AP EAMCET 2021 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(D) एक परिमेय भिन्न $\frac{p(x)}{q(x)}$ को अनुचित परिमेय भिन्न कहा जाता है यदि अंश $p(x)$ की घात हर $q(x)$ की घात से अधिक या उसके बराबर हो।
$(a)$ $\frac{x^2+1}{(x^2+2)(x^2+x+1)}$ के लिए,$p(x)$ की घात $= 2$ और $q(x)$ की घात $= 4$ है। चूँकि $2 < 4$,यह एक उचित भिन्न है।
$(b)$ $\frac{x^2+1}{(x+3)(x^2-x+1)}$ के लिए,$p(x)$ की घात $= 2$ और $q(x)$ की घात $= 3$ है। चूँकि $2 < 3$,यह एक उचित भिन्न है।
$(c)$ $\frac{x}{x^2+3x+1}$ के लिए,$p(x)$ की घात $= 1$ और $q(x)$ की घात $= 2$ है। चूँकि $1 < 2$,यह एक उचित भिन्न है।
$(d)$ $\frac{x^2+1}{x^2-1}$ के लिए,$p(x)$ की घात $= 2$ और $q(x)$ की घात $= 2$ है। चूँकि अंश की घात और हर की घात समान है,इसलिए यह एक अनुचित परिमेय भिन्न है।

(A) माना समांतर चतुर्भुज के शीर्ष $A(2,4,-1)$,$B(3,6,-1)$ और $C(4,5,1)$ हैं।
माना चौथा शीर्ष $D(x, y, z)$ है।
समांतर चतुर्भुज में,विकर्ण एक-दूसरे को समद्विभाजित करते हैं,जिसका अर्थ है कि विकर्ण $AC$ का मध्य-बिंदु,विकर्ण $BD$ के मध्य-बिंदु के समान है।
$AC$ का मध्य-बिंदु $= \left( \frac{2+4}{2}, \frac{4+5}{2}, \frac{-1+1}{2} \right) = \left( 3, \frac{9}{2}, 0 \right)$.
$BD$ का मध्य-बिंदु $= \left( \frac{3+x}{2}, \frac{6+y}{2}, \frac{-1+z}{2} \right)$.
मध्य-बिंदुओं की तुलना करने पर:
$\frac{3+x}{2} = 3 \Rightarrow 3+x = 6 \Rightarrow x = 3$.
$\frac{6+y}{2} = \frac{9}{2} \Rightarrow 6+y = 9 \Rightarrow y = 3$.
$\frac{-1+z}{2} = 0 \Rightarrow -1+z = 0 \Rightarrow z = 1$.
अतः,चौथा शीर्ष $D$ $(3,3,1)$ है।

(A) मान लीजिए बिंदु $A(1, 2)$,$B(2, -1)$,$C(-1, 0)$ और $D(2, 0)$ हैं।
दो बिंदुओं $(x_1, y_1)$ और $(x_2, y_2)$ से गुजरने वाली रेखा का समीकरण $(y - y_1) = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}(x - x_1)$ होता है।
रेखा $AB$ के लिए जो $(1, 2)$ और $(2, -1)$ से गुजरती है:
$(y - 2) = \frac{-1 - 2}{2 - 1}(x - 1) \Rightarrow (y - 2) = -3(x - 1) \Rightarrow y - 2 = -3x + 3 \Rightarrow 3x + y = 5$.
रेखा $CD$ के लिए जो $(-1, 0)$ और $(2, 0)$ से गुजरती है:
चूंकि $y$-निर्देशांक दोनों बिंदुओं के लिए $0$ हैं,इसलिए रेखा $x$-अक्ष है,अर्थात $y = 0$.
प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करने के लिए,$y = 0$ को समीकरण $3x + y = 5$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$3x + 0 = 5 \Rightarrow x = \frac{5}{3}$.
अतः,प्रतिच्छेदन बिंदु $(\frac{5}{3}, 0)$ है,जिसे सदिश रूप में $\frac{5}{3} \hat{i}$ लिखा जाता है।

