AP EAMCET 2021 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(A) माना बिंदु $A(3,-2,2)$ और $B(6,-17,-4)$ हैं। माना $P(2,3,4)$ रेखाखंड $AB$ को $\lambda : 1$ के अनुपात में विभाजित करता है।
विभाजन सूत्र का उपयोग करने पर:
$2 = \frac{6\lambda + 3}{\lambda + 1}$
$2\lambda + 2 = 6\lambda + 3$
$-4\lambda = 1 \implies \lambda = -\frac{1}{4}$.
$P$ का हार्मोनिक संयुग्मी $Q$,$AB$ को $-\lambda : 1$ के अनुपात में विभाजित करता है,अर्थात $1 : 4$ के अनुपात में।
विभाजन सूत्र का उपयोग करते हुए $Q$ के निर्देशांक:
$Q = \left( \frac{1(6) + 4(3)}{1+4}, \frac{1(-17) + 4(-2)}{1+4}, \frac{1(-4) + 4(2)}{1+4} \right)$
$Q = \left( \frac{18}{5}, -5, \frac{4}{5} \right)$.

(D) माना $\triangle OAB$ के शीर्षों के निर्देशांक $O(0,0)$,$A(a, 0)$,और $B(0, b)$ हैं।
चूँकि छड़ $AB$ की लंबाई $4$ है,इसलिए $a^2 + b^2 = 4^2 = 16$ है।
माना $(x, y)$ $\triangle OAB$ का केंद्रक है।
तब,$x = \frac{0+a+0}{3} = \frac{a}{3} \implies a = 3x$।
और $y = \frac{0+0+b}{3} = \frac{b}{3} \implies b = 3y$।
इन्हें समीकरण $a^2 + b^2 = 16$ में प्रतिस्थापित करने पर,हमें $(3x)^2 + (3y)^2 = 16$ प्राप्त होता है।
$9x^2 + 9y^2 = 16$।
$x^2 + y^2 = \frac{16}{9}$।
अतः,केंद्रक का बिंदुपथ $x^2 + y^2 = \frac{16}{9}$ है।

(D) दिया गया समीकरण $x^2+2 \sqrt{3} xy - y^2 = 8$ है।
जब अक्षों को $\theta = \frac{\pi}{3}$ कोण से घुमाया जाता है,तो $(x, y)$ को $(X, Y)$ द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है जहाँ:
$x = \frac{X - \sqrt{3}Y}{2}$
$y = \frac{\sqrt{3}X + Y}{2}$
इन मानों को समीकरण में रखने पर:
$\left(\frac{X - \sqrt{3}Y}{2}\right)^2 + 2 \sqrt{3} \left(\frac{X - \sqrt{3}Y}{2}\right) \left(\frac{\sqrt{3}X + Y}{2}\right) - \left(\frac{\sqrt{3}X + Y}{2}\right)^2 = 8$
सरल करने पर:
$X^2 - 2\sqrt{3}XY - Y^2 = 8$
अतः,रूपांतरित समीकरण $x^2 - 2\sqrt{3}xy - y^2 = 8$ है।

(B) माना दिया गया बिंदु $P(4, -5)$ है और स्थिर बिंदु $Q(1, 3)$ है।
बिंदु $P$ और $Q$ के बीच की दूरी $d$ दूरी सूत्र द्वारा दी जाती है:
$d = \sqrt{(4 - 1)^2 + (-5 - 3)^2} = \sqrt{3^2 + (-8)^2} = \sqrt{9 + 64} = \sqrt{73}$.
चूँकि $\sqrt{73} \approx 8.54$,बिंदु $P$ और $Q$ के बीच की दूरी $10$ इकाई से कम है।
बिंदु $P$ से गुजरने वाली किसी भी रेखा की बिंदु $Q$ से लंबवत दूरी हमेशा $PQ$ से कम या उसके बराबर होती है।
यहाँ $PQ < 10$ है,इसलिए $P$ से गुजरने वाली कोई भी रेखा $Q$ से $10$ इकाई की दूरी पर नहीं हो सकती है।
अतः,ऐसी रेखाओं की संख्या $0$ है।

(D) माना शीर्ष $A(1, \sqrt{3})$,$B(-1, -\sqrt{3})$ और $C(3, -\sqrt{3})$ हैं।
भुजाओं की लंबाई की गणना करें:
$AB = \sqrt{(-1-1)^2 + (-\sqrt{3}-\sqrt{3})^2} = \sqrt{4 + 12} = 4$.
$BC = \sqrt{(3 - (-1))^2 + (-\sqrt{3} - (-\sqrt{3}))^2} = \sqrt{4^2 + 0^2} = 4$.
$AC = \sqrt{(3-1)^2 + (-\sqrt{3}-\sqrt{3})^2} = \sqrt{2^2 + (-2\sqrt{3})^2} = \sqrt{4 + 12} = 4$.
चूंकि $AB = BC = AC = 4$,यह एक समबाहु त्रिभुज है।
समबाहु त्रिभुज में परिकेंद्र और केंद्रक संपाती होते हैं।
केंद्रक $(G) = \left(\frac{x_1+x_2+x_3}{3}, \frac{y_1+y_2+y_3}{3}\right)$.
$G = \left(\frac{1-1+3}{3}, \frac{\sqrt{3}-\sqrt{3}-\sqrt{3}}{3}\right) = \left(1, -\frac{1}{\sqrt{3}}\right)$.

(D) माना $O$ लंबकेंद्र $(3, -4, 2)$ है और $C$ परिकेंद्र $(2, 1, 3)$ है।
हम जानते हैं कि केंद्रक $G$,लंबकेंद्र और परिकेंद्र को जोड़ने वाले रेखाखंड को $2:1$ के अनुपात में विभाजित करता है।
विभाजन सूत्र का उपयोग करते हुए,केंद्रक $G$ के निर्देशांक इस प्रकार हैं:
$G = \left(\frac{1(3) + 2(2)}{1+2}, \frac{1(-4) + 2(1)}{1+2}, \frac{1(2) + 2(3)}{1+2}\right)$
$G = \left(\frac{3+4}{3}, \frac{-4+2}{3}, \frac{2+6}{3}\right)$
$G = \left(\frac{7}{3}, \frac{-2}{3}, \frac{8}{3}\right)$

(C) दिया गया समीकरण: $\tan A + \tan B + \tan C = \cot A + \cot B + \cot C$ है।
किसी भी त्रिभुज के लिए,$A + B + C = 180^{\circ}$ होता है।
यह शर्त किसी भी वास्तविक त्रिभुज के लिए संभव नहीं है।
अतः,ऐसे त्रिभुजों की संख्या $0$ है।

(C) माना बिंदु $P(x, y)$ है जो बिंदुओं $A(2, 3)$ और $B(4, 5)$ से समान दूरी पर है।
दूरी सूत्र के अनुसार,$PA = PB$,इसलिए $PA^2 = PB^2$ होगा।
$(x-2)^2 + (y-3)^2 = (x-4)^2 + (y-5)^2$
दोनों पक्षों का विस्तार करने पर:
$x^2 - 4x + 4 + y^2 - 6y + 9 = x^2 - 8x + 16 + y^2 - 10y + 25$
दोनों पक्षों से $x^2$ और $y^2$ को हटाने पर:
$-4x - 6y + 13 = -8x - 10y + 41$
पदों को व्यवस्थित करने पर:
$8x - 4x + 10y - 6y = 41 - 13$
$4x + 4y = 28$
$4$ से भाग देने पर:
$x + y = 7$

(D) दिया गया समीकरण $x^2+y^2-6x+10y-2=0$ है।
$x$ और $y$ पदों के लिए पूर्ण वर्ग बनाने पर:
$(x^2-6x+9) + (y^2+10y+25) - 9 - 25 - 2 = 0$.
$(x-3)^2 + (y+5)^2 = 36$.
मूल बिंदु को $(3, -5)$ पर स्थानांतरित करने के लिए,हम $x = X+3$ और $y = Y-5$ प्रतिस्थापित करते हैं,जिसका अर्थ है $X = x-3$ और $Y = y+5$.
इन मानों को समीकरण में रखने पर,हमें $X^2 + Y^2 = 36$ प्राप्त होता है।
अतः,नया समीकरण $x^2+y^2=36$ है।

(B) जब मूल बिंदु को $(-1, 1)$ बिंदु पर स्थानांतरित किया जाता है,तो नए निर्देशांक $(X, Y)$ और पुराने निर्देशांक $(x, y)$ के बीच संबंध इस प्रकार है:
$x = X - 1$
$y = Y + 1$
इन मानों को दिए गए समीकरण $3x^2 + y^2 + 2x + 4y + 15 = 0$ में रखने पर:
$3(X - 1)^2 + (Y + 1)^2 + 2(X - 1) + 4(Y + 1) + 15 = 0$
$3(X^2 - 2X + 1) + (Y^2 + 2Y + 1) + 2X - 2 + 4Y + 4 + 15 = 0$
$3X^2 - 6X + 3 + Y^2 + 2Y + 1 + 2X - 2 + 4Y + 4 + 15 = 0$
$3X^2 + Y^2 - 4X + 6Y + 21 = 0$
अतः,रूपांतरित समीकरण $3x^2 + y^2 - 4x + 6y + 21 = 0$ प्राप्त होता है।

(A) दी गई रेखा $5x - 2y = 10$ है।
दोनों पक्षों को $10$ से विभाजित करने पर,हमें $\frac{5x}{10} - \frac{2y}{10} = 1$ प्राप्त होता है,जो सरल होकर $\frac{x}{2} + \frac{y}{-5} = 1$ हो जाता है।
इसे अंतःखंड रूप $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$ के साथ तुलना करने पर,अंतःखंड $a = 2$ और $b = -5$ हैं।
अंतःखंडों के वर्गों का योग $a^2 + b^2 = 2^2 + (-5)^2$ है।
$= 4 + 25 = 29$.

(D) निर्देशांक अक्षों पर समान अंतःखंड काटने वाली रेखा का समीकरण $\frac{x}{a} + \frac{y}{a} = 1$ होता है,जिसे $x + y = a$ के रूप में लिखा जा सकता है।
चूंकि यह रेखा $(-5, 6)$ से गुजरती है,इसलिए हम इन निर्देशांकों को समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं:
$-5 + 6 = a$
$a = 1$
$a$ का मान समीकरण में वापस रखने पर,हमें $x + y = 1$ प्राप्त होता है।

(C) $m$ ढाल और $c$ $y$-अंतःखंड वाली रेखा का समीकरण $y = mx + c$ होता है।
यहाँ $c = 4$ दिया गया है,इसलिए रेखा का समीकरण $y = mx + 4$ या $mx - y + 4 = 0$ है।
बिंदु $(x_1, y_1)$ से रेखा $Ax + By + C = 0$ की दूरी $d = \frac{|Ax_1 + By_1 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$ सूत्र द्वारा दी जाती है।
यहाँ बिंदु मूलबिंदु $(0, 0)$ है,इसलिए $x_1 = 0$ और $y_1 = 0$ है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$d = \frac{|m(0) - (0) + 4|}{\sqrt{m^2 + (-1)^2}}$
$d = \frac{4}{\sqrt{m^2 + 1}}$.

(B) दी गई रेखा $x \sec \theta + y \operatorname{cosec} \theta = a$ है,जिसे $\frac{x}{\cos \theta} + \frac{y}{\sin \theta} = a$ के रूप में लिखा जा सकता है।
$Ax + By + C = 0$ के लंबवत रेखा का रूप $Bx - Ay + k = 0$ होता है।
अतः,दी गई रेखा के लंबवत रेखा $x \operatorname{cosec} \theta - y \sec \theta + k = 0$ या $\frac{x}{\sin \theta} - \frac{y}{\cos \theta} = -k$ है।
चूंकि यह रेखा बिंदु $(a \cos^3 \theta, a \sin^3 \theta)$ से गुजरती है,इसलिए:
$\frac{a \cos^3 \theta}{\sin \theta} - \frac{a \sin^3 \theta}{\cos \theta} = -k$
$\frac{a(\cos^4 \theta - \sin^4 \theta)}{\sin \theta \cos \theta} = -k$
$\cos^4 \theta - \sin^4 \theta = \cos 2 \theta$ का उपयोग करने पर:
$\frac{a \cos 2 \theta}{\sin \theta \cos \theta} = -k$
इस मान को रखने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{x}{\sin \theta} - \frac{y}{\cos \theta} = \frac{a \cos 2 \theta}{\sin \theta \cos \theta}$
$\sin \theta \cos \theta$ से गुणा करने पर:
$x \cos \theta - y \sin \theta = a \cos 2 \theta$.

(A) दी गई रेखा $x \cos \theta - y \sin \theta = 2 \cos 2 \theta$ है।
इसका ढाल $m_1 = \frac{\cos \theta}{\sin \theta}$ है।
इस रेखा पर लंब रेखा का ढाल $m_2 = -\frac{\sin \theta}{\cos \theta}$ होगा।
$(2 \cos^3 \theta, 2 \sin^3 \theta)$ से गुजरने वाली और $m_2$ ढाल वाली रेखा का समीकरण:
$y - 2 \sin^3 \theta = -\frac{\sin \theta}{\cos \theta} (x - 2 \cos^3 \theta)$
$y \cos \theta - 2 \sin^3 \theta \cos \theta = -x \sin \theta + 2 \cos^3 \theta \sin \theta$
$x \sin \theta + y \cos \theta = 2 \sin \theta \cos \theta (\cos^2 \theta + \sin^2 \theta)$
चूंकि $\cos^2 \theta + \sin^2 \theta = 1$,इसलिए:
$x \sin \theta + y \cos \theta = 2 \sin \theta \cos \theta$
दोनों पक्षों को $\sin \theta \cos \theta$ से विभाजित करने पर:
$x \sec \theta + y \operatorname{cosec} \theta = 2$.

