AP EAMCET 2021 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(B) माना गतिमान बिंदु के निर्देशांक $(x, y)$ हैं।
दीर्घवृत्त की परिभाषा के अनुसार,दो निश्चित बिंदुओं (नाभियों) से बिंदु की दूरियों का योग अचर $(2a)$ होता है।
दी गई शर्त $\sqrt{(x - ae)^2 + y^2} + \sqrt{(x + ae)^2 + y^2} = 2a$ है।
इस समीकरण को सरल करने पर:
$\sqrt{(x - ae)^2 + y^2} = 2a - \sqrt{(x + ae)^2 + y^2}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$(x - ae)^2 + y^2 = 4a^2 + (x + ae)^2 + y^2 - 4a\sqrt{(x + ae)^2 + y^2}$.
$x^2 - 2aex + a^2e^2 + y^2 = 4a^2 + x^2 + 2aex + a^2e^2 + y^2 - 4a\sqrt{(x + ae)^2 + y^2}$.
$-4aex - 4a^2 = -4a\sqrt{(x + ae)^2 + y^2}$.
$ex + a = \sqrt{(x + ae)^2 + y^2}$.
पुनः वर्ग करने पर:
$e^2x^2 + 2aex + a^2 = x^2 + 2aex + a^2e^2 + y^2$.
$x^2(1 - e^2) + y^2 = a^2(1 - e^2)$.
$a^2(1 - e^2)$ से भाग देने पर:
$\frac{x^2(1 - e^2)}{a^2(1 - e^2)} + \frac{y^2}{a^2(1 - e^2)} = 1$.
चूंकि $b^2 = a^2(1 - e^2)$,हमें $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ प्राप्त होता है।

(C) माना बिंदु $P$ के निर्देशांक $(x, y)$ हैं।
दिया गया है कि $\operatorname{ar}(\triangle POB) = 2 \cdot \operatorname{ar}(\triangle POA)$.
त्रिभुज के क्षेत्रफल का सूत्र $\frac{1}{2} |x_1(y_2-y_3) + x_2(y_3-y_1) + x_3(y_1-y_2)|$ का उपयोग करने पर.
$\triangle POB$ के लिए शीर्ष $P(x, y), O(0, 0), B(0, 4)$ हैं:
$\operatorname{ar}(\triangle POB) = \frac{1}{2} |x(0-4) + 0(4-y) + 0(y-0)| = 2|x|$.
$\triangle POA$ के लिए शीर्ष $P(x, y), O(0, 0), A(6, 0)$ हैं:
$\operatorname{ar}(\triangle POA) = \frac{1}{2} |x(0-0) + 0(0-y) + 6(y-0)| = 3|y|$.
इन मानों को शर्त में रखने पर:
$2|x| = 2 \cdot 3|y| \Rightarrow |x| = 3|y|$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$x^2 = 9y^2$ प्राप्त होता है।
अतः,बिंदुपथ $x^2 - 9y^2 = 0$ है।

(A) मान लीजिए कि दो लंबवत रेखाएँ निर्देशांक अक्ष $OX$ और $OY$ हैं। छड़ के सिरे $y$-अक्ष पर $A(0, a)$ और $x$-अक्ष पर $B(b, 0)$ हैं।
छड़ की लंबाई $AB = 2l$ है। दूरी सूत्र के अनुसार,$\sqrt{a^2+b^2} = 2l$,जिसका अर्थ है $a^2+b^2 = 4l^2$।
मान लीजिए $P(x, y)$ छड़ $AB$ का मध्य-बिंदु है। तब $x = \frac{0+b}{2} = \frac{b}{2}$ और $y = \frac{a+0}{2} = \frac{a}{2}$।
इससे $b = 2x$ और $a = 2y$ प्राप्त होता है।
इन मानों को समीकरण $a^2+b^2 = 4l^2$ में प्रतिस्थापित करने पर,हमें $(2y)^2 + (2x)^2 = 4l^2$ प्राप्त होता है।
$4x^2 + 4y^2 = 4l^2$,जो सरल होकर $x^2+y^2 = l^2$ हो जाता है।
अतः,मध्य-बिंदु का बिंदुपथ $x^2+y^2 = l^2$ है।

(C) दिया गया समीकरण $5x^2 - 8xy + 3y^2 = 0$ है।
$x^2$ से भाग देने पर,हमें $3(\frac{y}{x})^2 - 8(\frac{y}{x}) + 5 = 0$ प्राप्त होता है।
माना $m = \frac{y}{x}$ रेखाओं की ढाल है। तब $3m^2 - 8m + 5 = 0$।
द्विघात सूत्र $m = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ का उपयोग करके $3m^2 - 8m + 5 = 0$ को हल करने पर:
$m = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4(3)(5)}}{2(3)} = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 60}}{6} = \frac{8 \pm \sqrt{4}}{6} = \frac{8 \pm 2}{6}$।
दो ढाल $m_1 = \frac{8+2}{6} = \frac{10}{6} = \frac{5}{3}$ और $m_2 = \frac{8-2}{6} = \frac{6}{6} = 1$ हैं।
चूंकि $m_1 > m_2$,इसलिए $m_1 = \frac{5}{3}$ और $m_2 = 1$ है।
अतः,अनुपात $m_1 : m_2 = \frac{5}{3} : 1 = 5 : 3$ है।

(C) रेखाओं के युग्म का दिया गया समीकरण $4x^2-5xy+y^2=0$ है।
$x^2$ से विभाजित करने पर,हमें $m = \frac{y}{x}$ के पदों में द्विघात समीकरण प्राप्त होता है:
$m^2-5m+4=0$.
यहाँ,$m_1$ और $m_2$ इस समीकरण के मूल हैं।
अतः,ढालों का योग $m_1+m_2 = 5$ और ढालों का गुणनफल $m_1m_2 = 4$ है।
हम जानते हैं कि $|m_1-m_2| = \sqrt{(m_1+m_2)^2-4m_1m_2}$।
मान रखने पर,हमें प्राप्त होता है:
$|m_1-m_2| = \sqrt{5^2-4(4)} = \sqrt{25-16} = \sqrt{9} = 3$.

(D) दिया गया समीकरण: $y^3-4x^2y=0$
समीकरण का गुणनखंड करने पर: $y(y^2-4x^2)=0$
$a^2-b^2=(a-b)(a+b)$ सर्वसमिका का उपयोग करने पर: $y(y-2x)(y+2x)=0$
इससे तीन रेखाएँ प्राप्त होती हैं: $L_1: y=0$,$L_2: y=2x$,और $L_3: y=-2x$।
ये तीनों रेखाएँ मूल बिंदु $(0,0)$ से होकर गुजरती हैं।
चूंकि तीनों रेखाएँ एक सामान्य बिंदु $(0,0)$ पर मिलती हैं,इसलिए वे संगामी रेखाएँ हैं।

(B) दी गई रेखाओं का समीकरण: $x^2+2 h x y+2 y^2=0 \dots (i)$
$a x^2+2 h x y+b y^2=0$ से तुलना करने पर,$a=1$ और $b=2$ प्राप्त होता है।
माना रेखाओं की ढाल $m_1$ और $m_2$ है।
अतः,$m_1+m_2 = -\frac{2h}{b} = -\frac{2h}{2} = -h \dots (ii)$
और $m_1 m_2 = \frac{a}{b} = \frac{1}{2} \dots (iii)$
ढाल का अनुपात $m_1:m_2 = 1:2$ दिया गया है,इसलिए $m_2 = 2m_1$।
$(iii)$ में $m_2 = 2m_1$ रखने पर: $m_1(2m_1) = \frac{1}{2}$ $\Rightarrow 2m_1^2 = \frac{1}{2}$ $\Rightarrow m_1^2 = \frac{1}{4}$ $\Rightarrow m_1 = \pm \frac{1}{2}$।
यदि $m_1 = \frac{1}{2}$,तो $m_2 = 1$। $(ii)$ से,$m_1+m_2 = -h$ $\Rightarrow \frac{1}{2} + 1 = -h$ $\Rightarrow h = -\frac{3}{2}$।
यदि $m_1 = -\frac{1}{2}$,तो $m_2 = -1$। $(ii)$ से,$m_1+m_2 = -h$ $\Rightarrow -\frac{1}{2} - 1 = -h$ $\Rightarrow h = \frac{3}{2}$।
अतः,$h = \pm \frac{3}{2}$।

(D) दिया गया समीकरण $a x^2+2 h x y+b y^2=0$ है।
माना रेखाओं की ढाल $m$ और $m^2$ हैं।
समीकरण के गुणों से,ढालों का योग $m+m^2 = -\frac{2h}{b}$ और ढालों का गुणनफल $m \cdot m^2 = m^3 = \frac{a}{b}$ है।
हमें $m(1+m) = -\frac{2h}{b}$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का घन करने पर,$m^3(1+m)^3 = -\frac{8h^3}{b^3}$ प्राप्त होता है।
इसका विस्तार करने पर,$m^3(1+m^3+3m(1+m)) = -\frac{8h^3}{b^3}$।
$m^3 = \frac{a}{b}$ और $m(1+m) = -\frac{2h}{b}$ प्रतिस्थापित करने पर,$\frac{a}{b}(1+\frac{a}{b}+3(-\frac{2h}{b})) = -\frac{8h^3}{b^3}$ प्राप्त होता है।
$b^3$ से गुणा करने पर,$a(b+a-6h) = -8h^3$ प्राप्त होता है।
$ab + a^2 - 6ah = -8h^3$।
$abh$ से भाग देने पर,$\frac{a+b}{h} + \frac{8h^2}{ab} = 6$ प्राप्त होता है।

(B) समीकरण $x^2+kxy+y^2=0$ मूल बिंदु से गुजरने वाली दो सीधी रेखाओं के युग्म को दर्शाता है। मान लीजिए कि इन रेखाओं की ढलान $m_1$ और $m_2$ है। तीसरी रेखा का समीकरण $x+y=1$ है,जिसे $y=-x+1$ के रूप में लिखा जा सकता है,इसलिए इसकी ढलान $m_3=-1$ है।
चूंकि रेखाएँ एक समबाहु त्रिभुज बनाती हैं,इसलिए किन्हीं दो रेखाओं के बीच का कोण $60^{\circ}$ है।
रेखा $y=mx$ और रेखा $x+y=1$ (ढलान $-1$) के बीच का कोण इस प्रकार है:
$\tan 60^{\circ} = \left| \frac{m - (-1)}{1 + m(-1)} \right|$
$\sqrt{3} = \left| \frac{m+1}{1-m} \right|$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$3 = \frac{(m+1)^2}{(1-m)^2}$
$3(1-2m+m^2) = m^2+2m+1$
$3-6m+3m^2 = m^2+2m+1$
$2m^2-8m+2 = 0$
$m^2-4m+1 = 0$
चूंकि $m = y/x$,हम इसे द्विघात समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं:
$(y/x)^2 - 4(y/x) + 1 = 0$
$y^2 - 4xy + x^2 = 0$
इसे $x^2+kxy+y^2=0$ के साथ तुलना करने पर,हमें $k=-4$ प्राप्त होता है।
इसलिए,$k^2 = (-4)^2 = 16$.

(D) रेखाओं के युग्म का समीकरण $ax^2+2hxy+by^2=0$ है। माना ढाल $m$ और $m^2$ हैं।
ढालों का योग: $m+m^2 = -\frac{2h}{b} \quad (1)$
ढालों का गुणनफल: $m \cdot m^2 = m^3 = \frac{a}{b} \quad (2)$
$(1)$ से,$m(1+m) = -\frac{2h}{b}$। दोनों पक्षों का घन करने पर:
$m^3(1+m)^3 = -\frac{8h^3}{b^3}$
$m^3(1+m^3+3m(1+m)) = -\frac{8h^3}{b^3}$
$m^3 = \frac{a}{b}$ और $m(1+m) = -\frac{2h}{b}$ प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{a}{b} \left(1 + \frac{a}{b} + 3\left(-\frac{2h}{b}\right)\right) = -\frac{8h^3}{b^3}$
$\frac{a}{b} \left(\frac{b+a-6h}{b}\right) = -\frac{8h^3}{b^3}$
$a(a+b-6h) = -8h^3$
$a^2+ab-6ah = -8h^3$
$abh$ से विभाजित करने पर:
$\frac{a+b}{h} + \frac{8h^2}{ab} = 6$.

(C) रेखाओं के युग्म का दिया गया समीकरण $ax^2+2hxy+by^2=0$ है,जहाँ $a=1$,$2h=4$ (अर्थात $h=2$),और $b=1$ है।
रेखाओं के युग्म के बीच के कोण $\theta$ का सूत्र $\tan \theta = \left| \frac{2\sqrt{h^2-ab}}{a+b} \right|$ है।
मान रखने पर,हमें $\tan \theta = \left| \frac{2\sqrt{2^2-(1)(1)}}{1+1} \right|$ प्राप्त होता है।
$\tan \theta = \frac{2\sqrt{4-1}}{2} = \sqrt{3}$.
अतः,$\theta = \tan^{-1}(\sqrt{3}) = 60^{\circ}$.

(B) समीकरण $ax^2+2hxy+by^2=0$ द्वारा निरूपित रेखाओं के बीच का कोण $\theta$,$\tan \theta = \left| \frac{2\sqrt{h^2-ab}}{a+b} \right|$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है $\theta = \frac{\pi}{4}$,इसलिए $\tan \frac{\pi}{4} = 1$.
अतः,$1 = \left| \frac{2\sqrt{h^2-ab}}{a+b} \right|$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$1 = \frac{4(h^2-ab)}{(a+b)^2}$.
$(a+b)^2 = 4h^2 - 4ab$.
$a^2 + 2ab + b^2 = 4h^2 - 4ab$.
$4h^2 = a^2 + 6ab + b^2$.

(A) दिया गया समीकरण $Ax^2 + 2Hxy + By^2 = 0$ के रूप में है,जहाँ $A = \cos \theta(\cos \theta + 1)$,$2H = -(2 \cos \theta + \sin^2 \theta)$,और $B = 1 - \cos \theta$ है।
रेखाओं के बीच का कोण $\alpha$ सूत्र $\tan \alpha = \left| \frac{2\sqrt{H^2 - AB}}{A + B} \right|$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ $A + B = \cos^2 \theta + 1$ प्राप्त होता है।
गणना करने पर $H^2 - AB = \cos^2 \theta + \frac{\sin^4 \theta}{4}$ प्राप्त होता है।
अतः,$\tan \alpha = \frac{\sqrt{4 \cos^2 \theta + \sin^4 \theta}}{\cos^2 \theta + 1} = 1$ प्राप्त होता है।
इसलिए,$\alpha = \tan^{-1}(1) = \frac{\pi}{4}$।

(B) $ax^2 + 2hxy + by^2 = 0$ द्वारा निरूपित रेखाओं के युग्म के बीच का न्यून कोण $\theta$ सूत्र $\tan \theta = \left| \frac{2\sqrt{h^2 - ab}}{a+b} \right|$ द्वारा दिया जाता है।
दिए गए समीकरण $6x^2 + 11xy - 10y^2 = 0$ की तुलना $ax^2 + 2hxy + by^2 = 0$ से करने पर,हमें $a = 6$,$b = -10$,और $h = \frac{11}{2}$ प्राप्त होता है।
मान रखने पर:
$\tan \theta = \left| \frac{2\sqrt{(\frac{11}{2})^2 - (6)(-10)}}{6 - 10} \right| = \left| \frac{2\sqrt{\frac{121}{4} + 60}}{-4} \right| = \frac{\sqrt{361}}{4}$.
अतः,$\theta = \tan^{-1}\left(\frac{\sqrt{361}}{4}\right)$.

