यदि $3 \hat{i}-2 \hat{j}-\hat{k}, 2 \hat{i}+3 \hat{j}-4 \hat{k}, -\hat{i}+\hat{j}+2 \hat{k}$ और $4 \hat{i}+5 \hat{j}+\lambda \hat{k}$ स्थिति सदिश वाले बिंदु समतलीय हैं,तो $\lambda=$

$a \cdot (a \times b) = $

एक समांतर षट्फलक (parallelepiped) के किनारों की लंबाई इकाई है और वे असमतलीय इकाई सदिशों $\hat{a}, \hat{b}, \hat{c}$ के समानांतर हैं,जहाँ $\hat{a} \cdot \hat{b} = \hat{b} \cdot \hat{c} = \hat{c} \cdot \hat{a} = 1/2$ है। तो समांतर षट्फलक का आयतन ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए $a=2 \hat{i}+\hat{j}-3 \hat{k}$ और $b=\hat{i}+3 \hat{j}+2 \hat{k}$ है। तो उस समांतर षट्फलक (parallelopiped) का आयतन ज्ञात कीजिए जिसकी सह-अंतिम कोर $a, b$ और $c$ हैं,जहाँ $c$ एक ऐसा सदिश है जो $a$ और $b$ के समतल के लंबवत है और $|c|=2$ है।

यदि $x, y$ और $z$ शून्येतर वास्तविक संख्याएँ हैं और $\vec{a}=x \hat{i}+2 \hat{j}, \vec{b}=y \hat{j}+3 \hat{k}$ तथा $\vec{c}=x \hat{i}+y \hat{j}+z \hat{k}$ इस प्रकार हैं कि $\vec{a} \times \vec{b}=z \hat{i}-3 \hat{j}+\hat{k}$,तो $[\vec{a} \vec{b} \vec{c}]$ का मान ज्ञात कीजिए।

सदिश $\overline{p}=\hat{i}+a \hat{j}+a^2 \hat{k}$,$\overline{q}=\hat{i}+b \hat{j}+b^2 \hat{k}$ और $\overline{r}=\hat{i}+c \hat{j}+c^2 \hat{k}$ असमतलीय हैं और $\left|\begin{array}{lll} a & a^2 & 1+a^3 \\ b & b^2 & 1+b^3 \\ c & c^2 & 1+c^3 \end{array}\right|=0$ है,तो $(abc)$ का मान ज्ञात कीजिए।