળે.
$a=13, b=14$ મૂકતા,$\frac{s(s-c)}{182} = \frac{9}{13}$,તેથી $s(s-c) = 126$.
$s = \frac{a+b+c}{2} = \frac{27+c}{2}$ હોવાથી,$s-c = \frac{27-c}{2}$.
આમ,$\left(\frac{27+c}{2}\right)\left(\frac{27-c}{2}\right) = 126$ $\Rightarrow 729-c^2 = 504$ $\Rightarrow c^2 = 225$ $\Rightarrow c=15$.
તેથી $s = \frac{13+14+15}{2} = 21$.
બહિર ત્રિજ્યા $r_1 = \frac{\Delta}{s-a}$ દ્વારા મળે છે.
ક્ષેત્રફળ $\Delta = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} = \sqrt{21(8)(7)(6)} = 84$.
તેથી,$r_1 = \frac{84}{21-13} = \frac{84}{8} = 10.5$.
તેથી,$2r_1 = 2 \times 10.5 = 21 = s$.

(A) આપેલ છે કે $b+c = 7k$,$c+a = 8k$,અને $a+b = 9k$.
આ સમીકરણોનો સરવાળો કરતા,$2(a+b+c) = 24k$,જેનો અર્થ છે કે $a+b+c = 12k$.
$a+b+c = 12k$ માંથી આપેલ સમીકરણો બાદ કરતા:
$a = 12k - 7k = 5k$.
$b = 12k - 8k = 4k$.
$c = 12k - 9k = 3k$.
અહીં $c < b < a$ હોવાથી,સૌથી નાનો ખૂણો $C$ છે.
કોસાઇનના નિયમ મુજબ: $\cos C = \frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}$.
$\cos C = \frac{(5k)^2 + (4k)^2 - (3k)^2}{2(5k)(4k)} = \frac{32k^2}{40k^2} = \frac{4}{5}$.
તેથી,સૌથી નાનો ખૂણો $C = \cos^{-1}\left(\frac{4}{5}\right)$ છે.

(C) આપેલ છે $(a-b)(s-c)=(b-c)(s-a)$.
સંબંધ $s-a = \frac{\Delta}{r_1}$,$s-b = \frac{\Delta}{r_2}$,અને $s-c = \frac{\Delta}{r_3}$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે $a-b = (s-b)-(s-a) = \Delta(\frac{1}{r_2} - \frac{1}{r_1}) = \Delta \frac{r_1-r_2}{r_1 r_2}$.
આ કિંમતોને આપેલ સમીકરણમાં મૂકતા:
$\Delta \frac{r_1-r_2}{r_1 r_2} \cdot \frac{\Delta}{r_3} = \Delta \frac{r_2-r_3}{r_2 r_3} \cdot \frac{\Delta}{r_1}$.
બંને બાજુથી $\frac{\Delta^2}{r_1 r_2 r_3}$ ને દૂર કરતા,આપણને મળે:
$r_1-r_2 = r_2-r_3$.
તેથી,$r_1+r_3 = 2r_2$.

(B) આપેલ છે $r_1=4, r_2=8, r_3=24$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\frac{1}{r} = \frac{1}{r_1} + \frac{1}{r_2} + \frac{1}{r_3} = \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \frac{1}{24} = \frac{10}{24} = \frac{5}{12}$.
તેથી,$r = \frac{12}{5}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\Delta^2 = r r_1 r_2 r_3 = \frac{12}{5} \times 4 \times 8 \times 24 = \frac{9216}{5}$.
તેથી,$\Delta = \frac{96}{\sqrt{5}}$.
$r = \frac{\Delta}{s}$ નો ઉપયોગ કરતા,$s = \frac{\Delta}{r} = 8\sqrt{5}$.
$r_1 = \frac{\Delta}{s-a}$ હોવાથી,$4 = \frac{96/\sqrt{5}}{8\sqrt{5}-a}$.
$4(8\sqrt{5}-a) = \frac{96}{\sqrt{5}} \Rightarrow 32\sqrt{5} - 4a = \frac{96}{\sqrt{5}}$.
$4a = \frac{64}{\sqrt{5}} \Rightarrow a = \frac{16}{\sqrt{5}}$.

(B) $\sum \cot A = \cot A + \cot B + \cot C = \frac{b^2+c^2-a^2}{4\Delta} + \frac{c^2+a^2-b^2}{4\Delta} + \frac{a^2+b^2-c^2}{4\Delta} = \frac{a^2+b^2+c^2}{4\Delta}$. આમ,$(A)$ એ $(ii)$ સાથે જોડાય છે.
$(B)$ $\sum \cot \frac{A}{2} = \frac{s(s-a)}{\Delta} + \frac{s(s-b)}{\Delta} + \frac{s(s-c)}{\Delta} = \frac{s}{\Delta}(3s - (a+b+c)) = \frac{s}{\Delta}(3s - 2s) = \frac{s^2}{\Delta} = \frac{(a+b+c)^2}{4\Delta}$. આમ,$(B)$ એ $(i)$ સાથે જોડાય છે.
$(C)$ આપેલ છે $\tan A : \tan B : \tan C = 1 : 2 : 3$. ધારો કે $\tan A = k, \tan B = 2k, \tan C = 3k$. કારણ કે $A+B+C = \pi$,$\tan A + \tan B + \tan C = \tan A \tan B \tan C \Rightarrow 6k = 6k^3 \Rightarrow k=1$. તેથી $\tan A = 1, \tan B = 2, \tan C = 3$. પછી $\sin A = \frac{1}{\sqrt{2}}, \sin B = \frac{2}{\sqrt{5}}, \sin C = \frac{3}{\sqrt{10}}$. ગુણોત્તર $\sin A : \sin B : \sin C = \frac{1}{\sqrt{2}} : \frac{2}{\sqrt{5}} : \frac{3}{\sqrt{10}} = \sqrt{5} : 2\sqrt{2} : 3$. આમ,$(C)$ એ $(v)$ સાથે જોડાય છે.
$(D)$ આપેલ છે $\cot \frac{A}{2} : \cot \frac{B}{2} : \cot \frac{C}{2} = 3 : 7 : 9$. કારણ કે $\cot \frac{A}{2} = \frac{s(s-a)}{\Delta}$,આપણી પાસે $(s-a) : (s-b) : (s-c) = 3 : 7 : 9$ છે. ધારો કે $s-a=3k, s-b=7k, s-c=9k$. ઉમેરતા $3s - (a+b+c) = 19k \Rightarrow s = 19k$ મળે. પછી $a = 16k, b = 12k, c = 10k$. ગુણોત્તર $a : b : c = 16 : 12 : 10 = 8 : 6 : 5$. આમ,$(D)$ એ $(iii)$ સાથે જોડાય છે.

(A) આપણે જાણીએ છીએ કે $r = \frac{\Delta}{s}$,$r_1 = \frac{\Delta}{s-a}$,$r_2 = \frac{\Delta}{s-b}$,અને $r_3 = \frac{\Delta}{s-c}$.
પદ $rr_1 + r_2 r_3 = \frac{\Delta^2}{s(s-a)} + \frac{\Delta^2}{(s-b)(s-c)}$ ધ્યાનમાં લો.
$\Delta^2 = s(s-a)(s-b)(s-c)$ હોવાથી,આપણને $\frac{\Delta^2}{s(s-a)} = (s-b)(s-c)$ અને $\frac{\Delta^2}{(s-b)(s-c)} = s(s-a)$ મળે છે.
આમ,$rr_1 + r_2 r_3 = (s-b)(s-c) + s(s-a)$.
આનું વિસ્તરણ કરતા,આપણને $s^2 - s(b+c) + bc + s^2 - sa = 2s^2 - s(a+b+c) + bc$ મળે છે.
$2s = a+b+c$ હોવાથી,$2s^2 - s(2s) + bc = 2s^2 - 2s^2 + bc = bc$.
તેથી,$rr_1 + r_2 r_3 = bc$,જેનો અર્થ છે કે $bc - r_2 r_3 = rr_1$.

(B) આપણે જાણીએ છીએ કે $r_1 = \frac{\Delta}{s-a}$,$r_2 = \frac{\Delta}{s-b}$,$r_3 = \frac{\Delta}{s-c}$ અને $\Delta^2 = s(s-a)(s-b)(s-c)$.
આ કિંમતો પદાવલિમાં મૂકતા:
$\frac{r_2(r_1+r_3)}{\sqrt{r_1 r_2+r_2 r_3+r_3 r_1}} = \frac{\frac{\Delta}{s-b}(\frac{\Delta}{s-a} + \frac{\Delta}{s-c})}{\sqrt{\frac{\Delta^2}{(s-a)(s-b)} + \frac{\Delta^2}{(s-b)(s-c)} + \frac{\Delta^2}{(s-c)(s-a)}}}$
$= \frac{\frac{\Delta^2}{s-b} \cdot \frac{s-c+s-a}{(s-a)(s-c)}}{\Delta \sqrt{\frac{s-c+s-a+s-b}{(s-a)(s-b)(s-c)}}}$
$= \frac{\Delta \cdot b}{(s-a)(s-b)(s-c)} \cdot \sqrt{\frac{(s-a)(s-b)(s-c)}{3s-(a+b+c)}}$
કારણ કે $a+b+c = 2s$,તેથી વર્ગમૂળમાં છેદ $3s-2s = s$ થાય છે.
$= \frac{\Delta \cdot b}{(s-a)(s-b)(s-c)} \cdot \frac{\sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)}}{\sqrt{s}}$
$= \frac{\Delta \cdot b}{\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}} = \frac{\Delta \cdot b}{\Delta} = b$.

(B) આપણે જાણીએ છીએ કે $r_2 = \frac{\Delta}{s-b}$ અને $r_3 = \frac{\Delta}{s-c}$.
વળી,$\sin^2 \frac{A}{2} = \frac{(s-b)(s-c)}{bc}$.
તેથી,$(r_2+r_3) \operatorname{cosec}^2 \frac{A}{2} = \left(\frac{\Delta}{s-b} + \frac{\Delta}{s-c}\right) \times \frac{bc}{(s-b)(s-c)}$.
$= \Delta \left(\frac{s-c+s-b}{(s-b)(s-c)}\right) \times \frac{bc}{(s-b)(s-c)} = \Delta \left(\frac{a}{(s-b)(s-c)}\right) \times \frac{bc}{(s-b)(s-c)}$.
$= \frac{\Delta abc}{(s-b)^2(s-c)^2} = \frac{4R \Delta^2}{(s-b)^2(s-c)^2}$.
$= 4R \left(\frac{\Delta}{(s-b)(s-c)}\right)^2 = 4R \left(\cot \frac{A}{2}\right)^2 = 4R \cot^2 \frac{A}{2}$.

