AP EAMCET 2024 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(D) વર્તુળનું સમીકરણ $x^2+y^2-8x-12y+\alpha=0$ છે. કેન્દ્ર $(4, 6)$ છે અને ત્રિજ્યા $r = \sqrt{4^2+6^2-\alpha} = \sqrt{52-\alpha}$ છે.
વર્તુળ પ્રથમ ચરણમાં અક્ષોને સ્પર્શ્યા વગર આવેલું હોવાથી,કેન્દ્રથી અક્ષોનું અંતર ત્રિજ્યા કરતા વધારે હોવું જોઈએ: $r < 4$ અને $r < 6$. તેથી,$r < 4$,જેનો અર્થ છે $\sqrt{52-\alpha} < 4$ $\Rightarrow 52-\alpha < 16$ $\Rightarrow \alpha > 36$.
$(6, 6)$ એ અંદરનું બિંદુ હોવાથી,તેને વર્તુળના સમીકરણમાં મૂકતા $6^2+6^2-8(6)-12(6)+\alpha < 0$ મળે છે.
$36+36-48-72+\alpha < 0$ $\Rightarrow \alpha - 48 < 0$ $\Rightarrow \alpha < 48$.
આ બંનેને જોડતા,આપણને $36 < \alpha < 48$ મળે છે.

(D) બિંદુ $A(4,2)$ એ વર્તુળ $x^2+y^2-2x-4y+\alpha=0$ પર આવેલું છે.
$A$ ના યામ સમીકરણમાં મૂકતા:
$16+4-8-8+\alpha=0 \Rightarrow \alpha=-4$.
વર્તુળનું સમીકરણ $x^2+y^2-2x-4y-4=0$ થાય.
બિંદુ $P(5,3)$ ની વર્તુળ સાપેક્ષ પાવર $PA \cdot PB$ દ્વારા મળે છે.
વર્તુળ $x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ માટે બિંદુ $(x_0, y_0)$ ની પાવર $x_0^2+y_0^2+2gx_0+2fy_0+c$ છે.
$P(5,3)$ ને વર્તુળના સમીકરણમાં મૂકતા:
$PA \cdot PB = 5^2+3^2-2(5)-4(3)-4 = 25+9-10-12-4 = 8$.

(B) વર્તુળ $x^2+y^2=1$ ની જીવા $x+y-1=0$ દ્વારા કેન્દ્ર આગળ આંતરાતો ખૂણો શોધવા માટે,આપણે નીચેના પગલાં અનુસરીએ છીએ:
પગલું $1$: વર્તુળ અને જીવા ઓળખો.
વર્તુળ $x^2+y^2=1$ નું કેન્દ્ર ઉગમબિંદુ $O(0,0)$ પર છે અને ત્રિજ્યા $r=1$ છે.
જીવા $x+y-1=0$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પગલું $2$: ઉગમબિંદુથી જીવા સુધીનું લંબ અંતર $d$ શોધો.
$(0,0)$ થી $x+y-1=0$ સુધીનું અંતર $d = \frac{|1(0)+1(0)-1|}{\sqrt{1^2+1^2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$ છે.
પગલું $3$: ખૂણો ગણો.
ધારો કે જીવા વર્તુળને $A$ અને $B$ બિંદુઓ પર છેદે છે. સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણ $OAB$ માં,$O$ માંથી $AB$ પરનો લંબ $\angle AOB$ ને દુભાગે છે. ધારો કે $\angle AOB = 2\theta$.
ઉગમબિંદુ,જીવાનું મધ્યબિંદુ અને જીવાના એક અંત્યબિંદુ દ્વારા બનતા કાટકોણ ત્રિકોણમાં,આપણી પાસે $\cos(\theta) = \frac{d}{r} = \frac{1/\sqrt{2}}{1} = \frac{1}{\sqrt{2}}$ છે.
આમ,$\theta = 45^{\circ}$ અથવા $\frac{\pi}{4}$ રેડિયન.
કેન્દ્ર આગળ આંતરાતો કુલ ખૂણો $\angle AOB = 2\theta = 2 \times 45^{\circ} = 90^{\circ}$ અથવા $\frac{\pi}{2}$ રેડિયન છે.

(A) વર્તુળનું સમીકરણ $x^2 + y^2 - 4 x - 6 y + 9 = 0$ છે.
કેન્દ્ર $(2, 3)$ અને ત્રિજ્યા $r = 2$ છે.
રેખા $6 x + 8 y + \alpha = 0$ વર્તુળને બે ભિન્ન બિંદુઓમાં છેદે તે માટે કેન્દ્રથી રેખાનું લંબ અંતર ત્રિજ્યા કરતા ઓછું હોવું જોઈએ.
અંતર $d = \frac{|36 + \alpha|}{10} < 2 \Rightarrow |36 + \alpha| < 20$.
તેથી $-56 < \alpha < -16$.
$\alpha = 8k$ હોવાથી,$-56 < 8k < -16 \Rightarrow -7 < k < -2$.
$k$ ના શક્ય મૂલ્યો $-6, -5, -4, -3$ છે.
આમ,$S$ માં ઘટકોની સંખ્યા $4$ છે.

(B) આપેલ વર્તુળનું સમીકરણ $x^2 + y^2 + 8x - 6y - 24 = 0$ છે.
પૂર્ણવર્ગ બનાવતા,$(x + 4)^2 + (y - 3)^2 = 49$ મળે.
તેથી,કેન્દ્ર $C(-4, 3)$ અને ત્રિજ્યા $r = 7$ છે.
બે રેખાઓ $l_1: a_1x + b_1y + c_1 = 0$ અને $l_2: a_2x + b_2y + c_2 = 0$ એ કેન્દ્ર $(h, k)$ અને ત્રિજ્યા $r$ વાળા વર્તુળના સાપેક્ષમાં સંયુગ્મી હોય જો $r^2(a_1a_2 + b_1b_2) = (a_1h + b_1k + c_1)(a_2h + b_2k + c_2)$ થાય.
અહીં,$a_1 = 2, b_1 = -3, c_1 = 3$ અને $a_2 = 1, b_2 = 2, c_2 = k$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $49(2(1) + (-3)(2)) = (2(-4) - 3(3) + 3)(1(-4) + 2(3) + k)$.
$49(-4) = (-14)(2 + k)$.
$196 = 14(2 + k)$ $\Rightarrow 14 = 2 + k$ $\Rightarrow k = 12$.
બિંદુ $\left(\frac{12}{4}, \frac{12}{3}\right) = (3, 4)$ છે.
બિંદુ $(x_1, y_1)$ માંથી વર્તુળ $S = 0$ પરના સ્પર્શકની લંબાઈ $\sqrt{S(x_1, y_1)}$ છે.
$L = \sqrt{3^2 + 4^2 + 8(3) - 6(4) - 24} = \sqrt{9 + 16 + 24 - 24 - 24} = \sqrt{1} = 1$.

(B) વર્તુળના વ્યાસના સમીકરણો:
$2x - 3y + 1 = 0$ ...$(i)$
$4x - 5y - 1 = 0$ ...(ii)
સમીકરણ $(i)$ અને (ii) ઉકેલતા,આપણને વર્તુળનું કેન્દ્ર $C = (-g, -f) = (3, 4)$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $g = -3$ અને $f = -4$.
વર્તુળનું સમીકરણ $x^2 + y^2 - 6x - 8y - 11 = 0$ છે.
વર્તુળની ત્રિજ્યા $r = CQ = \sqrt{g^2 + f^2 - c} = \sqrt{(-3)^2 + (-4)^2 - (-11)} = \sqrt{9 + 16 + 11} = \sqrt{36} = 6$.
કેન્દ્ર $C(3, 4)$ અને બિંદુ $P(-2, -2)$ વચ્ચેનું અંતર $CP = \sqrt{(3 - (-2))^2 + (4 - (-2))^2} = \sqrt{5^2 + 6^2} = \sqrt{25 + 36} = \sqrt{61}$.
કાટકોણ ત્રિકોણ $\triangle CQP$ માં,સ્પર્શકની લંબાઈ $PQ = \sqrt{CP^2 - CQ^2} = \sqrt{61 - 36} = \sqrt{25} = 5$.
ચતુષ્કોણ $PQCR$ નું ક્ષેત્રફળ એ $\triangle CQP$ અને $\triangle CRP$ ના ક્ષેત્રફળનો સરવાળો છે.
$PQCR$ નું ક્ષેત્રફળ $= 2 \times \text{Area}(\triangle CQP) = 2 \times (\frac{1}{2} \times CQ \times PQ) = 6 \times 5 = 30$ ચોરસ એકમ.

(B) વર્તુળનું સમીકરણ $x^2+y^2-4x+6y-4=0$ છે.
સામાન્ય સ્વરૂપ $x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ સાથે સરખાવતા,$g=-2$ અને $f=3$ મળે છે.
વર્તુળનું કેન્દ્ર $(-g, -f) = (2, -3)$ છે.
વર્તુળ પરના કોઈપણ બિંદુ $(x_1, y_1)$ આગળનો અભિલંબ હંમેશા વર્તુળના કેન્દ્રમાંથી પસાર થાય છે.
તેથી,અભિલંબ એ $(1, 1)$ અને $(2, -3)$ માંથી પસાર થતી રેખા છે.
આ રેખાનો ઢાળ $m = \frac{-3-1}{2-1} = \frac{-4}{1} = -4$ છે.
રેખાનું સમીકરણ $(y-1) = -4(x-1)$ છે.
$y-1 = -4x+4$.
$4x+y = 5$.

(D) વર્તુળનું સમીકરણ $x^2+y^2-6x+4y+12=0$ છે.
પૂર્ણવર્ગ બનાવતા,$(x-3)^2+(y+2)^2 = 1$ મળે.
આમ,કેન્દ્ર $O(3,-2)$ અને ત્રિજ્યા $r=1$ છે.
બિંદુ $A(2,3)$ થી કેન્દ્ર $O(3,-2)$ સુધીનું અંતર $d = \sqrt{(3-2)^2+(-2-3)^2} = \sqrt{26}$ છે.
ધારો કે સ્પર્શકો વચ્ચેનો અડધો ખૂણો $\alpha$ છે. કાટકોણ ત્રિકોણ $AOP$ માં,$\sin(\alpha) = \frac{r}{d} = \frac{1}{\sqrt{26}}$.
તેથી $\cos(\alpha) = \frac{5}{\sqrt{26}}$ અને $\tan(\alpha) = \frac{1}{5}$.
સ્પર્શકો વચ્ચેનો કુલ ખૂણો $\theta = 2\alpha$ છે.
$\tan(\theta) = \frac{2\tan(\alpha)}{1-\tan^2(\alpha)} = \frac{2(1/5)}{1-(1/5)^2} = \frac{5}{12}$.
તેથી,$\theta = \tan^{-1}\left(\frac{5}{12}\right)$.

(A) વર્તુળના પરસ્પર લંબ સ્પર્શકોના છેદબિંદુના બિંદુપથને નિયામક વર્તુળ કહેવામાં આવે છે.
વર્તુળ $x^2+y^2=a^2$ માટે,નિયામક વર્તુળનું સમીકરણ $x^2+y^2=2a^2$ છે.
બિંદુ $(10,4)$ નિયામક વર્તુળ પર આવેલું હોવાથી,આપણને મળે છે:
$10^2+4^2 = 2a^2$
$100+16 = 2a^2$
$116 = 2a^2$
$a^2 = 58$
$a = \sqrt{58}$

(B) વર્તુળના લંબ સ્પર્શકોના છેદબિંદુના બિંદુપથને ડાયરેક્ટર સર્કલ (નિયામક વર્તુળ) કહેવામાં આવે છે.
$x^2+y^2=r^2$ સમીકરણ ધરાવતા વર્તુળ માટે,ડાયરેક્ટર સર્કલનું સમીકરણ $x^2+y^2=2r^2$ છે.
આપેલ વર્તુળ $x^2+y^2=10$ માટે,$r^2=10$ છે.
આ કિંમત ડાયરેક્ટર સર્કલના સૂત્રમાં મૂકતા,આપણને $x^2+y^2=2(10) = 20$ મળે છે.
આમ,જરૂરી બિંદુપથ $x^2+y^2=20$ છે.

(B) વર્તુળનું સમીકરણ $x^2+y^2=25$ છે,તેથી ત્રિજ્યા $r=5$ છે.
ધારો કે $C(x_1, y_1)$ એ જીવા $AB$ નું મધ્યબિંદુ છે જે ઉગમબિંદુ $O(0, 0)$ આગળ કાટખૂણો આંતરે છે.
$\triangle OAB$ માં,$OA=OB=5$ અને $\angle AOB = 90^\circ$ છે.
$OC$ એ કાટકોણ ત્રિકોણ $\triangle OAB$ માં કર્ણ $AB$ પરની મધ્યગા હોવાથી,$OC = \frac{1}{2} AB$ થાય.
વૈકલ્પિક રીતે,$\triangle OCB$ માં,$\angle COB = 45^\circ$ અને $\angle OCB = 90^\circ$ છે.
તેથી,$OC = OB \cos(45^\circ) = 5 \times \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{5}{\sqrt{2}}$.
મધ્યબિંદુ $C(x_1, y_1)$ નું ઉગમબિંદુથી અંતર $\sqrt{x_1^2+y_1^2}$ છે.
તેથી,$\sqrt{x_1^2+y_1^2} = \frac{5}{\sqrt{2}}$,જેનો અર્થ છે કે $x_1^2+y_1^2 = \frac{25}{2}$.
$\frac{25}{2}$ વડે ભાગતા,આપણને $\frac{x_1^2}{25/2} + \frac{y_1^2}{25/2} = 1$ મળે છે.
આને $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{a^2} = 1$ સાથે સરખાવતા,$a^2 = \frac{25}{2}$ મળે,તેથી $|a| = \frac{5}{\sqrt{2}}$.

(C) જીવાનું સમીકરણ $y = 2x + 3$ છે.
વર્તુળના સમીકરણ $x^2 + y^2 + 6x - 4y + 4 = 0$ માં આ કિંમત મૂકતા:
$x^2 + (2x + 3)^2 + 6x - 4(2x + 3) + 4 = 0$
$5x^2 + 10x + 1 = 0$.
મધ્યબિંદુનો $x$-યામ $a$ એ બીજનો સરેરાશ છે: $a = \frac{x_1 + x_2}{2} = \frac{-10/5}{2} = -1$.
કારણ કે $(a, b)$ એ જીવા $y = 2x + 3$ પર આવેલું છે,તેથી $b = 2a + 3 = 2(-1) + 3 = 1$.
આમ,$2a + 3b = 2(-1) + 3(1) = -2 + 3 = 1$.

(B) વર્તુળનું સમીકરણ $x^2+y^2-4x-8y+16=0$ છે.
આપેલ જીવાનું મધ્યબિંદુ $(x_1, y_1) = (1,3)$ છે.
મધ્યબિંદુ $(x_1, y_1)$ વાળી જીવાનું સમીકરણ $T = S_1$ દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા: $x(1) + y(3) - 2(x+1) - 4(y+3) + 16 = 1^2 + 3^2 - 4(1) - 8(3) + 16$.
$x + 3y - 2x - 2 - 4y - 12 + 16 = 1 + 9 - 4 - 24 + 16$.
$-x - y + 2 = -2$.
$-x - y = -4$,એટલે કે $x + y = 4$.
આ જીવા યામ અક્ષોને $A(0,4)$ અને $B(4,0)$ બિંદુએ છેદે છે.
જીવા અને યામ અક્ષો દ્વારા બનતો ત્રિકોણ કાટકોણ ત્રિકોણ છે,જેમાં પાયો $OB = 4$ અને વેધ $OA = 4$ છે.
$\text{ક્ષેત્રફળ} = \frac{1}{2} \times \text{પાયો} \times \text{વેધ} = \frac{1}{2} \times 4 \times 4 = 8$.