(B) रेखाओं के युग्म का दिया गया समीकरण $ax^2+6xy+by^2-10x+10y-6=0$ है।
इसे व्यापक समीकरण $Ax^2+2Hxy+By^2+2Gx+2Fy+C=0$ से तुलना करने पर,$A=a, H=3, B=b, G=-5, F=5, C=-6$ प्राप्त होता है।
रेखाओं के लंबवत होने के लिए,$x^2$ और $y^2$ के गुणांकों का योग शून्य होना चाहिए,अर्थात $a+b=0$,जिसका अर्थ है $b=-a$।
साथ ही,व्यापक द्विघात समीकरण के रेखाओं के युग्म को दर्शाने की शर्त $\Delta = abc + 2fgh - af^2 - bg^2 - ch^2 = 0$ है।
मान रखने पर: $a(b)(-6) + 2(5)(3)(-5) - a(5)^2 - b(-5)^2 - (-6)(3)^2 = 0$।
$-6ab - 150 - 25a - 25b + 54 = 0$।
$-6ab - 25(a+b) - 96 = 0$।
चूंकि $a+b=0$,हमें $-6a(-a) - 25(0) - 96 = 0$ प्राप्त होता है।
$6a^2 = 96 \Rightarrow a^2 = 16$।
अतः,$|a| = \sqrt{16} = 4$।

(A) रेखाओं के युग्म $ax^2 + 2hxy + by^2 = 0$ के बीच का कोण $\theta$,$\tan \theta = \left| \frac{2\sqrt{h^2 - ab}}{a+b} \right|$ द्वारा दिया जाता है।
समीकरण $x^2 + 2xy \sec \theta + y^2 = 0$ के लिए,$a = 1$,$h = \sec \theta$,और $b = 1$ है।
माना इन रेखाओं के बीच का कोण $\phi$ है।
तब $\tan \phi = \left| \frac{2\sqrt{(\sec \theta)^2 - (1)(1)}}{1+1} \right|$.
$\tan \phi = \left| \frac{2\sqrt{\sec^2 \theta - 1}}{2} \right|$.
चूंकि $\sec^2 \theta - 1 = \tan^2 \theta$,इसलिए $\tan \phi = \sqrt{\tan^2 \theta} = \tan \theta$.
अतः,$\phi = \theta$.

(C) दिया गया समीकरण $(\sin ^2 \alpha) y^2 - 2xy(\cos ^2 \alpha) + (\cos ^2 \alpha - 1) x^2 = 0$ है।
इसे मानक रूप $ax^2 + 2hxy + by^2 = 0$ से तुलना करने पर:
$a = \cos ^2 \alpha - 1 = -\sin ^2 \alpha$
$h = -\cos ^2 \alpha$
$b = \sin ^2 \alpha$
रेखाओं के युग्म के बीच का कोण $\theta$,$\tan \theta = \left| \frac{2\sqrt{h^2 - ab}}{a + b} \right|$ द्वारा दिया जाता है।
हर (denominator) की गणना करने पर: $a + b = -\sin ^2 \alpha + \sin ^2 \alpha = 0$ प्राप्त होता है।
चूंकि हर $0$ है,इसलिए रेखाएं एक-दूसरे के लंबवत हैं।
अतः,$\tan \theta = \infty$,जिसका अर्थ है $\theta = 90^{\circ}$।

(A) दिया गया समीकरण $ab(x^2 - y^2) + (a^2 - b^2)xy = 0$ है।
इसे विस्तारित करने पर,हमें $abx^2 + (a^2 - b^2)xy - aby^2 = 0$ प्राप्त होता है।
यह $Ax^2 + 2Hxy + By^2 = 0$ के रूप का समीकरण है,जहाँ $A = ab$ और $B = -ab$ है।
रेखाओं के लंबवत होने की शर्त $A + B = 0$ है।
यहाँ,$A + B = ab - ab = 0$ है।
चूंकि $x^2$ और $y^2$ के गुणांकों का योग शून्य है,इसलिए रेखाएं एक-दूसरे के लंबवत हैं।
अतः,रेखाओं के बीच का कोण $\frac{\pi}{2}$ है।

(A) माना समीकरण $a y^4+b x y^3+c x^2 y^2+d x^3 y+e x^4 = 0$ है।
मान लीजिए कि समीकरण को $(a x^2+p x y-a y^2)(x^2+q x y+y^2) = 0$ के रूप में गुणनखंडित किया जा सकता है।
समान पदों के गुणांकों की तुलना करने पर:
$b = aq - p$,$c = -pq$,$d = aq + p$,और $e = -a$।
तब,$b + d = 2aq$ और $e - a = -2a$।
साथ ही,$ad + be = 2ap$ और $a + c + e = -pq$।
अब,व्यंजक $(b+d)(ad+be) = (2aq)(2ap) = 4a^2pq$ पर विचार करें।
साथ ही,$-(e-a)^2(a+c+e) = -(-2a)^2(-pq) = 4a^2pq$।
अतः,$(b+d)(ad+be) = -(e-a)^2(a+c+e)$।
यह $(b+d)(ad+be) + (e-a)^2(a+c+e) = 0$ में सरल हो जाता है।

(D) रेखाओं के युग्म $a x^2+2 h x y+b y^2=0$ के लिए कोण समद्विभाजक का समीकरण $\frac{x^2-y^2}{a-b}=\frac{x y}{h}$ होता है।
प्रथम युग्म $x^2-2 p x y-y^2=0$ के लिए,$a=1, b=-1, h=-p$ है।
कोण समद्विभाजक $\frac{x^2-y^2}{1-(-1)}=\frac{x y}{-p}$ हैं,जो सरल होकर $\frac{x^2-y^2}{2}=\frac{x y}{-p}$ अर्थात $x^2-y^2+\frac{2 x y}{p}=0$ हो जाता है।
यह दिया गया है कि यह समद्विभाजक युग्म दूसरे युग्म $x^2-2 q x y-y^2=0$ के समान है,इसलिए गुणांकों की तुलना करने पर:
$\frac{2}{p} = -2 q$ प्राप्त होता है।
अतः,$p q = -1$।

(D) दिया गया समीकरण $ax^2+2hxy+by^2=0$ है। $x^2$ से विभाजित करने पर,हमें $b(\frac{y}{x})^2+2h(\frac{y}{x})+a=0$ प्राप्त होता है। माना $m = \frac{y}{x}$,अतः $bm^2+2hm+a=0$। मूल $m_1$ और $m_2$ रेखाओं के ढाल को दर्शाते हैं। द्विघात सूत्र से $m = \frac{-2h \pm \sqrt{4h^2-4ab}}{2b}$ प्राप्त होता है। चूँकि $h^2=ab$,इसलिए विविक्तकर $4h^2-4ab = 0$ है। अतः $m_1 = m_2 = -\frac{2h}{2b} = -\frac{h}{b}$। ढालों का अनुपात $m_1:m_2 = 1:1$ है।

(B) दिया गया रेखाओं का युग्म $x^2-y^2+2y-1=0$ है।
$x^2 = y^2-2y+1$
$\Rightarrow x^2 = (y-1)^2$
$\Rightarrow x^2 - (y-1)^2 = 0$
$\Rightarrow (x+y-1)(x-y+1) = 0$
अतः,रेखाएँ $l_1: x+y-1=0$ और $l_2: x-y+1=0$ हैं।
इन रेखाओं के कोण समद्विभाजक $\frac{x+y-1}{\sqrt{1^2+1^2}} = \pm \frac{x-y+1}{\sqrt{1^2+(-1)^2}}$ द्वारा प्राप्त होते हैं।
$\Rightarrow x+y-1 = \pm(x-y+1)$.
स्थिति $1$: $x+y-1 = x-y+1$ $\Rightarrow 2y = 2$ $\Rightarrow y=1$.
स्थिति $2$: $x+y-1 = -(x-y+1)$ $\Rightarrow x+y-1 = -x+y-1$ $\Rightarrow 2x = 0$ $\Rightarrow x=0$.
कोण समद्विभाजक रेखाएँ $x=0$ ($Y$-अक्ष) और $y=1$ हैं।
त्रिभुज रेखाओं $x+y=4$,$x=0$,और $y=1$ द्वारा निर्मित है।
त्रिभुज के शीर्ष हैं:
$1$. $x=0$ और $y=1$ का प्रतिच्छेदन बिंदु $(0, 1)$ है।
$2$. $x=0$ और $x+y=4$ का प्रतिच्छेदन बिंदु $(0, 4)$ है।
$3$. $y=1$ और $x+y=4$ का प्रतिच्छेदन बिंदु $(3, 1)$ है।
$x=0$ पर त्रिभुज का आधार $|4-1| = 3$ है।
$x=0$ से $x=3$ तक त्रिभुज की ऊँचाई $3$ है।
क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊँचाई} = \frac{1}{2} \times 3 \times 3 = 4.5$ वर्ग इकाई।

(B) दिया गया समीकरण $3 x^2-5 x y+4 y^2=0$ है।
इसे सामान्य रूप $a x^2+2 h x y+b y^2=0$ के साथ तुलना करने पर,हमें $a=3$,$2 h=-5$,और $b=4$ प्राप्त होता है।
रेखाओं के युग्म के बीच के कोण के समद्विभाजक का समीकरण $\frac{x^2-y^2}{a-b} = \frac{x y}{h}$ है।
मान रखने पर,$\frac{x^2-y^2}{3-4} = \frac{x y}{-5/2}$ प्राप्त होता है।
इसे सरल करने पर $\frac{x^2-y^2}{-1} = \frac{2 x y}{-5}$ मिलता है।
दोनों पक्षों को $-5$ से गुणा करने पर,हमें $5(x^2-y^2) = 2 x y$ प्राप्त होता है।

(A) दिया गया समीकरण $x^2-2 m x y-y^2=0$ है।
इसे सामान्य रूप $a x^2+2 h x y+b y^2=0$ के साथ तुलना करने पर,हमें $a=1, h=-m, b=-1$ प्राप्त होता है।
कोण समद्विभाजकों का समीकरण $\frac{x^2-y^2}{a-b} = \frac{x y}{h}$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर,हमें $\frac{x^2-y^2}{1-(-1)} = \frac{x y}{-m}$ प्राप्त होता है।
यह $\frac{x^2-y^2}{2} = \frac{x y}{-m}$ में सरल होता है,जिसका अर्थ है $-m(x^2-y^2) = 2 x y$।
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $m x^2 + 2 x y - m y^2 = 0$ प्राप्त होता है।
$m$ से विभाजित करने पर ($m \neq 0$ मानते हुए),हमें $x^2 + \frac{2}{m} x y - y^2 = 0$ प्राप्त होता है।
इसे दिए गए समद्विभाजक समीकरण $x^2-2 n x y-y^2=0$ के साथ तुलना करने पर,हमें $-2n = \frac{2}{m}$ प्राप्त होता है।
अतः,$-n = \frac{1}{m}$,जो $mn = -1$ या $mn+1=0$ देता है।

(D) दिया गया समीकरण $ax^2+2hxy+by^2=0$ है। $x^2$ से विभाजित करने पर,हमें $b(\frac{y}{x})^2+2h(\frac{y}{x})+a=0$ प्राप्त होता है। मान लीजिए $m = \frac{y}{x}$,तो $bm^2+2hm+a=0$। इस द्विघात समीकरण के मूल रेखाओं के ढाल $m_1$ और $m_2$ हैं। दिया गया है कि $h^2=ab$,इसलिए विविक्तकर $D = (2h)^2 - 4ab = 4h^2 - 4ab = 4(h^2-ab) = 0$ है। चूँकि विविक्तकर शून्य है,इसलिए दोनों मूल समान हैं,अर्थात $m_1 = m_2$। अतः,ढाल का अनुपात $m_1:m_2 = 1:1$ है।

(B) सरल रेखाओं के युग्म $a x^2+2 h x y+b y^2=0$ के बीच के कोण के समद्विभाजकों का समीकरण $\frac{x^2-y^2}{a-b}=\frac{x y}{h}$ द्वारा दिया जाता है।
युग्म $x^2-2 p x y-y^2=0$ के लिए,हमारे पास $a=1, b=-1, h=-p$ है।
समद्विभाजकों का समीकरण $\frac{x^2-y^2}{1-(-1)}=\frac{x y}{-p}$ है।
यह $\frac{x^2-y^2}{2}=\frac{x y}{-p}$ में सरल होता है,जिसका अर्थ है $-p(x^2-y^2)=2xy$,या $p x^2+2 x y-p y^2=0$ है।
$p$ से विभाजित करने पर,हमें $x^2+\frac{2}{p} x y-y^2=0$ प्राप्त होता है।
हमें दिया गया है कि यह युग्म $x^2-2 q x y-y^2=0$ है।
$xy$ के गुणांकों की तुलना करने पर,$-2 q = \frac{2}{p}$ प्राप्त होता है।
अतः,$-p q = 1$,जिससे $p q = -1$ प्राप्त होता है।

