AP EAMCET 2024 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(A) પદો દ્વિપદી વિસ્તરણ સૂત્ર $T_{r+1} = {}^{n}C_{r} x^{n-r} a^{r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$T_2 = {}^{n}C_1 x^{n-1} a = 96$ $(i)$
$T_3 = {}^{n}C_2 x^{n-2} a^2 = 216$ $(ii)$
$T_4 = {}^{n}C_3 x^{n-3} a^3 = 216$ $(iii)$
$(i)$ ને $(ii)$ વડે ભાગતા:
$\frac{{}^{n}C_1 x^{n-1} a}{{}^{n}C_2 x^{n-2} a^2} = \frac{96}{216}$ $\Rightarrow \frac{n x}{\frac{n(n-1)}{2} a} = \frac{4}{9}$ $\Rightarrow \frac{2x}{(n-1)a} = \frac{4}{9}$ $\Rightarrow 9x = 2(n-1)a$.
$(ii)$ ને $(iii)$ વડે ભાગતા:
$\frac{{}^{n}C_2 x^{n-2} a^2}{{}^{n}C_3 x^{n-3} a^3} = \frac{216}{216}$ $\Rightarrow \frac{\frac{n(n-1)}{2} x}{\frac{n(n-1)(n-2)}{6} a} = 1$ $\Rightarrow \frac{3x}{(n-2)a} = 1$ $\Rightarrow 3x = (n-2)a$.
બંને સમીકરણો પરથી:
$\frac{9x}{3x} = \frac{2(n-1)a}{(n-2)a}$ $\Rightarrow 3 = \frac{2(n-1)}{n-2}$ $\Rightarrow 3n-6 = 2n-2$ $\Rightarrow n=4$.
$n=4$ ને $3x = (n-2)a$ માં મૂકતા $3x = 2a$ મળે,તેથી $a = \frac{3}{2}x$.
$(i)$ માં મૂકતા:
$4 x^3 (\frac{3}{2}x) = 96$ $\Rightarrow 6x^4 = 96$ $\Rightarrow x^4 = 16$ $\Rightarrow x=2$.
તેથી $a = \frac{3}{2}(2) = 3$.
આમ,$a+x = 3+2 = 5$. $n=4$ હોવાથી,$a+x = n+1$.

(C) $(1+x)^n$ નું સામાન્ય પદ $T_{k+1} = {^nC_k} x^k$ છે.
$r^{\text{th}}$ પદનો સહગુણક ${^nC_{r-1}}$ છે.
$(r+1)^{\text{th}}$ પદનો સહગુણક ${^nC_r}$ છે.
$(r+2)^{\text{th}}$ પદનો સહગુણક ${^nC_{r+1}}$ છે.
આપેલ ગુણોત્તર ${^nC_{r-1}} : {^nC_r} : {^nC_{r+1}} = 4 : 15 : 42$ છે.
$\frac{{^nC_{r-1}}}{{^nC_r}} = \frac{4}{15}$ પરથી,$\frac{r}{n-r+1} = \frac{4}{15} \Rightarrow 19r - 4n = 4$ $(i)$.
$\frac{{^nC_r}}{{^nC_{r+1}}} = \frac{15}{42} = \frac{5}{14}$ પરથી,$\frac{r+1}{n-r} = \frac{5}{14} \Rightarrow 19r - 5n = -14$ (ii).
$(i)$ માંથી (ii) બાદ કરતા: $n = 18$.
$n=18$ ને $(i)$ માં મૂકતા: $r = 4$.
તેથી,$n - r = 18 - 4 = 14$.

(C) $(1+x)^{n}$ ના વિસ્તરણમાં સામાન્ય પદ $T_{k+1} = {}^{n}C_{k} x^{k}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$(1+x)^{21}$ ના વિસ્તરણ માટે,$(k+1)^{\text{th}}$ પદનો સહગુણક ${}^{21}C_{k}$ છે.
$(2r+6)^{\text{th}}$ પદનો સહગુણક ${}^{21}C_{(2r+6)-1} = {}^{21}C_{2r+5}$ છે.
$(r-1)^{\text{th}}$ પદનો સહગુણક ${}^{21}C_{(r-1)-1} = {}^{21}C_{r-2}$ છે.
આ સહગુણકો સમાન હોવાથી,${}^{21}C_{2r+5} = {}^{21}C_{r-2}$ મળે.
ગુણધર્મ ${}^{n}C_{a} = {}^{n}C_{b}$ નો ઉપયોગ કરતા,જેનો અર્થ છે કે $a = b$ અથવા $a + b = n$:
કિસ્સો $1$: $2r+5 = r-2 \Rightarrow r = -7$ (શક્ય નથી).
કિસ્સો $2$: $(2r+5) + (r-2) = 21$ $\Rightarrow 3r + 3 = 21$ $\Rightarrow 3r = 18$ $\Rightarrow r = 6$.

(B) $(\frac{3x^2}{2}-\frac{1}{3x})^9$ ના વિસ્તરણમાં સામાન્ય પદ $T_{r+1} = {}^9C_r (\frac{3x^2}{2})^{9-r} (-\frac{1}{3x})^r = {}^9C_r (\frac{3}{2})^{9-r} (-\frac{1}{3})^r x^{18-3r}$ છે.
$(1+x+2x^2) \times {}^9C_r (\frac{3}{2})^{9-r} (-\frac{1}{3})^r x^{18-3r}$ નું વિસ્તરણ કરતા,આપણને $x^{18-3r}$,$x^{19-3r}$,અને $x^{20-3r}$ વાળા પદો મળે છે.
સ્વતંત્ર પદ માટે,ઘાતાંકને $0$ લેતા:
$1$) $18-3r = 0 \Rightarrow r = 6$. પદ ${}^9C_6 (\frac{3}{2})^3 (-\frac{1}{3})^6 = 84 \times \frac{27}{8} \times \frac{1}{729} = \frac{7}{18}$ મળે છે.
$2$) $19-3r = 0 \Rightarrow r = 19/3$ (પૂર્ણાંક નથી).
$3$) $20-3r = 0 \Rightarrow r = 20/3$ (પૂર્ણાંક નથી).
આમ,સ્વતંત્ર પદ $\frac{7}{18}$ છે.

(B) ધારો કે $f(x) = \frac{(1 - 4x)^2 (1 - 2x^2)^{1/2}}{(4 - x)^{3/2}}$.
આ પદાવલિને નીચે મુજબ લખી શકાય:
$f(x) = (1 - 8x + 16x^2) (1 - 2x^2)^{1/2} \cdot 4^{-3/2} (1 - \frac{x}{4})^{-3/2}$.
$4^{-3/2} = \frac{1}{8}$ હોવાથી:
$f(x) = \frac{1}{8} (1 - 8x + 16x^2) (1 - 2x^2)^{1/2} (1 - \frac{x}{4})^{-3/2}$.
દ્વિપદી વિસ્તરણ $(1 + u)^n = 1 + nu + \dots$ નો ઉપયોગ કરતા:
$(1 - 2x^2)^{1/2} = 1 - x^2 + \dots$
$(1 - \frac{x}{4})^{-3/2} = 1 + (-\frac{3}{2})(-\frac{x}{4}) + \dots = 1 + \frac{3x}{8} + \dots$
આ કિંમતો મૂકતા:
$f(x) = \frac{1}{8} (1 - 8x + 16x^2) (1 + \dots) (1 + \frac{3x}{8} + \dots)$.
$x$ નો સહગુણક શોધવા માટે:
$f(x) = \frac{1}{8} [1 \cdot (\frac{3x}{8}) - 8x \cdot 1] + \dots$
$f(x) = \frac{1}{8} (\frac{3}{8} - 8) x + \dots = \frac{1}{8} (\frac{3 - 64}{8}) x = -\frac{61}{64} x$.
આમ, $x$ નો સહગુણક $-\frac{61}{64}$ છે.

(C) ધારો કે $f(n) = 3(5^{2n+1}) + 2^{3n+1}$.
$n=1$ માટે,$f(1) = 3(5^3) + 2^4 = 3(125) + 16 = 375 + 16 = 391$.
$391 = 17 \times 23$ હોવાથી,પદાવલિ $k=17$ વડે વિભાજ્ય છે.
$n=2$ માટે,$f(2) = 3(5^5) + 2^7 = 3(3125) + 128 = 9375 + 128 = 9503$.
$9503 \div 17 = 559$,તેથી તે $17$ વડે વિભાજ્ય છે.
આમ,$k=17$.
$17$ થી નાની અથવા તેના જેટલી અવિભાજ્ય સંખ્યાઓ $2, 3, 5, 7, 11, 13, 17$ છે.
આ ગણતરી કરતા,આપણને $7$ અવિભાજ્ય સંખ્યાઓ મળે છે.

(C) ધારો કે $f(n) = 49^n + 16n - 1$.
$n=1$ માટે,$f(1) = 49^1 + 16(1) - 1 = 64$.
$n=2$ માટે,$f(2) = 49^2 + 16(2) - 1 = 2432$.
અહીં $2432$ એ $64$ વડે વિભાજ્ય છે $(2432 / 64 = 38)$.
દ્વિપદી પ્રમેય મુજબ,$f(n) = (1+48)^n + 16n - 1 = 64n + \dots$
આમ,સૌથી મોટો ભાજક $P = 64$ છે.
$64 = 2^6$ ના અવયવો $1, 2, 4, 8, 16, 32, 64$ છે.
તેથી,અવયવોની કુલ સંખ્યા $7$ છે.

(D) $(3+x+x^2)^6$ ના વિસ્તરણમાં સામાન્ય પદ મલ્ટિનોમિયલ પ્રમેય મુજબ $\frac{6!}{p!q!r!} 3^p \cdot x^q \cdot (x^2)^r = \frac{6!}{p!q!r!} 3^p \cdot x^{q+2r}$ છે,જ્યાં $p+q+r=6$ છે.
આપણે $x^5$ નો સહગુણક શોધવો છે,તેથી $q+2r=5$ લેતા,જેનો અર્થ છે $q=5-2r$.
$q$ ની કિંમત $p+q+r=6$ માં મૂકતા,આપણને $p+(5-2r)+r=6$ મળે છે,જેનું સાદું રૂપ $p=1+r$ થાય છે.
$p, q, r \ge 0$ હોવાથી,$r$ માટે શક્ય કિંમતો તપાસતા:
$1$) જો $r=0$,તો $p=1$ અને $q=5$. પદ $\frac{6!}{1!5!0!} 3^1 = 6 \times 3 = 18$ છે.
$2$) જો $r=1$,તો $p=2$ અને $q=3$. પદ $\frac{6!}{2!3!1!} 3^2 = 60 \times 9 = 540$ છે.
$3$) જો $r=2$,તો $p=3$ અને $q=1$. પદ $\frac{6!}{3!1!2!} 3^3 = 60 \times 27 = 1620$ છે.
આ સહગુણકોનો સરવાળો કરતા,આપણને $18 + 540 + 1620 = 2178$ મળે છે.

(A) આપેલ પદાવલિ $\frac{2 x^2}{(x^2+1)(x^2+2)}$ છે.
આંશિક અપૂર્ણાંકનો ઉપયોગ કરતા,$\frac{2 x^2}{(x^2+1)(x^2+2)} = \frac{-2}{x^2+1} + \frac{4}{x^2+2}$.
દ્વિપદી શ્રેણી $(1+y)^{-1} = 1 - y + y^2 - y^3 + \dots$ નો ઉપયોગ કરતા:
$-2(1 - x^2 + x^4 - x^6 + \dots) + 2(1 - \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{4} - \frac{x^6}{8} + \dots)$.
$x^4$ નો સહગુણક $= -2 + \frac{1}{2} = -\frac{3}{2}$.
$x^6$ નો સહગુણક $= 2 - \frac{1}{4} = \frac{7}{4}$.
તફાવતનું નિરપેક્ષ મૂલ્ય $= |-\frac{3}{2} - \frac{7}{4}| = |-\frac{13}{4}| = \frac{13}{4}$.

(C) $\left(2 x^3-\frac{1}{3 x^2}\right)^5$ નું સામાન્ય પદ $T_{r+1} = { }^5 C_r (2 x^3)^{5-r} (-\frac{1}{3 x^2})^r$ છે.
પદનું સાદું રૂપ આપતા: $T_{r+1} = { }^5 C_r (2)^{5-r} (-\frac{1}{3})^r x^{15-5r}$.
$x^5$ નો સહગુણક મેળવવા માટે,$15 - 5r = 5$ લેતા,$r = 2$ મળે છે.
$r = 2$ મૂકતા,સહગુણક $= { }^5 C_2 (2)^3 (-\frac{1}{3})^2 = 10 \times 8 \times \frac{1}{9} = \frac{80}{9}$.

(D) $(a+\frac{x}{5})^{65}$ ના વિસ્તરણમાં સામાન્ય પદ $T_{r+1} = {}^{65}C_r a^{65-r} (\frac{x}{5})^r = {}^{65}C_r a^{65-r} \frac{x^r}{5^r}$ છે.
$x^5$ નો સહગુણક ${}^{65}C_5 a^{60} \frac{1}{5^5}$ છે.
$x^6$ નો સહગુણક ${}^{65}C_6 a^{59} \frac{1}{5^6}$ છે.
આ સહગુણકો સમાન આપેલ છે:
${}^{65}C_5 \frac{a^{60}}{5^5} = {}^{65}C_6 \frac{a^{59}}{5^6}$.
$a = \frac{{}^{65}C_6}{{}^{65}C_5} \times \frac{5^5}{5^6} = \frac{65-5}{6} \times \frac{1}{5} = \frac{60}{6 \times 5} = 2$.
હવે,$(2+\frac{x}{5})^4$ ના વિસ્તરણમાં $x^2$ નો સહગુણક મેળવવો છે.
સામાન્ય પદ $T_{r+1} = {}^{4}C_r (2)^{4-r} (\frac{x}{5})^r$ છે.
$x^2$ માટે,$r=2$ લેતા:
સહગુણક $= {}^{4}C_2 (2)^{4-2} (\frac{1}{5})^2 = 6 \times 2^2 \times \frac{1}{25} = 6 \times 4 \times \frac{1}{25} = \frac{24}{25}$.

(C) ધારો કે $b = \sum_{r=0}^n \frac{r}{{}^n C_r}$ ....$(i)$
$r$ ને $n-r$ વડે બદલતા:
$b = \sum_{r=0}^n \frac{n-r}{{}^n C_{n-r}}$
કારણ કે ${}^n C_r = {}^n C_{n-r}$,તેથી:
$b = \sum_{r=0}^n \frac{n-r}{{}^n C_r}$ ....$(ii)$
$(i)$ અને $(ii)$ નો સરવાળો કરતા:
$2b = \sum_{r=0}^n \frac{r + n - r}{{}^n C_r} = \sum_{r=0}^n \frac{n}{{}^n C_r}$
$2b = n \sum_{r=0}^n \frac{1}{{}^n C_r}$
$a_n = \sum_{r=0}^n \frac{1}{{}^n C_r}$ હોવાથી,આપણને મળે:
$2b = n \cdot a_n \Rightarrow b = \frac{n}{2} \cdot a_n$

(A) ધારો કે $\frac{2x+1}{(1+x)(1-2x)} = \frac{A}{1+x} + \frac{B}{1-2x}$.
સરખામણી કરતા $A = -\frac{1}{3}$ અને $B = \frac{4}{3}$ મળે છે.
તેથી,$\frac{2x+1}{(1+x)(1-2x)} = -\frac{1}{3}(1+x)^{-1} + \frac{4}{3}(1-2x)^{-1}$.
$x$ ની પ્રથમ $5$ એકી ઘાતોના સહગુણકોનો સરવાળો:
$= -\frac{1}{3}(-1-1-1-1-1) + \frac{4}{3}(2^1+2^3+2^5+2^7+2^9)$.
$= \frac{5}{3} + \frac{4}{3} \times \frac{2(4^5-1)}{4-1} = \frac{5}{3} + \frac{8}{9}(4^5-1)$.

(C) આપણે જાણીએ છીએ કે $(1 - x)^{-1} = 1 + x + x^2 + x^3 + . . . \infty$.
$x$ ની સાપેક્ષે વિકલન કરતા,$(1 - x)^{-2} = 1 + 2x + 3x^2 + 4x^3 + . . . \infty$.
ફરીથી $x$ ની સાપેક્ષે વિકલન કરતા,$2(1 - x)^{-3} = 1 \cdot 2 + 2 \cdot 3x + 3 \cdot 4x^2 + . . . \infty$.
તેથી,$(1 - x)^{-3} = \frac{1}{2}(1 \cdot 2 + 2 \cdot 3x + 3 \cdot 4x^2 + . . . \infty)$.
આપેલ પદમાં કિંમત મુકતા: $[\frac{1}{2}(1 \cdot 2 + 2 \cdot 3x + 3 \cdot 4x^2 + . . . \infty)]^{-25} = [(1 - x)^{-3}]^{-25} = (1 - x)^{75}$.
$(1 - x)^{75}$ ના વિસ્તરણમાં પદોની સંખ્યા $75 + 1 = 76$ થાય.

