मान लीजिए $x$ और $y$ वास्तविक संख्याएँ हैं। यदि $\vec{a}=(\sin x) \hat{i}+(\sin y) \hat{j}$ और $\vec{b}=(\cos x) \hat{i}+(\cos y) \hat{j}$ है,तो $|\vec{a} \times \vec{b}|$ क्या है?

उस समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जिसके विकर्ण सदिश $2\vec{a} - \vec{b}$ और $4\vec{a} - 5\vec{b}$ हैं,जहाँ $\vec{a}$ और $\vec{b}$ इकाई सदिश हैं जो $45^{\circ}$ का कोण बनाते हैं।

यदि $a=\hat{i}+\hat{j}$ और $b=3 \hat{i}-2 \hat{j}$ है,तो समीकरणों $r \times a=b \times a$ और $r \times b=a \times b$ को संतुष्ट करने वाला सदिश $r$ है

$A(1, 1, 2)$,$B(2, 3, 5)$ और $C(1, 5, 5)$ शीर्षों वाले त्रिभुज का क्षेत्रफल . . . . . . है।

मान लीजिए $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ तीन सदिश इस प्रकार हैं कि $|\vec{a}|=\sqrt{31}$,$4|\vec{b}|=|\vec{c}|=2$ और $2(\vec{a} \times \vec{b})=3(\vec{c} \times \vec{a})$ है। यदि $\vec{b}$ और $\vec{c}$ के बीच का कोण $\frac{2\pi}{3}$ है,तो $\left(\frac{\vec{a} \times \vec{c}}{\vec{a} \cdot \vec{b}}\right)^2$ का मान $............$ है।

सदिश $\vec{p}=a \hat{i}+b \hat{j}+c \hat{k}$,$\vec{q}=d \hat{i}+3 \hat{j}+4 \hat{k}$ और $\vec{r}=3 \hat{i}+\hat{j}-2 \hat{k}$ एक त्रिभुज $ABC$ बनाते हैं,जहाँ $\vec{p}=\vec{q}+\vec{r}$ है। यदि $\triangle ABC$ का क्षेत्रफल $5 \sqrt{6}$ वर्ग इकाई है,तो $a, b, c$ के निरपेक्ष मानों का योग क्या है?