AP EAMCET 2022 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(D) $n \rightarrow \infty$ માટે:
કારણ કે $2-\sqrt{2} < 1$,તેથી $\lim _{n \rightarrow \infty} (2-\sqrt{2})^n = 0$.
અંશ અને છેદને $(2+\sqrt{2})^n$ વડે ભાગતા:
$= \lim _{n}$ ${\rightarrow \infty} \sqrt{2} \left[ \frac{1 + \left( \frac{2-\sqrt{2}}{2+\sqrt{2}} \right)^n}{1 - \left( \frac{2-\sqrt{2}}{2+\sqrt{2}} \right)^n} \right] = \sqrt{2} \left[ \frac{1+0}{1-0} \right] = \sqrt{2}$.

(A) કિસ્સો $1$: જ્યારે $x < 0$,ત્યારે $n \rightarrow \infty$ માટે $nx \rightarrow -\infty$. તેથી,$e^{nx} \rightarrow 0$. લક્ષ $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{A+0}{x+A(0)} = \frac{A}{x}$ થાય છે.
કિસ્સો $2$: જ્યારે $x > 0$,ત્યારે $n \rightarrow \infty$ માટે $nx \rightarrow \infty$. તેથી,$e^{nx} \rightarrow \infty$. અંશ અને છેદને $e^{nx}$ વડે ભાગતા,આપણને $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{A/e^{nx} + 1}{x/e^{nx} + A} = \frac{0+1}{0+A} = \frac{1}{A}$ મળે છે (ધારો કે $A \neq 0$).

(A) $k = \lim _{x \rightarrow 0^{+}} x^2 \left( \frac{e^{1/x} - e^{-1/x}}{e^{1/x} + e^{-1/x}} \right)$ માટે,$t = 1/x$ લો. જેમ $x \rightarrow 0^{+}$,તેમ $t \rightarrow \infty$.
$k = \lim _{t \rightarrow \infty} \frac{1}{t^2} \left( \frac{e^t - e^{-t}}{e^t + e^{-t}} \right) = \lim _{t \rightarrow \infty} \frac{1}{t^2} \left( \frac{1 - e^{-2t}}{1 + e^{-2t}} \right) = 0 \times 1 = 0$.
$l = \lim _{x \rightarrow 0^{-}} x^2 \left( \frac{e^{1/x} - e^{-1/x}}{e^{1/x} + e^{-1/x}} \right)$ માટે,$y = 1/x$ લો. જેમ $x \rightarrow 0^{-}$,તેમ $y \rightarrow -\infty$.
$l = \lim _{y \rightarrow -\infty} \frac{1}{y^2} \left( \frac{e^y - e^{-y}}{e^y + e^{-y}} \right) = \lim _{y \rightarrow -\infty} \frac{1}{y^2} \left( \frac{e^{2y} - 1}{e^{2y} + 1} \right) = 0 \times (-1) = 0$.
તેથી,$k = l = 0$.

(D) $\lim_{x \rightarrow 0^+} f(x)$ શોધવા માટે,ધારો કે $x \rightarrow 0^+$,તો $\frac{1}{x} \rightarrow \infty$.
તેથી,$\lim_{x \rightarrow 0^+} \frac{e^{1/x} - 1}{e^{1/x} + 1} = \lim_{x \rightarrow 0^+} \frac{1 - e^{-1/x}}{1 + e^{-1/x}} = \frac{1 - 0}{1 + 0} = 1$.
$\lim_{x \rightarrow 0^-} f(x)$ શોધવા માટે,ધારો કે $x \rightarrow 0^-$,તો $\frac{1}{x} \rightarrow -\infty$.
તેથી,$\lim_{x \rightarrow 0^-} \frac{e^{1/x} - 1}{e^{1/x} + 1} = \frac{0 - 1}{0 + 1} = -1$.
ડાબી બાજુની લક્ષ અને જમણી બાજુની લક્ષ સમાન ન હોવાથી,$\lim_{x \rightarrow 0} f(x)$ અસ્તિત્વ ધરાવતું નથી.
$\lim_{x \rightarrow \infty} f(x)$ માટે,$\frac{1}{x} \rightarrow 0$,તેથી $\lim_{x \rightarrow \infty} f(x) = \frac{e^0 - 1}{e^0 + 1} = \frac{1 - 1}{1 + 1} = 0$.
તેથી,વિકલ્પ $D$ સાચો છે.

(C) ધારો કે $L = \lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{a + b^{1 / n} - 1}{a}\right)^n$.
બંને બાજુ પ્રાકૃતિક લઘુગણક લેતા:
$\ln L = \lim _{n \rightarrow \infty} n \ln \left(1 + \frac{b^{1 / n} - 1}{a}\right)$.
લક્ષના સૂત્ર $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\ln(1 + x)}{x} = 1$ નો ઉપયોગ કરતા,ધારો કે $x = \frac{b^{1 / n} - 1}{a}$. જેમ $n \rightarrow \infty$,તેમ $x \rightarrow 0$.
$\ln L = \lim _{n \rightarrow \infty} n \cdot \left(\frac{b^{1 / n} - 1}{a}\right) \cdot \frac{\ln(1 + x)}{x} = \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{n}{a} (b^{1 / n} - 1)$.
ધારો કે $t = 1/n$. જેમ $n \rightarrow \infty$,તેમ $t \rightarrow 0$.
$\ln L = \frac{1}{a} \lim _{t \rightarrow 0} \frac{b^t - 1}{t}$.
કારણ કે $\lim _{t \rightarrow 0} \frac{b^t - 1}{t} = \ln b$,તેથી આપણને મળે છે:
$\ln L = \frac{1}{a} \ln b = \ln(b^{1 / a})$.
તેથી,$L = b^{1 / a}$.