(B) ધારો કે વર્તુળ $S$ એ $x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ છે.
વર્તુળ $S$ આપેલા વર્તુળોને લંબચ્છેદી હોવાથી,આપણે શરત $2g_1g_2 + 2f_1f_2 = c_1 + c_2$ નો ઉપયોગ કરીએ છીએ.
$S_1: x^2+y^2-2x+6y=0$ માટે,$g_1=-1, f_1=3, c_1=0$. તેથી,$2g(-1) + 2f(3) = c + 0 \Rightarrow -2g + 6f = c$ $(i)$.
$S_2: x^2+y^2-4x-2y+6=0$ માટે,$g_2=-2, f_2=-1, c_2=6$. તેથી,$2g(-2) + 2f(-1) = c + 6 \Rightarrow -4g - 2f = c + 6$ $(ii)$.
$S_3: x^2+y^2-12x+2y+3=0$ માટે,$g_3=-6, f_3=1, c_3=3$. તેથી,$2g(-6) + 2f(1) = c + 3 \Rightarrow -12g + 2f = c + 3$ $(iii)$.
$(i)$ માંથી $(ii)$ બાદ કરતા: $2g + 8f = -6 \Rightarrow g + 4f = -3$ $(iv)$.
$(ii)$ માંથી $(iii)$ બાદ કરતા: $8g - 4f = 3$ $(v)$.
$(iv)$ અને $(v)$ નો સરવાળો કરતા: $9g = 0 \Rightarrow g = 0$. તેથી $4f = -3 \Rightarrow f = -3/4$.
$(i)$ માં કિંમત મુકતા: $c = -2(0) + 6(-3/4) = -18/4 = -9/2$.
આમ,વર્તુળ $S$ એ $x^2+y^2 - \frac{3}{2}y - \frac{9}{2} = 0$ છે.
બિંદુ $(0,3)$ આગળ સ્પર્શકનું સમીકરણ $xx_1 + yy_1 + g(x+x_1) + f(y+y_1) + c = 0$ છે.
$(0,3)$ મુકતા: $x(0) + y(3) + 0(x+0) - \frac{3}{4}(y+3) - \frac{9}{2} = 0$.
$3y - \frac{3}{4}y - \frac{9}{4} - \frac{18}{4} = 0 \Rightarrow \frac{9}{4}y - \frac{27}{4} = 0 \Rightarrow 9y = 27 \Rightarrow y = 3$.

(A) ધારો કે માંગેલ વર્તુળનું સમીકરણ $x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ છે.
લંબચ્છેદી વર્તુળની શરત $2g_1g_2 + 2f_1f_2 = c_1 + c_2$ મુજબ:
$x^2+y^2-4x-4y+7=0$ માટે: $4g+4f+c=-7$ $(i)$.
$x^2+y^2+4x-4y+6=0$ માટે: $4g-4f-c=6$ $(ii)$.
$x^2+y^2+4x+4y+5=0$ માટે: $4g+4f-c=5$ $(iii)$.
$(i)$ અને $(iii)$ પરથી,$2c = -12 \Rightarrow c = -6$.
$g = -\frac{1}{8}$ અને $f = -\frac{1}{8}$ મળે છે.
ત્રિજ્યા $r = \sqrt{g^2+f^2-c} = \sqrt{\frac{1}{64} + \frac{1}{64} + 6} = \frac{\sqrt{193}}{4\sqrt{2}}$.

(A) આપેલ વર્તુળો $S_1: x^2+y^2-4x-6y-3=0$ અને $S_2: x^2+y^2+8x-4y+11=0$ છે.
$x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ સાથે સરખાવતા:
$S_1$ માટે: $g_1 = -2, f_1 = -3, c_1 = -3$.
$S_2$ માટે: $g_2 = 4, f_2 = -2, c_2 = 11$.
બે વર્તુળો વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ શોધવાનું સૂત્ર: $\cos \theta = \frac{|2g_1g_2 + 2f_1f_2 - c_1 - c_2|}{2\sqrt{g_1^2+f_1^2-c_1}\sqrt{g_2^2+f_2^2-c_2}}$.
કિંમતો મૂકતા:
અંશ: $|-16 + 12 + 3 - 11| = 12$.
છેદ: $2\sqrt{16}\sqrt{9} = 24$.
તેથી,$\cos \theta = \frac{12}{24} = \frac{1}{2}$.
આમ,$\theta = \frac{\pi}{3}$.

(C) આપેલ વર્તુળોના સમીકરણો $S_1: x^2+y^2+2 \alpha x+2 y-8=0$ અને $S_2: x^2+y^2-2 x+\alpha y-14=0$ છે.
$x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ સાથે સરખાવતા,$(g_1, f_1, c_1) = (\alpha, 1, -8)$ અને $(g_2, f_2, c_2) = (-1, \frac{\alpha}{2}, -14)$ મળે.
વર્તુળો લંબરૂપે છેદતા હોવાથી,શરત $2g_1g_2 + 2f_1f_2 = c_1 + c_2$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $2(\alpha)(-1) + 2(1)(\frac{\alpha}{2}) = -8 - 14$.
$-2\alpha + \alpha = -22$,જેથી $\alpha = 22$ મળે.
$S_1$ નું કેન્દ્ર $C_1 = (-g_1, -f_1) = (-22, -1)$ છે.
$S_2$ નું કેન્દ્ર $C_2 = (-g_2, -f_2) = (1, -\frac{22}{2}) = (1, -11)$ છે.
કેન્દ્રો $C_1$ અને $C_2$ વચ્ચેનું અંતર $d = \sqrt{(1 - (-22))^2 + (-11 - (-1))^2} = \sqrt{(23)^2 + (-10)^2} = \sqrt{529 + 100} = \sqrt{629}$ છે.

(D) આપેલ વર્તુળ $S \equiv x^2+y^2-14x+6y+33=0$.
પૂર્ણવર્ગ બનાવતા: $(x-7)^2 + (y+3)^2 = 49+9-33 = 25$.
તેથી,કેન્દ્ર $C = (7, -3)$ અને ત્રિજ્યા $r = 5$.
વર્તુળ $S' \equiv x^2+y^2=a^2$ માટે,કેન્દ્ર $C' = (0, 0)$ અને ત્રિજ્યા $r' = a$.
$4$ સામાન્ય સ્પર્શકો માટે,વર્તુળો અલગ હોવા જોઈએ,જેનો અર્થ છે કે કેન્દ્રો વચ્ચેનું અંતર $CC' > r + r'$.
$CC' = \sqrt{(7-0)^2 + (-3-0)^2} = \sqrt{49+9} = \sqrt{58} \approx 7.616$.
શરત: $7.616 > 5 + a$.
$a < 2.616$.
કારણ કે $a \in \mathbb{N}$,$a$ માટે શક્ય કિંમતો $1$ અને $2$ છે.
આમ,$a$ માટે $2$ શક્ય કિંમતો છે.

(C) પ્રથમ વર્તુળ $S_1: x^2+y^2-8x-8y+28=0$ માટે,કેન્દ્ર $C_1 = (4, 4)$ અને ત્રિજ્યા $r_1 = \sqrt{4^2+4^2-28} = 2$ છે.
બીજા વર્તુળ $S_2: x^2+y^2-8x-6y+25-\alpha^2=0$ માટે,કેન્દ્ર $C_2 = (4, 3)$ અને ત્રિજ્યા $r_2 = \sqrt{4^2+3^2-(25-\alpha^2)} = |\alpha|$ છે.
બે વર્તુળોને એક જ સામાન્ય સ્પર્શક હોય જો તેઓ એકબીજાને સ્પર્શતા હોય.
કેન્દ્રો વચ્ચેનું અંતર $C_1 C_2 = \sqrt{(4-4)^2 + (4-3)^2} = 1$ છે.
આંતરિક સ્પર્શ માટે,$|r_1 - r_2| = C_1 C_2 \Rightarrow |2 - |\alpha|| = 1$.
આથી $|\alpha| = 1$ અથવા $|\alpha| = 3$ મળે.
આપેલા વિકલ્પો મુજબ,$\alpha = 1$ સાચો જવાબ છે.

(D) આપેલ વર્તુળોના સમીકરણો:
$x^2 + y^2 - 6x + 4y + 9 = 0 \Rightarrow (x-3)^2 + (y+2)^2 = 2^2 \quad \dots(i)$
$x^2 + y^2 + 2x - 2y + 1 = 0 \Rightarrow (x+1)^2 + (y-1)^2 = 1^2 \quad \dots(ii)$
$(i)$ અને $(ii)$ પરથી,કેન્દ્રો અને ત્રિજ્યાઓ:
$C_1 = (3, -2), r_1 = 2$
$C_2 = (-1, 1), r_2 = 1$
કેન્દ્રો $C_1$ અને $C_2$ વચ્ચેનું અંતર:
$C_1C_2 = \sqrt{(3 - (-1))^2 + (-2 - 1)^2} = \sqrt{4^2 + (-3)^2} = \sqrt{16 + 9} = 5$
સામાન્ય સ્પર્શકની લંબાઈ $AB$ નું સૂત્ર:
$AB = \sqrt{(C_1C_2)^2 - (r_1 - r_2)^2}$
$AB = \sqrt{5^2 - (2 - 1)^2} = \sqrt{25 - 1} = \sqrt{24} = 2\sqrt{6}$

(A) વક્રનું સમીકરણ $2x^2 - y^2 + 3x + 2y = 0$ છે.
ધારો કે જીવાનું સમીકરણ $y = mx + c$ છે,જેને $\frac{y - mx}{c} = 1$ તરીકે લખી શકાય.
આને વક્રના સમીકરણમાં મૂકતા:
$2x^2 - y^2 + (3x + 2y)(\frac{y - mx}{c}) = 0$.
$c$ વડે ગુણતા:
$(2c - 3m)x^2 + (2 - c)y^2 + (3 - 2m)xy = 0$.
જીવા ઉગમબિંદુ પર કાટખૂણો આંતરે છે,તેથી $x^2$ અને $y^2$ ના સહગુણકોનો સરવાળો શૂન્ય થાય:
$(2c - 3m) + (2 - c) = 0 \Rightarrow c - 3m + 2 = 0$.
$c = 3m - 2$ ને $y = mx + c$ માં મૂકતા:
$y = mx + 3m - 2 \Rightarrow y + 2 = m(x + 3)$.
આ સમીકરણ બિંદુ $(-3, -2)$ માંથી પસાર થતી રેખાઓ દર્શાવે છે.
તેથી,$(\alpha, \beta) = (-3, -2)$.

(B) વર્તુળ $C_1$ નું સમીકરણ $x^2+y^2=16$ છે.
વર્તુળ $C_2$ નું સમીકરણ $(x-\alpha)^2+(y-\beta)^2=25$ છે,જેનું વિસ્તરણ $x^2-2\alpha x+\alpha^2+y^2-2\beta y+\beta^2=25$ થાય છે.
સામાન્ય જીવાનું સમીકરણ $C_2-C_1=0$ દ્વારા મળે છે,જે $-2\alpha x-2\beta y+\alpha^2+\beta^2=9$ છે.
સામાન્ય જીવાનો ઢાળ $m = -\frac{\alpha}{\beta} = \frac{3}{4}$ છે.
ધારો કે $\alpha = -3\lambda$ અને $\beta = 4\lambda$.
સામાન્ય જીવા મહત્તમ લંબાઈની હોય તે માટે તે નાના વર્તુળ $C_1$ નો વ્યાસ હોવો જોઈએ,એટલે કે જીવા $C_1$ ના કેન્દ્ર $(0,0)$ માંથી પસાર થવી જોઈએ.
$(0,0)$ ને જીવાના સમીકરણમાં મૂકતા: $-2\alpha(0)-2\beta(0)+\alpha^2+\beta^2=9$,તેથી $\alpha^2+\beta^2=9$.
$\alpha$ અને $\beta$ ને $\lambda$ ના સ્વરૂપમાં મૂકતા: $(-3\lambda)^2+(4\lambda)^2=9$ $\Rightarrow 25\lambda^2=9$ $\Rightarrow \lambda = \pm \frac{3}{5}$.
જો $\lambda = \frac{3}{5}$ હોય,તો $\alpha = -\frac{9}{5}$ અને $\beta = \frac{12}{5}$,તેથી $\alpha+\beta = \frac{3}{5}$.

(D) બે વર્તુળો $S_1=0$ અને $S_2=0$ ના છેદબિંદુમાંથી પસાર થતા વર્તુળના સમૂહનું સમીકરણ $S_1 + kS_2 = 0$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$(x^2+y^2-2x+2y-2) + k(x^2+y^2+2x-2y+1) = 0$
$(1+k)x^2 + (1+k)y^2 + (2k-2)x + (2-2k)y + (k-2) = 0$
$(1+k)$ વડે ભાગતા,આપણને મળે $x^2 + y^2 + \frac{2(k-1)}{k+1}x + \frac{2(1-k)}{k+1}y + \frac{k-2}{k+1} = 0$.
આ વર્તુળનું કેન્દ્ર $\left(-\frac{k-1}{k+1}, -\frac{1-k}{k+1}\right) = \left(\frac{1-k}{k+1}, \frac{k-1}{k+1}\right)$ છે.
કેન્દ્ર રેખા $x-y+6=0$ પર હોવાથી,આપણે યામ મૂકીએ:
$\frac{1-k}{k+1} - \frac{k-1}{k+1} + 6 = 0$
$\frac{1-k-k+1}{k+1} = -6 \Rightarrow 2-2k = -6k-6$
$4k = -8 \Rightarrow k = -2$.
$k=-2$ મૂકતા: $x^2+y^2+6x-6y+4=0$.
ત્રિજ્યા $r = \sqrt{g^2+f^2-c} = \sqrt{3^2+(-3)^2-4} = \sqrt{14}$.

(C) $S_1$ અને $S_2$ ના છેદબિંદુમાંથી પસાર થતા વર્તુળનું સમીકરણ $S_1 + \lambda S_2 = 0$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$x^2 - 2x + y^2 - 4y - 4 + \lambda(x^2 + 2x + y^2 + 4y - 4) = 0$.
$(1 + \lambda)x^2 + (1 + \lambda)y^2 + 2(\lambda - 1)x + 4(\lambda - 1)y - 4(1 + \lambda) = 0$.
$(1 + \lambda)$ વડે ભાગતા,આપણને $x^2 + y^2 + \frac{2(\lambda - 1)}{1 + \lambda}x + \frac{4(\lambda - 1)}{1 + \lambda}y - 4 = 0$ મળે છે.
તે $(3, 3)$ માંથી પસાર થતું હોવાથી,$x = 3, y = 3$ મૂકતા:
$9 + 9 + \frac{6(\lambda - 1)}{1 + \lambda} + \frac{12(\lambda - 1)}{1 + \lambda} - 4 = 0$.
$14 + \frac{18(\lambda - 1)}{1 + \lambda} = 0 \Rightarrow 14(1 + \lambda) + 18(\lambda - 1) = 0$.
$14 + 14\lambda + 18\lambda - 18 = 0$ $\Rightarrow 32\lambda = 4$ $\Rightarrow \lambda = \frac{1}{8}$.
હવે,$\alpha = \frac{2(\frac{1}{8} - 1)}{1 + \frac{1}{8}} = -\frac{14}{9}$.
$\beta = \frac{4(\frac{1}{8} - 1)}{1 + \frac{1}{8}} = -\frac{28}{9}$.
$\gamma = -4$.
$3(\alpha + \beta + \gamma) = 3(-\frac{14}{9} - \frac{28}{9} - 4) = -26$.

(A) ધારો કે બે વર્તુળો $S_1 \equiv x^2+y^2-6x-7=0$ અને $S_2 \equiv x^2+y^2-10x+16=0$ છે.
સામાન્ય જીવા $S_1 - S_2 = 0$ દ્વારા મળે છે.
$(x^2+y^2-6x-7) - (x^2+y^2-10x+16) = 0$
$4x - 23 = 0 \Rightarrow x = \frac{23}{4}$.
છેદબિંદુઓ $x = \frac{23}{4}$ ને $S_1$ માં મૂકતા મળે છે:
$(\frac{23}{4})^2 + y^2 - 6(\frac{23}{4}) - 7 = 0$
$\frac{529}{16} + y^2 - \frac{138}{4} - 7 = 0$
$y^2 = \frac{135}{16}$.
તેથી,$y = \pm \frac{3\sqrt{15}}{4}$.
વ્યાસના અંત્યબિંદુઓ $(\frac{23}{4}, \frac{3\sqrt{15}}{4})$ અને $(\frac{23}{4}, -\frac{3\sqrt{15}}{4})$ છે.
વ્યાસના અંત્યબિંદુઓ $(x_1, y_1)$ અને $(x_2, y_2)$ ધરાવતા વર્તુળનું સમીકરણ $(x-x_1)(x-x_2) + (y-y_1)(y-y_2) = 0$ છે.
$(x-\frac{23}{4})^2 + y^2 - \frac{135}{16} = 0$
$x^2 - \frac{23}{2}x + \frac{529}{16} + y^2 - \frac{135}{16} = 0$
$x^2 + y^2 - \frac{23}{2}x + \frac{197}{8} = 0$
$8$ વડે ગુણતા: $8x^2 + 8y^2 - 92x + 197 = 0$.

