AP EAMCET 2017 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(C) माना दिए गए वृत्त $S_1: x^2+y^2+2x+3y-7=0$ और $S_2: x^2+y^2+4x-7y+5=0$ हैं।
$S_1$ और $S_2$ के प्रतिच्छेदन से गुजरने वाले वृत्तों के परिवार का समीकरण $S_1 + \lambda(S_1 - S_2) = 0$ है।
उभयनिष्ठ जीवा $AB$ का समीकरण $S_1 - S_2 = 0$ है:
$(x^2+y^2+2x+3y-7) - (x^2+y^2+4x-7y+5) = 0 \implies -2x+10y-12 = 0 \implies x-5y+6 = 0$.
$\overline{AB}$ को व्यास मानकर वृत्त का समीकरण $S_1 + \lambda(S_1 - S_2) = 0$ के रूप में प्राप्त होता है।
गणना करने पर,सही समीकरण $26x^2+26y^2+77x-47y-32=0$ प्राप्त होता है।

(B) वृत्तों के समीकरण $S_1: x^2+y^2+2x+4y-3=0$ और $S_2: x^2+y^2+2kx-2y-1=0$ हैं।
$x^2+y^2+2g_1x+2f_1y+c_1=0$ और $x^2+y^2+2g_2x+2f_2y+c_2=0$ से तुलना करने पर:
$g_1=1, f_1=2, c_1=-3$ और $g_2=k, f_2=-1, c_2=-1$.
केंद्र $C_1(-1, -2)$ और $C_2(-k, 1)$ हैं,और त्रिज्याएँ $r_1=\sqrt{8}=2\sqrt{2}$ और $r_2=\sqrt{k^2+2}$ हैं।
केंद्रों के बीच की दूरी $d^2 = (k-1)^2 + 9 = k^2-2k+10$.
कोण $\theta$ के लिए $\cos \theta = \frac{d^2-r_1^2-r_2^2}{2r_1r_2}$.
$\frac{k^2-2k+10-8-(k^2+2)}{2(2\sqrt{2})\sqrt{k^2+2}} = \frac{1}{2\sqrt{3}} \implies \frac{-2k}{4\sqrt{2}\sqrt{k^2+2}} = \frac{1}{2\sqrt{3}}$.
$\frac{-k}{\sqrt{2}\sqrt{k^2+2}} = \frac{1}{\sqrt{3}} \implies \frac{k^2}{2(k^2+2)} = \frac{1}{3} \implies 3k^2 = 2k^2+4 \implies k^2=4$.

(B) बिंदु $P(x_1, y_1)$ की वृत्त $(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2$ के सापेक्ष शक्ति का सूत्र $P = (x_1 - h)^2 + (y_1 - k)^2 - r^2$ है।
यहाँ बिंदु $P(-3, 7)$,केंद्र $(h, k) = (3, 7)$ और त्रिज्या $r = 2$ दी गई है।
सूत्र में मान रखने पर:
$P = (-3 - 3)^2 + (7 - 7)^2 - 2^2$
$P = (-6)^2 + (0)^2 - 4$
$P = 36 + 0 - 4$
$P = 32$।
अतः,बिंदु की शक्ति $32$ है।

(C) वृत्त का समीकरण $x^2 + y^2 - 4x - 6y + 9 = 0$ है।
इसे $x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ से तुलना करने पर,$g = -2$,$f = -3$,और $c = 9$ प्राप्त होता है।
वृत्त का केंद्र $C(-g, -f) = (2, 3)$ है और त्रिज्या $r = \sqrt{(-2)^2 + (-3)^2 - 9} = 2$ है।
माना $P(1, 3)$ दिया गया बिंदु है।
वृत्त के सापेक्ष $P$ का प्रतिलोम बिंदु $P'(x', y')$ ज्ञात करने का सूत्र:
$x' - h = \frac{r^2(x_1 - h)}{(x_1 - h)^2 + (y_1 - k)^2}$ और $y' - k = \frac{r^2(y_1 - k)}{(x_1 - h)^2 + (y_1 - k)^2}$,जहाँ $(h, k) = (2, 3)$ है।
मान रखने पर:
$x' - 2 = \frac{4(1 - 2)}{(1 - 2)^2 + (3 - 3)^2} = -4 \implies x' = -2$.
$y' - 3 = \frac{4(3 - 3)}{(1 - 2)^2 + (3 - 3)^2} = 0 \implies y' = 3$.
अतः,प्रतिलोम बिंदु $(-2, 3)$ है।

(B) वृत्त का केंद्र $(h, k) = (1, 1)$ है।
वृत्त का समीकरण $(x-1)^2 + (y-1)^2 = r^2$ है,जहाँ $r$ त्रिज्या है।
केंद्र $(1, 1)$ से रेखा $x+y+1=0$ की लंबवत दूरी $d = \frac{|1+1+1|}{\sqrt{1^2+1^2}} = \frac{3}{\sqrt{2}}$ है।
जीवा की लंबाई $L = 4\sqrt{2}$ है,इसलिए आधी जीवा की लंबाई $a = \frac{L}{2} = 2\sqrt{2}$ है।
संबंध $r^2 = d^2 + a^2$ का उपयोग करने पर,$r^2 = (\frac{3}{\sqrt{2}})^2 + (2\sqrt{2})^2 = \frac{9}{2} + 8 = 12.5$ प्राप्त होता है।
वृत्त का समीकरण $(x-1)^2 + (y-1)^2 = 12.5$ है,जिसे सरल करने पर $2x^2+2y^2-4x-4y-21=0$ प्राप्त होता है।

(C) वृत्त का समीकरण $x^2+y^2-4x+6y-12=0$ है। इसे $x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ से तुलना करने पर,$g=-2, f=3, c=-12$ प्राप्त होता है।
वृत्त का केंद्र $(-g, -f) = (2, -3)$ है और त्रिज्या $r = \sqrt{g^2+f^2-c} = \sqrt{(-2)^2+3^2-(-12)} = \sqrt{4+9+12} = \sqrt{25} = 5$ है।
केंद्र $(2, -3)$ से रेखा $4x+3y+1=0$ की लंबवत दूरी $d = \frac{|4(2)+3(-3)+1|}{\sqrt{4^2+3^2}} = \frac{|8-9+1|}{\sqrt{16+9}} = \frac{0}{5} = 0$ है।
चूँकि लंबवत दूरी $d=0$ है,रेखा वृत्त के केंद्र से होकर गुजरती है,जिसका अर्थ है कि जीवा एक व्यास है।
जीवा की लंबाई $2 \times \sqrt{r^2-d^2} = 2 \times \sqrt{5^2-0^2} = 2 \times 5 = 10$ है।

(B) वृत्त $x^2+y^2=a^2$ के सापेक्ष $P(x_1, y_1)$ की स्पर्श-जीवा का समीकरण $xx_1 + yy_1 = a^2$ है।
चूंकि $\angle AOB = 90^{\circ}$ है,मूल बिंदु पर रेखाएं लंबवत हैं।
इस स्थिति में,$x_1^2+y_1^2 = 2a^2$ प्राप्त होता है।

(D) वृत्त $x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ के सापेक्ष बिंदु $(x_1, y_1)$ के ध्रुव का समीकरण $xx_1 + yy_1 + g(x+x_1) + f(y+y_1) + c = 0$ है।
दिए गए वृत्त $x^2+y^2-4x-6y+1=0$ के लिए,$g=-2, f=-3, c=1$ है।
बिंदु $(2t, t-4)$ का ध्रुव है:
$x(2t) + y(t-4) - 2(x+2t) - 3(y+t-4) + 1 = 0$
$2tx + ty - 4y - 2x - 4t - 3y - 3t + 12 + 1 = 0$
$2tx + ty - 2x - 7y - 7t + 13 = 0$
$t$ के पदों को व्यवस्थित करने पर:
$t(2x + y - 7) + (-2x - 7y + 13) = 0$
सभी $t \in R$ के लिए संगामी होने हेतु,दोनों भाग शून्य होने चाहिए:
$2x + y - 7 = 0$ (समीकरण $1$)
$-2x - 7y + 13 = 0$ (समीकरण $2$)
समीकरण $1$ और $2$ को जोड़ने पर:
$-6y + 6 = 0 \implies y = 1$
$y=1$ को समीकरण $1$ में रखने पर:
$2x + 1 - 7 = 0 \implies 2x = 6 \implies x = 3$
संगामी बिंदु $(3, 1)$ है।

(A) माना दो स्पर्श रेखाओं की प्रवणता $m_1$ और $m_2$ है। चूँकि वे $X$-अक्ष के साथ पूरक कोण बनाती हैं,इसलिए $m_1 = \tan(\theta)$ और $m_2 = \cot(\theta)$,अर्थात $m_1 m_2 = 1$.
वृत्त $x^2+y^2=a^2$ के लिए स्पर्श रेखा का समीकरण $y = mx \pm a\sqrt{1+m^2}$ है।
इसे हल करने पर $(y-mx)^2 = a^2(1+m^2)$ या $m^2(x^2-a^2) - 2mxy + (y^2-a^2) = 0$ प्राप्त होता है।
मूलों का गुणनफल $m_1 m_2 = \frac{y^2-a^2}{x^2-a^2} = 1$ है।
अतः $y^2-a^2 = x^2-a^2$,जिससे $x^2-y^2=0$ प्राप्त होता है।

(B) वृत्त का समीकरण $x^2+y^2-2x+4y=0$ है।
सामान्य रूप $x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ से तुलना करने पर,$g=-1$ और $f=2$ प्राप्त होता है।
वृत्त का केंद्र $C(-g, -f) = (1, -2)$ है।
माना $A(3, -1)$ व्यास का एक सिरा है और $B(x_1, y_1)$ दूसरा सिरा है।
चूंकि केंद्र $C$ व्यास $AB$ का मध्य बिंदु है,इसलिए $(1, -2) = (\frac{3+x_1}{2}, \frac{-1+y_1}{2})$।
$B$ के लिए हल करने पर,$x_1=-1$ और $y_1=-3$ प्राप्त होता है।
अतः,व्यास का दूसरा सिरा $B(-1, -3)$ है।
$B(-1, -3)$ पर स्पर्श रेखा त्रिज्या $CB$ के लंबवत होती है।
त्रिज्या $CB$ की ढाल $m_{CB} = \frac{-3-(-2)}{-1-1} = \frac{1}{2}$ है।
स्पर्श रेखा की ढाल $m = -2$ होगी।
$B(-1, -3)$ पर स्पर्श रेखा का समीकरण $y+3 = -2(x+1)$ अर्थात $2x+y+5=0$ प्राप्त होता है।

(A) वृत्त का समीकरण $x^2+y^2-2x-2y-7=0$ है। केंद्र $C(1,1)$ और त्रिज्या $r = 3$ है।
$P(4,4)$ से $C(1,1)$ की दूरी $d = 3\sqrt{2}$ है।
स्पर्श रेखा की लंबाई $L = \sqrt{d^2-r^2} = 3$ है।
स्पर्श जीवा का समीकरण $x+y=5$ है।
त्रिभुज का क्षेत्रफल $\frac{RL^3}{R^2+L^2}$ सूत्र द्वारा प्राप्त होता है,जहाँ $R=3$ और $L=3$ है।
अतः,क्षेत्रफल $= \frac{3 \times 27}{9+9} = \frac{81}{18} = 4.5$ वर्ग इकाई।

(D) वृत्त का समीकरण $x^2+y^2-2x-4y=0$ है।
$x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ से तुलना करने पर,$g=-1$,$f=-2$,और $c=0$ प्राप्त होता है।
वृत्त का केंद्र $C(-g, -f) = (1, 2)$ और त्रिज्या $r = \sqrt{g^2+f^2-c} = \sqrt{(-1)^2+(-2)^2-0} = \sqrt{5}$ है।
बिंदु $P(4,3)$ से केंद्र $C(1,2)$ की दूरी $d = \sqrt{(4-1)^2+(3-2)^2} = \sqrt{10}$ है।
माना स्पर्श रेखाओं के बीच का कोण $\theta$ है। त्रिज्या और स्पर्श रेखा के बीच का कोण $\alpha = \frac{\theta}{2}$ है।
त्रिभुज के गुणधर्म से,$\sin(\alpha) = \frac{r}{d} = \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{10}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$।
अतः,$\alpha = \frac{\pi}{4}$।
स्पर्श रेखाओं के बीच का कोण $\theta = 2\alpha = 2 \times \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2}$ है।

(B) वृत्त का समीकरण $x^2 + y^2 - 2x - 6y - 8 = 0$ है।
माना स्पर्श रेखाओं का प्रतिच्छेदन बिंदु $P(a, b)$ है। बिंदु $P(a, b)$ से वृत्त पर खींची गई स्पर्श जीवा का समीकरण $T = 0$ द्वारा दिया जाता है:
$xa + yb - (x + a) - 3(y + b) - 8 = 0$
$(a - 1)x + (b - 3)y - (a + 3b + 8) = 0$
यह स्पर्श जीवा दी गई रेखा $5x + y + 1 = 0$ के समान है।
दोनों समीकरणों के गुणांकों की तुलना करने पर:
$\frac{a - 1}{5} = \frac{b - 3}{1} = \frac{-(a + 3b + 8)}{1}$
$\frac{a - 1}{5} = \frac{b - 3}{1}$ से,हमें $a - 1 = 5b - 15 \Rightarrow a - 5b = -14$ $(i)$ मिलता है।
$\frac{b - 3}{1} = -(a + 3b + 8)$ से,हमें $b - 3 = -a - 3b - 8 \Rightarrow a + 4b = -5$ (ii) मिलता है।
समीकरण $(i)$ और (ii) को हल करने पर:
$(i)$ में से (ii) घटाने पर: $(a - 5b) - (a + 4b) = -14 - (-5)$ $\Rightarrow -9b = -9$ $\Rightarrow b = 1$
(ii) में $b = 1$ रखने पर: $a + 4(1) = -5 \Rightarrow a = -9$
अतः,बिंदु $(-9, 1)$ है।
$5a + b = 5(-9) + 1 = -45 + 1 = -44$.

(C) वृत्त का समीकरण $x^2 + y^2 - 2x - 4y - 4 = 0$ है। केंद्र $(1, 2)$ और त्रिज्या $r = 3$ है।
दो रेखाएँ $L_1$ और $L_2$ वृत्त के सापेक्ष संयुग्मी होती हैं यदि $L_1$ का ध्रुव $L_2$ पर स्थित हो।
रेखा $2kx + 3y - 1 = 0$ का ध्रुव $(x_1, y_1)$ ज्ञात करके और उसे $2x + y + 5 = 0$ में रखने पर,हमें $k = 1$ प्राप्त होता है।

(C) वृत्त का समीकरण $x^2+y^2=a^2$ है और जीवा का समीकरण $x+y=1$ है।
मूलबिंदु को वृत्त और जीवा के प्रतिच्छेदन बिंदुओं से जोड़ने वाली रेखाओं के युग्म का समीकरण ज्ञात करने के लिए,जीवा के समीकरण का उपयोग करके वृत्त के समीकरण को समघात बनाने पर:
$x^2+y^2=a^2(1)^2$
$x^2+y^2=a^2(x+y)^2$
$x^2+y^2=a^2(x^2+y^2+2xy)$
$(1-a^2)x^2 - 2a^2xy + (1-a^2)y^2 = 0$.
चूंकि जीवा मूलबिंदु पर समकोण बनाती है,इसलिए $x^2$ और $y^2$ के गुणांकों का योग शून्य होना चाहिए:
$(1-a^2) + (1-a^2) = 0$
$2(1-a^2) = 0$
$1-a^2 = 0$
$a^2 = 1$
चूंकि $a$ त्रिज्या को दर्शाता है,इसलिए $a=1$.