(B) રેખા $2x + 5y + \alpha = 0$ યામ અક્ષોને બિંદુઓ $A$ અને $B$ પર છેદે છે. ત્રિકોણ ધન યામ અક્ષો સાથે બનતો હોવાથી,અંતઃખંડો ધન હોવા જોઈએ. ધારો કે $\alpha = -k$ જ્યાં $k > 0$. સમીકરણ $2x + 5y = k$ અથવા $\frac{x}{k/2} + \frac{y}{k/5} = 1$ બને છે.
આમ,કાટકોણ ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ $O(0, 0)$,$A(\frac{k}{2}, 0)$,અને $B(0, \frac{k}{5})$ છે.
કર્ણ $AB$ એ પરિવર્તુળનો વ્યાસ છે. કર્ણની લંબાઈ $d = \sqrt{(\frac{k}{2})^2 + (\frac{k}{5})^2} = \sqrt{\frac{k^2}{4} + \frac{k^2}{25}} = \sqrt{\frac{29k^2}{100}} = \frac{k\sqrt{29}}{10}$ છે.
પરિવર્તુળની ત્રિજ્યા $r = \frac{d}{2} = \frac{k\sqrt{29}}{20}$ છે.
પરિવર્તુળનું ક્ષેત્રફળ $\pi r^2 = \pi \left(\frac{k^2 \cdot 29}{400}\right) = \frac{29\pi k^2}{400}$ છે.
આપેલ ક્ષેત્રફળ $\frac{29\pi}{4}$ હોવાથી,$\frac{29\pi k^2}{400} = \frac{29\pi}{4}$ મળે.
આનું સાદું રૂપ આપતા $k^2 = 100$,તેથી $k = 10$ મળે.
$k = |\alpha|$ હોવાથી,$|\alpha| = 10$ થાય.

(D) બાજુવાળા સમબાજુ ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $\Delta = \frac{\sqrt{3}}{4} a^2$ છે.
ત્રિકોણની અર્ધ-પરિમિતિ $s = \frac{3a}{2}$ છે.
અંતઃવર્તુળની ત્રિજ્યા $r = \frac{\Delta}{s} = \frac{\frac{\sqrt{3}}{4} a^2}{\frac{3a}{2}} = \frac{a}{2 \sqrt{3}}$ છે.
$r$ ત્રિજ્યાવાળા વર્તુળમાં અંતઃસ્થિત ચોરસનો વિકર્ણ વર્તુળના વ્યાસ જેટલો હોય છે,જે $2r$ છે.
ચોરસનો વિકર્ણ $= 2 \times \frac{a}{2 \sqrt{3}} = \frac{a}{\sqrt{3}}$ છે.
$d$ વિકર્ણવાળા ચોરસનું ક્ષેત્રફળ $\frac{d^2}{2}$ થાય.
ચોરસનું ક્ષેત્રફળ $= \frac{(\frac{a}{\sqrt{3}})^2}{2} = \frac{\frac{a^2}{3}}{2} = \frac{a^2}{6}$.

(D) આપેલ છે કે $(r_2-r_1)(r_3-r_1)=2 r_2 r_3$.
$r_2 r_3$ વડે ભાગતા,આપણને $(1-\frac{r_1}{r_2})(1-\frac{r_1}{r_3})=2$ મળે છે.
$r_1 = \frac{\Delta}{s-a}, r_2 = \frac{\Delta}{s-b}, r_3 = \frac{\Delta}{s-c}$ નો ઉપયોગ કરતા,$(1-\frac{s-b}{s-a})(1-\frac{s-c}{s-a})=2$ મળે.
આનું સાદુરૂપ $(\frac{s-a-s+b}{s-a})(\frac{s-a-s+c}{s-a})=2$ થાય,જે $(b-a)(c-a)=2(s-a)^2$ છે.
$2(s-a) = b+c-a$ હોવાથી,$(b-a)(c-a) = \frac{1}{2}(b+c-a)^2$ મળે.
આનું વિસ્તરણ કરતા $b^2+c^2-a^2=0$ મળે,તેથી $a^2=b^2+c^2$,એટલે કે $\angle A=90^{\circ}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $2(r+R) = 2r+2R = (b+c-a) + a = b+c$.
$b=2R \sin B$ અને $c=2R \sin C$ હોવાથી,$b+c = 2R(\sin B + \sin C) = 2R(2 \sin \frac{B+C}{2} \cos \frac{B-C}{2})$.
$A=90^{\circ}$ હોવાથી,$B+C=90^{\circ}$,તેથી $\sin \frac{B+C}{2} = \sin 45^{\circ} = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
આમ,$2(r+R) = 4R(\frac{1}{\sqrt{2}}) \cos \frac{B-C}{2} = 2 \sqrt{2} R \cos \frac{B-C}{2}$.

(C) આપેલ છે કે $A, B, C$ સમાંતર શ્રેણીમાં છે,તેથી $A+C = 2B$. $A+B+C = 180^{\circ}$ હોવાથી,$3B = 180^{\circ}$,જેનો અર્થ છે $B = 60^{\circ}$.
$r_1 r_2 = r_3 r$ આપેલ છે,આપણે સૂત્રો $r_1 = \frac{\Delta}{s-a}$,$r_2 = \frac{\Delta}{s-b}$,$r_3 = \frac{\Delta}{s-c}$,અને $r = \frac{\Delta}{s}$ નો ઉપયોગ કરીએ છીએ.
આ કિંમતો મૂકતા,આપણને $\frac{\Delta^2}{(s-a)(s-b)} = \frac{\Delta^2}{s(s-c)}$ મળે છે,જેનું સાદું રૂપ $(s-a)(s-b) = s(s-c)$ થાય છે.
આ $\tan^2 \frac{C}{2} = 1$ ને સમાન છે,તેથી $\frac{C}{2} = 45^{\circ}$,જેનો અર્થ છે $C = 90^{\circ}$.
$B = 60^{\circ}$ અને $C = 90^{\circ}$ હોવાથી,$A = 30^{\circ}$ થાય.
ક્ષેત્રફળ $\Delta = \frac{1}{2} ab \sin C = \frac{1}{2} (2R \sin A)(2R \sin B) \sin 90^{\circ} = 2R^2 \sin 30^{\circ} \sin 60^{\circ} = 2R^2 (\frac{1}{2}) (\frac{\sqrt{3}}{2}) = \frac{\sqrt{3}}{2} R^2$.
$\Delta = \frac{\sqrt{3}}{2}$ આપેલ હોવાથી,$\frac{\sqrt{3}}{2} R^2 = \frac{\sqrt{3}}{2}$,તેથી $R^2 = 1$,જેનો અર્થ છે $R = 1$.

(B) ત્રિકોણની બાજુઓ $a=13, b=14, c=15$ આપેલ છે.
પ્રથમ,અર્ધ-પરિમિતિ $s$ ની ગણતરી કરો:
$s = \frac{a+b+c}{2} = \frac{13+14+15}{2} = \frac{42}{2} = 21$.
ત્યારબાદ,હેરોનના સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $\Delta$ શોધો:
$\Delta = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} = \sqrt{21(21-13)(21-14)(21-15)} = \sqrt{21 \times 8 \times 7 \times 6} = \sqrt{7056} = 84$.
બહિર ત્રિજ્યા $r_1$ માટેનું સૂત્ર $r_1 = \frac{\Delta}{s-a}$ છે:
$r_1 = \frac{84}{21-13} = \frac{84}{8} = \frac{21}{2}$.

(C) $\triangle ABC$ માં,$A+B+C=\pi$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $r_1 = 4R \sin \frac{A}{2} \cos \frac{B}{2} \cos \frac{C}{2}$ અને $r_2 = 4R \cos \frac{A}{2} \sin \frac{B}{2} \cos \frac{C}{2}$.
આ બંનેનો સરવાળો કરતા,$r_1+r_2 = 4R \cos \frac{C}{2} [\sin \frac{A}{2} \cos \frac{B}{2} + \cos \frac{A}{2} \sin \frac{B}{2}]$.
નિત્યસમ $\sin(x+y) = \sin x \cos y + \cos x \sin y$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $r_1+r_2 = 4R \cos \frac{C}{2} \sin(\frac{A+B}{2})$ મળે છે.
કારણ કે $A+B = \pi - C$,તેથી $\sin(\frac{A+B}{2}) = \sin(\frac{\pi}{2} - \frac{C}{2}) = \cos \frac{C}{2}$.
આમ,$r_1+r_2 = 4R \cos^2 \frac{C}{2}$.
હવે,$(r_1+r_2) \operatorname{cosec}^2 \frac{C}{2} = \frac{4R \cos^2 \frac{C}{2}}{\sin^2 \frac{C}{2}} = 4R \cot^2 \frac{C}{2}$.

(C) આપેલ છે કે $n(A) = 8$.
$A$ ના ઓછામાં ઓછા $6$ ઘટકો ધરાવતા ઉપગણોની સંખ્યા નીચે મુજબ છે:
$^8C_6 + ^8C_7 + ^8C_8$
સૂત્ર $^nC_r = \frac{n!}{r!(n-r)!}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$^8C_6 = \frac{8 \times 7}{2 \times 1} = 28$
$^8C_7 = \frac{8}{1} = 8$
$^8C_8 = 1$
કુલ ઉપગણો $= 28 + 8 + 1 = 37$.

(A) આપણે જાણીએ છીએ કે ઇન્વર્સ હાઇપરબોલિક કોસાઇન વિધેયનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$\cosh^{-1}(x) = \log(x + \sqrt{x^2 - 1})$
સૂત્રમાં $x = 2$ મૂકતા:
$\cosh^{-1}(2) = \log(2 + \sqrt{2^2 - 1})$
$\cosh^{-1}(2) = \log(2 + \sqrt{4 - 1})$
$\cosh^{-1}(2) = \log(2 + \sqrt{3})$

(C) આપેલ છે કે $\cosh x = K$ અને $\sinh x = \tan \theta$.
આપણે જાણીએ છીએ કે હાયપરબોલિક વિધેયો માટે નિત્યસમ: $\cosh^2 x - \sinh^2 x = 1$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $K^2 - \sinh^2 x = 1$.
તેથી,$\sinh^2 x = K^2 - 1$,જેનો અર્થ છે કે $\sinh x = \sqrt{K^2 - 1}$.
કારણ કે $\sinh x = \tan \theta$,તેથી $\tan \theta = \sqrt{K^2 - 1} = \frac{\sqrt{K^2 - 1}}{1}$.
કાટકોણ ત્રિકોણમાં,$\tan \theta = \frac{\text{સામેની બાજુ}}{\text{પાસેની બાજુ}} = \frac{\sqrt{K^2 - 1}}{1}$.
કર્ણ $H = \sqrt{(\sqrt{K^2 - 1})^2 + 1^2} = \sqrt{K^2 - 1 + 1} = \sqrt{K^2} = K$.
આમ,$\sin \theta = \frac{\text{સામેની બાજુ}}{\text{કર્ણ}} = \frac{\sqrt{K^2 - 1}}{K}$.

