AP EAMCET 2021 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(A) दो वृत्तों $S_1=0$ और $S_2=0$ के प्रतिच्छेदन से गुजरने वाले वृत्तों के परिवार का समीकरण $S_1 + \lambda S_2 = 0$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ $S_1: x^2+y^2-8x-6y+21=0$ और $S_2: x^2+y^2-2x-15=0$ है।
समीकरण: $(x^2+y^2-8x-6y+21) + \lambda(x^2+y^2-2x-15) = 0$ है।
चूँकि वृत्त बिंदु $(1,2)$ से होकर गुजरता है,$x=1$ और $y=2$ रखने पर:
$(1^2+2^2-8(1)-6(2)+21) + \lambda(1^2+2^2-2(1)-15) = 0$
$(1+4-8-12+21) + \lambda(5-2-15) = 0$
$6 + \lambda(-12) = 0 \Rightarrow \lambda = \frac{1}{2}$ प्राप्त होता है।
$\lambda = \frac{1}{2}$ को समीकरण में रखने पर:
$(x^2+y^2-8x-6y+21) + \frac{1}{2}(x^2+y^2-2x-15) = 0$
$2$ से गुणा करने पर:
$2(x^2+y^2-8x-6y+21) + (x^2+y^2-2x-15) = 0$
$3x^2+3y^2-18x-12y+27 = 0$
$3$ से भाग देने पर:
$x^2+y^2-6x-4y+9 = 0$।

(B) वृत्त की परिधि $4 \pi$ है।
चूंकि परिधि $2 \pi r = 4 \pi$ होती है,इसलिए $r = 2$ है।
केंद्र $(h, k)$ और त्रिज्या $r$ वाले वृत्त का समीकरण $(x-h)^2 + (y-k)^2 = r^2$ होता है।
केंद्र $(-2, 3)$ और त्रिज्या $r = 2$ रखने पर:
$(x - (-2))^2 + (y - 3)^2 = 2^2$
$(x + 2)^2 + (y - 3)^2 = 4$
$x^2 + 4x + 4 + y^2 - 6y + 9 = 4$
$x^2 + y^2 + 4x - 6y + 9 = 0$.

(C) वृत्त का दिया गया समीकरण $x^2+y^2-6x+4y-12=0$ है।
पूर्ण वर्ग बनाने पर,$(x-3)^2+(y+2)^2=5^2$ प्राप्त होता है।
केंद्र $(h, k) = (3, -2)$ और त्रिज्या $r=5$ है।
प्राचलिक निर्देशांक $x=3+5\cos\theta$ और $y=-2+5\sin\theta$ हैं।
बिंदु $A$ के लिए $\theta=30^{\circ}$ पर,$A = (3+\frac{5\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2})$ है।
बिंदु $B$ के लिए $\theta=90^{\circ}$ पर,$B = (3, 3)$ है।
जीवा $AB$ की ढाल $m = -\frac{1}{\sqrt{3}}$ है।
बिंदु $B(3, 3)$ का उपयोग करते हुए,समीकरण $y-3 = -\frac{1}{\sqrt{3}}(x-3)$ प्राप्त होता है।
अतः,$x+\sqrt{3}y-3(1+\sqrt{3}) = 0$।

(B) वृत्त का केंद्र उसके व्यासों का प्रतिच्छेदन बिंदु होता है।
दिए गए व्यास के समीकरण:
$x + 2y - 5 = 0$ ... $(i)$
$3x - y - 1 = 0$ ... $(ii)$
समीकरण $(ii)$ को $2$ से गुणा करने पर,$6x - 2y - 2 = 0$ ... $(iii)$
$(i)$ और $(iii)$ को जोड़ने पर:
$(x + 2y - 5) + (6x - 2y - 2) = 0$
$7x - 7 = 0 \Rightarrow x = 1$
$x = 1$ को $(i)$ में रखने पर:
$1 + 2y - 5 = 0$ $\Rightarrow 2y = 4$ $\Rightarrow y = 2$
अतः,केंद्र $(h, k) = (1, 2)$ और त्रिज्या $r = 5$ है।
वृत्त का समीकरण $(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2$ होता है।
$(x - 1)^2 + (y - 2)^2 = 5^2$
$x^2 - 2x + 1 + y^2 - 4y + 4 = 25$
$x^2 + y^2 - 2x - 4y - 20 = 0$

(D) चूँकि वृत्त $X$-अक्ष को $(1, 0)$ पर स्पर्श करता है,इसलिए केंद्र का $x$-निर्देशांक $1$ है।
चूँकि वृत्त $Y$-अक्ष को $(0, 1)$ पर स्पर्श करता है,इसलिए केंद्र का $y$-निर्देशांक $1$ है।
अतः,वृत्त का केंद्र $(1, 1)$ है और त्रिज्या $r = 1$ है।
केंद्र $(h, k)$ और त्रिज्या $r$ वाले वृत्त का मानक समीकरण $(x-h)^2 + (y-k)^2 = r^2$ होता है।
मान रखने पर,$(x-1)^2 + (y-1)^2 = 1^2$ प्राप्त होता है।
इसका विस्तार करने पर,$(x^2 - 2x + 1) + (y^2 - 2y + 1) = 1$ मिलता है।
सरल करने पर,$x^2 + y^2 - 2x - 2y + 1 = 0$ प्राप्त होता है।

(C) वृत्त $x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ के सापेक्ष बिंदु $(x_1, y_1)$ की शक्ति का सूत्र $x_1^2 + y_1^2 + 2gx_1 + 2fy_1 + c$ है।
दिए गए बिंदु $(1, 6)$ और वृत्त $x^2 + y^2 + 4x - 6y - a = 0$ के लिए,शक्ति है:
$1^2 + 6^2 + 4(1) - 6(6) - a = -16$
$1 + 36 + 4 - 36 - a = -16$
$5 - a = -16$
$a = 5 + 16$
$a = 21$

(C) किसी बिंदु $(x_1, y_1)$ के वृत्त $x^2+y^2-r^2=0$ के अंदर स्थित होने के लिए शर्त $x_1^2+y_1^2-r^2 < 0$ है।
दिए गए बिंदु $(\lambda, 1+\lambda)$ और वृत्त $x^2+y^2-1=0$ के लिए:
$\lambda^2 + (1+\lambda)^2 - 1 < 0$
$\lambda^2 + 1 + 2\lambda + \lambda^2 - 1 < 0$
$2\lambda^2 + 2\lambda < 0$
$2\lambda(\lambda+1) < 0$
$2$ से भाग देने पर,हमें $\lambda(\lambda+1) < 0$ प्राप्त होता है।
यह असमिका तब सत्य होती है जब $\lambda$,$-1$ और $0$ के बीच स्थित हो।
अतः,$-1 < \lambda < 0$.

(D) वृत्त का समीकरण $x^2+y^2-4x-8y-5=0$ है।
वृत्त का केंद्र $(2, 4)$ है और त्रिज्या $r = \sqrt{2^2+4^2-(-5)} = \sqrt{25} = 5$ है।
रेखा $3x-4y-m=0$ वृत्त को दो भिन्न बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करती है,इसके लिए केंद्र से रेखा की लंबवत दूरी $d < r$ होनी चाहिए।
$d = \frac{|3(2)-4(4)-m|}{\sqrt{3^2+(-4)^2}} = \frac{|-10-m|}{5} = \frac{|m+10|}{5}$.
शर्त $d < 5$ के अनुसार,$|m+10| < 25$,अर्थात $-25 < m+10 < 25$.
अतः,$-35 < m < 15$.
इस अंतराल में पूर्णांकों की संख्या $14 - (-34) + 1 = 49$ है।

(A) दिया गया वृत्त समीकरण: $x^2+y^2-6x-4y-12=0$.
केंद्र: $(3, 2)$ और त्रिज्या: $r = 5$.
चूँकि रेखाएँ $x$-अक्ष के समानांतर हैं,उनका समीकरण $y = k$ के रूप में होगा।
केंद्र $(3, 2)$ से रेखा $y = k$ की दूरी त्रिज्या $5$ के बराबर होनी चाहिए।
इसलिए,$|k - 2| = 5$.
इससे $k = 7$ या $k = -3$ प्राप्त होता है।
रेखाओं के समीकरण $y = 7$ और $y = -3$ हैं।
रेखाओं का युग्म: $(y - 7)(y + 3) = 0$.
इसे हल करने पर $y^2 - 4y - 21 = 0$ प्राप्त होता है।

(B) वृत्त का दिया गया समीकरण $x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + d = 0$ है।
इसका केंद्र $(-g, -f)$ है।
वृत्त का अभिलंब हमेशा उसके केंद्र से होकर गुजरता है।
रेखा का दिया गया समीकरण $ax + by + c = 0$ है।
यदि रेखा अभिलंब है,तो इसे केंद्र $(-g, -f)$ से गुजरना चाहिए।
केंद्र $(-g, -f)$ को रेखा के समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$a(-g) + b(-f) + c = 0$
$-ag - bf + c = 0$
$-1$ से गुणा करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$ag + bf - c = 0$

(C) माना वृत्त की त्रिज्या $r$ है। चूंकि वृत्त चौथे चतुर्थांश में स्थित है और रेखाओं $x=0$ तथा $y=0$ को स्पर्श करता है,इसलिए इसका केंद्र $(r, -r)$ होगा,जहाँ $r > 0$ है।
केंद्र $(r, -r)$ से रेखा $3x+4y-12=0$ की लंबवत दूरी त्रिज्या $r$ के बराबर होनी चाहिए।
लंबवत दूरी के सूत्र का उपयोग करने पर:
$\left| \frac{3(r) + 4(-r) - 12}{\sqrt{3^2 + 4^2}} \right| = r$
$\left| \frac{3r - 4r - 12}{5} \right| = r$
$\left| \frac{-r - 12}{5} \right| = r$
$|r + 12| = 5r$
चूंकि $r > 0$ है,इसलिए $r + 12 = 5r$ या $r + 12 = -5r$ होगा।
स्थिति $1$: $4r = 12 \Rightarrow r = 3$.
स्थिति $2$: $6r = -12 \Rightarrow r = -2$ ($r > 0$ होने के कारण अमान्य)।
अतः,त्रिज्या $3$ इकाई है।

(C) वृत्त का दिया गया समीकरण $x^2+y^2-8x-2y-8=0$ है।
इसे व्यापक रूप $x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ से तुलना करने पर,$g=-4$,$f=-1$,और $c=-8$ प्राप्त होता है।
वृत्त का केंद्र $(-g, -f) = (4, 1)$ है और त्रिज्या $r = \sqrt{g^2+f^2-c} = \sqrt{16+1+8} = \sqrt{25} = 5$ है।
केंद्र $(4, 1)$ से रेखा $x+y+1=0$ की लंबवत दूरी $d = \left|\frac{4+1+1}{\sqrt{1^2+1^2}}\right| = \frac{6}{\sqrt{2}} = 3\sqrt{2}$ है।
जीवा की लंबाई $2\sqrt{r^2-d^2}$ द्वारा दी जाती है।
लंबाई $= 2\sqrt{5^2 - (3\sqrt{2})^2} = 2\sqrt{25 - 18} = 2\sqrt{7}$ इकाई।

(A) वृत्त का समीकरण $x^2+y^2=16$ है,जो मूल बिंदु $(0,0)$ पर केंद्रित और $r=4$ त्रिज्या वाला एक वृत्त है।
माना दो बिंदु $A = (4 \cos \theta, 4 \sin \theta)$ और $B = (4 \cos (\theta+60^{\circ}), 4 \sin (\theta+60^{\circ}))$ हैं।
ये बिंदु वृत्त पर स्थित हैं जिनके ध्रुवीय कोण क्रमशः $\theta$ और $\theta+60^{\circ}$ हैं।
केंद्र $O(0,0)$ पर जीवा $AB$ द्वारा अंतरित कोण $\Delta \phi = (\theta+60^{\circ}) - \theta = 60^{\circ}$ है।
चूंकि $OA = OB = r = 4$ और बीच का कोण $\angle AOB = 60^{\circ}$ है,इसलिए $\triangle OAB$ एक समबाहु त्रिभुज है।
अतः,जीवा $AB$ की लंबाई वृत्त की त्रिज्या के बराबर है।
$AB = r = 4$.

(A) बिंदु $(4,0)$ से गुजरने वाली और $m$ ढाल वाली रेखा का समीकरण $y - 0 = m(x - 4)$ अर्थात $mx - y - 4m = 0$ है।
चूंकि यह रेखा वृत्त $x^2 + y^2 = 4$ (केंद्र $(0,0)$ और त्रिज्या $r = 2$) की स्पर्श रेखा है,इसलिए केंद्र से रेखा की लंबवत दूरी त्रिज्या के बराबर होनी चाहिए।
दूरी सूत्र $d = \frac{|ax_0 + by_0 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}$ का उपयोग करने पर,$\frac{|m(0) - (0) - 4m|}{\sqrt{m^2 + (-1)^2}} = 2$ प्राप्त होता है।
$| -4m | = 2\sqrt{m^2 + 1}$।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $16m^2 = 4(m^2 + 1)$ $\Rightarrow 4m^2 = m^2 + 1$ $\Rightarrow 3m^2 = 1$ $\Rightarrow m = \pm \frac{1}{\sqrt{3}}$।
अतः,स्पर्श रेखा का समीकरण $y = \pm \frac{1}{\sqrt{3}}(x - 4)$ है।

(B) दिया गया वृत्त $x^2+y^2+4x+8y-38=0$ है।
वर्ग पूरा करने पर,$(x+2)^2+(y+4)^2=58$ प्राप्त होता है।
वृत्त का केंद्र $C(-2,-4)$ है।
माना $Q(x_1, y_1)$ बिंदु $P(-9,-1)$ से गुजरने वाले व्यास का दूसरा सिरा है।
चूंकि $C$,$PQ$ का मध्यबिंदु है,इसलिए $\frac{x_1-9}{2}=-2 \Rightarrow x_1=5$ और $\frac{y_1-1}{2}=-4 \Rightarrow y_1=-7$ प्राप्त होता है।
अतः,$Q$ बिंदु $(5,-7)$ है।
$Q$ पर स्पर्श रेखा $P$ पर स्पर्श रेखा के समानांतर होती है।
त्रिज्या $CP$ की ढाल $m_{CP} = \frac{-1-(-4)}{-9-(-2)} = \frac{3}{-7} = -\frac{3}{7}$ है।
$P$ (और $Q$) पर स्पर्श रेखा की ढाल त्रिज्या की ढाल का ऋणात्मक व्युत्क्रम होती है,अर्थात $m = -\frac{1}{-3/7} = \frac{7}{3}$।
$Q(5,-7)$ पर स्पर्श रेखा का समीकरण $y - (-7) = \frac{7}{3}(x - 5)$ है।
$3(y+7) = 7(x-5)$ $\Rightarrow 3y+21 = 7x-35$ $\Rightarrow 7x-3y=56$।

