AP EAMCET 2021 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(B) दिया गया है $\cos \theta = -\frac{\sqrt{3}}{2} < 0$। चूँकि $\theta$ तीसरे चतुर्थांश में नहीं है,इसलिए $\theta$ दूसरे चतुर्थांश में स्थित होगा।
दूसरे चतुर्थांश में,$\tan \theta = -\frac{1}{\sqrt{3}}$ और $\cot \theta = -\sqrt{3}$।
अतः,$\cot^2 \theta = (-\sqrt{3})^2 = 3$।
दिया गया है $\sin \alpha = -\frac{3}{5}$। चूँकि $\sin \alpha < 0$,इसलिए $\alpha$ तीसरे या चौथे चतुर्थांश में स्थित होगा।
स्थिति $1$: यदि $\alpha$ तीसरे चतुर्थांश में है,तो $\tan \alpha = \frac{3}{4}$ और $\cos \alpha = -\frac{4}{5}$।
व्यंजक का मान $\frac{2(\frac{3}{4}) + \sqrt{3}(-\frac{1}{\sqrt{3}})}{3 - \frac{4}{5}} = \frac{\frac{3}{2} - 1}{\frac{11}{5}} = \frac{5}{22}$ होगा।
अतः सही विकल्प $\frac{5}{22}$ है।

(C) बिंदु $(-5, 12)$ का $x$-निर्देशांक ऋणात्मक और $y$-निर्देशांक धनात्मक है,जिसका अर्थ है कि यह द्वितीय चतुर्थांश में स्थित है।
द्वितीय चतुर्थांश में,$\sin \theta$ और $\operatorname{cosec} \theta$ धनात्मक होते हैं,जबकि $\cos \theta, \sec \theta, \tan \theta$ और $\cot \theta$ ऋणात्मक होते हैं।
मापांक फलन की परिभाषा के अनुसार,यदि $x < 0$ है तो $|x| = -x$ होता है।
चूंकि $\tan \theta < 0$ है,इसलिए $|\tan \theta| = -\tan \theta$ होगा।
अतः,विकल्प $C$ सही है।

(D) दिया गया है $\sin \left(5 x+\frac{\pi}{4}\right)=0$.
हम जानते हैं कि $\sin \theta = 0$ का अर्थ है $\theta = n\pi$,जहाँ $n \in \mathbb{Z}$ है।
अतः,$5x + \frac{\pi}{4} = n\pi$.
दोनों पक्षों से $\frac{\pi}{4}$ घटाने पर,$5x = n\pi - \frac{\pi}{4}$.
$5$ से भाग देने पर,$x = \frac{n\pi}{5} - \frac{\pi}{20}$.
इस प्रकार,$x = \frac{-\pi}{20} + \frac{n\pi}{5}$,जहाँ $n \in \mathbb{Z}$ है।

(A) दिया गया है,$\sin \theta + \operatorname{cosec} \theta = 2$।
हम जानते हैं कि $\operatorname{cosec} \theta = \frac{1}{\sin \theta}$।
अतः,$\sin \theta + \frac{1}{\sin \theta} = 2$।
मान लीजिए $\sin \theta = x$,तो $x + \frac{1}{x} = 2$,जिसका अर्थ है $x^2 - 2x + 1 = 0$,या $(x - 1)^2 = 0$।
इस प्रकार,$x = 1$,जिसका अर्थ है $\sin \theta = 1$।
परिणामस्वरूप,$\operatorname{cosec} \theta = 1$।
इसलिए,$\sin^{10} \theta + \operatorname{cosec}^{10} \theta = (1)^{10} + (1)^{10} = 1 + 1 = 2$।

(B) दिया गया है कि $0 < \theta < \frac{\pi}{2}$ और $\sin \theta \cos \theta = \frac{12}{25}$ है।
हमें $\sin^4 \theta + \cos^4 \theta$ का मान ज्ञात करना है।
सर्वसमिका $a^2 + b^2 = (a + b)^2 - 2ab$ का उपयोग करने पर:
$\sin^4 \theta + \cos^4 \theta = (\sin^2 \theta)^2 + (\cos^2 \theta)^2$
$= (\sin^2 \theta + \cos^2 \theta)^2 - 2 \sin^2 \theta \cos^2 \theta$
चूंकि $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ है,इसलिए:
$= (1)^2 - 2(\sin \theta \cos \theta)^2$
$= 1 - 2 \left(\frac{12}{25}\right)^2$
$= 1 - 2 \left(\frac{144}{625}\right)$
$= 1 - \frac{288}{625}$
$= \frac{625 - 288}{625} = \frac{337}{625}$.

(B) माना $A = 22 \frac{1}{2}^{\circ} = \frac{45^{\circ}}{2}$.
अर्ध-कोण सूत्र $\cos A = \sqrt{\frac{1 + \cos 2A}{2}}$ का उपयोग करने पर:
$\cos \left(\frac{45^{\circ}}{2}\right) = \sqrt{\frac{1 + \cos 45^{\circ}}{2}}$
चूंकि $\cos 45^{\circ} = \frac{1}{\sqrt{2}}$,इसलिए:
$\cos \left(22 \frac{1}{2}\right)^{\circ} = \sqrt{\frac{1 + \frac{1}{\sqrt{2}}}{2}}$
$= \sqrt{\frac{\frac{\sqrt{2} + 1}{\sqrt{2}}}{2}}$
$= \sqrt{\frac{\sqrt{2} + 1}{2 \sqrt{2}}}$
अतः,सही विकल्प $B$ है.

(A) दिया है,$\tan \beta = \frac{\tan \alpha + \tan \gamma}{1 + \tan \alpha \tan \gamma} = \frac{\sin(\alpha + \gamma)}{\cos(\alpha - \gamma)} \dots (1)$
अब,व्यंजक $E = \frac{\sin 2 \alpha + \sin 2 \gamma}{1 + \sin 2 \alpha \sin 2 \gamma} = \frac{2 \sin(\alpha + \gamma) \cos(\alpha - \gamma)}{\cos^2(\alpha - \gamma) + \sin^2(\alpha + \gamma)}$
$= \frac{2 \frac{\sin(\alpha + \gamma)}{\cos(\alpha - \gamma)}}{1 + \left(\frac{\sin(\alpha + \gamma)}{\cos(\alpha - \gamma)}\right)^2}$
समीकरण $(1)$ का उपयोग करने पर,यह $\frac{2 \tan \beta}{1 + \tan^2 \beta} = \sin 2 \beta$ है।

(C) माना $x \cos \theta = y \cos \left(\theta + \frac{2 \pi}{3}\right) = z \cos \left(\theta + \frac{4 \pi}{3}\right) = \lambda$ (जहाँ $\lambda \neq 0$ है)।
अतः,$\frac{1}{x} = \frac{\cos \theta}{\lambda}$,$\frac{1}{y} = \frac{\cos \left(\theta + \frac{2 \pi}{3}\right)}{\lambda}$,और $\frac{1}{z} = \frac{\cos \left(\theta + \frac{4 \pi}{3}\right)}{\lambda}$।
इनका योग करने पर,$\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} = \frac{1}{\lambda} \left[ \cos \theta + \cos \left(\theta + \frac{2 \pi}{3}\right) + \cos \left(\theta + \frac{4 \pi}{3}\right) \right]$।
पहले और तीसरे पद के लिए सर्वसमिका $\cos A + \cos B = 2 \cos \left(\frac{A+B}{2}\right) \cos \left(\frac{A-B}{2}\right)$ का उपयोग करने पर:
$\cos \theta + \cos \left(\theta + \frac{4 \pi}{3}\right) = 2 \cos \left(\theta + \frac{2 \pi}{3}\right) \cos \left(-\frac{2 \pi}{3}\right) = 2 \cos \left(\theta + \frac{2 \pi}{3}\right) \left(-\frac{1}{2}\right) = -\cos \left(\theta + \frac{2 \pi}{3}\right)$।
इस मान को योग में रखने पर:
$\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} = \frac{1}{\lambda} \left[ -\cos \left(\theta + \frac{2 \pi}{3}\right) + \cos \left(\theta + \frac{2 \pi}{3}\right) \right] = \frac{1}{\lambda} (0) = 0$।

(D) दिया गया है $\sec ^{2018} \theta + \operatorname{cosec}^{2018} \alpha = 2$।
चूंकि $\sec ^{2018} \theta \geq 1$ और $\operatorname{cosec}^{2018} \alpha \geq 1$ होता है,इसलिए योग $2$ तभी संभव है जब $\sec ^{2018} \theta = 1$ और $\operatorname{cosec}^{2018} \alpha = 1$ हो।
अतः $\theta = 0$ और $\alpha = \pi/2$ लेने पर:
$\cos ^{2020} \theta + \sin ^{2022} \alpha = \cos ^{2020} (0) + \sin ^{2022} (\pi/2) = 1 + 1 = 2$।

(D) दिया गया है: $\tan 70^{\circ} - \tan 20^{\circ} = a \cdot \tan 50^{\circ}$
$\Rightarrow \frac{\sin 70^{\circ}}{\cos 70^{\circ}} - \frac{\sin 20^{\circ}}{\cos 20^{\circ}} = \frac{a \sin 50^{\circ}}{\cos 50^{\circ}}$
$\sin(A-B) = \sin A \cos B - \cos A \sin B$ का उपयोग करने पर:
$\Rightarrow \frac{\sin(70^{\circ} - 20^{\circ})}{\cos 70^{\circ} \cos 20^{\circ}} = \frac{a \sin 50^{\circ}}{\cos 50^{\circ}}$
$\Rightarrow \frac{\sin 50^{\circ}}{\cos 70^{\circ} \cos 20^{\circ}} = \frac{a \sin 50^{\circ}}{\cos 50^{\circ}}$
चूंकि $\sin 50^{\circ} \neq 0$,दोनों पक्षों को $\sin 50^{\circ}$ से विभाजित करने पर:
$\Rightarrow a = \frac{\cos 50^{\circ}}{\cos 70^{\circ} \cos 20^{\circ}}$
अंश और हर को $2$ से गुणा करने पर:
$a = \frac{2 \cos 50^{\circ}}{2 \cos 70^{\circ} \cos 20^{\circ}}$
$2 \cos A \cos B = \cos(A+B) + \cos(A-B)$ का उपयोग करने पर:
$a = \frac{2 \cos 50^{\circ}}{\cos 90^{\circ} + \cos 50^{\circ}} = \frac{2 \cos 50^{\circ}}{0 + \cos 50^{\circ}} = 2$

(A) दिया गया समीकरण: $\sin x + \sqrt{3} \cos x = \sqrt{2}$.
दोनों पक्षों को $2$ से विभाजित करने पर:
$\frac{1}{2} \sin x + \frac{\sqrt{3}}{2} \cos x = \frac{\sqrt{2}}{2}$.
इसे इस प्रकार लिखा जा सकता है:
$\sin x \cos(\frac{\pi}{3}) + \cos x \sin(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
$\sin(x + \frac{\pi}{3}) = \sin(\frac{\pi}{4})$.
अधिक सरल रूप में:
$2 \cos(x - \frac{\pi}{6}) = \sqrt{2}$.
$\cos(x - \frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{2}}{2} = \cos(\frac{\pi}{4})$.
अतः,$x - \frac{\pi}{6} = 2n\pi \pm \frac{\pi}{4}$.
$x = 2n\pi + \frac{\pi}{6} \pm \frac{\pi}{4}$.

(D) दिया गया सीमा है: $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\tan x+4 \tan 2 x-3 \tan 3 x}{x^2 \tan x}$.
$\tan x$ के विस्तार का उपयोग करते हुए:
$\tan x = x + \frac{x^3}{3} + O(x^5)$
$\tan 2x = 2x + \frac{8x^3}{3} + O(x^5)$
$\tan 3x = 3x + 9x^3 + O(x^5)$
अंश में मान रखने पर:
अंश $= (x + \frac{x^3}{3}) + 4(2x + \frac{8x^3}{3}) - 3(3x + 9x^3) + O(x^5)$
$= x + \frac{x^3}{3} + 8x + \frac{32x^3}{3} - 9x - 27x^3 + O(x^5)$
$= (1+8-9)x + (\frac{1}{3} + \frac{32}{3} - 27)x^3 + O(x^5)$
$= -16x^3 + O(x^5)$
हर $x^2 \tan x \approx x^3$ है।
अतः,सीमा $= \lim _{x \rightarrow 0} \frac{-16x^3}{x^3} = -16$.

(D) दी गई व्यंजक: $\cos ^2 10^{\circ}+\cos ^2 50^{\circ}-\sin 40^{\circ} \sin 80^{\circ}$
सर्वसमिका $2 \cos ^2 A = 1 + \cos 2A$ और $2 \sin A \sin B = \cos(A-B) - \cos(A+B)$ का उपयोग करने पर:
$= \frac{1}{2} [ (1 + \cos 20^{\circ}) + (1 + \cos 100^{\circ}) - (\cos(40^{\circ}-80^{\circ}) - \cos(40^{\circ}+80^{\circ})) ]$
$= \frac{1}{2} [ 2 + \cos 20^{\circ} + \cos 100^{\circ} - \cos(-40^{\circ}) + \cos 120^{\circ} ]$
चूँकि $\cos(-\theta) = \cos \theta$ और $\cos 120^{\circ} = -\frac{1}{2}$:
$= \frac{1}{2} [ 2 + \cos 20^{\circ} + \cos 100^{\circ} - \cos 40^{\circ} - \frac{1}{2} ]$
$= \frac{1}{2} [ \frac{3}{2} + (\cos 100^{\circ} + \cos 20^{\circ}) - \cos 40^{\circ} ]$
$\cos C + \cos D = 2 \cos(\frac{C+D}{2}) \cos(\frac{C-D}{2})$ का उपयोग करने पर:
$= \frac{1}{2} [ \frac{3}{2} + 2 \cos 60^{\circ} \cos 40^{\circ} - \cos 40^{\circ} ]$
चूँकि $\cos 60^{\circ} = \frac{1}{2}$:
$= \frac{1}{2} [ \frac{3}{2} + 2(\frac{1}{2}) \cos 40^{\circ} - \cos 40^{\circ} ]$
$= \frac{1}{2} [ \frac{3}{2} + \cos 40^{\circ} - \cos 40^{\circ} ] = \frac{1}{2} \times \frac{3}{2} = \frac{3}{4}$

(C) दिया है,$\alpha+\beta=\gamma$.
हमें $\cos^2 \alpha+\cos^2 \beta+\cos^2 \gamma$ का मान ज्ञात करना है।
सर्वसमिका $2 \cos^2 \theta = 1+\cos 2 \theta$ का उपयोग करते हुए:
$\cos^2 \alpha+\cos^2 \beta+\cos^2 \gamma = \frac{1}{2} [2 \cos^2 \alpha + 2 \cos^2 \beta + 2 \cos^2 \gamma]$
$= \frac{1}{2} [1+\cos 2 \alpha + 1+\cos 2 \beta + 2 \cos^2 \gamma]$
$= \frac{1}{2} [2 + 2 \cos(\alpha+\beta) \cos(\alpha-\beta) + 2 \cos^2 \gamma]$
चूंकि $\alpha+\beta=\gamma$,इसलिए $\alpha+\beta$ के स्थान पर $\gamma$ रखने पर:
$= \frac{1}{2} [2 + 2 \cos \gamma \cos(\alpha-\beta) + 2 \cos^2 \gamma]$
$= 1 + \cos \gamma \cos(\alpha-\beta) + \cos^2 \gamma$
$= 1 + \cos \gamma [\cos(\alpha-\beta) + \cos \gamma]$
$= 1 + \cos \gamma [\cos(\alpha-\beta) + \cos(\alpha+\beta)]$
$\cos(A-B) + \cos(A+B) = 2 \cos A \cos B$ का उपयोग करते हुए:
$= 1 + \cos \gamma [2 \cos \alpha \cos \beta]$
$= 1 + 2 \cos \alpha \cos \beta \cos \gamma$.