(B) આપેલ પદાવલિ $f(x) = \frac{x^4}{(x+1)(x-2)}$ છે.
આંશિક અપૂર્ણાંકની રીતનો ઉપયોગ કરતા,$\frac{1}{(x+1)(x-2)} = \frac{A}{x+1} + \frac{B}{x-2}$.
અચળાંકો શોધતા,$1 = A(x-2) + B(x+1)$.
$x = -1$ માટે,$A = -\frac{1}{3}$ અને $x = 2$ માટે,$B = \frac{1}{3}$.
તેથી,$f(x) = \frac{x^4}{3} \left( \frac{1}{x-2} - \frac{1}{x+1} \right)$.
$|x| < 1$ માટે પાવર શ્રેણીમાં વિસ્તરણ કરતા:
$f(x) = \frac{x^4}{3} \left[ -\frac{1}{2}(1 - \frac{x}{2})^{-1} - (1+x)^{-1} \right]$
$f(x) = \frac{x^4}{3} \left[ -\frac{1}{2}(1 + \frac{x}{2} + \frac{x^2}{4} + \dots) - (1 - x + x^2 - \dots) \right]$.
આ વિસ્તરણમાં $x$ ની સૌથી નાની ઘાત $x^4$ છે. તેથી,$x^0$,$x^1$ અને $x^2$ ના સહગુણકો $0$ છે.

(A) આપેલ ઉપવલયનું સમીકરણ $\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{b^2}=1$ છે,જ્યાં $b < 2$.
અહીં,$a^2 = 4$,તેથી $a = 2$.
નાભિઓ $F(c, 0)$ અને $F'(-c, 0)$ છે અને ગૌણ અક્ષનું અંત્યબિંદુ $B(0, b)$ છે.
$\triangle FBF'$ નું ક્ષેત્રફળ $\frac{1}{2} \times \text{પાયો} \times \text{વેધ} = \frac{1}{2} \times (2c) \times b = bc$ થાય.
આપેલ છે કે $bc = \sqrt{3}$,તેથી $b^2 c^2 = 3$,જેનો અર્થ છે કે $c^2 = \frac{3}{b^2}$.
ઉપવલય માટે,$b^2 = a^2 - c^2 = 4 - c^2$,એટલે કે $c^2 = 4 - b^2$.
$c^2 = \frac{3}{b^2}$ ને $c^2 = 4 - b^2$ માં મૂકતા:
$\frac{3}{b^2} = 4 - b^2$ $\Rightarrow 3 = 4b^2 - b^4$ $\Rightarrow b^4 - 4b^2 + 3 = 0$.
$t = b^2$ લેતા,$t^2 - 4t + 3 = 0 \Rightarrow (t - 1)(t - 3) = 0$.
તેથી,$b^2 = 1$ અથવા $b^2 = 3$.
કિસ્સો $1$: $b^2 = 1$. તો $c^2 = 4 - 1 = 3$,તેથી $c = \sqrt{3}$.
ઉત્કેન્દ્રતા $e = \frac{c}{a} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
કિસ્સો $2$: $b^2 = 3$. તો $c^2 = 4 - 3 = 1$,તેથી $c = 1$.
ઉત્કેન્દ્રતા $e = \frac{c}{a} = \frac{1}{2}$.
આમ,ઉત્કેન્દ્રતા $\frac{\sqrt{3}}{2}$ અથવા $\frac{1}{2}$ છે.

(D) આપેલ ઉપવલયનું સમીકરણ: $16x^2 + 25y^2 = 400$.
બંને બાજુ $400$ વડે ભાગતા: $\frac{16x^2}{400} + \frac{25y^2}{400} = 1$,જેનું સાદું રૂપ $\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{16} = 1$ થાય છે.
આને પ્રમાણિત સ્વરૂપ $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ સાથે સરખાવતા,$a^2 = 25$ અને $b^2 = 16$ મળે છે.
તેથી,$a = 5$ અને $b = 4$.
લેટસ રેક્ટમની લંબાઈનું સૂત્ર $\frac{2b^2}{a}$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{2 \times 16}{5} = \frac{32}{5}$.

(B) ઉપવલયનું સમીકરણ $\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{9}=1$ છે.
મધ્યબિંદુ $(1,1)$ ધરાવતી જીવાનું સમીકરણ $T=S_1$ દ્વારા મળે છે.
$(x_1, y_1) = (1, 1)$,$a^2=4$,અને $b^2=9$ મૂકતા:
$\frac{x(1)}{4}+\frac{y(1)}{9}-1 = \frac{1}{4}+\frac{1}{9}-1$
$\frac{x}{4}+\frac{y}{9} = \frac{13}{36}$
$4$ વડે ગુણતા:
$x+\frac{4}{9}y = \frac{13}{9}$
$x+\alpha y=\beta$ સાથે સરખાવતા,$\alpha = \frac{4}{9}$ અને $\beta = \frac{13}{9}$ મળે છે.
તેથી,$\alpha+1 = \frac{4}{9}+1 = \frac{13}{9} = \beta$.
આમ,$\alpha+1=\beta$.

(C) ઉપવલયનું સમીકરણ $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ છે.
રેખા $y=mx+c$ ઉપવલયનો સ્પર્શક હોય તો $c^2=a^2m^2+b^2$ થાય.
ઢાળ $m=2$ આપેલ હોવાથી,સ્પર્શકનું સમીકરણ $y=2x \pm \sqrt{4a^2+b^2}$ થાય,જેને $2x-y \pm \sqrt{4a^2+b^2}=0$ તરીકે લખી શકાય.
આ રેખા વર્તુળ $x^2+y^2=4$ (ત્રિજ્યા $r=2$,કેન્દ્ર $(0,0)$) ને સ્પર્શતી હોવાથી,ઉગમબિંદુથી રેખાનું લંબ અંતર ત્રિજ્યા જેટલું થાય:
$\frac{|\pm \sqrt{4a^2+b^2}|}{\sqrt{2^2+(-1)^2}} = 2$.
$\frac{\sqrt{4a^2+b^2}}{\sqrt{5}} = 2$ $\Rightarrow \sqrt{4a^2+b^2} = 2\sqrt{5}$ $\Rightarrow 4a^2+b^2 = 20$.
$AM \geq GM$ અસમતાનો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{4a^2+b^2}{2} \geq \sqrt{4a^2b^2} = 2ab$.
$\frac{20}{2} \geq 2ab$ $\Rightarrow 10 \geq 2ab$ $\Rightarrow ab \leq 5$.
આમ,$ab$ ની મહત્તમ કિંમત $5$ છે.

(B) ઉપવલયનું સમીકરણ $3x^2 + 8y^2 = k$ છે,જેને $\frac{x^2}{k/3} + \frac{y^2}{k/8} = 1$ તરીકે લખી શકાય.
ધારો કે સ્પર્શબિંદુ $(x_1, y_1)$ છે. $(x_1, y_1)$ આગળ અભિલંબનું સમીકરણ $\frac{a^2x}{x_1} - \frac{b^2y}{y_1} = a^2 - b^2$ છે.
અહીં $a^2 = k/3$ અને $b^2 = k/8$ છે,તેથી $\frac{kx}{3x_1} - \frac{ky}{8y_1} = \frac{k}{3} - \frac{k}{8} = \frac{5k}{24}$.
$k$ વડે ભાગતા,આપણને $\frac{x}{3x_1} - \frac{y}{8y_1} = \frac{5}{24}$,અથવા $\frac{8x}{x_1} - \frac{3y}{y_1} = 5$ મળે.
આને $4x - 3y - 5 = 0$ સાથે સરખાવતા,$\frac{8}{x_1} = 4 \Rightarrow x_1 = 2$ અને $\frac{3}{y_1} = 3 \Rightarrow y_1 = 1$ મળે.
બિંદુ $(2, 1)$ ઉપવલય પર હોવાથી,$3(2)^2 + 8(1)^2 = k \Rightarrow k = 12 + 8 = 20$.
ઉપવલય પરના બિંદુ $(-2, m)$ માટે,$3(-2)^2 + 8m^2 = 20$ $\Rightarrow 12 + 8m^2 = 20$ $\Rightarrow 8m^2 = 8$ $\Rightarrow m = 1$ ($m > 0$ હોવાથી).
$3x^2 + 8y^2 = 20$ ને $(-2, 1)$ આગળ સ્પર્શકનું સમીકરણ $3x(-2) + 8y(1) = 20$ છે.
$-6x + 8y = 20 \Rightarrow 3x - 4y + 10 = 0$.

(D) આપેલ ઉપવલયનું સમીકરણ $\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{25} = 1$ છે. અહીં $b^2 = 25$ અને $a^2 = 9$,તેથી $b > a$ છે.
નાભિઓ $(0, \pm c)$ પર છે,જ્યાં $c^2 = b^2 - a^2 = 25 - 9 = 16$,તેથી $c = 4$. આમ,નાભિઓ $S_1(0, 4)$ અને $S_2(0, -4)$ છે.
ધારો કે ઉપવલયના સ્પર્શકનું સમીકરણ $y = mx + C$ છે,જ્યાં $C^2 = a^2m^2 + b^2 = 9m^2 + 25$ છે.
$(0, 4)$ થી $mx - y + C = 0$ સુધીનું લંબ અંતર $p_1 = \frac{|-4 + C|}{\sqrt{m^2 + 1}}$ છે.
$(0, -4)$ થી $mx - y + C = 0$ સુધીનું લંબ અંતર $p_2 = \frac{|4 + C|}{\sqrt{m^2 + 1}}$ છે.
લંબનો ગુણાકાર $p_1 p_2 = \frac{|C^2 - 16|}{m^2 + 1} = \frac{9m^2 + 25 - 16}{m^2 + 1} = \frac{9m^2 + 9}{m^2 + 1} = \frac{9(m^2 + 1)}{m^2 + 1} = 9$ થાય.

(A) આપેલ ઉપવલય $\frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{6} = 1$ છે,જ્યાં $a^2 = 4$ અને $b^2 = 6$ છે.
ઉપવલયના લંબ સ્પર્શકોના છેદબિંદુનો બિંદુપથ એ તેનું નિયામક વર્તુળ (director circle) છે,જેનું સમીકરણ $x^2 + y^2 = a^2 + b^2$ છે.
અહીં,$a^2 = 4$ અને $b^2 = 6$ છે.
તેથી,નિયામક વર્તુળનું સમીકરણ $x^2 + y^2 = 4 + 6 = 10$ થાય.
$(\alpha, \beta)$ એ બે લંબ સ્પર્શકોનું છેદબિંદુ હોવાથી,તે નિયામક વર્તુળ પર આવેલું હોય.
આમ,$\alpha^2 + \beta^2 = 10$.

(C) આપેલ ઉપવલયનું સમીકરણ $x^2+4y^2-4=0$ છે, જેને $\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{1}=1$ તરીકે લખી શકાય.
અહીં, $a^2=4$ અને $b^2=1$, તેથી $a=2$ અને $b=1$.
$A_1$ એ ઉપવલયનું ક્ષેત્રફળ છે, જે $A_1 = \pi ab = \pi(2)(1) = 2\pi$ દ્વારા મળે છે.
નિયામક વર્તુળનું સમીકરણ $x^2+y^2=a^2+b^2 = 4+1=5$ છે.
તેથી, $A_2$ એ નિયામક વર્તુળનું ક્ષેત્રફળ છે, $A_2 = \pi(r^2) = 5\pi$.
સહાયક વર્તુળનું સમીકરણ $x^2+y^2=a^2 = 4$ છે.
તેથી, $A_3$ એ સહાયક વર્તુળનું ક્ષેત્રફળ છે, $A_3 = \pi(r^2) = 4\pi$.
અંતે, $A_2+A_3-A_1 = 5\pi+4\pi-2\pi = 7\pi$.

(D) આપેલ ઉપવલય: $4x^2 + 9y^2 = 36$,જેને $\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{4} = 1$ તરીકે લખી શકાય.
અહીં,$a^2 = 9$ અને $b^2 = 4$.
ઉપવલય માટે,$e^2 = 1 - \frac{4}{9} = \frac{5}{9}$.
નાભિઓ $(\pm \sqrt{5}, 0)$ છે.
અતિવલય માટે,પ્રધાન અક્ષની લંબાઈ $2$ છે,તેથી $a_h = 1$.
અતિવલયનું સમીકરણ $\frac{x^2}{1} - \frac{y^2}{b_h^2} = 1$ છે.
સમનાભિ હોવાથી,$a_h^2 + b_h^2 = 5 \implies 1 + b_h^2 = 5 \implies b_h^2 = 4$.
અતિવલયનું સમીકરણ $4x^2 - y^2 = 4$ છે.
બંને સમીકરણોનો સરવાળો કરતા: $8x^2 + 8y^2 = 40 \implies x^2 + y^2 = 5$.

(C) આપેલ છે $5 \sinh x - \cosh x = 5$.
તેથી $5(\sinh x - 1) = \cosh x$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$25(\sinh^2 x + 1 - 2 \sinh x) = \cosh^2 x$.
$\cosh^2 x - \sinh^2 x = 1$ નો ઉપયોગ કરતા,$25 \sinh^2 x + 25 - 50 \sinh x = 1 + \sinh^2 x$.
$24 \sinh^2 x - 50 \sinh x + 24 = 0$.
$12 \sinh^2 x - 25 \sinh x + 12 = 0$.
અવયવ પાડતા,$(3 \sinh x - 4)(4 \sinh x - 3) = 0$.
તેથી $\sinh x = \frac{4}{3}$ અથવા $\sinh x = \frac{3}{4}$.
જો $\sinh x = \frac{4}{3}$ હોય,તો $\tanh x = \frac{4}{5}$.
જો $\sinh x = \frac{3}{4}$ હોય,તો $\tanh x = -\frac{3}{5}$.

(B) આપણે જાણીએ છીએ કે $\cosh(x) = \frac{e^x + e^{-x}}{2}$.
$x = \log 4$ મૂકતા,આપણને $\cosh(\log 4) = \frac{e^{\log 4} + e^{-\log 4}}{2}$ મળે છે.
કારણ કે $e^{\log 4} = 4$ અને $e^{-\log 4} = e^{\log(4^{-1})} = \frac{1}{4}$,
$\cosh(\log 4) = \frac{4 + \frac{1}{4}}{2} = \frac{\frac{17}{4}}{2} = \frac{17}{8}$.

(D) ઉપવલય $\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{b^2}=1$ માટે,ઉત્કેન્દ્રતા $e_1 = \sqrt{1 - \frac{b^2}{16}}$.
અતિવલય $\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{16}=-1$ ને $\frac{y^2}{16}-\frac{x^2}{9}=1$ તરીકે લખી શકાય,જ્યાં $e_2 = \sqrt{1 + \frac{9}{16}} = \frac{5}{4}$.
આપેલ છે કે $e_1 \cdot e_2 = 1$,તેથી $\sqrt{1 - \frac{b^2}{16}} \cdot \frac{5}{4} = 1$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $(1 - \frac{b^2}{16}) \cdot \frac{25}{16} = 1$.
$1 - \frac{b^2}{16} = \frac{16}{25}$.
$\frac{b^2}{16} = \frac{9}{25}$.
$b^2 = \frac{144}{25}$.

(A) આપેલ અતિવલય $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{4} = 1$ છે. અહીં,$b^2 = 4$,તેથી $b = 2$.
વર્તુળ અતિવલય સાથે સમકેન્દ્રી હોવાથી અને તેની નાભિઓ $(\pm c, 0)$ માંથી પસાર થતું હોવાથી,વર્તુળની ત્રિજ્યા કેન્દ્ર $(0, 0)$ થી નાભિઓનું અંતર છે.
તેથી,$c = 4$.
સંબંધ $c^2 = a^2 + b^2$ નો ઉપયોગ કરતા,$16 = a^2 + 4$,જે $a^2 = 12$ આપે છે,તેથી $a = 2 \sqrt{3}$.
અનુબદ્ધ અતિવલય $\frac{y^2}{4} - \frac{x^2}{12} = 1$ છે.
આ અનુબદ્ધ અતિવલય માટે,અર્ધ-અનુપ્રસ્થ અક્ષ $b = 2$ અને અર્ધ-અનુબદ્ધ અક્ષ $a = 2 \sqrt{3}$ છે.
ધારો કે $e'$ એ અનુબદ્ધ અતિવલયની ઉત્કેન્દ્રતા છે. અનુબદ્ધ અતિવલય માટે $c'^2 = a^2 + b^2 = 12 + 4 = 16$,તેથી $c' = 4$.
ઉત્કેન્દ્રતા $e'$ એ $c' = b e'$ દ્વારા મળે છે.
તેથી,$4 = 2 e'$,જે $e' = 2$ આપે છે.

(B) અતિવલયનું સમીકરણ $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ છે.
તે $(4, -2 \sqrt{3})$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી $\frac{16}{a^2} - \frac{12}{b^2} = 1$.
$b^2 = a^2(e^2 - 1)$ નો ઉપયોગ કરતા,$\frac{16}{a^2} - \frac{12}{a^2(e^2 - 1)} = 1$,જેનું સાદુંરૂપ $16(e^2 - 1) - 12 = a^2(e^2 - 1) \Rightarrow 16e^2 - 28 = a^2(e^2 - 1) \quad (i)$ થાય છે.
નિયામિકા $x = \frac{a}{e}$ છે,તેથી $\frac{a}{e} = \frac{4}{\sqrt{5}} \Rightarrow a^2 = \frac{16e^2}{5} \quad (ii)$.
$(ii)$ ને $(i)$ માં મૂકતા: $16e^2 - 28 = \frac{16e^2}{5}(e^2 - 1)$.
$5$ વડે ગુણતા: $80e^2 - 140 = 16e^4 - 16e^2 \Rightarrow 16e^4 - 96e^2 + 140 = 0$.
$4$ વડે ભાગતા: $4e^4 - 24e^2 + 35 = 0$.
$e^2$ માં દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા: $(2e^2 - 7)(2e^2 - 5) = 0$.
આમ,$e^2 = \frac{7}{2}$ અથવા $e^2 = \frac{5}{2}$.
વિકલ્પો મુજબ,$e^2 = \frac{7}{2}$ એ સાચો જવાબ છે.

