AP EAMCET 2021 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(D) परवलय का शीर्ष मूल बिंदु $(0,0)$ पर है और इसकी अक्ष $y$-अक्ष के अनुदिश है।
अतः,परवलय का समीकरण $x^2 = 4ay$ या $x^2 = -4ay$ के रूप का है।
चूंकि परवलय $(6,-2)$ से होकर गुजरता है,जो चौथे चतुर्थांश में स्थित है,इसलिए परवलय नीचे की ओर खुलता है।
अतः,समीकरण $x^2 = -4ay$ है।
बिंदु $(6,-2)$ को समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$(6)^2 = -4a(-2)$
$36 = 8a$
$a = \frac{36}{8} = \frac{9}{2}$.
$a = \frac{9}{2}$ को वापस समीकरण $x^2 = -4ay$ में रखने पर:
$x^2 = -4 \left(\frac{9}{2}\right)y$
$x^2 = -18y$.

(A) दिए गए प्राचलिक समीकरण $x=5t^2+2$ और $y=10t+4$ हैं।
दूसरे समीकरण से,$t = \frac{y-4}{10}$ प्राप्त होता है।
$t$ का मान पहले समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$x-2 = 5\left(\frac{y-4}{10}\right)^2 = 5\left(\frac{(y-4)^2}{100}\right) = \frac{(y-4)^2}{20}$।
अतः,$(y-4)^2 = 20(x-2)$।
इसे मानक रूप $(y-k)^2 = 4a(x-h)$ से तुलना करने पर,$h=2, k=4$ और $4a=20$ प्राप्त होता है,जिससे $a=5$ मिलता है।
परवलय $(y-k)^2 = 4a(x-h)$ की नाभि $(h+a, k)$ होती है।
मान रखने पर,नाभि $(2+5, 4) = (7,4)$ प्राप्त होती है।

(B) परवलय के नाभिलंब और अक्ष का प्रतिच्छेदन बिंदु परवलय की नाभि (focus) होती है।
दिया गया समीकरण: $y^2+4x+2y-8=0$.
पदों को व्यवस्थित करने पर: $y^2+2y = -4x+8$.
$y$ के लिए पूर्ण वर्ग बनाने पर: $y^2+2y+1 = -4x+8+1$.
$(y+1)^2 = -4x+9$.
$(y+1)^2 = -4\left(x-\frac{9}{4}\right)$.
इसे मानक रूप $(y-k)^2 = 4a(x-h)$ से तुलना करने पर,हमें $h = \frac{9}{4}$,$k = -1$,और $4a = -4$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $a = -1$.
नाभि $(h+a, k)$ द्वारा दी जाती है।
नाभि $= \left(\frac{9}{4}-1, -1\right) = \left(\frac{5}{4}, -1\right)$.

(C) परवलय का शीर्ष $V = (2,0)$ है।
नियता $Y$-अक्ष है,जो रेखा $x = 0$ है।
चूँकि शीर्ष,नाभि $F(a, 0)$ और नियता पर स्थित बिंदु $D(0, 0)$ (जहाँ परवलय का अक्ष नियता को काटता है) का मध्य-बिंदु होता है,इसलिए:
$V = \left( \frac{a + 0}{2}, \frac{0 + 0}{2} \right) = (2, 0)$
$\frac{a}{2} = 2 \implies a = 4$
अतः,नाभि $(4, 0)$ है।

(B) दिया गया परवलय है:
$y^2 - x + 4y + 5 = 0$
$y^2 + 4y = x - 5$
पूर्ण वर्ग बनाने के लिए दोनों पक्षों में $4$ जोड़ने पर:
$y^2 + 4y + 4 = x - 5 + 4$
$(y + 2)^2 = (x - 1)$
इसे मानक रूप $(y - k)^2 = 4a(x - h)$ से तुलना करने पर,हमें प्राप्त होता है:
शीर्ष $(h, k) = (1, -2)$ और $4a = 1$,इसलिए $a = \frac{1}{4}$।
$(y - k)^2 = 4a(x - h)$ के रूप वाले परवलय के लिए नियता का समीकरण $X = -a$ होता है,जहाँ $X = x - h$ है।
मान रखने पर:
$x - 1 = -\frac{1}{4}$
$x = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$
$4x = 3$
$4x - 3 = 0$

(B) दिया गया परवलय $y^2 = 16x$ है।
इसे मानक रूप $y^2 = 4px$ के साथ तुलना करने पर,हमें $4p = 16$ प्राप्त होता है,इसलिए $p = 4$ है।
परवलय की नाभि $S = (4, 0)$ है।
नाभि से गुजरने वाली द्वि-कोटि रेखा $x = 4$ है।
चूंकि बिंदु $P(a, 2a)$ परवलय $y^2 - 16x = 0$ के आंतरिक क्षेत्र में स्थित है,इसलिए $y^2 - 16x < 0$ होना चाहिए।
बिंदु $(a, 2a)$ को असमिका में रखने पर:
$(2a)^2 - 16a < 0$
$4a^2 - 16a < 0$
$4a(a - 4) < 0$
इसका अर्थ है कि $0 < a < 4$ है।
इसके अतिरिक्त,बिंदु $P(a, 2a)$ को परिबद्ध क्षेत्र के भीतर होने के लिए द्वि-कोटि $x = 4$ के बाईं ओर स्थित होना चाहिए।
अतः,$a < 4$ है।
दोनों शर्तों को मिलाने पर,हमें $0 < a < 4$ प्राप्त होता है।

(C) दिया गया परवलय $y^2=8x$ है।
इसे मानक रूप $y^2=4ax$ से तुलना करने पर,$4a=8$,अतः $a=2$ प्राप्त होता है।
परवलय पर एक बिंदु $(at^2, 2at) = (2t^2, 4t)$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि नाभीय जीवा का एक सिरा $\left(\frac{1}{2}, 2\right)$ है,इसलिए $4t=2$,जिसका अर्थ है $t=\frac{1}{2}$।
पैरामीटर $t$ वाली नाभीय जीवा की लंबाई का सूत्र $L = a\left(t + \frac{1}{t}\right)^2$ है।
$a=2$ और $t=\frac{1}{2}$ रखने पर:
$L = 2\left(\frac{1}{2} + \frac{1}{1/2}\right)^2 = 2\left(\frac{1}{2} + 2\right)^2$.
$L = 2\left(\frac{5}{2}\right)^2 = 2 \times \frac{25}{4} = \frac{25}{2}$ इकाई।

(D) दिया गया परवलय $x^2 = 4ay$ है।
माना नाभीय जीवा के सिरों के निर्देशांक $(2at_1, at_1^2)$ और $(2at_2, at_2^2)$ हैं।
चूंकि जीवा एक नाभीय जीवा है,इसलिए प्राचलों का गुणनफल $t_1 t_2 = -1$ होता है।
हमें $y_1 y_2$ का मान ज्ञात करना है।
$y_1 y_2 = (at_1^2)(at_2^2) = a^2(t_1 t_2)^2$.
$t_1 t_2 = -1$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$y_1 y_2 = a^2(-1)^2 = a^2$.

(D) दिए गए प्राचलिक समीकरण $x-2=t^2$ और $y=2t$ से,हमें $x=t^2+2$ और $y=2t$ प्राप्त होता है।
इन मानों को परवलय के समीकरण $y^2=a(x-b)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$(2t)^2 = a(t^2+2-b)$
$4t^2 = at^2 + a(2-b)$
दोनों पक्षों में $t^2$ के गुणांकों और अचर पदों की तुलना करने पर:
$a = 4$
$a(2-b) = 0$ $\Rightarrow 4(2-b) = 0$ $\Rightarrow b = 2$
अतः,$a+b = 4+2 = 6$.

(A) दिए गए परवलय $y^2 = 4ax$ और $x^2 = 4ay$ हैं।
इन्हें हल करने पर,प्रतिच्छेदन बिंदु $(0, 0)$ और $(4a, 4a)$ प्राप्त होते हैं।
रेखा $2bx + 3cy + 4d = 0$ इन दोनों बिंदुओं से गुजरती है।
$(0, 0)$ के लिए: $2b(0) + 3c(0) + 4d = 0 \Rightarrow d = 0$.
$(4a, 4a)$ के लिए: $2b(4a) + 3c(4a) + 4d = 0$.
चूंकि $d = 0$,यह $8ab + 12ac = 0$ हो जाता है,जिसका अर्थ है $4a(2b + 3c) = 0$.
$a \neq 0$ मानते हुए,$2b + 3c = 0$ प्राप्त होता है।
अतः,$d = 0$ और $2b + 3c = 0$ से $d^2 + (2b + 3c)^2 = 0$ प्राप्त होता है।

(C) हम सर्वसमिका ${}^{n} C_r + {}^{n} C_{r-1} = {}^{n+1} C_r$ का उपयोग करते हैं।
दिया गया व्यंजक: $\sum_{r=0}^4 {}^{19-r} C_3 + {}^{15} C_4$
$= {}^{19} C_3 + {}^{18} C_3 + {}^{17} C_3 + {}^{16} C_3 + {}^{15} C_3 + {}^{15} C_4$
$= {}^{19} C_3 + {}^{18} C_3 + {}^{17} C_3 + {}^{16} C_3 + ({}^{15} C_3 + {}^{15} C_4)$
$= {}^{19} C_3 + {}^{18} C_3 + {}^{17} C_3 + ({}^{16} C_3 + {}^{16} C_4)$
$= {}^{19} C_3 + {}^{18} C_3 + ({}^{17} C_3 + {}^{17} C_4)$
$= {}^{19} C_3 + ({}^{18} C_3 + {}^{18} C_4)$
$= {}^{19} C_3 + {}^{19} C_4$
$= {}^{20} C_4$

(C) दीर्घवृत्त का दिया गया समीकरण: $x^2+2y^2-4x+12y+14=0$
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर: $(x^2-4x) + 2(y^2+6y) = -14$
$x$ और $y$ के लिए पूर्ण वर्ग बनाने पर: $(x^2-4x+4) + 2(y^2+6y+9) = -14+4+18$
$(x-2)^2 + 2(y+3)^2 = 8$
$8$ से विभाजित करने पर: $\frac{(x-2)^2}{8} + \frac{(y+3)^2}{4} = 1$
इसे मानक रूप $\frac{(x-h)^2}{a^2} + \frac{(y-k)^2}{b^2} = 1$ से तुलना करने पर,केंद्र $(h, k) = (2, -3)$ प्राप्त होता है।

(D) दीर्घवृत्त का मानक समीकरण $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ पर विचार करें।
नाभियों के बीच की दूरी $2c = 6$ है,जिसका अर्थ है $c = 3$।
लघु अक्ष की लंबाई $2b = 8$ है,जिसका अर्थ है $b = 4$।
दीर्घवृत्त के लिए,$a, b,$ और $c$ के बीच संबंध $a^2 = b^2 + c^2$ होता है।
मान रखने पर,$a^2 = 4^2 + 3^2 = 16 + 9 = 25$,इसलिए $a = 5$।
उत्केंद्रता $e = \frac{c}{a}$ द्वारा प्राप्त की जाती है।
अतः,$e = \frac{3}{5}$।

(A) केंद्र $(0, 0)$ और $X$-अक्ष पर मुख्य अक्ष वाले दीर्घवृत्त का मानक समीकरण $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ है।
चूंकि दीर्घवृत्त $(-3, 1)$ और $(2, -2)$ से होकर गुजरता है,इसलिए:
$(-3, 1)$ के लिए: $\frac{9}{a^2} + \frac{1}{b^2} = 1$ ... $(i)$
$(2, -2)$ के लिए: $\frac{4}{a^2} + \frac{4}{b^2} = 1 \Rightarrow \frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2} = \frac{1}{4}$ ... $(ii)$
समीकरण $(i)$ से $(ii)$ को घटाने पर:
$\frac{8}{a^2} = \frac{3}{4} \Rightarrow a^2 = \frac{32}{3}$
समीकरण $(ii)$ में $a^2$ का मान रखने पर:
$\frac{3}{32} + \frac{1}{b^2} = \frac{1}{4}$ $\Rightarrow \frac{1}{b^2} = \frac{5}{32}$ $\Rightarrow b^2 = \frac{32}{5}$
अतः,दीर्घवृत्त का समीकरण $\frac{3x^2}{32} + \frac{5y^2}{32} = 1$ अर्थात $3x^2 + 5y^2 = 32$ है।

(C) दीर्घवृत्त का मानक रूप $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ है,जहाँ $a > b$ है।
नाभियों के बीच की दूरी $2ae = 2$ दी गई है,इसलिए $ae = 1$ है।
नाभिलंब की लंबाई $\frac{2b^2}{a} = \frac{15}{2}$ है,जिसका अर्थ है $b^2 = \frac{15a}{4}$।
संबंध $b^2 = a^2(1 - e^2) = a^2 - a^2e^2$ का उपयोग करते हुए,$ae = 1$ और $b^2 = \frac{15a}{4}$ रखने पर:
$\frac{15a}{4} = a^2 - 1$
$4a^2 - 15a - 4 = 0$
$(4a + 1)(a - 4) = 0$
चूँकि $a$ धनात्मक होना चाहिए,$a = 4$ है।
तब $b^2 = \frac{15(4)}{4} = 15$ है।
$a^2 = 16$ और $b^2 = 15$ को मानक समीकरण में रखने पर:
$\frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{15} = 1$
$15x^2 + 16y^2 = 240$।

(D) दीर्घवृत्त का दिया गया समीकरण $4x^2+9y^2-16x-54y+61=0$ है।
पूर्ण वर्ग बनाकर समीकरण को फिर से लिखने पर:
$4(x-2)^2+9(y-3)^2=36$
$\frac{(x-2)^2}{9}+\frac{(y-3)^2}{4}=1$
यह एक दीर्घवृत्त है जिसका केंद्र $(2,3)$ है और दीर्घ अक्ष रेखा $y=3$ पर स्थित है।
बिंदु $(1,3)$ समीकरण $y=3$ को संतुष्ट करता है,जो दीर्घ अक्ष का समीकरण है।
अतः,बिंदु $(1,3)$ दीर्घ अक्ष पर स्थित है।

(B) माना दीर्घवृत्त पर दो बिंदु $A(a \cos \theta_1, b \sin \theta_1)$ और $B(a \cos \theta_2, b \sin \theta_2)$ हैं।
दीर्घवृत्त का केंद्र $O(0, 0)$ है।
$OA$ की ढाल $m_1 = \frac{b \sin \theta_1}{a \cos \theta_1} = \frac{b}{a} \tan \theta_1$ है।
$OB$ की ढाल $m_2 = \frac{b \sin \theta_2}{a \cos \theta_2} = \frac{b}{a} \tan \theta_2$ है।
जीवा $AB$ द्वारा केंद्र $O$ पर समकोण अंतरित करने के लिए,ढालों का गुणनफल $m_1 \times m_2 = -1$ होना चाहिए।
$m_1 \times m_2 = \left(\frac{b}{a} \tan \theta_1\right) \times \left(\frac{b}{a} \tan \theta_2\right) = \frac{b^2}{a^2} (\tan \theta_1 \tan \theta_2)$.
दिया गया है कि $\tan \theta_1 \tan \theta_2 = -\frac{a^2}{b^2}$,इसलिए:
$m_1 \times m_2 = \frac{b^2}{a^2} \times \left(-\frac{a^2}{b^2}\right) = -1$.
अतः,जीवा $AB$ केंद्र पर समकोण अंतरित करती है।