(B) दिया गया है कि $A + B + C = \pi$ और $A, B, C \neq \frac{n\pi}{2}$ है।
हम जानते हैं कि $\cot(B + C) = \frac{\cot B \cot C - 1}{\cot B + \cot C}$ होता है।
चूंकि $B + C = \pi - A$,इसलिए $\cot(B + C) = \cot(\pi - A) = -\cot A$ है।
इस मान को सर्वसमिका में प्रतिस्थापित करने पर:
$-\cot A = \frac{\cot B \cot C - 1}{\cot B + \cot C}$।
दोनों पक्षों को $(\cot B + \cot C)$ से गुणा करने पर:
$-\cot A(\cot B + \cot C) = \cot B \cot C - 1$।
$-\cot A \cot B - \cot A \cot C = \cot B \cot C - 1$।
पदों को व्यवस्थित करने पर:
$\cot A \cot B + \cot B \cot C + \cot C \cot A = 1$।

(B) सबसे पहले,आवर्तता का उपयोग करके कोणों को सरल करें:
$\tan 348^{\circ} = \tan(360^{\circ} - 12^{\circ}) = -\tan 12^{\circ}$
$\cot 417^{\circ} = \cot(360^{\circ} + 57^{\circ}) = \cot 57^{\circ} = \tan(90^{\circ} - 57^{\circ}) = \tan 33^{\circ}$
अब,व्यंजक $(1 - (-\tan 12^{\circ}))(1 + \tan 33^{\circ}) = (1 + \tan 12^{\circ})(1 + \tan 33^{\circ})$ है।
$= 1 + \tan 33^{\circ} + \tan 12^{\circ} + \tan 12^{\circ} \tan 33^{\circ}$
सर्वसमिका $\tan(A+B) = \frac{\tan A + \tan B}{1 - \tan A \tan B}$ का उपयोग करते हुए,$\tan(12^{\circ} + 33^{\circ}) = \tan 45^{\circ} = 1$
$\Rightarrow \frac{\tan 12^{\circ} + \tan 33^{\circ}}{1 - \tan 12^{\circ} \tan 33^{\circ}} = 1$
$\Rightarrow \tan 12^{\circ} + \tan 33^{\circ} = 1 - \tan 12^{\circ} \tan 33^{\circ}$
इस मान को व्यंजक में रखने पर:
$= 1 + (1 - \tan 12^{\circ} \tan 33^{\circ}) + \tan 12^{\circ} \tan 33^{\circ}$
$= 1 + 1 = 2$

(B) दिया गया है कि $\sin \alpha - \cos \alpha = m$ और $\sin 2 \alpha = n - m^2$ है।
प्रथम समीकरण का वर्ग करने पर: $(\sin \alpha - \cos \alpha)^2 = m^2$।
$\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha - 2 \sin \alpha \cos \alpha = m^2$।
हम जानते हैं कि $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$ और $2 \sin \alpha \cos \alpha = \sin 2 \alpha$,अतः:
$1 - \sin 2 \alpha = m^2$।
$\sin 2 \alpha = 1 - m^2$।
इस समीकरण की तुलना दिए गए समीकरण $\sin 2 \alpha = n - m^2$ से करने पर:
$n - m^2 = 1 - m^2$।
अतः,$n = 1$।

(C) हम सर्वसमिका $\tan \theta - \cot \theta = -2 \cot 2 \theta$ का उपयोग करते हैं।
दी गई व्यंजक: $S = \tan \alpha + 2 \tan 2 \alpha + 4 \tan 4 \alpha + 8 \cot 8 \alpha$.
$\tan \alpha = \cot \alpha - 2 \cot 2 \alpha$ प्रतिस्थापित करने पर:
$S = (\cot \alpha - 2 \cot 2 \alpha) + 2 \tan 2 \alpha + 4 \tan 4 \alpha + 8 \cot 8 \alpha$
$S = \cot \alpha + 2(\tan 2 \alpha - \cot 2 \alpha) + 4 \tan 4 \alpha + 8 \cot 8 \alpha$
चूंकि $\tan 2 \alpha - \cot 2 \alpha = -2 \cot 4 \alpha$:
$S = \cot \alpha + 2(-2 \cot 4 \alpha) + 4 \tan 4 \alpha + 8 \cot 8 \alpha$
$S = \cot \alpha - 4 \cot 4 \alpha + 4 \tan 4 \alpha + 8 \cot 8 \alpha$
$S = \cot \alpha + 4(\tan 4 \alpha - \cot 4 \alpha) + 8 \cot 8 \alpha$
चूंकि $\tan 4 \alpha - \cot 4 \alpha = -2 \cot 8 \alpha$:
$S = \cot \alpha + 4(-2 \cot 8 \alpha) + 8 \cot 8 \alpha$
$S = \cot \alpha - 8 \cot 8 \alpha + 8 \cot 8 \alpha$
$S = \cot \alpha$.

(A) दिया गया है $\cos 2 A+\cos 2 B+\cos 2 C$.
सूत्र $\cos C+\cos D=2 \cos \left(\frac{C+D}{2}\right) \cos \left(\frac{C-D}{2}\right)$ का उपयोग करने पर:
$=2 \cos (A+B) \cos (A-B)+\cos 2 C$.
चूँकि $A+B+C=\frac{3 \pi}{2}$,इसलिए $A+B=\frac{3 \pi}{2}-C$.
$=2 \cos \left(\frac{3 \pi}{2}-C\right) \cos (A-B)+\left(1-2 \sin ^2 C\right)$.
$=2(-\sin C) \cos (A-B)+1-2 \sin ^2 C$.
$=1-2 \sin C [\cos (A-B)+\sin C]$.
चूँकि $\sin C = \sin \left(\frac{3 \pi}{2}-(A+B)\right) = -\cos (A+B)$,इसलिए:
$=1-2 \sin C [\cos (A-B)-\cos (A+B)]$.
$\cos (A-B)-\cos (A+B)=2 \sin A \sin B$ का उपयोग करने पर:
$=1-2 \sin C [2 \sin A \sin B] = 1-4 \sin A \sin B \sin C$.

(A) हम हाइपरबोलिक फलनों के लिए गुणन-से-योग सूत्र का उपयोग करते हैं: $\sinh A \cosh B = \frac{1}{2}(\sinh(A+B) + \sinh(A-B))$.
माना $A = x+y$ और $B = x-y$.
तब $A+B = (x+y) + (x-y) = 2x$ और $A-B = (x+y) - (x-y) = 2y$.
इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:
$\sinh (x+y) \cosh (x-y) = \frac{1}{2}(\sinh(2x) + \sinh(2y))$.

(A) हमारे पास है,$\sin \frac{\pi}{16} \sin \frac{3 \pi}{16} \sin \frac{5 \pi}{16} \sin \frac{7 \pi}{16}$
$= \sin \frac{\pi}{16} \sin \frac{3 \pi}{16} \sin \left(\frac{\pi}{2} - \frac{3 \pi}{16}\right) \sin \left(\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{16}\right)$
$= \sin \frac{\pi}{16} \sin \frac{3 \pi}{16} \cos \frac{3 \pi}{16} \cos \frac{\pi}{16}$
$= \frac{1}{4} \left(2 \sin \frac{\pi}{16} \cos \frac{\pi}{16} \cdot 2 \sin \frac{3 \pi}{16} \cos \frac{3 \pi}{16}\right)$
$= \frac{1}{4} \left(\sin \frac{\pi}{8} \sin \frac{3 \pi}{8}\right) = \frac{1}{4} \left(\sin \frac{\pi}{8} \sin \left(\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{8}\right)\right)$
$= \frac{1}{4} \sin \frac{\pi}{8} \cos \frac{\pi}{8} = \frac{1}{8} \sin \frac{\pi}{4} = \frac{1}{8 \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{16}$

(B) दिया गया है,$\alpha = \frac{180^{\circ}}{7}$,जिसका अर्थ है $7 \alpha = 180^{\circ} = \pi$.
हम जानते हैं कि $3 \sin \alpha - 4 \sin^{3} \alpha = \sin 3 \alpha$.
$\alpha$ का मान प्रतिस्थापित करने पर:
$\sin 3 \alpha = \sin (7 \alpha - 4 \alpha)$.
चूंकि $7 \alpha = \pi$,इसलिए:
$\sin (\pi - 4 \alpha) = \sin 4 \alpha$.
अतः,$3 \sin \alpha - 4 \sin^{3} \alpha = \sin 4 \alpha$.

(C) हम हाइपरबोलिक सर्वसमिकाओं का उपयोग करते हैं:
$1$. $\cosh x = 2 \cosh^2 \frac{x}{2} - 1 \implies \cosh \frac{x}{2} = \sqrt{\frac{1+\cosh x}{2}}$
$2$. $\cosh x = 1 + 2 \sinh^2 \frac{x}{2} \implies \sinh \frac{x}{2} = \sqrt{\frac{\cosh x - 1}{2}}$
$3$. $\tanh \frac{x}{2} = \frac{\sinh x}{1+\cosh x} = \frac{\cosh x - 1}{\sinh x}$
$4$. $\sinh x = 2 \sinh \frac{x}{2} \cosh \frac{x}{2}$
विकल्प $C$ का मूल्यांकन करने पर: $\frac{\sinh x}{\sqrt{2(\cosh x+1)}} = \frac{2 \sinh \frac{x}{2} \cosh \frac{x}{2}}{\sqrt{2(2 \cosh^2 \frac{x}{2})}} = \frac{2 \sinh \frac{x}{2} \cosh \frac{x}{2}}{2 \cosh \frac{x}{2}} = \sinh \frac{x}{2}$.
अतः,विकल्प $C$ सही है।

(B) माना त्रिभुज $ABC$ है।
चूंकि वृत्त के केंद्र पर जीवा द्वारा बनाया गया कोण परिधि पर बने कोण का दोगुना होता है,इसलिए $\angle A = \frac{\alpha}{2}$,$\angle B = \frac{\beta}{2}$,$\angle C = \frac{\gamma}{2}$।
$A+B+C = \pi$ होने के कारण,$\alpha + \beta + \gamma = 2\pi$ प्राप्त होता है।
दिए गए पदों का $A.M.$ $\frac{1}{3} [\cos (\alpha + \frac{\pi}{2}) + \cos (\beta + \frac{\pi}{2}) + \cos (\gamma + \frac{\pi}{2})]$ है।
$\cos(\theta + \frac{\pi}{2}) = -\sin \theta$ का उपयोग करने पर,यह $-\frac{1}{3} [\sin \alpha + \sin \beta + \sin \gamma]$ हो जाता है।
$\sin \alpha + \sin \beta + \sin \gamma = 4 \sin A \sin B \sin C$ का उपयोग करने पर,$A.M. = -\frac{4}{3} \sin A \sin B \sin C$ प्राप्त होता है।
$A+B+C = \pi$ के लिए,$\sin A \sin B \sin C$ का अधिकतम मान $A=B=C = \frac{\pi}{3}$ पर होता है।
अतः,न्यूनतम मान $-\frac{4}{3} (\sin \frac{\pi}{3})^3 = -\frac{\sqrt{3}}{2}$ है।

(B) दिया गया व्यंजक: $5 \tan^2 \alpha + \frac{9}{\tan^2 \alpha} + 4 \sec^2 \alpha$
सर्वसमिका $\sec^2 \alpha = 1 + \tan^2 \alpha$ का उपयोग करने पर:
$= 5 \tan^2 \alpha + 9 \cot^2 \alpha + 4(1 + \tan^2 \alpha)$
$= 9 \tan^2 \alpha + 9 \cot^2 \alpha + 4$
धनात्मक वास्तविक संख्याओं के लिए $AM \geq GM$ के अनुसार:
$\frac{9 \tan^2 \alpha + 9 \cot^2 \alpha}{2} \geq \sqrt{9 \tan^2 \alpha \cdot 9 \cot^2 \alpha}$
$9 \tan^2 \alpha + 9 \cot^2 \alpha \geq 2 \cdot 9 = 18$
दोनों पक्षों में $4$ जोड़ने पर:
$9 \tan^2 \alpha + 9 \cot^2 \alpha + 4 \geq 18 + 4 = 22$
अतः,न्यूनतम मान $22$ है।

(A) दिया गया अंतराल $e^{-\pi / 2} < \theta < \pi / 2$ है।
$\cos (\log \theta)$ के लिए,$-\pi / 2 < \log \theta < \log (\pi / 2)$ है।
चूंकि $\log (\pi / 2) < \pi / 2$,इसलिए कोसाइन का मान $(-\pi / 2, \pi / 2)$ अंतराल में धनात्मक अर्थात $\cos (\log \theta) > 0$ होता है।
$\log (\cos \theta)$ के लिए,$0 < \cos \theta < 1$ होने के कारण $\log (\cos \theta) < 0$ होता है।
अतः,$\cos (\log \theta) > \log (\cos \theta)$ है।

(C) $\triangle ABC$ में,हम जानते हैं कि $A+B+C = 180^{\circ}$ होता है।
हमें $2ac \sin \frac{1}{2}(A-B+C)$ का मान ज्ञात करना है।
चूंकि $A+C = 180^{\circ}-B$,इसे व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$2ac \sin \frac{1}{2}(180^{\circ}-B-B) = 2ac \sin \frac{1}{2}(180^{\circ}-2B)$
$= 2ac \sin (90^{\circ}-B)$
$= 2ac \cos B$
कोसाइन नियम के अनुसार,$\cos B = \frac{a^2+c^2-b^2}{2ac}$ होता है।
यह मान रखने पर:
$= 2ac \left( \frac{a^2+c^2-b^2}{2ac} \right) = a^2+c^2-b^2$.