(C) वृत्त के बाहर स्थित बिंदु $A$ के लिए,यदि $A$ से गुजरने वाली एक छेदक रेखा वृत्त को $C$ और $B$ बिंदुओं पर काटती है,तो $A$ से वृत्त पर खींची गई स्पर्श रेखा $AT$ की लंबाई 'पावर ऑफ अ पॉइंट' प्रमेय द्वारा दी जाती है: $AT^2 = AC \cdot AB$.
सबसे पहले,दूरी सूत्र का उपयोग करके $AC$ और $AB$ की दूरियाँ ज्ञात करें:
$AC = \sqrt{(5-3)^2 + (0-1)^2} = \sqrt{2^2 + (-1)^2} = \sqrt{4+1} = \sqrt{5}$
$AB = \sqrt{(7-3)^2 + (-1-1)^2} = \sqrt{4^2 + (-2)^2} = \sqrt{16+4} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$
अब,इन मानों को सूत्र में रखें:
$AT^2 = AC \cdot AB = \sqrt{5} \cdot 2\sqrt{5} = 2 \cdot 5 = 10$
$AT = \sqrt{10}$ इकाई।

(C) मान लीजिए कि वृत्त बिंदुओं $A(2,2)$ और $B(9,9)$ से होकर गुजरता है और $X$-अक्ष को बिंदु $P$ पर स्पर्श करता है।
पावर ऑफ अ पॉइंट प्रमेय के अनुसार,चूंकि $OP$ मूल बिंदु $O$ से वृत्त की स्पर्श रेखा है और $OAB$ एक छेदक रेखा है,इसलिए:
$OP^2 = OA \cdot OB$
मूल बिंदु $O(0,0)$ से $OA$ और $OB$ की दूरियों की गणना करने पर:
$OA = \sqrt{2^2 + 2^2} = \sqrt{4 + 4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$
$OB = \sqrt{9^2 + 9^2} = \sqrt{81 + 81} = \sqrt{162} = 9\sqrt{2}$
इन मानों को समीकरण में रखने पर:
$OP^2 = (2\sqrt{2}) \cdot (9\sqrt{2}) = 18 \cdot 2 = 36$
$OP = \sqrt{36} = 6$
अतः,$OP = 6$.

(D) वृत्त का समीकरण $S: x^2 + y^2 + 8x - 6y + k = 0$ है।
बाह्य बिंदु $(x_1, y_1)$ से वृत्त $S = 0$ पर खींची गई स्पर्श रेखा की लंबाई $\sqrt{S_1}$ होती है,जहाँ $S_1 = x_1^2 + y_1^2 + 8x_1 - 6y_1 + k$ है।
दिया गया बिंदु $(-2, 3)$ है और स्पर्श रेखा की लंबाई $4$ इकाई है:
$4 = \sqrt{(-2)^2 + (3)^2 + 8(-2) - 6(3) + k}$
$4 = \sqrt{4 + 9 - 16 - 18 + k}$
$4 = \sqrt{k - 21}$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$16 = k - 21$
$k = 16 + 21 = 37$.

(D) एक बिंदु $(x_1, y_1)$ से वृत्त $S: x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ पर स्पर्श रेखा की लंबाई $\sqrt{S_1} = \sqrt{x_1^2+y_1^2+2gx_1+2fy_1+c}$ द्वारा दी जाती है।
प्रथम वृत्त $C_1: x^2+y^2+x+y-4=0$ के लिए,$(1,2)$ से स्पर्श रेखा की लंबाई $L_1$ है:
$L_1 = \sqrt{1^2+2^2+1+2-4} = \sqrt{1+4+1+2-4} = \sqrt{4} = 2$.
दूसरे वृत्त $C_2: 3x^2+3y^2-x-y-k=0$ के लिए,इसे मानक रूप में बदलने पर $x^2+y^2-\frac{1}{3}x-\frac{1}{3}y-\frac{k}{3}=0$ प्राप्त होता है।
$(1,2)$ से स्पर्श रेखा की लंबाई $L_2$ है:
$L_2 = \sqrt{1^2+2^2-\frac{1}{3}(1)-\frac{1}{3}(2)-\frac{k}{3}} = \sqrt{1+4-\frac{1}{3}-\frac{2}{3}-\frac{k}{3}} = \sqrt{5-1-\frac{k}{3}} = \sqrt{4-\frac{k}{3}}$.
दिए गए अनुपात $\frac{L_1}{L_2} = \frac{4}{3}$ के अनुसार:
$\frac{2}{\sqrt{4-\frac{k}{3}}} = \frac{4}{3} \Rightarrow \frac{1}{\sqrt{4-\frac{k}{3}}} = \frac{2}{3}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$\frac{1}{4-\frac{k}{3}} = \frac{4}{9} \Rightarrow 4-\frac{k}{3} = \frac{9}{4}$.
$\frac{k}{3} = 4 - \frac{9}{4} = \frac{16-9}{4} = \frac{7}{4}$.
$k = 3 \times \frac{7}{4} = \frac{21}{4}$.

(B) दिया गया वृत्त का समीकरण $5x^2 + 5y^2 = 1$ है।
$5$ से विभाजित करने पर,हमें $x^2 + y^2 = \frac{1}{5} = \left(\frac{1}{\sqrt{5}}\right)^2$ प्राप्त होता है।
अतः,केंद्र $(0, 0)$ है और त्रिज्या $r = \frac{1}{\sqrt{5}}$ है।
दी गई रेखा $3x + 4y = 1$ है,जिसका ढाल $m = -\frac{3}{4}$ है।
वृत्त $x^2 + y^2 = r^2$ के लिए $m$ ढाल वाली स्पर्श रेखा का समीकरण $y = mx \pm r\sqrt{1 + m^2}$ होता है।
$m = -\frac{3}{4}$ और $r = \frac{1}{\sqrt{5}}$ रखने पर:
$y = -\frac{3}{4}x \pm \frac{1}{\sqrt{5}} \sqrt{1 + \left(-\frac{3}{4}\right)^2}$
$y = -\frac{3}{4}x \pm \frac{1}{\sqrt{5}} \sqrt{1 + \frac{9}{16}}$
$y = -\frac{3}{4}x \pm \frac{1}{\sqrt{5}} \sqrt{\frac{25}{16}}$
$y = -\frac{3}{4}x \pm \frac{1}{\sqrt{5}} \cdot \frac{5}{4}$
$y = -\frac{3}{4}x \pm \frac{\sqrt{5}}{4}$
$4$ से गुणा करने पर:
$4y = -3x \pm \sqrt{5}$
$3x + 4y = \pm \sqrt{5}$.

(A) दिया गया वृत्त समीकरण $x^2+y^2=50$ और रेखा $x+7=0$ है।
$x = -7$ को वृत्त के समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$(-7)^2 + y^2 = 50$
$49 + y^2 = 50$
$y^2 = 1 \Rightarrow y = \pm 1$.
अतः,प्रतिच्छेदन बिंदु $P_1(-7, 1)$ और $P_2(-7, -1)$ हैं।
वृत्त $x^2+y^2=r^2$ के बिंदु $(x_1, y_1)$ पर स्पर्श रेखा का समीकरण $xx_1 + yy_1 = r^2$ होता है।
बिंदु $(-7, 1)$ के लिए: $-7x + y = 50 \Rightarrow 7x - y + 50 = 0$.
बिंदु $(-7, -1)$ के लिए: $-7x - y = 50 \Rightarrow 7x + y + 50 = 0$.
इसलिए,अभीष्ट समीकरण $7x+y+50=0$ और $7x-y+50=0$ हैं।

(D) माना बिंदु $P(x_1, y_1)$ वृत्त $(x-3)^2+(y+2)^2=5r^2$ पर स्थित कोई बिंदु है।
चूंकि $P$ इस वृत्त पर स्थित है, यह समीकरण को संतुष्ट करता है:
$(x_1-3)^2+(y_1+2)^2=5r^2 \dots (i)$
बिंदु $P(x_1, y_1)$ से वृत्त $(x-3)^2+(y+2)^2=r^2$ पर खींची गई स्पर्श रेखा की लंबाई $\sqrt{S_1}$ है, जहाँ $S_1 = (x_1-3)^2+(y_1+2)^2-r^2$ है।
समीकरण $(i)$ का मान रखने पर:
लंबाई $= \sqrt{5r^2-r^2} = \sqrt{4r^2} = 2r$.
स्पर्श रेखा की लंबाई $16$ इकाई दी गई है, अतः $2r = 16$, जिसका अर्थ है $r = 8$.
दो संकेंद्रित वृत्तों के बीच का क्षेत्रफल उनके क्षेत्रफलों का अंतर है:
क्षेत्रफल $= \pi(R^2) - \pi(r^2) = \pi(5r^2) - \pi(r^2) = 4\pi r^2$.
$r = 8$ रखने पर:
क्षेत्रफल $= 4 \pi (8)^2 = 4 \pi (64) = 256 \pi$ वर्ग इकाई।

(A) वृत्त का दिया गया समीकरण $x^2+y^2+4x+4y-1=0$ है।
वृत्त का केंद्र $O(-2, -2)$ है और त्रिज्या $r = \sqrt{4+4-(-1)} = 3$ है।
बिंदु $C(1, 1)$ से केंद्र $O$ तक की दूरी $OC = \sqrt{(1 - (-2))^2 + (1 - (-2))^2} = \sqrt{3^2 + 3^2} = 3\sqrt{2}$ है।
समकोण त्रिभुज $\triangle OAC$ में,$\sin \alpha = \frac{OA}{OC} = \frac{3}{3\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
अतः,$\alpha = \frac{\pi}{4}$.
स्पर्श रेखाओं के युग्म के बीच का कोण $2\alpha = 2 \times \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2}$ है।

(A) माना वृत्त $x^2+y^2=4$ की स्पर्श रेखा $x \cos \theta + y \sin \theta = 2$ है।
इस रेखा को $x \cos \theta + y \sin \theta - 2 = 0$ के रूप में लिखा जा सकता है।
माना $(x_1, y_1)$ वृत्त $(x+2)^2+y^2=8$ के सापेक्ष इस स्पर्श रेखा का ध्रुव है,जिसका विस्तार $x^2+y^2+4x-4=0$ है।
$(x_1, y_1)$ के ध्रुवीय का समीकरण $x x_1 + y y_1 + 2(x+x_1) - 4 = 0$ है।
इसे पुनर्व्यवस्थित करने पर,$(x_1+2)x + y_1 y + (2x_1-4) = 0$ प्राप्त होता है।
चूंकि ये दोनों रेखाएं समान हैं,गुणांकों की तुलना करने पर:
$\frac{\cos \theta}{x_1+2} = \frac{\sin \theta}{y_1} = \frac{-1}{x_1-2}$।
अतः,$\cos \theta = -\frac{x_1+2}{x_1-2}$ और $\sin \theta = -\frac{y_1}{x_1-2}$।
सर्वसमिका $\cos^2 \theta + \sin^2 \theta = 1$ का उपयोग करने पर,$(x_1+2)^2 + y_1^2 = (x_1-2)^2$ प्राप्त होता है।
$x_1^2 + 4x_1 + 4 + y_1^2 = x_1^2 - 4x_1 + 4$।
$y_1^2 + 8x_1 = 0$।
$(x_1, y_1)$ को $(x, y)$ से प्रतिस्थापित करने पर,बिंदु पथ $y^2+8x=0$ प्राप्त होता है।

(C) वृत्त का दिया गया समीकरण $x^2+y^2-14x+2y+25=0$ है।
पूर्ण वर्ग बनाने पर,$(x^2-14x+49) + (y^2+2y+1) - 49 - 1 + 25 = 0$,जो $(x-7)^2 + (y+1)^2 = 25 = 5^2$ में सरल होता है।
अतः,त्रिज्या $r = 5$ और केंद्र $P = (7, -1)$ है।
मूलबिंदु $O(0,0)$ से केंद्र $P(7,-1)$ के बीच की दूरी $OP = \sqrt{7^2 + (-1)^2} = \sqrt{49+1} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}$ है।
मान लीजिए कि मूलबिंदु से खींची गई स्पर्श रेखाएं वृत्त को $A$ और $B$ पर स्पर्श करती हैं। समकोण त्रिभुज $\triangle OAP$ में,$\sin \theta = \frac{AP}{OP} = \frac{5}{5\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$।
इसलिए,$\theta = 45^{\circ}$।
इसी प्रकार,$\triangle OBP$ के लिए,$\sin \alpha = \frac{BP}{OP} = \frac{5}{5\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$,अतः $\alpha = 45^{\circ}$।
स्पर्श रेखाओं के बीच का कुल कोण $\theta + \alpha = 45^{\circ} + 45^{\circ} = 90^{\circ}$ है।

(C) माना $C_1: x^2+y^2=r_1^2$,$C_2: x^2+y^2=r_2^2$,और $C_3: x^2+y^2=r_3^2$ है।
माना $P(x_1, y_1)$ वृत्त $C_1$ पर एक बिंदु है,इसलिए $x_1^2+y_1^2=r_1^2$ है।
$P$ से वृत्त $C_2$ पर स्पर्श रेखाओं की स्पर्श जीवा का समीकरण $T=0$ है,जो $x x_1+y y_1-r_2^2=0$ है।
चूंकि यह रेखा वृत्त $C_3$ को स्पर्श करती है,इसलिए मूल बिंदु $(0,0)$ से रेखा की लंबवत दूरी त्रिज्या $r_3$ के बराबर होनी चाहिए।
अतः,$\frac{|0 \cdot x_1+0 \cdot y_1-r_2^2|}{\sqrt{x_1^2+y_1^2}}=r_3$।
$x_1^2+y_1^2=r_1^2$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\frac{r_2^2}{\sqrt{r_1^2}}=r_3$ प्राप्त होता है,जो $r_2^2=r_1 r_3$ में सरल हो जाता है।
इसलिए,$r_1, r_2, r_3$ $GP$ में हैं।

(D) दिया गया वृत्त समीकरण $x^2 + y^2 + 4x + 16y - 30 = 0$ है।
इसे सामान्य रूप $x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ से तुलना करने पर,$2g = 4$,$2f = 16$ और $c = -30$ प्राप्त होता है।
अतः,$g = 2$,$f = 8$ और $c = -30$ है।
इस वृत्त का केंद्र $C_1 = (-g, -f) = (-2, -8)$ है।
इस वृत्त की त्रिज्या $r_1 = \sqrt{g^2 + f^2 - c} = \sqrt{2^2 + 8^2 - (-30)} = \sqrt{4 + 64 + 30} = \sqrt{98}$ है।
माना दूसरे वृत्त का केंद्र $C_2 = (1, 2)$ और त्रिज्या $r_2$ है।
केंद्रों के बीच की दूरी $d$ के लिए $d^2 = (1 - (-2))^2 + (2 - (-8))^2 = 3^2 + 10^2 = 9 + 100 = 109$ है।
चूंकि दोनों वृत्त लंबकोणीय हैं,वे शर्त $d^2 = r_1^2 + r_2^2$ को संतुष्ट करते हैं।
मान रखने पर,$109 = 98 + r_2^2$।
$r_2^2 = 109 - 98 = 11$।
अतः,$r_2 = \sqrt{11}$।

