AP EAMCET 2021 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(A) प्रसरण माध्य के चारों ओर डेटा बिंदुओं के फैलाव को मापता है। नमूना प्रसरण का सूत्र $s^2 = \frac{\sum (x_i - \bar{x})^2}{n-1}$ है।
विकल्प $A$ $(1, 2, 3, 4, 5)$ के लिए: माध्य $\bar{x} = 3$। प्रसरण $= \frac{(1-3)^2 + (2-3)^2 + (3-3)^2 + (4-3)^2 + (5-3)^2}{4} = \frac{10}{4} = 2.5$।
विकल्प $B$ $(1, 1, 2, 3, 6)$ के लिए: माध्य $\bar{x} = 2.6$। प्रसरण $= \frac{17.2}{4} = 4.3$।
विकल्प $C$ $(1, 1, 2, 3, 5)$ के लिए: माध्य $\bar{x} = 2.4$। प्रसरण $= \frac{11.2}{4} = 2.8$।
विकल्प $D$ $(1, 1, 2, 2, 5)$ के लिए: माध्य $\bar{x} = 2.2$। प्रसरण $= \frac{10.8}{4} = 2.7$।
प्रसरणों $(2.5, 4.3, 2.8, 2.7)$ की तुलना करने पर,न्यूनतम प्रसरण $2.5$ है जो विकल्प $A$ के लिए है।

(C) समुच्चय $A$ के लिए: $\text{माध्य} = \frac{\sum x_i}{5} = 2 \Rightarrow \sum x_i = 10$.
प्रसरण $= \frac{1}{5} \sum x_i^2 - (\text{माध्य})^2 = 4$ $\Rightarrow \frac{1}{5} \sum x_i^2 - 4 = 4$ $\Rightarrow \sum x_i^2 = 40$.
समुच्चय $B$ के लिए: $\text{माध्य} = \frac{\sum y_i}{5} = 4 \Rightarrow \sum y_i = 20$.
प्रसरण $= \frac{1}{5} \sum y_i^2 - (\text{माध्य})^2 = 5$ $\Rightarrow \frac{1}{5} \sum y_i^2 - 16 = 5$ $\Rightarrow \sum y_i^2 = 105$.
$A \cup B$ के लिए: कुल अवयव $N = 10$.
संयुक्त माध्य $\bar{X} = \frac{\sum x_i + \sum y_i}{10} = \frac{10 + 20}{10} = 3$.
संयुक्त प्रसरण $= \frac{\sum x_i^2 + \sum y_i^2}{10} - (\bar{X})^2 = \frac{40 + 105}{10} - (3)^2 = 14.5 - 9 = 5.5$.

(D) दी गई जानकारी: $a, b, 8, 5, 10$.
माध्य $= \frac{a+b+8+5+10}{5} = 6$.
$\Rightarrow a+b+23 = 30$ $\Rightarrow a+b = 7$ ...$(i)$
प्रसरण $= \frac{\sum x_i^2}{n} - (\text{माध्य})^2 = 6.80$.
$\frac{a^2+b^2+8^2+5^2+10^2}{5} - 6^2 = 6.80$.
$\frac{a^2+b^2+64+25+100}{5} - 36 = 6.80$.
$\frac{a^2+b^2+189}{5} = 42.80$.
$a^2+b^2+189 = 214 \Rightarrow a^2+b^2 = 25$ ...(ii)
$(i)$ से,$b = 7-a$. (ii) में रखने पर:
$a^2 + (7-a)^2 = 25$.
$a^2 + 49 - 14a + a^2 = 25$.
$2a^2 - 14a + 24 = 0 \Rightarrow a^2 - 7a + 12 = 0$.
$(a-3)(a-4) = 0$.
अतः,$a=3, b=4$ या $a=4, b=3$.

(B) दिया गया है,$n=10$,$\Sigma x_i=60$,और $\Sigma x_i^2=1000$.
माध्य $\bar{x} = \frac{\Sigma x_i}{n} = \frac{60}{10} = 6$.
प्रसरण का सूत्र $\sigma^2 = \frac{\Sigma x_i^2}{n} - (\bar{x})^2$ है।
मान रखने पर:
$\sigma^2 = \frac{1000}{10} - (6)^2$
$\sigma^2 = 100 - 36$
$\sigma^2 = 64$.

(C) माना $d_i = x_i - 5$ है। हमें $\Sigma d_i = 3$ और $\Sigma d_i^2 = 43$ दिया गया है,जहाँ $n = 18$ है।
प्रसरण मूल बिंदु के परिवर्तन से अपरिवर्तित रहता है।
इसलिए,$x_i$ का प्रसरण $d_i$ के प्रसरण के समान है।
प्रसरण का सूत्र $\sigma^2 = \frac{\Sigma d_i^2}{n} - \left( \frac{\Sigma d_i}{n} \right)^2$ है।
मान रखने पर: $\sigma^2 = \frac{43}{18} - \left( \frac{3}{18} \right)^2$.
$\sigma^2 = \frac{43}{18} - \left( \frac{1}{6} \right)^2 = \frac{43}{18} - \frac{1}{36}$.
$\sigma^2 = \frac{86 - 1}{36} = \frac{85}{36} \approx 2.3611$.
अतः,प्रसरण लगभग $2.36$ है।

(C) दी गई संख्याओं का समूह: $2, 3, 2x, 11$ है। अवलोकनों की संख्या $n = 4$ है। मानक विचलन $(SD)$ $3.5 = \frac{7}{2}$ है।
सबसे पहले,माध्य $(\bar{x})$ की गणना करें:
$\bar{x} = \frac{2 + 3 + 2x + 11}{4} = \frac{16 + 2x}{4} = \frac{8 + x}{2}$।
प्रसरण $(V)$ का मान $V = (SD)^2 = (3.5)^2 = 12.25$ है।
प्रसरण का सूत्र $V = \frac{1}{n} \sum x_i^2 - (\bar{x})^2$ है।
$\sum x_i^2 = 2^2 + 3^2 + (2x)^2 + 11^2 = 4 + 9 + 4x^2 + 121 = 134 + 4x^2$।
$12.25 = \frac{134 + 4x^2}{4} - \left(\frac{8 + x}{2}\right)^2$।
$12.25 = \frac{134 + 4x^2 - 64 - 16x - x^2}{4}$।
$49 = 3x^2 - 16x + 70$।
$3x^2 - 16x + 21 = 0$।
द्विघात समीकरण $3x^2 - 9x - 7x + 21 = 0$ को हल करने पर:
$3x(x - 3) - 7(x - 3) = 0$।
$(3x - 7)(x - 3) = 0$।
अतः,$x = 3$ या $x = \frac{7}{3}$।

(D) मानक विचलन अपने माध्य (mean) के सापेक्ष डेटा सेट के फैलाव को मापता है। एक छोटी रेंज या क्रमिक मानों के बीच छोटा अंतर कम मानक विचलन का संकेत देता है।
दिए गए सेट के लिए:
$A: 10, 20, 30, 40$ (रेंज $= 30$)
$B: 2, 4, 6, 8$ (रेंज $= 6$)
$C: 3, 6, 9, 12$ (रेंज $= 9$)
$D: 1, 2, 3, 4$ (रेंज $= 3$)
चूंकि सेट $1, 2, 3, 4$ की रेंज सबसे छोटी है और मान एक-दूसरे के सबसे करीब हैं,इसलिए इसका मानक विचलन सबसे कम है।

(D) $n$ प्रेक्षणों का प्रसरण $\sigma^2 = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n x_i^2 - (\bar{x})^2$ सूत्र द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\bar{x}$ प्रेक्षणों का माध्य है।
दिया गया है कि माध्य $\bar{x} = 5$,प्रसरण $\sigma^2 = 0$,और $\sum_{i=1}^n x_i^2 = 400$ है।
इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:
$0 = \frac{1}{n}(400) - (5)^2$
$0 = \frac{400}{n} - 25$
$\frac{400}{n} = 25$
$n = \frac{400}{25} = 16$
अतः,$n$ का मान $16$ है।

(B) दिया गया है,$3 \sin A + 4 \cos B = 6$ और $4 \sin B + 3 \cos A = 1$।
दोनों समीकरणों का वर्ग करके जोड़ने पर:
$(3 \sin A + 4 \cos B)^2 + (4 \sin B + 3 \cos A)^2 = 6^2 + 1^2$
$9 \sin^2 A + 16 \cos^2 B + 24 \sin A \cos B + 16 \sin^2 B + 9 \cos^2 A + 24 \sin B \cos A = 37$
$9(\sin^2 A + \cos^2 A) + 16(\sin^2 B + \cos^2 B) + 24(\sin A \cos B + \cos A \sin B) = 37$
सर्वसमिका $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ और $\sin(A + B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B$ का उपयोग करने पर:
$9(1) + 16(1) + 24 \sin(A + B) = 37$
$25 + 24 \sin(A + B) = 37$
$24 \sin(A + B) = 12$
$\sin(A + B) = \frac{12}{24} = \frac{1}{2}$

(C) दिया है,$\frac{a+b+c}{a+c}+\frac{a+b+c}{b+c}=3$.
चूंकि $BC=a, AC=b, AB=c$,इसलिए $\frac{a+b+c}{a+c}+\frac{a+b+c}{b+c}=3$.
सरल करने पर,$a^2+b^2-c^2=ab$ प्राप्त होता है।
कोसाइन नियम के अनुसार,$\cos C = \frac{1}{2}$,अतः $C = 60^\circ = \frac{\pi}{3}$.
हमें $\tan \frac{\pi}{24}$ ज्ञात करना है।
$\tan \frac{\pi}{24} = \sqrt{6}-\sqrt{3}+\sqrt{2}-2$.

(B) दिया गया है कि $AD$,$\triangle ABC$ का शीर्षलंब है,इसलिए $\angle ADB = 90^{\circ}$।
$\triangle BDP$ में,$\angle BPD = 180^{\circ} - 90^{\circ} - \frac{B}{3} = 90^{\circ} - \frac{B}{3}$।
अतः,$\angle APB = 180^{\circ} - \angle BPD = 180^{\circ} - (90^{\circ} - \frac{B}{3}) = 90^{\circ} + \frac{B}{3}$।
$\triangle ABP$ में,ज्या नियम (sine rule) का उपयोग करने पर:
$\frac{AP}{\sin(\angle ABP)} = \frac{AB}{\sin(\angle APB)}$
$\frac{AP}{\sin(\frac{2B}{3})} = \frac{c}{\sin(90^{\circ} + \frac{B}{3})}$
$AP = \frac{c \sin(\frac{2B}{3})}{\cos(\frac{B}{3})}$
$AP = \frac{c \cdot 2 \sin(\frac{B}{3}) \cos(\frac{B}{3})}{\cos(\frac{B}{3})}$
$AP = 2c \sin \frac{B}{3}$

(C) दिया गया व्यंजक: $\operatorname{cosec} A(\sin B \cos C + \cos B \sin C)$
त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $\sin(B + C) = \sin B \cos C + \cos B \sin C$ का उपयोग करने पर,व्यंजक इस प्रकार होगा:
$\operatorname{cosec} A \cdot \sin(B + C)$
एक $\triangle ABC$ में,$A + B + C = \pi$ होता है,इसलिए $B + C = \pi - A$।
अतः,$\sin(B + C) = \sin(\pi - A) = \sin A$।
इस मान को व्यंजक में रखने पर:
$\operatorname{cosec} A \cdot \sin A = \frac{1}{\sin A} \cdot \sin A = 1$।

(B) दिया गया है $BC = a, CA = b$ और $AB = c$ है।
$a: b: c$ ज्ञात करने के लिए।
चूंकि त्रिभुज के कोणों का योग $180^{\circ}$ होता है,इसलिए:
$\angle ACB = 180^{\circ} - (\angle BAC + \angle ABC)$
$\angle ACB = 180^{\circ} - (30^{\circ} + 60^{\circ}) = 180^{\circ} - 90^{\circ} = 90^{\circ}$ है।
ज्या नियम (sine rule) का उपयोग करने पर:
$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}$
$\frac{a}{\sin 30^{\circ}} = \frac{b}{\sin 60^{\circ}} = \frac{c}{\sin 90^{\circ}}$
ज्या फलनों के मान रखने पर:
$\frac{a}{1/2} = \frac{b}{\sqrt{3}/2} = \frac{c}{1}$
$1/2$ से गुणा करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$a : b : c = \frac{1}{2} : \frac{\sqrt{3}}{2} : 1$
अनुपात को $2$ से गुणा करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$a : b : c = 1 : \sqrt{3} : 2$.