(A) दिए गए मान $\sin^2 10^{\circ}, \sin^2 20^{\circ}, \sin^2 30^{\circ}, \dots, \sin^2 90^{\circ}$ हैं।
कुल $9$ पद हैं।
योग $= \sin^2 10^{\circ} + \sin^2 20^{\circ} + \sin^2 30^{\circ} + \sin^2 40^{\circ} + \sin^2 50^{\circ} + \sin^2 60^{\circ} + \sin^2 70^{\circ} + \sin^2 80^{\circ} + \sin^2 90^{\circ}$.
$\sin(90^{\circ} - \theta) = \cos \theta$ का उपयोग करते हुए,$\sin^2 80^{\circ} = \cos^2 10^{\circ}$,$\sin^2 70^{\circ} = \cos^2 20^{\circ}$,$\sin^2 60^{\circ} = \cos^2 30^{\circ}$,और $\sin^2 50^{\circ} = \cos^2 40^{\circ}$ प्राप्त होता है।
योग $= (\sin^2 10^{\circ} + \cos^2 10^{\circ}) + (\sin^2 20^{\circ} + \cos^2 20^{\circ}) + (\sin^2 30^{\circ} + \cos^2 30^{\circ}) + (\sin^2 40^{\circ} + \cos^2 40^{\circ}) + \sin^2 90^{\circ}$.
चूंकि $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ और $\sin 90^{\circ} = 1$ है,
योग $= 1 + 1 + 1 + 1 + (1)^2 = 5$.
माध्य $= \frac{\text{कुल योग}}{\text{पदों की संख्या}} = \frac{5}{9}$.

(C) हम सूत्र $\prod_{k=1}^{n} \cos \frac{\theta}{2^k} = \frac{\sin \theta}{2^n \sin(\theta/2^n)}$ का उपयोग करते हैं।
यहाँ,$\theta = \frac{\pi}{2}$ और $n=4$ है।
अतः,$\cos \frac{\pi}{4} \cos \frac{\pi}{8} \cos \frac{\pi}{16} \cos \frac{\pi}{32} = \frac{\sin(\pi/2)}{2^4 \sin(\pi/32)} = \frac{1}{16 \sin(\pi/32)}$ है।
यह $\frac{1}{16} \operatorname{cosec} \frac{\pi}{32} = 2^{-4} \operatorname{cosec} \frac{\pi}{32}$ के बराबर है।
$2^m \operatorname{cosec} \frac{\pi}{n}$ के साथ तुलना करने पर,हमें $m = -4$ और $n = 32$ प्राप्त होता है।
अतः,$m+n = -4 + 32 = 28$ है।

(A) दी गई व्यंजक: $S = \sin \frac{2 \pi}{5}+\sin \frac{4 \pi}{5}+\sin \frac{6 \pi}{5}+\sin \frac{8 \pi}{5}$
गुणधर्म $\sin(2\pi - \theta) = -\sin \theta$ का उपयोग करने पर:
$\sin \frac{8 \pi}{5} = \sin(2\pi - \frac{2 \pi}{5}) = -\sin \frac{2 \pi}{5}$
$\sin \frac{6 \pi}{5} = \sin(2\pi - \frac{4 \pi}{5}) = -\sin \frac{4 \pi}{5}$
इन मानों को व्यंजक में रखने पर:
$S = \sin \frac{2 \pi}{5} + \sin \frac{4 \pi}{5} - \sin \frac{4 \pi}{5} - \sin \frac{2 \pi}{5}$
$S = 0$

(C) दी गई व्यंजक $S = \sin ^2 5^{\circ}+\sin ^2 10^{\circ}+\ldots+\sin ^2 85^{\circ}+\sin ^2 90^{\circ}$ है।
$5^{\circ}$ से $90^{\circ}$ तक कुल $18$ पद हैं।
हम सर्वसमिका $\sin ^2 \theta + \sin ^2 (90^{\circ} - \theta) = \sin ^2 \theta + \cos ^2 \theta = 1$ का उपयोग कर सकते हैं।
पदों की जोड़ी बनाने पर: $(\sin ^2 5^{\circ} + \sin ^2 85^{\circ}) + (\sin ^2 10^{\circ} + \sin ^2 80^{\circ}) + \ldots + (\sin ^2 40^{\circ} + \sin ^2 50^{\circ}) + \sin ^2 45^{\circ} + \sin ^2 90^{\circ}$।
ऐसी कुल $8$ जोड़ियाँ हैं,जिनका मान $1$ है।
अतः,$S = 8 \times 1 + \sin ^2 45^{\circ} + \sin ^2 90^{\circ}$।
चूंकि $\sin 45^{\circ} = \frac{1}{\sqrt{2}}$ और $\sin 90^{\circ} = 1$,इसलिए $S = 8 + (\frac{1}{\sqrt{2}})^2 + 1^2 = 8 + \frac{1}{2} + 1 = 9 \frac{1}{2}$।

(C) दिया गया है $3 \operatorname{cosec} x = 4 \sin x$
$\Rightarrow \frac{3}{\sin x} = 4 \sin x$
$\Rightarrow 4 \sin^2 x = 3$
$\Rightarrow \sin^2 x = \frac{3}{4}$
$\Rightarrow \sin x = \pm \frac{\sqrt{3}}{2}$
अतः,$x$ के मान $\pm \frac{\pi}{3}$ हैं।

(C) दिया है,$\cos 2\theta = \cos \theta + \sin \theta$.
सर्वसमिका $\cos 2\theta = \cos^2 \theta - \sin^2 \theta$ का उपयोग करने पर:
$\cos^2 \theta - \sin^2 \theta = \cos \theta + \sin \theta$
$(\cos \theta + \sin \theta)(\cos \theta - \sin \theta) = \cos \theta + \sin \theta$
$(\cos \theta + \sin \theta)(\cos \theta - \sin \theta - 1) = 0$
इसका अर्थ है $\cos \theta + \sin \theta = 0$ या $\cos \theta - \sin \theta = 1$.
स्थिति $1$: $\cos \theta + \sin \theta = 0 \Rightarrow \tan \theta = -1$.
$\theta \in [0, 2\pi]$ के लिए,$\theta = \frac{3\pi}{4}, \frac{7\pi}{4}$.
स्थिति $2$: $\cos \theta - \sin \theta = 1$.
$\sqrt{2}$ से भाग देने पर,$\cos(\theta + \frac{\pi}{4}) = \cos(\frac{\pi}{4})$.
अतः,$\theta + \frac{\pi}{4} = 2n\pi \pm \frac{\pi}{4}$.
$n=0$ के लिए,$\theta = 0$ या $\theta = \frac{3\pi}{2}$.
$n=1$ के लिए,$\theta = 2\pi$ या $\theta = \pi$ (जो हल नहीं है)।
संभावित मान $\theta \in \{0, \frac{3\pi}{4}, \frac{3\pi}{2}, \frac{7\pi}{4}, 2\pi\}$ हैं।
योग $= 0 + \frac{3\pi}{4} + \frac{6\pi}{4} + \frac{7\pi}{4} + \frac{8\pi}{4} = \frac{24\pi}{4} = 6\pi$.

(B) दिया गया समीकरण $\sin^4 x + \cos^4 x = a$ है।
हम व्यंजक को इस प्रकार लिख सकते हैं:
$\sin^4 x + \cos^4 x = (\sin^2 x + \cos^2 x)^2 - 2 \sin^2 x \cos^2 x$
$= 1^2 - \frac{1}{2} (2 \sin x \cos x)^2$
$= 1 - \frac{1}{2} \sin^2(2x)$.
चूंकि $0 \leq \sin^2(2x) \leq 1$,हम $-\frac{1}{2}$ से गुणा करते हैं:
$-\frac{1}{2} \leq -\frac{1}{2} \sin^2(2x) \leq 0$.
सभी भागों में $1$ जोड़ने पर:
$1 - \frac{1}{2} \leq 1 - \frac{1}{2} \sin^2(2x) \leq 1 + 0$
$\frac{1}{2} \leq a \leq 1$.
अतः,समीकरण के वास्तविक हल तब होते हैं जब $\frac{1}{2} \leq a \leq 1$ हो।

(C) माना $x = 30^{\circ}-\alpha$ और $y = 60^{\circ}-\alpha$. तब $x+y = 90^{\circ}-2\alpha$.
हम जानते हैं कि $\tan(x+y) = \tan(90^{\circ}-2\alpha) = \cot 2\alpha = \frac{1}{\tan 2\alpha}$.
सूत्र $\tan(x+y) = \frac{\tan x + \tan y}{1 - \tan x \tan y}$ का उपयोग करने पर:
$\frac{\tan x + \tan y}{1 - \tan x \tan y} = \frac{1}{\tan 2\alpha}$.
वज्र-गुणन करने पर:
$\tan 2\alpha (\tan x + \tan y) = 1 - \tan x \tan y$.
पदों को व्यवस्थित करने पर:
$\tan 2\alpha \tan x + \tan 2\alpha \tan y + \tan x \tan y = 1$.
$x = 30^{\circ}-\alpha$ और $y = 60^{\circ}-\alpha$ का मान रखने पर:
$\tan 2\alpha \tan(30^{\circ}-\alpha) + \tan 2\alpha \tan(60^{\circ}-\alpha) + \tan(60^{\circ}-\alpha) \tan(30^{\circ}-\alpha) = 1$.

(D) दिया है,$f(x) = \frac{\cot x}{1 + \cot x}$ और $\alpha + \beta = \frac{5 \pi}{4}$.
चूंकि $\cot(\alpha + \beta) = \cot(\frac{5 \pi}{4}) = 1$,इसलिए $\frac{\cot \alpha \cot \beta - 1}{\cot \alpha + \cot \beta} = 1$ है।
इसका अर्थ है $\cot \alpha \cot \beta - 1 = \cot \alpha + \cot \beta$,या $\cot \alpha \cot \beta = 1 + \cot \alpha + \cot \beta$.
अब,$f(\alpha) f(\beta) = \frac{\cot \alpha}{1 + \cot \alpha} \times \frac{\cot \beta}{1 + \cot \beta} = \frac{\cot \alpha \cot \beta}{1 + \cot \alpha + \cot \beta + \cot \alpha \cot \beta}$.
$\cot \alpha + \cot \beta = \cot \alpha \cot \beta - 1$ प्रतिस्थापित करने पर,$f(\alpha) f(\beta) = \frac{\cot \alpha \cot \beta}{1 + (\cot \alpha \cot \beta - 1) + \cot \alpha \cot \beta} = \frac{\cot \alpha \cot \beta}{2 \cot \alpha \cot \beta} = \frac{1}{2}$.

(D) दिया गया है $\sin \left(\frac{\pi}{4} \cot \theta\right)=\cos \left(\frac{\pi}{4} \tan \theta\right)$.
सर्वसमिका $\cos x = \sin \left(\frac{\pi}{2} - x\right)$ का उपयोग करने पर,
$\sin \left(\frac{\pi}{4} \cot \theta\right) = \sin \left(\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{4} \tan \theta\right)$.
$\frac{\pi}{4} \cot \theta = \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{4} \tan \theta$.
$\frac{\pi}{4} (\cot \theta + \tan \theta) = \frac{\pi}{2}$.
$\cot \theta + \tan \theta = 2$.
$\frac{1}{\sin \theta \cos \theta} = 2$.
$1 = 2 \sin \theta \cos \theta$.
$1 = \sin 2 \theta$.
चूंकि $\sin 2 \theta = 1$,इसलिए $2 \theta = 2n \pi + \frac{\pi}{2}$.
$2$ से भाग देने पर,$\theta = n \pi + \frac{\pi}{4}$ प्राप्त होता है।

(C) माना $z_1 = \cos \alpha + i \sin \alpha$,$z_2 = 3(\cos 3 \beta + i \sin 3 \beta)$,और $z_3 = 5(\cos 5 \gamma + i \sin 5 \gamma)$ है।
दिए गए समीकरणों से पता चलता है कि $z_1 + z_2 + z_3 = 0$ है।
सर्वसमिका $z_1^3 + z_2^3 + z_3^3 = 3z_1 z_2 z_3$ का उपयोग करते हुए,जब $z_1 + z_2 + z_3 = 0$ हो:
$(\cos \alpha + i \sin \alpha)^3 + (3(\cos 3 \beta + i \sin 3 \beta))^3 + (5(\cos 5 \gamma + i \sin 5 \gamma))^3 = 3(z_1)(z_2)(z_3)$।
$(\cos 3 \alpha + i \sin 3 \alpha) + 27(\cos 9 \beta + i \sin 9 \beta) + 125(\cos 15 \gamma + i \sin 15 \gamma) = 3(1 \cdot 3 \cdot 5) [\cos(\alpha + 3 \beta + 5 \gamma) + i \sin(\alpha + 3 \beta + 5 \gamma)]$।
वास्तविक भागों की तुलना करने पर:
$\cos 3 \alpha + 27 \cos 9 \beta + 125 \cos 15 \gamma = 45 \cos(\alpha + 3 \beta + 5 \gamma)$।
इसे दिए गए समीकरण $\cos 3 \alpha + 27 \cos 9 \beta + 125 \cos 15 \gamma = (\lambda^2 - 4) \cos(\alpha + 3 \beta + 5 \gamma)$ के साथ तुलना करने पर:
$\lambda^2 - 4 = 45 \implies \lambda^2 = 49 \implies \lambda = \pm 7$।

(C) दिया गया समीकरण $(\sin x + \cos x)^{1 + \sin 2x} = 2$ है।
चूँकि $1 + \sin 2x = (\sin x + \cos x)^2$,समीकरण $(\sin x + \cos x)^{(\sin x + \cos x)^2} = 2$ हो जाता है।
माना $u = \sin x + \cos x$,तो $u^{u^2} = 2$।
हम जानते हैं कि $-\sqrt{2} \leq \sin x + \cos x \leq \sqrt{2}$।
यदि $u = \sqrt{2}$ है,तो $(\sqrt{2})^{(\sqrt{2})^2} = 2$।
अतः $\sin x + \cos x = \sqrt{2} \implies x = \frac{\pi}{4}$।
यदि $u = -\sqrt{2}$ है,तो $(-\sqrt{2})^{(-\sqrt{2})^2} = 2$।
अतः $\sin x + \cos x = -\sqrt{2} \implies x = -\frac{3\pi}{4}$।
दिए गए विकल्पों के अनुसार,सही उत्तर $\frac{\pi}{4}$ है।

(D) हमें सर्वसमिका दी गई है: $\frac{\sin 1^{\circ}}{\sin x^{\circ} \sin (x+1)^{\circ}} = \cot x^{\circ} - \cot (x+1)^{\circ}$.
दोनों पक्षों को $\sin 1^{\circ}$ से विभाजित करने पर: $\frac{1}{\sin x^{\circ} \sin (x+1)^{\circ}} = \frac{\cot x^{\circ} - \cot (x+1)^{\circ}}{\sin 1^{\circ}}$.
माना $S = \sum_{x=45}^{89} \frac{1}{\sin x^{\circ} \sin (x+1)^{\circ}}$.
सर्वसमिका का उपयोग करने पर: $S = \frac{1}{\sin 1^{\circ}} \sum_{x=45}^{89} (\cot x^{\circ} - \cot (x+1)^{\circ})$.
यह एक टेलीस्कोपिंग श्रेणी है: $S = \frac{1}{\sin 1^{\circ}} [(\cot 45^{\circ} - \cot 46^{\circ}) + (\cot 46^{\circ} - \cot 47^{\circ}) + \dots + (\cot 89^{\circ} - \cot 90^{\circ})]$.
सभी मध्यवर्ती पद कट जाएंगे: $S = \frac{1}{\sin 1^{\circ}} (\cot 45^{\circ} - \cot 90^{\circ})$.
चूंकि $\cot 45^{\circ} = 1$ और $\cot 90^{\circ} = 0$,इसलिए $S = \frac{1}{\sin 1^{\circ}} (1 - 0) = \frac{1}{\sin 1^{\circ}} = \operatorname{cosec} 1^{\circ}$.

