यदि alpha, beta समीकरण x^2-2x+4=0 के मूल हैं, | vedclass

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Question

(B) दिया गया द्विघात समीकरण $x^2-2x+4=0$ है। द्विघात सूत्र $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$ का उपयोग करने पर: $x = \frac{2 \pm \sqrt{4-16}}{2} =

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$2^{n+1} \cos \left(\frac{n \pi}{3}\right)$

Vedclass · Answer

(B) दिया गया द्विघात समीकरण $x^2-2x+4=0$ है। द्विघात सूत्र $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$ का उपयोग करने पर: $x = \frac{2 \pm \sqrt{4-16}}{2} = \frac{2 \pm \sqrt{-12}}{2} = 1 \pm i\sqrt{3}$. ध्रुवीय रूप में बदलने पर: $x = 2 \left( \frac{1}{2} \pm i\frac{\sqrt{3}}{2} ight) = 2 \left( \cos \frac{\pi}{3} \pm i \sin \frac{\pi}{3} ight)$. माना $\alpha = 2 e^{i\pi/3}$ और $\beta = 2 e^{-i\pi/3}$ है। तब $\alpha^n + \beta^n = (2 e^{i\pi/3})^n + (2 e^{-i\pi/3})^n = 2^n (e^{in\pi/3} + e^{-in\pi/3})$. यूलर के सूत्र $e^{i	heta} + e^{-i	heta} = 2 \cos 	heta$ का उपयोग करने पर: $\alpha^n + \beta^n = 2^n (2 \cos \frac{n\pi}{3}) = 2^{n+1} \cos \frac{n\pi}{3}$. अतः, सही विकल्प $B$ है।

यदि $\alpha, \beta$ समीकरण $x^2-2x+4=0$ के मूल हैं, तो $n \in N$ के लिए, $\alpha^n+\beta^n$ का मान क्या है?

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