AP EAMCET 2017 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(C) हम जानते हैं कि त्रिभुज की बहिःत्रिज्याओं का सूत्र: $r_1 = \frac{\Delta}{s-a}$,$r_2 = \frac{\Delta}{s-b}$,और $r_3 = \frac{\Delta}{s-c}$ है,जहाँ $\Delta$ क्षेत्रफल है और $s$ अर्ध-परिमाप है।
दिए गए संबंधों का उपयोग करके,हम त्रिभुज का क्षेत्रफल $\Delta = 84$ प्राप्त करते हैं।

(C) दिया है $A = 180^{\circ} - (B + C) = 180^{\circ} - (45^{\circ} + 60^{\circ}) = 75^{\circ}$.
ज्या नियम (Sine Rule) का उपयोग करते हुए,$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}$.
$a = 2(\sqrt{3}+1)$,$\sin 75^{\circ} = \sin(45^{\circ}+30^{\circ}) = \frac{\sqrt{3}+1}{2\sqrt{2}}$.
अतः,$\frac{2(\sqrt{3}+1)}{\frac{\sqrt{3}+1}{2\sqrt{2}}} = 4\sqrt{2}$.
इस प्रकार,$b = 4\sqrt{2} \sin 45^{\circ} = 4\sqrt{2} \times \frac{1}{\sqrt{2}} = 4$.
$c = 4\sqrt{2} \sin 60^{\circ} = 4\sqrt{2} \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 2\sqrt{6}$.
क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} ab \sin C = \frac{1}{2} \times 2(\sqrt{3}+1) \times 4 \times \sin 60^{\circ} = 4(\sqrt{3}+1) \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 2(3+\sqrt{3}) = 6+2\sqrt{3}$.

(D) कोसाइन नियम का उपयोग करते हुए,$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos A$.
मान रखने पर: $a^2 = 2^2 + (\sqrt{3})^2 - 2(2)(\sqrt{3}) \cos 30^{\circ} = 4 + 3 - 4\sqrt{3} \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 7 - 6 = 1$.
अतः,$a = 1$.
त्रिभुज का क्षेत्रफल $\Delta = \frac{1}{2} bc \sin A = \frac{1}{2} (2)(\sqrt{3}) \sin 30^{\circ} = \sqrt{3} \times \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
अर्ध-परिमाप $s = \frac{a+b+c}{2} = \frac{1+2+\sqrt{3}}{2} = \frac{3+\sqrt{3}}{2}$.
अंतःत्रिज्या $r = \frac{\Delta}{s} = \frac{\sqrt{3}/2}{(3+\sqrt{3})/2} = \frac{\sqrt{3}}{3+\sqrt{3}}$.
हर का परिमेयकरण करने पर: $r = \frac{\sqrt{3}(3-\sqrt{3})}{(3+\sqrt{3})(3-\sqrt{3})} = \frac{3\sqrt{3}-3}{9-3} = \frac{3(\sqrt{3}-1)}{6} = \frac{\sqrt{3}-1}{2}$.

(B) हम जानते हैं कि $\frac{1}{r_1} + \frac{1}{r_2} + \frac{1}{r_3} = \frac{1}{r}$.
दिया है $r_1=8, r_2=12, r_3=24$,अतः $\frac{1}{r} = \frac{1}{8} + \frac{1}{12} + \frac{1}{24} = \frac{6}{24} = \frac{1}{4}$.
अतः,$r=4$.
साथ ही,$r_1 = \frac{\Delta}{s-a} \implies 8 = \frac{\Delta}{s-a}$,$r_2 = \frac{\Delta}{s-b} \implies 12 = \frac{\Delta}{s-b}$,$r_3 = \frac{\Delta}{s-c} \implies 24 = \frac{\Delta}{s-c}$.
चूंकि $\Delta = rs = 4s$,इसलिए $s-a = \frac{s}{2} \implies a = \frac{s}{2}$,$s-b = \frac{s}{3} \implies b = \frac{2s}{3}$,$s-c = \frac{s}{6} \implies c = \frac{5s}{6}$.
$\Delta = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} = 4s$ का उपयोग करने पर,$s=24$ प्राप्त होता है।
अतः $a = 12, b = 16, c = 20$।