(B) रेखा की ढाल $m = \tan \theta$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $\theta = 150^{\circ}$ है।
$m = \tan 150^{\circ} = \tan(180^{\circ} - 30^{\circ}) = -\tan 30^{\circ} = -\frac{1}{\sqrt{3}}$.
बिंदु $(x_1, y_1)$ से गुजरने वाली और $m$ ढाल वाली रेखा का समीकरण $y - y_1 = m(x - x_1)$ होता है।
बिंदु $(-1, -1)$ और $m = -\frac{1}{\sqrt{3}}$ रखने पर:
$y - (-1) = -\frac{1}{\sqrt{3}}(x - (-1))$
$y + 1 = -\frac{1}{\sqrt{3}}(x + 1)$
$\sqrt{3}(y + 1) = -(x + 1)$
$\sqrt{3}y + \sqrt{3} = -x - 1$
$x + \sqrt{3}y + \sqrt{3} + 1 = 0$
अतः,समीकरण $x + \sqrt{3}y + (\sqrt{3} + 1) = 0$ है।

(C) रेखा का दिया गया समीकरण $(a+2b)x + (a-3b)y = a-b$ है।
$a$ और $b$ के गुणांकों को अलग करने पर:
$ax + 2bx + ay - 3by = a - b$
$a(x + y - 1) + b(2x - 3y + 1) = 0$
चूँकि यह समीकरण $a$ और $b$ के सभी मानों के लिए सत्य है,इसलिए गुणांक शून्य होने चाहिए:
$x + y - 1 = 0$ $(i)$
$2x - 3y + 1 = 0$ (ii)
$(i)$ से,$y = 1 - x$। इसे (ii) में रखने पर:
$2x - 3(1 - x) + 1 = 0$
$5x - 2 = 0 \Rightarrow x = \frac{2}{5}$
$x = \frac{2}{5}$ को $(i)$ में रखने पर:
$y = 1 - \frac{2}{5} = \frac{3}{5}$
अतः,निश्चित बिंदु $\left(\frac{2}{5}, \frac{3}{5}\right)$ है।

(A) $A(-5,-4)$ से गुजरने वाली रेखा का समीकरण $\frac{x+5}{\cos \theta} = \frac{y+4}{\sin \theta} = r$ मानिए।
इस रेखा पर कोई भी बिंदु $(-5+r\cos \theta, -4+r\sin \theta)$ है।
$x+3y+2=0$ पर बिंदु $B$ के लिए:
$(-5+r_1\cos \theta) + 3(-4+r_1\sin \theta) + 2 = 0$ $\Rightarrow r_1(\cos \theta + 3\sin \theta) = 15$ $\Rightarrow \frac{15}{r_1} = \cos \theta + 3\sin \theta \dots (i)$.
$2x+y+4=0$ पर बिंदु $C$ के लिए:
$2(-5+r_2\cos \theta) + (-4+r_2\sin \theta) + 4 = 0$ $\Rightarrow r_2(2\cos \theta + \sin \theta) = 10$ $\Rightarrow \frac{10}{r_2} = 2\cos \theta + \sin \theta \dots (ii)$.
$x-y-5=0$ पर बिंदु $D$ के लिए:
$(-5+r_3\cos \theta) - (-4+r_3\sin \theta) - 5 = 0$ $\Rightarrow r_3(\cos \theta - \sin \theta) = 6$ $\Rightarrow \frac{6}{r_3} = \cos \theta - \sin \theta \dots (iii)$.
दिया है $\left(\frac{15}{AB}\right)^2 + \left(\frac{10}{AC}\right)^2 = \left(\frac{6}{AD}\right)^2$,अतः:
$(\cos \theta + 3\sin \theta)^2 + (2\cos \theta + \sin \theta)^2 = (\cos \theta - \sin \theta)^2$.
$4\cos^2 \theta + 9\sin^2 \theta + 12\sin \theta \cos \theta = 0$.
$(2\cos \theta + 3\sin \theta)^2 = 0 \Rightarrow \tan \theta = -\frac{2}{3}$.
रेखा $L$ का समीकरण $2x + 3y + 22 = 0$ प्राप्त होता है।

(B) रेखा $x/a - y/b = 1$ बिंदु $(8, 6)$ से गुजरती है,इसलिए $8/a - 6/b = 1$ . . . $(i)$.
अंतःखंड $(a, 0)$ और $(0, -b)$ हैं। अक्षों के साथ बने त्रिभुज का क्षेत्रफल $1/2 \times |a| \times |-b| = 12$ है,इसलिए $|ab| = 24$,जिसका अर्थ है $ab = 24$ या $ab = -24$.
स्थिति $1$: $b = 24/a$. $(i)$ में प्रतिस्थापित करने पर: $8/a - 6/(24/a) = 1 \implies 8/a - a/4 = 1 \implies 32 - a^2 = 4a \implies a^2 + 4a - 32 = 0 \implies (a+8)(a-4) = 0$.
यदि $a = 4$,तो $b = 6$. रेखा $x/4 - y/6 = 1 \implies 3x - 2y = 12 \implies 3x - 2y - 12 = 0$.
यदि $a = -8$,तो $b = -3$. रेखा $x/(-8) - y/(-3) = 1 \implies -x/8 + y/3 = 1 \implies -3x + 8y = 24 \implies 3x - 8y + 24 = 0$.
अतः,समीकरण $3x - 2y - 12 = 0$ और $3x - 8y + 24 = 0$ हैं।

(A) बिंदु $P(1, 2)$ से गुजरने वाली और $m = \tan(45^{\circ}) = 1$ ढाल वाली रेखा का समीकरण $(y - 2) = 1(x - 1)$ है,जो $x - y + 1 = 0$ में सरल हो जाता है।
बिंदु $Q$ ज्ञात करने के लिए,हम समीकरणों की प्रणाली को हल करते हैं:
$x - y + 1 = 0 \Rightarrow y = x + 1$
$3x + 4y + 5 = 0$
दूसरे समीकरण में $y = x + 1$ रखने पर:
$3x + 4(x + 1) + 5 = 0$
$3x + 4x + 4 + 5 = 0$
$7x + 9 = 0 \Rightarrow x = -\frac{9}{7}$
तब $y = -\frac{9}{7} + 1 = -\frac{2}{7}$।
अतः,$Q = \left(-\frac{9}{7}, -\frac{2}{7}\right)$।
दूरी सूत्र का उपयोग करके $PQ$ की लंबाई:
$PQ = \sqrt{\left(1 - (-\frac{9}{7})\right)^2 + \left(2 - (-\frac{2}{7})\right)^2}$
$PQ = \sqrt{\left(\frac{16}{7}\right)^2 + \left(\frac{16}{7}\right)^2}$
$PQ = \sqrt{2 \times \left(\frac{16}{7}\right)^2} = \frac{16\sqrt{2}}{7}$ इकाई।

(B) रेखा का दिया गया समीकरण $px - qy = r$ है।
चूंकि रेखा $x$-अक्ष को $(a, 0)$ पर काटती है,हम समीकरण में $x = a$ और $y = 0$ प्रतिस्थापित करते हैं:
$p(a) - q(0) = r$ $\Rightarrow pa = r$ $\Rightarrow a = \frac{r}{p}$.
चूंकि रेखा $y$-अक्ष को $(0, b)$ पर काटती है,हम समीकरण में $x = 0$ और $y = b$ प्रतिस्थापित करते हैं:
$p(0) - q(b) = r$ $\Rightarrow -qb = r$ $\Rightarrow b = -\frac{r}{q}$.
अतः,$(a + b)$ का मान है:
$a + b = \frac{r}{p} - \frac{r}{q} = \frac{rq - rp}{pq} = \frac{r(q - p)}{pq}$.

(B) माना बिंदु $P(h, k)$ रेखा $3x + 5y = 15$ पर स्थित है।
चूँकि $P$ निर्देशांक अक्षों से समान दूरी पर है,इसलिए $|h| = |k|$,जिसका अर्थ है $h = k$ या $h = -k$।
स्थिति $1$: यदि $h = k$ है,तो $3h + 5h = 15$ $\Rightarrow 8h = 15$ $\Rightarrow h = \frac{15}{8}$। अतः,$P = (\frac{15}{8}, \frac{15}{8})$,जो प्रथम चतुर्थांश में स्थित है।
स्थिति $2$: यदि $h = -k$ है,तो $3h + 5(-h) = 15$ $\Rightarrow -2h = 15$ $\Rightarrow h = -\frac{15}{2}$। अतः,$k = \frac{15}{2}$,और $P = (-\frac{15}{2}, \frac{15}{2})$,जो द्वितीय चतुर्थांश में स्थित है।
अतः,$P$ प्रथम या द्वितीय चतुर्थांश में स्थित है।

(B) व्यक्ति $2x - 3y + 4 = 0$ और $3x + 4y - 5 = 0$ रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु पर खड़ा है।
इन समीकरणों को हल करने पर,हमें प्रतिच्छेदन बिंदु $A = (-\frac{1}{17}, \frac{22}{17})$ प्राप्त होता है।
$6x - 7y + 8 = 0$ रास्ते पर कम से कम समय में पहुँचने के लिए,व्यक्ति को लंबवत रेखा पर चलना होगा।
दिए गए रास्ते की ढाल $m_1 = \frac{6}{7}$ है।
अतः लंबवत रेखा की ढाल $m_2 = -\frac{7}{6}$ होगी।
$(-\frac{1}{17}, \frac{22}{17})$ से गुजरने वाली और $-\frac{7}{6}$ ढाल वाली रेखा का समीकरण:
$y - \frac{22}{17} = -\frac{7}{6}(x + \frac{1}{17})$
$119x + 102y - 125 = 0$.

(A) दी गई सरल रेखाओं के समीकरण हैं:
$l_1: 3x + 4y + 9 = 0$ ...$(i)$
$l_2: x - 7y - 22 = 0$ ...(ii)
रेखा $l_1$ की प्रवणता $m_1 = -\frac{3}{4}$ है।
रेखा $l_2$ की प्रवणता $m_2 = \frac{1}{7}$ है।
दो रेखाओं के बीच का कोण $\theta$ ज्ञात करने का सूत्र:
$\tan \theta = \left| \frac{m_1 - m_2}{1 + m_1 m_2} \right|$
मान रखने पर:
$\tan \theta = \left| \frac{-\frac{3}{4} - \frac{1}{7}}{1 + (-\frac{3}{4})(\frac{1}{7})} \right| = 1$
अतः,$\theta = \frac{\pi}{4}$।

(A) दी गई रेखा $2x + 3y = 6$ है,जिसका ढाल $m_1 = -2/3$ है।
चूंकि मूल बिंदु से गुजरने वाली रेखाओं का युग्म इस रेखा के साथ एक समद्विबाहु समकोण त्रिभुज बनाता है,इसलिए रेखाएँ दी गई रेखा के साथ $45^{\circ}$ का कोण बनाती हैं।
माना अभीष्ट रेखाओं का ढाल $m$ है। दो रेखाओं के बीच का कोण $\tan \theta = |(m - m_1) / (1 + m \cdot m_1)|$ द्वारा दिया जाता है।
$\theta = 45^{\circ}$ और $m_1 = -2/3$ रखने पर:
$1 = |(m - (-2/3)) / (1 + m(-2/3))| = |(3m + 2) / (3 - 2m)|$.
इसके दो मामले हैं:
मामला $1$: $(3m + 2) / (3 - 2m) = 1$ $\Rightarrow 3m + 2 = 3 - 2m$ $\Rightarrow 5m = 1$ $\Rightarrow m = 1/5$.
रेखा का समीकरण $y = (1/5)x \Rightarrow x - 5y = 0$ है।
मामला $2$: $(3m + 2) / (3 - 2m) = -1$ $\Rightarrow 3m + 2 = -3 + 2m$ $\Rightarrow m = -5$.
रेखा का समीकरण $y = -5x \Rightarrow 5x + y = 0$ है।
अतः,रेखाएँ $x - 5y = 0$ और $5x + y = 0$ हैं।

(C) माना बिंदु $A(2, k)$,$B(3, 7)$,$C(-2, 1)$ और $D(3, 0)$ हैं।
चूंकि रेखा $AB$,रेखा $CD$ के समांतर है,इसलिए उनकी ढाल समान होनी चाहिए,अर्थात $m_{AB} = m_{CD}$।
$(x_1, y_1)$ और $(x_2, y_2)$ से गुजरने वाली रेखा की ढाल $m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$ द्वारा दी जाती है।
$m_{AB} = \frac{7 - k}{3 - 2} = \frac{7 - k}{1} = 7 - k$.
$m_{CD} = \frac{0 - 1}{3 - (-2)} = \frac{-1}{3 + 2} = \frac{-1}{5}$.
ढालों की तुलना करने पर: $7 - k = \frac{-1}{5}$.
$35 - 5k = -1$.
$5k = 36$.
$k = \frac{36}{5}$.

(D) माना $ABCD$ एक वर्ग है जहाँ $A \equiv (1,3)$ और $C \equiv (7,5)$ है।
विकर्ण $AC$ की ढाल $m_{AC} = \frac{5-3}{7-1} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$ है।
माना भुजा $AB$ की ढाल $m$ है।
चूँकि वर्ग का विकर्ण भुजाओं के साथ $45^{\circ}$ का कोण बनाता है,इसलिए $\left| \frac{m - 1/3}{1 + m(1/3)} \right| = \tan 45^{\circ} = 1$ है।
$\left| \frac{3m-1}{3+m} \right| = 1$ है।
स्थिति $1$: $\frac{3m-1}{3+m} = 1$ $\Rightarrow 3m-1 = 3+m$ $\Rightarrow 2m = 4$ $\Rightarrow m = 2$ है।
$A(1,3)$ से गुजरने वाली और $m=2$ ढाल वाली भुजा का समीकरण $y-3 = 2(x-1)$ $\Rightarrow y-3 = 2x-2$ $\Rightarrow 2x-y+1 = 0$ है।
स्थिति $2$: $\frac{3m-1}{3+m} = -1$ $\Rightarrow 3m-1 = -3-m$ $\Rightarrow 4m = -2$ $\Rightarrow m = -1/2$ है।
$A(1,3)$ से गुजरने वाली और $m=-1/2$ ढाल वाली भुजा का समीकरण $y-3 = -1/2(x-1)$ $\Rightarrow 2y-6 = -x+1$ $\Rightarrow x+2y-7 = 0$ है।
विकल्पों के साथ तुलना करने पर,$2x-y+1=0$ सही उत्तर है।

(A) माना $(3,2)$ से गुजरने वाली रेखा की ढाल $m_1$ है और $x-2y=3$ की ढाल $m_2$ है।
$m_2 = \frac{-1}{-2} = \frac{1}{2}$.
रेखाओं के बीच का कोण $45^{\circ}$ है,इसलिए $\tan 45^{\circ} = \left| \frac{m_1 - m_2}{1 + m_1 m_2} \right|$.
$1 = \left| \frac{m_1 - 1/2}{1 + m_1/2} \right| = \left| \frac{2m_1 - 1}{2 + m_1} \right|$.
स्थिति $1$: $\frac{2m_1 - 1}{2 + m_1} = 1$ $\Rightarrow 2m_1 - 1 = 2 + m_1$ $\Rightarrow m_1 = 3$.
समीकरण $y - 2 = 3(x - 3)$ $\Rightarrow y - 2 = 3x - 9$ $\Rightarrow 3x - y = 7$ है।
स्थिति $2$: $\frac{2m_1 - 1}{2 + m_1} = -1$ $\Rightarrow 2m_1 - 1 = -2 - m_1$ $\Rightarrow 3m_1 = -1$ $\Rightarrow m_1 = -1/3$.
समीकरण $y - 2 = -\frac{1}{3}(x - 3)$ $\Rightarrow 3y - 6 = -x + 3$ $\Rightarrow x + 3y = 9$ है।
अतः,रेखाओं के समीकरण $3x - y = 7$ और $x + 3y = 9$ हैं।

(C) मूल बिंदु $(0,0)$ से $ax^2 + 2hxy + by^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ द्वारा निरूपित रेखाओं के युग्म पर डाले गए लंबों का गुणनफल $p = \left| \frac{c}{\sqrt{(a-b)^2 + 4h^2}} \right|$ द्वारा दिया जाता है।
$xy+x+y+1=0$ के लिए:
$a=0, b=0, h=1/2, c=1$.
$p_1 = \left| \frac{1}{\sqrt{(0-0)^2 + 4(1/2)^2}} \right| = 1$.
$x^2-y^2+2x+1=0$ के लिए:
$a=1, b=-1, h=0, c=1$.
$p_2 = \left| \frac{1}{\sqrt{(1-(-1))^2 + 4(0)^2}} \right| = 1/2$.
$2x^2+3xy-2y^2+2x+1=0$ के लिए:
$a=2, b=-2, h=3/2, c=1$.
$p_3 = \left| \frac{1}{\sqrt{(2-(-2))^2 + 4(3/2)^2}} \right| = 1/5$.
मानों की तुलना करने पर: $1/5 < 1/2 < 1$,जिसका अर्थ है $p_3 < p_2 < p_1$.