(A) माना दिया गया वृत्त $S_1: x^2+y^2-8x-6y+23=0$ है। $S_1$ का केंद्र $(4, 3)$ है।
यदि वृत्त $S_2$,$S_1$ की परिधि को समद्विभाजित करता है,तो $S_1$ और $S_2$ की मूल अक्ष (radical axis) $S_1$ के केंद्र से गुजरनी चाहिए।
मूल अक्ष $S_1 - S_2 = 0$ द्वारा दी जाती है।
विकल्प $A$ के लिए,$S_2: x^2+y^2-6x-4y+9=0$ है।
मूल अक्ष $(x^2+y^2-8x-6y+23) - (x^2+y^2-6x-4y+9) = 0$ है।
यह सरल होकर $-2x - 2y + 14 = 0$ या $x + y - 7 = 0$ हो जाता है।
केंद्र $(4, 3)$ को मूल अक्ष के समीकरण में रखने पर: $4 + 3 - 7 = 0$ प्राप्त होता है।
चूंकि केंद्र समीकरण को संतुष्ट करता है,इसलिए वृत्त $x^2+y^2-6x-4y+9=0$,$S_1$ की परिधि को समद्विभाजित करता है।

(B) माना अभीष्ट वृत्त का समीकरण $(x-h)^2+(y-k)^2=r^2$ है। चूँकि यह $Y$-अक्ष को स्पर्श करता है,त्रिज्या $r = |h|$ है। अतः,समीकरण $(x-h)^2+(y-k)^2=h^2$ है,जो सरल होकर $x^2+y^2-2hx-2ky+k^2=0$ हो जाता है।
चूँकि यह $(3,0)$ से गुजरता है,हमारे पास $(3-h)^2+(0-k)^2=h^2$ है,जो सरल होकर $9-6h+k^2=0$ या $k^2=6h-9$ ... $(i)$ देता है।
वृत्त $x^2+y^2-6x+4y-3=0$ के लिए $g_2=-3, f_2=2, c_2=-3$ है। अभीष्ट वृत्त के लिए $g_1=-h, f_1=-k, c_1=k^2$ है।
लंबकोणीय प्रतिच्छेदन के लिए,$2(g_1g_2+f_1f_2) = c_1+c_2$।
मान रखने पर: $2((-h)(-3)+(-k)(2)) = k^2-3$,जो $6h-4k = k^2-3$ देता है।
समीकरण $(i)$ से $k^2=6h-9$ को इस समीकरण में रखने पर: $6h-4k = (6h-9)-3$,जो सरल होकर $-4k = -12$ हो जाता है,इसलिए $k=3$।
$k=3$ को $(i)$ में रखने पर: $9-6h+9=0$,इसलिए $6h=18$,$h=3$।
केंद्र $(3,3)$ है और त्रिज्या $3$ है।
समीकरण $(x-3)^2+(y-3)^2=3^2$ है,जो सरल होकर $x^2+y^2-6x-6y+9=0$ हो जाता है।

(B) दिए गए वक्र हैं: $x^2+y^2=4x$ $(i)$ और $x^2+y^2=8$ $(ii)$।
बिंदु $(2,2)$ पर वक्रों के बीच का कोण ज्ञात करने के लिए,हम इस बिंदु पर स्पर्श रेखाओं की ढाल ज्ञात करते हैं।
वक्र $(i)$ के लिए,$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $2x + 2y \frac{dy}{dx} = 4 \Rightarrow \frac{dy}{dx} = \frac{2-x}{y}$।
$(2,2)$ पर,$m_1 = \frac{2-2}{2} = 0$।
वक्र $(ii)$ के लिए,$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $2x + 2y \frac{dy}{dx} = 0 \Rightarrow \frac{dy}{dx} = -\frac{x}{y}$।
$(2,2)$ पर,$m_2 = -\frac{2}{2} = -1$।
वक्रों के बीच का कोण $\theta$,$\tan \theta = \left| \frac{m_2 - m_1}{1 + m_1 m_2} \right|$ द्वारा दिया जाता है।
$\tan \theta = \left| \frac{-1 - 0}{1 + 0 \times (-1)} \right| = |-1| = 1$।
अतः,$\theta = \tan^{-1}(1) = \frac{\pi}{4}$।
दिया गया है कि $\theta = \sin^{-1}(a)$,इसलिए $\sin^{-1}(a) = \frac{\pi}{4}$।
अतः,$a = \sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{1}{\sqrt{2}}$।

(B) दिए गए वृत्तों के समीकरण हैं:
$C_1: x^2+y^2-6x-8y-12=0$
$C_2: x^2+y^2-4x+6y+k=0$
इन्हें सामान्य रूप $x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ से तुलना करने पर:
$C_1$ के लिए: $g_1 = -3, f_1 = -4, c_1 = -12$
$C_2$ के लिए: $g_2 = -2, f_2 = 3, c_2 = k$
दो वृत्त लंबकोणीय होते हैं यदि $2g_1g_2 + 2f_1f_2 = c_1 + c_2$ हो।
मान रखने पर:
$2(-3)(-2) + 2(-4)(3) = -12 + k$
$12 - 24 = -12 + k$
$-12 = -12 + k$
$k = 0$

(A) दिए गए वृत्त $C_1: x^2+y^2+2x+4y+1=0$ और $C_2: x^2+y^2-2x+6y-3=0$ हैं।
सामान्य रूप $x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ से तुलना करने पर:
$C_1$ के लिए: $g_1=1, f_1=2, c_1=1$. केंद्र $O_1=(-1, -2)$,त्रिज्या $r_1=\sqrt{1^2+2^2-1}=2$.
$C_2$ के लिए: $g_2=-1, f_2=3, c_2=-3$. केंद्र $O_2=(1, -3)$,त्रिज्या $r_2=\sqrt{(-1)^2+3^2-(-3)}=\sqrt{13}$.
केंद्रों $O_1(-1, -2)$ और $O_2(1, -3)$ के बीच की दूरी $d=\sqrt{(1-(-1))^2+(-3-(-2))^2}=\sqrt{5}$.
वृत्तों के बीच का कोण $\theta$ सूत्र $\cos \theta = \left|\frac{d^2-r_1^2-r_2^2}{2r_1r_2}\right|$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर: $\cos \theta = \left|\frac{5-4-13}{2 \times 2 \times \sqrt{13}}\right| = \frac{3}{\sqrt{13}}$.
अतः,$\theta = \cos^{-1}\left(\frac{3}{\sqrt{13}}\right)$.

(C) बिंदु $(x_1, y_1)$ से वृत्त $S: x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ पर स्पर्श रेखा की लंबाई $\sqrt{S_1} = \sqrt{x_1^2+y_1^2+2gx_1+2fy_1+c}$ होती है।
प्रथम वृत्त $C_1: x^2+y^2+x+y-4=0$ के लिए,$(1,2)$ से स्पर्श रेखा की लंबाई $L_1$:
$L_1 = \sqrt{1^2+2^2+1+2-4} = \sqrt{4} = 2$.
दूसरे वृत्त $C_2: 3x^2+3y^2-x-y-\lambda=0$ के लिए,समीकरण को $3$ से विभाजित करने पर:
$x^2+y^2-\frac{1}{3}x-\frac{1}{3}y-\frac{\lambda}{3}=0$.
$(1,2)$ से स्पर्श रेखा की लंबाई $L_2$:
$L_2 = \sqrt{1^2+2^2-\frac{1}{3}-\frac{2}{3}-\frac{\lambda}{3}} = \sqrt{4-\frac{\lambda}{3}}$.
दिया गया अनुपात $\frac{L_1}{L_2} = \frac{3}{4}$ के अनुसार:
$\frac{2}{\sqrt{4-\frac{\lambda}{3}}} = \frac{3}{4} \Rightarrow \sqrt{4-\frac{\lambda}{3}} = \frac{8}{3}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$4-\frac{\lambda}{3} = \frac{64}{9} \Rightarrow \frac{\lambda}{3} = 4-\frac{64}{9} = -\frac{28}{9}$.
अतः,$\lambda = -\frac{28}{3}$.

(D) माना $S \equiv x^2+y^2+3x+5y+4=0$ और $S' \equiv x^2+y^2+5x+3y+4=0$ है।
उभयनिष्ठ जीवा का समीकरण $S-S'=0$ है।
$\Rightarrow (x^2+y^2+3x+5y+4) - (x^2+y^2+5x+3y+4) = 0$
$\Rightarrow -2x+2y=0$
$\Rightarrow x-y=0$.
$S=0$ का केंद्र $C\left(-\frac{3}{2}, -\frac{5}{2}\right)$ है।
त्रिज्या $r = \sqrt{\left(\frac{3}{2}\right)^2 + \left(\frac{5}{2}\right)^2 - 4} = \sqrt{\frac{9}{4} + \frac{25}{4} - 4} = \sqrt{\frac{34}{4} - \frac{16}{4}} = \sqrt{\frac{18}{4}} = \sqrt{\frac{9}{2}} = \frac{3}{\sqrt{2}}$ है।
माना $p$,$C$ से रेखा $x-y=0$ पर डाले गए लंब की लंबाई है:
$p = \frac{|-\frac{3}{2} - (-\frac{5}{2})|}{\sqrt{1^2+(-1)^2}} = \frac{|1|}{\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$ है।
उभयनिष्ठ जीवा की लंबाई $AB = 2\sqrt{r^2-p^2}$ है।
$AB = 2\sqrt{\frac{9}{2} - \frac{1}{2}} = 2\sqrt{\frac{8}{2}} = 2\sqrt{4} = 2 \times 2 = 4$।

(D) दिया गया वृत्त $x^2 + y^2 - 2x - 6y + 6 = 0$ है।
पूर्ण वर्ग बनाने पर,$(x - 1)^2 + (y - 3)^2 = 4$ प्राप्त होता है।
इस वृत्त का केंद्र $(1, 3)$ और त्रिज्या $2$ है।
चूंकि अभीष्ट वृत्त की जीवा दिए गए वृत्त का व्यास है,इसलिए जीवा के सिरे $(1, 1)$ और $(1, 5)$ हैं।
अभीष्ट वृत्त का केंद्र $(2, 1)$ है और यह $(1, 1)$ से होकर गुजरता है।
अतः त्रिज्या $r = \sqrt{(2 - 1)^2 + (1 - 1)^2} = 1$।

(D) दो वृत्तों की रेडिकल अक्ष का समीकरण दोनों समीकरणों को घटाकर प्राप्त किया जाता है: $(x^2+y^2+ax+by+c) - (x^2+y^2+bx+ay+c) = 0$.
यह सरल होकर $(a-b)x + (b-a)y = 0$ हो जाता है,जो $(a-b)(x-y) = 0$ है।
मान लीजिए $a \neq b$,तो रेडिकल अक्ष रेखा $x-y=0$ या $y=x$ है।
पहले वृत्त के समीकरण में $y=x$ रखने पर: $x^2+x^2+ax+bx+c=0 \Rightarrow 2x^2+(a+b)x+c=0$.
मान लीजिए मूल $x_1$ और $x_2$ हैं। तब $x_1+x_2 = -\frac{a+b}{2}$ और $x_1x_2 = \frac{c}{2}$.
प्रतिच्छेदन बिंदु $(x_1, x_1)$ और $(x_2, x_2)$ हैं।
उभयनिष्ठ जीवा की लंबाई इन बिंदुओं के बीच की दूरी है: $\sqrt{(x_2-x_1)^2 + (x_2-x_1)^2} = \sqrt{2(x_2-x_1)^2} = \sqrt{2} |x_2-x_1|$.
$|x_2-x_1| = \sqrt{(x_1+x_2)^2 - 4x_1x_2} = \sqrt{\frac{(a+b)^2}{4} - 2c} = \frac{\sqrt{(a+b)^2-8c}}{2}$ का उपयोग करते हुए।
अतः,लंबाई $\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{(a+b)^2-8c}}{2} = \frac{\sqrt{(a+b)^2-8c}}{\sqrt{2}}$ है।
इसलिए,कथन-$I$ असत्य है।
कथन-$II$ वृत्तों की ज्यामिति का एक मानक प्रमेय है,जो सत्य है।
अतः,कथन-$I$ असत्य है और कथन-$II$ सत्य है।

(B) दिए गए वृत्त $S_1: x^2+y^2-2x+4y-4=0$ और $S_2: x^2+y^2+4x-6y-3=0$ हैं।
उभयनिष्ठ जीवा का समीकरण $S_1 - S_2 = 0$ द्वारा प्राप्त होता है।
$(x^2+y^2-2x+4y-4) - (x^2+y^2+4x-6y-3) = 0$.
$-6x + 10y - 1 = 0$,जिसे $6x - 10y + 1 = 0$ के रूप में लिखा जा सकता है।
बिंदु $(x_1, y_1) = (1, 2)$ से रेखा $Ax + By + C = 0$ की लंबवत दूरी $d = \frac{|Ax_1 + By_1 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$ होती है।
मान रखने पर: $d = \frac{|6(1) - 10(2) + 1|}{\sqrt{6^2 + (-10)^2}}$.
$d = \frac{|6 - 20 + 1|}{\sqrt{36 + 100}} = \frac{|-13|}{\sqrt{136}} = \frac{13}{\sqrt{136}}$ इकाई।

(A) माना अभीष्ट वृत्त $x^2+y^2+2gx+2fy+c=0 \dots(1)$ है।
दो वृत्त $x^2+y^2+2g_1x+2f_1y+c_1=0$ और $x^2+y^2+2g_2x+2f_2y+c_2=0$ लंबकोणीय रूप से काटते हैं यदि $2g_1g_2+2f_1f_2=c_1+c_2$ हो।
इस शर्त को वृत्त $(1)$ और दिए गए वृत्तों पर लागू करने पर:
वृत्त $x^2+y^2-2x+3y-7=0$ के लिए: $2g(-1)+2f(3/2)=c-7 \Rightarrow -2g+3f-c=-7 \dots(2)$.
वृत्त $x^2+y^2+5x-5y+9=0$ के लिए: $2g(5/2)+2f(-5/2)=c+9 \Rightarrow 5g-5f-c=9 \dots(3)$.
वृत्त $x^2+y^2+7x-9y+29=0$ के लिए: $2g(7/2)+2f(-9/2)=c+29 \Rightarrow 7g-9f-c=29 \dots(4)$.
समीकरण $(3)$ में से $(2)$ घटाने पर: $(5g-5f-c) - (-2g+3f-c) = 9 - (-7) \Rightarrow 7g-8f=16 \dots(5)$.
समीकरण $(4)$ में से $(3)$ घटाने पर: $(7g-9f-c) - (5g-5f-c) = 29 - 9$ $\Rightarrow 2g-4f=20$ $\Rightarrow g-2f=10$ $\Rightarrow g=2f+10$.
$g$ का मान $(5)$ में रखने पर: $7(2f+10)-8f=16$ $\Rightarrow 14f+70-8f=16$ $\Rightarrow 6f=-54$ $\Rightarrow f=-9$.
अतः $g=2(-9)+10=-8$.
$(2)$ से: $-2(-8)+3(-9)-c=-7$ $\Rightarrow 16-27-c=-7$ $\Rightarrow -11-c=-7$ $\Rightarrow c=-4$.
$g, f, c$ का मान $(1)$ में रखने पर: $x^2+y^2-16x-18y-4=0$.