(B) ધારો કે $L = \lim _{x \rightarrow 0}\left(\frac{e^x-1}{x}\right)^{\frac{x}{x+1-e^x}}$.
અહીં $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{e^x-1}{x} = 1$ અને ઘાત $\frac{x}{x+1-e^x} \to \infty$ થાય છે,તેથી આ $1^\infty$ પ્રકારનું અનિશ્ચિત સ્વરૂપ છે.
આપણે સૂત્ર $\lim _{x \to a} f(x)^{g(x)} = e^{\lim _{x \to a} g(x)(f(x)-1)}$ નો ઉપયોગ કરીશું.
$L = e^{\lim _{x \to 0} \left( \frac{x}{x+1-e^x} \right) \left( \frac{e^x-1}{x} - 1 \right)}$.
$L = e^{\lim _{x \to 0} \left( \frac{x}{x+1-e^x} \right) \left( \frac{e^x-1-x}{x} \right)}$.
$L = e^{\lim _{x \to 0} \frac{e^x-1-x}{x+1-e^x}}$.
$L = e^{\lim _{x \to 0} \frac{-(x+1-e^x)}{x+1-e^x}} = e^{-1}$.

(D) આપેલ છે,$f(x) = \lim_{y \rightarrow \infty} y(x^{1/y} - 1)$.
પ્રથમ,આપણે $f(x)$ ને સરળ બનાવીએ:
$f(x) = \lim_{y \rightarrow \infty} \frac{x^{1/y} - 1}{1/y}$.
ધારો કે $t = 1/y$. જેમ $y \rightarrow \infty$,તેમ $t \rightarrow 0^+$.
$f(x) = \lim_{t \rightarrow 0} \frac{x^t - 1}{t}$.
પ્રમાણિત લક્ષ $\lim_{t \rightarrow 0} \frac{a^t - 1}{t} = \ln(a)$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $f(x) = \ln(x)$ મળે છે.
હવે,$f(x) = \ln(x)$ ને આપેલ સમીકરણ $2022 f(\frac{1}{x}) + P f(x) = f(x^2)$ માં મૂકતા:
$2022 \ln(\frac{1}{x}) + P \ln(x) = \ln(x^2)$.
કારણ કે $\ln(\frac{1}{x}) = -\ln(x)$ અને $\ln(x^2) = 2 \ln(x)$:
$2022(-\ln(x)) + P \ln(x) = 2 \ln(x)$.
$-2022 \ln(x) + P \ln(x) = 2 \ln(x)$.
$\ln(x)$ વડે ભાગતા ($x \neq 1$ માટે):
$-2022 + P = 2$.
$P = 2024$.

(A) ધારો કે $a_r = \frac{r+2}{r(r+1)(r+3)}$. આંશિક અપૂર્ણાંકનો ઉપયોગ કરીને,આપણે મેળવીએ છીએ કે $a_r = \frac{2}{3r} - \frac{1}{2(r+1)} - \frac{1}{6(r+3)}$.
સરવાળો $S_n$ ની મર્યાદા $n \rightarrow \infty$ લેતા,આપણને $\frac{29}{36}$ મળે છે.

(A) માહિતીનો વિસ્તાર એ સૌથી મોટી કિંમત અને સૌથી નાની કિંમત વચ્ચેનો તફાવત છે.
આપેલ માહિતી: $35, 12, 21, 24, 15, 7, 16, 12, 30, 32, 13, 17$.
સૌથી મોટી કિંમત = $35$.
સૌથી નાની કિંમત = $7$.
વિસ્તાર = $\text{સૌથી મોટી કિંમત} - \text{સૌથી નાની કિંમત} = 35 - 7 = 28$.

(B) પગલું $1$: મધ્યક $(\bar{x})$ શોધો:
$\bar{x} = \frac{5+6+7+8+6+9+13+12+15}{9} = \frac{81}{9} = 9$
પગલું $2$: સૂત્ર $\frac{\sum |x_i - \bar{x}|}{N}$ નો ઉપયોગ કરીને મધ્યક સાપેક્ષ સરેરાશ વિચલન શોધો:
$|5-9| + |6-9| + |7-9| + |8-9| + |6-9| + |9-9| + |13-9| + |12-9| + |15-9|$
$= 4 + 3 + 2 + 1 + 3 + 0 + 4 + 3 + 6 = 26$
પગલું $3$: કુલ અવલોકનોની સંખ્યા $(N=9)$ વડે ભાગાકાર કરો:
$\text{સરેરાશ વિચલન} = \frac{26}{9} \approx 2.88$

(B) માહિતી $p, 6, 6, 7, 8, 11, 15, 16$ નો મધ્યક $\bar{x} = \frac{p + 6 + 6 + 7 + 8 + 11 + 15 + 16}{8} = \frac{p + 69}{8}$ છે.
આપેલ છે કે મધ્યક $3p$ છે,તેથી $\frac{p + 69}{8} = 3p$.
$p + 69 = 24p$ $\Rightarrow 23p = 69$ $\Rightarrow p = 3$.
આમ,માહિતી $3, 6, 6, 7, 8, 11, 15, 16$ છે અને મધ્યક $\bar{x} = 3 \times 3 = 9$ છે.
મધ્યકથી સરેરાશ વિચલન $M.D. = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n |x_i - \bar{x}|$ દ્વારા મળે છે.
$M.D. = \frac{|3-9| + |6-9| + |6-9| + |7-9| + |8-9| + |11-9| + |15-9| + |16-9|}{8}$.
$M.D. = \frac{6 + 3 + 3 + 2 + 1 + 2 + 6 + 7}{8} = \frac{30}{8} = 3.75$.