(A) माना कि त्रिभुज के शीर्ष $A(x, y, z)$,$B(-2, 3, 4)$ और $C(3, -1, 5)$ हैं।
त्रिभुज का केंद्रक $G$,जिसके शीर्ष $(x_1, y_1, z_1)$,$(x_2, y_2, z_2)$ और $(x_3, y_3, z_3)$ हैं,का सूत्र $\left(\frac{x_1+x_2+x_3}{3}, \frac{y_1+y_2+y_3}{3}, \frac{z_1+z_2+z_3}{3}\right)$ होता है।
दिया गया है कि केंद्रक मूलबिंदु $(0, 0, 0)$ है,इसलिए:
$\frac{x-2+3}{3} = 0 \Rightarrow x+1 = 0 \Rightarrow x = -1$
$\frac{y+3-1}{3} = 0 \Rightarrow y+2 = 0 \Rightarrow y = -2$
$\frac{z+4+5}{3} = 0 \Rightarrow z+9 = 0 \Rightarrow z = -9$
अतः,तीसरा शीर्ष $(-1, -2, -9)$ है।

(B) कुल गेंदों की संख्या = $5 + 7 = 12$.
हमें $12$ गेंदों में से $9$ गेंदें निकालनी हैं।
कुल चयन के तरीके $n(S) = {}^{12}C_9 = {}^{12}C_3 = \frac{12 \times 11 \times 10}{3 \times 2 \times 1} = 220$.
हमें $5$ सफेद गेंदों में से $3$ सफेद गेंदें और $7$ काली गेंदों में से $6$ काली गेंदें चुननी हैं।
$3$ सफेद गेंदें चुनने के तरीके ${}^5C_3 = {}^5C_2 = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10$.
$6$ काली गेंदें चुनने के तरीके ${}^7C_6 = {}^7C_1 = 7$.
अनुकूल परिणामों की संख्या $n(P) = 10 \times 7 = 70$.
प्रायिकता $P = \frac{n(P)}{n(S)} = \frac{70}{220} = \frac{7}{22}$.

(C) माना $A$ सड़क का ठेका मिलने की घटना है और $B$ भवन निर्माण का ठेका मिलने की घटना है।
दिया गया है: $P(A) = \frac{2}{9}$,$P(B) = \frac{5}{9}$,और $P(A \cap B) = \frac{1}{6}$.
हमें कोई भी ठेका न मिलने की प्रायिकता ज्ञात करनी है,जो $P(A' \cap B') = P((A \cup B)')$ है।
सबसे पहले,कम से कम एक ठेका मिलने की प्रायिकता ज्ञात करें:
$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$
$P(A \cup B) = \frac{2}{9} + \frac{5}{9} - \frac{1}{6} = \frac{7}{9} - \frac{1}{6}$
हर समान करने पर $(18)$:
$P(A \cup B) = \frac{14}{18} - \frac{3}{18} = \frac{11}{18}$.
अब,कोई भी ठेका न मिलने की प्रायिकता:
$P((A \cup B)') = 1 - P(A \cup B) = 1 - \frac{11}{18} = \frac{7}{18}$.
अतः,प्रायिकता $\frac{7}{18}$ है।

(C) दिया गया है,$P(A)=\frac{1}{3}, P(B)=\frac{1}{4}, P(A \cup B)=\frac{1}{2}$.
सूत्र $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$ का उपयोग करके $P(A \cap B)$ ज्ञात करते हैं:
$P(A \cap B) = P(A) + P(B) - P(A \cup B) = \frac{1}{3} + \frac{1}{4} - \frac{1}{2} = \frac{1}{12}$.
स्वतंत्रता की जाँच: $P(A) \cdot P(B) = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{4} = \frac{1}{12}$. चूँकि $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$,$A$ और $B$ स्वतंत्र हैं। (विकल्प $A$ सही है)।
$P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} = \frac{1/12}{1/4} = \frac{1}{3}$. (विकल्प $B$ सही है)।
$P(A^C \cap B) = P(B) - P(A \cap B) = \frac{1}{4} - \frac{1}{12} = \frac{1}{6}$. (विकल्प $C$ गलत है)।
$P(A \cap B^C) = P(A) - P(A \cap B) = \frac{1}{3} - \frac{1}{12} = \frac{1}{4}$. (विकल्प $D$ सही है)।
अतः,गलत कथन $P(A^C \cap B) = \frac{1}{3}$ है।

