AP EAMCET 2024 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(C) ધારો કે $E = \sin ^2 76^{\circ}+\sin ^2 16^{\circ}-\sin 76^{\circ} \sin 16^{\circ}$.
નિત્યસમ $2\sin^2 \theta = 1 - \cos 2\theta$ નો ઉપયોગ કરતા:
$E = \frac{1}{2} [ (1 - \cos 152^{\circ}) + (1 - \cos 32^{\circ}) ] - \sin 76^{\circ} \sin 16^{\circ}$
$E = 1 - \frac{1}{2} [ \cos 152^{\circ} + \cos 32^{\circ} ] - \sin 76^{\circ} \sin 16^{\circ}$
$\cos C + \cos D = 2 \cos \frac{C+D}{2} \cos \frac{C-D}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\cos 152^{\circ} + \cos 32^{\circ} = 2 \cos 92^{\circ} \cos 60^{\circ} = 2 \cos 92^{\circ} \cdot \frac{1}{2} = \cos 92^{\circ}$
વળી,$2 \sin A \sin B = \cos(A-B) - \cos(A+B)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\sin 76^{\circ} \sin 16^{\circ} = \frac{1}{2} [ \cos 60^{\circ} - \cos 92^{\circ} ] = \frac{1}{2} [ \frac{1}{2} - \cos 92^{\circ} ] = \frac{1}{4} - \frac{1}{2} \cos 92^{\circ}$
આ કિંમતો $E$ માં મૂકતા:
$E = 1 - \frac{1}{2} [ \cos 92^{\circ} ] - [ \frac{1}{4} - \frac{1}{2} \cos 92^{\circ} ]$
$E = 1 - \frac{1}{2} \cos 92^{\circ} - \frac{1}{4} + \frac{1}{2} \cos 92^{\circ} = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$

(D) ધારો કે $f(\theta) = 5 \cos \theta + 3 \cos \left(\theta + \frac{\pi}{3}\right) + 3$.
નિત્યસમ $\cos(A+B) = \cos A \cos B - \sin A \sin B$ નો ઉપયોગ કરતા:
$f(\theta) = 5 \cos \theta + 3 \left(\cos \theta \cos \frac{\pi}{3} - \sin \theta \sin \frac{\pi}{3}\right) + 3$.
$f(\theta) = 5 \cos \theta + 3 \left(\frac{1}{2} \cos \theta - \frac{\sqrt{3}}{2} \sin \theta\right) + 3$.
$f(\theta) = \frac{13}{2} \cos \theta - \frac{3\sqrt{3}}{2} \sin \theta + 3$.
પદ $a \cos \theta + b \sin \theta$ ની કિંમત $-\sqrt{a^2 + b^2}$ અને $\sqrt{a^2 + b^2}$ ની વચ્ચે હોય છે.
અહીં,$a = \frac{13}{2}$ અને $b = -\frac{3\sqrt{3}}{2}$.
$\sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{\frac{169}{4} + \frac{27}{4}} = \sqrt{49} = 7$.
તેથી,$-7 \leq \frac{13}{2} \cos \theta - \frac{3\sqrt{3}}{2} \sin \theta \leq 7$.
બધા પદોમાં $3$ ઉમેરતા:
$-4 \leq f(\theta) \leq 10$.

(A) આપેલ છે કે $3 \sin (\alpha-\beta)=5 \cos (\alpha+\beta)$.
પદોનું વિસ્તરણ કરતા,$3(\sin \alpha \cos \beta - \cos \alpha \sin \beta) = 5(\cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta)$ મળે.
પદોને ગોઠવતા,$\sin \alpha(3 \cos \beta + 5 \sin \beta) = \cos \alpha(5 \cos \beta + 3 \sin \beta)$ મળે.
તેથી,$\tan \alpha = \frac{5 \cos \beta + 3 \sin \beta}{3 \cos \beta + 5 \sin \beta} = \frac{5 + 3 \tan \beta}{3 + 5 \tan \beta}$.
હવે,$\tan \left(\frac{\pi}{4} + \alpha\right) = \frac{1 + \tan \alpha}{1 - \tan \alpha} = \frac{1 + \frac{5 + 3 \tan \beta}{3 + 5 \tan \beta}}{1 - \frac{5 + 3 \tan \beta}{3 + 5 \tan \beta}} = \frac{8(1 + \tan \beta)}{-2(1 - \tan \beta)} = -4 \tan \left(\frac{\pi}{4} + \beta\right)$.
તેથી,$\tan \left(\frac{\pi}{4} + \alpha\right) + 4 \tan \left(\frac{\pi}{4} + \beta\right) = 0$.

(C) આપેલ છે કે $\sin x + \sin y = \alpha$ અને $\cos x + \cos y = \beta$.
સરવાળાથી ગુણાકારના સૂત્રોનો ઉપયોગ કરતા:
$2 \sin \left(\frac{x+y}{2}\right) \cos \left(\frac{x-y}{2}\right) = \alpha$
$2 \cos \left(\frac{x+y}{2}\right) \cos \left(\frac{x-y}{2}\right) = \beta$
બંને સમીકરણોનો ભાગાકાર કરતા:
$\tan \left(\frac{x+y}{2}\right) = \frac{\alpha}{\beta}$
નિત્યસમ $\sin(x+y) = \frac{2 \tan \left(\frac{x+y}{2}\right)}{1 + \tan^2 \left(\frac{x+y}{2}\right)}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\sin(x+y) = \frac{2(\alpha/\beta)}{1 + (\alpha/\beta)^2} = \frac{2 \alpha \beta}{\beta^2 + \alpha^2}$
તેથી,$\operatorname{cosec}(x+y) = \frac{1}{\sin(x+y)} = \frac{\alpha^2 + \beta^2}{2 \alpha \beta}$.

(A) આપેલ છે $A=10^{\circ}, B=16^{\circ}, C=19^{\circ}$.
તેથી $2A=20^{\circ}, 2B=32^{\circ}, 2C=38^{\circ}$.
સરવાળો $2A+2B+2C = 20^{\circ}+32^{\circ}+38^{\circ} = 90^{\circ}$.
કોઈપણ ત્રણ ખૂણા $X, Y, Z$ માટે જો $X+Y+Z=90^{\circ}$ હોય,તો $\tan X \tan Y + \tan Y \tan Z + \tan Z \tan X = 1$ થાય.
$X=2A, Y=2B, Z=2C$ મૂકતા,આપણને $\tan 2A \tan 2B + \tan 2B \tan 2C + \tan 2C \tan 2A = 1$ મળે છે.
આમ,વિધાન $(A)$ સાચું છે.
કારણ $(R)$ સામાન્ય નિત્યસમ દર્શાવે છે: જો $X+Y+Z=90^{\circ}$ હોય,તો $\tan X \tan Y + \tan Y \tan Z + \tan Z \tan X = 1$.
આ વિધાન સાબિત કરવા માટે વપરાયેલ સાચો ગાણિતિક સિદ્ધાંત છે.
તેથી,$(A)$ અને $(R)$ બંને સાચા છે અને $(R)$ એ $(A)$ ની સાચી સમજૂતી છે.

(D) આપણે નિત્યસમ $\tan \theta - \cot \theta = -2 \cot 2 \theta$ નો ઉપયોગ કરીએ છીએ.
આપેલ પદાવલિ: $S = \tan \alpha + 2 \tan 2 \alpha + 4 \tan 4 \alpha + 8 \cot 8 \alpha$.
$\cot \alpha$ ઉમેરતા અને બાદ કરતા:
$S = (\tan \alpha - \cot \alpha) + \cot \alpha + 2 \tan 2 \alpha + 4 \tan 4 \alpha + 8 \cot 8 \alpha$
$S = -2 \cot 2 \alpha + 2 \tan 2 \alpha + 4 \tan 4 \alpha + 8 \cot 8 \alpha + \cot \alpha$
$S = -2(\cot 2 \alpha - \tan 2 \alpha) + 4 \tan 4 \alpha + 8 \cot 8 \alpha + \cot \alpha$
કારણ કે $\cot 2 \alpha - \tan 2 \alpha = 2 \cot 4 \alpha$,તેથી:
$S = -2(2 \cot 4 \alpha) + 4 \tan 4 \alpha + 8 \cot 8 \alpha + \cot \alpha$
$S = -4 \cot 4 \alpha + 4 \tan 4 \alpha + 8 \cot 8 \alpha + \cot \alpha$
$S = -4(\cot 4 \alpha - \tan 4 \alpha) + 8 \cot 8 \alpha + \cot \alpha$
કારણ કે $\cot 4 \alpha - \tan 4 \alpha = 2 \cot 8 \alpha$,તેથી:
$S = -4(2 \cot 8 \alpha) + 8 \cot 8 \alpha + \cot \alpha$
$S = -8 \cot 8 \alpha + 8 \cot 8 \alpha + \cot \alpha = \cot \alpha$.

(B) અમે નિત્યસમનો ઉપયોગ કરીએ છીએ: $\tan (60^{\circ}-A) \tan A \tan (60^{\circ}+A) = \tan 3A$.
આપેલ પદાવલિ: $E = \tan 6^{\circ} \tan 42^{\circ} \tan 66^{\circ} \tan 78^{\circ}$.
પદોને ફરીથી ગોઠવતા: $E = (\tan 6^{\circ} \tan 66^{\circ}) \times (\tan 42^{\circ} \tan 78^{\circ})$.
નિત્યસમ $\tan (60^{\circ}-A) \tan (60^{\circ}+A) = \frac{\tan 3A}{\tan A}$ નો ઉપયોગ કરતા:
પ્રથમ ભાગ માટે: $\tan 6^{\circ} \tan 66^{\circ} = \tan 6^{\circ} \tan (60^{\circ}+6^{\circ}) = \frac{\tan 18^{\circ}}{\tan 54^{\circ}}$.
બીજા ભાગ માટે: $\tan 42^{\circ} \tan 78^{\circ} = \tan (60^{\circ}-18^{\circ}) \tan (60^{\circ}+18^{\circ}) = \frac{\tan 54^{\circ}}{\tan 18^{\circ}}$.
આ બંનેનો ગુણાકાર કરતા: $E = \left( \frac{\tan 18^{\circ}}{\tan 54^{\circ}} \right) \times \left( \frac{\tan 54^{\circ}}{\tan 18^{\circ}} \right) = 1$.

(B) સરવાળા-ગુણાકારના સૂત્રોનો ઉપયોગ કરતા: $\cos A + \cos B = 2 \cos \left( \frac{A+B}{2} \right) \cos \left( \frac{A-B}{2} \right)$ અને $\sin A - \sin B = 2 \cos \left( \frac{A+B}{2} \right) \sin \left( \frac{A-B}{2} \right)$.
આ સૂત્રોનો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{\cos 10^{\circ} + \cos 80^{\circ}}{\sin 80^{\circ} - \sin 10^{\circ}} = \frac{2 \cos \left( \frac{80^{\circ} + 10^{\circ}}{2} \right) \cos \left( \frac{80^{\circ} - 10^{\circ}}{2} \right)}{2 \cos \left( \frac{80^{\circ} + 10^{\circ}}{2} \right) \sin \left( \frac{80^{\circ} - 10^{\circ}}{2} \right)}$
$= \frac{\cos 45^{\circ} \cos 35^{\circ}}{\cos 45^{\circ} \sin 35^{\circ}}$
$= \cot 35^{\circ} = \tan(90^{\circ} - 35^{\circ}) = \tan 55^{\circ}$.

(D) આપેલ છે કે $540^{\circ} < A < 630^{\circ}$,જે $3\pi < A < \frac{7\pi}{2}$ છે.
આ અંતરાલમાં,$A$ ત્રીજા ચરણમાં છે,તેથી $\cos A < 0$ અને $\tan A > 0$.
$|\cos A| = \frac{5}{13}$ અને $\cos A < 0$ હોવાથી,$\cos A = -\frac{5}{13}$ મળે.
$\tan A = \sqrt{\sec^2 A - 1}$ નો ઉપયોગ કરતા,$\tan A = \sqrt{(\frac{13}{5})^2 - 1} = \frac{12}{5}$ મળે.
$\tan \frac{A}{2}$ માટે,$\cos A = \frac{1 - \tan^2(A/2)}{1 + \tan^2(A/2)}$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$-\frac{5}{13} = \frac{1 - \tan^2(A/2)}{1 + \tan^2(A/2)}$ $\Rightarrow 8\tan^2(A/2) = 18$ $\Rightarrow \tan^2(A/2) = \frac{9}{4}$.
$270^{\circ} < \frac{A}{2} < 315^{\circ}$ હોવાથી,$\frac{A}{2}$ ચોથા ચરણમાં છે,તેથી $\tan \frac{A}{2} = -\frac{3}{2}$.
તેથી,$\tan \frac{A}{2} \tan A = (-\frac{3}{2}) \times (\frac{12}{5}) = -\frac{18}{5}$.

(A) આપેલ પદાવલિ: $\tan 81^{\circ} + \tan 9^{\circ} - \tan 63^{\circ} - \tan 27^{\circ}$ છે.
$\tan(90^{\circ}-\theta) = \cot \theta$ નો ઉપયોગ કરતા:
$= (\cot 9^{\circ} + \tan 9^{\circ}) - (\cot 27^{\circ} + \tan 27^{\circ})$.
$\cot \theta + \tan \theta = \frac{2}{\sin 2\theta}$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$= \frac{2}{\sin 18^{\circ}} - \frac{2}{\sin 54^{\circ}}$.
$= 2 \left( \frac{\sin 54^{\circ} - \sin 18^{\circ}}{\sin 54^{\circ} \sin 18^{\circ}} \right)$.
$\sin C - \sin D = 2 \cos \frac{C+D}{2} \sin \frac{C-D}{2}$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$= 2 \left( \frac{2 \cos 36^{\circ} \sin 18^{\circ}}{\sin 54^{\circ} \sin 18^{\circ}} \right) = 4 \frac{\cos 36^{\circ}}{\sin 54^{\circ}}$.
$\sin 54^{\circ} = \cos 36^{\circ}$ હોવાથી,જવાબ $4$ મળે છે.

(C) અમારી પાસે પદાવલિ $E = \cos 6^{\circ} \sin 24^{\circ} \cos 72^{\circ}$ છે.
કારણ કે $\cos 72^{\circ} = \sin 18^{\circ}$,આપણે લખી શકીએ $E = \cos 6^{\circ} \sin 24^{\circ} \sin 18^{\circ}$.
$2$ વડે ગુણતા અને ભાગતા: $E = \frac{1}{2} (2 \sin 24^{\circ} \cos 6^{\circ}) \sin 18^{\circ}$.
નિત્યસમ $2 \sin A \cos B = \sin(A+B) + \sin(A-B)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$E = \frac{1}{2} (\sin 30^{\circ} + \sin 18^{\circ}) \sin 18^{\circ}$.
$E = \frac{1}{2} (\frac{1}{2} \sin 18^{\circ} + \sin^2 18^{\circ})$.
આપેલ છે કે $\sin 18^{\circ} = \frac{\sqrt{5}-1}{4}$,તેથી $\sin^2 18^{\circ} = \frac{3-\sqrt{5}}{8}$.
આ કિંમતો મૂકતા:
$E = \frac{1}{2} (\frac{\sqrt{5}-1}{8} + \frac{3-\sqrt{5}}{8}) = \frac{1}{2} (\frac{2}{8}) = \frac{1}{8}$.