(B) जब निर्देशांक अक्षों को $\theta$ कोण पर घुमाया जाता है,तो एक बिंदु $(x, y)$ के नए निर्देशांक $(x', y')$ निम्नलिखित समीकरणों द्वारा दिए जाते हैं:
$x' = x \cos \theta + y \sin \theta$
$y' = -x \sin \theta + y \cos \theta$
दिया गया है $(x, y) = (2 \sqrt{2}, -3 \sqrt{2})$ और $\theta = 45^{\circ}$।
मान प्रतिस्थापित करने पर:
$x' = (2 \sqrt{2}) \cos 45^{\circ} + (-3 \sqrt{2}) \sin 45^{\circ}$
$x' = (2 \sqrt{2}) \times \frac{1}{\sqrt{2}} - (3 \sqrt{2}) \times \frac{1}{\sqrt{2}} = 2 - 3 = -1$
$y' = -(2 \sqrt{2}) \sin 45^{\circ} + (-3 \sqrt{2}) \cos 45^{\circ}$
$y' = -(2 \sqrt{2}) \times \frac{1}{\sqrt{2}} - (3 \sqrt{2}) \times \frac{1}{\sqrt{2}} = -2 - 3 = -5$
अतः,नए निर्देशांक $(-1, -5)$ हैं।

(B) माना मूल निर्देशांक $(x, y)$ हैं और $\theta = 135^{\circ}$ के घूर्णन के बाद नए निर्देशांक $(x', y') = (4, -3)$ हैं।
अक्षों के घूर्णन के लिए रूपांतरण सूत्रों का उपयोग करते हुए:
$x = x' \cos \theta - y' \sin \theta$
$y = x' \sin \theta + y' \cos \theta$
यहाँ $\cos 135^{\circ} = -\frac{1}{\sqrt{2}}$ और $\sin 135^{\circ} = \frac{1}{\sqrt{2}}$ है।
मान रखने पर:
$x = 4 \left(-\frac{1}{\sqrt{2}}\right) - (-3) \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right) = -\frac{4}{\sqrt{2}} + \frac{3}{\sqrt{2}} = -\frac{1}{\sqrt{2}}$
$y = 4 \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right) + (-3) \left(-\frac{1}{\sqrt{2}}\right) = \frac{4}{\sqrt{2}} + \frac{3}{\sqrt{2}} = \frac{7}{\sqrt{2}}$
अतः,मूल निर्देशांक $\left(-\frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{7}{\sqrt{2}}\right)$ हैं।

(C) माना कि रेखा $3x + 4y = 6$ बिंदुओं $P(2, -1)$ और $Q(1, 1)$ को मिलाने वाले रेखाखंड को $k:1$ के अनुपात में विभाजित करती है।
विभाजन सूत्र का उपयोग करते हुए,प्रतिच्छेदन बिंदु के निर्देशांक $\left(\frac{2+k}{k+1}, \frac{k-1}{k+1}\right)$ हैं।
चूंकि यह बिंदु रेखा $3x + 4y = 6$ पर स्थित है,हम इन निर्देशांकों को समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं:
$3\left(\frac{2+k}{k+1}\right) + 4\left(\frac{k-1}{k+1}\right) = 6$.
$(k+1)$ से गुणा करने पर:
$3(2+k) + 4(k-1) = 6(k+1)$.
$6 + 3k + 4k - 4 = 6k + 6$.
$7k + 2 = 6k + 6$.
$k = 4$.
अतः,अनुपात $4:1$ है।

(C) माना $G$,$\triangle ABC$ का केंद्रक है। केंद्रक $G$,माध्यिका $AD$ को $2:1$ के अनुपात में विभाजित करता है।
दिया है $AD = 4$,इसलिए $AG = \frac{2}{3} \times 4 = \frac{8}{3}$ और $GD = \frac{1}{3} \times 4 = \frac{4}{3}$ है।
$\triangle ABG$ में,$\angle GAB = \frac{\pi}{6}$ और $\angle GBA = \frac{\pi}{3}$ है।
अतः,$\angle AGB = \pi - (\frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{3}) = \pi - \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{2}$ है।
इस प्रकार,$\triangle ABG$ बिंदु $G$ पर एक समकोण त्रिभुज है।
$\triangle ABG$ में,$\tan(\angle GBA) = \frac{AG}{BG} \implies \tan(\frac{\pi}{3}) = \frac{8/3}{BG}$ है।
$BG = \frac{8/3}{\sqrt{3}} = \frac{8}{3\sqrt{3}}$ है।
$\triangle ABD$ का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times AD \times BG \times \sin(\angle AGB) = \frac{1}{2} \times 4 \times \frac{8}{3\sqrt{3}} \times 1 = \frac{16}{3\sqrt{3}}$ है।
चूंकि माध्यिका $AD$,$\triangle ABC$ को समान क्षेत्रफल वाले दो त्रिभुजों में विभाजित करती है,इसलिए $\triangle ABC$ का क्षेत्रफल $= 2 \times \text{Area}(\triangle ABD) = 2 \times \frac{16}{3\sqrt{3}} = \frac{32}{3\sqrt{3}}$ वर्ग इकाई है।

(B) माना मूल निर्देशांक $(x, y)$ हैं और $\theta = 45^{\circ}$ के घूर्णन के बाद नए निर्देशांक $(X, Y) = (1, -1)$ हैं।
रूपांतरण सूत्रों का उपयोग करते हुए:
$x = X \cos \theta - Y \sin \theta$
$x = (1) \cos 45^{\circ} - (-1) \sin 45^{\circ} = \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}$
$y = X \sin \theta + Y \cos \theta$
$y = (1) \sin 45^{\circ} + (-1) \cos 45^{\circ} = \frac{1}{\sqrt{2}} - \frac{1}{\sqrt{2}} = 0$
अतः,मूल प्रणाली में $P$ के निर्देशांक $(\sqrt{2}, 0)$ हैं।

(B) दिया गया समीकरण $3x^2 + 3y^2 + 2xy = 2 \dots (i)$ है।
जब निर्देशांक अक्षों को $\theta = 45^{\circ}$ के कोण पर घुमाया जाता है,तो रूपांतरण समीकरण हैं:
$x = \frac{X - Y}{\sqrt{2}}$ और $y = \frac{X + Y}{\sqrt{2}}$
इन मानों को समीकरण $(i)$ में रखने पर:
$3\left(\frac{X - Y}{\sqrt{2}}\right)^2 + 3\left(\frac{X + Y}{\sqrt{2}}\right)^2 + 2\left(\frac{X - Y}{\sqrt{2}}\right)\left(\frac{X + Y}{\sqrt{2}}\right) = 2$
$\frac{3}{2}(X^2 - 2XY + Y^2) + \frac{3}{2}(X^2 + 2XY + Y^2) + (X^2 - Y^2) = 2$
$3X^2 + 3Y^2 + X^2 - Y^2 = 2$
$4X^2 + 2Y^2 = 2$
$2$ से भाग देने पर,$2X^2 + Y^2 = 1$ प्राप्त होता है।
अतः,रूपांतरित समीकरण $2x^2 + y^2 = 1$ है।

(B) बिंदु $A(-1, -1)$ और $B(2, 1)$ हैं। रेखा $AB$ का समीकरण $y - y_1 = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}(x - x_1)$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर,$y + 1 = \frac{1 - (-1)}{2 - (-1)}(x - (-1)) \Rightarrow y + 1 = \frac{2}{3}(x + 1)$।
यह $3y + 3 = 2x + 2$,या $2x - 3y - 1 = 0$ में सरल हो जाता है।
मान लीजिए कि रेखा $AB$,$C(3, 4)$ और $D(1, 2)$ को मिलाने वाले रेखाखंड को $\lambda: 1$ के अनुपात में बिंदु $P$ पर विभाजित करती है। विभाजन सूत्र के अनुसार $P$ के निर्देशांक $P = \left(\frac{3 + \lambda}{1 + \lambda}, \frac{4 + 2\lambda}{1 + \lambda}\right)$ हैं।
चूंकि बिंदु $P$ रेखा $2x - 3y - 1 = 0$ पर स्थित है,हम $P$ के निर्देशांकों को समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं:
$2\left(\frac{3 + \lambda}{1 + \lambda}\right) - 3\left(\frac{4 + 2\lambda}{1 + \lambda}\right) - 1 = 0$।
$(1 + \lambda)$ से गुणा करने पर,$2(3 + \lambda) - 3(4 + 2\lambda) - (1 + \lambda) = 0$।
$6 + 2\lambda - 12 - 6\lambda - 1 - \lambda = 0$।
$-5\lambda - 7 = 0 \Rightarrow \lambda = -7/5$।
ऋणात्मक चिह्न दर्शाता है कि रेखा रेखाखंड को $7: 5$ के अनुपात में बाह्य रूप से विभाजित करती है।

(A) माना त्रिभुज के शीर्ष $A(0,0,0), B(3,0,0)$ और $C(0,4,0)$ हैं।
सबसे पहले,हम शीर्षों $A, B$ और $C$ के सम्मुख भुजाओं की लंबाई ज्ञात करते हैं:
$a = BC = \sqrt{(0-3)^2 + (4-0)^2 + (0-0)^2} = \sqrt{9+16} = 5$
$b = AC = \sqrt{(0-0)^2 + (4-0)^2 + (0-0)^2} = 4$
$c = AB = \sqrt{(3-0)^2 + (0-0)^2 + (0-0)^2} = 3$
अंतःकेंद्र $(x, y, z)$ के निर्देशांक निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिए जाते हैं:
$x = \frac{ax_1 + bx_2 + cx_3}{a+b+c}, y = \frac{ay_1 + by_2 + cy_3}{a+b+c}, z = \frac{az_1 + bz_2 + cz_3}{a+b+c}$
मान रखने पर:
$x = \frac{5(0) + 4(3) + 3(0)}{5+4+3} = \frac{12}{12} = 1$
$y = \frac{5(0) + 4(0) + 3(4)}{5+4+3} = \frac{12}{12} = 1$
$z = \frac{5(0) + 4(0) + 3(0)}{5+4+3} = 0$
अतः,अंतःकेंद्र $(1, 1, 0)$ है।

(B) माना बिंदु $P$ के निर्देशांक $(x, y)$ हैं।
दिया गया है कि $PA:PB = 2:1$,इसलिए $PA^2 = 4PB^2$ है।
दूरी सूत्र का उपयोग करने पर,$PA^2 = (x-2)^2 + (y-1)^2$ और $PB^2 = (x-1)^2 + (y-2)^2$ है।
इन मानों को समीकरण में रखने पर:
$(x-2)^2 + (y-1)^2 = 4[(x-1)^2 + (y-2)^2]$
$x^2 - 4x + 4 + y^2 - 2y + 1 = 4[x^2 - 2x + 1 + y^2 - 4y + 4]$
$x^2 + y^2 - 4x - 2y + 5 = 4x^2 + 4y^2 - 8x - 16y + 20$
पदों को एक तरफ व्यवस्थित करने पर:
$3x^2 + 3y^2 - 4x - 14y + 15 = 0$.

(A) $\triangle ABC$ में,भुजाओं $AB$,$BC$ और $CA$ के समीकरण क्रमशः $2x+y=0$,$x+py=q$ और $x-y=3$ हैं। $P(2,3)$ लंबकेंद्र है।
$1$. $AB$ और $CA$ को हल करके शीर्ष $A$ प्राप्त करना:
$2x+y=0 \Rightarrow y=-2x$
$x-y=3$ में प्रतिस्थापित करने पर: $x-(-2x)=3$ $\Rightarrow 3x=3$ $\Rightarrow x=1, y=-2$.
अतः,$A = (1, -2)$.
$2$. $p$ का मान ज्ञात करना:
$A$ से $BC$ पर डाला गया शीर्षलंब $P(2,3)$ से गुजरता है।
$AP$ की ढाल = $\frac{3-(-2)}{2-1} = 5$.
चूंकि $AP \perp BC$,इसलिए $BC$ की ढाल $-\frac{1}{5}$ होगी।
$BC$ का समीकरण $x+py=q$ है,इसलिए इसकी ढाल $-\frac{1}{p}$ है।
$-\frac{1}{p} = -\frac{1}{5} \Rightarrow p=5$.
$3$. $q$ का मान ज्ञात करना:
शीर्ष $B$,$AB$ $(2x+y=0)$ और $BC$ $(x+5y=q)$ का प्रतिच्छेदन बिंदु है।
$y=-2x$ $\Rightarrow x+5(-2x)=q$ $\Rightarrow -9x=q$ $\Rightarrow x=-\frac{q}{9}, y=\frac{2q}{9}$.
अतः,$B = \left(-\frac{q}{9}, \frac{2q}{9}\right)$.
$B$ से $AC$ पर डाला गया शीर्षलंब $P(2,3)$ से गुजरता है।
$AC$ की ढाल ($x-y=3$ से) $1$ है।
चूंकि $BP \perp AC$,इसलिए $BP$ की ढाल $-1$ होगी।
$BP$ की ढाल = $\frac{\frac{2q}{9}-3}{-\frac{q}{9}-2} = \frac{2q-27}{-q-18} = -1$.
$2q-27 = q+18 \Rightarrow q=45$.
$4$. अंतिम मान:
$p+q = 5+45 = 50$.