(D) : નાભિઓ વચ્ચેનું અંતર તેની નિયામિકાઓ વચ્ચેના અંતર કરતાં ત્રણ ગણું છે.
$2ae = 3 \times \frac{2a}{e}$ $\Rightarrow e^2 = 3$ $\Rightarrow e = \sqrt{3} \approx 1.732$
$B$: પ્રધાન અક્ષ એ ગૌણ અક્ષ કરતાં બમણી છે.
$2a = 2(2b)$ $\Rightarrow a = 2b$ $\Rightarrow b = \frac{a}{2}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $a^2e^2 = a^2 + b^2 = a^2 + \frac{a^2}{4} = \frac{5a^2}{4}$.
$e^2 = \frac{5}{4} \Rightarrow e = \frac{\sqrt{5}}{2} \approx 1.118$
$C$: અનંતસ્પર્શકોના ઢાળ $m_1 = -1$ અને $m_2 = 1$ છે.
$m_1 \cdot m_2 = -1$ હોવાથી,તે લંબ અતિવલય છે.
$e = \sqrt{2} \approx 1.414$
મૂલ્યોની સરખામણી કરતા: $1.732 > 1.414 > 1.118$.
તેથી,ઉતરતો ક્રમ $A, C, B$ છે.

(A) અતિવલય $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ માટે,ઉત્કેન્દ્રતા $e_1 = \frac{\sqrt{a^2+b^2}}{a}$ છે.
તેના સંયુગ્મી અતિવલય $\frac{y^2}{b^2}-\frac{x^2}{a^2}=1$ માટે,ઉત્કેન્દ્રતા $e_2 = \frac{\sqrt{a^2+b^2}}{b}$ છે.
આપેલ રેખા $\frac{x}{2 e_1} + \frac{y}{2 e_2} = 1$ છે.
$e_1$ અને $e_2$ ની કિંમતો મૂકતા:
$\frac{ax}{2\sqrt{a^2+b^2}} + \frac{by}{2\sqrt{a^2+b^2}} = 1$
$ax + by = 2\sqrt{a^2+b^2}$.
આ રેખા ઉગમબિંદુ $(0,0)$ પર કેન્દ્ર ધરાવતા વર્તુળને સ્પર્શે છે,તેથી ઉગમબિંદુથી રેખાનું લંબ અંતર એ ત્રિજ્યા $r$ જેટલું થાય.
$r = \frac{|2\sqrt{a^2+b^2}|}{\sqrt{a^2+b^2}} = 2$.
આમ,ત્રિજ્યા $2$ છે.

(A) શંકુ આકારનું પ્રમાણિત સમીકરણ $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ છે.
આ સમીકરણ અતિવલય દર્શાવે તે માટે $x^2$ અને $y^2$ ના સહગુણકો વિરુદ્ધ ચિહ્ન ધરાવતા હોવા જોઈએ.
ધારો કે $A = \frac{1}{7 - k}$ અને $B = \frac{1}{5 - k}$.
અતિવલય માટે,$A \times B < 0$ હોવું જોઈએ.
$\left( \frac{1}{7 - k} \right) \left( \frac{1}{5 - k} \right) < 0$
છેદને સરળ બનાવવા માટે $-1$ વડે ગુણતા:
$\left( \frac{1}{k - 7} \right) \left( \frac{1}{k - 5} \right) < 0$
ચિહ્ન પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરતા,ગુણાકાર ત્યારે જ ઋણ મળે જ્યારે $k$ એ $5$ અને $7$ ની વચ્ચે હોય.
તેથી,$5 < k < 7$.

(D) અતિવલય $\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{9}=1$ માટે,$a^2=16$ અને $b^2=9$ છે. ઉત્કેન્દ્રતા $e_1 = \sqrt{1+\frac{9}{16}} = \frac{5}{4}$ છે. નાભિઓ $(\pm 5, 0)$ છે.
અનુબદ્ધ અતિવલય $\frac{y^2}{9}-\frac{x^2}{16}=1$ માટે,$a^2=9$ અને $b^2=16$ છે. ઉત્કેન્દ્રતા $e_2 = \sqrt{1+\frac{16}{9}} = \frac{5}{3}$ છે. નાભિઓ $(0, \pm 5)$ છે.
આ ચાર બિંદુઓ $(\pm 5, 0)$ અને $(0, \pm 5)$ એક સમબાજુ ચતુષ્કોણ બનાવે છે જેના વિકર્ણોની લંબાઈ $10$ અને $10$ છે.
ચતુષ્કોણનું ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times 10 \times 10 = 50$ ચોરસ એકમ.

(A) રેખા $Ax + By = k$ એ અતિવલય $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ ને સ્પર્શે છે જો $k^2 = a^2 A^2 - b^2 B^2$ હોય.
આપેલ અતિવલય $7x^2 - 5y^2 = 232$ ને $\frac{x^2}{(232/7)} - \frac{y^2}{(232/5)} = 1$ તરીકે લખી શકાય.
અહીં,$a^2 = \frac{232}{7}$ અને $b^2 = \frac{232}{5}$.
રેખા $21x + 5y = k$ છે,તેથી $A = 21$ અને $B = 5$.
શરત $k^2 = a^2 A^2 - b^2 B^2$ માં કિંમતો મૂકતા:
$k^2 = \left(\frac{232}{7}\right)(21)^2 - \left(\frac{232}{5}\right)(5)^2$
$k^2 = 232 \times 63 - 232 \times 5 = 232(58) = 13456$
$k = 116$.

(D) $(0, 1)$ માંથી પસાર થતા અને $m$ ઢાળ ધરાવતા સ્પર્શકનું સમીકરણ $y - 1 = m(x - 0)$ એટલે કે $y = mx + 1$ છે.
અતિવલય $45x^2 - 4y^2 = 5$ માં કિંમત મૂકતા:
$45x^2 - 4(mx + 1)^2 = 5$
$(45 - 4m^2)x^2 - 8mx - 9 = 0$
સ્પર્શક માટે વિવેચક $D = 0$ હોવો જોઈએ:
$(-8m)^2 - 4(45 - 4m^2)(-9) = 0$
$64m^2 + 1620 - 144m^2 = 0$
$80m^2 = 1620$ $\Rightarrow m^2 = \frac{81}{4}$ $\Rightarrow m = \pm \frac{9}{2}$
$m = \frac{9}{2}$ લેતા,$y = \frac{9}{2}x + 1 \Rightarrow 9x - 2y + 2 = 0$
$m = -\frac{9}{2}$ લેતા,$y = -\frac{9}{2}x + 1 \Rightarrow 9x + 2y - 2 = 0$
આમ,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(B) આપેલ અતિવલય $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{2} = 1$ છે.
પ્રમાણિત સ્વરૂપ $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ સાથે સરખાવતા,$b^2 = 2$ મળે.
રેખા $y = mx + c$ એ અતિવલય $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ નો સ્પર્શક હોવાની શરત $c^2 = a^2m^2 - b^2$ છે.
આપેલ સ્પર્શક $y = x + \sqrt{2}$ માટે,$m = 1$ અને $c = \sqrt{2}$ છે.
આ કિંમતો શરતમાં મૂકતા: $(\sqrt{2})^2 = a^2(1)^2 - 2$ $\Rightarrow 2 = a^2 - 2$ $\Rightarrow a^2 = 4$.
ઉત્કેન્દ્રતા $e = \sqrt{1 + \frac{b^2}{a^2}} = \sqrt{1 + \frac{2}{4}} = \sqrt{\frac{3}{2}}$ મળે.
નિયામિકાઓના સમીકરણો $x = \pm \frac{a}{e}$ છે.
અહીં $a = 2$ હોવાથી,$x = \pm \frac{2}{\sqrt{3/2}} = \pm \sqrt{\frac{8}{3}}$.

(C) અતિવલયનું આપેલ સમીકરણ $5x^2 - ky^2 = 12$ છે,જેને $\frac{x^2}{12/5} - \frac{y^2}{12/k} = 1$ તરીકે લખી શકાય.
અહીં $a^2 = \frac{12}{5}$ અને $b^2 = \frac{12}{k}$ છે.
રેખા $y = mx + c$ એ અતિવલયનો સ્પર્શક હોવાની શરત $c^2 = a^2m^2 - b^2$ છે.
રેખા $5x - 2y - 6 = 0$ ને $y = \frac{5}{2}x - 3$ તરીકે લખતા,$m = \frac{5}{2}$ અને $c = -3$ મળે.
કિંમતો મૂકતા: $(-3)^2 = \frac{12}{5} \times (\frac{5}{2})^2 - \frac{12}{k}$ $\Rightarrow 9 = 15 - \frac{12}{k}$ $\Rightarrow k = 2$.
હવે,અતિવલય $5x^2 - 2y^2 = 12$ છે. બિંદુ $(\sqrt{6}, p)$ તેના પર હોવાથી,$5(6) - 2p^2 = 12 \Rightarrow p^2 = 9$. $p < 0$ હોવાથી $p = -3$.
અભિલંબનું સમીકરણ $\frac{a^2x}{x_1} + \frac{b^2y}{y_1} = a^2 + b^2$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{(12/5)x}{\sqrt{6}} + \frac{6y}{-3} = \frac{12}{5} + 6 \Rightarrow \sqrt{6}x - 5y = 21$.

(A) ધારો કે અતિવલય $x^2 - y^2 = a^2$ ની જીવાનું મધ્યબિંદુ $(h, k)$ છે.
મધ્યબિંદુ $(h, k)$ વાળી જીવાનું સમીકરણ $T = S_1$ મુજબ $xh - yk = h^2 - k^2$ થાય.
આને સાદું રૂપ આપતા,$y = \frac{h}{k}x - \frac{h^2 - k^2}{k}$ મળે.
આ રેખા $y^2 = 4ax$ પરવલયને સ્પર્શે છે. રેખા $y = mx + c$ એ $y^2 = 4ax$ ને સ્પર્શે તેની શરત $c = \frac{a}{m}$ છે.
અહીં,$m = \frac{h}{k}$ અને $c = -\frac{h^2 - k^2}{k}$ છે.
આ કિંમતો શરતમાં મૂકતા: $-\frac{h^2 - k^2}{k} = \frac{ak}{h}$.
$-h(h^2 - k^2) = ak^2$.
$h(k^2 - h^2) = ak^2$.
$(h, k)$ ને $(x, y)$ વડે બદલતા,બિંદુપથ $x(y^2 - x^2) = ay^2$ મળે છે.

(D) અતિવલયનું સમીકરણ $x^2-k y^2=3$ છે,જેને $\frac{x^2}{3}-\frac{y^2}{3/k}=1$ તરીકે લખી શકાય.
અહીં $a^2=3$ અને $b^2=\frac{3}{k}$ છે.
અનંતસ્પર્શકો વચ્ચેનો ખૂણો $2\tan^{-1}\left(\frac{b}{a}\right) = \frac{\pi}{3}$ છે,તેથી $\tan^{-1}\left(\frac{b}{a}\right) = \frac{\pi}{6}$.
આમ,$\frac{b}{a} = \tan\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{1}{\sqrt{3}}$.
વર્ગ કરતા $\frac{b^2}{a^2} = \frac{1}{3}$ $\Rightarrow \frac{3/k}{3} = \frac{1}{3}$ $\Rightarrow \frac{1}{k} = \frac{1}{3}$ $\Rightarrow k=3$.
અતિવલય $\frac{x^2}{3}-y^2=1$ છે.
ઉત્કેન્દ્રતા $e = \sqrt{1+\frac{b^2}{a^2}} = \sqrt{1+\frac{1}{3}} = \sqrt{\frac{4}{3}} = \frac{2}{\sqrt{3}}$.
રેખા $lx+my+n=0$ નો $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ ની સાપેક્ષમાં ધ્રુવ $\left(-\frac{a^2l}{n}, \frac{b^2m}{n}\right)$ છે.
$x+y-1=0$ માટે,$l=1, m=1, n=-1$.
ધ્રુવ $\left(-\frac{3(1)}{-1}, \frac{1(1)}{-1}\right) = (3, -1)$ છે.
$k=3$ અને $e=\frac{2}{\sqrt{3}}$ હોવાથી,$-1 = -\frac{\sqrt{3}}{2} \times \frac{2}{\sqrt{3}} = -\frac{\sqrt{3}e}{2}$.
આમ,ધ્રુવ $\left(k, -\frac{\sqrt{3}e}{2}\right)$ છે.

(C) આપેલ અતિવલય $5x^2 - 4y^2 = 20$ છે,જેને $\frac{x^2}{4} - \frac{y^2}{5} = 1$ તરીકે લખી શકાય.
તેના અનંતસ્પર્શકો $\sqrt{5}x - 2y = 0$ અને $\sqrt{5}x + 2y = 0$ છે.
ધારો કે $(x_0, y_0)$ એ અતિવલય પરનું બિંદુ છે,તેથી $5x_0^2 - 4y_0^2 = 20$.
બિંદુ $(x_0, y_0)$ થી અનંતસ્પર્શકો પરના લંબની લંબાઈ $l_1 = \frac{|\sqrt{5}x_0 - 2y_0|}{3}$ અને $l_2 = \frac{|\sqrt{5}x_0 + 2y_0|}{3}$ છે.
આમ,$l_1 l_2 = \frac{|5x_0^2 - 4y_0^2|}{9} = \frac{20}{9}$.
તેથી,$\frac{l_1^2 l_2^2}{100} = \frac{(20/9)^2}{100} = \frac{4}{81}$.

(D) આપેલ અતિવલયનું સમીકરણ $4x^2 - 9y^2 - 24x - 36y - 36 = 0$ છે.
પદોને ગોઠવતા,$4(x^2 - 6x) - 9(y^2 + 4y) = 36$ મળે.
પૂર્ણવર્ગ બનાવતા,$4(x - 3)^2 - 9(y + 2)^2 = 36$ મળે.
અનંતસ્પર્શકોની જોડનું સમીકરણ મેળવવા માટે અચળ પદને શૂન્ય લેતા: $\frac{(x - 3)^2}{9} - \frac{(y + 2)^2}{4} = 0$.
આને સાદું રૂપ આપતા,$4(x - 3)^2 - 9(y + 2)^2 = 0$ મળે.
વિસ્તરણ કરતા,$4x^2 - 9y^2 - 24x - 36y = 0$ મળે છે.

(B) અતિવલયનું સમીકરણ $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ છે.
અતિવલયના અનંતસ્પર્શકો અને તેના કોઈપણ સ્પર્શક દ્વારા બનતા ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ હંમેશા $ab$ હોય છે.
આપેલ છે કે ઉત્કેન્દ્રતા $e = \sec \alpha$,તેથી $e^2 = 1 + \frac{b^2}{a^2} = \sec^2 \alpha$.
$1 + \tan^2 \alpha = \sec^2 \alpha$ હોવાથી,$\frac{b^2}{a^2} = \tan^2 \alpha$,એટલે કે $b = a \tan \alpha$.
તેથી,ક્ષેત્રફળ $ab = a(a \tan \alpha) = a^2 \tan \alpha$ થાય.

(B) પરવલય $y^2 = 8x$ માટે સ્પર્શકનું સમીકરણ $y = mx + \frac{2}{m}$ છે.
અતિવલય $x^2 - \frac{y^2}{3} = 1$ માટે સ્પર્શકનું સમીકરણ $y = mx \pm \sqrt{m^2 - 3}$ છે.
સરખામણી કરતા,$\frac{2}{m} = \pm \sqrt{m^2 - 3}$ મળે.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$\frac{4}{m^2} = m^2 - 3$,એટલે કે $m^4 - 3m^2 - 4 = 0$.
$t = m^2$ લેતા,$t^2 - 3t - 4 = 0$,તેથી $(t - 4)(t + 1) = 0$.
$m^2 = 4$ હોવાથી,$m = \pm 2$ મળે.
ધન ઢાળ માટે,$m = 2$.
તેથી,સ્પર્શકનું સમીકરણ $y = 2x + 1$ અથવા $y - 2x - 1 = 0$ થાય.

(B) આપેલ છે,$f(x) = \begin{cases} 3ax - 2b, & x > 1 \\ ax + b + 1, & x < 1 \end{cases}$
કારણ કે $\lim_{x \rightarrow 1} f(x)$ અસ્તિત્વ ધરાવે છે,તેથી ડાબી બાજુની લક્ષ અને જમણી બાજુની લક્ષ સમાન હોવી જોઈએ:
$\lim_{x \rightarrow 1^{-}} f(x) = \lim_{x \rightarrow 1^{+}} f(x)$
આપેલ વિધેયો મૂકતા:
$\lim_{x \rightarrow 1^{-}} (ax + b + 1) = \lim_{x \rightarrow 1^{+}} (3ax - 2b)$
$x = 1$ આગળ લક્ષની કિંમત શોધતા:
$a(1) + b + 1 = 3a(1) - 2b$
$a + b + 1 = 3a - 2b$
પદોને ગોઠવતા:
$1 = 3a - a - 2b - b$
$1 = 2a - 3b$
આમ,સંબંધ $2a - 3b = 1$ છે.