(A) ધારો કે $K = \sum_{k=1}^{7} \tan^2 \frac{k\pi}{16}$.
$\tan^2 \theta + \cot^2 \theta = \frac{8}{1 - \cos 4\theta} - 2$ ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા.
પદોને આ રીતે જૂથબદ્ધ કરીએ:
$K = (\tan^2 \frac{\pi}{16} + \cot^2 \frac{\pi}{16}) + (\tan^2 \frac{\pi}{8} + \cot^2 \frac{\pi}{8}) + (\tan^2 \frac{3\pi}{16} + \cot^2 \frac{3\pi}{16}) + 1$.
દરેક જૂથ માટે કિંમત શોધતા:
$\theta = \frac{\pi}{16}$ માટે,સરવાળો $= 14 + 8\sqrt{2}$.
$\theta = \frac{\pi}{8}$ માટે,સરવાળો $= 6$.
$\theta = \frac{3\pi}{16}$ માટે,સરવાળો $= 14 - 8\sqrt{2}$.
કુલ સરવાળો $K = (14 + 8\sqrt{2}) + 6 + (14 - 8\sqrt{2}) + 1 = 35$.

(A) $\sin(180^{\circ}-\theta) = \sin \theta$ નો ઉપયોગ કરતા,પદોને સાદું રૂપ આપતા સરવાળો $\frac{11}{2}$ મળે છે.

(C) ધારો કે $f(x) = 12 \sin x - 5 \cos x + 3$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $a \sin x + b \cos x$ સ્વરૂપના કોઈપણ પદ માટે,તેની રેન્જ $[-\sqrt{a^2 + b^2}, \sqrt{a^2 + b^2}]$ છે.
અહીં,$a = 12$ અને $b = -5$ છે.
તેથી,$\sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{12^2 + (-5)^2} = \sqrt{144 + 25} = \sqrt{169} = 13$.
આમ,$-13 \leq 12 \sin x - 5 \cos x \leq 13$.
બધા ભાગોમાં $3$ ઉમેરતા:
$-13 + 3 \leq 12 \sin x - 5 \cos x + 3 \leq 13 + 3$.
$-10 \leq f(x) \leq 16$.
તેથી,$f(x)$ ની મહત્તમ કિંમત $16$ છે.

(C) આપેલ છે,$\tan(\theta+100^{\circ})=\tan(\theta+50^{\circ}) \tan(\theta) \tan(\theta-50^{\circ})$.
સાદુરૂપ આપતા,$\frac{\sin(2\theta+50^{\circ})}{\sin(150^{\circ})} = \frac{\cos(50^{\circ})}{-\cos(2\theta+50^{\circ})}$.
$\Rightarrow \sin(4\theta+100^{\circ}) = -\cos(50^{\circ}) = \sin(220^{\circ})$.
$4\theta+100^{\circ} = 220^{\circ}$ $\Rightarrow 4\theta = 120^{\circ}$ $\Rightarrow \theta = 30^{\circ}$.

(B) આપણે જાણીએ છીએ કે $r_1 = \frac{\Delta}{s-a}$,$r_2 = \frac{\Delta}{s-b}$,અને $r_3 = \frac{\Delta}{s-c}$.
આપેલ છે $4r_1 = 5r_2 = 6r_3 = \lambda$.
તેથી $s-a = \frac{\lambda}{4}$,$s-b = \frac{\lambda}{5}$,અને $s-c = \frac{\lambda}{6}$.
સરવાળો કરતા: $(s-a) + (s-b) + (s-c) = 3s - (a+b+c) = 3s - 2s = s$.
તેથી,$s = \lambda(\frac{1}{4} + \frac{1}{5} + \frac{1}{6}) = \frac{37\lambda}{60}$.
તેથી $a = s - (s-a) = \frac{22\lambda}{60}$,$b = \frac{25\lambda}{60}$,$c = \frac{27\lambda}{60}$.
સૂત્ર $\sin^2 \frac{A}{2} = \frac{(s-b)(s-c)}{bc}$ વગેરેનો ઉપયોગ કરતા,સરવાળો $\frac{25}{33}$ મળે છે.

(A) આપણે જાણીએ છીએ કે $r = \frac{\Delta}{s}$,$r_1 = \frac{\Delta}{s-a}$,$r_2 = \frac{\Delta}{s-b}$,$r_3 = \frac{\Delta}{s-c}$,અને $\cot \frac{A}{2} = \frac{s(s-a)}{\Delta}$.
આ કિંમતોને પદાવલિમાં મૂકતા:
$r r_1 \cot \frac{A}{2} = \left(\frac{\Delta}{s}\right) \left(\frac{\Delta}{s-a}\right) \left(\frac{s(s-a)}{\Delta}\right) = \Delta$.
તે જ રીતે,$r r_2 \cot \frac{B}{2} = \Delta$ અને $r r_3 \cot \frac{C}{2} = \Delta$.
તેથી,સરવાળો $\Delta + \Delta + \Delta = 3 \Delta$ થાય.

(B) આપેલ છે કે $A, B, C$ એ ત્રિકોણના ખૂણાઓ છે,તેથી $A + B + C = \pi$.
નિત્યસમ $\sin 2A + \sin 2C = 2 \sin(A+C) \cos(A-C)$ નો ઉપયોગ કરતા.
$A+C = \pi - B$ હોવાથી,$\sin(A+C) = \sin(\pi - B) = \sin B$ મળે.
તેથી,$\sin 2A + \sin 2C = 2 \sin B \cos(A-C)$.
હવે,પદાવલિ:
$\sin 2A - \sin 2B + \sin 2C = (\sin 2A + \sin 2C) - \sin 2B$
$= 2 \sin B \cos(A-C) - 2 \sin B \cos B$
$= 2 \sin B [\cos(A-C) - \cos B]$
$B = \pi - (A+C)$ હોવાથી,$\cos B = \cos(\pi - (A+C)) = -\cos(A+C)$.
$= 2 \sin B [\cos(A-C) + \cos(A+C)]$
$\cos(A-C) + \cos(A+C) = 2 \cos A \cos C$ નો ઉપયોગ કરતા:
$= 2 \sin B [2 \cos A \cos C] = 4 \cos A \sin B \cos C$.

(B) આપેલ છે કે $A, B, C$ સમાંતર શ્રેણીમાં છે,તેથી $2B = A + C$. $A + B + C = 180^{\circ}$ હોવાથી,$3B = 180^{\circ}$,એટલે કે $B = 60^{\circ}$.
$B = 60^{\circ}$ ને સમીકરણમાં મૂકતા: $\cos A + \cos 60^{\circ} + \cos C = \frac{1 + \sqrt{2} + \sqrt{3}}{2 \sqrt{2}}$.
$\cos A + \cos C = \frac{1 + \sqrt{2} + \sqrt{3}}{2 \sqrt{2}} - \frac{1}{2} = \frac{1 + \sqrt{3}}{2 \sqrt{2}}$.
સરવાળાથી ગુણાકારના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $2 \cos \left( \frac{A+C}{2} \right) \cos \left( \frac{A-C}{2} \right) = \frac{1 + \sqrt{3}}{2 \sqrt{2}}$.
$A+C = 120^{\circ}$ હોવાથી,$\frac{A+C}{2} = 60^{\circ}$,તેથી $\cos \left( \frac{A-C}{2} \right) = \frac{1 + \sqrt{3}}{2 \sqrt{2}} = \cos 75^{\circ}$.
આમ,$\frac{A-C}{2} = 15^{\circ}$,એટલે કે $A-C = 30^{\circ}$.
$A+C = 120^{\circ}$ અને $A-C = 30^{\circ}$ ઉકેલતા $A = 75^{\circ}$ મળે.
છેલ્લે,$\tan A = \tan 75^{\circ} = 2 + \sqrt{3}$.

(B) આપેલ પદાવલિ: $\frac{\sin A+\sin B+\sin C}{\sin ^2 \frac{A}{2}-\sin ^2 \frac{B}{2}+\sin ^2 \frac{C}{2}-1}$
$\sin A + \sin B = 2 \sin \frac{A+B}{2} \cos \frac{A-B}{2}$ અને $\sin C = 2 \sin \frac{C}{2} \cos \frac{C}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા,અંશ $2 \cos \frac{C}{2} (\cos \frac{A-B}{2} + \sin \frac{C}{2})$ બને છે.
$A+B+C = \pi$ હોવાથી,$\sin \frac{C}{2} = \cos \frac{A+B}{2}$.
અંશ $= 2 \cos \frac{C}{2} (\cos \frac{A-B}{2} + \cos \frac{A+B}{2}) = 4 \cos \frac{A}{2} \cos \frac{B}{2} \cos \frac{C}{2}$.
છેદ માટે: $\sin ^2 \frac{A}{2} - \sin ^2 \frac{B}{2} + \sin ^2 \frac{C}{2} - 1 = \sin ^2 \frac{A}{2} - \sin ^2 \frac{B}{2} - \cos ^2 \frac{C}{2} = \sin(\frac{A-B}{2}) \sin(\frac{A+B}{2}) - \cos^2 \frac{C}{2}$.
$\sin(\frac{A+B}{2}) = \cos \frac{C}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા,છેદ $= \cos \frac{C}{2} (\sin \frac{A-B}{2} - \sin \frac{A+B}{2}) = \cos \frac{C}{2} (-2 \cos \frac{A}{2} \sin \frac{B}{2})$.
અંશને છેદ વડે ભાગતા: $\frac{4 \cos \frac{A}{2} \cos \frac{B}{2} \cos \frac{C}{2}}{-2 \cos \frac{A}{2} \sin \frac{B}{2} \cos \frac{C}{2}} = -2 \cot \frac{B}{2}$.

(A) આપણે જાણીએ છીએ કે નિત્યસમ $\cos \theta \cos 2\theta \cos 4\theta = \frac{\sin 8\theta}{8 \sin \theta}$ છે.
પ્રથમ,ગુણાકાર $P_1 = \cos \frac{\pi}{7} \cos \frac{2 \pi}{7} \cos \frac{4 \pi}{7}$ લો.
$\theta = \frac{\pi}{7}$ લેતા,$P_1 = \frac{\sin(8\pi/7)}{8 \sin(\pi/7)} = \frac{\sin(\pi + \pi/7)}{8 \sin(\pi/7)} = \frac{-\sin(\pi/7)}{8 \sin(\pi/7)} = -\frac{1}{8}$ મળે.
ત્યારબાદ,ગુણાકાર $P_2 = \cos \frac{\pi}{5} \cos \frac{2 \pi}{5}$ લો.
નિત્યસમ $\cos \theta \cos 2\theta = \frac{\sin 4\theta}{4 \sin \theta}$ નો ઉપયોગ કરતા,$P_2 = \frac{\sin(4\pi/5)}{4 \sin(\pi/5)} = \frac{\sin(\pi - \pi/5)}{4 \sin(\pi/5)} = \frac{\sin(\pi/5)}{4 \sin(\pi/5)} = \frac{1}{4}$ મળે.
તેથી,કુલ પદાવલિ $4 \times P_1 \times P_2 = 4 \times (-\frac{1}{8}) \times (\frac{1}{4}) = -\frac{1}{8}$ થાય.

(A) આપેલ સમીકરણ $a \cos x + a \sin x + a = 2K + 1$ છે.
આપણે પદાવલિને $a(\cos x + \sin x) + a = 2K + 1$ તરીકે લખી શકીએ.
નિત્યસમ $\cos x + \sin x = \sqrt{2} \cos(x - \frac{\pi}{4})$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $a[\sqrt{2} \cos(x - \frac{\pi}{4}) + 1] = 2K + 1$ મળે છે.
કારણ કે $-1 \leq \cos(x - \frac{\pi}{4}) \leq 1$,તેથી $\sqrt{2} \cos(x - \frac{\pi}{4}) + 1$ નો વિસ્તાર $[1 - \sqrt{2}, 1 + \sqrt{2}]$ છે.
$a$ વડે ગુણતા ($a > 0$ ધારીને),આપણને $a(1 - \sqrt{2}) \leq 2K + 1 \leq a(1 + \sqrt{2})$ મળે છે.
$K$ માટે ઉકેલતા: $a - a\sqrt{2} - 1 \leq 2K \leq a + a\sqrt{2} - 1$.
આમ,$K \in \left[\frac{a - a\sqrt{2} - 1}{2}, \frac{a + a\sqrt{2} - 1}{2}\right]$.
આ વિકલ્પ $A$ સાથે સુસંગત છે.

(C) આપેલ સમીકરણ: $\sin x + \sin 5x + 3 \sin 3x = 0$
સૂત્ર $\sin A + \sin B = 2 \sin(\frac{A+B}{2}) \cos(\frac{A-B}{2})$ નો ઉપયોગ કરતા:
$2 \sin 3x \cos 2x + 3 \sin 3x = 0$
$\sin 3x (2 \cos 2x + 3) = 0$
કારણ કે $2 \cos 2x + 3 = 0$ નો અર્થ છે $\cos 2x = -\frac{3}{2}$,જે અશક્ય છે કારણ કે $-1 \le \cos 2x \le 1$,તેથી $\sin 3x = 0$ હોવું જોઈએ.
આમ,$3x = n\pi$,અથવા $x = \frac{n\pi}{3}$ જ્યાં $n \in \mathbb{Z}$.
$\sin x$ માટેના મૂલ્યોનો ગણ $\{\sin(0), \sin(\frac{\pi}{3}), \sin(\frac{2\pi}{3}), \sin(\pi), \sin(\frac{4\pi}{3}), \sin(\frac{5\pi}{3})\}$ છે.
આની ગણતરી કરતા: $\{0, \frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0, -\frac{\sqrt{3}}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}\}$.
અલગ મૂલ્યોનો ગણ $\{0, \frac{\sqrt{3}}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}\}$ છે.

(C) આપેલ સમીકરણ: $4 \cos 2x - 4 \sqrt{3} \sin 2x + \cos 3x - \sqrt{3} \sin 3x + \cos x - \sqrt{3} \sin x = 0$
પદોને જૂથબદ્ધ કરતા: $4(\cos 2x - \sqrt{3} \sin 2x) + (\cos 3x + \cos x) - \sqrt{3}(\sin 3x + \sin x) = 0$
સરવાળા-ગુણાકારના સૂત્રોનો ઉપયોગ કરતા: $4(\cos 2x - \sqrt{3} \sin 2x) + 2 \cos 2x \cos x - 2 \sqrt{3} \sin 2x \cos x = 0$
સામાન્ય પદો બહાર કાઢતા: $2(\cos 2x - \sqrt{3} \sin 2x)(2 + \cos x) = 0$
કારણ કે $2 + \cos x \neq 0$ તમામ વાસ્તવિક $x$ માટે,તેથી $\cos 2x - \sqrt{3} \sin 2x = 0$
$\Rightarrow \cos 2x = \sqrt{3} \sin 2x$ $\Rightarrow \tan 2x = \frac{1}{\sqrt{3}}$
$\Rightarrow 2x = n \pi + \frac{\pi}{6}$
$\Rightarrow x = \frac{n \pi}{2} + \frac{\pi}{12}$

(A) આપેલ સમીકરણ: $2 \cos^2 x - 2 \tan x + 1 = 0$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $2 \cos^2 x = 1 + \cos 2x$.
આ કિંમત મૂકતા,$1 + \cos 2x - 2 \tan x + 1 = 0$,જે $\cos 2x - 2 \tan x + 2 = 0$ માં પરિણમે છે.
$\cos 2x = \frac{1 - \tan^2 x}{1 + \tan^2 x}$ નો ઉપયોગ કરતા,$\frac{1 - \tan^2 x}{1 + \tan^2 x} - 2(\tan x - 1) = 0$.
$(\tan x - 1)$ સામાન્ય લેતા,$(\tan x - 1) [\frac{1 + \tan x}{1 + \tan^2 x} + 2] = 0$.
કિસ્સો $1$: $\tan x - 1 = 0$ $\Rightarrow \tan x = 1$ $\Rightarrow x = n \pi + \frac{\pi}{4}$.
કિસ્સો $2$: $2 \tan^2 x + \tan x + 3 = 0$.
અહીં વિવેચક $D = 1^2 - 4(2)(3) = -23 < 0$ હોવાથી,આ કિસ્સામાં કોઈ વાસ્તવિક ઉકેલ નથી.
તેથી,વ્યાપક ઉકેલ $x = n \pi + \frac{\pi}{4}, n \in \mathbb{Z}$ છે.