(C) दी गई रेखाओं का युग्म $2y^2+5xy-3x^2=0$ है,जिसे $3x^2-5xy-2y^2=0$ के रूप में लिखा जा सकता है।
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर: $3x^2-6xy+xy-2y^2=0$ $\Rightarrow 3x(x-2y)+y(x-2y)=0$ $\Rightarrow (x-2y)(3x+y)=0$.
अतः,दो रेखाएँ $L_1: x-2y=0$ और $L_2: 3x+y=0$ हैं।
तीसरी रेखा $L_3: x+y=k$ है।
त्रिभुज के शीर्ष इन रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु हैं:
$O(0,0)$ रेखाओं $L_1$ और $L_2$ का प्रतिच्छेदन बिंदु है।
$L_1$ और $L_3$ का प्रतिच्छेदन: $x-2y=0$ और $x+y=k$ $\Rightarrow 3y=k$ $\Rightarrow y=\frac{k}{3}, x=\frac{2k}{3}$। अतः,$A(\frac{2k}{3}, \frac{k}{3})$।
$L_2$ और $L_3$ का प्रतिच्छेदन: $3x+y=0$ और $x+y=k$ $\Rightarrow 2x=-k$ $\Rightarrow x=-\frac{k}{2}, y=\frac{3k}{2}$। अतः,$B(-\frac{k}{2}, \frac{3k}{2})$।
$\triangle OAB$ का केंद्रक $(\frac{0+\frac{2k}{3}-\frac{k}{2}}{3}, \frac{0+\frac{k}{3}+\frac{3k}{2}}{3}) = (\frac{\frac{k}{6}}{3}, \frac{\frac{11k}{6}}{3}) = (\frac{k}{18}, \frac{11k}{18})$ है।
चूंकि केंद्रक $(\frac{1}{18}, \frac{11}{18})$ दिया गया है,इसलिए $\frac{k}{18} = \frac{1}{18}$,जिसका अर्थ है $k=1$।

(B) दिया गया समीकरण $8 x^2-24 x y+18 y^2-6 x+9 y-5=0$ है।
हम द्विघात भाग को $(2 \sqrt{2} x - 3 \sqrt{2} y)^2 = 2(4 x^2 - 12 x y + 9 y^2) = 2(2 x - 3 y)^2$ के रूप में लिख सकते हैं।
माना $2 x - 3 y = t$. तब समीकरण $2 t^2 - 3 t - 5 = 0$ हो जाता है।
गुणनखंड करने पर: $2 t^2 - 5 t + 2 t - 5 = 0 \implies t(2 t - 5) + 1(2 t - 5) = 0 \implies (t + 1)(2 t - 5) = 0$.
$t = 2 x - 3 y$ वापस रखने पर,हमें $(2 x - 3 y + 1)(2(2 x - 3 y) - 5) = 0$ प्राप्त होता है।
यह सरल होकर $(2 x - 3 y + 1)(4 x - 6 y - 5) = 0$ हो जाता है।
चूंकि यह समीकरण दो रेखाओं को दर्शाता है और उनके ढाल $m_1 = \frac{2}{3}$ और $m_2 = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$ समान हैं,इसलिए ये रेखाएं समांतर हैं।

(B) समीकरण $ax^2+2hxy+by^2=0$ मूल बिंदु $(0,0)$ से गुजरने वाली रेखाओं का एक युग्म दर्शाता है।
रेखा $1$ बिंदु $(0,0)$ और $(2,3)$ से गुजरती है। इसका समीकरण $y = \frac{3}{2}x \Rightarrow 3x - 2y = 0$ है।
रेखा $2$ बिंदु $(0,0)$ और $(4,5)$ से गुजरती है। इसका समीकरण $y = \frac{5}{4}x \Rightarrow 5x - 4y = 0$ है।
अतः संयुक्त समीकरण $(3x - 2y)(5x - 4y) = 0$ होगा।
विस्तार करने पर,$15x^2 - 22xy + 8y^2 = 0$ प्राप्त होता है।
तुलना करने पर,$a = 15$,$2h = -22$ और $b = 8$ है।
इसलिए,$a + 2h + b = 15 - 22 + 8 = 1$।

(C) दिए गए रेखा युग्म का समीकरण: $2x^2 + 4xy - 4y^2 - 6x - 8y + 7 = 0$.
$Y$-अक्ष पर अंतःखंड की लंबाई ज्ञात करने के लिए $x = 0$ रखें।
समीकरण में $x = 0$ रखने पर: $-4y^2 - 8y + 7 = 0$,जिसे $4y^2 + 8y - 7 = 0$ लिखा जा सकता है।
द्विघात सूत्र $y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ का उपयोग करने पर,$y = \frac{-8 \pm \sqrt{64 - 4(4)(-7)}}{8} = \frac{-8 \pm \sqrt{176}}{8} = -1 \pm \frac{\sqrt{11}}{2}$.
अंतःखंड की लंबाई दोनों मूलों $y_1$ और $y_2$ के बीच का अंतर है: $|y_1 - y_2| = |(-1 + \frac{\sqrt{11}}{2}) - (-1 - \frac{\sqrt{11}}{2})| = \sqrt{11}$.

(B) दिया गया समीकरण $(x-2y)^2 + k(x-2y) = 0$ है।
समीकरण का गुणनखंड करने पर,$(x-2y)(x-2y+k) = 0$ प्राप्त होता है।
यह दो समांतर रेखाओं को निरूपित करता है: $L_1: x-2y = 0$ और $L_2: x-2y+k = 0$।
दो समांतर रेखाओं $Ax+By+C_1=0$ और $Ax+By+C_2=0$ के बीच की दूरी $d = \frac{|C_1-C_2|}{\sqrt{A^2+B^2}}$ द्वारा दी जाती है।
यहाँ,$A=1, B=-2, C_1=0, C_2=k$ है।
अतः,$d = \frac{|k-0|}{\sqrt{1^2+(-2)^2}} = \frac{|k|}{\sqrt{5}}$।
दिया गया है कि $d = 3$,इसलिए $\frac{|k|}{\sqrt{5}} = 3$।
अतः,$|k| = 3\sqrt{5}$,जिसका अर्थ है कि $k = \pm 3\sqrt{5}$।

(A) द्विघात समीकरण $ax^2+2hxy+by^2+2gx+2fy+c=0$ रेखाओं के एक युग्म को दर्शाता है यदि $\Delta = abc+2fgh-af^2-bg^2-ch^2 = 0$ हो।
दिए गए समीकरण $x^2+pxy+y^2-5x-7y+6=0$ की तुलना करने पर:
$a=1, b=1, c=6, h=\frac{p}{2}, g=-\frac{5}{2}, f=-\frac{7}{2}$.
शर्त $\Delta=0$ में मान रखने पर:
$(1)(1)(6) + 2(-\frac{7}{2})(-\frac{5}{2})(\frac{p}{2}) - 1(-\frac{7}{2})^2 - 1(-\frac{5}{2})^2 - 6(\frac{p}{2})^2 = 0$
$6 + \frac{35p}{4} - \frac{49}{4} - \frac{25}{4} - \frac{6p^2}{4} = 0$
$4$ से गुणा करने पर:
$24 + 35p - 49 - 25 - 6p^2 = 0$
$-6p^2 + 35p - 50 = 0$
$6p^2 - 35p + 50 = 0$
$(2p-5)(3p-10) = 0$
अतः,$p = \frac{5}{2}$ या $p = \frac{10}{3}$।
दिए गए विकल्पों के अनुसार,सही उत्तर $\frac{5}{2}$ है।

(A) द्विघात समीकरण $ax^2+2hxy+by^2+2gx+2fy+c=0$ सरल रेखाओं का एक युग्म निरूपित करता है यदि सारणिक $\Delta = abc+2fgh-af^2-bg^2-ch^2 = 0$ हो।
दिए गए समीकरण $x^2+pxy+y^2-5x-7y+6=0$ की तुलना सामान्य रूप से करने पर:
$a=1, b=1, c=6, h=\frac{p}{2}, g=-\frac{5}{2}, f=-\frac{7}{2}$.
इन मानों को शर्त $\Delta = 0$ में रखने पर:
$(1)(1)(6) + 2(-\frac{7}{2})(-\frac{5}{2})(\frac{p}{2}) - (1)(-\frac{7}{2})^2 - (1)(-\frac{5}{2})^2 - (6)(\frac{p}{2})^2 = 0$.
$6 + \frac{35p}{4} - \frac{49}{4} - \frac{25}{4} - \frac{6p^2}{4} = 0$.
$4$ से गुणा करने पर:
$24 + 35p - 49 - 25 - 6p^2 = 0$.
$-6p^2 + 35p - 50 = 0$.
$6p^2 - 35p + 50 = 0$.
$(2p-5)(3p-10) = 0$.
अतः,$p = \frac{5}{2}$ या $p = \frac{10}{3}$.

(A) मूल बिंदु से गुजरने वाली सरल रेखाओं के युग्म का सामान्य समीकरण $ax^2 + 2hxy + by^2 = 0$ है।
इन रेखाओं के वास्तविक होने के लिए शर्त $h^2 - ab \geq 0$ है।
$2x^2 - pxy + 2y^2 = 0$ की तुलना सामान्य समीकरण से करने पर,हमें $a = 2$,$2h = -p$ (अर्थात $h = -p/2$),और $b = 2$ प्राप्त होता है।
इन मानों को शर्त में रखने पर:
$(-p/2)^2 - (2)(2) \geq 0$
$\frac{p^2}{4} - 4 \geq 0$
$p^2 - 16 \geq 0$
$(p - 4)(p + 4) \geq 0$
यह असमिका तब सत्य होती है जब $p \leq -4$ या $p \geq 4$ हो।
अतः,$p \in (-\infty, -4] \cup [4, \infty)$।

(D) दिया गया वक्र $2x^2 - 2xy + 3y^2 + 2x - y - 1 = 0$ है।
रेखा $x + 2y = k$ है,जिसका अर्थ है $\frac{x + 2y}{k} = 1$।
रेखा के समीकरण का उपयोग करके वक्र के समीकरण को समघात बनाने पर:
$2x^2 - 2xy + 3y^2 + (2x - y)(1) - 1(1)^2 = 0$।
$1 = \frac{x + 2y}{k}$ प्रतिस्थापित करने पर:
$2x^2 - 2xy + 3y^2 + (2x - y)\left(\frac{x + 2y}{k}\right) - \left(\frac{x + 2y}{k}\right)^2 = 0$।
$k^2$ से गुणा करने पर:
$k^2(2x^2 - 2xy + 3y^2) + k(2x^2 + 4xy - xy - 2y^2) - (x^2 + 4xy + 4y^2) = 0$।
$x^2(2k^2 + 2k - 1) + xy(-2k^2 + 3k - 4) + y^2(3k^2 - 2k - 4) = 0$।
चूंकि रेखाएं समकोण पर हैं,इसलिए $x^2$ और $y^2$ के गुणांकों का योग शून्य होना चाहिए:
$(2k^2 + 2k - 1) + (3k^2 - 2k - 4) = 0$।
$5k^2 - 5 = 0$।
$5k^2 = 5 \implies k^2 = 1$।

(C) समीकरण $2x^2 + 4xy - 6y^2 + 3x + y + 1 = 0$ के गुणनखंड करने पर $(2x - 2y + 1)(x + 3y + 1) = 0$ प्राप्त होता है।
दोनों रेखाओं $2x - 2y + 1 = 0$ और $x + 3y + 1 = 0$ को हल करने पर,प्रतिच्छेदन बिंदु $\left(-\frac{5}{8}, -\frac{1}{8}\right)$ प्राप्त होता है।

(C) दी गई रेखाओं का युग्म $x^2+2xy-35y^2-4x+44y-12=0$ है। इसे $ax^2+2hxy+by^2+2gx+2fy+c=0$ से तुलना करने पर,$a=1, h=1, b=-35, g=-2, f=22, c=-12$ प्राप्त होता है।
रेखाओं के युग्म का प्रतिच्छेदन बिंदु $(x, y)$ सूत्र $\left(\frac{hf-bg}{ab-h^2}, \frac{gh-af}{ab-h^2}\right)$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर: $x = \frac{(1)(22)-(-35)(-2)}{(1)(-35)-(1)^2} = \frac{22-70}{-36} = \frac{-48}{-36} = \frac{4}{3}$.
$y = \frac{(-2)(1)-(1)(22)}{(1)(-35)-(1)^2} = \frac{-2-22}{-36} = \frac{-24}{-36} = \frac{2}{3}$.
प्रतिच्छेदन बिंदु $(\frac{4}{3}, \frac{2}{3})$ है।
चूंकि रेखाएँ संगामी हैं,यह बिंदु $5x+ky-8=0$ को संतुष्ट करेगा।
$5(\frac{4}{3}) + k(\frac{2}{3}) - 8 = 0$.
$\frac{20}{3} + \frac{2k}{3} = 8$.
$20 + 2k = 24$.
$2k = 4 \Rightarrow k = 2$.

(D) रेखाओं के युग्म का दिया गया समीकरण $x^2+2xy-35y^2-4x+44y-12=0$ है।
इसे सामान्य रूप $ax^2+2hxy+by^2+2gx+2fy+c=0$ से तुलना करने पर,$a=1, h=1, b=-35, g=-2, f=22, c=-12$ प्राप्त होता है।
रेखाओं के युग्म का प्रतिच्छेदन बिंदु $(x_0, y_0)$ निम्नलिखित सूत्र द्वारा प्राप्त होता है:
$x_0 = \frac{hf-bg}{ab-h^2} = \frac{(1)(22)-(-35)(-2)}{(1)(-35)-(1)^2} = \frac{22-70}{-36} = \frac{-48}{-36} = \frac{4}{3}$.
$y_0 = \frac{gh-af}{ab-h^2} = \frac{(-2)(1)-(1)(22)}{(1)(-35)-(1)^2} = \frac{-2-22}{-36} = \frac{-24}{-36} = \frac{2}{3}$.
चूंकि रेखाएँ संगामी हैं,इसलिए बिंदु $(\frac{4}{3}, \frac{2}{3})$ को रेखा $5x+\lambda y-8=0$ को संतुष्ट करना चाहिए।
$5(\frac{4}{3}) + \lambda(\frac{2}{3}) - 8 = 0$.
$\frac{20}{3} + \frac{2\lambda}{3} - 8 = 0$.
$3$ से गुणा करने पर: $20 + 2\lambda - 24 = 0$.
$2\lambda - 4 = 0$.
$2\lambda = 4$.
$\lambda = 2$.

(B) दिए गए रेखा युग्म का समीकरण $2 x^2+3 x y+2 y^2+10 x+5 y=0$ है।
यह $a x^2+2 h x y+b y^2+2 g x+2 f y+c=0$ के रूप में है।
यहाँ $a=2$,$2h=3$ (अर्थात $h=\frac{3}{2}$),और $b=2$ है।
मूल बिंदु से गुजरने वाले और दिए गए रेखा युग्म के लंबवत रेखा युग्म का समीकरण $b x^2-2 h x y+a y^2=0$ होता है।
मान रखने पर,हमें $2 x^2-3 x y+2 y^2=0$ प्राप्त होता है।

(A) दिया गया समीकरण $2x^2 - xy - y^2 = 0$ है।
द्विघात व्यंजक का गुणनखंड करने पर:
$2x^2 - 2xy + xy - y^2 = 0$
$2x(x - y) + y(x - y) = 0$
$(2x + y)(x - y) = 0$.
रेखाएँ $2x + y = 0$ और $x - y = 0$ के समानांतर हैं।
माना अभीष्ट रेखाएँ $(2x + y + k_1) = 0$ और $(x - y + k_2) = 0$ हैं।
चूंकि ये रेखाएँ $(1, 0)$ से गुजरती हैं,हम बिंदु को प्रतिस्थापित करते हैं:
पहली रेखा के लिए: $2(1) + 0 + k_1 = 0 \Rightarrow k_1 = -2$.
दूसरी रेखा के लिए: $1 - 0 + k_2 = 0 \Rightarrow k_2 = -1$.
संयुक्त समीकरण $(2x + y - 2)(x - y - 1) = 0$ है।
गुणनफल का विस्तार करने पर:
$2x^2 - xy - y^2 - 4x + y + 2 = 0$.