(D) સૌ પ્રથમ,દરેક વર્ગ અંતરાલ માટે મધ્ય-કિંમતો $(x_i)$ શોધો:
$0-20: 10$
$20-40: 30$
$40-60: 50$
$60-80: 70$
$80-100: 90$
મધ્યક $(\bar{x})$ ની ગણતરી કરો:
$\bar{x} = \frac{\Sigma f_i x_i}{\Sigma f_i} = \frac{(10 \times 10) + (8 \times 30) + (12 \times 50) + (9 \times 70) + (11 \times 90)}{10+8+12+9+11} = \frac{100+240+600+630+990}{50} = \frac{2560}{50} = 51.2$
હવે,સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને મધ્યક સાપેક્ષ સરેરાશ વિચલન શોધો: $\text{M.D.}(\bar{x}) = \frac{\Sigma f_i |x_i - \bar{x}|}{\Sigma f_i}$
$\Sigma f_i |x_i - 51.2| = 10|10-51.2| + 8|30-51.2| + 12|50-51.2| + 9|70-51.2| + 11|90-51.2|$
$= 10(41.2) + 8(21.2) + 12(1.2) + 9(18.8) + 11(38.8)$
$= 412 + 169.6 + 14.4 + 169.2 + 426.8 = 1192$
$\text{M.D.}(\bar{x}) = \frac{1192}{50} = 23.84$

(C) $4$ ના પ્રથમ $10$ ગુણકો $4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40$ છે.
ધારો કે $X = 4i$ જ્યાં $i = 1, 2, \dots, 10$.
પ્રથમ $n$ પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓનું પ્રમાણિત વિચલન $\sigma_n = \sqrt{\frac{n^2 - 1}{12}}$ છે.
દરેક પદને $4$ વડે ગુણવામાં આવતા,ગુણકોનું પ્રમાણિત વિચલન $4 \times \sigma_{10}$ થશે.
$\sigma_{10} = \sqrt{\frac{10^2 - 1}{12}} = \sqrt{\frac{99}{12}} = \sqrt{8.25}$.
પ્રમાણિત વિચલન $= 4 \times \sqrt{8.25} = \sqrt{16 \times 8.25} = \sqrt{132} \approx 11.489 \approx 11.5$.

(B) આપેલ ડેટા $6, 3, 4, 9, 2, 7, 11$ છે.
પ્રથમ,ડેટાને ચડતા ક્રમમાં ગોઠવો: $2, 3, 4, 6, 7, 9, 11$.
અહીં કુલ $n = 7$ અવલોકનો છે,જે એકી સંખ્યા છે.
મધ્યસ્થ $M$ એ $\left(\frac{n+1}{2}\right)^{th}$ અવલોકન છે,જે $4^{th}$ અવલોકન છે.
તેથી,$M = 6$.
મધ્યસ્થની સાપેક્ષ સરેરાશ વિચલન $\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} |x_i - M|$ દ્વારા મળે છે.
સરેરાશ વિચલન $= \frac{1}{7} [|2-6| + |3-6| + |4-6| + |6-6| + |7-6| + |9-6| + |11-6|]$.
સરેરાશ વિચલન $= \frac{1}{7} [|-4| + |-3| + |-2| + 0 + |1| + |3| + |5|]$.
સરેરાશ વિચલન $= \frac{1}{7} [4 + 3 + 2 + 0 + 1 + 3 + 5] = \frac{18}{7} \approx 2.57$.

(A) સૌ પ્રથમ,આપણે સંચયી આવૃત્તિ $(cf)$ અને મધ્યસ્થ $(M)$ ની ગણતરી કરીએ છીએ:

$x_i$	$f_i$	$cf$	$|x_i - M|$	$f_i|x_i - M|$
$10$	$6$	$6$	$|10-12|=2$	$12$
$11$	$12$	$18$	$|11-12|=1$	$12$
$12$	$18$	$36$	$|12-12|=0$	$0$
$13$	$12$	$48$	$|13-12|=1$	$12$

કુલ આવૃત્તિ $N = \sum f_i = 6 + 12 + 18 + 12 = 48$.
મધ્યસ્થ એ $\frac{N}{2} = \frac{48}{2} = 24$ માં અવલોકનને અનુરૂપ કિંમત છે. $cf$ કોલમ જોતા,$24$ મું અવલોકન $x = 12$ વાળા વર્ગમાં આવે છે. તેથી,$M = 12$.
મધ્યસ્થથી સરેરાશ વિચલન નીચે મુજબ છે:
$MD = \frac{\sum f_i|x_i - M|}{N} = \frac{12 + 12 + 0 + 12}{48} = \frac{36}{48} = 0.75$.

(A) આપેલ માહિતી $n = 101$ પદો ધરાવતી સમાંતર શ્રેણી છે,જ્યાં પ્રથમ પદ $a = 1$ અને સામાન્ય તફાવત $d$ છે.
મધ્યક $\bar{x} = \frac{1}{101} \sum_{i=0}^{100} (1 + id) = 1 + \frac{d}{101} \times \frac{100 \times 101}{2} = 1 + 50d$.
મધ્યકથી સરેરાશ વિચલન $MD = \frac{1}{n} \sum_{i=0}^{100} |x_i - \bar{x}|$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$MD = \frac{1}{101} \sum_{i=0}^{100} |(1 + id) - (1 + 50d)| = \frac{d}{101} \sum_{i=0}^{100} |i - 50|$.
સરવાળો $\sum_{i=0}^{100} |i - 50| = 50 + 49 + \ldots + 0 + \ldots + 50 = 2550$.
$MD = 255$ આપેલ હોવાથી,$255 = \frac{d}{101} \times 2550$.
$d = \frac{255 \times 101}{2550} = 10.1$.

(C) આપેલ છે કે,અવલોકનોની સંખ્યા $n = 20$,$\sum x_i = 1000$,અને $\sum x_i^2 = 84000$.
મધ્યક $\overline{x} = \frac{\sum x_i}{n} = \frac{1000}{20} = 50$.
વિચરણ $\sigma^2$ શોધવાનું સૂત્ર:
$\sigma^2 = \frac{1}{n} \sum x_i^2 - (\overline{x})^2$.
કિંમતો મૂકતા:
$\sigma^2 = \frac{84000}{20} - (50)^2$.
$\sigma^2 = 4200 - 2500$.
$\sigma^2 = 1700$.

