यदि $P$ और $Q$ ऐसे वर्ग आव्यूह हैं कि $P^{2006} = O$ और $PQ = P + Q$,तो $\det(Q)$ का मान क्या होगा?

मान लीजिए कि $\alpha$ समीकरण $x^{2}+x+1=0$ का एक मूल है और आव्यूह $A=\frac{1}{\sqrt{3}}\begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & \alpha & \alpha^{2} \\ 1 & \alpha^{2} & \alpha^{4} \end{bmatrix}$ है,तो आव्यूह $A^{31}$ किसके बराबर है?

यदि आव्यूह $M_r$ को $r = 1, 2, 3, \ldots$ के लिए $M_r = \begin{bmatrix} r & r-1 \\ r-1 & r \end{bmatrix}$ द्वारा दिया गया है,तो $\det(M_1) + \det(M_2) + \ldots + \det(M_{2008}) = $

यदि $\Delta_{r}=\left|\begin{array}{cc}\frac{1}{3r-2} & \frac{2}{3r-5} \\ 0 & \frac{3}{3r+1}\end{array}\right|$,तो $\sum_{r=1}^{33} \Delta_{r}=$

यदि फलन $f:[a, b] \rightarrow \left[-\frac{\sqrt{3}}{4}, \frac{1}{2}\right]$ जो $f(x) = \left| \begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1+\sin x & 1 \\ 1+\cos x & 1 & 1 \end{array} \right|$ द्वारा परिभाषित है,एकैकी (one-one) और आच्छादक (onto) है,तो:

यदि $AA^T = I$ और $C$ एक विषम-सममित आव्यूह (skew-symmetric matrix) है,तो $((A^T CA)^{50})^T$ किसके बराबर है?