(B) माना रेखाएँ $L_1: 2x + 3y - 1 = 0$,$L_2: x + 2y + 1 = 0$,और $L_3: ax + by - 1 = 0$ हैं। लंबकेंद्र $(0, 0)$ पर है।
चूँकि लंबकेंद्र शीर्षलंबों का प्रतिच्छेदन बिंदु है,शीर्ष $B$ से गुजरने वाला शीर्षलंब $(0, 0)$ से गुजरता है और $L_3$ के लंबवत है। $B$ से गुजरने वाली रेखाओं का परिवार $(2x + 3y - 1) + \lambda(x + 2y + 1) = 0$ है। चूँकि यह $(0, 0)$ से गुजरती है,$-1 + \lambda = 0 \Rightarrow \lambda = 1$। शीर्षलंब का समीकरण $3x + 5y = 0$ है,जिसकी ढाल $m = -\frac{3}{5}$ है। चूँकि यह $L_3$ (ढाल $-\frac{a}{b}$) के लंबवत है,$(-\frac{a}{b}) \times (-\frac{3}{5}) = -1 \Rightarrow 3a = -5b$।
इसी प्रकार,शीर्ष $A$ से गुजरने वाला शीर्षलंब $(0, 0)$ से गुजरता है और $L_2$ (ढाल $-\frac{1}{2}$) के लंबवत है। $A$ से गुजरने वाली रेखाओं का परिवार $(2x + 3y - 1) + \mu(ax + by - 1) = 0$ है। चूँकि यह $(0, 0)$ से गुजरती है,$-1 - \mu = 0 \Rightarrow \mu = -1$। शीर्षलंब का समीकरण $(2-a)x + (3-b)y = 0$ है,जिसकी ढाल $-\frac{2-a}{3-b}$ है। चूँकि यह $L_2$ के लंबवत है,$(-\frac{2-a}{3-b}) \times (-\frac{1}{2}) = -1$ $\Rightarrow 2-a = -2(3-b)$ $\Rightarrow a + 2b = 8$।
$3a = -5b$ और $a + 2b = 8$ को हल करने पर,हमें $a = -40$ और $b = 24$ प्राप्त होता है। अतः,$\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = -\frac{1}{40} + \frac{1}{24} = \frac{-3 + 5}{120} = \frac{2}{120} = \frac{1}{60}$.

(A) माना बिंदु $A(2, 3, 4)$,$B(-1, -2, 1)$ और $C(5, 8, 7)$ हैं।
दूरी सूत्र का उपयोग करके हम जाँचते हैं कि क्या बिंदु संरेख हैं।
$AB = \sqrt{(-1-2)^2 + (-2-3)^2 + (1-4)^2} = \sqrt{9 + 25 + 9} = \sqrt{43}$.
$BC = \sqrt{(5-(-1))^2 + (8-(-2))^2 + (7-1)^2} = \sqrt{36 + 100 + 36} = \sqrt{172} = 2\sqrt{43}$.
$AC = \sqrt{(5-2)^2 + (8-3)^2 + (7-4)^2} = \sqrt{9 + 25 + 9} = \sqrt{43}$.
चूँकि $AB + AC = \sqrt{43} + \sqrt{43} = 2\sqrt{43} = BC$,इसलिए बिंदु $A, B, C$ संरेख हैं।

(C) समीकरण $|x+y|=4$ दो समानांतर रेखाओं को दर्शाता है: $x+y=4$ और $x+y=-4$।
एक बिंदु $(a, a)$ के इन दो रेखाओं के बीच स्थित होने के लिए,$(a, a)$ पर व्यंजक $(x+y)$ का मान $-4$ और $4$ के बीच होना चाहिए।
$(a, a)$ को $x+y$ में प्रतिस्थापित करने पर,हमें $a+a = 2a$ प्राप्त होता है।
अतः,शर्त $-4 < 2a < 4$ है।
असमिका को $2$ से विभाजित करने पर,हमें $-2 < a < 2$ प्राप्त होता है।
यह $|a| < 2$ के बराबर है।

(C) माना $\triangle ABC$ एक समबाहु त्रिभुज है जिसका आधार $BC$,$x+y-2=0$ द्वारा दिया गया है और शीर्ष $A$,$(2,-1)$ है।
शीर्ष $A$ से आधार $BC$ पर लंब की लंबाई $h$,बिंदु $(2,-1)$ से रेखा $x+y-2=0$ की लंबवत दूरी है।
$h = \frac{|(1)(2) + (1)(-1) - 2|}{\sqrt{1^2 + 1^2}} = \frac{|2 - 1 - 2|}{\sqrt{2}} = \frac{|-1|}{\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
$s$ भुजा की लंबाई वाले समबाहु त्रिभुज में,शीर्षलंब $h = \frac{\sqrt{3}}{2}s$ होता है।
इसलिए,$\frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{3}}{2}s$.
$s = \frac{2}{\sqrt{2} \times \sqrt{3}} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \sqrt{\frac{2}{3}}$.

(C) $3x - y = 7$ के समांतर रेखा का समीकरण $3x - y = \lambda$ मानिए।
चूंकि यह $(1, 2)$ से गुजरती है,इसलिए $3(1) - 2 = \lambda \Rightarrow \lambda = 1$।
अतः,रेखा $3x - y = 1$ है।
अब,$x + y + 5 = 0$ और $3x - y = 1$ का प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करें।
दोनों समीकरणों को जोड़ने पर: $4x + 5 = 1$ $\Rightarrow 4x = -4$ $\Rightarrow x = -1$।
$x = -1$ को $x + y + 5 = 0$ में रखने पर: $-1 + y + 5 = 0 \Rightarrow y = -4$।
अतः,प्रतिच्छेदन बिंदु $(-1, -4)$ है।
अभीष्ट दूरी $(1, 2)$ और $(-1, -4)$ के बीच की दूरी है।
दूरी सूत्र का उपयोग करने पर: $d = \sqrt{(1 - (-1))^2 + (2 - (-4))^2} = \sqrt{2^2 + 6^2} = \sqrt{4 + 36} = \sqrt{40}$।

(C) माना रेखा $4x - y - 1 = 0$ के सापेक्ष बिंदु $(3, -4)$ का प्रतिबिंब $P(\alpha, \beta)$ है।
बिंदु $(x_1, y_1)$ का रेखा $ax + by + c = 0$ के सापेक्ष प्रतिबिंब का सूत्र: $\frac{\alpha - x_1}{a} = \frac{\beta - y_1}{b} = \frac{-2(ax_1 + by_1 + c)}{a^2 + b^2}$ है।
मान रखने पर:
$\frac{\alpha - 3}{4} = \frac{\beta + 4}{-1} = \frac{-2(4(3) - (-4) - 1)}{4^2 + (-1)^2} = \frac{-30}{17}$.
$\alpha$ के लिए:
$\alpha = 3 - \frac{120}{17} = \frac{-69}{17}$.
$\beta$ के लिए:
$\beta = \frac{30}{17} - 4 = \frac{-38}{17}$.
अतः,$\beta - \alpha = \frac{-38}{17} - (\frac{-69}{17}) = \frac{31}{17}$.

(C) रेखाओं के युग्म का दिया गया समीकरण $15 x^2 + 31 x y + 14 y^2 = 0$ है।
द्विघात व्यंजक का गुणनखंड करने पर: $15 x^2 + 10 x y + 21 x y + 14 y^2 = 0$ $\Rightarrow 5 x(3 x + 2 y) + 7 y(3 x + 2 y) = 0$ $\Rightarrow (3 x + 2 y)(5 x + 7 y) = 0$.
अतः,दो रेखाएँ $L_1: 3 x + 2 y = 0$ और $L_2: 5 x + 7 y = 0$ हैं।
$(2,3)$ से $3 x + 2 y = 0$ पर लंब की दूरी $d_1 = \frac{|3(2) + 2(3)|}{\sqrt{3^2 + 2^2}} = \frac{12}{\sqrt{13}}$ है।
$(2,3)$ से $5 x + 7 y = 0$ पर लंब की दूरी $d_2 = \frac{|5(2) + 7(3)|}{\sqrt{5^2 + 7^2}} = \frac{31}{\sqrt{74}}$ है।
चूंकि $p_1 > p_2$,इसलिए $p_1 = \frac{31}{\sqrt{74}}$ और $p_2 = \frac{12}{\sqrt{13}}$ है।
अब,$p_1^2 + \frac{1}{74} - p_2^2 + \frac{1}{13} = \frac{31^2}{74} + \frac{1}{74} - \frac{12^2}{13} + \frac{1}{13} = \frac{962}{74} - \frac{143}{13} = 13 - 11 = 2$.

(C) मान लीजिए $LM$,$PQ$ का $R$ पर लंब समद्विभाजक है।
$PQ$ का मध्य-बिंदु $R$ है:
$R = \left(\frac{1+k}{2}, \frac{4+3}{2}\right) = \left(\frac{k+1}{2}, \frac{7}{2}\right)$
$PQ$ की ढाल:
$m_{PQ} = \frac{3-4}{k-1} = \frac{-1}{k-1}$
चूंकि $LM$,$PQ$ पर लंब है,इसलिए $LM$ की ढाल $(m_{LM})$:
$m_{LM} = -\frac{1}{m_{PQ}} = -\frac{1}{-1/(k-1)} = k-1$
$LM$ रेखा का समीकरण,जिसकी ढाल $(k-1)$ और $y$-अंतःखंड $-4$ है:
$y = (k-1)x - 4$
चूंकि लंब समद्विभाजक मध्य-बिंदु $R\left(\frac{k+1}{2}, \frac{7}{2}\right)$ से गुजरता है,यह समीकरण को संतुष्ट करेगा:
$\frac{7}{2} = (k-1)\left(\frac{k+1}{2}\right) - 4$
दोनों पक्षों को $2$ से गुणा करने पर:
$7 = (k-1)(k+1) - 8$
$7 = k^2 - 1 - 8$
$7 = k^2 - 9$
$k^2 = 16$
$k = \pm 4$
अतः,$k$ का एक संभावित मान $-4$ है।

(B) रेखाओं $3x + 4y = 9$ और $6x + 8y = 15$ के बीच की दूरी ज्ञात करने के लिए,हम पहले उन्हें $ax + by + c = 0$ के रूप में लिखते हैं।
दूसरे समीकरण को $2$ से विभाजित करने पर,हमें $3x + 4y = 7.5$ या $3x + 4y - 7.5 = 0$ प्राप्त होता है।
पहला समीकरण $3x + 4y - 9 = 0$ है।
दो समांतर रेखाओं $ax + by + c_1 = 0$ और $ax + by + c_2 = 0$ के बीच की दूरी $d = \left| \frac{c_1 - c_2}{\sqrt{a^2 + b^2}} \right|$ सूत्र द्वारा दी जाती है।
यहाँ,$a = 3$,$b = 4$,$c_1 = -9$,और $c_2 = -7.5$ है।
$d = \left| \frac{-9 - (-7.5)}{\sqrt{3^2 + 4^2}} \right| = \left| \frac{-1.5}{5} \right| = \frac{3}{10} \text{ इकाई}$.

(B) दिया गया समीकरण $8x^2+8xy+2y^2+26x+13y+15=0$ है ...$(i)$
हम समीकरण को $2(4x^2+4xy+y^2)+13(2x+y)+15=0$ के रूप में लिख सकते हैं।
मान लीजिए $2x+y=t$. तो समीकरण $2t^2+13t+15=0$ हो जाता है।
गुणनखंड करने पर: $2t^2+10t+3t+15=0 \Rightarrow 2t(t+5)+3(t+5)=0$.
अतः,$(2t+3)(t+5)=0$.
$t=2x+y$ रखने पर,हमें $(2(2x+y)+3)(2x+y+5)=0$ प्राप्त होता है।
यह सरल होकर $(4x+2y+3)(2x+y+5)=0$ हो जाता है।
इस प्रकार,दो रेखाएँ $4x+2y+3=0$ और $2x+y+5=0$ हैं।
पहली रेखा को $2$ से विभाजित करने पर,हमें $2x+y+1.5=0$ प्राप्त होता है।
समानांतर रेखाओं $Ax+By+C_1=0$ और $Ax+By+C_2=0$ के बीच की दूरी $d = \frac{|C_1-C_2|}{\sqrt{A^2+B^2}}$ होती है।
यहाँ,$A=2, B=1, C_1=5, C_2=1.5$.
$d = \frac{|5-1.5|}{\sqrt{2^2+1^2}} = \frac{3.5}{\sqrt{5}} = \frac{7}{2\sqrt{5}}$.