(C) $\triangle ABC$ में दिया गया है: $a=3, b=4$ और $\sin A = \frac{3}{4}$.
ज्या नियम (Sine Rule) का उपयोग करने पर: $\frac{\sin A}{a} = \frac{\sin B}{b}$.
मान रखने पर: $\frac{\frac{3}{4}}{3} = \frac{\sin B}{4}$.
$\Rightarrow \frac{3}{4 \times 3} = \frac{\sin B}{4}$.
$\Rightarrow \frac{1}{4} = \frac{\sin B}{4}$.
$\Rightarrow \sin B = 1$.
चूँकि $\sin B = 1$, इसलिए $B = 90^{\circ}$.
अतः, $\angle CBA = 90^{\circ}$.

(C) $\triangle ABC$ में दिया गया है कि $A=75^{\circ}$ और $B=45^{\circ}$ है।
त्रिभुज के कोण योग गुणधर्म का उपयोग करते हुए,$C = 180^{\circ} - (75^{\circ} + 45^{\circ}) = 60^{\circ}$।
ज्या नियम (Sine Rule) के अनुसार,$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = k$।
अतः,$b = k \sin 45^{\circ} = k \frac{1}{\sqrt{2}}$ और $c = k \sin 60^{\circ} = k \frac{\sqrt{3}}{2}$।
साथ ही,$a = k \sin 75^{\circ} = k \frac{\sqrt{3}+1}{2\sqrt{2}}$।
हमें $b + c\sqrt{2}$ का मान ज्ञात करना है।
$b + c\sqrt{2} = k \frac{1}{\sqrt{2}} + k \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \sqrt{2} = k \frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{2}}$।
$a$ के पदों में मान रखने पर,$b + c\sqrt{2} = \left( \frac{2\sqrt{2}a}{\sqrt{3}+1} \right) \left( \frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{2}} \right) = 2a$।

(D) दिया है: $a=6 \text{ cm}$,$b=10 \text{ cm}$,$c=14 \text{ cm}$.
कोज्या नियम (Law of Cosines) का उपयोग करने पर:
$\cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab} = \frac{6^2 + 10^2 - 14^2}{2 \times 6 \times 10} = \frac{36 + 100 - 196}{120} = \frac{-60}{120} = -\frac{1}{2}$.
चूंकि $\cos C = -\frac{1}{2}$,इसलिए $C = 120^{\circ}$,जो एक अधिक कोण है।
त्रिभुज के सभी कोणों का योग $180^{\circ}$ होता है।
अतः,शेष दो कोणों (जो न्यून कोण होंगे) का योग $A + B = 180^{\circ} - 120^{\circ} = 60^{\circ}$ है।

(A) माना त्रिभुज की भुजाएँ $a = x^2+x+1$,$b = 2x+1$,और $c = x^2-1$ हैं।
चूँकि $x^2+x+1$ सबसे बड़ी भुजा है,इसलिए सबसे बड़ा कोण $A$ भुजा $a$ के सम्मुख है।
कोज्या नियम (Law of Cosines) का उपयोग करने पर: $\cos A = \frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}$.
मान रखने पर: $\cos A = \frac{(2x+1)^2 + (x^2-1)^2 - (x^2+x+1)^2}{2(2x+1)(x^2-1)}$.
पदों का विस्तार करने पर: $\cos A = -\frac{1}{2}$.
अतः,$A = 120^{\circ}$।

(D) हमें व्यंजक $b^2 \sin 2C + c^2 \sin 2B$ दिया गया है।
द्वि-कोण सूत्र $\sin 2\theta = 2 \sin \theta \cos \theta$ का उपयोग करते हुए:
$= b^2 (2 \sin C \cos C) + c^2 (2 \sin B \cos B)$
ज्या (Sine) नियम के अनुसार,$\sin C = \frac{c}{2R}$ और $\sin B = \frac{b}{2R}$:
$= 2b^2 \left(\frac{c}{2R}\right) \cos C + 2c^2 \left(\frac{b}{2R}\right) \cos B$
$= \frac{b^2 c \cos C}{R} + \frac{c^2 b \cos B}{R} = \frac{bc}{R} (b \cos C + c \cos B)$
प्रोजेक्शन सूत्र के अनुसार,$b \cos C + c \cos B = a$:
$= \frac{bc}{R} (a) = \frac{abc}{R}$
चूंकि $R = \frac{abc}{4\Delta}$,इसलिए $\frac{abc}{R} = 4\Delta$ होगा।

(C) दिया है,$b = 2$,$c = 3$,और $\angle B = \frac{\pi}{6}$।
$\triangle ABC$ में कोसाइन नियम का उपयोग करने पर:
$\cos B = \frac{a^2 + c^2 - b^2}{2ac}$
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$\cos \frac{\pi}{6} = \frac{a^2 + 3^2 - 2^2}{2 \cdot a \cdot 3}$
$\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{a^2 + 9 - 4}{6a}$
$\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{a^2 + 5}{6a}$
दोनों पक्षों को $6a$ से गुणा करने पर:
$3\sqrt{3} a = a^2 + 5$
पदों को व्यवस्थित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$a^2 - 3\sqrt{3} a + 5 = 0$

(C) दिया गया है $2 \Delta^2 = \frac{a^2 b^2 c^2}{a^2+b^2+c^2}$.
संबंध $\Delta = \frac{abc}{4R}$ का उपयोग करने पर,$a^2 b^2 c^2 = 16 R^2 \Delta^2$ प्राप्त होता है।
इसे समीकरण में रखने पर: $2 \Delta^2 = \frac{16 R^2 \Delta^2}{a^2+b^2+c^2}$.
$2 \Delta^2$ से भाग देने पर,$a^2+b^2+c^2 = 8 R^2$ प्राप्त होता है।
$a = 2R \sin A$,$b = 2R \sin B$,और $c = 2R \sin C$ रखने पर,$4R^2(\sin^2 A + \sin^2 B + \sin^2 C) = 8R^2$ प्राप्त होता है।
अतः,$\sin^2 A + \sin^2 B + \sin^2 C = 2$.
सर्वसमिका $\sin^2 A + \sin^2 B + \sin^2 C = 2 + 2 \cos A \cos B \cos C$ का उपयोग करने पर,$2 + 2 \cos A \cos B \cos C = 2$ प्राप्त होता है।
इसका अर्थ है कि $2 \cos A \cos B \cos C = 0$,इसलिए $\cos A = 0$ या $\cos B = 0$ या $\cos C = 0$.
अतः,एक कोण $90^{\circ}$ होना चाहिए,जिसका अर्थ है कि यह एक समकोण त्रिभुज है।

(A) दिया गया व्यंजक: $(a-b)^2 \cos^2 \frac{C}{2} + (a+b)^2 \sin^2 \frac{C}{2}$
$= (a^2 - 2ab + b^2) \cos^2 \frac{C}{2} + (a^2 + 2ab + b^2) \sin^2 \frac{C}{2}$
$= (a^2 + b^2)(\cos^2 \frac{C}{2} + \sin^2 \frac{C}{2}) + 2ab(\sin^2 \frac{C}{2} - \cos^2 \frac{C}{2})$
चूंकि $\cos^2 \frac{C}{2} + \sin^2 \frac{C}{2} = 1$ और $\cos C = \cos^2 \frac{C}{2} - \sin^2 \frac{C}{2}$,इसलिए:
$= (a^2 + b^2)(1) - 2ab(\cos C)$
कोज्या नियम (Law of Cosines) के अनुसार,$\cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}$:
$= a^2 + b^2 - 2ab \left( \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab} \right)$
$= a^2 + b^2 - (a^2 + b^2 - c^2)$
$= c^2$

(A) दिया गया है: $a \tan A + b \tan B = (a + b) \tan \left(\frac{A+B}{2}\right)$
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर: $a \left[ \tan A - \tan \left(\frac{A+B}{2}\right) \right] = b \left[ \tan \left(\frac{A+B}{2}\right) - \tan B \right]$
$\tan x - \tan y = \frac{\sin(x-y)}{\cos x \cos y}$ का उपयोग करने पर:
$a \frac{\sin(A - \frac{A+B}{2})}{\cos A \cos \frac{A+B}{2}} = b \frac{\sin(\frac{A+B}{2} - B)}{\cos B \cos \frac{A+B}{2}}$
$a \frac{\sin(\frac{A-B}{2})}{\cos A} = b \frac{\sin(\frac{A-B}{2})}{\cos B}$
$\sin \left(\frac{A-B}{2}\right) \left( \frac{a}{\cos A} - \frac{b}{\cos B} \right) = 0$
चूंकि $\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = k$,इसलिए $a = k \sin A$ और $b = k \sin B$:
$\sin \left(\frac{A-B}{2}\right) (\tan A - \tan B) = 0$
यह दर्शाता है कि $\sin \left(\frac{A-B}{2}\right) = 0$ या $\tan A = \tan B$।
दोनों स्थितियों में,$A = B$ प्राप्त होता है।

(B) माना $\triangle ABC$ एक त्रिभुज है जिसमें $\angle A: \angle B: \angle C = 1: 2: 3$ है।
अनुपात स्थिरांक $x$ लेने पर,$\angle A = x, \angle B = 2x, \angle C = 3x$ है।
त्रिभुज के कोण योग गुणधर्म का उपयोग करने पर:
$\angle A + \angle B + \angle C = 180^{\circ}$
$x + 2x + 3x = 180^{\circ}$ $\Rightarrow 6x = 180^{\circ}$ $\Rightarrow x = 30^{\circ}$।
अतः,$\angle A = 30^{\circ}, \angle B = 60^{\circ}, \angle C = 90^{\circ}$ है।
ज्या नियम (sine rule) का उपयोग करने पर,$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}$:
$\frac{a}{\sin 30^{\circ}} = \frac{b}{\sin 60^{\circ}} = \frac{c}{\sin 90^{\circ}}$
$\frac{a}{1/2} = \frac{b}{\sqrt{3}/2} = \frac{c}{1}$
$1/2$ से गुणा करने पर,हमें $a: b: c = 1: \sqrt{3}: 2$ प्राप्त होता है।