(D) $I$. $(S1)$ નું મૂલ્યાંકન: $\sin 55^{\circ} + \sin 53^{\circ} - \sin 19^{\circ} - \sin 17^{\circ}$
$\sin C - \sin D = 2 \cos \frac{C+D}{2} \sin \frac{C-D}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$= (\sin 55^{\circ} - \sin 17^{\circ}) + (\sin 53^{\circ} - \sin 19^{\circ})$
$= 2 \cos 36^{\circ} \sin 19^{\circ} + 2 \cos 36^{\circ} \sin 17^{\circ}$
$= 2 \cos 36^{\circ} (\sin 19^{\circ} + \sin 17^{\circ})$
$= 2 \cos 36^{\circ} (2 \sin 18^{\circ} \cos 1^{\circ})$
$\cos 36^{\circ} = \frac{\sqrt{5}+1}{4}$ અને $\sin 18^{\circ} = \frac{\sqrt{5}-1}{4}$ હોવાથી:
$= 2 \left(\frac{\sqrt{5}+1}{4}\right) \cdot 2 \left(\frac{\sqrt{5}-1}{4}\right) \cos 1^{\circ}$
$= 4 \left(\frac{5-1}{16}\right) \cos 1^{\circ} = \cos 1^{\circ}$.
આમ,$(S1)$ ખોટું છે કારણ કે $\cos 1^{\circ} \neq \cos 2^{\circ}$.
$II$. $(S2)$ નું મૂલ્યાંકન: $f(x) = \frac{1}{3 - \cos 2x}$
$-1 \leq \cos 2x \leq 1$ હોવાથી,$-1 \leq -\cos 2x \leq 1$.
$3$ ઉમેરતા: $2 \leq 3 - \cos 2x \leq 4$.
વ્યસ્ત લેતા: $\frac{1}{4} \leq \frac{1}{3 - \cos 2x} \leq \frac{1}{2}$.
આમ,$(S2)$ સાચું છે.

(B) પ્રથમ પદાવલિ માટે,આપણે જાણીએ છીએ કે $-\sqrt{11^2 + 60^2} \leq 11 \cos 2x + 60 \sin 2x \leq \sqrt{11^2 + 60^2}$.
આ $-61 \leq 11 \cos 2x + 60 \sin 2x \leq 61$ માં પરિણમે છે.
$\frac{1}{11 \cos 2x + 60 \sin 2x + 69}$ ને મહત્તમ કરવા માટે,આપણે છેદને ન્યૂનતમ કરવો પડે.
છેદની ન્યૂનતમ કિંમત $69 - 61 = 8$ છે.
તેથી,$M_1 = \frac{1}{8}$.
બીજી પદાવલિ માટે,$3 \cos^2 5x + 4 \sin^2 5x = 3(\cos^2 5x + \sin^2 5x) + \sin^2 5x = 3 + \sin^2 5x$.
મહત્તમ કિંમત ત્યારે મળે જ્યારે $\sin^2 5x = 1$ હોય,તેથી $M_2 = 3 + 1 = 4$.
તેથી,$\frac{M_1}{M_2} = \frac{1/8}{4} = \frac{1}{32}$.

(C) વિધેય $f(x)$ અયુગ્મ છે જો $f(-x) = -f(x)$ થાય.
$I. f(x) = x \left( \frac{e^x-1}{e^x+1} \right)$
$f(-x) = (-x) \left( \frac{e^{-x}-1}{e^{-x}+1} \right) = (-x) \left( \frac{\frac{1}{e^x}-1}{\frac{1}{e^x}+1} \right) = (-x) \left( \frac{1-e^x}{1+e^x} \right) = x \left( \frac{e^x-1}{e^x+1} \right) = f(x)$.
તેથી $f(-x) = f(x)$,એટલે કે $I$ યુગ્મ વિધેય છે.
$II. f(x) = k^x + k^{-x} + \cos x$
$f(-x) = k^{-x} + k^x + \cos(-x) = k^{-x} + k^x + \cos x = f(x)$.
તેથી $f(-x) = f(x)$,એટલે કે $II$ યુગ્મ વિધેય છે.
$III. f(x) = \log \left(x+\sqrt{x^2+1}\right)$
$f(-x) = \log \left(-x+\sqrt{(-x)^2+1}\right) = \log \left(\sqrt{x^2+1}-x\right)$
અંશ અને છેદને $\sqrt{x^2+1}+x$ વડે ગુણતા:
$f(-x) = \log \left( \frac{(\sqrt{x^2+1}-x)(\sqrt{x^2+1}+x)}{\sqrt{x^2+1}+x} \right) = \log \left( \frac{x^2+1-x^2}{\sqrt{x^2+1}+x} \right) = \log \left( \frac{1}{\sqrt{x^2+1}+x} \right)$
$f(-x) = \log \left( (x+\sqrt{x^2+1})^{-1} \right) = -\log \left( x+\sqrt{x^2+1} \right) = -f(x)$.
તેથી $f(-x) = -f(x)$,એટલે કે $III$ અયુગ્મ વિધેય છે.
આમ,માત્ર $III$ અયુગ્મ વિધેય છે.

(C) $\tan 5x$,$\cos 3x$,અને $\sin 6x$ ના આવર્તમાન અનુક્રમે $\frac{\pi}{5}$,$\frac{2\pi}{3}$,અને $\frac{\pi}{3}$ છે.
$f(x) = \frac{\tan 5x \cos 3x}{\sin 6x}$ નો આવર્તમાન $\alpha$ શોધવા માટે,આપણે પદાવલિનું સાદું રૂપ આપીએ:
$f(x) = \frac{\tan 5x \cos 3x}{2 \sin 3x \cos 3x} = \frac{\tan 5x}{2 \sin 3x}$.
$\tan 5x$ નો આવર્તમાન $\frac{\pi}{5}$ છે અને $\sin 3x$ નો આવર્તમાન $\frac{2\pi}{3}$ છે.
$f(x)$ નો આવર્તમાન $\alpha$ એ $\frac{\pi}{5}$ અને $\frac{2\pi}{3}$ નો લઘુત્તમ સામાન્ય અવયવી $(LCM)$ છે,જે $2\pi$ થાય છે.
તેથી,$\alpha = 2\pi$.
આપણે $f\left(\frac{\alpha}{8}\right) = f\left(\frac{2\pi}{8}\right) = f\left(\frac{\pi}{4}\right)$ ની કિંમત શોધવાની છે.
$f\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\tan(5\pi/4)}{2 \sin(3\pi/4)} = \frac{1}{2 \times (1/\sqrt{2})} = \frac{1}{\sqrt{2}}$.

(A) આપેલ સમીકરણ $f(x) = x^4 + 2x^3 - 19x^2 - 8x + 60 = 0$ છે.
$x^3$ વાળું પદ દૂર કરવા માટે,આપણે $x$ ને $(x+h)$ વડે બદલીએ છીએ.
$(x+h)^4 + 2(x+h)^3 - 19(x+h)^2 - 8(x+h) + 60 = 0$ ના વિસ્તરણમાં $x^3$ વાળું પદ દ્વિપદી વિસ્તરણમાંથી મળે છે.
$(x+h)^4 = x^4 + 4x^3h + 6x^2h^2 + 4xh^3 + h^4$.
$2(x+h)^3 = 2(x^3 + 3x^2h + 3xh^2 + h^3) = 2x^3 + 6x^2h + 6xh^2 + 2h^3$.
રૂપાંતરિત સમીકરણમાં $x^3$ નો સહગુણક $4h + 2$ છે.
$x^3$ વાળું પદ દૂર કરવા માટે,આપણે સહગુણકને શૂન્ય લઈએ છીએ:
$4h + 2 = 0$.
$4h = -2$.
$h = -\frac{2}{4} = -\frac{1}{2}$.

(A) શ્રેણીનું $n$-મું પદ $T_n = (2n-1)(2n+1)(2n+3) = 8n^3 + 12n^2 - 2n - 3$ છે.
$n$ પદોનો સરવાળો $S_n = \sum_{k=1}^{n} T_k = 8 \sum k^3 + 12 \sum k^2 - 2 \sum k - 3 \sum 1$ છે.
$S_n = 8 \left[ \frac{n(n+1)}{2} \right]^2 + 12 \left[ \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} \right] - 2 \left[ \frac{n(n+1)}{2} \right] - 3n$.
$S_n = n(n+1) [2n^2 + 6n + 1] - 3n$.
$n(n+1)f(n) - 3n$ સાથે સરખાવતા,$f(n) = 2n^2 + 6n + 1$ મળે.
તેથી,$f(1) = 2(1)^2 + 6(1) + 1 = 9$.

(C) રેખાઓ $L_1$ અને $L_2$ ઉગમબિંદુ $(0, 0, 0)$ માંથી પસાર થતી હોવાથી,તેમને સમાવતું સમતલ પણ ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થાય છે. આવા સમતલનું સમીકરણ $ax + by + cz = 0$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સમતલનો અભિલંબ સદિશ $\vec{n}$ એ બે રેખાઓના દિશા સદિશો $\vec{v}_1 = 3\hat{i} + \hat{j} - 5\hat{k}$ અને $\vec{v}_2 = 2\hat{i} + 3\hat{j} - \hat{k}$ નો ક્રોસ પ્રોડક્ટ છે.
$\vec{n} = \vec{v}_1 \times \vec{v}_2 = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 3 & 1 & -5 \\ 2 & 3 & -1 \end{vmatrix}$
$\vec{n} = \hat{i}(-1 - (-15)) - \hat{j}(-3 - (-10)) + \hat{k}(9 - 2)$
$\vec{n} = 14\hat{i} - 7\hat{j} + 7\hat{k}$
$7$ વડે ભાગતા,આપણને અભિલંબ સદિશ $2\hat{i} - \hat{j} + \hat{k}$ મળે છે.
આમ,સમતલનું સમીકરણ $2(x - 0) - 1(y - 0) + 1(z - 0) = 0$ છે,જેનું સાદું રૂપ $2x - y + z = 0$ થાય છે.