(B) वृत्त $x^2+y^2+2g_1x+2f_1y+c_1=0$ के लिए,केंद्र $C_1(-g_1, -f_1)$ और त्रिज्या $r_1 = \sqrt{g_1^2+f_1^2-c_1}$ है।
प्रथम वृत्त $x^2+y^2+4x-14y+28=0$ के लिए,$g_1=2, f_1=-7, c_1=28$. केंद्र $C_1(-2, 7)$,$r_1 = \sqrt{4+49-28} = 5$.
दूसरे वृत्त $x^2+y^2-12x-6y-4=0$ के लिए,$g_2=-6, f_2=-3, c_2=-4$. केंद्र $C_2(6, 3)$,$r_2 = \sqrt{36+9-(-4)} = 7$.
केंद्रों के बीच की दूरी $d = \sqrt{(6 - (-2))^2 + (3 - 7)^2} = \sqrt{8^2 + (-4)^2} = \sqrt{80} = 4\sqrt{5}$.
वृत्तों के बीच का कोण $\theta$ सूत्र $\cos \theta = \left| \frac{r_1^2+r_2^2-d^2}{2r_1r_2} \right|$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर: $\cos \theta = \left| \frac{25+49-80}{2 \times 5 \times 7} \right| = \left| \frac{-6}{70} \right| = \frac{3}{35}$.
अतः,$\theta = \cos^{-1} \left(\frac{3}{35}\right)$.

(D) दिए गए वृत्त $S_1: x^2+y^2-4x-6y-3=0$ और $S_2: x^2+y^2+8x-4y+\lambda=0$ हैं।
केंद्र $C_1(2, 3)$ और $C_2(-4, 2)$ हैं।
त्रिज्याएँ $r_1=4$ और $r_2=\sqrt{20-\lambda}$ हैं।
केंद्रों के बीच की दूरी $d=\sqrt{37}$ है।
कोण के सूत्र $\cos 60^{\circ} = \frac{d^2-r_1^2-r_2^2}{2r_1r_2}$ का उपयोग करने पर,
$\frac{1}{2} = \frac{37-16-(20-\lambda)}{8\sqrt{20-\lambda}} \implies 1+\lambda = 4\sqrt{20-\lambda}$.
वर्ग करने पर,$\lambda^2+18\lambda-319=0$ प्राप्त होता है।
हल करने पर $\lambda = -29$ प्राप्त होता है।

(B) दिए गए वृत्त $C_1: x^2+y^2+2hx+2ky=0$ और $C_2: x^2+y^2+2h'x+2k'y=0$ हैं।
केंद्र $O_1 = (-h, -k)$ और $O_2 = (-h', -k')$ हैं।
त्रिज्याएँ $r_1 = \sqrt{h^2+k^2}$ और $r_2 = \sqrt{h'^2+k'^2}$ हैं।
चूँकि दोनों वृत्त मूलबिंदु $(0,0)$ से गुजरते हैं,वे एक-दूसरे को स्पर्श करते हैं यदि और केवल यदि उनके केंद्रों के बीच की दूरी उनकी त्रिज्याओं के योग या अंतर के बराबर हो।
केंद्रों के बीच की दूरी $d = \sqrt{(h-h')^2 + (k-k')^2}$ है।
स्पर्श करने की शर्त $d^2 = (r_1 \pm r_2)^2$ है।
सरल करने पर,$(hk' - kh')^2 = 0$ प्राप्त होता है।
अतः,$hk' = kh'$,जिसका अर्थ है कि $\frac{h'k}{hk'} = 1$।

(A) वृत्तों के दिए गए समीकरण हैं:
$S_1: x^2+y^2+kx+4y+2=0$
$S_2: x^2+y^2-2x-\frac{3}{2}y+\frac{k}{2}=0$
दो वृत्तों $x^2+y^2+2g_1x+2f_1y+c_1=0$ और $x^2+y^2+2g_2x+2f_2y+c_2=0$ के लंबकोणीय प्रतिच्छेद करने की शर्त $2g_1g_2+2f_1f_2=c_1+c_2$ है।
यहाँ,$g_1 = \frac{k}{2}, f_1 = 2, c_1 = 2$ और $g_2 = -1, f_2 = -\frac{3}{4}, c_2 = \frac{k}{2}$.
इन मानों को शर्त में रखने पर:
$2(\frac{k}{2})(-1) + 2(2)(-\frac{3}{4}) = 2 + \frac{k}{2}$
$-k - 3 = 2 + \frac{k}{2}$
$-5 = k + \frac{k}{2}$
$-5 = \frac{3k}{2}$
$k = -\frac{10}{3}$.

(A) वृत्तों $S_1: x^2+y^2-2px=0$ और $S_2: x^2+y^2-2qy=0$ के प्रतिच्छेदन से गुजरने वाले वृत्तों के परिवार का समीकरण $S_1 + \lambda S_2 = 0$ है।
$(x^2+y^2-2px) + \lambda(x^2+y^2-2qy) = 0$
$(1+\lambda)x^2 + (1+\lambda)y^2 - 2px - 2\lambda qy = 0$
$(1+\lambda)$ से विभाजित करने पर,$x^2+y^2 - \frac{2p}{1+\lambda}x - \frac{2\lambda q}{1+\lambda}y = 0$ प्राप्त होता है।
इस वृत्त का केंद्र $(\frac{p}{1+\lambda}, \frac{\lambda q}{1+\lambda})$ है।
चूँकि केंद्र $\frac{x}{p} - \frac{y}{q} = 2$ पर स्थित है,निर्देशांक प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{1}{p} \cdot \frac{p}{1+\lambda} - \frac{1}{q} \cdot \frac{\lambda q}{1+\lambda} = 2$
$\frac{1-\lambda}{1+\lambda} = 2 \implies 1-\lambda = 2+2\lambda \implies \lambda = -\frac{1}{3}$.
$\lambda = -\frac{1}{3}$ का मान रखने पर,समीकरण $x^2+y^2-3px+qy = 0$ प्राप्त होता है।

(A) मान लीजिए कि दो वृत्तों की त्रिज्याएँ $r_1$ और $r_2$ हैं। चूँकि प्रत्येक वृत्त दूसरे के केंद्र से होकर गुजरता है,इसलिए उनके केंद्रों $c_1$ और $c_2$ के बीच की दूरी उनकी त्रिज्याओं के बराबर है,अर्थात $c_1 c_2 = r_1 = r_2 = d$ है।
दो केंद्रों $c_1, c_2$ और एक प्रतिच्छेदन बिंदु $P$ द्वारा निर्मित त्रिभुज पर विचार करें। इस त्रिभुज की भुजाएँ $c_1 P = r_1$,$c_2 P = r_2$,और $c_1 c_2 = d$ हैं।
चूँकि $r_1 = r_2 = d$ है,इसलिए यह त्रिभुज एक समबाहु त्रिभुज है जिसकी सभी भुजाएँ $d$ हैं।
अतः,कोण $\angle P c_1 c_2 = 60^\circ = \frac{\pi}{3}$ और $\angle P c_2 c_1 = 60^\circ = \frac{\pi}{3}$ है।
प्रतिच्छेदन बिंदु $P$ पर स्पर्श रेखाओं के बीच का कोण ही दो वृत्तों के बीच का कोण होता है। इस विन्यास में,स्पर्श रेखाओं के बीच का कोण $120^\circ = \frac{2 \pi}{3}$ है।

(D) वृत्त $C_1$ के लिए केंद्र $O_1(1, 1)$ और त्रिज्या $r_1 = 2$ है।
वृत्त $C_2$ के लिए केंद्र $O_2(-2, -3)$ और त्रिज्या $r_2 = 1$ है।
बाह्य समानता केंद्र $S$,$O_1O_2$ को $2:1$ के अनुपात में बाह्य विभाजित करता है,अतः $S = (-5, -7)$ है।
$S$ से गुजरने वाली रेखा $mx-y+5m-7=0$ है।
$O_1$ से दूरी $2$ लेने पर,$8m^2-24m+15=0$ प्राप्त होता है।
संयुक्त समीकरण $15(x+5)^2 - 24(x+5)(y+7) + 8(y+7)^2 = 0$ है,जिसे सरल करने पर $15x^2-24xy+8y^2-18x-8y-73=0$ प्राप्त होता है।

(C) पहला वृत्त $C_1: x^2+y^2=3^2$ है,जिसका केंद्र $O_1(0,0)$ और त्रिज्या $r_1=3$ है।
दूसरा वृत्त $C_2: x^2+y^2-8x-6y+n^2=0$ है,जिसे $(x-4)^2+(y-3)^2 = 25-n^2$ के रूप में लिखा जा सकता है।
अतः,केंद्र $O_2(4,3)$ और त्रिज्या $r_2 = \sqrt{25-n^2}$ है।
वृत्तों के दो उभयनिष्ठ स्पर्श रेखाएँ होने के लिए,उन्हें दो अलग-अलग बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करना चाहिए,जो तब होता है जब $|r_1-r_2| < d < r_1+r_2$,जहाँ $d$ केंद्रों के बीच की दूरी है।
यहाँ,$d = \sqrt{(4-0)^2+(3-0)^2} = 5$ है।
शर्त $|3-\sqrt{25-n^2}| < 5 < 3+\sqrt{25-n^2}$ को संतुष्ट होना चाहिए।
$5 < 3+\sqrt{25-n^2}$ से,हमें $\sqrt{25-n^2} > 2$ मिलता है,इसलिए $25-n^2 > 4$,जिसका अर्थ है $n^2 < 21$।
$|3-\sqrt{25-n^2}| < 5$ से,हमें $-5 < 3-\sqrt{25-n^2} < 5$ मिलता है,जो $-8 < -\sqrt{25-n^2} < 2$ में सरल हो जाता है।
इसका अर्थ है $\sqrt{25-n^2} < 8$ और $\sqrt{25-n^2} > -2$ (हमेशा सत्य)।
त्रिज्या के वास्तविक होने के लिए,$25-n^2 > 0$,यानी $n^2 < 25$।
$n^2 < 21$ और $n^2 < 25$ को मिलाने पर,हमें $n^2 < 21$ की आवश्यकता है।
चूंकि $n \in \mathbb{Z}$,$n^2 \in \{0, 1, 4, 9, 16\}$।
$n$ के संभावित मान $0, \pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 4$ हैं।
कुल $9$ मान प्राप्त होते हैं।

(C) वृत्त $x^2+y^2+2x+8y-23=0$ के लिए,केंद्र $C_1 = (-1, -4)$ और त्रिज्या $r_1 = \sqrt{(-1)^2 + (-4)^2 - (-23)} = \sqrt{40} = 2\sqrt{10}$ है।
वृत्त $x^2+y^2-4x-10y+19=0$ के लिए,केंद्र $C_2 = (2, 5)$ और त्रिज्या $r_2 = \sqrt{(2)^2 + (5)^2 - 19} = \sqrt{10}$ है।
केंद्रों के बीच की दूरी $d = C_1C_2 = \sqrt{(2 - (-1))^2 + (5 - (-4))^2} = \sqrt{3^2 + 9^2} = \sqrt{90} = 3\sqrt{10}$ है।
चूंकि $r_1 + r_2 = 2\sqrt{10} + \sqrt{10} = 3\sqrt{10}$,इसलिए $d = r_1 + r_2$ है।
चूंकि केंद्रों के बीच की दूरी त्रिज्याओं के योग के बराबर है,इसलिए दोनों वृत्त एक-दूसरे को बाह्य रूप से स्पर्श करते हैं।
जब दो वृत्त एक-दूसरे को बाह्य रूप से स्पर्श करते हैं,तो उनकी कुल $3$ उभयनिष्ठ स्पर्श रेखाएँ होती हैं।

(D) वृत्तों के समीकरण $S_1: x^2+y^2+3x+5y+4=0$ और $S_2: x^2+y^2+5x+3y+4=0$ हैं।
उभयनिष्ठ जीवा का समीकरण $S_1 - S_2 = 0$ द्वारा दिया जाता है।
$(x^2+y^2+3x+5y+4) - (x^2+y^2+5x+3y+4) = 0$.
$-2x + 2y = 0$,जो $y = x$ में सरल हो जाता है।
$y = x$ को $S_1$ में प्रतिस्थापित करने पर,$x^2 + x^2 + 3x + 5x + 4 = 0$,अर्थात $2x^2 + 8x + 4 = 0$ या $x^2 + 4x + 2 = 0$ प्राप्त होता है।
मूल $x = \frac{-4 \pm \sqrt{16-8}}{2} = -2 \pm \sqrt{2}$ हैं।
चूँकि $y = x$,प्रतिच्छेदन बिंदु $P(-2+\sqrt{2}, -2+\sqrt{2})$ और $Q(-2-\sqrt{2}, -2-\sqrt{2})$ हैं।
जीवा $PQ$ की लंबाई $\sqrt{(-2-\sqrt{2} - (-2+\sqrt{2}))^2 + (-2-\sqrt{2} - (-2+\sqrt{2}))^2} = \sqrt{(-2\sqrt{2})^2 + (-2\sqrt{2})^2} = \sqrt{8 + 8} = \sqrt{16} = 4$ है।

(A) दिए गए वृत्त $S_1 \equiv x^2+y^2+2x+2y+1=0$ और $S_2 \equiv x^2+y^2+4x+6y+4=0$ हैं।
उभयनिष्ठ जीवा का समीकरण $S_1 - S_2 = 0$ है:
$(x^2+y^2+2x+2y+1) - (x^2+y^2+4x+6y+4) = 0$
$-2x - 4y - 3 = 0 \Rightarrow 2x + 4y + 3 = 0$.
वृत्त का समीकरण $S_1 + \lambda(L) = 0$ के रूप में:
$x^2+y^2+2x+2y+1 + \lambda(2x+4y+3) = 0$
$x^2+y^2+2x(1+\lambda) + 2y(1+2\lambda) + (1+3\lambda) = 0$.
केंद्र $(- (1+\lambda), -(1+2\lambda))$ है।
चूंकि व्यास उभयनिष्ठ जीवा पर स्थित है,केंद्र $2x+4y+3=0$ को संतुष्ट करेगा:
$2(-(1+\lambda)) + 4(-(1+2\lambda)) + 3 = 0$
$-10\lambda - 3 = 0 \Rightarrow \lambda = -\frac{3}{10}$.
मान रखने पर:
$10x^2+10y^2+14x+8y+1=0$.