(C) दिया गया है,$s(s-a) = (s-b)(s-c)$.
हम जानते हैं कि $\sin \frac{A}{2} = \sqrt{\frac{(s-b)(s-c)}{bc}}$ और $\cos \frac{A}{2} = \sqrt{\frac{s(s-a)}{bc}}$.
दोनों का वर्ग करने पर,$\sin^2 \frac{A}{2} = \frac{(s-b)(s-c)}{bc}$ और $\cos^2 \frac{A}{2} = \frac{s(s-a)}{bc}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $s(s-a) = (s-b)(s-c)$,इसलिए $\sin^2 \frac{A}{2} = \cos^2 \frac{A}{2}$ होगा।
$\cos^2 \frac{A}{2}$ से भाग देने पर,$\tan^2 \frac{A}{2} = 1$ प्राप्त होता है।
चूंकि $\frac{A}{2}$ त्रिभुज का एक कोण है,इसलिए $\frac{A}{2} = \frac{\pi}{4}$,जिसका अर्थ है $A = \frac{\pi}{2}$।

(A) दिया गया है कि $\triangle ABC$ में,$\tan(A/2)$,$\tan(B/2)$ और $\tan(C/2)$ समांतर श्रेणी में हैं।
इसलिए,$2 \tan(B/2) = \tan(A/2) + \tan(C/2)$.
त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं का उपयोग करने पर:
$\frac{\sin((B-A)/2)}{\cos(A/2)} = \frac{\sin((C-B)/2)}{\cos(C/2)}$
इसे हल करने पर हमें प्राप्त होता है:
$\cos A - \cos B = \cos B - \cos C$
$\cos A + \cos C = 2\cos B$
अतः,$\cos A$,$\cos B$ और $\cos C$ समांतर श्रेणी में हैं।

(B) हम जानते हैं कि $r_1 = \frac{\Delta}{s-a}$,$r_2 = \frac{\Delta}{s-b}$,और $r_3 = \frac{\Delta}{s-c}$,जहाँ $\Delta$ त्रिभुज का क्षेत्रफल है और $s$ अर्ध-परिमाप है।
अतः,$ab - r_1 r_2 = ab - \frac{\Delta^2}{(s-a)(s-b)}$.
चूँकि $\Delta^2 = s(s-a)(s-b)(s-c)$,इसलिए $ab - r_1 r_2 = ab - s(s-c)$.
$s = \frac{a+b+c}{2}$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $ab - \frac{a+b+c}{2} \cdot \frac{a+b-c}{2} = ab - \frac{(a+b)^2 - c^2}{4} = \frac{4ab - (a^2 + 2ab + b^2) + c^2}{4} = \frac{c^2 - (a-b)^2}{4} = \frac{c-(a-b)}{2} \cdot \frac{c+(a-b)}{2} = (s-a)(s-b)$ प्राप्त होता है।
अब,$\frac{ab - r_1 r_2}{r_3} = \frac{(s-a)(s-b)}{\frac{\Delta}{s-c}} = \frac{(s-a)(s-b)(s-c)}{\Delta} = \frac{\Delta^2}{s \Delta} = \frac{\Delta}{s} = r$।

(A) $\triangle ABC$ के लिए,बाह्य-त्रिज्याएँ $r_1=\frac{\Delta}{s-a}, r_2=\frac{\Delta}{s-b}, r_3=\frac{\Delta}{s-c}$ हैं और अंतःत्रिज्या $r=\frac{\Delta}{s}$ है,जहाँ $\Delta$ त्रिभुज का क्षेत्रफल है और $s$ अर्ध-परिमाप है।
हम जानते हैं कि $r_1+r_2+r_3 = 4R+r$ होता है।
अतः,$r_1+r_2+r_3-r = 4R$ होगा।
दिया गया है $r_1=2, r_2=3, r_3=6$,हम $\frac{1}{r} = \frac{1}{r_1} + \frac{1}{r_2} + \frac{1}{r_3}$ संबंध का उपयोग करके $r$ ज्ञात कर सकते हैं।
$\frac{1}{r} = \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{6} = 1$,इसलिए $r=1$ है।
मान रखने पर,$r_1+r_2+r_3-r = 2+3+6-1 = 10$ प्राप्त होता है।
अतः,$r_1+r_2+r_3-r = 4R$ है।

(A) दिया गया है,$\triangle ABC$ में,$r_1=2, r_2=3, r_3=6$।
हम बाह्यवृत्त की त्रिज्या के सूत्र जानते हैं: $r_1=\frac{\Delta}{s-a}, r_2=\frac{\Delta}{s-b}, r_3=\frac{\Delta}{s-c}$।
अतः,$s-a=\frac{\Delta}{2}, s-b=\frac{\Delta}{3}, s-c=\frac{\Delta}{6}$।
इन समीकरणों को जोड़ने पर: $(s-a)+(s-b)+(s-c) = \Delta(\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{6})$।
$3s-(a+b+c) = \Delta(\frac{3+2+1}{6}) = \Delta$।
चूंकि $a+b+c=2s$,हमारे पास $3s-2s = \Delta$ है,इसलिए $s=\Delta$।
हेरोन के सूत्र का उपयोग करने पर: $\Delta = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$।
$s=\Delta$ और $(s-a), (s-b), (s-c)$ के मान प्रतिस्थापित करने पर:
$\Delta = \sqrt{\Delta \cdot \frac{\Delta}{2} \cdot \frac{\Delta}{3} \cdot \frac{\Delta}{6}} = \sqrt{\frac{\Delta^4}{36}} = \frac{\Delta^2}{6}$।
चूंकि $\Delta \neq 0$,हमें $1 = \frac{\Delta}{6}$ प्राप्त होता है,इसलिए $\Delta = 6$।
अतः,$s = 6$।
अब,$s-a = \frac{6}{2} = 3 \Rightarrow a = 6-3 = 3$।
$s-b = \frac{6}{3} = 2 \Rightarrow b = 6-2 = 4$।
$s-c = \frac{6}{6} = 1 \Rightarrow c = 6-1 = 5$।
इसलिए,$(a, b, c) = (3, 4, 5)$।

(A) दिया है: $\left(1-\frac{r_1}{r_2}\right)\left(1-\frac{r_1}{r_3}\right)=2$
हम जानते हैं कि $r_1 = \frac{\Delta}{s-a}$,$r_2 = \frac{\Delta}{s-b}$,और $r_3 = \frac{\Delta}{s-c}$।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$\left(1-\frac{\frac{\Delta}{s-a}}{\frac{\Delta}{s-b}}\right)\left(1-\frac{\frac{\Delta}{s-a}}{\frac{\Delta}{s-c}}\right) = 2$
$\left(1-\frac{s-b}{s-a}\right)\left(1-\frac{s-c}{s-a}\right) = 2$
$\left(\frac{s-a-s+b}{s-a}\right)\left(\frac{s-a-s+c}{s-a}\right) = 2$
$\left(\frac{b-a}{s-a}\right)\left(\frac{c-a}{s-a}\right) = 2$
$(b-a)(c-a) = 2(s-a)^2$
$bc - ab - ac + a^2 = 2\left(\frac{b+c-a}{2}\right)^2$
$bc - ab - ac + a^2 = 2\frac{(b+c-a)^2}{4}$
$2(bc - ab - ac + a^2) = b^2 + c^2 + a^2 + 2bc - 2ab - 2ac$
$2bc - 2ab - 2ac + 2a^2 = b^2 + c^2 + a^2 + 2bc - 2ab - 2ac$
$2a^2 = b^2 + c^2 + a^2$
$a^2 = b^2 + c^2$
अतः,त्रिभुज एक समकोण त्रिभुज है।

(D) $\triangle ABC$ में,बाह्य त्रिज्याएँ $r_1 = \frac{\Delta}{s-a}$,$r_2 = \frac{\Delta}{s-b}$,और $r_3 = \frac{\Delta}{s-c}$ होती हैं।
$\sin \frac{A}{2} = \sqrt{\frac{(s-b)(s-c)}{bc}}$,$\sin \frac{B}{2} = \sqrt{\frac{(s-a)(s-c)}{ac}}$,और $\cos \frac{C}{2} = \sqrt{\frac{s(s-c)}{ab}}$ है।
इन मानों को व्यंजक में रखने पर:
$E = \frac{16 R s \Delta}{s-c} \cdot \sqrt{\frac{(s-b)(s-c)}{bc}} \cdot \sqrt{\frac{(s-a)(s-c)}{ac}} \cdot \sqrt{\frac{s(s-c)}{ab}}$
$E = \frac{16 R s \Delta}{s-c} \cdot \frac{(s-c) \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}}{abc}$
चूँकि $\Delta = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$ और $abc = 4R\Delta$ है,इसलिए:
$E = \frac{16 R s \Delta}{s-c} \cdot \frac{(s-c) \Delta}{4R\Delta} = 4s\Delta$.
अब,$r_1 r_2 r_3 = \frac{\Delta^3}{(s-a)(s-b)(s-c)} = \frac{\Delta^3}{\Delta^2/s} = s\Delta$.
अतः,$4s\Delta = 4 r_1 r_2 r_3$.

(A) दिया गया है $a: b: c = 4: 5: 6$. मान लीजिए $a = 4k, b = 5k, c = 6k$.
अर्ध-परिमाप $s = \frac{a+b+c}{2} = \frac{15k}{2}$.
हीरोन के सूत्र का उपयोग करते हुए,क्षेत्रफल $\Delta = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} = \frac{15\sqrt{7}}{4} k^2$.
परिवृत्त की त्रिज्या $R = \frac{abc}{4\Delta} = \frac{8}{\sqrt{7}} k$.
अंतःवृत्त की त्रिज्या $r = \frac{\Delta}{s} = \frac{\sqrt{7}}{2} k$.
अनुपात $R: r = \frac{8}{\sqrt{7}} k : \frac{\sqrt{7}}{2} k = \frac{16}{7}$.

(B) दिया गया है $a = |Z_1|, b = |Z_2|, c = |Z_3|$। चूँकि $Z_1, Z_2, Z_3$ शून्येतर हैं,इसलिए $a, b, c > 0$ है।
सारणिक $\begin{vmatrix} a & b & c \\ b & c & a \\ c & a & b \end{vmatrix} = 0$ है।
सारणिक का विस्तार करने पर: $a(bc - a^2) - b(b^2 - ac) + c(ab - c^2) = 0$।
$abc - a^3 - b^3 + abc + abc - c^3 = 0$।
$3abc - (a^3 + b^3 + c^3) = 0$,जिसका अर्थ है $a^3 + b^3 + c^3 - 3abc = 0$।
सर्वसमिका $a^3 + b^3 + c^3 - 3abc = (a + b + c)(a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca) = 0$ का उपयोग करने पर।
इसे $\frac{1}{2}(a + b + c)((a - b)^2 + (b - c)^2 + (c - a)^2) = 0$ के रूप में लिखा जा सकता है।
चूँकि $a, b, c > 0$ है,इसलिए $a + b + c \neq 0$।
अतः,$(a - b)^2 + (b - c)^2 + (c - a)^2 = 0$,जिसका अर्थ है $a = b = c$।

(D) दिए गए समीकरणों का निकाय $x+2y=3$ और $3x+6y=a-2$ है।
रैखिक समीकरणों $a_1x+b_1y=c_1$ और $a_2x+b_2y=c_2$ के निकाय का कोई हल न होने के लिए शर्त $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2}$ है।
दिए गए समीकरणों की तुलना मानक रूप से करने पर,हमें $a_1=1, b_1=2, c_1=3$ और $a_2=3, b_2=6, c_2=a-2$ प्राप्त होते हैं।
इन मानों को शर्त में रखने पर:
$\frac{1}{3} = \frac{2}{6} \neq \frac{3}{a-2}$।
चूंकि $\frac{1}{3} = \frac{2}{6}$ हमेशा सत्य है,हम असमानता $\frac{1}{3} \neq \frac{3}{a-2}$ पर ध्यान केंद्रित करते हैं।
तिर्यक गुणा करने पर $a-2 \neq 3 \times 3$ प्राप्त होता है,जो सरल होकर $a-2 \neq 9$ हो जाता है।
अतः,$a \neq 11$।