(C) ધારો કે $P(r, s)$ એ વર્તુળ $x^2+y^2=25$ પરનું બિંદુ છે,તેથી $r^2+s^2=25$ $(i)$.
વર્તુળ $x^2+y^2=9$ ના સંદર્ભમાં બિંદુ $P$ ની સ્પર્શક જીવા $L$ નું સમીકરણ $xr+ys=9$ $(ii)$ છે.
ધારો કે $(h, k)$ એ વર્તુળ $x^2+y^2=36$ ના સંદર્ભમાં રેખા $L$ નો ધ્રુવ છે. $(h, k)$ નો ધ્રુવીય રેખાનું સમીકરણ $xh+yk=36$ $(iii)$ છે.
સમીકરણો $(ii)$ અને $(iii)$ ની સરખામણી કરતા,આપણને $\frac{r}{h} = \frac{s}{k} = \frac{9}{36} = \frac{1}{4}$ મળે છે.
આમ,$r = \frac{h}{4}$ અને $s = \frac{k}{4}$.
આ કિંમતોને સમીકરણ $(i)$ માં મૂકતા,આપણને $(\frac{h}{4})^2 + (\frac{k}{4})^2 = 25$ મળે છે.
$\frac{h^2+k^2}{16} = 25 \Rightarrow h^2+k^2 = 400$.
તેથી,ધ્રુવ $(h, k)$ નો બિંદુપથ $x^2+y^2=400$ છે.

(B) વર્તુળ $x^2+y^2-2x+2y-1=0$ માટે બિંદુ $(-1, 1)$ ની પોલર રેખાનું સમીકરણ $x(-1) + y(1) - (x-1) + (y+1) - 1 = 0$ છે.
આનું સાદું રૂપ $-2x + 2y + 1 = 0$ અથવા $2x - 2y - 1 = 0$ થાય છે.
વ્યસ્ત બિંદુ $(p, q)$ એ વર્તુળના કેન્દ્રમાંથી પોલર રેખા પર દોરેલા લંબનો લંબપાદ છે.
વર્તુળનું કેન્દ્ર $(1, -1)$ છે.
રેખા $ax + by + c = 0$ પર બિંદુ $(x_0, y_0) = (1, -1)$ માંથી દોરેલા લંબનો લંબપાદ $(p, q)$ માટે $\frac{p-x_0}{a} = \frac{q-y_0}{b} = -\frac{ax_0+by_0+c}{a^2+b^2}$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા.
અહીં $a=2, b=-2, c=-1$.
$\frac{p-1}{2} = \frac{q-(-1)}{-2} = -\frac{2(1)-2(-1)-1}{2^2+(-2)^2} = -\frac{3}{8}$.
તેથી $p = \frac{1}{4}$ અને $q = -\frac{1}{4}$ મળે.
આમ,$p^2+q^2 = (\frac{1}{4})^2 + (-\frac{1}{4})^2 = \frac{1}{8}$.

(C) ધારો કે $(h, k)$ એ રેખા $9x + y - 28 = 0$ નો વર્તુળ $2x^2 + 2y^2 - 3x + 5y - 7 = 0$ ના સાપેક્ષમાં ધ્રુવ છે.
વર્તુળના સાપેક્ષમાં બિંદુ $(h, k)$ ની ધ્રુવીય રેખાનું સમીકરણ $T = 0$ છે.
સમીકરણ $2hx + 2ky - \frac{3(x + h)}{2} + \frac{5(y + k)}{2} - 7 = 0$ છે.
$2$ વડે ગુણતા,$4hx + 4ky - 3x - 3h + 5y + 5k - 14 = 0$ મળે.
પદોને ગોઠવતા,$(4h - 3)x + (4k + 5)y + (5k - 3h - 14) = 0$ મળે.
આપેલ રેખા $9x + y - 28 = 0$ સાથે સરખાવતા:
$\frac{4h - 3}{9} = \frac{4k + 5}{1} = \frac{5k - 3h - 14}{-28}$.
સમીકરણો ઉકેલતા,આપણને $(h, k) = (3, -1)$ મળે છે.

(A) વર્તુળ $x^2+y^2=4$ ની સાપેક્ષમાં બિંદુ $(3,2)$ ના ધ્રુવનું સમીકરણ $T=0$ છે,જે $3x+2y=4$ થાય છે.
કારણ કે $P(\alpha, \beta)$ અને $(3,2)$ સંયુગ્મી બિંદુઓ છે,તેથી $(3,2)$ નો ધ્રુવ $P(\alpha, \beta)$ માંથી પસાર થાય છે.
આમ,$3\alpha+2\beta=4$ ...$(i)$.
આપેલ છે કે $P(\alpha, \beta)$ એ રેખા $2x+y=1$ પર છે,તેથી $2\alpha+\beta=1$ ...(ii).
સમીકરણો $(i)$ અને (ii) ઉકેલતા:
(ii) પરથી,$\beta = 1-2\alpha$.
$(i)$ માં મૂકતા: $3\alpha + 2(1-2\alpha) = 4$ $\Rightarrow 3\alpha + 2 - 4\alpha = 4$ $\Rightarrow -\alpha = 2$ $\Rightarrow \alpha = -2$.
તેથી $\beta = 1 - 2(-2) = 5$.
તેથી,$\alpha+\beta = -2+5 = 3$.

(C) આપેલ બે વર્તુળોના સમીકરણો:
$x^2+y^2+4x-5=0 \Rightarrow (x+2)^2+y^2=3^2$
$x^2+y^2-6y+8=0 \Rightarrow x^2+(y-3)^2=1$
તેથી,$C_1=(-2, 0), r_1=3$ અને $C_2=(0, 3), r_2=1$.
આંતરિક સમાનતાનું કેન્દ્ર $\left(\frac{r_2x_1+r_1x_2}{r_1+r_2}, \frac{r_2y_1+r_1y_2}{r_1+r_2}\right)$ દ્વારા મળે છે:
$(a, b) = \left(\frac{1(-2)+3(0)}{3+1}, \frac{1(0)+3(3)}{3+1}\right) = \left(-\frac{1}{2}, \frac{9}{4}\right)$.
બાહ્ય સમાનતાનું કેન્દ્ર $\left(\frac{r_1x_2-r_2x_1}{r_1-r_2}, \frac{r_1y_2-r_2y_1}{r_1-r_2}\right)$ દ્વારા મળે છે:
$(c, d) = \left(\frac{3(0)-1(-2)}{3-1}, \frac{3(3)-1(0)}{3-1}\right) = \left(1, \frac{9}{2}\right)$.
હવે,$(a+d)(b+c) = \left(-\frac{1}{2} + \frac{9}{2}\right) \left(\frac{9}{4} + 1\right) = 4 \times \frac{13}{4} = 13$.

(A) આપેલ છે,$S \equiv x^2+y^2-2x-4y+1=0$.
$y$-અક્ષ માટે,$x=0$ લેતા,$y^2-4y+1=0$ મળે.
$y$ માટે ઉકેલતા,$y = \frac{4 \pm \sqrt{16-4}}{2} = 2 \pm \sqrt{3}$.
$OA > OB$ હોવાથી,$A(0, 2+\sqrt{3})$ અને $B(0, 2-\sqrt{3})$ મળે.
રેડિકલ ધરીનું સમીકરણ $S-S^{\prime}=0$ છે.
$(x^2+y^2-2x-4y+1) - (x^2+y^2-4x-2y+4) = 0 \Rightarrow 2x-2y-3=0$.
$y$-અક્ષ માટે,$x=0$ લેતા,$-2y-3=0 \Rightarrow y = -\frac{3}{2}$.
તેથી,$C$ એ $(0, -\frac{3}{2})$ છે.
ધારો કે $C$ એ $AB$ નું $k:1$ ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરે છે.
વિભાજન સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $-\frac{3}{2} = \frac{k(2-\sqrt{3}) + 1(2+\sqrt{3})}{k+1}$.
ગણતરી કરતા $k = \frac{7+2\sqrt{3}}{2\sqrt{3}-7}$ મળે.
તેથી,ગુણોત્તર $(7+2\sqrt{3}) : (-7+2\sqrt{3})$ છે.

(C) ધારો કે વર્તુળોના સમીકરણો નીચે મુજબ છે:
$S_1: x^2+y^2+2x+3y+1=0$
$S_2: x^2+y^2+x-y+3=0$
$S_3: x^2+y^2-3x+2y+5=0$
$S_1$ અને $S_2$ ની રેડિકલ ધરી $S_1 - S_2 = 0$ દ્વારા મળે છે:
$(x^2+y^2+2x+3y+1) - (x^2+y^2+x-y+3) = 0$
$x + 4y - 2 = 0 \quad \dots (i)$
$S_2$ અને $S_3$ ની રેડિકલ ધરી $S_2 - S_3 = 0$ દ્વારા મળે છે:
$(x^2+y^2+x-y+3) - (x^2+y^2-3x+2y+5) = 0$
$4x - 3y - 2 = 0 \quad \dots (ii)$
સમીકરણો $(i)$ અને $(ii)$ ઉકેલતા:
$(i)$ પરથી,$x = 2 - 4y$. તેને $(ii)$ માં મૂકતા:
$4(2 - 4y) - 3y - 2 = 0$
$8 - 16y - 3y - 2 = 0$
$6 - 19y = 0 \Rightarrow y = \frac{6}{19}$
$y = \frac{6}{19}$ ને $x = 2 - 4y$ માં મૂકતા:
$x = 2 - 4\left(\frac{6}{19}\right) = 2 - \frac{24}{19} = \frac{14}{19}$
તેથી,રેડિકલ કેન્દ્ર $\left(\frac{14}{19}, \frac{6}{19}\right)$ છે.

(D) પ્રથમ વર્તુળનું સમીકરણ $x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ છે.
બીજા વર્તુળના સમીકરણ $2x^2+2y^2+3x+8y+2c=0$ ને $2$ વડે ભાગતા,આપણને $x^2+y^2+\frac{3}{2}x+4y+c=0$ મળે છે.
રેડિકલ અક્ષ બંને સમીકરણોની બાદબાકી કરવાથી મળે છે: $(2g-\frac{3}{2})x + (2f-4)y = 0$.
આ રેખા ઉગમબિંદુ $(0,0)$ માંથી પસાર થાય છે.
વર્તુળ $x^2+y^2+2x+2y+1=0$ ને $(x+1)^2+(y+1)^2=1$ તરીકે લખી શકાય,જેનું કેન્દ્ર $(-1,-1)$ અને ત્રિજ્યા $r=1$ છે.
રેખા $Ax+By=0$ આ વર્તુળને સ્પર્શે તે માટે,કેન્દ્ર $(-1,-1)$ થી રેખાનું લંબ અંતર $1$ હોવું જોઈએ.
$\frac{|(2g-\frac{3}{2})(-1) + (2f-4)(-1)|}{\sqrt{(2g-\frac{3}{2})^2 + (2f-4)^2}} = 1$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $(-(2g-\frac{3}{2}) - (2f-4))^2 = (2g-\frac{3}{2})^2 + (2f-4)^2$.
ધારો કે $A = 2g-\frac{3}{2}$ અને $B = 2f-4$. તો $(-A-B)^2 = A^2+B^2$,જે $2AB = 0$ માં પરિણમે છે.
આમ,$A=0$ અથવા $B=0$.
જો $A=0$,તો $2g-\frac{3}{2}=0 \Rightarrow g=\frac{3}{4}$.
જો $B=0$,તો $2f-4=0 \Rightarrow f=2$.

(B) ધારો કે પ્રથમ વર્તુળનું સમીકરણ $S_1 \equiv x^2+y^2-36=0$ છે.
ધારો કે બીજા વર્તુળનું સમીકરણ $S_2 \equiv x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ છે.
બે વર્તુળો $S_1=0$ અને $S_2=0$ ની રેડિકલ ધરી $S_1-S_2=0$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આમ,$(x^2+y^2-36) - (x^2+y^2+2gx+2fy+c) = 0$,જેનું સાદું રૂપ $-2gx-2fy-36-c=0$ થાય છે.
આપેલ રેડિકલ ધરી $x-4=0$ છે,જેને $x+0y-4=0$ તરીકે લખી શકાય.
સહગુણકોની સરખામણી કરતા,$\frac{-2g}{1} = \frac{-2f}{0} = \frac{-36-c}{-4} = k$ મળે છે.
આનાથી $f=0$ અને $2g = -k$ મળે છે,તેથી $g = -k/2$. તેમજ $36+c = 4k$,તેથી $c = 4k-36$.
વર્તુળો લંબવર્તી હોવાથી,શરત $2g_1g_2 + 2f_1f_2 = c_1+c_2$ છે.
અહીં $g_1=0, f_1=0, c_1=-36$ અને $g_2=g, f_2=f, c_2=c$ છે.
આ કિંમતો મૂકતા,$2(0)(g) + 2(0)(f) = -36 + c$.
તેથી,$0 = -36 + c$,જેનો અર્થ છે કે $c = 36$.
$c = 4k-36$ પરથી,$36 = 4k-36$,તેથી $4k = 72$,જે $k = 18$ આપે છે.
તેથી $g = -k/2 = -18/2 = -9$.
બીજા વર્તુળનું કેન્દ્ર $(-g, -f) = (9, 0)$ છે.

(A) ધારો કે વર્તુળ $x^2+y^2-2x+2y+1=0$ પરનું બિંદુ $P(1,0)$ છે.
$P(1,0)$ માંથી પસાર થતી કોઈપણ જીવાને $P(1,0)$ માંથી પસાર થતી રેખા $L$ તરીકે દર્શાવી શકાય છે.
વર્તુળ $x^2+y^2=4$ ની સાપેક્ષમાં જીવાનો ધ્રુવ એ બિંદુ $Q(h,k)$ છે,જેથી આ જીવા એ $x^2+y^2=4$ ની સાપેક્ષમાં $Q$ ની ધ્રુવીય રેખા બને.
$x^2+y^2=4$ ની સાપેક્ષમાં $Q(h,k)$ ની ધ્રુવીય રેખાનું સમીકરણ $hx+ky=4$ છે.
આ ધ્રુવીય રેખા $P(1,0)$ માંથી પસાર થતી હોવાથી,આપણને $h(1)+k(0)=4$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $h=4$.
આમ,ધ્રુવો $(h,k)$ નો બિંદુપથ $x=4$ છે.

(A) આપેલ પરિભ્રમણ ખૂણો $\theta = 45^{\circ}$ છે.
ધારો કે નવા યામ $(x', y')$ છે અને જૂના યામ $(x, y)$ છે.
રૂપાંતરણ સમીકરણો:
$x = x' \cos 45^{\circ} - y' \sin 45^{\circ} = \frac{x'-y'}{\sqrt{2}}$
$y = x' \sin 45^{\circ} + y' \cos 45^{\circ} = \frac{x'+y'}{\sqrt{2}}$
આ કિંમતોને $y^2 = 4ax$ માં મૂકતા:
$(\frac{x'+y'}{\sqrt{2}})^2 = 4a(\frac{x'-y'}{\sqrt{2}})$
$\frac{(x'+y')^2}{2} = \frac{4a(x'-y')}{\sqrt{2}}$
$(x'+y')^2 = 4\sqrt{2}a(x'-y')$
તેથી,રૂપાંતરિત સમીકરણ $(x+y)^2 = 4\sqrt{2}a(x-y)$ છે.

(A) પરવલયનું પ્રમાણિત સ્વરૂપ $y^2=4ax$ છે. નાભિ $(a, 0) = (\frac{1}{4}, k)$ આપેલ છે.
સરખાવતા,$a = \frac{1}{4}$ અને $k = 0$ મળે છે.
તેથી,પરવલય $y^2 = x$ છે.
રેખા $x - 2y - 3 = 0$ પરથી $x = 2y + 3$ મળે.
પરવલયના સમીકરણમાં $x$ ની કિંમત મૂકતા: $y^2 = 2y + 3 \Rightarrow y^2 - 2y - 3 = 0$.
અવયવ પાડતા: $(y-3)(y+1) = 0$,તેથી $y = 3$ અથવા $y = -1$.
જો $y = 3$,તો $x = 9$. તેથી $Q = (9, 3)$.
જો $y = -1$,તો $x = 1$. તેથી $P = (1, -1)$.
અંતર $PQ = \sqrt{(9-1)^2 + (3-(-1))^2} = \sqrt{8^2 + 4^2} = \sqrt{80} = 4\sqrt{5}$.
$a = \frac{1}{4}$ હોવાથી,$16a = 4$ થાય.
તેથી,$PQ = 16a\sqrt{5}$.