(B) આપેલ સમીકરણ: $\cot \frac{x}{2} - \cot x = \operatorname{cosec} \frac{x}{2}$
$\cot \theta = \frac{\cos \theta}{\sin \theta}$ અને $\operatorname{cosec} \theta = \frac{1}{\sin \theta}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{\cos(x/2)}{\sin(x/2)} - \frac{\cos x}{\sin x} = \frac{1}{\sin(x/2)}$
$\sin(x/2)$ વડે ગુણતા (ધારો કે $\sin(x/2) \neq 0$):
$\cos(x/2) - \frac{\cos x \cdot \sin(x/2)}{\sin x} = 1$
$\cos(x/2) - \frac{\cos x \cdot \sin(x/2)}{2 \sin(x/2) \cos(x/2)} = 1$
$\cos(x/2) - \frac{\cos x}{2 \cos(x/2)} = 1$
$2 \cos^2(x/2) - \cos x = 2 \cos(x/2)$
$2 \cos^2(x/2) = 1 + \cos x$ હોવાથી:
$1 + \cos x - \cos x = 2 \cos(x/2)$
$1 = 2 \cos(x/2) \Rightarrow \cos(x/2) = \frac{1}{2}$
$\cos(x/2) = \cos(\frac{\pi}{3})$
$\frac{x}{2} = 2n\pi \pm \frac{\pi}{3}$
$x = 4n\pi \pm \frac{2\pi}{3}, n \in Z$

(D) આપેલ શ્રેણી એ અનંત ગુણોત્તર શ્રેણી છે જેમાં પ્રથમ પદ $a=1$ અને સામાન્ય ગુણોત્તર $r=\sin x$ છે.
સરવાળો $4+2 \sqrt{3}$ હોવાથી,$\frac{1}{1-\sin x} = 4+2 \sqrt{3}$ મળે.
વ્યસ્ત લેતા,$1-\sin x = \frac{1}{4+2 \sqrt{3}}$ મળે.
છેદનું સંમેયીકરણ કરતા: $1-\sin x = \frac{4-2 \sqrt{3}}{16-12} = \frac{4-2 \sqrt{3}}{4} = 1 - \frac{\sqrt{3}}{2}$.
આમ,$\sin x = \frac{\sqrt{3}}{2}$ મળે.
$0 < x < \pi$ માટે,$\sin x = \frac{\sqrt{3}}{2}$ નું સમાધાન કરતા $x$ ના મૂલ્યો $x = \frac{\pi}{3}$ અને $x = \frac{2 \pi}{3}$ છે.

(D) આપેલ સમીકરણો $\sin x + \sin y = \sin(x + y)$ અને $|x| + |y| = 1$ છે.
સરવાળાથી ગુણાકારના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $2 \sin \frac{x+y}{2} \cos \frac{x-y}{2} = 2 \sin \frac{x+y}{2} \cos \frac{x+y}{2}$.
આથી $\sin \frac{x+y}{2} [\cos \frac{x-y}{2} - \cos \frac{x+y}{2}] = 0$ મળે.
$\cos A - \cos B = -2 \sin \frac{A+B}{2} \sin \frac{A-B}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા,$\sin \frac{x+y}{2} [2 \sin \frac{x}{2} \sin \frac{y}{2}] = 0$ મળે.
તેથી,$\sin \frac{x+y}{2} = 0$ અથવા $\sin \frac{x}{2} = 0$ અથવા $\sin \frac{y}{2} = 0$.
આનાથી $x + y = 0$ અથવા $x = 0$ અથવા $y = 0$ મળે છે.
કિસ્સો $1$: જો $x + y = 0$,તો $|x| + |-x| = 1$ $\Rightarrow 2|x| = 1$ $\Rightarrow x = \pm \frac{1}{2}$. જોડીઓ: $(\frac{1}{2}, -\frac{1}{2}), (-\frac{1}{2}, \frac{1}{2})$.
કિસ્સો $2$: જો $x = 0$,તો $|0| + |y| = 1$ $\Rightarrow |y| = 1$ $\Rightarrow y = \pm 1$. જોડીઓ: $(0, 1), (0, -1)$.
કિસ્સો $3$: જો $y = 0$,તો $|x| + |0| = 1$ $\Rightarrow |x| = 1$ $\Rightarrow x = \pm 1$. જોડીઓ: $(1, 0), (-1, 0)$.
કુલ અલગ ક્રમયુક્ત જોડીઓની સંખ્યા $2 + 2 + 2 = 6$ છે.

(B) આપેલ સમીકરણ: $\sin^2 \theta + 3 \cos^2 \theta = 5 \sin \theta$
$\cos^2 \theta = 1 - \sin^2 \theta$ મૂકતા:
$\sin^2 \theta + 3(1 - \sin^2 \theta) = 5 \sin \theta$
$\sin^2 \theta + 3 - 3 \sin^2 \theta = 5 \sin \theta$
$-2 \sin^2 \theta - 5 \sin \theta + 3 = 0$
$2 \sin^2 \theta + 5 \sin \theta - 3 = 0$
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા:
$(2 \sin \theta - 1)(\sin \theta + 3) = 0$
તેથી $\sin \theta = \frac{1}{2}$ અથવા $\sin \theta = -3$ મળે.
$\sin \theta = -3$ શક્ય નથી,તેથી $\sin \theta = \frac{1}{2} = \sin \frac{\pi}{6}$
માટે વ્યાપક ઉકેલ $\theta = n \pi + (-1)^n \frac{\pi}{6}, n \in Z$ થાય.

(A) આપેલ છે કે $P+Q+R=\frac{\pi}{4}$.
ત્રિકોણમિતિના સરવાળાના સૂત્રોનો ઉપયોગ કરતા,પરિણામ $4 \cos \frac{P}{2} \cos \frac{Q}{2} \cos \frac{R}{2}-\cos \frac{\pi}{8}$ મળે છે.

(C) આપેલ સમીકરણ: $2 \tan 2 \theta - \cot 2 \theta + 1 = 0$.
ધારો કે $x = \tan 2 \theta$. તો $\cot 2 \theta = \frac{1}{x}$.
સમીકરણ $2x - \frac{1}{x} + 1 = 0$ બને છે,જેનું સાદું રૂપ $2x^2 + x - 1 = 0$ થાય છે.
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા: $(2x - 1)(x + 1) = 0$,તેથી $x = \frac{1}{2}$ અથવા $x = -1$.
કિસ્સો $1$: $\tan 2 \theta = -1$.
$2 \theta = n \pi - \frac{\pi}{4} \Rightarrow \theta = \frac{n \pi}{2} - \frac{\pi}{8}$.
$\theta \in [0, \pi]$ માટે,શક્ય કિંમતો $\theta = \frac{3 \pi}{8}$ $(n=1)$ અને $\theta = \frac{7 \pi}{8}$ $(n=2)$ છે.
કિસ્સો $2$: $\tan 2 \theta = \frac{1}{2}$.
$2 \theta = n \pi + \tan^{-1}(\frac{1}{2}) \Rightarrow \theta = \frac{n \pi}{2} + \frac{1}{2} \tan^{-1}(\frac{1}{2})$.
$\theta \in [0, \pi]$ માટે,શક્ય કિંમતો $\theta = \frac{1}{2} \tan^{-1}(\frac{1}{2})$ $(n=0)$ અને $\theta = \frac{\pi}{2} + \frac{1}{2} \tan^{-1}(\frac{1}{2})$ $(n=1)$ છે.
આમ,અંતરાલ $[0, \pi]$ માં કુલ $2 + 2 = 4$ ઉકેલો મળે છે.

(A) આપેલ સમીકરણ: $\tan x + \tan 2x - \tan 3x = 0$
આપણે જાણીએ છીએ કે $\tan 3x = \tan(x + 2x) = \frac{\tan x + \tan 2x}{1 - \tan x \tan 2x}$
તેથી,$\tan x + \tan 2x = \tan 3x(1 - \tan x \tan 2x)$
$\tan x + \tan 2x = \tan 3x - \tan x \tan 2x \tan 3x$
$\tan x + \tan 2x - \tan 3x = -\tan x \tan 2x \tan 3x$
આપેલ સમીકરણ $\tan x + \tan 2x - \tan 3x = 0$ હોવાથી:
$-\tan x \tan 2x \tan 3x = 0$
આનો અર્થ એ છે કે $\tan x = 0$ અથવા $\tan 2x = 0$ અથવા $\tan 3x = 0$
$\tan x = 0$ માટે,$x = n\pi$
$\tan 2x = 0$ માટે,$2x = n\pi \Rightarrow x = \frac{n\pi}{2}$
$\tan 3x = 0$ માટે,$3x = n\pi \Rightarrow x = \frac{n\pi}{3}$
આ બધાને જોડતા,ઉકેલનો ગણ $\left\{x \mid x = \frac{n\pi}{3}, n \in Z\right\}$ મળે છે.

(D) આપેલ છે $\tanh x = \frac{3}{5}$ $\Rightarrow \frac{e^x - e^{-x}}{e^x + e^{-x}} = \frac{3}{5}$ $\Rightarrow \frac{e^{2x} - 1}{e^{2x} + 1} = \frac{3}{5}$.
$5e^{2x} - 5 = 3e^{2x} + 3$ $\Rightarrow 2e^{2x} = 8$ $\Rightarrow e^{2x} = 4$ $\Rightarrow e^x = 2$.
આપેલ છે $\operatorname{sech} y = \frac{3}{5}$ $\Rightarrow \frac{2}{e^y + e^{-y}} = \frac{3}{5}$ $\Rightarrow \frac{2e^y}{e^{2y} + 1} = \frac{3}{5}$.
$10e^y = 3e^{2y} + 3 \Rightarrow 3(e^y)^2 - 10e^y + 3 = 0$.
ધારો કે $t = e^y$,તો $3t^2 - 10t + 3 = 0$ $\Rightarrow (3t - 1)(t - 3) = 0$ $\Rightarrow t = 3$ અથવા $t = \frac{1}{3}$.
કારણ કે $e^{x+y} = e^x \cdot e^y$,તેથી $e^{x+y} = 2 \times 3 = 6$ અથવા $e^{x+y} = 2 \times \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$.
કારણ કે $e^{x+y}$ એક પૂર્ણાંક છે,તેથી $e^{x+y} = 6$.

(A) આપેલ છે: $\cos \alpha+4 \cos \beta+9 \cos \gamma=0$ અને $\sin \alpha+4 \sin \beta+9 \sin \gamma=0$.
ધારો કે $z_1 = e^{i\alpha}$,$z_2 = e^{i\beta}$,$z_3 = e^{i\gamma}$.
સમીકરણોને $z_1 + 4z_2 + 9z_3 = 0$ તરીકે લખી શકાય.
તેથી,$4z_2 = -(z_1 + 9z_3)$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $16|z_2|^2 = |z_1 + 9z_3|^2 = |z_1|^2 + 81|z_3|^2 + 18 \text{Re}(z_1 \bar{z_3})$.
$|z_1|=|z_2|=|z_3|=1$ હોવાથી,$16 = 1 + 81 + 18 \cos(\alpha - \gamma)$ $\Rightarrow 18 \cos(\alpha - \gamma) = -66$ $\Rightarrow \cos(\alpha - \gamma) = -\frac{11}{3}$.
તે જ રીતે,$9z_3 = -(z_1 + 4z_2)$ $\Rightarrow 81 = 1 + 16 + 8 \cos(\alpha - \beta)$ $\Rightarrow 8 \cos(\alpha - \beta) = 64$ $\Rightarrow \cos(\alpha - \beta) = 8$.
હવે,$81 \cos(2\gamma - 2\alpha) = 81(2 \cos^2(\gamma - \alpha) - 1) = 81(2(-\frac{11}{3})^2 - 1) = 2097$.
અને $16 \cos(2\beta - 2\alpha) = 16(2 \cos^2(\beta - \alpha) - 1) = 16(2(8)^2 - 1) = 2032$.
તેથી,$2097 - 2032 = 65$.
વિકલ્પો તપાસતા: $1 + 8 \cos(\beta - \alpha) = 1 + 8(8) = 65$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(A) આપેલ સમીકરણ $8^{1+\cos ^2 x+\cos ^4 x+\ldots}=4^3$ છે.
ઘાતાંક એ અનંત ગુણોત્તર શ્રેણી છે જેમાં પ્રથમ પદ $a=1$ અને સામાન્ય ગુણોત્તર $r=\cos^2 x$ છે,જ્યાં $|\cos^2 x| < 1$,તેથી સરવાળો $\frac{1}{1-\cos^2 x} = \frac{1}{\sin^2 x}$ થાય.
સમીકરણમાં કિંમત મૂકતા: $8^{\frac{1}{\sin^2 x}} = 4^3$.
બંને બાજુ આધાર $2$ લેતા: $(2^3)^{\frac{1}{\sin^2 x}} = (2^2)^3$.
$2^{\frac{3}{\sin^2 x}} = 2^6$.
ઘાતાંકોને સરખાવતા: $\frac{3}{\sin^2 x} = 6$.
$\sin^2 x = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$.
વર્ગમૂળ લેતા: $\sin x = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}$.
$x \in (-\pi, \pi)$ માટે,ઉકેલો $x = \pm \frac{\pi}{4}, \pm \frac{3\pi}{4}$ છે.

(C) આપેલ છે કે $H$ એ $\triangle ABC$ નું લંબકેન્દ્ર છે અને $AH=x, BH=y, CH=z$ છે.
કોઈપણ ત્રિકોણમાં,લંબકેન્દ્રથી શિરોબિંદુઓનું અંતર $AH=2R \cos A$,$BH=2R \cos B$,અને $CH=2R \cos C$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $R$ એ પરિત્રિજ્યા છે.
તેથી,$x=2R \cos A, y=2R \cos B, z=2R \cos C$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $a=2R \sin A, b=2R \sin B, c=2R \sin C$.
તેથી,$\frac{a}{x} = \frac{2R \sin A}{2R \cos A} = \tan A$.
તે જ રીતે,$\frac{b}{y} = \tan B$ અને $\frac{c}{z} = \tan C$.
આપણે $\frac{abc}{xyz} = \frac{a}{x} \cdot \frac{b}{y} \cdot \frac{c}{z} = \tan A \tan B \tan C$ શોધી રહ્યા છીએ.
કોઈપણ ત્રિકોણમાં,$\tan A + \tan B + \tan C = \tan A \tan B \tan C$.
તેથી,$\frac{abc}{xyz} = \tan A + \tan B + \tan C = \frac{a}{x} + \frac{b}{y} + \frac{c}{z}$.