(D) सर्वसमिका $\tanh^{-1} x = \frac{1}{2} \log_e \left( \frac{1+x}{1-x} \right)$ दी गई है।
लघुगणकीय फलन $\log_e(u)$ को परिभाषित होने के लिए,$u > 0$ होना चाहिए।
इसलिए,हमें $\frac{1+x}{1-x} > 0$ की आवश्यकता है।
मान लीजिए $f(x) = \frac{1+x}{1-x}$ है। क्रांतिक बिंदु $x = -1$ और $x = 1$ हैं।
अंतरालों की जाँच करने पर:
$x < -1$ के लिए,$f(x) < 0$ है।
$-1 < x < 1$ के लिए,$f(x) > 0$ है।
$x > 1$ के लिए,$f(x) < 0$ है।
$x = 1$ और $x = -1$ पर,व्यंजक अपरिभाषित है।
अतः,सर्वसमिका केवल $x \in (-1, 1)$ के लिए मान्य है।

(D) दिया गया है,वर्ग $ABCD$ जिसके शीर्ष $A(0,0), B(2,0), C(2,2), D(0,2)$ हैं।
$f_1(x, y) \longrightarrow (y, x)$ लागू करने पर:
$A(0,0)$ $\longrightarrow A'(0,0), B(2,0)$ $\longrightarrow B'(0,2), C(2,2)$ $\longrightarrow C'(2,2), D(0,2)$ $\longrightarrow D'(2,0)$.
$f_2(x, y) \longrightarrow (x+3y, y)$ लागू करने पर:
$A'(0,0)$ $\longrightarrow A''(0,0), B'(0,2)$ $\longrightarrow B''(6,2), C'(2,2)$ $\longrightarrow C''(8,2), D'(2,0)$ $\longrightarrow D''(2,0)$.
$f_3(x, y) \longrightarrow \left(\frac{x-y}{2}, \frac{x+y}{2}\right)$ लागू करने पर:
$A''(0,0)$ $\longrightarrow A'''(0,0), B''(6,2)$ $\longrightarrow B'''(2,4), C''(8,2)$ $\longrightarrow C'''(3,5), D''(2,0)$ $\longrightarrow D'''(1,1)$.
अंतिम शीर्ष: $A(0,0), B(2,4), C(3,5), D(1,1)$.
भुजाओं की लंबाई की गणना:
$AB = \sqrt{(2-0)^2 + (4-0)^2} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$.
$BC = \sqrt{(3-2)^2 + (5-4)^2} = \sqrt{2}$.
$CD = \sqrt{(1-3)^2 + (1-5)^2} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$.
$DA = \sqrt{(0-1)^2 + (0-1)^2} = \sqrt{2}$.
चूंकि सम्मुख भुजाएँ बराबर हैं ($AB=CD$ और $BC=DA$) और आसन्न भुजाएँ बराबर नहीं हैं,इसलिए यह आकृति एक समांतर चतुर्भुज है।

(C) हमारे पास है,$1^4+2^4+3^4+\ldots+n^4 = f(n) \left(1^2+2^2+3^2+\ldots+n^2\right)$.
$f(n) = \frac{1^4+2^4+3^4+\ldots+n^4}{1^2+2^2+3^2+\ldots+n^2}$.
$n=4$ के लिए,$f(4) = \frac{1^4+2^4+3^4+4^4}{1^2+2^2+3^2+4^2}$.
$f(4) = \frac{1+16+81+256}{1+4+9+16}$.
$f(4) = \frac{354}{30}$.
अंश और हर को $6$ से विभाजित करने पर,$f(4) = \frac{59}{5}$ प्राप्त होता है।

(B) दिया गया समीकरण $\frac{(x^2+1)^3}{x^3} + \frac{x^2+1}{3x} = 0$ है,जहाँ $x \neq 0$ है।
माना $t = \frac{x^2+1}{x}$ है। तब समीकरण $t^3 + \frac{t}{3} = 0$ बन जाता है।
$t$ को उभयनिष्ठ लेने पर,हमें $t(t^2 + \frac{1}{3}) = 0$ प्राप्त होता है।
इसका अर्थ है कि $t = 0$ या $t^2 = -\frac{1}{3}$ है।
चूंकि $t$ एक वास्तविक संख्या होनी चाहिए,$t^2 = -\frac{1}{3}$ का कोई वास्तविक हल नहीं है।
अतः,हमें $t = 0$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $\frac{x^2+1}{x} = 0$ है।
यह दर्शाता है कि $x^2 + 1 = 0$,या $x^2 = -1$ है।
चूंकि $x^2 = -1$ के लिए $x$ का कोई वास्तविक मान नहीं है,इसलिए दिए गए समीकरण के लिए कोई वास्तविक मूल नहीं है।
अतः,वास्तविक मूलों की संख्या $0$ है।

(C) दिया गया सीमा $L = \lim_{x \to 0} \frac{2f(x) - 3f(2x) + f(4x)}{x^2}$ है।
$x = 0$ रखने पर,यह $\frac{0}{0}$ अनिर्धारित रूप देता है।
$L$'Hospital नियम का उपयोग करते हुए,अंश और हर का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$L = \lim_{x \to 0} \frac{2f'(x) - 3 \cdot 2f'(2x) + 4f'(4x)}{2x} = \lim_{x \to 0} \frac{2f'(x) - 6f'(2x) + 4f'(4x)}{2x}$.
पुनः $L$'Hospital नियम का उपयोग करने पर:
$L = \lim_{x \to 0} \frac{2f''(x) - 6 \cdot 2f''(2x) + 4 \cdot 4f''(4x)}{2} = \lim_{x \to 0} \frac{2f''(x) - 12f''(2x) + 16f''(4x)}{2}$.
चूँकि $f''(x)$,$x = 0$ पर सतत है,इसलिए $\lim_{x \to 0} f''(x) = f''(0) = 4$.
$x = 0$ रखने पर:
$L = \frac{2f''(0) - 12f''(0) + 16f''(0)}{2} = \frac{6f''(0)}{2} = 3f''(0)$.
चूँकि $f''(0) = 4$ दिया गया है,इसलिए $L = 3 \times 4 = 12$ प्राप्त होता है।

(C) दिए गए वक्र $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{4} = 1$ और $y^3 = 16x$ हैं।
मान लीजिए कि वक्र बिंदु $(x_1, y_1)$ पर प्रतिच्छेद करते हैं।
प्रथम वक्र $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{4} = 1$ के लिए,$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{2x}{a^2} + \frac{2y}{4} \frac{dy}{dx} = 0 \implies \frac{dy}{dx} = -\frac{4x}{a^2y}$.
अतः,$m_1 = -\frac{4x_1}{a^2y_1}$.
दूसरे वक्र $y^3 = 16x$ के लिए,$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$3y^2 \frac{dy}{dx} = 16 \implies \frac{dy}{dx} = \frac{16}{3y^2}$.
अतः,$m_2 = \frac{16}{3y_1^2}$.
चूंकि वक्र समकोण पर प्रतिच्छेद करते हैं,इसलिए $m_1 \times m_2 = -1$.
$(-\frac{4x_1}{a^2y_1}) \times (\frac{16}{3y_1^2}) = -1$.
$\frac{64x_1}{3a^2y_1^3} = 1$.
चूंकि $(x_1, y_1)$ वक्र $y^3 = 16x$ पर स्थित है,इसलिए $y_1^3 = 16x_1$ है।
इस मान को समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{64x_1}{3a^2(16x_1)} = 1
\implies \frac{64x_1}{48a^2x_1} = 1
\implies \frac{4}{3a^2} = 1
\implies a^2 = \frac{4}{3}$.

(C) दी गई दीर्घवृत्त का समीकरण: $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1 \dots (i)$
बिंदु $A\left(\frac{a}{\sqrt{2}}, \frac{b}{\sqrt{2}}\right)$ पर स्पर्श रेखा और अभिलंब का समीकरण ज्ञात करने के लिए,हम पहले अवकलज $\frac{dy}{dx}$ ज्ञात करते हैं।
$(i)$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{2x}{a^2} + \frac{2y}{b^2} \frac{dy}{dx} = 0 \implies \frac{dy}{dx} = -\frac{b^2 x}{a^2 y}$.
बिंदु $A$ पर,स्पर्श रेखा की ढाल $m_T = -\frac{b^2}{a^2} \left( \frac{a/\sqrt{2}}{b/\sqrt{2}} \right) = -\frac{b}{a}$.
अभिलंब की ढाल $m_N = -\frac{1}{m_T} = \frac{a}{b}$.
$A$ पर स्पर्श रेखा का समीकरण: $y - \frac{b}{\sqrt{2}} = -\frac{b}{a} \left( x - \frac{a}{\sqrt{2}} \right) \dots (ii)$.
$A$ पर अभिलंब का समीकरण: $y - \frac{b}{\sqrt{2}} = \frac{a}{b} \left( x - \frac{a}{\sqrt{2}} \right) \dots (iii)$.
$X$-अक्ष पर त्रिभुज के शीर्ष ज्ञात करने के लिए,$(ii)$ और $(iii)$ में $y=0$ रखें:
स्पर्श रेखा के लिए,$0 - \frac{b}{\sqrt{2}} = -\frac{b}{a} (x - \frac{a}{\sqrt{2}}) \implies \frac{a}{\sqrt{2}} = x - \frac{a}{\sqrt{2}} \implies x = \sqrt{2}a$. बिंदु $B = (\sqrt{2}a, 0)$.
अभिलंब के लिए,$0 - \frac{b}{\sqrt{2}} = \frac{a}{b} (x - \frac{a}{\sqrt{2}}) \implies -\frac{b^2}{\sqrt{2}a} = x - \frac{a}{\sqrt{2}} \implies x = \frac{a}{\sqrt{2}} - \frac{b^2}{\sqrt{2}a} = \frac{a^2-b^2}{\sqrt{2}a}$. बिंदु $C = (\frac{a^2-b^2}{\sqrt{2}a}, 0)$.
त्रिभुज की ऊँचाई बिंदु $A$ का $y$-निर्देशांक है,जो $h = \frac{b}{\sqrt{2}}$ है।
आधार $BC = \sqrt{2}a - \frac{a^2-b^2}{\sqrt{2}a} = \frac{2a^2 - a^2 + b^2}{\sqrt{2}a} = \frac{a^2+b^2}{\sqrt{2}a}$.
क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊँचाई} = \frac{1}{2} \times \left( \frac{a^2+b^2}{\sqrt{2}a} \right) \times \left( \frac{b}{\sqrt{2}} \right) = \frac{b(a^2+b^2)}{4a}$.