(C) રેખાના દિશા ગુણોત્તર $\vec{l} = (1, 2, 2)$ છે.
સમતલનો અભિલંબ સદિશ $\vec{n} = (2, -1, \sqrt{\lambda})$ છે.
રેખા અને સમતલ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ માટેનું સૂત્ર $\sin \theta = \frac{|\vec{l} \cdot \vec{n}|}{|\vec{l}| |\vec{n}|}$ છે.
અદિશ ગુણાકાર: $\vec{l} \cdot \vec{n} = (1)(2) + (2)(-1) + (2)(\sqrt{\lambda}) = 2 - 2 + 2\sqrt{\lambda} = 2\sqrt{\lambda}$.
માન: $|\vec{l}| = \sqrt{1^2 + 2^2 + 2^2} = 3$ અને $|\vec{n}| = \sqrt{2^2 + (-1)^2 + (\sqrt{\lambda})^2} = \sqrt{5 + \lambda}$.
સૂત્રમાં કિંમત મૂકતા: $\sin \theta = \frac{2\sqrt{\lambda}}{3\sqrt{5 + \lambda}}$.
આપેલ છે કે $\sin \theta = \frac{1}{3}$,તેથી $\frac{1}{3} = \frac{2\sqrt{\lambda}}{3\sqrt{5 + \lambda}}$.
સાદુરૂપ આપતા: $\frac{1}{2} = \sqrt{\frac{\lambda}{5 + \lambda}}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $\frac{1}{4} = \frac{\lambda}{5 + \lambda}$.
$5 + \lambda = 4\lambda \Rightarrow 3\lambda = 5 \Rightarrow \lambda = \frac{5}{3}$.

(B) $7$ અલગ-અલગ દડાઓને $4$ અલગ-અલગ બોક્સમાં વહેંચવાની કુલ રીતો $4^7$ છે.
પ્રથમ બોક્સમાં બરાબર $3$ દડા હોય તેવી રીતોની સંખ્યા શોધવા માટે,આપણે $7$ માંથી $3$ દડા ${}^7C_3$ રીતે પસંદ કરીએ છીએ.
બાકીના $4$ દડા બાકીના $3$ બોક્સમાં $3^4$ રીતે વહેંચી શકાય છે.
આમ,સાનુકૂળ રીતોની સંખ્યા ${}^7C_3 \times 3^4$ છે.
જરૂરી સંભાવના $\frac{{}^7C_3 \times 3^4}{4^7} = \frac{35}{64} \left(\frac{3}{4}\right)^4$ છે.

(C) ધારો કે $A$ એ બે એકી સંખ્યાઓ મેળવવાની ઘટના છે અને $B$ એ બેકી સરવાળો મેળવવાની ઘટના છે.
આપણે શરતી સંભાવના $P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$ શોધવાની છે.
અહીં $5$ એકી અંકો $(1, 3, 5, 7, 9)$ અને $4$ બેકી અંકો $(2, 4, 6, 8)$ છે.
$9$ માંથી $2$ અંકો પસંદ કરવાની કુલ રીતો ${}^9C_2 = 36$ છે.
સરવાળો બેકી ત્યારે જ થાય જો બંને અંકો એકી હોય અથવા બંને અંકો બેકી હોય.
બેકી સરવાળો મેળવવાની રીતો $= {}^5C_2 + {}^4C_2 = 10 + 6 = 16$.
બંને એકી અંકો મેળવવાની રીતો $= {}^5C_2 = 10$.
તેથી,$P(A|B) = \frac{10}{16} = \frac{5}{8}$.

(D) જ્યારે બે પાસા ફેંકવામાં આવે છે,ત્યારે કુલ પરિણામોની સંખ્યા $6 \times 6 = 36$ છે.
સરવાળો $6$ માટે,સાનુકૂળ પરિણામો $(1, 5), (2, 4), (3, 3), (4, 2), (5, 1)$ છે,તેથી $5$ પરિણામો છે. એક પ્રયત્નમાં સરવાળો $6$ મેળવવાની સંભાવના $p_1 = \frac{5}{36}$ છે.
એક પ્રયત્નમાં સરવાળો $6$ ન મેળવવાની સંભાવના $q_1 = 1 - \frac{5}{36} = \frac{31}{36}$ છે.
$9$ પ્રયત્નોમાં ઓછામાં ઓછી એક વાર સરવાળો $6$ મેળવવાની સંભાવના $P_1 = 1 - (q_1)^9 = 1 - \left(\frac{31}{36}\right)^9$ છે.
સરવાળો $8$ માટે,સાનુકૂળ પરિણામો $(2, 6), (3, 5), (4, 4), (5, 3), (6, 2)$ છે,તેથી $5$ પરિણામો છે. એક પ્રયત્નમાં સરવાળો $8$ મેળવવાની સંભાવના $p_2 = \frac{5}{36}$ છે.
એક પ્રયત્નમાં સરવાળો $8$ ન મેળવવાની સંભાવના $q_2 = 1 - \frac{5}{36} = \frac{31}{36}$ છે.
$9$ પ્રયત્નોમાં ઓછામાં ઓછી એક વાર સરવાળો $8$ મેળવવાની સંભાવના $P_2 = 1 - (q_2)^9 = 1 - \left(\frac{31}{36}\right)^9$ છે.
તેથી $P_1 = P_2$,ગુણોત્તર $P_1 : P_2 = 1 : 1$ છે.

(C) એક પાસા માટે,શક્ય પરિણામો $\{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ છે.
પાસા પર $3$ ના ગુણકો $\{3, 6\}$ છે.
એક પાસા પર $3$ નો ગુણક મળે તેની સંભાવના $P(M) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$ છે.
એક પાસા પર $3$ નો ગુણક ન મળે તેની સંભાવના $P(M') = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$ છે.
$12$ પાસા સ્વતંત્ર રીતે ફેંકવામાં આવતા હોવાથી,$12$ પાસામાંથી કોઈ પણ પર $3$ નો ગુણક ન આવે તેની સંભાવના $\left(\frac{2}{3}\right)^{12}$ છે.

(D) ધારો કે $W_A, W_B, W_C$ એ થેલીઓ $A, B, C$ માંથી સફેદ દડો પસંદ કરવાની ઘટનાઓ છે અને $R_A, R_B, R_C$ એ લાલ દડો પસંદ કરવાની ઘટનાઓ છે.
$P(W_A) = \frac{3}{7}, P(R_A) = \frac{4}{7}$
$P(W_B) = \frac{4}{9}, P(R_B) = \frac{5}{9}$
$P(W_C) = \frac{5}{11}, P(R_C) = \frac{6}{11}$
આપણે એક સફેદ અને બે લાલ દડા જોઈએ છે. આ ત્રણ પરસ્પર નિવારક કિસ્સાઓમાં થઈ શકે છે:
કિસ્સો $I$: $A$ માંથી સફેદ,$B$ માંથી લાલ,$C$ માંથી લાલ: $P_1 = \frac{3}{7} \times \frac{5}{9} \times \frac{6}{11} = \frac{90}{693}$
કિસ્સો $II$: $A$ માંથી લાલ,$B$ માંથી સફેદ,$C$ માંથી લાલ: $P_2 = \frac{4}{7} \times \frac{4}{9} \times \frac{6}{11} = \frac{96}{693}$
કિસ્સો $III$: $A$ માંથી લાલ,$B$ માંથી લાલ,$C$ માંથી સફેદ: $P_3 = \frac{4}{7} \times \frac{5}{9} \times \frac{5}{11} = \frac{100}{693}$
કુલ સંભાવના $= P_1 + P_2 + P_3 = \frac{90+96+100}{693} = \frac{286}{693}$.

(D) કુલ પ્રશ્નોની સંખ્યા $n = 8$ છે. દરેક પ્રશ્ન ખરા કે ખોટા પ્રકારનો હોવાથી,સાચા જવાબની સંભાવના $p = \frac{1}{2}$ અને ખોટા જવાબની સંભાવના $q = \frac{1}{2}$ છે.
ધારો કે $X$ એ સાચા જવાબોની સંખ્યા છે. $X$ એ દ્વિપદી વિતરણ $B(8, \frac{1}{2})$ ને અનુસરે છે.
વિદ્યાર્થી ત્યારે પાસ થાય છે જો $X \ge 6$ હોય.
$P(\text{Pass}) = P(X=6) + P(X=7) + P(X=8)$
$P(\text{Pass}) = \binom{8}{6}(\frac{1}{2})^8 + \binom{8}{7}(\frac{1}{2})^8 + \binom{8}{8}(\frac{1}{2})^8$
$P(\text{Pass}) = \frac{28 + 8 + 1}{256} = \frac{37}{256}$.
વિદ્યાર્થી નાપાસ થાય તેની સંભાવના $P(\text{Fail}) = 1 - P(\text{Pass})$ છે.
$P(\text{Fail}) = 1 - \frac{37}{256} = \frac{219}{256}$.

(D) કુલ દડાની સંખ્યા $= 2 + 3 + 5 = 10$ છે.
ધારો કે $R_3$ એ ત્રીજો દડો લાલ હોવાની ઘટના છે.
પુરવણી વગર દડા કાઢવાની પ્રક્રિયામાં સંમિતતાના ગુણધર્મને કારણે,$k$-મો દડો કોઈ ચોક્કસ રંગનો હોય તેની સંભાવના તે રંગના દડાના શરૂઆતના પ્રમાણ જેટલી જ હોય છે.
કોઈપણ સ્થાન $k$ (જ્યાં $1 \le k \le 10$) માટે,$k$-મો દડો લાલ હોવાની સંભાવના $P(R_k) = \frac{\text{લાલ દડાની સંખ્યા}}{\text{કુલ દડાની સંખ્યા}}$ દ્વારા મળે છે.
તેથી,$P(R_3) = \frac{5}{10} = \frac{1}{2}$.

(D) શરતી સંભાવનાની વ્યાખ્યાનો ઉપયોગ કરતા,$P(E/F) = \frac{P(E \cap F)}{P(F)}$.
આપેલ પદાવલિ: $P(A / A \cap B) + P(B / A \cap B)$
$= \frac{P(A \cap (A \cap B))}{P(A \cap B)} + \frac{P(B \cap (A \cap B))}{P(A \cap B)}$
અહીં $A \cap (A \cap B) = A \cap B$ અને $B \cap (A \cap B) = A \cap B$ હોવાથી,આપણને મળે છે:
$= \frac{P(A \cap B)}{P(A \cap B)} + \frac{P(A \cap B)}{P(A \cap B)}$
$= 1 + 1 = 2$

(C) ધારો કે $E_A$ એ સરવાળો $6$ મેળવવાની ઘટના છે અને $E_B$ એ સરવાળો $7$ મેળવવાની ઘટના છે.
સરવાળો $6$ મેળવવાની સંભાવના $P(E_A) = \frac{5}{36}$ છે.
સરવાળો $6$ ન મેળવવાની સંભાવના $P(E_A^c) = 1 - \frac{5}{36} = \frac{31}{36}$ છે.
સરવાળો $7$ મેળવવાની સંભાવના $P(E_B) = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}$ છે.
સરવાળો $7$ ન મેળવવાની સંભાવના $P(E_B^c) = 1 - \frac{1}{6} = \frac{5}{6}$ છે.
$A$ જીતે છે જો તે તેના પ્રથમ પ્રયત્નમાં $6$ મેળવે,અથવા જો $A$ નિષ્ફળ જાય,$B$ નિષ્ફળ જાય,અને પછી $A$ તેના બીજા પ્રયત્નમાં $6$ મેળવે,વગેરે.
$P(A \text{ wins}) = P(E_A) + P(E_A^c)P(E_B^c)P(E_A) + P(E_A^c)P(E_B^c)P(E_A^c)P(E_B^c)P(E_A) + \dots$
આ એક અનંત ગુણોત્તર શ્રેણી છે જેમાં પ્રથમ પદ $a = \frac{5}{36}$ અને સામાન્ય ગુણોત્તર $r = P(E_A^c)P(E_B^c) = \frac{31}{36} \times \frac{5}{6} = \frac{155}{216}$ છે.
$P(A \text{ wins}) = \frac{a}{1-r} = \frac{\frac{5}{36}}{1 - \frac{155}{216}} = \frac{\frac{5}{36}}{\frac{61}{216}} = \frac{5}{36} \times \frac{216}{61} = \frac{30}{61}$.