(B) આપેલ રેખાઓની જોડી $23x^2 - 48xy + 3y^2 = 0$ છે.
રેખાઓની જોડી $ax^2 + 2hxy + by^2 = 0$ અને રેખા $lx + my + n = 0$ દ્વારા બનતા ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ શોધવાનું સૂત્ર:
$\text{Area} = \frac{n^2 \sqrt{h^2 - ab}}{|am^2 - 2hlm + bl^2|}$
અહીં,$a = 23$,$h = -24$,$b = 3$,$l = 2$,$m = 3$,અને $n = 5$ છે.
પ્રથમ,$\sqrt{h^2 - ab} = \sqrt{(-24)^2 - (23)(3)} = \sqrt{576 - 69} = \sqrt{507} = 13 \sqrt{3}$ ગણો.
ત્યારબાદ,છેદ $|am^2 - 2hlm + bl^2| = |23(3)^2 - 2(-24)(2)(3) + 3(2)^2| = |207 + 288 + 12| = 507$ ગણો.
હવે,કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
$\text{Area} = \frac{25 \times 13 \sqrt{3}}{507} = \frac{25}{13 \sqrt{3}} \text{ ચોરસ એકમ}$.

(C) પગલું $1$: અક્ષોનું સ્થળાંતર.
આપેલ મૂળ બિંદુ $(x, y) = (-1, 2)$ અને નવું ઉગમબિંદુ $(h, k) = (2, -1)$.
નવા યામ $(a, b) = (x - h, y - k) = (-1 - 2, 2 - (-1)) = (-3, 3)$.
પગલું $2$: અક્ષોનું પરિભ્રમણ.
અક્ષોને $\theta = 45^{\circ}$ ના ખૂણે ફેરવતા,નવા યામ $(c, d)$:
$c = a \cos 45^{\circ} + b \sin 45^{\circ} = -3(\frac{1}{\sqrt{2}}) + 3(\frac{1}{\sqrt{2}}) = 0$.
$d = -a \sin 45^{\circ} + b \cos 45^{\circ} = 3(\frac{1}{\sqrt{2}}) + 3(\frac{1}{\sqrt{2}}) = 3\sqrt{2}$.
તેથી,$(c, d) = (0, 3\sqrt{2})$.
પગલું $3$: $y = x$ પર પ્રતિબિંબ.
બિંદુ $(x, y)$ નું $y = x$ પર પ્રતિબિંબ $(y, x)$ થાય છે.
તેથી,$(0, 3\sqrt{2})$ નું પ્રતિબિંબ $(3\sqrt{2}, 0)$ થાય.
આમ,$(e, f) = (3\sqrt{2}, 0)$.

(D) આપેલ રેખાઓની જોડી $6 x^2+13 x y+6 y^2=0$ છે.
અવયવ પાડતા: $(3 x+2 y)(2 x+3 y)=0$.
તેથી,બે રેખાઓ $L_1: 3 x+2 y=0$ અને $L_2: 2 x+3 y=0$ છે.
ત્રીજી રેખા $L_3: x+2 y+3=0$ છે.
શિરોબિંદુઓ શોધતા:
$1$) $L_1$ અને $L_2$: $(0, 0)$.
$2$) $L_1$ અને $L_3$: $(\frac{3}{2}, -\frac{9}{4})$.
$3$) $L_2$ અને $L_3$: $(9, -6)$.
ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} |x_1(y_2-y_3)+x_2(y_3-y_1)+x_3(y_1-y_2)| = \frac{45}{8}$ ચોરસ એકમ.

(B) આપેલ સમીકરણ: $x^2-y^2+2y-1=0$.
ધારો કે ઉગમબિંદુ $(0, k)$ પર સ્થાનાંતરિત થાય છે જેથી $x=X$ અને $y=Y+k$.
સમીકરણમાં કિંમતો મૂકતા:
$X^2-(Y+k)^2+2(Y+k)-1=0$
$X^2-(Y^2+2kY+k^2)+2Y+2k-1=0$
$X^2-Y^2+Y(2-2k)-k^2+2k-1=0$.
$Y$-પદ દૂર કરવા માટે,$Y$ નો સહગુણક શૂન્ય લેતા:
$2-2k=0 \Rightarrow k=1$.
$k=1$ ની કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા:
$X^2-Y^2-(1)^2+2(1)-1=0$
$X^2-Y^2-1+2-1=0$
$X^2-Y^2=0$.
આમ,રૂપાંતરિત સમીકરણ $x^2-y^2=0$ છે.

(D) આપેલ સમીકરણ: $2x^2 - 3y^2 + 4xy + 4x + 4y - 14 = 0$.
ધારો કે ઉગમબિંદુ $(h, k)$ પર સ્થાનાંતરિત થાય છે,તેથી $x = X + h$ અને $y = Y + k$.
આ કિંમતો સમીકરણમાં મૂકતા: $2(X+h)^2 - 3(Y+k)^2 + 4(X+h)(Y+k) + 4(X+h) + 4(Y+k) - 14 = 0$.
પદોનું વિસ્તરણ કરતા: $2X^2 - 3Y^2 + 4XY + (4h + 4k + 4)X + (4h - 6k + 4)Y + (2h^2 - 3k^2 + 4hk + 4h + 4k - 14) = 0$.
પ્રથમ ઘાતના પદો દૂર કરવા માટે,$X$ અને $Y$ ના સહગુણકોને શૂન્ય લેતા:
$4h + 4k + 4 = 0 \Rightarrow h + k = -1$
$4h - 6k + 4 = 0 \Rightarrow 2h - 3k = -2$
આ સમીકરણો ઉકેલતા: $h = -1, k = 0$.
આમ,રૂપાંતરણ $x = X - 1$ અને $y = Y$ છે.
હવે,આ કિંમતો $x^2 + y^2 - 3xy + 4y + 3 = 0$ માં મૂકતા:
$(X - 1)^2 + Y^2 - 3(X - 1)Y + 4Y + 3 = 0$
$X^2 - 2X + 1 + Y^2 - 3XY + 3Y + 4Y + 3 = 0$
$X^2 + Y^2 - 3XY - 2X + 7Y + 4 = 0$.

(B) આપેલ રેખાઓ:
$x+y+2=0 \quad \dots(i)$
$2x+y+8=0 \quad \dots(ii)$
$x-y-2=0 \quad \dots(iii)$
$(i)$ અને $(ii)$ ઉકેલતા:
$x=-6, y=4$. તેથી શિરોબિંદુ $(-6, 4)$ છે.
$(i)$ અને $(iii)$ ઉકેલતા:
$x=0, y=-2$. તેથી શિરોબિંદુ $(0, -2)$ છે.
$(ii)$ અને $(iii)$ ઉકેલતા:
$x=-2, y=-4$. તેથી શિરોબિંદુ $(-2, -4)$ છે.
ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ $A(-6, 4), B(0, -2), C(-2, -4)$ છે.
$AB$ નો ઢાળ $= -1$ અને $BC$ નો ઢાળ $= 1$ હોવાથી,ત્રિકોણ $B$ આગળ કાટકોણ છે.
કાટકોણ ત્રિકોણનું પરિકેન્દ્ર કર્ણ $AC$ નું મધ્યબિંદુ થાય.
પરિકેન્દ્ર $= \left(\frac{-6-2}{2}, \frac{4-4}{2}\right) = (-4, 0)$.

(D) ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ $O(0,0,0)$,$A(3,0,0)$,અને $B(0,4,0)$ છે.
ધારો કે બાજુઓની લંબાઈ $a, b, c$ છે જે અનુક્રમે શિરોબિંદુઓ $A, B, O$ ની સામે છે.
$a = |\overrightarrow{AB}| = \sqrt{(0-3)^2 + (4-0)^2 + (0-0)^2} = 5$.
$b = |\overrightarrow{OB}| = 4$.
$c = |\overrightarrow{OA}| = 3$.
અંતઃકેન્દ્ર $I$ ના યામ $\left( \frac{ax_1 + bx_2 + cx_3}{a+b+c}, \frac{ay_1 + by_2 + cy_3}{a+b+c}, \frac{az_1 + bz_2 + cz_3}{a+b+c} \right)$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા: $I = \left( \frac{5(0) + 4(3) + 3(0)}{5+4+3}, \frac{5(0) + 4(0) + 3(4)}{5+4+3}, \frac{5(0) + 4(0) + 3(0)}{5+4+3} \right)$.
$I = \left( \frac{12}{12}, \frac{12}{12}, \frac{0}{12} \right) = (1, 1, 0)$.

(B) ધારો કે ખૂણાઓ $3x, 2x, x$ છે.
ત્રિકોણના ખૂણાઓનો સરવાળો $180^{\circ}$ હોવાથી,$3x + 2x + x = 180^{\circ}$.
$6x = 180^{\circ} \Rightarrow x = 30^{\circ}$.
આમ,ખૂણાઓ $A = 90^{\circ}, B = 60^{\circ}, C = 30^{\circ}$ છે.
સાઇન નિયમનો ઉપયોગ કરતા,બાજુઓનો ગુણોત્તર $a: b: c = \sin A: \sin B: \sin C$ થાય.
$a: b: c = \sin 90^{\circ}: \sin 60^{\circ}: \sin 30^{\circ}$.
$a: b: c = 1: \frac{\sqrt{3}}{2}: \frac{1}{2}$.
$2$ વડે ગુણતા,$a: b: c = 2: \sqrt{3}: 1$ મળે.

(D) ધારો કે બાજુઓ $a=BC=5$,$b=CA=6$,અને $c=AB=7$ છે.
શિરોબિંદુ $B$ માંથી બાજુ $AC$ પર દોરેલી મધ્યગા $m_b$ ની લંબાઈનું સૂત્ર:
$m_b = \sqrt{\frac{2a^2 + 2c^2 - b^2}{4}}$
કિંમતો મૂકતા:
$m_b = \sqrt{\frac{2(5)^2 + 2(7)^2 - (6)^2}{4}}$
$m_b = \sqrt{\frac{2(25) + 2(49) - 36}{4}}$
$m_b = \sqrt{\frac{50 + 98 - 36}{4}}$
$m_b = \sqrt{\frac{112}{4}}$
$m_b = \sqrt{28} = 2 \sqrt{7}$

(B) ધારો કે બાજુઓ $c = 6k$,$a = 4k$,અને $b = 5k$ છે.
અર્ધ-પરિમિતિ $s = \frac{6k + 4k + 5k}{2} = \frac{15k}{2}$.
હેરોનના સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને,ક્ષેત્રફળ $\Delta = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} = \sqrt{\frac{15k}{2} \times \frac{7k}{2} \times \frac{5k}{2} \times \frac{3k}{2}} = \frac{15\sqrt{7}k^2}{4}$.
પરિવૃત ત્રિજ્યા $R = \frac{abc}{4\Delta} = \frac{8k}{\sqrt{7}}$.
અંતઃવૃત ત્રિજ્યા $r = \frac{\Delta}{s} = \frac{\sqrt{7}k}{2}$.
તેથી,$\frac{R}{r} = \frac{16}{7}$.

(A) ધારો કે શિરોબિંદુઓ $A(2,2)$,$B(5,1)$,અને $C(4,4)$ છે.
લંબકેન્દ્ર શોધવા માટે,આપણે બે વેધના સમીકરણો શોધીશું.
$BC$ નો ઢાળ $= \frac{4-1}{4-5} = \frac{3}{-1} = -3$.
$A(2,2)$ માંથી $BC$ પરના વેધનો ઢાળ $m_1 = -\frac{1}{-3} = \frac{1}{3}$ છે.
$A$ માંથી વેધનું સમીકરણ: $y-2 = \frac{1}{3}(x-2)$ $\Rightarrow 3y-6 = x-2$ $\Rightarrow x-3y = -4 \quad \dots(i)$.
$AC$ નો ઢાળ $= \frac{4-2}{4-2} = \frac{2}{2} = 1$.
$B(5,1)$ માંથી $AC$ પરના વેધનો ઢાળ $m_2 = -\frac{1}{1} = -1$ છે.
$B$ માંથી વેધનું સમીકરણ: $y-1 = -1(x-5)$ $\Rightarrow y-1 = -x+5$ $\Rightarrow x+y = 6 \quad \dots(ii)$.
$(i)$ અને $(ii)$ ને $3$ વડે ગુણીને સરવાળો કરતા: $(x-3y) + 3(x+y) = -4 + 18$ $\Rightarrow 4x = 14$ $\Rightarrow x = \frac{7}{2}$.
$x = \frac{7}{2}$ ને $(ii)$ માં મૂકતા: $\frac{7}{2} + y = 6 \Rightarrow y = 6 - \frac{7}{2} = \frac{5}{2}$.
આમ,લંબકેન્દ્ર $(\alpha, \beta) = (\frac{7}{2}, \frac{5}{2})$.
તેથી,$\alpha+\beta = \frac{7}{2} + \frac{5}{2} = \frac{12}{2} = 6$.

(A) આપેલ સમીકરણો $3x + y + 15 = 0$ $(i)$ અને $3x^2 + 12xy - 13y^2 = 0$ (ii) છે.
સમીકરણ (ii) ઉગમબિંદુ $(0, 0)$ માંથી પસાર થતી રેખાઓની જોડી દર્શાવે છે.
ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ શોધવા માટેનું સૂત્ર $\frac{n^2 \sqrt{h^2 - ab}}{|am^2 - 2hlm + bl^2|}$ છે.
અહીં $a = 3, h = 6, b = -13, l = 3, m = 1, n = 15$ લેતા,
ક્ષેત્રફળ $= \frac{15^2 \sqrt{6^2 - 3(-13)}}{|3(1)^2 - 2(6)(3)(1) + (-13)(3)^2|} = \frac{225 \sqrt{75}}{150} = \frac{15\sqrt{3}}{2}$.

(A) આપેલ સમીકરણ: $3x^2+2xy+3y^2-18x-22y+50=0$.
ઉગમબિંદુને $(2,3)$ પર ખસેડતા,$x=X+2, y=Y+3$ મૂકતા:
$3(X+2)^2+2(X+2)(Y+3)+3(Y+3)^2-18(X+2)-22(Y+3)+50=0$.
સાદુરૂપ આપતા,$3X^2+2XY+3Y^2-1=0$ મળે છે.
હવે,અક્ષોને $\theta$ ખૂણે ફેરવતા,$X=x'\cos\theta-y'\sin\theta$ અને $Y=x'\sin\theta+y'\cos\theta$ મૂકતા:
$(3+\sin 2\theta)x'^2 + (3-\sin 2\theta)y'^2 + (2\cos 2\theta)x'y' - 1 = 0$.
$4x^2+2y^2-1=0$ સાથે સરખાવતા,$x'y'$ નો સહગુણક $0$ હોવો જોઈએ:
$2\cos 2\theta = 0$ $\Rightarrow 2\theta = \frac{\pi}{2}$ $\Rightarrow \theta = \frac{\pi}{4}$.