(C) हम जानते हैं कि बाह्य त्रिज्याओं $r_1, r_2, r_3$ और परिवृत्त त्रिज्या $R$ के बीच संबंध $\frac{1}{r_1} + \frac{1}{r_2} + \frac{1}{r_3} = \frac{1}{r}$ है,जहाँ $r$ अंतःत्रिज्या है।
त्रिभुज का क्षेत्रफल $\Delta = \sqrt{r r_1 r_2 r_3}$ है।
दिया गया है $r_1=3, r_2=10, r_3=15$.
$\frac{1}{r} = \frac{1}{3} + \frac{1}{10} + \frac{1}{15} = \frac{15}{30} = \frac{1}{2}$.
अतः,$r=2$.
अब,$\Delta = \sqrt{2 \times 3 \times 10 \times 15} = 30$.
सूत्र $\Delta = rs$ का उपयोग करने पर,$30 = 2s \implies s = 15$.
भुजाएँ $a=5, b=12, c=13$ प्राप्त होती हैं।
चूँकि यह एक समकोण त्रिभुज है,इसलिए परिवृत्त त्रिज्या $R = \frac{c}{2} = \frac{13}{2}$.

(A) माना $\alpha, \beta, \gamma$ क्रमशः शीर्षों $A, B, C$ से अंतःवृत्त पर स्पर्श रेखाओं की लंबाई हैं।
तब त्रिभुज की भुजाएँ $a = \beta + \gamma$,$b = \alpha + \gamma$,और $c = \alpha + \beta$ हैं।
अर्ध-परिमाप $s = \frac{a+b+c}{2} = \alpha + \beta + \gamma$ है।
हेरोन के सूत्र का उपयोग करते हुए,त्रिभुज का क्षेत्रफल $\Delta = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} = \sqrt{(\alpha+\beta+\gamma)(\alpha)(\beta)(\gamma)} = \sqrt{s \alpha \beta \gamma}$ है।
हम जानते हैं कि अंतःत्रिज्या $r = \frac{\Delta}{s}$ है।
अतः,$r^2 = \frac{\Delta^2}{s^2} = \frac{s \alpha \beta \gamma}{s^2} = \frac{\alpha \beta \gamma}{s}$ है।
$s = \alpha + \beta + \gamma$ रखने पर,$r^2 = \frac{\alpha \beta \gamma}{\alpha + \beta + \gamma}$ प्राप्त होता है।
इस प्रकार,$\alpha + \beta + \gamma = \frac{\alpha \beta \gamma}{r^2}$।

(A) हम जानते हैं कि त्रिभुज की बाह्य त्रिज्याएँ $r_1 = \frac{\Delta}{s-a}$,$r_2 = \frac{\Delta}{s-b}$,और $r_3 = \frac{\Delta}{s-c}$ द्वारा दी जाती हैं।
दिया है $2r_1 = 3r_2 = r_3 = k$ (माना)।
अतः $r_1 = \frac{k}{2}$,$r_2 = \frac{k}{3}$,और $r_3 = k$।
इस प्रकार,$\frac{1}{r_1} = \frac{2}{k}$,$\frac{1}{r_2} = \frac{3}{k}$,और $\frac{1}{r_3} = \frac{1}{k}$।
हम जानते हैं कि $\frac{1}{r_1} + \frac{1}{r_2} + \frac{1}{r_3} = \frac{1}{r}$।
अतः $\frac{2}{k} + \frac{3}{k} + \frac{1}{k} = \frac{6}{k} = \frac{1}{r}$,अर्थात $r = \frac{k}{6}$।
$s-a = \frac{\Delta}{r_1} = \frac{2\Delta}{k}$,$s-b = \frac{3\Delta}{k}$,और $s-c = \frac{\Delta}{k}$।
चूंकि $s = \frac{6\Delta}{k}$,इसलिए $a = s - (s-a) = \frac{4\Delta}{k}$,$b = \frac{3\Delta}{k}$,और $c = \frac{5\Delta}{k}$।
अतः,$a : b : c = 4 : 3 : 5$।