(A) ધારો કે મૂળ સંખ્યાઓ $w, x, y, z$ છે અને તેમનું વિચરણ $\sigma^2 = 9$ છે.
સંખ્યાઓના સમૂહનું વિચરણ $\text{Var}(X) = E[X^2] - (E[X])^2$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે.
જો દરેક સંખ્યાને અચળાંક $k$ વડે ગુણવામાં આવે,તો નવું વિચરણ $\text{Var}(kX) = k^2 \text{Var}(X)$ ગુણધર્મ દ્વારા મળે છે.
અહીં,$k = 5$ અને $\text{Var}(X) = 9$ છે.
તેથી,નવું વિચરણ $5^2 \times 9 = 25 \times 9 = 225$ થાય.

(C) આપણે જાણીએ છીએ કે બહિર ત્રિજ્યાઓ $r_1 = \frac{\Delta}{s-a}$,$r_2 = \frac{\Delta}{s-b}$,અને $r_3 = \frac{\Delta}{s-c}$ છે.
વળી,$\cot \frac{A}{2} = \frac{s(s-a)}{\Delta}$ છે.
આ કિંમતો પદાવલિમાં મૂકતા:
$r_1 \cot \frac{A}{2} + r_2 \cot \frac{B}{2} + r_3 \cot \frac{C}{2} = \left( \frac{\Delta}{s-a} \cdot \frac{s(s-a)}{\Delta} \right) + \left( \frac{\Delta}{s-b} \cdot \frac{s(s-b)}{\Delta} \right) + \left( \frac{\Delta}{s-c} \cdot \frac{s(s-c)}{\Delta} \right)$
$= s + s + s = 3s$.

(B) આપણે જાણીએ છીએ કે $r = (s-a) \tan(A/2) = (s-b) \tan(B/2) = (s-c) \tan(C/2)$ અને $r_1 = s \tan(A/2)$,$r_2 = s \tan(B/2)$,$r_3 = s \tan(C/2)$.
તેથી,$r_1 - r = s \tan(A/2) - (s-a) \tan(A/2) = a \tan(A/2)$.
આમ,$\frac{r_1-r}{a} = \tan(A/2)$.
તે જ રીતે,$\frac{r_2-r}{b} = \tan(B/2)$ અને $\frac{r_3-r}{c} = \tan(C/2)$.
આ કિંમતો પદાવલિમાં મૂકતા,આપણને $s[\tan(A/2) + \tan(B/2) + \tan(C/2)]$ મળે છે.
કારણ કે $r_1 = s \tan(A/2)$,$r_2 = s \tan(B/2)$,અને $r_3 = s \tan(C/2)$,તેથી આ પદાવલિ $r_1 + r_2 + r_3$ બને છે.

(A) સાઇનના નિયમનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{\sin A}{a} = \frac{\sin B}{b}$.
આપેલ છે: $a=7, b=6, A=120^{\circ}$.
$\sin B = \frac{b \sin A}{a} = \frac{6 \sin 120^{\circ}}{7}$.
કારણ કે $\sin 120^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 0.866$.
$\sin B = \frac{6 \times 0.866}{7} = \frac{5.196}{7} \approx 0.7423$.
$B = \arcsin(0.7423) \approx 47.9^{\circ}$.

(C) સાઇન નિયમનો ઉપયોગ કરતા,$a = k \sin A$ અને $b = k \sin B$ મળે.
આ કિંમતો પદાવલિમાં મૂકતા:
$\frac{a-b}{a+b} = \frac{k \sin A - k \sin B}{k \sin A + k \sin B} = \frac{\sin A - \sin B}{\sin A + \sin B}$
સરવાળા-ગુણાકારના સૂત્રોનો ઉપયોગ કરતા:
$= \frac{2 \cos \left(\frac{A+B}{2}\right) \sin \left(\frac{A-B}{2}\right)}{2 \sin \left(\frac{A+B}{2}\right) \cos \left(\frac{A-B}{2}\right)}$
$= \cot \left(\frac{A+B}{2}\right) \tan \left(\frac{A-B}{2}\right)$
કારણ કે $A+B+C = 180^{\circ}$,તેથી $\frac{A+B}{2} = 90^{\circ} - \frac{C}{2}$.
તેથી,$\cot \left(\frac{A+B}{2}\right) = \cot \left(90^{\circ} - \frac{C}{2}\right) = \tan \frac{C}{2}$.
આમ,$\frac{a-b}{a+b} = \tan \frac{C}{2} \tan \left(\frac{A-B}{2}\right)$.

(D) આપેલ સમીકરણો:
$3 \sin A + 4 \cos B = 6$ ... $(i)$
$4 \sin B + 3 \cos A = 1$ ... (ii)
બંને સમીકરણોનો વર્ગ કરીને સરવાળો કરતા:
$(3 \sin A + 4 \cos B)^2 + (4 \sin B + 3 \cos A)^2 = 6^2 + 1^2$
$(9 \sin^2 A + 16 \cos^2 B + 24 \sin A \cos B) + (16 \sin^2 B + 9 \cos^2 A + 24 \sin B \cos A) = 37$
$9(\sin^2 A + \cos^2 A) + 16(\sin^2 B + \cos^2 B) + 24(\sin A \cos B + \cos A \sin B) = 37$
$9(1) + 16(1) + 24 \sin(A + B) = 37$
$25 + 24 \sin(A + B) = 37$
$24 \sin(A + B) = 12$
$\sin(A + B) = \frac{1}{2}$
$A+B+C = \pi$ હોવાથી,$\sin(A+B) = \sin(\pi - C) = \sin C$.
તેથી,$\sin C = \frac{1}{2}$.
ત્રિકોણના ખૂણાઓ માટે,$C = \frac{\pi}{6}$ અથવા $\frac{5\pi}{6}$ મળે.
પરંતુ,જો $C = \frac{5\pi}{6}$ હોય તો $A+B = \frac{\pi}{6}$ થાય,જે આપેલ સમીકરણોનું સમાધાન કરતું નથી.
તેથી,$C = \frac{\pi}{6}$.