(A) ધારો કે ત્રિકોણ $\triangle ABC$ છે જેનો કાટખૂણો ઉગમબિંદુ $A(0, 0)$ પર છે. ત્રિકોણનો પાયો રેખા $2x + 3y = 6$ પર છે.
ઉગમબિંદુથી રેખા $2x + 3y - 6 = 0$ પરના લંબનું અંતર $p$ નીચે મુજબ છે:
$p = \frac{|2(0) + 3(0) - 6|}{\sqrt{2^2 + 3^2}} = \frac{6}{\sqrt{13}}$.
કાટકોણ સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણમાં,કાટખૂણાના શિરોબિંદુથી કર્ણ પરનો વેધ કર્ણને દુભાગે છે અને તેની લંબાઈ કર્ણની લંબાઈ કરતા અડધી હોય છે.
તેથી,વેધ $AL = p = \frac{6}{\sqrt{13}}$.
ત્રિકોણનો પાયો $BC = 2p$ થાય.
ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times \text{પાયો} \times \text{વેધ} = \frac{1}{2} \times (2p) \times p = p^2$.
ક્ષેત્રફળ $= \left(\frac{6}{\sqrt{13}}\right)^2 = \frac{36}{13}$ ચોરસ એકમ.

(B) આપેલ સમીકરણ $3 f(x)-2 f\left(\frac{1}{x}\right)=x$ છે ...$(i)$
સમીકરણ $(i)$ માં $x$ ને $\frac{1}{x}$ વડે બદલતા,આપણને મળે છે:
$3 f\left(\frac{1}{x}\right)-2 f(x)=\frac{1}{x}$ ...(ii)
$f\left(\frac{1}{x}\right)$ નો લોપ કરવા માટે,સમીકરણ $(i)$ ને $3$ વડે અને સમીકરણ (ii) ને $2$ વડે ગુણતા:
$9 f(x)-6 f\left(\frac{1}{x}\right)=3 x$ ...(iii)
$6 f\left(\frac{1}{x}\right)-4 f(x)=\frac{2}{x}$ ...(iv)
સમીકરણ (iii) અને (iv) નો સરવાળો કરતા:
$5 f(x) = 3 x + \frac{2}{x} \Rightarrow f(x) = \frac{3}{5} x + \frac{2}{5 x}$
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$f^{\prime}(x) = \frac{3}{5} - \frac{2}{5 x^2}$
હવે,$x=2$ મૂકતા:
$f^{\prime}(2) = \frac{3}{5} - \frac{2}{5(2^2)} = \frac{3}{5} - \frac{2}{20} = \frac{3}{5} - \frac{1}{10} = \frac{6-1}{10} = \frac{5}{10} = \frac{1}{2}$.

(A) કણનો વેગ $(v)$ એ સમય $(t)$ ની સાપેક્ષમાં અંતર $(s)$ માં થતા ફેરફારનો દર છે,જે વિકલન $v = \frac{ds}{dt}$ દ્વારા મળે છે.
આપેલ અંતરનું સમીકરણ $s = 4t^2 + 2t + 3$ છે.
$t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$v = \frac{d}{dt}(4t^2 + 2t + 3) = 8t + 2$.
$t = 3$ સેકન્ડ પર વેગ શોધવા માટે,વેગના સમીકરણમાં $t = 3$ મૂકતા:
$v = 8(3) + 2 = 24 + 2 = 26 \text{ unit/sec}$.

(B) આપેલ છે કે $y = (x-1)(x+2)(x^2+5)(x^4+8)$.
વિકલન માટે ગુણાકારના નિયમ $\frac{d}{dx}(uvwz) = u'vwz + uv'wz + uvw'z + uvwz'$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{dy}{dx} = (1)(x+2)(x^2+5)(x^4+8) + (x-1)(1)(x^2+5)(x^4+8) + (x-1)(x+2)(2x)(x^4+8) + (x-1)(x+2)(x^2+5)(4x^3)$.
હવે,$x \rightarrow -1$ માટે લક્ષની કિંમત મેળવતા:
$x = -1$ માટે:
પદ $1$: $(1)(-1+2)((-1)^2+5)((-1)^4+8) = (1)(1)(6)(9) = 54$.
પદ $2$: $(-1-1)(1)((-1)^2+5)((-1)^4+8) = (-2)(1)(6)(9) = -108$.
પદ $3$: $(-1-1)(-1+2)(2(-1))((-1)^4+8) = (-2)(1)(-2)(9) = 36$.
પદ $4$: $(-1-1)(-1+2)((-1)^2+5)(4(-1)^3) = (-2)(1)(6)(-4) = 48$.
આ કિંમતોનો સરવાળો કરતા: $54 - 108 + 36 + 48 = 30$.

(B) આપેલ વક્ર $x^{\frac{2}{3}}+y^{\frac{2}{3}}=2^{\frac{2}{3}}$ છે.
ધારો કે $x=2 \cos^3 \theta$ અને $y=2 \sin^3 \theta$.
$\theta = \frac{\pi}{4}$ પર,યામ $x = 2(\frac{1}{\sqrt{2}})^3 = \frac{1}{\sqrt{2}}$ અને $y = \frac{1}{\sqrt{2}}$ મળે છે.
વિકલન $\frac{dy}{dx} = \frac{dy/d\theta}{dx/d\theta} = -\tan \theta$.
$\theta = \frac{\pi}{4}$ પર,$\frac{dy}{dx} = -\tan(\frac{\pi}{4}) = -1$.
$(\frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}})$ બિંદુએ સ્પર્શકનું સમીકરણ $y - \frac{1}{\sqrt{2}} = -1(x - \frac{1}{\sqrt{2}})$ છે,જે $x + y = \sqrt{2}$ થાય છે.
સ્પર્શક $x$-અક્ષને $y=0$ પર છેદે છે,તેથી $x = \sqrt{2}$ મળે,એટલે કે બિંદુ $(\sqrt{2}, 0)$ છે.
સ્પર્શક બિંદુ $(\frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}})$ થી $x$-અક્ષના છેદબિંદુ $(\sqrt{2}, 0)$ સુધીની લંબાઈ $\sqrt{(\sqrt{2} - \frac{1}{\sqrt{2}})^2 + (0 - \frac{1}{\sqrt{2}})^2} = \sqrt{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} = 1$ થાય છે.

(B) આપેલ વિધેય $f(x) = x^3 + 2ax^2 + 3(a+1)x + 5$ છે.
વિધેય $f(x)$ તેના સમગ્ર પ્રદેશમાં ચુસ્ત રીતે વધતું હોય તે માટે,તેનું વિકલન $f'(x) \geq 0$ હોવું જોઈએ.
પ્રથમ,વિકલન મેળવો: $f'(x) = 3x^2 + 4ax + 3(a+1)$.
અહીં $f'(x)$ એ દ્વિઘાત પદાવલિ છે જેનો અગ્ર સહગુણક ધન $(3 > 0)$ છે,તેથી $f'(x) \geq 0$ માટે તેનો વિવેચક $D \leq 0$ હોવો જોઈએ.
$D = (4a)^2 - 4(3)(3(a+1)) \leq 0$.
$16a^2 - 36(a+1) \leq 0$.
$4$ વડે ભાગતા: $4a^2 - 9(a+1) \leq 0$.
$4a^2 - 9a - 9 \leq 0$.
અવયવ પાડતા: $(4a+3)(a-3) \leq 0$.
આ અસમતા ત્યારે જ સાચી ઠરે છે જ્યારે $a$ એ બીજની વચ્ચે હોય: $a \in [-\frac{3}{4}, 3]$.
ચુસ્ત રીતે વધતા વિધેય માટે,આપણે અંતરાલ $a \in (-\frac{3}{4}, 3)$ મેળવીએ છીએ.

(B) આપેલ વક્ર $y^2 = ax^3 + b$ છે.
બિંદુ $(2,3)$ વક્ર પર હોવાથી,$3^2 = a(2)^3 + b$,જેનો અર્થ છે કે $9 = 8a + b$ અથવા $b = 9 - 8a$.
વક્રના સમીકરણનું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,$2y \frac{dy}{dx} = 3ax^2$,તેથી $\frac{dy}{dx} = \frac{3ax^2}{2y}$.
બિંદુ $(2,3)$ આગળ સ્પર્શકનો ઢાળ $\frac{dy}{dx} = \frac{3a(2)^2}{2(3)} = \frac{12a}{6} = 2a$ મળે છે.
સ્પર્શકનું સમીકરણ $y = 4x - 5$ આપેલ છે,જેનો ઢાળ $4$ છે.
ઢાળને સરખાવતા,$2a = 4$,તેથી $a = 2$.
$a = 2$ ને $b = 9 - 8a$ માં મૂકતા,$b = 9 - 8(2) = 9 - 16 = -7$ મળે છે.
અંતે,$a^2 + b^2 = (2)^2 + (-7)^2 = 4 + 49 = 53$.

(C) આપેલ વક્રો $y^2=2x$ અને $x^2+y^2=8$ છે.
બીજા સમીકરણમાં $y^2=2x$ મૂકતા: $x^2+2x-8=0$.
અવયવ પાડતા $(x+4)(x-2)=0$ મળે છે. $y^2=2x$ માટે $x$ ઋણ ન હોઈ શકે,તેથી $x=2$.
$x=2$ માટે,$y^2=4$,તેથી $y=2$ (ધન છેદબિંદુ લેતા).
$y^2=2x$ નું વિકલન કરતા $2y \frac{dy}{dx} = 2$ મળે,તેથી $(2, 2)$ બિંદુએ $m_1 = \frac{dy}{dx} = \frac{1}{y} = \frac{1}{2}$.
$x^2+y^2=8$ નું વિકલન કરતા $2x + 2y \frac{dy}{dx} = 0$ મળે,તેથી $(2, 2)$ બિંદુએ $m_2 = \frac{dy}{dx} = -\frac{x}{y} = -\frac{2}{2} = -1$.
વક્રો વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ માટે $\tan \theta = \left| \frac{m_1 - m_2}{1 + m_1 m_2} \right|$.
$\tan \theta = \left| \frac{1/2 - (-1)}{1 + (1/2)(-1)} \right| = \left| \frac{3/2}{1/2} \right| = 3$.
તેથી,$\theta = \tan^{-1}(3)$.

(C) આપેલ વક્ર $y = (\frac{x}{2024})^k$ છે.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,$\frac{dy}{dx} = k(\frac{x}{2024})^{k-1} \cdot \frac{1}{2024} = \frac{k x^{k-1}}{(2024)^k}$ મળે છે.
સબનોર્મલની લંબાઈનું સૂત્ર $|y \frac{dy}{dx}|$ છે.
કિંમતો મૂકતા,$|(\frac{x}{2024})^k \cdot \frac{k x^{k-1}}{(2024)^k}| = |\frac{k x^{2k-1}}{(2024)^{2k}}|$ મળે છે.
સબનોર્મલની લંબાઈ અચળ રહેવા માટે,તે $x$ થી સ્વતંત્ર હોવી જોઈએ.
આનો અર્થ એ છે કે $x$ નો ઘાતાંક $0$ હોવો જોઈએ,તેથી $2k - 1 = 0$.
$k$ માટે ઉકેલતા,$k = \frac{1}{2}$ મળે છે.

(D) આપેલ વક્ર: $x^4 e^y + 2 \sqrt{y+1} = 3$.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$x^4 e^y y' + 4x^3 e^y + \frac{2 y'}{2 \sqrt{y+1}} = 0$.
બિંદુ $(1,0)$ આગળ,$x=1$ અને $y=0$ મૂકતા:
$(1)^4 e^0 y' + 4(1)^3 e^0 + \frac{y'}{\sqrt{0+1}} = 0$.
$y' + 4 + y' = 0 \Rightarrow 2y' = -4 \Rightarrow y' = -2$.
બિંદુ $(1,0)$ આગળ સ્પર્શકનું સમીકરણ જેનો ઢાળ $m = -2$ છે:
$y - 0 = -2(x - 1) \Rightarrow y = -2x + 2 \Rightarrow 2x + y = 2$.
હવે,ચકાસો કે કયું બિંદુ સમીકરણ $2x + y = 2$ નું સમાધાન કરે છે:
વિકલ્પ $D$ $(-2, 6)$ માટે: $2(-2) + 6 = -4 + 6 = 2$.
આમ,બિંદુ $(-2, 6)$ સ્પર્શક પર આવેલું છે.

(A) આપેલ વક્ર $y=x^3-2x+7$ છે.
સ્પર્શકનો ઢાળ શોધવા માટે,આપણે $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીએ:
$\frac{dy}{dx} = 3x^2-2$.
બિંદુ $(1,6)$ આગળ,ઢાળ $m$ થશે:
$m = \left. \frac{dy}{dx} \right|_{x=1} = 3(1)^2-2 = 3-2 = 1$.
બિંદુ $(x_1, y_1) = (1,6)$ માંથી પસાર થતા અને $m=1$ ઢાળ ધરાવતા સ્પર્શકનું સમીકરણ:
$y-y_1 = m(x-x_1)$
$y-6 = 1(x-1)$
$y-6 = x-1$
$y = x+5$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(D) આપેલ વક્ર $y=x^2+x$ છે.
પ્રથમ,વિકલન મેળવો: $\frac{dy}{dx} = 2x+1$.
બિંદુ $(1,2)$ આગળ સ્પર્શકનો ઢાળ $\left. \frac{dy}{dx} \right|_{(1,2)} = 2(1)+1 = 3$ છે.
અભિલંબનો ઢાળ $m = \frac{-1}{\text{સ્પર્શકનો ઢાળ}} = \frac{-1}{3}$ થાય.
બિંદુ $(x_1, y_1) = (1,2)$ આગળ અભિલંબનું સમીકરણ $y - y_1 = m(x - x_1)$ દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા: $y - 2 = \frac{-1}{3}(x - 1)$.
$3$ વડે ગુણતા: $3y - 6 = -x + 1$.
પદોને ગોઠવતા: $x + 3y - 7 = 0$.

(D) વક્ર પરના કોઈપણ બિંદુ $(x, y)$ પર સબ-ટેન્જન્ટની લંબાઈનું સૂત્ર છે: $\text{સબ-ટેન્જન્ટની લંબાઈ} = \left| \frac{y}{dy/dx} \right|$.
પ્રશ્ન મુજબ,સબ-ટેન્જન્ટની લંબાઈ એબ્સિસસા $x$ ના પ્રમાણમાં છે. ધારો કે પ્રમાણસરતાનો અચળાંક $k$ છે,જેથી $\frac{y}{dy/dx} = kx$.
આથી,$\frac{y}{dy/dx} = kx$.
ચલને અલગ કરતા: $\frac{dy}{y} = \frac{1}{k} \frac{dx}{x}$.
બંને બાજુ સંકલન કરતા: $\int \frac{dy}{y} = \frac{1}{k} \int \frac{dx}{x}$.
આથી મળે છે: $\ln|y| = \frac{1}{k} \ln|x| + \ln|C|$.
લોગેરિધમના નિયમોનો ઉપયોગ કરતા: $\ln|y| = \ln|x^{1/k}| + \ln|C| = \ln|C x^{1/k}|$.
તેથી,વક્રનું સમીકરણ $y = C x^{1/k}$ છે.

(A) આપેલ વક્રનું સમીકરણ: $y = x^3 - 3x^2 + 2x - 1$.
બંને બાજુ સમય $t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{dy}{dt} = (3x^2 - 6x + 2) \frac{dx}{dt}$.
આપણને આપેલ છે કે $\frac{dy}{dt} = 6 \text{ units/sec}$ અને બિંદુ $(2, -1)$ છે,તેથી $x = 2$.
આ કિંમતોને વિકલનના સમીકરણમાં મૂકતા:
$6 = (3(2)^2 - 6(2) + 2) \frac{dx}{dt}$.
$6 = (12 - 12 + 2) \frac{dx}{dt}$.
$6 = 2 \frac{dx}{dt}$.
તેથી,$\frac{dx}{dt} = \frac{6}{2} = 3 \text{ units/sec}$.