(A) वृत्त का समीकरण $x^2+y^2-4x+6y-12=0$ है। ध्रुव $(x_1, y_1)$ के लिए ध्रुवीय रेखा का समीकरण $xx_1+yy_1-2(x+x_1)+3(y+y_1)-12=0$ है। दी गई रेखा $x+y+2=0$ के साथ तुलना करने पर,हम ध्रुव के निर्देशांक प्राप्त कर सकते हैं।

(C) वृत्त $x^2+y^2=r^2$ के सापेक्ष बिंदु $(x_1, y_1)$ के ध्रुव का समीकरण $xx_1+yy_1=r^2$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ,वृत्त $x^2+y^2=16$ है,इसलिए $r^2=16$ है।
बिंदु $A(2, c)$ का ध्रुव $2x+cy=16$ है।
चूंकि यह ध्रुव $B(d, 2)$ से होकर गुजरता है,हम समीकरण में $x=d$ और $y=2$ प्रतिस्थापित करते हैं:
$2(d)+c(2)=16$
$2d+2c=16$
$2$ से विभाजित करने पर,हमें $d+c=8$ प्राप्त होता है।
अतः,$c+d=8$।

(A) माना वृत्त का केंद्र $(h, k)$ और त्रिज्या $r$ है।
चूंकि वृत्त रेखा $x=2a$ को स्पर्श करता है,केंद्र $(h, k)$ से रेखा $x-2a=0$ की दूरी त्रिज्या $r$ के बराबर है।
अतः,$r = |h-2a|$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$r^2 = (h-2a)^2 = h^2 - 4ah + 4a^2$.
वृत्त का समीकरण $x^2+y^2-2hx-2ky+c=0$ है,जहाँ $c = h^2+k^2-r^2$.
$r^2$ का मान रखने पर,$c = h^2+k^2-(h^2-4ah+4a^2) = k^2+4ah-4a^2$.
वृत्त $x^2+y^2=a^2$ को लंबकोणीय प्रतिच्छेद करता है,इसलिए $2g_1g_2 + 2f_1f_2 = c_1+c_2$.
यहाँ,$g_1 = -h, f_1 = -k, c_1 = c$ और $g_2 = 0, f_2 = 0, c_2 = -a^2$.
अतः,$0 + 0 = c - a^2$,जिसका अर्थ है $c = a^2$.
$c$ के दोनों मानों की तुलना करने पर: $k^2+4ah-4a^2 = a^2$.
$k^2+4ah = 5a^2$.
$(h, k)$ को $(x, y)$ से बदलने पर,बिंदुपथ $y^2+4ax-5a^2=0$ प्राप्त होता है।

(B) शीर्ष $V(4,3)$ है और नियता $3x+2y-7=0$ है।
परवलय का अक्ष नियता के लंबवत होता है और शीर्ष से गुजरता है।
गणना करने पर नाभिलंब का समीकरण $3x+2y-29=0$ प्राप्त होता है।

(B) $X$-अक्ष के समांतर अक्ष वाले परवलय का सामान्य समीकरण $x = Ay^2 + By + C$ है।
दिए गए बिंदुओं $(-2, 1)$,$(1, 2)$ और $(-1, 3)$ को समीकरण में रखने पर:
$(-2, 1)$ के लिए: $A + B + C = -2 \quad (i)$
$(1, 2)$ के लिए: $4A + 2B + C = 1 \quad (ii)$
$(-1, 3)$ के लिए: $9A + 3B + C = -1 \quad (iii)$
समीकरणों को हल करने पर,हमें $A = -\frac{5}{2}$,$B = \frac{21}{2}$ और $C = -10$ प्राप्त होता है।
अतः,परवलय का समीकरण $x = -\frac{5}{2}y^2 + \frac{21}{2}y - 10$ है।
इसे सरल करने पर $5y^2 + 2x - 21y + 20 = 0$ प्राप्त होता है।

(A) $X$-अक्ष के समानांतर अक्ष वाले परवलय का सामान्य समीकरण $x = ay^2 + by + c$ है।
परवलय $(0,1)$ से गुजरता है,इसलिए $0 = a(1)^2 + b(1) + c \implies a + b + c = 0$ है।
यह $(0,-2)$ से गुजरता है,इसलिए $0 = a(-2)^2 + b(-2) + c \implies 4a - 2b + c = 0$ है।
दोनों समीकरणों को घटाने पर: $3a - 3b = 0 \implies a = b$ प्राप्त होता है।
$a + b + c = 0$ में $b = a$ रखने पर,$2a + c = 0 \implies c = -2a$ मिलता है।
परवलय $(3,0)$ से गुजरता है,इसलिए $3 = a(0)^2 + b(0) + c \implies c = 3$ है।
अतः,$c = 3$,$a = -\frac{3}{2}$,और $b = -\frac{3}{2}$ है।
समीकरण $x = -\frac{3}{2}y^2 - \frac{3}{2}y + 3$ है।
विकल्पों की जाँच करने पर: $(A) (3,-1)$ के लिए,$3 = -\frac{3}{2}(-1)^2 - \frac{3}{2}(-1) + 3 = 3$ है। यह बिंदु परवलय पर स्थित है।

(C) परवलय $y^2 = 4ax$ के लिए,बिंदु $(x, y)$ की नाभीय दूरी $x + a$ द्वारा दी जाती है।
दिए गए $y^2 = 32x$ से,$4a = 32$,इसलिए $a = 8$ है।
नाभीय दूरी $x + 8 = 10$ है,जिसका अर्थ है $x = 2$।
परवलय के समीकरण में $x = 2$ रखने पर: $y^2 = 32(2) = 64$,इसलिए $y = \pm 8$।
अतः,बिंदु $(2, 8)$ और $(2, -8)$ हैं।
यहाँ,$x_1 = 2, y_1 = 8$ और $x_2 = 2, y_2 = -8$ है।
हमें $2(x_1^2 + x_2^2 + y_1^2 + y_2^2)$ की गणना करनी है।
$x_1^2 + x_2^2 + y_1^2 + y_2^2 = 2^2 + 2^2 + 8^2 + (-8)^2 = 4 + 4 + 64 + 64 = 136$।
इसलिए,$2(136) = 272$।

(C) परवलय $y^2=4ax$ की नाभि $S(a, 0)$ है।
माना $P$ के निर्देशांक $(at^2, 2at)$ और $Q$ के निर्देशांक $(\frac{a}{t^2}, -\frac{2a}{t})$ हैं।
चूंकि $SP = \alpha$,$S(a, 0)$ से $P(at^2, 2at)$ की दूरी $\alpha = a(t^2+1)$ है।
इसी प्रकार,$SQ = \alpha^{\prime}$ के लिए,$S(a, 0)$ से $Q(\frac{a}{t^2}, -\frac{2a}{t})$ की दूरी $\alpha^{\prime} = \frac{a(1+t^2)}{t^2}$ है।
अब,$\frac{1}{\alpha} + \frac{1}{\alpha^{\prime}} = \frac{1}{a(t^2+1)} + \frac{t^2}{a(1+t^2)} = \frac{1+t^2}{a(1+t^2)} = \frac{1}{a}$.

(C) परवलय का समीकरण $y^2 = 9x$ है। $y^2 = 4ax$ से तुलना करने पर,$a = \frac{9}{4}$ प्राप्त होता है।
नाभि $S = (\frac{9}{4}, 0)$ है।
बिंदु $P(9, 9)$ पर अभिलंब का समीकरण $y = -2x + 27$ है।
यह रेखा परवलय को दूसरे बिंदु $Q(\frac{81}{4}, -\frac{27}{2})$ पर काटती है।
$SP$ की ढाल $m_1 = \frac{4}{3}$ और $SQ$ की ढाल $m_2 = -\frac{3}{4}$ है।
चूंकि $m_1 \times m_2 = -1$,इसलिए नाभि पर अंतरित कोण $90^{\circ}$ है।

(A) माना परवलय $y^2 = 8x$ पर बिंदु $P = (2t^2, 4t)$ है।
दिया है $A = (-2, 0)$,माना $Q = (h, k)$ रेखाखंड $\overline{AP}$ का मध्य-बिंदु है।
तब $h = \frac{2t^2 - 2}{2} = t^2 - 1$ और $k = \frac{4t + 0}{2} = 2t$ है।
$k = 2t$ से,हमें $t = \frac{k}{2}$ प्राप्त होता है।
$t$ का मान $h$ के समीकरण में रखने पर: $h = (\frac{k}{2})^2 - 1 = \frac{k^2}{4} - 1$ प्राप्त होता है।
इसे व्यवस्थित करने पर $k^2 = 4(h + 1)$ मिलता है।
$Q$ का बिंदुपथ $y^2 = 4(x + 1)$ है।
इसे मानक रूप $Y^2 = 4aX$ से तुलना करने पर,जहाँ $Y = y$,$X = x + 1$,और $4a = 4$,हमें $a = 1$ प्राप्त होता है।
इस परवलय का शीर्ष $(-1, 0)$ है।
अतः नाभि $(X + a, Y) = (-1 + 1, 0) = (0, 0)$ होगी।

(B) दिया गया समीकरण $9x^2 + 25y^2 - 90x - 150y + 225 = 0$ है।
पदों को व्यवस्थित करने पर,$9(x^2 - 10x) + 25(y^2 - 6y) = -225$ प्राप्त होता है।
पूर्ण वर्ग बनाने पर,$9(x^2 - 10x + 25) + 25(y^2 - 6y + 9) = -225 + 225 + 225$।
$9(x - 5)^2 + 25(y - 3)^2 = 225$।
$225$ से भाग देने पर,$\frac{(x - 5)^2}{25} + \frac{(y - 3)^2}{9} = 1$ प्राप्त होता है।
यह एक दीर्घवृत्त (ellipse) का समीकरण है जहाँ $a^2 = 25$ और $b^2 = 9$,अतः $a = 5$ और $b = 3$।
नाभिलंब की लंबाई $\frac{2b^2}{a} = \frac{2 \times 9}{5} = \frac{18}{5}$ है।

(D) मान लीजिए कि $P$ से परवलय $y^2 = 4ax$ पर स्पर्श रेखाओं के स्पर्श बिंदु $A(at_1^2, 2at_1)$ और $B(at_2^2, 2at_2)$ हैं।
स्पर्श रेखाओं का प्रतिच्छेदन बिंदु $P$,$P(at_1t_2, a(t_1 + t_2))$ द्वारा दिया जाता है।
मान लीजिए $P = (x, y)$,तो $x = at_1t_2$ और $y = a(t_1 + t_2)$ है।
$A(at_1^2, 2at_1)$ पर स्पर्श रेखा की ढाल $m_1 = \tan \theta_1 = \frac{1}{t_1}$ है।
$B(at_2^2, 2at_2)$ पर स्पर्श रेखा की ढाल $m_2 = \tan \theta_2 = \frac{1}{t_2}$ है।
दिया गया है कि $\tan \theta_1 + \tan \theta_2 = b$,इसलिए $\frac{1}{t_1} + \frac{1}{t_2} = b$ है।
यह $\frac{t_1 + t_2}{t_1t_2} = b$ में सरल हो जाता है।
$P$ के निर्देशांक प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\frac{y/a}{x/a} = b$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $\frac{y}{x} = b$ है।
अतः,$y = bx$।

(A) परवलय $y^2 = 32x$ के लिए,स्पर्श रेखा $y = mx + \frac{8}{m}$ है।
परवलय $x^2 = 256y$ के लिए,स्पर्श रेखा $y = \frac{1}{m}x + 64m^2$ है।
दोनों समीकरणों की तुलना करने पर,$\frac{8}{m} = -64m^2$ प्राप्त होता है,जिसका हल $m = -\frac{1}{2}$ है।
यह मान रखने पर,स्पर्श रेखा का समीकरण $x + 2y + 32 = 0$ प्राप्त होता है।

(A) परवलय $y^2 = 4ax$ के बिंदु $t_1$ पर अभिलंब का समीकरण $y + t_1x = 2at_1 + at_1^3$ होता है।
चूंकि यह अभिलंब परवलय को बिंदु $t_2 = (at_2^2, 2at_2)$ पर पुनः मिलता है,इसलिए यह बिंदु अभिलंब के समीकरण को संतुष्ट करेगा।
$x = at_2^2$ और $y = 2at_2$ रखने पर:
$2at_2 + t_1(at_2^2) = 2at_1 + at_1^3$.
$a$ से विभाजित करने पर:
$2t_2 + t_1t_2^2 = 2t_1 + t_1^3$.
पदों को व्यवस्थित करने पर:
$t_1(t_2^2 - t_1^2) + 2(t_2 - t_1) = 0$.
$t_1(t_2 - t_1)(t_2 + t_1) + 2(t_2 - t_1) = 0$.
$(t_2 - t_1)$ से विभाजित करने पर:
$t_1(t_2 + t_1) + 2 = 0$.
$t_1t_2 + t_1^2 + 2 = 0$.
अतः,$t_1t_2 = -2 - t_1^2$.

(D) परवलय $x^2=4ay$ के लिए,अभिलंबों के प्रतिच्छेदन बिंदु का बिंदुपथ $x^2=a(y-3a)$ होता है।
यहाँ $4a=8$ है,इसलिए $a=2$ है।
अतः,बिंदुपथ $x^2=2(y-3(2)) = 2(y-6) = 2y-12$ होगा।
इसलिए,सही विकल्प $D$ है।

(D) दिए गए परवलय $y^2 = 4x$ के लिए, $a = 1$ है। बिंदु $P(-1, 2)$ है।
स्पर्श जीवा का समीकरण $yy_1 = 2a(x + x_1)$ है।
$x_1 = -1, y_1 = 2, a = 1$ रखने पर, $2y = 2(x - 1)$, जो $x - y - 1 = 0$ में सरल होता है।
स्पर्श जीवा की लंबाई $L = \frac{\sqrt{(y_1^2 - 4ax_1)^3}}{2a} = \frac{\sqrt{(2^2 - 4(1)(-1))^3}}{2(1)} = \frac{\sqrt{8^3}}{2} = 8\sqrt{2}$ है।
बिंदु $(-1, 2)$ से जीवा $x - y - 1 = 0$ की लंबवत दूरी $h = \frac{|-1 - 2 - 1|}{\sqrt{1^2 + (-1)^2}} = \frac{4}{\sqrt{2}} = 2\sqrt{2}$ है।
त्रिभुज का क्षेत्रफल $\frac{h^3}{2a} = \frac{(2\sqrt{2})^3}{2} = 8\sqrt{2}$ है।

(A) $(\sqrt{2}+\sqrt[5]{3})^{10}$ के विस्तार में सामान्य पद $T_{r+1} = \binom{10}{r} (\sqrt{2})^{10-r} (\sqrt[5]{3})^r = \binom{10}{r} 2^{(10-r)/2} 3^{r/5}$ द्वारा दिया जाता है।
पद को परिमेय होने के लिए,$2$ और $3$ के घातांक पूर्णांक होने चाहिए।
अतः,$(10-r)/2$ एक पूर्णांक होना चाहिए,जिसका अर्थ है कि $r$ सम संख्या होनी चाहिए।
साथ ही,$r/5$ एक पूर्णांक होना चाहिए,जिसका अर्थ है कि $r$,$5$ का गुणज होना चाहिए।
चूंकि $0 \le r \le 10$,इसलिए $r$ के संभावित मान $r = 0$ और $r = 10$ हैं।
$r = 0$ के लिए,$T_1 = \binom{10}{0} 2^5 3^0 = 1 \times 32 \times 1 = 32$।
$r = 10$ के लिए,$T_{11} = \binom{10}{10} 2^0 3^2 = 1 \times 1 \times 9 = 9$।
परिमेय पदों का योग $32 + 9 = 41$ है।

(C) $(1+bx)^n$ का द्विपद विस्तार $1 + n(bx) + \frac{n(n-1)}{2!}(bx)^2 + \dots$ है।
दिए गए पदों $1, 6x, 6x^2$ की तुलना विस्तार से करने पर:
$nb = 6$
$\frac{n(n-1)}{2} b^2 = 6$
गणना करने पर $b+n = \frac{29}{3}$ प्राप्त होता है।

(D) $(a + b)^n$ के विस्तार में सामान्य पद $t_{r+1} = \binom{n}{r} a^{n-r} b^r$ है।
$(2^x + 4^{-x})^8$ के विस्तार के लिए,$n=8$,$a=2^x$,और $b=4^{-x} = 2^{-2x}$ है।
$t_2 = t_{1+1} = \binom{8}{1} (2^x)^7 (2^{-2x})^1 = 8 \cdot 2^{5x}$.
$t_3 = t_{2+1} = \binom{8}{2} (2^x)^6 (2^{-2x})^2 = 28 \cdot 2^{2x}$.
दिया गया है कि $t_3 = 7t_2$,इसलिए:
$28 \cdot 2^{2x} = 7 \cdot (8 \cdot 2^{5x}) = 56 \cdot 2^{5x}$.
दोनों पक्षों को $28 \cdot 2^{2x}$ से विभाजित करने पर:
$1 = 2 \cdot 2^{3x} = 2^{3x+1}$.
चूंकि $1 = 2^0$,इसलिए $3x + 1 = 0$,जिसका अर्थ है $x = -1/3$।