(A) પરવલય $y^2 = 4ax$ માટે ઢાળ $m$ વાળા સ્પર્શકનું સમીકરણ $y = mx + \frac{a}{m}$ છે.
અહીં,$4a = 8$,તેથી $a = 2$.
સ્પર્શકનું સમીકરણ $y = mx + \frac{2}{m}$ થાય.
તે બિંદુ $(1, 3)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી $x = 1$ અને $y = 3$ મૂકતા:
$3 = m + \frac{2}{m}$
$m^2 - 3m + 2 = 0$
$(m - 1)(m - 2) = 0$
તેથી,$m = 1$ અથવા $m = 2$.
$m = 1$ માટે,સ્પર્શક $y = x + 2$ મળે.
$m = 2$ માટે,સ્પર્શક $y = 2x + 1$ મળે.
આપેલા વિકલ્પો મુજબ,$y = 2x + 1$ સાચો જવાબ છે.

(B) ધારો કે $y=mx+c$ એ પરવલય $y^2=8x$ અને વર્તુળ $x^2+y^2=9$ નો સામાન્ય સ્પર્શક છે.
પરવલય $y^2=4ax$ માટે સ્પર્શકની શરત $c=\frac{a}{m}$ છે. અહીં $4a=8$,તેથી $a=2$. આમ,$c=\frac{2}{m}$ $(i)$.
રેખા $y=mx+c$ એ વર્તુળ $x^2+y^2=9$ ને પણ સ્પર્શે છે,તેથી કેન્દ્ર $(0,0)$ થી રેખા $mx-y+c=0$ નું લંબ અંતર ત્રિજ્યા $r=3$ જેટલું હોવું જોઈએ.
$\frac{|c|}{\sqrt{m^2+1}}=3 \Rightarrow c^2=9(m^2+1)$.
$c=\frac{2}{m}$ ને સમીકરણમાં મૂકતા: $\frac{4}{m^2}=9(m^2+1)$ $\Rightarrow 4=9m^2(m^2+1)$ $\Rightarrow 9m^4+9m^2-4=0$.
ધારો કે $m^2=t$,તો $9t^2+9t-4=0 \Rightarrow (3t-1)(3t+4)=0$.
$m^2=t > 0$ હોવાથી,$t=\frac{1}{3}$,તેથી $m^2=\frac{1}{3}$ અને $m=\pm\frac{1}{\sqrt{3}}$.
$m=\frac{1}{\sqrt{3}}$ માટે,$c=\frac{2}{1/\sqrt{3}}=2\sqrt{3}$.
સમીકરણ $y=\frac{1}{\sqrt{3}}x+2\sqrt{3}$ $\Rightarrow \sqrt{3}y=x+6$ $\Rightarrow x-\sqrt{3}y+6=0$ મળે છે.

(D) ધારો કે પરવલય $y^2=4x$ ના સ્પર્શકનું સમીકરણ $y=mx+\frac{1}{m}$ છે.
પરવલય $x^2=-32y$ માટે,$m$ ઢાળવાળા સ્પર્શકનું સમીકરણ $y=mx-am^2$ છે,જ્યાં $x^2=4ay$ પરથી $a=-8$ મળે છે.
આમ,સ્પર્શક $y=mx-(-8)m^2$ એટલે કે $y=mx+8m^2$ છે.
બંને સ્પર્શકના સમીકરણોની સરખામણી કરતા,$\frac{1}{m}=8m^2$ મળે છે.
આથી $m^3=\frac{1}{8}$,એટલે કે $m=\frac{1}{2}$.
$m=\frac{1}{2}$ ને પ્રથમ સમીકરણમાં મૂકતા: $y=\frac{1}{2}x+2$.
આથી $2y=x+4$,એટલે કે $x-2y+4=0$.

(D) આપેલ પરવલય $y^2 = 8x$ માટે,$4a = 8$,તેથી $a = 2$.
પરવલય પરના બિંદુ $(at^2, 2at)$ માટે,$(2, -4) = (2t^2, 4t)$,જે $t = -1$ આપે છે.
પ્રાચલ $t$ આગળનો અભિલંબ પરવલયને ફરીથી પ્રાચલ $t_2 = -t - \frac{2}{t}$ પર મળે છે.
$t = -1$ મૂકતા,આપણને $t_2 = -(-1) - \frac{2}{-1} = 1 + 2 = 3$ મળે છે.
બિંદુ $(\alpha, \beta)$ ના યામ $(at_2^2, 2at_2) = (2(3)^2, 2(2)(3)) = (18, 12)$ છે.
આમ,$\alpha + \beta = 18 + 12 = 30$.

(B) પરવલયનું સમીકરણ $y^2=6x$ છે. તેને $y^2=4ax$ સાથે સરખાવતા,$4a=6$,તેથી $a=1.5$ મળે છે.
બિંદુ $(x_1, y_1)$ આગળ પરવલય $y^2=4ax$ ના અભિલંબનું સમીકરણ $y-y_1 = -\frac{y_1}{2a}(x-x_1)$ છે.
$x_1=24$,$y_1=12$,અને $a=1.5$ ની કિંમતો મૂકતા:
$y-12 = -\frac{12}{2(1.5)}(x-24)$
$y-12 = -\frac{12}{3}(x-24)$
$y-12 = -4(x-24)$
$y-12 = -4x+96$
$4x+y = 108$.

(B) પરવલય $y^2 = 4ax$ છે. બિંદુ $P$ એ $(2a, 2a\sqrt{2})$ છે.
$P(2a, 2a\sqrt{2})$ ની સરખામણી $(at^2, 2at)$ સાથે કરતા,$t = \sqrt{2}$ મળે.
$t$ આગળનો અભિલંબ પરવલયને $t_1 = -t - \frac{2}{t} = -\sqrt{2} - \frac{2}{\sqrt{2}} = -2\sqrt{2}$ બિંદુએ મળે છે.
$Q$ ના યામ $(at_1^2, 2at_1) = (a(-2\sqrt{2})^2, 2a(-2\sqrt{2})) = (8a, -4a\sqrt{2})$ છે.
શિરોબિંદુ $O(0, 0)$ છે.
$OP$ નો ઢાળ $m_1 = \frac{2a\sqrt{2}}{2a} = \sqrt{2}$ છે.
$OQ$ નો ઢાળ $m_2 = \frac{-4a\sqrt{2}}{8a} = -\frac{\sqrt{2}}{2} = -\frac{1}{\sqrt{2}}$ છે.
$m_1 \times m_2 = \sqrt{2} \times (-\frac{1}{\sqrt{2}}) = -1$ હોવાથી,રેખાઓ $OP$ અને $OQ$ પરસ્પર લંબ છે.
તેથી,$\theta = 90^{\circ}$.

(A) આપેલ પરવલય $y^2=12x$ માટે,$4a=12$,તેથી $a=3$. ધારો કે બિંદુઓ $P$ અને $Q$ ના પ્રાચલો (parameters) અનુક્રમે $t_1$ અને $t_2$ છે. કોટિઓ $y_1=2at_1$ અને $y_2=2at_2$ છે. $y_1:y_2=1:2$ આપેલ હોવાથી,$t_1:t_2=1:2$ મળે,તેથી $t_2=2t_1$. ધારો કે $t_1=t$,તો $t_2=2t$.
$t_1$ અને $t_2$ આગળના અભિલંબના છેદબિંદુ $(x, y)$ ના યામ:
$x = 2a + a(t_1^2 + t_2^2 + t_1t_2) = 6 + 21t^2$
$y = -at_1t_2(t_1+t_2) = -18t^3$
$x=6+21t^2$ પરથી,$t^2 = \frac{x-6}{21}$ મળે,તેથી $t = \left(\frac{x-6}{21}\right)^{1/2}$.
$y=-18t^3$ માં $t$ ની કિંમત મૂકતા,$y = -18 \left(\frac{x-6}{21}\right)^{3/2}$,એટલે કે $y+18\left(\frac{x-6}{21}\right)^{3/2}=0$.

(C) આપેલ પરવલય $y^2=12x$ છે. $y^2=4ax$ સાથે સરખાવતા,$a=3$ મળે. નાભિ $(3, 0)$ છે.
ધારો કે $Q(3t^2, 6t)$ એ પરવલય પરનું બિંદુ છે.
બિંદુ $P(x, y)$ એ $(3, 0)$ અને $(3t^2, 6t)$ ને જોડતા રેખાખંડનું $1:2$ ના ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરે છે.
વિભાજન સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$P(x, y) = \left(\frac{1(3t^2) + 2(3)}{1+2}, \frac{1(6t) + 2(0)}{1+2}\right) = \left(\frac{3t^2+6}{3}, \frac{6t}{3}\right) = (t^2+2, 2t)$.
આમ,$x = t^2+2$ અને $y = 2t$.
$y = 2t$ પરથી,$t = \frac{y}{2}$ મળે.
$x$ ના સમીકરણમાં $t$ ની કિંમત મૂકતા: $x = (\frac{y}{2})^2 + 2 = \frac{y^2}{4} + 2$.
$x - 2 = \frac{y^2}{4} \Rightarrow y^2 = 4(x-2)$.

(C) $\left(\frac{2x^2}{5} + \left(\frac{5}{x}\right)^{1/2}\right)^{10}$ ના વિસ્તરણમાં સામાન્ય પદ $T_{r+1}$ નીચે મુજબ છે:
$T_{r+1} = {}^{10}C_r \left(\frac{2x^2}{5}\right)^{10-r} \left(\frac{5^{1/2}}{x^{1/2}}\right)^r$
$x$ થી સ્વતંત્ર પદ માટે,$x$ નો ઘાતાંક શૂન્ય હોવો જોઈએ:
$20 - 2r - \frac{r}{2} = 0 \Rightarrow r = 8$
$r=8$ મૂકતા,$T_9 = {}^{10}C_8 \cdot \frac{2^2}{5^{-2}} = 45 \cdot 4 \cdot 25 = 4500$
સ્વતંત્ર પદનું વર્ગમૂળ $\sqrt{4500} = 30\sqrt{5}$ થાય.

(B) ધારો કે $T_{r+1}$ એ સૌથી મોટું પદ છે,તેથી $\frac{T_{r+1}}{T_r} \geq 1$.
$(a+b)^n$ ના વિસ્તરણ માટે,શરત $\frac{T_{r+1}}{T_r} = \frac{n-r+1}{r} \times |\frac{b}{a}| \geq 1$ છે.
અહીં $n=6$,$a=5$,$b=3x$. $x=1$ પર,$b=3$.
$\frac{6-r+1}{r} \times \frac{3}{5} \geq 1$
$\Rightarrow \frac{7-r}{r} \times \frac{3}{5} \geq 1$
$\Rightarrow 21 - 3r \geq 5r$
$\Rightarrow 8r \leq 21$
$\Rightarrow r \leq 2.625$.
$r$ પૂર્ણાંક હોવો જોઈએ,તેથી સૌથી મોટું પદ $r=2$ પર મળે છે,જે $T_{2+1} = T_3$ છે.
$T_3 = {}^6C_2 \times 5^{6-2} \times (3 \times 1)^2$
$T_3 = 15 \times 5^4 \times 3^2$
$T_3 = (3 \times 5) \times 5^4 \times 3^2 = 3^3 \times 5^5$.

(B) આપેલ પદાવલિ $(3x - 2)^{2/3}$ છે. દ્વિપદી વિસ્તરણ માટે,આપણે તેને આ રીતે લખીએ છીએ:
$(3x - 2)^{2/3} = [-2(1 - \frac{3x}{2})]^{2/3} = (-2)^{2/3} (1 - \frac{3x}{2})^{2/3} = \sqrt[3]{4} (1 - \frac{3x}{2})^{2/3}$.
$(1+y)^n$ ના વિસ્તરણમાં સામાન્ય પદ $T_{r+1} = \binom{n}{r} y^r$ છે.
અહીં $n = \frac{2}{3}$ અને $y = -\frac{3x}{2}$ છે.
$4^{th}$ પદ $(T_4)$ માટે $r = 3$ લેતા:
$T_4 = \sqrt[3]{4} \times \frac{\frac{2}{3}(\frac{2}{3}-1)(\frac{2}{3}-2)}{3!} (-\frac{3x}{2})^3$
$T_4 = \sqrt[3]{4} \times \frac{\frac{2}{3} \times (-\frac{1}{3}) \times (-\frac{4}{3})}{6} \times (-\frac{27x^3}{8})$
$T_4 = -\frac{\sqrt[3]{4}}{6} x^3$.

(A) $(\sqrt{2} + 3^{1/5})^{10}$ ના વિસ્તરણમાં સામાન્ય પદ $T_{r+1} = {}^{10}C_r (\sqrt{2})^{10-r} (3^{1/5})^r = {}^{10}C_r (2)^{(10-r)/2} (3)^{r/5}$ છે.
પદ સંમેય હોવા માટે,$2$ અને $3$ ના ઘાતાંક પૂર્ણાંક હોવા જોઈએ.
આમ,$(10-r)/2$ પૂર્ણાંક હોવું જોઈએ (જે તમામ બેકી $r$ માટે સાચું છે) અને $r/5$ પૂર્ણાંક હોવું જોઈએ.
$0 \le r \le 10$ માટે,$r = 0$ અને $r = 10$ એ શરતોનું પાલન કરે છે.
$r = 0$ માટે: $T_1 = {}^{10}C_0 (2)^5 (3)^0 = 1 \times 32 \times 1 = 32$.
$r = 10$ માટે: $T_{11} = {}^{10}C_{10} (2)^0 (3)^2 = 1 \times 1 \times 9 = 9$.
સંમેય પદોનો સરવાળો $32 + 9 = 41$ છે.

(B) મધ્યમ પદ $(\frac{12}{2}+1)$ મું પદ એટલે કે $7$ મું પદ છે.
મધ્યમ પદથી સમાન અંતરે આવેલા પદો $T_{7-k}$ અને $T_{7+k}$ છે.
$k=2$ માટે,ગુણોત્તર $\frac{T_5}{T_9} = \frac{{}^{12}C_4 x^4}{{}^{12}C_8 x^8} = \frac{1}{256}$ છે.
${}^{12}C_4 = {}^{12}C_8$ હોવાથી,$\frac{1}{x^4} = \frac{1}{256}$ $\Rightarrow x^4 = 256$ $\Rightarrow x = 4$.
$k=4$ માટે,ગુણોત્તર $\frac{T_3}{T_{11}} = \frac{{}^{12}C_2 x^2}{{}^{12}C_{10} x^{10}} = \frac{1}{256}$ છે.
${}^{12}C_2 = {}^{12}C_{10}$ હોવાથી,$\frac{1}{x^8} = \frac{1}{256}$ $\Rightarrow x^8 = 256$ $\Rightarrow x = \sqrt{2}$.
જોકે $x \in N$ આપેલ હોવાથી,$k=1$ માટે તપાસતા: $\frac{T_6}{T_8} = \frac{{}^{12}C_5 x^5}{{}^{12}C_7 x^7} = \frac{1}{x^2} = \frac{1}{256} \Rightarrow x = 16$.
$(1+x)^{12}$ ના વિસ્તરણમાં તમામ પદોનો સરવાળો $(1+x)^{12}$ થાય.
$x=4$ માટે,સરવાળો $(1+4)^{12} = 5^{12}$ થાય.
$x=2$ માટે,સરવાળો $(1+2)^{12} = 3^{12}$ થાય.

(D) આપેલ લક્ષ: $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1^{77}+2^{77}+\ldots+n^{77}}{n^{78}}$
આને આ રીતે લખી શકાય: $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \sum_{r=1}^{n} \left(\frac{r}{n}\right)^{77}$
નિશ્ચિત સંકલનની વ્યાખ્યા મુજબ,$\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \sum_{r=1}^{n} f\left(\frac{r}{n}\right) = \int_{0}^{1} f(x) dx$
અહીં,$f(x) = x^{77}$.
તેથી,લક્ષનું મૂલ્ય: $\int_{0}^{1} x^{77} dx$
સંકલન કરતા: $\left[ \frac{x^{78}}{78} \right]_{0}^{1} = \frac{1^{78}}{78} - \frac{0^{78}}{78} = \frac{1}{78}$

(C) આપેલ લક્ષ $L = \lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{r=0}^{n-1} \frac{1}{\sqrt{n^2-r^2}}$ છે.
છેદમાં વર્ગમૂળમાંથી $n$ સામાન્ય કાઢીને આપણે પદને ફરીથી લખી શકીએ છીએ:
$L = \lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{r=0}^{n-1} \frac{1}{n \sqrt{1-(\frac{r}{n})^2}}$.
આ $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \sum_{r=0}^{n-1} f(\frac{r}{n})$ સ્વરૂપનો રીમાન સરવાળો છે,જે નિશ્ચિત સંકલન $\int_0^1 f(x) dx$ ને સમાન છે.
અહીં,$f(x) = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$.
તેથી,$L = \int_0^1 \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} dx$.
$\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ નું સંકલન $\sin^{-1}(x)$ છે.
$0$ થી $1$ સુધીના નિશ્ચિત સંકલનનું મૂલ્ય શોધતા:
$L = [\sin^{-1}(x)]_0^1 = \sin^{-1}(1) - \sin^{-1}(0) = \frac{\pi}{2} - 0 = \frac{\pi}{2}$.