(C) આપેલ છે કે,$y = (1 + \alpha + \alpha^2 + \ldots) e^{nx}$.
ધારો કે $K = (1 + \alpha + \alpha^2 + \ldots)$,જે એક અચળાંક છે.
તેથી,$y = K e^{nx}$.
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{dy}{dx} = K \cdot n e^{nx} = n \cdot (K e^{nx}) = ny$.
વિકલનના ખ્યાલનો ઉપયોગ કરતા,$\Delta y \approx \frac{dy}{dx} \Delta x$.
તેથી,$\Delta y = ny \Delta x$.
બંને બાજુ $y$ વડે ભાગતા,આપણને $y$ માં સાપેક્ષ ત્રુટિ મળે છે:
$\frac{\Delta y}{y} = n \Delta x$.
આમ,$y$ માં સાપેક્ષ ત્રુટિ $n \times (x \text{ માં ત્રુટિ})$ છે.

(C) આપેલ છે કે $y = x - x^2$.
આપણે $x^2$ ની સાપેક્ષે $y^2$ ના ફેરફારનો દર શોધવાનો છે.
ધારો કે $v = y^2 = (x - x^2)^2 = x^2 + x^4 - 2x^3$.
ધારો કે $u = x^2$.
આપણે $\frac{dv}{du} = \frac{dv/dx}{du/dx}$ ની ગણતરી કરવી છે.
પ્રથમ,$v$ નું $x$ ની સાપેક્ષે વિકલન કરતા: $\frac{dv}{dx} = \frac{d}{dx}(x^2 + x^4 - 2x^3) = 2x + 4x^3 - 6x^2$.
ત્યારબાદ,$u$ નું $x$ ની સાપેક્ષે વિકલન કરતા: $\frac{du}{dx} = \frac{d}{dx}(x^2) = 2x$.
હવે,$\frac{dv}{du} = \frac{2x + 4x^3 - 6x^2}{2x} = 1 + 2x^2 - 3x$.
$x = 2$ આગળ,ફેરફારનો દર $1 + 2(2)^2 - 3(2) = 1 + 8 - 6 = 3$ થાય.

(C) આપેલ સૂત્ર $T = 2 \pi \sqrt{\frac{L}{g}}$ છે.
બંને બાજુ પ્રાકૃતિક લઘુગણક લેતા: $\ln T = \ln(2 \pi) + \frac{1}{2} \ln L - \frac{1}{2} \ln g$.
બંને બાજુ વિકલન કરતા,આપણને $\frac{dT}{T} = \frac{1}{2} \frac{dL}{L}$ મળે છે.
$T$ માં સાપેક્ષ ત્રુટિ $\frac{dT}{T}$ છે.
$L$ માં ટકાવારી ત્રુટિ $\frac{dL}{L} \times 100$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,$\frac{dT}{T} = k \times (\frac{dL}{L} \times 100)$.
આને $\frac{dT}{T} = \frac{1}{2} \frac{dL}{L}$ સાથે સરખાવતા,આપણને $k \times 100 = \frac{1}{2}$ મળે છે.
તેથી,$k = \frac{1}{200}$.
આમ,$\frac{1}{k} = 200$.

(A) ધારો કે $r$ એ ત્રિજ્યા છે અને $A$ એ વર્તુળનું ક્ષેત્રફળ છે.
આપેલ છે કે ત્રિજ્યામાં પ્રતિશત ભૂલ $\frac{dr}{r} \times 100 = 3\%$ છે,તેથી $\frac{dr}{r} = 0.03$.
વર્તુળનું ક્ષેત્રફળ $A = \pi r^2$ છે.
$r$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,આપણને $dA = 2\pi r dr$ મળે છે.
ક્ષેત્રફળમાં સાપેક્ષ ભૂલ $\frac{dA}{A} = \frac{2\pi r dr}{\pi r^2} = 2 \frac{dr}{r}$ છે.
$\frac{dr}{r}$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને $\frac{dA}{A} = 2 \times 0.03 = 0.06$ મળે છે.
તેથી,ક્ષેત્રફળમાં પ્રતિશત ભૂલ $\frac{dA}{A} \times 100 = 0.06 \times 100 = 6\%$ છે.

(C) આપેલ સ્થાનાંતર $s = 2t^3 - 9t$ છે.
વેગ $v = \frac{ds}{dt} = \frac{d}{dt}(2t^3 - 9t) = 6t^2 - 9$.
જ્યારે વેગ શૂન્ય થાય ત્યારે $v = 0$,તેથી $6t^2 - 9 = 0 \Rightarrow t^2 = \frac{9}{6} = \frac{3}{2} \Rightarrow t = \sqrt{\frac{3}{2}}$.
પ્રવેગ $a = \frac{dv}{dt} = \frac{d}{dt}(6t^2 - 9) = 12t$.
પ્રવેગના સમીકરણમાં $t = \sqrt{\frac{3}{2}}$ મૂકતા:
$a = 12 \times \sqrt{\frac{3}{2}} = 12 \times \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}} = 6 \times \sqrt{2} \times \sqrt{3} = 6\sqrt{6}$.

(B) અહીં અર્ધ-શીર્ષકોણ $\alpha = 45^{\circ}$ અને પાયાની ત્રિજ્યા $r = 14 \text{ cm}$ આપેલ છે.
ત્રાંસી ઊંચાઈ $l = \frac{r}{\sin 45^{\circ}} = r\sqrt{2}$ થાય.
શંકુનું કુલ પૃષ્ઠફળ $A = \pi r(r + l)$ છે.
$l = r\sqrt{2}$ મૂકતા,$A = \pi r(r + r\sqrt{2}) = \pi r^2(1 + \sqrt{2})$ મળે.
$A$ માં આશરે ત્રુટિ શોધવા માટે,$A$ નું $r$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{dA}{dr} = 2\pi r(1 + \sqrt{2})$.
આશરે ત્રુટિ $dA = \frac{dA}{dr} \cdot dr$,જ્યાં $dr = \frac{\sqrt{2}-1}{11} \text{ cm}$ છે.
$dA = 2\pi r(1 + \sqrt{2}) \cdot \left(\frac{\sqrt{2}-1}{11}\right)$.
$r = 14$ મૂકતા:
$dA = 2\pi(14)(1 + \sqrt{2}) \cdot \left(\frac{\sqrt{2}-1}{11}\right)$.
$(1 + \sqrt{2})(\sqrt{2} - 1) = 1$ હોવાથી,
$dA = 2\pi(14) \cdot \frac{1}{11} = \frac{28\pi}{11}$.
જો $\pi \approx \frac{22}{7}$ લઈએ,તો $dA = 28 \times \frac{22}{7} \times \frac{1}{11} = 4 \times 2 = 8 \text{ sq. cm}$.

(C) ધારો કે $OA$ એ $6 \ m$ ઊંચો લાઈટનો થાંભલો છે અને $FG$ એ $1.8 \ m$ ઊંચાઈ ધરાવતો માણસ છે. ધારો કે માણસનું થાંભલાથી અંતર $x$ છે અને તેના પડછાયાની લંબાઈ $y$ છે.
સમરૂપ ત્રિકોણ $\triangle BGF$ અને $\triangle BOA$ પરથી,આપણને મળે છે:
$\frac{FG}{OA} = \frac{BG}{BO}$
$\frac{1.8}{6} = \frac{y}{x+y}$
$1.8(x+y) = 6y$
$1.8x + 1.8y = 6y$
$1.8x = 4.2y$
$y = \frac{1.8}{4.2}x = \frac{18}{42}x = \frac{3}{7}x$
સમય $t$ ની સાપેક્ષમાં બંને બાજુ વિકલન કરતા:
$\frac{dy}{dt} = \frac{3}{7} \frac{dx}{dt}$
આપેલ છે કે માણસ $7 \ km/h$ ની ઝડપે થાંભલાથી દૂર જઈ રહ્યો છે,તેથી $\frac{dx}{dt} = 7 \ km/h$.
તેથી,$\frac{dy}{dt} = \frac{3}{7} \times 7 = 3 \ km/h$.
તેના પડછાયાની લંબાઈમાં થતો ફેરફારનો દર $3 \ km/h$ છે.

(B) આપેલ છે કે વર્તુળની ત્રિજ્યા $OP = 8$ છે.
$M$ એ $P$ માંથી $OA$ પર દોરેલા લંબનો લંબપાદ છે,તેથી $\triangle OMP$ એ $M$ આગળ કાટકોણ ત્રિકોણ છે.
$\triangle OMP$ માં,આપણી પાસે $\cos \theta = \frac{OM}{OP}$ છે.
આપેલ છે કે $OM = 4$ અને $OP = 8$,તેથી $\cos \theta = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$.
વળી,$PM = OP \sin \theta = 8 \sin \theta$.
સમય $t$ ની સાપેક્ષમાં $PM$ ના બદલાવાનો દર શોધવા માટે,આપણે $PM$ નું $t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીએ છીએ:
$\frac{d(PM)}{dt} = \frac{d}{dt}(8 \sin \theta) = 8 \cos \theta \frac{d\theta}{dt}$.
આપેલ છે કે $\frac{d\theta}{dt} = 6 \text{ રેડિયન/સેકન્ડ}$ અને $\cos \theta = \frac{1}{2}$,આ કિંમતો મૂકતા:
$\frac{d(PM)}{dt} = 8 \times \frac{1}{2} \times 6 = 24 \text{ એકમ/સેકન્ડ}$.

(D) આપેલ વિધેય $f(x) = x^3 - 16x^2 + 20x - 5$ છે.
વિધેય કયા અંતરાલમાં ચુસ્ત રીતે ઘટે છે તે શોધવા માટે,આપણે તેનું વિકલન કરીએ: $f'(x) = 3x^2 - 32x + 20$.
ચુસ્ત રીતે ઘટતા વિધેય માટે $f'(x) < 0$ હોવું જોઈએ: $3x^2 - 32x + 20 < 0$.
અવયવ પાડતા: $(3x - 2)(x - 10) < 0$.
આ અસમતા $x \in (\frac{2}{3}, 10)$ માટે સાચી છે.
સંખ્યાઓનો ગણ $S = \{1, 3, 5, \dots, 59\}$ છે. $S$ માં કુલ સભ્યોની સંખ્યા $n(S) = 30$ છે.
આપણે ગણ $S$ માંથી એવી સંખ્યાઓ શોધવાની છે જે અંતરાલ $(\frac{2}{3}, 10)$ માં આવે છે.
આવી સંખ્યાઓ $E = \{1, 3, 5, 7, 9\}$ છે.
સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા $n(E) = 5$ છે.
સંભાવના $P = \frac{n(E)}{n(S)} = \frac{5}{30} = \frac{1}{6}$ થાય.

(A) આપેલ છે કે $f(x) = x^x$. બંને બાજુ પ્રાકૃતિક લઘુગણક લેતા,આપણને $\ln(f(x)) = x \ln(x)$ મળે છે.
$x$ ની સાપેક્ષમાં બંને બાજુ વિકલન કરતા,આપણને $\frac{f'(x)}{f(x)} = \ln(x) + x \cdot \frac{1}{x} = \ln(x) + 1$ મળે છે.
આમ,$f'(x) = x^x(1 + \ln(x))$.
$f(x)$ ઘટતું વિધેય હોય તે માટે,$f'(x) \leq 0$ હોવું જોઈએ.
કારણ કે તમામ $x > 0$ માટે $x^x > 0$ છે,તેથી $f'(x) \leq 0$ ની શરતનો અર્થ એ છે કે $1 + \ln(x) \leq 0$.
આનાથી $\ln(x) \leq -1$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $x \leq e^{-1} = \frac{1}{e}$.
$f(x) = x^x$ નો પ્રદેશ $x > 0$ હોવાથી,જે અંતરાલમાં $f(x)$ ઘટે છે તે $\left(0, \frac{1}{e}\right]$ છે.
આપેલા વિકલ્પો સાથે સરખાવતા,સાચો અંતરાલ $\left[0, \frac{1}{e}\right]$ છે.

(A) આપેલ વિધેય: $f(x) = \sqrt{x} + \frac{1}{\sqrt{x}}$.
$f(x)$ વ્યાખ્યાયિત થાય તે માટે $x > 0$ હોવું જરૂરી છે.
હવે,વિકલિત $f'(x)$ શોધો:
$f'(x) = \frac{d}{dx} (x^{1/2} + x^{-1/2}) = \frac{1}{2} x^{-1/2} - \frac{1}{2} x^{-3/2}$.
$f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}} - \frac{1}{2x\sqrt{x}} = \frac{1}{2\sqrt{x}} (1 - \frac{1}{x}) = \frac{x-1}{2x\sqrt{x}}$.
વિધેય ચુસ્ત રીતે વધતું હોય તે માટે $f'(x) > 0$ હોવું જોઈએ.
અહીં $x > 0$ હોવાથી,છેદ $2x\sqrt{x}$ હંમેશા ધન રહેશે.
તેથી,$f'(x) > 0$ ત્યારે જ શક્ય છે જો $x - 1 > 0$ હોય,જેનો અર્થ છે કે $x > 1$.
આમ,વિધેય $(1, \infty)$ અંતરાલમાં ચુસ્ત રીતે વધતું વિધેય છે.

(A) ધારો કે $y = \frac{x^2-x+1}{x^2+x+1}$.
અંતિમ મૂલ્યો શોધવા માટે,આપણે $y$ નું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીએ છીએ:
$\frac{dy}{dx} = \frac{(2x-1)(x^2+x+1) - (2x+1)(x^2-x+1)}{(x^2+x+1)^2} = 0$.
અંશનું સાદુંરૂપ આપતા:
$(2x^3 + 2x^2 + 2x - x^2 - x - 1) - (2x^3 - 2x^2 + 2x + x^2 - x + 1) = 0$.
$(2x^3 + x^2 + x - 1) - (2x^3 - x^2 + x + 1) = 0$.
$2x^2 - 2 = 0 \Rightarrow x^2 = 1 \Rightarrow x = \pm 1$.
$x = -1$ માટે,$y = \frac{(-1)^2 - (-1) + 1}{(-1)^2 + (-1) + 1} = \frac{1+1+1}{1-1+1} = \frac{3}{1} = 3$.
$x = 1$ માટે,$y = \frac{1^2 - 1 + 1}{1^2 + 1 + 1} = \frac{1}{3}$.
આમ,મહત્તમ કિંમત $\alpha = 3$ અને ન્યૂનતમ કિંમત $\beta = \frac{1}{3}$ છે.
તેથી,$\alpha + \beta = 3 + \frac{1}{3} = \frac{10}{3}$.

(B) ધારો કે લંબચોરસ ભાગની લંબાઈ $x$ છે અને અર્ધવર્તુળાકાર છેડાઓની ત્રિજ્યા $r$ છે. ટ્રેકની કુલ પરિમિતિ $P = 2x + 2\pi r = 500 \ ft$. દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આના પરથી,આપણને $x + \pi r = 250$ મળે છે,તેથી $x = 250 - \pi r$.
લંબચોરસ ભાગનું ક્ષેત્રફળ $A = x \times (2r) = (250 - \pi r)(2r) = 500r - 2\pi r^2$ છે.
ક્ષેત્રફળને મહત્તમ કરવા માટે,આપણે $r$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીએ છીએ અને તેને શૂન્ય સાથે સરખાવીએ છીએ:
$\frac{dA}{dr} = 500 - 4\pi r = 0 \Rightarrow r = \frac{125}{\pi}$.
હવે,$r$ ની કિંમત $x$ ના સમીકરણમાં મૂકતા:
$x = 250 - \pi \left(\frac{125}{\pi}\right) = 250 - 125 = 125 \ ft$.
આમ,મહત્તમ ક્ષેત્રફળ માટે લંબચોરસ ભાગની લંબાઈ $125 \ ft$ છે.

