1 leq n leq 2021 के लिए कितनी प्राकृतिक संख्य | vedclass

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Question

(B) दिया गया समीकरण $\left(\frac{1+i}{1-i}ight)^n=1$ है। सबसे पहले,$\frac{1+i}{1-i}$ को सरल करने पर: $\frac{1+i}{1-i} 	imes \frac{1+i}{1+i} = \frac

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$505$

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(B) दिया गया समीकरण $\left(\frac{1+i}{1-i}ight)^n=1$ है। सबसे पहले,$\frac{1+i}{1-i}$ को सरल करने पर: $\frac{1+i}{1-i} 	imes \frac{1+i}{1+i} = \frac{1+i^2+2i}{1-i^2} = \frac{1-1+2i}{1-(-1)} = \frac{2i}{2} = i$. अतः,समीकरण $i^n = 1$ हो जाता है। हम जानते हैं कि $i^n = 1$ तभी होता है जब $n$,$4$ का गुणज हो। हमें $1 \leq n \leq 2021$ के बीच $4$ के गुणजों की संख्या ज्ञात करनी है। गुणज $4, 8, 12, \ldots, 2020$ हैं। यह एक समांतर श्रेणी है जहाँ $a = 4$,$d = 4$,और $l = 2020$ है। सूत्र $l = a + (n-1)d$ का उपयोग करने पर: $2020 = 4 + (n-1)4$ $\Rightarrow 2016 = (n-1)4$ $\Rightarrow n-1 = 504$ $\Rightarrow n = 505$. अतः,ऐसी $505$ प्राकृतिक संख्याएँ हैं।

$1 \leq n \leq 2021$ के लिए कितनी प्राकृतिक संख्याएँ $n$ ऐसी हैं कि $\left(\frac{1+i}{1-i}\right)^n=1$ हो?

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$\frac{(1+i)^{2011}}{(1-i)^{2009}}$ का मान ज्ञात कीजिए।

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यदि $\frac{3+2i \sin \theta}{1-2i \sin \theta}$ एक वास्तविक संख्या है और $0 < \theta < 2\pi$,तो $\theta$ का मान ज्ञात कीजिए।

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यदि $a+ib = \frac{(x+i)^{2}}{2x^{2}+1}$ है,तो सिद्ध कीजिए कि $a^{2}+b^{2} = \frac{(x^{2}+1)^{2}}{(2x^{2}+1)^{2}}$.

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