(C) दिया गया है $f(x) = [x]^2 - [x^2]$.
किसी भी पूर्णांक $n$ के लिए,मान लीजिए $x = n + h$,जहाँ $0 \le h < 1$.
तब $f(n+h) = [n+h]^2 - [(n+h)^2] = n^2 - [n^2 + 2nh + h^2] = n^2 - n^2 - [2nh + h^2] = -[2nh + h^2]$.
$x = n$ पर,$f(n) = [n]^2 - [n^2] = n^2 - n^2 = 0$.
$x \to n^-$ के लिए,मान लीजिए $x = n - h$ जहाँ $h \to 0^+$. तब $f(n-h) = [n-h]^2 - [(n-h)^2] = (n-1)^2 - [n^2 - 2nh + h^2]$.
$n=0$ के लिए,$f(0)=0$. $\lim_{x \to 0^-} f(x) = [-h]^2 - [h^2] = (-1)^2 - 0 = 1$. चूँकि $1 \neq 0$,$f(x)$ बिंदु $x=0$ पर असंतत है।
$n=1$ के लिए,$f(1)=0$. $\lim_{x \to 1^-} f(x) = [1-h]^2 - [(1-h)^2] = 0^2 - 0 = 0$. $\lim_{x \to 1^+} f(x) = [1+h]^2 - [(1+h)^2] = 1^2 - 1 = 0$. चूँकि $0=0$,$f(x)$ बिंदु $x=1$ पर संतत है।
किसी अन्य पूर्णांक $n \neq 0, 1$ के लिए,फलन असंतत है क्योंकि बाएँ और दाएँ पक्ष की सीमा $f(n)=0$ के बराबर नहीं होगी।
अतः,$f(x)$ $1$ को छोड़कर सभी पूर्णांकों पर असंतत है।

(B) दिया गया है,$f(x) = \frac{\log (1+x)^{1+x}}{x^2} - \frac{1}{x}$.
गुणधर्म $\log(a^b) = b \log a$ का उपयोग करने पर:
$f(x) = \frac{(1+x) \log (1+x)}{x^2} - \frac{1}{x} = \frac{(1+x) \log (1+x) - x}{x^2}$.
चूंकि $f(x)$ बिंदु $x=0$ पर सतत है,इसलिए $f(0) = \lim_{x \to 0} f(x)$.
$\lim_{x \to 0} f(x) = \lim_{x \to 0} \frac{(1+x) \log (1+x) - x}{x^2}$.
यह $\frac{0}{0}$ रूप है,इसलिए $L$-Hospital नियम का उपयोग करने पर:
$\lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{dx} [(1+x) \log (1+x) - x]}{\frac{d}{dx} [x^2]} = \lim_{x \to 0} \frac{(1+x) \cdot \frac{1}{1+x} + \log(1+x) - 1}{2x} = \lim_{x \to 0} \frac{1 + \log(1+x) - 1}{2x} = \lim_{x \to 0} \frac{\log(1+x)}{2x}$.
मानक सीमा $\lim_{x \to 0} \frac{\log(1+x)}{x} = 1$ का उपयोग करने पर:
$f(0) = \frac{1}{2} \times 1 = \frac{1}{2}$.
अतः,$6 f(0) = 6 \times \frac{1}{2} = 3$.

(A) फलन $f(x) = 2x|x|$ द्वारा दिया गया है।
हम इसे एक टुकड़ों में परिभाषित फलन के रूप में लिख सकते हैं:
$f(x) = \begin{cases} 2x^2, & x \geq 0 \\ -2x^2, & x < 0 \end{cases}$
चूँकि $2x^2$ और $-2x^2$ बहुपद हैं,इसलिए $f(x)$ सभी $x \neq 0$ के लिए अवकलनीय है। हमें केवल $x = 0$ पर अवकलनीयता की जाँच करने की आवश्यकता है।
$x = 0$ पर बायाँ अवकलज $(LHD)$:
$f'(0^-) = \lim_{h \rightarrow 0^-} \frac{f(0+h) - f(0)}{h} = \lim_{h \rightarrow 0^-} \frac{-2h^2 - 0}{h} = \lim_{h \rightarrow 0^-} (-2h) = 0$.
$x = 0$ पर दायाँ अवकलज $(RHD)$:
$f'(0^+) = \lim_{h \rightarrow 0^+} \frac{f(0+h) - f(0)}{h} = \lim_{h \rightarrow 0^+} \frac{2h^2 - 0}{h} = \lim_{h \rightarrow 0^+} (2h) = 0$.
चूँकि $LHD = RHD = 0$ है,इसलिए फलन $f(x)$ बिंदु $x = 0$ पर अवकलनीय है।
अतः,$f(x)$ सभी $x \in (-\infty, \infty)$ के लिए अवकलनीय है।

(B) दिए गए फलन $f(x) = \sqrt{x^2 + 1}$,$g(x) = \frac{x + 1}{x^2 + 1}$,और $h(x) = 2x - 3$ हैं।
सबसे पहले,हम प्रत्येक फलन का अवकलन ज्ञात करते हैं:
$f'(x) = \frac{d}{dx}(\sqrt{x^2 + 1}) = \frac{1}{2\sqrt{x^2 + 1}} \cdot (2x) = \frac{x}{\sqrt{x^2 + 1}}$.
$g'(x) = \frac{d}{dx}(\frac{x + 1}{x^2 + 1}) = \frac{(x^2 + 1)(1) - (x + 1)(2x)}{(x^2 + 1)^2} = \frac{x^2 + 1 - 2x^2 - 2x}{(x^2 + 1)^2} = \frac{-x^2 - 2x + 1}{(x^2 + 1)^2}$.
$h'(x) = \frac{d}{dx}(2x - 3) = 2$.
अब,हम संयुक्त व्यंजक $f' [h'(g'(x))]$ का मान ज्ञात करते हैं।
चूंकि $h'(x) = 2$ एक अचर फलन है,इसलिए किसी भी $x$ के लिए $h'(g'(x)) = 2$ होगा।
अतः,$f' [h'(g'(x))] = f'(2)$.
$f'(x)$ के सूत्र में $x = 2$ रखने पर:
$f'(2) = \frac{2}{\sqrt{2^2 + 1}} = \frac{2}{\sqrt{4 + 1}} = \frac{2}{\sqrt{5}}$.
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(C) दिया गया समीकरण $y = e^{x^2 + e^{x^2 + e^{x^2} + \dots}}$ है।
चूंकि घातांक अनंत तक दोहराया जाता है,हम लिख सकते हैं $y = e^{x^2 + y}$।
दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लेने पर,हमें प्राप्त होता है $\ln(y) = x^2 + y$।
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{d}{dx}(\ln(y)) = \frac{d}{dx}(x^2 + y)$
$\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = 2x + \frac{dy}{dx}$
$\frac{dy}{dx}$ के लिए पदों को व्यवस्थित करने पर:
$\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} - \frac{dy}{dx} = 2x$
$\frac{dy}{dx} (\frac{1}{y} - 1) = 2x$
$\frac{dy}{dx} (\frac{1 - y}{y}) = 2x$
$\frac{dy}{dx} = \frac{2xy}{1 - y}$।

(B) दिया गया है $f(x) = 2x^2 + 3x - 5$.
सबसे पहले,$x$ के सापेक्ष अवकलन $f'(x)$ ज्ञात करें:
$f'(x) = \frac{d}{dx}(2x^2 + 3x - 5) = 4x + 3$.
अब,$f'(0)$ का मान ज्ञात करें:
$f'(0) = 4(0) + 3 = 3$.
इसके बाद,$f'(-1)$ का मान ज्ञात करें:
$f'(-1) = 4(-1) + 3 = -4 + 3 = -1$.
अंत में,$f'(0) + 3f'(-1)$ का मान निकालें:
$f'(0) + 3f'(-1) = 3 + 3(-1) = 3 - 3 = 0$.

(A) दिया गया है $y = \sin(\sin x)$ . . . $(i)$
श्रृंखला नियम (chain rule) का उपयोग करके $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$y' = \cos(\sin x) \cdot \cos x$ . . . $(ii)$
पुनः $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$y'' = -\sin(\sin x) \cdot \cos^2 x - \sin x \cdot \cos(\sin x)$
समीकरण $(ii)$ से,हमारे पास $\cos(\sin x) = \frac{y'}{\cos x}$ है। इस मान को $y''$ के व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$y'' = -\sin(\sin x) \cdot \cos^2 x - \sin x \cdot \left(\frac{y'}{\cos x}\right)$
$y'' = -y \cdot \cos^2 x - \tan x \cdot y'$
पदों को व्यवस्थित करने पर:
$y'' + \tan x \cdot y' + \cos^2 x \cdot y = 0$
इसकी तुलना $y'' + f(x) \cdot y' + g(x) \cdot y = 0$ से करने पर,हमें $f(x) = \tan x$ और $g(x) = \cos^2 x$ प्राप्त होता है।
अतः,$f(x) \cdot g(x) = \tan x \cdot \cos^2 x = \frac{\sin x}{\cos x} \cdot \cos^2 x = \sin x \cdot \cos x$.
सर्वसमिका $\sin(2x) = 2 \sin x \cos x$ का उपयोग करने पर:
$f(x) \cdot g(x) = \frac{1}{2} \sin(2x)$.

(A) माना $y = \frac{2}{\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+2 \cos 4 x}}}}$.
सर्वसमिका $1+\cos 2A = 2 \cos^2 A$ का उपयोग करके,हम व्यंजक को चरणबद्ध तरीके से सरल करते हैं:
$y = \frac{2}{\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2(1+\cos 4 x)}}}} = \frac{2}{\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{4 \cos^2 2 x}}}} = \frac{2}{\sqrt{2+\sqrt{2+2 \cos 2 x}}}$.
आगे सरल करने पर:
$y = \frac{2}{\sqrt{2+\sqrt{2(1+\cos 2 x)}}} = \frac{2}{\sqrt{2+\sqrt{4 \cos^2 x}}} = \frac{2}{\sqrt{2+2 \cos x}} = \frac{2}{\sqrt{2(1+\cos x)}} = \frac{2}{\sqrt{4 \cos^2 \frac{x}{2}}}$.
अतः,$y = \frac{2}{2 \cos \frac{x}{2}} = \sec \frac{x}{2}$.
श्रृंखला नियम (chain rule) का उपयोग करके $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dy}{dx} = \sec \frac{x}{2} \tan \frac{x}{2} \cdot \frac{1}{2}$.
इसकी तुलना $k \sec \frac{x}{2} \tan \frac{x}{2}$ से करने पर,हमें $k = \frac{1}{2}$ प्राप्त होता है।

(B) दिया गया है कि $f^{\prime}(x) = \sqrt{2x^2-1}$ और $y = f(x^3)$ है।
$y$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने के लिए श्रृंखला नियम (chain rule) का उपयोग करते हुए:
$\frac{dy}{dx} = f^{\prime}(x^3) \cdot \frac{d}{dx}(x^3)$
$\frac{dy}{dx} = f^{\prime}(x^3) \cdot 3x^2$
अब,$x=1$ पर अवकलज का मान ज्ञात करते हैं:
$\left. \frac{dy}{dx} \right|_{x=1} = f^{\prime}(1^3) \cdot 3(1)^2$
$= f^{\prime}(1) \cdot 3$
$f^{\prime}(x)$ के दिए गए व्यंजक में $x=1$ रखने पर:
$f^{\prime}(1) = \sqrt{2(1)^2 - 1} = \sqrt{2-1} = \sqrt{1} = 1$
अतः,$\frac{dy}{dx} = 1 \cdot 3 = 3$.

(C) दिया गया समीकरण $3 \sin xy + 4 \cos xy = 5$ है।
माना $xy = t$ है।
$xy = t$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,गुणन नियम का उपयोग करते हुए,हमें $x \frac{dy}{dx} + y = \frac{dt}{dx} \dots (I)$ प्राप्त होता है।
अब,दिए गए समीकरण $3 \sin t + 4 \cos t = 5$ का $t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{d}{dt}(3 \sin t + 4 \cos t) = \frac{d}{dt}(5)$
$3 \cos t - 4 \sin t = 0$।
अतः,$\frac{dt}{dx} = 0$ प्राप्त होता है।
इस मान को समीकरण $(I)$ में रखने पर,$x \frac{dy}{dx} + y = 0$ प्राप्त होता है।
इसलिए,$\frac{dy}{dx} = \frac{-y}{x}$।

(D) दिया गया है,$\log(\sqrt{1+x^2}-x) = y(\sqrt{1+x^2})$।
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{d}{dx} [\log(\sqrt{1+x^2}-x)] = \frac{d}{dx} [y(\sqrt{1+x^2})]$
$\Rightarrow \frac{1}{\sqrt{1+x^2}-x} \cdot \left( \frac{x}{\sqrt{1+x^2}} - 1 \right) = \sqrt{1+x^2} \frac{dy}{dx} + y \cdot \frac{x}{\sqrt{1+x^2}}$
$\Rightarrow \frac{1}{\sqrt{1+x^2}-x} \cdot \left( \frac{x - \sqrt{1+x^2}}{\sqrt{1+x^2}} \right) = \sqrt{1+x^2} \frac{dy}{dx} + \frac{xy}{\sqrt{1+x^2}}$
$\Rightarrow \frac{-(\sqrt{1+x^2}-x)}{(\sqrt{1+x^2}-x) \sqrt{1+x^2}} = \sqrt{1+x^2} \frac{dy}{dx} + \frac{xy}{\sqrt{1+x^2}}$
$\Rightarrow -\frac{1}{\sqrt{1+x^2}} = \sqrt{1+x^2} \frac{dy}{dx} + \frac{xy}{\sqrt{1+x^2}}$
दोनों पक्षों को $\sqrt{1+x^2}$ से गुणा करने पर:
$-1 = (1+x^2) \frac{dy}{dx} + xy$
अतः,$(1+x^2) \frac{dy}{dx} + xy = -1$।

(C) दिया गया है $y = \prod_{k=1}^{n} (1 + \frac{k}{x}) = \frac{(x+1)(x+2)...(x+n)}{x^n}$.
दोनों पक्षों का लघुगणक लेने पर:
$\ln y = \sum_{k=1}^{n} \ln(1 + \frac{k}{x})$.
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = \sum_{k=1}^{n} \frac{-k}{x(x+k)}$.
गुणनफल नियम का उपयोग करते हुए,$x = -1$ पर केवल वह पद बचेगा जिसमें $(x+1)$ गुणनखंड है।
$\frac{dy}{dx} |_{x=-1} = (\frac{d}{dx} (1 + \frac{1}{x}))_{x=-1} \cdot (1 + \frac{2}{x}) (1 + \frac{3}{x}) ... (1 + \frac{n}{x}) |_{x=-1}$.
$= (-1) \cdot (1-2)(1-3)...(1-n) = (-1) \cdot (-1)^{n-1} (n-1)! = (-1)^n (n-1)!$.