(B) माना $f(n) = n^5 - 5n^3 + 4n + 139$.
हम व्यंजक $n^5 - 5n^3 + 4n$ का गुणनखंड कर सकते हैं: $n(n^4 - 5n^2 + 4) = n(n^2 - 1)(n^2 - 4) = n(n-1)(n+1)(n-2)(n+2)$.
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $f(n) = (n-2)(n-1)n(n+1)(n+2) + 139$ प्राप्त होता है।
गुणनफल $(n-2)(n-1)n(n+1)(n+2)$ $5$ क्रमागत पूर्णांकों का गुणनफल है,जो हमेशा $5! = 120$ से विभाज्य होता है।
अतः,किसी पूर्णांक $k$ के लिए $f(n) = 120k + 139$ है।
जब $f(n)$ को $120$ से विभाजित किया जाता है,तो शेषफल ज्ञात करने के लिए,हम $139 \pmod{120}$ की गणना करते हैं।
$139 = 120 \times 1 + 19$.
इस प्रकार,शेषफल $19$ है।

(D) दिया गया व्यंजक $f(x) = \frac{(3-5x)^{1/2}}{(5-3x)^2} = (3-5x)^{1/2} \cdot (5-3x)^{-2}$ है।
इसे $f(x) = \frac{\sqrt{3}}{25}(1-\frac{5x}{3})^{1/2}(1-\frac{3x}{5})^{-2}$ के रूप में लिखा जा सकता है।
द्विपद सन्निकटन $(1+u)^n \approx 1+nu$ का उपयोग करने पर:
$(1-\frac{5x}{3})^{1/2} \approx 1 - \frac{5x}{6}$ और $(1-\frac{3x}{5})^{-2} \approx 1 + \frac{6x}{5}$ प्राप्त होता है।
गुणा करने पर और $x^2$ के पदों को छोड़ने पर:
$f(x) \approx \frac{\sqrt{3}}{25}(1 + \frac{11x}{30})$ प्राप्त होता है।
$x = \frac{1}{11\sqrt{3}}$ रखने पर:
$f(x) \approx \frac{\sqrt{3}}{25}(1 + \frac{1}{30\sqrt{3}}) = \frac{30\sqrt{3}+1}{750}$।

(D) $(1+x^2-x^3)^8$ के विस्तार में सामान्य पद मल्टीनोमियल प्रमेय द्वारा $\frac{8!}{n_1! n_2! n_3!} (1)^{n_1} (x^2)^{n_2} (-x^3)^{n_3}$ है,जहाँ $n_1 + n_2 + n_3 = 8$ है।
यह $\frac{8!}{n_1! n_2! n_3!} (-1)^{n_3} x^{2n_2 + 3n_3}$ में सरल होता है।
हमें $x^{10}$ का गुणांक चाहिए,इसलिए $2n_2 + 3n_3 = 10$ रखें।
$(n_2, n_3)$ के लिए संभावित हल:
$1$) यदि $n_3 = 0$,तो $2n_2 = 10 \implies n_2 = 5$. तब $n_1 = 3$. पद $\frac{8!}{3! 5! 0!} (-1)^0 = 56$ है।
$2$) यदि $n_3 = 2$,तो $2n_2 = 4 \implies n_2 = 2$. तब $n_1 = 4$. पद $\frac{8!}{4! 2! 2!} (-1)^2 = 420$ है।
कुल गुणांक: $56 + 420 = 476$।

(D) माना $f(x) = (1 + x + x^2)^n = a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + \ldots + a_{2n} x^{2n}$ है।
$x = 1$ रखने पर,हमें $f(1) = (1 + 1 + 1)^n = 3^n = a_0 + a_1 + a_2 + \ldots + a_{2n}$ प्राप्त होता है।
$x = -1$ रखने पर,हमें $f(-1) = (1 - 1 + 1)^n = 1^n = 1 = a_0 - a_1 + a_2 - a_3 + \ldots + a_{2n}$ प्राप्त होता है।
दोनों समीकरणों को जोड़ने पर:
$f(1) + f(-1) = 3^n + 1 = (a_0 + a_1 + a_2 + \ldots + a_{2n}) + (a_0 - a_1 + a_2 - \ldots + a_{2n})$ है।
$3^n + 1 = 2(a_0 + a_2 + a_4 + \ldots + a_{2n})$ है।
अतः,$a_0 + a_2 + a_4 + \ldots + a_{2n} = \frac{3^n + 1}{2}$ है।

(A) दी गई श्रेणी $S = \sum_{r=0}^{n} (3 + 4r) C_r$ है।
हम जानते हैं कि $C_r = \binom{n}{r}$।
अतः,$S = 3 \sum_{r=0}^{n} C_r + 4 \sum_{r=0}^{n} r C_r$।
हम जानते हैं कि $\sum_{r=0}^{n} C_r = 2^n$ और $\sum_{r=0}^{n} r C_r = n 2^{n-1}$।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर,हमें $S = 3(2^n) + 4(n 2^{n-1})$ प्राप्त होता है।
$S = 3 \cdot 2^n + 2n \cdot 2^n = (2n + 3) 2^n$।

(C) चूंकि $\bar{\alpha}$,$\bar{a}$ और $\bar{b}$ दोनों के लंबवत है,इसलिए $\bar{\alpha}$,$\bar{a} \times \bar{b}$ के समानांतर होना चाहिए।
$\bar{a} \times \bar{b} = \begin{vmatrix} \bar{i} & \bar{j} & \bar{k} \\ 4 & 5 & -1 \\ 1 & -4 & 5 \end{vmatrix} = \bar{i}(25-4) - \bar{j}(20+1) + \bar{k}(-16-5) = 21 \bar{i} - 21 \bar{j} - 21 \bar{k}$.
मान लीजिए $\bar{\alpha} = k(21 \bar{i} - 21 \bar{j} - 21 \bar{k}) = 21k(\bar{i} - \bar{j} - \bar{k})$.
दिया गया है कि $\bar{\alpha} \cdot \bar{c} = 63$,इसलिए $21k(\bar{i} - \bar{j} - \bar{k}) \cdot (3 \bar{i} + \bar{j} - \bar{k}) = 63$.
$21k(3 - 1 + 1) = 63 \implies 21k(3) = 63 \implies 63k = 63 \implies k = 1$.
अतः,$\bar{\alpha} = 21 \bar{i} - 21 \bar{j} - 21 \bar{k}$.

(C) माना अभीष्ट सदिश $\bar{r} = x\bar{i} + y\bar{j} + z\bar{k}$ है।
दिया गया है कि $\bar{a}$,$\bar{b}$,और $\bar{c}$ इकाई सदिश हैं।
$\bar{a} = \frac{1}{3}(\bar{i}-2\bar{j}+2\bar{k})$,$|\bar{a}| = 1$.
$\bar{b} = \frac{1}{5}(-4\bar{i}-3\bar{k})$,$|\bar{b}| = 1$.
$\bar{c} = \bar{j}$,$|\bar{c}| = 1$.
माना $\bar{r}$ और प्रत्येक सदिश $\bar{a}, \bar{b}, \bar{c}$ के बीच का कोण $\theta$ है। अतः $\bar{r} \cdot \bar{a} = \bar{r} \cdot \bar{b} = \bar{r} \cdot \bar{c} = |\bar{r}| \cos \theta = \sqrt{51} \cos \theta = k$.
$\frac{1}{3}(x-2y+2z) = k \implies x-2y+2z = 3k$.
$\frac{1}{5}(-4x-3z) = k \implies -4x-3z = 5k$.
$y = k$.
विकल्प $C$ की जाँच करने पर: $\bar{r} = -5\bar{i}+\bar{j}+5\bar{k}$,$|\bar{r}| = \sqrt{25+1+25} = \sqrt{51}$.
$\bar{r} \cdot \bar{a} = \frac{1}{3}(-5+2+10) = 1$. $\bar{r} \cdot \bar{b} = \frac{1}{5}(20-15) = 1$. $\bar{r} \cdot \bar{c} = 1$. चूंकि सभी अदिश गुणनफल समान हैं,इसलिए सही सदिश $-5\bar{i}+\bar{j}+5\bar{k}$ है।

(A) दिया गया है कि $\bar{a}$ और $\bar{b}$ इकाई सदिश हैं,इसलिए $|\bar{a}| = 1$ और $|\bar{b}| = 1$ है।
मान लीजिए कि $\bar{a}$ और $\bar{b}$ के बीच का कोण $\theta$ है।
तब $\bar{a} \cdot \bar{b} = |\bar{a}||\bar{b}| \cos \theta = \cos \theta$ होगा।
साथ ही,$|\bar{v}| = |\bar{a} \times \bar{b}| = |\bar{a}||\bar{b}| \sin \theta = \sin \theta$ होगा।
अब,$\bar{u} = \bar{a} - (\bar{a} \cdot \bar{b}) \bar{b} = \bar{a} - (\cos \theta) \bar{b}$ पर विचार करें।
तब $|\bar{u}|^2 = |\bar{a} - (\cos \theta) \bar{b}|^2 = |\bar{a}|^2 + \cos^2 \theta |\bar{b}|^2 - 2 \cos \theta (\bar{a} \cdot \bar{b})$ होगा।
$|\bar{u}|^2 = 1 + \cos^2 \theta - 2 \cos^2 \theta = 1 - \cos^2 \theta = \sin^2 \theta$ होगा।
अतः,$|\bar{u}| = \sin \theta$ होगा।
चूंकि $|\bar{v}| = \sin \theta$ और $|\bar{u}| = \sin \theta$ है,इसलिए $|\bar{v}| = |\bar{u}|$ होगा।

(B) $2\bar{a}+\bar{b}$ से गुजरने वाली और $\bar{b}-\bar{c}$ के समांतर रेखा का समीकरण $\bar{r} = (2\bar{a}+\bar{b}) + t(\bar{b}-\bar{c})$ है।
इस रेखा पर कोई भी बिंदु $2\bar{a} + (1+t)\bar{b} - t\bar{c}$ के रूप में है।
समतल $\bar{a}$ से गुजरता है और $\bar{b}+\bar{c}$ तथा $\bar{a}+2\bar{b}-\bar{c}$ के समांतर है।
समतल का अभिलंब सदिश $\vec{n} = (\bar{b}+\bar{c}) \times (\bar{a}+2\bar{b}-\bar{c}) = -\bar{a} \times \bar{b} - 3\bar{b} \times \bar{c} + \bar{c} \times \bar{a}$ है।
समतल का समीकरण $(\bar{r}-\bar{a}) \cdot \vec{n} = 0$ है।
रेखा के बिंदु को समतल के समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर,हमें $t=1$ प्राप्त होता है,जिससे $P = 2\bar{a}+2\bar{b}-\bar{c}$ प्राप्त होता है।

(B) दिया गया है कि $\bar{r} \times \bar{a} = \bar{b} \times \bar{a}$,जिसे हम $\bar{r} \times \bar{a} - \bar{b} \times \bar{a} = 0$ लिख सकते हैं,जिसका अर्थ है $(\bar{r} - \bar{b}) \times \bar{a} = 0$।
इसका मतलब है कि सदिश $(\bar{r} - \bar{b})$ को $\bar{a}$ के समानांतर होना चाहिए।
इसलिए,हम किसी अदिश $k$ के लिए $\bar{r} - \bar{b} = k\bar{a}$ या $\bar{r} = \bar{b} + k\bar{a}$ लिख सकते हैं।
हमें $\bar{r} \cdot \bar{c} = 0$ भी दिया गया है।
$\bar{r}$ के लिए इस समीकरण में मान रखने पर,हमें $(\bar{b} + k\bar{a}) \cdot \bar{c} = 0$ प्राप्त होता है।
इसका विस्तार करने पर,$\bar{b} \cdot \bar{c} + k(\bar{a} \cdot \bar{c}) = 0$ मिलता है।
$k$ के लिए हल करने पर,$k = -\frac{\bar{b} \cdot \bar{c}}{\bar{a} \cdot \bar{c}}$ प्राप्त होता है।
$k$ के इस मान को $\bar{r}$ के समीकरण में वापस रखने पर,हमें $\bar{r} = \bar{b} - \left(\frac{\bar{b} \cdot \bar{c}}{\bar{a} \cdot \bar{c}}\right) \bar{a}$ प्राप्त होता है।

(D) समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल जिसके विकर्ण $\bar{d_1}$ और $\bar{d_2}$ हैं,सूत्र $\text{Area} = \frac{1}{2} |\bar{d_1} \times \bar{d_2}|$ द्वारा दिया जाता है।
सबसे पहले,सदिश गुणनफल $\bar{d_1} \times \bar{d_2}$ की गणना करें:
$\bar{d_1} \times \bar{d_2} = \begin{vmatrix} \bar{i} & \bar{j} & \bar{k} \\ 1 & 2 & 3 \\ -2 & 1 & -2 \end{vmatrix}$
$= \bar{i}(-4 - 3) - \bar{j}(-2 - (-6)) + \bar{k}(1 - (-4))$
$= -7\bar{i} - 4\bar{j} + 5\bar{k}$.
अब,इस सदिश का परिमाण ज्ञात करें:
$|\bar{d_1} \times \bar{d_2}| = \sqrt{(-7)^2 + (-4)^2 + 5^2} = \sqrt{49 + 16 + 25} = \sqrt{90} = 3\sqrt{10}$.
अंत में,क्षेत्रफल $\frac{1}{2} \times 3\sqrt{10} = \frac{3}{2} \sqrt{10} = 3\sqrt{\frac{10}{4}} = 3\sqrt{\frac{5}{2}}$ है।
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(D) दिया गया है $\lambda \bar{a} = \bar{b} - 2\bar{c}$।
दोनों पक्षों का परिमाण लेने पर: $|\lambda \bar{a}|^2 = |\bar{b} - 2\bar{c}|^2$।
$\lambda^2 |\bar{a}|^2 = |\bar{b}|^2 + 4|\bar{c}|^2 - 4(\bar{b} \cdot \bar{c})$।
चूंकि $|\bar{a}|=1, |\bar{c}|=1, |\bar{b}|=4$,इसलिए $\lambda^2 = 16 + 4 - 4(\bar{b} \cdot \bar{c}) = 20 - 4(\bar{b} \cdot \bar{c})$।
साथ ही,$|\bar{b} \times \bar{c}|^2 = |\bar{b}|^2 |\bar{c}|^2 - (\bar{b} \cdot \bar{c})^2$।
$15 = (4)^2(1)^2 - (\bar{b} \cdot \bar{c})^2$।
$15 = 16 - (\bar{b} \cdot \bar{c})^2$,जिसका अर्थ है $(\bar{b} \cdot \bar{c})^2 = 1$,अतः $\bar{b} \cdot \bar{c} = \pm 1$।
स्थिति $1$: $\bar{b} \cdot \bar{c} = 1$।
$\lambda^2 = 20 - 4(1) = 16 \implies \lambda = \pm 4$।
स्थिति $2$: $\bar{b} \cdot \bar{c} = -1$।
$\lambda^2 = 20 - 4(-1) = 24 \implies \lambda = \pm \sqrt{24} = \pm 2\sqrt{6}$।
दिए गए विकल्पों के अनुसार,सही उत्तर $\pm 4$ है।

(C) दिया गया है $|\bar{u}|=1, |\bar{v}|=2, |\bar{w}|=3$।
चूंकि $\bar{v}$ का $\bar{u}$ पर प्रक्षेप,$\bar{w}$ के $\bar{u}$ पर प्रक्षेप के बराबर है,इसलिए $\frac{\bar{v} \cdot \bar{u}}{|\bar{u}|} = \frac{\bar{w} \cdot \bar{u}}{|\bar{u}|}$।
$|\bar{u}|=1$ होने के कारण,इसका अर्थ है $\bar{v} \cdot \bar{u} = \bar{w} \cdot \bar{u}$,या $(\bar{v}-\bar{w}) \cdot \bar{u} = 0$।
साथ ही,$\bar{v} \perp \bar{w}$ का अर्थ है $\bar{v} \cdot \bar{w} = 0$।
हमें $|\bar{u}-\bar{v}+\bar{w}|^2 = (\bar{u}-\bar{v}+\bar{w}) \cdot (\bar{u}-\bar{v}+\bar{w})$ की गणना करनी है।
$= |\bar{u}|^2 + |\bar{v}|^2 + |\bar{w}|^2 - 2(\bar{u} \cdot \bar{v}) + 2(\bar{u} \cdot \bar{w}) - 2(\bar{v} \cdot \bar{w})$।
चूंकि $\bar{u} \cdot \bar{v} = \bar{u} \cdot \bar{w}$ और $\bar{v} \cdot \bar{w} = 0$ है,इसलिए $-2(\bar{u} \cdot \bar{v}) + 2(\bar{u} \cdot \bar{w})$ पद कट जाएंगे।
$= |\bar{u}|^2 + |\bar{v}|^2 + |\bar{w}|^2 = 1^2 + 2^2 + 3^2 = 1 + 4 + 9 = 14$।
अतः,$|\bar{u}-\bar{v}+\bar{w}| = \sqrt{14}$।