(B) समुच्चय $A = \{2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11\}$ है। $A$ में कुल $10$ अवयव हैं।
$10$ में से $3$ संख्याएँ चुनने के कुल तरीके $n(E) = {}^{10}C_3 = 120$ हैं।
न्यूनतम $3$ और अधिकतम $7$ होने के लिए,चुनी गई संख्याओं में $3$ और $7$ का होना आवश्यक है। तीसरी संख्या $\{4, 5, 6\}$ में से चुनी जानी चाहिए।
अतः,अनुकूल परिणाम $\{3, 4, 7\}, \{3, 5, 7\}, \{3, 6, 7\}$ हैं।
अनुकूल परिणामों की संख्या $n(F) = 3$ है।
अभीष्ट प्रायिकता $P = \frac{n(F)}{n(E)} = \frac{3}{120} = \frac{1}{40}$ है।

(C) हम जानते हैं कि $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$.
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $P(A) + P(B) = P(A \cup B) + P(A \cap B)$ प्राप्त होता है।
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर,$P(A) + P(B) = 0.65 + 0.15 = 0.8$.
हमें $P(A^C) + P(B^C)$ का मान ज्ञात करना है।
पूरक नियम का उपयोग करते हुए,$P(A^C) = 1 - P(A)$ और $P(B^C) = 1 - P(B)$.
अतः,$P(A^C) + P(B^C) = (1 - P(A)) + (1 - P(B)) = 2 - (P(A) + P(B))$.
$P(A) + P(B) = 0.8$ का मान रखने पर,हमें $2 - 0.8 = 1.2$ प्राप्त होता है।

(C) समुच्चय $S$ में $x^2+bx+c=0$ प्रकार के समीकरण हैं जहाँ $b, c \in \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ है।
ऐसे कुल समीकरणों की संख्या $n(S) = 6 \times 6 = 36$ है।
एक द्विघात समीकरण $x^2+bx+c=0$ के वास्तविक मूल होते हैं यदि विविक्तकर $D = b^2-4ac \geq 0$ हो।
यहाँ $a=1$ है,इसलिए शर्त $b^2 \geq 4c$ हो जाती है।
$b$ के मान $1$ से $6$ तक जाँचने पर:
यदि $b=1$,$1 \geq 4c$ (कोई मान नहीं)
यदि $b=2$,$4 \geq 4c \implies c \leq 1$ ($c=1$,$1$ स्थिति)
यदि $b=3$,$9 \geq 4c \implies c \leq 2.25$ ($c=1, 2$,$2$ स्थितियाँ)
यदि $b=4$,$16 \geq 4c \implies c \leq 4$ ($c=1, 2, 3, 4$,$4$ स्थितियाँ)
यदि $b=5$,$25 \geq 4c \implies c \leq 6.25$ ($c=1, 2, 3, 4, 5, 6$,$6$ स्थितियाँ)
यदि $b=6$,$36 \geq 4c \implies c \leq 9$ ($c=1, 2, 3, 4, 5, 6$,$6$ स्थितियाँ)
अनुकूल परिणामों की कुल संख्या $n(E) = 0 + 1 + 2 + 4 + 6 + 6 = 19$.
प्रायिकता $P(E) = \frac{n(E)}{n(S)} = \frac{19}{36}$.