(D) दी गई रेखाएँ $2x - y + 3 = 0$ और $4x + ky + 3 = 0$ हैं।
दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ के लिए,दो रेखाएँ $a_1x + b_1y + c_1 = 0$ और $a_2x + b_2y + c_2 = 0$ संयुग्मी होती हैं यदि $a^2a_1a_2 + b^2b_1b_2 = c_1c_2$ हो।
दीर्घवृत्त समीकरण $5x^2 + 6y^2 = 15$ को $\frac{x^2}{3} + \frac{y^2}{2.5} = 1$ के रूप में लिखने पर,$a^2 = 3$ और $b^2 = 2.5 = \frac{5}{2}$ प्राप्त होता है।
यहाँ,$a_1 = 2, b_1 = -1, c_1 = 3$ और $a_2 = 4, b_2 = k, c_2 = 3$ है।
इन मानों को शर्त में रखने पर: $3(2)(4) + (2.5)(-1)(k) = (3)(3)$।
$24 - 2.5k = 9$।
$2.5k = 15$।
$k = \frac{15}{2.5} = 6$।

(B) दीर्घवृत्त का दिया गया समीकरण $\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}=1$ है।
यहाँ,$a^2=25$ और $b^2=16$,इसलिए $a=5$ और $b=4$ है। दीर्घवृत्त का केंद्र $C(0,0)$ है।
केंद्र $C(0,0)$ से बिंदु $P(x, y)$ की दूरी $CP = \sqrt{x^2+y^2}$ द्वारा दी जाती है।
केंद्र से दीर्घवृत्त की अधिकतम दूरी दीर्घ अक्ष के शीर्षों पर होती है,जो $(\pm 5, 0)$ हैं। अतः,$CP$ का अधिकतम मान $a = 5$ है।
केंद्र से दीर्घवृत्त की न्यूनतम दूरी लघु अक्ष के शीर्षों पर होती है,जो $(0, \pm 4)$ हैं। अतः,$CP$ का न्यूनतम मान $b = 4$ है।
$CP$ के अधिकतम और न्यूनतम मानों का योग $a+b = 5+4 = 9$ है।

(A) माना गतिमान बिंदु $P(x, y)$ है।
दिए गए स्थिर बिंदु $A(a, 0)$ और $B(-a, 0)$ हैं।
$AP$ दूरी का वर्ग $AP^2 = (x-a)^2 + (y-0)^2 = (x-a)^2 + y^2$ है।
$BP$ दूरी का वर्ग $BP^2 = (x+a)^2 + (y-0)^2 = (x+a)^2 + y^2$ है।
प्रश्न के अनुसार,इन वर्गों का योग $2c^2$ है:
$AP^2 + BP^2 = 2c^2$
$(x-a)^2 + y^2 + (x+a)^2 + y^2 = 2c^2$
$(x^2 - 2ax + a^2) + y^2 + (x^2 + 2ax + a^2) + y^2 = 2c^2$
$2x^2 + 2y^2 + 2a^2 = 2c^2$
$2$ से भाग देने पर,हमें प्राप्त होता है:
$x^2 + y^2 + a^2 = c^2$
$x^2 + y^2 = c^2 - a^2$
अतः,बिंदुपथ का समीकरण $x^2 + y^2 = c^2 - a^2$ है।

(B) नाभि और नियता के बीच की दूरी $a(e - 1/e) = a(5/4 - 4/5) = 9a/20$ है।
नाभि $(3,0)$ से नियता $4x - 3y - 3 = 0$ की लंबवत दूरी $\frac{|12-0-3|}{5} = 9/5$ है।
अतः,$9a/20 = 9/5 \implies a = 4$ है।
अक्ष की ढाल $-3/4$ है। नाभि से शीर्ष की दूरी $ae - a = 4(5/4) - 4 = 1$ है।
शीर्ष $(3,0) + 1 \times (-4/5, 3/5) = (11/5, 3/5)$ प्राप्त होता है।

(C) माना अतिपरवलय $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ है। नाभि $(ae, 0)$ पर है।
चूंकि नाभिलंब जीवा अनुप्रस्थ अक्ष के लंबवत है,इसका समीकरण $x = ae$ है।
अतिपरवलय के समीकरण में $x = ae$ रखने पर: $\frac{a^2e^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ $\Rightarrow e^2 - 1 = \frac{y^2}{b^2}$ $\Rightarrow y^2 = b^2(e^2 - 1)$.
चूंकि $e^2 = 1 + \frac{b^2}{a^2}$,हमारे पास $e^2 - 1 = \frac{b^2}{a^2}$ है,अतः $y^2 = b^2(\frac{b^2}{a^2}) = \frac{b^4}{a^2} \Rightarrow y = \pm \frac{b^2}{a}$.
जीवा के अंतिम बिंदु $A(ae, \frac{b^2}{a})$ और $B(ae, -\frac{b^2}{a})$ हैं।
केंद्र $O(0, 0)$ है। जीवा केंद्र पर समकोण अंतरित करती है,इसलिए $OA$ की ढाल $\times$ $OB$ की ढाल $= -1$ है।
$OA$ की ढाल $= \frac{b^2/a}{ae} = \frac{b^2}{a^2e}$। $OB$ की ढाल $= -\frac{b^2}{a^2e}$।
$(\frac{b^2}{a^2e}) \times (-\frac{b^2}{a^2e}) = -1$ $\Rightarrow \frac{b^4}{a^4e^2} = 1$ $\Rightarrow b^4 = a^4e^2$.
चूंकि $b^2 = a^2(e^2 - 1)$,हमारे पास $(a^2(e^2 - 1))^2 = a^4e^2 \Rightarrow (e^2 - 1)^2 = e^2$ है।
$e^4 - 2e^2 + 1 = e^2 \Rightarrow e^4 - 3e^2 + 1 = 0$.
$u = e^2$ लेने पर,$u^2 - 3u + 1 = 0$। द्विघात सूत्र का उपयोग करने पर: $u = \frac{3 \pm \sqrt{5}}{2}$।
चूंकि $e > 1$,इसलिए $e^2 = \frac{3 + \sqrt{5}}{2} = \frac{(\sqrt{5} + 1)^2}{4} \Rightarrow e = \frac{\sqrt{5} + 1}{2}$।

(B) दिया गया है कि अतिपरवलय का अनुप्रस्थ अक्ष और संयुग्मी अक्ष बराबर हैं।
मान लीजिए अतिपरवलय का समीकरण $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ है।
अनुप्रस्थ अक्ष की लंबाई $2a$ है और संयुग्मी अक्ष की लंबाई $2b$ है।
प्रश्न के अनुसार,$2a = 2b$,जिसका अर्थ है $a = b$ है।
हम जानते हैं कि अतिपरवलय के लिए,$b^2 = a^2(e^2 - 1)$,जहाँ $e$ उत्केंद्रता है।
$b = a$ को संबंध में प्रतिस्थापित करने पर,हमें मिलता है $a^2 = a^2(e^2 - 1)$।
दोनों पक्षों को $a^2$ से विभाजित करने पर ($a \neq 0$ है),हमें मिलता है $1 = e^2 - 1$।
अतः,$e^2 = 2$,जिससे $e = \sqrt{2}$ प्राप्त होता है (क्योंकि अतिपरवलय के लिए उत्केंद्रता $e > 1$ होती है)।

(A) दिया गया है कि एक अतिपरवलय में,अनुप्रस्थ अक्ष की लंबाई संयुग्मी अक्ष की लंबाई की दोगुनी है। मानक अतिपरवलय का समीकरण $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ है।
चूंकि अनुप्रस्थ अक्ष की लंबाई $= 2 \times$ संयुग्मी अक्ष की लंबाई,इसलिए $2a = 2(2b)$,जिसका अर्थ है $a = 2b$।
हम जानते हैं कि $b^2 = a^2(e^2 - 1)$।
$b^2 = \frac{a^2}{4}$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\frac{a^2}{4} = a^2(e^2 - 1)$ प्राप्त होता है।
$a^2$ से भाग देने पर,$\frac{1}{4} = e^2 - 1$,इसलिए $e^2 = 1 + \frac{1}{4} = \frac{5}{4}$।
अतः,$e = \frac{\sqrt{5}}{2}$।
नियताओं के बीच की दूरी $\frac{2a}{e}$ द्वारा दी जाती है।
$a = 2b$ और $e = \frac{\sqrt{5}}{2}$ रखने पर,दूरी $\frac{2(2b)}{\sqrt{5}/2} = \frac{8b}{\sqrt{5}}$ इकाई है।

(D) दिया है,उत्केंद्रता $e = \frac{5}{3}$ और नाभियों के बीच की दूरी $2ae = 10$ है।
$2a(\frac{5}{3}) = 10 \Rightarrow a = 3$।
अतिपरवलय के लिए,$c^2 = a^2 + b^2$,जहाँ $c = ae$ है।
$(ae)^2 = a^2 + b^2 \Rightarrow 5^2 = 3^2 + b^2$।
$25 = 9 + b^2 \Rightarrow b^2 = 16$।
अतिपरवलय का मानक समीकरण $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ है।
मान रखने पर,हमें $\frac{x^2}{9} - \frac{y^2}{16} = 1$ प्राप्त होता है।
$144$ से गुणा करने पर,$16x^2 - 9y^2 = 144$ प्राप्त होता है।

(B) दिया गया है कि नाभियों के बीच की दूरी $2ae = 10$ है और अनुप्रस्थ अक्ष की लंबाई $2a = 8$ है।
इससे हमें $ae = 5$ और $a = 4$ प्राप्त होता है।
अतिपरवलय में,$a, b,$ और $e$ के बीच का संबंध $(ae)^2 = a^2 + b^2$ होता है।
मान रखने पर,$25 = 16 + b^2$,जिसका अर्थ है $b^2 = 9$।
नाभिलंब की लंबाई का सूत्र $\frac{2b^2}{a}$ है।
मान रखने पर,$\frac{2 \times 9}{4} = \frac{18}{4} = \frac{9}{2}$ प्राप्त होता है।

(C) दिया गया है कि अतिपरवलय का नाभिलंब उसके केंद्र पर $90^{\circ}$ का कोण बनाता है।
माना अतिपरवलय $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ है।
अतः,उत्केंद्रता $e = \sqrt{1 + \frac{b^2}{a^2}}$ है,जिसका अर्थ है $b^2 = a^2(e^2 - 1)$।
नाभिलंब के अंतिम बिंदु $L = (ae, \frac{b^2}{a})$ और $L' = (ae, -\frac{b^2}{a})$ हैं।
केंद्र $C = (0, 0)$ है।
$\angle LCL' = 90^{\circ}$ होने के कारण,$CL$ और $CL'$ की प्रवणता (slope) $m_1 = \frac{b^2}{a^2e}$ और $m_2 = -\frac{b^2}{a^2e}$ है।
चूंकि $CL \perp CL'$,इसलिए $m_1 \times m_2 = -1$।
$\left(\frac{b^2}{a^2e}\right) \times \left(-\frac{b^2}{a^2e}\right) = -1$ $\Rightarrow \frac{b^4}{a^4e^2} = 1$ $\Rightarrow b^4 = a^4e^2$।
$b^2 = a^2(e^2 - 1)$ प्रतिस्थापित करने पर:
$[a^2(e^2 - 1)]^2 = a^4e^2$ $\Rightarrow (e^2 - 1)^2 = e^2$ $\Rightarrow e^2 - 1 = \pm e$।
चूंकि $e > 1$,इसलिए $e^2 - e - 1 = 0$ लेने पर,$e = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$ प्राप्त होता है।

(D) दिया गया वक्र $3x^2-y^2-2x+4y=0$ है।
बिंदु $(1,-2)$ से गुजरने वाली रेखा का समीकरण $y+2=m(x-1)$ है,जिसे $\frac{mx-y}{m+2}=1$ लिखा जा सकता है।
वक्र के समीकरण को रेखा के समीकरण का उपयोग करके समघात बनाने पर:
$(m+2)(3x^2-y^2)-(2x-4y)(mx-y)=0$.
सरल करने पर:
$x^2(m+6) + xy(4m+2) + y^2(-m-6) = 0$.
यह समीकरण $ax^2+2hxy+by^2=0$ के रूप में है।
यहाँ $a = m+6$ और $b = -(m+6)$ है,इसलिए $a+b=0$ है।
अतः,$OP$ और $OQ$ परस्पर लंबवत हैं,जिसका अर्थ है $\theta = 90^{\circ}$।

(A) अतिपरवलय का समीकरण $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ है।
अतिपरवलय के अनंतस्पर्शी $\frac{x}{a} \pm \frac{y}{b} = 0$ द्वारा दिए जाते हैं।
यह एक मानक गुण है कि अतिपरवलय की किसी भी स्पर्श रेखा और उसके अनंतस्पर्शियों द्वारा निर्मित त्रिभुज का क्षेत्रफल स्थिर होता है और $ab$ के बराबर होता है।
दिया गया है कि क्षेत्रफल $a^2 \tan(\alpha)$ है,इसलिए $ab = a^2 \tan(\alpha)$,जिसका अर्थ है $b = a \tan(\alpha)$।
अतिपरवलय की उत्केंद्रता $e$ का मान $e = \sqrt{1 + \frac{b^2}{a^2}}$ होता है।
$b = a \tan(\alpha)$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है $e = \sqrt{1 + \frac{a^2 \tan^2(\alpha)}{a^2}} = \sqrt{1 + \tan^2(\alpha)} = \sqrt{\sec^2(\alpha)} = \sec(\alpha)$।

(C) हम मानक सीमा सूत्र का उपयोग करते हैं: $\lim _{x \rightarrow a} \frac{x^m - a^m}{x^n - a^n} = \frac{m}{n} a^{m-n}$.
यहाँ,$m = \frac{1}{3}$,$n = \frac{1}{6}$,और $a = 1$ है।
इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:
$\lim _{z \rightarrow 1} \frac{z^{1/3} - 1^{1/3}}{z^{1/6} - 1^{1/6}} = \frac{1/3}{1/6} \times (1)^{1/3 - 1/6}$.
$= \frac{1}{3} \times \frac{6}{1} \times 1^{1/6}$.
$= 2 \times 1 = 2$.