(A) दी गई शर्त $|\bar{a}-\bar{c}| = |\bar{b}-\bar{c}|$ है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$|\bar{a}-\bar{c}|^2 = |\bar{b}-\bar{c}|^2$ प्राप्त होता है।
गुणधर्म $|\bar{x}|^2 = \bar{x} \cdot \bar{x}$ का उपयोग करने पर,$(\bar{a}-\bar{c}) \cdot (\bar{a}-\bar{c}) = (\bar{b}-\bar{c}) \cdot (\bar{b}-\bar{c})$ मिलता है।
डॉट प्रोडक्ट का विस्तार करने पर: $|\bar{a}|^2 - 2(\bar{a} \cdot \bar{c}) + |\bar{c}|^2 = |\bar{b}|^2 - 2(\bar{b} \cdot \bar{c}) + |\bar{c}|^2$.
सरल करने पर,$|\bar{a}|^2 - |\bar{b}|^2 = 2(\bar{a} \cdot \bar{c}) - 2(\bar{b} \cdot \bar{c}) = 2(\bar{a}-\bar{b}) \cdot \bar{c}$ प्राप्त होता है।
अब,व्यंजक $E = (\bar{b}-\bar{a}) \cdot \left(\bar{c}-\frac{\bar{a}+\bar{b}}{2}\right)$ पर विचार करें।
$E = (\bar{b}-\bar{a}) \cdot \bar{c} - (\bar{b}-\bar{a}) \cdot \left(\frac{\bar{a}+\bar{b}}{2}\right)$.
$E = -(\bar{a}-\bar{b}) \cdot \bar{c} - \frac{1}{2}(\bar{b}-\bar{a}) \cdot (\bar{b}+\bar{a})$.
सर्वसमिका $(\bar{b}-\bar{a}) \cdot (\bar{b}+\bar{a}) = |\bar{b}|^2 - |\bar{a}|^2$ का उपयोग करने पर:
$E = -(\bar{a}-\bar{b}) \cdot \bar{c} - \frac{1}{2}(|\bar{b}|^2 - |\bar{a}|^2)$.
हमारे पिछले परिणाम से,$(\bar{a}-\bar{b}) \cdot \bar{c} = \frac{1}{2}(|\bar{a}|^2 - |\bar{b}|^2)$.
इसका मान रखने पर: $E = -\frac{1}{2}(|\bar{a}|^2 - |\bar{b}|^2) - \frac{1}{2}(|\bar{b}|^2 - |\bar{a}|^2) = -\frac{1}{2}|\bar{a}|^2 + \frac{1}{2}|\bar{b}|^2 - \frac{1}{2}|\bar{b}|^2 + \frac{1}{2}|\bar{a}|^2 = 0$.

(A) दिया गया है $\overline{A} + \overline{B} = \bar{a}$ और $\overline{A} \times \overline{B} = \bar{b}$.
प्रथम समीकरण का $\overline{A}$ के साथ क्रॉस गुणन करने पर: $\overline{A} \times (\overline{A} + \overline{B}) = \overline{A} \times \bar{a}$.
यह सरल होकर $\overline{A} \times \overline{A} + \overline{A} \times \overline{B} = \overline{A} \times \bar{a}$ हो जाता है.
चूंकि $\overline{A} \times \overline{A} = 0$ और $\overline{A} \times \overline{B} = \bar{b}$,इसलिए $\bar{b} = \overline{A} \times \bar{a}$,जो कि $\bar{b} = -(\bar{a} \times \overline{A})$ है.
अब,$\bar{b} = \overline{A} \times \bar{a}$ का $\bar{a}$ के साथ क्रॉस गुणन करने पर:
$\bar{a} \times \bar{b} = \bar{a} \times (\overline{A} \times \bar{a})$.
सदिश त्रिक गुणन सूत्र $\vec{u} \times (\vec{v} \times \vec{w}) = (\vec{u} \cdot \vec{w})\vec{v} - (\vec{u} \cdot \vec{v})\vec{w}$ का उपयोग करने पर:
$\bar{a} \times \bar{b} = (\bar{a} \cdot \bar{a})\overline{A} - (\bar{a} \cdot \overline{A})\bar{a}$.
दिया गया है $\bar{a} \cdot \overline{A} = 1$,मान रखने पर:
$\bar{a} \times \bar{b} = \bar{a}^2 \overline{A} - 1 \cdot \bar{a}$.
$\overline{A}$ के लिए हल करने पर:
$\bar{a}^2 \overline{A} = (\bar{a} \times \bar{b}) + \bar{a}$.
अतः,$\overline{A} = \frac{(\bar{a} \times \bar{b}) + \bar{a}}{\bar{a}^2}$.

(C) दिया गया है $\bar{a} \times \bar{c} = \bar{b}$ और $\bar{b} \times \bar{c} = \bar{a}$।
पहले समीकरण का परिमाण लेने पर: $|\bar{a} \times \bar{c}| = |\bar{b}| \implies |\bar{a}| |\bar{c}| \sin \theta = |\bar{b}|$,जहाँ $\theta$ सदिश $\bar{a}$ और $\bar{c}$ के बीच का कोण है।
दूसरे समीकरण का परिमाण लेने पर: $|\bar{b} \times \bar{c}| = |\bar{a}| \implies |\bar{b}| |\bar{c}| \sin \phi = |\bar{a}|$,जहाँ $\phi$ सदिश $\bar{b}$ और $\bar{c}$ के बीच का कोण है।
पहले समीकरण से $|\bar{b}|$ का मान दूसरे में रखने पर: $(|\bar{a}| |\bar{c}| \sin \theta) |\bar{c}| \sin \phi = |\bar{a}|$.
चूंकि $\bar{a} \neq \bar{o}$,हम $|\bar{a}|$ से विभाजित कर सकते हैं: $|\bar{c}|^2 \sin \theta \sin \phi = 1$.
साथ ही,$\bar{a} \times \bar{c} = \bar{b}$ से,$\bar{b}$ सदिश $\bar{c}$ के लंबवत है। $\bar{b} \times \bar{c} = \bar{a}$ से,$\bar{a}$ सदिश $\bar{c}$ के लंबवत है।
अतः,$\theta = 90^\circ$ और $\phi = 90^\circ$,इसलिए $\sin \theta = 1$ और $\sin \phi = 1$ है।
इसलिए,$|\bar{c}|^2 = 1 \implies |\bar{c}| = 1$।
अब,$|\bar{a}| |\bar{c}| = |\bar{b}|$ और $|\bar{b}| |\bar{c}| = |\bar{a}|$।
चूंकि $|\bar{c}| = 1$,हमें $|\bar{a}| = |\bar{b}|$ प्राप्त होता है। अतः,विकल्प $C$ सही है।

(B) दिया गया है: $|\bar{a}| = 1$,$|\bar{b}| = 2$,$|\bar{c}| = 3$.
चूंकि $\bar{b} \perp \bar{c}$,इसलिए $\bar{b} \cdot \bar{c} = 0$.
$\bar{b}$ का $\bar{a}$ पर प्रक्षेप $\frac{\bar{b} \cdot \bar{a}}{|\bar{a}|} = \bar{b} \cdot \bar{a}$ है (क्योंकि $|\bar{a}| = 1$).
$\bar{c}$ का $\bar{a}$ पर प्रक्षेप $\frac{\bar{c} \cdot \bar{a}}{|\bar{a}|} = \bar{c} \cdot \bar{a}$ है।
दिया गया है कि $\bar{b} \cdot \bar{a} = \bar{c} \cdot \bar{a} = k$.
अब,$|\bar{a} - \bar{b} + \bar{c}|^2 = |\bar{a}|^2 + |\bar{b}|^2 + |\bar{c}|^2 - 2(\bar{a} \cdot \bar{b}) + 2(\bar{a} \cdot \bar{c}) - 2(\bar{b} \cdot \bar{c})$.
मान रखने पर: $|\bar{a} - \bar{b} + \bar{c}|^2 = 1^2 + 2^2 + 3^2 - 2k + 2k - 2(0) = 1 + 4 + 9 = 14$.
अतः,$|\bar{a} - \bar{b} + \bar{c}| = \sqrt{14}$.

(B) मान लीजिए कि $XZ$-समतल,$A(-2, 3, 4)$ और $B(1, 2, 3)$ को जोड़ने वाले रेखाखंड को $k:1$ के अनुपात में बिंदु $P$ पर विभाजित करता है।
चूंकि बिंदु $P$,$XZ$-समतल पर स्थित है,इसलिए इसका $y$-निर्देशांक $0$ होगा।
विभाजन सूत्र के अनुसार $P$ के निर्देशांक:
$P = \left( \frac{k(1) + 1(-2)}{k+1}, \frac{k(2) + 1(3)}{k+1}, \frac{k(3) + 1(4)}{k+1} \right)$.
$y$-निर्देशांक को $0$ रखने पर:
$\frac{2k + 3}{k+1} = 0 \implies 2k + 3 = 0 \implies k = -\frac{3}{2}$.
अब,$k = -\frac{3}{2}$ का मान $x$ और $z$ निर्देशांकों में रखने पर:
$x = \frac{-\frac{3}{2}(1) - 2}{-\frac{3}{2} + 1} = \frac{-\frac{7}{2}}{-\frac{1}{2}} = 7$.
$z = \frac{-\frac{3}{2}(3) + 4}{-\frac{3}{2} + 1} = \frac{-\frac{9}{2} + 4}{-\frac{1}{2}} = \frac{-\frac{1}{2}}{-\frac{1}{2}} = 1$.
अतः,बिंदु के निर्देशांक $(7, 0, 1)$ हैं।

(D) माना शीर्षों $A, B, C$ के स्थिति सदिश क्रमशः $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ हैं।
दिया गया है कि $L, M, N$ क्रमशः $BC, CA, AB$ को $1:2, 2:3, 3:5$ के अनुपात में विभाजित करते हैं।
विभाजन सूत्र का उपयोग करते हुए,स्थिति सदिश हैं:
$L = \frac{1\vec{c} + 2\vec{b}}{1+2} = \frac{\vec{c} + 2\vec{b}}{3}$
$M = \frac{2\vec{a} + 3\vec{c}}{2+3} = \frac{2\vec{a} + 3\vec{c}}{5}$
$N = \frac{3\vec{b} + 5\vec{a}}{3+5} = \frac{3\vec{b} + 5\vec{a}}{8}$
बिंदु $K$,$AB$ को $5:3$ के अनुपात में विभाजित करता है,इसलिए $K = \frac{5\vec{b} + 3\vec{a}}{5+3} = \frac{5\vec{b} + 3\vec{a}}{8}$.
अब,सदिशों की गणना करते हैं:
$\vec{AL} = L - A = \frac{2\vec{b} + \vec{c} - 3\vec{a}}{3}$
$\vec{BM} = M - B = \frac{2\vec{a} + 3\vec{c} - 5\vec{b}}{5}$
$\vec{CN} = N - C = \frac{3\vec{b} + 5\vec{a} - 8\vec{c}}{8}$
$\vec{CK} = K - C = \frac{5\vec{b} + 3\vec{a} - 8\vec{c}}{8}$
अतः,$\left| \frac{\vec{AL} + \vec{BM} + \vec{CN}}{\vec{CK}} \right| = \frac{1}{15}$.

(C) माना समतल का समीकरण $a(x-1) + by + cz = 0$ है,जिसे $ax + by + cz = a$ के रूप में लिखा जा सकता है। यह $(0, 1, 0)$ से गुजरता है,इसलिए $a(0) + b(1) + c(0) = a$,अर्थात $b = a$। समीकरण $ax + ay + cz = a$ या $x + y + \frac{c}{a}z = 1$ बन जाता है। माना $k = \frac{c}{a}$। अभिलंब सदिश $\vec{n_1} = (1, 1, k)$ है। $x + y - 3 = 0$ समतल का अभिलंब $\vec{n_2} = (1, 1, 0)$ है। दो समतलों के बीच का कोण $\theta = \frac{\pi}{4}$ है,इसलिए $\cos(\frac{\pi}{4}) = \frac{|\vec{n_1} \cdot \vec{n_2}|}{|\vec{n_1}| |\vec{n_2}|}$। अतः,$\frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{|1+1+0|}{\sqrt{1^2+1^2+k^2} \sqrt{1^2+1^2+0^2}} = \frac{2}{\sqrt{2+k^2} \sqrt{2}}$। दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$\frac{1}{2} = \frac{4}{2(2+k^2)}$,जिसका अर्थ है $2+k^2 = 4$,इसलिए $k^2 = 2$ और $k = \pm \sqrt{2}$। $k = \sqrt{2}$ के लिए,अभिलंब $(1, 1, \sqrt{2})$ प्राप्त होता है।

(D) दिए गए संबंध $l+m+n=0$ और $lm=0$ हैं।
$lm=0$ से,या तो $l=0$ या $m=0$ है।
स्थिति $1$: यदि $l=0$ है,तो $m+n=0$,इसलिए $n=-m$ है। दिक्-कोज्याएँ $(0, m, -m)$ हैं। चूंकि $l^2+m^2+n^2=1$,हमारे पास $0^2+m^2+(-m)^2=1$ है,जो $2m^2=1$ देता है,इसलिए $m = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}$ है। अतः,दिक्-अनुपात $(0, 1, -1)$ हैं।
स्थिति $2$: यदि $m=0$ है,तो $l+n=0$,इसलिए $n=-l$ है। दिक्-कोज्याएँ $(l, 0, -l)$ हैं। इसी प्रकार,$l^2+0^2+(-l)^2=1$,जो $2l^2=1$ देता है,इसलिए $l = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}$ है। अतः,दिक्-अनुपात $(1, 0, -1)$ हैं।
मान लीजिए कि दो रेखाओं के दिक्-सदिश $\vec{a} = 0\hat{i} + 1\hat{j} - 1\hat{k}$ और $\vec{b} = 1\hat{i} + 0\hat{j} - 1\hat{k}$ हैं।
उनके बीच के कोण $\theta$ का कोज्या $\cos \theta = \frac{|\vec{a} \cdot \vec{b}|}{|\vec{a}| |\vec{b}|}$ द्वारा दिया जाता है।
$\vec{a} \cdot \vec{b} = (0)(1) + (1)(0) + (-1)(-1) = 1$ है।
$|\vec{a}| = \sqrt{0^2+1^2+(-1)^2} = \sqrt{2}$ और $|\vec{b}| = \sqrt{1^2+0^2+(-1)^2} = \sqrt{2}$ है।
$\cos \theta = \frac{1}{\sqrt{2} \times \sqrt{2}} = \frac{1}{2}$ है।
इसलिए,$\theta = \frac{\pi}{3}$ है।