(C) ધારો કે $I = \lim _{n \rightarrow \infty} \prod_{r=1}^n \left(1+\frac{r^3}{n^3}\right)^{\frac{r^2}{n^3}}$.
બંને બાજુ પ્રાકૃતિક લઘુગણક લેતા:
$\log I = \lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{r=1}^n \frac{r^2}{n^3} \log \left(1+\frac{r^3}{n^3}\right)$.
આને આ રીતે ફરીથી લખી શકાય:
$\log I = \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \sum_{r=1}^n \left(\frac{r}{n}\right)^2 \log \left(1+\left(\frac{r}{n}\right)^3\right)$.
નિશ્ચિત સંકલનની વ્યાખ્યાનો ઉપયોગ કરતા,$\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \sum_{r=1}^n f\left(\frac{r}{n}\right) = \int_0^1 f(x) dx$:
$\log I = \int_0^1 x^2 \log(1+x^3) dx$.
ધારો કે $t = 1+x^3$,તો $dt = 3x^2 dx$,અથવા $x^2 dx = \frac{1}{3} dt$.
જ્યારે $x=0, t=1$. જ્યારે $x=1, t=2$.
$\log I = \frac{1}{3} \int_1^2 \log t dt = \frac{1}{3} [t \log t - t]_1^2$.
$\log I = \frac{1}{3} [(2 \log 2 - 2) - (1 \log 1 - 1)] = \frac{1}{3} [2 \log 2 - 2 + 1] = \frac{2 \log 2 - 1}{3}$.
તેથી,$I = e^{\left(\frac{2 \log 2 - 1}{3}\right)}$.

(A) ધારો કે $I = \int_1^2 \frac{x^4-1}{x^6-1} d x$.
અહીં સંકલ્યનું સાદું રૂપ આપતા: $\frac{x^4-1}{x^6-1} = \frac{(x^2-1)(x^2+1)}{(x^2-1)(x^4+x^2+1)} = \frac{x^2+1}{x^4+x^2+1}$.
નોંધો કે $x^4+x^2+1 = (x^2+x+1)(x^2-x+1)$.
આંશિક અપૂર્ણાંકની રીત વાપરતા: $\frac{x^2+1}{(x^2+x+1)(x^2-x+1)} = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{x^2+x+1} + \frac{1}{x^2-x+1} \right)$.
સંકલન કરતા: $I = \frac{1}{2} \int_1^2 \left( \frac{1}{(x+\frac{1}{2})^2 + (\frac{\sqrt{3}}{2})^2} + \frac{1}{(x-\frac{1}{2})^2 + (\frac{\sqrt{3}}{2})^2} \right) d x$.
$I = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{\sqrt{3}} \left[ \tan^{-1}\left(\frac{x+1/2}{\sqrt{3}/2}\right) + \tan^{-1}\left(\frac{x-1/2}{\sqrt{3}/2}\right) \right]_1^2$.
$I = \frac{1}{\sqrt{3}} \left[ \tan^{-1}\left(\frac{2x+1}{\sqrt{3}}\right) + \tan^{-1}\left(\frac{2x-1}{\sqrt{3}}\right) \right]_1^2$.
સીમાઓ મૂકતા: $I = \frac{1}{\sqrt{3}} \left[ (\tan^{-1}(\frac{5}{\sqrt{3}}) + \tan^{-1}(\sqrt{3})) - (\tan^{-1}(\sqrt{3}) + \tan^{-1}(\frac{1}{\sqrt{3}})) \right]$.
$I = \frac{1}{\sqrt{3}} \left[ \tan^{-1}(\frac{5}{\sqrt{3}}) - \tan^{-1}(\frac{1}{\sqrt{3}}) \right]$.
સૂત્ર $\tan^{-1} A - \tan^{-1} B = \tan^{-1}(\frac{A-B}{1+AB})$ નો ઉપયોગ કરતા: $I = \frac{1}{\sqrt{3}} \tan^{-1} \left( \frac{5/\sqrt{3} - 1/\sqrt{3}}{1 + 5/3} \right) = \frac{1}{\sqrt{3}} \tan^{-1} \left( \frac{4/\sqrt{3}}{8/3} \right) = \frac{1}{\sqrt{3}} \tan^{-1} \left( \frac{\sqrt{3}}{2} \right)$.

(D) ધારો કે $I = \int_{-1/24}^{1/24} \sec x \log \left(\frac{1-x}{1+x}\right) dx$.
વિધેય $f(x) = \sec x \log \left(\frac{1-x}{1+x}\right)$ લો.
આપણે $f(-x)$ ની કિંમત શોધીને વિધેય યુગ્મ છે કે અયુગ્મ તે તપાસીએ:
$f(-x) = \sec(-x) \log \left(\frac{1-(-x)}{1+(-x)}\right) = \sec x \log \left(\frac{1+x}{1-x}\right)$.
ગુણધર્મ $\log(a^{-1}) = -\log a$ નો ઉપયોગ કરતા:
$f(-x) = \sec x \log \left(\frac{1-x}{1+x}\right)^{-1} = -\sec x \log \left(\frac{1-x}{1+x}\right) = -f(x)$.
અહીં $f(-x) = -f(x)$ હોવાથી,$f(x)$ એ અયુગ્મ વિધેય છે.
અયુગ્મ વિધેય માટે,સંમિત અંતરાલ $[-a, a]$ પરનું સંકલન હંમેશા $0$ થાય છે.
તેથી,$\int_{-1/24}^{1/24} f(x) dx = 0$.

(D) ધારો કે $I = \int_0^{\frac{\pi}{4}} \log (1+\tan x) \, dx$.
ગુણધર્મ $\int_0^a f(x) \, dx = \int_0^a f(a-x) \, dx$ નો ઉપયોગ કરતા:
$I = \int_0^{\frac{\pi}{4}} \log \left(1+\tan \left(\frac{\pi}{4}-x\right)\right) \, dx$.
કારણ કે $\tan(\frac{\pi}{4}-x) = \frac{1-\tan x}{1+\tan x}$,તેથી:
$I = \int_0^{\frac{\pi}{4}} \log \left(1+\frac{1-\tan x}{1+\tan x}\right) \, dx = \int_0^{\frac{\pi}{4}} \log \left(\frac{2}{1+\tan x}\right) \, dx$.
$I = \int_0^{\frac{\pi}{4}} (\log 2 - \log(1+\tan x)) \, dx$.
$I = \int_0^{\frac{\pi}{4}} \log 2 \, dx - \int_0^{\frac{\pi}{4}} \log(1+\tan x) \, dx$.
$I = [x \log 2]_0^{\frac{\pi}{4}} - I$.
$2I = \frac{\pi}{4} \log 2$.
$I = \frac{\pi}{8} \log 2$.

(B) વક્ર $y=x^3-19x+30$ આપેલ છે. બહુપદીના અવયવો પાડતા,આપણને $y=(x+5)(x-2)(x-3)$ મળે છે.
શૂન્યો $x=-5, 2, 3$ છે. વક્ર અંતરાલ $[-5, 2]$ પર $x$-અક્ષની ઉપર અને અંતરાલ $[2, 3]$ પર $x$-અક્ષની નીચે છે.
કુલ ક્ષેત્રફળ $A$ નીચે મુજબ મળે છે:
$A = \int_{-5}^{2} (x^3-19x+30) dx + \left| \int_{2}^{3} (x^3-19x+30) dx \right|$
$A = \int_{-5}^{2} (x^3-19x+30) dx - \int_{2}^{3} (x^3-19x+30) dx$
સંકલન $\int (x^3-19x+30) dx = \frac{x^4}{4} - \frac{19x^2}{2} + 30x + C$ છે.
પ્રથમ ભાગ માટે: $\left[ \frac{x^4}{4} - \frac{19x^2}{2} + 30x \right]_{-5}^{2} = (4 - 38 + 60) - (\frac{625}{4} - \frac{475}{2} - 150) = 26 - (\frac{625-950-600}{4}) = 26 + 231.25 = \frac{1029}{4}$.
બીજા ભાગ માટે: $\left[ \frac{x^4}{4} - \frac{19x^2}{2} + 30x \right]_{2}^{3} = (\frac{81}{4} - \frac{171}{2} + 90) - (4 - 38 + 60) = (\frac{81-342+360}{4}) - 26 = \frac{99}{4} - 26 = -\frac{5}{4}$.
કુલ ક્ષેત્રફળ $A = \frac{1029}{4} - (-\frac{5}{4}) = \frac{1034}{4} = \frac{517}{2} \text{ ચોરસ એકમ}$.

(A) આપેલ વક્રો $x=y^2$ અને $x=3-2y^2$ છે.
છેદબિંદુઓ શોધવા માટે, $y^2 = 3-2y^2$ લો, જે $3y^2 = 3$ આપે છે, તેથી $y^2 = 1$, એટલે કે $y = \pm 1$.
ક્ષેત્રફળ $x$-અક્ષની સાપેક્ષમાં સંમિત છે.
$\text{જરૂરી ક્ષેત્રફળ} = 2 \int_{-1}^{1} (x_{\text{right}} - x_{\text{left}}) dy = 2 \int_{-1}^{1} ((3-2y^2) - y^2) dy$
$= 2 \int_{-1}^{1} (3-3y^2) dy = 6 \int_{-1}^{1} (1-y^2) dy$
$= 6 \left[ y - \frac{y^3}{3} \right]_{-1}^{1} = 6 \left( (1 - \frac{1}{3}) - (-1 + \frac{1}{3}) \right)$
$= 6 \left( \frac{2}{3} - (-\frac{2}{3}) \right) = 6 \left( \frac{4}{3} \right) = 8 \text{ ચોરસ એકમ.}$

(B) આપેલ વક્રો $x^2+y^2=2ax$ (જે $(x-a)^2+y^2=a^2$ છે) અને $y^2=ax$ છે.
છેદબિંદુઓ શોધવા માટે,$y^2=ax$ ને વર્તુળના સમીકરણમાં મૂકતા: $x^2+ax=2ax \Rightarrow x^2-ax=0 \Rightarrow x(x-a)=0$. તેથી,$x=0$ અથવા $x=a$.
$x=a$ માટે,$y^2=a^2 \Rightarrow y=a$ (કારણ કે આપણે $X$-અક્ષની ઉપરનો પ્રદેશ ધ્યાનમાં લઈએ છીએ).
છાયાંકિત પ્રદેશનું ક્ષેત્રફળ એ $x=0$ થી $x=a$ સુધી વર્તુળની નીચેના ક્ષેત્રફળમાંથી પરવલયની નીચેનું ક્ષેત્રફળ બાદ કરવાથી મળે છે.
ક્ષેત્રફળ $= \int_0^a (y_{circle} - y_{parabola}) dx = \int_0^a (\sqrt{a^2-(x-a)^2} - \sqrt{ax}) dx$.
ક્ષેત્રફળ $= \int_0^a \sqrt{a^2-(x-a)^2} dx - \int_0^a \sqrt{ax} dx$.
પ્રથમ સંકલન એ $a$ ત્રિજ્યા ધરાવતા વર્તુળના ચોથા ભાગનું ક્ષેત્રફળ દર્શાવે છે,જે $\frac{\pi a^2}{4}$ છે.
બીજું સંકલન $\sqrt{a} \int_0^a x^{1/2} dx = \sqrt{a} \left[ \frac{x^{3/2}}{3/2} \right]_0^a = \sqrt{a} \cdot \frac{2}{3} a^{3/2} = \frac{2a^2}{3}$ છે.
તેથી,જરૂરી ક્ષેત્રફળ $\frac{\pi a^2}{4} - \frac{2a^2}{3} = a^2\left(\frac{\pi}{4}-\frac{2}{3}\right)$ ચોરસ એકમ છે.

(C) આપેલ વક્રો $y^2=8(x+2)$ અને $y^2=4(1-x)$ છે.
પ્રથમ,બંને પરવલયોનું છેદબિંદુ શોધો:
$8(x+2) = 4(1-x)$
$2(x+2) = 1-x$
$2x+4 = 1-x$
$3x = -3 \implies x = -1$.
$x=-1$ આગળ,$y^2 = 8(-1+2) = 8$,તેથી $y = \pm 2\sqrt{2}$.
પ્રદેશ બે પરવલયો અને $Y$-અક્ષ $(x=0)$ દ્વારા ઘેરાયેલ છે.
ક્ષેત્રફળ $A = 2 \int_{-2}^{0} |y| dx$ દ્વારા મળે છે. ખાસ કરીને,$x=-2$ થી $x=-1$ સુધી,સીમા $y^2=8(x+2)$ છે,અને $x=-1$ થી $x=0$ સુધી,સીમા $y^2=4(1-x)$ છે.
$A = 2 \left[ \int_{-2}^{-1} \sqrt{8(x+2)} dx + \int_{-1}^{0} \sqrt{4(1-x)} dx \right]$
$A = 2 \left[ 2\sqrt{2} \int_{-2}^{-1} (x+2)^{1/2} dx + 2 \int_{-1}^{0} (1-x)^{1/2} dx \right]$
$A = 2 \left[ 2\sqrt{2} \left[ \frac{2}{3}(x+2)^{3/2} \right]_{-2}^{-1} + 2 \left[ -\frac{2}{3}(1-x)^{3/2} \right]_{-1}^{0} \right]$
$A = 2 \left[ 2\sqrt{2} \cdot \frac{2}{3}(1)^{3/2} - \frac{4}{3} \left( (1-0)^{3/2} - (1-(-1))^{3/2} \right) \right]$
$A = 2 \left[ \frac{4\sqrt{2}}{3} - \frac{4}{3} (1 - 2\sqrt{2}) \right]$
$A = 2 \left[ \frac{4\sqrt{2}}{3} - \frac{4}{3} + \frac{8\sqrt{2}}{3} \right] = 2 \left[ \frac{12\sqrt{2}-4}{3} \right] = \frac{8}{3}(3\sqrt{2}-1)$.

(C) ક્ષેત્રફળ $A = \int_0^{\frac{\pi}{2}} |\sin x - \cos x| \, dx$ દ્વારા મળે છે.
$0 \leq x \leq \frac{\pi}{4}$ માટે $\cos x \geq \sin x$ અને $\frac{\pi}{4} \leq x \leq \frac{\pi}{2}$ માટે $\sin x \geq \cos x$ હોવાથી,આપણે સંકલનને બે ભાગમાં વિભાજિત કરીએ છીએ:
$A = \int_0^{\frac{\pi}{4}} (\cos x - \sin x) \, dx + \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} (\sin x - \cos x) \, dx$.
પ્રથમ ભાગનું મૂલ્ય: $[\sin x + \cos x]_0^{\frac{\pi}{4}} = (\frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2}}) - (0 + 1) = \sqrt{2} - 1$.
બીજા ભાગનું મૂલ્ય: $[-\cos x - \sin x]_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} = (-0 - 1) - (-\frac{1}{\sqrt{2}} - \frac{1}{\sqrt{2}}) = -1 + \sqrt{2} = \sqrt{2} - 1$.
બંને ભાગનો સરવાળો કરતા: $A = (\sqrt{2} - 1) + (\sqrt{2} - 1) = 2(\sqrt{2} - 1)$ ચોરસ એકમ.

(C) આપેલ વક્ર $y=2x-x^2$ છે.
સ્થિર બિંદુ માટે,આપણે $\frac{dy}{dx}=0$ લઈએ છીએ.
$\frac{dy}{dx} = 2-2x = 0 \Rightarrow x=1$.
તેથી,$\alpha = 1$.
ક્ષેત્રફળ $y=2^x, y=2x-x^2, x=0$ અને $x=1$ દ્વારા ઘેરાયેલું છે.
જરૂરી ક્ષેત્રફળ $= \int_0^1 (2^x - (2x-x^2)) dx$.
$= \int_0^1 2^x dx - \int_0^1 (2x-x^2) dx$.
$= \left[ \frac{2^x}{\log 2} \right]_0^1 - \left[ x^2 - \frac{x^3}{3} \right]_0^1$.
$= \left( \frac{2^1}{\log 2} - \frac{2^0}{\log 2} \right) - \left( (1^2 - \frac{1^3}{3}) - (0) \right)$.
$= \frac{2-1}{\log 2} - (1 - \frac{1}{3}) = \frac{1}{\log 2} - \frac{2}{3}$.
$= \frac{3 - 2 \log 2}{3 \log 2} = \frac{3 - \log 4}{3 \log 2}$.