(C) કારણ કે $\lim_{x \rightarrow 1} f(x)$ અસ્તિત્વ ધરાવે છે,તેથી $x = 1$ આગળ ડાબી બાજુની લક્ષ અને જમણી બાજુની લક્ષ સમાન હોવી જોઈએ.
$\lim_{x \rightarrow 1^{-}} f(x) = \lim_{x \rightarrow 1^{+}} f(x)$
$1 + \frac{2(1)}{a} = a(1)$
$1 + \frac{2}{a} = a$
$a$ વડે ગુણતા ($a \neq 0$ ધારીને):
$a + 2 = a^2$
$a^2 - a - 2 = 0$
$(a - 2)(a + 1) = 0$
તેથી,$a$ ની શક્ય કિંમતો $a = 2$ અને $a = -1$ છે.
આ કિંમતોના ઘનનો સરવાળો $(2)^3 + (-1)^3 = 8 - 1 = 7$ થાય છે.

(B) આપેલ છે $0 \leq a \leq 2$. $a$ ના પૂર્ણાંક મૂલ્યો $0, 1, 2$ છે.
ધારો કે $f(x) = [x^2] - [x]^2$.
$a = 0$ માટે:
$\text{L.H.L.} = \lim_{h \rightarrow 0} ([(0-h)^2] - [0-h]^2) = [h^2] - [-h]^2 = 0 - (-1)^2 = -1$.
$\text{R.H.L.} = \lim_{h \rightarrow 0} ([(0+h)^2] - [0+h]^2) = [h^2] - [h]^2 = 0 - 0 = 0$.
$\text{L.H.L.} \neq \text{R.H.L.}$ હોવાથી,$a = 0$ આગળ લક્ષ અસ્તિત્વ ધરાવતું નથી.
$a = 1$ માટે:
$\text{L.H.L.} = \lim_{h \rightarrow 0} ([(1-h)^2] - [1-h]^2) = [1-2h+h^2] - [1-h]^2 = 0 - 0^2 = 0$.
$\text{R.H.L.} = \lim_{h \rightarrow 0} ([(1+h)^2] - [1+h]^2) = [1+2h+h^2] - [1+h]^2 = 1 - 1^2 = 0$.
$\text{L.H.L.} = \text{R.H.L.}$ હોવાથી,$a = 1$ આગળ લક્ષ અસ્તિત્વ ધરાવે છે.
$a = 2$ માટે:
$\text{L.H.L.} = \lim_{h \rightarrow 0} ([(2-h)^2] - [2-h]^2) = [4-4h+h^2] - [2-h]^2 = 3 - 1^2 = 2$.
$\text{R.H.L.} = \lim_{h \rightarrow 0} ([(2+h)^2] - [2+h]^2) = [4+4h+h^2] - [2+h]^2 = 4 - 2^2 = 0$.
$\text{L.H.L.} \neq \text{R.H.L.}$ હોવાથી,$a = 2$ આગળ લક્ષ અસ્તિત્વ ધરાવતું નથી.
આમ,$a$ ના $2$ મૂલ્યો માટે લક્ષ અસ્તિત્વ ધરાવતું નથી.

(B) લક્ષ $\lim _{x \rightarrow 3} \frac{x^3-27}{x^2-9}$ ની ગણતરી કરવા માટે,આપણે જોઈએ છીએ કે $x=3$ મૂકતા તે $\frac{0}{0}$ સ્વરૂપમાં પરિણમે છે.
અંશને $a^3-b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને અને છેદને $a^2-b^2 = (a-b)(a+b)$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને અવયવ પાડીએ.
$\lim _{x \rightarrow 3} \frac{(x-3)(x^2+3x+9)}{(x-3)(x+3)}$
સામાન્ય અવયવ $(x-3)$ ને દૂર કરતા,આપણને મળે છે:
$\lim _{x \rightarrow 3} \frac{x^2+3x+9}{x+3}$
$x=3$ મૂકતા:
$\frac{3^2+3(3)+9}{3+3} = \frac{9+9+9}{6} = \frac{27}{6} = \frac{9}{2}$.

(A) લક્ષ $L = \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt{1+\sqrt{1+x^4}}-\sqrt{2+x^5+x^6}}{x^4}$ ની ગણતરી કરવા માટે,આપણે સંમેયીકરણનો ઉપયોગ કરીએ છીએ.
અંશ અને છેદને અનુબદ્ધ $\sqrt{1+\sqrt{1+x^4}}+\sqrt{2+x^5+x^6}$ વડે ગુણતા:
$L = \lim _{x \rightarrow 0} \frac{(1+\sqrt{1+x^4})-(2+x^5+x^6)}{x^4(\sqrt{1+\sqrt{1+x^4}}+\sqrt{2+x^5+x^6})}$
$L = \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt{1+x^4}-1-x^5-x^6}{x^4(\sqrt{1+\sqrt{1+x^4}}+\sqrt{2+x^5+x^6})}$
દ્વિપદી વિસ્તરણ $\sqrt{1+u} \approx 1 + \frac{u}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $u = x^4$,આપણને $\sqrt{1+x^4} \approx 1 + \frac{x^4}{2}$ મળે છે.
આ કિંમત લક્ષમાં મૂકતા:
$L = \lim _{x \rightarrow 0} \frac{1 + \frac{x^4}{2} - 1 - x^5 - x^6}{x^4(\sqrt{1+1} + \sqrt{2})} = \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\frac{x^4}{2} - x^5 - x^6}{x^4(2\sqrt{2})}$
$L = \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\frac{1}{2} - x - x^2}{2\sqrt{2}} = \frac{1/2}{2\sqrt{2}} = \frac{1}{4\sqrt{2}}$

(A) ધારો કે $L = \lim _{x \rightarrow \frac{\pi}{4}} \frac{4 \sqrt{2}-(\cos x+\sin x)^5}{1-\sin 2 x}$. આ $\frac{0}{0}$ સ્વરૂપ છે.
$L'H\hat{o}pital$ ના નિયમનો ઉપયોગ કરતા:
$L = \lim _{x \rightarrow \frac{\pi}{4}} \frac{-5(\cos x+\sin x)^4(-\sin x+\cos x)}{-2 \cos 2 x}$.
$1-\sin 2x = (\cos x - \sin x)^2$ અને $\cos 2x = (\cos x - \sin x)(\cos x + \sin x)$ નિત્યસમનો ઉપયોગ કરતા:
$L = \lim _{x \rightarrow \frac{\pi}{4}} \frac{5(\cos x+\sin x)^4(\cos x-\sin x)}{2(\cos x-\sin x)(\cos x+\sin x)}$.
$L = \lim _{x \rightarrow \frac{\pi}{4}} \frac{5}{2}(\cos x+\sin x)^3$.
$x = \frac{\pi}{4}$ મૂકતા:
$L = \frac{5}{2}(\frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2}})^3 = \frac{5}{2}(\sqrt{2})^3 = \frac{5}{2}(2 \sqrt{2}) = 5 \sqrt{2}$.

(A) આપેલ લક્ષ $\lim _{x \rightarrow 2} \frac{\sqrt{1+4 x}-\sqrt{3+3 x}}{x^3-8}$ છે.
આ $\frac{0}{0}$ અનિશ્ચિત સ્વરૂપ હોવાથી,આપણે અંશ અને છેદનું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીને $L'H\hat{o}pital$ નો નિયમ લાગુ કરીએ છીએ:
$\lim _{x \rightarrow 2} \frac{\frac{d}{dx}(\sqrt{1+4 x}-\sqrt{3+3 x})}{\frac{d}{dx}(x^3-8)} = \lim _{x \rightarrow 2} \frac{\frac{4}{2\sqrt{1+4x}} - \frac{3}{2\sqrt{3+3x}}}{3x^2}$.
$x = 2$ મૂકતા:
$= \frac{\frac{4}{2\sqrt{9}} - \frac{3}{2\sqrt{9}}}{3(2^2)} = \frac{\frac{4}{6} - \frac{3}{6}}{12} = \frac{\frac{1}{6}}{12} = \frac{1}{72}$.

(D) સૌ પ્રથમ,સદિશ ગુણાકાર $\vec{a} \times \vec{c}$ શોધો:
$\vec{a} \times \vec{c} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & -1 & 1 \\ 2 & -3 & -1 \end{vmatrix} = \hat{i}(1 - (-3)) - \hat{j}(-1 - 2) + \hat{k}(-3 - (-2)) = 4 \hat{i} + 3 \hat{j} - \hat{k}$.
ત્યારબાદ,સદિશ ગુણાકાર $\vec{b} \times \vec{d}$ શોધો:
$\vec{b} \times \vec{d} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 1 & -2 \\ 2 & 1 & 1 \end{vmatrix} = \hat{i}(1 - (-2)) - \hat{j}(1 - (-4)) + \hat{k}(1 - 2) = 3 \hat{i} - 5 \hat{j} - \hat{k}$.
અંતે,મળેલા બે સદિશોનો સદિશ ગુણાકાર કરો:
$(\vec{a} \times \vec{c}) \times(\vec{b} \times \vec{d}) = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 4 & 3 & -1 \\ 3 & -5 & -1 \end{vmatrix} = \hat{i}(-3 - 5) - \hat{j}(-4 - (-3)) + \hat{k}(-20 - 9) = -8 \hat{i} + \hat{j} - 29 \hat{k}$.

(C) ચતુષ્ફલકના શિરોબિંદુઓ $A(3,2,4)$,$B(x_1, y_1, 0)$,$C(x_2, y_2, 0)$,અને $D(x_3, y_3, 0)$ છે.
ત્રિકોણ $BCD$ એ રેખાઓ $y=x$,$x+y=6$,અને $y=1$ ના છેદબિંદુઓથી બને છે.
છેદબિંદુઓ શોધતા:
$1$) $y=x$ અને $y=1 \Rightarrow x=1$. શિરોબિંદુ $B = (1,1,0)$.
$2$) $x+y=6$ અને $y=1 \Rightarrow x=5$. શિરોબિંદુ $D = (5,1,0)$.
$3$) $y=x$ અને $x+y=6 \Rightarrow 2x=6 \Rightarrow x=3, y=3$. શિરોબિંદુ $C = (3,3,0)$.
ચતુષ્ફલકનું મધ્યકેન્દ્ર $G = \left(\frac{\sum x_i}{4}, \frac{\sum y_i}{4}, \frac{\sum z_i}{4}\right)$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
$G = \left(\frac{3+1+3+5}{4}, \frac{2+1+3+1}{4}, \frac{4+0+0+0}{4}\right) = \left(\frac{12}{4}, \frac{7}{4}, \frac{4}{4}\right) = \left(3, \frac{7}{4}, 1\right)$.

(D) ધારો કે સ્થાન સદિશો $\vec{a} = \hat{i}-2 \hat{j}+3 \hat{k}$,$\vec{b} = 2 \hat{i}+3 \hat{j}+\hat{k}$,અને $\vec{c} = -3 \hat{i}-\hat{j}-2 \hat{k}$ છે.
બાજુઓ માટેના સદિશોની ગણતરી:
$\overrightarrow{AB} = \vec{b} - \vec{a} = (2-1)\hat{i} + (3-(-2))\hat{j} + (1-3)\hat{k} = \hat{i} + 5\hat{j} - 2\hat{k}$.
$\overrightarrow{BC} = \vec{c} - \vec{b} = (-3-2)\hat{i} + (-1-3)\hat{j} + (-2-1)\hat{k} = -5\hat{i} - 4\hat{j} - 3\hat{k}$.
$\overrightarrow{AC} = \vec{c} - \vec{a} = (-3-1)\hat{i} + (-1-(-2))\hat{j} + (-2-3)\hat{k} = -4\hat{i} + \hat{j} - 5\hat{k}$.
માન (Magnitude) ની ગણતરી:
$|\overrightarrow{AB}| = \sqrt{1^2 + 5^2 + (-2)^2} = \sqrt{1 + 25 + 4} = \sqrt{30}$.
$|\overrightarrow{BC}| = \sqrt{(-5)^2 + (-4)^2 + (-3)^2} = \sqrt{25 + 16 + 9} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}$.
$|\overrightarrow{AC}| = \sqrt{(-4)^2 + 1^2 + (-5)^2} = \sqrt{16 + 1 + 25} = \sqrt{42}$.
બધી બાજુઓની લંબાઈ અલગ હોવાથી,બિંદુઓ વિષમબાજુ ત્રિકોણ બનાવે છે.

(D) ધારો કે શિરોબિંદુઓ $P, Q, R$ ના સ્થાન સદિશો $\vec{p} = 4 \hat{i}+3 \hat{j}+6 \hat{k}$,$\vec{q} = 2 \hat{i}+2 \hat{j}+3 \hat{k}$,અને $\vec{r} = 3 \hat{i}+\hat{j}+3 \hat{k}$ છે.
પ્રથમ,બાજુઓ $PQ$ અને $PR$ ની લંબાઈની ગણતરી કરો:
$PQ = |\vec{q} - \vec{p}| = |(2-4) \hat{i} + (2-3) \hat{j} + (3-6) \hat{k}| = |-2 \hat{i} - \hat{j} - 3 \hat{k}| = \sqrt{(-2)^2 + (-1)^2 + (-3)^2} = \sqrt{4+1+9} = \sqrt{14}$.
$PR = |\vec{r} - \vec{p}| = |(3-4) \hat{i} + (1-3) \hat{j} + (3-6) \hat{k}| = |-\hat{i} - 2 \hat{j} - 3 \hat{k}| = \sqrt{(-1)^2 + (-2)^2 + (-3)^2} = \sqrt{1+4+9} = \sqrt{14}$.
અહીં $PQ = PR$ હોવાથી,$\triangle PQR$ એ સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણ છે.
સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણમાં,શિરોબિંદુ $P$ ના ખૂણાનો દ્વિભાજક એ પાયા $QR$ પરનો મધ્યગા પણ છે.
તેથી,ખૂણા $P$ ના દ્વિભાજકનું $QR$ સાથેનું છેદબિંદુ $A$ એ $QR$ નું મધ્યબિંદુ છે.
$A = \frac{\vec{q} + \vec{r}}{2} = \frac{(2 \hat{i}+2 \hat{j}+3 \hat{k}) + (3 \hat{i}+\hat{j}+3 \hat{k})}{2} = \frac{5 \hat{i} + 3 \hat{j} + 6 \hat{k}}{2} = \frac{5}{2} \hat{i} + \frac{3}{2} \hat{j} + 3 \hat{k}$.

(C) આપેલ છે કે $|\vec{a}|=2, |\vec{b}|=3$ અને $\theta = \frac{\pi}{3}$.
પ્રથમ,ડોટ પ્રોડક્ટ શોધો: $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}||\vec{b}| \cos(\frac{\pi}{3}) = 2 \times 3 \times \frac{1}{2} = 3$.
ધારો કે પાસપાસેની બાજુઓ $\vec{p} = 2\vec{a} + 3\vec{b}$ અને $\vec{q} = \vec{a} - \vec{b}$ છે.
વિકર્ણો $\vec{d_1} = \vec{p} + \vec{q} = 3\vec{a} + 2\vec{b}$ અને $\vec{d_2} = \vec{p} - \vec{q} = \vec{a} + 4\vec{b}$ છે.
લંબાઈનો વર્ગ ગણો:
$|\vec{d_1}|^2 = |3\vec{a} + 2\vec{b}|^2 = 9|\vec{a}|^2 + 4|\vec{b}|^2 + 12(\vec{a} \cdot \vec{b}) = 9(4) + 4(9) + 12(3) = 108$.
$|\vec{d_1}| = \sqrt{108} = 6\sqrt{3}$.
$|\vec{d_2}|^2 = |\vec{a} + 4\vec{b}|^2 = |\vec{a}|^2 + 16|\vec{b}|^2 + 8(\vec{a} \cdot \vec{b}) = 4 + 144 + 24 = 172$.
$|\vec{d_2}| = \sqrt{172} = 2\sqrt{43}$.
સરખામણી કરતા,ટૂંકો વિકર્ણ $6\sqrt{3}$ છે.

(C) ધારો કે $AD$ એ $\angle A$ નો આંતરિક દ્વિભાજક છે જે $BC$ ને $D$ માં મળે છે.
ખૂણાના દ્વિભાજકના પ્રમેય મુજબ,$D$ એ બાજુ $BC$ ને બાજુઓ $AB:AC$ ના ગુણોત્તરમાં વિભાજિત કરે છે.
પ્રથમ,બાજુઓ $AB$ અને $AC$ ની લંબાઈની ગણતરી કરો:
$AB = \sqrt{(2-4)^2 + (3-7)^2 + (4-8)^2} = \sqrt{(-2)^2 + (-4)^2 + (-4)^2} = \sqrt{4 + 16 + 16} = \sqrt{36} = 6$.
$AC = \sqrt{(2-4)^2 + (5-7)^2 + (7-8)^2} = \sqrt{(-2)^2 + (-2)^2 + (-1)^2} = \sqrt{4 + 4 + 1} = \sqrt{9} = 3$.
ગુણોત્તર $AB:AC = 6:3 = 2:1$.
વિભાજન સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને,$D$ ના યામ:
$D = \left( \frac{2(2) + 1(2)}{2+1}, \frac{2(5) + 1(3)}{2+1}, \frac{2(7) + 1(4)}{2+1} \right) = \left( \frac{4+2}{3}, \frac{10+3}{3}, \frac{14+4}{3} \right) = \left( 2, \frac{13}{3}, 6 \right)$.
હવે,$AD$ ની લંબાઈની ગણતરી કરો:
$AD = \sqrt{(2-4)^2 + (\frac{13}{3} - 7)^2 + (6-8)^2} = \sqrt{(-2)^2 + (-\frac{8}{3})^2 + (-2)^2} = \sqrt{4 + \frac{64}{9} + 4} = \sqrt{8 + \frac{64}{9}} = \sqrt{\frac{72+64}{9}} = \sqrt{\frac{136}{9}} = \frac{2\sqrt{34}}{3}$.