(A) આપેલ છે: $a=2, b=3, \sin A=\frac{2}{3}$.
સાઇનના નિયમ મુજબ: $\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B}$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{2}{2/3} = \frac{3}{\sin B}$.
$\Rightarrow 3 = \frac{3}{\sin B}$.
$\Rightarrow \sin B = 1$.
તેથી,$B = \frac{\pi}{2}$.

(A) આપેલ બાજુઓ $a=4, b=5, c=7$ છે.
પ્રથમ,અર્ધ-પરિમિતિ $s$ શોધો:
$s = \frac{a+b+c}{2} = \frac{4+5+7}{2} = \frac{16}{2} = 8$.
$\sin \left(\frac{A}{2}\right)$ માટેનું સૂત્ર છે:
$\sin \left(\frac{A}{2}\right) = \sqrt{\frac{(s-b)(s-c)}{bc}}$.
કિંમતો મૂકતા:
$\sin \left(\frac{A}{2}\right) = \sqrt{\frac{(8-5)(8-7)}{5 \times 7}} = \sqrt{\frac{3 \times 1}{35}} = \sqrt{\frac{3}{35}}$.

(B) સાઇન નિયમ મુજબ,$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R$.
$\sin A = 2 \sin \frac{A}{2} \cos \frac{A}{2}$ નિત્યસમનો ઉપયોગ કરતા,$\sin \frac{A}{2} = \sqrt{\frac{(s-b)(s-c)}{bc}}$ મળે છે,જ્યાં $s$ એ અર્ધ-પરિમિતિ છે.
$AM$-$GM$ અસમતા મુજબ,$\sqrt{(s-b)(s-c)} \leq \frac{(s-b)+(s-c)}{2} = \frac{a}{2}$.
તેથી,$\sin \frac{A}{2} = \frac{\sqrt{(s-b)(s-c)}}{\sqrt{bc}} \leq \frac{a}{2 \sqrt{bc}}$.
આમ,$\sin \frac{A}{2} \leq \frac{a}{2 \sqrt{bc}}$.

(A) આપેલ બાજુઓ $a=13, b=14, c=15$ છે.
અર્ધ-પરિમિતિ $s = \frac{a+b+c}{2} = \frac{13+14+15}{2} = \frac{42}{2} = 21$.
સૂત્ર $\sin(\frac{A}{2}) = \sqrt{\frac{(s-b)(s-c)}{bc}}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$s-b = 21-14 = 7$
$s-c = 21-15 = 6$
$\sin(\frac{A}{2}) = \sqrt{\frac{7 \times 6}{14 \times 15}} = \sqrt{\frac{42}{210}} = \sqrt{\frac{1}{5}} = \frac{1}{\sqrt{5}}$.

(A) આપેલ છે,ત્રિકોણ $ABC$ માં,આપણે $\frac{a \cos A - b \cos B}{a \cos B - b \cos A} + \cos C$ ની કિંમત શોધવાની છે.
સાઇન નિયમનો ઉપયોગ કરતા,$a = 2R \sin A$ અને $b = 2R \sin B$.
આ કિંમતો મૂકતા:
$= \frac{2R \sin A \cos A - 2R \sin B \cos B}{2R \sin A \cos B - 2R \sin B \cos A} + \cos C$
$= \frac{\sin 2A - \sin 2B}{2(\sin A \cos B - \sin B \cos A)} + \cos C$
$\sin 2A - \sin 2B = 2 \sin(A - B) \cos(A + B)$ અને $\sin(A - B) = \sin A \cos B - \sin B \cos A$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$= \frac{2 \sin(A - B) \cos(A + B)}{2 \sin(A - B)} + \cos C$
$= \cos(A + B) + \cos C$
કારણ કે $A + B = \pi - C$,તેથી $\cos(A + B) = \cos(\pi - C) = -\cos C$.
$= -\cos C + \cos C = 0$.

(D) આપેલ છે કે,ત્રિકોણ $ABC$ માં $a=2$,$b=3$ અને $c=4$ છે.
અર્ધ-પરિમિતિ $s = \frac{a+b+c}{2} = \frac{2+3+4}{2} = 4.5$.
$\tan \left(\frac{A}{2}\right)$ માટેનું સૂત્ર $\sqrt{\frac{(s-b)(s-c)}{s(s-a)}}$ છે.
કિંમતો મૂકતા:
$\tan \left(\frac{A}{2}\right) = \sqrt{\frac{(4.5-3)(4.5-4)}{4.5(4.5-2)}}$
$= \sqrt{\frac{1.5 \times 0.5}{4.5 \times 2.5}}$
$= \sqrt{\frac{0.75}{11.25}} = \sqrt{\frac{1}{15}}$.

(C) આપેલ છે કે ત્રિકોણના ખૂણાઓનો ગુણોત્તર $1: 2: 3$ છે.
ખૂણાઓના સરવાળાના ગુણધર્મ મુજબ,ત્રિકોણના બધા ખૂણાઓનો સરવાળો $180^{\circ}$ થાય છે.
ધારો કે ખૂણાઓ $x, 2x, 3x$ છે.
તેથી $x + 2x + 3x = 180^{\circ}$ $\Rightarrow 6x = 180^{\circ}$ $\Rightarrow x = 30^{\circ}$.
આમ,ખૂણાઓ $A = 30^{\circ}, B = 60^{\circ}, C = 90^{\circ}$ છે.
સાઇનના નિયમ મુજબ,$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{a}{\sin 30^{\circ}} = \frac{b}{\sin 60^{\circ}} = \frac{c}{\sin 90^{\circ}}$.
$\Rightarrow \frac{a}{1/2} = \frac{b}{\sqrt{3}/2} = \frac{c}{1}$.
$1/2$ વડે ગુણતા,આપણને $a : b : c = 1 : \sqrt{3} : 2$ મળે છે.