(C) આપેલ વિધેય $f(x) = (x^2 + 3x) e^{-\frac{x}{2}}$ અંતરાલ $[-3, 0]$ પર છે.
રોલનું પ્રમેય લાગુ પડતું હોવાથી,આપણે વિકલન $f'(x)$ શોધીએ:
$f'(x) = (2x + 3) e^{-\frac{x}{2}} + (x^2 + 3x) \left(-\frac{1}{2}\right) e^{-\frac{x}{2}}$
$f'(x) = e^{-\frac{x}{2}} \left( 2x + 3 - \frac{x^2}{2} - \frac{3x}{2} \right) = e^{-\frac{x}{2}} \left( -\frac{x^2}{2} + \frac{x}{2} + 3 \right)$
$f'(x) = -\frac{1}{2} e^{-\frac{x}{2}} (x^2 - x - 6)$
રોલના પ્રમેય મુજબ,એવો $c \in (-3, 0)$ મળે કે જેથી $f'(c) = 0$ થાય.
$-\frac{1}{2} e^{-\frac{c}{2}} (c^2 - c - 6) = 0$
કારણ કે $e^{-\frac{c}{2}} \neq 0$,તેથી $c^2 - c - 6 = 0$.
$(c - 3)(c + 2) = 0$,જે $c = 3$ અથવા $c = -2$ આપે છે.
અહીં $c \in (-3, 0)$ હોવાથી,$c = 3$ શક્ય નથી,તેથી $c = -2$ મળે છે.

(C) વિધેય $f(x) = \sqrt{x^2-4}$ એ $[2, 4]$ પર સતત છે અને $(2, 4)$ પર વિકલનીય છે.
લેગ્રાન્જના મધ્યકમાન પ્રમેય મુજબ,કોઈ $C \in (2, 4)$ અસ્તિત્વ ધરાવે છે કે જેથી $f'(C) = \frac{f(4) - f(2)}{4 - 2}$ થાય.
પ્રથમ,વિકલન મેળવો: $f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x^2-4}} \times 2x = \frac{x}{\sqrt{x^2-4}}$.
ત્યારબાદ,અંતિમ બિંદુઓ પર કિંમતો શોધો: $f(4) = \sqrt{16-4} = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}$ અને $f(2) = \sqrt{4-4} = 0$.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા: $\frac{C}{\sqrt{C^2-4}} = \frac{2\sqrt{3} - 0}{4 - 2} = \frac{2\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $\frac{C^2}{C^2-4} = 3$.
$C^2 = 3(C^2 - 4) \Rightarrow C^2 = 3C^2 - 12 \Rightarrow 2C^2 = 12 \Rightarrow C^2 = 6$.
કારણ કે $C \in (2, 4)$,આપણે ધન કિંમત લઈશું: $C = \sqrt{6}$.

(A) આપેલ છે કે $f(x) = (x-1)(x-2)(x-3) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6$.
લેગ્રાન્જના મધ્યકમાન પ્રમેય મુજબ,અંતરાલ $(0, 4)$ માં ઓછામાં ઓછી એક એવી કિંમત $c$ મળે કે જેથી $f'(c) = \frac{f(4) - f(0)}{4 - 0}$ થાય.
પ્રથમ,$f(4) = (4-1)(4-2)(4-3) = 3 \times 2 \times 1 = 6$ મેળવો.
ત્યારબાદ,$f(0) = (0-1)(0-2)(0-3) = -1 \times -2 \times -3 = -6$ મેળવો.
તેથી,$f'(c) = \frac{6 - (-6)}{4} = \frac{12}{4} = 3$.
હવે,$f'(x) = 3x^2 - 12x + 11$ શોધો.
$f'(c) = 3c^2 - 12c + 11 = 3$ લેતા,
$3c^2 - 12c + 8 = 0$ મળે.
દ્વિઘાત સૂત્ર $c = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ નો ઉપયોગ કરતા,$c = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 4(3)(8)}}{2(3)} = \frac{12 \pm \sqrt{48}}{6} = 2 \pm \frac{2}{\sqrt{3}}$.
આમ,$c$ ની કિંમત $2 \pm \frac{2}{\sqrt{3}}$ મળે છે,જે વિકલ્પ $A$ સાથે સુસંગત છે.

(C) અંતરાલ $[0, 1]$ પર રોલનું પ્રમેય લાગુ પાડવા માટે,આપણે $f(0) = f(1)$ હોવું જરૂરી છે.
આપેલ $f(x) = x^3 + Px - 12$ માટે:
$f(0) = 0^3 + P(0) - 12 = -12$
$f(1) = 1^3 + P(1) - 12 = 1 + P - 12 = P - 11$
$f(0) = f(1)$ લેતા,$-12 = P - 11$,જેનો અર્થ છે કે $P = -1$.
હવે,વિકલન $f'(x) = 3x^2 + P = 3x^2 - 1$ થાય.
રોલના પ્રમેય મુજબ,એવો $c \in (0, 1)$ મળે કે જેથી $f'(c) = 0$ થાય.
$3c^2 - 1 = 0 \Rightarrow c^2 = \frac{1}{3} \Rightarrow c = \pm \frac{1}{\sqrt{3}}$.
અહીં $c$ એ વિવૃત અંતરાલ $(0, 1)$ માં હોવો જોઈએ,તેથી $c = -\frac{1}{\sqrt{3}}$ શક્ય નથી.
આમ,$c = \frac{1}{\sqrt{3}}$ મળે છે.

(A) અંતરાલ $[0, 1]$ પર વિધેય $f(x) = e^x + 24$ આપેલ છે.
લેગ્રાન્જના મધ્યકમાન પ્રમેય મુજબ,$(0, 1)$ માં ઓછામાં ઓછું એક બિંદુ $c$ એવું મળે કે જેથી $f'(c) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}$ થાય.
અહીં,$a = 0$ અને $b = 1$ છે.
પ્રથમ,$f(0) = e^0 + 24 = 1 + 24 = 25$ મેળવો.
ત્યારબાદ,$f(1) = e^1 + 24 = e + 24$ મેળવો.
વિકલન $f'(x) = e^x$ છે,તેથી $f'(c) = e^c$ થાય.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા: $e^c = \frac{(e + 24) - 25}{1 - 0}$.
$e^c = e - 1$.
બંને બાજુ પ્રાકૃતિક લઘુગણક લેતા,આપણને $c = \log(e - 1)$ મળે છે.

(C) લેગ્રાન્જનું મધ્યકમાન પ્રમેય $(LMVT)$ માટે વિધેય $f(x)$ એ $[a, b]$ પર સતત અને $(a, b)$ પર વિકલનીય હોવું જરૂરી છે.
વિકલ્પ $C$ માટે,$f(x) = \log(x^2-1)$ અંતરાલ $[\frac{1}{e}, e-2]$ પર આપેલ છે.
અહીં $e \approx 2.718$ હોવાથી,$\frac{1}{e} \approx 0.367$ અને $e-2 \approx 0.718$ થાય.
$\log(x^2-1)$ ના પ્રદેશ માટે $x^2-1 > 0$ હોવું જોઈએ,એટલે કે $x^2 > 1$ અથવા $|x| > 1$.
અંતરાલ $[\frac{1}{e}, e-2]$ માં,તમામ $x$ માટે $x < 1$ છે,એટલે કે $x^2 < 1$.
આથી,આ અંતરાલના તમામ $x$ માટે $x^2-1 < 0$ થાય છે.
લોગેરિધમનો પ્રદેશ ઋણ હોવાથી,$f(x)$ એ $[\frac{1}{e}, e-2]$ અંતરાલ પર વ્યાખ્યાયિત નથી (અને તેથી સતત પણ નથી).
તેથી,$LMVT$ લાગુ પડતું નથી.

(B) $I = \int \sin ^4 x \cos ^4 x \, dx = \int \left(\frac{\sin 2x}{2}\right)^4 \, dx = \frac{1}{16} \int \sin ^4 2x \, dx$
$I = \frac{1}{16} \int \left(\frac{1 - \cos 4x}{2}\right)^2 \, dx = \frac{1}{64} \int (1 - 2\cos 4x + \cos^2 4x) \, dx$
$I = \frac{1}{64} \int \left(1 - 2\cos 4x + \frac{1 + \cos 8x}{2}\right) \, dx = \frac{1}{128} \int (2 - 4\cos 4x + 1 + \cos 8x) \, dx$
$I = \frac{1}{128} \int (3 - 4\cos 4x + \cos 8x) \, dx = \frac{1}{128} \left(3x - \sin 4x + \frac{\sin 8x}{8}\right) + c$
$\sin 8x = 2 \sin 4x \cos 4x$ અને $\sin 4x = 2 \sin 2x \cos 2x$,$\cos 4x = 1 - 2\sin^2 2x$ નો ઉપયોગ કરતા:
$I = \frac{1}{128} \left(3x - 2\sin 2x \cos 2x + \frac{2 \sin 4x \cos 4x}{8}\right) + c$
સાદું રૂપ આપતા: $I = \frac{1}{256} (-2 \sin^3 2x \cos 2x - 3 \sin 2x \cos 2x + 6x) + c$

(B) ધારો કે $I = \int \left( \frac{x}{x \cos x - \sin x} \right)^2 dx$.
આપણે સંકલ્યને આ રીતે લખી શકીએ:
$I = \int \frac{x^2}{(x \cos x - \sin x)^2} dx$.
ખંડશઃ સંકલનનો ઉપયોગ કરતા,$u = \frac{x}{\sin x}$ અને $dv = \frac{x \sin x}{(x \cos x - \sin x)^2} dx$ લો.
તેથી $du = \frac{\sin x - x \cos x}{\sin^2 x} dx$ અને $v = \frac{-1}{x \cos x - \sin x}$ મળે.
સૂત્ર $\int u dv = uv - \int v du$ લાગુ પાડતા:
$I = \left( \frac{x}{\sin x} \right) \left( \frac{-1}{x \cos x - \sin x} \right) - \int \left( \frac{-1}{x \cos x - \sin x} \right) \left( \frac{\sin x - x \cos x}{\sin^2 x} \right) dx$.
$I = \frac{-x}{\sin x(x \cos x - \sin x)} - \int \frac{x \cos x - \sin x}{(x \cos x - \sin x) \sin^2 x} dx$.
$I = \frac{-x}{\sin x(x \cos x - \sin x)} - \int \operatorname{cosec}^2 x dx$.
$I = \frac{-x \operatorname{cosec} x}{x \cos x - \sin x} - (-\cot x) + c$.
$I = \frac{x \operatorname{cosec} x}{x \cos x - \sin x} - \cot x + c$.

(A) ધારો કે $I = \int \frac{2 x^2-3}{\left(x^2-4\right)\left(x^2+1\right)} d x$.
આંશિક અપૂર્ણાંકનો ઉપયોગ કરતા,ધારો કે $\frac{2 x^2-3}{\left(x^2-4\right)\left(x^2+1\right)} = \frac{P}{x^2-4} + \frac{Q}{x^2+1}$.
$2x^2 - 3 = P(x^2+1) + Q(x^2-4) = (P+Q)x^2 + (P-4Q)$.
સહગુણકોની સરખામણી કરતા: $P+Q = 2$ અને $P-4Q = -3$.
સમીકરણોની બાદબાકી કરતા: $5Q = 5 \implies Q = 1$.
તેથી $P = 1$.
આમ,$I = \int \frac{1}{x^2-4} d x + \int \frac{1}{x^2+1} d x$.
$I = \frac{1}{2(2)} \log \left| \frac{x-2}{x+2} \right| + \tan^{-1} x + K$.
$I = \tan^{-1} x + \frac{1}{4} \log (x-2) - \frac{1}{4} \log (x+2) + K$.
$A \tan^{-1} x + B \log (x-2) + C \log (x+2)$ સાથે સરખાવતા,આપણને $A = 1$,$B = \frac{1}{4}$,$C = -\frac{1}{4}$ મળે છે.
તેથી $6A + 7B - 5C = 6(1) + 7(\frac{1}{4}) - 5(-\frac{1}{4}) = 6 + \frac{7}{4} + \frac{5}{4} = 6 + \frac{12}{4} = 6 + 3 = 9$.

(C) આપણે જાણીએ છીએ કે $1 - \sin 2x = \cos^2 x + \sin^2 x - 2 \sin x \cos x = (\cos x - \sin x)^2$.
તેથી,$\int \sqrt{1 - \sin 2x} \, dx = \int |\cos x - \sin x| \, dx$.
આપેલ છે કે $x \notin [2n\pi - \frac{\pi}{4}, 2n\pi + \frac{3\pi}{4}]$,આ અંતરાલમાં પદ $\cos x - \sin x$ ઋણ છે.
તેથી,$|\cos x - \sin x| = -(\cos x - \sin x) = \sin x - \cos x$.
આનું સંકલન કરતા,આપણને $\int (\sin x - \cos x) \, dx = -\cos x - \sin x + c$ મળે છે.

(B) આપેલ સંકલન: $\int \frac{1}{1-\cos x} dx = \int \frac{1}{2 \sin^2 \frac{x}{2}} dx$
$= \frac{1}{2} \int \operatorname{cosec}^2 \frac{x}{2} dx$
$= \frac{1}{2} \left(-2 \cot \frac{x}{2}\right) + c = -\cot \frac{x}{2} + c$
આપણે જાણીએ છીએ કે $-\cot \theta = \tan \left(\theta - \frac{\pi}{2}\right)$.
તેથી,$-\cot \frac{x}{2} = \tan \left(\frac{x}{2} - \frac{\pi}{2}\right)$,જેની સરખામણી $\tan \left(\frac{x}{\alpha} + \beta\right)$ સાથે કરતા.
આમ,$\alpha = 2$ અને $\beta = -\frac{\pi}{2}$ મળે છે.
હવે,$\frac{\pi \alpha}{4} - \beta = \frac{\pi(2)}{4} - \left(-\frac{\pi}{2}\right) = \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{2} = \pi$.

(B) આપણને સંકલન $I = \int \frac{\sin ^6 x}{\cos ^8 x} d x$ આપેલ છે.
સંકલ્યને આ રીતે ફરીથી લખો:
$I = \int \frac{\sin ^6 x}{\cos ^6 x} \cdot \frac{1}{\cos ^2 x} d x$.
કારણ કે $\frac{\sin x}{\cos x} = \tan x$ અને $\frac{1}{\cos x} = \sec x$,તેથી:
$I = \int \tan ^6 x \sec ^2 x d x$.
ધારો કે $u = \tan x$,તો $du = \sec ^2 x d x$.
આ કિંમતો સંકલનમાં મૂકતા,આપણને મળે છે:
$I = \int u ^6 d u = \frac{u ^7}{7} + c$.
$u = \tan x$ પાછું મૂકતા,આપણને મળે છે:
$I = \frac{\tan ^7 x}{7} + c$.