(D) दिया गया है $y = \frac{1}{4} \log \left(\frac{1+x}{1-x}\right) - \frac{1}{2} \tan^{-1}(x)$.
लघुगणक के गुणों का उपयोग करते हुए,$y = \frac{1}{4} \log(1+x) - \frac{1}{4} \log(1-x) - \frac{1}{2} \tan^{-1}(x)$.
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{4} \left(\frac{1}{1+x}\right) - \frac{1}{4} \left(\frac{-1}{1-x}\right) - \frac{1}{2} \left(\frac{1}{1+x^2}\right)$
$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{4(1+x)} + \frac{1}{4(1-x)} - \frac{1}{2(1+x^2)}$
$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{4} \left(\frac{1-x+1+x}{1-x^2}\right) - \frac{1}{2(1+x^2)} = \frac{1}{4} \left(\frac{2}{1-x^2}\right) - \frac{1}{2(1+x^2)} = \frac{1}{2(1-x^2)} - \frac{1}{2(1+x^2)}$.
$x = \frac{1}{\sqrt{2}}$ के लिए,$x^2 = \frac{1}{2}$.
$\left(\frac{dy}{dx}\right)_{x=1/\sqrt{2}} = \frac{1}{2(1-1/2)} - \frac{1}{2(1+1/2)} = \frac{1}{2(1/2)} - \frac{1}{2(3/2)} = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$.

(C) दिया गया समीकरण $y = \log_y x$ है।
आधार परिवर्तन सूत्र का उपयोग करते हुए,हम इसे $y = \frac{\log_e x}{\log_e y}$ के रूप में लिख सकते हैं।
पदों को व्यवस्थित करने पर,हमें $y \cdot \log_e y = \log_e x$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{d}{dx}(y \cdot \log_e y) = \frac{d}{dx}(\log_e x)$
$y \cdot \frac{d}{dx}(\log_e y) + \log_e y \cdot \frac{dy}{dx} = \frac{1}{x}$
$y \cdot (\frac{1}{y} \cdot \frac{dy}{dx}) + \log_e y \cdot \frac{dy}{dx} = \frac{1}{x}$
$1 \cdot \frac{dy}{dx} + \log_e y \cdot \frac{dy}{dx} = \frac{1}{x}$
$(1 + \log_e y) \frac{dy}{dx} = \frac{1}{x}$
अतः,$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{x(1 + \log_e y)}$।

(D) $f(x) = \log _{x^2}(\log x)$
आधार परिवर्तन सूत्र $\log _a b = \frac{\log b}{\log a}$ का उपयोग करने पर:
$f(x) = \frac{\log(\log x)}{\log(x^2)} = \frac{\log(\log x)}{2 \log x}$
अब,भागफल नियम $\frac{d}{dx} \left( \frac{u}{v} \right) = \frac{v u' - u v'}{v^2}$ का उपयोग करके $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$f'(x) = \frac{1}{2} \frac{d}{dx} \left( \frac{\log(\log x)}{\log x} \right)$
$f'(x) = \frac{1}{2} \left[ \frac{(\log x) \cdot \frac{d}{dx}(\log(\log x)) - \log(\log x) \cdot \frac{d}{dx}(\log x)}{(\log x)^2} \right]$
$f'(x) = \frac{1}{2} \left[ \frac{(\log x) \cdot \frac{1}{\log x} \cdot \frac{1}{x} - \log(\log x) \cdot \frac{1}{x}}{(\log x)^2} \right]$
$f'(x) = \frac{1}{2x} \left[ \frac{1 - \log(\log x)}{(\log x)^2} \right]$
$x = e$ पर,$\log x = \log e = 1$ और $\log(\log x) = \log(1) = 0$ होता है:
$f'(e) = \frac{1}{2e} \left[ \frac{1 - 0}{(1)^2} \right] = \frac{1}{2e} = (2e)^{-1}$

(A) दिया गया है $y = (\tan x)^{\sin x}$.
दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लेने पर,हमें प्राप्त होता है $\log y = \sin x \log(\tan x)$.
गुणन नियम का उपयोग करके $x$ के सापेक्ष दोनों पक्षों का अवकलन करने पर:
$\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = \cos x \log(\tan x) + \sin x \cdot \frac{1}{\tan x} \cdot \sec^2 x$.
चूंकि $\frac{\sin x}{\tan x} = \cos x$,इसलिए व्यंजक सरल होकर इस प्रकार हो जाता है:
$\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = \cos x \log(\tan x) + \cos x \cdot \sec^2 x$.
ध्यान दें कि $\cos x \cdot \sec^2 x = \cos x \cdot \frac{1}{\cos^2 x} = \sec x$.
अतः,$\frac{dy}{dx} = y \{\sec x + \cos x \log(\tan x)\}$.
$y = (\tan x)^{\sin x}$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है $\frac{dy}{dx} = (\tan x)^{\sin x} \{\sec x + \cos x \log(\tan x)\}$.

(B) दिया गया है $x = \sec \theta - \cos \theta$ और $y = \sec^n \theta - \cos^n \theta$।
हम जानते हैं कि $\sec \theta = \frac{1}{\cos \theta}$,इसलिए $x = \frac{1}{\cos \theta} - \cos \theta = \frac{\sin^2 \theta}{\cos \theta}$।
तब $\frac{dx}{d\theta} = \sec \theta \tan \theta + \sin \theta = \frac{\sin \theta}{\cos^2 \theta} + \sin \theta = \sin \theta \left(\frac{1 + \cos^2 \theta}{\cos^2 \theta}\right)$।
इसी प्रकार,$\frac{dy}{d\theta} = n \sec^n \theta \tan \theta + n \cos^{n-1} \theta \sin \theta = n \sin \theta \left(\frac{1 + \cos^{2n} \theta}{\cos^{n+1} \theta}\right)$।
अब,$\frac{dy}{dx} = \frac{dy/d\theta}{dx/d\theta} = \frac{n \sin \theta (1 + \cos^{2n} \theta) / \cos^{n+1} \theta}{\sin \theta (1 + \cos^2 \theta) / \cos^2 \theta} = \frac{n (1 + \cos^{2n} \theta)}{\cos^{n-1} \theta (1 + \cos^2 \theta)}$।
साथ ही,$x^2 + 4 = (\sec \theta - \cos \theta)^2 + 4 = \sec^2 \theta - 2 + \cos^2 \theta + 4 = \sec^2 \theta + 2 + \cos^2 \theta = (\sec \theta + \cos \theta)^2 = \left(\frac{1 + \cos^2 \theta}{\cos \theta}\right)^2$।
अतः,$(x^2 + 4) \left(\frac{dy}{dx}\right)^2 = \left(\frac{1 + \cos^2 \theta}{\cos \theta}\right)^2 \cdot \frac{n^2 (1 + \cos^{2n} \theta)^2}{\cos^{2n-2} \theta (1 + \cos^2 \theta)^2} = \frac{n^2 (1 + \cos^{2n} \theta)^2}{\cos^{2n} \theta} = n^2 \left(\frac{1}{\cos^n \theta} - \cos^n \theta\right)^2 + 4n^2 = n^2 (y^2 + 4)$।

(C) दिया गया है: $y=4 \cos ^3(t)$ और $x=4 \sin ^3(t)$.
सबसे पहले,$y$ का $t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{d y}{d t} = 4 \cdot 3 \cos ^2(t) \cdot (-\sin(t)) = -12 \sin(t) \cos ^2(t)$.
इसके बाद,$x$ का $t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{d x}{d t} = 4 \cdot 3 \sin ^2(t) \cdot \cos(t) = 12 \sin ^2(t) \cos(t)$.
प्राचलिक अवकलन के नियम का उपयोग करते हुए:
$\frac{d y}{d x} = \frac{d y / d t}{d x / d t} = \frac{-12 \sin(t) \cos ^2(t)}{12 \sin ^2(t) \cos(t)}$.
व्यंजक को सरल करने पर:
$\frac{d y}{d x} = -\frac{\cos(t)}{\sin(t)} = -\cot(t)$.
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(D) माना $u = \sec ^{-1}\left(\frac{1}{2 x^2-1}\right)$ और $v = \sqrt{1-x^2}$ है।
$x = \cos \theta$ प्रतिस्थापित करने पर।
तब $u = \sec ^{-1}\left(\frac{1}{2 \cos ^2 \theta - 1}\right) = \sec ^{-1}\left(\frac{1}{\cos 2 \theta}\right) = \sec ^{-1}(\sec 2 \theta) = 2 \theta$।
और $v = \sqrt{1 - \cos ^2 \theta} = \sqrt{\sin ^2 \theta} = \sin \theta$।
अब,$\theta$ के सापेक्ष $u$ और $v$ का अवकलन करने पर:
$\frac{du}{d\theta} = 2$ और $\frac{dv}{d\theta} = \cos \theta$।
अतः,$v$ के सापेक्ष $u$ का अवकलज है:
$\frac{du}{dv} = \frac{du/d\theta}{dv/d\theta} = \frac{2}{\cos \theta} = \frac{2}{x}$।
$x = \frac{1}{2}$ पर:
$\left(\frac{du}{dv}\right)_{x=1/2} = \frac{2}{1/2} = 4$।

(C) दिया गया है $y = \cos(x^{\circ})$ और $z = \cos x$।
चूंकि $x^{\circ} = \frac{\pi x}{180}$ रेडियन,इसलिए $y = \cos\left(\frac{\pi x}{180}\right)$।
$y$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dy}{dx} = -\sin\left(\frac{\pi x}{180}\right) \cdot \frac{\pi}{180} = -\frac{\pi}{180} \sin(x^{\circ})$।
$z$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dz}{dx} = -\sin x$।
अब,श्रृंखला नियम (chain rule) का उपयोग करते हुए:
$\frac{dy}{dz} = \frac{dy/dx}{dz/dx} = \frac{-\frac{\pi}{180} \sin(x^{\circ})}{-\sin x} = \frac{\pi}{180} \sin(x^{\circ}) \operatorname{cosec} x$।

(C) दिया गया है कि $y = \tan^{-1} \left( \frac{\sqrt{1 + x^2} + \sqrt{1 - x^2}}{\sqrt{1 + x^2} - \sqrt{1 - x^2}} \right)$.
माना $x^2 = \cos 2\theta$,तब $\theta = \frac{1}{2} \cos^{-1} (x^2)$.
$x^2 = \cos 2\theta$ को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$y = \tan^{-1} \left( \frac{\sqrt{1 + \cos 2\theta} + \sqrt{1 - \cos 2\theta}}{\sqrt{1 + \cos 2\theta} - \sqrt{1 - \cos 2\theta}} \right)$.
सर्वसमिकाओं $1 + \cos 2\theta = 2 \cos^2 \theta$ और $1 - \cos 2\theta = 2 \sin^2 \theta$ का उपयोग करने पर:
$y = \tan^{-1} \left( \frac{\sqrt{2} \cos \theta + \sqrt{2} \sin \theta}{\sqrt{2} \cos \theta - \sqrt{2} \sin \theta} \right) = \tan^{-1} \left( \frac{\cos \theta + \sin \theta}{\cos \theta - \sin \theta} \right)$.
अंश और हर को $\cos \theta$ से विभाजित करने पर:
$y = \tan^{-1} \left( \frac{1 + \tan \theta}{1 - \tan \theta} \right) = \tan^{-1} \left( \tan \left( \frac{\pi}{4} + \theta \right) \right) = \frac{\pi}{4} + \theta$.
$\theta = \frac{1}{2} \cos^{-1} (x^2)$ रखने पर:
$y = \frac{\pi}{4} + \frac{1}{2} \cos^{-1} (x^2)$.
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dy}{dx} = 0 + \frac{1}{2} \left( \frac{-1}{\sqrt{1 - (x^2)^2}} \right) \cdot \frac{d}{dx}(x^2) = \frac{1}{2} \left( \frac{-1}{\sqrt{1 - x^4}} \right) \cdot 2x = \frac{-x}{\sqrt{1 - x^4}}$.

(B) माना $y = \tan^{-1} \left( \frac{\cos x}{1 + \sin x} \right)$ है।
त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं $\cos x = \sin(\frac{\pi}{2} - x)$ और $1 + \sin x = 1 + \cos(\frac{\pi}{2} - x) = 2 \cos^2(\frac{\pi}{4} - \frac{x}{2})$ का उपयोग करने पर:
$\frac{\cos x}{1 + \sin x} = \frac{\sin(\frac{\pi}{2} - x)}{2 \cos^2(\frac{\pi}{4} - \frac{x}{2})} = \frac{2 \sin(\frac{\pi}{4} - \frac{x}{2}) \cos(\frac{\pi}{4} - \frac{x}{2})}{2 \cos^2(\frac{\pi}{4} - \frac{x}{2})} = \tan(\frac{\pi}{4} - \frac{x}{2})$.
अतः,$y = \tan^{-1} \left( \tan(\frac{\pi}{4} - \frac{x}{2}) \right) = \frac{\pi}{4} - \frac{x}{2}$.
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx} \left( \frac{\pi}{4} - \frac{x}{2} \right) = 0 - \frac{1}{2} = -\frac{1}{2}$.

(B) माना $y = \sin^2 \left( \cot^{-1} \sqrt{\frac{1 + x}{1 - x}} \right)$.
$x = \cos 2\theta$ प्रतिस्थापित करने पर,अतः $\theta = \frac{1}{2} \cos^{-1} x$.
तब $\sqrt{\frac{1 + x}{1 - x}} = \sqrt{\frac{1 + \cos 2\theta}{1 - \cos 2\theta}} = \sqrt{\frac{2 \cos^2 \theta}{2 \sin^2 \theta}} = \cot \theta$.
अतः,$y = \sin^2 \left( \cot^{-1} (\cot \theta) \right) = \sin^2 \theta$.
सर्वसमिका $\sin^2 \theta = \frac{1 - \cos 2\theta}{2}$ का उपयोग करने पर,हमें $y = \frac{1 - x}{2} = \frac{1}{2} - \frac{x}{2}$ प्राप्त होता है।
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx} \left( \frac{1}{2} - \frac{x}{2} \right) = 0 - \frac{1}{2} = -\frac{1}{2}$.

(B) दिया गया है $y = \tan^{-1} \left\{ \frac{ax - b}{bx + a} \right\}$.
अंश और हर को $a$ से विभाजित करने पर,हम व्यंजक को इस प्रकार लिख सकते हैं:
$y = \tan^{-1} \left\{ \frac{x - \frac{b}{a}}{1 + \frac{b}{a}x} \right\}$.
सर्वसमिका $\tan^{-1} \left( \frac{A - B}{1 + AB} \right) = \tan^{-1} A - \tan^{-1} B$ का उपयोग करने पर:
$y = \tan^{-1} x - \tan^{-1} \left( \frac{b}{a} \right)$.
अब,$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$y' = \frac{d}{dx} (\tan^{-1} x) - \frac{d}{dx} (\tan^{-1} \frac{b}{a})$.
चूंकि $\tan^{-1} \left( \frac{b}{a} \right)$ एक स्थिरांक है,इसलिए इसका अवकलज $0$ होगा.
अतः,$y' = \frac{1}{1 + x^2} - 0 = \frac{1}{1 + x^2}$.

