बिंदु (1,2) से वृत्तों x^2+y^2+x+y-4=0 और 3x^ | vedclass

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Question

(D) एक बिंदु $(x_1, y_1)$ से वृत्त $S: x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ पर स्पर्श रेखा की लंबाई $\sqrt{S_1} = \sqrt{x_1^2+y_1^2+2gx_1+2fy_1+c}$ द्वारा दी जाती है।

Vedclass · Accepted Answer

$\frac{21}{4}$

Vedclass · Answer

(D) एक बिंदु $(x_1, y_1)$ से वृत्त $S: x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ पर स्पर्श रेखा की लंबाई $\sqrt{S_1} = \sqrt{x_1^2+y_1^2+2gx_1+2fy_1+c}$ द्वारा दी जाती है।प्रथम वृत्त $C_1: x^2+y^2+x+y-4=0$ के लिए,$(1,2)$ से स्पर्श रेखा की लंबाई $L_1$ है:$L_1 = \sqrt{1^2+2^2+1+2-4} = \sqrt{1+4+1+2-4} = \sqrt{4} = 2$.दूसरे वृत्त $C_2: 3x^2+3y^2-x-y-k=0$ के लिए,इसे मानक रूप में बदलने पर $x^2+y^2-\frac{1}{3}x-\frac{1}{3}y-\frac{k}{3}=0$ प्राप्त होता है।$(1,2)$ से स्पर्श रेखा की लंबाई $L_2$ है:$L_2 = \sqrt{1^2+2^2-\frac{1}{3}(1)-\frac{1}{3}(2)-\frac{k}{3}} = \sqrt{1+4-\frac{1}{3}-\frac{2}{3}-\frac{k}{3}} = \sqrt{5-1-\frac{k}{3}} = \sqrt{4-\frac{k}{3}}$.दिए गए अनुपात $\frac{L_1}{L_2} = \frac{4}{3}$ के अनुसार:$\frac{2}{\sqrt{4-\frac{k}{3}}} = \frac{4}{3} \Rightarrow \frac{1}{\sqrt{4-\frac{k}{3}}} = \frac{2}{3}$.दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:$\frac{1}{4-\frac{k}{3}} = \frac{4}{9} \Rightarrow 4-\frac{k}{3} = \frac{9}{4}$.$\frac{k}{3} = 4 - \frac{9}{4} = \frac{16-9}{4} = \frac{7}{4}$.$k = 3 	imes \frac{7}{4} = \frac{21}{4}$.

बिंदु $(1,2)$ से वृत्तों $x^2+y^2+x+y-4=0$ और $3x^2+3y^2-x-y-k=0$ पर खींची गई स्पर्श रेखाओं की लंबाई का अनुपात $4:3$ है,तो $k$ का मान ज्ञात कीजिए।

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