(D) माना वृत्त का समीकरण $(x-h)^2 + (y-k)^2 = r^2$ है। \\
चूँकि वृत्त $x$-अक्ष को $(3, 0)$ पर स्पर्श करता है,केंद्र $(h, k)$ है और त्रिज्या $r = |k|$ है। \\
अतः समीकरण $(x-h)^2 + (y-k)^2 = k^2$ हो जाता है। \\
यह $(3, 0)$ से गुजरता है,इसलिए $(3-h)^2 + (0-k)^2 = k^2$ $\Rightarrow (3-h)^2 = 0$ $\Rightarrow h = 3$। \\
यह $(1, -2)$ से भी गुजरता है,इसलिए $h=3$ रखने पर: $(1-3)^2 + (-2-k)^2 = k^2$। \\
$(-2)^2 + 4 + 4k + k^2 = k^2$ \\
$4 + 4 + 4k = 0$ $\Rightarrow 4k = -8$ $\Rightarrow k = -2$। \\
$h=3$ और $k=-2$ को $(x-h)^2 + (y-k)^2 = k^2$ में रखने पर: \\
$(x-3)^2 + (y+2)^2 = (-2)^2$ \\
$x^2 - 6x + 9 + y^2 + 4y + 4 = 4$ \\
$x^2 + y^2 - 6x + 4y + 9 = 0$।

(B) वृत्त का समीकरण $x^2+y^2-x+3y=0$ है। केंद्र $C = (\frac{1}{2}, -\frac{3}{2})$ है।
मान लीजिए मूल बिंदु से गुजरने वाली रेखा $L_1$,$y = mx$ है,अर्थात $mx - y = 0$ है।
रेखा $L_2$,$x + y - 1 = 0$ है।
चूंकि वृत्त द्वारा $L_1$ और $L_2$ पर बनाए गए अंतःखंड समान हैं,इसलिए केंद्र $C$ से इन रेखाओं की लंबवत दूरियां समान होनी चाहिए।
केंद्र $C(\frac{1}{2}, -\frac{3}{2})$ से $L_1$ की लंबवत दूरी $d_1 = \frac{|m(\frac{1}{2}) - (-\frac{3}{2})|}{\sqrt{m^2 + (-1)^2}} = \frac{|\frac{m+3}{2}|}{\sqrt{m^2+1}}$ है।
केंद्र $C(\frac{1}{2}, -\frac{3}{2})$ से $L_2$ की लंबवत दूरी $d_2 = \frac{|\frac{1}{2} - \frac{3}{2} - 1|}{\sqrt{1^2 + 1^2}} = \frac{|-2|}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}$ है।
$d_1^2 = d_2^2$ रखने पर,$\frac{(m+3)^2}{4(m^2+1)} = 2$ प्राप्त होता है।
$(m+3)^2 = 8(m^2+1) \Rightarrow m^2 + 6m + 9 = 8m^2 + 8$।
$7m^2 - 6m - 1 = 0$।
$(7m+1)(m-1) = 0$,अतः $m = 1$ या $m = -\frac{1}{7}$ है।
$m = 1$ के लिए,$L_1$,$y = x$ या $x - y = 0$ है।
$m = -\frac{1}{7}$ के लिए,$L_1$,$y = -\frac{1}{7}x$ या $x + 7y = 0$ है।

(A) वृत्त $x$-अक्ष पर स्थित बिंदुओं $(4, 0)$ और $(-4, 0)$ से होकर गुजरता है।
चूंकि बिंदु $y$-अक्ष के सापेक्ष सममित हैं,इसलिए वृत्त का केंद्र $y$-अक्ष पर स्थित होना चाहिए।
माना केंद्र $(0, c)$ है।
केंद्र $(0, c)$ से बिंदु $(4, 0)$ की दूरी त्रिज्या $r = 5$ है।
दूरी सूत्र का उपयोग करने पर: $\sqrt{(4-0)^2 + (0-c)^2} = 5$.
$16 + c^2 = 25$ $\Rightarrow c^2 = 9$ $\Rightarrow c = \pm 3$.
अतः,केंद्र $(0, 3)$ और $(0, -3)$ हैं।
केंद्र $(0, 3)$ के लिए,समीकरण $x^2 + (y-3)^2 = 5^2 \Rightarrow x^2 + y^2 - 6y - 16 = 0$ है।
केंद्र $(0, -3)$ के लिए,समीकरण $x^2 + (y+3)^2 = 5^2 \Rightarrow x^2 + y^2 + 6y - 16 = 0$ है।

(D) वृत्त का सामान्य समीकरण $x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ है।
चूंकि वृत्त मूल बिंदु $(0,0)$ से होकर गुजरता है,इसलिए $c=0$ है।
वृत्त $x$-अक्ष पर $-2$ का अंतःखंड काटता है,जिसका अर्थ है कि यह $(-2,0)$ से होकर गुजरता है। समीकरण में मान रखने पर: $(-2)^2 + 0^2 + 2g(-2) + 2f(0) + 0 = 0$ $\Rightarrow 4 - 4g = 0$ $\Rightarrow g = 1$.
वृत्त $y$-अक्ष पर $3$ का अंतःखंड काटता है,जिसका अर्थ है कि यह $(0,3)$ से होकर गुजरता है। समीकरण में मान रखने पर: $0^2 + 3^2 + 2g(0) + 2f(3) + 0 = 0$ $\Rightarrow 9 + 6f = 0$ $\Rightarrow f = -\frac{3}{2}$.
$g=1$,$f=-\frac{3}{2}$,और $c=0$ का मान सामान्य समीकरण में रखने पर: $x^2+y^2+2(1)x+2(-\frac{3}{2})y+0=0$.
अतः,अभीष्ट समीकरण $x^2+y^2+2x-3y=0$ प्राप्त होता है।

(C) माना $S_1 = x^2+y^2-8x-6y+21=0$ और $S_2 = x^2+y^2-2x-15=0$ है।
वृत्तों के परिवार के समीकरण $S_1 + \lambda S_2 = 0$ का उपयोग करने पर:
$(x^2+y^2-8x-6y+21) + \lambda(x^2+y^2-2x-15) = 0$.
चूंकि यह वृत्त बिंदु $(1, 2)$ से होकर गुजरता है,इसलिए $x=1$ और $y=2$ रखने पर:
$(1^2+2^2-8(1)-6(2)+21) + \lambda(1^2+2^2-2(1)-15) = 0$.
$6 + \lambda(-12) = 0$.
$\lambda = \frac{1}{2}$.
$\lambda = \frac{1}{2}$ का मान रखने पर:
$2(x^2+y^2-8x-6y+21) + (x^2+y^2-2x-15) = 0$.
$3x^2+3y^2-18x-12y+27 = 0$.
$3(x^2+y^2)-18x-12y+27 = 0$.

(D) वृत्त का दिया गया समीकरण: $x^2+y^2-3x-4y+2=0$ है।
चूँकि वृत्त $x$-अक्ष को काटता है,इसलिए इन बिंदुओं पर $y=0$ होगा।
समीकरण में $y=0$ रखने पर:
$x^2 + (0)^2 - 3x - 4(0) + 2 = 0$
$x^2 - 3x + 2 = 0$
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर:
$(x-1)(x-2) = 0$
इससे $x=1$ और $x=2$ प्राप्त होता है।
अतः,प्रतिच्छेदन बिंदु $(1,0)$ और $(2,0)$ हैं।

(A) वृत्त का दिया गया समीकरण $x^2+y^2+8x+10y-8=0$ है।
इसे वृत्त के व्यापक समीकरण $x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ से तुलना करने पर:
$2g = 8 \implies g = 4$
$2f = 10 \implies f = 5$
$c = -8$
वृत्त का केंद्र $(-g, -f) = (-4, -5)$ है।
त्रिज्या $r = \sqrt{g^2+f^2-c}$ द्वारा प्राप्त होती है।
$r = \sqrt{4^2+5^2-(-8)} = \sqrt{16+25+8} = \sqrt{49} = 7$.
अतः,केंद्र $(-4, -5)$ है और त्रिज्या $7$ है।

(D) व्यास के सिरे $(4,7)$ और $(-2,-1)$ हैं।
वृत्त का समीकरण $(x-x_1)(x-x_2) + (y-y_1)(y-y_2) = 0$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर,$(x-4)(x+2) + (y-7)(y+1) = 0$ प्राप्त होता है।
विस्तार करने पर,$x^2 - 2x - 8 + y^2 - 6y - 7 = 0$,जो $x^2 + y^2 - 2x - 6y - 15 = 0$ में सरल हो जाता है।
वृत्त का सामान्य समीकरण $x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ है।
तुलना करने पर,$g = -1$,$f = -3$,और $c = -15$ प्राप्त होता है।
$X$-अंतःखंड की लंबाई $2\sqrt{g^2 - c}$ सूत्र द्वारा दी जाती है।
मान रखने पर,$AB = 2\sqrt{(-1)^2 - (-15)} = 2\sqrt{1 + 15} = 2\sqrt{16} = 2 \times 4 = 8$.
अतः,$AB = 8$.

(C) दिया गया वृत्त समीकरण $x^2+y^2+4x-4y+4=0$ है।
इसे व्यापक रूप $x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ से तुलना करने पर,हमें $g=2$,$f=-2$,और $c=4$ प्राप्त होता है।
वृत्त का केंद्र $(-g, -f) = (-2, 2)$ है।
वृत्त की त्रिज्या $r = \sqrt{g^2+f^2-c} = \sqrt{2^2+(-2)^2-4} = \sqrt{4+4-4} = \sqrt{4} = 2$ है।
चूंकि केंद्र के $x$-निर्देशांक का निरपेक्ष मान $|-2| = 2$ (जो त्रिज्या के बराबर है) और केंद्र के $y$-निर्देशांक का निरपेक्ष मान $|2| = 2$ (जो भी त्रिज्या के बराबर है) है,इसलिए वृत्त $X$-अक्ष और $Y$-अक्ष दोनों को स्पर्श करता है।

(B) वृत्त की परिधि $10 \pi$ है। $2 \pi r = 10 \pi$ से,त्रिज्या $r = 5$ प्राप्त होती है।
चूंकि वृत्त के व्यास उसके केंद्र पर प्रतिच्छेद करते हैं,हम समीकरणों को हल करते हैं:
$2x + 3y + 1 = 0$ $(i)$
$3x - y - 4 = 0$ $(ii)$
$(ii)$ से,$y = 3x - 4$। इसे $(i)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$2x + 3(3x - 4) + 1 = 0$
$2x + 9x - 12 + 1 = 0$
$11x - 11 = 0 \Rightarrow x = 1$।
तब $y = 3(1) - 4 = -1$।
वृत्त का केंद्र $(1, -1)$ है।
केंद्र $(h, k)$ और त्रिज्या $r$ वाले वृत्त का समीकरण $(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2$ होता है।
$(x - 1)^2 + (y + 1)^2 = 5^2$
$x^2 - 2x + 1 + y^2 + 2y + 1 = 25$
$x^2 + y^2 - 2x + 2y - 23 = 0$।

(C) हमारे पास है,$\int \frac{2x+3}{x(x+1)(x+2)(x+3)+1} dx = \frac{-1}{ax^2+bx+c} + \alpha$।
हर को पुनर्व्यवस्थित करने पर: $x(x+3)(x+1)(x+2)+1 = (x^2+3x)(x^2+3x+2)+1$।
माना $t = x^2+3x$,तो $dt = (2x+3)dx$।
समाकलन में मान रखने पर: $\int \frac{dt}{t(t+2)+1} = \int \frac{dt}{t^2+2t+1} = \int \frac{dt}{(t+1)^2}$।
समाकलन करने पर प्राप्त होता है: $-\frac{1}{t+1} + \alpha = \frac{-1}{x^2+3x+1} + \alpha$।
इसकी तुलना $\frac{-1}{ax^2+bx+c} + \alpha$ से करने पर,हमें $a=1, b=3, c=1$ प्राप्त होता है।
अतः,$a+b+c = 1+3+1 = 5$।

(B) समाकलन $I = \int \frac{x^2+1}{x^4+1} dx$ को हल करने के लिए,हम अंश और हर को $x^2$ से विभाजित करते हैं:
$I = \int \frac{1 + \frac{1}{x^2}}{x^2 + \frac{1}{x^2}} dx$
हम हर को $(x - \frac{1}{x})^2 + 2$ के रूप में लिख सकते हैं:
$I = \int \frac{1 + \frac{1}{x^2}}{(x - \frac{1}{x})^2 + (\sqrt{2})^2} dx$
माना $t = x - \frac{1}{x}$. तब $dt = (1 + \frac{1}{x^2}) dx$.
इन मानों को समाकलन में प्रतिस्थापित करने पर:
$I = \int \frac{dt}{t^2 + (\sqrt{2})^2} = \frac{1}{\sqrt{2}} \tan^{-1}\left(\frac{t}{\sqrt{2}}\right) + c$
$t = x - \frac{1}{x} = \frac{x^2-1}{x}$ वापस रखने पर:
$I = \frac{1}{\sqrt{2}} \tan^{-1}\left(\frac{x^2-1}{\sqrt{2}x}\right) + c$
अतः,$f(x) = \frac{1}{\sqrt{2}} \tan^{-1}\left(\frac{x^2-1}{\sqrt{2}x}\right)$.