(D) दिया गया वृत्त का समीकरण $x^2+y^2+4x+6y-3=0$ है।
दिया गया बिंदु $P(1, 1)$ है।
वृत्त $x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ के सापेक्ष बिंदु $(x_1, y_1)$ के ध्रुवीय का समीकरण $x \cdot x_1 + y \cdot y_1 + g(x+x_1) + f(y+y_1) + c = 0$ होता है।
यहाँ,$g=2$,$f=3$,$c=-3$,$x_1=1$,और $y_1=1$ है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$x(1) + y(1) + 2(x+1) + 3(y+1) - 3 = 0$
$x + y + 2x + 2 + 3y + 3 - 3 = 0$
$3x + 4y + 2 = 0$.

(B) तीन वृत्तों के सापेक्ष समान पावर वाला बिंदु उनका रेडिकल केंद्र होता है।
रेडिकल केंद्र ज्ञात करने के लिए,हम वृत्त के समीकरणों को घटाकर रेडिकल अक्षों के समीकरण प्राप्त करते हैं।
माना $S_1: x^2+y^2-8x+40=0$
$S_2: x^2+y^2-5x+16=0$
$S_3: x^2+y^2-8x+16y+160=0$
रेडिकल अक्ष $S_1 - S_2 = 0$:
$(-8x+5x) + (40-16) = 0 \implies -3x + 24 = 0 \implies x = 8$.
रेडिकल अक्ष $S_1 - S_3 = 0$:
$(-8x+8x) - 16y + (40-160) = 0 \implies -16y - 120 = 0 \implies 16y = -120 \implies y = -\frac{120}{16} = -\frac{15}{2}$.
रेडिकल केंद्र इन अक्षों का प्रतिच्छेदन बिंदु है,जो $\left(8, -\frac{15}{2}\right)$ है।

(C) दिए गए वृत्त $S_1: x^2+y^2+4x+6y+7=0$ और $S_2: 4x^2+4y^2+8x+12y-9=0$ हैं।
मूलाक्ष ज्ञात करने के लिए,हम $S_2$ को $4$ से विभाजित करके सामान्यीकृत करते हैं:
$S_2: x^2+y^2+2x+3y-\frac{9}{4}=0$.
मूलाक्ष का समीकरण $S_1 - S_2 = 0$ द्वारा दिया जाता है।
$(x^2+y^2+4x+6y+7) - (x^2+y^2+2x+3y-\frac{9}{4}) = 0$.
$(4x-2x) + (6y-3y) + (7 + \frac{9}{4}) = 0$.
$2x + 3y + \frac{37}{4} = 0$.
$4$ से गुणा करने पर,हमें $8x + 12y + 37 = 0$ प्राप्त होता है।

(A) दो वृत्तों $S_1=0$ और $S_2=0$ की मूलाक्ष $S_1 - S_2 = 0$ द्वारा दी जाती है।
$ (x^2+y^2-4x+6y-10) - (x^2+y^2+2x-6y+2) = 0 $
$ -6x + 12y - 12 = 0 $
$ x - 2y + 2 = 0 $
यह मूलाक्ष का समीकरण है।
$S_1$ के साथ प्रतिच्छेदन ज्ञात करने के लिए,हम $x = 2y - 2$ को $S_1$ में प्रतिस्थापित करते हैं:
$ (2y-2)^2 + y^2 - 4(2y-2) + 6y - 10 = 0 $
$ 4y^2 - 8y + 4 + y^2 - 8y + 8 + 6y - 10 = 0 $
$ 5y^2 - 10y + 2 = 0 $
विविक्तकर $D = b^2 - 4ac = (-10)^2 - 4(5)(2) = 100 - 40 = 60$.
चूंकि $D > 0$,द्विघात समीकरण के $y$ के लिए दो वास्तविक और भिन्न मूल हैं,जिसका अर्थ है कि मूलाक्ष वृत्त $S_1$ को दो वास्तविक और भिन्न बिंदुओं पर काटती है।

(A) दो वृत्तों $S_1=0$ और $S_2=0$ की मूल अक्ष $S_1-S_2=0$ द्वारा दी जाती है।
$L_1$ के लिए: $(x^2+y^2-4x-6y+5) - (x^2+y^2-2x-4y-1) = 0$।
सरल करने पर,हमें $-2x-2y+6=0$ प्राप्त होता है,जो $x+y-3=0$ है।
$L_2$ के लिए: $(x^2+y^2+2x+2y-7) - (x^2+y^2+x+y+9) = 0$।
सरल करने पर,हमें $x+y-16=0$ प्राप्त होता है।
$L_1$ और $L_2$ की ढाल (slope) दोनों $m = -1$ हैं।
चूंकि ढाल समान हैं,इसलिए $L_1$,$L_2$ के समांतर है।

(B) $S$ और $S'$ की रेडिकल अक्ष $S - S' = 0$ द्वारा दी जाती है:
$(x^2 + y^2 + 2x + 17y + 4) - (x^2 + y^2 + 7x + 6y + 11) = 0$
$-5x + 11y - 7 = 0 \implies 5x - 11y + 7 = 0$ ...$(i)$
$S'$ और $S''$ की रेडिकल अक्ष $S' - S'' = 0$ द्वारा दी जाती है:
$(x^2 + y^2 + 7x + 6y + 11) - (x^2 + y^2 - x + 22y + 3) = 0$
$8x - 16y + 8 = 0 \implies x - 2y + 1 = 0$ ...(ii)
समीकरणों $(i)$ और (ii) को हल करने पर:
(ii) से,$x = 2y - 1$. $(i)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$5(2y - 1) - 11y + 7 = 0
10y - 5 - 11y + 7 = 0
-y + 2 = 0 \implies y = 2$.
अतः $x = 2(2) - 1 = 3$.
रेडिकल केंद्र $(3, 2)$ है।
$(3, 2)$ से $S = 0$ पर स्पर्श रेखा की लंबाई $\sqrt{S(3, 2)}$ है:
$\sqrt{3^2 + 2^2 + 2(3) + 17(2) + 4} = \sqrt{9 + 4 + 6 + 34 + 4} = \sqrt{57}$.

(B) माना बिंदु $P$ के निर्देशांक $(h, k)$ हैं।
दिए गए बिंदु $A(-2, 1)$ और $B(3, 0)$ हैं।
$AP$ की ढाल $m_1 = \frac{k-1}{h+2}$ है।
$BP$ की ढाल $m_2 = \frac{k-0}{h-3} = \frac{k}{h-3}$ है।
चूंकि $\angle APB = 90^{\circ}$,ढालों का गुणनफल $-1$ होना चाहिए,अर्थात $m_1 m_2 = -1$।
$\frac{k-1}{h+2} \times \frac{k}{h-3} = -1$.
$\frac{k^2-k}{h^2-h-6} = -1$.
$k^2-k = -(h^2-h-6)$.
$h^2+k^2-h-k-6 = 0$.
$(h, k)$ को $(x, y)$ से प्रतिस्थापित करने पर,बिंदु $P$ का बिंदुपथ $x^2+y^2-x-y-6=0$ प्राप्त होता है।

(C) वृत्त पर किसी भी बिंदु पर अभिलंब हमेशा उसके केंद्र से होकर गुजरता है। अभिलंब $(4,3)$ और $(2,1)$ से होकर गुजरता है।
इस अभिलंब का समीकरण $y-1 = \frac{3-1}{4-2}(x-2)$ $\Rightarrow y-1 = 1(x-2)$ $\Rightarrow y = x-1 \dots(1)$ है।
वृत्त का केंद्र इस अभिलंब पर स्थित है। हमें यह भी दिया गया है कि $2x-y-2=0$ एक व्यास है,इसलिए केंद्र इस रेखा पर भी स्थित है $\dots(2)$।
$(1)$ और $(2)$ को हल करने पर,$y = x-1$ को $2x-(x-1)-2=0$ में प्रतिस्थापित करने पर,हमें $x-1=0 \Rightarrow x=1$ प्राप्त होता है। तब $y=0$। अतः,केंद्र $(1,0)$ है।
त्रिज्या $r$,केंद्र $(1,0)$ और वृत्त पर स्थित बिंदु $(2,1)$ के बीच की दूरी है: $r = \sqrt{(2-1)^2 + (1-0)^2} = \sqrt{1^2+1^2} = \sqrt{2}$।
केंद्र $(1,0)$ और त्रिज्या $\sqrt{2}$ वाले वृत्त का समीकरण $(x-1)^2 + (y-0)^2 = (\sqrt{2})^2$ $\Rightarrow x^2-2x+1+y^2=2$ $\Rightarrow x^2+y^2-2x-1=0$ है।

(C) मान लीजिए बिंदु $P$ के निर्देशांक $(h, k)$ हैं,जो जीवा $AB$ का मध्य बिंदु है।
अब,$OP = \sqrt{(h-0)^2 + (k-0)^2} = \sqrt{h^2+k^2}$.
$\triangle AOP$ में,कोण $\angle AOP = \frac{1}{2} \times \frac{2\pi}{3} = \frac{\pi}{3}$.
$\triangle AOP$ में त्रिकोणमिति का उपयोग करने पर,$\cos\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{OP}{OA}$.
चूंकि $OA$ वृत्त की त्रिज्या है,इसलिए $OA = 3$.
$\Rightarrow \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{h^2+k^2}}{3}$.
$\Rightarrow \sqrt{h^2+k^2} = \frac{3}{2}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$h^2+k^2 = \frac{9}{4}$.
$(h, k)$ को $(x, y)$ से प्रतिस्थापित करने पर,अभीष्ट बिंदुपथ $x^2+y^2 = \frac{9}{4}$ है।

(C) माना $A$ के निर्देशांक $(a, 0)$ और $B$ के निर्देशांक $(0, b)$ हैं।
चूंकि वृत्त मूल बिंदु $O(0, 0)$ से होकर गुजरता है और अक्षों को $A(a, 0)$ और $B(0, b)$ पर मिलता है, इसलिए $AB$ वृत्त का व्यास है।
व्यास की लंबाई $2 \times \text{त्रिज्या} = 2 \times 6 = 12$ है।
अतः, $a^2 + b^2 = 12^2 = 144$ है।
माना $(h, k)$ $\triangle OAB$ का केंद्रक है। केंद्रक के निर्देशांक $h = \frac{0+a+0}{3} = \frac{a}{3}$ और $k = \frac{0+0+b}{3} = \frac{b}{3}$ हैं।
इसलिए, $a = 3h$ और $b = 3k$ है।
इन मानों को $a^2 + b^2 = 144$ में रखने पर, हमें $(3h)^2 + (3k)^2 = 144$ प्राप्त होता है।
$9h^2 + 9k^2 = 144$ है।
$9$ से भाग देने पर, $h^2 + k^2 = 16$ प्राप्त होता है।
$(h, k)$ को $(x, y)$ से प्रतिस्थापित करने पर, केंद्रक का बिंदुपथ $x^2 + y^2 = 16$ है।

(B) वृत्त $x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ के सापेक्ष दो बिंदुओं $(x_1, y_1)$ और $(x_2, y_2)$ के संयुग्मी होने की शर्त है:
$x_1x_2 + y_1y_2 + g(x_1 + x_2) + f(y_1 + y_2) + c = 0$
दिए गए वृत्त $x^2 + y^2 + 6x + 4y + 12 = 0$ के लिए,$g = 3$,$f = 2$,और $c = 12$ है।
बिंदुओं $(6, -k)$ और $(-3, 2)$ को शर्त में रखने पर:
$(6)(-3) + (-k)(2) + 3(6 - 3) + 2(-k + 2) + 12 = 0$
$-18 - 2k + 9 - 2k + 4 + 12 = 0$
$-4k + 7 = 0$
$4k = 7$
$k = \frac{7}{4}$

(A) $S_1: x^2+y^2-1=0$ और $S_2: x^2+y^2-2x+y=0$ के प्रतिच्छेदन से गुजरने वाले वृत्तों के परिवार का समीकरण $S_1 + kS_2 = 0$ $(k \neq -1)$ है।
$(x^2+y^2-1) + k(x^2+y^2-2x+y) = 0$
$(1+k)x^2 + (1+k)y^2 - 2kx + ky - (1+k) = 0$
$(1+k)$ से विभाजित करने पर,$x^2 + y^2 - \frac{2k}{1+k}x + \frac{k}{1+k}y - 1 = 0$ प्राप्त होता है।
इस वृत्त का केंद्र $(h, k')$ $(-g, -f) = \left(\frac{k}{1+k}, \frac{-k}{2(1+k)}\right)$ है।
माना $x = \frac{k}{1+k}$ और $y = \frac{-k}{2(1+k)}$।
अतः $2y = \frac{-k}{1+k}$।
$x$ और $2y$ को जोड़ने पर,$x + 2y = \frac{k}{1+k} - \frac{k}{1+k} = 0$ प्राप्त होता है।
अतः,बिंदुपथ रेखा $x+2y=0$ है।

(C) हम जानते हैं कि एक सदिश की दिक्-कोज्याओं (direction cosines) के वर्गों का योग $1$ होता है।
$\cos^2 \alpha + \cos^2 \beta + \cos^2 \gamma = 1$
यहाँ दिया गया है कि सदिश $x$ और $y$ अक्षों के साथ समान कोण $\alpha$ बनाता है,इसलिए $\alpha = \beta$। साथ ही,यह $z$-अक्ष के साथ $90^{\circ}$ का कोण बनाता है,इसलिए $\gamma = 90^{\circ}$।
इन मानों को सर्वसमिका में रखने पर:
$\cos^2 \alpha + \cos^2 \alpha + \cos^2 90^{\circ} = 1$
$2 \cos^2 \alpha + 0 = 1$
$\cos^2 \alpha = \frac{1}{2}$
$\cos \alpha = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}$
अतः,$\alpha = 45^{\circ}$ या $135^{\circ}$।