(A) $I$. $A, B$ પરસ્પર નિવારક ઘટનાઓ છે $\Rightarrow P(A \cap B) = 0$. તેથી,$P(A \cup B) = P(A) + P(B)$. આ $(iv)$ સાથે સુસંગત છે.
$II$. $A, B$ નિરપેક્ષ ઘટનાઓ છે $\Rightarrow P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$. તેથી $P(\frac{\bar{A}}{B}) = \frac{P(\bar{A} \cap B)}{P(B)} = \frac{P(\bar{A}) \cdot P(B)}{P(B)} = P(\bar{A}) = 1 - P(A)$. આ $(iii)$ સાથે સુસંગત છે.
$III$. $A \cap B = A \Rightarrow A \subset B \Rightarrow P(A) \leq P(B)$. આ $(ii)$ સાથે સુસંગત છે.
$IV$. $A \cup B = S \Rightarrow P(A \cup B) = 1$. કારણ કે $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) = 1$,તેથી $P(A \cap B) = P(A) + P(B) - 1$. કારણ કે $P(A) = 1 - P(\bar{A})$,આપણને $P(A \cap B) = 1 - P(\bar{A}) + P(B) - 1 = P(B) - P(\bar{A})$ મળે છે. આ $(i)$ સાથે સુસંગત છે.
આમ,સાચી જોડ $(I)$-$(iv)$,$(II)$-$(iii)$,$(III)$-$(ii)$,$(IV)$-$(i)$ છે.

(B) આપેલ છે: $P(E_1) = \frac{1}{2}$ અને $P(E_1 \cup E_2) = \frac{2}{3}$.
કારણ કે $E_1$ અને $E_2$ સ્વતંત્ર ઘટનાઓ છે,તેથી $P(E_1 \cap E_2) = P(E_1)P(E_2) = \frac{1}{2}P(E_2)$.
$P(E_1 \cup E_2) = P(E_1) + P(E_2) - P(E_1 \cap E_2)$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{2}{3} = \frac{1}{2} + P(E_2) - \frac{1}{2}P(E_2)$
$\frac{2}{3} - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}P(E_2)$
$\frac{1}{6} = \frac{1}{2}P(E_2) \implies P(E_2) = \frac{1}{3}$. ($A-iii$ સાથે જોડાય છે)
હવે,$P(E_1 \cap E_2) = \frac{1}{2} \times \frac{1}{3} = \frac{1}{6}$.
$P(\frac{E_1}{E_2}) = \frac{P(E_1 \cap E_2)}{P(E_2)} = \frac{1/6}{1/3} = \frac{1}{2}$. ($B-i$ સાથે જોડાય છે)
$P(\frac{\bar{E}_2}{E_1}) = \frac{P(\bar{E}_2 \cap E_1)}{P(E_1)} = \frac{P(E_1) - P(E_1 \cap E_2)}{P(E_1)} = \frac{1/2 - 1/6}{1/2} = \frac{1/3}{1/2} = \frac{2}{3}$. ($C-v$ સાથે જોડાય છે)
$P(\bar{E}_1 \cup \bar{E}_2) = P(\overline{E_1 \cap E_2}) = 1 - P(E_1 \cap E_2) = 1 - \frac{1}{6} = \frac{5}{6}$. ($D-ii$ સાથે જોડાય છે)
આમ,સાચી જોડ $A-iii, B-i, C-v, D-ii$ છે.

(C) $P(A) = \frac{75}{100} = \frac{3}{4}$,તેથી $P(\bar{A}) = 1 - \frac{3}{4} = \frac{1}{4}$.
$P(B) = \frac{80}{100} = \frac{4}{5}$,તેથી $P(\bar{B}) = 1 - \frac{4}{5} = \frac{1}{5}$.
જો એક વ્યક્તિ સાચું બોલે અને બીજી વ્યક્તિ જૂઠું બોલે તો તેઓ એકબીજાનો વિરોધાભાસ કરે છે.
આ બે રીતે થઈ શકે છે: ($A$ સાચું બોલે અને $B$ જૂઠું બોલે) અથવા ($A$ જૂઠું બોલે અને $B$ સાચું બોલે).
$P(\text{વિરોધાભાસ}) = P(A \cap \bar{B}) + P(\bar{A} \cap B)$
$P(\text{વિરોધાભાસ}) = (P(A) \times P(\bar{B})) + (P(\bar{A}) \times P(B))$
$P(\text{વિરોધાભાસ}) = (\frac{3}{4} \times \frac{1}{5}) + (\frac{1}{4} \times \frac{4}{5})$
$P(\text{વિરોધાભાસ}) = \frac{3}{20} + \frac{4}{20} = \frac{7}{20}$.

(A) આપેલ છે કે $A, B, C$ પરસ્પર નિવારક અને નિઃશેષ ઘટનાઓ છે,તેથી $P(A) + P(B) + P(C) = 1$.
$P(A) = 0.30$ અને $P(B) = 0.50$ આપેલ હોવાથી,$P(C) = 1 - (0.30 + 0.50) = 0.20$ મળે.
શરતી સંભાવનાઓ $P(E \mid A) = 0.6$,$P(E \mid B) = 0.3$,અને $P(E \mid C) = 0.1$ છે.
બેયઝના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,$P(C \mid E)$ નીચે મુજબ મળે:
$P(C \mid E) = \frac{P(C) P(E \mid C)}{P(A) P(E \mid A) + P(B) P(E \mid B) + P(C) P(E \mid C)}$
કિંમતો મુકતા:
$P(C \mid E) = \frac{0.20 \times 0.1}{(0.30 \times 0.6) + (0.50 \times 0.3) + (0.20 \times 0.1)}$
$P(C \mid E) = \frac{0.02}{0.18 + 0.15 + 0.02} = \frac{0.02}{0.35} = \frac{2}{35}$.

(C) $1$ થી $100$ માંથી $2$ સંખ્યાઓ પસંદ કરવાની કુલ રીતો $N = {}^{100}C_2 = 4950$ છે.
ઘટના $A$: ગુણાકાર બેકી છે. આ ત્યારે થાય છે જ્યારે ઓછામાં ઓછી એક સંખ્યા બેકી હોય. પૂરક ઘટના એ છે કે બંને સંખ્યાઓ એકી હોય. એકી સંખ્યાઓ $50$ છે.
$n(A) = {}^{100}C_2 - {}^{50}C_2 = 4950 - 1225 = 3725$.
ઘટના $B$: ગુણાકાર $4$ વડે વિભાજ્ય છે. આ ત્યારે થાય છે જ્યારે (બંને બેકી હોય અને ઓછામાં ઓછી એક $4$ નો ગુણક હોય) અથવા (એક એકી હોય અને એક $4$ નો ગુણક હોય).
$E_2$ એ બેકી સંખ્યાઓ છે જે $4$ વડે વિભાજ્ય નથી ${2, 6, \dots, 98}$ ($25$ સંખ્યાઓ) અને $O$ એ એકી સંખ્યાઓ છે ${1, 3, \dots, 99}$ ($50$ સંખ્યાઓ).
ગુણાકાર બેકી હોય પણ $4$ વડે વિભાજ્ય ન હોય તેવા કિસ્સામાં એક સંખ્યા $E_2$ માંથી અને બીજી $O$ માંથી હોવી જોઈએ.
$n(A \cap \bar{B}) = {}^{25}C_1 \times {}^{50}C_1 = 25 \times 50 = 1250$.
$P(A \cap \bar{B}) = \frac{1250}{4950} = \frac{25}{99}$.

(A) છોકરીઓની કુલ સંખ્યા $= 30$ છે.
આપેલ છે કે $40 \%$ છોકરીઓ ગણિતમાં સારી છે.
ગણિતમાં સારી હોય તેવી છોકરીઓની સંખ્યા $= \frac{40}{100} \times 30 = 12$.
ગણિતમાં સારી ન હોય તેવી છોકરીઓની સંખ્યા $= 30 - 12 = 18$.
કારણ કે પસંદ કરેલ વિદ્યાર્થી છોકરી છે તેમ પહેલેથી જ જાણીતું છે,આપણે ફક્ત છોકરીઓના નિદર્શાવકાશને ધ્યાનમાં લઈશું.
જરૂરી સંભાવના $= \frac{\text{ગણિતમાં સારી ન હોય તેવી છોકરીઓની સંખ્યા}}{\text{છોકરીઓની કુલ સંખ્યા}} = \frac{18}{30} = \frac{3}{5}$.

(C) ધારો કે $B_1$ પ્રથમ થેલી છે અને $B_2$ બીજી થેલી છે.
થેલી $B_1$ માં $4$ લાલ અને $5$ કાળા દડા છે (કુલ = $9$).
થેલી $B_2$ માં $3$ લાલ અને $6$ કાળા દડા છે (કુલ = $9$).
આપણે $B_1$ માંથી $1$ દડો અને $B_2$ માંથી $2$ દડા પસંદ કરીએ છીએ. કુલ પસંદ કરેલા દડા = $3$.
આપણને $2$ કાળા અને $1$ લાલ દડો જોઈએ છે. બે કિસ્સાઓ શક્ય છે:
કિસ્સો $I$: $B_1$ માંથી પસંદ કરેલો દડો લાલ હોય અને $B_2$ માંથી પસંદ કરેલા બે દડા કાળા હોય.
$P(Case I) = P(R_1) \times P(B_2, B_2) = \frac{4}{9} \times \frac{\binom{6}{2}}{\binom{9}{2}} = \frac{4}{9} \times \frac{15}{36} = \frac{5}{27}$.
કિસ્સો $II$: $B_1$ માંથી પસંદ કરેલો દડો કાળો હોય અને $B_2$ માંથી પસંદ કરેલા બે દડામાંથી એક લાલ અને એક કાળો હોય.
$P(Case II) = P(B_1) \times P(R_2, B_2) = \frac{5}{9} \times \frac{\binom{3}{1} \times \binom{6}{1}}{\binom{9}{2}} = \frac{5}{9} \times \frac{18}{36} = \frac{5}{18}$.
કુલ સંભાવના = $P(Case I) + P(Case II) = \frac{5}{27} + \frac{5}{18} = \frac{10 + 15}{54} = \frac{25}{54}$.