(B) हमें $\lim _{x \rightarrow 0} x^7 \left[ \frac{1}{x^3} \right]$ का मान ज्ञात करना है।
महत्तम पूर्णांक फलन के गुणधर्म के अनुसार,$\frac{1}{x^3} - 1 < \left[ \frac{1}{x^3} \right] \le \frac{1}{x^3}$.
स्थिति $1$: $x > 0$. $x^7$ से गुणा करने पर,$x^4 - x^7 < x^7 \left[ \frac{1}{x^3} \right] \le x^4$.
जब $x \rightarrow 0^+$,तो स्क्वीज़ प्रमेय (Squeeze Theorem) के अनुसार सीमा $0$ है।
स्थिति $2$: $x < 0$. $x^7$ से गुणा करने पर,असमिका बदल जाएगी: $x^4 \le x^7 \left[ \frac{1}{x^3} \right] < x^4 - x^7$.
जब $x \rightarrow 0^-$,तो स्क्वीज़ प्रमेय के अनुसार सीमा $0$ है।
अतः,बाएँ पक्ष की सीमा और दाएँ पक्ष की सीमा समान होने के कारण,उत्तर $0$ है।

(D) सीमा $\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{11 x^3-3 x+4}{13 x^3-5 x^2-7}$ का मूल्यांकन करने के लिए,हम अंश और हर को $x$ की उच्चतम घात,जो कि $x^3$ है,से विभाजित करते हैं:
$\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{x^3(11 - \frac{3}{x^2} + \frac{4}{x^3})}{x^3(13 - \frac{5}{x} - \frac{7}{x^3})}$
$\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{11 - \frac{3}{x^2} + \frac{4}{x^3}}{13 - \frac{5}{x} - \frac{7}{x^3}}$
जैसे-जैसे $x \rightarrow \infty$,पद $\frac{3}{x^2}, \frac{4}{x^3}, \frac{5}{x},$ और $\frac{7}{x^3}$ सभी $0$ की ओर अग्रसर होते हैं।
अतः,सीमा $\frac{11 - 0 + 0}{13 - 0 - 0} = \frac{11}{13}$ है।
इसे $\frac{a}{b}$ से तुलना करने पर,हमें $a = 11$ और $b = 13$ प्राप्त होता है।
इस प्रकार,$a + b = 11 + 13 = 24$।

(B) माना $L = \lim _{x \rightarrow 1} \frac{(1-x)(1-x^2) \cdots (1-x^{2n})}{\{(1-x)(1-x^2) \cdots (1-x^n)\}^2}$.
हम व्यंजक को इस प्रकार लिख सकते हैं:
$L = \lim _{x \rightarrow 1} \frac{\prod_{k=1}^{2n} (1-x^k)}{\left(\prod_{k=1}^{n} (1-x^k)\right)^2}$.
गुणधर्म $\lim _{x \rightarrow 1} \frac{1-x^k}{1-x} = k$ का उपयोग करते हुए,अंश और हर को $(1-x)^{2n}$ से विभाजित करने पर:
$L = \lim _{x \rightarrow 1} \frac{\prod_{k=1}^{2n} \frac{1-x^k}{1-x}}{\left(\prod_{k=1}^{n} \frac{1-x^k}{1-x}\right)^2}$.
जैसे $x \rightarrow 1$,$\frac{1-x^k}{1-x} = 1 + x + x^2 + \dots + x^{k-1} \rightarrow k$.
इन सीमाओं को प्रतिस्थापित करने पर:
$L = \frac{1 \times 2 \times 3 \times \dots \times 2n}{(1 \times 2 \times 3 \times \dots \times n)^2}$.
$L = \frac{(2n)!}{(n!)^2} = \frac{(2n)!}{n! n!} = {}^{2n}C_n$.

(C) दिया गया सीमा $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{n(2 n+1)^2}{(n+2)(n^2+3 n-1)}$ है।
अंश और हर को $n$ की उच्चतम घात,जो $n^3$ है,से विभाजित करने पर।
अंश: $n(2n+1)^2 = n(4n^2+4n+1) = 4n^3+4n^2+n$.
हर: $(n+2)(n^2+3n-1) = n^3+3n^2-n+2n^2+6n-2 = n^3+5n^2+5n-2$.
अब,$\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{4n^3+4n^2+n}{n^3+5n^2+5n-2} = \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{4 + \frac{4}{n} + \frac{1}{n^2}}{1 + \frac{5}{n} + \frac{5}{n^2} - \frac{2}{n^3}}$.
जैसे $n \rightarrow \infty$,$\frac{1}{n}, \frac{1}{n^2}, \frac{1}{n^3} \rightarrow 0$.
अतः,सीमा $\frac{4+0+0}{1+0+0-0} = 4$ है।

(C) माना $L = \lim _{x \rightarrow 1} \frac{\sqrt{1-\cos 2(x-1)}}{x-1}$.
सर्वसमिका $1-\cos 2\theta = 2\sin^2\theta$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$L = \lim _{x \rightarrow 1} \frac{\sqrt{2\sin^2(x-1)}}{x-1} = \sqrt{2} \lim _{x \rightarrow 1} \frac{|\sin(x-1)|}{x-1}$.
माना $z = x-1$. जैसे $x \rightarrow 1$,वैसे $z \rightarrow 0$.
$L = \sqrt{2} \lim _{z \rightarrow 0} \frac{|\sin z|}{z}$.
अब,एक-तरफा सीमाओं का मूल्यांकन करें:
दाहिनी ओर की सीमा $(RHL)$: $\sqrt{2} \lim _{z \rightarrow 0^+} \frac{\sin z}{z} = \sqrt{2}(1) = \sqrt{2}$.
बाईं ओर की सीमा $(LHL)$: $\sqrt{2} \lim _{z \rightarrow 0^-} \frac{-\sin z}{z} = \sqrt{2}(-1) = -\sqrt{2}$.
चूंकि $RHL \neq LHL$,इसलिए सीमा का अस्तित्व नहीं है।

(D) माना $L = \lim _{x}$ ${\rightarrow 0} \frac{8}{x^8}\left[1-\cos \left(\frac{x^2}{2}\right)-\cos \left(\frac{x^2}{4}\right)+\cos \left(\frac{x^2}{2}\right) \cdot \cos \left(\frac{x^2}{4}\right)\right]$
कोष्ठक के पदों का गुणनखंड करने पर:
$L = \lim _{x}$ ${\rightarrow 0} \frac{8}{x^8}\left[\left(1-\cos \frac{x^2}{2}\right) - \cos \left(\frac{x^2}{4}\right)\left(1-\cos \frac{x^2}{2}\right)\right]$
$L = \lim _{x \rightarrow 0} \frac{8}{x^8}\left(1-\cos \frac{x^2}{2}\right)\left(1-\cos \frac{x^2}{4}\right)$
सर्वसमिका $1-\cos \theta = 2 \sin^2 \left(\frac{\theta}{2}\right)$ का उपयोग करने पर:
$L = \lim _{x \rightarrow 0} \frac{8}{x^8} \left(2 \sin^2 \frac{x^2}{4}\right) \left(2 \sin^2 \frac{x^2}{8}\right)$
$L = \lim _{x \rightarrow 0} \frac{32}{x^8} \left(\sin^2 \frac{x^2}{4}\right) \left(\sin^2 \frac{x^2}{8}\right)$
$\left(\frac{x^2}{4}\right)^2$ और $\left(\frac{x^2}{8}\right)^2$ से गुणा और भाग करने पर:
$L = 32 \lim _{x}$ ${\rightarrow 0} \left(\frac{\sin \frac{x^2}{4}}{\frac{x^2}{4}}\right)^2 \left(\frac{x^4}{16}\right) \left(\frac{\sin \frac{x^2}{8}}{\frac{x^2}{8}}\right)^2 \left(\frac{x^4}{64}\right) \cdot \frac{1}{x^8}$
$L = 32 \cdot (1)^2 \cdot \frac{1}{16} \cdot (1)^2 \cdot \frac{1}{64}$
$L = 32 \cdot \frac{1}{1024} = \frac{1}{32}$

(B) हम जानते हैं कि $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin kx}{kx} = 1$ और $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\tan kx}{kx} = 1$।
$\lim _{x \rightarrow 0} \left( \frac{\sin ax}{\tan bx} \right) = \lim _{x \rightarrow 0} \left( \frac{\sin ax}{ax} \cdot ax \cdot \frac{bx}{\tan bx} \cdot \frac{1}{bx} \right)$
$= \lim _{x \rightarrow 0} \left( \frac{\sin ax}{ax} \right) \cdot \lim _{x \rightarrow 0} \left( \frac{bx}{\tan bx} \right) \cdot \lim _{x \rightarrow 0} \left( \frac{ax}{bx} \right)$
$= 1 \cdot 1 \cdot \frac{a}{b} = \frac{a}{b}$।

(D) दिया गया सीमा: $\lim _{x \rightarrow -3} \frac{\sin ^{-1}(x+3)}{x^2+3x}$
$t = x+3$ प्रतिस्थापित करें। जैसे ही $x \rightarrow -3$,$t \rightarrow 0$।
तब $x = t-3$।
व्यंजक इस प्रकार हो जाता है: $\lim _{t \rightarrow 0} \frac{\sin ^{-1}(t)}{(t-3)t} = \lim _{t \rightarrow 0} \left( \frac{\sin ^{-1}(t)}{t} \right) \cdot \frac{1}{t-3}$
मानक सीमा $\lim _{t \rightarrow 0} \frac{\sin ^{-1}(t)}{t} = 1$ का उपयोग करते हुए:
$= 1 \cdot \frac{1}{0-3} = -\frac{1}{3}$

(A) हम जानते हैं कि किसी भी वास्तविक संख्या $x$ के लिए,$\sin x$ का मान $[-1, 1]$ अंतराल में होता है।
अतः,$2 + \sin x$ का मान $[2 - 1, 2 + 1] = [1, 3]$ अंतराल में होता है।
जैसे-जैसे $x \rightarrow \infty$,हर $x^2 + 3 \rightarrow \infty$ होता है।
इस प्रकार,$\lim _{x}$ ${\rightarrow \infty}\left(\frac{2+\sin x}{x^2+3}\right) = \frac{1 \text{ और } 3 \text{ के बीच का कोई निश्चित मान}}{\infty} = 0$।

(C) दिया गया सीमा: $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1-10^n}{1+10^{n+1}}=-\frac{\alpha}{10}$
अंश और हर को $10^n$ से विभाजित करने पर:
$\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{\frac{1}{10^n}-1}{\frac{1}{10^n}+10}=-\frac{\alpha}{10}$
जैसे $n \rightarrow \infty$,वैसे $\frac{1}{10^n} \rightarrow 0$.
यह मान रखने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{0-1}{0+10} = -\frac{\alpha}{10}$
$-\frac{1}{10} = -\frac{\alpha}{10}$
अतः,$\alpha = 1$.

(A) दिया गया है $\lim _{x \rightarrow 0}\left\{1+x \log \left(1+a^2\right)\right\}^{1 / x} = 2 a \sin ^2 \theta$.
मानक सीमा $\lim _{x \rightarrow 0} (1+f(x))^{1/x} = e^{\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{x}}$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$e^{\lim _{x \rightarrow 0} \frac{x \log(1+a^2)}{x}} = e^{\log(1+a^2)} = 1+a^2$.
इसे दिए गए व्यंजक के बराबर रखने पर:
$1+a^2 = 2a \sin^2 \theta$.
$a$ में द्विघात समीकरण के रूप में व्यवस्थित करने पर:
$a^2 - (2 \sin^2 \theta)a + 1 = 0$.
$a$ के वास्तविक संख्या होने के लिए,विविक्तकर $D \ge 0$:
$D = (2 \sin^2 \theta)^2 - 4(1)(1) \ge 0$
$\Rightarrow 4 \sin^4 \theta - 4 \ge 0$
$\Rightarrow \sin^4 \theta \ge 1$.
चूंकि सभी $\theta$ के लिए $\sin^4 \theta \le 1$ होता है,इसलिए एकमात्र संभावना $\sin^4 \theta = 1$ है।
$\Rightarrow \sin^2 \theta = 1 = \sin^2 \frac{\pi}{2}$.
$\Rightarrow \theta = n\pi \pm \frac{\pi}{2}, (n \in Z)$.

(D) माना अवलोकन $x_1, x_2, x_3, \ldots, x_n$ हैं।
माध्य $\bar{x} = \frac{\sum_{i=1}^{n} x_i}{n} = 10$ है।
जब प्रत्येक अवलोकन को $2$ से गुणा किया जाता है,तो नए अवलोकन $2x_1, 2x_2, 2x_3, \ldots, 2x_n$ हो जाते हैं।
नया माध्य $\bar{x}_{new} = \frac{\sum_{i=1}^{n} (2x_i)}{n} = 2 \times \left( \frac{\sum_{i=1}^{n} x_i}{n} \right)$ है।
मूल माध्य का मान रखने पर,$\bar{x}_{new} = 2 \times 10 = 20$ प्राप्त होता है।

(B) मान लीजिए कि $n$ संख्याएँ $x_1, x_2, x_3, \ldots, x_n$ हैं।
इन संख्याओं का माध्य $\bar{x} = \frac{\sum_{i=1}^{n} x_i}{n}$ है।
जब प्रत्येक संख्या को $5$ से विभाजित किया जाता है,तो नई संख्याएँ $\frac{x_1}{5}, \frac{x_2}{5}, \ldots, \frac{x_n}{5}$ हो जाती हैं।
इस नए समूह का माध्य $\frac{X}{5}$ दिया गया है।
अतः,$\frac{\frac{x_1}{5} + \frac{x_2}{5} + \ldots + \frac{x_n}{5}}{n} = \frac{X}{5}$।
$\frac{1}{5} \left( \frac{\sum_{i=1}^{n} x_i}{n} \right) = \frac{X}{5}$।
दोनों पक्षों को $5$ से गुणा करने पर,हमें $\frac{\sum_{i=1}^{n} x_i}{n} = X$ प्राप्त होता है।
अतः,मूल $n$ संख्याओं का माध्य $X$ है।

(C) प्रथम $n$ प्राकृतिक संख्याएँ $1, 2, 3, \ldots, n$ हैं।
उनके वर्ग $1^2, 2^2, 3^2, \ldots, n^2$ हैं।
$\text{माध्य} = \frac{\text{प्रेक्षणों का योग}}{\text{प्रेक्षणों की कुल संख्या}}$.
$\text{माध्य} = \frac{1^2+2^2+3^2+\ldots+n^2}{n}$.
सूत्र $\sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ का उपयोग करने पर:
$\text{माध्य} = \frac{\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}}{n} = \frac{(n+1)(2n+1)}{6}$.
अंश का विस्तार करने पर: $\frac{2n^2+n+2n+1}{6} = \frac{2n^2+3n+1}{6}$.