(D) हम जानते हैं कि $\operatorname{Sinh}^{-1}(y) = \log(y + \sqrt{y^2+1})$.
मान लीजिए $y = \frac{a}{\sqrt{1-a^2}}$.
तब $y^2+1 = \frac{a^2}{1-a^2} + 1 = \frac{a^2+1-a^2}{1-a^2} = \frac{1}{1-a^2}$.
अतः,$\sqrt{y^2+1} = \frac{1}{\sqrt{1-a^2}}$ (चूंकि $a < 1$).
इस प्रकार,$\operatorname{Sinh}^{-1}\left(\frac{a}{\sqrt{1-a^2}}\right) = \log\left(\frac{a+1}{\sqrt{1-a^2}}\right) = \log\left(\frac{a+1}{\sqrt{(1-a)(1+a)}}\right) = \log\left(\sqrt{\frac{1+a}{1-a}}\right) = \frac{1}{2} \log\left(\frac{1+a}{1-a}\right)$.
दिया गया समीकरण: $2 \operatorname{Sinh}^{-1}\left(\frac{a}{\sqrt{1-a^2}}\right) = \log \left(\frac{1+x}{1-x}\right)$.
प्राप्त मान को प्रतिस्थापित करने पर: $2 \times \frac{1}{2} \log\left(\frac{1+a}{1-a}\right) = \log \left(\frac{1+x}{1-x}\right)$.
इसलिए,$\log\left(\frac{1+a}{1-a}\right) = \log \left(\frac{1+x}{1-x}\right)$.
दोनों पक्षों की तुलना करने पर,हमें $x = a$ प्राप्त होता है।

(D) दिया गया है $\operatorname{Sinh}^{-1}(2)+\operatorname{Sinh}^{-1}(3)=\alpha$।
माना $x = \operatorname{Sinh}^{-1}(2)$ और $y = \operatorname{Sinh}^{-1}(3)$।
तब $\sinh x = 2$ और $\sinh y = 3$।
हम जानते हैं कि $\cosh^2 x - \sinh^2 x = 1$,इसलिए $\cosh x = \sqrt{1 + \sinh^2 x} = \sqrt{1 + 2^2} = \sqrt{5}$।
इसी प्रकार,$\cosh y = \sqrt{1 + \sinh^2 y} = \sqrt{1 + 3^2} = \sqrt{10}$।
हमें $\sinh \alpha = \sinh(x+y)$ ज्ञात करना है।
सर्वसमिका $\sinh(x+y) = \sinh x \cosh y + \cosh x \sinh y$ का उपयोग करने पर:
$\sinh \alpha = (2)(\sqrt{10}) + (\sqrt{5})(3) = 2 \sqrt{10} + 3 \sqrt{5}$।

(D) त्रिघात समीकरण $x^3 - 6x^2 + 11x - 6 = 0$ के लिए,मूल $\alpha, \beta, \gamma$ हैं।
विएटा के सूत्रों से:
$\sum \alpha = 6$,
$\sum \alpha \beta = 11$,
$\alpha \beta \gamma = 6$.
हमें $\sum \alpha^2 \beta + \sum \alpha \beta^2$ का मान ज्ञात करना है।
इस व्यंजक को $(\sum \alpha \beta)(\sum \alpha) - 3 \alpha \beta \gamma$ के रूप में लिखा जा सकता है।
मान रखने पर:
$(11)(6) - 3(6) = 66 - 18 = 48$.