(D) આપેલ પદાવલિ $2(bc \cos A + ca \cos B + ab \cos C) = 2bc \cos A + 2ca \cos B + 2ab \cos C$ છે.
કોસાઇનના નિયમ મુજબ,આપણે જાણીએ છીએ કે $\cos A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}$,$\cos B = \frac{c^2 + a^2 - b^2}{2ca}$,અને $\cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}$.
આ કિંમતો પદાવલિમાં મૂકતા:
$= 2bc \left(\frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}\right) + 2ca \left(\frac{c^2 + a^2 - b^2}{2ca}\right) + 2ab \left(\frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}\right)$
$= (b^2 + c^2 - a^2) + (c^2 + a^2 - b^2) + (a^2 + b^2 - c^2)$
$= a^2 + b^2 + c^2$.
આમ,કિંમત $a^2 + b^2 + c^2$ છે.

(C) આપેલ છે: $\frac{a}{b}=2+\sqrt{3}$ અને $\angle C=60^{\circ}$.
$A+B+C=180^{\circ}$ હોવાથી,$A+B=120^{\circ}$ $(1)$.
સાઇનના નિયમ મુજબ,$\frac{\sin A}{\sin B} = \frac{a}{b} = 2+\sqrt{3}$.
યોગ-વિયોગની રીત વાપરતા:
$\frac{\sin A + \sin B}{\sin A - \sin B} = \frac{3+\sqrt{3}}{\sqrt{3}+1} = \sqrt{3}$.
સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$\tan(\frac{A+B}{2}) \cot(\frac{A-B}{2}) = \sqrt{3}$.
$\frac{A+B}{2} = 60^{\circ}$ હોવાથી,$\tan(60^{\circ}) \cot(\frac{A-B}{2}) = \sqrt{3}$.
$\cot(\frac{A-B}{2}) = 1$ $\Rightarrow \frac{A-B}{2} = 45^{\circ}$ $\Rightarrow A-B = 90^{\circ}$ $(2)$.
$(1)$ અને $(2)$ નો સરવાળો કરતા: $2A = 210^{\circ} \Rightarrow A = 105^{\circ}$.

(B) આપેલ છે: $a=2, b=3, c=4$.
કોસાઇનના નિયમનો ઉપયોગ કરતા: $\cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}$.
કિંમતો મૂકતા: $\cos C = \frac{2^2 + 3^2 - 4^2}{2 \times 2 \times 3}$.
$\cos C = \frac{4 + 9 - 16}{12}$.
$\cos C = \frac{13 - 16}{12} = \frac{-3}{12}$.
તેથી,$\cos C = -\frac{1}{4}$.

(B) આપેલ પદાવલિ: $(b+c) \cos A + (c+a) \cos B + (a+b) \cos C$
પદોનું વિસ્તરણ કરતા: $(b \cos A + c \cos A) + (c \cos B + a \cos B) + (a \cos C + b \cos C)$
પદોને ફરીથી ગોઠવતા: $(b \cos A + a \cos B) + (c \cos A + a \cos C) + (c \cos B + b \cos C)$
ત્રિકોણ માટે પ્રોજેક્શન સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$c = a \cos B + b \cos A$
$b = a \cos C + c \cos A$
$a = b \cos C + c \cos B$
આ કિંમતોને પદાવલિમાં મૂકતા:
$= c + b + a = a + b + c$

(B) કોઈપણ $\triangle ABC$ માં,કોસાઇનના નિયમ મુજબ:
$\cos A = \frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}$,$\cos B = \frac{a^2+c^2-b^2}{2ac}$,અને $\cos C = \frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}$.
આ કિંમતોને પદાવલિમાં મૂકતા:
$\frac{\cos A}{a} + \frac{\cos B}{b} + \frac{\cos C}{c} = \frac{b^2+c^2-a^2}{2abc} + \frac{a^2+c^2-b^2}{2abc} + \frac{a^2+b^2-c^2}{2abc}$
$= \frac{(b^2+c^2-a^2) + (a^2+c^2-b^2) + (a^2+b^2-c^2)}{2abc}$
$= \frac{a^2+b^2+c^2}{2abc}$.

(A) $\triangle ABC$ માં આપેલ છે: $a=6$,$b=5$,$c=4$.
કોસાઇનના નિયમનો ઉપયોગ કરતા: $\cos A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}$.
કિંમતો મૂકતા: $\cos A = \frac{5^2 + 4^2 - 6^2}{2 \times 5 \times 4} = \frac{25 + 16 - 36}{40} = \frac{5}{40} = \frac{1}{8}$.
હવે,$\cos 2A = 2\cos^2 A - 1$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$\cos 2A = 2 \left(\frac{1}{8}\right)^2 - 1 = 2 \left(\frac{1}{64}\right) - 1 = \frac{1}{32} - 1 = \frac{1 - 32}{32} = -\frac{31}{32}$.

(C) આપેલ પદાવલિ: $a(b \cos C - c \cos B)$.
કોસાઇન નિયમનો ઉપયોગ કરતા:
$\cos C = \frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}$ અને $\cos B = \frac{a^2+c^2-b^2}{2ac}$.
આ કિંમતો પદાવલિમાં મૂકતા:
$a \left( b \left( \frac{a^2+b^2-c^2}{2ab} \right) - c \left( \frac{a^2+c^2-b^2}{2ac} \right) \right)$
$= a \left( \frac{a^2+b^2-c^2}{2a} - \frac{a^2+c^2-b^2}{2a} \right)$
$= \frac{1}{2} (a^2+b^2-c^2 - a^2 - c^2 + b^2)$
$= \frac{1}{2} (2b^2 - 2c^2)$
$= b^2 - c^2$.

(C) કોસાઇન નિયમ લાગુ કરો: $\cos A = \frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}$.
આપેલ છે $\angle A = 60^{\circ}$,તેથી $\cos 60^{\circ} = \frac{1}{2}$.
$\frac{1}{2} = \frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}$ $\Rightarrow bc = b^2+c^2-a^2$ $\Rightarrow b^2+c^2 = bc+a^2 \dots (i)$.
હવે,પદાવલિ $\frac{b}{c+a} + \frac{c}{a+b} = \frac{b(a+b) + c(c+a)}{(c+a)(a+b)}$ ધ્યાનમાં લો.
$= \frac{ab+b^2+c^2+ac}{ac+a^2+bc+ab}$.
સમીકરણ $(i)$ પરથી $b^2+c^2 = bc+a^2$ મૂકતા:
$= \frac{ab+(bc+a^2)+ac}{ac+a^2+bc+ab} = \frac{ab+bc+a^2+ac}{ab+bc+a^2+ac} = 1$.