(C) ધારો કે $C$,$B$,અને $T$ એ વ્યક્તિ અનુક્રમે કાર,બસ અને ટ્રેન દ્વારા મુસાફરી કરે તે ઘટનાઓ છે. ધારો કે $L$ એ વ્યક્તિ કોલેજ મોડો પહોંચે તે ઘટના છે,અને $L'$ એ વ્યક્તિ કોલેજ સમયસર પહોંચે તે ઘટના છે.
આપેલ સંભાવનાઓ: $P(C) = \frac{1}{5}$,$P(B) = \frac{2}{5}$,$P(T) = \frac{3}{5}$.
મોડા પહોંચવાની સંભાવનાઓ: $P(L|C) = \frac{2}{7}$,$P(L|B) = \frac{4}{7}$,$P(L|T) = \frac{1}{7}$.
સમયસર પહોંચવાની સંભાવનાઓ: $P(L'|C) = 1 - \frac{2}{7} = \frac{5}{7}$,$P(L'|B) = 1 - \frac{4}{7} = \frac{3}{7}$,$P(L'|T) = 1 - \frac{1}{7} = \frac{6}{7}$.
બેયઝના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,જો તે સમયસર પહોંચે તો તેણે કાર દ્વારા મુસાફરી કરી હોય તેની સંભાવના:
$P(C|L') = \frac{P(L'|C)P(C)}{P(L'|C)P(C) + P(L'|B)P(B) + P(L'|T)P(T)}$
$P(C|L') = \frac{(\frac{5}{7} \times \frac{1}{5})}{(\frac{5}{7} \times \frac{1}{5}) + (\frac{3}{7} \times \frac{2}{5}) + (\frac{6}{7} \times \frac{3}{5})}$
$P(C|L') = \frac{\frac{5}{35}}{\frac{5}{35} + \frac{6}{35} + \frac{18}{35}} = \frac{5}{5 + 6 + 18} = \frac{5}{29}$.

(A) ધારો કે $B_1$ એ પ્રથમ જૂથમાંથી થેલી પસંદ કરવાની ઘટના છે અને $B_2$ એ બીજા જૂથમાંથી થેલી પસંદ કરવાની ઘટના છે.
કુલ થેલીઓ = $2 + 4 = 6$.
$P(B_1) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$ અને $P(B_2) = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$.
ધારો કે $B$ એ ઘટના છે કે કાઢવામાં આવેલ દડો કાળો છે.
પ્રથમ જૂથ માટે,કાળો દડો કાઢવાની સંભાવના $P(B|B_1) = \frac{5}{3+5} = \frac{5}{8}$ છે.
બીજા જૂથ માટે,કાળો દડો કાઢવાની સંભાવના $P(B|B_2) = \frac{4}{6+4} = \frac{4}{10} = \frac{2}{5}$ છે.
બેયઝના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,જો દડો કાળો હોય તો તે પ્રથમ થેલીઓના સમૂહમાંથી હોવાની સંભાવના:
$P(B_1|B) = \frac{P(B_1)P(B|B_1)}{P(B_1)P(B|B_1) + P(B_2)P(B|B_2)}$
$P(B_1|B) = \frac{\frac{1}{3} \times \frac{5}{8}}{\frac{1}{3} \times \frac{5}{8} + \frac{2}{3} \times \frac{2}{5}} = \frac{\frac{5}{24}}{\frac{5}{24} + \frac{4}{15}} = \frac{\frac{5}{24}}{\frac{25 + 32}{120}} = \frac{5}{24} \times \frac{120}{57} = \frac{5 \times 5}{57} = \frac{25}{57}$.

(B) ધારો કે $K$ એ ઘટના છે કે પસંદ કરેલ પત્તું રાજા છે,અને $K^c$ એ ઘટના છે કે પસંદ કરેલ પત્તું રાજા નથી. ધારો કે $R$ એ ઘટના છે કે વ્યક્તિ જણાવે છે કે પત્તું રાજા છે.
આપેલ છે:
$P(K) = \frac{4}{52} = \frac{1}{13}$
$P(K^c) = 1 - \frac{1}{13} = \frac{12}{13}$
ધારો કે $T$ એ ઘટના છે કે વ્યક્તિ સાચું બોલે છે. $P(T) = \frac{3}{4}$ અને $P(T^c) = \frac{1}{4}$.
જો પત્તું રાજા હોય અને વ્યક્તિ રાજા હોવાનું જણાવે તેની સંભાવના $P(R|K) = P(T) = \frac{3}{4}$ છે.
જો પત્તું રાજા ન હોય અને વ્યક્તિ રાજા હોવાનું જણાવે તેની સંભાવના $P(R|K^c) = P(T^c) = \frac{1}{4}$ છે.
બેયઝના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,વ્યક્તિના જણાવ્યા મુજબ તે ખરેખર રાજા હોવાની સંભાવના:
$P(K|R) = \frac{P(R|K)P(K)}{P(R|K)P(K) + P(R|K^c)P(K^c)}$
$P(K|R) = \frac{(\frac{3}{4} \times \frac{1}{13})}{(\frac{3}{4} \times \frac{1}{13}) + (\frac{1}{4} \times \frac{12}{13})}$
$P(K|R) = \frac{\frac{3}{52}}{\frac{3}{52} + \frac{12}{52}} = \frac{3}{15} = \frac{1}{5}$

(C) ધારો કે $A$ એ ત્રણ લીલા દડા કાઢવાની ઘટના છે. ધારો કે $E_k$ એ થેલીમાં $k$ લીલા દડા હોવાની ઘટના છે,જ્યાં $k \in \{3, 4, 5, 6\}$. દરેક સંખ્યાના લીલા દડા હોવાની શક્યતા સમાન છે તેમ ધારતા,$P(E_k) = \frac{1}{4}$.
$k$ લીલા દડા હોય ત્યારે $3$ લીલા દડા કાઢવાની સંભાવના $P(A|E_k) = \frac{{}^k C_3}{{}^6 C_3}$ છે.
બેયઝના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,$3$ લીલા દડા કાઢવામાં આવ્યા હોય ત્યારે $5$ લીલા દડા હોવાની સંભાવના:
$P(E_5|A) = \frac{P(A|E_5)P(E_5)}{\sum_{k=3}^{6} P(A|E_k)P(E_k)}$
બધા $k$ માટે $P(E_k) = \frac{1}{4}$ હોવાથી,આનું સાદું રૂપ નીચે મુજબ થાય છે:
$P(E_5|A) = \frac{{}^5 C_3}{\sum_{k=3}^{6} {}^k C_3} = \frac{10}{1 + 4 + 10 + 20} = \frac{10}{35} = \frac{2}{7}$.

(A) આપણે જાણીએ છીએ કે શરતી સંભાવનાનું સૂત્ર $P(B \mid A) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)}$ છે.
આપેલ કિંમતો મૂકતા,આપણને મળે છે $P(A \cap B) = P(B \mid A) \times P(A) = \frac{2}{3} \times \frac{1}{4} = \frac{2}{12} = \frac{1}{6}$.
હવે,$P(A \mid B)$ માટે શરતી સંભાવનાના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$P(A \mid B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$.
$P(B)$ ને સૂત્રનો કર્તા બનાવતા,$P(B) = \frac{P(A \cap B)}{P(A \mid B)}$.
કિંમતો મૂકતા,$P(B) = \frac{1/6}{1/2} = \frac{1}{6} \times 2 = \frac{1}{3}$.

(C) $E_1$: થેલી $A$ માંથી દડો પસંદ કરવામાં આવે છે.
$E_2$: થેલી $B$ માંથી દડો પસંદ કરવામાં આવે છે.
$F$: પસંદ કરેલ દડો લાલ રંગનો છે.
આપેલ છે:
$P(E_1) = \frac{1}{2}$,$P(E_2) = \frac{1}{2}$.
$P(F|E_1) = \frac{3}{5}$ (થેલી $A$ માંથી લાલ દડો પસંદ કરવાની સંભાવના).
$P(F|E_2) = \frac{5}{9}$ (થેલી $B$ માંથી લાલ દડો પસંદ કરવાની સંભાવના).
બેયઝના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા:
$P(E_2|F) = \frac{P(F|E_2) \cdot P(E_2)}{P(F|E_1) \cdot P(E_1) + P(F|E_2) \cdot P(E_2)}$
$P(E_2|F) = \frac{\frac{5}{9} \times \frac{1}{2}}{\frac{3}{5} \times \frac{1}{2} + \frac{5}{9} \times \frac{1}{2}}$
$P(E_2|F) = \frac{\frac{5}{9}}{\frac{3}{5} + \frac{5}{9}} = \frac{\frac{5}{9}}{\frac{27 + 25}{45}} = \frac{5}{9} \times \frac{45}{52} = \frac{25}{52}$.

(A) ધારો કે $X$ એ પસંદ કરેલા ખામીયુક્ત બલ્બની સંખ્યા છે. આ દ્વિપદી વિતરણ $B(n, p)$ ને અનુસરે છે જ્યાં $n = 5$ અને $p = 20\% = \frac{1}{5}$ છે.
તેથી $q = 1 - p = \frac{4}{5}$ થાય.
બરાબર $k$ ખામીયુક્ત બલ્બ મેળવવાની સંભાવના $P(X = k) = { }^nC_k \cdot p^k \cdot q^{n-k}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$k = 3$ માટે,આપણી પાસે છે:
$P(X = 3) = { }^5C_3 \cdot (\frac{1}{5})^3 \cdot (\frac{4}{5})^{5-3}$
$P(X = 3) = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} \cdot (\frac{1}{125}) \cdot (\frac{16}{25})$
$P(X = 3) = 10 \cdot \frac{16}{3125}$
$P(X = 3) = \frac{160}{3125} = \frac{32}{625}$.