(D) माना कि त्रिघात समीकरण $x^3+3px^2+3qx-8=0$ के मूल $\frac{a}{r}, a, ar$ हैं।
मूलों और गुणांकों के बीच संबंध से,मूलों का गुणनफल $\frac{a}{r} \times a \times ar = -(-8) = 8$ है।
अतः,$a^3 = 8$,जिसका अर्थ है $a = 2$।
चूंकि $a=2$ एक मूल है,यह समीकरण को संतुष्ट करेगा: $(2)^3 + 3p(2)^2 + 3q(2) - 8 = 0$।
$8 + 12p + 6q - 8 = 0$,जो सरल होकर $12p + 6q = 0$ या $q = -2p$ देता है।
$\frac{q^3}{p^3}$ में $q = -2p$ रखने पर,हमें $\frac{(-2p)^3}{p^3} = \frac{-8p^3}{p^3} = -8$ प्राप्त होता है।

(C) माना $f(x) = \cos^2 x + \cos^2(x + \frac{\pi}{3}) - \cos x \cdot \cos(x + \frac{\pi}{3})$.
इस व्यंजक को सरल करने पर,हमें $f(x) = \frac{3}{4}$ प्राप्त होता है।
चूंकि सभी $x \in R$ के लिए $f(x) = \frac{3}{4}$ है,इसलिए यह एक अचर फलन है।

(D) दी गई रेखा $x - y + 1 = 0$ है। वक्र $x = y^2$ है।
माना वक्र पर एक बिंदु $P(y^2, y)$ है।
बिंदु $P$ से रेखा $x - y + 1 = 0$ की दूरी $d = \frac{|y^2 - y + 1|}{\sqrt{1^2 + (-1)^2}} = \frac{|y^2 - y + 1|}{\sqrt{2}}$ है।
चूंकि सभी वास्तविक $y$ के लिए $y^2 - y + 1 > 0$ है,इसलिए $d = \frac{y^2 - y + 1}{\sqrt{2}}$ होगा।
न्यूनतम दूरी ज्ञात करने के लिए,हम $f(y) = y^2 - y + 1$ का न्यूनतम मान ज्ञात करते हैं।
अवकलन करने पर,$f'(y) = 2y - 1$ प्राप्त होता है। $f'(y) = 0$ रखने पर $y = \frac{1}{2}$ मिलता है।
न्यूनतम मान $f(\frac{1}{2}) = (\frac{1}{2})^2 - \frac{1}{2} + 1 = \frac{1}{4} - \frac{1}{2} + 1 = \frac{3}{4}$ है।
अतः,न्यूनतम दूरी $d = \frac{3/4}{\sqrt{2}} = \frac{3}{4 \sqrt{2}} = \frac{3 \sqrt{2}}{8}$ है।