(B) दिया गया समीकरण $x^2+2xy+y^2-8ax-8ay-9a^2=0$ है।
इसे व्यापक द्विघात समीकरण $Ax^2+2Hxy+By^2+2Gx+2Fy+C=0$ से तुलना करने पर,$A=1, B=1, H=1, G=-4a, F=-4a, C=-9a^2$ प्राप्त होता है।
समांतर रेखाओं के बीच की दूरी $d = 2 \sqrt{\frac{G^2-AC}{A(A+B)}}$ सूत्र द्वारा दी जाती है।
मान रखने पर:
$d = 2 \sqrt{\frac{(-4a)^2 - (1)(-9a^2)}{1(1+1)}}$
$d = 2 \sqrt{\frac{16a^2 + 9a^2}{2}}$
$d = 2 \sqrt{\frac{25a^2}{2}} = 2 \times \frac{5a}{\sqrt{2}} = 5\sqrt{2}a$.
अतः,दूरी $5\sqrt{2}a$ इकाई है।

(A) दिया गया है कि $\triangle ABC$ एक समद्विबाहु त्रिभुज है जिसका आधार $BC$ है,जहाँ $B \equiv (3, 2)$ और $C \equiv (2, 3)$ है।
ध्यान दें कि बिंदु $B(3, 2)$ और $C(2, 3)$ रेखा $y = x$ के सापेक्ष सममित हैं।
चूँकि त्रिभुज समद्विबाहु है,शीर्ष $A$ को $BC$ के लंब समद्विभाजक पर स्थित होना चाहिए। $(3, 2)$ और $(2, 3)$ को जोड़ने वाले रेखाखंड का लंब समद्विभाजक रेखा $y = x$ है।
चूँकि पूरी आकृति रेखा $y = x$ के सापेक्ष सममित है,रेखा $AC$,रेखा $AB$ का रेखा $y = x$ के सापेक्ष प्रतिबिंब है।
रेखा $3y = 2x$ का $y = x$ के सापेक्ष प्रतिबिंब ज्ञात करने के लिए,हम समीकरण में $x$ और $y$ को आपस में बदल देते हैं।
$x$ को $y$ से और $y$ को $x$ से बदलने पर,हमें $3x = 2y$ प्राप्त होता है,जो कि $2y = 3x$ है।
अतः,रेखा $AC$ का समीकरण $2y = 3x$ है।

(A) माना दिया गया बिंदु $P(1, 2)$ है और बाहरी बिंदु $Q(3, 1)$ है।
हमें $P$ से गुजरने वाली उस रेखा का समीकरण ज्ञात करना है जिसकी $Q$ से लंबवत दूरी अधिकतम हो।
बिंदु $Q$ से $P$ से गुजरने वाली रेखा की लंबवत दूरी हमेशा $PQ$ की दूरी से कम या उसके बराबर होती है।
अधिकतम दूरी तब प्राप्त होती है जब रेखा $P$ बिंदु पर $PQ$ रेखाखंड के लंबवत हो।
माना रेखा $L$ है। चूँकि $L \perp PQ$,रेखा $L$ की ढाल $PQ$ की ढाल की ऋणात्मक व्युत्क्रम होगी।
$PQ$ की ढाल $= \frac{1 - 2}{3 - 1} = \frac{-1}{2}$।
अतः,रेखा $L$ की ढाल $m = -(\frac{1}{-1/2}) = 2$ होगी।
$(1, 2)$ से गुजरने वाली और $2$ ढाल वाली रेखा $L$ का समीकरण:
$y - 2 = 2(x - 1)$
$y - 2 = 2x - 2$
$y = 2x$.

(C) माना $P(\alpha, \beta)$ रेखा $2x + 3y + 7 = 0$ पर स्थित एक बिंदु है।
तब $2\alpha + 3\beta + 7 = 0$,जिससे $\beta = \frac{-7-2\alpha}{3}$ प्राप्त होता है।
बिंदु $P$ के निर्देशांक $\left(\alpha, \frac{-7-2\alpha}{3}\right)$ हैं।
बिंदु $P(\alpha, \beta)$ और $A(1, -3)$ के बीच की दूरी $3$ है।
दूरी सूत्र का उपयोग करने पर: $(\alpha - 1)^2 + \left(\frac{-7-2\alpha}{3} + 3\right)^2 = 3^2$.
हल करने पर,$(\alpha - 1)^2 = \frac{81}{13}$ प्राप्त होता है।
अतः $\alpha = 1 \pm \frac{9}{\sqrt{13}} = \frac{\sqrt{13} \pm 9}{\sqrt{13}}$.
जब $\alpha = \frac{\sqrt{13}-9}{\sqrt{13}}$ हो,तो $\beta = \frac{-3\sqrt{13} + 6}{\sqrt{13}}$ प्राप्त होता है।
अतः,अभीष्ट बिंदु $\left(\frac{\sqrt{13}-9}{\sqrt{13}}, \frac{-3\sqrt{13}+6}{\sqrt{13}}\right)$ है।

(C) माना मूल बिंदु $(h, k)$ पर स्थानांतरित किया जाता है।
नए निर्देशांक $(x', y')$ हैं।
अतः $x = x' + h$ और $y = y' + k$।
इन मानों को समीकरण $9x^2 + 4y^2 + 10x + 12y + 1 = 0$ में रखने पर:
$9(x' + h)^2 + 4(y' + k)^2 + 10(x' + h) + 12(y' + k) + 1 = 0$
$x'$ और $y'$ के पदों को हटाने के लिए,उनके गुणांकों को शून्य के बराबर रखने पर:
$18h + 10 = 0 \implies h = -\frac{5}{9}$
$8k + 12 = 0 \implies k = -\frac{3}{2}$
अतः,मूल बिंदु को $\left(-\frac{5}{9}, -\frac{3}{2}\right)$ पर स्थानांतरित किया जाना चाहिए।

(D) माना $2x^2 + axy + 3y^2 = 0$ द्वारा निरूपित रेखाओं की ढाल $m$ और $m_1$ हैं। तब $m + m_1 = -a/3$ और $mm_1 = 2/3$ है।
माना $2x^2 + bxy - 3y^2 = 0$ द्वारा निरूपित रेखाओं की ढाल $m$ और $m_2$ हैं। तब $m + m_2 = b/3$ और $mm_2 = -2/3$ है।
चूंकि अन्य दो रेखाएं लंबवत हैं,$m_1m_2 = -1$ है।
ढालों के गुणनफल को विभाजित करने पर: $(mm_1) / (mm_2) = (2/3) / (-2/3) = -1$।
अतः,$m_1 / m_2 = -1$,जिसका अर्थ है $m_1 = -m_2$ या $m_1 + m_2 = 0$।
$mm_1 = 2/3$ और $mm_2 = -2/3$ से,$m_1 = 2/(3m)$ और $m_2 = -2/(3m)$ प्राप्त होता है।
$m_1m_2 = -1$ में प्रतिस्थापित करने पर: $(2/(3m)) \times (-2/(3m)) = -1$ $\Rightarrow -4/(9m^2) = -1$ $\Rightarrow m^2 = 4/9$ $\Rightarrow m = 2/3$।
अतः $m_1 = 1$ और $m_2 = -1$ है।
$m + m_1 = -a/3$ का उपयोग करने पर: $2/3 + 1 = -a/3 \Rightarrow a = -5$।
$m + m_2 = b/3$ का उपयोग करने पर: $2/3 - 1 = b/3 \Rightarrow b = -1$।

(D) यदि रेखाएँ संगामी हैं,तो उनके गुणांकों का सारणिक शून्य होना चाहिए:
$\left| \begin{array}{ccc} 2 & -1 & 1 \\ 4 & 1 & 2 \\ 1 & 1 & -k \end{array} \right| = 0$
प्रथम पंक्ति के अनुदिश विस्तार करने पर:
$2(-k - 2) + 1(-4k - 2) + 1(4 - 1) = 0$
$-2k - 4 - 4k - 2 + 3 = 0$
$-6k - 3 = 0$
$-6k = 3$
$k = -\frac{1}{2}$

(A) रेखा $2x + 3y + 4 = 0$,$AB$ का लंब समद्विभाजक है।
सबसे पहले,$AB$ का मध्य बिंदु $M$ रेखा पर स्थित है:
$M = (\frac{1+\alpha}{2}, \frac{2+\beta}{2})$
$2(\frac{1+\alpha}{2}) + 3(\frac{2+\beta}{2}) + 4 = 0$
$2\alpha + 3\beta + 16 = 0$ ... $(i)$
दूसरा,$AB$ की ढाल दी गई रेखा की ढाल $(-2/3)$ के लंबवत है:
$\frac{\beta - 2}{\alpha - 1} \times (-\frac{2}{3}) = -1$
$3\alpha - 2\beta + 1 = 0$ ... $(ii)$
$(i)$ और $(ii)$ को हल करने पर:
$13\alpha = -35$ और $\beta = -\frac{46}{13}$
अतः,$13\alpha + 13\beta = -35 - 46 = -81$.

(C) दी गई रेखा $ax + by + c = 0$ है।
चूंकि $a, b,$ और $c$ तीन क्रमागत विषम पूर्णांक हैं,इसलिए वे समांतर श्रेणी में हैं।
अतः,$b - a = c - b$,जिसका अर्थ है $c = 2b - a$।
रेखा के समीकरण में $c$ का मान रखने पर: $ax + by + (2b - a) = 0$।
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर: $a(x - 1) + b(y + 2) = 0$।
इस रेखा के हमेशा एक निश्चित बिंदु $(\alpha, \beta)$ से गुजरने के लिए:
$\alpha - 1 = 0 \Rightarrow \alpha = 1$ और $\beta + 2 = 0 \Rightarrow \beta = -2$।
इसलिए,$\alpha^2 + \beta^2 = 1^2 + (-2)^2 = 1 + 4 = 5$।

(C) भुजा $AB$ की ढाल $m_{AB} = \frac{8-7}{-7-4} = \frac{1}{-11} = -\frac{1}{11}$ है।
चूंकि लंब समद्विभाजक $AB$ पर लंब है,इसलिए इसकी ढाल $m$,$m \times m_{AB} = -1$ के अनुसार $m = 11$ होगी।
भुजा $AB$ का मध्य-बिंदु $D$,$\left(\frac{4+(-7)}{2}, \frac{7+8}{2}\right) = \left(-\frac{3}{2}, \frac{15}{2}\right)$ है।
बिंदु $D\left(-\frac{3}{2}, \frac{15}{2}\right)$ से गुजरने वाली और $m=11$ ढाल वाली रेखा का समीकरण:
$y - \frac{15}{2} = 11\left(x - (-\frac{3}{2}\right))$
$y - \frac{15}{2} = 11\left(x + \frac{3}{2}\right)$
$y - \frac{15}{2} = 11x + \frac{33}{2}$
$11x - y + \frac{33}{2} + \frac{15}{2} = 0$
$11x - y + \frac{48}{2} = 0$
$11x - y + 24 = 0$.

(D) माना बिंदु $(x, y)$ है।
$(x, y)$ और $(3, -2)$ के बीच की दूरी $4$ इकाई दी गई है।
दूरी सूत्र का उपयोग करने पर,$\sqrt{(x-3)^2 + (y-(-2))^2} = 4$।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$(x-3)^2 + (y+2)^2 = 16$।
पदों का विस्तार करने पर,$x^2 - 6x + 9 + y^2 + 4y + 4 = 16$।
समीकरण को सरल करने पर,$x^2 + y^2 - 6x + 4y + 13 = 16$।
अतः,बिंदुपथ $x^2 + y^2 - 6x + 4y - 3 = 0$ है।

(A) माना $r$ गोले की त्रिज्या है और $\Delta r$ त्रिज्या मापने में हुई त्रुटि है।
दिया गया है, $r = 9 \ cm$ और $\Delta r = 0.03 \ cm$।
गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल $S = 4 \pi r^2$ द्वारा दिया जाता है।
पृष्ठीय क्षेत्रफल में अनुमानित त्रुटि ज्ञात करने के लिए, हम $S$ का $r$ के सापेक्ष अवकलन करते हैं:
$\frac{dS}{dr} = 8 \pi r$।
अवकल सन्निकटन का उपयोग करते हुए, $\Delta S \approx \frac{dS}{dr} \times \Delta r$।
मान रखने पर:
$\Delta S = 8 \pi \times 9 \times 0.03$।
$\Delta S = 72 \pi \times 0.03 = 2.16 \pi \ cm^2$।
अतः, पृष्ठीय क्षेत्रफल की गणना में अनुमानित त्रुटि $2.16 \pi \ cm^2$ है।

(D) माना $D$ व्यास है,$r$ त्रिज्या है और $h$ लंबवृत्तीय शंकु की ऊँचाई है।
दिया गया है $D = 10 \ cm$,इसलिए $r = 5 \ cm$।
दिया गया है $h = 20 \ cm$।
व्यास के परिवर्तन की दर $\frac{dD}{dt} = 2 \ cm/s$ है।
चूँकि $D = 2r$,इसलिए $\frac{dr}{dt} = \frac{1}{2} \frac{dD}{dt} = \frac{1}{2} \times 2 = 1 \ cm/s$।
शंकु का आयतन $V = \frac{1}{3} \pi r^2 h$ है।
आयतन को स्थिर रखने के लिए,$\frac{dV}{dt} = 0$ होना चाहिए।
गुणन नियम का उपयोग करते हुए,$\frac{dV}{dt} = \frac{1}{3} \pi (2rh \frac{dr}{dt} + r^2 \frac{dh}{dt}) = 0$।
मान रखने पर: $2(5)(20)(1) + (5)^2 \frac{dh}{dt} = 0$।
$200 + 25 \frac{dh}{dt} = 0$।
$25 \frac{dh}{dt} = -200$।
$\frac{dh}{dt} = -8 \ cm/s$।
अतः,ऊँचाई को $-8 \ cm/s$ की दर से बदलना चाहिए।

(D) माना लोहे की गेंद की त्रिज्या $r_0 = 10 \ cm$ है और बर्फ की परत की मोटाई $x \ cm$ है। गोले की कुल त्रिज्या (लोहे की गेंद + बर्फ) $R = 10 + x \ cm$ है।
बर्फ की परत का आयतन $V = \frac{4}{3}\pi (10+x)^3 - \frac{4}{3}\pi (10)^3$ है।
चूंकि लोहे की गेंद स्थिर है,कुल आयतन में परिवर्तन की दर बर्फ के आयतन में परिवर्तन की दर के बराबर है।
$V = \frac{4}{3}\pi (10+x)^3$.
समय $t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dV}{dt} = 4\pi (10+x)^2 \frac{dx}{dt}$.
दिया गया है कि $\frac{dV}{dt} = -50 \ cm^3/min$ (क्योंकि यह पिघल रही है) और $x = 5 \ cm$:
$-50 = 4\pi (10+5)^2 \frac{dx}{dt}$.
$-50 = 4\pi (15)^2 \frac{dx}{dt}$.
$-50 = 4\pi (225) \frac{dx}{dt}$.
$-50 = 900\pi \frac{dx}{dt}$.
$\frac{dx}{dt} = -\frac{50}{900\pi} = -\frac{1}{18\pi} \ cm/min$.
ऋणात्मक चिह्न मोटाई में कमी को दर्शाता है।
अतः,मोटाई घटने की दर $\frac{1}{18\pi} \ cm/min$ है।
इस प्रकार,विकल्प $(D)$ सही है।

(C) माना $v$ आयतन है और $s$ त्रिज्या $r$ वाले गोलाकार गुब्बारे का पृष्ठीय क्षेत्रफल है।
दिया है: $\frac{dv}{dt} = 30 \ cm^3/min$.
गोले का आयतन $v = \frac{4}{3} \pi r^3$ होता है।
$t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $\frac{dv}{dt} = 4 \pi r^2 \frac{dr}{dt}$.
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $30 = 4 \pi r^2 \frac{dr}{dt} \implies \frac{dr}{dt} = \frac{30}{4 \pi r^2} = \frac{15}{2 \pi r^2}$.
गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल $s = 4 \pi r^2$ होता है।
$t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $\frac{ds}{dt} = 8 \pi r \frac{dr}{dt}$.
$\frac{dr}{dt}$ का मान रखने पर: $\frac{ds}{dt} = 8 \pi r \left( \frac{15}{2 \pi r^2} \right) = \frac{60}{r}$.
$r = 6 \ cm$ के लिए: $\frac{ds}{dt} = \frac{60}{6} = 10 \ cm^2/min$.