(B) આપેલ છે કે મધ્યક અને વિચરણ વચ્ચેનો તફાવત $1$ છે:
$np - npq = 1 \Rightarrow np(1-q) = 1 \Rightarrow np^2 = 1$ $\qquad (i)$
વળી,તેમના વર્ગો વચ્ચેનો તફાવત $11$ છે:
$(np)^2 - (npq)^2 = 11$ $\qquad (ii)$
$n^2p^2 - n^2p^2q^2 = 11 \Rightarrow n^2p^2(1-q^2) = 11$
$(ii)$ ને $(i)$ વડે ભાગતા,આપણને મળે છે:
$\frac{n^2p^2(1-q^2)}{np^2} = 11 \Rightarrow n(1-q^2) = 11$
$n=36$ હોવાથી,$36(1-q^2) = 11 \Rightarrow 1-q^2 = \frac{11}{36} \Rightarrow q^2 = 1 - \frac{11}{36} = \frac{25}{36} \Rightarrow q = \frac{5}{6}$
તેથી,$p = 1 - q = 1 - \frac{5}{6} = \frac{1}{6}$
હવે,$P(X=2) = {}^{36}C_2 \left(\frac{1}{6}\right)^2 \left(\frac{5}{6}\right)^{34} = m\left(\frac{5}{6}\right)^{36}$
$\frac{36 \times 35}{2} \times \frac{1}{36} \times \left(\frac{5}{6}\right)^{34} = m\left(\frac{5}{6}\right)^{36}$
$\frac{35}{2} \times \left(\frac{5}{6}\right)^{34} = m \times \left(\frac{5}{6}\right)^{34} \times \left(\frac{5}{6}\right)^2$
$m = \frac{35}{2} \times \left(\frac{6}{5}\right)^2 = \frac{35}{2} \times \frac{36}{25} = \frac{7 \times 18}{5} = 25.2$
આમ,$m : n = 25.2 : 36 = 252 : 360 = 7 : 10$.

(A) ધારો કે $p$ એ લક્ષ્યને વીંધવાની સંભાવના છે અને $q$ એ લક્ષ્યને વીંધવામાં નિષ્ફળ જવાની સંભાવના છે.
આપેલ છે કે $q = \frac{1}{3}$,તેથી $p = 1 - q = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$.
પ્રયત્નોની સંખ્યા $n = 4$ છે.
આપણે ઓછામાં ઓછી ત્રણ વાર લક્ષ્યને વીંધવાની સંભાવના શોધવાની છે,જે $P(X \geq 3) = P(X = 3) + P(X = 4)$ છે.
દ્વિપદી વિતરણના સૂત્ર $P(X = k) = {}^nC_k p^k q^{n-k}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$P(X = 3) = {}^4C_3 \left(\frac{2}{3}\right)^3 \left(\frac{1}{3}\right)^1 = 4 \times \frac{8}{27} \times \frac{1}{3} = \frac{32}{81}$.
$P(X = 4) = {}^4C_4 \left(\frac{2}{3}\right)^4 \left(\frac{1}{3}\right)^0 = 1 \times \frac{16}{81} \times 1 = \frac{16}{81}$.
તેથી,$P(X \geq 3) = \frac{32}{81} + \frac{16}{81} = \frac{48}{81} = \frac{16}{27}$.

(C) $n=7$ અને $p=q=\frac{1}{2}$ સાથેના દ્વિપદી વિતરણ માટે:
$\mu = np = 7 \times \frac{1}{2} = \frac{7}{2}$
$\sigma^2 = npq = 7 \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{7}{4}$
$P(X=3) = {}^{7}C_{3} \times (\frac{1}{2})^{3} \times (\frac{1}{2})^{4} = \frac{7 \times 6 \times 5}{3 \times 2 \times 1} \times (\frac{1}{2})^{7} = 35 \times \frac{1}{128} = \frac{35}{128}$
$\frac{\mu \sigma^2}{P(X=3)} = \frac{(\frac{7}{2}) \times (\frac{7}{4})}{\frac{35}{128}} = \frac{49}{8} \times \frac{128}{35} = \frac{7}{1} \times \frac{16}{5} = \frac{112}{5}$

(D) આપેલ છે: $n = 300$,$p = 0.01$.
ધારો કે $m$ એ ખામીયુક્ત વસ્તુઓની સરેરાશ સંખ્યા છે.
$m = n \times p = 300 \times 0.01 = 3$.
અહીં $n$ મોટું છે અને $p$ નાનું છે,તેથી આપણે પોઈસન વિતરણનો ઉપયોગ કરીશું,જ્યાં પેરામીટર $m = 3$ છે.
$X$ ખામીયુક્ત વસ્તુઓ હોવાની સંભાવના $P(X = k) = \frac{e^{-m} m^k}{k!}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપણે ખામીયુક્ત વસ્તુઓની સંખ્યા વધુમાં વધુ એક હોય તેની સંભાવના શોધવાની છે,એટલે કે $P(X \leq 1)$.
$P(X \leq 1) = P(X = 0) + P(X = 1)$.
$P(X = 0) = \frac{e^{-3} 3^0}{0!} = \frac{e^{-3} \times 1}{1} = \frac{1}{e^3}$.
$P(X = 1) = \frac{e^{-3} 3^1}{1!} = \frac{3}{e^3}$.
તેથી,$P(X \leq 1) = \frac{1}{e^3} + \frac{3}{e^3} = \frac{4}{e^3}$.

(C) આપેલ છે કે $X \sim B(5, p)$.
$P(X=3) = P(X=4)$
$\Rightarrow { }^5 C_3 p^3(1-p)^2 = { }^5 C_4 p^4(1-p)$
$\Rightarrow 10(1-p) = 5p$
$\Rightarrow 10 - 10p = 5p \Rightarrow 15p = 10 \Rightarrow p = \frac{2}{3}$.
હવે,આપણે $P(|X-3| < 2)$ શોધવાની જરૂર છે.
$P(|X-3| < 2) = P(-2 < X-3 < 2) = P(1 < X < 5) = P(X=2) + P(X=3) + P(X=4)$.
કારણ કે $P(X=3) = P(X=4)$,તેથી આપણને $P(X=2) + 2P(X=3)$ મળે.
$P(X=2) = { }^5 C_2 (\frac{2}{3})^2 (\frac{1}{3})^3 = 10 \times \frac{4}{9} \times \frac{1}{27} = \frac{40}{243}$.
$P(X=3) = { }^5 C_3 (\frac{2}{3})^3 (\frac{1}{3})^2 = 10 \times \frac{8}{27} \times \frac{1}{9} = \frac{80}{243}$.
$P(|X-3| < 2) = \frac{40}{243} + 2(\frac{80}{243}) = \frac{40 + 160}{243} = \frac{200}{243}$.

(C) ધારો કે મધ્યક $\mu = np$ અને પ્રમાણિત વિચલન $\sigma = \sqrt{npq}$ છે,જ્યાં $q = 1-p$.
આપેલ છે કે,$\mu - \sigma = 3 \Rightarrow \mu - 3 = \sigma$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$(\mu - 3)^2 = \sigma^2 = npq$.
વળી આપેલ છે કે,$\mu^2 - \sigma^2 = 21$.
પ્રથમ સમીકરણમાં $\sigma^2 = \mu^2 - 21$ મૂકતા:
$(\mu - 3)^2 = \mu^2 - 21$
$\mu^2 - 6\mu + 9 = \mu^2 - 21$
$-6\mu = -30 \Rightarrow \mu = 5$.
કારણ કે $\mu = np = 5$,તેથી $\sigma^2 = 5^2 - 21 = 25 - 21 = 4$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\sigma^2 = npq = 5q = 4$,તેથી $q = \frac{4}{5}$ અને $p = 1 - \frac{4}{5} = \frac{1}{5}$.
કારણ કે $np = 5$,તેથી $n(\frac{1}{5}) = 5 \Rightarrow n = 25$.
સંભાવના વિધેય $P(X=k) = {}^{n}C_k p^k q^{n-k}$ છે.
$\frac{P(X=1)}{P(X=2)} = \frac{{}^{25}C_1 p^1 q^{24}}{{}^{25}C_2 p^2 q^{23}} = \frac{25 \cdot q}{300 \cdot p} = \frac{1}{12} \cdot \frac{4/5}{1/5} = \frac{1}{12} \cdot 4 = \frac{1}{3}$.

(A) ધારો કે $X$ એ $n = 4$ સ્કેનમાં રડાર દ્વારા વિમાન શોધવાની સંખ્યા છે। આ દ્વિપદી વિતરણ $B(n, p)$ ને અનુસરે છે જ્યાં $n = 4$ અને $p = 0.1$ (શોધવાની સંભાવના)।
વિમાન ન શોધવાની સંભાવના $q = 1 - p = 0.9$ છે।
આપણે તે સંભાવના શોધવા માંગીએ છીએ કે તે ઓછામાં ઓછી બે વાર વિમાનને ન શોધી શકે,જે $1 - P(\text{વિમાનને } 2, 3, \text{ અથવા } 4 \text{ વાર શોધવાની સંભાવના})$ ની બરાબર છે।
$P(X \ge 2) = P(X=2) + P(X=3) + P(X=4)$.
$P(X=2) = {}^{4}C_{2} (0.1)^{2} (0.9)^{2} = 6 \times 0.01 \times 0.81 = 0.0486$.
$P(X=3) = {}^{4}C_{3} (0.1)^{3} (0.9)^{1} = 4 \times 0.001 \times 0.9 = 0.0036$.
$P(X=4) = {}^{4}C_{4} (0.1)^{4} (0.9)^{0} = 1 \times 0.0001 \times 1 = 0.0001$.
$P(X \ge 2) = 0.0486 + 0.0036 + 0.0001 = 0.0523$.
જરૂરી સંભાવના $1 - P(X \ge 2) = 1 - 0.0523 = 0.9477$ છે।

(C) દ્વિપદી વિતરણ $B(n, p)$ માટે,મધ્યક $\mu = np$ અને વિચરણ $\sigma^2 = npq$,જ્યાં $q = 1-p$ છે.
આપેલ છે:
સરવાળો: $np + npq = 5 \Rightarrow np(1+q) = 5$ ...$(i)$
ગુણાકાર: $(np)(npq) = n^2p^2q = 6$ ...(ii)
$(i)$ પરથી,$np = \frac{5}{1+q}$. આ કિંમત (ii) માં મૂકતા:
$\left(\frac{5}{1+q}\right)^2 q = 6 \Rightarrow 25q = 6(1+q)^2 \Rightarrow 25q = 6(1+2q+q^2) \Rightarrow 6q^2 - 13q + 6 = 0$.
દ્વિઘાત સમીકરણ ઉકેલતા: $6q^2 - 9q - 4q + 6 = 0 \Rightarrow 3q(2q-3) - 2(2q-3) = 0 \Rightarrow (3q-2)(2q-3) = 0$.
$q < 1$ હોવાથી,$q = \frac{2}{3}$ મળે. તેથી $p = 1 - q = \frac{1}{3}$.
$q = \frac{2}{3}$ ને $(i)$ માં મૂકતા: $np(1 + \frac{2}{3}) = 5 \Rightarrow np(\frac{5}{3}) = 5 \Rightarrow np = 3$.
$p = \frac{1}{3}$ હોવાથી,$n(\frac{1}{3}) = 3 \Rightarrow n = 9$.
અંતે,$6(n+p-q) = 6(9 + \frac{1}{3} - \frac{2}{3}) = 6(9 - \frac{1}{3}) = 54 - 2 = 52$.