(D) माना $I = \int \frac{1+\cos (4 x)}{\cot x-\tan x} d x$.
सर्वसमिका $1+\cos(2\theta) = 2\cos^2(\theta)$ का उपयोग करने पर,हमें $1+\cos(4x) = 2\cos^2(2x)$ प्राप्त होता है।
साथ ही,$\cot x - \tan x = \frac{\cos x}{\sin x} - \frac{\sin x}{\cos x} = \frac{\cos^2 x - \sin^2 x}{\sin x \cos x} = \frac{\cos(2x)}{\frac{1}{2}\sin(2x)} = 2\frac{\cos(2x)}{\sin(2x)}$.
इन मानों को समाकलन में प्रतिस्थापित करने पर:
$I = \int \frac{2\cos^2(2x)}{2\frac{\cos(2x)}{\sin(2x)}} dx = \int \cos(2x) \sin(2x) dx$.
सर्वसमिका $\sin(2\theta) = 2\sin\theta \cos\theta$ का उपयोग करने पर,$\sin(2x)\cos(2x) = \frac{1}{2}\sin(4x)$ प्राप्त होता है।
$I = \int \frac{1}{2}\sin(4x) dx = \frac{1}{2} \left( \frac{-\cos(4x)}{4} \right) + C = -\frac{1}{8}\cos(4x) + C$.
इसकी तुलना $A\cos(4x)+B$ से करने पर,हमें $A = -\frac{1}{8}$ प्राप्त होता है।

(C) माना $I = \int \frac{dx}{\sqrt{7-6x-x^2}}$.
सबसे पहले,द्विघात व्यंजक $7-6x-x^2$ को पूर्ण वर्ग के रूप में लिखें:
$7-6x-x^2 = 7 - (x^2 + 6x) = 7 - (x^2 + 6x + 9 - 9) = 7 - ((x+3)^2 - 9) = 16 - (x+3)^2 = 4^2 - (x+3)^2$.
अब,इस मान को समाकलन में प्रतिस्थापित करें:
$I = \int \frac{dx}{\sqrt{4^2 - (x+3)^2}}$.
मानक समाकलन सूत्र $\int \frac{dx}{\sqrt{a^2 - x^2}} = \sin^{-1}\left(\frac{x}{a}\right) + C$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $a = 4$ और $x$ के स्थान पर $(x+3)$ है:
$I = \sin^{-1}\left(\frac{x+3}{4}\right) + C$.

(A) हमें समाकलन $I = \int \frac{e^x(x + 3)}{(x + 5)^3} dx$ दिया गया है।
सबसे पहले,अंश $(x + 3)$ को $(x + 5 - 2)$ के रूप में लिखते हैं:
$I = \int \frac{e^x(x + 5 - 2)}{(x + 5)^3} dx$
$I = \int e^x \left[ \frac{x + 5}{(x + 5)^3} - \frac{2}{(x + 5)^3} \right] dx$
$I = \int e^x \left[ \frac{1}{(x + 5)^2} - \frac{2}{(x + 5)^3} \right] dx$
हम मानक समाकलन सूत्र $\int e^x (f(x) + f'(x)) dx = e^x f(x) + c$ का उपयोग करते हैं।
माना $f(x) = \frac{1}{(x + 5)^2} = (x + 5)^{-2}$।
तब $f'(x) = -2(x + 5)^{-3} = -\frac{2}{(x + 5)^3}$।
चूंकि समाकल्य $e^x(f(x) + f'(x))$ के रूप में है,इसलिए समाकलन $e^x f(x) + c$ होगा।
अतः,$I = \frac{e^x}{(x + 5)^2} + c$।

(A) माना $I = \int \sqrt{e^{4x} + e^{2x}} \, dx = \int e^x \sqrt{e^{2x} + 1} \, dx$.
$e^x = v$ प्रतिस्थापित करने पर,$dv = e^x \, dx$ प्राप्त होता है।
$I = \int \sqrt{v^2 + 1} \, dv$.
मानक समाकलन सूत्र $\int \sqrt{x^2 + a^2} \, dx = \frac{x}{2} \sqrt{x^2 + a^2} + \frac{a^2}{2} \ln|x + \sqrt{x^2 + a^2}| + c$ का उपयोग करने पर।
यहाँ $a = 1$ है,इसलिए $I = \frac{v}{2} \sqrt{v^2 + 1} + \frac{1}{2} \ln|v + \sqrt{v^2 + 1}| + c$.
चूंकि $\sinh^{-1}(v) = \ln(v + \sqrt{v^2 + 1})$,इसलिए $I = \frac{v}{2} \sqrt{v^2 + 1} + \frac{1}{2} \sinh^{-1}(v) + c$.
$v = e^x$ वापस रखने पर,हमें $I = \frac{1}{2} e^x \sqrt{e^{2x} + 1} + \frac{1}{2} \sinh^{-1}(e^x) + c$ प्राप्त होता है।

(A) हमें समाकलन $I = \int [ \cos(x) \cdot \frac{d}{dx}(\csc(x)) ] dx$ दिया गया है।
सबसे पहले,हम जानते हैं कि $\frac{d}{dx}(\csc(x)) = -\csc(x) \cot(x)$ होता है।
इस मान को समाकलन में रखने पर,हमें प्राप्त होता है:
$I = \int [ \cos(x) \cdot (-\csc(x) \cot(x)) ] dx$
$I = - \int [ \cos(x) \cdot \frac{1}{\sin(x)} \cdot \frac{\cos(x)}{\sin(x)} ] dx$
$I = - \int [ \frac{\cos^2(x)}{\sin^2(x)} ] dx$
$I = - \int \cot^2(x) dx$
सर्वसमिका $\cot^2(x) = \csc^2(x) - 1$ का उपयोग करने पर:
$I = - \int (\csc^2(x) - 1) dx$
$I = - \int \csc^2(x) dx + \int 1 dx$
चूंकि $\int \csc^2(x) dx = -\cot(x)$,इसलिए:
$I = -(-\cot(x)) + x + c$
$I = \cot(x) + x + c$
इसकी तुलना $f(x) + g(x) + c$ से करने पर,हमें $f(x) = \cot(x)$ और $g(x) = x$ प्राप्त होता है।
अतः,$f(x) \cdot g(x) = x \cot(x)$।

(B) आदि फलन का अर्थ अनिश्चित समाकलन है। मान लीजिए $I = \int \cos(\log x) dx$ है।
खंडशः समाकलन (integration by parts) का उपयोग करते हुए,$u = \cos(\log x)$ और $dv = dx$ लें। तब $du = -\sin(\log x) \cdot \frac{1}{x} dx$ और $v = x$ प्राप्त होता है।
$I = x \cos(\log x) - \int x \cdot (-\sin(\log x)) \cdot \frac{1}{x} dx = x \cos(\log x) + \int \sin(\log x) dx$।
अब,$\int \sin(\log x) dx$ का खंडशः समाकलन करें: $u = \sin(\log x)$,$dv = dx$।
$I = x \cos(\log x) + [x \sin(\log x) - \int x \cdot \cos(\log x) \cdot \frac{1}{x} dx]$।
$I = x \cos(\log x) + x \sin(\log x) - I$।
$2I = x [\cos(\log x) + \sin(\log x)] + C$।
$I = \frac{x}{2} [\cos(\log x) + \sin(\log x)] + C$।
इसकी तुलना $f(x)\{\cos(g(x)) + \sin(h(x))\}$ से करने पर,हमें $f(x) = \frac{x}{2}$,$g(x) = \log x$,और $h(x) = \log x$ प्राप्त होता है।
अतः,$f^{\prime}(x) = \frac{d}{dx}(\frac{x}{2}) = \frac{1}{2}$।
इसलिए,विकल्प $B$ सही है।

(B) माना $x+2=t$,तब $dx=dt$ होगा।
समाकलन में इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$I = \int(t-1)(t)^4(t+1) \, dt = \int(t^2-1)t^4 \, dt$।
व्यंजक का विस्तार करने पर:
$I = \int(t^6-t^4) \, dt$।
प्रत्येक पद का समाकलन करने पर:
$I = \frac{t^7}{7} - \frac{t^5}{5} + C$।
$t = x+2$ वापस रखने पर:
$I = \frac{(x+2)^7}{7} - \frac{(x+2)^5}{5} + C$।

(A) माना $I = \int \frac{e^{\tan ^{-1} x}}{1+x^2} \left[\left(\sec ^{-1} \sqrt{1+x^2}\right)^2 + \cos ^{-1}\left(\frac{1-x^2}{1+x^2}\right)\right] d x$,जहाँ $x > 0$ है।
$\tan ^{-1} x = \theta$ प्रतिस्थापित करने पर,$x = \tan \theta$ और $\frac{1}{1+x^2} d x = d \theta$ प्राप्त होता है।
चूँकि $x > 0$,इसलिए $\theta \in (0, \pi/2)$ है।
यहाँ $\sec ^{-1} \sqrt{1+x^2} = \sec ^{-1} \sqrt{1+\tan^2 \theta} = \sec ^{-1} \sec \theta = \theta$ है।
साथ ही,$\cos ^{-1}\left(\frac{1-x^2}{1+x^2}\right) = \cos ^{-1}(\cos 2\theta) = 2\theta$ (क्योंकि $2\theta \in (0, \pi)$)।
इन मानों को समाकलन में रखने पर:
$I = \int e^{\theta} [\theta^2 + 2\theta] d \theta$।
मानक समाकलन सूत्र $\int e^x [f(x) + f'(x)] d x = e^x f(x) + c$ का उपयोग करने पर,जहाँ $f(\theta) = \theta^2$ और $f'(\theta) = 2\theta$:
$I = e^{\theta} \theta^2 + c$।
$\theta = \tan ^{-1} x$ वापस रखने पर:
$I = e^{\tan ^{-1} x} (\tan ^{-1} x)^2 + c$।

(C) माना $I = \int 3^x \left(f^{\prime}(x) + f(x) \log 3\right) dx$.
हम समाकल्य को इस प्रकार लिख सकते हैं:
$I = \int \left(3^x f^{\prime}(x) + 3^x f(x) \log 3\right) dx$.
अवकलन के लिए गुणन नियम याद करें: $\frac{d}{dx} \left(3^x f(x)\right) = 3^x f^{\prime}(x) + f(x) \cdot \frac{d}{dx}(3^x) = 3^x f^{\prime}(x) + f(x) \cdot 3^x \log 3$.
अतः,समाकल्य $3^x f(x)$ का अवकलज है।
इसलिए,$\int \frac{d}{dx} \left(3^x f(x)\right) dx = 3^x f(x) + c$.

(D) माना $I = \int \frac{x+\sin x}{1+\cos x} dx$.
सर्वसमिकाओं $\sin x = 2 \sin(x/2) \cos(x/2)$ और $1+\cos x = 2 \cos^2(x/2)$ का उपयोग करने पर:
$I = \int \frac{x + 2 \sin(x/2) \cos(x/2)}{2 \cos^2(x/2)} dx$
$I = \int \left( \frac{x}{2 \cos^2(x/2)} + \frac{2 \sin(x/2) \cos(x/2)}{2 \cos^2(x/2)} \right) dx$
$I = \int \left( \frac{1}{2} x \sec^2(x/2) + \tan(x/2) \right) dx$
अब,पहले पद $\int \frac{1}{2} x \sec^2(x/2) dx$ के लिए खंडशः समाकलन (integration by parts) का उपयोग करने पर:
माना $u = x$ और $dv = \frac{1}{2} \sec^2(x/2) dx$. तब $du = dx$ और $v = \tan(x/2)$.
$\int u dv = uv - \int v du$ सूत्र का उपयोग करने पर:
$\int \frac{1}{2} x \sec^2(x/2) dx = x \tan(x/2) - \int \tan(x/2) dx$
इस मान को $I$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$I = x \tan(x/2) - \int \tan(x/2) dx + \int \tan(x/2) dx + c$
$I = x \tan(x/2) + c$

(A) माना $I = \int \cos \sqrt{x} \, dx$ है।
$\sqrt{x} = t$ प्रतिस्थापित करने पर,$x = t^2$ प्राप्त होता है।
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$dx = 2t \, dt$ मिलता है।
इन मानों को समाकलन में रखने पर:
$I = \int \cos(t) \cdot 2t \, dt = 2 \int t \cos(t) \, dt$।
खंडशः समाकलन (Integration by parts) का उपयोग करने पर,जहाँ $u = t$ और $dv = \cos(t) \, dt$ है:
$I = 2 \left[ t \sin(t) - \int \sin(t) \, dt \right] = 2 [t \sin(t) + \cos(t)] + c$।
$t$ का मान $\sqrt{x}$ वापस रखने पर:
$I = 2 \sqrt{x} \sin \sqrt{x} + 2 \cos \sqrt{x} + c$।

(D) माना $I = \int \frac{3 \cos x-2 \sin x}{4 \sin x+5 \cos x} d x = A \log |5 \cos x+4 \sin x|+B x+c$.
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{3 \cos x-2 \sin x}{4 \sin x+5 \cos x} = A \frac{d}{dx}(\log |5 \cos x+4 \sin x|) + B$
$\frac{3 \cos x-2 \sin x}{4 \sin x+5 \cos x} = A \frac{-5 \sin x+4 \cos x}{5 \cos x+4 \sin x} + B$
$\frac{3 \cos x-2 \sin x}{4 \sin x+5 \cos x} = \frac{A(-5 \sin x+4 \cos x) + B(4 \sin x+5 \cos x)}{4 \sin x+5 \cos x}$
अंशों की तुलना करने पर:
$3 \cos x-2 \sin x = (4A+5B) \cos x + (-5A+4B) \sin x$
$\cos x$ और $\sin x$ के गुणांकों की तुलना करने पर:
$4A+5B = 3$ --- $(1)$
$-5A+4B = -2$ --- $(2)$
समीकरण $(1)$ को $5$ से और $(2)$ को $4$ से गुणा करने पर:
$20A+25B = 15$
$-20A+16B = -8$
इन समीकरणों को जोड़ने पर: $41B = 7 \Rightarrow B = \frac{7}{41}$.
$B$ का मान $(1)$ में रखने पर: $4A + 5(\frac{7}{41}) = 3 \Rightarrow 4A = 3 - \frac{35}{41} = \frac{123-35}{41} = \frac{88}{41} \Rightarrow A = \frac{22}{41}$.
अतः,$A = \frac{22}{41}$ और $B = \frac{7}{41}$.

(D) माना $I = \int \frac{x-1}{(x-2)(x-3)} \, dx$.
आंशिक भिन्न विधि का उपयोग करते हुए: $\frac{x-1}{(x-2)(x-3)} = \frac{A}{x-2} + \frac{B}{x-3}$.
अंशों की तुलना करने पर: $x-1 = A(x-3) + B(x-2)$.
$x=2$ के लिए: $2-1 = A(2-3) \implies 1 = -A \implies A = -1$.
$x=3$ के लिए: $3-1 = B(3-2) \implies 2 = B$.
अतः,$\frac{x-1}{(x-2)(x-3)} = \frac{2}{x-3} - \frac{1}{x-2}$.
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $I = \int \left( \frac{2}{x-3} - \frac{1}{x-2} \right) \, dx$.
$I = 2 \log |x-3| - \log |x-2| + c$.
लघुगणक के गुणों का उपयोग करते हुए: $I = \log |x-3|^2 - \log |x-2| + c = \log \left| \frac{(x-3)^2}{x-2} \right| + c$.