(C) और $C$ के सापेक्ष बिंदु $A$ का हार्मोनिक संयुग्मी वह बिंदु $P$ है जो रेखाखंड $BC$ को उसी अनुपात में विभाजित करता है जिसमें $A$ करता है।
सबसे पहले,हम $AB$ और $AC$ की दूरियाँ निकालते हैं:
$AB = \sqrt{(6-5)^2 + (2-4)^2 + (-1-2)^2} = \sqrt{14}$.
$AC = \sqrt{(8-5)^2 + (-2-4)^2 + (-7-2)^2} = \sqrt{126} = 3\sqrt{14}$.
अनुपात $1:3$ है।
हार्मोनिक संयुग्मी $P$,$BC$ को $1:3$ के अनुपात में आंतरिक रूप से विभाजित करता है।
$P = \left(\frac{1(8) + 3(6)}{1+3}, \frac{1(-2) + 3(2)}{1+3}, \frac{1(-7) + 3(-1)}{1+3}\right) = (\frac{26}{4}, \frac{4}{4}, \frac{-10}{4}) = (\frac{13}{2}, 1, \frac{-5}{2})$.
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(D) मान लीजिए बिंदु $A(2, 3, 5)$,$B(-1, 5, -1)$ और $C(4, -3, 2)$ हैं।
दूरी सूत्र $d^2 = (x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2$ का उपयोग करके बिंदुओं के बीच की दूरी के वर्गों की गणना करें:
$AB^2 = (-1 - 2)^2 + (5 - 3)^2 + (-1 - 5)^2 = (-3)^2 + (2)^2 + (-6)^2 = 9 + 4 + 36 = 49$.
$BC^2 = (4 - (-1))^2 + (-3 - 5)^2 + (2 - (-1))^2 = (5)^2 + (-8)^2 + (3)^2 = 25 + 64 + 9 = 98$.
$AC^2 = (4 - 2)^2 + (-3 - 3)^2 + (2 - 5)^2 = (2)^2 + (-6)^2 + (-3)^2 = 4 + 36 + 9 = 49$.
चूंकि $AB^2 = AC^2 = 49$,इसलिए $AB = AC = 7$ है,अतः त्रिभुज समद्विबाहु है।
समकोण त्रिभुज की स्थिति की जाँच करें: $AB^2 + AC^2 = 49 + 49 = 98 = BC^2$.
चूंकि दो भुजाओं के वर्गों का योग तीसरी भुजा के वर्ग के बराबर है,इसलिए यह एक समकोण त्रिभुज है।
अतः,यह त्रिभुज एक समद्विबाहु समकोण त्रिभुज है।

(C) माना परिकेंद्र $P(x, y, z)$ है। परिकेंद्र शीर्षों $A, B$ और $C$ से समान दूरी पर होता है। अतः,$PA^2 = PB^2 = PC^2$ है।
$PA^2 = (x-3)^2 + (y-4)^2 + (z-5)^2$
$PB^2 = (x-2)^2 + (y-3)^2 + (z-1)^2$
$PC^2 = (x+1)^2 + (y-6)^2 + (z-1)^2$
$PB^2 = PC^2$ को बराबर करने पर:
$(x-2)^2 + (y-3)^2 + (z-1)^2 = (x+1)^2 + (y-6)^2 + (z-1)^2$
$x^2 - 4x + 4 + y^2 - 6y + 9 = x^2 + 2x + 1 + y^2 - 12y + 36$
$-6x + 6y = 24 \implies -x + y = 4 \implies y = x + 4$.
$PA^2 = PB^2$ को बराबर करने पर:
$(x-3)^2 + (y-4)^2 + (z-5)^2 = (x-2)^2 + (y-3)^2 + (z-1)^2$
$y = x+4$ प्रतिस्थापित करने पर:
$(x-3)^2 + (x+4-4)^2 + (z-5)^2 = (x-2)^2 + (x+4-3)^2 + (z-1)^2$
$(x-3)^2 + x^2 + (z-5)^2 = (x-2)^2 + (x+1)^2 + (z-1)^2$
$x^2 - 6x + 9 + x^2 + z^2 - 10z + 25 = x^2 - 4x + 4 + x^2 + 2x + 1 + z^2 - 2z + 1$
$-6x - 10z + 34 = -2x - 2z + 6$
$-4x - 8z = -28 \implies x + 2z = 7 \implies z = \frac{7-x}{2}$.
विकल्प $C(1, 5, 3)$ के लिए जाँच करने पर:
$y = 1+4 = 5$ (सही है)।
$z = (7-1)/2 = 3$ (सही है)।
अतः,परिकेंद्र $(1, 5, 3)$ है।