(C) दिया गया वक्र समीकरण: $x^2+y^2=a^2$ है।
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$2x + 2y \frac{dy}{dx} = 0$
$\frac{dy}{dx} = -\frac{x}{y}$ प्राप्त होता है।
चूंकि स्पर्श रेखा $x$-अक्ष के समांतर है,इसलिए स्पर्श रेखा की ढाल शून्य होनी चाहिए:
$\frac{dy}{dx} = 0$
$-\frac{x}{y} = 0 \implies x = 0$।
वक्र के समीकरण में $x = 0$ रखने पर:
$0^2 + y^2 = a^2 \implies y^2 = a^2$।
चूंकि $y \geq 0$ है,इसलिए हमें $y = a$ प्राप्त होता है।
अतः,वक्र पर स्थित बिंदु $(0, a)$ है।

(A) माना $(4, 3)$ से गुजरने वाली रेखा का समीकरण $y - 3 = m(x - 4)$ है,जहाँ रेखा के प्रथम चतुर्थांश को काटने के लिए $m < 0$ होना चाहिए।
$y = mx - 4m + 3$.
$x$-अंतःखंड $y = 0$ रखकर प्राप्त होता है: $0 = mx - 4m + 3 \implies x = 4 - \frac{3}{m}$.
$y$-अंतःखंड $x = 0$ रखकर प्राप्त होता है: $y = 3 - 4m$.
प्रथम चतुर्थांश में बने त्रिभुज का क्षेत्रफल $A = \frac{1}{2} \times (x\text{-अंतःखंड}) \times (y\text{-अंतःखंड}) = \frac{1}{2} (4 - \frac{3}{m})(3 - 4m) = \frac{1}{2} (12 - 16m - \frac{9}{m} + 12) = 12 - 8m - \frac{9}{2m}$.
क्षेत्रफल को न्यूनतम करने के लिए,$A$ का $m$ के सापेक्ष अवकलन करें: $\frac{dA}{dm} = -8 + \frac{9}{2m^2} = 0$.
$8 = \frac{9}{2m^2} \implies m^2 = \frac{9}{16} \implies m = -\frac{3}{4}$ (चूंकि $m < 0$).
$m = -\frac{3}{4}$ को रेखा के समीकरण में रखने पर: $y - 3 = -\frac{3}{4}(x - 4)$.
$4y - 12 = -3x + 12 \implies 3x + 4y = 24$.

(C) माना $X$ और $Y$ अक्षों पर अंतःखंड क्रमशः $m$ और $n$ हैं। रेखा का समीकरण $\frac{x}{m} + \frac{y}{n} = 1$ है।
चूँकि रेखा $(4, 5)$ से होकर गुजरती है,हमारे पास $\frac{4}{m} + \frac{5}{n} = 1$ है,जिसका अर्थ है $\frac{4}{m} = 1 - \frac{5}{n} = \frac{n-5}{n}$,इसलिए $m = \frac{4n}{n-5}$।
निर्देशांक अक्षों के साथ बने त्रिभुज का क्षेत्रफल $A = \frac{1}{2}mn = \frac{1}{2} \left( \frac{4n}{n-5} \right) n = \frac{2n^2}{n-5}$ है।
न्यूनतम क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए,हम $A$ का $n$ के सापेक्ष अवकलन करते हैं:
$\frac{dA}{dn} = 2 \left[ \frac{(n-5)(2n) - n^2(1)}{(n-5)^2} \right] = 2 \left[ \frac{2n^2 - 10n - n^2}{(n-5)^2} \right] = \frac{2n^2 - 20n}{(n-5)^2}$।
$\frac{dA}{dn} = 0$ रखने पर,हमें $2n(n-10) = 0$ प्राप्त होता है। धनात्मक अंतःखंडों के लिए $n > 5$ होने के कारण,$n = 10$ है।
अतः $m = \frac{4(10)}{10-5} = \frac{40}{5} = 8$।
अंतःखंडों का अनुपात $m : n = 8 : 10 = 4 : 5$ है।

(B) दिया गया है $\frac{x^{4}}{(x - 1)(x - 2)} = f(x) + \frac{A}{x - 1} + \frac{B}{x - 2}$.
बहुपद के लंबे विभाजन द्वारा,हम $x^{4}$ को $(x - 1)(x - 2) = x^{2} - 3x + 2$ से विभाजित करते हैं।
$x^{4} = (x^{2} - 3x + 2)(x^{2} + 3x + 7) + (15x - 14)$.
अतः,$\frac{x^{4}}{(x - 1)(x - 2)} = x^{2} + 3x + 7 + \frac{15x - 14}{(x - 1)(x - 2)}$.
हम $\frac{15x - 14}{(x - 1)(x - 2)}$ को आंशिक भिन्नों के रूप में व्यक्त करते हैं: $\frac{15x - 14}{(x - 1)(x - 2)} = \frac{A}{x - 1} + \frac{B}{x - 2}$.
$15x - 14 = A(x - 2) + B(x - 1)$.
$x = 1$ के लिए: $15(1) - 14 = A(1 - 2) \Rightarrow 1 = -A \Rightarrow A = -1$.
$x = 2$ के लिए: $15(2) - 14 = B(2 - 1) \Rightarrow 16 = B$.
दिए गए समीकरण के साथ तुलना करने पर,$f(x) = x^{2} + 3x + 7$,$A = -1$,और $B = 16$ प्राप्त होता है।
विकल्पों की जाँच करने पर: $f(x) = x^{2} + 3x + 7$ विकल्प $B$ है,और $A + B = -1 + 16 = 15$ ($17$ नहीं),$A - B = -1 - 16 = -17$ ($-18$ नहीं)।
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(B) दी गई अभिव्यक्ति $\frac{-x^{2} + 6x + 13}{(3x + 5)(x^{2} + 4x + 4)} = \frac{-x^{2} + 6x + 13}{(3x + 5)(x + 2)^{2}}$ है।
आंशिक भिन्न विधि का उपयोग करते हुए:
$\frac{-x^{2} + 6x + 13}{(3x + 5)(x + 2)^{2}} = \frac{A}{3x + 5} + \frac{B}{x + 2} + \frac{C}{(x + 2)^{2}}$.
दोनों पक्षों को $(3x + 5)(x + 2)^{2}$ से गुणा करने पर:
$-x^{2} + 6x + 13 = A(x + 2)^{2} + B(x + 2)(3x + 5) + C(3x + 5)$.
$C$ का मान ज्ञात करने के लिए $x = -2$ रखने पर:
$-(-2)^{2} + 6(-2) + 13 = C(3(-2) + 5) \Rightarrow -4 - 12 + 13 = C(-1) \Rightarrow -3 = -C \Rightarrow C = 3$.
$A$ का मान ज्ञात करने के लिए $x = -\frac{5}{3}$ रखने पर:
$-(-\frac{5}{3})^{2} + 6(-\frac{5}{3}) + 13 = A(-\frac{5}{3} + 2)^{2} \Rightarrow -\frac{25}{9} - 10 + 13 = A(\frac{1}{3})^{2} \Rightarrow \frac{2}{9} = A(\frac{1}{9}) \Rightarrow A = 2$.
$B$ का मान ज्ञात करने के लिए $x^{2}$ के गुणांकों की तुलना करने पर:
$-1 = A + 3B \Rightarrow -1 = 2 + 3B \Rightarrow -3 = 3B \Rightarrow B = -1$.
अतः,आंशिक भिन्न $\frac{2}{3x + 5} - \frac{1}{x + 2} + \frac{3}{(x + 2)^{2}}$ है।

(A) दी गई अभिव्यक्ति: $\frac{x^3}{(2 x-1)(x+2)(x-3)} = A + \frac{B}{2 x-1} + \frac{C}{x+2} + \frac{D}{x-3}$
दोनों पक्षों को $(2x-1)(x+2)(x-3)$ से गुणा करने पर:
$x^3 = A(2 x-1)(x+2)(x-3) + B(x+2)(x-3) + C(x-3)(2 x-1) + D(2 x-1)(x+2)$
$A$ ज्ञात करने के लिए,हम दोनों पक्षों में $x^3$ के गुणांकों की तुलना करते हैं।
हर का विस्तार: $(2x-1)(x+2)(x-3) = 2x^3 - 3x^2 - 11x + 6$.
चूंकि अंश और हर की घात समान $(3)$ है,$A$ मुख्य गुणांकों का अनुपात है:
$A = \frac{1}{2}$
वैकल्पिक रूप से,मान प्रतिस्थापित करने पर:
$x=3$ के लिए: $27 = D(5)(5) \Rightarrow D = \frac{27}{25}$
$x=-2$ के लिए: $-8 = C(-5)(-5) \Rightarrow C = -8/25$
$x=1/2$ के लिए: $1/8 = B(5/2)(-5/2) \Rightarrow B = -1/50$
$x=0$ के लिए: $0 = 6A - 6B + 3C - 2D$
$6A = 6(-1/50) - 3(-8/25) + 2(27/25) = 3$
$A = 1/2$

(B) दिया गया है,$\frac{1}{(3-5 x)(2+3 x)}=\frac{A}{3-5 x}+\frac{B}{2+3 x}$
अंशों की तुलना करने पर:
$1 = A(2+3x) + B(3-5x)$
$1 = (2A + 3B) + x(3A - 5B)$
दोनों पक्षों में $x$ के गुणांकों और अचर पदों की तुलना करने पर:
$3A - 5B = 0$ ...$(i)$
$2A + 3B = 1$ ...$(ii)$
समीकरण $(i)$ को $3$ से और समीकरण $(ii)$ को $5$ से गुणा करने पर:
$9A - 15B = 0$
$10A + 15B = 5$
इन दोनों समीकरणों को जोड़ने पर:
$19A = 5 \implies A = \frac{5}{19}$
$A$ का मान समीकरण $(i)$ में रखने पर:
$3(\frac{5}{19}) - 5B = 0 \implies 5B = \frac{15}{19} \implies B = \frac{3}{19}$
अतः,$A+B = \frac{5}{19} + \frac{3}{19} = \frac{8}{19}$

(D) दिया गया आंशिक भिन्न अपघटन: $\frac{6 x^3+7 x^2+6 x-3}{(x-1)(x+3)(x^2+1)} = \frac{A}{x-1} + \frac{B}{x+3} + \frac{Cx+D}{x^2+1}$.
दोनों पक्षों को हर $(x-1)(x+3)(x^2+1)$ से गुणा करने पर:
$6x^3 + 7x^2 + 6x - 3 = A(x+3)(x^2+1) + B(x-1)(x^2+1) + (Cx+D)(x-1)(x+3)$.
$x=1$ के लिए: $6(1)^3 + 7(1)^2 + 6(1) - 3 = A(1+3)(1^2+1) \Rightarrow 16 = 8A \Rightarrow A=2$.
$x=-3$ के लिए: $6(-3)^3 + 7(-3)^2 + 6(-3) - 3 = B(-3-1)((-3)^2+1) \Rightarrow -162 + 63 - 18 - 3 = B(-4)(10) \Rightarrow -120 = -40B \Rightarrow B=3$.
अचर पदों की तुलना करने पर ($x=0$ रखने पर): $-3 = A(3)(1) + B(-1)(1) + D(-1)(3) \Rightarrow -3 = 3A - B - 3D$.
$A=2$ और $B=3$ रखने पर: $-3 = 3(2) - 3 - 3D \Rightarrow -3 = 3 - 3D \Rightarrow 3D = 6 \Rightarrow D=2$.
$x^3$ के गुणांकों की तुलना करने पर: $6 = A + B + C \Rightarrow 6 = 2 + 3 + C \Rightarrow C=1$.
अतः,$n = A+B+C+D = 2+3+1+2 = 8$.
दिया है कि ${}^{50}C_n = {}^{50}C_r$,हम जानते हैं कि या तो $r=n$ या $r=50-n$ होता है।
चूंकि $r=n=8$ विकल्प में नहीं है,इसलिए $r = 50-8 = 42$ प्राप्त होता है।

(D) दिया गया आंशिक भिन्न अपघटन: $\frac{x}{(1+x^2)(3-2x)} = \frac{Bx+C}{1+x^2} + \frac{A}{3-2x}$.
दोनों पक्षों को $(1+x^2)(3-2x)$ से गुणा करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$x = (Bx+C)(3-2x) + A(1+x^2)$
$x = 3Bx - 2Bx^2 + 3C - 2Cx + A + Ax^2$
$x = (A-2B)x^2 + (3B-2C)x + (A+3C)$
दोनों पक्षों के गुणांकों की तुलना करने पर:
$1$) $A - 2B = 0 \Rightarrow A = 2B$
$2$) $3B - 2C = 1$
$3$) $A + 3C = 0 \Rightarrow A = -3C$
$A = 2B$ और $A = -3C$ से,हमें मिलता है $2B = -3C \Rightarrow B = -\frac{3}{2}C$.
$B$ का मान समीकरण $(2)$ में रखने पर:
$3(-\frac{3}{2}C) - 2C = 1$
$-\frac{9}{2}C - 2C = 1$
$-\frac{13}{2}C = 1$
$C = -\frac{2}{13}$.