(B) दिया गया है $y = (\log_{\cot x} \tan x)(\log_{\tan x} \cot x) + \tan^{-1}\left(\frac{4x}{4-x^2}\right)$.
चूंकि $\log_{\cot x} \tan x = \frac{1}{\log_{\tan x} \cot x}$,इसलिए उनका गुणनफल $1$ है।
अतः,$y = 1 + \tan^{-1}\left(\frac{4x}{4-x^2}\right)$.
अब $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx} \tan^{-1}\left(\frac{4x}{4-x^2}\right)$.
श्रृंखला नियम (chain rule) का उपयोग करने पर: $\frac{dy}{dx} = \frac{1}{1 + \left(\frac{4x}{4-x^2}\right)^2} \cdot \frac{d}{dx} \left(\frac{4x}{4-x^2}\right)$.
$= \frac{(4-x^2)^2}{(4-x^2)^2 + 16x^2} \cdot \frac{4(4-x^2) - 4x(-2x)}{(4-x^2)^2}$.
$= \frac{16 - 8x^2 + x^4 + 16x^2}{1} \text{ (हर)} = 16 + 8x^2 + x^4 = (4+x^2)^2$.
$= \frac{16 - 4x^2 + 8x^2}{(4+x^2)^2} = \frac{16 + 4x^2}{(4+x^2)^2} = \frac{4(4+x^2)}{(4+x^2)^2} = \frac{4}{4+x^2}$.

(C) दिया गया है $y = \tan^{-1}\left(\frac{a \cos x - b \sin x}{b \cos x + a \sin x}\right)$.
अंश और हर को $b \cos x$ से विभाजित करने पर:
$y = \tan^{-1}\left(\frac{\frac{a}{b} - \tan x}{1 + \frac{a}{b} \tan x}\right)$.
माना $\frac{a}{b} = \tan \theta$,जहाँ $\theta = \tan^{-1}(\frac{a}{b})$.
तब $y = \tan^{-1}\left(\frac{\tan \theta - \tan x}{1 + \tan \theta \tan x}\right)$.
सूत्र $\tan(A - B) = \frac{\tan A - \tan B}{1 + \tan A \tan B}$ का उपयोग करने पर:
$y = \tan^{-1}(\tan(\theta - x)) = \theta - x$.
चूंकि $\theta = \tan^{-1}(\frac{a}{b})$ एक स्थिरांक है,इसलिए इसका अवकलन $0$ होगा।
अतः,$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(\theta - x) = 0 - 1 = -1$.

(C) दिया गया है $y = \tan^{-1} \sqrt{\frac{1 - \cos x}{1 + \cos x}}$.
त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं $1 - \cos x = 2 \sin^2(x/2)$ और $1 + \cos x = 2 \cos^2(x/2)$ का उपयोग करने पर:
$y = \tan^{-1} \sqrt{\frac{2 \sin^2(x/2)}{2 \cos^2(x/2)}}$
$y = \tan^{-1} \sqrt{\tan^2(x/2)}$
$y = \tan^{-1}(\tan(x/2)) = \frac{x}{2}$.
अब,$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(\frac{x}{2}) = \frac{1}{2}$.
पुनः $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{d}{dx}(\frac{1}{2}) = 0$.
अतः,मान $\frac{1}{2}$ और $0$ हैं।

(D) दिया गया है,$y = \cos^{-1} \left( \frac{a \cos x - b \sin x}{\sqrt{a^2 + b^2}} \right)$.
मान लीजिए $\frac{a}{\sqrt{a^2 + b^2}} = \cos \theta$ और $\frac{b}{\sqrt{a^2 + b^2}} = \sin \theta$,जहाँ $\theta = \tan^{-1} \left( \frac{b}{a} \right)$.
तब,$y = \cos^{-1} (\cos \theta \cos x - \sin \theta \sin x)$.
त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $\cos(A + B) = \cos A \cos B - \sin A \sin B$ का उपयोग करने पर:
$y = \cos^{-1} (\cos(x + \theta))$.
$y = x + \theta$.
चूँकि $\theta = \tan^{-1} \left( \frac{b}{a} \right)$ एक स्थिरांक है,$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx} (x + \theta) = 1 + 0 = 1$.
पुनः $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{d^2 y}{dx^2} = \frac{d}{dx} (1) = 0$.

(B) फलन $y = \cos^{-1}(\cos x)$ दिया गया है।
हम जानते हैं कि $\cos^{-1}(\cos x) = x$ केवल तब होता है जब $x \in [0, \pi]$ हो।
यहाँ,$x = \frac{5\pi}{4}$ है,जो अंतराल $(\pi, 2\pi)$ में स्थित है।
अंतराल $(\pi, 2\pi)$ में,$\cos x = \cos(2\pi - x)$ होता है।
इसलिए,$y = \cos^{-1}(\cos(2\pi - x)) = 2\pi - x$ होगा।
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,हमें $\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(2\pi - x) = -1$ प्राप्त होता है।
अतः,$x = \frac{5\pi}{4}$ पर,$\frac{dy}{dx} = -1$ है।

(A) दिया गया है $y = \sin^{-1}(x \sqrt{1-x^2} - \sqrt{x} \sqrt{1-x})$.
मान लीजिए $x = \sin \alpha$ और $\sqrt{x} = \sin \beta$. तब $\sqrt{1-x^2} = \cos \alpha$ और $\sqrt{1-x} = \cos \beta$.
इन मानों को समीकरण में रखने पर,$y = \sin^{-1}(\sin \alpha \cos \beta - \cos \alpha \sin \beta)$.
सर्वसमिका $\sin(\alpha - \beta) = \sin \alpha \cos \beta - \cos \alpha \sin \beta$ का उपयोग करने पर,$y = \sin^{-1}(\sin(\alpha - \beta)) = \alpha - \beta$.
अतः,$y = \sin^{-1} x - \sin^{-1} \sqrt{x}$.
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(\sin^{-1} x) - \frac{d}{dx}(\sin^{-1} \sqrt{x})$.
$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} - \frac{1}{\sqrt{1-(\sqrt{x})^2}} \cdot \frac{d}{dx}(\sqrt{x})$.
$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} - \frac{1}{\sqrt{1-x}} \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}}$.
$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} - \frac{1}{2\sqrt{x(1-x)}} = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} - \frac{1}{2\sqrt{x-x^2}}$.

(B) $f(x) = \sin x \sin 2x \sin 3x$
$= \frac{1}{2} (2 \sin x \sin 2x) \sin 3x$
$= \frac{1}{2} (\cos x - \cos 3x) \sin 3x$
$= \frac{1}{2} (\cos x \sin 3x - \cos 3x \sin 3x)$
$= \frac{1}{4} (2 \sin 3x \cos x) - \frac{1}{4} (2 \sin 3x \cos 3x)$
$= \frac{1}{4} (\sin 4x + \sin 2x) - \frac{1}{4} \sin 6x$
$f'(x) = \frac{1}{4} (4 \cos 4x + 2 \cos 2x) - \frac{6}{4} \cos 6x = \cos 4x + \frac{1}{2} \cos 2x - \frac{3}{2} \cos 6x$
$f''(x) = -4 \sin 4x - \sin 2x + 9 \sin 6x$
$f''(x) = a \sin bx + c \sin dx + e \sin kx$ से तुलना करने पर:
$a = -4, b = 4, c = -1, d = 2, e = 9, k = 6$
$(a+c+e) - (b+d+k) = (-4 - 1 + 9) - (4 + 2 + 6) = 4 - 12 = -8$

(B) माना $p(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$ घात $3$ का एक बहुपद है।
अतः,अवकलज इस प्रकार हैं:
$p^{\prime}(x) = 3ax^2 + 2bx + c$
$p^{\prime \prime}(x) = 6ax + 2b$
$p^{\prime \prime \prime}(x) = 6a$
दिया गया है कि $p^{\prime \prime \prime}(1) = 6$,इसलिए $6a = 6$,जिसका अर्थ है $a = 1$ है।
दिया गया है कि $p^{\prime \prime}(1) = 0$,इसलिए $a = 1$ को $p^{\prime \prime}(1) = 6a(1) + 2b = 0$ में रखने पर:
$6(1) + 2b = 0 \Rightarrow 2b = -6 \Rightarrow b = -3$ प्राप्त होता है।
अब,हमें $p^{\prime \prime}(0)$ ज्ञात करना है:
$p^{\prime \prime}(0) = 6a(0) + 2b = 2b$।
$b = -3$ रखने पर,हमें $p^{\prime \prime}(0) = 2(-3) = -6$ प्राप्त होता है।

(C) दिया गया है कि $y = x + \frac{1}{x}$।
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dy}{dx} = 1 - \frac{1}{x^2}$।
इसे $y' = \frac{x^2 - 1}{x^2}$ के रूप में लिखा जा सकता है।
दोनों पक्षों को $x^2$ से गुणा करने पर:
$x^2 y' = x^2 - 1$।
पदों को व्यवस्थित करने पर:
$x^2 y' - x^2 + 1 = 0$।
हम जानते हैं कि $y = x + \frac{1}{x}$,इसलिए $x y = x(x + \frac{1}{x}) = x^2 + 1$।
$x^2 = x y - 1$ को समीकरण $x^2 y' - x^2 + 1 = 0$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$x^2 y' - (x y - 1) + 1 = 0$।
$x^2 y' - x y + 1 + 1 = 0$।
$x^2 y' - x y + 2 = 0$।

(C) हमें समाकलन $\int \frac{1}{1 + \sin x} dx$ दिया गया है।
अंश और हर को $(1 - \sin x)$ से गुणा करने पर:
$\int \frac{1 - \sin x}{1 - \sin^2 x} dx = \int \frac{1 - \sin x}{\cos^2 x} dx = \int (\sec^2 x - \sec x \tan x) dx = \tan x - \sec x + c$.
वैकल्पिक रूप से,अर्ध-कोण सर्वसमिका $\sin x = \cos(\frac{\pi}{2} - x)$ का उपयोग करने पर:
$\int \frac{1}{1 + \cos(\frac{\pi}{2} - x)} dx = \int \frac{1}{2 \cos^2(\frac{\pi}{4} - \frac{x}{2})} dx = \frac{1}{2} \int \sec^2(\frac{\pi}{4} - \frac{x}{2}) dx$.
इसका समाकलन करने पर,हमें $\frac{1}{2} \cdot \frac{\tan(\frac{\pi}{4} - \frac{x}{2})}{-\frac{1}{2}} + c = -\tan(\frac{\pi}{4} - \frac{x}{2}) + c = \tan(\frac{x}{2} - \frac{\pi}{4}) + c$ प्राप्त होता है।
इसे $\tan(f(x)) + c$ के साथ तुलना करने पर,हमें $f(x) = \frac{x}{2} - \frac{\pi}{4}$ प्राप्त होता है।
अतः,$f'(x) = \frac{d}{dx}(\frac{x}{2} - \frac{\pi}{4}) = \frac{1}{2}$.
इसलिए,$f'(0) = \frac{1}{2}$.

(C) दिए गए समीकरण हैं:
$8 f(x)+6 f\left(\frac{1}{x}\right)=x+5$ --- $(i)$
$y=x^2 f(x)$ --- $(ii)$
समीकरण $(i)$ में $x$ को $\frac{1}{x}$ से बदलने पर:
$8 f\left(\frac{1}{x}\right)+6 f(x)=\frac{1}{x}+5$ --- $(iii)$
$f\left(\frac{1}{x}\right)$ को हटाने के लिए,$(i)$ को $4$ से और $(iii)$ को $3$ से गुणा करने पर:
$32 f(x)+24 f\left(\frac{1}{x}\right)=4x+20$
$18 f(x)+24 f\left(\frac{1}{x}\right)=\frac{3}{x}+15$
पहले समीकरण से दूसरे को घटाने पर:
$14 f(x)=4x-\frac{3}{x}+5$
$y$ प्राप्त करने के लिए $x^2$ से गुणा करने पर:
$14 x^2 f(x)=4x^3-3x+5x^2$
$14 y=4x^3+5x^2-3x$
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$14 \frac{d y}{d x}=12x^2+10x-3$
$x=-1$ पर:
$14 \left(\frac{d y}{d x}\right)_{x=-1}=12(-1)^2+10(-1)-3 = 12-10-3 = -1$
$\frac{d y}{d x} = -\frac{1}{14}$

(A) दिया गया समीकरण $2 f(x)-3 f\left(\frac{1}{x}\right)=x+1 \quad ...(i)$ है।
समीकरण $(i)$ में $x$ के स्थान पर $\frac{1}{x}$ रखने पर:
$2 f\left(\frac{1}{x}\right)-3 f(x)=\frac{1}{x}+1 \quad ...(ii)$
समीकरण $(i)$ को $2$ से और समीकरण $(ii)$ को $3$ से गुणा करने पर:
$4 f(x)-6 f\left(\frac{1}{x}\right)=2 x+2 \quad ...(iii)$
$6 f\left(\frac{1}{x}\right)-9 f(x)=\frac{3}{x}+3 \quad ...(iv)$
समीकरण $(iii)$ और $(iv)$ को जोड़ने पर:
$(4 f(x)-9 f(x)) = 2 x + \frac{3}{x} + 5$
$-5 f(x) = 2 x + \frac{3}{x} + 5$
$f(x) = -\frac{2}{5} x - \frac{3}{5 x} - 1$
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$f^{\prime}(x) = -\frac{2}{5} + \frac{3}{5 x^2}$
अब,$x = \sqrt{3}$ रखने पर:
$f^{\prime}(\sqrt{3}) = -\frac{2}{5} + \frac{3}{5(\sqrt{3})^2}$
$f^{\prime}(\sqrt{3}) = -\frac{2}{5} + \frac{3}{5 \times 3}$
$f^{\prime}(\sqrt{3}) = -\frac{2}{5} + \frac{1}{5} = -\frac{1}{5}$

(B) दिया गया फलन समीकरण $f(x+y)=f(x) \cdot f(y)$ है,जहाँ $x, y \in R$ है।
$x=0$ और $y=0$ रखने पर,हमें $f(0)=f(0)^2$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $f(0)(f(0)-1)=0$।
चूँकि $f(x) \neq 0$ सभी $x$ के लिए है,इसलिए $f(0)=1$ होना चाहिए।
$x=0$ पर अवकलज की परिभाषा के अनुसार,$f^{\prime}(0) = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(0+h)-f(0)}{h} = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(h)-1}{h} = 4$।
अब,किसी भी $x$ के लिए,अवकलज $f^{\prime}(x)$ इस प्रकार है:
$f^{\prime}(x) = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h} = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(x)f(h)-f(x)}{h} = f(x) \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(h)-1}{h}$।
सीमा का मान रखने पर,हमें $f^{\prime}(x) = f(x) \cdot 4 = 4f(x)$ प्राप्त होता है।
अतः,$f^{\prime}(6) = 4f(6) = 4 \times 3 = 12$।