(D) एक रेखा के दिक्-कोसाइन $(l, m, n)$ द्वारा दर्शाए जाते हैं। दिया गया है $(l, m, n) = (pq, q, q)$।
हम जानते हैं कि किसी भी रेखा के लिए,$l^2 + m^2 + n^2 = 1$ होता है।
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $(pq)^2 + q^2 + q^2 = 1$,जो सरल होकर $p^2q^2 + 2q^2 = 1$ या $q^2(p^2 + 2) = 1$ हो जाता है।
साथ ही,दिक्-कोसाइन $l = \cos(\alpha)$ होता है,जहाँ $\alpha$ $X$-अक्ष के साथ बना कोण है।
दिया गया है $\alpha = \frac{\pi}{3}$,इसलिए $l = \cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}$।
चूंकि $l = pq$,हमारे पास $pq = \frac{1}{2}$ है,जिसका अर्थ है $p^2q^2 = \frac{1}{4}$।
$p^2q^2 = \frac{1}{4}$ को समीकरण $p^2q^2 + 2q^2 = 1$ में रखने पर:
$\frac{1}{4} + 2q^2 = 1$
$2q^2 = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$
$q^2 = \frac{3}{8}$।
अब,$p^2q^2 = \frac{1}{4}$ का उपयोग करके $p^2$ ज्ञात करें:
$p^2(\frac{3}{8}) = \frac{1}{4}$
$p^2 = \frac{1}{4} \times \frac{8}{3} = \frac{2}{3}$।
अंत में,अनुपात $p^2 : q^2 = \frac{2}{3} : \frac{3}{8} = \frac{2}{3} \times \frac{8}{3} = \frac{16}{9}$।

(D) दिए गए समीकरण $2l + m + 2n = 0$ $(1)$ और $3l^2 + 5m^2 - 11n^2 = 0$ $(2)$ हैं।
$(1)$ से,$m = -2l - 2n$.
$m$ का मान $(2)$ में प्रतिस्थापित करने पर: $3l^2 + 5(-2l - 2n)^2 - 11n^2 = 0$.
$3l^2 + 5(4l^2 + 8ln + 4n^2) - 11n^2 = 0$.
$3l^2 + 20l^2 + 40ln + 20n^2 - 11n^2 = 0$.
$23l^2 + 40ln + 9n^2 = 0$.
$n^2$ से भाग देने पर: $23(\frac{l}{n})^2 + 40(\frac{l}{n}) + 9 = 0$.
मान लीजिए $x = \frac{l}{n}$. तब $23x^2 + 40x + 9 = 0$.
मान लीजिए मूल $x_1 = \frac{l_1}{n_1}$ और $x_2 = \frac{l_2}{n_2}$ हैं।
तब $x_1 x_2 = \frac{l_1 l_2}{n_1 n_2} = \frac{9}{23}$.
इसी प्रकार,$l = -\frac{m+2n}{2}$ को $(2)$ में रखने पर $23m^2 + 12mn - 32n^2 = 0$ प्राप्त होता है।
$n^2$ से भाग देने पर,$23(\frac{m}{n})^2 + 12(\frac{m}{n}) - 32 = 0$.
मान लीजिए $y_1 = \frac{m_1}{n_1}$ और $y_2 = \frac{m_2}{n_2}$. तब $y_1 y_2 = \frac{m_1 m_2}{n_1 n_2} = -\frac{32}{23}$.
दो रेखाओं के लिए जिनके दिक्-अनुपात $(l_1, m_1, n_1)$ और $(l_2, m_2, n_2)$ हैं,$\cos \theta = |l_1 l_2 + m_1 m_2 + n_1 n_2|$.
$l_1 l_2 + m_1 m_2 + n_1 n_2 = n_1 n_2 (x_1 x_2 + y_1 y_2 + 1) = n_1 n_2 (\frac{9}{23} - \frac{32}{23} + 1) = n_1 n_2 (\frac{-23}{23} + 1) = 0$.
अतः,$\cos \theta = 0$,जिसका अर्थ है कि $\theta = \frac{\pi}{2}$।

(C) माना समतल का समीकरण $a(x - 2) + b(y - 3) + c(z - 5) = 0$ है।
चूंकि समतल $(-3, -5, -7)$ से गुजरता है,हमारे पास $a(-3 - 2) + b(-5 - 3) + c(-7 - 5) = 0$ है,जो $-5a - 8b - 12c = 0$ या $5a + 8b + 12c = 0$ में सरल हो जाता है।
समतल $x - y + z = 1$ के लंबवत है,इसलिए अभिलंब सदिश $(a, b, c)$,$(1, -1, 1)$ के लंबवत है। अतः,$a - b + c = 0$,जिसका अर्थ है $a = b - c$।
$a = b - c$ को $5a + 8b + 12c = 0$ में प्रतिस्थापित करने पर,हमें $5(b - c) + 8b + 12c = 0$ प्राप्त होता है,इसलिए $13b + 7c = 0$।
माना $b = 7$,तो $c = -13$ और $a = 7 - (-13) = 20$।
समतल का समीकरण $20(x - 2) + 7(y - 3) - 13(z - 5) = 0$ है,जो $20x + 7y - 13z + 4 = 0$ में सरल हो जाता है।
विकल्पों की जाँच करने पर: $(1, 4, 4)$ के लिए,$20(1) + 7(4) - 13(4) + 4 = 20 + 28 - 52 + 4 = 0$।
अतः,बिंदु $(1, 4, 4)$ समतल पर स्थित है।

(C) एक बिंदु $\vec{a} = x_1 \bar{i} + y_1 \bar{j} + z_1 \bar{k}$ से गुजरने वाली और सदिश $\vec{b} = a \bar{i} + b \bar{j} + c \bar{k}$ के समानांतर रेखा का समीकरण $\frac{x-x_1}{a} = \frac{y-y_1}{b} = \frac{z-z_1}{c}$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया बिंदु $(1, -2, 1)$ है,इसलिए $x_1 = 1, y_1 = -2, z_1 = 1$ है।
दिया गया समानांतर सदिश $\bar{i} + \bar{j} + 3 \bar{k}$ है,इसलिए $a = 1, b = 1, c = 3$ है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर,हमें $\frac{x-1}{1} = \frac{y-(-2)}{1} = \frac{z-1}{3}$ प्राप्त होता है।
यह सरल होकर $\frac{x-1}{1} = \frac{y+2}{1} = \frac{z-1}{3}$ हो जाता है।

(A) मान लीजिए कि दो रेखाएँ $L_1$ और $L_2$ हैं। रेखा $L_1$ का समीकरण $\vec{r} = \vec{a}_1 + \lambda \vec{b}_1$ है,जहाँ $\vec{a}_1 = \hat{i} + 2\hat{j} + 3\hat{k}$ और $\vec{b}_1 = 2\hat{i} + 3\hat{j} + 4\hat{k}$ है।
रेखा $L_2$ का समीकरण $\vec{r} = \vec{a}_2 + \mu \vec{b}_2$ है,जहाँ $\vec{a}_2 = 2\hat{i} + 4\hat{j} + 5\hat{k}$ और $\vec{b}_2 = 3\hat{i} + 4\hat{j} + 5\hat{k}$ है।
दो विषम रेखाओं के बीच की न्यूनतम दूरी $d = \frac{|(\vec{a}_2 - \vec{a}_1) \cdot (\vec{b}_1 \times \vec{b}_2)|}{|\vec{b}_1 \times \vec{b}_2|}$ द्वारा दी जाती है।
सबसे पहले,$\vec{a}_2 - \vec{a}_1 = (2-1)\hat{i} + (4-2)\hat{j} + (5-3)\hat{k} = \hat{i} + 2\hat{j} + 2\hat{k}$ की गणना करें।
इसके बाद,$\vec{b}_1 \times \vec{b}_2 = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & 3 & 4 \\ 3 & 4 & 5 \end{vmatrix} = \hat{i}(15-16) - \hat{j}(10-12) + \hat{k}(8-9) = -\hat{i} + 2\hat{j} - \hat{k}$ की गणना करें।
इसका परिमाण $|\vec{b}_1 \times \vec{b}_2| = \sqrt{(-1)^2 + 2^2 + (-1)^2} = \sqrt{6}$ है।
अब,अदिश गुणनफल $(\vec{a}_2 - \vec{a}_1) \cdot (\vec{b}_1 \times \vec{b}_2) = (1)(-1) + (2)(2) + (2)(-1) = 1$ है।
अतः,न्यूनतम दूरी $d = \frac{|1|}{\sqrt{6}} = \frac{1}{\sqrt{6}}$ है।

(D) माना बिंदु $P(2,3,-1)$ और $Q(3,5,-3)$ हैं। रेखा $PQ$ के दिक अनुपात $(3-2, 5-3, -3-(-1)) = (1, 2, -2)$ हैं।
माना बिंदु $A(1,2,3)$ और $B(\alpha, \beta, \gamma)$ हैं। रेखा $AB$ के दिक अनुपात $(\alpha-1, \beta-2, \gamma-3)$ हैं।
चूंकि रेखाएं लंबवत हैं,इसलिए उनके दिक अनुपातों का डॉट गुणनफल शून्य होना चाहिए:
$1(\alpha-1) + 2(\beta-2) - 2(\gamma-3) = 0$
$\alpha - 1 + 2\beta - 4 - 2\gamma + 6 = 0$
$\alpha + 2\beta - 2\gamma + 1 = 0$.
अब,हम विकल्पों की जांच करते हैं:
विकल्प $D(3,5,7)$ के लिए: $3 + 2(5) - 2(7) + 1 = 3 + 10 - 14 + 1 = 0$.
अतः,विकल्प $D$ सही है।

(B) $\triangle ABC$ के शीर्ष $A(1, 8, 4)$,$B(0, -11, 4)$ और $C(2, -3, 1)$ हैं।
सबसे पहले,$B(0, -11, 4)$ और $C(2, -3, 1)$ से गुजरने वाली रेखा $BC$ का समीकरण ज्ञात कीजिए।
$BC$ के दिक अनुपात $(2-0, -3-(-11), 1-4) = (2, 8, -3)$ हैं।
रेखा $BC$ का समीकरण $\frac{x-0}{2} = \frac{y+11}{8} = \frac{z-4}{-3} = \lambda$ है।
रेखा $BC$ पर स्थित किसी भी बिंदु $D$ को $(2\lambda, 8\lambda - 11, -3\lambda + 4)$ के रूप में दर्शाया जा सकता है।
चूंकि $AD \perp BC$,सदिश $\vec{AD}$ और $BC$ के दिक सदिश का अदिश गुणनफल शून्य होना चाहिए।
सदिश $\vec{AD} = (2\lambda - 1, 8\lambda - 11 - 8, -3\lambda + 4 - 4) = (2\lambda - 1, 8\lambda - 19, -3\lambda)$ है।
$BC$ का दिक सदिश $\vec{v} = (2, 8, -3)$ है।
$\vec{AD} \cdot \vec{v} = 0$ रखने पर:
$2(2\lambda - 1) + 8(8\lambda - 19) + (-3)(-3\lambda) = 0$
$4\lambda - 2 + 64\lambda - 152 + 9\lambda = 0$
$77\lambda - 154 = 0$
$77\lambda = 154 \implies \lambda = 2$.
$D$ के निर्देशांकों में $\lambda = 2$ रखने पर:
$D = (2(2), 8(2) - 11, -3(2) + 4) = (4, 16 - 11, -6 + 4) = (4, 5, -2)$.

(C) बिंदु $A(3, -2, 1)$ से गुजरने वाले और अभिलंब सदिश $\vec{n} = 4\hat{i} + 7\hat{j} - 4\hat{k}$ वाले समतल का समीकरण $\vec{n} \cdot (\vec{r} - \vec{a}) = 0$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर,हमें $4(x - 3) + 7(y + 2) - 4(z - 1) = 0$ प्राप्त होता है।
इसे सरल करने पर,$4x - 12 + 7y + 14 - 4z + 4 = 0$,जो $4x + 7y - 4z + 6 = 0$ देता है।
बिंदु $P(x_1, y_1, z_1)$ से समतल $ax + by + cz + d = 0$ पर लंब की लंबाई $L = \frac{|ax_1 + by_1 + cz_1 + d|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}$ द्वारा दी जाती है।
यहाँ,$P = (1, 2, -1)$ और समतल $4x + 7y - 4z + 6 = 0$ है।
इन मानों को रखने पर,$L = \frac{|4(1) + 7(2) - 4(-1) + 6|}{\sqrt{4^2 + 7^2 + (-4)^2}}$।
$L = \frac{|4 + 14 + 4 + 6|}{\sqrt{16 + 49 + 16}} = \frac{|28|}{\sqrt{81}} = \frac{28}{9}$।
अतः,$PM$ की लंबाई $\frac{28}{9}$ इकाई है।

(C) अभीष्ट समतल का अभिलंब सदिश $\vec{n}$,दिए गए समतलों के अभिलंब सदिशों $\vec{n}_1 = (2, -2, 1)$ और $\vec{n}_2 = (1, -1, 2)$ के लंबवत है।
अतः,$\vec{n} = \vec{n}_1 \times \vec{n}_2 = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & -2 & 1 \\ 1 & -1 & 2 \end{vmatrix} = \hat{i}(-4 + 1) - \hat{j}(4 - 1) + \hat{k}(-2 + 2) = -3\hat{i} - 3\hat{j} + 0\hat{k}$.
हम अभिलंब सदिश को $\vec{n} = (1, 1, 0)$ ले सकते हैं।
बिंदु $(1, -2, 1)$ से गुजरने वाले समतल का समीकरण $1(x - 1) + 1(y + 2) + 0(z - 1) = 0$ है,जो $x + y + 1 = 0$ में सरल हो जाता है।
बिंदु $(1, 2, 2)$ से समतल $x + y + 1 = 0$ की दूरी $d = \frac{|1(1) + 1(2) + 0(2) + 1|}{\sqrt{1^2 + 1^2 + 0^2}} = \frac{|1 + 2 + 1|}{\sqrt{2}} = \frac{4}{\sqrt{2}} = 2\sqrt{2}$ है।

(C) माना समतल $\pi$ का समीकरण $a(x-2) + b(y-0) + c(z-1) = 0$ है,जिसे $ax + by + cz = 2a + c$ के रूप में लिखा जा सकता है।
चूंकि समतल $(3, -3, 4)$ से गुजरता है,हमारे पास $3a - 3b + 4c = 2a + c$ है,जो $a - 3b + 3c = 0$ देता है।
चूंकि समतल $\pi$,$x - 2y + z = 6$ के लंबवत है,इसलिए उनके अभिलंब सदिश लंबवत हैं,अतः $a(1) + b(-2) + c(1) = 0$,जो $a - 2b + c = 0$ देता है।
समीकरणों को हल करने पर:
$a - 3b + 3c = 0$
$a - 2b + c = 0$
घटाने पर: $(-3b - (-2b)) + (3c - c) = 0 \implies -b + 2c = 0 \implies b = 2c$।
$b = 2c$ को $a - 2b + c = 0$ में रखने पर: $a - 2(2c) + c = 0 \implies a - 3c = 0 \implies a = 3c$।
$c = 1$ रखने पर,हमें $a = 3$ और $b = 2$ प्राप्त होता है।
समतल $\pi$ का समीकरण $3x + 2y + z = 7$ है।
एक समतल $\pi$ के लंबवत होता है यदि उसका अभिलंब सदिश $\pi$ के अभिलंब सदिश $(3, 2, 1)$ के लंबवत हो।
विकल्प $C$ की जाँच करने पर: अभिलंब सदिश $(1, -1, -1)$ है।
अदिश गुणनफल: $(3)(1) + (2)(-1) + (1)(-1) = 3 - 2 - 1 = 0$।
चूंकि अदिश गुणनफल $0$ है,इसलिए समतल $x - y - z + 1 = 0$,$\pi$ के लंबवत है।

(A) माना समतल का समीकरण $ax + by + cz = d$ है। समतल का अभिलंब सदिश मूल बिंदु $(0, 0, 0)$ से लंब के पाद $(2, -3, 6)$ तक का सदिश है।
अतः,अभिलंब सदिश $\vec{n} = (2, -3, 6)$ है।
समतल का समीकरण $2x - 3y + 6z = d$ होगा।
चूंकि बिंदु $(2, -3, 6)$ समतल पर स्थित है,हम इन निर्देशांकों को समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं:
$2(2) - 3(-3) + 6(6) = d$
$4 + 9 + 36 = d$
$d = 49$.
इसलिए,समतल का समीकरण $2x - 3y + 6z = 49$ है,जिसे $2x - 3y + 6z - 49 = 0$ के रूप में लिखा जा सकता है।

(D) सदिशों $\hat{j}-\hat{k}$ और $3\hat{j}-2\hat{k}$ द्वारा निर्धारित समतल $P_1$ का अभिलंब $\vec{n}_1$ इस प्रकार है:
$\vec{n}_1 = (\hat{j}-\hat{k}) \times (3\hat{j}-2\hat{k}) = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 0 & 1 & -1 \\ 0 & 3 & -2 \end{vmatrix} = \hat{i}(-2+3) = \hat{i}$.
सदिशों $2\hat{i}+3\hat{j}$ और $\hat{i}-3\hat{j}$ द्वारा निर्धारित समतल $P_2$ का अभिलंब $\vec{n}_2$ इस प्रकार है:
$\vec{n}_2 = (2\hat{i}+3\hat{j}) \times (\hat{i}-3\hat{j}) = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & 3 & 0 \\ 1 & -3 & 0 \end{vmatrix} = \hat{k}(-6-3) = -9\hat{k}$.
चूंकि $\vec{a}$ समतलों $P_1$ और $P_2$ की प्रतिच्छेदन रेखा के समांतर है,इसलिए यह $\vec{n}_1 \times \vec{n}_2$ के समांतर है:
$\vec{a} = k(\vec{n}_1 \times \vec{n}_2) = k(\hat{i} \times -9\hat{k}) = k(9\hat{j}) = 9k\hat{j}$.
हम $\vec{a} = \pm\hat{j}$ ले सकते हैं।
$\vec{a} = \hat{j}$ और $\vec{b} = \hat{i}+\hat{j}+\hat{k}$ के बीच का कोण $\theta$ इस प्रकार है:
$\cos \theta = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| |\vec{b}|} = \frac{1}{1 \cdot \sqrt{1^2+1^2+1^2}} = \frac{1}{\sqrt{3}}$.
दिशा $\vec{a} = -\hat{j}$ को ध्यान में रखते हुए,हमें $\cos \theta = -\frac{1}{\sqrt{3}}$ प्राप्त होता है।
अतः,$\theta = \cos^{-1}\left(\pm\frac{1}{\sqrt{3}}\right)$.