(C) दिए गए आंकड़े: $12, 14, 20, 23, 25, 32$
समांतर माध्य $\bar{x}$ की गणना इस प्रकार है:
$\bar{x} = \frac{\sum x_i}{n} = \frac{12 + 14 + 20 + 23 + 25 + 32}{6}$
$\bar{x} = \frac{126}{6} = 21$
अतः,समांतर माध्य $21$ है।

(B) लड़कों की संख्या $= 25$
लड़कों के अंकों का माध्य $= 61$
लड़कियों की संख्या $= 35$
लड़कियों के अंकों का माध्य $= 58$
सभी $60$ छात्रों का कुल माध्य $= \frac{61 \times 25 + 35 \times 58}{60}$
$= \frac{1525 + 2030}{60} = \frac{3555}{60} = 59.25$

(B) माना पाँच प्राकृतिक संख्याएँ $n_1, n_2, n_3, n_4, n_5$ हैं जहाँ $n_1 \le n_2 \le n_3 \le n_4 \le n_5 = \alpha$ है। दिया गया है कि $n_5 - n_1 = 10$,अतः $n_1 = \alpha - 10$ है।
चूंकि संख्याएँ प्राकृतिक हैं,$n_1 \ge 1$,इसलिए $\alpha \ge 11$ है।
पाँचों संख्याओं का योग $5 \times 40 = 200$ है।
अतः,$(\alpha - 10) + n_2 + n_3 + n_4 + \alpha = 200$,जिसका अर्थ है $n_2 + n_3 + n_4 = 210 - 2\alpha$ है।
चूंकि $n_1 \le n_2 \le n_3 \le n_4 \le n_5$,इसलिए $3n_1 \le n_2 + n_3 + n_4 \le 3n_5$ होगा।
मान रखने पर: $3(\alpha - 10) \le 210 - 2\alpha \le 3\alpha$ है।
$3\alpha - 30 \le 210 - 2\alpha$ से,हमें $5\alpha \le 240$ मिलता है,अर्थात $\alpha \le 48$ है।
$210 - 2\alpha \le 3\alpha$ से,हमें $5\alpha \ge 210$ मिलता है,अर्थात $\alpha \ge 42$ है।
$\alpha$ का अधिकतम मान $48$ है।
$48$ का अभाज्य गुणनखंड $2^4 \times 3^1$ है।
धनात्मक पूर्णांक भाजकों की संख्या $(4+1)(1+1) = 5 \times 2 = 10$ है।

(C) दिए गए अवलोकन $112, 116, 120, 125, 132$ हैं।
सबसे पहले,माध्य $(\bar{x})$ की गणना करें:
$\bar{x} = \frac{112 + 116 + 120 + 125 + 132}{5} = \frac{605}{5} = 121$.
अब,माध्य से विचलनों के वर्गों का योग ज्ञात करें:
$\sum(x_i - \bar{x})^2 = (112 - 121)^2 + (116 - 121)^2 + (120 - 121)^2 + (125 - 121)^2 + (132 - 121)^2$
$= (-9)^2 + (-5)^2 + (-1)^2 + (4)^2 + (11)^2$
$= 81 + 25 + 1 + 16 + 121 = 244$.
अंत में,प्रसरण $(\sigma^2)$ इस प्रकार है:
$\sigma^2 = \frac{\sum(x_i - \bar{x})^2}{n} = \frac{244}{5} = 48.8$.

(D) सबसे पहले,अवलोकनों का माध्य $(\bar{x})$ ज्ञात करें:
$\bar{x} = \frac{-1 + 0 + 4}{3} = \frac{3}{3} = 1$
अब,माध्य से माध्य विचलन के सूत्र का उपयोग करें:
$MD = \frac{\sum |x_i - \bar{x}|}{n}$
$MD = \frac{|-1 - 1| + |0 - 1| + |4 - 1|}{3}$
$MD = \frac{|-2| + |-1| + |3|}{3}$
$MD = \frac{2 + 1 + 3}{3} = \frac{6}{3} = 2$

(C) माना त्रिभुज के तीन कोण $x, y, z$ हैं।
त्रिभुज के तीनों कोणों का योग $180^{\circ}$ होता है,इसलिए $x + y + z = 180^{\circ}$।
दिया है $x = 60^{\circ}$,अतः $y + z = 120^{\circ} \dots(1)$।
प्रसरण के सूत्र का उपयोग करते हुए,$\frac{x^2+y^2+z^2}{3} = 4614$ लेने पर,
$\frac{60^2+y^2+z^2}{3} = 4614$ $\Rightarrow 3600 + y^2 + z^2 = 13842$ $\Rightarrow y^2 + z^2 = 10242$।
$(y+z)^2 - 2yz = 10242$ $\Rightarrow 14400 - 2yz = 10242$ $\Rightarrow 2yz = 4158$ $\Rightarrow yz = 2079$।
$(y-z)^2 = (y+z)^2 - 4yz = 14400 - 8316 = 6084$।
$y-z = 78^{\circ}$।
समीकरणों को हल करने पर,$y = 99^{\circ}$ और $z = 21^{\circ}$ प्राप्त होते हैं।

(B) दिया गया है कि $A$ और $B$ के स्थिति सदिश $\vec{a} = 2\hat{i} + 2\hat{j} + \hat{k}$ और $\vec{b} = 2\hat{i} + 4\hat{j} + 4\hat{k}$ हैं।
सबसे पहले,भुजाओं $OA$ और $OB$ की लंबाई की गणना करें:
$OA = |\vec{a}| = \sqrt{2^2 + 2^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 4 + 1} = \sqrt{9} = 3$.
$OB = |\vec{b}| = \sqrt{2^2 + 4^2 + 4^2} = \sqrt{4 + 16 + 16} = \sqrt{36} = 6$.
कोण समद्विभाजक प्रमेय के अनुसार,$\angle BOA$ का आंतरिक समद्विभाजक $OD$,भुजा $AB$ को आसन्न भुजाओं के अनुपात में विभाजित करता है,जो $OA : OB = 3 : 6 = 1 : 2$ है।
विभाजन सूत्र का उपयोग करते हुए,बिंदु $D$ का स्थिति सदिश इस प्रकार है:
$\vec{d} = \frac{2\vec{a} + 1\vec{b}}{1 + 2} = \frac{2(2\hat{i} + 2\hat{j} + \hat{k}) + (2\hat{i} + 4\hat{j} + 4\hat{k})}{3} = \frac{(4+2)\hat{i} + (4+4)\hat{j} + (2+4)\hat{k}}{3} = \frac{6\hat{i} + 8\hat{j} + 6\hat{k}}{3} = 2\hat{i} + \frac{8}{3}\hat{j} + 2\hat{k}$.
आंतरिक समद्विभाजक $OD$ की लंबाई $\vec{d}$ का परिमाण है:
$|OD| = \sqrt{2^2 + (\frac{8}{3})^2 + 2^2} = \sqrt{4 + \frac{64}{9} + 4} = \sqrt{8 + \frac{64}{9}} = \sqrt{\frac{72 + 64}{9}} = \sqrt{\frac{136}{9}} = \frac{\sqrt{136}}{3}$.

(B) दिए गए स्थिति सदिश $\vec{p} = \hat{i}+2 \hat{j}-\hat{k}$ और $\vec{q} = -\hat{i}+\hat{j}+\hat{k}$ हैं।
$R$,$PQ$ को $2:1$ के अनुपात में बाह्यतः विभाजित करता है। बाह्य विभाजन का सूत्र $\vec{r} = \frac{m\vec{q} - n\vec{p}}{m-n}$ है।
$\vec{r} = \frac{2(-\hat{i}+\hat{j}+\hat{k}) - 1(\hat{i}+2 \hat{j}-\hat{k})}{2-1} = \frac{-2\hat{i}+2\hat{j}+2\hat{k} - \hat{i}-2\hat{j}+\hat{k}}{1} = -3\hat{i}+3\hat{k}$.
$S$,$PQ$ को $2:1$ के अनुपात में अंतः विभाजित करता है। अंतः विभाजन का सूत्र $\vec{s} = \frac{m\vec{q} + n\vec{p}}{m+n}$ है।
$\vec{s} = \frac{2(-\hat{i}+\hat{j}+\hat{k}) + 1(\hat{i}+2 \hat{j}-\hat{k})}{2+1} = \frac{-2\hat{i}+2\hat{j}+2\hat{k} + \hat{i}+2\hat{j}-\hat{k}}{3} = \frac{-\hat{i}+4\hat{j}+\hat{k}}{3}$.
$RS$ का मध्यबिंदु $\frac{\vec{r} + \vec{s}}{2}$ है।
मध्यबिंदु $= \frac{(-3\hat{i}+3\hat{k}) + (-\frac{1}{3}\hat{i} + \frac{4}{3}\hat{j} + \frac{1}{3}\hat{k})}{2} = \frac{-\frac{10}{3}\hat{i} + \frac{4}{3}\hat{j} + \frac{10}{3}\hat{k}}{2} = -\frac{5}{3}\hat{i} + \frac{2}{3}\hat{j} + \frac{5}{3}\hat{k}$.

(D) माना स्थिति सदिश $\vec{OA} = \hat{i}+\hat{j}+\hat{k}$ और $\vec{OB} = \frac{1}{3} \hat{j}+\frac{1}{3} \hat{k}$ हैं।
दिया गया है कि $B$,$AC$ को $m:n = 2:1$ के अनुपात में विभाजित करता है।
विभाजन सूत्र का उपयोग करने पर,$B$ का स्थिति सदिश:
$\vec{OB} = \frac{m\vec{OC} + n\vec{OA}}{m+n}$
मान रखने पर:
$\frac{1}{3} \hat{j} + \frac{1}{3} \hat{k} = \frac{2\vec{OC} + 1(\hat{i}+\hat{j}+\hat{k})}{2+1}$
$3(\frac{1}{3} \hat{j} + \frac{1}{3} \hat{k}) = 2\vec{OC} + \hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$
$\hat{j} + \hat{k} = 2\vec{OC} + \hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$
$2\vec{OC} = \hat{j} + \hat{k} - \hat{i} - \hat{j} - \hat{k}$
$2\vec{OC} = -\hat{i}$
$\vec{OC} = -\frac{1}{2} \hat{i} + 0 \hat{j} + 0 \hat{k}$
अतः,$C$ का स्थिति सदिश $(-\frac{1}{2}, 0, 0)$ है।

(C) बिंदु $P(5, -4, -3)$ का स्थिति सदिश $\vec{r} = 5\hat{i} - 4\hat{j} - 3\hat{k}$ है।
सदिश $\vec{r} = a\hat{i} + b\hat{j} + c\hat{k}$ की दिक्-कोज्याएँ (direction cosines) $\cos \alpha = \frac{a}{|\vec{r}|}$,$\cos \beta = \frac{b}{|\vec{r}|}$ और $\cos \gamma = \frac{c}{|\vec{r}|}$ द्वारा दी जाती हैं,जहाँ $\alpha, \beta, \gamma$ क्रमशः $X, Y, Z$ अक्षों के साथ बनाए गए कोण हैं।
सबसे पहले,सदिश $\vec{r}$ का परिमाण ज्ञात करें:
$|\vec{r}| = \sqrt{5^2 + (-4)^2 + (-3)^2} = \sqrt{25 + 16 + 9} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}$.
धनात्मक $X$-अक्ष के साथ कोण $\alpha$ इस प्रकार है:
$\cos \alpha = \frac{5}{5\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
अतः,$\alpha = \cos^{-1}\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right) = \frac{\pi}{4}$.

(C) मान लीजिए कि रेखा के दिक्-कोसाइन $(l, m, n) = (\cos \alpha, \cos \beta, \cos \gamma)$ हैं।
हम जानते हैं कि किसी भी रेखा के लिए,उसके दिक्-कोसाइन के वर्गों का योग $l^2 + m^2 + n^2 = 1$ होता है।
यह दिया गया है कि रेखा निर्देशांक अक्षों के साथ समान कोण बनाती है,इसलिए $\alpha = \beta = \gamma$ है।
अतः,$\cos \alpha = \cos \beta = \cos \gamma$ है।
इसे सर्वसमिका में प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\cos^2 \alpha + \cos^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$ प्राप्त होता है।
$3 \cos^2 \alpha = 1 \Rightarrow \cos^2 \alpha = \frac{1}{3}$।
इस प्रकार,$\cos \alpha = \pm \frac{1}{\sqrt{3}}$।
अतः,दिक्-कोसाइन $(\pm \frac{1}{\sqrt{3}}, \pm \frac{1}{\sqrt{3}}, \pm \frac{1}{\sqrt{3}})$ हैं।

(A) दिया गया है कि $\vec{OP}$ के दिक्-अनुपात $(a, b, c) = (1, -2, -2)$ हैं।
सबसे पहले,हम दिक्-अनुपातों के सदिश का परिमाण ज्ञात करते हैं: $\sqrt{1^2 + (-2)^2 + (-2)^2} = \sqrt{1 + 4 + 4} = \sqrt{9} = 3$.
दिक्-कोज्याएँ $(l, m, n)$ दिक्-अनुपातों को उनके परिमाण से विभाजित करके प्राप्त की जाती हैं:
$l = \frac{1}{3}, m = \frac{-2}{3}, n = \frac{-2}{3}$.
मूल बिंदु से $r = 3$ की दूरी पर स्थित बिंदु $P$ के निर्देशांक $(lr, mr, nr)$ द्वारा दिए जाते हैं।
$P = (\frac{1}{3} \times 3, \frac{-2}{3} \times 3, \frac{-2}{3} \times 3) = (1, -2, -2)$.