(A) दिया गया है,$T=2 \pi \sqrt{\frac{l}{g}}$.
दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लेने पर,हमें प्राप्त होता है $\ln T = \ln(2 \pi) + \frac{1}{2} \ln l - \frac{1}{2} \ln g$.
$l$ के सापेक्ष दोनों पक्षों का अवकलन करने पर,हमें प्राप्त होता है $\frac{1}{T} \frac{dT}{dl} = \frac{1}{2l}$.
अतः,सापेक्ष परिवर्तन $\frac{dT}{T} = \frac{1}{2} \frac{dl}{l}$ है।
यह दिया गया है कि लंबाई में $1 \%$ की वृद्धि होती है,इसलिए $\frac{dl}{l} \times 100 = 1 \%$ है।
इसलिए,आवर्तकाल में प्रतिशत परिवर्तन $\frac{dT}{T} \times 100 = \frac{1}{2} \times \left( \frac{dl}{l} \times 100 \right) = \frac{1}{2} \times 1 \% = 0.5 \%$ है।
अतः,आवर्तकाल में अनुमानित परिवर्तन $0.5 \%$ है।

(B) दिया गया है,$\frac{dV}{dt} = 4 \pi \text{ cm}^3/\text{s}$ ...$(i)$
हमें $\frac{dr}{dt}$ ज्ञात करना है जब $V = 288 \pi \text{ cm}^3$ हो।
माना $r$ गोलाकार गेंद की त्रिज्या है।
गोले का आयतन $V = \frac{4}{3} \pi r^3$ द्वारा दिया जाता है।
दोनों पक्षों का $t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dV}{dt} = \frac{4}{3} \pi (3r^2) \frac{dr}{dt} = 4 \pi r^2 \frac{dr}{dt}$.
दी गई दर $\frac{dV}{dt} = 4 \pi$ को प्रतिस्थापित करने पर:
$4 \pi = 4 \pi r^2 \frac{dr}{dt} \Rightarrow \frac{dr}{dt} = \frac{1}{r^2}$ ...(ii)
जब $V = 288 \pi$ हो,तो:
$288 \pi = \frac{4}{3} \pi r^3 \Rightarrow r^3 = 288 \times \frac{3}{4} = 216$.
अतः,$r = \sqrt[3]{216} = 6 \text{ cm}$.
समीकरण (ii) में $r = 6$ रखने पर:
$\frac{dr}{dt} = \frac{1}{6^2} = \frac{1}{36} \text{ cm/s}$.

(C) दिया गया वक्र $y = 5x - 2x^3$ है।
वक्र का ढाल $m = \frac{dy}{dx} = 5 - 6x^2$ द्वारा दिया जाता है।
हमें समय $t$ के सापेक्ष ढाल में परिवर्तन की दर $\frac{dm}{dt}$ ज्ञात करनी है।
श्रृंखला नियम (chain rule) का उपयोग करके $m$ का $t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dm}{dt} = \frac{d}{dt}(5 - 6x^2) = -12x \cdot \frac{dx}{dt}$.
दिया गया है कि $\frac{dx}{dt} = 2 \text{ units/sec}$ और हमें $x = 3$ पर मान ज्ञात करना है:
$\left(\frac{dm}{dt}\right)_{x=3} = -12(3) \times 2 = -72$.
अतः,$x = 3$ पर ढाल में परिवर्तन की दर $-72 \text{ units/sec}^2$ है।

(D) दिया गया दूरी फलन $s = 60t - 5t^2$ है।
वेग $v$,समय $t$ के सापेक्ष दूरी के परिवर्तन की दर है,जिसे $v = \frac{ds}{dt}$ द्वारा दिया जाता है।
$\frac{ds}{dt} = \frac{d}{dt}(60t - 5t^2) = 60 - 10t$।
कण विराम अवस्था में तब आता है जब उसका वेग $v = 0$ होता है।
$60 - 10t = 0$ रखने पर,हमें $10t = 60$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $t = 6 \text{ s}$।
अब,$t = 6 \text{ s}$ पर तय की गई दूरी की गणना करते हैं:
$s(6) = 60(6) - 5(6)^2$
$s(6) = 360 - 5(36)$
$s(6) = 360 - 180 = 180 \text{ इकाई}$।
अतः,विराम अवस्था में आने से पहले तय की गई दूरी $180 \text{ इकाई}$ है।

(B) दिया गया है $y = f(x) = 5x^2 + 6x + 6$,$x = 2$ और $\Delta x = 0.001$.
सबसे पहले,अवकलज $dy$ की गणना करें:
$\frac{dy}{dx} = 10x + 6$
$dy = \left(\frac{dy}{dx}\right) \Delta x = (10x + 6) \Delta x$
$x = 2$ और $\Delta x = 0.001$ रखने पर:
$dy = (10(2) + 6)(0.001) = (26)(0.001) = 0.026$.
अब,वृद्धि $\Delta y$ की गणना करें:
$\Delta y = f(x + \Delta x) - f(x)$
$\Delta y = [5(x + \Delta x)^2 + 6(x + \Delta x) + 6] - [5x^2 + 6x + 6]$
$\Delta y = 5(x^2 + 2x\Delta x + (\Delta x)^2) + 6x + 6\Delta x + 6 - 5x^2 - 6x - 6$
$\Delta y = 10x\Delta x + 5(\Delta x)^2 + 6\Delta x$
$x = 2$ और $\Delta x = 0.001$ रखने पर:
$\Delta y = 10(2)(0.001) + 5(0.001)^2 + 6(0.001)$
$\Delta y = 0.020 + 0.000005 + 0.006 = 0.026005$.
अतः,$\Delta y = 0.026005$ और $dy = 0.026$.

(A) दिया गया वक्र $y = 8x^2 - x^4 - 4$ है।
स्थिर बिंदु ज्ञात करने के लिए,हम फलन का $x$ के सापेक्ष अवकलन करते हैं:
$\frac{dy}{dx} = 16x - 4x^3$.
स्थिर बिंदु वहाँ होते हैं जहाँ $\frac{dy}{dx} = 0$ हो:
$16x - 4x^3 = 0$
$4x(4 - x^2) = 0$
इससे $x = 0$ या $x^2 = 4$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $x = 0, 2, -2$।
अब,हम संगत $y$-मान ज्ञात करते हैं:
$x = 0$ के लिए: $y = 8(0)^2 - (0)^4 - 4 = -4$।
$x = 2$ के लिए: $y = 8(2)^2 - (2)^4 - 4 = 8(4) - 16 - 4 = 32 - 20 = 12$।
$x = -2$ के लिए: $y = 8(-2)^2 - (-2)^4 - 4 = 8(4) - 16 - 4 = 32 - 20 = 12$।
अतः,स्थिर बिंदु $(0, -4), (2, 12), (-2, 12)$ हैं।

(A) $(i)$ दिया गया है $f(x) = x|x|$। यदि $x > 0$,तो $f(x) = x^2$,अतः $f'(x) = 2x > 0$। यदि $x < 0$,तो $f(x) = -x^2$,अतः $f'(x) = -2x > 0$। इस प्रकार,सभी $x \in R - \{0\}$ के लिए $f'(x) > 0$ है,जिसका अर्थ है कि $f(x)$ निरंतर वर्धमान फलन है। यह कथन सत्य है।
$(ii)$ दिया गया है $f(x) = \log_{1/4} (x)$। आधार $1/4 < 1$ होने के कारण,लघुगणकीय फलन $(0, \infty)$ पर निरंतर ह्रासमान है। यह कथन असत्य है।
$(iii)$ एक एकैकी फलन निरंतर वर्धमान,निरंतर ह्रासमान,या इनमें से कुछ भी नहीं हो सकता है (उदाहरण के लिए,$f(x) = 1/x$ एकैकी है लेकिन एकदिष्ट नहीं है)। यह कथन असत्य है।
$(iv)$ दिया गया है $f(x) = x^{1/3}$। $f'(x) = \frac{1}{3}x^{-2/3} = \frac{1}{3x^{2/3}} > 0$ सभी $x \neq 0$ के लिए। अतः,यह $R$ पर निरंतर वर्धमान फलन है। यह कथन असत्य है।

(D) दिया गया फलन $f(x) = -x^3 + 4ax^2 + 2x - 5$ है।
फलन के ह्रासमान होने के लिए हम इसका अवकलन करते हैं: $f'(x) = -3x^2 + 8ax + 2$।
फलन के प्रत्येक $x$ के लिए ह्रासमान होने के लिए,$f'(x) < 0$ होना चाहिए।
अतः $-3x^2 + 8ax + 2 < 0$ सभी $x$ के लिए होना चाहिए।
द्विघात व्यंजक $Ax^2 + Bx + C$ के सभी $x$ के लिए ऋणात्मक होने की शर्तें $A < 0$ और विविक्तकर (discriminant) $\Delta = B^2 - 4AC < 0$ हैं।
यहाँ $A = -3 < 0$ है।
विविक्तकर $\Delta = (8a)^2 - 4(-3)(2) = 64a^2 + 24$ है।
चूंकि $64a^2 + 24$ का मान $a$ के किसी भी वास्तविक मान के लिए हमेशा धनात्मक रहता है,इसलिए $\Delta < 0$ की शर्त कभी पूरी नहीं हो सकती।
अतः,$a$ का ऐसा कोई मान नहीं है जिसके लिए फलन प्रत्येक $x$ के लिए ह्रासमान हो।

(D) दिया गया है कि $f''(x) > 0$ सभी $x \in R$ के लिए,जिसका अर्थ है कि $f'(x)$ सभी $x \in R$ के लिए एक निरंतर वर्धमान फलन है।
चूंकि $f'(3) = 0$,इसलिए $x < 3$ के लिए $f'(x) < 0$ और $x > 3$ के लिए $f'(x) > 0$ है।
अब,$g(x) = f(\tan^2 x - 2 \tan x + 4)$ पर विचार करें।
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$g'(x) = f'(\tan^2 x - 2 \tan x + 4) \cdot \frac{d}{dx}(\tan^2 x - 2 \tan x + 4)$ प्राप्त होता है।
$g'(x) = f'(\tan^2 x - 2 \tan x + 4) \cdot (2 \tan x \sec^2 x - 2 \sec^2 x) = f'(\tan^2 x - 2 \tan x + 4) \cdot 2 \sec^2 x (\tan x - 1)$।
माना $u = \tan^2 x - 2 \tan x + 4 = (\tan x - 1)^2 + 3$ है। चूंकि $(\tan x - 1)^2 \ge 0$,इसलिए $u \ge 3$ है।
$u > 3$ के लिए,हम जानते हैं कि $f'(u) > 0$ क्योंकि $f'(x)$ वर्धमान फलन है और $f'(3) = 0$ है।
$g(x)$ के वर्धमान होने के लिए,हमें $g'(x) > 0$ की आवश्यकता है।
चूंकि $f'(u) > 0$ और $x \in (0, \frac{\pi}{2})$ के लिए $2 \sec^2 x > 0$ है,इसलिए $g'(x)$ का चिह्न $(\tan x - 1)$ पर निर्भर करता है।
अतः,$g'(x) > 0$ तब होता है जब $\tan x - 1 > 0$,जिसका अर्थ है $\tan x > 1$।
$x \in (0, \frac{\pi}{2})$ के लिए,$\tan x > 1$ का अर्थ है $x \in (\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2})$।

(A) दिया गया है $g(x) = \frac{1}{6} f(3 x^2 - 1) + \frac{1}{2} f(1 - x^2)$.
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$g'(x) = \frac{1}{6} f'(3 x^2 - 1) \cdot (6x) + \frac{1}{2} f'(1 - x^2) \cdot (-2x)$
$g'(x) = x [f'(3 x^2 - 1) - f'(1 - x^2)]$.
चूँकि $f''(x) > 0$,इसलिए $f'(x)$ एक वर्धमान फलन है।
$g(x)$ के वर्धमान होने के लिए $g'(x) > 0$ होना चाहिए।
स्थिति $1$: यदि $x > 0$ है,तो $f'(3 x^2 - 1) - f'(1 - x^2) > 0$ होना चाहिए,जिसका अर्थ है $f'(3 x^2 - 1) > f'(1 - x^2)$.
चूँकि $f'$ वर्धमान है,इसलिए $3 x^2 - 1 > 1 - x^2$,अर्थात $4 x^2 > 2$,या $x^2 > \frac{1}{2}$.
$x > 0$ के लिए,$x \in \left( \frac{1}{\sqrt{2}}, \infty \right)$.
स्थिति $2$: यदि $x < 0$ है,तो $f'(3 x^2 - 1) - f'(1 - x^2) < 0$ होना चाहिए,जिसका अर्थ है $f'(3 x^2 - 1) < f'(1 - x^2)$.
चूँकि $f'$ वर्धमान है,इसलिए $3 x^2 - 1 < 1 - x^2$,अर्थात $4 x^2 < 2$,या $x^2 < \frac{1}{2}$.
$x < 0$ के लिए,$x \in \left( -\frac{1}{\sqrt{2}}, 0 \right)$.
अतः,$g(x)$ अंतराल $\left( -\frac{1}{\sqrt{2}}, 0 \right) \cup \left( \frac{1}{\sqrt{2}}, \infty \right)$ में वर्धमान है।

(B) दिया गया है कि $f(x)=k x^3-9 x^2+9 x+3$ $(k>0)$ सभी $x$ के लिए वर्धमान है।
चूंकि $f(x)$ वर्धमान है,इसलिए इसका अवकलज $f^{\prime}(x) \geq 0$ होगा।
$f^{\prime}(x) = 3 k x^2-18 x+9$।
$f^{\prime}(x) \geq 0$ रखने पर,$3 k x^2-18 x+9 \geq 0$,जिसे सरल करने पर $k x^2-6 x+3 \geq 0$ प्राप्त होता है।
द्विघात बहुपद $a x^2+b x+c$ के लिए,यदि $a>0$ है और यह सभी $x$ के लिए ऋणेतर है,तो इसका विविक्तकर $D \leq 0$ होना चाहिए।
यहाँ $a=k$,$b=-6$,और $c=3$ है।
$D = b^2-4 a c = (-6)^2-4(k)(3) = 36-12 k$।
$D \leq 0$ रखने पर,$36-12 k \leq 0$,जिसका अर्थ है $12 k \geq 36$,अतः $k \geq 3$।
अतः,सही शर्त $k \geq 3$ है।