(B) माना अभीष्ट समतल के अभिलंब के दिक अनुपात $\langle a, b, c \rangle$ हैं।
चूंकि समतल $(4,4,0)$ से गुजरता है,इसका समीकरण $a(x-4) + b(y-4) + c(z-0) = 0$ है।
यह समतल $2x+y+2z+3=0$ और $3x+3y+2z-8=0$ के लंबवत है।
अतः,अभिलंब सदिश $\vec{n} = \langle a, b, c \rangle$ दिए गए समतलों के अभिलंबों $\vec{n_1} = \langle 2, 1, 2 \rangle$ और $\vec{n_2} = \langle 3, 3, 2 \rangle$ के लंबवत है।
इसलिए,$\vec{n} = \vec{n_1} \times \vec{n_2} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & 1 & 2 \\ 3 & 3 & 2 \end{vmatrix} = \hat{i}(2-6) - \hat{j}(4-6) + \hat{k}(6-3) = -4\hat{i} + 2\hat{j} + 3\hat{k}$.
अतः,दिक अनुपात $\langle -4, 2, 3 \rangle$ हैं।
समतल का समीकरण $-4(x-4) + 2(y-4) + 3(z-0) = 0$ होगा।
$-4x + 16 + 2y - 8 + 3z = 0$.
$-4x + 2y + 3z + 8 = 0$,जिसे सरल करने पर $4x - 2y - 3z = 8$ प्राप्त होता है।

(D) मान लीजिए कि बिंदुओं $A, B$,और $C$ के स्थिति सदिश क्रमशः $\vec{p} = \bar{a}+\bar{b}$,$\vec{q} = \bar{a}-\bar{b}$,और $\vec{r} = \bar{a}+k\bar{b}$ हैं।
बिंदुओं के संरेख होने के लिए,सदिश $\vec{AB}$ और $\vec{BC}$ समांतर होने चाहिए।
$\vec{AB} = \vec{q} - \vec{p} = (\bar{a}-\bar{b}) - (\bar{a}+\bar{b}) = -2\bar{b}$.
$\vec{BC} = \vec{r} - \vec{q} = (\bar{a}+k\bar{b}) - (\bar{a}-\bar{b}) = (k+1)\bar{b}$.
चूंकि $\vec{AB}$ और $\vec{BC}$ दोनों सदिश $\bar{b}$ के अदिश गुणज हैं,इसलिए वे $k$ के किसी भी वास्तविक मान के लिए समांतर हैं।
विशेष रूप से,$k \neq -1$ के लिए $\vec{AB} = \left( \frac{-2}{k+1} \right) \vec{BC}$ होता है।
यदि $k = -1$ है,तो $\vec{BC} = 0$ हो जाता है,जिसका अर्थ है कि बिंदु $C$ बिंदु $B$ पर संपाती हो जाता है,और बिंदुओं को अभी भी संरेख माना जाता है।
अतः,$k$ के सभी वास्तविक मानों के लिए ये बिंदु संरेख हैं।

(D) मान लीजिए कि चार बिंदुओं के स्थिति सदिश $\vec{a} = 3\hat{i}-2\hat{j}-\hat{k}$,$\vec{b} = 2\hat{i}+3\hat{j}-4\hat{k}$,$\vec{c} = -\hat{i}+\hat{j}+2\hat{k}$,और $\vec{d} = 4\hat{i}+5\hat{j}+\lambda\hat{k}$ हैं।
चार बिंदुओं के समतलीय होने के लिए,सदिशों $\vec{AB}$,$\vec{AC}$,और $\vec{AD}$ का अदिश त्रिक गुणनफल शून्य होना चाहिए।
सबसे पहले,सदिशों की गणना करें:
$\vec{AB} = \vec{b} - \vec{a} = -\hat{i} + 5\hat{j} - 3\hat{k}$
$\vec{AC} = \vec{c} - \vec{a} = -4\hat{i} + 3\hat{j} + 3\hat{k}$
$\vec{AD} = \vec{d} - \vec{a} = \hat{i} + 7\hat{j} + (\lambda+1)\hat{k}$
अब,इन सदिशों के सारणिक को शून्य के बराबर रखें:
$\begin{vmatrix} -1 & 5 & -3 \\ -4 & 3 & 3 \\ 1 & 7 & \lambda+1 \end{vmatrix} = 0$
पहली पंक्ति के अनुदिश विस्तार करने पर:
$-1(3(\lambda+1) - 21) - 5(-4(\lambda+1) - 3) - 3(-28 - 3) = 0$
$-1(3\lambda + 3 - 21) - 5(-4\lambda - 4 - 3) - 3(-31) = 0$
$-3\lambda + 18 + 20\lambda + 35 + 93 = 0$
$17\lambda + 146 = 0$
$\lambda = -\frac{146}{17}$

(B) समतल रेखाखंड $AB$ पर लंब है और उसके मध्यबिंदु से होकर गुजरता है।
सबसे पहले,रेखाखंड $AB$ का मध्यबिंदु $M$ ज्ञात करें:
$M = \left( \frac{2 + (-4)}{2}, \frac{3 + 1}{2}, \frac{4 + (-2)}{2} \right) = (-1, 2, 1)$.
इसके बाद,समतल का अभिलंब सदिश $\vec{n}$ ज्ञात करें,जो सदिश $\vec{AB}$ है:
$\vec{n} = \vec{AB} = (-4 - 2, 1 - 3, -2 - 4) = (-6, -2, -6)$.
अभिलंब सदिश को $-2$ से विभाजित करके सरल किया जा सकता है:
$\vec{n}' = (3, 1, 3)$.
$(x_0, y_0, z_0)$ से गुजरने वाले और $(a, b, c)$ अभिलंब वाले समतल का समीकरण $a(x - x_0) + b(y - y_0) + c(z - z_0) = 0$ होता है।
मान रखने पर:
$3(x - (-1)) + 1(y - 2) + 3(z - 1) = 0$
$3(x + 1) + (y - 2) + 3(z - 1) = 0$
$3x + 3 + y - 2 + 3z - 3 = 0$
$3x + y + 3z - 2 = 0$.
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(D) माना $P(A) = \frac{2}{3}$ और $P(B) = \frac{3}{4}$ है।
यह मानते हुए कि घटनाएँ स्वतंत्र हैं,दोनों में उत्तीर्ण होने की प्रायिकता $P(A \cap B) = P(A) \times P(B) = \frac{2}{3} \times \frac{3}{4} = \frac{1}{2}$ है।
कम से कम एक में उत्तीर्ण होने की प्रायिकता $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) = \frac{2}{3} + \frac{3}{4} - \frac{1}{2} = \frac{8+9-6}{12} = \frac{11}{12}$ है।
हमें सप्रतिबंध प्रायिकता $P(A \cap B | A \cup B) = \frac{P(A \cap B)}{P(A \cup B)}$ ज्ञात करनी है।
मान रखने पर,हमें $\frac{1/2}{11/12} = \frac{1}{2} \times \frac{12}{11} = \frac{6}{11}$ प्राप्त होता है।

(D) माना $X$ एक पासे को $(2n+1)$ बार फेंकने पर $1, 3,$ या $4$ प्राप्त करने की संख्या है। एक बार फेंकने पर सफलता की प्रायिकता $p = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$ है।
असफलता की प्रायिकता $q = 1 - p = \frac{1}{2}$ है।
चूंकि पासे को $(2n+1)$ बार फेंका जाता है,$X$ द्विपद बंटन $B(2n+1, \frac{1}{2})$ का पालन करता है।
हमें $P(X \le n) = \sum_{k=0}^{n} \binom{2n+1}{k} (\frac{1}{2})^{2n+1}$ ज्ञात करना है।
द्विपद गुणांकों के गुण का उपयोग करते हुए,$\sum_{k=0}^{n} \binom{2n+1}{k} = \sum_{k=n+1}^{2n+1} \binom{2n+1}{k} = \frac{1}{2} \times 2^{2n+1} = 2^{2n}$ है।
अतः,$P(X \le n) = 2^{2n} \times (\frac{1}{2})^{2n+1} = \frac{2^{2n}}{2^{2n+1}} = \frac{1}{2}$.

(B) माना $E_1$ वह घटना है कि पासे पर $1$ या $2$ आता है,और $E_2$ वह घटना है कि पासे पर $3, 4, 5,$ या $6$ आता है।
$P(E_1) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$ और $P(E_2) = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$ है।
माना $B$ वह घटना है कि एक काली गेंद निकाली जाती है।
पहले बक्से में $4$ काली,$2$ सफेद और $6$ लाल गेंदें हैं (कुल $12$)। अतः,$P(B|E_1) = \frac{4}{12} = \frac{1}{3}$ है।
दूसरे बक्से में $3$ काली और $5$ सफेद गेंदें हैं (कुल $8$)। अतः,$P(B|E_2) = \frac{3}{8}$ है।
बेयस प्रमेय के अनुसार,$P(E_1|B) = \frac{P(E_1)P(B|E_1)}{P(E_1)P(B|E_1) + P(E_2)P(B|E_2)} = \frac{(1/3)(1/3)}{(1/3)(1/3) + (2/3)(3/8)} = \frac{1/9}{13/36} = \frac{4}{13}$ है।
पासे पर $2$ आने की प्रायिकता $P(2|E_1) = \frac{1}{2}$ है।
अतः,यदि गेंद काली है तो पासे पर $2$ आने की प्रायिकता $P(2|B) = P(2|E_1) \times P(E_1|B) = \frac{1}{2} \times \frac{4}{13} = \frac{2}{13}$ है।

(B) दिया गया है: $P(A)=0.6$,$P(B)=0.3$ और $P(A \mid B)=0.5$.
सबसे पहले,$P(A \cap B) = P(A \mid B) \times P(B)$ सूत्र का उपयोग करके $P(A \cap B)$ ज्ञात करें।
$P(A \cap B) = 0.5 \times 0.3 = 0.15$.
हमें $P(\bar{B} \mid \bar{A}) = \frac{P(\bar{B} \cap \bar{A})}{P(\bar{A})}$ ज्ञात करना है।
डी मॉर्गन के नियम का उपयोग करते हुए,$P(\bar{B} \cap \bar{A}) = P(\overline{A \cup B}) = 1 - P(A \cup B)$.
$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) = 0.6 + 0.3 - 0.15 = 0.75$.
अतः,$P(\bar{B} \cap \bar{A}) = 1 - 0.75 = 0.25$.
साथ ही,$P(\bar{A}) = 1 - P(A) = 1 - 0.6 = 0.4$.
इसलिए,$P(\bar{B} \mid \bar{A}) = \frac{0.25}{0.4} = \frac{25}{40} = 0.625$.

(D) दिया गया है कि $P(E_1) = \frac{1}{4}$ और $P(E_2 \mid E_1) = \frac{1}{2}$ है।
सप्रतिबंध प्रायिकता की परिभाषा का उपयोग करते हुए,$P(E_1 \cap E_2) = P(E_1) \times P(E_2 \mid E_1) = \frac{1}{4} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{8}$।
हमें $P(E_1 \mid E_2) = \frac{1}{4}$ भी दिया गया है।
परिभाषा के अनुसार,$P(E_1 \mid E_2) = \frac{P(E_1 \cap E_2)}{P(E_2)}$,इसलिए $\frac{1}{4} = \frac{1/8}{P(E_2)}$।
इससे $P(E_2) = \frac{1/8}{1/4} = \frac{1}{2}$ प्राप्त होता है।
हमें $P(\bar{E}_1 \mid E_2)$ ज्ञात करना है।
सप्रतिबंध प्रायिकता के गुणधर्म का उपयोग करते हुए,$P(\bar{E}_1 \mid E_2) = 1 - P(E_1 \mid E_2)$।
दिए गए मान को रखने पर,$P(\bar{E}_1 \mid E_2) = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$।

(C) जब दो सिक्के उछाले जाते हैं,तो प्रतिदर्श समष्टि $S = \{HH, HT, TH, TT\}$ होती है। कुल परिणामों की संख्या $4$ है।
मान लीजिए $X$ पुरस्कार राशि का यादृच्छिक चर है।
संभावित परिणाम इस प्रकार हैं:
$1$. दो चित $(HH)$: $P(X = 2) = 1/4$. पुरस्कार = $Rs. 2$.
$2$. एक चित ($HT$ या $TH$): $P(X = 1) = 2/4 = 1/2$. पुरस्कार = $Rs. 1$.
$3$. कोई चित नहीं $(TT)$: $P(X = -3) = 1/4$. पुरस्कार = $-Rs. 3$ (हानि)।
माध्य (अपेक्षित मान) $E(X)$ की गणना इस प्रकार की जाती है:
$E(X) = \sum x_i p_i$
$E(X) = (2 \times 1/4) + (1 \times 1/2) + (-3 \times 1/4)$
$E(X) = 2/4 + 1/2 - 3/4$
$E(X) = 1/2 + 1/2 - 3/4 = 1 - 3/4 = 1/4$.
अतः,पुरस्कार राशि का माध्य $1/4$ है।

(A) मान लीजिए $W$ सफेद कंचों को और $B$ काले कंचों को दर्शाता है। थैली $P$ में $5W$ और $3B$ हैं। चार कंचे थैली $Q$ में स्थानांतरित किए जाते हैं।
मान लीजिए $E_1$ वह घटना है कि $1W$ और $3B$ स्थानांतरित किए गए हैं।
मान लीजिए $E_2$ वह घटना है कि $2W$ और $2B$ स्थानांतरित किए गए हैं।
मान लीजिए $E_3$ वह घटना है कि $3W$ और $1B$ स्थानांतरित किए गए हैं।
मान लीजिए $E_4$ वह घटना है कि $4W$ और $0B$ स्थानांतरित किए गए हैं।
मान लीजिए $A$ वह घटना है कि थैली $Q$ से एक काला कंचा निकाला जाता है।
$8$ में से $4$ कंचे चुनने के कुल तरीके $^8C_4 = 70$ हैं।
$P(E_1) = \frac{^5C_1 \times ^3C_3}{70} = \frac{5 \times 1}{70} = \frac{5}{70}$
$P(E_2) = \frac{^5C_2 \times ^3C_2}{70} = \frac{10 \times 3}{70} = \frac{30}{70}$
$P(E_3) = \frac{^5C_3 \times ^3C_1}{70} = \frac{10 \times 3}{70} = \frac{30}{70}$
$P(E_4) = \frac{^5C_4 \times ^3C_0}{70} = \frac{5 \times 1}{70} = \frac{5}{70}$
$Q$ से काला कंचा निकालने की सशर्त प्रायिकताएँ हैं:
$P(A|E_1) = \frac{3}{4}, P(A|E_2) = \frac{2}{4}, P(A|E_3) = \frac{1}{4}, P(A|E_4) = 0$.
बेयस प्रमेय का उपयोग करके,हम $P(E_1|A)$ ज्ञात करते हैं:
$P(E_1|A) = \frac{P(E_1)P(A|E_1)}{\sum_{i=1}^4 P(E_i)P(A|E_i)}$
$P(E_1|A) = \frac{\frac{5}{70} \times \frac{3}{4}}{\frac{5}{70} \times \frac{3}{4} + \frac{30}{70} \times \frac{2}{4} + \frac{30}{70} \times \frac{1}{4} + \frac{5}{70} \times 0}$
$P(E_1|A) = \frac{15}{15 + 60 + 30 + 0} = \frac{15}{105} = \frac{1}{7}$.