(A) दिया गया व्यंजक $\frac{x^2}{x^2+3x-4}$ है।
चूंकि अंश और हर की घात समान है,हम भाग विधि का उपयोग करते हैं:
$\frac{x^2}{x^2+3x-4} = 1 - \frac{3x-4}{x^2+3x-4} = 1 + \frac{-3x+4}{(x-1)(x+4)}$.
मान लीजिए $\frac{-3x+4}{(x-1)(x+4)} = \frac{A}{x-1} + \frac{B}{x+4}$.
तब $-3x+4 = A(x+4) + B(x-1)$.
गुणांकों की तुलना करने पर:
$A+B = -3$ और $4A-B = 4$.
दोनों समीकरणों को जोड़ने पर: $5A = 1 \Rightarrow A = \frac{1}{5}$.
$A$ का मान $A+B = -3$ में रखने पर: $\frac{1}{5} + B = -3 \Rightarrow B = -3 - \frac{1}{5} = -\frac{16}{5}$.
अतः,$\frac{x^2}{x^2+3x-4} = 1 + \frac{1}{5(x-1)} - \frac{16}{5(x+4)}$.

(A) मान लीजिए $H$ चित आने की घटना है और $T$ पट आने की घटना है। प्रयोग तब रुकता है जब चित आता है या तीन उछाल पूरे हो जाते हैं।
प्रयोग का प्रतिदर्श समष्टि $S = \{H, TH, TTH, TTT\}$ है।
मान लीजिए $A$ वह घटना है कि पहले उछाल में चित नहीं आता है। इसका अर्थ है कि पहला उछाल पट $(T)$ है।
घटना $A$ के संगत परिणाम $\{TH, TTH, TTT\}$ हैं।
प्रायिकता $P(A) = P(T) = \frac{1}{2}$ है।
मान लीजिए $B$ वह घटना है कि सिक्के को तीन बार उछाला जाता है। घटना $B$ के संगत परिणाम $\{TTH, TTT\}$ हैं।
सर्वनिष्ठ $A \cap B$ उस घटना को दर्शाता है कि पहला उछाल पट है और सिक्के को तीन बार उछाला जाता है। यह परिणामों $\{TTH, TTT\}$ के संगत है।
$P(A \cap B) = P(TTH) + P(TTT) = \frac{1}{8} + \frac{1}{8} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}$।
हमें सप्रतिबंध प्रायिकता $P(B|A)$ ज्ञात करनी है:
$P(B|A) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)} = \frac{\frac{1}{4}}{\frac{1}{2}} = \frac{1}{2}$।

(B) मान लीजिए $F$ वह घटना है कि एक निष्पक्ष सिक्का चुना गया है और $B$ वह घटना है कि एक पक्षपाती सिक्का चुना गया है। मान लीजिए $E$ वह घटना है कि पहली उछाल में हेड और दूसरी उछाल में टेल आता है।
दिया गया है $P(F) = \frac{m}{n}$ और $P(B) = \frac{n-m}{n}$.
निष्पक्ष सिक्के के लिए,$P(H) = \frac{1}{2}$ और $P(T) = \frac{1}{2}$. अतः,$P(E|F) = \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$.
पक्षपाती सिक्के के लिए,$P(H) = 2P(T)$. चूँकि $P(H) + P(T) = 1$,इसलिए $3P(T) = 1$,जिससे $P(T) = \frac{1}{3}$ और $P(H) = \frac{2}{3}$. अतः,$P(E|B) = \frac{2}{3} \times \frac{1}{3} = \frac{2}{9}$.
बेयस प्रमेय का उपयोग करते हुए,घटना $E$ के दिए होने पर सिक्के के निष्पक्ष होने की प्रायिकता है:
$P(F|E) = \frac{P(F)P(E|F)}{P(F)P(E|F) + P(B)P(E|B)}$
$P(F|E) = \frac{(\frac{m}{n})(\frac{1}{4})}{(\frac{m}{n})(\frac{1}{4}) + (\frac{n-m}{n})(\frac{2}{9})}$
$P(F|E) = \frac{\frac{m}{4}}{\frac{m}{4} + \frac{2(n-m)}{9}} = \frac{9m}{9m + 8(n-m)} = \frac{9m}{9m + 8n - 8m} = \frac{9m}{8n + m}$.

(B) माना $A$ वह घटना है कि पासे पर एक अभाज्य संख्या आती है।
माना $B$ वह घटना है कि पासे पर अभाज्य संख्या नहीं आती है।
माना $E$ वह घटना है कि व्यक्ति बताता है कि अभाज्य संख्या आई है।
$1$ से $100$ के बीच $25$ अभाज्य संख्याएँ हैं।
अतः,$P(A) = \frac{25}{100} = \frac{1}{4}$ और $P(B) = 1 - P(A) = \frac{75}{100} = \frac{3}{4}$ है।
व्यक्ति के सच बोलने की प्रायिकता $P(E|A) = \frac{7}{10}$ है।
व्यक्ति के झूठ बोलने (अभाज्य न होने पर अभाज्य बताने) की प्रायिकता $P(E|B) = 1 - \frac{7}{10} = \frac{3}{10}$ है।
बेयस प्रमेय का उपयोग करते हुए,यदि उसने अभाज्य संख्या होने की सूचना दी है,तो उसके वास्तव में अभाज्य होने की प्रायिकता:
$P(A|E) = \frac{P(A) \times P(E|A)}{P(A) \times P(E|A) + P(B) \times P(E|B)}$
$P(A|E) = \frac{\frac{1}{4} \times \frac{7}{10}}{(\frac{1}{4} \times \frac{7}{10}) + (\frac{3}{4} \times \frac{3}{10})}$
$P(A|E) = \frac{\frac{7}{40}}{\frac{7}{40} + \frac{9}{40}} = \frac{7}{16}$.

(D) मान लीजिए $X$ $3$ परीक्षणों में सफलताओं की संख्या को दर्शाता है। चूंकि पासा $3$ बार उछाला जाता है,इसलिए $n=3$.
एक बार उछालने पर सम संख्या (सफलता) प्राप्त करने की प्रायिकता $p = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$ है।
असफलता की प्रायिकता $q = 1 - p = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$ है।
$X$ द्विपद वितरण $B(n, p)$ का पालन करता है,जहाँ $P(X=r) = { }^n C_r p^r q^{n-r}$ है।
हमें कम से कम $2$ सफलताएँ प्राप्त करने की प्रायिकता ज्ञात करनी है,जो $P(X \geq 2) = P(X=2) + P(X=3)$ है।
$P(X=2) = { }^3 C_2 \left(\frac{1}{2}\right)^2 \left(\frac{1}{2}\right)^{3-2} = 3 \times \left(\frac{1}{2}\right)^3 = \frac{3}{8}$ है।
$P(X=3) = { }^3 C_3 \left(\frac{1}{2}\right)^3 \left(\frac{1}{2}\right)^{3-3} = 1 \times \left(\frac{1}{2}\right)^3 = \frac{1}{8}$ है।
अतः,$P(X \geq 2) = \frac{3}{8} + \frac{1}{8} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$ है।

(C) सिक्के का प्रत्येक उछाल एक स्वतंत्र घटना है।
एक निष्पक्ष सिक्के के लिए,किसी भी एक उछाल में चित आने की प्रायिकता हमेशा $P(H) = \frac{1}{2}$ होती है।
चूंकि उछाल स्वतंत्र हैं,इसलिए $1947$ वें उछाल का परिणाम किसी अन्य उछाल के परिणामों पर निर्भर नहीं करता है।
अतः,$1947$ वें उछाल पर चित आने की प्रायिकता $\frac{1}{2}$ ही रहती है।

(A) द्विपद वितरण के लिए,माध्य $np = 5$ और प्रसरण $npq = 4$ है।
प्रसरण के सूत्र में $np = 5$ रखने पर,हमें $5q = 4$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $q = \frac{4}{5}$।
चूंकि $p + q = 1$,इसलिए $p = 1 - q = 1 - \frac{4}{5} = \frac{1}{5}$।
$np = 5$ और $p = \frac{1}{5}$ का उपयोग करके,हमें $n = \frac{5}{p} = 5 \times 5 = 25$ प्राप्त होता है।
द्विपद वितरण के लिए प्रायिकता द्रव्यमान फलन $P(X=k) = {}^{n}C_{k} p^{k} q^{n-k}$ है।
$X=1$ के लिए,$P(X=1) = {}^{25}C_{1} \left(\frac{1}{5}\right)^{1} \left(\frac{4}{5}\right)^{25-1}$।
$P(X=1) = 25 \times \frac{1}{5} \times \left(\frac{4}{5}\right)^{24} = 5 \times \frac{4^{24}}{5^{24}} = \frac{4^{24}}{5^{23}}$।

(A) मान लीजिए कि सफलता कार्यालय के उद्देश्यों के लिए उपयोग किए जाने वाले स्मार्ट फोन का चयन करना है।
यहाँ,सफलता की प्रायिकता $p = 50 \% = \frac{1}{2}$ है।
असफलता की प्रायिकता $q = 1 - p = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$ है।
हमारे पास $n = 10$ परीक्षण हैं और हमें ठीक $r = 2$ सफलताएँ चाहिए।
द्विपद वितरण सूत्र $P(X = r) = { }^n C_r p^r q^{n-r}$ का उपयोग करते हुए:
$P(X = 2) = { }^{10} C_2 \cdot (\frac{1}{2})^2 \cdot (\frac{1}{2})^{10-2}$
$P(X = 2) = { }^{10} C_2 \cdot (\frac{1}{2})^2 \cdot (\frac{1}{2})^8$
$P(X = 2) = { }^{10} C_2 \cdot (\frac{1}{2})^{10} = { }^{10} C_2 \frac{1}{2^{10}}$.