(D) આપેલ વિકલ સમીકરણ $\left(\frac{d^2 y}{d x^2}\right)^{-\frac{7}{2}} \left(\frac{d^3 y}{d x^3}\right)^2 = \left(\frac{d^2 y}{d x^2}\right)^{-\frac{5}{2}} \left(\frac{d^4 y}{d x^4}\right)$ છે.
ઋણ ઘાતાંક દૂર કરવા માટે બંને બાજુ $\left(\frac{d^2 y}{d x^2}\right)^{\frac{7}{2}}$ વડે ગુણતા:
$\left(\frac{d^3 y}{d x^3}\right)^2 = \left(\frac{d^2 y}{d x^2}\right) \left(\frac{d^4 y}{d x^4}\right)$.
અપૂર્ણાંક ઘાત દૂર કરવા માટે બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$\left(\frac{d^3 y}{d x^3}\right)^4 = \left(\frac{d^2 y}{d x^2}\right)^2 \left(\frac{d^4 y}{d x^4}\right)^2$.
અહીં સૌથી વધુ વિકલન $\frac{d^4 y}{d x^4}$ છે,તેથી કક્ષા $4$ છે.
સૌથી વધુ વિકલનની ઘાત $2$ છે,તેથી પરિમાણ $2$ છે.
કક્ષા અને પરિમાણનો તફાવત $4 - 2 = 2$ થાય છે.

(B) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $\frac{d^4 y}{d x^4} = \{c + (\frac{d y}{d x})^2\}^{\frac{3}{2}}$.
પરિમાણ શોધવા માટે,આપણે બંને બાજુ વર્ગ કરીને અપૂર્ણાંક ઘાત દૂર કરવી પડશે:
$(\frac{d^4 y}{d x^4})^2 = \{c + (\frac{d y}{d x})^2\}^3$.
વિકલ સમીકરણની કક્ષા એ તેમાં રહેલું સૌથી ઉચ્ચ વિકલન છે,જે $4$ છે.
પરિમાણ એ સૌથી ઉચ્ચ વિકલનની ઘાત છે જ્યારે સમીકરણ વિકલનોના બહુપદી સ્વરૂપમાં હોય,જે $2$ છે.
તેથી,કક્ષા અને પરિમાણનો સરવાળો $4 + 2 = 6$ થાય છે.

(C) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $\frac{d^3 y}{d x^3} = \left[1 + \left(\frac{d y}{d x}\right)^2\right]^{5/2}$.
ઘાત શોધવા માટે,આપણે બંને બાજુ વર્ગ કરીને અપૂર્ણાંક ઘાતાંક દૂર કરવો પડશે:
$\left(\frac{d^3 y}{d x^3}\right)^2 = \left[1 + \left(\frac{d y}{d x}\right)^2\right]^5$.
વિકલ સમીકરણનો ક્રમ એ તેમાં રહેલ સૌથી ઉચ્ચ વિકલન છે,જે $3$ છે ($\frac{d^3 y}{d x^3}$ માંથી).
ઘાત એ સૌથી ઉચ્ચ વિકલનની ઘાત છે જ્યારે સમીકરણને રેડિકલ અને અપૂર્ણાંકથી મુક્ત કરવામાં આવે,જે $2$ છે.
તેથી,ક્રમ $3$ છે અને ઘાત $2$ છે.

(A) આપેલ વ્યાપક ઉકેલ $y=a^3 e^{b^2 x+c}$ છે.
આપણે તેને $y = (a^3 e^c) e^{b^2 x}$ તરીકે લખી શકીએ છીએ.
ધારો કે $K = a^3 e^c$,જ્યાં $K$ એક સ્વૈર અચળાંક છે કારણ કે $a$ અને $c$ સ્વૈર અચળાંકો છે.
આમ,સમીકરણ $y = K e^{b^2 x}$ બને છે.
હવે,$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{dy}{dx} = K e^{b^2 x} \cdot b^2$.
કારણ કે $y = K e^{b^2 x}$,આપણે આ કિંમત વિકલનમાં મૂકીએ:
$\frac{dy}{dx} = b^2 y$.
આ પ્રથમ ક્રમનું વિકલ સમીકરણ છે કારણ કે તેમાં માત્ર પ્રથમ વિકલિત $\frac{dy}{dx}$ નો સમાવેશ થાય છે.
તેથી,વિકલ સમીકરણનો ક્રમ $1$ છે.

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $x\left(\frac{d^2 y}{d x^2}\right)^{1/2} = \left(1+\frac{d y}{d x}\right)^{4/3}$.
પરિમાણ શોધવા માટે,આપણે અપૂર્ણાંક ઘાતાંકો દૂર કરવા પડશે.
પ્રથમ,બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $x^2 \left(\frac{d^2 y}{d x^2}\right) = \left(1+\frac{d y}{d x}\right)^{8/3}$.
ત્યારબાદ,બાકી રહેલા અપૂર્ણાંકને દૂર કરવા માટે બંને બાજુ ઘન કરતા: $x^6 \left(\frac{d^2 y}{d x^2}\right)^3 = \left(1+\frac{d y}{d x}\right)^8$.
હવે,આ સમીકરણ વિકલિતોના સંદર્ભમાં બહુપદી સ્વરૂપમાં છે.
સૌથી ઉચ્ચ કક્ષાનું વિકલિત $\frac{d^2 y}{d x^2}$ છે,તેથી કક્ષા $2$ છે.
સૌથી ઉચ્ચ કક્ષાના વિકલિતની ઘાત $3$ છે,તેથી પરિમાણ $3$ છે.
કક્ષા અને પરિમાણનો સરવાળો $2 + 3 = 5$ થાય છે.

(A) વિકલ સમીકરણની કક્ષા એ વક્રના કુળના સામાન્ય સમીકરણમાં રહેલા સ્વૈર અચળાંકોની સંખ્યા જેટલી હોય છે.
વિકલ્પ $A$ માટે,ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતા વર્તુળનું સમીકરણ $x^2 + y^2 + 2gx + 2fy = 0$ છે.
અહીં,$g$ અને $f$ એ બે સ્વતંત્ર સ્વૈર અચળાંકો છે.
તેથી,$2$ સ્વૈર અચળાંકો હોવાથી,બનતું વિકલ સમીકરણ $2$ કક્ષાનું હશે.
વિકલ્પ $B$ માટે,સમીકરણ $y^2 = 4a(x-h)$ છે,જેમાં બે અચળાંકો છે,પરંતુ ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થવાની અને નાભિ $x$-અક્ષ પર હોવાની શરત તેને મર્યાદિત કરે છે.
વિકલ્પ $C$ માટે,સમીકરણ $y = mx$ છે,જેમાં માત્ર $1$ સ્વૈર અચળાંક છે.
વિકલ્પ $D$ માટે,સમીકરણ $x^2 - y^2 = k^2$ માં માત્ર $1$ સ્વૈર અચળાંક $k$ છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(C) $Y$-અક્ષ પર $(0, b)$ કેન્દ્ર અને $a$ ત્રિજ્યા ધરાવતા વર્તુળોના સમૂહનું સમીકરણ $x^2 + (y - b)^2 = a^2$ છે.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$2x + 2(y - b)y_1 = 0$
$x + (y - b)y_1 = 0$ ... $(i)$
ફરીથી $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$1 + (y - b)y_2 + y_1^2 = 0$
$(y - b)y_2 = -(1 + y_1^2)$
$y - b = -\frac{1 + y_1^2}{y_2}$ ... $(ii)$
$(ii)$ ને $(i)$ માં મૂકતા:
$x + \left(-\frac{1 + y_1^2}{y_2}\right)y_1 = 0$
$x - \frac{y_1(1 + y_1^2)}{y_2} = 0$
$xy_2 = y_1(1 + y_1^2)$

(D) આપેલ સમીકરણ: $y = a e^{2x} + b x e^{2x} = e^{2x}(a + bx)$.
$x$ ની સાપેક્ષમાં પ્રથમ વિકલન: $\frac{dy}{dx} = 2e^{2x}(a + bx) + b e^{2x} = 2y + b e^{2x}$.
તેથી $b e^{2x} = \frac{dy}{dx} - 2y$ ... $(i)$.
$x$ ની સાપેક્ષમાં દ્વિતીય વિકલન: $\frac{d^2y}{dx^2} = 2\frac{dy}{dx} + 2b e^{2x}$ ... $(ii)$.
સમીકરણ $(i)$ ની કિંમત $(ii)$ માં મૂકતા:
$\frac{d^2y}{dx^2} = 2\frac{dy}{dx} + 2(\frac{dy}{dx} - 2y)$.
$\frac{d^2y}{dx^2} = 2\frac{dy}{dx} + 2\frac{dy}{dx} - 4y$.
$\frac{d^2y}{dx^2} - 4\frac{dy}{dx} + 4y = 0$.
આમ,માંગેલ વિકલ સમીકરણ $y^{\prime \prime} - 4y^{\prime} + 4y = 0$ છે.

(B) આપેલ સમીકરણ: $y = A \cos 3x + B \sin 3x$
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{dy}{dx} = -3A \sin 3x + 3B \cos 3x$
ફરીથી $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{d^2y}{dx^2} = -9A \cos 3x - 9B \sin 3x$
$-9$ સામાન્ય લેતા:
$\frac{d^2y}{dx^2} = -9(A \cos 3x + B \sin 3x)$
કારણ કે $y = A \cos 3x + B \sin 3x$ છે,તેથી $y$ ની કિંમત મૂકતા:
$\frac{d^2y}{dx^2} = -9y$
તેથી,
$\frac{d^2y}{dx^2} + 9y = 0$

(A) ઉગમબિંદુ પર કેન્દ્ર અને યામ અક્ષો પર અક્ષો ધરાવતા અતિવલયના કુળનું સમીકરણ $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ છે.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા: $\frac{2x}{a^2} - \frac{2y}{b^2} y_1 = 0 \Rightarrow \frac{x}{a^2} = \frac{y y_1}{b^2} \Rightarrow \frac{y y_1}{x} = \frac{b^2}{a^2} = k$ (અચળ).
ફરીથી $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા: $\frac{d}{dx} \left( \frac{y y_1}{x} \right) = 0$.
ભાગાકારના નિયમનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{x(y y_2 + y_1^2) - y y_1}{x^2} = 0$.
અહીં $x \neq 0$ હોવાથી,આપણને $x y y_2 + x y_1^2 - y y_1 = 0$ મળે છે.

(B) આપેલ છે કે $y = (\tan^{-1} 2x)^2 + (\cot^{-1} 2x)^2$.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$y' = 2(\tan^{-1} 2x) \cdot \frac{2}{1 + 4x^2} + 2(\cot^{-1} 2x) \cdot \frac{-2}{1 + 4x^2}$
$y' = \frac{4(\tan^{-1} 2x - \cot^{-1} 2x)}{1 + 4x^2}$
$(1 + 4x^2) y' = 4(\tan^{-1} 2x - \cot^{-1} 2x)$
ફરીથી $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$8x y' + (1 + 4x^2) y'' = 4 \left( \frac{2}{1 + 4x^2} - \frac{-2}{1 + 4x^2} \right)$
$8x y' + (1 + 4x^2) y'' = 4 \left( \frac{4}{1 + 4x^2} \right) = \frac{16}{1 + 4x^2}$
બંને બાજુ $(1 + 4x^2)$ વડે ગુણતા:
$8x(1 + 4x^2) y' + (1 + 4x^2)^2 y'' = 16$
$(1 + 4x^2)^2 y'' - 16 = -8x(1 + 4x^2) y'$

(D) આપેલ સમીકરણ: $ax + by = 1$.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$a + b \frac{dy}{dx} = 0$
$\frac{dy}{dx} = -\frac{a}{b}$
ફરીથી $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{d^2y}{dx^2} = 0$.
આમ,માંગેલ વિકલ સમીકરણ $\frac{d^2y}{dx^2} = 0$ છે.

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ $x dy - y dx = \sqrt{x^2 + y^2} dx$ છે.
પદોને ફરીથી ગોઠવતા,આપણને $\frac{dy}{dx} = \frac{y + \sqrt{x^2 + y^2}}{x}$ મળે છે.
આ એક સમપરિમાણીય વિકલ સમીકરણ છે. ધારો કે $y = vx$,તો $\frac{dy}{dx} = v + x \frac{dv}{dx}$.
આ કિંમતો સમીકરણમાં મૂકતા: $v + x \frac{dv}{dx} = \frac{vx + \sqrt{x^2 + v^2x^2}}{x} = v + \sqrt{1 + v^2}$.
સાદું રૂપ આપતા,$x \frac{dv}{dx} = \sqrt{1 + v^2}$.
ચલને અલગ કરતા: $\int \frac{dv}{\sqrt{1 + v^2}} = \int \frac{dx}{x}$.
બંને બાજુ સંકલન કરતા: $\ln(v + \sqrt{v^2 + 1}) = \ln|x| + C = \ln|cx|$.
તેથી,$v + \sqrt{v^2 + 1} = cx$.
$v = \frac{y}{x}$ મૂકતા: $\frac{y}{x} + \sqrt{\frac{y^2}{x^2} + 1} = cx \Rightarrow y + \sqrt{x^2 + y^2} = cx^2$.
આપેલ છે કે $y(\sqrt{3}) = 1$,તેથી $1 + \sqrt{3 + 1} = c(\sqrt{3})^2 \Rightarrow 1 + 2 = 3c \Rightarrow c = 1$.
તેથી,ઉકેલ $y + \sqrt{x^2 + y^2} = x^2$ છે.

(C) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $(x+y) y dx + (y-x) x dy = 0$.
પદોને ગોઠવતા: $(y-x) x dy = -(x+y) y dx$,જેથી $\frac{dy}{dx} = \frac{(x+y) y}{(x-y) x}$ મળે.
આ એક સમપરિમાણીય વિકલ સમીકરણ છે. ધારો કે $y = vx$,તેથી $\frac{dy}{dx} = v + x \frac{dv}{dx}$.
આ કિંમતો સમીકરણમાં મૂકતા: $v + x \frac{dv}{dx} = \frac{(x+vx) vx}{(x-vx) x} = \frac{v(1+v)}{1-v} = \frac{v+v^2}{1-v}$.
$x \frac{dv}{dx} = \frac{v+v^2}{1-v} - v = \frac{v+v^2-v+v^2}{1-v} = \frac{2v^2}{1-v}$.
ચલને અલગ કરતા: $\int \frac{1-v}{v^2} dv = \int \frac{2}{x} dx$.
બંને બાજુ સંકલન કરતા: $\int (v^{-2} - v^{-1}) dv = 2 \int \frac{1}{x} dx$.
$-v^{-1} - \ln|v| = 2 \ln|x| + C$.
$v = \frac{y}{x}$ મૂકતા: $-\frac{x}{y} - \ln(\frac{y}{x}) = 2 \ln|x| + C$.
$-\frac{x}{y} - \ln|y| + \ln|x| = 2 \ln|x| + C$.
$-\frac{x}{y} = \ln|y| + \ln|x| + C = \ln|xy| + C$.
$-y$ વડે ગુણતા: $x = -y \ln|xy| - yC$.
$x + y(\ln|xy| + C) = 0$.
$x + y \ln|cxy| = 0$,જ્યાં $C = \ln|c|$.

