मान लीजिए f(x) एक बहुपद है और a, b भिन्न वास् | vedclass

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Question

(C) मान लीजिए $f(x) = (x-a)(x-b)q(x) + r(x)$.चूँकि भाजक $2$ घात का है,शेषफल $r(x)$ की घात अधिकतम $1$ होगी। मान लीजिए $r(x) = \alpha x + \beta$.अतः $f(

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$\frac{(x-a) f(b)-(x-b) f(a)}{b-a}$

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(C) मान लीजिए $f(x) = (x-a)(x-b)q(x) + r(x)$.चूँकि भाजक $2$ घात का है,शेषफल $r(x)$ की घात अधिकतम $1$ होगी। मान लीजिए $r(x) = \alpha x + \beta$.अतः $f(x) = (x-a)(x-b)q(x) + \alpha x + \beta$.$x = a$ और $x = b$ रखने पर:$f(a) = \alpha a + \beta$  $(i)$$f(b) = \alpha b + \beta$  $(ii)$$(i)$ में से $(ii)$ घटाने पर:$f(a) - f(b) = \alpha(a - b) \implies \alpha = \frac{f(a) - f(b)}{a - b} = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}$.$\alpha$ का मान $(i)$ में रखने पर:$\beta = f(a) - \alpha a = \frac{b f(a) - a f(b)}{b - a}$.इस प्रकार,$r(x) = \alpha x + \beta = \frac{(x - a) f(b) - (x - b) f(a)}{b - a}$.अतः,विकल्प $C$ सही है।

मान लीजिए $f(x)$ एक बहुपद है और $a, b$ भिन्न वास्तविक संख्याएँ हैं। तो $f(x)$ को $(x-a)(x-b)$ से विभाजित करने पर शेषफल क्या होगा?

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