(A) दिए गए शीर्ष $A(-1, 2, -3), B(5, 0, -6), C(0, 4, -1)$ हैं।
सबसे पहले,भुजाओं $AB$ और $AC$ की लंबाई ज्ञात करें:
$AB = \sqrt{(-1-5)^2 + (2-0)^2 + (-3+6)^2} = \sqrt{36 + 4 + 9} = \sqrt{49} = 7$.
$AC = \sqrt{(-1-0)^2 + (2-4)^2 + (-3+1)^2} = \sqrt{1 + 4 + 4} = \sqrt{9} = 3$.
कोण समद्विभाजक प्रमेय के अनुसार,$\angle BAC$ का आंतरिक समद्विभाजक $BC$ को $AB:AC = 7:3$ के अनुपात में विभाजित करता है।
मान लीजिए $D$,$BC$ पर एक बिंदु है जो इसे $7:3$ के अनुपात में विभाजित करता है। विभाजन सूत्र का उपयोग करते हुए:
$D = \left( \frac{7(0) + 3(5)}{7+3}, \frac{7(4) + 3(0)}{7+3}, \frac{7(-1) + 3(-6)}{7+3} \right) = \left( \frac{15}{10}, \frac{28}{10}, \frac{-25}{10} \right) = \left( \frac{3}{2}, \frac{14}{5}, -\frac{5}{2} \right)$.
सदिश $\vec{AD} = D - A = \left( \frac{3}{2} - (-1), \frac{14}{5} - 2, -\frac{5}{2} - (-3) \right) = \left( \frac{5}{2}, \frac{4}{5}, \frac{1}{2} \right)$.
दिक्-कोसाइन ज्ञात करने के लिए,$\vec{AD}$ का मानकीकरण करें:
$|\vec{AD}| = \sqrt{(\frac{5}{2})^2 + (\frac{4}{5})^2 + (\frac{1}{2})^2} = \sqrt{\frac{25}{4} + \frac{16}{25} + \frac{1}{4}} = \frac{\sqrt{714}}{10}$.
दिक्-कोसाइन $\frac{25}{\sqrt{714}}, \frac{8}{\sqrt{714}}, \frac{5}{\sqrt{714}}$ हैं।

(B) माना सदिश $\overrightarrow{AB} = l\hat{i} + m\hat{j} + n\hat{k}$ है।
$XY$ समतल पर प्रक्षेप $\sqrt{l^2 + m^2} = \sqrt{15}$ है,अतः $l^2 + m^2 = 15$ (समीकरण $1$)।
$YZ$ समतल पर प्रक्षेप $\sqrt{m^2 + n^2} = \sqrt{46}$ है,अतः $m^2 + n^2 = 46$ (समीकरण $2$)।
$ZX$ समतल पर प्रक्षेप $\sqrt{n^2 + l^2} = 7$ है,अतः $n^2 + l^2 = 49$ (समीकरण $3$)।
तीनों समीकरणों को जोड़ने पर:
$2(l^2 + m^2 + n^2) = 15 + 46 + 49 = 110$
$l^2 + m^2 + n^2 = 55$.
$y$-अक्ष पर प्रक्षेप $|m|$ है।
$m^2 = (l^2 + m^2 + n^2) - (l^2 + n^2) = 55 - 49 = 6$.
अतः,$m = \sqrt{6}$।

(C) दिया गया है कि दो रेखाओं के दिक्-कोसाइन $l_1 = (\frac{2}{3}, \frac{2}{3}, \frac{1}{3})$ और $l_2 = (\frac{5}{13}, \frac{12}{13}, 0)$ हैं।
दो रेखाओं,जिनके दिक्-कोसाइन $(l_1, m_1, n_1)$ और $(l_2, m_2, n_2)$ हैं,के बीच के कोण को समद्विभाजित करने वाली रेखा के दिक्-अनुपात $\langle l_1+l_2, m_1+m_2, n_1+n_2 \rangle$ के समानुपाती होते हैं।
मान रखने पर,दिक्-अनुपात $\langle \frac{2}{3} + \frac{5}{13}, \frac{2}{3} + \frac{12}{13}, \frac{1}{3} + 0 \rangle$ के समानुपाती हैं।
प्रत्येक घटक के लिए योग की गणना करने पर:
$\frac{2}{3} + \frac{5}{13} = \frac{26+15}{39} = \frac{41}{39}$
$\frac{2}{3} + \frac{12}{13} = \frac{26+36}{39} = \frac{62}{39}$
$\frac{1}{3} + 0 = \frac{13}{39}$
अतः,दिक्-अनुपात $\langle \frac{41}{39}, \frac{62}{39}, \frac{13}{39} \rangle$ के समानुपाती हैं।
$39$ से गुणा करने पर,हमें दिक्-अनुपात $\langle 41, 62, 13 \rangle$ प्राप्त होते हैं।

(A) माना बिंदु $P = (-2, 4, -5)$ और $Q = (1, 2, 3)$ हैं।
रेखाखंड $\overrightarrow{PQ}$ के दिक्-अनुपात $(x_2 - x_1, y_2 - y_1, z_2 - z_1) = (1 - (-2), 2 - 4, 3 - (-5)) = (3, -2, 8)$ हैं।
सदिश $\overrightarrow{PQ}$ का परिमाण $|\overrightarrow{PQ}| = \sqrt{3^2 + (-2)^2 + 8^2} = \sqrt{9 + 4 + 64} = \sqrt{77}$ है।
दिक्-कोसाइन $(l, m, n)$ प्राप्त करने के लिए दिक्-अनुपातों को परिमाण से विभाजित करने पर:
$l = \frac{3}{\sqrt{77}}$,$m = \frac{-2}{\sqrt{77}}$,$n = \frac{8}{\sqrt{77}}$.
अतः,दिक्-कोसाइन $\left(\frac{3}{\sqrt{77}}, \frac{-2}{\sqrt{77}}, \frac{8}{\sqrt{77}}\right)$ हैं।

(A) रेखा $AB$ के दिक अनुपात $(q-7, -2-p, 5-2)$ हैं,जो सरल होकर $(q-7, -2-p, 3)$ हो जाते हैं।
रेखा $CD$ के दिक अनुपात $(-6-2, -15-(-3), 11-5)$ हैं,जो सरल होकर $(-8, -12, 6)$ हो जाते हैं।
चूंकि रेखाएं $AB$ और $CD$ समांतर हैं,इसलिए उनके दिक अनुपात समानुपाती होने चाहिए:
$\frac{q-7}{-8} = \frac{-2-p}{-12} = \frac{3}{6}$.
अनुपात $\frac{3}{6}$ को सरल करने पर,हमें $\frac{1}{2}$ प्राप्त होता है।
$\frac{q-7}{-8} = \frac{1}{2}$ को हल करने पर:
$q-7 = -4 \Rightarrow q = 3$.
$\frac{-2-p}{-12} = \frac{1}{2}$ को हल करने पर:
$-2-p = -6 \Rightarrow p = 4$.
अतः,$p^2 + q^2 = 4^2 + 3^2 = 16 + 9 = 25$.

(B) धनात्मक $X, Y$ और $Z$ अक्ष के साथ $\alpha, \beta, \gamma$ कोण बनाने वाली रेखा के दिक्-कोसाइन $\cos \alpha, \cos \beta, \cos \gamma$ द्वारा दिए जाते हैं।
यहाँ,$\alpha = 90^{\circ}, \beta = 135^{\circ}, \gamma = 45^{\circ}$ है।
दिक्-कोसाइन इस प्रकार हैं:
$l = \cos 90^{\circ} = 0$
$m = \cos 135^{\circ} = \cos(180^{\circ} - 45^{\circ}) = -\cos 45^{\circ} = -\frac{1}{\sqrt{2}}$
$n = \cos 45^{\circ} = \frac{1}{\sqrt{2}}$
अतः,दिक्-कोसाइन $\left(0, -\frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}}\right)$ हैं।

(D) दो बिंदुओं $(x_1, y_1, z_1)$ और $(x_2, y_2, z_2)$ को मिलाने वाली रेखा के दिक अनुपात $\langle x_2-x_1, y_2-y_1, z_2-z_1 \rangle$ द्वारा दिए जाते हैं।
रेखा $AB$ के लिए,जहाँ $A(4,1,2)$ और $B(0, k, 1)$ है,दिक अनुपात $\langle 0-4, k-1, 1-2 \rangle = \langle -4, k-1, -1 \rangle$ हैं।
रेखा $CD$ के लिए,जहाँ $C(-2,1,1)$ और $D(4,2,5)$ है,दिक अनुपात $\langle 4-(-2), 2-1, 5-1 \rangle = \langle 6, 1, 4 \rangle$ हैं।
चूंकि रेखाएं $AB$ और $CD$ एक-दूसरे पर लंब हैं,इसलिए उनके संगत दिक अनुपातों के गुणनफल का योग शून्य होना चाहिए:
$a_1 a_2 + b_1 b_2 + c_1 c_2 = 0$
$(-4)(6) + (k-1)(1) + (-1)(4) = 0$
$-24 + k - 1 - 4 = 0$
$k - 29 = 0$
$k = 29$.

(B) एक रेखा के दिक्-कोसाइन को $l, m, n$ द्वारा दर्शाया जाता है।
हम जानते हैं कि किसी भी रेखा के लिए,उसके दिक्-कोसाइन के वर्गों का योग हमेशा $1$ के बराबर होता है,अर्थात $l^2 + m^2 + n^2 = 1$।
दिए गए दिक्-कोसाइन $\left(\frac{1}{c}, \frac{1}{c}, \frac{1}{c}\right)$ हैं।
इन मानों को सर्वसमिका में प्रतिस्थापित करने पर:
$\left(\frac{1}{c}\right)^2 + \left(\frac{1}{c}\right)^2 + \left(\frac{1}{c}\right)^2 = 1$
$\frac{1}{c^2} + \frac{1}{c^2} + \frac{1}{c^2} = 1$
$\frac{3}{c^2} = 1$
$c^2 = 3$
$c = \pm \sqrt{3}$

(C) मान लीजिए कि रेखा $AB$ के दिशा कोण $\alpha = 45^{\circ}$,$\beta = 120^{\circ}$ और $\gamma = \theta$ हैं।
किसी रेखा के दिक्-कोज्याओं (direction cosines) के वर्गों का योग हमेशा $1$ होता है,अर्थात $\cos^2 \alpha + \cos^2 \beta + \cos^2 \gamma = 1$।
दिए गए मानों को रखने पर,$\cos^2 45^{\circ} + \cos^2 120^{\circ} + \cos^2 \theta = 1$।
चूंकि $\cos 45^{\circ} = \frac{1}{\sqrt{2}}$ और $\cos 120^{\circ} = -\frac{1}{2}$,इसलिए:
$\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^2 + \left(-\frac{1}{2}\right)^2 + \cos^2 \theta = 1$।
$\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \cos^2 \theta = 1$।
$\frac{3}{4} + \cos^2 \theta = 1$।
$\cos^2 \theta = 1 - \frac{3}{4} = \frac{1}{4}$।
चूंकि $\theta$ एक न्यून कोण है,इसलिए $\cos \theta = \frac{1}{2}$।
अतः,$\theta = 60^{\circ}$।

(C) माना रेखा की दिक्-कोज्याएँ $(l, m, n)$ हैं। चूँकि रेखा की लंबाई $l$ है,इसलिए निर्देशांक अक्षों पर रेखा के प्रक्षेप $l_1 = l \cdot |l|$,$l_2 = l \cdot |m|$ और $l_3 = l \cdot |n|$ द्वारा दिए जाते हैं।
इनका वर्ग करने पर,हमें $l_1^2 = l^2 l^2$,$l_2^2 = l^2 m^2$ और $l_3^2 = l^2 n^2$ प्राप्त होता है।
इन समीकरणों को जोड़ने पर,हमें $l_1^2 + l_2^2 + l_3^2 = l^2 (l^2 + m^2 + n^2)$ प्राप्त होता है।
चूँकि दिक्-कोज्याओं के वर्गों का योग $l^2 + m^2 + n^2 = 1$ होता है,इसलिए $l_1^2 + l_2^2 + l_3^2 = l^2 (1) = l^2$ होगा।

(A) दिए गए समीकरण $3lm - 4ln + mn = 0$ ... $(i)$ और $l + 2m + 3n = 0$ ... $(ii)$ हैं।
$(ii)$ से,$l = -2m - 3n$ प्राप्त होता है।
इसे $(i)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$3(-2m - 3n)m - 4(-2m - 3n)n + mn = 0$
$-6m^2 - 9mn + 8mn + 12n^2 + mn = 0$
$-6m^2 + 12n^2 = 0 \Rightarrow m^2 = 2n^2 \Rightarrow m = \pm \sqrt{2}n$.
माना दिक्-अनुपात $(l_1, m_1, n_1)$ और $(l_2, m_2, n_2)$ हैं।
$m_1 = \sqrt{2}n_1$ के लिए,$l_1 = -2(\sqrt{2}n_1) - 3n_1 = -(2\sqrt{2} + 3)n_1$.
$m_2 = -\sqrt{2}n_2$ के लिए,$l_2 = -2(-\sqrt{2}n_2) - 3n_2 = (2\sqrt{2} - 3)n_2$.
रेखाओं के बीच का कोण $\theta$ के लिए $\cos \theta = \frac{|l_1l_2 + m_1m_2 + n_1n_2|}{\sqrt{l_1^2 + m_1^2 + n_1^2} \sqrt{l_2^2 + m_2^2 + n_2^2}}$ सूत्र का उपयोग करते हैं।
अंश की गणना: $l_1l_2 + m_1m_2 + n_1n_2 = [-(2\sqrt{2} + 3)n_1][(2\sqrt{2} - 3)n_2] + [\sqrt{2}n_1][-\sqrt{2}n_2] + n_1n_2$
$= [-(8 - 9)n_1n_2] - 2n_1n_2 + n_1n_2 = n_1n_2 - 2n_1n_2 + n_1n_2 = 0$.
चूंकि डॉट प्रोडक्ट $0$ है,इसलिए $\cos \theta = 0$,जिसका अर्थ है $\theta = \frac{\pi}{2}$।

(D) दिया गया है कि रेखा $L_1$,$\vec{a}_1 = 2 \hat{i}-\hat{k}$ से गुजरती है और $\vec{b}_1 = 3 \hat{i}-\hat{j}+2 \hat{k}$ के समानांतर है।
रेखा $L_2$,$\vec{a}_2 = 2 \hat{i}+\hat{j}-3 \hat{k}$ से गुजरती है और $\vec{b}_2 = \hat{i}-2 \hat{j}+\hat{k}$ के समानांतर है।
दो विषम रेखाओं के बीच की न्यूनतम दूरी $d$ का सूत्र है: $d = \frac{|(\vec{b}_1 \times \vec{b}_2) \cdot (\vec{a}_2 - \vec{a}_1)|}{|\vec{b}_1 \times \vec{b}_2|}$।
सबसे पहले,सदिश गुणनफल $\vec{b}_1 \times \vec{b}_2$ की गणना करें:
$\vec{b}_1 \times \vec{b}_2 = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 3 & -1 & 2 \\ 1 & -2 & 1 \end{vmatrix} = \hat{i}(-1 + 4) - \hat{j}(3 - 2) + \hat{k}(-6 + 1) = 3 \hat{i} - \hat{j} - 5 \hat{k}$।
इसका परिमाण $|\vec{b}_1 \times \vec{b}_2| = \sqrt{3^2 + (-1)^2 + (-5)^2} = \sqrt{9 + 1 + 25} = \sqrt{35}$ है।
इसके बाद,$\vec{a}_2 - \vec{a}_1 = (2 \hat{i} + \hat{j} - 3 \hat{k}) - (2 \hat{i} - \hat{k}) = \hat{j} - 2 \hat{k}$ की गणना करें।
अब,अदिश गुणनफल की गणना करें: $(\vec{b}_1 \times \vec{b}_2) \cdot (\vec{a}_2 - \vec{a}_1) = (3 \hat{i} - \hat{j} - 5 \hat{k}) \cdot (0 \hat{i} + 1 \hat{j} - 2 \hat{k}) = (3)(0) + (-1)(1) + (-5)(-2) = 0 - 1 + 10 = 9$।
अतः,न्यूनतम दूरी $d = \frac{|9|}{\sqrt{35}} = \frac{9}{\sqrt{35}}$ है।