(D) આપેલ છે $a \cos A = b \cos B$.
કોસાઇન નિયમનો ઉપયોગ કરતા:
$a \left(\frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}\right) = b \left(\frac{a^2 + c^2 - b^2}{2ac}\right)$
$\Rightarrow \frac{a}{b} (b^2 + c^2 - a^2) = \frac{b}{a} (a^2 + c^2 - b^2)$
$\Rightarrow a^2 (b^2 + c^2 - a^2) = b^2 (a^2 + c^2 - b^2)$
$\Rightarrow a^2b^2 + a^2c^2 - a^4 = a^2b^2 + b^2c^2 - b^4$
$\Rightarrow a^4 - b^4 + b^2c^2 - a^2c^2 = 0$
$\Rightarrow (a^2 - b^2)(a^2 + b^2 - c^2) = 0$
$a \neq b$ હોવાથી,$a^2 - b^2 \neq 0$.
તેથી,$a^2 + b^2 = c^2$.
આમ,$\triangle ABC$ એ કાટકોણ ત્રિકોણ છે.

(D) આપેલ બાજુઓ $a=3, b=5, c=3$ છે.
કોસાઇનના નિયમનો ઉપયોગ કરતા: $\cos A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}$.
કિંમતો મૂકતા: $\cos A = \frac{5^2 + 3^2 - 3^2}{2 \times 5 \times 3}$.
$\cos A = \frac{25 + 9 - 9}{30} = \frac{25}{30}$.
$\cos A = \frac{5}{6}$.

(B) આપણે જાણીએ છીએ કે $\cos 2A = 1 - 2\sin^2 A$ અને $\cos 2B = 1 - 2\sin^2 B$.
આ કિંમતોને પદાવલિમાં મૂકતા:
$\frac{1 - 2\sin^2 A}{a^2} - \frac{1 - 2\sin^2 B}{b^2} = \frac{1}{a^2} - \frac{1}{b^2} - 2 \left( \frac{\sin^2 A}{a^2} - \frac{\sin^2 B}{b^2} \right)$
સાઇનના નિયમ મુજબ,$\frac{\sin A}{a} = \frac{\sin B}{b}$,તેથી $\frac{\sin^2 A}{a^2} - \frac{\sin^2 B}{b^2} = 0$.
તેથી,જવાબ $\frac{1}{a^2} - \frac{1}{b^2}$ મળે છે.

(A) આપેલ છે કે $\angle A = 60^{\circ}$. કોસાઇન નિયમ મુજબ,$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos A$.
$\cos 60^{\circ} = \frac{1}{2}$ હોવાથી,$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \left(\frac{1}{2}\right) = b^2 + c^2 - bc$.
હવે,પદાવલિ $(a+b+c)(b+c-a)$ ને ધ્યાનમાં લો.
આને $((b+c)+a)((b+c)-a) = (b+c)^2 - a^2$ તરીકે લખી શકાય.
આનું વિસ્તરણ કરતા,આપણને $b^2 + c^2 + 2bc - a^2$ મળે છે.
$a^2 = b^2 + c^2 - bc$ મૂકતા,આપણને મળે છે:
$b^2 + c^2 + 2bc - (b^2 + c^2 - bc) = b^2 + c^2 + 2bc - b^2 - c^2 + bc = 3bc$.

(B) આપેલ બાજુઓ $a = 4 \text{ cm}$,$b = 5 \text{ cm}$,અને $c = 7 \text{ cm}$ છે.
પ્રથમ,અર્ધ-પરિમિતિ $s$ ની ગણતરી કરો:
$s = \frac{a + b + c}{2} = \frac{4 + 5 + 7}{2} = \frac{16}{2} = 8 \text{ cm}$.
હેરોનના સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને,ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ:
$\text{Area} = \sqrt{s(s - a)(s - b)(s - c)}$
$= \sqrt{8(8 - 4)(8 - 5)(8 - 7)}$
$= \sqrt{8 \times 4 \times 3 \times 1}$
$= \sqrt{96}$
$= 4 \sqrt{6} \text{ cm}^2$.

(A) આપેલ છે $\tan \frac{A}{2} = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
સૂત્ર $\cos A = \frac{1-\tan^2 \frac{A}{2}}{1+\tan^2 \frac{A}{2}}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\cos A = \frac{1 - (\frac{1}{\sqrt{2}})^2}{1 + (\frac{1}{\sqrt{2}})^2} = \frac{1 - 1/2}{1 + 1/2} = \frac{1/2}{3/2} = \frac{1}{3}$.
કોસાઇનના નિયમ મુજબ: $\cos A = \frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}$.
$\frac{1}{3} = \frac{5^2 + 6^2 - a^2}{2(5)(6)}$.
$\frac{1}{3} = \frac{25 + 36 - a^2}{60}$.
$20 = 61 - a^2$.
$a^2 = 41$.
$a = \sqrt{41}$.

(C) આપણે જાણીએ છીએ કે ક્ષેત્રફળ $R = \frac{1}{2}ab \sin C$,તેથી $2R = ab \sin C$,જેનો અર્થ છે કે $4R^2 = a^2b^2 \sin^2 C$.
પ્રથમ પદમાં આ કિંમત મૂકતા: $\sqrt{a^2b^2 - 4R^2} = \sqrt{a^2b^2 - a^2b^2 \sin^2 C} = \sqrt{a^2b^2(1 - \sin^2 C)} = \sqrt{a^2b^2 \cos^2 C} = ab \cos C$.
તે જ રીતે,$\sqrt{b^2c^2 - 4R^2} = bc \cos A$ અને $\sqrt{c^2a^2 - 4R^2} = ca \cos B$.
કોસાઇનના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,$\cos C = \frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}$,તેથી $ab \cos C = \frac{a^2+b^2-c^2}{2}$.
આમ,પદાવલિ નીચે મુજબ થશે: $\frac{a^2+b^2-c^2}{2} + \frac{b^2+c^2-a^2}{2} + \frac{c^2+a^2-b^2}{2} = \frac{a^2+b^2+c^2}{2}$.