(C) कुल वस्तुओं की संख्या = $2 \text{ (बोल्ट)} + 2 \text{ (नट)} + 3 \text{ (सुइयां)} = 7 \text{ वस्तुएं}$.
$7$ में से $2$ भाग चुनने के कुल तरीके $n(S) = {}^{7}C_{2} = \frac{7 \times 6}{2 \times 1} = 21$ हैं।
मान लीजिए $E$ वह घटना है कि एक भाग बोल्ट है और एक भाग सुई है।
$2$ में से $1$ बोल्ट और $3$ में से $1$ सुई चुनने के तरीके $n(E) = {}^{2}C_{1} \times {}^{3}C_{1} = 2 \times 3 = 6$ हैं।
अतः,प्रायिकता $P(E) = \frac{n(E)}{n(S)} = \frac{6}{21}$।

(B) हम जानते हैं कि $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$.
चूँकि $P(A) = 1 - P(A^C) = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$.
सूत्र में मान रखने पर:
$\frac{5}{6} = \frac{1}{2} + P(B) - \frac{1}{3}$.
$\frac{5}{6} = \frac{1}{6} + P(B)$.
$P(B) = \frac{5}{6} - \frac{1}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$.
अतः,$P(B^C) = 1 - P(B) = 1 - \frac{2}{3} = \frac{1}{3}$.

(A) चूँकि $A$ और $B$ परस्पर अपवर्जी घटनाएँ हैं,$A \cap B = \phi$,जिसका अर्थ है $P(A \cap B) = 0$.
दिया गया है $P(A) = \frac{1}{4}$ और $P(B) = \frac{3}{7}$.
हमें $P(A / A \cup B) = \frac{P(A \cap (A \cup B))}{P(A \cup B)}$ ज्ञात करना है।
चूँकि $A \subset (A \cup B)$,इसलिए $A \cap (A \cup B) = A$,अतः $P(A \cap (A \cup B)) = P(A) = \frac{1}{4}$.
साथ ही,$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) = \frac{1}{4} + \frac{3}{7} - 0 = \frac{7 + 12}{28} = \frac{19}{28}$.
अतः,$P(A / A \cup B) = \frac{1/4}{19/28} = \frac{1}{4} \times \frac{28}{19} = \frac{7}{19}$.

(A) चूँकि $A, B, C$ परस्पर अपवर्जी हैं,इसलिए $P(A \cap B) = P(B \cap C) = P(C \cap A) = P(A \cap B \cap C) = 0$ है।
किसी भी घटना $E$ के लिए,$0 \leq P(E) \leq 1$ होता है।
$1$. $P(A) = \frac{3x+1}{3}$ के लिए: $0 \leq \frac{3x+1}{3} \leq 1 \implies -\frac{1}{3} \leq x \leq \frac{2}{3}$।
$2$. $P(B) = \frac{1-x}{4}$ के लिए: $0 \leq \frac{1-x}{4} \leq 1 \implies -3 \leq x \leq 1$।
$3$. $P(C) = \frac{1-2x}{2}$ के लिए: $0 \leq \frac{1-2x}{2} \leq 1 \implies -\frac{1}{2} \leq x \leq \frac{1}{2}$।
इन अंतरालों का सर्वनिष्ठ: $[-\frac{1}{3}, \frac{1}{2}]$ है।
साथ ही,परस्पर अपवर्जी घटनाओं के लिए,$P(A \cup B \cup C) = P(A) + P(B) + P(C) \leq 1$ होता है।
$\frac{3x+1}{3} + \frac{1-x}{4} + \frac{1-2x}{2} \leq 1 \implies \frac{13-3x}{12} \leq 1 \implies x \geq \frac{1}{3}$।
अतः,$x \in [\frac{1}{3}, \frac{1}{2}]$ है।

(B) माना $C$ के जीतने की प्रायिकता $P(C) = p$ है।
चूंकि $A$ और $B$ के जीतने की संभावना $C$ से दोगुनी है,इसलिए $P(A) = 2p$ और $P(B) = 2p$ है।
सभी संभावित परिणामों की प्रायिकताओं का योग $1$ होता है,इसलिए $P(A) + P(B) + P(C) = 1$ है।
मान रखने पर,$2p + 2p + p = 1$,जिसका अर्थ है $5p = 1$,अतः $p = \frac{1}{5}$।
$B$ या $C$ के जीतने की प्रायिकता $P(B \cup C) = P(B) + P(C)$ है (क्योंकि घटनाएं परस्पर अपवर्जी हैं)।
$P(B \cup C) = 2p + p = 3p = 3 \times \frac{1}{5} = \frac{3}{5}$।