(A) दिया गया है,$\vec{r} \times \vec{a} = \vec{b} \times \vec{a}$।
इसका अर्थ है $(\vec{r} - \vec{b}) \times \vec{a} = 0$,जिसका अर्थ है कि $\vec{r} - \vec{b}$,$\vec{a}$ के समांतर है।
अतः,पहली रेखा का समीकरण $\vec{r} = \vec{b} + p\vec{a} = \hat{j} + p\hat{i}$ है।
इसी प्रकार,दूसरी रेखा $\vec{r} \times \vec{b} = \vec{a} \times \vec{b}$ के लिए,हमारे पास $(\vec{r} - \vec{a}) \times \vec{b} = 0$ है।
इसका अर्थ है कि $\vec{r} - \vec{a}$,$\vec{b}$ के समांतर है।
अतः,दूसरी रेखा का समीकरण $\vec{r} = \vec{a} + q\vec{b} = \hat{i} + q\hat{j}$ है।
प्रतिच्छेदन बिंदु के लिए,$\hat{j} + p\hat{i} = \hat{i} + q\hat{j}$।
$\hat{i}$ और $\hat{j}$ के गुणांकों की तुलना करने पर,हमें $p = 1$ और $q = 1$ प्राप्त होता है।
पहले समीकरण में $p=1$ रखने पर,हमें $\vec{r} = \hat{j} + 1(\hat{i}) = \hat{i} + \hat{j}$ प्राप्त होता है।

(D) रेखाखंड $\overline{AB}$ के दिक अनुपात $(4-2, 5-3, 7-4) = (2, 2, 3)$ हैं।
रेखाखंड $\overline{CD}$ के दिक अनुपात $(4-2, -4-(-6), k-3) = (2, 2, k-3)$ हैं।
चूंकि रेखा $\overline{AB}$,$\overline{CD}$ के समांतर है,इसलिए उनके दिक अनुपात समानुपाती होने चाहिए।
अतः,$\frac{2}{2} = \frac{2}{2} = \frac{3}{k-3}$।
इसका अर्थ है कि $1 = \frac{3}{k-3}$।
$k$ के लिए हल करने पर,हमें $k-3 = 3$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है कि $k = 6$।

(B) बिंदुओं $(k, 2, 3)$ और $(1, 1, 2)$ को मिलाने वाली रेखा के दिक अनुपात $(1-k, 1-2, 2-3)$ अर्थात $(1-k, -1, -1)$ हैं।
बिंदुओं $(5, 4, -1)$ और $(3, 2, -3)$ को मिलाने वाली रेखा के दिक अनुपात $(3-5, 2-4, -3-(-1))$ अर्थात $(-2, -2, -2)$ हैं।
चूंकि दोनों रेखाएं समांतर हैं,इसलिए उनके दिक अनुपात समानुपाती होने चाहिए:
$\frac{1-k}{-2} = \frac{-1}{-2} = \frac{-1}{-2}$
समीकरण $\frac{1-k}{-2} = \frac{1}{2}$ से,हमें प्राप्त होता है:
$1-k = -1$
$k = 2$
अतः,$k$ का मान $2$ है।

(A) मान लीजिए घन की भुजा की लंबाई $a$ है। हम $(0,0,0), (a,0,0), (0,a,0), (0,0,a), (a,a,0), (a,0,a), (0,a,a),$ और $(a,a,a)$ शीर्षों वाले एक घन पर विचार करते हैं।
घन के दो विकर्णों को सदिशों $\vec{d_1}$ और $\vec{d_2}$ द्वारा दर्शाया जा सकता है।
मान लीजिए $\vec{d_1}$ बिंदु $(0,0,0)$ से $(a,a,a)$ तक का सदिश है,इसलिए $\vec{d_1} = a\hat{i} + a\hat{j} + a\hat{k}$ है।
मान लीजिए $\vec{d_2}$ बिंदु $(a,0,0)$ से $(0,a,a)$ तक का सदिश है,इसलिए $\vec{d_2} = (0-a)\hat{i} + (a-0)\hat{j} + (a-0)\hat{k} = -a\hat{i} + a\hat{j} + a\hat{k}$ है।
इन दो सदिशों के बीच का कोण $\theta$,$\cos \theta = \frac{\vec{d_1} \cdot \vec{d_2}}{|\vec{d_1}| |\vec{d_2}|}$ द्वारा दिया जाता है।
अदिश गुणनफल की गणना करने पर: $\vec{d_1} \cdot \vec{d_2} = (a)(-a) + (a)(a) + (a)(a) = -a^2 + a^2 + a^2 = a^2$ प्राप्त होता है।
परिमाणों की गणना करने पर: $|\vec{d_1}| = \sqrt{a^2 + a^2 + a^2} = \sqrt{3a^2} = a\sqrt{3}$ और $|\vec{d_2}| = \sqrt{(-a)^2 + a^2 + a^2} = \sqrt{3a^2} = a\sqrt{3}$ प्राप्त होता है।
अतः,$\cos \theta = \frac{a^2}{(a\sqrt{3})(a\sqrt{3})} = \frac{a^2}{3a^2} = \frac{1}{3}$ है।
इसलिए,$\theta = \cos ^{-1}\left(\frac{1}{3}\right)$ है।

(D) दिए गए समीकरण $2l + m + 2n = 0$ $(1)$ और $3l^2 + 5m^2 - 11n^2 = 0$ $(2)$ हैं।
$(1)$ से,$m = -2l - 2n$.
$m$ का मान $(2)$ में प्रतिस्थापित करने पर: $3l^2 + 5(-2l - 2n)^2 - 11n^2 = 0$.
$3l^2 + 5(4l^2 + 8ln + 4n^2) - 11n^2 = 0$.
$3l^2 + 20l^2 + 40ln + 20n^2 - 11n^2 = 0$.
$23l^2 + 40ln + 9n^2 = 0$.
$n^2$ से भाग देने पर: $23(\frac{l}{n})^2 + 40(\frac{l}{n}) + 9 = 0$.
मान लीजिए $x = \frac{l}{n}$. तब $23x^2 + 40x + 9 = 0$.
मान लीजिए मूल $x_1 = \frac{l_1}{n_1}$ और $x_2 = \frac{l_2}{n_2}$ हैं।
तब $x_1 x_2 = \frac{l_1 l_2}{n_1 n_2} = \frac{9}{23}$.
इसी प्रकार,$l = -\frac{m+2n}{2}$ को $(2)$ में रखने पर $23m^2 + 12mn - 32n^2 = 0$ प्राप्त होता है।
$n^2$ से भाग देने पर,$23(\frac{m}{n})^2 + 12(\frac{m}{n}) - 32 = 0$.
मान लीजिए $y_1 = \frac{m_1}{n_1}$ और $y_2 = \frac{m_2}{n_2}$. तब $y_1 y_2 = \frac{m_1 m_2}{n_1 n_2} = -\frac{32}{23}$.
दो रेखाओं के लिए जिनके दिक्-अनुपात $(l_1, m_1, n_1)$ और $(l_2, m_2, n_2)$ हैं,$\cos \theta = |l_1 l_2 + m_1 m_2 + n_1 n_2|$.
$l_1 l_2 + m_1 m_2 + n_1 n_2 = n_1 n_2 (x_1 x_2 + y_1 y_2 + 1) = n_1 n_2 (\frac{9}{23} - \frac{32}{23} + 1) = n_1 n_2 (\frac{-23}{23} + 1) = 0$.
अतः,$\cos \theta = 0$,जिसका अर्थ है कि $\theta = \frac{\pi}{2}$।

(C) दिए गए समतलों $P_1: x-2y+z+2=0$ और $P_2: 3x-y-z+1=0$ की प्रतिच्छेदन रेखा से होकर जाने वाले समतल का समीकरण $P_1 + \lambda P_2 = 0$ द्वारा दिया जाता है।
$(x-2y+z+2) + \lambda(3x-y-z+1) = 0$.
चूंकि समतल बिंदु $(1,1,1)$ से गुजरता है,हम समीकरण में $x=1, y=1, z=1$ प्रतिस्थापित करते हैं:
$(1-2(1)+1+2) + \lambda(3(1)-1-1+1) = 0$.
$(1-2+1+2) + \lambda(3-1-1+1) = 0$.
$2 + 2\lambda = 0 \Rightarrow \lambda = -1$.
अब $\lambda = -1$ को समीकरण में रखने पर:
$(x-2y+z+2) - 1(3x-y-z+1) = 0$.
$x-2y+z+2 - 3x+y+z-1 = 0$.
$-2x - y + 2z + 1 = 0$.
$X$ अंतःखंड ज्ञात करने के लिए,$y=0$ और $z=0$ रखें:
$-2x + 1 = 0 \Rightarrow x = \frac{1}{2}$.
अतः,$X$ अंतःखंड $\frac{1}{2}$ है।

(A) समतल $S_1: x - 2y + 2z + 3 = 0$ का अभिलंब सदिश $\vec{n}_1 = \hat{i} - 2\hat{j} + 2\hat{k}$ है।
समतल $S_2: 3x - 2y + 4z - 4 = 0$ का अभिलंब सदिश $\vec{n}_2 = 3\hat{i} - 2\hat{j} + 4\hat{k}$ है।
अभीष्ट समतल का अभिलंब सदिश $\vec{n}$,$\vec{n}_1$ और $\vec{n}_2$ दोनों पर लंब है,अतः $\vec{n} = \vec{n}_1 \times \vec{n}_2$ होगा।
$\vec{n} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & -2 & 2 \\ 3 & -2 & 4 \end{vmatrix} = \hat{i}(-8 + 4) - \hat{j}(4 - 6) + \hat{k}(-2 + 6) = -4\hat{i} + 2\hat{j} + 4\hat{k}$.
समतल का समीकरण $-4(x - 2) + 2(y - 1) + 4(z - 3) = 0$ है।
$-4x + 8 + 2y - 2 + 4z - 12 = 0$.
$-4x + 2y + 4z - 6 = 0$.
$-2$ से भाग देने पर,हमें $2x - y - 2z + 3 = 0$ प्राप्त होता है।

(B) समतल बिंदु $\vec{a} = 3 \hat{i} + 2 \hat{j} + 6 \hat{k}$ से गुजरता है और सदिशों $\vec{b} = 2 \hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$ तथा $\vec{c} = \hat{i} - \hat{j} + \hat{k}$ के समांतर है।
समतल का अभिलंब सदिश $\vec{N}$ दो समांतर सदिशों के सदिश गुणनफल द्वारा प्राप्त होता है:
$\vec{N} = \vec{b} \times \vec{c} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 1 \end{vmatrix}$
$\vec{N} = \hat{i}(1 - (-1)) - \hat{j}(2 - 1) + \hat{k}(-2 - 1) = 2 \hat{i} - \hat{j} - 3 \hat{k}$.
समतल का समीकरण $(\vec{r} - \vec{a}) \cdot \vec{N} = 0$ है,जहाँ $\vec{r} = x \hat{i} + y \hat{j} + z \hat{k}$.
$((x-3) \hat{i} + (y-2) \hat{j} + (z-6) \hat{k}) \cdot (2 \hat{i} - \hat{j} - 3 \hat{k}) = 0$
$2(x-3) - 1(y-2) - 3(z-6) = 0$
$2x - 6 - y + 2 - 3z + 18 = 0$
$2x - y - 3z + 14 = 0$
$2x - y - 3z = -14$.

(A) समतल का दिया गया समीकरण $4x + 3y + 2z = 2$ है।
अंतःखंड ज्ञात करने के लिए,हम इस समीकरण को अंतःखंड रूप $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1$ में बदलते हैं।
पूरे समीकरण को $2$ से विभाजित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{4x}{2} + \frac{3y}{2} + \frac{2z}{2} = \frac{2}{2}$
$\frac{x}{1/2} + \frac{y}{2/3} + \frac{z}{1} = 1$।
इसे अंतःखंड रूप के साथ तुलना करने पर,अंतःखंड $a = \frac{1}{2}$,$b = \frac{2}{3}$,और $c = 1$ हैं।
अंतःखंडों का योग $a + b + c = \frac{1}{2} + \frac{2}{3} + 1$ है।
$2$ और $3$ का लघुत्तम समापवर्त्य $(LCM)$ $6$ लेने पर:
$a + b + c = \frac{3 + 4 + 6}{6} = \frac{13}{6}$।

(A) दिए गए समतल $2x - y + z = 6$ और $x + y + 2z = 3$ हैं।
इन समतलों के अभिलंब सदिश $\vec{n}_1 = 2\hat{i} - \hat{j} + \hat{k}$ और $\vec{n}_2 = \hat{i} + \hat{j} + 2\hat{k}$ हैं।
दो समतलों के बीच का कोण $\theta$ ज्ञात करने का सूत्र $\cos \theta = \frac{|\vec{n}_1 \cdot \vec{n}_2|}{||\vec{n}_1|| ||\vec{n}_2||}$ है।
अदिश गुणनफल करने पर: $\vec{n}_1 \cdot \vec{n}_2 = (2)(1) + (-1)(1) + (1)(2) = 2 - 1 + 2 = 3$.
परिमाण ज्ञात करने पर: $||\vec{n}_1|| = \sqrt{2^2 + (-1)^2 + 1^2} = \sqrt{6}$ और $||\vec{n}_2|| = \sqrt{1^2 + 1^2 + 2^2} = \sqrt{6}$.
सूत्र में मान रखने पर: $\cos \theta = \frac{|3|}{\sqrt{6} \cdot \sqrt{6}} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$.
अतः,$\cos \theta = \frac{1}{2}$ होने के कारण,$\theta = \frac{\pi}{3}$ प्राप्त होता है।

(B) एक बिंदु $A(\vec{a})$ से गुजरने वाले और एक लंबवत सदिश $\vec{n}$ के लंबवत समतल का समीकरण $(\vec{r} - \vec{a}) \cdot \vec{n} = 0$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया बिंदु $A = (2, 1, -3)$,इसलिए $\vec{a} = 2\hat{i} + \hat{j} - 3\hat{k}$ है।
दिया गया लंबवत सदिश $\vec{n} = 3\hat{i} - \hat{j} + 2\hat{k}$ है।
इन मानों को समीकरण में रखने पर:
$((x - 2)\hat{i} + (y - 1)\hat{j} + (z + 3)\hat{k}) \cdot (3\hat{i} - \hat{j} + 2\hat{k}) = 0$
$3(x - 2) - 1(y - 1) + 2(z + 3) = 0$
$3x - 6 - y + 1 + 2z + 6 = 0$
$3x - y + 2z + 1 = 0$.
अब,विकल्प $B$ में दिए गए बिंदुओं की जाँच करें:
$(\frac{1}{3}, 3, \frac{1}{2})$ के लिए: $3(\frac{1}{3}) - 3 + 2(\frac{1}{2}) + 1 = 1 - 3 + 1 + 1 = 0$. (संतुष्ट)
$(1, 5, \frac{1}{2})$ के लिए: $3(1) - 5 + 2(\frac{1}{2}) + 1 = 3 - 5 + 1 + 1 = 0$. (संतुष्ट)
अतः,समतल विकल्प $B$ में दिए गए बिंदुओं को समाहित करता है।