(D) $5$ ના મધ્યક $\lambda = 5$ સાથેના પોઈસન વિતરણ માટે,સંભાવના વિધેય $P(X = k) = \frac{e^{-\lambda} \lambda^k}{k!}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપણે $P(X < 3) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2)$ શોધવાની જરૂર છે.
કિંમતો મૂકતા:
$P(X = 0) = \frac{e^{-5} 5^0}{0!} = e^{-5}$
$P(X = 1) = \frac{e^{-5} 5^1}{1!} = 5e^{-5}$
$P(X = 2) = \frac{e^{-5} 5^2}{2!} = \frac{25}{2}e^{-5}$
આ સંભાવનાઓનો સરવાળો કરતા:
$P(X < 3) = e^{-5} \left( 1 + 5 + \frac{25}{2} \right) = e^{-5} \left( 6 + 12.5 \right) = 18.5 e^{-5} = \frac{37}{2} e^{-5}$.

(B) ધારો કે $X$ એ ખેંચાયેલા રાજાઓની સંખ્યા દર્શાવતો યાદચ્છિક ચલ છે.
કુલ પત્તા = $52$. રાજાઓની સંખ્યા = $4$. રાજા ન હોય તેવા પત્તા = $48$.
આપણે $2$ પત્તા ખેંચીએ છીએ. $X$ ની શક્ય કિંમતો $0, 1, 2$ છે.
$P(X=0) = \frac{{}^{48}C_2}{{}^{52}C_2} = \frac{48 \times 47}{52 \times 51} = \frac{1128}{1326} = \frac{188}{221}$.
$P(X=1) = \frac{{}^{4}C_1 \times {}^{48}C_1}{{}^{52}C_2} = \frac{4 \times 48}{1326} = \frac{192}{1326} = \frac{32}{221}$.
$P(X=2) = \frac{{}^{4}C_2}{{}^{52}C_2} = \frac{6}{1326} = \frac{1}{221}$.
મધ્યક $E(X) = \sum x_i P(x_i) = 0 \times P(X=0) + 1 \times P(X=1) + 2 \times P(X=2)$.
$E(X) = 0 + \frac{32}{221} + 2 \times \frac{1}{221} = \frac{32+2}{221} = \frac{34}{221} = \frac{2}{13}$.

(B) સંભાવના વિતરણમાં તમામ સંભાવનાઓનો સરવાળો $1$ થવો જોઈએ.
$\sum P(X=x) = \frac{1}{10} + (K + \frac{2}{10}) + (K + \frac{3}{10}) + (K + \frac{3}{10}) + (K + \frac{4}{10}) + (K + \frac{2}{10}) = 1$
$\Rightarrow 5K + \frac{15}{10} = 1$
$\Rightarrow 5K + 1.5 = 1$
$\Rightarrow 5K = -0.5$
$\Rightarrow K = -0.1 = -\frac{1}{10}$
હવે,કોષ્ટકમાં $K = -\frac{1}{10}$ મૂકતા:
$x = -2$ માટે,$P = \frac{1}{10}$
$x = -1$ માટે,$P = -\frac{1}{10} + \frac{2}{10} = \frac{1}{10}$
$x = 0$ માટે,$P = -\frac{1}{10} + \frac{3}{10} = \frac{2}{10}$
$x = 1$ માટે,$P = -\frac{1}{10} + \frac{3}{10} = \frac{2}{10}$
$x = 2$ માટે,$P = -\frac{1}{10} + \frac{4}{10} = \frac{3}{10}$
$x = 3$ માટે,$P = -\frac{1}{10} + \frac{2}{10} = \frac{1}{10}$
મધ્યક $\mu = \sum x P(x) = (-2)(\frac{1}{10}) + (-1)(\frac{1}{10}) + (0)(\frac{2}{10}) + (1)(\frac{2}{10}) + (2)(\frac{3}{10}) + (3)(\frac{1}{10})$
$\mu = \frac{-2 - 1 + 0 + 2 + 6 + 3}{10} = \frac{8}{10} = \frac{4}{5}$

(B) ધારો કે $X$ એ કાઢવામાં આવેલા લાલ દડાઓની સંખ્યા છે. કુલ દડાઓની સંખ્યા $3 + 5 = 8$ છે. આપણે $8$ માંથી $3$ દડા કાઢીએ છીએ,તેથી કુલ રીતો ${}^8 C_3 = \frac{8 \times 7 \times 6}{3 \times 2 \times 1} = 56$ છે.
યાદચ્છિક ચલ $X$ ની કિંમતો $0, 1, 2, 3$ હોઈ શકે છે.
$P(X=0) = \frac{{}^5 C_0 \times {}^3 C_3}{56} = \frac{1 \times 1}{56} = \frac{1}{56}$
$P(X=1) = \frac{{}^5 C_1 \times {}^3 C_2}{56} = \frac{5 \times 3}{56} = \frac{15}{56}$
$P(X=2) = \frac{{}^5 C_2 \times {}^3 C_1}{56} = \frac{10 \times 3}{56} = \frac{30}{56}$
$P(X=3) = \frac{{}^5 C_3 \times {}^3 C_0}{56} = \frac{10 \times 1}{56} = \frac{10}{56}$
મધ્યક $E(X) = \sum x_i P(x_i) = 0 \times \frac{1}{56} + 1 \times \frac{15}{56} + 2 \times \frac{30}{56} + 3 \times \frac{10}{56} = \frac{0 + 15 + 60 + 30}{56} = \frac{105}{56} = \frac{15}{8}$.

(D) આપેલ છે કે $P(X=k) = k^2 P$ જ્યાં $k = 1, 2, 3, 4, 5, 6$.
બધી સંભાવનાઓનો સરવાળો $1$ હોવો જોઈએ,તેથી:
$\sum_{k=1}^6 P(X=k) = 1$
$P(1^2) + P(2^2) + P(3^2) + P(4^2) + P(5^2) + P(6^2) = 1$
$P(1 + 4 + 9 + 16 + 25 + 36) = 1$
$91P = 1 \Rightarrow P = \frac{1}{91}$.
$X$ નો મધ્યક $E(X) = \sum_{k=1}^6 k \cdot P(X=k)$ દ્વારા મળે છે.
$E(X) = \sum_{k=1}^6 k \cdot (k^2 P) = P \sum_{k=1}^6 k^3$.
$E(X) = \frac{1}{91} (1^3 + 2^3 + 3^3 + 4^3 + 5^3 + 6^3)$.
$E(X) = \frac{1}{91} (1 + 8 + 27 + 64 + 125 + 216) = \frac{441}{91}$.

(A) સંભાવના વિતરણ માટે,બધી સંભાવનાઓનો સરવાળો $1$ થવો જોઈએ.
$\sum P(X=x) = 1$
$0.05 + 0.1 + 2K + 0 + 0.3 + K + 0.1 = 1$
$0.55 + 3K = 1 \Rightarrow 3K = 0.45 \Rightarrow K = 0.15$.
હવે,વિતરણ નીચે મુજબ છે:

$X$	$-3$	$-2$	$-1$	$0$	$1$	$2$	$3$
$P(X)$	$0.05$	$0.1$	$0.3$	$0$	$0.3$	$0.15$	$0.1$

મધ્યક $\mu = E(X) = \sum x_i P(x_i) = (-3)(0.05) + (-2)(0.1) + (-1)(0.3) + (0)(0) + (1)(0.3) + (2)(0.15) + (3)(0.1)$
$\mu = -0.15 - 0.2 - 0.3 + 0 + 0.3 + 0.3 + 0.3 = 0.25$.
વિચરણ $\sigma^2 = E(X^2) - \mu^2 = \sum x_i^2 P(x_i) - (0.25)^2$.
$E(X^2) = (-3)^2(0.05) + (-2)^2(0.1) + (-1)^2(0.3) + (0)^2(0) + (1)^2(0.3) + (2)^2(0.15) + (3)^2(0.1)$
$E(X^2) = 9(0.05) + 4(0.1) + 1(0.3) + 0 + 1(0.3) + 4(0.15) + 9(0.1)$
$E(X^2) = 0.45 + 0.4 + 0.3 + 0 + 0.3 + 0.6 + 0.9 = 2.95$.
વિચરણ $= 2.95 - (0.25)^2 = 2.95 - 0.0625 = 2.8875$.

(A) સંભાવના વિતરણ માટે,તમામ સંભાવનાઓનો સરવાળો $1$ થવો જોઈએ.
$\Sigma P(X=x) = 1$
$2k + 4k + 3k + k = 1$
$10k = 1$
$k = \frac{1}{10}$

(A) ધારો કે $r$ એ ત્રિજ્યા છે અને $A$ એ વર્તુળનું ક્ષેત્રફળ છે.
વર્તુળનું ક્ષેત્રફળ $A = \pi r^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બંને બાજુ પ્રાકૃતિક લઘુગણક લેતા,આપણને $\ln A = \ln \pi + 2 \ln r$ મળે છે.
બંને બાજુ $r$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,આપણને $\frac{dA}{A} = 2 \frac{dr}{r}$ મળે છે.
ત્રિજ્યામાં પ્રતિશત ભૂલ $\frac{dr}{r} \times 100 = 3\%$ તરીકે આપવામાં આવી છે.
ક્ષેત્રફળમાં પ્રતિશત ભૂલ $\frac{dA}{A} \times 100 = 2 \times (\frac{dr}{r} \times 100)$ છે.
આપેલી કિંમત મૂકતા,આપણને $\frac{dA}{A} \times 100 = 2 \times 3\% = 6\%$ મળે છે.
આમ,ક્ષેત્રફળમાં પ્રતિશત ભૂલ $6\%$ છે.

(A) ઉગમબિંદુ $O(0,0,0)$ ની સાપેક્ષમાં બિંદુઓ $P$ અને $Q$ ના સ્થાન સદિશો $\vec{OP} = 0\hat{i} + 1\hat{j} + 2\hat{k}$ અને $\vec{OQ} = 4\hat{i} - 2\hat{j} + 1\hat{k}$ છે.
ખૂણો $\theta = \angle POQ$ શોધવા માટે,આપણે ડોટ પ્રોડક્ટના સૂત્રનો ઉપયોગ કરીએ છીએ: $\cos \theta = \frac{\vec{OP} \cdot \vec{OQ}}{|\vec{OP}| |\vec{OQ}|}$.
પ્રથમ,ડોટ પ્રોડક્ટની ગણતરી કરીએ:
$\vec{OP} \cdot \vec{OQ} = (0)(4) + (1)(-2) + (2)(1) = 0 - 2 + 2 = 0$.
અહીં ડોટ પ્રોડક્ટ $0$ હોવાથી,સદિશો $\vec{OP}$ અને $\vec{OQ}$ એકબીજાને લંબ છે.
તેથી,$\cos \theta = 0$,જેનો અર્થ છે કે $\theta = \frac{\pi}{2}$.