(B) कुल कार्डों की संख्या $n(S) = 27$ है।
मान लीजिए $E$ वह घटना है कि संख्या सम है। $1$ से $27$ के बीच सम संख्याएँ $\{2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24, 26\}$ हैं।
अतः,$n(E) = 13$ है।
मान लीजिए $F$ वह घटना है कि संख्या $5$ से विभाज्य है। $5$ से विभाज्य संख्याएँ $\{5, 10, 15, 20, 25\}$ हैं।
अतः,$n(F) = 5$ है।
सर्वनिष्ठ $E \cap F$ में वे संख्याएँ शामिल हैं जो सम भी हैं और $5$ से विभाज्य भी हैं,जो कि $10$ के गुणज हैं। ये संख्याएँ $\{10, 20\}$ हैं।
अतः,$n(E \cap F) = 2$ है।
प्रायिकता के योग नियम का उपयोग करते हुए,$n(E \cup F) = n(E) + n(F) - n(E \cap F) = 13 + 5 - 2 = 16$ है।
अतः,प्रायिकता $P(E \cup F) = \frac{n(E \cup F)}{n(S)} = \frac{16}{27}$ है।

(D) मान लीजिए $P(A)$ वह प्रायिकता है कि $A$ सच बोलता है और $P(B)$ वह प्रायिकता है कि $B$ सच बोलता है।
दिया गया है,$P(A) = \frac{4}{5}$ और $P(B) = \frac{3}{4}$।
$A$ के सच न बोलने की प्रायिकता $P(\overline{A}) = 1 - P(A) = 1 - \frac{4}{5} = \frac{1}{5}$ है।
$B$ के सच न बोलने की प्रायिकता $P(\overline{B}) = 1 - P(B) = 1 - \frac{3}{4} = \frac{1}{4}$ है।
वे एक-दूसरे का खंडन तब करते हैं यदि एक सच बोलता है और दूसरा झूठ बोलता है।
अतः,खंडन की प्रायिकता $P(A \cap \overline{B}) + P(\overline{A} \cap B) = P(A) \cdot P(\overline{B}) + P(\overline{A}) \cdot P(B)$ है।
मान रखने पर: $(\frac{4}{5} \times \frac{1}{4}) + (\frac{1}{5} \times \frac{3}{4}) = \frac{4}{20} + \frac{3}{20} = \frac{7}{20}$।

(D) समुच्चय $S = \{5, 6, \ldots, 35\}$ है। तत्वों की संख्या $35 - 5 + 1 = 31$ है।
$31$ में से $2$ पूर्णांक चुनने के कुल तरीके $^{31}C_2 = \frac{31 \times 30}{2} = 465$ हैं।
दो पूर्णांकों का अंतर विषम तभी होता है जब एक पूर्णांक सम और दूसरा विषम हो।
समुच्चय $\{5, 6, \ldots, 35\}$ में,विषम पूर्णांकों की संख्या $16$ है (जैसे $5, 7, \ldots, 35$) और सम पूर्णांकों की संख्या $15$ है (जैसे $6, 8, \ldots, 34$)।
एक विषम और एक सम पूर्णांक चुनने के तरीके $^{16}C_1 \times ^{15}C_1 = 16 \times 15 = 240$ हैं।
अंतर के विषम होने की प्रायिकता $P = \frac{240}{465}$ है।
अंश और हर को $15$ से विभाजित करने पर,हमें $P = \frac{16}{31}$ प्राप्त होता है।