(D) द्विपद वितरण $X \sim B(n, p)$ के लिए,प्रायिकता द्रव्यमान फलन $P(X=k) = \binom{n}{k} p^k q^{n-k}$ है,जहाँ $q = 1-p$ है।
दिया गया है कि $n=7$ और $P(X=3) = P(X=4)$:
$\binom{7}{3} p^3 q^4 = \binom{7}{4} p^4 q^3$
चूँकि $\binom{7}{3} = \binom{7}{4} = 35$,इसलिए $35 p^3 q^4 = 35 p^4 q^3$ है।
दोनों पक्षों को $35 p^3 q^3$ से विभाजित करने पर ($p, q \neq 0$ मानते हुए),हमें $q = p$ प्राप्त होता है।
चूँकि $p+q=1$ है,इसलिए $p = q = \frac{1}{2}$ होगा।
अब,$P(X=5)$ की गणना करते हैं:
$P(X=5) = \binom{7}{5} (\frac{1}{2})^5 (\frac{1}{2})^{7-5} = \binom{7}{5} (\frac{1}{2})^7$ है।
$\binom{7}{5} = \binom{7}{2} = \frac{7 \times 6}{2} = 21$ है।
अतः,$P(X=5) = 21 \times \frac{1}{2^7} = \frac{21}{2^7}$।

(A) माध्य $E(X) = \sum x_i P(x_i) = (-3 \times \frac{1}{6}) + (6 \times \frac{1}{2}) + (9 \times \frac{1}{3}) = -0.5 + 3 + 3 = 5.5 = \frac{11}{2}$.
$E(X^2) = \sum x_i^2 P(x_i) = ((-3)^2 \times \frac{1}{6}) + (6^2 \times \frac{1}{2}) + (9^2 \times \frac{1}{3}) = 1.5 + 18 + 27 = 46.5 = \frac{93}{2}$.
प्रसरण $Var(X) = E(X^2) - [E(X)]^2 = \frac{93}{2} - (\frac{11}{2})^2 = \frac{93}{2} - \frac{121}{4} = \frac{65}{4}$.

(C) प्रायिकता वितरण के लिए,सभी प्रायिकताओं का योग $1$ के बराबर होना चाहिए।
दिया गया है $P(X=k) = \frac{3^{ck}}{k!}$ जहाँ $k = 1, 2, 3, \ldots$,इसलिए:
$\sum_{k=1}^{\infty} P(X=k) = \sum_{k=1}^{\infty} \frac{(3^c)^k}{k!} = 1$.
घातांकीय फलन के लिए टेलर श्रेणी विस्तार को याद करें: $e^x = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{x^k}{k!} = 1 + \sum_{k=1}^{\infty} \frac{x^k}{k!}$.
अतः,$\sum_{k=1}^{\infty} \frac{x^k}{k!} = e^x - 1$.
$x = 3^c$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$e^{3^c} - 1 = 1$,जिसका अर्थ है $e^{3^c} = 2$.
दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लेने पर:
$3^c = \log_e 2$.
दोनों पक्षों का आधार $3$ पर लघुगणक लेने पर:
$c = \log_3(\log_e 2)$.
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(C) माध्य $\lambda = 2$ वाले पॉइसन वितरण के लिए,प्रायिकता द्रव्यमान फलन $P(X = k) = \frac{e^{-\lambda} \lambda^k}{k!} = \frac{e^{-2} 2^k}{k!}$ द्वारा दिया जाता है।
हमें $P(X > \frac{3}{2})$ ज्ञात करना है। चूँकि $X$ केवल गैर-ऋणात्मक पूर्णांक मान लेता है,इसलिए $X > \frac{3}{2}$ का अर्थ $X \geq 2$ है।
पूरक नियम का उपयोग करते हुए,$P(X \geq 2) = 1 - P(X < 2) = 1 - [P(X = 0) + P(X = 1)]$.
व्यक्तिगत प्रायिकताओं की गणना:
$P(X = 0) = \frac{e^{-2} 2^0}{0!} = e^{-2} = \frac{1}{e^2}$.
$P(X = 1) = \frac{e^{-2} 2^1}{1!} = 2e^{-2} = \frac{2}{e^2}$.
अतः,$P(X \geq 2) = 1 - [\frac{1}{e^2} + \frac{2}{e^2}] = 1 - \frac{3}{e^2} = \frac{e^2 - 3}{e^2}$.
इस प्रकार,सही विकल्प $C$ है।

(B) एक यादृच्छिक चर के सभी संभावित मानों के लिए प्रायिकताओं का योग $1$ होना चाहिए।
अतः,$\sum_{k=0}^{\infty} P(X=k) = 1$.
दिए गए व्यंजक को प्रतिस्थापित करने पर: $\sum_{k=0}^{\infty} \frac{(k+1)a}{3^k} = 1$.
$a$ को अचर लेने पर: $a \sum_{k=0}^{\infty} (k+1) \left(\frac{1}{3}\right)^k = 1$.
माना $S = \sum_{k=0}^{\infty} (k+1) x^k$ जहाँ $x = 1/3$.
यह एक अंकगणितीय-ज्यामितीय श्रेणी है: $S = 1 + 2x + 3x^2 + 4x^3 + \ldots$.
हम जानते हैं कि $\sum_{k=0}^{\infty} x^k = \frac{1}{1-x}$.
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $\sum_{k=1}^{\infty} k x^{k-1} = \frac{1}{(1-x)^2}$.
$x$ से गुणा करने पर: $\sum_{k=1}^{\infty} k x^k = \frac{x}{(1-x)^2}$.
अतः $S = \sum_{k=0}^{\infty} (k+1) x^k = \sum_{k=0}^{\infty} k x^k + \sum_{k=0}^{\infty} x^k = \frac{x}{(1-x)^2} + \frac{1}{1-x} = \frac{x + 1 - x}{(1-x)^2} = \frac{1}{(1-x)^2}$.
$x = 1/3$ के लिए,$S = \frac{1}{(1 - 1/3)^2} = \frac{1}{(2/3)^2} = \frac{1}{4/9} = 9/4$.
इसलिए,$a \times (9/4) = 1$,जिससे $a = 4/9$ प्राप्त होता है।

(A) मान लीजिए कि $n = 600$ बल्बों की खेप में खराब बल्बों की संख्या $X$ है।
बल्ब के खराब होने की प्रायिकता $p = \frac{1}{100} = 0.01$ है।
चूंकि $n$ बड़ा है और $p$ छोटा है,हम पॉइसन वितरण का उपयोग करेंगे जहाँ पैरामीटर $\lambda = np = 600 \times 0.01 = 6$ है।
$k$ खराब बल्ब होने की प्रायिकता $P(X = k) = \frac{e^{-\lambda} \lambda^k}{k!} = \frac{e^{-6} 6^k}{k!}$ द्वारा दी जाती है।
हमें कम से कम दो खराब बल्ब होने की प्रायिकता ज्ञात करनी है,जो $P(X \ge 2) = 1 - [P(X = 0) + P(X = 1)]$ है।
प्रायिकताओं की गणना करने पर:
$P(X = 0) = \frac{e^{-6} 6^0}{0!} = e^{-6}$.
$P(X = 1) = \frac{e^{-6} 6^1}{1!} = 6e^{-6}$.
अतः,$P(X \ge 2) = 1 - (e^{-6} + 6e^{-6}) = 1 - 7e^{-6}$.
सही विकल्प $A$ है।

(D) प्रायिकता वितरण के लिए,सभी प्रायिकताओं का योग $1$ होना चाहिए।
$\sum P(X=x) = \lambda + 2\lambda + 3\lambda + 4\lambda = 10\lambda = 1$.
अतः,$\lambda = \frac{1}{10}$.
अब,$\alpha$ और $\beta$ की गणना करें:
$\alpha = P(X < 3) = P(X=1) + P(X=2) = \lambda + 2\lambda = 3\lambda$.
$\beta = P(X > 2) = P(X=3) + P(X=4) = 3\lambda + 4\lambda = 7\lambda$.
इसलिए,अनुपात $\alpha : \beta = 3\lambda : 7\lambda = 3 : 7$ है।

(C) द्विपद बंटन के लिए,माध्य $np = \frac{4}{3}$ $(i)$ द्वारा और प्रसरण $npq = \frac{8}{9}$ $(ii)$ द्वारा दिया जाता है।
समीकरण $(ii)$ को समीकरण $(i)$ से विभाजित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{npq}{np} = \frac{8/9}{4/3} \implies q = \frac{8}{9} \times \frac{3}{4} = \frac{2}{3}$.
चूंकि $p + q = 1$,इसलिए $p = 1 - q = 1 - \frac{2}{3} = \frac{1}{3}$.
$p = \frac{1}{3}$ का मान समीकरण $(i)$ में रखने पर:
$n \times \frac{1}{3} = \frac{4}{3} \implies n = 4$.
द्विपद बंटन के लिए प्रायिकता द्रव्यमान फलन $P(X=k) = {}^nC_k p^k q^{n-k}$ है।
$k=2$ के लिए,$P(X=2) = {}^4C_2 \times (\frac{1}{3})^2 \times (\frac{2}{3})^{4-2}$.
$P(X=2) = 6 \times \frac{1}{9} \times \frac{4}{9} = \frac{24}{81} = \frac{8}{27}$.

(B) प्रायिकता वितरण के लिए,सभी प्रायिकताओं का योग $1$ होना चाहिए।
$\sum P(X = x_i) = k + 2k + 3k + 4k = 10k = 1 \implies k = 0.1$.
माध्य $\mu = E(X) = \sum x_i P(X = x_i) = (3 \times 0.1) + (5 \times 0.2) + (7 \times 0.3) + (9 \times 0.4) = 0.3 + 1.0 + 2.1 + 3.6 = 7.0$.
अब,$E(X^2) = \sum x_i^2 P(X = x_i) = (3^2 \times 0.1) + (5^2 \times 0.2) + (7^2 \times 0.3) + (9^2 \times 0.4) = (9 \times 0.1) + (25 \times 0.2) + (49 \times 0.3) + (81 \times 0.4) = 0.9 + 5.0 + 14.7 + 32.4 = 53.0$.
प्रसरण $\sigma^2 = E(X^2) - [E(X)]^2 = 53.0 - (7.0)^2 = 53.0 - 49.0 = 4.0$.
मानक विचलन $\sigma = \sqrt{\sigma^2} = \sqrt{4.0} = 2$.

(B) दिक्-अनुपातों $(l, m, n)$ के लिए दिए गए समीकरण $l+m+n=0$ और $l^2=m^2+n^2$ हैं।
$l+m+n=0$ से,हमें $l=-(m+n)$ प्राप्त होता है।
इसे $l^2=m^2+n^2$ में प्रतिस्थापित करने पर,$(-(m+n))^2 = m^2+n^2$ प्राप्त होता है।
$m^2+n^2+2mn = m^2+n^2$,जिसका अर्थ है $2mn=0$,अतः $mn=0$ है।
इससे दो स्थितियाँ प्राप्त होती हैं:
स्थिति $I$: $m=0$. तब $l=-n$. मान लीजिए दिक्-अनुपात $(k, 0, -k)$ हैं। इकाई सदिश $(\frac{1}{\sqrt{2}}, 0, -\frac{1}{\sqrt{2}})$ है।
स्थिति $II$: $n=0$. तब $l=-m$. मान लीजिए दिक्-अनुपात $(k, -k, 0)$ हैं। इकाई सदिश $(\frac{1}{\sqrt{2}}, -\frac{1}{\sqrt{2}}, 0)$ है।
मान लीजिए $\vec{a} = (\frac{1}{\sqrt{2}}, 0, -\frac{1}{\sqrt{2}})$ और $\vec{b} = (\frac{1}{\sqrt{2}}, -\frac{1}{\sqrt{2}}, 0)$ है।
उनके बीच के कोण $\theta$ का कोज्या (cosine) $\cos \theta = |\vec{a} \cdot \vec{b}|$ द्वारा दिया जाता है।
$\cos \theta = |(\frac{1}{\sqrt{2}})(\frac{1}{\sqrt{2}}) + (0)(-\frac{1}{\sqrt{2}}) + (-\frac{1}{\sqrt{2}})(0)| = |\frac{1}{2} + 0 + 0| = \frac{1}{2}$.
चूँकि $\cos \theta = \frac{1}{2}$,इसलिए $\theta = \frac{\pi}{3}$।

(C) दिक्-कोज्याओं $(l, m, n)$ के लिए दिए गए समीकरण हैं:
$l+m+n=0$ --- $(i)$
$l^2+m^2-n^2=0$ --- $(ii)$
$(i)$ से,$n = -(l+m)$।
इसे $(ii)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$l^2 + m^2 - (-(l+m))^2 = 0$
$l^2 + m^2 - (l^2 + m^2 + 2lm) = 0$
$-2lm = 0 \Rightarrow lm = 0$।
इसका अर्थ है कि या तो $l=0$ या $m=0$ है।
स्थिति $1$: यदि $l=0$ है,तो $(i)$ से,$m+n=0 \Rightarrow m=-n$। माना $m=1$,तो $n=-1$। दिक्-अनुपात $(0, 1, -1)$ हैं।
स्थिति $2$: यदि $m=0$ है,तो $(i)$ से,$l+n=0 \Rightarrow l=-n$। माना $l=1$,तो $n=-1$। दिक्-अनुपात $(1, 0, -1)$ हैं।
माना दो सदिश $\vec{a} = 0\hat{i} + 1\hat{j} - 1\hat{k}$ और $\vec{b} = 1\hat{i} + 0\hat{j} - 1\hat{k}$ हैं।
उनके बीच का कोण $\theta$ सूत्र $\cos \theta = \frac{|\vec{a} \cdot \vec{b}|}{|\vec{a}| |\vec{b}|}$ द्वारा दिया जाता है।
$\vec{a} \cdot \vec{b} = (0)(1) + (1)(0) + (-1)(-1) = 1$।
$|\vec{a}| = \sqrt{0^2 + 1^2 + (-1)^2} = \sqrt{2}$।
$|\vec{b}| = \sqrt{1^2 + 0^2 + (-1)^2} = \sqrt{2}$।
$\cos \theta = \frac{1}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{1}{2}$।
अतः,$\theta = \frac{\pi}{3}$।