$\left|\begin{array}{cc}\log _5 729 & \log _3 5 \\ \log _5 27 & \log _9 25\end{array}\right| \times \left|\begin{array}{cc}\log _3 5 & \log _{27} 5 \\ \log _5 9 & \log _5 9\end{array}\right|$ का मान है

मान लीजिए कि कुछ वास्तविक संख्याओं $\alpha$ और $\beta$ के लिए,$a = \alpha - i \beta$ है। यदि समीकरण निकाय $4ix + (1 + i)y = 0$ और $8(\cos \frac{2\pi}{3} + i \sin \frac{2\pi}{3})x + \bar{a}y = 0$ के एक से अधिक हल हैं,तो $\frac{\alpha}{\beta}$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि $A$ कोटि $3$ का एक विषम-सममित आव्यूह है और $X$ उसी कोटि का एक अन्य आव्यूह है,तो $|XA + AX^T|$ का मान क्या होगा? (जहाँ $|P|$ आव्यूह $P$ के सारणिक को दर्शाता है)।

यदि $A+B=\left[\begin{array}{lll}2 & 1 & 2 \\ 1 & 2 & 0 \\ 0 & 2 & 2\end{array}\right]$ और $AB=\left[\begin{array}{lll}1 & 2 & 2 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 1\end{array}\right]$ है,तो $A^2+B(A+B)=$

यदि $\begin{bmatrix} -1 & 2 & b \\ a & 5 & 6 \\ 3 & c & 7 \end{bmatrix}$ एक सममित आव्यूह है,तो $\begin{vmatrix} a & b & c \\ b & c & a \\ c & a & b \end{vmatrix} =$

केवल $0$ या $1$ अवयवों वाले $2$ क्रम के सभी सारणिकों के समुच्चय से एक सारणिक यादृच्छिक रूप से चुना जाता है। चुने गए सारणिक का मान धनात्मक होने की प्रायिकता क्या है?