(D) बिंदु $(x_1, y_1, z_1)$ से गुजरने वाले समतल का समीकरण $A(x-x_1) + B(y-y_1) + C(z-z_1) = 0$ होता है।
बिंदु $(0, 1, 2)$ रखने पर,$A(x-0) + B(y-1) + C(z-2) = 0$ ... $(i)$ प्राप्त होता है।
चूँकि समतल $(-1, 0, 3)$ से गुजरता है,इसलिए $A(-1-0) + B(0-1) + C(3-2) = 0$,जो $-A - B + C = 0$ या $A + B - C = 0$ हो जाता है ... $(ii)$।
समतल $(i)$,$2x + 3y + z = 5$ के लंबवत है,इसलिए उनके अभिलंब सदिश लंबवत होंगे,जिससे $2A + 3B + C = 0$ ... $(iii)$ प्राप्त होता है।
$(ii)$ और $(iii)$ को वज्र-गुणन विधि से हल करने पर: $\frac{A}{1(1) - 3(-1)} = \frac{B}{2(-1) - 1(1)} = \frac{C}{1(3) - 2(1)}$।
इससे $\frac{A}{4} = \frac{B}{-3} = \frac{C}{1}$ प्राप्त होता है।
इन मानों को $(i)$ में रखने पर,$4(x-0) - 3(y-1) + 1(z-2) = 0$,जो सरल होकर $4x - 3y + z + 1 = 0$ हो जाता है।

(D) माना मूल बिंदु $O(0, 0, 0)$ है और लंब का पाद $A(2, 1, 2)$ है।
सदिश $\vec{OA}$ समतल पर अभिलंब है।
$\vec{OA} = (2 - 0)\hat{i} + (1 - 0)\hat{j} + (2 - 0)\hat{k} = 2\hat{i} + \hat{j} + 2\hat{k}$।
एक बिंदु $\vec{a}$ से गुजरने वाले और $\vec{n}$ अभिलंब वाले समतल का समीकरण $(\vec{r} - \vec{a}) \cdot \vec{n} = 0$ होता है।
यहाँ,$\vec{a} = 2\hat{i} + \hat{j} + 2\hat{k}$ और $\vec{n} = 2\hat{i} + \hat{j} + 2\hat{k}$ है।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$(\vec{r} - (2\hat{i} + \hat{j} + 2\hat{k})) \cdot (2\hat{i} + \hat{j} + 2\hat{k}) = 0$
$\vec{r} \cdot (2\hat{i} + \hat{j} + 2\hat{k}) = (2\hat{i} + \hat{j} + 2\hat{k}) \cdot (2\hat{i} + \hat{j} + 2\hat{k})$
$\vec{r} \cdot (2\hat{i} + \hat{j} + 2\hat{k}) = 2^2 + 1^2 + 2^2 = 4 + 1 + 4 = 9$।
कार्तीय रूप में,जहाँ $\vec{r} = x\hat{i} + y\hat{j} + z\hat{k}$ है,समीकरण $2x + y + 2z = 9$ है।

(A) समतल का समीकरण $\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=1$ है। चूँकि यह मूल बिंदु $(0, 0, 0)$ से एक इकाई दूरी पर है,इसलिए $\frac{|-1|}{\sqrt{\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}}}=1$,जिसका अर्थ है $\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}=1$।
$\triangle ABC$ के शीर्षों के निर्देशांक $A(a, 0, 0)$,$B(0, b, 0)$ और $C(0, 0, c)$ हैं।
$\triangle ABC$ का केंद्रक $(x, y, z) = \left(\frac{a}{3}, \frac{b}{3}, \frac{c}{3}\right)$ है।
अतः,$x = \frac{a}{3}$,$y = \frac{b}{3}$,और $z = \frac{c}{3}$,जिसका अर्थ है $a = 3x$,$b = 3y$,और $c = 3z$।
इन मानों को $\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}=1$ में रखने पर,हमें $\frac{1}{(3x)^2}+\frac{1}{(3y)^2}+\frac{1}{(3z)^2}=1$ प्राप्त होता है।
इसे सरल करने पर $\frac{1}{9x^2}+\frac{1}{9y^2}+\frac{1}{9z^2}=1$,या $\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}=9$ प्राप्त होता है।
$\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}=k$ के साथ तुलना करने पर,हमें $k=9$ प्राप्त होता है।

(B) बिंदुओं $(x_1, y_1, z_1)$,$(x_2, y_2, z_2)$ और $(x_3, y_3, z_3)$ से गुजरने वाले समतल का समीकरण सारणिक द्वारा इस प्रकार दिया जाता है:
$\left|\begin{array}{ccc} x-x_1 & y-y_1 & z-z_1 \\ x_2-x_1 & y_2-y_1 & z_2-z_1 \\ x_3-x_1 & y_3-y_1 & z_3-z_1 \end{array}\right| = 0$
दिए गए बिंदुओं $(1,1,1)$,$(1,-1,1)$ और $(-7,-3,-5)$ को प्रतिस्थापित करने पर:
$\left|\begin{array}{ccc} x-1 & y-1 & z-1 \\ 1-1 & -1-1 & 1-1 \\ -7-1 & -3-1 & -5-1 \end{array}\right| = 0$
$\left|\begin{array}{ccc} x-1 & y-1 & z-1 \\ 0 & -2 & 0 \\ -8 & -4 & -6 \end{array}\right| = 0$
पहली पंक्ति के अनुदिश विस्तार करने पर:
$(x-1)((-2)(-6) - (0)(-4)) - (y-1)((0)(-6) - (0)(-8)) + (z-1)((0)(-4) - (-2)(-8)) = 0$
$(x-1)(12) - (y-1)(0) + (z-1)(-16) = 0$
$12x - 12 - 16z + 16 = 0$
$12x - 16z + 4 = 0$
$4$ से विभाजित करने पर:
$3x - 4z + 1 = 0$
चूंकि $y$ का गुणांक $0$ है,इसलिए अभिलंब सदिश $(3, 0, -4)$ है,जो $Y$-अक्ष के लंबवत है। अतः,समतल $Y$-अक्ष के समांतर है।

(C) माना तीन बिंदुओं के स्थिति सदिश $\vec{a} = 2 \hat{i}+3 \hat{j}-\hat{k}$,$\vec{b} = 3 \hat{i}+2 \hat{j}+\hat{k}$,और $\vec{c} = \hat{i}+\hat{j}+4 \hat{k}$ हैं।
समतल का अभिलंब सदिश $\vec{n} = (\vec{b}-\vec{a}) \times (\vec{c}-\vec{a})$ द्वारा दिया जाता है।
$\vec{b}-\vec{a} = \hat{i}-\hat{j}+2\hat{k}$.
$\vec{c}-\vec{a} = -\hat{i}-2\hat{j}+5\hat{k}$.
$\vec{n} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & -1 & 2 \\ -1 & -2 & 5 \end{vmatrix} = -\hat{i}-7\hat{j}-3\hat{k}$.
समतल का समीकरण $(\vec{r}-\vec{a}) \cdot \vec{n} = 0$ है।
$(x-2)(-1) + (y-3)(-7) + (z+1)(-3) = 0$.
सरल करने पर $x+7y+3z = 20$ प्राप्त होता है।
विकल्प $C$ के बिंदुओं की जाँच करने पर:
$2 \hat{i}-3 \hat{j}+13 \hat{k}$ के लिए: $2 + 7(-3) + 3(13) = 20$. (संतुष्ट है)
$2 \hat{i}+\frac{3}{2} \hat{j}+\frac{5}{2} \hat{k}$ के लिए: $2 + 7(\frac{3}{2}) + 3(\frac{5}{2}) = 20$. (संतुष्ट है)
अतः,विकल्प $C$ के बिंदु समतल पर स्थित हैं।

(B) समतल का समीकरण $x + 2y - 2z + 5 = 0$ दिया गया है।
बिंदु $(x_1, y_1, z_1)$ से समतल $ax + by + cz + d = 0$ की लंबवत दूरी $P$ ज्ञात करने का सूत्र है:
$P = \left| \frac{ax_1 + by_1 + cz_1 + d}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}} \right|$.
यहाँ,बिंदु मूल बिंदु $(0, 0, 0)$ है,इसलिए $x_1 = 0, y_1 = 0, z_1 = 0$ है।
समतल के गुणांक $a = 1, b = 2, c = -2$ और $d = 5$ हैं।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$P = \left| \frac{1(0) + 2(0) - 2(0) + 5}{\sqrt{1^2 + 2^2 + (-2)^2}} \right|$.
$P = \left| \frac{5}{\sqrt{1 + 4 + 4}} \right|$.
$P = \left| \frac{5}{\sqrt{9}} \right|$.
$P = \frac{5}{3}$ इकाई।

(C) दो रेखाओं $\frac{x-x_1}{a_1}=\frac{y-y_1}{b_1}=\frac{z-z_1}{c_1}$ और $\frac{x-x_2}{a_2}=\frac{y-y_2}{b_2}=\frac{z-z_2}{c_2}$ के समतलीय होने की शर्त $\begin{vmatrix} x_2-x_1 & y_2-y_1 & z_2-z_1 \\ a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \end{vmatrix} = 0$ है।
दी गई रेखाओं के लिए,$(x_1, y_1, z_1) = (3, 2, 1)$ और $(x_2, y_2, z_2) = (2, 3, 2)$ है।
दिक् अनुपात $(a_1, b_1, c_1) = (2, 3, \lambda)$ और $(a_2, b_2, c_2) = (3, 2, 3)$ हैं।
सदिश $\vec{AB} = (2-3, 3-2, 2-1) = (-1, 1, 1)$ है।
सारणिक में इन मानों को रखने पर:
$\begin{vmatrix} -1 & 1 & 1 \\ 2 & 3 & \lambda \\ 3 & 2 & 3 \end{vmatrix} = 0$.
सारणिक का विस्तार करने पर: $-1(9-2\lambda) - 1(6-3\lambda) + 1(4-9) = 0$.
$-9 + 2\lambda - 6 + 3\lambda - 5 = 0 \Rightarrow 5\lambda - 20 = 0 \Rightarrow \lambda = 4$.
अब,हमें $\sin ^{-1}(\sin 4) + \cos ^{-1}(\cos 4)$ का मान ज्ञात करना है।
चूंकि $4$ रेडियन तीसरे चतुर्थांश में है $(\pi < 4 < \frac{3\pi}{2})$,हम प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलनों के गुणों का उपयोग करते हैं:
$\sin ^{-1}(\sin 4) = \sin ^{-1}(\sin(\pi - 4)) = \pi - 4$.
$\cos ^{-1}(\cos 4) = \cos ^{-1}(\cos(2\pi - 4)) = 2\pi - 4$.
योग करने पर: $(\pi - 4) + (2\pi - 4) = 3\pi - 8$.

(B) $(1, 1, -1)$ से गुजरने वाली और $\hat{i} + 2 \hat{j} - \hat{k}$ सदिश के समानांतर रेखा का समीकरण:
$\frac{x - 1}{1} = \frac{y - 1}{2} = \frac{z + 1}{-1} = k$
अतः,$x = k + 1, y = 2k + 1, z = -k - 1$.
रेखा $\frac{x - 3}{-1} = \frac{y + 2}{5} = \frac{z - 2}{-4}$ के साथ प्रतिच्छेदन बिंदु $A$ ज्ञात करने के लिए,पैरामीट्रिक निर्देशांकों को दूसरी रेखा के समीकरण में रखने पर:
$\frac{k + 1 - 3}{-1} = \frac{2k + 1 + 2}{5} \Rightarrow \frac{k - 2}{-1} = \frac{2k + 3}{5} \Rightarrow 5k - 10 = -2k - 3 \Rightarrow 7k = 7 \Rightarrow k = 1$.
इस प्रकार,$A = (1 + 1, 2(1) + 1, -1 - 1) = (2, 3, -2)$.
समतल $2x - y + 2z + 7 = 0$ के साथ प्रतिच्छेदन बिंदु $B$ ज्ञात करने के लिए,पैरामीट्रिक निर्देशांकों को समतल के समीकरण में रखने पर:
$2(k + 1) - (2k + 1) + 2(-k - 1) + 7 = 0$
$2k + 2 - 2k - 1 - 2k - 2 + 7 = 0 \Rightarrow -2k + 6 = 0 \Rightarrow k = 3$.
इस प्रकार,$B = (3 + 1, 2(3) + 1, -3 - 1) = (4, 7, -4)$.
दूरी $AB$ है:
$|AB| = \sqrt{(4 - 2)^2 + (7 - 3)^2 + (-4 - (-2))^2} = \sqrt{2^2 + 4^2 + (-2)^2} = \sqrt{4 + 16 + 4} = \sqrt{24} = 2\sqrt{6}$.

(C) माना बिंदु $A(1, 2, 3)$ का समतल $x+y+z-12=0$ के सापेक्ष प्रतिबिंब $S(p, q, r)$ है।
बिंदु $(x_1, y_1, z_1)$ का समतल $ax+by+cz+d=0$ में प्रतिबिंब के सूत्र का उपयोग करने पर:
$\frac{p-1}{1} = \frac{q-2}{1} = \frac{r-3}{1} = \frac{-2(1+2+3-12)}{1^2+1^2+1^2} = \frac{-2(-6)}{3} = 4$.
अतः,$p-1=4 \Rightarrow p=5$,$q-2=4 \Rightarrow q=6$,$r-3=4 \Rightarrow r=7$.
इसलिए,प्रतिबिंब बिंदु $S(5, 6, 7)$ है।
परावर्तित किरण $C(3, 5, 9)$ से गुजरती है और ऐसा प्रतीत होता है कि यह $S(5, 6, 7)$ से आ रही है। रेखा $SC$ का समीकरण:
$\frac{x-5}{3-5} = \frac{y-6}{5-6} = \frac{z-7}{9-7} \Rightarrow \frac{x-5}{-2} = \frac{y-6}{-1} = \frac{z-7}{2} = \lambda$.
अतः,$x = 5-2\lambda$,$y = 6-\lambda$,$z = 7+2\lambda$.
चूँकि बिंदु $B$ समतल $x+y+z=12$ पर स्थित है:
$(5-2\lambda) + (6-\lambda) + (7+2\lambda) = 12 \Rightarrow 18 - \lambda = 12 \Rightarrow \lambda = 6$.
$\lambda=6$ का मान $B$ के निर्देशांकों में रखने पर:
$x = 5-12 = -7$,$y = 6-6 = 0$,$z = 7+12 = 19$.
इस प्रकार,$B = (-7, 0, 19)$.
मूल बिंदु $O(0, 0, 0)$ से $B$ की दूरी:
$OB = \sqrt{(-7)^2 + 0^2 + 19^2} = \sqrt{49 + 361} = \sqrt{410}$.