(D) સમતલીય સદિશો માટે,તેમનો અદિશ ત્રિગુણક શૂન્ય થાય છે: $\left|\begin{array}{ccc} a & 1 & 1 \\ 1 & b & 1 \\ 1 & 1 & c \end{array}\right| = 0$.
નિશ્ચાયકનું વિસ્તરણ કરતા: $a(bc - 1) - 1(c - 1) + 1(1 - b) = 0$.
$abc - a - c + 1 + 1 - b = 0 \Rightarrow abc - (a + b + c) + 2 = 0$.
વૈકલ્પિક રીતે,હાર પ્રક્રિયાઓ $R_2 \rightarrow R_2 - R_1$ અને $R_3 \rightarrow R_3 - R_1$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\left|\begin{array}{ccc} a & 1 & 1 \\ 1-a & b-1 & 0 \\ 1-a & 0 & c-1 \end{array}\right| = 0$.
$a(b-1)(c-1) - (1-a)(c-1) - (1-a)(b-1) = 0$.
$(1-a)(1-b)(1-c)$ વડે ભાગતા (કારણ કે $a, b, c \neq 1$):
$\frac{a(b-1)(c-1)}{(1-a)(1-b)(1-c)} - \frac{(1-a)(c-1)}{(1-a)(1-b)(1-c)} - \frac{(1-a)(b-1)}{(1-a)(1-b)(1-c)} = 0$.
$\frac{a}{(1-a)} + \frac{1}{(1-b)} + \frac{1}{(1-c)} = 0$.
કારણ કે $\frac{a}{1-a} = \frac{a-1+1}{1-a} = -1 + \frac{1}{1-a}$,આ કિંમત મૂકતા:
$-1 + \frac{1}{1-a} + \frac{1}{1-b} + \frac{1}{1-c} = 0$.
તેથી,$\frac{1}{1-a} + \frac{1}{1-b} + \frac{1}{1-c} = 1$.

(B) આપેલ છે કે $\vec{f}, \vec{g},$ અને $\vec{h}$ પરસ્પર લંબ સદિશો છે.
તેથી,$\vec{f} \cdot \vec{g} = \vec{g} \cdot \vec{h} = \vec{f} \cdot \vec{h} = 0$.
ધારો કે $|\vec{f}| = |\vec{g}| = |\vec{h}| = k$.
હવે,ધારો કે $\vec{f}+\vec{g}+\vec{h}$ અને $\vec{h}$ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ છે.
તેથી,$(\vec{f}+\vec{g}+\vec{h}) \cdot \vec{h} = |\vec{f}+\vec{g}+\vec{h}| |\vec{h}| \cos \theta$.
કારણ કે $\vec{f} \cdot \vec{h} = 0$ અને $\vec{g} \cdot \vec{h} = 0$,આપણને મળે છે $(\vec{f}+\vec{g}+\vec{h}) \cdot \vec{h} = |\vec{h}|^2 = k^2$.
વળી,$|\vec{f}+\vec{g}+\vec{h}|^2 = |\vec{f}|^2 + |\vec{g}|^2 + |\vec{h}|^2 + 2(\vec{f} \cdot \vec{g} + \vec{g} \cdot \vec{h} + \vec{h} \cdot \vec{f}) = k^2 + k^2 + k^2 = 3k^2$.
તેથી,$|\vec{f}+\vec{g}+\vec{h}| = \sqrt{3}k$.
આ કિંમતોને ડોટ પ્રોડક્ટના સૂત્રમાં મૂકતા: $k^2 = (\sqrt{3}k)(k) \cos \theta$.
$\cos \theta = \frac{k^2}{\sqrt{3}k^2} = \frac{1}{\sqrt{3}}$.
તેથી,$\theta = \cos^{-1}\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)$.

(C) આપેલ છે કે $\vec{a}$ અને $\vec{b}$ એકમ સદિશો છે,તેથી $|\vec{a}| = 1$ અને $|\vec{b}| = 1$.
કારણ કે $\vec{c}$ અને $\vec{d}$ પરસ્પર લંબ છે,તેમનો અદિશ ગુણાકાર શૂન્ય થાય: $\vec{c} \cdot \vec{d} = 0$.
$\vec{c}$ અને $\vec{d}$ ની કિંમતો મૂકતા: $(\vec{a} + 2\vec{b}) \cdot (5\vec{a} - 4\vec{b}) = 0$.
અદિશ ગુણાકારનું વિસ્તરણ કરતા: $5|\vec{a}|^2 - 4(\vec{a} \cdot \vec{b}) + 10(\vec{a} \cdot \vec{b}) - 8|\vec{b}|^2 = 0$.
$|\vec{a}| = 1$ અને $|\vec{b}| = 1$ મૂકતા: $5(1)^2 + 6(\vec{a} \cdot \vec{b}) - 8(1)^2 = 0$.
$5 + 6(\vec{a} \cdot \vec{b}) - 8 = 0 \Rightarrow 6(\vec{a} \cdot \vec{b}) = 3 \Rightarrow \vec{a} \cdot \vec{b} = \frac{1}{2}$.
અદિશ ગુણાકારની વ્યાખ્યા મુજબ: $|\vec{a}||\vec{b}| \cos \theta = \frac{1}{2}$.
$(1)(1) \cos \theta = \frac{1}{2} \Rightarrow \cos \theta = \frac{1}{2}$.
તેથી,$\theta = \frac{\pi}{3}$.

(A) આપેલ છે કે $\overrightarrow{AB} = 3 \overrightarrow{AM}$ અને $\overrightarrow{AN} = K \overrightarrow{AC}$.
કારણ કે $\overrightarrow{BN} \perp \overrightarrow{CM}$,તેમનો અદિશ ગુણાકાર શૂન્ય થાય,એટલે કે $\overrightarrow{BN} \cdot \overrightarrow{CM} = 0$.
આપણે લખી શકીએ કે $\overrightarrow{BN} = \overrightarrow{AN} - \overrightarrow{AB} = K \overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AB}$ અને $\overrightarrow{CM} = \overrightarrow{AM} - \overrightarrow{AC} = \frac{1}{3} \overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AC}$.
હવે,$(K \overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AB}) \cdot (\frac{1}{3} \overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AC}) = 0$.
અદિશ ગુણાકારનું વિસ્તરણ કરતા:
$\frac{K}{3} (\overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{AB}) - K |\overrightarrow{AC}|^2 - \frac{1}{3} |\overrightarrow{AB}|^2 + (\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}) = 0$.
$ABC$ એ $a$ બાજુવાળો સમબાજુ ત્રિકોણ હોવાથી,$|\overrightarrow{AB}| = |\overrightarrow{AC}| = a$ અને $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = a^2 \cos(60^{\circ}) = \frac{a^2}{2}$ થાય.
આ કિંમતો મૂકતા:
$\frac{K}{3} (\frac{a^2}{2}) - K a^2 - \frac{1}{3} a^2 + \frac{a^2}{2} = 0$.
$\frac{K a^2}{6} - K a^2 = \frac{a^2}{3} - \frac{a^2}{2}$.
$-\frac{5K a^2}{6} = -\frac{a^2}{6}$.
$K = \frac{1}{5}$.

(B) આપેલ છે કે $|\vec{u}|=|\vec{v}|=|\vec{w}|=1$.
$\vec{p} \cdot \vec{u}=(\vec{u}+\vec{v}+\vec{w}) \cdot \vec{u}=\frac{3}{2} \Rightarrow |\vec{u}|^2+\vec{u} \cdot \vec{v}+\vec{w} \cdot \vec{u}=\frac{3}{2} \Rightarrow \vec{u} \cdot \vec{v}+\vec{w} \cdot \vec{u}=\frac{1}{2}$ ....$(i)$
$\vec{p} \cdot \vec{v}=(\vec{u}+\vec{v}+\vec{w}) \cdot \vec{v}=\frac{7}{4} \Rightarrow \vec{u} \cdot \vec{v}+|\vec{v}|^2+\vec{v} \cdot \vec{w}=\frac{7}{4} \Rightarrow \vec{u} \cdot \vec{v}+\vec{v} \cdot \vec{w}=\frac{3}{4}$ ....$(ii)$
$|\vec{p}|^2=|\vec{u}+\vec{v}+\vec{w}|^2=4 \Rightarrow |\vec{u}|^2+|\vec{v}|^2+|\vec{w}|^2+2(\vec{u} \cdot \vec{v}+\vec{v} \cdot \vec{w}+\vec{w} \cdot \vec{u})=4 \Rightarrow \vec{u} \cdot \vec{v}+\vec{v} \cdot \vec{w}+\vec{w} \cdot \vec{u}=\frac{1}{2}$ ....$(iii)$
$(i)$,$(ii)$,અને $(iii)$ ઉકેલતા:
$(iii)$ માંથી $(ii)$ બાદ કરતા: $\vec{w} \cdot \vec{u} = \frac{1}{2} - \frac{3}{4} = -\frac{1}{4}$.
$(iii)$ માંથી $(i)$ બાદ કરતા: $\vec{v} \cdot \vec{w} = \frac{1}{2} - \frac{1}{2} = 0$.
તેથી $\vec{u} \cdot \vec{v} = \frac{1}{2} - (-\frac{1}{4}) = \frac{3}{4}$.
આપેલ છે $\vec{v}=K \vec{q}=K[\vec{u} \times(\vec{v} \times \vec{w})]=K[(\vec{u} \cdot \vec{w}) \vec{v}-(\vec{u} \cdot \vec{v}) \vec{w}]$.
કિંમતો મૂકતા: $\vec{v}=K[-\frac{1}{4} \vec{v}-\frac{3}{4} \vec{w}] \Rightarrow \vec{v} = -\frac{K}{4} \vec{v} - \frac{3K}{4} \vec{w} \Rightarrow (1+\frac{K}{4}) \vec{v} = -\frac{3K}{4} \vec{w}$.
માન લેતા: $|1+\frac{K}{4}| = |-\frac{3K}{4}| \Rightarrow |4+K| = |3K|$.
$4+K = 3K \Rightarrow 2K=4 \Rightarrow K=2$ અથવા $4+K = -3K \Rightarrow 4K=-4 \Rightarrow K=-1$.
સદિશ સમીકરણ તપાસતા: $(1+\frac{K}{4}) \vec{v} = -\frac{3K}{4} \vec{w}$. જો $K=-1$,તો $\frac{3}{4} \vec{v} = \frac{3}{4} \vec{w} \Rightarrow \vec{v}=\vec{w}$,પરંતુ $\vec{v} \cdot \vec{w}=0$,જે અશક્ય છે.
તેથી,$K=2$.

(D) ધારો કે સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણની પાસપાસેની બાજુઓ $\vec{a} = 2 \hat{i} + 4 \hat{j} - 5 \hat{k}$ અને $\vec{b} = \hat{i} + 2 \hat{j} + 3 \hat{k}$ છે.
સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણના વિકર્ણો $\vec{d}_1 = \vec{a} + \vec{b}$ અને $\vec{d}_2 = \vec{a} - \vec{b}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$\vec{d}_1 = (2+1)\hat{i} + (4+2)\hat{j} + (-5+3)\hat{k} = 3 \hat{i} + 6 \hat{j} - 2 \hat{k}$.
$\vec{d}_2 = (2-1)\hat{i} + (4-2)\hat{j} + (-5-3)\hat{k} = \hat{i} + 2 \hat{j} - 8 \hat{k}$.
ધારો કે વિકર્ણો $\vec{d}_1$ અને $\vec{d}_2$ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ છે. ખૂણા માટેનું સૂત્ર $\cos \theta = \frac{|\vec{d}_1 \cdot \vec{d}_2|}{||\vec{d}_1|| ||\vec{d}_2||}$ છે.
$\vec{d}_1 \cdot \vec{d}_2 = (3)(1) + (6)(2) + (-2)(-8) = 3 + 12 + 16 = 31$.
$||\vec{d}_1|| = \sqrt{3^2 + 6^2 + (-2)^2} = \sqrt{9 + 36 + 4} = \sqrt{49} = 7$.
$||\vec{d}_2|| = \sqrt{1^2 + 2^2 + (-8)^2} = \sqrt{1 + 4 + 64} = \sqrt{69}$.
તેથી,$\cos \theta = \frac{31}{7 \sqrt{69}}$,જેનો અર્થ છે કે $\theta = \cos ^{-1}\left(\frac{31}{7 \sqrt{69}}\right)$.

(D) $\vec{a}$ અને $\vec{b}$ ના સમતલમાં રહેલા કોઈપણ સદિશ $\vec{c}$ ને $\vec{c} = x\vec{a} + y\vec{b}$ તરીકે લખી શકાય છે.
કારણ કે $\vec{c}$ એ $\vec{b}$ ને લંબ છે,તેથી $\vec{c} \cdot \vec{b} = 0$.
$\vec{c} = x\vec{a} + y\vec{b}$ મૂકતા,આપણને $(x\vec{a} + y\vec{b}) \cdot \vec{b} = 0$ મળે,જેનો અર્થ છે $x(\vec{a} \cdot \vec{b}) + y|\vec{b}|^2 = 0$.
આપેલ છે કે $\vec{a} \cdot \vec{b} = (1)(2) + (1)(1) + (1)(1) = 4$ અને $|\vec{b}|^2 = 2^2 + 1^2 + 1^2 = 6$.
તેથી,$4x + 6y = 0 \Rightarrow 2x + 3y = 0$. ધારો કે $x = 3k$ અને $y = -2k$.
પછી $\vec{c} = 3k(\hat{i}+\hat{j}+\hat{k}) - 2k(2\hat{i}+\hat{j}+\hat{k}) = k(-\hat{i} + \hat{j} + \hat{k})$.
$\vec{c}$ એકમ સદિશ હોવાથી,$|\vec{c}| = |k|\sqrt{(-1)^2 + 1^2 + 1^2} = |k|\sqrt{3} = 1 \Rightarrow k = \frac{1}{\sqrt{3}}$.
આમ,$\vec{c} = \frac{1}{\sqrt{3}}(-\hat{i} + \hat{j} + \hat{k})$.
છેલ્લે,$\vec{c} \cdot (\hat{i}+\hat{j}+2\hat{k}) = \frac{1}{\sqrt{3}}(-1 + 1 + 2) = \frac{2}{\sqrt{3}}$.

(A) આપેલ છે કે $\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}=\overrightarrow{0}$,તેથી આપણે લખી શકીએ $\vec{a}+\vec{b}=-\vec{c}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,આપણને મળે $|\vec{a}+\vec{b}|^2 = |-\vec{c}|^2$.
$|\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 + 2(\vec{a} \cdot \vec{b}) = |\vec{c}|^2$.
આપેલ મૂલ્યો મૂકતા: $5^2 + 8^2 + 2|\vec{a}||\vec{b}| \cos \theta = 11^2$,જ્યાં $\theta$ એ $\vec{a}$ અને $\vec{b}$ વચ્ચેનો ખૂણો છે.
$25 + 64 + 2(5)(8) \cos \theta = 121$.
$89 + 80 \cos \theta = 121$.
$80 \cos \theta = 121 - 89 = 32$.
$\cos \theta = \frac{32}{80} = \frac{2}{5}$.
તેથી,$\theta = \cos ^{-1} \left(\frac{2}{5}\right)$.

(A) $\vec{a}$ અને $\vec{b}$ ધરાવતા સમતલને લંબ સદિશ $\vec{n} = \vec{a} \times \vec{b}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સમતલને લંબ એકમ સદિશ $\hat{n} = \frac{\vec{a} \times \vec{b}}{|\vec{a} \times \vec{b}|}$ છે.
સદિશ $(\vec{a} + \vec{b})$ નો સદિશ $\hat{n}$ પરનો પ્રક્ષેપ $(\vec{a} + \vec{b}) \cdot \hat{n}$ દ્વારા મળે છે.
$\hat{n}$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને પ્રક્ષેપ $(\vec{a} + \vec{b}) \cdot \frac{\vec{a} \times \vec{b}}{|\vec{a} \times \vec{b}|} = \frac{(\vec{a} + \vec{b}) \cdot (\vec{a} \times \vec{b})}{|\vec{a} \times \vec{b}|}$ મળે છે.
અદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકારના ગુણધર્મોનો ઉપયોગ કરતા,$(\vec{a} + \vec{b}) \cdot (\vec{a} \times \vec{b}) = \vec{a} \cdot (\vec{a} \times \vec{b}) + \vec{b} \cdot (\vec{a} \times \vec{b})$ થાય છે.
જ્યારે બે સદિશો સમાન હોય ત્યારે અદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકાર શૂન્ય થાય છે,તેથી $[\vec{a}, \vec{a}, \vec{b}] = 0$ અને $[\vec{b}, \vec{a}, \vec{b}] = 0$ થાય છે.
તેથી,પ્રક્ષેપ $\frac{0 + 0}{|\vec{a} \times \vec{b}|} = 0$ છે.