(D) माना $I = \int \frac{1 - (\cot x)^{2021}}{\tan x + (\cot x)^{2022}} dx$ है।
अंश और हर को $(\sin x)^{2022} \cos x$ से गुणा करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$I = \int \frac{1 - \frac{(\cos x)^{2021}}{(\sin x)^{2021}}}{\frac{\sin x}{\cos x} + \frac{(\cos x)^{2022}}{(\sin x)^{2022}}} dx = \int \frac{(\sin x)^{2021} - (\cos x)^{2021}}{(\sin x)^{2021}} \cdot \frac{(\sin x)^{2022} \cos x}{(\sin x)^{2023} + (\cos x)^{2023}} dx$.
व्यंजक को सरल करने पर:
$I = \int \frac{(\sin x)^{2021} - (\cos x)^{2021}}{1} \cdot \frac{\sin x \cos x}{(\sin x)^{2023} + (\cos x)^{2023}} dx$.
$I = \int \frac{(\sin x)^{2022} \cos x - (\cos x)^{2022} \sin x}{(\sin x)^{2023} + (\cos x)^{2023}} dx$.
माना $f(x) = (\sin x)^{2023} + (\cos x)^{2023}$ है।
तब $f'(x) = 2023(\sin x)^{2022} \cos x - 2023(\cos x)^{2022} \sin x = 2023 [(\sin x)^{2022} \cos x - (\cos x)^{2022} \sin x]$ है।
अतः,$I = \frac{1}{2023} \int \frac{f'(x)}{f(x)} dx = \frac{1}{2023} \ln |f(x)| + c$ है।
दिए गए रूप के साथ तुलना करने पर,हमें $A = 2023$ प्राप्त होता है।

(A) दिया गया है,$\int \frac{(2x+1)^6}{(3x+2)^8} dx = P \left( \frac{2x+1}{3x+2} \right)^Q + R$
माना $t = \frac{2x+1}{3x+2}$।
तब,$\frac{dt}{dx} = \frac{(3x+2)(2) - (2x+1)(3)}{(3x+2)^2} = \frac{6x+4-6x-3}{(3x+2)^2} = \frac{1}{(3x+2)^2}$।
अतः,$dt = \frac{dx}{(3x+2)^2}$।
समाकलन इस प्रकार होगा: $\int \left( \frac{2x+1}{3x+2} \right)^6 \cdot \frac{dx}{(3x+2)^2} = \int t^6 dt$।
समाकलन करने पर,$\int t^6 dt = \frac{t^7}{7} + C = \frac{1}{7} \left( \frac{2x+1}{3x+2} \right)^7 + C$।
$P \left( \frac{2x+1}{3x+2} \right)^Q + R$ के साथ तुलना करने पर,हमें $P = \frac{1}{7}$,$Q = 7$ और $R = C$ प्राप्त होता है।
इसलिए,$\frac{P}{Q} = \frac{1/7}{7} = \frac{1}{49} = \frac{1}{7^2}$।

(B) माना $I = \int \frac{\sqrt{1-x^4}}{x^7} dx$.
$x^2 = u$ प्रतिस्थापित करने पर,$2x dx = du$,जिससे $dx = \frac{du}{2\sqrt{u}}$ प्राप्त होता है।
अतः $I = \int \frac{\sqrt{1-u^2}}{u^{7/2}} \cdot \frac{du}{2\sqrt{u}} = \frac{1}{2} \int \frac{\sqrt{1-u^2}}{u^4} du$.
$u = \sin v$ प्रतिस्थापित करने पर,$du = \cos v dv$ प्राप्त होता है।
$I = \frac{1}{2} \int \frac{\cos^2 v}{\sin^4 v} dv = \frac{1}{2} \int \cot^2 v \csc^2 v dv$.
$\cot v = w$ लेने पर,$-\csc^2 v dv = dw$ प्राप्त होता है।
$I = \frac{1}{2} \int -w^2 dw = -\frac{1}{2} \cdot \frac{w^3}{3} + C = -\frac{1}{6} \cot^3 v + C$.
चूंकि $\cot v = \frac{\sqrt{1-u^2}}{u} = \frac{\sqrt{1-x^4}}{x^2}$,इसलिए $I = -\frac{1}{6} \left( \frac{\sqrt{1-x^4}}{x^2} \right)^3 + C = -\frac{1}{6x^6} (\sqrt{1-x^4})^3 + C$.
$f(x) \{\sqrt{1-x^4}\}^n + C$ से तुलना करने पर,$f(x) = -\frac{1}{6x^6}$ और $n = 3$ प्राप्त होता है।
अतः,$(f(x))^n = (-\frac{1}{6x^6})^3 = -\frac{1}{216x^{18}}$.

(D) हमारे पास है,$\int \frac{5 \tan x}{\tan x-2} d x = x + a \log |\sin x - 2 \cos x| + K$.
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{5 \tan x}{\tan x-2} = 1 + a \frac{d}{dx} (\log |\sin x - 2 \cos x|) $
$\frac{5 \tan x}{\tan x-2} = 1 + a \frac{\cos x + 2 \sin x}{\sin x - 2 \cos x} $
अंश और हर को $\cos x$ से विभाजित करने पर:
$\frac{5 \tan x}{\tan x-2} = 1 + a \frac{1 + 2 \tan x}{\tan x - 2} $
$\frac{5 \tan x}{\tan x-2} = \frac{\tan x - 2 + a + 2a \tan x}{\tan x - 2} $
$\tan x$ के गुणांकों और अचर पदों की तुलना करने पर:
$5 = 2a + 1 \Rightarrow 2a = 4 \Rightarrow a = 2$
साथ ही,$a - 2 = 0 \Rightarrow a = 2$.
अतः,$a = 2$ है।

(B) माना $I = \int \frac{2 \cos x+3 \sin x}{4 \cos x+5 \sin x} dx$.
अंश को इस प्रकार व्यक्त करते हैं:
$2 \cos x + 3 \sin x = A(4 \cos x + 5 \sin x) + B \frac{d}{dx}(4 \cos x + 5 \sin x)$.
$2 \cos x + 3 \sin x = A(4 \cos x + 5 \sin x) + B(-4 \sin x + 5 \cos x)$.
$2 \cos x + 3 \sin x = (4A + 5B) \cos x + (5A - 4B) \sin x$.
गुणांकों की तुलना करने पर:
$4A + 5B = 2$ और $5A - 4B = 3$.
पहले समीकरण को $4$ से और दूसरे को $5$ से गुणा करने पर:
$16A + 20B = 8$ और $25A - 20B = 15$.
दोनों को जोड़ने पर: $41A = 23 \implies A = \frac{23}{41}$.
$A$ का मान $4A + 5B = 2$ में रखने पर:
$4(\frac{23}{41}) + 5B = 2 \implies \frac{92}{41} + 5B = 2 \implies 5B = 2 - \frac{92}{41} = \frac{82-92}{41} = \frac{-10}{41} \implies B = \frac{-2}{41}$.
अतः,$\int \frac{2 \cos x+3 \sin x}{4 \cos x+5 \sin x} dx = \int \left( \frac{23}{41} + \frac{-2}{41} \frac{-4 \sin x + 5 \cos x}{4 \cos x + 5 \sin x} \right) dx$.
$= \frac{23}{41} x - \frac{2}{41} \log |4 \cos x + 5 \sin x| + c$.
दिए गए रूप से तुलना करने पर,$K = \frac{-2}{41}$.

(A) माना $I = \int_{0}^{\pi/2} \tan^{n}(x) dx$ है।
निश्चित समाकलन के गुणधर्म $\int_{0}^{a} f(x) dx = \int_{0}^{a} f(a-x) dx$ का उपयोग करते हुए,हम $x$ को $\frac{\pi}{2} - x$ से प्रतिस्थापित करते हैं।
$I = \int_{0}^{\pi/2} \tan^{n}(\frac{\pi}{2} - x) dx$।
चूंकि $\tan(\frac{\pi}{2} - x) = \cot(x)$,इसलिए हमें $I = \int_{0}^{\pi/2} \cot^{n}(x) dx$ प्राप्त होता है।
इसे दिए गए समीकरण $\int_{0}^{\pi/2} \tan^{n}(x) dx = k \int_{0}^{\pi/2} \cot^{n}(x) dx$ के साथ तुलना करने पर,हम देखते हैं कि $I = k \cdot I$ है।
अतः,$k = 1$।

(B) $I = \int_0^1 \frac{x e^x}{(x+1)^2} d x$
हम समाकल्य को इस प्रकार लिख सकते हैं:
$I = \int_0^1 e^x \left[ \frac{x+1-1}{(x+1)^2} \right] d x$
$I = \int_0^1 e^x \left[ \frac{1}{x+1} - \frac{1}{(x+1)^2} \right] d x$
मानक समाकलन सूत्र $\int e^x [f(x) + f'(x)] d x = e^x f(x) + C$ का उपयोग करते हुए,मान लीजिए $f(x) = \frac{1}{x+1}$ है।
तब,$f'(x) = -\frac{1}{(x+1)^2}$ होगा।
अतः,समाकलन इस प्रकार होगा:
$I = \left[ e^x \cdot \frac{1}{x+1} \right]_0^1$
$I = \left( \frac{e^1}{1+1} \right) - \left( \frac{e^0}{0+1} \right)$
$I = \frac{e}{2} - 1$

(D) माना $I = \int_{\frac{2}{e}}^{\frac{1}{e}} \frac{1}{x(\log x)^{1/3}} dx$.
प्रतिस्थापन $t = \log x$ लेने पर,$dt = \frac{1}{x} dx$.
जब $x = \frac{1}{e}$,तब $t = \log(\frac{1}{e}) = -1$.
जब $x = \frac{2}{e}$,तब $t = \log(\frac{2}{e}) = \log 2 - \log e = \log 2 - 1$.
अतः,$I = \int_{\log 2 - 1}^{-1} t^{-1/3} dt$.
समाकलन करने पर,$I = \left[ \frac{t^{2/3}}{2/3} \right]_{\log 2 - 1}^{-1} = \frac{3}{2} \left[ t^{2/3} \right]_{\log 2 - 1}^{-1}$.
$I = \frac{3}{2} \left[ (-1)^{2/3} - (\log 2 - 1)^{2/3} \right]$.
चूंकि $(-1)^{2/3} = ((-1)^2)^{1/3} = 1^{1/3} = 1$,इसलिए $I = \frac{3}{2} \left[ 1 - (\log 2 - 1)^{2/3} \right]$.

(D) माना $I = \int_a^b \frac{dx}{\sqrt{(x-a)(b-x)}}$.
हर का विस्तार करने पर: $(x-a)(b-x) = -x^2 + (a+b)x - ab$.
पूर्ण वर्ग बनाने पर: $-[x^2 - (a+b)x + ab] = -[x^2 - (a+b)x + (\frac{a+b}{2})^2 - (\frac{a+b}{2})^2 + ab] = -[(x - \frac{a+b}{2})^2 - (\frac{b-a}{2})^2] = (\frac{b-a}{2})^2 - (x - \frac{a+b}{2})^2$.
अतः,$I = \int_a^b \frac{dx}{\sqrt{(\frac{b-a}{2})^2 - (x - \frac{a+b}{2})^2}}$.
मानक समाकलन $\int \frac{dx}{\sqrt{A^2 - u^2}} = \sin^{-1}(\frac{u}{A}) + C$ का उपयोग करने पर:
$I = [\sin^{-1}(\frac{x - \frac{a+b}{2}}{\frac{b-a}{2}})]_a^b$.
सीमाओं का मान रखने पर:
ऊपरी सीमा $(x=b)$: $\sin^{-1}(\frac{b - \frac{a+b}{2}}{\frac{b-a}{2}}) = \sin^{-1}(\frac{\frac{b-a}{2}}{\frac{b-a}{2}}) = \sin^{-1}(1) = \frac{\pi}{2}$.
निचली सीमा $(x=a)$: $\sin^{-1}(\frac{a - \frac{a+b}{2}}{\frac{b-a}{2}}) = \sin^{-1}(\frac{\frac{a-b}{2}}{\frac{b-a}{2}}) = \sin^{-1}(-1) = -\frac{\pi}{2}$.
इसलिए,$I = \frac{\pi}{2} - (-\frac{\pi}{2}) = \pi$.

(B) माना $I = \int_1^4 x \sqrt{x^2-1} \, dx$.
$t = x^2 - 1$ प्रतिस्थापित करने पर,$dt = 2x \, dx$ या $x \, dx = \frac{dt}{2}$ प्राप्त होता है।
जब $x = 1$,तब $t = 1^2 - 1 = 0$.
जब $x = 4$,तब $t = 4^2 - 1 = 15$.
अतः,$I = \int_0^{15} \sqrt{t} \frac{dt}{2} = \frac{1}{2} \int_0^{15} t^{1/2} \, dt$.
$I = \frac{1}{2} \left[ \frac{t^{3/2}}{3/2} \right]_0^{15} = \frac{1}{2} \times \frac{2}{3} [t^{3/2}]_0^{15} = \frac{1}{3} (15)^{3/2}$.
इसकी तुलना $\alpha(k)^\beta$ से करने पर,हमें $\alpha = \frac{1}{3}$,$k = 15$ और $\beta = \frac{3}{2}$ प्राप्त होता है।
इसलिए,$\alpha \beta = \frac{1}{3} \times \frac{3}{2} = \frac{1}{2}$.

(A) $\int_{0}^{2} x e^{x} dx$ का मान ज्ञात करने के लिए,हम खंडशः समाकलन (integration by parts) विधि का उपयोग करते हैं: $\int u dv = uv - \int v du$.
माना $u = x$ और $dv = e^{x} dx$. तब $du = dx$ और $v = e^{x}$ प्राप्त होता है।
सूत्र का उपयोग करने पर: $\int x e^{x} dx = x e^{x} - \int e^{x} dx = x e^{x} - e^{x}$.
अब,$0$ से $2$ तक की सीमाओं को लागू करने पर:
$\left[ x e^{x} - e^{x} \right]_{0}^{2} = (2 e^{2} - e^{2}) - (0 \cdot e^{0} - e^{0})$.
$= (e^{2}) - (0 - 1) = e^{2} + 1$.