(A) दिया गया है कि $\triangle ABC$ में $D, E$ और $F$ क्रमशः $AB, AC$ और $BC$ के मध्य-बिंदु हैं।
माना शीर्षों $A, B$ और $C$ के स्थिति सदिश क्रमशः $\vec{a}, \vec{b}$ और $\vec{c}$ हैं।
अतः,मध्य-बिंदुओं के स्थिति सदिश इस प्रकार हैं:
$\overrightarrow{D} = \frac{\vec{a} + \vec{b}}{2}$
$\overrightarrow{E} = \frac{\vec{a} + \vec{c}}{2}$
$\overrightarrow{F} = \frac{\vec{b} + \vec{c}}{2}$
अब,हम सदिशों $\overrightarrow{BE}$ और $\overrightarrow{AF}$ की गणना करते हैं:
$\overrightarrow{BE} = \overrightarrow{E} - \overrightarrow{B} = \frac{\vec{a} + \vec{c}}{2} - \vec{b} = \frac{\vec{a} + \vec{c} - 2\vec{b}}{2}$
$\overrightarrow{AF} = \overrightarrow{F} - \overrightarrow{A} = \frac{\vec{b} + \vec{c}}{2} - \vec{a} = \frac{\vec{b} + \vec{c} - 2\vec{a}}{2}$
इन दोनों सदिशों को जोड़ने पर:
$\overrightarrow{BE} + \overrightarrow{AF} = \frac{\vec{a} + \vec{c} - 2\vec{b} + \vec{b} + \vec{c} - 2\vec{a}}{2}$
$= \frac{2\vec{c} - \vec{a} - \vec{b}}{2} = \vec{c} - \frac{\vec{a} + \vec{b}}{2}$
चूंकि $\overrightarrow{DC} = \overrightarrow{C} - \overrightarrow{D} = \vec{c} - \frac{\vec{a} + \vec{b}}{2}$,इसलिए हमें प्राप्त होता है:
$\overrightarrow{BE} + \overrightarrow{AF} = \overrightarrow{DC}$

(B) दिया गया है कि,$\vec{a}=\frac{3}{2} \hat{k}$ और $\vec{b}=\frac{2 \hat{i}+2 \hat{j}-\hat{k}}{2} = \hat{i}+\hat{j}-\frac{1}{2} \hat{k}$.
सबसे पहले,$\vec{a}+\vec{b} = \hat{i}+\hat{j}+(\frac{3}{2}-\frac{1}{2}) \hat{k} = \hat{i}+\hat{j}+\hat{k}$ की गणना करें।
इसके बाद,$\vec{a}-\vec{b} = -\hat{i}-\hat{j}+(\frac{3}{2}+\frac{1}{2}) \hat{k} = -\hat{i}-\hat{j}+2 \hat{k}$ की गणना करें।
मान लीजिए $\vec{u} = \vec{a}+\vec{b}$ और $\vec{v} = \vec{a}-\vec{b}$ है।
उनका अदिश गुणनफल $\vec{u} \cdot \vec{v} = (1)(-1) + (1)(-1) + (1)(2) = -1 - 1 + 2 = 0$ है।
चूंकि अदिश गुणनफल $0$ है,इसलिए सदिश परस्पर लंबवत हैं।
अतः,उनके बीच का कोण $\theta = 90^{\circ}$ है।

(A) माना समांतर चतुर्भुज के विकर्ण $\overrightarrow{d_1} = \overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}$ और $\overrightarrow{d_2} = \overrightarrow{b} + \overrightarrow{c}$ हैं।
$\overrightarrow{d_1} = (\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}) + (\hat{i} + 3\hat{j} + 5\hat{k}) = 2\hat{i} + 4\hat{j} + 6\hat{k}$
$\overrightarrow{d_2} = (\hat{i} + 3\hat{j} + 5\hat{k}) + (7\hat{i} + 9\hat{j} + 11\hat{k}) = 8\hat{i} + 12\hat{j} + 16\hat{k}$
विकर्णों $\overrightarrow{d_1}$ और $\overrightarrow{d_2}$ वाले समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल $\frac{1}{2} |\overrightarrow{d_1} \times \overrightarrow{d_2}|$ द्वारा दिया जाता है।
$\overrightarrow{d_1} \times \overrightarrow{d_2} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & 4 & 6 \\ 8 & 12 & 16 \end{vmatrix} = \hat{i}(64 - 72) - \hat{j}(32 - 48) + \hat{k}(24 - 32) = -8\hat{i} + 16\hat{j} - 8\hat{k}$
परिमाण $|\overrightarrow{d_1} \times \overrightarrow{d_2}| = \sqrt{(-8)^2 + 16^2 + (-8)^2} = \sqrt{64 + 256 + 64} = \sqrt{384} = \sqrt{64 \times 6} = 8\sqrt{6}$
क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times 8\sqrt{6} = 4\sqrt{6}$ वर्ग इकाई।

(D) एक सदिश $\vec{r} = a\hat{i} + b\hat{j} + c\hat{k}$ निर्देशांक अक्षों के साथ समान रूप से झुका होता है यदि इसके दिक्-कोज्या (direction cosines) समान हों,अर्थात $\cos \alpha = \cos \beta = \cos \gamma$।
इसका अर्थ है कि दिक्-अनुपात (direction ratios) का परिमाण समान होना चाहिए,अर्थात $|a| = |b| = |c|$।
विकल्पों की जाँच करने पर:
विकल्प $D$ के लिए,$\vec{v} = 4\hat{i} + 4\hat{j} + 4\hat{k}$।
दिक्-अनुपात $a=4, b=4, c=4$ हैं।
परिमाण $|\vec{v}| = \sqrt{4^2 + 4^2 + 4^2} = \sqrt{48} = 4\sqrt{3}$ है।
दिक्-कोज्या $\left(\frac{4}{4\sqrt{3}}, \frac{4}{4\sqrt{3}}, \frac{4}{4\sqrt{3}}\right) = \left(\frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{1}{\sqrt{3}}\right)$ हैं।
चूंकि सभी दिक्-कोज्या समान हैं,इसलिए सदिश $4\hat{i} + 4\hat{j} + 4\hat{k}$ निर्देशांक अक्षों के साथ समान रूप से झुका हुआ है।

(C) दिए गए स्थिति सदिश $\vec{A} = \hat{i}+4 \hat{j}+3 \hat{k}$,$\vec{B} = \hat{i}+2 \hat{j}+3 \hat{k}$,और $\vec{C} = 3 \hat{i}+2 \hat{j}+\hat{k}$ हैं।
चूंकि $D$,$BC$ का मध्य बिंदु है,इसलिए इसका स्थिति सदिश $\vec{D} = \frac{\vec{B} + \vec{C}}{2} = \frac{(\hat{i}+2 \hat{j}+3 \hat{k}) + (3 \hat{i}+2 \hat{j}+\hat{k})}{2} = \frac{4 \hat{i}+4 \hat{j}+4 \hat{k}}{2} = 2 \hat{i}+2 \hat{j}+2 \hat{k}$ है।
चूंकि $E$,$AC$ का मध्य बिंदु है,इसलिए इसका स्थिति सदिश $\vec{E} = \frac{\vec{A} + \vec{C}}{2} = \frac{(\hat{i}+4 \hat{j}+3 \hat{k}) + (3 \hat{i}+2 \hat{j}+\hat{k})}{2} = \frac{4 \hat{i}+6 \hat{j}+4 \hat{k}}{2} = 2 \hat{i}+3 \hat{j}+2 \hat{k}$ है।
अब,$\overrightarrow{DE} = \vec{E} - \vec{D} = (2 \hat{i}+3 \hat{j}+2 \hat{k}) - (2 \hat{i}+2 \hat{j}+2 \hat{k}) = \hat{j}$।

(A) बिंदुओं $u$ और $v$ के स्थिति सदिश क्रमशः $(2, 1)$ और $(3, -5)$ दिए गए हैं।
बिंदुओं $(x_1, y_1) = (2, 1)$ और $(x_2, y_2) = (3, -5)$ से गुजरने वाली रेखा का समीकरण $y - y_1 = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}(x - x_1)$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर: $y - 1 = \frac{-5 - 1}{3 - 2}(x - 2) \Rightarrow y - 1 = -6(x - 2) \Rightarrow y - 1 = -6x + 12 \Rightarrow 6x + y = 13$.
अब,हम जाँचते हैं कि कौन से बिंदु समीकरण $6x + y = 13$ को संतुष्ट करते हैं:
$P\left(\frac{5}{2}, -2\right)$ के लिए: $6\left(\frac{5}{2}\right) + (-2) = 15 - 2 = 13$. (संतुष्ट करता है)
$Q\left(\frac{7}{3}, -1\right)$ के लिए: $6\left(\frac{7}{3}\right) + (-1) = 14 - 1 = 13$. (संतुष्ट करता है)
$R\left(\frac{9}{4}, 0\right)$ के लिए: $6\left(\frac{9}{4}\right) + 0 = \frac{27}{2} = 13.5 \neq 13$. (संतुष्ट नहीं करता है)
अतः,केवल बिंदु $P$ और $Q$ रेखा पर स्थित हैं।

(B) हम जानते हैं कि $|u-v|^2 = |u|^2 + |v|^2 - 2(\vec{u} \cdot \vec{v})$.
साथ ही,$(||u|-|v||)^2 = |u|^2 + |v|^2 - 2|u||v|$.
समानता $|u-v| = ||u|-|v||$ के सत्य होने के लिए,उनके वर्ग बराबर होने चाहिए:
$|u|^2 + |v|^2 - 2(\vec{u} \cdot \vec{v}) = |u|^2 + |v|^2 - 2|u||v|$.
यह सरल होकर $\vec{u} \cdot \vec{v} = |u||v|$ हो जाता है।
चूंकि $\vec{u} \cdot \vec{v} = |u||v| \cos \theta$,इसलिए $|u||v| \cos \theta = |u||v|$.
इसका अर्थ है $\cos \theta = 1$,जिसका अर्थ है $\theta = 0$.
अतः,$u$ और $v$ को एक ही दिशा में होना चाहिए।

(A) दिया गया है कि $\vec{OA}=\vec{a}$ और $\vec{OB}=\vec{b}$ है।
चूंकि $B$,$AC$ का मध्य-बिंदु है,इसलिए हमारे पास $\vec{OB} = \frac{\vec{OA} + \vec{OC}}{2}$ है।
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$\vec{b} = \frac{\vec{a} + \vec{OC}}{2}$
$2\vec{b} = \vec{a} + \vec{OC}$
$\vec{OC} = 2\vec{b} - \vec{a}$.

(D) सदिश योग के त्रिभुज नियम के अनुसार,हमारे पास है:
$\vec{AB} + \vec{BC} = \vec{AC}$
इसी प्रकार,षट्भुज की दूसरी भुजा के लिए:
$\vec{FE} + \vec{ED} = \vec{FD}$
एक नियमित षट्भुज $ABCDEF$ में,विकर्ण $\vec{AC}$ विकर्ण $\vec{FD}$ के समांतर होता है।
इसलिए,सदिश $\vec{AB} + \vec{BC}$,$\vec{FE} + \vec{ED}$ के समांतर है।

(B) तीन सदिश $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ समतलीय होते हैं यदि उनका अदिश त्रिक गुणनफल शून्य हो,अर्थात $[\vec{a} \vec{b} \vec{c}] = 0$.
दिए गए सदिश $\vec{a} = 35 \hat{i}+14 \hat{j}-77 \hat{k}$,$\vec{b} = 2 \hat{i}+7 \hat{j}+5 \hat{k}$,और $\vec{c} = 5 \hat{i}+2 \hat{j}+\lambda \hat{k}$ हैं।
समतलीयता के लिए शर्त सारणिक द्वारा दी जाती है:
$\left|\begin{array}{ccc} 35 & 14 & -77 \\ 2 & 7 & 5 \\ 5 & 2 & \lambda \end{array}\right| = 0$
प्रथम पंक्ति के अनुदिश सारणिक का विस्तार करने पर:
$35(7\lambda - 10) - 14(2\lambda - 25) - 77(4 - 35) = 0$
$245\lambda - 350 - 28\lambda + 350 - 77(-31) = 0$
$217\lambda + 2387 = 0$
$217$ से भाग देने पर:
$\lambda + 11 = 0$
$\lambda = -11$

(D) केंद्र $O$ वाले एक सम षट्भुज $ABCDEF$ में,सदिश $\vec{AO}$ केंद्र $O$ से शीर्ष $A$ तक के निर्देशित रेखाखंड को दर्शाता है।
सम षट्भुज के गुणों के अनुसार,सदिश $\vec{AO}$ सदिश $\vec{ED}$ और $\vec{BC}$ के बराबर होता है।
दिए गए विकल्पों को देखने पर,$\vec{BC}$ स्पष्ट रूप से सूचीबद्ध नहीं है,लेकिन हम दिए गए सदिशों का विश्लेषण कर सकते हैं।
ध्यान दें कि $\vec{AO} = \vec{ED} = \vec{BC}$।
अतः,सदिश $\vec{AO}$,$\vec{ED}$ के बराबर है।

(B) मान लीजिए सदिश $\vec{OA}, \vec{OB}, \vec{OC}$ हैं। हमें $\vec{R} = \vec{OA} + \vec{OB} + \vec{OC}$ का परिमाण ज्ञात करना है।
मान लीजिए $\vec{OB}$ $y$-अक्ष के अनुदिश है,अतः $\vec{OB} = R\hat{j}$.
तब $\vec{OA} = R(\cos 45^{\circ} \hat{i} + \sin 45^{\circ} \hat{j}) = R(\frac{1}{\sqrt{2}}\hat{i} + \frac{1}{\sqrt{2}}\hat{j})$.
और $\vec{OC} = R(\cos 45^{\circ} \hat{i} - \sin 45^{\circ} \hat{j}) = R(\frac{1}{\sqrt{2}}\hat{i} - \frac{1}{\sqrt{2}}\hat{j})$.
इन सदिशों का योग करने पर:
$\vec{R} = \vec{OA} + \vec{OB} + \vec{OC} = R(\frac{1}{\sqrt{2}}\hat{i} + \frac{1}{\sqrt{2}}\hat{j}) + R\hat{j} + R(\frac{1}{\sqrt{2}}\hat{i} - \frac{1}{\sqrt{2}}\hat{j})$
$\vec{R} = R(\frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2}})\hat{i} + R(\frac{1}{\sqrt{2}} + 1 - \frac{1}{\sqrt{2}})\hat{j}$
$\vec{R} = R(\frac{2}{\sqrt{2}})\hat{i} + R\hat{j} = \sqrt{2}R\hat{i} + R\hat{j}$.
$\vec{OA}$ और $\vec{OC}$ का परिणामी सदिश $2R \cos(45^{\circ}) \hat{j} = \sqrt{2}R \hat{j}$ है।
इसमें $\vec{OB} = R \hat{j}$ जोड़ने पर,कुल परिणामी सदिश $(\sqrt{2} + 1)R \hat{j}$ प्राप्त होता है।
अतः,इसका परिमाण $(\sqrt{2} + 1)R$ है।