(B) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $(x \sin \frac{y}{x}) dy = (y \sin \frac{y}{x} - x) dx$
પદોને ગોઠવતા: $\frac{dy}{dx} = \frac{y \sin \frac{y}{x} - x}{x \sin \frac{y}{x}} = \frac{y}{x} - \frac{1}{\sin \frac{y}{x}} = \frac{y}{x} - \operatorname{cosec} \frac{y}{x}$
ધારો કે $\frac{y}{x} = v$,તેથી $y = vx$,અને $\frac{dy}{dx} = v + x \frac{dv}{dx}$
આ કિંમતો સમીકરણમાં મૂકતા: $v + x \frac{dv}{dx} = v - \operatorname{cosec} v$
$x \frac{dv}{dx} = -\operatorname{cosec} v$
ચલને અલગ કરતા: $\frac{dv}{\operatorname{cosec} v} = -\frac{dx}{x} \Rightarrow \sin v dv = -\frac{dx}{x}$
બંને બાજુ સંકલન કરતા: $\int \sin v dv = -\int \frac{1}{x} dx$
$-\cos v = -\log_e |x| + C$
$\cos v = \log_e |x| + C'$
$v = \frac{y}{x}$ પાછા મૂકતા: $\cos \frac{y}{x} = \log_e x + C$

(B) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $\frac{dy}{dx} = \frac{y}{x} + \tan(\frac{y}{x})$.
ધારો કે $y = vx$,તેથી $\frac{dy}{dx} = v + x \frac{dv}{dx}$.
આ કિંમતો સમીકરણમાં મૂકતા:
$v + x \frac{dv}{dx} = v + \tan(v)$.
બંને બાજુથી $v$ બાદ કરતા:
$x \frac{dv}{dx} = \tan(v)$.
ચલને અલગ કરતા:
$\int \cot(v) dv = \int \frac{1}{x} dx$.
બંને બાજુ સંકલન કરતા:
$\ln|\sin(v)| = \ln|x| + \ln|C|$.
$\ln|\sin(v)| = \ln|Cx|$.
બંને બાજુ ઘાતાંકીય લેતા:
$\sin(v) = Cx$.
$v = \frac{y}{x}$ મૂકતા:
$\sin(\frac{y}{x}) = Cx$.

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ $x dy - y dx = \sqrt{x^2 + y^2} dx$ છે.
બંને બાજુ $x dx$ વડે ભાગતા ($x \neq 0$ ધારીને),આપણને મળે છે:
$\frac{dy}{dx} = \frac{y}{x} + \sqrt{1 + \frac{y^2}{x^2}}$.
ધારો કે $y = vx$,તેથી $\frac{dy}{dx} = v + x \frac{dv}{dx}$.
આ કિંમતો સમીકરણમાં મૂકતા:
$v + x \frac{dv}{dx} = v + \sqrt{1 + v^2}$.
બંને બાજુથી $v$ બાદ કરતા:
$x \frac{dv}{dx} = \sqrt{1 + v^2}$.
ચલને અલગ કરતા:
$\frac{dv}{\sqrt{1 + v^2}} = \frac{dx}{x}$.
બંને બાજુ સંકલન કરતા:
$\int \frac{dv}{\sqrt{1 + v^2}} = \int \frac{dx}{x}$.
$\log |v + \sqrt{1 + v^2}| = \log |x| + \log |c|$.
$v + \sqrt{1 + v^2} = cx$.
$v = \frac{y}{x}$ પાછા મૂકતા:
$\frac{y}{x} + \sqrt{1 + \frac{y^2}{x^2}} = cx$.
$\frac{y + \sqrt{x^2 + y^2}}{x} = cx$.
$y + \sqrt{x^2 + y^2} = cx^2$.

(B) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $(xy + y^2) dx - (x^2 - 2xy) dy = 0$
પદોને ગોઠવતા: $\frac{dy}{dx} = \frac{xy + y^2}{x^2 - 2xy}$
અંશ અને છેદને $x^2$ વડે ભાગતા: $\frac{dy}{dx} = \frac{\frac{y}{x} + (\frac{y}{x})^2}{1 - 2(\frac{y}{x})}$
ધારો કે $y = vx$,તેથી $\frac{dy}{dx} = v + x\frac{dv}{dx}$.
સમીકરણમાં કિંમત મૂકતા: $v + x\frac{dv}{dx} = \frac{v + v^2}{1 - 2v}$
$x\frac{dv}{dx} = \frac{v + v^2}{1 - 2v} - v = \frac{v + v^2 - v + 2v^2}{1 - 2v} = \frac{3v^2}{1 - 2v}$
ચલને અલગ કરતા: $(\frac{1 - 2v}{3v^2}) dv = \frac{dx}{x} \Rightarrow (\frac{1}{3v^2} - \frac{2}{3v}) dv = \frac{dx}{x}$
બંને બાજુ સંકલન કરતા: $\int (\frac{1}{3}v^{-2} - \frac{2}{3v}) dv = \int \frac{1}{x} dx$
$-\frac{1}{3v} - \frac{2}{3} \ln|v| = \ln|x| + C_1$
$v = \frac{y}{x}$ મૂકતા: $-\frac{x}{3y} - \frac{2}{3} \ln(\frac{y}{x}) = \ln|x| + C_1$
$3$ વડે ગુણતા: $-\frac{x}{y} - 2(\ln y - \ln x) = 3\ln x + 3C_1$
$-\frac{x}{y} = 3\ln x + 2\ln y - 2\ln x + C_2 = \ln x + 2\ln y + C_2 = \ln(xy^2) + C_2$
$-\frac{x}{y} = \ln(Cxy^2) \Rightarrow e^{-\frac{x}{y}} = Cxy^2$
તેથી,$Cxy^2 e^{\frac{x}{y}} = 1$.

(D) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $(\sin y \cos^2 y - x \sec^2 y) dy = \tan y dx$
પદોને ગોઠવતા: $\tan y \frac{dx}{dy} + x \sec^2 y = \sin y \cos^2 y$
$\tan y$ વડે ભાગતા: $\frac{dx}{dy} + x \frac{\sec^2 y}{\tan y} = \cos^3 y$
આ $\frac{dx}{dy} + P(y)x = Q(y)$ પ્રકારનું સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે,જ્યાં $P(y) = \frac{\sec^2 y}{\tan y}$ અને $Q(y) = \cos^3 y$.
સંકલ્યકારક અવયવ ($I$.$F$.) $= e^{\int P(y) dy} = e^{\int \frac{\sec^2 y}{\tan y} dy} = e^{\ln(\tan y)} = \tan y$.
ઉકેલ $x \cdot (I.F.) = \int Q(y) \cdot (I.F.) dy + C$ દ્વારા મળે છે.
$x \tan y = \int \cos^3 y \cdot \tan y dy = \int \cos^2 y \sin y dy$.
ધારો કે $u = \cos y$,તો $du = -\sin y dy$.
$x \tan y = -\int u^2 du = -\frac{u^3}{3} + C = -\frac{\cos^3 y}{3} + C$.
$3$ વડે ગુણતા: $3x \tan y = -\cos^3 y + 3C$.
આમ,$3x \tan y + \cos^3 y = C$ (જ્યાં $C$ અચળાંક છે).

(D) આપેલ વિકલ સમીકરણ $x dy + (y + y^2 x) dx = 0$ છે.
$x dx$ વડે ભાગતા,આપણને $\frac{dy}{dx} + \frac{y}{x} + y^2 = 0$ મળે છે.
આ એક બર્નુલી વિકલ સમીકરણ છે. $y^2$ વડે ભાગતા: $y^{-2} \frac{dy}{dx} + \frac{1}{x} y^{-1} = -1$.
ધારો કે $v = y^{-1}$,તો $\frac{dv}{dx} = -y^{-2} \frac{dy}{dx}$,તેથી $- \frac{dv}{dx} + \frac{v}{x} = -1$,જેનું સાદું રૂપ $\frac{dv}{dx} - \frac{v}{x} = 1$ થાય છે.
આ એક સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે,જેમાં સંકલ્યકારક અવયવ $I.F. = e^{\int -\frac{1}{x} dx} = e^{-\log x} = \frac{1}{x}$ છે.
ઉકેલ $v \cdot \frac{1}{x} = \int 1 \cdot \frac{1}{x} dx = \log x + C$ છે.
$v = \frac{1}{y}$ મૂકતા,આપણને $\frac{1}{xy} = \log x + C$ મળે છે.
$x = 1$ હોય ત્યારે $y = 1$ આપેલ હોવાથી,$\frac{1}{1 \cdot 1} = \log 1 + C \Rightarrow 1 = 0 + C \Rightarrow C = 1$.
આમ,$\frac{1}{xy} = \log x + 1$,જેનો અર્થ છે કે $y = \frac{1}{x(1 + \log x)}$.

(D) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $(y^2+x+1) dy = (y+1) dx$.
$x$ માં સુરેખ વિકલ સમીકરણ બનાવવા માટે પદોને ગોઠવતા:
$\frac{dx}{dy} = \frac{y^2+x+1}{y+1} = \frac{y^2+1}{y+1} + \frac{x}{y+1}$.
$\frac{dx}{dy} - \frac{1}{y+1} x = \frac{y^2+1}{y+1}$.
આ $\frac{dx}{dy} + P(y)x = Q(y)$ પ્રકારનું સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે,જ્યાં $P(y) = -\frac{1}{y+1}$ અને $Q(y) = \frac{y^2+1}{y+1}$.
સંકલ્યકારક અવયવ $IF = e^{\int P(y) dy} = e^{-\int \frac{1}{y+1} dy} = e^{-\log(y+1)} = \frac{1}{y+1}$.
ઉકેલ $x \cdot IF = \int Q(y) \cdot IF dy + c$ છે.
$x \cdot \frac{1}{y+1} = \int \frac{y^2+1}{(y+1)^2} dy + c$.
$y^2+1 = (y+1)^2 - 2(y+1) + 2$ લેતા:
$\frac{x}{y+1} = \int \left( 1 - \frac{2}{y+1} + \frac{2}{(y+1)^2} \right) dy + c$.
$\frac{x}{y+1} = y - 2 \log |y+1| - \frac{2}{y+1} + c$.
પદોને ગોઠવતા: $\frac{x+2}{y+1} + 2 \log |y+1| = y + c$,એટલે કે $\frac{x+2}{y+1} + \log (y+1)^2 = y + c$.

(D) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $\sin x \frac{dy}{dx} - y \cos x = 1$.
સમીકરણને $\sin x$ વડે ભાગતા,તે પ્રમાણિત સ્વરૂપ $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ માં નીચે મુજબ લખાશે:
$\frac{dy}{dx} - y \cot x = \operatorname{cosec} x$.
અહીં,$P = -\cot x$.
સંકલ્યકારક અવયવ $(IF)$ શોધવાનું સૂત્ર $IF = e^{\int P dx}$ છે.
$IF = e^{\int -\cot x dx} = e^{-\ln|\sin x|} = e^{\ln|\sin x|^{-1}} = \frac{1}{\sin x} = \operatorname{cosec} x$.

(B) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $(x + 2y^3) \frac{dy}{dx} = y$.
સમીકરણને ફરીથી ગોઠવતા,આપણને મળે છે: $\frac{dx}{dy} = \frac{x + 2y^3}{y} = \frac{x}{y} + 2y^2$.
આ $\frac{dx}{dy} + P(y)x = Q(y)$ સ્વરૂપનું સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે,જ્યાં $P(y) = -\frac{1}{y}$ અને $Q(y) = 2y^2$ છે.
સંકલ્યકારક અવયવ ($I$.$F$.) $e^{\int P(y) dy} = e^{\int -\frac{1}{y} dy} = e^{-\ln|y|} = \frac{1}{y}$ છે.
વ્યાપક ઉકેલ $x \cdot (I.F.) = \int Q(y) \cdot (I.F.) dy + c$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $x \cdot \frac{1}{y} = \int 2y^2 \cdot \frac{1}{y} dy + c$.
$\frac{x}{y} = \int 2y dy + c$.
$\frac{x}{y} = y^2 + c$.
તેથી,$x = y(y^2 + c)$.

(C) આપેલ વિકલ સમીકરણ $(1+\tan y)(dx-dy)+2x dy=0$ છે.
પદોને ગોઠવતા,$(1+\tan y)dx = (1+\tan y - 2x)dy$ મળે.
$(1+\tan y)dy$ વડે ભાગતા,$\frac{dx}{dy} = 1 - \frac{2x}{1+\tan y}$ મળે,જે $\frac{dx}{dy} + \left(\frac{2}{1+\tan y}\right)x = 1$ તરીકે લખી શકાય.
આ $\frac{dx}{dy} + P(y)x = Q(y)$ સ્વરૂપનું સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે,જ્યાં $P(y) = \frac{2}{1+\tan y} = \frac{2\cos y}{\sin y + \cos y}$.
સંકલ્યકારક અવયવ ($I$.$F$.) $e^{\int P(y)dy} = e^{\int \frac{2\cos y}{\sin y + \cos y} dy}$ છે.
કારણ કે $\int \frac{2\cos y}{\sin y + \cos y} dy = \int \frac{(\cos y - \sin y) + (\cos y + \sin y)}{\sin y + \cos y} dy = \int \left(\frac{\cos y - \sin y}{\sin y + \cos y} + 1\right) dy = \ln|\sin y + \cos y| + y$.
તેથી,$I.F. = e^{\ln(\sin y + \cos y) + y} = e^y(\sin y + \cos y)$.
ઉકેલ $x \cdot (I.F.) = \int Q(y) \cdot (I.F.) dy + c$ છે.
$x e^y(\sin y + \cos y) = \int e^y(\sin y + \cos y) dy + c$.
સૂત્ર $\int e^y(f(y) + f'(y)) dy = e^y f(y) + c$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $f(y) = \sin y$ અને $f'(y) = \cos y$,આપણને મળે:
$x e^y(\sin y + \cos y) = e^y \sin y + c$.
ગોઠવતા $e^y(x \sin y + x \cos y - \sin y) = c$ મળે છે.

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $\frac{dy}{dx} = \frac{x+y+1}{x-y-1}$.
ધારો કે $x = X+h$ અને $y = Y+k$,તેથી $\frac{dy}{dx} = \frac{dY}{dX}$.
આ કિંમતો મૂકતા,$\frac{dY}{dX} = \frac{X+Y+h+k+1}{X-Y+h-k-1}$ મળે.
સમીકરણને સમપરિમાણીય બનાવવા માટે,$h+k+1 = 0$ અને $h-k-1 = 0$ લો.
આ સમીકરણો ઉકેલતા,$h = 0$ અને $k = -1$ મળે છે.
આમ,સમીકરણ $\frac{dY}{dX} = \frac{X+Y}{X-Y}$ બને છે.
ગોઠવતા,$(X-Y) dY = (X+Y) dX$,જેનો અર્થ છે કે $X dY - Y dX = X dX + Y dY$.
$X^2+Y^2$ વડે ભાગતા,$\frac{X dY - Y dX}{X^2+Y^2} = \frac{X dX + Y dY}{X^2+Y^2}$ મળે.
બંને બાજુ સંકલન કરતા,$\int d\left(\tan^{-1}\left(\frac{Y}{X}\right)\right) = \frac{1}{2} \int d(\log(X^2+Y^2))$.
આથી $\tan^{-1}\left(\frac{Y}{X}\right) = \frac{1}{2} \log(X^2+Y^2) + C$ મળે.
$X = x$ અને $Y = y+1$ મૂકતા,$\tan^{-1}\left(\frac{y+1}{x}\right) = \frac{1}{2} \log(x^2+(y+1)^2) + C$ મળે.
તેથી,$\tan^{-1}\left(\frac{y+1}{x}\right) - \frac{1}{2} \log(x^2+y^2+2y+1) = C$.

(C) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $\cos x \frac{dy}{dx} - y \sin x = 6x$.
આને ગુણાકારના વિકલન તરીકે લખી શકાય: $\frac{d}{dx}(y \cos x) = 6x$.
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષે સંકલન કરતા: $y \cos x = \int 6x \, dx = 3x^2 + C$.
પ્રારંભિક શરત $y(\frac{\pi}{3}) = 0$ નો ઉપયોગ કરતા:
$0 \cdot \cos(\frac{\pi}{3}) = 3(\frac{\pi}{3})^2 + C \Rightarrow 0 = \frac{\pi^2}{3} + C \Rightarrow C = \frac{-\pi^2}{3}$.
આમ,સામાન્ય ઉકેલ $y \cos x = 3x^2 - \frac{\pi^2}{3}$ છે.
હવે,$y(\frac{\pi}{6})$ શોધવા માટે,$x = \frac{\pi}{6}$ મૂકતા:
$y(\frac{\pi}{6}) \cos(\frac{\pi}{6}) = 3(\frac{\pi}{6})^2 - \frac{\pi^2}{3}$.
$y(\frac{\pi}{6}) \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 3(\frac{\pi^2}{36}) - \frac{\pi^2}{3} = \frac{\pi^2}{12} - \frac{4\pi^2}{12} = \frac{-3\pi^2}{12} = \frac{-\pi^2}{4}$.
તેથી,$y(\frac{\pi}{6}) = \frac{-\pi^2}{4} \cdot \frac{2}{\sqrt{3}} = \frac{-\pi^2}{2 \sqrt{3}}$.

