निम्नलिखित कथनों के संबंध में सही विकल्प चुने | vedclass

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Question

(D) दो वृत्तों की रेडिकल अक्ष का समीकरण दोनों समीकरणों को घटाकर प्राप्त किया जाता है: $(x^2+y^2+ax+by+c) - (x^2+y^2+bx+ay+c) = 0$.यह सरल होकर $(a-b)x

Vedclass · Accepted Answer

कथन-$I$ असत्य है,कथन-$II$ सत्य है।

Vedclass · Answer

(D) दो वृत्तों की रेडिकल अक्ष का समीकरण दोनों समीकरणों को घटाकर प्राप्त किया जाता है: $(x^2+y^2+ax+by+c) - (x^2+y^2+bx+ay+c) = 0$.यह सरल होकर $(a-b)x + (b-a)y = 0$ हो जाता है,जो $(a-b)(x-y) = 0$ है।मान लीजिए $a 
eq b$,तो रेडिकल अक्ष रेखा $x-y=0$ या $y=x$ है।पहले वृत्त के समीकरण में $y=x$ रखने पर: $x^2+x^2+ax+bx+c=0 \Rightarrow 2x^2+(a+b)x+c=0$.मान लीजिए मूल $x_1$ और $x_2$ हैं। तब $x_1+x_2 = -\frac{a+b}{2}$ और $x_1x_2 = \frac{c}{2}$.प्रतिच्छेदन बिंदु $(x_1, x_1)$ और $(x_2, x_2)$ हैं।उभयनिष्ठ जीवा की लंबाई इन बिंदुओं के बीच की दूरी है: $\sqrt{(x_2-x_1)^2 + (x_2-x_1)^2} = \sqrt{2(x_2-x_1)^2} = \sqrt{2} |x_2-x_1|$.$|x_2-x_1| = \sqrt{(x_1+x_2)^2 - 4x_1x_2} = \sqrt{\frac{(a+b)^2}{4} - 2c} = \frac{\sqrt{(a+b)^2-8c}}{2}$ का उपयोग करते हुए।अतः,लंबाई $\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{(a+b)^2-8c}}{2} = \frac{\sqrt{(a+b)^2-8c}}{\sqrt{2}}$ है।इसलिए,कथन-$I$ असत्य है।कथन-$II$ वृत्तों की ज्यामिति का एक मानक प्रमेय है,जो सत्य है।अतः,कथन-$I$ असत्य है और कथन-$II$ सत्य है।

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यदि $L_1, L_2$ और $L_3$ वृत्त $x^2+y^2=3$ के सापेक्ष क्रमशः $(2,0), (1,-2)$ और $(4,4)$ बिंदुओं की स्पर्श जीवाएँ (chords of contact) हैं,तो $L_1, L_2$ और $L_3$ हैं

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