(D) मान लीजिए कि चार बिंदुओं के स्थिति सदिश $A = \hat{i}+\hat{j}-\hat{k}$,$B = 2\hat{i}+3\hat{j}$,$C = 5\hat{j}-2\hat{k}$,और $D = -\hat{j}+\hat{k}$ हैं।
हम भुजाओं को दर्शाने वाले सदिशों की गणना करते हैं:
$\vec{AB} = B - A = (2\hat{i}+3\hat{j}) - (\hat{i}+\hat{j}-\hat{k}) = \hat{i}+2\hat{j}+\hat{k}$.
$\vec{BC} = C - B = (5\hat{j}-2\hat{k}) - (2\hat{i}+3\hat{j}) = -2\hat{i}+2\hat{j}-2\hat{k}$.
$\vec{CD} = D - C = (-\hat{j}+\hat{k}) - (5\hat{j}-2\hat{k}) = -6\hat{j}+3\hat{k}$.
$\vec{DA} = A - D = (\hat{i}+\hat{j}-\hat{k}) - (-\hat{j}+\hat{k}) = \hat{i}+2\hat{j}-2\hat{k}$.
चूंकि भुजाओं को दर्शाने वाले सदिश एक-दूसरे के समांतर नहीं हैं (अर्थात,$\vec{AB} \neq k\vec{CD}$ और $\vec{BC} \neq k\vec{DA}$),इसलिए यह आकृति समांतर चतुर्भुज या समलंब चतुर्भुज की शर्तों को पूरा नहीं करती है।
अतः,इन चार बिंदुओं द्वारा निर्मित आकृति एक सामान्य चतुर्भुज है।

(B) माना $\vec{a} = \hat{i} + \hat{j} + 2\hat{k}$ और $\vec{b} = 3\hat{i} - 2\hat{j} + \hat{k}$ है।
आसन्न भुजाओं $\vec{a}$ और $\vec{b}$ वाले समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल $|\vec{a} \times \vec{b}|$ द्वारा दिया जाता है।
सबसे पहले,सदिश गुणनफल $\vec{a} \times \vec{b}$ की गणना करें:
$\vec{a} \times \vec{b} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 1 & 2 \\ 3 & -2 & 1 \end{vmatrix}$
$= \hat{i}(1(1) - 2(-2)) - \hat{j}(1(1) - 2(3)) + \hat{k}(1(-2) - 1(3))$
$= \hat{i}(1 + 4) - \hat{j}(1 - 6) + \hat{k}(-2 - 3)$
$= 5\hat{i} + 5\hat{j} - 5\hat{k}$
अब,इसका परिमाण $|\vec{a} \times \vec{b}| = \sqrt{5^2 + 5^2 + (-5)^2}$ की गणना करें।
$= \sqrt{25 + 25 + 25} = \sqrt{75} = \sqrt{25 \times 3} = 5\sqrt{3}$।
अतः,क्षेत्रफल $5\sqrt{3}$ वर्ग इकाई है।

(A) समांतर चतुर्भुज $ABCD$ में,हमारे पास $\vec{AB} = \vec{DC}$ और $\vec{AD} = \vec{BC}$ है।
चूंकि $L$,$BC$ का मध्य-बिंदु है,इसलिए $\vec{BL} = \frac{1}{2} \vec{BC}$ है।
$\triangle ABL$ में सदिश योग के त्रिभुज नियम का उपयोग करने पर:
$\vec{AL} = \vec{AB} + \vec{BL}$
ज्ञात मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$\vec{AL} = \vec{DC} + \frac{1}{2} \vec{BC}$
चूंकि समांतर चतुर्भुज में $\vec{BC} = \vec{AD}$ होता है,इसलिए हमें प्राप्त होता है:
$\vec{AL} = \vec{DC} + \frac{1}{2} \vec{AD}$

(C) दो सदिश $\vec{a} = a_1 \hat{i} + b_1 \hat{j} + c_1 \hat{k}$ और $\vec{b} = a_2 \hat{i} + b_2 \hat{j} + c_2 \hat{k}$ संरेख होते हैं यदि उनके घटक समानुपाती हों,अर्थात किसी स्थिरांक $k$ के लिए $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2} = k$ हो।
दिए गए सदिश $\vec{a} = \hat{i} + 2 \hat{j} + m \hat{k}$ और $\vec{b} = \hat{i} + m \hat{j} + 2 \hat{k}$ हैं।
इनके संरेख होने के लिए,$\frac{1}{1} = \frac{2}{m} = \frac{m}{2}$ होना चाहिए।
$\frac{1}{1} = \frac{2}{m}$ से,हमें $m = 2$ प्राप्त होता है।
$\frac{1}{1} = \frac{m}{2}$ से,हमें $m = 2$ प्राप्त होता है।
चूंकि दोनों शर्तें समान मान $m = 2$ देती हैं,इसलिए $m$ का केवल $1$ ऐसा मान है जिसके लिए सदिश संरेख हैं।

(A) दिया गया है कि $ABCDEF$ एक नियमित षट्भुज है जिसमें $\vec{AB} = \vec{a}$ और $\vec{BC} = \vec{b}$ है।
एक नियमित षट्भुज में,विपरीत भुजाएँ समानांतर और परिमाण में समान होती हैं। अतः,$\vec{ED} = \vec{AB} = \vec{a}$ और $\vec{FE} = \vec{BC} = \vec{b}$ है।
साथ ही,मुख्य विकर्ण $\vec{AD}$,$\vec{BC}$ के समानांतर है और इसका परिमाण $\vec{BC}$ का दोगुना है। इसलिए,$\vec{AD} = 2\vec{BC} = 2\vec{b}$ है।
$\triangle ABC$ में सदिश योग के त्रिभुज नियम का उपयोग करने पर:
$\vec{AC} = \vec{AB} + \vec{BC} = \vec{a} + \vec{b}$।
अब,$\triangle ACD$ में,सदिश योग के त्रिभुज नियम के अनुसार:
$\vec{AC} + \vec{CD} = \vec{AD}$
ज्ञात मान रखने पर:
$(\vec{a} + \vec{b}) + \vec{CD} = 2\vec{b}$
$\vec{CD} = 2\vec{b} - (\vec{a} + \vec{b})$
$\vec{CD} = 2\vec{b} - \vec{a} - \vec{b}$
$\vec{CD} = \vec{b} - \vec{a}$

(D) मान लीजिए कि नियमित षट्कोण $ABCDEF$ का केंद्र मूल बिंदु $O$ है।
प्रत्येक सदिश को मूल बिंदु $O$ के सापेक्ष शीर्षों के स्थिति सदिशों के रूप में व्यक्त करते हैं।
$\vec{BE} + \vec{BC} + \vec{EF} + \vec{BA} + \vec{CF} + \vec{AF}$
$= (\vec{OE} - \vec{OB}) + (\vec{OC} - \vec{OB}) + (\vec{OF} - \vec{OE}) + (\vec{OA} - \vec{OB}) + (\vec{OF} - \vec{OC}) + (\vec{OF} - \vec{OA})$
पदों को समूहित करने पर,हम देखते हैं कि $\vec{OE} - \vec{OE} = 0$,$\vec{OC} - \vec{OC} = 0$,और $\vec{OA} - \vec{OA} = 0$.
यह सरल होकर प्राप्त होता है: $3\vec{OF} - 3\vec{OB}$
$= 3(\vec{OF} - \vec{OB})$
$= 3\vec{BF}$.

(C) एक सम षट्भुज $ABCDEF$ में,मान लीजिए $\vec{AB} = \vec{a}$ और $\vec{BC} = \vec{b}$ है।
चूंकि यह एक सम षट्भुज है,$\vec{CD} = \vec{AF} = \vec{BC} - \vec{AB} = \vec{b} - \vec{a}$ होगा।
साथ ही,$\vec{DE} = -\vec{AB} = -\vec{a}$ होगा।
$\triangle CDE$ में सदिश योग के त्रिभुज नियम का उपयोग करने पर,$\vec{CE} = \vec{CD} + \vec{DE}$ प्राप्त होता है।
मान रखने पर,$\vec{CE} = (\vec{b} - \vec{a}) + (-\vec{a}) = \vec{b} - 2\vec{a}$ होगा।

(B) दिया गया सदिश समीकरण: $PQ + QR = (2\lambda^2 - 5)RP$
सदिश योग के त्रिभुज नियम के अनुसार,हम जानते हैं कि $PQ + QR = PR$ होता है।
इस मान को दिए गए समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $PR = (2\lambda^2 - 5)RP$
चूंकि $PR = -RP$,इसलिए समीकरण को इस प्रकार लिखा जा सकता है: $-RP = (2\lambda^2 - 5)RP$
दोनों पक्षों को $RP$ से विभाजित करने पर (मान लीजिए $RP \neq 0$): $2\lambda^2 - 5 = -1$
$2\lambda^2 = 4$
$\lambda^2 = 2$
$\lambda = \pm \sqrt{2}$

(C) चूंकि $C$ रेखाखंड $AB$ का मध्य-बिंदु है,इसलिए $C$ का स्थिति सदिश $\vec{c} = \frac{\vec{a} + \vec{b}}{2}$ द्वारा दिया जाता है।
बिंदु $P$ से सदिशों के संदर्भ में,हमारे पास $\vec{PC} = \frac{\vec{PA} + \vec{PB}}{2}$ है।
$2$ से गुणा करने पर,हमें $2\vec{PC} = \vec{PA} + \vec{PB}$ प्राप्त होता है।
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हम लिख सकते हैं कि $\vec{PA} - \vec{PC} = \vec{PC} - \vec{PB}$।
अतः,सही संबंध $\vec{PA} - \vec{PC} = \vec{PC} - \vec{PB}$ है।

(D) दिया गया है कि $a$ और $b$ इकाई सदिश हैं,इसलिए $|a| = 1$ और $|b| = 1$ है।
व्यंजक $|a - b|^2$ पर विचार करें:
$|a - b|^2 = |a|^2 + |b|^2 - 2(a \cdot b)$
चूंकि $a \cdot b = |a||b| \cos \theta = 1 \times 1 \times \cos \theta = \cos \theta$,इसलिए:
$|a - b|^2 = 1^2 + 1^2 - 2 \cos \theta$
$|a - b|^2 = 2 - 2 \cos \theta$
$|a - b|^2 = 2(1 - \cos \theta)$
त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $1 - \cos \theta = 2 \sin^2 \frac{\theta}{2}$ का उपयोग करने पर:
$|a - b|^2 = 2(2 \sin^2 \frac{\theta}{2})$
$|a - b|^2 = 4 \sin^2 \frac{\theta}{2}$
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर:
$|a - b| = 2 \sin \frac{\theta}{2}$
अतः,$\sin \frac{\theta}{2} = \frac{1}{2} |a - b|$.

(D) दिया गया है कि $a$ और $b$ इकाई सदिश हैं,इसलिए $|a| = 1$ और $|b| = 1$ है।
साथ ही,$a+2b$ एक इकाई सदिश है,इसलिए $|a+2b| = 1$ है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$|a+2b|^2 = 1^2 = 1$ प्राप्त होता है।
डॉट गुणन का विस्तार करने पर,$|a|^2 + 4|b|^2 + 4(a \cdot b) = 1$ प्राप्त होता है।
मान रखने पर,$1^2 + 4(1)^2 + 4|a||b| \cos \theta = 1$।
$1 + 4 + 4 \cos \theta = 1$।
$5 + 4 \cos \theta = 1$,जिसका अर्थ है $4 \cos \theta = -4$,इसलिए $\cos \theta = -1$।
इसका मतलब है कि $\theta = \pi$ है।
अब,हम व्यंजक $\sin \theta + \cos^3 \theta + \tan^5 \theta$ का मान ज्ञात करते हैं।
$\theta = \pi$ रखने पर: $\sin \pi + \cos^3 \pi + \tan^5 \pi = 0 + (-1)^3 + 0 = -1$।

(D) सदिश $u, v, w$ समतलीय होते हैं यदि और केवल यदि उनका अदिश त्रिक गुणनफल शून्य हो,जो उनके घटकों द्वारा निर्मित सारणिक के शून्य होने के बराबर है:
$\begin{vmatrix} a & b & c \\ a^2 & b^2 & c^2 \\ a^3 & b^3 & c^3 \end{vmatrix} = 0$
क्रमशः पहले,दूसरे और तीसरे स्तंभ से $a, b, c$ को उभयनिष्ठ लेने पर:
$abc \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ a & b & c \\ a^2 & b^2 & c^2 \end{vmatrix} = 0$
यह सारणिक एक मानक वेंडरमोंड सारणिक है:
$abc(a-b)(b-c)(c-a) = 0$
यह गुणनफल शून्य होता है यदि $a=0$ या $b=0$ या $c=0$ हो,या यदि $a=b$ या $b=c$ या $c=a$ हो।
अतः,सदिश समतलीय हैं यदि $a, b, c$ में से कोई एक शून्य है,या $a, b, c$ में से कोई भी दो समान हैं।

(D) दिया गया है कि $a$,$b$,और $c$ शून्येतर सदिश हैं और इनमें से कोई भी दो संरेख नहीं हैं।
चूंकि $a + 2b$,$c$ के साथ संरेख है,इसलिए $a + 2b = m c$ होगा,जहाँ $m$ एक शून्येतर अदिश है $(i)$।
चूंकि $b + 3c$,$a$ के साथ संरेख है,इसलिए $b + 3c = n a$ होगा,जहाँ $n$ एक शून्येतर अदिश है $(ii)$।
समीकरण $(ii)$ से,$b = n a - 3c$ प्राप्त होता है।
इस मान को $(i)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$a + 2(n a - 3c) = m c$
$a + 2n a - 6c = m c$
$(1 + 2n) a = (m + 6) c$
चूंकि $a$ और $c$ असंरेख हैं,इसलिए उनके गुणांक शून्य होने चाहिए:
$1 + 2n = 0 \Rightarrow n = -\frac{1}{2}$
$m + 6 = 0 \Rightarrow m = -6$
$m = -6$ को समीकरण $(i)$ में रखने पर:
$a + 2b = -6c$
$a + 2b + 6c = 0$.