(B) दिया गया विस्थापन फलन: $s = \frac{1}{3} t^3 - 3 t^2 + 9 t + 17$.
वेग $v$,समय के सापेक्ष विस्थापन का अवकलन है: $v = \frac{ds}{dt} = t^2 - 6 t + 9$.
यह ज्ञात करने के लिए कि वेग कब घटता है,हम त्वरण $a = \frac{dv}{dt}$ की गणना करते हैं।
$a = \frac{dv}{dt} = 2 t - 6$.
वेग तब घटता है जब त्वरण ऋणात्मक होता है,अर्थात $\frac{dv}{dt} < 0$.
$2 t - 6 < 0 \implies 2 t < 6 \implies t < 3$.
चूंकि समय $t$ का मान $0$ से अधिक होना चाहिए,इसलिए वेग $0 < t < 3$ के अंतराल में घटता है।

(B) दिया गया है,$a > 0$.
$f(x) = 2 x^3 - 9 a x^2 + 12 a^2 x + 1$.
अवकलज ज्ञात करें: $f'(x) = 6 x^2 - 18 a x + 12 a^2$.
अवकलज का गुणनखंड करें: $f'(x) = 6 (x^2 - 3 a x + 2 a^2) = 6 (x - 2 a) (x - a)$.
$f'(x) = 0$ रखने पर क्रांतिक बिंदु $x = a$ और $x = 2 a$ प्राप्त होते हैं।
द्वितीय अवकलज ज्ञात करें: $f''(x) = 6 (2 x - 3 a) = 12 x - 18 a$.
स्थानीय उच्चतम और निम्नतम के लिए जाँच करें:
$x = a$ पर,$f''(a) = 6 (2 a - 3 a) = -6 a < 0$ (चूँकि $a > 0$),इसलिए $\alpha = a$ स्थानीय उच्चतम बिंदु है।
$x = 2 a$ पर,$f''(2 a) = 6 (4 a - 3 a) = 6 a > 0$ (चूँकि $a > 0$),इसलिए $\beta = 2 a$ स्थानीय निम्नतम बिंदु है।
शर्त $2 \alpha + \beta = 8$ दी गई है,$\alpha = a$ और $\beta = 2 a$ प्रतिस्थापित करने पर:
$2(a) + 2 a = 8$.
$4 a = 8$.
$a = 2$.

(B) दिया गया है: $xy = 6$
$\implies y = \frac{6}{x}$
मान लीजिए $f(x) = 2x + 3y = 2x + 3 \left( \frac{6}{x} \right) = 2x + \frac{18}{x}$
न्यूनतम मान ज्ञात करने के लिए,$f(x)$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करें:
$f'(x) = 2 - \frac{18}{x^2}$
क्रांतिक बिंदुओं के लिए $f'(x) = 0$ रखें:
$2 - \frac{18}{x^2} = 0 \implies x^2 = 9 \implies x = 3$ (मान लीजिए $x > 0$)
अब,द्वितीय अवकलज ज्ञात करें:
$f''(x) = \frac{36}{x^3}$
$x = 3$ पर,$f''(3) = \frac{36}{27} > 0$,जो स्थानीय न्यूनतम मान की पुष्टि करता है।
न्यूनतम मान $f(3) = 2(3) + \frac{18}{3} = 6 + 6 = 12$ है।

(C) दिया गया है $f(x) = 2x^3 - 9ax^2 + 12a^2x + 1$.
$x$ के सापेक्ष $f(x)$ का अवकलन करने पर,हमें $f'(x) = 6x^2 - 18ax + 12a^2$ प्राप्त होता है।
उच्चिष्ठ या निम्निष्ठ मान के लिए,$f'(x) = 0$ रखने पर:
$6(x^2 - 3ax + 2a^2) = 0$
$6(x - a)(x - 2a) = 0$
अतः,क्रांतिक बिंदु $x = a$ और $x = 2a$ हैं।
अब,द्वितीय अवकलज $f''(x) = 12x - 18a$ ज्ञात करते हैं।
$x = a$ पर,$f''(a) = 12a - 18a = -6a$। चूँकि $a > 0$,इसलिए $f''(a) < 0$,अतः $f(x)$ का उच्चिष्ठ मान $p = a$ पर है।
$x = 2a$ पर,$f''(2a) = 12(2a) - 18a = 6a$। चूँकि $a > 0$,इसलिए $f''(2a) > 0$,अतः $f(x)$ का निम्निष्ठ मान $q = 2a$ पर है।
शर्त $p^2 = q$ के अनुसार:
$a^2 = 2a$
$a^2 - 2a = 0$
$a(a - 2) = 0$
चूँकि $a > 0$,इसलिए $a = 2$ प्राप्त होता है।

(B) माना $f(x) = x^4-x^2-2x+5$.
अवकलन ज्ञात करें: $f'(x) = 4x^3-2x-2$.
क्रांतिक बिंदु ज्ञात करने के लिए $f'(x) = 0$ रखें: $4x^3-2x-2 = 0 \Rightarrow 2x^3-x-1 = 0$.
त्रिघात समीकरण का गुणनखंड करने पर: $2x^3-2x^2+2x^2-2x+x-1 = 0 \Rightarrow 2x^2(x-1) + 2x(x-1) + 1(x-1) = 0 \Rightarrow (x-1)(2x^2+2x+1) = 0$.
वास्तविक मूल $x = 1$ है। द्विघात गुणनखंड $2x^2+2x+1$ का विविक्तकर ऋणात्मक $(D = 4-8 = -4)$ है,इसलिए इसका कोई वास्तविक मूल नहीं है।
द्वितीय अवकलज की जाँच करें: $f''(x) = 12x^2-2$.
$x = 1$ पर,$f''(1) = 12(1)^2-2 = 10 > 0$.
चूँकि $f''(1) > 0$,फलन का $x = 1$ पर स्थानीय न्यूनतम मान है।
जैसे $x \to \pm \infty$,$f(x) \to \infty$,इसलिए यह स्थानीय न्यूनतम मान ही निरपेक्ष न्यूनतम मान है।
मान की गणना: $f(1) = (1)^4-(1)^2-2(1)+5 = 1-1-2+5 = 3$.
अतः,निरपेक्ष न्यूनतम मान $3$ है।

(B) दिया गया है कि वृत्तीय त्रिज्यखंड का परिमाप $P = 60 \ m$ है।
माना त्रिज्या $r \ m$ है और चाप की लंबाई $l \ m$ है।
वृत्तीय त्रिज्यखंड का परिमाप $P = l + 2r$ द्वारा दिया जाता है।
दिए गए परिमाप को प्रतिस्थापित करने पर,$60 = l + 2r$,जिसका अर्थ है $l = 60 - 2r$.
वृत्तीय त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल $A = \frac{1}{2}lr$ द्वारा दिया जाता है।
क्षेत्रफल के सूत्र में $l = 60 - 2r$ रखने पर,हमें प्राप्त होता है:
$A = \frac{1}{2}(60 - 2r)r = 30r - r^2$.
क्षेत्रफल को अधिकतम करने के लिए,हम $A$ का $r$ के सापेक्ष अवकलन करते हैं और इसे शून्य के बराबर रखते हैं:
$\frac{dA}{dr} = \frac{d}{dr}(30r - r^2) = 30 - 2r$.
$\frac{dA}{dr} = 0$ रखने पर,$30 - 2r = 0$ प्राप्त होता है,इसलिए $2r = 30$,जिसका अर्थ है $r = 15 \ m$.
यह सुनिश्चित करने के लिए कि यह अधिकतम है,हम द्वितीय अवकलज की जाँच करते हैं: $\frac{d^2A}{dr^2} = -2$,जो $0$ से कम है,अतः $r = 15 \ m$ अधिकतम क्षेत्रफल प्रदान करता है।

(D) दिया गया है $y = x(\log x)^2$.
क्रांतिक बिंदु ज्ञात करने के लिए,हम $x$ के सापेक्ष $y$ का अवकलन करते हैं:
$\frac{dy}{dx} = x \cdot (2 \log x \cdot \frac{1}{x}) + (\log x)^2 \cdot 1 = 2 \log x + (\log x)^2$.
$\frac{dy}{dx} = 0$ रखने पर:
$\log x (2 + \log x) = 0$.
इससे $\log x = 0$ या $\log x = -2$ प्राप्त होता है।
अतः,$x = e^0 = 1$ या $x = e^{-2}$.
अब,द्वितीय अवकलज परीक्षण का उपयोग करते हुए:
$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{2}{x} + 2 \log x \cdot \frac{1}{x} = \frac{2 + 2 \log x}{x}$.
$x = 1$ पर,$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{2 + 0}{1} = 2 > 0$,इसलिए $x = 1$ स्थानीय न्यूनतम बिंदु है।
$x = e^{-2}$ पर,$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{2 + 2(-2)}{e^{-2}} = \frac{-2}{e^{-2}} < 0$,इसलिए $x = e^{-2}$ स्थानीय अधिकतम बिंदु है।
अधिकतम मान $y(e^{-2}) = e^{-2}(\log e^{-2})^2 = e^{-2}(-2)^2 = 4e^{-2}$ है।

(C) दिया गया फलन $f(x) = x^3 - 6x^2 - 12x - 3$ है।
प्रथम अवकलज ज्ञात करने पर: $f'(x) = 3x^2 - 12x - 12$.
द्वितीय अवकलज ज्ञात करने पर: $f''(x) = 6x - 12$.
$x = 2$ पर द्वितीय अवकलज का मान: $f''(2) = 6(2) - 12 = 12 - 12 = 0$.
चूंकि $x=2$ पर $f''(x)$ अपना चिह्न बदलता है (जब $x < 2$ तब $f''(x) < 0$ और जब $x > 2$ तब $f''(x) > 0$),इसलिए $x=2$ एक नति परिवर्तन बिंदु (point of inflection) है।

(B) माना $f(x) = x^{40} - x^{20}$ अंतराल $[0, 1]$ पर है।
निरपेक्ष अधिकतम मान ज्ञात करने के लिए,हम अवकलज $f'(x) = 0$ रखकर क्रांतिक बिंदु ज्ञात करते हैं।
$f'(x) = 40x^{39} - 20x^{19} = 20x^{19}(2x^{20} - 1)$.
$f'(x) = 0$ रखने पर,हमें $x = 0$ या $2x^{20} = 1$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $x^{20} = \frac{1}{2}$,इसलिए $x = (\frac{1}{2})^{1/20}$.
अब,क्रांतिक बिंदु और अंत बिंदुओं $x=0$ और $x=1$ पर $f(x)$ का मान ज्ञात करते हैं:
$f(0) = 0^{40} - 0^{20} = 0$.
$f(1) = 1^{40} - 1^{20} = 1 - 1 = 0$.
$f((\frac{1}{2})^{1/20}) = ((\frac{1}{2})^{1/20})^{40} - ((\frac{1}{2})^{1/20})^{20} = (\frac{1}{2})^2 - (\frac{1}{2})^1 = \frac{1}{4} - \frac{1}{2} = -\frac{1}{4}$.
मानों $f(0)=0$,$f(1)=0$,और $f((\frac{1}{2})^{1/20}) = -\frac{1}{4}$ की तुलना करने पर,निरपेक्ष अधिकतम मान $0$ है।

(B) मान लीजिए कि आयत की भुजाएँ $x$ और $y$ हैं।
दिया गया है कि परिधि $20$ इकाई है।
$2(x + y) = 20 \Rightarrow x + y = 10 \Rightarrow y = 10 - x$.
आयत का क्षेत्रफल $A = xy$ द्वारा दिया जाता है।
$y$ का मान प्रतिस्थापित करने पर,हमें $A = x(10 - x) = 10x - x^2$ प्राप्त होता है।
अधिकतम क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए,हम $A$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करते हैं:
$\frac{dA}{dx} = 10 - 2x$.
$\frac{dA}{dx} = 0$ रखने पर,हमें $10 - 2x = 0$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $x = 5$.
अब,हम द्वितीय अवकलज की जाँच करते हैं: $\frac{d^2A}{dx^2} = -2$.
चूँकि $\frac{d^2A}{dx^2} < 0$ है,इसलिए $x = 5$ पर क्षेत्रफल अधिकतम है।
जब $x = 5$ है,तो $y = 10 - 5 = 5$.
अतः,अधिकतम क्षेत्रफल $A = 5 \times 5 = 25$ वर्ग इकाई है।

(A) दिया गया है $f(x) = x^5 - 5x^4 + 5x^3 - 10$.
सबसे पहले,अवकलज $f'(x)$ ज्ञात करें:
$f'(x) = 5x^4 - 20x^3 + 15x^2$.
स्थानीय उच्चिष्ठ और निम्निष्ठ के लिए,$f'(x) = 0$ रखें:
$5x^2(x^2 - 4x + 3) = 0
\Rightarrow 5x^2(x - 1)(x - 3) = 0$.
क्रांतिक बिंदु $x = 0, 1, 3$ हैं।
अब,द्वितीय अवकलज $f''(x)$ ज्ञात करें:
$f''(x) = 20x^3 - 60x^2 + 30x$.
क्रांतिक बिंदुओं की प्रकृति की जाँच करें:
$x = 1$ के लिए: $f''(1) = 20(1)^3 - 60(1)^2 + 30(1) = 20 - 60 + 30 = -10 < 0$. अतः,$x = 1$ स्थानीय उच्चिष्ठ बिंदु है। इसलिए,$a = 1$.
$x = 3$ के लिए: $f''(3) = 20(27) - 60(9) + 30(3) = 540 - 540 + 90 = 90 > 0$. अतः,$x = 3$ स्थानीय निम्निष्ठ बिंदु है। इसलिए,$b = 3$.
$x = 0$ के लिए: $f''(0) = 0$,जो नति परिवर्तन बिंदु है।
अंत में,$2a + b$ की गणना करें:
$2a + b = 2(1) + 3 = 5$.

(C) दिया गया फलन: $f(x) = a \sin(x) + \frac{1}{3} \sin(3x)$.
सबसे पहले,अवकलज $f'(x)$ ज्ञात करें:
$f'(x) = a \cos(x) + \frac{1}{3} \cos(3x) \cdot 3 = a \cos(x) + \cos(3x)$.
चूंकि फलन $x = \frac{\pi}{3}$ पर अधिकतम मान प्राप्त करता है,इसलिए इस बिंदु पर प्रथम अवकलज शून्य होना चाहिए:
$f'\left(\frac{\pi}{3}\right) = 0$.
$x = \frac{\pi}{3}$ को अवकलज में रखने पर:
$a \cos\left(\frac{\pi}{3}\right) + \cos\left(3 \cdot \frac{\pi}{3}\right) = 0$.
$a \cdot \frac{1}{2} + \cos(\pi) = 0$.
चूंकि $\cos(\pi) = -1$,इसलिए:
$\frac{a}{2} - 1 = 0$.
$\frac{a}{2} = 1$.
$a = 2$.