(C) द्विपद बंटन $B(n, p)$ में,माध्य $\mu = np$ होता है और मानक विचलन $\sigma = \sqrt{npq}$ होता है।
दिया गया है,$np = 200$ और $\sqrt{npq} = 10$ है।
मानक विचलन समीकरण का वर्ग करने पर,हमें $npq = 100$ प्राप्त होता है।
$np = 200$ को $npq = 100$ में प्रतिस्थापित करने पर,हमें $200q = 100$ मिलता है,जिसका अर्थ है कि $q = \frac{1}{2}$ है।
चूंकि $p + q = 1$ होता है,इसलिए $p = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$ है।
अब,$np = 200 \implies n(\frac{1}{2}) = 200 \implies n = 400$ है।
हमें $n^2 + \frac{1}{p^2} + \frac{1}{q^2}$ की गणना करनी है।
मान रखने पर: $(400)^2 + \frac{1}{(1/2)^2} + \frac{1}{(1/2)^2} = 160000 + 4 + 4 = 160008$।

(B) मान लीजिए कि वह $n$ बार लक्ष्य पर फायर करता है।
मान लीजिए $X$ लक्ष्य को भेदने की संख्या है।
चूंकि लक्ष्य को भेदना एक बर्नौली परीक्षण है,इसलिए $X$ द्विपद वितरण का पालन करता है।
यहाँ,$p = \frac{2}{3}$ (भेदने की प्रायिकता) और $q = 1 - p = \frac{1}{3}$ (न भेदने की प्रायिकता)।
लक्ष्य को कम से कम एक बार भेदने की प्रायिकता $P(X \geq 1) = 1 - P(X = 0)$ द्वारा दी जाती है।
हमें दिया गया है कि $P(X \geq 1) > 90 \%$,जिसका अर्थ है $P(X \geq 1) > 0.9$।
इसलिए,$1 - P(X = 0) > 0.9$।
चूंकि $P(X = 0) = {}^nC_0 q^n p^0 = (\frac{1}{3})^n$,हमारे पास है:
$1 - (\frac{1}{3})^n > 0.9$
$0.1 > (\frac{1}{3})^n$
$(\frac{1}{3})^n < \frac{1}{10}$
$3^n > 10$।
$n = 1$ के लिए,$3^1 = 3 < 10$।
$n = 2$ के लिए,$3^2 = 9 < 10$।
$n = 3$ के लिए,$3^3 = 27 > 10$।
अतः,उसे न्यूनतम $3$ बार फायर करना चाहिए।

(B) दिया गया है माध्य = $np = 6$ ... $(i)$
प्रसरण = $npq = 2$ जहाँ $q = 1 - p$ ... $(ii)$
समीकरण $(i)$ को $(ii)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$6q = 2 \implies q = \frac{1}{3}$
चूँकि $p = 1 - q$,इसलिए $p = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$
समीकरण $(i)$ से,$n = \frac{6}{p} = \frac{6}{2/3} = 9$
द्विपद बंटन का प्रायिकता सूत्र $P(X = r) = {}^nC_r p^r q^{n-r}$ है।
$X = 8$ के लिए:
$P(X = 8) = {}^9C_8 \left(\frac{2}{3}\right)^8 \left(\frac{1}{3}\right)^{9-8}$
$P(X = 8) = 9 \times \frac{2^8}{3^8} \times \frac{1}{3}$
$P(X = 8) = 9 \times \frac{2^8}{3^9} = \frac{3^2 \times 2^8}{3^9} = \frac{2^8}{3^7}$

(C) एक असतत यादृच्छिक चर $X$ का प्रत्याशित मान $E(X)$,सूत्र $E(X) = \sum x_i P(x_i)$ का उपयोग करके निकाला जाता है।
यहाँ $X$ के मान $10, 20, 30, 40$ हैं और उनकी संबंधित प्रायिकताएँ $0.3, 0.3, 0.2, 0.2$ हैं।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$E(X) = (10 \times 0.3) + (20 \times 0.3) + (30 \times 0.2) + (40 \times 0.2)$
$E(X) = 3 + 6 + 6 + 8$
$E(X) = 23$
अतः,$X$ का प्रत्याशित मान $23$ है।

(C) एक यादृच्छिक चर के लिए प्रायिकताओं का योग $1$ होता है।
दिया गया है कि $P(X=r) = K r^3$,जहाँ $r \in \{1, 2, 3, 4\}$ है।
अतः,$K(1^3) + K(2^3) + K(3^3) + K(4^3) = 1$.
$K(1 + 8 + 27 + 64) = 1 \Rightarrow 100K = 1 \Rightarrow K = \frac{1}{100}$.
हमें $P\left(\left.\frac{1}{2} < X < \frac{5}{2} \right\rvert X > 1\right)$ ज्ञात करना है।
यह $P(X=2 \mid X \in \{2, 3, 4\})$ के बराबर है।
सप्रतिबंध प्रायिकता की परिभाषा के अनुसार: $P(A \mid B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$.
यहाँ $A = \{X=2\}$ और $B = \{X=2, 3, 4\}$ है।
$P(A \cap B) = P(X=2) = 8K$.
$P(B) = P(X=2) + P(X=3) + P(X=4) = 8K + 27K + 64K = 99K$.
अतः,$P(A \mid B) = \frac{8K}{99K} = \frac{8}{99}$.
इसलिए,$K = \frac{1}{100}$ और सप्रतिबंध प्रायिकता $\frac{8}{99}$ है।

(C) दिया गया है,माध्य $np = 2$ $(i)$
और प्रसरण $npq = 1$ $(ii)$
$(ii)$ को $(i)$ से विभाजित करने पर,हमें $q = \frac{1}{2}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $p + q = 1$,इसलिए $p = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$ है।
$p = \frac{1}{2}$ को $(i)$ में रखने पर,$n \times \frac{1}{2} = 2$,अतः $n = 4$ है।
द्विपद वितरण $P(X = k) = {}^nC_k p^k q^{n-k} = {}^4C_k (\frac{1}{2})^k (\frac{1}{2})^{4-k} = {}^4C_k (\frac{1}{2})^4$ द्वारा दिया जाता है।
हमें $P(X > 1) = P(X = 2) + P(X = 3) + P(X = 4)$ ज्ञात करना है।
$P(X > 1) = {}^4C_2 (\frac{1}{2})^4 + {}^4C_3 (\frac{1}{2})^4 + {}^4C_4 (\frac{1}{2})^4$.
$P(X > 1) = (6 + 4 + 1) \times \frac{1}{16} = \frac{11}{16}$.

(D) दी गई प्रायिकता वितरण तालिका:

$X = x$	$0$	$1$	$2$	$3$
$P(X = x)$	$K$	$K + \frac{1}{7}$	$2K$	$\frac{2}{5}$

चूंकि सभी प्रायिकताओं का योग $1$ होता है:
$K + (K + \frac{1}{7}) + 2K + \frac{2}{5} = 1$
$4K + \frac{5 + 14}{35} = 1$
$4K + \frac{19}{35} = 1$
$4K = 1 - \frac{19}{35} = \frac{16}{35}$
$K = \frac{4}{35}$
अब,$K$ का मान तालिका में रखने पर:
$P(X=0) = \frac{4}{35}$
$P(X=1) = \frac{4}{35} + \frac{5}{35} = \frac{9}{35}$
$P(X=2) = 2 \times \frac{4}{35} = \frac{8}{35}$
$P(X=3) = \frac{2}{5} = \frac{14}{35}$
माध्य $\mu = E(X) = \sum x_i P(x_i)$:
$\mu = 0 \times \frac{4}{35} + 1 \times \frac{9}{35} + 2 \times \frac{8}{35} + 3 \times \frac{14}{35}$
$\mu = 0 + \frac{9}{35} + \frac{16}{35} + \frac{42}{35}$
$\mu = \frac{67}{35}$

(C) हम जानते हैं कि किसी भी प्रायिकता वितरण के लिए,सभी प्रायिकताओं का योग $1$ के बराबर होना चाहिए।
दिया गया है $P(X=x) = \frac{c^x}{x!}$ जहाँ $x = 1, 2, 3, \ldots$ है।
अतः,$\sum_{x=1}^{\infty} P(X=x) = 1$.
दिए गए व्यंजक को प्रतिस्थापित करने पर: $\sum_{x=1}^{\infty} \frac{c^x}{x!} = 1$.
हम जानते हैं कि चरघातांकी फलन का टेलर श्रेणी विस्तार $e^c = \sum_{x=0}^{\infty} \frac{c^x}{x!} = 1 + \frac{c}{1!} + \frac{c^2}{2!} + \frac{c^3}{3!} + \ldots$ होता है।
इस प्रकार,$\sum_{x=1}^{\infty} \frac{c^x}{x!} = e^c - 1$.
इसे $1$ के बराबर रखने पर: $e^c - 1 = 1$.
$e^c = 2$.
दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लेने पर: $c = \ln(2)$.

(B) दिया गया है कि $X$ एक पॉइसन वितरण है जिसका प्राचल $\lambda$ है। प्रायिकता द्रव्यमान फलन $P(X=x) = \frac{e^{-\lambda} \lambda^x}{x!}$ है,जहाँ $x = 0, 1, 2, \dots$ है।
दिया गया समीकरण: $3 P(X=4) = \frac{1}{2} P(X=2) + P(X=0)$.
सूत्र का उपयोग करने पर: $3 \frac{e^{-\lambda} \lambda^4}{4!} = \frac{1}{2} \frac{e^{-\lambda} \lambda^2}{2!} + \frac{e^{-\lambda} \lambda^0}{0!}$.
दोनों पक्षों को $e^{-\lambda}$ से विभाजित करने पर: $\frac{3 \lambda^4}{24} = \frac{\lambda^2}{4} + 1$.
सरल करने पर: $\frac{\lambda^4}{8} = \frac{\lambda^2}{4} + 1$.
$8$ से गुणा करने पर: $\lambda^4 = 2 \lambda^2 + 8$,जिससे $\lambda^4 - 2 \lambda^2 - 8 = 0$ प्राप्त होता है।
मान लीजिए $u = \lambda^2$. तब $u^2 - 2u - 8 = 0$.
गुणनखंड करने पर: $(u - 4)(u + 2) = 0$.
इससे $u = 4$ या $u = -2$ प्राप्त होता है।
चूंकि $\lambda^2 = u$ और $\lambda^2$ ऋणात्मक नहीं हो सकता,इसलिए $\lambda^2 = 4$,जिसका अर्थ है $\lambda = 2$ (क्योंकि $\lambda > 0$)।
पॉइसन वितरण का माध्य $\lambda$ होता है,इसलिए माध्य $2$ है।

(D) दिया गया है कि पॉइसन वितरण का माध्य $\lambda = \frac{1}{3}$ है।
पॉइसन वितरण के लिए,प्रायिकता द्रव्यमान फलन $P(X=k) = \frac{e^{-\lambda} \lambda^k}{k!}$ द्वारा दिया जाता है।
$k=1$ के लिए,$P(X=1) = \frac{e^{-1/3} (1/3)^1}{1!} = \frac{1}{3} e^{-1/3}$।
$k=2$ के लिए,$P(X=2) = \frac{e^{-1/3} (1/3)^2}{2!} = \frac{1}{2} \times \frac{1}{9} e^{-1/3} = \frac{1}{18} e^{-1/3}$।
अब,अनुपात $P(X=1) : P(X=2) = \frac{\frac{1}{3} e^{-1/3}}{\frac{1}{18} e^{-1/3}} = \frac{1/3}{1/18} = \frac{18}{3} = 6$।
अतः,अनुपात $6 : 1$ है।

(C) दिया गया है,$P(X=x) = K(x+1)\left(\frac{1}{5}\right)^x$.
चूँकि प्रायिकता वितरण में सभी प्रायिकताओं का योग $1$ होता है,इसलिए $\sum_{x=0}^{\infty} P(X=x) = 1$.
दिए गए व्यंजक को प्रतिस्थापित करने पर:
$\sum_{x=0}^{\infty} K(x+1)\left(\frac{1}{5}\right)^x = 1$
$K \left[ 1 + 2\left(\frac{1}{5}\right) + 3\left(\frac{1}{5}\right)^2 + 4\left(\frac{1}{5}\right)^3 + \ldots \right] = 1$.
यह एक अंकगणितीय-ज्यामितीय श्रेणी है जिसका रूप $\sum_{n=1}^{\infty} n r^{n-1} = (1-r)^{-2}$ है,जहाँ $r = \frac{1}{5}$.
अतः,$K(1 - \frac{1}{5})^{-2} = 1$.
$K(\frac{4}{5})^{-2} = 1 \Rightarrow K(\frac{5}{4})^2 = 1$.
$K(\frac{25}{16}) = 1 \Rightarrow K = \frac{16}{25}$.
अब,$P(X=0) = K(0+1)\left(\frac{1}{5}\right)^0 = K(1)(1) = K$.
इसलिए,$P(X=0) = \frac{16}{25}$.