(B) दिए गए सदिश $\vec{a}=2 \hat{i}+\hat{j}+3 \hat{k}$,$\vec{b}=\hat{i}+3 \hat{j}-\hat{k}$ और $\vec{c}=3 \hat{i}-\hat{j}-2 \hat{k}$ हैं।
सबसे पहले,हम अदिश गुणन (dot products) की गणना करते हैं:
$\vec{a} \cdot \vec{a} = (2)^2 + (1)^2 + (3)^2 = 4 + 1 + 9 = 14$
$\vec{b} \cdot \vec{b} = (1)^2 + (3)^2 + (-1)^2 = 1 + 9 + 1 = 11$
$\vec{c} \cdot \vec{c} = (3)^2 + (-1)^2 + (-2)^2 = 9 + 1 + 4 = 14$
$\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{b} \cdot \vec{a} = (2)(1) + (1)(3) + (3)(-1) = 2 + 3 - 3 = 2$
$\vec{a} \cdot \vec{c} = \vec{c} \cdot \vec{a} = (2)(3) + (1)(-1) + (3)(-2) = 6 - 1 - 6 = -1$
$\vec{b} \cdot \vec{c} = \vec{c} \cdot \vec{b} = (1)(3) + (3)(-1) + (-1)(-2) = 3 - 3 + 2 = 2$
अब,इन मानों को सारणिक (determinant) में रखने पर:
$\Delta = \left|\begin{array}{ccc} 14 & 2 & -1 \\ 2 & 11 & 2 \\ -1 & 2 & 14 \end{array}\right|$
प्रथम पंक्ति के अनुदिश विस्तार करने पर:
$\Delta = 14(154 - 4) - 2(28 + 2) - 1(4 + 11)$
$\Delta = 14(150) - 2(30) - 1(15)$
$\Delta = 2100 - 60 - 15 = 2025$.

(C) हम जानते हैं कि दो लंबवत सदिशों का अदिश गुणनफल शून्य होता है।
अतः,$(\vec{a}+t \vec{b}) \cdot (\vec{a}-t \vec{b}) = 0$
वितरण नियम का उपयोग करके अदिश गुणनफल का विस्तार करने पर:
$|\vec{a}|^2 - t(\vec{a} \cdot \vec{b}) + t(\vec{b} \cdot \vec{a}) - t^2|\vec{b}|^2 = 0$
चूंकि अदिश गुणनफल क्रमविनिमेय होता है,$\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{b} \cdot \vec{a}$,इसलिए मध्य पद कट जाएंगे:
$|\vec{a}|^2 - t^2|\vec{b}|^2 = 0$
दिए गए मान $|\vec{a}|=2$ और $|\vec{b}|=3$ रखने पर:
$2^2 - t^2(3^2) = 0$
$4 - 9t^2 = 0$
$9t^2 = 4$
$t^2 = \frac{4}{9}$
$t = \pm \frac{2}{3}$
चूंकि $t$ एक धनात्मक अदिश है,इसलिए $t = \frac{2}{3}$ प्राप्त होता है।

(B) दिया गया है,$|\vec{a} \cdot \vec{b}|=|\vec{a} \times \vec{b}|$.
चूंकि $|\vec{a} \cdot \vec{b}| = |\vec{a}||\vec{b}| |\cos \theta|$ और $|\vec{a} \times \vec{b}| = |\vec{a}||\vec{b}| |\sin \theta|$,जहाँ $\theta$ सदिशों $\vec{a}$ और $\vec{b}$ के बीच का कोण है,हमारे पास है:
$|\vec{a}||\vec{b}| |\cos \theta| = |\vec{a}||\vec{b}| |\sin \theta|$
$|\cos \theta| = |\sin \theta|$
$|\tan \theta| = 1$
इसका अर्थ है $\theta = \frac{\pi}{4}$ या $\theta = \frac{3\pi}{4}$।
दिया गया है कि $\frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|} < 0$,जिसका अर्थ है $\cos \theta < 0$।
चूंकि $\cos(\frac{3\pi}{4}) = -\frac{1}{\sqrt{2}} < 0$,इसलिए कोण $\theta = \frac{3\pi}{4}$ है।
ध्यान दें कि $\sec^{-1}(-\sqrt{2}) = \frac{3\pi}{4}$ क्योंकि $\sec(\frac{3\pi}{4}) = -\sqrt{2}$ होता है।

(C) दिया गया है,$\vec{a}=(\sin x) \hat{i}+(\sin y) \hat{j}$ और $\vec{b}=(\cos x) \hat{i}+(\cos y) \hat{j}$ है।
हम सदिश गुणनफल $\vec{a} \times \vec{b}$ की गणना इस प्रकार करते हैं:
$\vec{a} \times \vec{b} = ((\sin x) \hat{i}+(\sin y) \hat{j}) \times ((\cos x) \hat{i}+(\cos y) \hat{j})$
$= (\sin x \cos y) (\hat{i} \times \hat{i}) + (\sin x \cos y) (\hat{i} \times \hat{j}) + (\sin y \cos x) (\hat{j} \times \hat{i}) + (\sin y \cos y) (\hat{j} \times \hat{j})$
चूंकि $\hat{i} \times \hat{i} = 0$,$\hat{j} \times \hat{j} = 0$,$\hat{i} \times \hat{j} = \hat{k}$,और $\hat{j} \times \hat{i} = -\hat{k}$ है:
$\vec{a} \times \vec{b} = (\sin x \cos y) \hat{k} - (\sin y \cos x) \hat{k} = (\sin x \cos y - \cos x \sin y) \hat{k} = \sin(x-y) \hat{k}$.
अब,इसका परिमाण $|\vec{a} \times \vec{b}| = |\sin(x-y)|$ है।
चूंकि साइन फलन का परिसर $[-1, 1]$ होता है,इसलिए इसका निरपेक्ष मान $|\sin(x-y)|$ अंतराल $[0, 1]$ में होगा।
अतः,$|\vec{a} \times \vec{b}| \leq 1$ है।

(A) दिए गए सदिश $\vec{u} = 2\hat{i} + 3\hat{j} + \hat{k}$,$\vec{v} = -3\hat{i} + 2\hat{j}$,और $\vec{w} = \hat{i} - \hat{j} + 4\hat{k}$ हैं।
दो सदिश लंबवत होते हैं यदि उनका अदिश गुणनफल (dot product) $0$ हो।
सबसे पहले,$\vec{u} \cdot \vec{v} = (2)(-3) + (3)(2) + (1)(0) = -6 + 6 + 0 = 0$ की गणना करें। चूंकि अदिश गुणनफल $0$ है,इसलिए $\vec{u} \perp \vec{v}$ है।
इसके बाद,$\vec{u} \cdot \vec{w} = (2)(1) + (3)(-1) + (1)(4) = 2 - 3 + 4 = 3 \neq 0$ की गणना करें। अतः,$\vec{u}$,$\vec{w}$ के लंबवत नहीं है।
अंत में,$\vec{v} \cdot \vec{w} = (-3)(1) + (2)(-1) + (0)(4) = -3 - 2 + 0 = -5 \neq 0$ की गणना करें। अतः,$\vec{v}$,$\vec{w}$ के लंबवत नहीं है।
इसलिए,$\vec{u}$,$\vec{v}$ के लंबवत है लेकिन $\vec{w}$ के नहीं।

(C) हम जानते हैं कि किन्हीं दो सदिशों $\vec{a}$ और $\vec{b}$ के लिए,क्रॉस प्रोडक्ट का परिमाण $|\vec{a} \times \vec{b}| = |\vec{a}| |\vec{b}| \sin \theta$ होता है,जहाँ $\theta$ उनके बीच का कोण है। दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,हमें $(\vec{a} \times \vec{b})^2 = |\vec{a}|^2 |\vec{b}|^2 \sin^2 \theta$ प्राप्त होता है।
इसी प्रकार,डॉट प्रोडक्ट $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| \cos \theta$ होता है। दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,हमें $(\vec{a} \cdot \vec{b})^2 = |\vec{a}|^2 |\vec{b}|^2 \cos^2 \theta$ प्राप्त होता है।
इन मानों को दी गई अभिव्यक्ति में रखने पर:
$\frac{(\vec{a} \times \vec{b})^2 + (\vec{a} \cdot \vec{b})^2}{2|\vec{a}|^2 |\vec{b}|^2} = \frac{|\vec{a}|^2 |\vec{b}|^2 \sin^2 \theta + |\vec{a}|^2 |\vec{b}|^2 \cos^2 \theta}{2|\vec{a}|^2 |\vec{b}|^2}$
$= \frac{|\vec{a}|^2 |\vec{b}|^2 (\sin^2 \theta + \cos^2 \theta)}{2|\vec{a}|^2 |\vec{b}|^2}$
चूंकि $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ होता है,इसलिए अभिव्यक्ति का सरलीकरण इस प्रकार होगा:
$= \frac{|\vec{a}|^2 |\vec{b}|^2 (1)}{2|\vec{a}|^2 |\vec{b}|^2} = \frac{1}{2}$.

(C) दो सदिशों $\vec{u}$ और $\vec{v}$ के सदिश गुणनफल का परिमाण $|\vec{u} \times \vec{v}| = |\vec{u}||\vec{v}| \sin \theta$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\theta$ उनके बीच का कोण है।
दिया गया है $\theta = 45^{\circ}$,इसलिए $|\vec{u} \times \vec{v}| = |\vec{u}||\vec{v}| \sin 45^{\circ} = |\vec{u}||\vec{v}| \left( \frac{1}{\sqrt{2}} \right)$.
दो सदिशों का अदिश गुणनफल $\vec{u} \cdot \vec{v} = |\vec{u}||\vec{v}| \cos \theta$ द्वारा दिया जाता है।
$\theta = 45^{\circ}$ के लिए,$\vec{u} \cdot \vec{v} = |\vec{u}||\vec{v}| \cos 45^{\circ} = |\vec{u}||\vec{v}| \left( \frac{1}{\sqrt{2}} \right)$.
चूँकि $\sin 45^{\circ} = \cos 45^{\circ} = \frac{1}{\sqrt{2}}$,इसलिए यह सिद्ध होता है कि $|\vec{u} \times \vec{v}| = \vec{u} \cdot \vec{v}$.

(A) हमें $\vec{a} = 3 \hat{i} - \hat{j}$ और $\vec{b} = 2 \hat{i} + \hat{j} - 3 \hat{k}$ दिया गया है।
चूँकि $\overrightarrow{b_1}$,$\vec{a}$ के समांतर है,हम लिख सकते हैं $\overrightarrow{b_1} = \lambda \vec{a} = \lambda(3 \hat{i} - \hat{j}) = 3\lambda \hat{i} - \lambda \hat{j}$.
हम जानते हैं कि $\vec{b} = \overrightarrow{b_1} + \overrightarrow{b_2}$,इसलिए $\overrightarrow{b_2} = \vec{b} - \overrightarrow{b_1} = (2 - 3\lambda) \hat{i} + (1 + \lambda) \hat{j} - 3 \hat{k}$.
चूँकि $\overrightarrow{b_2}$,$\vec{a}$ के लंबवत है,उनका अदिश गुणनफल शून्य होगा: $\overrightarrow{b_2} \cdot \vec{a} = 0$.
$(2 - 3\lambda)(3) + (1 + \lambda)(-1) + (-3)(0) = 0$.
$6 - 9\lambda - 1 - \lambda = 0$.
$5 - 10\lambda = 0 \Rightarrow \lambda = \frac{1}{2}$.
$\lambda = \frac{1}{2}$ को $\overrightarrow{b_2}$ के समीकरण में रखने पर:
$\overrightarrow{b_2} = (2 - 3(\frac{1}{2})) \hat{i} + (1 + \frac{1}{2}) \hat{j} - 3 \hat{k}$.
$\overrightarrow{b_2} = (2 - \frac{3}{2}) \hat{i} + (\frac{3}{2}) \hat{j} - 3 \hat{k} = \frac{1}{2} \hat{i} + \frac{3}{2} \hat{j} - 3 \hat{k}$.

(A) दिया गया है कि $a, b, c, d$ सदिश हैं जहाँ $|d|=1$ है।
दिए गए समीकरण हैं:
$a+b+c=s d$ $(1)$
$b+c+d=a$ $(2)$
समीकरण $(2)$ से,हम $b+c = a-d$ लिख सकते हैं।
इस मान को समीकरण $(1)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$a + (a-d) = s d$
$2a - d = s d$
$2a = (s+1) d$
$a = \frac{s+1}{2} d$
दिया गया है कि $a \cdot d = 4$ है। $a$ का मान रखने पर:
$\left(\frac{s+1}{2} d\right) \cdot d = 4$
चूँकि $|d|=1$,इसलिए $d \cdot d = |d|^2 = 1^2 = 1$ है।
$\frac{s+1}{2} (1) = 4$
$s+1 = 8$
$s = 7$.

(B) दिया गया है,$A = 2 \hat{i} + \log_2 x \hat{j} + s \hat{k}$ और $B = \log_2 x \hat{i} + s \hat{j} + \log_2 x \hat{k}$ है।
माना $A$ और $B$ के बीच का कोण $\theta$ है। तो,$\cos \theta = \frac{A \cdot B}{|A| |B|}$ होगा।
$A \cdot B = (2)(\log_2 x) + (\log_2 x)(s) + (s)(\log_2 x) = 2 \log_2 x + 2s \log_2 x = 2 \log_2 x (1 + s)$ होगा।
यदि $\theta$ एक न्यूनकोण है,तो $\cos \theta > 0$ होना चाहिए।
चूंकि $|A| > 0$ और $|B| > 0$ है,इसलिए $\cos \theta > 0$ का अर्थ है कि $A \cdot B > 0$ होगा।
अतः,$2 \log_2 x (1 + s) > 0$ होगा।
दिया गया है कि $\log_2 x > 0$,इसलिए हम असमिका के चिह्न को बदले बिना $2 \log_2 x$ से विभाजित कर सकते हैं।
इस प्रकार,$1 + s > 0$,जिसका अर्थ है कि $s > -1$ होगा।

(D) दिया गया है $A = \hat{i} + 2 \hat{j}$।
मान लीजिए $B = x \hat{i} + y \hat{j}$ है।
हमें समीकरण $(A + B) \cdot B = 15$ और $A \cdot B = 6$ दिए गए हैं।
प्रथम समीकरण का विस्तार करने पर: $A \cdot B + B \cdot B = 15$ प्राप्त होता है।
चूंकि $B \cdot B = |B|^2$,इसलिए $A \cdot B + |B|^2 = 15$ है।
$A \cdot B = 6$ का मान रखने पर:
$6 + |B|^2 = 15$।
$|B|^2 = 15 - 6 = 9$।
अतः,$|B| = \sqrt{9} = 3$।