(B) माना $I = \int_{0}^{\pi / 4} \log (1 + \tan x) dx$ है।
गुणधर्म $\int_{0}^{a} f(x) dx = \int_{0}^{a} f(a - x) dx$ का उपयोग करने पर:
$I = \int_{0}^{\pi / 4} \log (1 + \tan (\frac{\pi}{4} - x)) dx$ प्राप्त होता है।
चूंकि $\tan (\frac{\pi}{4} - x) = \frac{1 - \tan x}{1 + \tan x}$ है,इसलिए:
$I = \int_{0}^{\pi / 4} \log (1 + \frac{1 - \tan x}{1 + \tan x}) dx = \int_{0}^{\pi / 4} \log (\frac{2}{1 + \tan x}) dx$ है।
$I = \int_{0}^{\pi / 4} (\log 2 - \log (1 + \tan x)) dx = \frac{\pi}{4} \log 2 - I$ है।
$2I = \frac{\pi}{4} \log 2 \implies I = \frac{\pi}{8} \log 2$ है।
दिया गया है कि $\int_{0}^{\pi} \log (\sin x) dx = 8k$ है। हम जानते हैं कि $\int_{0}^{\pi} \log (\sin x) dx = -\pi \log 2$ होता है।
अतः,$8k = -\pi \log 2 \implies \pi \log 2 = -8k$ है।
इस मान को $I = \frac{\pi}{8} \log 2$ में प्रतिस्थापित करने पर,हमें $I = \frac{1}{8} (-8k) = -k$ प्राप्त होता है।

(D) हमें समाकलन $I = \int_{0}^{1} x^{m} (1 - x)^{n} dx$ दिया गया है।
निश्चित समाकलन के गुणधर्म $\int_{0}^{a} f(x) dx = \int_{0}^{a} f(a - x) dx$ का उपयोग करते हुए,हम $x$ को $(1 - x)$ से प्रतिस्थापित करते हैं:
$I = \int_{0}^{1} (1 - x)^{m} (1 - (1 - x))^{n} dx$
$I = \int_{0}^{1} (1 - x)^{m} (x)^{n} dx$
$I = \int_{0}^{1} x^{n} (1 - x)^{m} dx$.
इसे दिए गए समीकरण $\int_{0}^{1} x^{m} (1 - x)^{n} dx = k \int_{0}^{1} x^{n} (1 - x)^{m} dx$ के साथ तुलना करने पर,हम देखते हैं कि $I = k \cdot I$ है।
चूंकि समाकलन शून्य नहीं है,इसलिए $k = 1$ प्राप्त होता है।

(C) हमें समाकलन $I = \int_{-1}^1 \frac{|x|}{x} \, dx$ दिया गया है।
सबसे पहले,हम फलन $f(x) = \frac{|x|}{x}$ को परिभाषित करते हैं।
मापांक फलन की परिभाषा के अनुसार:
$f(x) = \begin{cases} -\frac{x}{x} = -1, & x < 0 \\ \frac{x}{x} = 1, & x > 0 \end{cases}$
चूंकि फलन $x = 0$ पर असंतत है,इसलिए हम समाकलन को $x = 0$ पर विभाजित करते हैं:
$I = \int_{-1}^0 (-1) \, dx + \int_0^1 (1) \, dx$
समाकलन का मान ज्ञात करने पर:
$I = [-x]_{-1}^0 + [x]_0^1$
$I = (-(0) - (-(-1))) + (1 - 0)$
$I = (-1) + 1 = 0$
अतः,समाकलन का मान $0$ है।

(A) माना $I = \int_0^\pi \frac{x \tan x}{\sec x+\tan x} d x \quad ...(i)$
गुणधर्म $\int_a^b f(x) d x = \int_a^b f(a+b-x) d x$ का उपयोग करने पर:
$I = \int_0^\pi \frac{(\pi-x) \tan(\pi-x)}{\sec(\pi-x)+\tan(\pi-x)} d x$
चूंकि $\tan(\pi-x) = -\tan x$ और $\sec(\pi-x) = -\sec x$,इसलिए:
$I = \int_0^\pi \frac{(\pi-x)(-\tan x)}{-\sec x-\tan x} d x = \int_0^\pi \frac{(\pi-x) \tan x}{\sec x+\tan x} d x \quad ...(ii)$
$(i)$ और $(ii)$ को जोड़ने पर:
$2I = \int_0^\pi \frac{x \tan x + (\pi-x) \tan x}{\sec x+\tan x} d x = \int_0^\pi \frac{\pi \tan x}{\sec x+\tan x} d x$
$I = \frac{\pi}{2} \int_0^\pi \frac{\sin x}{1+\sin x} d x$
अंश और हर को $(1-\sin x)$ से गुणा करने पर:
$I = \frac{\pi}{2} \int_0^\pi \frac{\sin x(1-\sin x)}{1-\sin^2 x} d x = \frac{\pi}{2} \int_0^\pi \frac{\sin x - \sin^2 x}{\cos^2 x} d x$
$I = \frac{\pi}{2} \int_0^\pi (\sec x \tan x - \tan^2 x) d x = \frac{\pi}{2} \int_0^\pi (\sec x \tan x - (\sec^2 x - 1)) d x$
$I = \frac{\pi}{2} [\sec x - \tan x + x]_0^\pi$
$I = \frac{\pi}{2} [(\sec \pi - \tan \pi + \pi) - (\sec 0 - \tan 0 + 0)]$
$I = \frac{\pi}{2} [(-1 - 0 + \pi) - (1 - 0 + 0)] = \frac{\pi}{2} (\pi - 2)$

(A) माना $I = \int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}} x \tan \left(1+x^2\right) d x$ है।
यहाँ फलन $f(x) = x \tan \left(1+x^2\right)$ है।
यह जाँचने के लिए कि फलन विषम है या सम,हम $f(-x)$ का मान ज्ञात करते हैं:
$f(-x) = (-x) \tan \left(1+(-x)^2\right) = -x \tan \left(1+x^2\right) = -f(x)$।
चूँकि $f(-x) = -f(x)$,इसलिए $f(x)$ एक विषम फलन है।
निश्चित समाकलन के गुणधर्म के अनुसार,यदि $f(x)$ एक विषम फलन है,तो $\int_{-a}^{a} f(x) d x = 0$ होता है।
अतः,$I = 0$।

(B) हमारे पास $I = \int_0^\pi x \left\{ \sin^2(\sin x) + \cos^2(\cos x) \right\} dx$ है।
गुणधर्म $\int_0^a f(x) dx = \int_0^a f(a-x) dx$ का उपयोग करने पर:
$I = \int_0^\pi (\pi - x) \left\{ \sin^2(\sin(\pi - x)) + \cos^2(\cos(\pi - x)) \right\} dx$
$I = \int_0^\pi (\pi - x) \left\{ \sin^2(\sin x) + \cos^2(-\cos x) \right\} dx$
$I = \int_0^\pi (\pi - x) \left\{ \sin^2(\sin x) + \cos^2(\cos x) \right\} dx$
$I$ के इन दोनों व्यंजकों को जोड़ने पर:
$2I = \int_0^\pi \pi \left\{ \sin^2(\sin x) + \cos^2(\cos x) \right\} dx$
$I = \frac{\pi}{2} \int_0^\pi \left\{ \sin^2(\sin x) + \cos^2(\cos x) \right\} dx$
गुणधर्म $\int_0^{2a} f(x) dx = 2 \int_0^a f(x) dx$ का उपयोग करने पर:
$I = \frac{\pi}{2} \cdot 2 \int_0^{\pi/2} \left\{ \sin^2(\sin x) + \cos^2(\cos x) \right\} dx$
$I = \pi \int_0^{\pi/2} \left\{ \sin^2(\sin x) + \cos^2(\cos x) \right\} dx$
अब पुनः $\int_0^a f(x) dx = \int_0^a f(a-x) dx$ का उपयोग करने पर:
$I = \pi \int_0^{\pi/2} \left\{ \sin^2(\sin(\pi/2 - x)) + \cos^2(\cos(\pi/2 - x)) \right\} dx$
$I = \pi \int_0^{\pi/2} \left\{ \sin^2(\cos x) + \cos^2(\sin x) \right\} dx$
$I$ के इन दोनों रूपों को जोड़ने पर:
$2I = \pi \int_0^{\pi/2} \left\{ \sin^2(\sin x) + \cos^2(\cos x) + \sin^2(\cos x) + \cos^2(\sin x) \right\} dx$
$2I = \pi \int_0^{\pi/2} \left\{ (\sin^2(\sin x) + \cos^2(\sin x)) + (\cos^2(\cos x) + \sin^2(\cos x)) \right\} dx$
$2I = \pi \int_0^{\pi/2} (1 + 1) dx = 2\pi \int_0^{\pi/2} dx = 2\pi \cdot \frac{\pi}{2} = \pi^2$
अतः,$I = \frac{\pi^2}{2}$।
चूँकि $\pi^2 \approx 9.869$,इसलिए $I \approx \frac{9.869}{2} = 4.9345$।
इसलिए,$[I] = [4.9345] = 4$।

(A) दिया गया है,$\int_a^b x^3 dx = 0$ और $\int_a^b x^2 dx = \frac{2}{3}$।
सबसे पहले,समाकलन $\int_a^b x^3 dx = 0$ का मूल्यांकन करें:
$\left[\frac{x^4}{4}\right]_a^b = 0 \Rightarrow \frac{b^4 - a^4}{4} = 0 \Rightarrow b^4 = a^4$।
इसका अर्थ है $b = a$ या $b = -a$। चूंकि $a$ और $b$ समाकलन की सीमाएं हैं,हम मानते हैं कि $a \neq b$,इसलिए $b = -a$।
अब,समाकलन $\int_a^b x^2 dx = \frac{2}{3}$ का मूल्यांकन करें:
$\left[\frac{x^3}{3}\right]_a^b = \frac{2}{3} \Rightarrow \frac{b^3 - a^3}{3} = \frac{2}{3} \Rightarrow b^3 - a^3 = 2$।
समीकरण में $b = -a$ प्रतिस्थापित करें:
$(-a)^3 - a^3 = 2 \Rightarrow -a^3 - a^3 = 2 \Rightarrow -2a^3 = 2$।
$a^3 = -1 \Rightarrow a = -1$।
चूंकि $b = -a$,इसलिए $b = -(-1) = 1$।
अतः,$a = -1$ और $b = 1$ प्राप्त होता है।

(D) हमें दिया गया है कि $\int_0^1 f(x) dx = 1$,$\int_0^1 x f(x) dx = a$ और $\int_0^1 x^2 f(x) dx = a^2$ है।
समाकल्य $(x-a)^2 f(x) = (x^2 - 2ax + a^2) f(x) = x^2 f(x) - 2ax f(x) + a^2 f(x)$ का विस्तार करने पर।
अब,पद-दर-पद समाकलन करने पर:
$\int_0^1 (x-a)^2 f(x) dx = \int_0^1 x^2 f(x) dx - 2a \int_0^1 x f(x) dx + a^2 \int_0^1 f(x) dx$।
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$= a^2 - 2a(a) + a^2(1) = a^2 - 2a^2 + a^2 = 0$।

(C) हमें समाकलन $I = \int_{2}^{4} (|x - 2| + |x - 3|) dx$ का मान ज्ञात करना है।
क्रांतिक बिंदुओं $x = 2$ और $x = 3$ के आधार पर समाकलन को विभाजित करें।
$2 \le x \le 3$ के लिए,$|x - 2| = x - 2$ और $|x - 3| = 3 - x$ होता है।
$3 \le x \le 4$ के लिए,$|x - 2| = x - 2$ और $|x - 3| = x - 3$ होता है।
अतः,$I = \int_{2}^{3} ((x - 2) + (3 - x)) dx + \int_{3}^{4} ((x - 2) + (x - 3)) dx$.
$I = \int_{2}^{3} (1) dx + \int_{3}^{4} (2x - 5) dx$.
$I = [x]_{2}^{3} + [x^2 - 5x]_{3}^{4}$.
$I = (3 - 2) + ((16 - 20) - (9 - 15))$.
$I = 1 + (-4 - (-6)) = 1 + 2 = 3$.

(C) माना $I = \int_{- 1 / 2}^{1 / 2} \{ [x] + \log (\frac{1 + x}{1 - x}) \} dx$.
हम समाकलन को $I = \int_{- 1 / 2}^{1 / 2} [x] dx + \int_{- 1 / 2}^{1 / 2} \log (\frac{1 + x}{1 - x}) dx$ के रूप में विभाजित कर सकते हैं।
माना $f(x) = \log (\frac{1 + x}{1 - x})$ है। तब $f(- x) = \log (\frac{1 - x}{1 + x}) = \log (\frac{1 + x}{1 - x})^{- 1} = - \log (\frac{1 + x}{1 - x}) = - f(x)$ है।
चूंकि $f(x)$ एक विषम फलन है,इसलिए $\int_{- 1 / 2}^{1 / 2} \log (\frac{1 + x}{1 - x}) dx = 0$ होगा।
अब,$\int_{- 1 / 2}^{1 / 2} [x] dx$ पर विचार करें।
$x \in [- 1 / 2, 0)$ के लिए,$[x] = - 1$ है।
$x \in [0, 1 / 2]$ के लिए,$[x] = 0$ है।
अतः,$\int_{- 1 / 2}^{1 / 2} [x] dx = \int_{- 1 / 2}^{0} (- 1) dx + \int_{0}^{1 / 2} 0 dx = [- x]_{- 1 / 2}^{0} = 0 - (1 / 2) = - 1 / 2$ है।
इसलिए,$I = - 1 / 2 + 0 = - 1 / 2$।

(B) दिया गया वक्र $y = x|x|$ है। हम इसे एक टुकड़ों में परिभाषित फलन के रूप में लिख सकते हैं:
$y = \begin{cases} x^2 & \text{यदि } x \geq 0 \\ -x^2 & \text{यदि } x < 0 \end{cases}$
हमें $x = -1$ और $x = 1$ के बीच इस वक्र द्वारा घिरा हुआ क्षेत्रफल ज्ञात करना है।
कुल क्षेत्रफल $A$,$-1$ से $1$ तक $y$ के निरपेक्ष मान के समाकलन द्वारा प्राप्त होता है:
$A = \int_{-1}^{1} |y| dx = \int_{-1}^{0} |-x^2| dx + \int_{0}^{1} |x^2| dx$
$A = \int_{-1}^{0} x^2 dx + \int_{0}^{1} x^2 dx$
समाकलन की गणना करने पर:
$A = \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{-1}^{0} + \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{1}$
$A = (0 - (-\frac{1}{3})) + (\frac{1}{3} - 0)$
$A = \frac{1}{3} + \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$
अतः,क्षेत्रफल $\frac{2}{3}$ वर्ग इकाई है।

(A) वक्र $x^2+y^2=16$ और रेखाओं $x=2$ तथा $x=3$ द्वारा घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल $A$ निम्न प्रकार है:
$A = \int_2^3 \sqrt{16-x^2} dx$
मानक समाकलन सूत्र $\int \sqrt{a^2-x^2} dx = \frac{x}{2}\sqrt{a^2-x^2} + \frac{a^2}{2}\sin^{-1}\left(\frac{x}{a}\right)$ का उपयोग करने पर:
$A = \left[\frac{x}{2}\sqrt{16-x^2} + 8\sin^{-1}\left(\frac{x}{4}\right)\right]_2^3$
निश्चित समाकलन का मान ज्ञात करने पर:
$A = \left(\frac{3}{2}\sqrt{16-9} + 8\sin^{-1}\left(\frac{3}{4}\right)\right) - \left(\frac{2}{2}\sqrt{16-4} + 8\sin^{-1}\left(\frac{2}{4}\right)\right)$
$A = \left(\frac{3}{2}\sqrt{7} + 8\sin^{-1}\left(\frac{3}{4}\right)\right) - \left(\sqrt{12} + 8\sin^{-1}\left(\frac{1}{2}\right)\right)$
चूंकि $\sqrt{12} = 2\sqrt{3}$ और $\sin^{-1}\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{\pi}{6}$ है:
$A = \frac{3}{2}\sqrt{7} + 8\sin^{-1}\left(\frac{3}{4}\right) - 2\sqrt{3} - 8\left(\frac{\pi}{6}\right)$
$A = \frac{3}{2}\sqrt{7} - 2\sqrt{3} - \frac{4\pi}{3} + 8\sin^{-1}\left(\frac{3}{4}\right)$
दिए गए व्यंजक $\left(3 \sqrt{7}-4 \sqrt{3}-\frac{8 \pi}{3}+k\right)$ से तुलना करने पर:
$A = \frac{1}{2} \left(3\sqrt{7} - 4\sqrt{3} - \frac{8\pi}{3} + 16\sin^{-1}\left(\frac{3}{4}\right)\right)$
अतः,$k = 16\sin^{-1}\left(\frac{3}{4}\right)$.