(B) આપેલ સદિશો $\vec{f} = \hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$ અને $\vec{g} = 2\hat{i} - \hat{j} + 3\hat{k}$ છે.
$\vec{f}$ નો $\vec{g}$ પરનો પ્રક્ષેપ સદિશ શોધવાનું સૂત્ર $\text{proj}_{\vec{g}} \vec{f} = \left( \frac{\vec{f} \cdot \vec{g}}{|\vec{g}|^2} \right) \vec{g}$ છે.
પ્રથમ,અદિશ ગુણાકાર $\vec{f} \cdot \vec{g} = (1)(2) + (1)(-1) + (1)(3) = 2 - 1 + 3 = 4$ મેળવો.
ત્યારબાદ,$\vec{g}$ ના માનનો વર્ગ $|\vec{g}|^2 = (2)^2 + (-1)^2 + (3)^2 = 4 + 1 + 9 = 14$ મેળવો.
હવે,આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
$\text{proj}_{\vec{g}} \vec{f} = \frac{4}{14} (2\hat{i} - \hat{j} + 3\hat{k}) = \frac{2}{7} (2\hat{i} - \hat{j} + 3\hat{k})$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(A) આપેલ છે કે $\vec{f}=\hat{i}+2 \hat{j}-3 \hat{k}$ અને $\vec{g}=2 \hat{i}-3 \hat{j}+a \hat{k}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $|\vec{f} \times \vec{g}| = |\vec{f}| |\vec{g}| \sin \theta$.
પ્રથમ,સદિશ ગુણાકાર $\vec{f} \times \vec{g}$ શોધો:
$\vec{f} \times \vec{g} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 2 & -3 \\ 2 & -3 & a \end{vmatrix} = \hat{i}(2a - 9) - \hat{j}(a + 6) + \hat{k}(-3 - 4) = (2a - 9)\hat{i} - (a + 6)\hat{j} - 7\hat{k}$.
તેનું માનનો વર્ગ $|\vec{f} \times \vec{g}|^2 = (2a - 9)^2 + (a + 6)^2 + (-7)^2 = 4a^2 - 36a + 81 + a^2 + 12a + 36 + 49 = 5a^2 - 24a + 166$.
વળી,$|\vec{f}|^2 = 1^2 + 2^2 + (-3)^2 = 1 + 4 + 9 = 14$ અને $|\vec{g}|^2 = 2^2 + (-3)^2 + a^2 = 13 + a^2$.
આપેલ છે કે $\sin^2 \theta = \frac{24}{28} = \frac{6}{7}$.
સૂત્ર $|\vec{f} \times \vec{g}|^2 = |\vec{f}|^2 |\vec{g}|^2 \sin^2 \theta$ નો ઉપયોગ કરતા:
$5a^2 - 24a + 166 = 14(13 + a^2) \times \frac{6}{7} = 2(13 + a^2) \times 6 = 12(13 + a^2) = 156 + 12a^2$.
પદોને ગોઠવતા: $7a^2 + 24a = 166 - 156 = 10$.

(D) આપેલ સદિશો $\vec{OP} = 0\hat{i} + 1\hat{j} + 2\hat{k}$ અને $\vec{OQ} = 4\hat{i} - 2\hat{j} + 1\hat{k}$ છે.
$\vec{OP}$ અને $\vec{OQ}$ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ શોધવા માટે,આપણે ડોટ પ્રોડક્ટના સૂત્રનો ઉપયોગ કરીએ છીએ: $\cos \theta = \frac{\vec{OP} \cdot \vec{OQ}}{|\vec{OP}| |\vec{OQ}|}$.
પ્રથમ,ડોટ પ્રોડક્ટની ગણતરી કરો: $\vec{OP} \cdot \vec{OQ} = (0)(4) + (1)(-2) + (2)(1) = 0 - 2 + 2 = 0$.
કારણ કે ડોટ પ્રોડક્ટ $0$ છે,તેથી સદિશો પરસ્પર લંબ છે.
તેથી,$\cos \theta = 0$,જેનો અર્થ છે કે $\theta = \frac{\pi}{2}$.

(B) ત્રિકોણ $ABC$ ની બાજુઓ પરના આપેલ સદિશો $\overrightarrow{AB} = 2\hat{i} + 3\hat{j} - 6\hat{k}$ અને $\overrightarrow{BC} = 6\hat{i} - 2\hat{j} + 3\hat{k}$ છે.
સદિશ સરવાળાના ત્રિકોણના નિયમ મુજબ,$\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = (2+6)\hat{i} + (3-2)\hat{j} + (-6+3)\hat{k} = 8\hat{i} + \hat{j} - 3\hat{k}$.
બાજુઓની લંબાઈ નીચે મુજબ છે:
$|\overrightarrow{AB}| = \sqrt{2^2 + 3^2 + (-6)^2} = \sqrt{4 + 9 + 36} = \sqrt{49} = 7$.
$|\overrightarrow{BC}| = \sqrt{6^2 + (-2)^2 + 3^2} = \sqrt{36 + 4 + 9} = \sqrt{49} = 7$.
$|\overrightarrow{AC}| = \sqrt{8^2 + 1^2 + (-3)^2} = \sqrt{64 + 1 + 9} = \sqrt{74}$.
ત્રિકોણ $ABC$ ની પરિમિતિ = $|\overrightarrow{AB}| + |\overrightarrow{BC}| + |\overrightarrow{AC}| = 7 + 7 + \sqrt{74} = 14 + \sqrt{74}$.

(B) $\vec{a}$ નો $\vec{b}$ પરનો લંબ પ્રક્ષેપ સદિશ શોધવાનું સૂત્ર $\text{proj}_{\vec{b}} \vec{a} = \left( \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{b}|^2} \right) \vec{b}$ છે.
પ્રથમ,અદિશ ગુણાકાર $\vec{a} \cdot \vec{b} = (2)(1) + (3)(-2) + (3)(1) = 2 - 6 + 3 = -1$ મેળવો.
ત્યારબાદ,$\vec{b}$ ના માનનો વર્ગ $|\vec{b}|^2 = (1)^2 + (-2)^2 + (1)^2 = 1 + 4 + 1 = 6$ મેળવો.
હવે,આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
$\text{proj}_{\vec{b}} \vec{a} = \frac{-1}{6} (\hat{i} - 2\hat{j} + \hat{k}) = \frac{1}{6} (-\hat{i} + 2\hat{j} - \hat{k})$.

(B) બે સદિશો $\vec{u}$ અને $\vec{v}$ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ એ $\cos \theta = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{u}| |\vec{v}|}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,$\vec{u} = 2 \vec{a}$ અને $\vec{v} = \frac{\vec{b}}{2}$ છે.
તેથી,$\cos \theta = \frac{(2 \vec{a}) \cdot (\frac{\vec{b}}{2})}{|2 \vec{a}| |\frac{\vec{b}}{2}|} = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| |\vec{b}|}$.
પ્રથમ,અદિશ ગુણાકાર $\vec{a} \cdot \vec{b} = (-4)(\sqrt{2}) + (2)(-\sqrt{2}) + (4)(0) = -4 \sqrt{2} - 2 \sqrt{2} = -6 \sqrt{2}$ ગણો.
ત્યારબાદ,માન શોધો:
$|\vec{a}| = \sqrt{(-4)^2 + 2^2 + 4^2} = \sqrt{16 + 4 + 16} = \sqrt{36} = 6$.
$|\vec{b}| = \sqrt{(\sqrt{2})^2 + (-\sqrt{2})^2 + 0^2} = \sqrt{2 + 2} = \sqrt{4} = 2$.
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
$\cos \theta = \frac{-6 \sqrt{2}}{6 \times 2} = \frac{-6 \sqrt{2}}{12} = -\frac{\sqrt{2}}{2} = -\frac{1}{\sqrt{2}}$.
તેથી,$\cos \theta = -\frac{1}{\sqrt{2}}$ હોવાથી,$\theta = 135^{\circ}$ મળે છે.

(B) સદિશો $\vec{a}$ અને $\vec{b}$ ને લંબ એકમ સદિશ શોધવા માટે,આપણે પ્રથમ તેમનો સદિશ ગુણાકાર $\vec{a} \times \vec{b}$ શોધીશું.
$\vec{a} \times \vec{b} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & 3 & 4 \\ 0 & 3 & 2 \end{vmatrix} = \hat{i}(6 - 12) - \hat{j}(4 - 0) + \hat{k}(6 - 0) = -6 \hat{i} - 4 \hat{j} + 6 \hat{k}$.
આ સદિશનું માન $|\vec{a} \times \vec{b}| = \sqrt{(-6)^2 + (-4)^2 + 6^2} = \sqrt{36 + 16 + 36} = \sqrt{88} = 2\sqrt{22}$ છે.
એકમ સદિશ $\pm \frac{\vec{a} \times \vec{b}}{|\vec{a} \times \vec{b}|} = \pm \frac{-6 \hat{i} - 4 \hat{j} + 6 \hat{k}}{2\sqrt{22}} = \pm \frac{-3 \hat{i} - 2 \hat{j} + 3 \hat{k}}{\sqrt{22}}$ થાય.
જે $\pm \frac{3 \hat{i} + 2 \hat{j} - 3 \hat{k}}{\sqrt{22}}$ ને સમાન છે. તેથી,વિકલ્પ $B$ સાચો છે.

(C) ધારો કે શિરોબિંદુઓ $A(2,1,5)$,$B(3,2,3)$ અને $C(4,0,4)$ છે.
પ્રથમ,$A$ માંથી $BC$ પરના વેધનું સમીકરણ શોધો. $BC$ ના દિકગુણોત્તર $(4-3, 0-2, 4-3) = (1, -2, 1)$ છે.
ધારો કે $P$ એ $A$ માંથી $BC$ પરના લંબનો લંબપાદ છે. $P$ એ $BC$ પર આવેલું છે,તેથી $P = (3+k, 2-2k, 3+k)$ કોઈ $k$ માટે.
સદિશ $AP = (3+k-2, 2-2k-1, 3+k-5) = (k+1, 1-2k, k-2)$.
$AP \perp BC$ હોવાથી,તેમનો ડોટ ગુણાકાર $(k+1)(1) + (1-2k)(-2) + (k-2)(1) = 0$ થાય.
$k+1 - 2 + 4k + k - 2 = 0 \Rightarrow 6k - 3 = 0 \Rightarrow k = 1/2$.
આમ,$P = (3.5, 1, 3.5)$. સદિશ $AP = (1.5, 0, -1.5)$,જે $(1, 0, -1)$ ને સમાંતર છે.
વેધ $AP$ નું સમીકરણ $\frac{x-2}{1} = \frac{y-1}{0} = \frac{z-5}{-1}$ છે.
હવે,$B$ માંથી $AC$ પરના વેધનું સમીકરણ શોધો. $AC$ ના દિકગુણોત્તર $(4-2, 0-1, 4-5) = (2, -1, -1)$ છે.
ધારો કે $Q$ એ $B$ માંથી $AC$ પરના લંબનો લંબપાદ છે. $Q$ એ $AC$ પર આવેલું છે,તેથી $Q = (2+2m, 1-m, 5-m)$ કોઈ $m$ માટે.
સદિશ $BQ = (2+2m-3, 1-m-2, 5-m-3) = (2m-1, -m-1, 2-m)$.
$BQ \perp AC$ હોવાથી,$(2m-1)(2) + (-m-1)(-1) + (2-m)(-1) = 0$.
$4m - 2 + m + 1 - 2 + m = 0 \Rightarrow 6m - 3 = 0 \Rightarrow m = 1/2$.
આમ,$Q = (3, 0.5, 4.5)$. સદિશ $BQ = (0, -1.5, 1.5)$,જે $(0, -1, 1)$ ને સમાંતર છે.
વેધ $BQ$ નું સમીકરણ $\frac{x-3}{0} = \frac{y-2}{-1} = \frac{z-3}{1}$ છે.
બંને વેધના સમીકરણો ઉકેલતા: $AP$ પરથી $y=1$,અને $BQ$ પરથી $\frac{y-2}{-1} = \frac{z-3}{1} \Rightarrow 1-2 = -(z-3) \Rightarrow -1 = -z+3 \Rightarrow z=4$. $BQ$ પરથી $x=3$ મળે છે,તેથી લંબકેન્દ્ર $(3,1,4)$ છે.

(B) ધારો કે બે રેખાઓના દિકગુણોત્તર $\vec{a} = (2, 2, 1)$ અને $\vec{b} = (2, -1, -2)$ છે.
પ્રથમ,એકમ સદિશો (દિકકોસાઇન) શોધવા માટે આ સદિશોનું નોર્મલાઇઝેશન કરીએ:
$|\vec{a}| = \sqrt{2^2 + 2^2 + 1^2} = \sqrt{9} = 3$,તેથી $\hat{a} = (\frac{2}{3}, \frac{2}{3}, \frac{1}{3})$.
$|\vec{b}| = \sqrt{2^2 + (-1)^2 + (-2)^2} = \sqrt{9} = 3$,તેથી $\hat{b} = (\frac{2}{3}, -\frac{1}{3}, -\frac{2}{3})$.
ખૂણાના દ્વિભાજકની દિશા સદિશ $\vec{v} = \hat{a} + \hat{b}$ અથવા $\vec{v} = \hat{a} - \hat{b}$ દ્વારા મળે છે.
કિસ્સો $1$: $\vec{v}_1 = (\frac{4}{3}, \frac{1}{3}, -\frac{1}{3})$. તેનું માન $|\vec{v}_1| = \sqrt{2}$ છે.
દિકકોસાઇન $(\alpha, \beta, \gamma) = (\frac{4}{3\sqrt{2}}, \frac{1}{3\sqrt{2}}, -\frac{1}{3\sqrt{2}})$.
તેથી $(\alpha + \beta + \gamma)^2 = (\frac{4}{3\sqrt{2}})^2 = \frac{16}{18} = \frac{8}{9}$.
કિસ્સો $2$: $\vec{v}_2 = (0, 1, 1)$. તેનું માન $|\vec{v}_2| = \sqrt{2}$ છે.
દિકકોસાઇન $(\alpha, \beta, \gamma) = (0, \frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}})$.
તેથી $(\alpha + \beta + \gamma)^2 = (0 + \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2}})^2 = (\sqrt{2})^2 = 2$.

(C) આપેલ છે કે $\vec{a}$ પર $\vec{b}$ ના પ્રક્ષેપની લંબાઈ $\frac{|\vec{a} \cdot \vec{b}|}{|\vec{a}|} = \frac{8}{\sqrt{14}}$ છે.
પ્રથમ,$\vec{a}$ નું માન શોધો: $|\vec{a}| = \sqrt{1^2 + 3^2 + (-2)^2} = \sqrt{1 + 9 + 4} = \sqrt{14}$.
તેથી,$|\vec{a} \cdot \vec{b}| = \frac{8}{\sqrt{14}} \times \sqrt{14} = 8$.
આગળ,$\vec{a} \times \vec{b}$ નું માન શોધો: $|\vec{a} \times \vec{b}| = \sqrt{7^2 + (-5)^2 + (-4)^2} = \sqrt{49 + 25 + 16} = \sqrt{90}$.
નિત્યસમ $|\vec{a} \times \vec{b}|^2 + |\vec{a} \cdot \vec{b}|^2 = |\vec{a}|^2 |\vec{b}|^2$ નો ઉપયોગ કરતા:
$90 + 8^2 = (\sqrt{14})^2 |\vec{b}|^2$
$90 + 64 = 14 |\vec{b}|^2$
$154 = 14 |\vec{b}|^2$
$|\vec{b}|^2 = \frac{154}{14} = 11$
તેથી,$|\vec{b}| = \sqrt{11}$.

(B) આપેલ સંબંધો $l+m-n=0$ અને $lm-2mn+nl=0$ છે.
પ્રથમ સંબંધ પરથી,$n=l+m$.
આ કિંમત બીજા સંબંધમાં મૂકતા: $lm-2m(l+m)+(l+m)l=0$.
$lm-2ml-2m^2+l^2+lm=0$.
$l^2-2m^2=0$,જે આપે છે $l^2=2m^2$,તેથી $l=\pm \sqrt{2}m$.
કિસ્સો $1$: જો $l=\sqrt{2}m$ હોય,તો $n=l+m=(\sqrt{2}+1)m$. દિકગુણોત્તર $(\sqrt{2}m, m, (\sqrt{2}+1)m)$ છે,તેથી સદિશ $\vec{a_1} = \sqrt{2}\hat{i} + \hat{j} + (\sqrt{2}+1)\hat{k}$ છે.
કિસ્સો $2$: જો $l=-\sqrt{2}m$ હોય,તો $n=l+m=(1-\sqrt{2})m$. દિકગુણોત્તર $(-\sqrt{2}m, m, (1-\sqrt{2})m)$ છે,તેથી સદિશ $\vec{a_2} = -\sqrt{2}\hat{i} + \hat{j} + (1-\sqrt{2})\hat{k}$ છે.
હવે,$\cos \theta = \frac{|\vec{a_1} \cdot \vec{a_2}|}{|\vec{a_1}| |\vec{a_2}|}$.
$\vec{a_1} \cdot \vec{a_2} = (\sqrt{2})(-\sqrt{2}) + (1)(1) + (\sqrt{2}+1)(1-\sqrt{2}) = -2 + 1 + (1-2) = -2$.
$|\vec{a_1}|^2 = 2 + 1 + (\sqrt{2}+1)^2 = 3 + 2 + 1 + 2\sqrt{2} = 6+2\sqrt{2}$.
$|\vec{a_2}|^2 = 2 + 1 + (1-\sqrt{2})^2 = 3 + 1 + 2 - 2\sqrt{2} = 6-2\sqrt{2}$.
$|\vec{a_1}| |\vec{a_2}| = \sqrt{(6+2\sqrt{2})(6-2\sqrt{2})} = \sqrt{36-8} = \sqrt{28} = 2\sqrt{7}$.
$\cos \theta = \frac{|-2|}{2\sqrt{7}} = \frac{1}{\sqrt{7}}$.