(A) $f(x) = ax^3 + bx^2 + 26x - 24$ ...$(i)$ अंतराल $[2, 4]$ पर।
चूंकि $f(x)$ रोले के प्रमेय को संतुष्ट करता है,इसलिए $f(2) = f(4)$।
$f(2) = a(8) + b(4) + 26(2) - 24 = 8a + 4b + 28$।
$f(4) = a(64) + b(16) + 26(4) - 24 = 64a + 16b + 80$।
$f(2) = f(4)$ को बराबर करने पर: $8a + 4b + 28 = 64a + 16b + 80 \Rightarrow 56a + 12b + 52 = 0 \Rightarrow 14a + 3b + 13 = 0$ ...(ii)।
$f(x)$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $f^{\prime}(x) = 3ax^2 + 2bx + 26$।
दिया गया है $f^{\prime}\left(3 + \frac{1}{\sqrt{3}}\right) = 0$:
$3a\left(3 + \frac{1}{\sqrt{3}}\right)^2 + 2b\left(3 + \frac{1}{\sqrt{3}}\right) + 26 = 0$।
$3a\left(9 + \frac{1}{3} + 2\sqrt{3}\right) + 6b + \frac{2b}{\sqrt{3}} + 26 = 0$।
$3a\left(\frac{28}{3} + 2\sqrt{3}\right) + 6b + \frac{2b}{\sqrt{3}} + 26 = 0$।
$28a + 6\sqrt{3}a + 6b + \frac{2b}{\sqrt{3}} + 26 = 0$।
$(28a + 6b + 26) + \frac{1}{\sqrt{3}}(18a + 2b) = 0$।
परिमेय और अपरिमेय भागों की तुलना करने पर: $28a + 6b + 26 = 0$ और $18a + 2b = 0$।
$18a + 2b = 0$ से,$b = -9a$।
इसे $28a + 6(-9a) + 26 = 0$ में रखने पर: $28a - 54a + 26 = 0 \Rightarrow -26a = -26 \Rightarrow a = 1$।
अतः $b = -9(1) = -9$।
इसलिए,$ab = 1 \times (-9) = -9$।

(D) $[0, 1]$ अंतराल पर रोले का प्रमेय लागू करने के लिए,फलन $f(x)$ को तीन शर्तों को पूरा करना चाहिए:
$1$. $f(x)$ को $[0, 1]$ पर सतत होना चाहिए।
$2$. $f(x)$ को $(0, 1)$ पर अवकलनीय होना चाहिए।
$3$. $f(0) = f(1)$ होना चाहिए।
यहाँ $f(x) = x^\alpha \log x$ और $f(0) = 0$ दिया गया है।
सबसे पहले $f(0) = f(1)$ शर्त की जाँच करें:
$f(1) = 1^\alpha \log(1) = 1 \times 0 = 0$।
चूँकि $f(0) = 0$ है,इसलिए $f(0) = f(1)$ शर्त किसी भी $\alpha$ के लिए संतुष्ट होती है।
अब $x = 0$ पर सांतत्य की जाँच करें:
$\lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^+} x^\alpha \log x = 0$।
यह सीमा मौजूद है और $0$ के बराबर है यदि $\alpha > 0$ हो।
एल-हॉस्पिटल नियम का उपयोग करते हुए:
$\lim_{x \to 0^+} \frac{\log x}{x^{-\alpha}} = \lim_{x \to 0^+} \frac{1/x}{-\alpha x^{-\alpha-1}} = \lim_{x \to 0^+} \frac{x^\alpha}{-\alpha} = 0$ (जब $\alpha > 0$ हो)।
दिए गए विकल्पों में से,$\alpha = 1/2$ ही एकमात्र मान है जो $0$ से बड़ा है।

(B) दिया गया है $f(x)=\sqrt{x^2-x}$ अंतराल $[1,4]$ पर।
सबसे पहले,अंत बिंदुओं पर मान ज्ञात करें:
$f(1)=\sqrt{1^2-1}=0$
$f(4)=\sqrt{4^2-4}=\sqrt{12}=2\sqrt{3}$
अब,अवकलज $f^{\prime}(x)$ ज्ञात करें:
$f^{\prime}(x)=\frac{1}{2\sqrt{x^2-x}} \cdot (2x-1) = \frac{2x-1}{2\sqrt{x^2-x}}$
लैग्रेंज माध्य मान प्रमेय के अनुसार,एक ऐसा $c \in (1,4)$ मौजूद है जिसके लिए $f^{\prime}(c) = \frac{f(4)-f(1)}{4-1}$ है।
मान रखने पर:
$\frac{2c-1}{2\sqrt{c^2-c}} = \frac{2\sqrt{3}-0}{3} = \frac{2}{\sqrt{3}}$
$\sqrt{3}(2c-1) = 4\sqrt{c^2-c}$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$3(4c^2-4c+1) = 16(c^2-c)$
$12c^2-12c+3 = 16c^2-16c$
$4c^2-4c-3 = 0$
द्विघात समीकरण को हल करने पर:
$(2c-3)(2c+1) = 0$
इससे $c = \frac{3}{2}$ या $c = -\frac{1}{2}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $c \in (1,4)$,इसलिए $c = -\frac{1}{2}$ को छोड़ दिया जाता है।
अतः,$c = \frac{3}{2}$।

(A) हमें समाकलन $I = \int \frac{\sin \alpha}{\sqrt{1 + \cos \alpha}} d \alpha$ दिया गया है।
त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $1 + \cos \alpha = 2 \cos^2 (\frac{\alpha}{2})$ का उपयोग करते हुए,हम इसे समाकलन में प्रतिस्थापित करते हैं:
$I = \int \frac{2 \sin (\frac{\alpha}{2}) \cos (\frac{\alpha}{2})}{\sqrt{2 \cos^2 (\frac{\alpha}{2})}} d \alpha$
यह मानते हुए कि $\cos (\frac{\alpha}{2}) > 0$,हर $\sqrt{2} \cos (\frac{\alpha}{2})$ हो जाता है:
$I = \int \frac{2 \sin (\frac{\alpha}{2}) \cos (\frac{\alpha}{2})}{\sqrt{2} \cos (\frac{\alpha}{2})} d \alpha$
$I = \sqrt{2} \int \sin (\frac{\alpha}{2}) d \alpha$
$\alpha$ के सापेक्ष $\sin (\frac{\alpha}{2})$ का समाकलन करने पर:
$I = \sqrt{2} \times (-2 \cos (\frac{\alpha}{2})) + c$
$I = -2 \sqrt{2} \cos (\frac{\alpha}{2}) + c$.

(C) हमें समाकलन $I = \int_{1}^{2} \frac{x^{3} - 1}{x^{2}} dx$ दिया गया है।
सबसे पहले,समाकल्य को सरल करें:
$\frac{x^{3} - 1}{x^{2}} = \frac{x^{3}}{x^{2}} - \frac{1}{x^{2}} = x - x^{-2}$.
अब,पद-दर-पद समाकलन करें:
$I = \int_{1}^{2} (x - x^{-2}) dx = \left[ \frac{x^{2}}{2} - \frac{x^{-1}}{-1} \right]_{1}^{2} = \left[ \frac{x^{2}}{2} + \frac{1}{x} \right]_{1}^{2}$.
सीमाओं को प्रतिस्थापित करने पर:
$I = \left( \frac{2^{2}}{2} + \frac{1}{2} \right) - \left( \frac{1^{2}}{2} + \frac{1}{1} \right) = \left( 2 + \frac{1}{2} \right) - \left( \frac{1}{2} + 1 \right) = 2 + \frac{1}{2} - \frac{1}{2} - 1 = 1$.

(B) हमें समाकलन ज्ञात करना है: $\int \left( \frac{x}{a} + \frac{b}{x} + x^a + b^x + ab \right) dx$
समाकलन के रैखिकता गुणधर्म का उपयोग करते हुए:
$= \int \frac{x}{a} dx + \int \frac{b}{x} dx + \int x^a dx + \int b^x dx + \int ab dx$
$= \frac{1}{a} \int x dx + b \int \frac{1}{x} dx + \int x^a dx + \int b^x dx + ab \int 1 dx$
मानक समाकलन सूत्रों का उपयोग करते हुए:
$= \frac{1}{a} \cdot \frac{x^2}{2} + b \log |x| + \frac{x^{a+1}}{a+1} + \frac{b^x}{\log b} + abx + C$
$= \frac{x^2}{2a} + b \log |x| + \frac{x^{a+1}}{a+1} + \frac{b^x}{\log b} + abx + C$

(B) दिया गया है $f^{\prime}(x)=\tan ^2 x+\cot ^2 x$.
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष समाकलन करने पर:
$f(x)=\int(\tan ^2 x+\cot ^2 x) dx$.
सर्वसमिका $\tan^2 x = \sec^2 x - 1$ और $\cot^2 x = \operatorname{cosec}^2 x - 1$ का उपयोग करने पर:
$f(x)=\int(\sec^2 x - 1 + \operatorname{cosec}^2 x - 1) dx$.
$f(x)=\int(\sec^2 x + \operatorname{cosec}^2 x - 2) dx$.
$f(x)=\tan x - \cot x - 2x + C$.
दिया गया है $f\left(\frac{\pi}{4}\right)=0$:
$f\left(\frac{\pi}{4}\right)=\tan\left(\frac{\pi}{4}\right) - \cot\left(\frac{\pi}{4}\right) - 2\left(\frac{\pi}{4}\right) + C = 0$.
$1 - 1 - \frac{\pi}{2} + C = 0$.
$C = \frac{\pi}{2}$.
अतः,$f(x)=\tan x - \cot x - 2x + \frac{\pi}{2}$.

(C) दिया गया समाकलन $I = \int \frac{x^3-x^2+x-1}{x-1} dx$ है।
अंश का गुणनखंड करने पर: $x^3-x^2+x-1 = x^2(x-1) + 1(x-1) = (x^2+1)(x-1)$.
इस मान को समाकलन में रखने पर: $I = \int \frac{(x^2+1)(x-1)}{x-1} dx$.
उभयनिष्ठ पद $(x-1)$ को काटने पर: $I = \int (x^2+1) dx$.
प्रत्येक पद का समाकलन करने पर: $I = \frac{x^3}{3} + x + C$.

(B) माना $I = \int \frac{dx}{x \sqrt{x^4 - 1}}$.
अंश और हर को $x$ से गुणा करने पर:
$I = \int \frac{x \ dx}{x^2 \sqrt{(x^2)^2 - 1}}$.
माना $x^2 = t$,तब $2x \ dx = dt$,या $x \ dx = \frac{dt}{2}$.
इन मानों को समाकलन में प्रतिस्थापित करने पर:
$I = \int \frac{dt/2}{t \sqrt{t^2 - 1}} = \frac{1}{2} \int \frac{dt}{t \sqrt{t^2 - 1}}$.
हम जानते हैं कि $\int \frac{dt}{t \sqrt{t^2 - 1}} = \sec^{-1}(t) + C$.
अतः,$I = \frac{1}{2} \sec^{-1}(t) + C = \frac{1}{2} \sec^{-1}(x^2) + C$.
दिए गए व्यंजक $\frac{1}{k} \sec^{-1}(x^k)$ के साथ तुलना करने पर,हमें $k = 2$ प्राप्त होता है।

(B) दिया गया समाकलन $I = \int \frac{(x - 1)^2}{(x^2 + 1)^2} dx$ है।
अंश का विस्तार करने पर,$(x - 1)^2 = x^2 - 2x + 1$ प्राप्त होता है।
अतः,$I = \int \frac{x^2 + 1 - 2x}{(x^2 + 1)^2} dx$।
समाकलन को अलग करने पर,$I = \int \frac{x^2 + 1}{(x^2 + 1)^2} dx - \int \frac{2x}{(x^2 + 1)^2} dx$।
यह सरल होकर $I = \int \frac{1}{x^2 + 1} dx - \int 2x(x^2 + 1)^{-2} dx$ हो जाता है।
हम जानते हैं कि $\int \frac{1}{x^2 + 1} dx = \tan^{-1}(x)$।
दूसरे भाग के लिए,मान लीजिए $u = x^2 + 1$,तो $du = 2x dx$।
अतः,$\int 2x(x^2 + 1)^{-2} dx = \int u^{-2} du = \frac{u^{-1}}{-1} = -\frac{1}{u} = -\frac{1}{x^2 + 1}$।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर,$I = \tan^{-1}(x) - (-\frac{1}{x^2 + 1}) + k = \tan^{-1}(x) + \frac{1}{x^2 + 1} + k$।
दिए गए रूप $\tan^{-1}(x) + g(x) + k$ के साथ तुलना करने पर,$g(x) = \frac{1}{x^2 + 1}$ प्राप्त होता है।

(B) दिया गया समाकलन $I = \int \frac{1 + x + \sqrt{x(1 + x)}}{\sqrt{x} + \sqrt{1 + x}} dx$ है।
अंश को हम इस प्रकार लिख सकते हैं:
$1 + x + \sqrt{x} \cdot \sqrt{1 + x} = \sqrt{1 + x} \cdot \sqrt{1 + x} + \sqrt{x} \cdot \sqrt{1 + x}$.
$\sqrt{1 + x}$ को उभयनिष्ठ लेने पर:
$\sqrt{1 + x} (\sqrt{1 + x} + \sqrt{x})$.
इस मान को समाकलन में प्रतिस्थापित करने पर:
$I = \int \frac{\sqrt{1 + x} (\sqrt{1 + x} + \sqrt{x})}{\sqrt{x} + \sqrt{1 + x}} dx$.
समान पद $(\sqrt{x} + \sqrt{1 + x})$ को काटने पर:
$I = \int \sqrt{1 + x} dx = \int (1 + x)^{1/2} dx$.
घात नियम $\int u^n du = \frac{u^{n+1}}{n+1} + c$ का उपयोग करने पर:
$I = \frac{(1 + x)^{3/2}}{3/2} + c = \frac{2}{3} (1 + x)^{3/2} + c$.