(A) दिया गया है,$|a| = |b| = |c| = 1$ और $a \cdot b = 0 = a \cdot c$। $b$ और $c$ के बीच का कोण $\frac{\pi}{3}$ है।
हमें $|a \times b - a \times c|$ का मान ज्ञात करना है।
सदिश गुणन के वितरण नियम का उपयोग करते हुए,$|a \times b - a \times c| = |a \times (b - c)|$।
चूंकि $a \cdot b = 0$ और $a \cdot c = 0$,इसलिए $a \cdot (b - c) = 0$,जिसका अर्थ है कि $a$,$(b - c)$ के लंबवत है।
अतः,$|a \times (b - c)| = |a| |b - c| \sin \frac{\pi}{2} = |a| |b - c| (1) = |b - c|$।
अब,$|b - c|^2 = |b|^2 + |c|^2 - 2(b \cdot c) = 1 + 1 - 2(|b| |c| \cos \frac{\pi}{3}) = 2 - 2(1 \cdot 1 \cdot \frac{1}{2}) = 2 - 1 = 1$।
इसलिए,$|b - c| = 1$।
अतः,$|a \times b - a \times c| = 1$।

(B) दिया गया है कि $a, b, c$ तीन सदिश हैं जहाँ $|a|=3, |b|=4, |c|=5$ और $a+b+c=0$ है।
हमारे पास $a+b+c=0$ है,जिसका अर्थ है $a+b=-c$।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$(a+b)^2 = (-c)^2$ प्राप्त होता है।
अदिश गुणन (dot product) के नियम से,$|a|^2 + |b|^2 + 2(a \cdot b) = |c|^2$ होता है।
दिए गए परिमाणों को प्रतिस्थापित करने पर: $3^2 + 4^2 + 2(a \cdot b) = 5^2$।
$9 + 16 + 2(a \cdot b) = 25$।
$25 + 2(a \cdot b) = 25$।
$2(a \cdot b) = 0$।
अतः,$a \cdot b = 0$।

(D) दिए गए सदिश $a = x^2 \hat{i} + x \hat{j} + 3 \hat{k}$ और $b = x \hat{i} - 4 \hat{j} + 2 \hat{k}$ हैं।
हमें शर्त $a \cdot b > 6$ दी गई है।
दो सदिशों $a = a_1 \hat{i} + b_1 \hat{j} + c_1 \hat{k}$ और $b = a_2 \hat{i} + b_2 \hat{j} + c_2 \hat{k}$ का अदिश गुणनफल $a \cdot b = a_1 a_2 + b_1 b_2 + c_1 c_2$ के रूप में परिभाषित है।
दिए गए सदिशों को प्रतिस्थापित करने पर:
$(x^2 \hat{i} + x \hat{j} + 3 \hat{k}) \cdot (x \hat{i} - 4 \hat{j} + 2 \hat{k}) > 6$
$x^2(x) + x(-4) + 3(2) > 6$
$x^3 - 4x + 6 > 6$
$x^3 - 4x > 0$
$x(x^2 - 4) > 0$
$x(x - 2)(x + 2) > 0$
वेवी कर्व विधि का उपयोग करते हुए,क्रांतिक बिंदु $x = -2, 0, 2$ हैं।
अंतरालों की जाँच करने पर:
$x > 2$ के लिए,$x(x-2)(x+2) > 0$ (धनात्मक)।
$0 < x < 2$ के लिए,$x(x-2)(x+2) < 0$ (ऋणात्मक)।
$-2 < x < 0$ के लिए,$x(x-2)(x+2) > 0$ (धनात्मक)।
$x < -2$ के लिए,$x(x-2)(x+2) < 0$ (ऋणात्मक)।
अतः,हल $x \in (-2, 0) \cup (2, \infty)$ है।

(B) दिया गया है कि $A(4,3,5)$,$B(0,6,0)$,$C(-8,1,4)$ और $D$ एक समांतर चतुर्भुज के शीर्ष हैं।
माना $D$ बिंदु $(x, y, z)$ है।
चूंकि समांतर चतुर्भुज के विकर्ण एक-दूसरे को समद्विभाजित करते हैं,इसलिए $AC$ का मध्य-बिंदु $BD$ के मध्य-बिंदु के बराबर होता है।
$\left(\frac{4+(-8)}{2}, \frac{3+1}{2}, \frac{5+4}{2}\right) = \left(\frac{x+0}{2}, \frac{y+6}{2}, \frac{z+0}{2}\right)$
$\left(-2, 2, \frac{9}{2}\right) = \left(\frac{x}{2}, \frac{y+6}{2}, \frac{z}{2}\right)$
निर्देशांकों की तुलना करने पर,हमें $x = -4$,$y = -2$,$z = 9$ प्राप्त होता है।
अतः,$D$ बिंदु $(-4, -2, 9)$ है।
अब,सदिश $\vec{AC} = (-8-4)\hat{i} + (1-3)\hat{j} + (4-5)\hat{k} = -12\hat{i} - 2\hat{j} - \hat{k}$ है।
सदिश $\vec{BD} = (-4-0)\hat{i} + (-2-6)\hat{j} + (9-0)\hat{k} = -4\hat{i} - 8\hat{j} + 9\hat{k}$ है।
माना $\theta$,$\vec{AC}$ और $\vec{BD}$ के बीच का कोण है।
$\cos \theta = \frac{|\vec{AC} \cdot \vec{BD}|}{|\vec{AC}| |\vec{BD}|} = \frac{|(-12)(-4) + (-2)(-8) + (-1)(9)|}{\sqrt{(-12)^2 + (-2)^2 + (-1)^2} \sqrt{(-4)^2 + (-8)^2 + 9^2}}$
$\cos \theta = \frac{|48 + 16 - 9|}{\sqrt{144 + 4 + 1} \sqrt{16 + 64 + 81}} = \frac{55}{\sqrt{149} \sqrt{161}}$
इसलिए,$\theta = \cos ^{-1}\left(\frac{55}{\sqrt{149} \sqrt{161}}\right)$।

(D) दिया गया है,$|a| = 7$ और $|b| = 8$।
दो सदिशों का अदिश गुणनफल $a \cdot b = |a||b| \cos \theta$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\theta$ सदिशों के बीच का कोण है।
दोनों पक्षों का परिमाण लेने पर,हमें $|a \cdot b| = |a||b| |\cos \theta|$ प्राप्त होता है।
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर,$|a \cdot b| = 7 \times 8 |\cos \theta| = 56 |\cos \theta|$।
$|\cos \theta|$ का अधिकतम मान $1$ है,जो तब होता है जब $\theta = 0$ या $\theta = \pi$ हो।
अतः,$|a \cdot b|$ का अधिकतम मान $56 \times 1 = 56$ है।

(B) दिए गए सदिश $a = \hat{i} + \hat{j}$ और $b = \hat{j} + \hat{k}$ हैं।
सबसे पहले,हम सदिश गुणनफल $a \times b$ ज्ञात करते हैं:
$a \times b = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \end{vmatrix} = \hat{i}(1-0) - \hat{j}(1-0) + \hat{k}(1-0) = \hat{i} - \hat{j} + \hat{k}$.
सदिश गुणनफल का परिमाण $|a \times b| = \sqrt{1^2 + (-1)^2 + 1^2} = \sqrt{3}$ है।
$a$ और $b$ दोनों के लंबवत इकाई सदिश $\pm \frac{a \times b}{|a \times b|} = \pm \frac{1}{\sqrt{3}}(\hat{i} - \hat{j} + \hat{k})$ द्वारा प्राप्त होते हैं।
अतः,ऐसे कुल $2$ इकाई सदिश संभव हैं।

(A) दिए गए सदिश $a=\hat{i}-\hat{j}+2 \hat{k}$,$b=2 \hat{i}+4 \hat{j}+\hat{k}$ और $c=\lambda \hat{i}+\hat{j}+\mu \hat{k}$ हैं।
चूंकि सदिश परस्पर लंबवत हैं,इसलिए उनका अदिश गुणनफल शून्य होगा:
$a \cdot c = 0 \implies (1)(\lambda) + (-1)(1) + (2)(\mu) = 0 \implies \lambda + 2\mu = 1$ ...$(i)$
$b \cdot c = 0 \implies (2)(\lambda) + (4)(1) + (1)(\mu) = 0 \implies 2\lambda + \mu = -4$ ...(ii)
समीकरण (ii) से,$\mu = -4 - 2\lambda$ प्राप्त होता है।
इस मान को समीकरण $(i)$ में रखने पर:
$\lambda + 2(-4 - 2\lambda) = 1$
$\lambda - 8 - 4\lambda = 1$
$-3\lambda = 9 \implies \lambda = -3$.
अब,$\lambda = -3$ को $\mu = -4 - 2\lambda$ में रखने पर:
$\mu = -4 - 2(-3) = -4 + 6 = 2$.
अतः,$(\lambda, \mu) = (-3, 2)$ है।

(B) दिए गए सदिश $a = t^2 \hat{i} + e^t \hat{j} + \hat{k}$ और $b = 2 \hat{i} + t^2 \hat{j} + \log t \hat{k}$ हैं।
हम जानते हैं कि अदिश गुणनफल $f(t) = a \cdot b$ संगत घटकों के गुणनफल का योग होता है:
$f(t) = (t^2)(2) + (e^t)(t^2) + (1)(\log t) = 2t^2 + t^2 e^t + \log t$.
अब,$f(t)$ का $t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$f^{\prime}(t) = \frac{d}{dt}(2t^2) + \frac{d}{dt}(t^2 e^t) + \frac{d}{dt}(\log t)$
$f^{\prime}(t) = 4t + (2t e^t + t^2 e^t) + \frac{1}{t}$.
$f^{\prime}(1)$ ज्ञात करने के लिए,$t = 1$ रखने पर:
$f^{\prime}(1) = 4(1) + (2(1) e^1 + (1)^2 e^1) + \frac{1}{1}$
$f^{\prime}(1) = 4 + 2e + e + 1$
$f^{\prime}(1) = 5 + 3e$.

(B) दिया गया है कि $a \times b = c$ और $b \times c = a$.
चूंकि $a \times b = c$,सदिश $c$,$a$ और $b$ दोनों के लंबवत है।
चूंकि $b \times c = a$,सदिश $a$,$b$ और $c$ दोनों के लंबवत है।
इसका अर्थ है कि $a, b, c$ परस्पर लंबवत सदिशों का एक समूह बनाते हैं।
सदिश गुणनफल के गुण का उपयोग करते हुए,$a \times c = a \times (a \times b)$.
सदिश त्रिक गुणनफल सर्वसमिका के अनुसार,$a \times (b \times c) = (a \cdot c)b - (a \cdot b)c$.
यहाँ,$a \times c = -(c \times a)$.
चूंकि $b \times c = a$,हमारे पास $a \times c = a \times (a \times b) = (a \cdot b)a - (a \cdot a)b$ है।
चूंकि $a, b, c$ परस्पर लंबवत हैं,$a \cdot b = 0$.
अतः,$a \times c = -|a|^2 b$.
यह दर्शाता है कि $a \times c$,$b$ का एक अदिश गुणज है,जिसका अर्थ है कि $a \times c$,$b$ के समांतर है।

(B) दिया गया है,$|a| = |b| = 2$,$a \cdot b = 2$ और $a + b + c = 0$।
हम जानते हैं कि $a + b + c = 0 \implies a + b = -c$।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,हमें प्राप्त होता है $|a + b|^2 = |-c|^2$।
$|a|^2 + |b|^2 + 2(a \cdot b) = |c|^2$।
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$2^2 + 2^2 + 2(2) = |c|^2$।
$4 + 4 + 4 = |c|^2$।
$|c|^2 = 12$।
$|c| = \sqrt{12} = 2 \sqrt{3}$।

(C) दिया गया है कि $u$ और $v$ $\mathbb{R}^3$ में शून्येतर सदिश हैं।
हम जानते हैं कि सदिश गुणन का परिमाण $|u \times v| = |u||v| \sin \theta$ है और अदिश गुणन $u \cdot v = |u||v| \cos \theta$ है,जहाँ $\theta$ सदिशों $u$ और $v$ के बीच का कोण है।
इन मानों को $|u \times v|^2 + |u \cdot v|^2$ व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$|u \times v|^2 + |u \cdot v|^2 = (|u||v| \sin \theta)^2 + (|u||v| \cos \theta)^2$
$= |u|^2|v|^2 \sin^2 \theta + |u|^2|v|^2 \cos^2 \theta$
$= |u|^2|v|^2 (\sin^2 \theta + \cos^2 \theta)$
चूँकि $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$,हमें प्राप्त होता है:
$= |u|^2|v|^2(1) = |u|^2|v|^2$.

(B) चूँकि $u$ और $v$ $\mathbb{R}^2$ में गैर-संरेखीय सदिश हैं,वे रैखिक रूप से स्वतंत्र हैं और $\mathbb{R}^2$ के लिए एक आधार (basis) बनाते हैं। अतः,$\mathbb{R}^2$ में किसी भी सदिश को $u$ और $v$ के रैखिक संयोजन के रूप में व्यक्त किया जा सकता है। कथन $(i)$ सत्य है।
परिभाषा के अनुसार,$v$ पर $u$ का लंबकोणीय प्रक्षेप $w = \left( \frac{u \cdot v}{|v|^2} \right) v$ द्वारा दिया जाता है। यह $v$ का एक अदिश गुणज है। चूँकि $w$,$v$ का गुणज है,इसे $w = 0u + \left( \frac{u \cdot v}{|v|^2} \right) v$ के रूप में लिखा जा सकता है। $w$ को $a \neq 0$ और $b \neq 0$ के साथ $au + bv$ के रूप में लिखने के लिए,$w$ का $u$ की दिशा में एक गैर-शून्य घटक होना आवश्यक है। हालाँकि,$w$,$u - w$ के लंबवत है और $w$,$v$ के समानांतर है। चूँकि $u$ और $v$ गैर-संरेखीय हैं,$w$ को $a \neq 0$ के साथ $au + bv$ के रूप में व्यक्त नहीं किया जा सकता है। अतः,कथन (ii) असत्य है।

(D) मान लीजिए कि $YZ$-समतल बिंदुओं $A(2, 4, 5)$ और $B(3, 5, -4)$ को जोड़ने वाले रेखाखंड को $k:1$ के अनुपात में विभाजित करता है।
विभाजन सूत्र का उपयोग करते हुए,विभाजन बिंदु के निर्देशांक $\left( \frac{3k+2}{k+1}, \frac{5k+4}{k+1}, \frac{-4k+5}{k+1} \right)$ हैं।
चूंकि यह बिंदु $YZ$-समतल पर स्थित है,इसलिए इसका $x$-निर्देशांक शून्य होना चाहिए।
अतः,$\frac{3k+2}{k+1} = 0$,जिसका अर्थ है $3k + 2 = 0$,या $k = -\frac{2}{3}$।
अनुपात $k:1$ का मान $-\frac{2}{3}:1$ है,जो $-2:3$ के बराबर है। ऋणात्मक चिह्न दर्शाता है कि विभाजन बाह्य है।
इस प्रकार,$YZ$-समतल रेखाखंड को $2:3$ के अनुपात में बाह्य विभाजित करता है।