(C) આપણે જાણીએ છીએ કે $\tanh(y) = \frac{e^y - e^{-y}}{e^y + e^{-y}}$.
$y = \log x$ મૂકતા,આપણને મળે છે:
$\tanh(\log x) = \frac{e^{\log x} - e^{-\log x}}{e^{\log x} + e^{-\log x}}$
કારણ કે $e^{\log x} = x$ અને $e^{-\log x} = \frac{1}{x}$,પદાવલિ નીચે મુજબ થાય છે:
$\tanh(\log x) = \frac{x - \frac{1}{x}}{x + \frac{1}{x}}$
અંશ અને છેદને $x$ વડે ગુણતા,આપણને મળે છે:
$\tanh(\log x) = \frac{x^2 - 1}{x^2 + 1}$

(D) આપેલ છે,$r_1=36, r_2=18, r_3=12$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\triangle ABC$ માં,અંતઃત્રિજ્યા $r$ અને બહિરત્રિજ્યાઓ $r_1, r_2, r_3$ વચ્ચેનો સંબંધ $\frac{1}{r} = \frac{1}{r_1} + \frac{1}{r_2} + \frac{1}{r_3}$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{1}{r} = \frac{1}{36} + \frac{1}{18} + \frac{1}{12} = \frac{1+2+3}{36} = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}$.
તેથી,$r=6$.
આપણે એ પણ જાણીએ છીએ કે $\Delta^2 = r \cdot r_1 \cdot r_2 \cdot r_3$.
$\Delta^2 = 6 \times 36 \times 18 \times 12 = 6^6$.
તેથી,$\Delta = 6^3 = 216$.
કારણ કે $r = \frac{\Delta}{s}$,તેથી $s = \frac{\Delta}{r} = \frac{216}{6} = 36$.

(B) આપેલ શિરોબિંદુઓ $A(0,0)$,$B(0,2)$ અને $C(2,0)$ છે.
$\overline{AC}$ એ $x$-અક્ષ પર છે અને $\overline{AB}$ એ $y$-અક્ષ પર છે,તેથી આ ત્રિકોણ $A(0,0)$ આગળ કાટખૂણો ધરાવતો કાટકોણ ત્રિકોણ છે.
કાટકોણ ત્રિકોણમાં,લંબકેન્દ્ર એ કાટખૂણો બનાવતું શિરોબિંદુ હોય છે,તેથી લંબકેન્દ્ર $H(0,0)$ છે.
કાટકોણ ત્રિકોણનું પરિકેન્દ્ર એ કર્ણ $\overline{BC}$ નું મધ્યબિંદુ હોય છે.
પરિકેન્દ્ર $O = \left(\frac{0+2}{2}, \frac{2+0}{2}\right) = (1,1)$.
લંબકેન્દ્ર $(0,0)$ અને પરિકેન્દ્ર $(1,1)$ વચ્ચેનું અંતર $\sqrt{(1-0)^2 + (1-0)^2} = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2} \text{ એકમ}$ છે.

(D) આપેલ છે,$\frac{a}{4} = \frac{b}{5} = \frac{c}{6} = k$ (ધારો).
તેથી,$a = 4k, b = 5k, c = 6k$.
અર્ધ-પરિમિતિ $s = \frac{a+b+c}{2} = \frac{15k}{2}$.
ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $\Delta = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} = \sqrt{\frac{15k}{2} \cdot \frac{7k}{2} \cdot \frac{5k}{2} \cdot \frac{3k}{2}} = \frac{15\sqrt{7}k^2}{4}$.
અંતઃત્રિજ્યા $r = \frac{\Delta}{s} = \frac{15\sqrt{7}k^2 / 4}{15k / 2} = \frac{\sqrt{7}k}{2}$.
પરિત્રિજ્યા $R = \frac{abc}{4\Delta} = \frac{(4k)(5k)(6k)}{4 \cdot (15\sqrt{7}k^2 / 4)} = \frac{120k^3}{15\sqrt{7}k^2} = \frac{8k}{\sqrt{7}}$.
તેથી,ગુણોત્તર $\frac{R}{r} = \frac{8k}{\sqrt{7}} \div \frac{\sqrt{7}k}{2} = \frac{8k}{\sqrt{7}} \cdot \frac{2}{\sqrt{7}k} = \frac{16}{7}$.

(B) કાટકોણ ત્રિકોણ $\triangle ABC$ માં જ્યાં $\angle C = \frac{\pi}{2}$ છે,બાજુઓ $a$,$b$ અને $c$ (કર્ણ) છે.
અંતઃવર્તુળના ગુણધર્મો મુજબ,શિરોબિંદુ $C$ થી બાજુઓ $AC$ અને $BC$ પરના સ્પર્શબિંદુઓનું અંતર $r$ છે.
તેથી,બાજુઓને $b = x+r$ અને $a = y+r$ તરીકે દર્શાવી શકાય છે,જ્યાં $x$ અને $y$ એ શિરોબિંદુઓ $A$ અને $B$ થી અંતઃવર્તુળ પરના સ્પર્શકોની લંબાઈ છે.
કર્ણ $c = x+y$ છે.
કારણ કે $c$ એ પરિવર્તુળનો વ્યાસ છે,$c = 2R$,તેથી $x+y = 2R$.
હવે,$a$ અને $b$ ના સરવાળા માટે:
$a+b = (y+r) + (x+r) = (x+y) + 2r = 2R + 2r$.
$2$ વડે ભાગતા,આપણને મળે છે:
$R+r = \frac{a+b}{2}$.