(D) दिया गया अवकल समीकरण $\sqrt{\frac{dy}{dx}} - 4\frac{dy}{dx} - 7x = 0$ है।
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $\sqrt{\frac{dy}{dx}} = 4\frac{dy}{dx} + 7x$ प्राप्त होता है।
वर्गमूल चिह्न को हटाने के लिए दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$\frac{dy}{dx} = (4\frac{dy}{dx} + 7x)^2$
$\frac{dy}{dx} = 16(\frac{dy}{dx})^2 + 49x^2 + 56x\frac{dy}{dx}$।
यहाँ उच्चतम कोटि का अवकलज $\frac{dy}{dx}$ है,इसलिए कोटि $1$ है।
अवकलजों के बहुपद रूप में उच्चतम कोटि के अवकलज का घातांक $2$ है,इसलिए घात $2$ है।
अतः,कोटि $1$ और घात $2$ है।

(B) दिया गया समीकरण $x^2+y^2=1$ है।
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$2x + 2y y^{\prime} = 0$
$2$ से भाग देने पर,हमें $x + y y^{\prime} = 0$ प्राप्त होता है।
अब,$x$ के सापेक्ष पुनः अवकलन करने पर,$y y^{\prime}$ पर गुणन नियम का उपयोग करते हुए:
$\frac{d}{dx}(x) + \frac{d}{dx}(y y^{\prime}) = 0$
$1 + (y y^{\prime \prime} + (y^{\prime}) \cdot y^{\prime}) = 0$
$1 + y y^{\prime \prime} + (y^{\prime})^2 = 0$
अतः,सही अवकल समीकरण $y y^{\prime \prime} + (y^{\prime})^2 + 1 = 0$ है।

(A) दिया गया अवकल समीकरण: $\frac{d^2 y}{d x^2}+y=0$.
हम जाँचते हैं कि क्या $y=3 \sin x+4 \cos x$ एक हल है।
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{d y}{d x}=3 \cos x-4 \sin x$.
पुनः $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{d^2 y}{d x^2}=-3 \sin x-4 \cos x$.
इस मान को मूल समीकरण में रखने पर:
$\frac{d^2 y}{d x^2}+y = (-3 \sin x-4 \cos x) + (3 \sin x+4 \cos x) = 0$.
चूँकि समीकरण संतुष्ट होता है,इसलिए $y=3 \sin x+4 \cos x$ एक हल है।
वैकल्पिक विधि:
$\frac{d^2 y}{d x^2}+y=0$ के लिए अभिलक्षणिक समीकरण $m^2+1=0$ है,जो $m = \pm i$ देता है।
अतः व्यापक हल $y=c_1 \cos x+c_2 \sin x$ है।
विकल्प $A$ इस रूप में है जहाँ $c_1=4$ और $c_2=3$ है।

(B) दिया गया अवकल समीकरण $2 x \frac{d y}{d x} - y = 4$ है।
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $2 x \frac{d y}{d x} = 4 + y$ प्राप्त होता है।
चरों को अलग करने पर,$\frac{2}{4 + y} d y = \frac{1}{x} d x$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर,$\int \frac{2}{4 + y} d y = \int \frac{1}{x} d x$।
इससे $2 \ln |4 + y| = \ln |x| + C$ प्राप्त होता है,जहाँ $C = \ln |c|$ है।
लघुगणक के गुणों का उपयोग करने पर,$\ln (4 + y)^2 = \ln |c x|$।
दोनों पक्षों का चरघातांकी लेने पर,$(4 + y)^2 = c x$।
यह समीकरण $(y - k)^2 = 4 a (x - h)$ के रूप का है,जो परवलयों का एक परिवार दर्शाता है।

(B) दिया गया है कि $f^{\prime}(x)=x+\frac{1}{x}$.
$f(x)$ ज्ञात करने के लिए,हम दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष समाकलन करते हैं:
$f(x) = \int f^{\prime}(x) dx = \int \left(x + \frac{1}{x}\right) dx$.
समाकलन के रैखिकता गुण का उपयोग करते हुए:
$f(x) = \int x dx + \int \frac{1}{x} dx$.
मानक समाकलन सूत्रों $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1}$ और $\int \frac{1}{x} dx = \log |x| + C$ का उपयोग करने पर:
$f(x) = \frac{x^2}{2} + \log |x| + C$.

(A) दिया गया अवकल समीकरण: $e^x \tan y \, dx + (1+e^x) \sec^2 y \, dy = 0$
पदों को व्यवस्थित करने पर: $e^x \tan y \, dx = -(1+e^x) \sec^2 y \, dy$
चरों को अलग करने पर: $\frac{e^x}{1+e^x} \, dx = -\frac{\sec^2 y}{\tan y} \, dy$
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\int \frac{e^x}{1+e^x} \, dx = -\int \frac{\sec^2 y}{\tan y} \, dy$
सूत्र $\int \frac{f'(x)}{f(x)} \, dx = \ln|f(x)| + C$ का उपयोग करने पर:
$\ln(1+e^x) = -\ln(\tan y) + \ln C$
$\ln(1+e^x) + \ln(\tan y) = \ln C$
$\ln[(1+e^x) \tan y] = \ln C$
$(1+e^x) \tan y = C$
चूंकि वक्र बिंदु $\left(0, \frac{\pi}{4}\right)$ से गुजरता है,इसलिए $x=0$ और $y=\frac{\pi}{4}$ रखने पर:
$(1+e^0) \tan(\frac{\pi}{4}) = C$
$(1+1)(1) = C \implies C = 2$
अतः,वक्र का समीकरण $(1+e^x) \tan y = 2$ है।

(C) दिया गया अवकल समीकरण: $\frac{dy}{dx} = e^{x+y}$
घातांक के नियम का उपयोग करते हुए,हम लिख सकते हैं: $\frac{dy}{dx} = e^x \cdot e^y$
चरों को अलग करने पर,हमें प्राप्त होता है: $\frac{dy}{e^y} = e^x dx$
इसे इस प्रकार लिखा जा सकता है: $e^{-y} dy = e^x dx$
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\int e^{-y} dy = \int e^x dx$
समाकलन करने पर: $-e^{-y} = e^x + C_1$
पदों को व्यवस्थित करने पर: $e^x + e^{-y} = -C_1$
मान लीजिए $-C_1 = c$,तो अंतिम हल प्राप्त होता है: $e^x + e^{-y} = c$

(NONE) दिया गया अवकल समीकरण: $(1+x^2) \frac{dy}{dx} = e^{\tan^{-1} x} - y$.
$(1+x^2)$ से भाग देने पर: $\frac{dy}{dx} + \frac{y}{1+x^2} = \frac{e^{\tan^{-1} x}}{1+x^2}$.
यह $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P = \frac{1}{1+x^2}$ और $Q = \frac{e^{\tan^{-1} x}}{1+x^2}$ है।
समाकलन गुणक $(IF)$ = $e^{\int P dx} = e^{\int \frac{1}{1+x^2} dx} = e^{\tan^{-1} x}$ है।
हल $y \cdot IF = \int Q \cdot IF dx + C$ है।
$y e^{\tan^{-1} x} = \int \frac{e^{\tan^{-1} x}}{1+x^2} \cdot e^{\tan^{-1} x} dx + C$.
माना $t = \tan^{-1} x$,तब $dt = \frac{1}{1+x^2} dx$ है।
$y e^{\tan^{-1} x} = \int e^{2t} dt + C = \frac{e^{2t}}{2} + C = \frac{e^{2 \tan^{-1} x}}{2} + C$ है।
दिया है $y=1$ जब $x=0$: $1 \cdot e^0 = \frac{e^0}{2} + C \Rightarrow 1 = \frac{1}{2} + C \Rightarrow C = \frac{1}{2}$ है।
अतः,$y e^{\tan^{-1} x} = \frac{e^{2 \tan^{-1} x} + 1}{2}$ है।

(B) दिया गया है कि स्पर्श रेखा की ढाल $\frac{dy}{dx} = x + xy$ है।
पदों को व्यवस्थित करने पर,$\frac{dy}{dx} = x(1+y)$ प्राप्त होता है।
चरों को अलग करने पर,$\frac{dy}{1+y} = x dx$ मिलता है।
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर,$\int \frac{dy}{1+y} = \int x dx$,जिससे $\ln(y+1) = \frac{x^2}{2} + C$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का घातांक लेने पर,$y+1 = e^{\frac{x^2}{2} + C} = e^C \cdot e^{\frac{x^2}{2}}$ मिलता है।
मान लीजिए $e^C = A$,अतः $y = A e^{\frac{x^2}{2}} - 1$।
चूंकि वक्र बिंदु $(0,1)$ से गुजरता है,इसलिए $x=0$ और $y=1$ रखने पर: $1 = A e^0 - 1 \Rightarrow 1 = A - 1 \Rightarrow A = 2$।
अतः,वक्र का समीकरण $y = 2 e^{\frac{x^2}{2}} - 1$ है।

(B) दिया गया अवकल समीकरण: $\left(x^2+1\right) \frac{dy}{dx} + 4xy = \frac{1}{x^2+1}$
मानक रैखिक रूप $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ प्राप्त करने के लिए $(x^2+1)$ से भाग देने पर:
$\frac{dy}{dx} + \frac{4x}{x^2+1}y = \frac{1}{(x^2+1)^2}$
यहाँ,$P(x) = \frac{4x}{x^2+1}$ और $Q(x) = \frac{1}{(x^2+1)^2}$ है।
समाकलन गुणक $(IF)$ $e^{\int P(x) dx}$ द्वारा दिया जाता है:
$IF = e^{\int \frac{4x}{x^2+1} dx} = e^{2 \ln(x^2+1)} = e^{\ln(x^2+1)^2} = (x^2+1)^2$.
व्यापक हल $y \cdot IF = \int Q(x) \cdot IF dx + c$ है:
$y(x^2+1)^2 = \int \left( \frac{1}{(x^2+1)^2} \cdot (x^2+1)^2 \right) dx + c$
$y(x^2+1)^2 = \int 1 dx + c$
$y(x^2+1)^2 = x + c$.

(D) दिया गया अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx}+y \tan x=2x+x^2 \tan x$ है।
यह $\frac{dy}{dx}+Py=Q$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P=\tan x$ और $Q=2x+x^2 \tan x$ है।
समाकलन गुणक $IF = e^{\int \tan x dx} = e^{\ln |\sec x|} = \sec x$ है।
हल $y \cdot IF = \int Q \cdot IF dx + C$ द्वारा दिया जाता है।
$y \sec x = \int (2x+x^2 \tan x) \sec x dx + C$.
$y \sec x = \int 2x \sec x dx + \int x^2 \sec x \tan x dx + C$.
दूसरे समाकलन के लिए खंडशः समाकलन का उपयोग करने पर: $\int x^2 \sec x \tan x dx = x^2 \sec x - \int 2x \sec x dx$.
इसे वापस प्रतिस्थापित करने पर: $y \sec x = \int 2x \sec x dx + x^2 \sec x - \int 2x \sec x dx + C$.
$y \sec x = x^2 \sec x + C$,जो सरल होकर $y = x^2 + C \cos x$ हो जाता है।
$Y(0)=1$ दिया गया है,इसलिए $1 = 0^2 + C \cos(0) \implies C=1$.
अतः,$Y(x) = x^2 + \cos x$.
तब $Y'(x) = 2x - \sin x$.
$Y'(\frac{\pi}{4}) - Y'(-\frac{\pi}{4}) = (2(\frac{\pi}{4}) - \sin(\frac{\pi}{4})) - (2(-\frac{\pi}{4}) - \sin(-\frac{\pi}{4}))$.
$= (\frac{\pi}{2} - \frac{1}{\sqrt{2}}) - (-\frac{\pi}{2} + \frac{1}{\sqrt{2}}) = \pi - \frac{2}{\sqrt{2}} = \pi - \sqrt{2}$.
अतः,विकल्प $D$ सही है।

(A) मान लीजिए $A_1$ पहले वर्ग का क्षेत्रफल है और $A_2$ दूसरे वर्ग का क्षेत्रफल है।
पहले वर्ग की भुजा $x$ दी गई है,इसलिए इसका क्षेत्रफल $A_1 = x^2$ है।
दूसरे वर्ग की भुजा $y = x - x^2$ दी गई है,इसलिए इसका क्षेत्रफल $A_2 = y^2 = (x - x^2)^2$ है।
इसका विस्तार करने पर,हमें $A_2 = x^2 - 2 x^3 + x^4$ प्राप्त होता है।
हमें $A_1$ के सापेक्ष $A_2$ के परिवर्तन की दर ज्ञात करनी है,जो $\frac{d A_2}{d A_1}$ है।
श्रृंखला नियम (chain rule) का उपयोग करते हुए,$\frac{d A_2}{d A_1} = \frac{d A_2 / d x}{d A_1 / d x}$ है।
सबसे पहले,$x$ के सापेक्ष अवकलन (derivative) ज्ञात करें:
$\frac{d A_1}{d x} = \frac{d}{d x}(x^2) = 2 x$.
$\frac{d A_2}{d x} = \frac{d}{d x}(x^2 - 2 x^3 + x^4) = 2 x - 6 x^2 + 4 x^3$.
अब,इन मानों को श्रृंखला नियम के सूत्र में रखें:
$\frac{d A_2}{d A_1} = \frac{2 x - 6 x^2 + 4 x^3}{2 x} = \frac{2 x(1 - 3 x + 2 x^2)}{2 x} = 1 - 3 x + 2 x^2$.