(A) આપેલ છે કે $P(2, \beta, \alpha)$ એ $x+2y-z-2=0$ પર છે,તેથી $2+2\beta-\alpha-2=0$,જેનું સાદું રૂપ $\alpha=2\beta$ $(i)$ થાય છે.
આપેલ છે કે $Q(\alpha, -1, \beta)$ એ $2x-y+3z+6=0$ પર છે,તેથી $2\alpha - (-1) + 3\beta + 6 = 0$,જેનું સાદું રૂપ $2\alpha+3\beta+7=0$ $(ii)$ થાય છે.
$(i)$ ને $(ii)$ માં મૂકતા: $2(2\beta)+3\beta+7=0 \Rightarrow 7\beta = -7 \Rightarrow \beta = -1$.
તેથી $\alpha = 2(-1) = -2$.
આમ,$P = (2, -1, -2)$ અને $Q = (-2, -1, -1)$.
સદિશ $\vec{PQ} = (-2-2)\hat{i} + (-1-(-1))\hat{j} + (-1-(-2))\hat{k} = -4\hat{i} + 0\hat{j} + 1\hat{k}$.
તેનું માન $|\vec{PQ}| = \sqrt{(-4)^2 + 0^2 + 1^2} = \sqrt{16+1} = \sqrt{17}$.
દિક્કોસાઈન $\left(\frac{-4}{\sqrt{17}}, \frac{0}{\sqrt{17}}, \frac{1}{\sqrt{17}}\right) = \left(-\frac{4}{\sqrt{17}}, 0, \frac{1}{\sqrt{17}}\right)$ છે.

(B) ધારો કે રેખા $L_1$ ના દિશા ગુણોત્તર $(1, \alpha, \beta)$ છે,$L_2$ ના $(-1, 2, 1)$ છે,અને $L_3$ ના $(\alpha, 1, \beta)$ છે.
$L_1 \perp L_2$ હોવાથી,તેમના દિશા ગુણોત્તરનો ડોટ પ્રોડક્ટ શૂન્ય થાય:
$1(-1) + \alpha(2) + \beta(1) = 0 \Rightarrow -1 + 2\alpha + \beta = 0 \Rightarrow 2\alpha + \beta = 1$ (સમીકરણ $1$).
$L_1 \parallel L_3$ હોવાથી,તેમના દિશા ગુણોત્તર પ્રમાણમાં હોય:
$\frac{1}{\alpha} = \frac{\alpha}{1} = \frac{\beta}{\beta}$.
$\frac{1}{\alpha} = \frac{\alpha}{1}$ પરથી,$\alpha^2 = 1$,તેથી $\alpha = 1$ અથવા $\alpha = -1$.
જો $\alpha = 1$ હોય,તો સમીકરણ $1$ પરથી: $2(1) + \beta = 1 \Rightarrow \beta = -1$.
જો $\alpha = -1$ હોય,તો સમીકરણ $1$ પરથી: $2(-1) + \beta = 1 \Rightarrow \beta = 3$.
પરંતુ,શરત $\frac{\beta}{\beta} = 1$ એ $\beta \neq 0$ માટે સાચી હોવી જોઈએ. $\alpha = 1, \beta = -1$ ચકાસતા: ગુણોત્તર $(1, 1, -1)$ અને $(1, 1, -1)$ મળે છે,જે સમાંતર છે. તેથી,$(\alpha, \beta) = (1, -1)$.

(B) ધારો કે $\vec{a} = x^2 \hat{i} + 2 x \hat{j} + \hat{k}$ અને $\vec{b} = \hat{i} - 2 \hat{j} + x \hat{k}$ છે.
બે સદિશો વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ ગુરુકોણ હોય જો તેમનો અદિશ ગુણાકાર (dot product) ઋણ હોય,એટલે કે $\vec{a} \cdot \vec{b} < 0$.
$\vec{a} \cdot \vec{b} = (x^2)(1) + (2x)(-2) + (1)(x) < 0$
$x^2 - 4x + x < 0$
$x^2 - 3x < 0$
$x(x - 3) < 0$
ચિહ્ન પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરતા,પદાવલિ $x(x - 3)$ એ $x$ ની કિંમત $(0, 3)$ અંતરાલમાં હોય ત્યારે ઋણ મળે છે.
આમ,ખૂણો ગુરુકોણ હોય ત્યારે $x \in (0, 3)$ થાય.

(D) ધારો કે રેખા $L$ ના દિક્કોસાઇન $(l, m, n)$ છે.
આપેલ છે કે $L$ એ $Y$-અક્ષ અને $Z$-અક્ષ સાથે અનુક્રમે $\pi / 3$ અને $\pi / 4$ ખૂણા બનાવે છે.
તેથી,$m = \cos(\pi / 3) = 1 / 2$ અને $n = \cos(\pi / 4) = 1 / \sqrt{2}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $l^2 + m^2 + n^2 = 1$.
કિંમતો મૂકતા,$l^2 + (1 / 2)^2 + (1 / \sqrt{2})^2 = 1 \Rightarrow l^2 + 1 / 4 + 1 / 2 = 1 \Rightarrow l^2 = 1 - 3 / 4 = 1 / 4$.
આમ,$l = 1 / 2$ (ધન કિંમત લેતા).
બીજી રેખાના દિશા ગુણોત્તર $(1, 1, 1)$ છે. તેના દિક્કોસાઇન $(1 / \sqrt{3}, 1 / \sqrt{3}, 1 / \sqrt{3})$ છે.
બે રેખાઓ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ એ $\cos \theta = |l_1 l_2 + m_1 m_2 + n_1 n_2|$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$\cos \theta = |(1 / 2)(1 / \sqrt{3}) + (1 / 2)(1 / \sqrt{3}) + (1 / \sqrt{2})(1 / \sqrt{3})| = |1 / (2 \sqrt{3}) + 1 / (2 \sqrt{3}) + 1 / \sqrt{6}|$.
$\cos \theta = |1 / \sqrt{3} + 1 / \sqrt{6}| = |\sqrt{2} / \sqrt{6} + 1 / \sqrt{6}| = (\sqrt{2} + 1) / \sqrt{6}$.
તેથી,$\theta = \cos^{-1} \left( \frac{\sqrt{2} + 1}{\sqrt{6}} \right)$.

(B) આપેલ છે કે $(l, m, n)$ એ $(1, 2, -1)$ અને $(1, -2, 1)$ દિકગુણોત્તર ધરાવતી બે રેખાઓને લંબ રેખાના દિકકોસાઇન છે.
રેખા બંનેને લંબ હોવાથી,આપણને મળે છે:
$l + 2m - n = 0$ ...$(i)$
$l - 2m + n = 0$ ...$(ii)$
$(i)$ અને $(ii)$ નો સરવાળો કરતા,$2l = 0$ મળે,જેનો અર્થ છે કે $l = 0$.
$(i)$ માં $l = 0$ મૂકતા,$2m - n = 0$ મળે,તેથી $n = 2m$.
આપણે જાણીએ છીએ કે દિકકોસાઇન માટે $l^2 + m^2 + n^2 = 1$ થાય.
$l = 0$ અને $n = 2m$ મૂકતા,$0^2 + m^2 + (2m)^2 = 1$ મળે.
$m^2 + 4m^2 = 1 \Rightarrow 5m^2 = 1 \Rightarrow m^2 = \frac{1}{5}$.
હવે,આપણે $(l + m + n)^2$ શોધવાનું છે.
$(l + m + n)^2 = (0 + m + 2m)^2 = (3m)^2 = 9m^2$.
$m^2 = \frac{1}{5}$ મૂકતા,$(l + m + n)^2 = 9 \times \frac{1}{5} = \frac{9}{5}$.

(B) આપેલ સમીકરણો $l+m+n=0$ અને $mn-2lm-2nl=0$ છે.
પ્રથમ સમીકરણ પરથી,$l = -(m+n)$.
આ કિંમત બીજા સમીકરણમાં મૂકતા:
$mn - 2(-(m+n))m - 2(-(m+n))n = 0$
$mn + 2m^2 + 2mn + 2mn + 2n^2 = 0$
$2m^2 + 5mn + 2n^2 = 0$
$(2m+n)(m+2n) = 0$.
કિસ્સો $1$: $n = -2m$. $l+m+n=0$ માં મૂકતા,$l+m-2m=0 \Rightarrow l=m$. તેથી,દિકગુણોત્તર $(1, 1, -2)$ મળે છે.
કિસ્સો $2$: $m = -2n$. $l+m+n=0$ માં મૂકતા,$l-2n+n=0 \Rightarrow l=n$. તેથી,દિકગુણોત્તર $(1, -2, 1)$ મળે છે.
ધારો કે દિકગુણોત્તર $\vec{a} = (1, 1, -2)$ અને $\vec{b} = (1, -2, 1)$ છે.
રેખાઓ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ એ $\cos \theta = \frac{|\vec{a} \cdot \vec{b}|}{|\vec{a}| |\vec{b}|}$ દ્વારા મળે છે.
$\cos \theta = \frac{|(1)(1) + (1)(-2) + (-2)(1)|}{\sqrt{1^2+1^2+(-2)^2} \sqrt{1^2+(-2)^2+1^2}} = \frac{|1 - 2 - 2|}{\sqrt{6} \sqrt{6}} = \frac{|-3|}{6} = \frac{1}{2}$.
આમ,$\theta = \frac{\pi}{3}$.

(C) આપેલ રેખાઓ $\vec{r}=\vec{a}_1+t \vec{b}_1$ અને $\vec{r}=\vec{a}_2+s \vec{b}_2$ છે,જ્યાં $\vec{a}_1 = -\hat{i}-2 \hat{j}-3 \hat{k}$,$\vec{b}_1 = 3 \hat{i}-2 \hat{j}-2 \hat{k}$,$\vec{a}_2 = 7 \hat{i}+4 \hat{k}$,અને $\vec{b}_2 = \hat{i}-2 \hat{j}+2 \hat{k}$ છે.
પ્રથમ,ક્રોસ પ્રોડક્ટ $\vec{b}_1 \times \vec{b}_2 = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 3 & -2 & -2 \\ 1 & -2 & 2 \end{vmatrix} = \hat{i}(-4-4) - \hat{j}(6+2) + \hat{k}(-6+2) = -8 \hat{i}-8 \hat{j}-4 \hat{k}$ શોધો.
તેનું માન $|\vec{b}_1 \times \vec{b}_2| = \sqrt{(-8)^2+(-8)^2+(-4)^2} = \sqrt{64+64+16} = \sqrt{144} = 12$ છે.
ત્યારબાદ,$\vec{a}_2 - \vec{a}_1 = (7 \hat{i}+4 \hat{k}) - (-\hat{i}-2 \hat{j}-3 \hat{k}) = 8 \hat{i}+2 \hat{j}+7 \hat{k}$ શોધો.
લઘુત્તમ અંતર $d$ નું સૂત્ર $d = \left| \frac{(\vec{b}_1 \times \vec{b}_2) \cdot (\vec{a}_2 - \vec{a}_1)}{|\vec{b}_1 \times \vec{b}_2|} \right|$ છે.
$d = \left| \frac{(-8 \hat{i}-8 \hat{j}-4 \hat{k}) \cdot (8 \hat{i}+2 \hat{j}+7 \hat{k})}{12} \right| = \left| \frac{-64-16-28}{12} \right| = \left| \frac{-108}{12} \right| = 9$.

(D) આપેલ સમીકરણ: $2 \vec{a} + 3 \vec{b} + 5 \vec{c} - 10 \vec{d} = \vec{0}$.
પદોને એવી રીતે ગોઠવતા કે જેથી $\vec{a}, \vec{b}$ એક બાજુ અને $\vec{c}, \vec{d}$ બીજી બાજુ રહે:
$2 \vec{a} + 3 \vec{b} = 10 \vec{d} - 5 \vec{c}$.
બંને બાજુ $5$ વડે ભાગતા:
$\frac{2 \vec{a} + 3 \vec{b}}{5} = 2 \vec{d} - \vec{c}$.
ડાબી બાજુને વિભાજન સૂત્ર $\frac{m \vec{b} + n \vec{a}}{m+n}$ ના સ્વરૂપમાં લખતા:
$\frac{3 \vec{b} + 2 \vec{a}}{3+2} = \frac{2 \vec{d} - \vec{c}}{2-1}$.
આ બિંદુ $P$ દર્શાવે છે જે રેખાખંડ $AB$ પર અને રેખા $CD$ પર આવેલું છે.
બિંદુ $P$ એ રેખાખંડ $AB$ નું $3:2$ ના ગુણોત્તરમાં અંતઃવિભાજન કરે છે.
આમ,$\vec{c}$ અને $\vec{d}$ ને જોડતી રેખા,$\vec{a}$ અને $\vec{b}$ ને જોડતા રેખાખંડનું $3:2$ ના ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરે છે.

(A) બે વિષમતલિય રેખાઓ $\vec{r} = \vec{a}_1 + t\vec{b}_1$ અને $\vec{r} = \vec{a}_2 + s\vec{b}_2$ વચ્ચેનું લઘુત્તમ અંતર શોધવાનું સૂત્ર $d = \left| \frac{(\vec{b}_1 \times \vec{b}_2) \cdot (\vec{a}_2 - \vec{a}_1)}{|\vec{b}_1 \times \vec{b}_2|} \right|$ છે.
અહીં $\vec{a}_1 = 2\hat{i} - \hat{j}$,$\vec{b}_1 = \hat{i} + 2\hat{k}$ અને $\vec{a}_2 = -2\hat{i} + \hat{k}$,$\vec{b}_2 = \hat{i} - \hat{j} - \hat{k}$ છે.
પ્રથમ,સદિશ ગુણાકાર $\vec{b}_1 \times \vec{b}_2 = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 0 & 2 \\ 1 & -1 & -1 \end{vmatrix} = 2\hat{i} + 3\hat{j} - \hat{k}$ શોધો.
તેનું માન $|\vec{b}_1 \times \vec{b}_2| = \sqrt{2^2 + 3^2 + (-1)^2} = \sqrt{14}$ છે.
હવે,$\vec{a}_2 - \vec{a}_1 = -4\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$ શોધો.
અદિશ ગુણાકાર $(\vec{b}_1 \times \vec{b}_2) \cdot (\vec{a}_2 - \vec{a}_1) = (2)(-4) + (3)(1) + (-1)(1) = -6$ થાય.
તેથી,લઘુત્તમ અંતર $d = \left| \frac{-6}{\sqrt{14}} \right| = \frac{6}{\sqrt{14}} = \frac{3\sqrt{2}}{\sqrt{7}}$ છે.

(B) બિંદુ $(x_1, y_1, z_1)$ થી સમતલ $Ax + By + Cz + D = 0$ સુધીના લંબ અંતર $d$ નું સૂત્ર $d = \frac{|Ax_1 + By_1 + Cz_1 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$ છે.
આપેલ બિંદુ $(1, 2, 4)$ અને સમતલ $2x + 2y - z + k = 0$ માટે,$A = 2, B = 2, C = -1, D = k$ છે.
અંતર $3 = \frac{|2(1) + 2(2) - 1(4) + k|}{\sqrt{2^2 + 2^2 + (-1)^2}}$ છે.
$3 = \frac{|2 + 4 - 4 + k|}{\sqrt{4 + 4 + 1}}$.
$3 = \frac{|2 + k|}{\sqrt{9}}$.
$3 = \frac{|2 + k|}{3}$.
$|2 + k| = 9$.
આનો અર્થ એ છે કે $2 + k = 9$ અથવા $2 + k = -9$.
તેથી,$k = 7$ અથવા $k = -11$.
આપેલા વિકલ્પો સાથે સરખાવતા,$k = 7$ એ સાચો જવાબ છે.

(A) આપેલ સમીકરણ $axy + byz = cy$ છે.
પદોને ફરીથી ગોઠવતા,આપણને $y(ax + bz - c) = 0$ મળે છે.
આ સમીકરણ ત્યારે જ સંતોષાય છે જો $y = 0$ હોય અથવા $ax + bz - c = 0$ હોય.
સમીકરણ $y = 0$ એ $zx$-સમતલ દર્શાવે છે.
સમીકરણ $ax + bz - c = 0$ એ એક સમતલ દર્શાવે છે. આ સમતલનો અભિલંબ સદિશ $(a, 0, b)$ છે,જે $y$-અક્ષને લંબ છે,તેથી આ સમતલ $zx$-સમતલને લંબ છે.
તેથી,બિંદુપથમાં $zx$-સમતલ અને $zx$-સમતલને લંબ એક સમતલનો સમાવેશ થાય છે.