(A) दिया गया है $f(x) = \begin{vmatrix} x & x^2 & x^3 \\ 1 & 2x & 3x^2 \\ 0 & 2 & 6x \end{vmatrix}$।
प्रथम स्तंभ के अनुदिश विस्तार करने पर:
$f(x) = x(12x^2 - 6x^2) - 1(6x^3 - 2x^3) + 0$
$f(x) = x(6x^2) - 1(4x^3) = 6x^3 - 4x^3 = 2x^3$।
अब,अवकलज ज्ञात करने पर:
$f'(x) = \frac{d}{dx}(2x^3) = 6x^2$।
$f''(x) = \frac{d}{dx}(6x^2) = 12x$।
अतः,अनुपात $\frac{f''(x)}{f'(x)} = \frac{12x}{6x^2} = \frac{2}{x}$ या $2 : x$ है।

(C) दिया गया वक्र $y = e^{2x} + x^2$ है।
$x = 0$ पर,$y = e^0 + 0^2 = 1$ है।
अतः,स्पर्श बिंदु $(0, 1)$ है।
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$\frac{dy}{dx} = 2e^{2x} + 2x$ प्राप्त होता है।
$x = 0$ पर,स्पर्श रेखा की ढाल $m_t = 2e^0 + 2(0) = 2$ है।
अभिलंब की ढाल $m_n = -\frac{1}{m_t} = -\frac{1}{2}$ होगी।
$(0, 1)$ पर अभिलंब का समीकरण $y - 1 = -\frac{1}{2}(x - 0)$ है।
$2y - 2 = -x$,जिसे $x + 2y - 2 = 0$ के रूप में लिखा जा सकता है।
मूलबिंदु $(0, 0)$ से रेखा $Ax + By + C = 0$ की दूरी $d = \frac{|C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$ सूत्र द्वारा दी जाती है।
यहाँ,$A = 1$,$B = 2$,और $C = -2$ है।
$d = \frac{|-2|}{\sqrt{1^2 + 2^2}} = \frac{2}{\sqrt{1 + 4}} = \frac{2}{\sqrt{5}}$ इकाई।

(D) दिया गया वक्र समीकरण: $y^2 = ax^4 + b$.
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $2y \frac{dy}{dx} = 4ax^3$.
अतः,$\frac{dy}{dx} = \frac{4ax^3}{2y} = \frac{2ax^3}{y}$.
बिंदु $(3, 6)$ पर स्पर्श रेखा की ढाल: $\left. \frac{dy}{dx} \right|_{(3, 6)} = \frac{2a(3)^3}{6} = \frac{2a(27)}{6} = 9a$.
दी गई स्पर्श रेखा का समीकरण $y = 4x - 6$ है,जिसकी ढाल $4$ है।
ढालों की तुलना करने पर: $9a = 4 \Rightarrow a = \frac{4}{9}$.
चूंकि बिंदु $(3, 6)$ वक्र $y^2 = ax^4 + b$ पर स्थित है,मान प्रतिस्थापित करने पर:
$6^2 = a(3)^4 + b \Rightarrow 36 = \frac{4}{9}(81) + b$.
$36 = 4(9) + b \Rightarrow 36 = 36 + b \Rightarrow b = 0$.
अतः,$a = \frac{4}{9}$ और $b = 0$ प्राप्त होता है।

(C) वक्र $y=f(x)$ के स्पर्श रेखा की प्रवणता $\frac{dy}{dx}$ द्वारा दी जाती है।
दिया गया है $y = \frac{x}{x^2+1}$.
भागफल नियम का उपयोग करके $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dy}{dx} = \frac{(x^2+1)(1) - x(2x)}{(x^2+1)^2} = \frac{1-x^2}{(x^2+1)^2}$.
$x = -4$ पर,स्पर्श रेखा की प्रवणता:
$\left(\frac{dy}{dx}\right)_{x=-4} = \frac{1-(-4)^2}{((-4)^2+1)^2} = \frac{1-16}{(16+1)^2} = \frac{-15}{17^2} = \frac{-15}{289}$.
अभिलंब की प्रवणता,स्पर्श रेखा की प्रवणता का ऋणात्मक व्युत्क्रम होती है:
$\text{अभिलंब की प्रवणता} = -\frac{1}{\left(\frac{dy}{dx}\right)} = -\frac{1}{\left(\frac{-15}{289}\right)} = \frac{289}{15}$.

(B) दिया गया वक्र: $2y^3 = ax^2 + x^3$ $(i)$
स्पर्श बिंदु: $(a, a)$
$x$ के सापेक्ष $(i)$ का अवकलन करने पर:
$6y^2 \frac{dy}{dx} = 2ax + 3x^2$
बिंदु $(a, a)$ पर:
$6a^2 \frac{dy}{dx} = 2a^2 + 3a^2 = 5a^2$
$\frac{dy}{dx} = \frac{5a^2}{6a^2} = \frac{5}{6}$
ढाल $m = \frac{5}{6}$ और बिंदु $(a, a)$ से गुजरने वाली स्पर्श रेखा का समीकरण:
$y - a = \frac{5}{6}(x - a)$
$6y - 6a = 5x - 5a$
$5x - 6y = -a$
$-a$ से विभाजित करने पर:
$\frac{x}{-a/5} + \frac{y}{a/6} = 1$
अंतःखंड रूप $\frac{x}{\alpha} + \frac{y}{\beta} = 1$ से तुलना करने पर,हमें $\alpha = -\frac{a}{5}$ और $\beta = \frac{a}{6}$ प्राप्त होता है।
दिया गया है कि $\alpha^2 + \beta^2 = 61$:
$(-\frac{a}{5})^2 + (\frac{a}{6})^2 = 61$
$\frac{a^2}{25} + \frac{a^2}{36} = 61$
$\frac{36a^2 + 25a^2}{900} = 61$
$\frac{61a^2}{900} = 61$
$a^2 = 900$
$|a| = 30$.

(C) दिया गया है $\theta = \frac{\pi}{3}$ और साइक्लोइड के समीकरण $x = a(\theta - \sin \theta)$,$y = a(1 - \cos \theta)$ हैं।
सबसे पहले,$\theta$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dx}{d\theta} = a(1 - \cos \theta)$ और $\frac{dy}{d\theta} = a \sin \theta$.
अतः,स्पर्शरेखा की ढाल $\frac{dy}{dx} = \frac{dy/d\theta}{dx/d\theta} = \frac{a \sin \theta}{a(1 - \cos \theta)} = \frac{\sin \theta}{1 - \cos \theta}$.
$\theta = \frac{\pi}{3}$ पर,ढाल $m = \frac{\sin(\pi/3)}{1 - \cos(\pi/3)} = \frac{\sqrt{3}/2}{1 - 1/2} = \sqrt{3}$.
$\theta = \frac{\pi}{3}$ पर $y$ का मान $y = a(1 - \cos(\pi/3)) = a(1 - 1/2) = \frac{a}{2}$ है।
सबटेंजेंट की लंबाई $= \left| \frac{y}{m} \right| = \frac{a/2}{\sqrt{3}} = \frac{a}{2\sqrt{3}}$.
सबनॉर्मल की लंबाई $= |y \cdot m| = \frac{a}{2} \cdot \sqrt{3} = \frac{a\sqrt{3}}{2}$.
लंबाई का योग $= \frac{a}{2\sqrt{3}} + \frac{a\sqrt{3}}{2} = \frac{a + 3a}{2\sqrt{3}} = \frac{4a}{2\sqrt{3}} = \frac{2a}{\sqrt{3}}$.

(B) दिया गया वक्र $y=x^2-3x+2$ है।
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,हमें स्पर्श रेखा की प्रवणता (slope) प्राप्त होती है:
$\frac{dy}{dx} = 2x-3$.
मान लीजिए बिंदु $(x, y)$ पर स्पर्श रेखा की प्रवणता $m_1 = 2x-3$ है।
दी गई रेखा $y=x$ है। इसे $y=mx+c$ से तुलना करने पर,रेखा की प्रवणता $m_2 = 1$ है।
चूंकि स्पर्श रेखा,रेखा के लंबवत है,इसलिए उनकी प्रवणताओं का गुणनफल $-1$ होना चाहिए:
$m_1 \cdot m_2 = -1$.
$(2x-3) \cdot 1 = -1$.
$2x - 3 = -1$.
$2x = 2$.
$x = 1$.
अब,$y$-निर्देशांक ज्ञात करने के लिए $x=1$ को वक्र के समीकरण में रखने पर:
$y = (1)^2 - 3(1) + 2 = 1 - 3 + 2 = 0$.
अतः,अभीष्ट बिंदु $(1,0)$ है।

(D) दिया गया वक्र $y=x^3$ है।
किसी बिंदु $(x_1, y_1)$ पर वक्र की स्पर्श रेखा की ढाल $\frac{dy}{dx}$ द्वारा दी जाती है।
$y=x^3$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,हमें $\frac{dy}{dx} = 3x^2$ प्राप्त होता है।
$(x_1, y_1)$ पर स्पर्श रेखा की ढाल $m_T = 3x_1^2$ है।
चूंकि स्पर्श रेखा $X$-अक्ष के समांतर है,इसलिए इसकी ढाल $X$-अक्ष की ढाल के बराबर यानी $0$ होनी चाहिए।
अतः,$m_T = 0$,जिसका अर्थ है $3x_1^2 = 0$,इसलिए $x_1 = 0$ है।
$x_1 = 0$ को वक्र के समीकरण $y=x^3$ में रखने पर,हमें $y_1 = (0)^3 = 0$ प्राप्त होता है।
अतः,अभीष्ट बिंदु $(0,0)$ है।

(B) दिया गया वक्र $b y^2 = (x+a)^3$ है।
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$2 b y \frac{d y}{d x} = 3(x+a)^2$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $\frac{d y}{d x} = \frac{3(x+a)^2}{2 b y}$।
सब्नॉर्मल की लंबाई $p = y \frac{d y}{d x} = y \left( \frac{3(x+a)^2}{2 b y} \right) = \frac{3(x+a)^2}{2 b}$।
सब्ज्या (subtangent) की लंबाई $q = y \frac{d x}{d y} = y \left( \frac{2 b y}{3(x+a)^2} \right) = \frac{2 b y^2}{3(x+a)^2}$।
दिए गए संबंध $p = q^2$ के आधार पर,$\frac{p}{q}$ का मान $\frac{8 b}{27}$ प्राप्त होता है।

(B) दिए गए वक्र $x=y^2$ और $xy=a^3$ हैं।
$x=y^2$ को $xy=a^3$ में प्रतिस्थापित करने पर,हमें $(y^2)y = a^3$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $y^3 = a^3$,इसलिए $y=a$.
तब $x = y^2 = a^2$. प्रतिच्छेदन बिंदु $(a^2, a)$ है।
वक्र $x=y^2$ के लिए,$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $1 = 2y \frac{dy}{dx} \Rightarrow \frac{dy}{dx} = \frac{1}{2y}$.
बिंदु $(a^2, a)$ पर,ढाल $m_1 = \frac{1}{2a}$.
वक्र $xy=a^3$ के लिए,$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $x \frac{dy}{dx} + y = 0 \Rightarrow \frac{dy}{dx} = -\frac{y}{x}$.
बिंदु $(a^2, a)$ पर,ढाल $m_2 = -\frac{a}{a^2} = -\frac{1}{a}$.
चूंकि वक्र लंबकोणीय प्रतिच्छेद करते हैं,इसलिए $m_1 \times m_2 = -1$.
$\left(\frac{1}{2a}\right) \times \left(-\frac{1}{a}\right) = -1$.
$-\frac{1}{2a^2} = -1$.
$2a^2 = 1 \Rightarrow a^2 = \frac{1}{2}$.

(A) दिया गया वक्र $y=\frac{2}{3} x^3+\frac{1}{2} x^2$ है।
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,हमें $\frac{d y}{d x} = 2x^2 + x$ प्राप्त होता है।
चूंकि स्पर्श रेखाएं निर्देशांक अक्षों के साथ समान कोण बनाती हैं,इसलिए स्पर्श रेखा की ढाल $\pm 1$ होनी चाहिए।
स्थिति $1$: $\frac{d y}{d x} = 1 \Rightarrow 2x^2 + x = 1 \Rightarrow 2x^2 + x - 1 = 0$.
इस द्विघात समीकरण को हल करने पर: $(2x - 1)(x + 1) = 0$,अतः $x = \frac{1}{2}$ या $x = -1$.
$x = \frac{1}{2}$ के लिए,$y = \frac{2}{3}(\frac{1}{8}) + \frac{1}{2}(\frac{1}{4}) = \frac{1}{12} + \frac{1}{8} = \frac{5}{24}$.
$x = -1$ के लिए,$y = \frac{2}{3}(-1) + \frac{1}{2}(1) = -\frac{2}{3} + \frac{1}{2} = -\frac{1}{6}$.
स्थिति $2$: $\frac{d y}{d x} = -1 \Rightarrow 2x^2 + x = -1 \Rightarrow 2x^2 + x + 1 = 0$.
विविक्तकर $D = 1^2 - 4(2)(1) = 1 - 8 = -7 < 0$ है,इसलिए इस स्थिति के लिए कोई वास्तविक हल नहीं है।
अतः,अभीष्ट बिंदु $\left(\frac{1}{2}, \frac{5}{24}\right)$ और $\left(-1, \frac{-1}{6}\right)$ हैं।

(D) वृत्त का क्षेत्रफल $A = \pi r^2$ द्वारा दिया जाता है।
दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लेने पर,हमें $\ln A = \ln \pi + 2 \ln r$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का $r$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,हमें $\frac{dA}{A} = 2 \frac{dr}{r}$ प्राप्त होता है।
छोटी त्रुटियों के लिए,इसे $\frac{\Delta A}{A} = 2 \times \frac{\Delta r}{r}$ के रूप में लिखा जा सकता है।
यह दिया गया है कि त्रिज्या में सापेक्ष त्रुटि $\frac{\Delta r}{r} = 0.05 \%$ है,इसलिए क्षेत्रफल में सापेक्ष त्रुटि $\frac{\Delta A}{A} = 2 \times 0.05 \% = 0.1 \%$ होगी।
अतः,क्षेत्रफल की गणना में संबंधित त्रुटि $0.1 \%$ है।

(B) माना $y = f(x) = x^3 - 4x$.
हमें $x = 2$ और $x$ में परिवर्तन $\Delta x = 1.99 - 2 = -0.01$ दिया गया है।
$y$ में अनुमानित परिवर्तन $\Delta y$ को $\Delta y \approx \frac{dy}{dx} \Delta x$ द्वारा दर्शाया जाता है।
सबसे पहले,$f(x)$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(x^3 - 4x) = 3x^2 - 4$.
अब,$x = 2$ पर अवकलज का मान ज्ञात करने पर: $\left. \frac{dy}{dx} \right|_{x=2} = 3(2)^2 - 4 = 3(4) - 4 = 12 - 4 = 8$.
अंत में,अनुमानित परिवर्तन $\Delta y$ की गणना करने पर: $\Delta y \approx 8 \times (-0.01) = -0.08$.