एक बक्से में $4$ काले,$2$ सफेद और $6$ लाल गेंदें हैं। दूसरे बक्से में $3$ काले और $5$ सफेद गेंदें हैं। एक निष्पक्ष पासा फेंका जाता है। यदि पासे पर $1$ या $2$ आता है,तो पहले बक्से से गेंद निकाली जाती है; अन्यथा,दूसरे बक्से से गेंद निकाली जाती है। यदि निकाली गई गेंद काली है,तो पासे पर $2$ आने की प्रायिकता क्या है?

एक पात्र में दो सिक्के $A$ और $B$ रखे गए हैं। जब सिक्का $A$ उछाला जाता है,तो चित (head) आने की प्रायिकता $1/4$ है,जबकि सिक्के $B$ के लिए यह $3/4$ है। इस थैले से एक सिक्का यादृच्छिक रूप से चुना जाता है,दो बार उछाला जाता है,और दोनों बार चित आता है। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि यह सिक्का $A$ है:

$2$ थैले हैं जिनमें से प्रत्येक में $3$ सफेद और $5$ काली गेंदें हैं और $4$ थैले हैं जिनमें से प्रत्येक में $6$ सफेद और $4$ काली गेंदें हैं। यदि थैले से यादृच्छिक रूप से निकाली गई एक गेंद काली पाई जाती है,तो इस बात की प्रायिकता क्या है कि यह गेंद पहले थैलों के समूह से है?

एक छात्र $5$ विकल्पों वाले बहुविकल्पीय प्रश्न का उत्तर देता है,जिनमें से ठीक $1$ सही है। उसके सही उत्तर जानने की प्रायिकता $p$ है,जहाँ $0 < p < 1$ है। यदि वह सही उत्तर नहीं जानता है,तो वह यादृच्छिक रूप से $1$ उत्तर चुनता है। यदि उसने प्रश्न का उत्तर सही दिया है,तो इस बात की प्रायिकता कि उसने उत्तर यादृच्छिक रूप से नहीं चुना है,क्या है?

एक कारखाने में कुल तीन विनिर्माण इकाइयाँ $M_1, M_2$ और $M_3$ हैं,जो स्वतंत्र रूप से बल्बों का उत्पादन करती हैं। इकाइयाँ $M_1, M_2$ और $M_3$ क्रमशः $2: 2: 1$ के अनुपात में बल्बों का उत्पादन करती हैं। यह ज्ञात है कि कारखाने में उत्पादित $20\%$ बल्ब दोषपूर्ण हैं। यह भी ज्ञात है कि $M_1$ द्वारा उत्पादित सभी बल्बों में से $15\%$ दोषपूर्ण हैं। मान लीजिए कि,यदि कारखाने में उत्पादित एक यादृच्छिक रूप से चुने गए बल्ब को दोषपूर्ण पाया जाता है,तो इसके $M_2$ द्वारा उत्पादित होने की प्रायिकता $\frac{2}{5}$ है। यदि $M_3$ द्वारा उत्पादित बल्बों में से एक बल्ब यादृच्छिक रूप से चुना जाता है,तो इसके दोषपूर्ण होने की प्रायिकता $.....$ है।

एक विनिर्माण कंपनी में,तीन मशीनें $A$,$B$ और $C$ क्रमशः कुल उत्पादन का $20 \%$,$30 \%$ और $50 \%$ उत्पादन करती हैं। $A$,$B$ और $C$ से दोषपूर्ण उत्पाद क्रमशः $5 \%$,$3 \%$ और $2 \%$ हैं। यदि कंपनी द्वारा उत्पादित किसी वस्तु को यादृच्छिक रूप से चुना जाता है और वह दोषपूर्ण पाई जाती है,तो मशीन $B$ द्वारा उत्पादित होने की प्रायिकता क्या है?