(B) ધારો કે $I = \int \frac{x^5}{x^2+1} \, dx$.
આપણે સંકલ્યને આ રીતે ફરીથી લખી શકીએ:
$\frac{x^5}{x^2+1} = \frac{x^3(x^2+1) - x^3}{x^2+1} = x^3 - \frac{x^3}{x^2+1}$.
વધુમાં,$\frac{x^3}{x^2+1} = \frac{x(x^2+1) - x}{x^2+1} = x - \frac{x}{x^2+1}$.
તેથી,$\frac{x^5}{x^2+1} = x^3 - x + \frac{x}{x^2+1}$.
હવે,દરેક પદનું સંકલન કરતા:
$I = \int (x^3 - x + \frac{x}{x^2+1}) \, dx = \frac{x^4}{4} - \frac{x^2}{2} + \frac{1}{2} \int \frac{2x}{x^2+1} \, dx$.
આદેશ $u = x^2+1$ અને $du = 2x \, dx$ લેતા,આપણને મળે છે:
$I = \frac{x^4}{4} - \frac{x^2}{2} + \frac{1}{2} \log(x^2+1) + c$.

(B) આપણે જાણીએ છીએ કે ઘાતાંકીય વિધેય માટે ટેલર શ્રેણીનું વિસ્તરણ $e^u = \sum_{r=0}^{\infty} \frac{u^r}{r!}$ છે.
$u = 3x$ મૂકતા,આપણને $\sum_{r=0}^{\infty} \frac{(3x)^r}{r!} = \sum_{r=0}^{\infty} \frac{x^r 3^r}{r!} = e^{3x}$ મળે છે.
હવે,આપણે $\int \left(\sum_{r=0}^{\infty} \frac{x^r 3^r}{r!}\right) dx$ સંકલનનું મૂલ્ય શોધવાનું છે.
શ્રેણીને $e^{3x}$ વડે બદલતા,સંકલન $\int e^{3x} dx$ બને છે.
સંકલનનું સૂત્ર $\int e^{ax} dx = \frac{e^{ax}}{a} + c$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $\int e^{3x} dx = \frac{e^{3x}}{3} + c$ મળે છે.

(C) આપણી પાસે સંકલન $I = \int \frac{\sin 7x}{\sin 2x \sin 5x} dx$ છે.
નિત્યસમ $\sin 7x = \sin(5x + 2x)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$I = \int \frac{\sin(5x + 2x)}{\sin 2x \sin 5x} dx$.
સૂત્ર $\sin(A + B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B$ નો ઉપયોગ કરતા:
$I = \int \frac{\sin 5x \cos 2x + \cos 5x \sin 2x}{\sin 2x \sin 5x} dx$.
અંશના દરેક પદને છેદ વડે ભાગતા:
$I = \int \frac{\sin 5x \cos 2x}{\sin 2x \sin 5x} dx + \int \frac{\cos 5x \sin 2x}{\sin 2x \sin 5x} dx$.
$I = \int \cot 2x dx + \int \cot 5x dx$.
પ્રમાણિત સંકલન $\int \cot(ax) dx = \frac{1}{a} \log |\sin(ax)| + c$ નો ઉપયોગ કરતા:
$I = \frac{1}{2} \log |\sin 2x| + \frac{1}{5} \log |\sin 5x| + c$.

(C) ધારો કે $I = \int \frac{1}{x^5 \sqrt[5]{x^5+1}} dx$.
રેડિકલમાંથી $x^5$ સામાન્ય લેતા: $\sqrt[5]{x^5+1} = \sqrt[5]{x^5(1 + x^{-5})} = x(1 + x^{-5})^{1/5}$.
આને સંકલનમાં મૂકતા: $I = \int \frac{1}{x^5 \cdot x(1 + x^{-5})^{1/5}} dx = \int \frac{1}{x^6 (1 + x^{-5})^{1/5}} dx$.
ધારો કે $t = 1 + x^{-5}$. તો $dt = -5x^{-6} dx$,જેનો અર્થ છે કે $x^{-6} dx = -\frac{1}{5} dt$.
સંકલનમાં $t$ મૂકતા: $I = \int \frac{-1/5}{t^{1/5}} dt = -\frac{1}{5} \int t^{-1/5} dt$.
સંકલન કરતા: $I = -\frac{1}{5} \cdot \frac{t^{4/5}}{4/5} + C = -\frac{1}{4} t^{4/5} + C$.
$t = 1 + x^{-5} = \frac{x^5+1}{x^5}$ પાછા મૂકતા: $I = -\frac{1}{4} \left(\frac{x^5+1}{x^5}\right)^{4/5} + C = -\frac{(x^5+1)^{4/5}}{4(x^5)^{4/5}} + C = -\frac{(x^5+1)^{4/5}}{4x^4} + C$.

(D) ધારો કે $I = \int \frac{x+1}{\sqrt{x^2+x+1}} dx$.
અંશને $\frac{1}{2}(2x+1) + \frac{1}{2}$ તરીકે લખી શકાય.
તેથી,$I = \int \frac{\frac{1}{2}(2x+1) + \frac{1}{2}}{\sqrt{x^2+x+1}} dx = \frac{1}{2} \int \frac{2x+1}{\sqrt{x^2+x+1}} dx + \frac{1}{2} \int \frac{1}{\sqrt{x^2+x+1}} dx$.
ધારો કે $I_1 = \frac{1}{2} \int \frac{2x+1}{\sqrt{x^2+x+1}} dx$. $u = x^2+x+1$ લેતા,$du = (2x+1)dx$ મળે,તેથી $I_1 = \frac{1}{2} \int u^{-1/2} du = \frac{1}{2} (2\sqrt{u}) = \sqrt{x^2+x+1}$.
ધારો કે $I_2 = \frac{1}{2} \int \frac{1}{\sqrt{(x+1/2)^2 + (\sqrt{3}/2)^2}} dx$. સૂત્ર $\int \frac{dx}{\sqrt{x^2+a^2}} = \sinh^{-1}(\frac{x}{a})$ નો ઉપયોગ કરતા,$I_2 = \frac{1}{2} \sinh^{-1}\left(\frac{x+1/2}{\sqrt{3}/2}\right) = \frac{1}{2} \sinh^{-1}\left(\frac{2x+1}{\sqrt{3}}\right)$ મળે.
આમ,$I = \sqrt{x^2+x+1} + \frac{1}{2} \sinh^{-1}\left(\frac{2x+1}{\sqrt{3}}\right) + C$.

(A) ધારો કે $I = \int (\tan^7 x + \tan x) dx$.
આપણે $\tan x$ સામાન્ય કાઢી શકીએ:
$I = \int \tan x (\tan^6 x + 1) dx$.
નિત્યસમ $\tan^2 x = \sec^2 x - 1$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે $\tan^6 x = (\sec^2 x - 1)^3$.
વૈકલ્પિક રીતે,પદાવલિને નીચે મુજબ સાદું રૂપ આપો:
$I = \int (\tan^5 x(\tan^2 x + 1) - \tan^3 x(\tan^2 x + 1) + \tan x(\tan^2 x + 1)) dx$.
કારણ કે $1 + \tan^2 x = \sec^2 x$:
$I = \int (\tan^5 x \sec^2 x - \tan^3 x \sec^2 x + \tan x \sec^2 x) dx$.
ધારો કે $u = \tan x$,તો $du = \sec^2 x dx$.
$I = \int (u^5 - u^3 + u) du = \frac{u^6}{6} - \frac{u^4}{4} + \frac{u^2}{2} + C$.
$\frac{u^2}{12}$ સામાન્ય કાઢતા:
$I = \frac{u^2}{12} (2u^4 - 3u^2 + 6) + C$.
$u = \tan x$ પાછું મૂકતા:
$I = \frac{\tan^2 x}{12} (2 \tan^4 x - 3 \tan^2 x + 6) + C$.

(B) ધારો કે $I = \int \frac{\operatorname{cosec} x}{3 \cos x + 4 \sin x} dx$.
અંશ અને છેદને $\sin x$ વડે ભાગતા:
$I = \int \frac{\operatorname{cosec}^2 x}{3 \cot x + 4} dx$.
ધારો કે $t = 3 \cot x + 4$.
તેથી $dt = -3 \operatorname{cosec}^2 x dx$,જેનો અર્થ છે કે $\operatorname{cosec}^2 x dx = -\frac{1}{3} dt$.
આ કિંમતો સંકલનમાં મૂકતા:
$I = \int \frac{-1/3}{t} dt = -\frac{1}{3} \ln |t| + C$.
$t = 3 \cot x + 4$ પાછું મૂકતા:
$I = -\frac{1}{3} \ln |3 \cot x + 4| + C = -\frac{1}{3} \ln \left| \frac{3 \cos x + 4 \sin x}{\sin x} \right| + C$.
$-\ln |x| = \ln |1/x|$ ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા:
$I = \frac{1}{3} \ln \left| \frac{\sin x}{3 \cos x + 4 \sin x} \right| + C$.

(D) આપણને સંકલન $I = \int \frac{2 x^2 \cos \left(x^2\right)-\sin \left(x^2\right)}{x^2} d x$ આપેલ છે.
આપણે અપૂર્ણાંકને અલગ કરીને સંકલ્યને ફરીથી લખી શકીએ છીએ:
$I = \int \left( 2 \cos(x^2) - \frac{\sin(x^2)}{x^2} \right) dx$.
વૈકલ્પિક રીતે,ભાગાકારના નિયમનો ઉપયોગ કરીને $\frac{\sin(x^2)}{x}$ નું વિકલન તપાસો:
$\frac{d}{dx} \left( \frac{\sin(x^2)}{x} \right) = \frac{x \cdot \frac{d}{dx}(\sin(x^2)) - \sin(x^2) \cdot \frac{d}{dx}(x)}{x^2}$
$= \frac{x \cdot (\cos(x^2) \cdot 2x) - \sin(x^2) \cdot 1}{x^2}$
$= \frac{2x^2 \cos(x^2) - \sin(x^2)}{x^2}$.
તેથી,$\int \frac{2 x^2 \cos \left(x^2\right)-\sin \left(x^2\right)}{x^2} d x = \frac{\sin \left(x^2\right)}{x} + c$.

(B) અમને સંકલન $I = \int \frac{\log (1+x^4)}{x^3} d x$ આપેલ છે.
ખંડશઃ સંકલનનો ઉપયોગ કરતા,$u = \log (1+x^4)$ અને $dv = x^{-3} dx$ લો.
તેથી $du = \frac{4x^3}{1+x^4} dx$ અને $v = \frac{x^{-2}}{-2} = -\frac{1}{2x^2}$ મળે.
$I = -\frac{1}{2x^2} \log (1+x^4) - \int \left(-\frac{1}{2x^2}\right) \frac{4x^3}{1+x^4} dx = -\frac{1}{2x^2} \log (1+x^4) + \int \frac{2x}{1+x^4} dx$.
ધારો કે $t = x^2$,તો $dt = 2x dx$.
$I = -\frac{1}{2x^2} \log (1+x^4) + \int \frac{dt}{1+t^2} = -\frac{1}{2x^2} \log (1+x^4) + \tan^{-1}(x^2) + c$.
આને $f(x) \log \left(\frac{1}{g(x)}\right) + \tan^{-1}(h(x)) + c$ સાથે સરખાવતા,આપણને $f(x) = \frac{1}{2x^2}$,$g(x) = 1+x^4$,અને $h(x) = x^2$ મળે છે.
હવે,$f\left(\frac{1}{x}\right) = \frac{1}{2(1/x)^2} = \frac{x^2}{2}$.
તેથી $h(x) \left[f(x) + f\left(\frac{1}{x}\right)\right] = x^2 \left(\frac{1}{2x^2} + \frac{x^2}{2}\right) = \frac{1}{2} + \frac{x^4}{2} = \frac{1+x^4}{2} = \frac{g(x)}{2}$.

(D) ધારો કે $I = \int \frac{2 \cos 2 x}{(1+\sin 2 x)(1+\cos 2 x)} d x$.
નિત્યસમનો ઉપયોગ કરતા: $\cos 2x = \frac{1-\tan^2 x}{1+\tan^2 x}$,$\sin 2x = \frac{2\tan x}{1+\tan^2 x}$,અને $1+\cos 2x = \frac{2}{1+\tan^2 x}$.
$I = \int \frac{2 \left(\frac{1-\tan^2 x}{1+\tan^2 x}\right)}{\left(1+\frac{2\tan x}{1+\tan^2 x}\right) \left(\frac{2}{1+\tan^2 x}\right)} d x$
$I = \int \frac{1-\tan^2 x}{(1+\tan x)^2} d x = \int \frac{(1-\tan x)(1+\tan x)}{(1+\tan x)^2} d x$
$I = \int \frac{1-\tan x}{1+\tan x} d x$.
અહીં $\tan x = t$ લેતા,$\sec^2 x d x = d t$ થાય,પરંતુ આ પદાવલિ માટે સીધું સાદુંરૂપ આપતા:
$I = \int \frac{1-t}{1+t} d t = \int (-1 + \frac{2}{1+t}) d t$
$I = -t + 2 \ln(1+t) + c = 2 \ln(1+\tan x) - \tan x + c$.

(B) ધારો કે $I = \int \frac{3 x^9+7 x^8}{(x^2+2 x+5 x^8)^2} dx$.
અંશ અને છેદને $x^{16}$ વડે ભાગતા:
$I = \int \frac{3 x^9+7 x^8}{x^{16} (x^{-6} + 2x^{-7} + 5)^2} dx = \int \frac{3 x^{-7} + 7 x^{-8}}{(x^{-6} + 2x^{-7} + 5)^2} dx$.
ધારો કે $t = x^{-6} + 2x^{-7} + 5$.
તેથી $dt = (-6x^{-7} - 14x^{-8}) dx = -2(3x^{-7} + 7x^{-8}) dx$.
આથી,$(3x^{-7} + 7x^{-8}) dx = -\frac{1}{2} dt$.
સંકલનમાં કિંમત મૂકતા:
$I = \int \frac{-1/2}{t^2} dt = -\frac{1}{2} \int t^{-2} dt = -\frac{1}{2} (\frac{t^{-1}}{-1}) + C = \frac{1}{2t} + C$.
$t$ ની કિંમત પાછી મૂકતા:
$I = \frac{1}{2(x^{-6} + 2x^{-7} + 5)} + C = \frac{1}{2(\frac{x+2+5x^7}{x^7})} + C = \frac{x^7}{2(5x^7+x+2)} + C$.

(B) ધારો કે $I = \int \frac{\cos x + x \sin x}{x(x + \cos x)} dx$.
અંશને આ રીતે લખી શકાય: $\cos x + x \sin x = (x + \cos x) - x(1 - \sin x)$.
તેથી,$I = \int \frac{(x + \cos x) - x(1 - \sin x)}{x(x + \cos x)} dx$.
સંકલનને અલગ પાડતા: $I = \int \frac{x + \cos x}{x(x + \cos x)} dx - \int \frac{x(1 - \sin x)}{x(x + \cos x)} dx$.
$I = \int \frac{1}{x} dx - \int \frac{1 - \sin x}{x + \cos x} dx$.
ધારો કે $u = x + \cos x$,તો $du = (1 - \sin x) dx$.
આ કિંમતો સંકલનમાં મૂકતા: $I = \ln |x| - \int \frac{1}{u} du$.
$I = \ln |x| - \ln |u| + C$.
$I = \ln |x| - \ln |x + \cos x| + C$.
$I = \ln \left| \frac{x}{x + \cos x} \right| + C$.