(B) $A, B, C$ युग्मवार स्वतंत्र घटनाएँ हैं।
$\Rightarrow P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B) = P^2$
$P(B \cap C) = P(B) \cdot P(C) = P^2$
$P(C \cap A) = P(C) \cdot P(A) = P^2$
यह दिया गया है कि वे सभी एक साथ घटित नहीं हो सकती हैं,इसलिए $P(A \cap B \cap C) = 0$ है।
समावेशन-अपवर्जन सिद्धांत का उपयोग करते हुए:
$P(A \cup B \cup C) = P(A) + P(B) + P(C) - [P(A \cap B) + P(B \cap C) + P(C \cap A)] + P(A \cap B \cap C)$
$P(A \cup B \cup C) = P + P + P - [P^2 + P^2 + P^2] + 0$
$P(A \cup B \cup C) = 3P - 3P^2 = 3P(1-P)$.

(B) समुच्चय $\{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8\}$ में अभाज्य संख्याएँ $2, 3, 5, 7$ हैं।
$P(E) = P(X=2) + P(X=3) + P(X=5) + P(X=7) = 0.23 + 0.12 + 0.20 + 0.07 = 0.62$.
घटना $F = \{X < 4\}$ का अर्थ है $X \in \{1, 2, 3\}$।
$P(F) = P(X=1) + P(X=2) + P(X=3) = 0.15 + 0.23 + 0.12 = 0.50$.
सर्वनिष्ठ घटना $E \cap F$ में वे मान हैं जो अभाज्य भी हैं और $4$ से छोटे भी,अर्थात $\{2, 3\}$।
$P(E \cap F) = P(X=2) + P(X=3) = 0.23 + 0.12 = 0.35$.
प्रायिकता के योग नियम के अनुसार,$P(E \cup F) = P(E) + P(F) - P(E \cap F)$।
$P(E \cup F) = 0.62 + 0.50 - 0.35 = 0.77$.

(B) चूंकि अक्षों को $45^{\circ}$ के कोण पर घुमाया गया है,हम $(x, y)$ को $\left(\frac{x-y}{\sqrt{2}}, \frac{x+y}{\sqrt{2}}\right)$ से प्रतिस्थापित करते हैं।
इन मानों को $3x^2 + 3y^2 + 2xy = 2$ में रखने पर:
$3\left(\frac{x-y}{\sqrt{2}}\right)^2 + 3\left(\frac{x+y}{\sqrt{2}}\right)^2 + 2\left(\frac{x-y}{\sqrt{2}}\right)\left(\frac{x+y}{\sqrt{2}}\right) = 2$
$\frac{3}{2}(x^2 + y^2 - 2xy) + \frac{3}{2}(x^2 + y^2 + 2xy) + \frac{2}{2}(x^2 - y^2) = 2$
$\frac{3}{2}(2x^2 + 2y^2) + (x^2 - y^2) = 2$
$3x^2 + 3y^2 + x^2 - y^2 = 2$
$4x^2 + 2y^2 = 2$
$2$ से विभाजित करने पर,हमें $2x^2 + y^2 = 1$ प्राप्त होता है।

(C) हम मानक सीमा सूत्र का उपयोग करते हैं: $\lim _{x \rightarrow \infty} (1 + \frac{a}{x+b})^{x+c} = e^a$.
दिया गया व्यंजक: $\lim _{x \rightarrow \infty} (\frac{x+6}{x+1})^{x+4}$.
आधार को पुनर्व्यवस्थित करने पर: $\frac{x+6}{x+1} = \frac{x+1+5}{x+1} = 1 + \frac{5}{x+1}$.
अतः,सीमा इस प्रकार हो जाती है: $\lim _{x \rightarrow \infty} (1 + \frac{5}{x+1})^{x+4}$.
गुणधर्म $\lim _{x \rightarrow \infty} (1 + \frac{k}{f(x)})^{g(x)} = e^{\lim _{x \rightarrow \infty} k \cdot \frac{g(x)}{f(x)}}$ का उपयोग करने पर:
$= e^{\lim _{x \rightarrow \infty} 5 \cdot \frac{x+4}{x+1}}$.
$= e^{5 \cdot \lim _{x \rightarrow \infty} \frac{1 + 4/x}{1 + 1/x}} = e^{5 \cdot 1} = e^5$.