(A) $X$ एक पॉइसन चर है।
दिया गया है कि $P(X=2) = P(X=3)$।
सूत्र $P(X=r) = \frac{e^{-\lambda} \cdot \lambda^r}{r!}$ का उपयोग करते हुए:
$\frac{e^{-\lambda} \cdot \lambda^2}{2!} = \frac{e^{-\lambda} \cdot \lambda^3}{3!}$
$\Rightarrow \frac{\lambda^2}{2} = \frac{\lambda^3}{6}$
$\Rightarrow \lambda = \frac{6}{2} = 3$।
अब,$P(X=4)$ की गणना करते हैं:
$P(X=4) = \frac{e^{-\lambda} \cdot \lambda^4}{4!} = \frac{e^{-3} \cdot 3^4}{4!}$।
अंत में,$e^3 P(X=4)$ ज्ञात करते हैं:
$e^3 P(X=4) = e^3 \cdot \frac{e^{-3} \cdot 3^4}{4!} = \frac{3^4}{4!} = \frac{81}{24} = \frac{27}{8} = \left(\frac{3}{2}\right)^3$।

(C) दिया गया प्रायिकता वितरण फलन $P(X=x)=K\left(\frac{2}{5}\right)^x$ है,जहाँ $x=1, 2, 3, \ldots$ है।
हम जानते हैं कि एक वितरण में सभी प्रायिकताओं का योग $1$ के बराबर होना चाहिए,अर्थात $\sum_{x=1}^{\infty} P(X=x) = 1$.
दिए गए फलन को प्रतिस्थापित करने पर,हमें मिलता है $K \sum_{x=1}^{\infty} \left(\frac{2}{5}\right)^x = 1$.
यह एक अनंत गुणोत्तर श्रेणी है जिसका प्रथम पद $a = \frac{2}{5}$ और सार्व अनुपात $r = \frac{2}{5}$ है।
अनंत गुणोत्तर श्रेणी का योग $S = \frac{a}{1-r}$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
इसलिए,$K \left( \frac{2/5}{1 - 2/5} \right) = 1$.
$K \left( \frac{2/5}{3/5} \right) = 1$.
$K \left( \frac{2}{3} \right) = 1$.
अतः,$K = \frac{3}{2}$.

(B) दिया गया है,$x=a\left(\cos \theta+\log \tan \left(\frac{\theta}{2}\right)\right)$ और $y=a \sin \theta$।
$x$ और $y$ का $\theta$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dx}{d\theta} = a \left( -\sin \theta + \frac{1}{\tan(\theta/2)} \cdot \sec^2(\theta/2) \cdot \frac{1}{2} \right)$
$= a \left( -\sin \theta + \frac{\cos(\theta/2)}{\sin(\theta/2)} \cdot \frac{1}{\cos^2(\theta/2)} \cdot \frac{1}{2} \right)$
$= a \left( -\sin \theta + \frac{1}{2 \sin(\theta/2) \cos(\theta/2)} \right) = a \left( -\sin \theta + \frac{1}{\sin \theta} \right)$
$= a \left( \frac{1 - \sin^2 \theta}{\sin \theta} \right) = \frac{a \cos^2 \theta}{\sin \theta}$।
साथ ही,$\frac{dy}{d\theta} = a \cos \theta$।
अतः,$\frac{dy}{dx} = \frac{dy/d\theta}{dx/d\theta} = \frac{a \cos \theta}{a \cos^2 \theta / \sin \theta} = \frac{\sin \theta}{\cos \theta} = \tan \theta$।

(B) दिक्-अनुपातों $(l, m, n)$ के लिए दिए गए समीकरण $l+m+n=0$ और $l^2=m^2+n^2$ हैं।
$l+m+n=0$ से,हमें $l=-(m+n)$ प्राप्त होता है।
इसे $l^2=m^2+n^2$ में प्रतिस्थापित करने पर,$(-(m+n))^2 = m^2+n^2$ प्राप्त होता है।
$m^2+n^2+2mn = m^2+n^2$,जिसका अर्थ है $2mn=0$,अतः $mn=0$ है।
इससे दो स्थितियाँ प्राप्त होती हैं:
स्थिति $I$: $m=0$. तब $l=-n$. मान लीजिए दिक्-अनुपात $(k, 0, -k)$ हैं। इकाई सदिश $(\frac{1}{\sqrt{2}}, 0, -\frac{1}{\sqrt{2}})$ है।
स्थिति $II$: $n=0$. तब $l=-m$. मान लीजिए दिक्-अनुपात $(k, -k, 0)$ हैं। इकाई सदिश $(\frac{1}{\sqrt{2}}, -\frac{1}{\sqrt{2}}, 0)$ है।
मान लीजिए $\vec{a} = (\frac{1}{\sqrt{2}}, 0, -\frac{1}{\sqrt{2}})$ और $\vec{b} = (\frac{1}{\sqrt{2}}, -\frac{1}{\sqrt{2}}, 0)$ है।
उनके बीच के कोण $\theta$ का कोज्या (cosine) $\cos \theta = |\vec{a} \cdot \vec{b}|$ द्वारा दिया जाता है।
$\cos \theta = |(\frac{1}{\sqrt{2}})(\frac{1}{\sqrt{2}}) + (0)(-\frac{1}{\sqrt{2}}) + (-\frac{1}{\sqrt{2}})(0)| = |\frac{1}{2} + 0 + 0| = \frac{1}{2}$.
चूँकि $\cos \theta = \frac{1}{2}$,इसलिए $\theta = \frac{\pi}{3}$।

(C) दिक्-कोज्याओं $(l, m, n)$ के लिए दिए गए समीकरण हैं:
$l+m+n=0$ --- $(i)$
$l^2+m^2-n^2=0$ --- $(ii)$
$(i)$ से,$n = -(l+m)$।
इसे $(ii)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$l^2 + m^2 - (-(l+m))^2 = 0$
$l^2 + m^2 - (l^2 + m^2 + 2lm) = 0$
$-2lm = 0 \Rightarrow lm = 0$।
इसका अर्थ है कि या तो $l=0$ या $m=0$ है।
स्थिति $1$: यदि $l=0$ है,तो $(i)$ से,$m+n=0 \Rightarrow m=-n$। माना $m=1$,तो $n=-1$। दिक्-अनुपात $(0, 1, -1)$ हैं।
स्थिति $2$: यदि $m=0$ है,तो $(i)$ से,$l+n=0 \Rightarrow l=-n$। माना $l=1$,तो $n=-1$। दिक्-अनुपात $(1, 0, -1)$ हैं।
माना दो सदिश $\vec{a} = 0\hat{i} + 1\hat{j} - 1\hat{k}$ और $\vec{b} = 1\hat{i} + 0\hat{j} - 1\hat{k}$ हैं।
उनके बीच का कोण $\theta$ सूत्र $\cos \theta = \frac{|\vec{a} \cdot \vec{b}|}{|\vec{a}| |\vec{b}|}$ द्वारा दिया जाता है।
$\vec{a} \cdot \vec{b} = (0)(1) + (1)(0) + (-1)(-1) = 1$।
$|\vec{a}| = \sqrt{0^2 + 1^2 + (-1)^2} = \sqrt{2}$।
$|\vec{b}| = \sqrt{1^2 + 0^2 + (-1)^2} = \sqrt{2}$।
$\cos \theta = \frac{1}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{1}{2}$।
अतः,$\theta = \frac{\pi}{3}$।

(D) दिक्-कोसाइन $l, m, n$ के लिए दिए गए समीकरण:
$l+m+n=0 \implies n = -(l+m)$
$n$ का मान $l^2-5m^2+n^2=0$ में रखने पर:
$l^2-5m^2+(-l-m)^2=0$
$l^2-5m^2+l^2+2lm+m^2=0$
$2l^2+2lm-4m^2=0$
$l^2+lm-2m^2=0$
$(l+2m)(l-m)=0$
स्थिति $1$: $l=m$. तब $n = -(l+m) = -2l$. दिक्-अनुपात $(l, l, -2l)$ अर्थात $(1, 1, -2)$ प्राप्त होते हैं।
मानकीकृत दिक्-कोसाइन $(l_1, m_1, n_1) = (\frac{1}{\sqrt{6}}, \frac{1}{\sqrt{6}}, -\frac{2}{\sqrt{6}})$.
स्थिति $2$: $l=-2m$. तब $n = -(-2m+m) = m$. दिक्-अनुपात $(-2m, m, m)$ अर्थात $(-2, 1, 1)$ प्राप्त होते हैं।
मानकीकृत दिक्-कोसाइन $(l_2, m_2, n_2) = (-\frac{2}{\sqrt{6}}, \frac{1}{\sqrt{6}}, \frac{1}{\sqrt{6}})$.
कोण $\theta$ का कोसाइन $\cos \theta = |l_1 l_2 + m_1 m_2 + n_1 n_2|$ द्वारा प्राप्त होता है।
$\cos \theta = |(\frac{1}{\sqrt{6}})(-\frac{2}{\sqrt{6}}) + (\frac{1}{\sqrt{6}})(\frac{1}{\sqrt{6}}) + (-\frac{2}{\sqrt{6}})(\frac{1}{\sqrt{6}})|$
$\cos \theta = |-\frac{2}{6} + \frac{1}{6} - \frac{2}{6}| = |-\frac{3}{6}| = \frac{1}{2}$.
अतः,$\theta = \frac{\pi}{3}$.

(C) दिए गए समीकरण $l+m+n=0$ और $l^2+m^2-n^2=0$ हैं।
पहले समीकरण से,$l = -(m+n)$।
इसे दूसरे समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $(-m-n)^2 + m^2 - n^2 = 0$।
$m^2 + 2mn + n^2 + m^2 - n^2 = 0$।
$2m^2 + 2mn = 0 \Rightarrow 2m(m+n) = 0$।
इससे दो स्थितियाँ प्राप्त होती हैं:
स्थिति $1$: $m=0$। तब $l = -n$। दिक् अनुपात $(-1, 0, 1)$ हैं।
स्थिति $2$: $m = -n$। तब $l = 0$। दिक् अनुपात $(0, -1, 1)$ हैं।
मान लीजिए कि दो रेखाएँ सदिशों $\vec{a} = -\hat{i} + \hat{k}$ और $\vec{b} = -\hat{j} + \hat{k}$ द्वारा निरूपित हैं।
उनके बीच का कोण $\theta$,$\cos \theta = \frac{|\vec{a} \cdot \vec{b}|}{|\vec{a}| |\vec{b}|}$ द्वारा दिया जाता है।
$\vec{a} \cdot \vec{b} = (-1)(0) + (0)(-1) + (1)(1) = 1$।
$|\vec{a}| = \sqrt{(-1)^2 + 0^2 + 1^2} = \sqrt{2}$।
$|\vec{b}| = \sqrt{0^2 + (-1)^2 + 1^2} = \sqrt{2}$।
$\cos \theta = \frac{1}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{1}{2}$।
अतः,$\theta = \frac{\pi}{3}$।