$p \ cm$ की निश्चित परिधि वाले आयत का अधिकतम क्षेत्रफल क्या है?

यदि $f(x) = \sin x - x \cos x$ का $x = n\pi$ पर उच्चिष्ठ (maximum) मान है,तो निम्नलिखित में से कौन सा सत्य है?

फलन $f(x) = 2x^3 - 3x^2 - 12x + 4, x \in R$ के पास है

मान लीजिए $f(x)=1+\frac{x}{1 !}+\frac{x^2}{2 !}+\frac{x^3}{3 !}+\frac{x^4}{4 !}$ है। $f(x)=0$ के वास्तविक मूलों की संख्या है

मान लीजिए $f_1:(0, \infty) \rightarrow \mathbb{R}$ और $f_2:(0, \infty) \rightarrow \mathbb{R}$ इस प्रकार परिभाषित हैं:
$f_1(x) = \int_0^x \prod_{j=1}^{21}(t - j)^j dt, x > 0$
और
$f_2(x) = 2(x-1)^{50} - 25(x-1)^{48} + 2450, x > 0,$
जहाँ,किसी भी धनात्मक पूर्णांक $n$ और वास्तविक संख्याओं $a_1, a_2, \ldots, a_n$ के लिए,$\prod_{i=1}^n a_i$ का अर्थ $a_1, a_2, \ldots, a_n$ का गुणनफल है। मान लीजिए $m_i$ और $n_i$ क्रमशः अंतराल $(0, \infty)$ में फलन $f_i, i=1, 2$ के स्थानीय न्यूनतम और स्थानीय अधिकतम बिंदुओं की संख्या को दर्शाते हैं।
$(1)$ $2m_1 + 3n_1 + m_1n_1$ का मान है।
$(2)$ $6m_2 + 4n_2 + 8m_2n_2$ का मान है।
$(1)$ और $(2)$ के लिए उत्तर दें।

एक रेखा पर एक निश्चित बिंदु $O$ से मापा गया कण का विस्थापन $S$,$S = t^3 - 16t^2 + 64t - 16$ द्वारा दिया गया है। तो वह समय जिस पर कण का विस्थापन अधिकतम है,है