(C) खंडशः समाकलन (integration by parts) का उपयोग करते हुए,मान लीजिए $u = \log \cot (\frac{x}{2})$ और $dv = \cos x dx$ है।
तब $du = \frac{1}{\cot (\frac{x}{2})} \cdot (-\csc^2 (\frac{x}{2})) \cdot \frac{1}{2} dx = -\frac{1}{2 \sin (\frac{x}{2}) \cos (\frac{x}{2})} dx = -\frac{1}{\sin x} dx$।
और $v = \int \cos x dx = \sin x$।
सूत्र $\int u dv = uv - \int v du$ का उपयोग करने पर:
$\int \cos x \log \cot (\frac{x}{2}) dx = \sin x \log \cot (\frac{x}{2}) - \int \sin x \cdot (-\frac{1}{\sin x}) dx$
$= \sin x \log \cot (\frac{x}{2}) + \int 1 dx$
$= \sin x \log \cot (\frac{x}{2}) + x + c$।

(B) दिया गया समाकलन: $I = \int \frac{\cos 4x + 1}{\cot x - \tan x} dx$
सर्वसमिका $\cos 4x + 1 = 2 \cos^2 2x$ और $\cot x - \tan x = \frac{\cos x}{\sin x} - \frac{\sin x}{\cos x} = \frac{\cos^2 x - \sin^2 x}{\sin x \cos x} = \frac{\cos 2x}{\frac{1}{2} \sin 2x} = \frac{2 \cos 2x}{\sin 2x}$ का उपयोग करने पर।
इन मानों को समाकलन में प्रतिस्थापित करने पर:
$I = \int \frac{2 \cos^2 2x}{\frac{2 \cos 2x}{\sin 2x}} dx$
$I = \int \cos 2x \sin 2x dx$
$I = \frac{1}{2} \int \sin 4x dx$
$I = \frac{1}{2} \left( \frac{-\cos 4x}{4} \right) + c$
$I = \frac{-1}{8} \cos 4x + c$
$k \cos 4x + c$ से तुलना करने पर,हमें $k = \frac{-1}{8}$ प्राप्त होता है।

(B) दिया गया समाकलन: $\int_{0}^{a} \frac{dx}{4 + x^2} = \frac{\pi}{8}$
हम जानते हैं कि $\int \frac{dx}{k^2 + x^2} = \frac{1}{k} \tan^{-1} \left( \frac{x}{k} \right) + C$.
यहाँ,$k^2 = 4$,इसलिए $k = 2$.
$0$ से $a$ तक की सीमाएँ लागू करने पर:
$\left[ \frac{1}{2} \tan^{-1} \left( \frac{x}{2} \right) \right]_{0}^{a} = \frac{\pi}{8}$
$\frac{1}{2} \tan^{-1} \left( \frac{a}{2} \right) - \frac{1}{2} \tan^{-1} (0) = \frac{\pi}{8}$
चूँकि $\tan^{-1}(0) = 0$,इसलिए:
$\frac{1}{2} \tan^{-1} \left( \frac{a}{2} \right) = \frac{\pi}{8}$
$\tan^{-1} \left( \frac{a}{2} \right) = \frac{\pi}{4}$
दोनों पक्षों का टेंजेंट लेने पर:
$\frac{a}{2} = \tan \left( \frac{\pi}{4} \right)$
$\frac{a}{2} = 1$
$a = 2$

(C) हमें $f(x) = \frac{1}{\cos^2 x \sqrt{1 + \tan x}} = \sec^2 x (1 + \tan x)^{-1/2}$ दिया गया है।
माना $t = 1 + \tan x$. तब $dt = \sec^2 x \ dx$ होगा।
इन मानों को समाकलन में प्रतिस्थापित करने पर:
$F(x) = \int f(x) \ dx = \int (1 + \tan x)^{-1/2} \sec^2 x \ dx = \int t^{-1/2} \ dt$.
$t$ के सापेक्ष समाकलन करने पर:
$F(x) = \frac{t^{1/2}}{1/2} + C = 2 \sqrt{t} + C = 2 \sqrt{1 + \tan x} + C$.
चूँकि $F(0) = 4$ दिया गया है,$x = 0$ रखने पर:
$F(0) = 2 \sqrt{1 + \tan 0} + C = 2 \sqrt{1 + 0} + C = 2 + C$.
चूँकि $F(0) = 4$,इसलिए $2 + C = 4$,जिसका अर्थ है कि $C = 2$.
अतः,$F(x) = 2 \sqrt{1 + \tan x} + 2 = 2 (\sqrt{1 + \tan x} + 1)$.

(B) दिया गया है $I = \int \frac{\sec x}{\sqrt{\sin (2 x + \theta) + \sin \theta}} d x$
सूत्र $\sin C + \sin D = 2 \sin (\frac{C + D}{2}) \cos (\frac{C - D}{2})$ का उपयोग करने पर:
$\Rightarrow I = \int \frac{\sec x}{\sqrt{2 \sin (\frac{2 x + 2 \theta}{2}) \cos (\frac{2 x + \theta - \theta}{2})}} d x$
$\Rightarrow I = \int \frac{\sec x}{\sqrt{2 \sin (x + \theta) \cos x}} d x$
$\Rightarrow I = \int \frac{\sec x}{\sqrt{2 (\sin x \cos \theta + \cos x \sin \theta) \cos x}} d x$
वर्गमूल के अंदर अंश और हर को $\cos x$ से विभाजित करने पर:
$\Rightarrow I = \int \frac{\sec x}{\sqrt{2 \cos^2 x (\tan x \cos \theta + \sin \theta)}} d x$
$\Rightarrow I = \int \frac{\sec x}{\sqrt{2} \cos x \sqrt{\tan x \cos \theta + \sin \theta}} d x$
$\Rightarrow I = \frac{1}{\sqrt{2}} \int \frac{\sec^2 x}{\sqrt{\tan x \cos \theta + \sin \theta}} d x$
माना $t = \tan x \cos \theta + \sin \theta$,तब $dt = \sec^2 x \cos \theta d x$,अतः $\sec^2 x d x = \frac{dt}{\cos \theta}$.
$\Rightarrow I = \frac{1}{\sqrt{2} \cos \theta} \int t^{-1/2} dt$
$\Rightarrow I = \frac{1}{\sqrt{2} \cos \theta} \cdot 2 t^{1/2} + C$
$\Rightarrow I = \sqrt{\frac{2}{\cos^2 \theta}} \sqrt{\tan x \cos \theta + \sin \theta} + C$
$\Rightarrow I = \sqrt{2 \sec^2 \theta (\tan x \cos \theta + \sin \theta)} + C$
$\Rightarrow I = \sqrt{2 \sec \theta (\tan x + \tan \theta)} + C$

(A) दिया गया है $I = \int \frac{d x}{\cos ^4 x+\sin ^4 x}$.
अंश और हर को $\cos^4 x$ से विभाजित करने पर,हमें प्राप्त होता है $I = \int \frac{\sec^4 x}{1+\tan^4 x} d x = \int \frac{\sec^2 x(1+\tan^2 x)}{1+\tan^4 x} d x$.
माना $\tan x = t$,तब $\sec^2 x d x = d t$.
$I = \int \frac{1+t^2}{1+t^4} d t = \int \frac{1+\frac{1}{t^2}}{t^2+\frac{1}{t^2}} d t$.
$I = \int \frac{1+\frac{1}{t^2}}{(t-\frac{1}{t})^2+2} d t$.
माना $u = t-\frac{1}{t}$,तब $d u = (1+\frac{1}{t^2}) d t$.
$I = \int \frac{d u}{u^2+(\sqrt{2})^2} = \frac{1}{\sqrt{2}} \tan^{-1}(\frac{u}{\sqrt{2}}) + C$.
$u = t-\frac{1}{t} = \tan x - \cot x$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है $I = \frac{1}{\sqrt{2}} \tan^{-1}(\frac{\tan x - \cot x}{\sqrt{2}}) + C$.
दिए गए रूप के साथ तुलना करने पर,$g(x) = \frac{\tan x - \cot x}{\sqrt{2}}$.

(A) माना $I = \int (1 - \cos x) \operatorname{cosec}^2 x \, dx$.
सर्वसमिका $1 - \cos x = 2 \sin^2 \left(\frac{x}{2}\right)$ और $\operatorname{cosec}^2 x = \frac{1}{\sin^2 x}$ का उपयोग करने पर:
$I = \int 2 \sin^2 \left(\frac{x}{2}\right) \cdot \frac{1}{\sin^2 x} \, dx$.
हम जानते हैं कि $\sin x = 2 \sin \left(\frac{x}{2}\right) \cos \left(\frac{x}{2}\right)$,इसलिए $\sin^2 x = 4 \sin^2 \left(\frac{x}{2}\right) \cos^2 \left(\frac{x}{2}\right)$.
इस मान को समाकलन में रखने पर:
$I = \int \frac{2 \sin^2 \left(\frac{x}{2}\right)}{4 \sin^2 \left(\frac{x}{2}\right) \cos^2 \left(\frac{x}{2}\right)} \, dx$.
$I = \int \frac{1}{2 \cos^2 \left(\frac{x}{2}\right)} \, dx = \frac{1}{2} \int \sec^2 \left(\frac{x}{2}\right) \, dx$.
$\sec^2 \left(\frac{x}{2}\right)$ का समाकलन $2 \tan \left(\frac{x}{2}\right)$ होता है।
$I = \frac{1}{2} \cdot 2 \tan \left(\frac{x}{2}\right) + C = \tan \left(\frac{x}{2}\right) + C$.

(B) दिया गया समाकलन: $\int \cos ^k(x) \sin (x) d x = \frac{-1}{4} \cos ^4(x) + C$.
माना $I = \int \cos ^k(x) \sin (x) d x$.
$t = \cos x$ प्रतिस्थापित करने पर,$dt = -\sin x d x$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $\sin x d x = -dt$.
इन मानों को समाकलन में रखने पर:
$I = \int t^k (-dt) = -\int t^k dt$.
$t^k$ का $t$ के सापेक्ष समाकलन करने पर:
$I = -\frac{t^{k+1}}{k+1} + C$.
$t = \cos x$ वापस रखने पर:
$I = -\frac{\cos^{k+1} x}{k+1} + C$.
इसकी तुलना दिए गए व्यंजक $\frac{-1}{4} \cos^4(x) + C$ से करने पर:
$\frac{1}{k+1} = \frac{1}{4}$ और $k+1 = 4$.
अतः,$k = 3$.

(C) माना $I = \int \frac{\sin x - \cos x}{\sqrt{\sin 2x}} \, dx$.
हम जानते हैं कि $\sin 2x = (\sin x + \cos x)^2 - 1$.
अतः,$I = \int \frac{\sin x - \cos x}{\sqrt{(\sin x + \cos x)^2 - 1}} \, dx$.
माना $t = \sin x + \cos x$.
तब $dt = (\cos x - \sin x) \, dx$,जिसका अर्थ है कि $(\sin x - \cos x) \, dx = -dt$.
इन मानों को समाकलन में रखने पर:
$I = \int \frac{-dt}{\sqrt{t^2 - 1}} = -\int \frac{dt}{\sqrt{t^2 - 1}}$.
मानक समाकलन सूत्र $\int \frac{dx}{\sqrt{x^2 - a^2}} = \log |x + \sqrt{x^2 - a^2}| + C$ का उपयोग करने पर:
$I = -\log |t + \sqrt{t^2 - 1}| + C$.
$t = \sin x + \cos x$ वापस रखने पर:
$I = -\log |\sin x + \cos x + \sqrt{(\sin x + \cos x)^2 - 1}| + C$.
चूंकि $(\sin x + \cos x)^2 - 1 = \sin 2x$,इसलिए:
$I = -\log |\sin x + \cos x + \sqrt{\sin 2x}| + C$.

(B) माना $I = \int \sqrt[3]{x}\left(1+\sqrt[3]{x^4}\right)^{\frac{1}{7}} d x = \int x^{\frac{1}{3}}\left(1+x^{\frac{4}{3}}\right)^{\frac{1}{7}} d x$.
माना $1+x^{\frac{4}{3}} = t$.
तब,$\frac{4}{3} x^{\frac{1}{3}} d x = d t$,जिसका अर्थ है $x^{\frac{1}{3}} d x = \frac{3}{4} d t$.
इन मानों को समाकलन में प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$I = \int t^{\frac{1}{7}} \cdot \frac{3}{4} d t = \frac{3}{4} \int t^{\frac{1}{7}} d t$.
समाकलन करने पर:
$I = \frac{3}{4} \cdot \frac{t^{\frac{1}{7}+1}}{\frac{1}{7}+1} + c = \frac{3}{4} \cdot \frac{t^{\frac{8}{7}}}{\frac{8}{7}} + c = \frac{3}{4} \cdot \frac{7}{8} t^{\frac{8}{7}} + c = \frac{21}{32} \left(1+x^{\frac{4}{3}}\right)^{\frac{8}{7}} + c$.
इसकी तुलना $A\left(1+\sqrt[3]{x^4}\right)^B+c$ से करने पर,हमें $A = \frac{21}{32}$ और $B = \frac{8}{7}$ प्राप्त होता है।
अतः,$A B = \frac{21}{32} \times \frac{8}{7} = \frac{3}{4}$.

(D) माना $I = \int \frac{\sqrt{2} \sin x}{\sin \left(x+\frac{\pi}{4}\right)} d x$ है।
प्रतिस्थापन $t = x+\frac{\pi}{4}$ का उपयोग करने पर,हमें $x = t-\frac{\pi}{4}$ और $dx = dt$ प्राप्त होता है।
समाकलन में इन मानों को रखने पर:
$I = \int \frac{\sqrt{2} \sin \left(t-\frac{\pi}{4}\right)}{\sin t} dt$।
सर्वसमिका $\sin(A-B) = \sin A \cos B - \cos A \sin B$ का उपयोग करने पर:
$I = \int \sqrt{2} \frac{\sin t \cos \frac{\pi}{4} - \cos t \sin \frac{\pi}{4}}{\sin t} dt$।
चूँकि $\cos \frac{\pi}{4} = \frac{1}{\sqrt{2}}$ और $\sin \frac{\pi}{4} = \frac{1}{\sqrt{2}}$ है:
$I = \int \sqrt{2} \frac{\left(\frac{1}{\sqrt{2}} \sin t - \frac{1}{\sqrt{2}} \cos t\right)}{\sin t} dt = \int \frac{\sin t - \cos t}{\sin t} dt$।
$I = \int (1 - \cot t) dt = t - \ln |\sin t| + c$।
$t = x+\frac{\pi}{4}$ वापस रखने पर:
$I = x + \frac{\pi}{4} - \ln |\sin (x+\frac{\pi}{4})| + c$।
अचर पद $\frac{\pi}{4}$ को अचर $c$ में समाहित करने पर:
$I = x - \log |\sin (x+\frac{\pi}{4})| + c$।

(C) माना $I = \int \frac{dx}{\sin x \cos x}$.
अंश और हर को $\sec^2 x$ से गुणा करने पर:
$I = \int \frac{\sec^2 x dx}{\tan x}$.
$\tan x = t$ प्रतिस्थापित करने पर,$\sec^2 x dx = dt$ प्राप्त होता है।
अतः,$I = \int \frac{dt}{t} = \log |t| + c$.
$t = \tan x$ वापस रखने पर,हमें $I = \log |\tan x| + c$ प्राप्त होता है।