(B) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $e^x y dx + e^x dy + x dx = 0$
આને આ રીતે લખી શકાય: $d(ye^x) + x dx = 0$
બંને બાજુ સંકલન કરતા: $\int d(ye^x) + \int x dx = \int 0 dx$
$ye^x + \frac{x^2}{2} = C_1$
બંને બાજુ $2$ વડે ગુણતા: $2ye^x + x^2 = 2C_1$
ધારો કે $2C_1 = C$,તેથી ઉકેલ $2ye^x + x^2 = C$ મળે છે.

(A) નિયમિત ષટ્કોણ $ABCDEF$ માં,કેન્દ્ર $O$ એવું છે કે જેથી $\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{BC}=\vec{b}$ અને $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{OC}=\vec{a}$ થાય.
વળી,$\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AF}$ અને $\overrightarrow{DE}=\overrightarrow{BA}=-\vec{a}$ થાય.
સદિશ સરવાળાના બહુકોણના નિયમ મુજબ,બંધ બહુકોણની બાજુઓ પરના સદિશોનો સરવાળો શૂન્ય થાય છે:
$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{DE}+\overrightarrow{EF}+\overrightarrow{FA} = 0$
કારણ કે $\overrightarrow{CD} = \overrightarrow{AF} = -\overrightarrow{FA}$,તેથી આપણને મળે:
$\vec{a} + \vec{b} + \overrightarrow{CD} - \vec{a} + \overrightarrow{EF} - \overrightarrow{CD} = 0$
વૈકલ્પિક રીતે,નિયમિત ષટ્કોણના ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા,$\overrightarrow{FA} = \overrightarrow{CD} - \overrightarrow{BC} = \vec{a} - \vec{b}$ થાય.

(B) ધારો કે બિંદુઓ $A(\alpha, 10, 13)$,$B(6, 11, 11)$ અને $C(\frac{9}{2}, \beta, -8)$ છે.
બિંદુઓ સમરેખ હોવાથી,સદિશો $\vec{AB}$ અને $\vec{BC}$ પ્રમાણસર હોવા જોઈએ.
$\vec{AB} = (6-\alpha)\hat{i} + (11-10)\hat{j} + (11-13)\hat{k} = (6-\alpha)\hat{i} + 1\hat{j} - 2\hat{k}$.
$\vec{BC} = (\frac{9}{2}-6)\hat{i} + (\beta-11)\hat{j} + (-8-11)\hat{k} = -\frac{3}{2}\hat{i} + (\beta-11)\hat{j} - 19\hat{k}$.
સમરેખતા માટે,$\frac{6-\alpha}{-3/2} = \frac{1}{\beta-11} = \frac{-2}{-19}$.
$\frac{1}{\beta-11} = \frac{2}{19}$ પરથી,આપણને $2(\beta-11) = 19 \Rightarrow 2\beta - 22 = 19 \Rightarrow 2\beta = 41 \Rightarrow 6\beta = 123$ મળે છે.
$\frac{6-\alpha}{-3/2} = \frac{2}{19}$ પરથી,આપણને $19(6-\alpha) = -3 \Rightarrow 114 - 19\alpha = -3 \Rightarrow 19\alpha = 117$ મળે છે.
આમ,$(19\alpha - 6\beta)^2 = (117 - 123)^2 = (-6)^2 = 36$.

(C) ત્રણ સદિશો $\vec{a}, \vec{b},$ અને $\vec{c}$ સમતલીય હોય જો અને માત્ર જો તેમનો અદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકાર શૂન્ય હોય,એટલે કે $[\vec{a} \vec{b} \vec{c}] = 0$.
આ તેમના ઘટકો દ્વારા રચાયેલા નિશ્ચાયકનું મૂલ્ય શૂન્ય હોવાને સમાન છે:
$\left|\begin{array}{ccc} 2 & -1 & 1 \\ 1 & 2 & -3 \\ 3 & p & 5 \end{array}\right| = 0$
પ્રથમ હારની સાપેક્ષમાં નિશ્ચાયકનું વિસ્તરણ કરતા:
$2(2 \times 5 - (-3) \times p) - (-1)(1 \times 5 - (-3) \times 3) + 1(1 \times p - 2 \times 3) = 0$
$2(10 + 3p) + 1(5 + 9) + 1(p - 6) = 0$
$20 + 6p + 14 + p - 6 = 0$
$7p + 28 = 0$
$7p = -28$
$p = -4$

(A) આપેલ છે કે,$|\vec{a}|=|\vec{b}|=1$.
કારણ કે $\vec{u}=\vec{a}-(\vec{a} \cdot \vec{b}) \vec{b}$,ધારો કે $\theta$ એ $\vec{a}$ અને $\vec{b}$ વચ્ચેનો ખૂણો છે. તેથી $\vec{a} \cdot \vec{b} = \cos \theta$.
તેથી,$\vec{u} = \vec{a} - \cos \theta \vec{b}$.
માનનો વર્ગ શોધતા: $|\vec{u}|^2 = |\vec{a}|^2 + \cos^2 \theta |\vec{b}|^2 - 2 \cos \theta (\vec{a} \cdot \vec{b}) = 1 + \cos^2 \theta - 2 \cos^2 \theta = 1 - \cos^2 \theta = \sin^2 \theta$.
આમ,$|\vec{u}| = \sin \theta$ (કારણ કે અસમરેખ સદિશો માટે $\sin \theta > 0$).
વળી,$|\vec{v}| = |\vec{a} \times \vec{b}| = |\vec{a}| |\vec{b}| \sin \theta = \sin \theta$.
તેથી,$|\vec{v}| = |\vec{u}|$.
હવે,$\vec{u} \cdot \vec{v} = (\vec{a} - (\vec{a} \cdot \vec{b}) \vec{b}) \cdot (\vec{a} \times \vec{b}) = \vec{a} \cdot (\vec{a} \times \vec{b}) - (\vec{a} \cdot \vec{b}) \vec{b} \cdot (\vec{a} \times \vec{b}) = 0 - 0 = 0$.
તેથી,$|\vec{v}| = |\vec{u}| + |\vec{u} \cdot \vec{v}| = |\vec{u}| + 0 = |\vec{u}|$.

(D) આપેલ છે: $\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}=\alpha \vec{d}$ ....$(i)$
આપેલ છે: $\vec{b}+\vec{c}+\vec{d}=\beta \vec{a}$ ....(ii)
$(i)$ પરથી,$\vec{b}+\vec{c}=\alpha \vec{d}-\vec{a}$.
આ કિંમત (ii) માં મુકતા: $(\alpha \vec{d}-\vec{a})+\vec{d}=\beta \vec{a}$.
પદોને ગોઠવતા: $(\alpha+1)\vec{d} = (\beta+1)\vec{a}$.
કારણ કે $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ અસમતલીય છે,તેથી $(\alpha+1)\vec{d} = (\beta+1)\vec{a}$ સમીકરણ ત્યારે જ શક્ય છે જ્યારે $\alpha+1=0$ અને $\beta+1=0$ થાય,એટલે કે $\alpha=-1$ અને $\beta=-1$.
$(i)$ માં $\alpha=-1$ મુકતા: $\vec{a}+\vec{b}+\vec{c} = -\vec{d}$.
તેથી,$\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}+\vec{d} = \vec{0}$.
આમ,$|\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}+\vec{d}| = |\vec{0}| = 0$.

(A) ધારો કે $\hat{a} = \frac{\vec{a}}{|\vec{a}|}$ અને $\hat{b} = \frac{\vec{b}}{|\vec{b}|}$ એ અનુક્રમે $\vec{a}$ અને $\vec{b}$ ની દિશામાં એકમ સદિશો છે.
તેથી,$|\vec{b}| \vec{a} + |\vec{a}| \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| \left( \frac{\vec{a}}{|\vec{a}|} + \frac{\vec{b}}{|\vec{b}|} \right) = |\vec{a}| |\vec{b}| (\hat{a} + \hat{b})$.
કારણ કે $\hat{a} + \hat{b}$ એ એકમ સદિશો $\hat{a}$ અને $\hat{b}$ દ્વારા બનતા સમબાજુ ચતુષ્કોણનો વિકર્ણ છે,તે $\vec{a}$ અને $\vec{b}$ વચ્ચેના ખૂણાનો દ્વિભાજક દર્શાવે છે.
આમ,$|\vec{b}| \vec{a} + |\vec{a}| \vec{b}$ એ $\vec{a}$ અને $\vec{b}$ ના ખૂણાના દ્વિભાજકને સમાંતર સદિશ છે.

(C) ધારો કે બિંદુઓના સ્થાન સદિશો $\overrightarrow{OA} = -\hat{i} + 4\hat{j} - 4\hat{k}$,$\overrightarrow{OB} = 3\hat{i} + 2\hat{j} - 5\hat{k}$,$\overrightarrow{OC} = -3\hat{i} + 8\hat{j} - 5\hat{k}$,અને $\overrightarrow{OD} = -3\hat{i} + 2\hat{j} + \lambda\hat{k}$ છે.
બિંદુઓ સમતલીય હોવા માટે,સદિશો $\overrightarrow{AB}$,$\overrightarrow{AC}$,અને $\overrightarrow{AD}$ નો અદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકાર શૂન્ય હોવો જોઈએ.
પ્રથમ,સદિશોની ગણતરી કરીએ:
$\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OA} = 4\hat{i} - 2\hat{j} - \hat{k}$
$\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{OC} - \overrightarrow{OA} = -2\hat{i} + 4\hat{j} - \hat{k}$
$\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{OD} - \overrightarrow{OA} = -2\hat{i} - 2\hat{j} + (\lambda + 4)\hat{k}$
હવે,આ સદિશોના નિશ્ચાયકને શૂન્ય સાથે સરખાવીએ:
$\begin{vmatrix} 4 & -2 & -1 \\ -2 & 4 & -1 \\ -2 & -2 & \lambda + 4 \end{vmatrix} = 0$
નિશ્ચાયકનું વિસ્તરણ કરતા:
$4(4(\lambda + 4) - 2) + 2(-2(\lambda + 4) - 2) - 1(4 - 8) = 0$
$4(4\lambda + 14) + 2(-2\lambda - 10) - 12 = 0$
$16\lambda + 56 - 4\lambda - 20 - 12 = 0$
$12\lambda + 24 = 0$
$\lambda = -2$

(B) અહીં આપેલ છે કે $|\vec{f}|=10, |\vec{g}|=14$ અને $|\vec{f}-\vec{g}|=15$.
ગુણધર્મ $|\vec{f}-\vec{g}|^2 = |\vec{f}|^2 + |\vec{g}|^2 - 2(\vec{f} \cdot \vec{g})$ નો ઉપયોગ કરતા:
$15^2 = 10^2 + 14^2 - 2(\vec{f} \cdot \vec{g})$
$225 = 100 + 196 - 2(\vec{f} \cdot \vec{g})$
$225 = 296 - 2(\vec{f} \cdot \vec{g})$
$2(\vec{f} \cdot \vec{g}) = 296 - 225 = 71$.
હવે,આપણે $|\vec{f}+\vec{g}|$ શોધવાનું છે.
ગુણધર્મ $|\vec{f}+\vec{g}|^2 = |\vec{f}|^2 + |\vec{g}|^2 + 2(\vec{f} \cdot \vec{g})$ નો ઉપયોગ કરતા:
$|\vec{f}+\vec{g}|^2 = 10^2 + 14^2 + 71$
$|\vec{f}+\vec{g}|^2 = 100 + 196 + 71 = 367$
તેથી,$|\vec{f}+\vec{g}| = \sqrt{367}$.

(D) આપેલ છે કે $|\vec{a}|=|\vec{b}|=|\vec{c}|=\sqrt{3}$.
આપેલ સમીકરણ $(\vec{a}+\vec{b}+\vec{c})^2+(\vec{b}+\vec{c}-\vec{a})^2+(\vec{c}+\vec{a}-\vec{b})^2=36$ નું વિસ્તરણ કરતા:
$3(|\vec{a}|^2+|\vec{b}|^2+|\vec{c}|^2) + 2(\vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{b} \cdot \vec{c} + \vec{c} \cdot \vec{a}) = 36$.
$|\vec{a}|^2=|\vec{b}|^2=|\vec{c}|^2=3$ મૂકતા:
$3(3+3+3) + 2(\vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{b} \cdot \vec{c} + \vec{c} \cdot \vec{a}) = 36$.
$27 + 2(\vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{b} \cdot \vec{c} + \vec{c} \cdot \vec{a}) = 36 \Rightarrow 2(\vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{b} \cdot \vec{c} + \vec{c} \cdot \vec{a}) = 9$.
હવે,$|2 \vec{a}-3 \vec{b}+2 \vec{c}|^2 = 4|\vec{a}|^2 + 9|\vec{b}|^2 + 4|\vec{c}|^2 - 12(\vec{a} \cdot \vec{b}) - 12(\vec{b} \cdot \vec{c}) + 8(\vec{a} \cdot \vec{c})$ ગણતરી કરતા જવાબ $75$ મળે છે.

(A) સદિશો $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ સુરેખ રીતે આધારિત હોવાથી,તેમનો અદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકાર શૂન્ય થાય:
$\begin{vmatrix} \alpha & \beta & 3 \\ 0 & 1 & 2 \\ 3 & 2 & 1 \end{vmatrix} = 0$
પ્રથમ હાર મુજબ વિસ્તરણ કરતા:
$\alpha(1 - 4) - \beta(0 - 6) + 3(0 - 3) = 0$
$-3\alpha + 6\beta - 9 = 0$
$-3$ વડે ભાગતા:
$\alpha - 2\beta + 3 = 0 \Rightarrow \alpha = 2\beta - 3$
આપેલ છે કે $|\vec{a}| = \sqrt{14}$,તેથી:
$\alpha^2 + \beta^2 + 3^2 = 14$
$\alpha^2 + \beta^2 = 5$
$\alpha = 2\beta - 3$ મૂકતા:
$(2\beta - 3)^2 + \beta^2 = 5$
$4\beta^2 - 12\beta + 9 + \beta^2 = 5$
$5\beta^2 - 12\beta + 4 = 0$
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા:
$(5\beta - 2)(\beta - 2) = 0$
$\beta$ પૂર્ણાંક હોવાથી,$\beta = 2$ લેતા.
તેથી $\alpha = 2(2) - 3 = 1$.
આમ,$\alpha + \beta = 1 + 2 = 3$.

(B) સૌ પ્રથમ,$\vec{a}$ અને $\vec{b}$ ની દિશામાં એકમ સદિશો શોધો.
$|\vec{a}| = \sqrt{4^2 + 7^2 + (-4)^2} = \sqrt{16 + 49 + 16} = \sqrt{81} = 9$.
$|\vec{b}| = \sqrt{12^2 + (-3)^2 + 4^2} = \sqrt{144 + 9 + 16} = \sqrt{169} = 13$.
એકમ સદિશો $\hat{a} = \frac{4 \hat{i} + 7 \hat{j} - 4 \hat{k}}{9}$ અને $\hat{b} = \frac{12 \hat{i} - 3 \hat{j} + 4 \hat{k}}{13}$ છે.
આંતરિક ખૂણાના દ્વિભાજક પરનો સદિશ $\vec{v} = \lambda(\hat{a} + \hat{b})$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$\hat{a} + \hat{b} = \frac{13(4 \hat{i} + 7 \hat{j} - 4 \hat{k}) + 9(12 \hat{i} - 3 \hat{j} + 4 \hat{k})}{117} = \frac{(52 + 108) \hat{i} + (91 - 27) \hat{j} + (-52 + 36) \hat{k}}{117} = \frac{160 \hat{i} + 64 \hat{j} - 16 \hat{k}}{117} = \frac{16}{117}(10 \hat{i} + 4 \hat{j} - \hat{k})$.
ધારો કે $\vec{c} = k(10 \hat{i} + 4 \hat{j} - \hat{k})$. તેનું માન $|\vec{c}| = |k| \sqrt{10^2 + 4^2 + (-1)^2} = |k| \sqrt{100 + 16 + 1} = |k| \sqrt{117} = |k| \sqrt{9 \times 13} = 3|k| \sqrt{13}$ છે.
આપેલ છે કે $|\vec{c}| = 3 \sqrt{13}$,તેથી $3|k| \sqrt{13} = 3 \sqrt{13}$,જેનો અર્થ છે કે $k = 1$.
આમ,$\vec{c} = 10 \hat{i} + 4 \hat{j} - \hat{k}$.