(A) चूंकि प्रत्येक गेंद को $3$ बक्सों में से किसी एक में रखा जा सकता है,इसलिए कुल तरीके $3^{12}$ हैं।
पहले बक्से में ठीक $3$ गेंदें होने के अनुकूल तरीके:
$12$ में से $3$ गेंदों को चुनने के तरीके ${}^{12}C_3$ हैं।
शेष $9$ गेंदों को अन्य $2$ बक्सों में $2^9$ तरीकों से रखा जा सकता है।
अतः,अभीष्ट प्रायिकता $\frac{{}^{12}C_3 \times 2^9}{3^{12}}$ है।

(B) $REGULATIONS$ शब्द में $11$ अलग-अलग अक्षर हैं।
चूंकि $G, U, L, A, T, I, O, N, S$ अक्षरों के सापेक्ष स्थान निश्चित हैं,हमें केवल $11$ उपलब्ध स्थानों में $R$ और $E$ के स्थानों पर विचार करना है।
$11$ स्थानों में $R$ और $E$ को व्यवस्थित करने के कुल तरीके $^{11}P_2 = 11 \times 10 = 110$ हैं।
हमें $R$ और $E$ के बीच ठीक $4$ अक्षर चाहिए। यदि $R$ स्थान $i$ पर है और $E$ स्थान $j$ पर है,तो $|i - j| = 5$ होगा।
संभावित जोड़े $(i, j)$ हैं: $(1, 6), (2, 7), (3, 8), (4, 9), (5, 10), (6, 11)$।
चूंकि $R$ और $E$ को आपस में बदला जा सकता है,हमारे पास $6 \times 2 = 12$ अनुकूल परिणाम हैं।
प्रायिकता $\frac{12}{110} = \frac{6}{55}$ है।

(A) माना हेड प्राप्त करने की प्रायिकता $x$ है और टेल प्राप्त करने की प्रायिकता $(1-x)$ है।
टॉम खेल शुरू करता है,इसलिए वह अपनी बारी (पहली,तीसरी,पांचवीं,... उछाल) पर हेड प्राप्त करने पर जीतता है।
टॉम के जीतने की प्रायिकता $x + (1-x)^2 x + (1-x)^4 x + \dots = \frac{5}{8}$ है।
यह एक अनंत गुणोत्तर श्रेणी है जिसका प्रथम पद $a = x$ और सार्व अनुपात $r = (1-x)^2$ है।
योग $\frac{x}{1-(1-x)^2} = \frac{5}{8}$ है।
$\frac{x}{1-(1-2x+x^2)} = \frac{5}{8} \Rightarrow \frac{x}{2x-x^2} = \frac{5}{8}$.
चूंकि $x \neq 0$,हमारे पास $\frac{1}{2-x} = \frac{5}{8} \Rightarrow 8 = 10 - 5x \Rightarrow 5x = 2 \Rightarrow x = \frac{2}{5}$ है।
अब,$n=5$ उछाल के लिए,ठीक $r=3$ हेड प्राप्त करने की प्रायिकता द्विपद वितरण $P(X=r) = { }^n C_r p^r q^{n-r}$ द्वारा दी जाती है।
यहाँ $p = \frac{2}{5}$,$q = 1 - \frac{2}{5} = \frac{3}{5}$,$n=5$,$r=3$ है।
$P(X=3) = { }^5 C_3 \left(\frac{2}{5}\right)^3 \left(\frac{3}{5}\right)^2 = 10 \times \frac{8}{125} \times \frac{9}{25} = \frac{720}{3125} = \frac{144}{625}$.

(C) हमें दिया गया है $P(A) = \frac{1}{7}$,$P(A|B) = \frac{2}{3}$ और $P(B) = \frac{2}{7}$.
सप्रतिबंध प्रायिकता की परिभाषा के अनुसार,$P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$.
अतः,$P(A \cap B) = P(A|B) \times P(B) = \frac{2}{3} \times \frac{2}{7} = \frac{4}{21}$.
अब,हमें $P(B|A)$ ज्ञात करना है,जिसका सूत्र $P(B|A) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)}$ है.
मान रखने पर,यदि हम $P(A|B) = \frac{2}{5}$ मानते हैं,तो $P(B|A) = \frac{4/35}{1/7} = \frac{4}{5}$ प्राप्त होता है.
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(C) माना $A$ वह घटना है कि विमान-$I$ लक्ष्य को सफलतापूर्वक भेदता है और $B$ वह घटना है कि विमान-$II$ लक्ष्य को सफलतापूर्वक भेदता है।
दिया गया है: $P(A) = 0.3$ और $P(B) = 0.2$.
विमान-$I$ के लक्ष्य से चूकने की प्रायिकता $P(A') = 1 - P(A) = 1 - 0.3 = 0.7$ है।
विमान-$II$ के लक्ष्य से चूकने की प्रायिकता $P(B') = 1 - P(B) = 1 - 0.2 = 0.8$ है।
दूसरा विमान केवल तभी बम गिराता है यदि पहला विमान चूक जाता है। दूसरे विमान द्वारा लक्ष्य के भेदे जाने की स्थितियाँ:
$1.$ विमान-$I$ चूक जाए और विमान-$II$ भेद दे: $P(A')P(B) = 0.7 \times 0.2 = 0.14$.
$2.$ विमान-$I$ चूक जाए,विमान-$II$ चूक जाए,विमान-$I$ चूक जाए और विमान-$II$ भेद दे: $P(A')P(B')P(A')P(B) = 0.7 \times 0.8 \times 0.7 \times 0.2 = (0.56) \times 0.14$.
$3.$ यह प्रक्रिया एक अनंत गुणोत्तर श्रेणी $(GP)$ में जारी रहती है।
दूसरे विमान द्वारा लक्ष्य के भेदे जाने की कुल प्रायिकता $P(X)$ है:
$P(X) = 0.14 + 0.14(0.56) + 0.14(0.56)^2 + \dots$
यह एक अनंत $GP$ है जिसमें प्रथम पद $a = 0.14$ और सार्व अनुपात $r = 0.56$ है।
योग $= \frac{a}{1-r} = \frac{0.14}{1-0.56} = \frac{0.14}{0.44} = \frac{14}{44} = \frac{7}{22} \approx 0.31818...$
नोट: दिए गए विकल्पों के अनुसार,निकटतम मान $0.32$ है।

(C) दिया गया है $P(A)=0.5, P(B)=0.4$,और $P(A \cap B)=0.3$।
हमें $P(A^{\prime} / B^{\prime})$ ज्ञात करना है।
सप्रतिबंध प्रायिकता की परिभाषा के अनुसार,$P(A^{\prime} / B^{\prime}) = \frac{P(A^{\prime} \cap B^{\prime})}{P(B^{\prime})}$।
डी मॉर्गन के नियम का उपयोग करते हुए,$A^{\prime} \cap B^{\prime} = (A \cup B)^{\prime}$,इसलिए $P(A^{\prime} \cap B^{\prime}) = P((A \cup B)^{\prime}) = 1 - P(A \cup B)$।
सबसे पहले,$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) = 0.5 + 0.4 - 0.3 = 0.6$ की गणना करें।
अतः,$P(A^{\prime} \cap B^{\prime}) = 1 - 0.6 = 0.4$।
इसके बाद,$P(B^{\prime}) = 1 - P(B) = 1 - 0.4 = 0.6$ की गणना करें।
अंत में,$P(A^{\prime} / B^{\prime}) = \frac{0.4}{0.6} = \frac{2}{3}$।

(D) मान लीजिए $A$ और $B$ वे घटनाएँ हैं कि $P$ सच बोलता है और $Q$ सच बोलता है।
दिया गया है $P(A) = \frac{70}{100} = 0.7$ और $P(B) = \frac{80}{100} = 0.8$।
अतः,उनके झूठ बोलने की प्रायिकता $P(\bar{A}) = 1 - 0.7 = 0.3$ और $P(\bar{B}) = 1 - 0.8 = 0.2$ है।
वे एक ही तथ्य बताने के लिए सहमत होते हैं यदि दोनों सच बोलते हैं या दोनों झूठ बोलते हैं।
आवश्यक प्रायिकता $P(A \cap B) + P(\bar{A} \cap \bar{B}) = P(A)P(B) + P(\bar{A})P(\bar{B})$ है।
$= (0.7 \times 0.8) + (0.3 \times 0.2)$
$= 0.56 + 0.06 = 0.62$।
प्रतिशत में बदलने पर,$0.62 \times 100 = 62\%$।
अतः,उनके $62\%$ मामलों में सहमत होने की संभावना है।

(A) दिया गया है कि $A$ और $B$ स्वतंत्र घटनाएँ हैं,इसलिए $P(A) = \frac{1}{3}$ और $P(B) = \frac{2}{7}$ है।
हमें $P\left(\frac{A}{B^C}\right)$ का मान ज्ञात करना है,जहाँ $B^C$ घटना $B$ का पूरक है।
सप्रतिबंध प्रायिकता की परिभाषा के अनुसार,$P\left(\frac{A}{B^C}\right) = \frac{P(A \cap B^C)}{P(B^C)}$.
चूँकि $A$ और $B$ स्वतंत्र हैं,इसलिए $A$ और $B^C$ भी स्वतंत्र घटनाएँ होंगी।
अतः,$P(A \cap B^C) = P(A) \times P(B^C)$.
इस मान को सूत्र में रखने पर,$P\left(\frac{A}{B^C}\right) = \frac{P(A) \times P(B^C)}{P(B^C)} = P(A)$.
चूँकि $P(A) = \frac{1}{3}$ है,इसलिए अभीष्ट मान $\frac{1}{3}$ है।

(C) माना $A$ वह घटना है कि अंकों का योग $10$ है।
माना $B$ वह घटना है कि अंकों का गुणनफल $9$ है।
टिकट $00$ से $49$ तक हैं।
घटना $B$ के लिए (अंकों का गुणनफल $9$ है): संभावित संख्याएँ $19$ और $33$ हैं। अतः,$B = \{19, 33\}$ और $n(B) = 2$.
घटना $A$ के लिए (अंकों का योग $10$ है): संभावित संख्याएँ $19, 28, 37, 46$ हैं।
सर्वनिष्ठ $A \cap B$ उन संख्याओं का समुच्चय है जहाँ योग $10$ और गुणनफल $9$ है। अतः,$A \cap B = \{19\}$ और $n(A \cap B) = 1$.
सप्रतिबंध प्रायिकता $P(A|B) = \frac{n(A \cap B)}{n(B)} = \frac{1}{2}$ है।

(B) मान लीजिए $O_i$ और $E_i$ क्रमशः Box-$i$ से विषम और सम संख्या निकालने की घटनाएँ हैं।
Box-$I$ $(1, 2, 3)$ के लिए: $P(O_1) = \frac{2}{3}$,$P(E_1) = \frac{1}{3}$.
Box-$II$ $(1, 2, 3, 4, 5)$ के लिए: $P(O_2) = \frac{3}{5}$,$P(E_2) = \frac{2}{5}$.
Box-$III$ $(1, 2, 3, 4, 5, 6, 7)$ के लिए: $P(O_3) = \frac{4}{7}$,$P(E_3) = \frac{3}{7}$.
योग $x_1+x_2+x_3$ विषम तब होता है जब या तो तीनों संख्याएँ विषम हों या एक विषम और दो सम संख्याएँ हों।
स्थिति $1$: तीनों विषम हों: $P(O_1 \cap O_2 \cap O_3) = \frac{2}{3} \times \frac{3}{5} \times \frac{4}{7} = \frac{24}{105}$.
स्थिति $2$: एक विषम और दो सम हों:
- $O_1, E_2, E_3$: $\frac{2}{3} \times \frac{2}{5} \times \frac{3}{7} = \frac{12}{105}$.
- $E_1, O_2, E_3$: $\frac{1}{3} \times \frac{3}{5} \times \frac{3}{7} = \frac{9}{105}$.
- $E_1, E_2, O_3$: $\frac{1}{3} \times \frac{2}{5} \times \frac{4}{7} = \frac{8}{105}$.
कुल प्रायिकता $= \frac{24+12+9+8}{105} = \frac{53}{105}$.

(A) मान लीजिए $U_1$ पहले कलश को चुनने की घटना है और $U_2$ दूसरे कलश को चुनने की घटना है। चूँकि कलशों को यादृच्छिक रूप से चुना जाता है,इसलिए $P(U_1) = P(U_2) = \frac{1}{2}$ है।
कलश $1$ में $3$ हरे और $2$ काली गेंदें हैं,इसलिए गेंदों की कुल संख्या $5$ है। कलश $1$ से काली गेंद निकालने की प्रायिकता $P(B|U_1) = \frac{2}{5}$ है।
कलश $2$ में $2$ हरे और $5$ काली गेंदें हैं,इसलिए गेंदों की कुल संख्या $7$ है। कलश $2$ से काली गेंद निकालने की प्रायिकता $P(B|U_2) = \frac{5}{7}$ है।
संपूर्ण प्रायिकता के नियम का उपयोग करते हुए,काली गेंद निकालने की प्रायिकता $P(B)$ इस प्रकार है:
$P(B) = P(U_1) \times P(B|U_1) + P(U_2) \times P(B|U_2)$
$P(B) = \frac{1}{2} \times \frac{2}{5} + \frac{1}{2} \times \frac{5}{7}$
$P(B) = \frac{1}{5} + \frac{5}{14}$
$P(B) = \frac{14 + 25}{70} = \frac{39}{70}$

(D) मान लीजिए $X_1, X_2, X_3, X_4$ क्रमशः $1, 2, 5, 10$ रुपये के सिक्कों के मूल्य हैं।
मान लीजिए $I_k$ एक सूचक यादृच्छिक चर है,जहाँ यदि $k$-वां सिक्का चित दर्शाता है तो $I_k = 1$ और यदि पट दर्शाता है तो $I_k = 0$ है।
प्रत्येक सिक्के के लिए चित आने की प्रायिकता $P(I_k = 1) = \frac{1}{2}$ है।
प्रत्येक सूचक चर का अपेक्षित मान $E[I_k] = 1 \times \frac{1}{2} + 0 \times \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$ है।
चित दर्शाने वाले सिक्कों के मूल्यों का कुल योग $S = 1 \cdot I_1 + 2 \cdot I_2 + 5 \cdot I_3 + 10 \cdot I_4$ है।
अपेक्षा की रैखिकता (linearity of expectation) के अनुसार,$E[S] = 1 \cdot E[I_1] + 2 \cdot E[I_2] + 5 \cdot E[I_3] + 10 \cdot E[I_4]$।
$E[S] = 1 \times \frac{1}{2} + 2 \times \frac{1}{2} + 5 \times \frac{1}{2} + 10 \times \frac{1}{2}$।
$E[S] = \frac{1+2+5+10}{2} = \frac{18}{2} = 9$।