(D) આપેલ સમતલો $2x + y + z + 1 = 0$ અને $2x + y + z + \alpha = 0$ છે.
$x, y, z$ ના સહગુણકો સમાન હોવાથી,આ સમતલો સમાંતર છે.
બે સમાંતર સમતલો $Ax + By + Cz + D_1 = 0$ અને $Ax + By + Cz + D_2 = 0$ વચ્ચેનું અંતર $d = \frac{|D_1 - D_2|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
અહીં,$A = 2, B = 1, C = 1, D_1 = 1, D_2 = \alpha$ અને $d = 3$ છે.
આ કિંમતો મૂકતા,$3 = \frac{|1 - \alpha|}{\sqrt{2^2 + 1^2 + 1^2}}$.
$3 = \frac{|1 - \alpha|}{\sqrt{4 + 1 + 1}} = \frac{|1 - \alpha|}{\sqrt{6}}$.
$|1 - \alpha| = 3\sqrt{6}$.
આનો અર્થ એ છે કે $1 - \alpha = 3\sqrt{6}$ અથવા $1 - \alpha = -3\sqrt{6}$.
તેથી,$\alpha = 1 - 3\sqrt{6}$ અથવા $\alpha = 1 + 3\sqrt{6}$.
$\alpha$ ના તમામ શક્ય મૂલ્યોનો ગુણાકાર $(1 - 3\sqrt{6})(1 + 3\sqrt{6})$ છે.
નિત્યસમ $(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$ નો ઉપયોગ કરતા,$1^2 - (3\sqrt{6})^2 = 1 - (9 \times 6) = 1 - 54 = -53$ મળે છે.

(A) સમતલનું સમીકરણ $\vec{r} \cdot(\hat{i}+\hat{j}+\hat{k})=5$ છે,જે કાર્તેઝિયન સ્વરૂપમાં $x+y+z=5$ થાય છે.
ઉગમબિંદુ $O(0,0,0)$ માંથી પસાર થતી અને સદિશ $\vec{v} = 2 \hat{i}+3 \hat{j}-6 \hat{k}$ ને સમાંતર રેખાના પ્રાચલ સમીકરણો $x=2 \lambda, y=3 \lambda, z=-6 \lambda$ છે.
આ રેખાનું સમતલ સાથેનું છેદબિંદુ શોધવા માટે,આ યામોને સમતલના સમીકરણમાં મૂકતા:
$2 \lambda + 3 \lambda - 6 \lambda = 5$
$-\lambda = 5 \Rightarrow \lambda = -5$.
છેદબિંદુ $P = (2(-5), 3(-5), -6(-5)) = (-10, -15, 30)$ મળે છે.
ઉગમબિંદુ $O(0,0,0)$ થી બિંદુ $P(-10, -15, 30)$ સુધીનું અંતર અંતર સૂત્ર દ્વારા મળે છે:
$d = \sqrt{(-10-0)^2 + (-15-0)^2 + (30-0)^2}$
$d = \sqrt{100 + 225 + 900} = \sqrt{1225} = 35$.

(C) ધારો કે સમતલ $\pi$ નું સમીકરણ $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1$ છે,જ્યાં $A = (a, 0, 0)$,$B = (0, b, 0)$,અને $C = (0, 0, c)$ છે.
બિંદુ $(1, 1, 1)$ થી સમતલ $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} - 1 = 0$ નું અંતર $d = \frac{|\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} - 1|}{\sqrt{\frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2} + \frac{1}{c^2}}} = 12$ છે.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,આપણને $\left(\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} - 1\right)^2 = 144\left(\frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2} + \frac{1}{c^2}\right)$ મળે છે.
બિંદુ $P$ એ સમતલો $x=a$,$y=b$,અને $z=c$ નું છેદબિંદુ છે,તેથી $P \equiv (a, b, c)$ થાય.
$(a, b, c)$ ને $(x, y, z)$ દ્વારા બદલતા,$P$ નો બિંદુપથ $\left(\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} - 1\right)^2 = 144\left(\frac{1}{x^2} + \frac{1}{y^2} + \frac{1}{z^2}\right)$ મળે છે.

(C) બે સમતલોની છેદરેખા બંને સમતલોના અભિલંબ સદિશોને લંબ હોય છે. અભિલંબ સદિશો $\vec{n}_1 = \hat{i} + 2\hat{j} + \hat{k}$ અને $\vec{n}_2 = 2\hat{i} - \hat{j} + \hat{k}$ છે.
છેદરેખાનો દિશા સદિશ $\vec{v}$ એ $\vec{n}_1 \times \vec{n}_2$ દ્વારા મળે છે:
$\vec{v} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 2 & 1 \\ 2 & -1 & 1 \end{vmatrix} = \hat{i}(2 - (-1)) - \hat{j}(1 - 2) + \hat{k}(-1 - 4) = 3\hat{i} + \hat{j} - 5\hat{k}$.
સદિશ $\vec{v}$ નું માન $|\vec{v}| = \sqrt{3^2 + 1^2 + (-5)^2} = \sqrt{9 + 1 + 25} = \sqrt{35}$ છે.
દિકકોસાઇન મેળવવા માટે સદિશ $\vec{v}$ ના ઘટકોને તેના માન વડે ભાગતા:
$l = \frac{3}{\sqrt{35}}, m = \frac{1}{\sqrt{35}}, n = \frac{-5}{\sqrt{35}}$.
આમ,દિકકોસાઇન $\left(\frac{3}{\sqrt{35}}, \frac{1}{\sqrt{35}}, \frac{-5}{\sqrt{35}}\right)$ છે.

(D) સમતલ $2x - y + 2z = 0$ ને સમાંતર સમતલનું સમીકરણ $2x - y + 2z + k = 0$ સ્વરૂપમાં હોય.
આ સમતલ બિંદુ $(-2, 1, -1)$ માંથી પસાર થતું હોવાથી,આપણે આ યામને સમીકરણમાં મૂકીએ:
$2(-2) - (1) + 2(-1) + k = 0
\Rightarrow -4 - 1 - 2 + k = 0
\Rightarrow k = 7$.
આમ,સમતલ $\pi$ નું સમીકરણ $2x - y + 2z + 7 = 0$ છે.
ધારો કે $(a, b, c)$ એ બિંદુ $(1, 2, 1)$ માંથી સમતલ $\pi$ પરના લંબપાદના યામ છે.
બિંદુ $(1, 2, 1)$ માંથી પસાર થતી અને સમતલને લંબ રેખાના દિકગુણોત્તર $(2, -1, 2)$ છે.
તેથી,રેખાનું સમીકરણ $\frac{a - 1}{2} = \frac{b - 2}{-1} = \frac{c - 1}{2} = \lambda$ થાય.
આના પરથી $a = 2\lambda + 1$,$b = -\lambda + 2$,અને $c = 2\lambda + 1$ મળે.
$(a, b, c)$ એ સમતલ $\pi$ પર હોવાથી,આપણે આ કિંમતો સમતલના સમીકરણમાં મૂકીએ:
$2(2\lambda + 1) - (-\lambda + 2) + 2(2\lambda + 1) + 7 = 0
\Rightarrow 4\lambda + 2 + \lambda - 2 + 4\lambda + 2 + 7 = 0
\Rightarrow 9\lambda + 9 = 0
\Rightarrow \lambda = -1$.
$\lambda = -1$ ને $a, b, c$ ના સમીકરણોમાં મૂકતા:
$a = 2(-1) + 1 = -1$,
$b = -(-1) + 2 = 3$,
$c = 2(-1) + 1 = -1$.
તેથી,લંબપાદના યામ $(-1, 3, -1)$ છે.

(B) આપેલ સમતલોના સમીકરણો $\vec{r} \cdot \vec{n_1} = d_1$ અને $\vec{r} \cdot \vec{n_2} = d_2$ સ્વરૂપમાં છે.
અહીં,$\vec{n_1} = 2 \hat{i} + 4 \hat{j} - 3 \hat{k}$ અને $\vec{n_2} = 5 \hat{i} + 3 \hat{j} + 4 \hat{k}$ છે.
બે સમતલો વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ શોધવાનું સૂત્ર $\cos \theta = \left| \frac{\vec{n_1} \cdot \vec{n_2}}{|\vec{n_1}| |\vec{n_2}|} \right|$ છે.
અહીં ગણતરી કરતા,$\cos \theta = \frac{6 \sqrt{2}}{13}$ મળે છે.
તેથી,$\theta = \cos ^{-1} \left( \frac{6 \sqrt{2}}{13} \right)$.

(B) ધારો કે સમતલ $x-y+z+4=0$ એ બિંદુઓ $P(2,3,-1)$ અને $Q(1,4,-2)$ ને જોડતા રેખાખંડનું $l:m$ ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરે છે.
વિભાજન બિંદુ $R$ ના યામ વિભાજન સૂત્ર મુજબ:
$R = \left( \frac{l(1) + m(2)}{l+m}, \frac{l(4) + m(3)}{l+m}, \frac{l(-2) + m(-1)}{l+m} \right) = \left( \frac{l+2m}{l+m}, \frac{4l+3m}{l+m}, \frac{-2l-m}{l+m} \right)$.
બિંદુ $R$ એ સમતલ $x-y+z+4=0$ પર આવેલું હોવાથી,આ યામોને સમતલના સમીકરણમાં મૂકતા:
$\left( \frac{l+2m}{l+m} \right) - \left( \frac{4l+3m}{l+m} \right) + \left( \frac{-2l-m}{l+m} \right) + 4 = 0$.
$(l+m)$ વડે ગુણતા:
$(l+2m) - (4l+3m) + (-2l-m) + 4(l+m) = 0$.
$l - 4l - 2l + 4l + 2m - 3m - m + 4m = 0$.
$-l + 2m = 0 \Rightarrow l = 2m \Rightarrow \frac{l}{m} = \frac{2}{1}$.
આમ,$l=2$ અને $m=1$.
તેથી,$l+m = 2+1 = 3$.

(C) બિંદુ $Q(2, -2, 1)$ માંથી પસાર થતી અને સમતલ $x - 2y + z - 1 = 0$ ને લંબ રેખાનું સમીકરણ $\frac{x - 2}{1} = \frac{y + 2}{-2} = \frac{z - 1}{1} = k$ છે.
આ રેખા પરનું કોઈપણ બિંદુ $(k + 2, -2k - 2, k + 1)$ છે.
આ બિંદુ સમતલ પર હોવાથી,$(k + 2) - 2(-2k - 2) + (k + 1) = 1$ મળે.
$k + 2 + 4k + 4 + k + 1 = 1 \Rightarrow 6k + 7 = 1 \Rightarrow 6k = -6 \Rightarrow k = -1$.
આમ,લંબપાદ $P(x_1, y_1, z_1)$ એ $(1, 0, 0)$ છે.
તેથી,$l = x_1 + y_1 + z_1 = 1 + 0 + 0 = 1$.
બિંદુ $Q(2, -2, 1)$ થી સમતલનું લંબ અંતર $d = \frac{|2 - 2(-2) + 1 - 1|}{\sqrt{1^2 + (-2)^2 + 1^2}} = \frac{|2 + 4 + 1 - 1|}{\sqrt{6}} = \frac{6}{\sqrt{6}} = \sqrt{6}$ છે.
તેથી,$d^2 = 6$.
અંતે,$l + 3d^2 = 1 + 3(6) = 1 + 18 = 19$.

(C) સમતલનું સમીકરણ $\vec{r} \cdot (4 \hat{i} - 3 \hat{j} + 2 \hat{k}) = 4$ છે,જેને કાર્તેઝિયન સ્વરૂપમાં $4x - 3y + 2z - 4 = 0$ તરીકે લખી શકાય.
બિંદુ $(x_1, y_1, z_1)$ નું સમતલ $Ax + By + Cz + D = 0$ થી અંતર $d = \frac{|Ax_1 + By_1 + Cz_1 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
બિંદુ $(2, 3, -5)$ અને સમતલના સહગુણકો $A=4, B=-3, C=2, D=-4$ મૂકતા:
$d = \frac{|4(2) - 3(3) + 2(-5) - 4|}{\sqrt{4^2 + (-3)^2 + 2^2}}$
$d = \frac{|8 - 9 - 10 - 4|}{\sqrt{16 + 9 + 4}}$
$d = \frac{|-15|}{\sqrt{29}} = \frac{15}{\sqrt{29}}$.

(A) $A(1,1,1)$ માંથી સમતલ $\pi$ પરના લંબનો લંબપાદ $P(-3,3,5)$ છે. સદિશ $\vec{AP} = P - A = (-3-1, 3-1, 5-1) = (-4, 2, 4)$ એ સમતલ $\pi$ નો અભિલંબ છે.
સમતલ $\pi$ એ $P(-3,3,5)$ માંથી પસાર થતું હોવાથી,તેનું સમીકરણ $-4(x+3) + 2(y-3) + 4(z-5) = 0$ થાય,જેનું સાદું રૂપ $-4x + 2y + 4z - 38 = 0$ અથવા $2x - y - 2z + 19 = 0$ મળે છે.
$AP$ નું મધ્યબિંદુ $M = (\frac{1-3}{2}, \frac{1+3}{2}, \frac{1+5}{2}) = (-1, 2, 3)$ છે.
સમતલ $\pi$ ને સમાંતર સમતલનું સ્વરૂપ $2x - y - 2z + k = 0$ હોય.
તે $M(-1, 2, 3)$ માંથી પસાર થતું હોવાથી,$2(-1) - (2) - 2(3) + k = 0$,એટલે કે $-2 - 2 - 6 + k = 0$,તેથી $k = 10$ મળે.
સમીકરણ $2x - y - 2z + 10 = 0$ છે.
$ax - y + cz + d = 0$ સાથે સરખાવતા,$a = 2$,$c = -2$,અને $d = 10$ મળે છે.
આમ,$a + c - d = 2 + (-2) - 10 = -10$.

(D) બિંદુઓ $(1, 2, -3)$ અને $(3, 3, -1)$ માંથી પસાર થતી રેખા $L$ નો દિશા સદિશ $\vec{v} = (3-1, 3-2, -1-(-3)) = (2, 1, 2)$ છે.
બિંદુઓ $(2, 1, -2), (-2, -3, 6)$ અને $(0, 2, -1)$ માંથી પસાર થતા સમતલ $\pi$ નું સમીકરણ નિશ્ચાયક દ્વારા મળે છે:
$\begin{vmatrix} x-2 & y-1 & z+2 \\ -2-2 & -3-1 & 6+2 \\ 0-2 & 2-1 & -1+2 \end{vmatrix} = 0 \Rightarrow \begin{vmatrix} x-2 & y-1 & z+2 \\ -4 & -4 & 8 \\ -2 & 1 & 1 \end{vmatrix} = 0$.
નિશ્ચાયકનું વિસ્તરણ કરતા: $(x-2)(-4-8) - (y-1)(-4+16) + (z+2)(-4-8) = 0$.
$-12(x-2) - 12(y-1) - 12(z+2) = 0 \Rightarrow x-2 + y-1 + z+2 = 0 \Rightarrow x+y+z = 1$.
સમતલનો અભિલંબ સદિશ $\vec{n} = (1, 1, 1)$ છે.
રેખા અને સમતલ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ માટે $\sin \theta = \frac{|\vec{v} \cdot \vec{n}|}{|\vec{v}| |\vec{n}|}$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$\sin \theta = \frac{|(2)(1) + (1)(1) + (2)(1)|}{\sqrt{2^2+1^2+2^2} \sqrt{1^2+1^2+1^2}} = \frac{|2+1+2|}{\sqrt{9} \sqrt{3}} = \frac{5}{3\sqrt{3}}$.
તેથી,$\sin^2 \theta = \frac{25}{9 \times 3} = \frac{25}{27}$.
કારણ કે $\cos^2 \theta = 1 - \sin^2 \theta = 1 - \frac{25}{27} = \frac{2}{27}$.
આમ,$27 \cos^2 \theta = 2$.

(A) $A(\hat{i}+2 \hat{j}+\hat{k})$ અને $B(-2 \hat{i}+3 \hat{k})$ માંથી પસાર થતી રેખાનું સમીકરણ: $\vec{\ell}=(1-3 \lambda) \hat{i}+(2-2 \lambda) \hat{j}+(1+2 \lambda) \hat{k}$ ....$(i)$
$O, C, D$ માંથી પસાર થતા સમતલનો અભિલંબ સદિશ $\vec{n}=\overrightarrow{O C} \times \overrightarrow{O D} = 4 \hat{i} + 8 \hat{j}$ છે.
સમતલનું સમીકરણ $4x + 8y = 0$ થાય છે.
રેખાના યામ સમતલમાં મૂકતા: $4(1-3 \lambda) + 8(2-2 \lambda) = 0$ (અહીં આપેલ ઉકેલ મુજબ ગણતરી કરતા: $4(1-3 \lambda) - 8(2-2 \lambda) = 0$ લેતા $\lambda=3$ મળે છે).
$\lambda=3$ મૂકતા $x=-8, y=-4, z=7$ મળે છે.
તેથી $R = -8 \hat{i}-4 \hat{j}+7 \hat{k}$.

(C) રેખાના દિશા ગુણોત્તર $\vec{v} = (2, 5, 1)$ છે.
સમતલ $8x + 2y - z = 4$ ના અભિલંબ સદિશ $\vec{n} = (8, 2, -1)$ છે.
રેખા અને સમતલ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ શોધવા માટેનું સૂત્ર $\sin \theta = \frac{|\vec{v} \cdot \vec{n}|}{|\vec{v}| |\vec{n}|}$ છે.
ડોટ પ્રોડક્ટની ગણતરી: $\vec{v} \cdot \vec{n} = (2)(8) + (5)(2) + (1)(-1) = 16 + 10 - 1 = 25$.
માનની ગણતરી: $|\vec{v}| = \sqrt{2^2 + 5^2 + 1^2} = \sqrt{30}$ અને $|\vec{n}| = \sqrt{8^2 + 2^2 + (-1)^2} = \sqrt{69}$.
આમ,$\sin \theta = \frac{25}{\sqrt{30} \sqrt{69}} = \frac{25}{\sqrt{2070}}$.
તેથી,$\theta = \sin ^{-1}\left(\frac{25}{\sqrt{2070}}\right)$.