(B) कोण समद्विभाजक प्रमेय के अनुसार,$\angle BAC$ का समद्विभाजक सम्मुख भुजा $BC$ को कोण की आसन्न भुजाओं के अनुपात में विभाजित करता है,अर्थात $BD/DC = AB/AC$।
सबसे पहले,भुजाओं $AB$ और $AC$ की लंबाई की गणना करें:
$AB = \sqrt{(5-3)^2 + (3-2)^2 + (2-0)^2} = \sqrt{2^2 + 1^2 + 2^2} = \sqrt{4+1+4} = \sqrt{9} = 3$।
$AC = \sqrt{(-9-3)^2 + (6-2)^2 + (-3-0)^2} = \sqrt{(-12)^2 + 4^2 + (-3)^2} = \sqrt{144 + 16 + 9} = \sqrt{169} = 13$।
अतः,अनुपात $BD:DC = AB:AC = 3:13$ है।
विभाजन सूत्र का उपयोग करते हुए,$D$ के निर्देशांक इस प्रकार हैं:
$D = \left(\frac{m x_2 + n x_1}{m+n}, \frac{m y_2 + n y_1}{m+n}, \frac{m z_2 + n z_1}{m+n}\right)$ जहाँ $m=3, n=13$,$B(5,3,2)$,और $C(-9,6,-3)$ है।
$x = \frac{3(-9) + 13(5)}{3+13} = \frac{-27 + 65}{16} = \frac{38}{16}$।
$y = \frac{3(6) + 13(3)}{3+13} = \frac{18 + 39}{16} = \frac{57}{16}$।
$z = \frac{3(-3) + 13(2)}{3+13} = \frac{-9 + 26}{16} = \frac{17}{16}$।
अतः,$D$ के निर्देशांक $\left(\frac{38}{16}, \frac{57}{16}, \frac{17}{16}\right)$ हैं।

(B) चरण $1$: माध्य $(\bar{x})$ की गणना करें।
$\bar{x} = \frac{\sum f_i x_i}{\sum f_i} = \frac{(10 \times 2) + (15 \times 4) + (20 \times 6) + (25 \times 8) + (30 \times 5)}{2 + 4 + 6 + 8 + 5} = \frac{550}{25} = 22$.
चरण $2$: माध्य से माध्य विचलन $(\text{M.D.}(\bar{x}))$ ज्ञात करें।
$\text{M.D.}(\bar{x}) = \frac{\sum f_i |x_i - \bar{x}|}{\sum f_i} = \frac{(2 \times 12) + (4 \times 7) + (6 \times 2) + (8 \times 3) + (5 \times 8)}{25} = \frac{128}{25} = 5.12$.

(B) एक पासे पर पीले $(Y)$,लाल $(R)$,और नीले $(B)$ रंग प्राप्त करने की प्रायिकताएं हैं: $P(Y) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$,$P(R) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$,और $P(B) = \frac{1}{6}$।
हमें $3$ उछालों में एक पीला,एक लाल और एक नीला फलक प्राप्त करने की प्रायिकता ज्ञात करनी है।
$(Y, R, B)$ के क्रम को व्यवस्थित करने के तरीके $3! = 6$ हैं।
किसी भी एक विशिष्ट क्रम (जैसे $Y, R, B$) की प्रायिकता $P(Y) \times P(R) \times P(B) = \frac{1}{2} \times \frac{1}{3} \times \frac{1}{6} = \frac{1}{36}$ है।
चूंकि ऐसे $6$ क्रम संभव हैं,इसलिए कुल प्रायिकता $6 \times \frac{1}{36} = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}$ होगी।

(B) $5$ लाल और $5$ सफेद गुलाबों को माला में व्यवस्थित करने के कुल तरीके $10$ अलग-अलग वस्तुओं को एक वृत्त में व्यवस्थित करने के तरीकों के बराबर हैं,जो $(10-1)! = 9!$ है।
चूंकि गुलाब अलग-अलग आकार के हैं,हम उन्हें भिन्न मानते हैं।
गुलाबों को एकांतर रूप से रखने के लिए,हम पहले $5$ लाल गुलाबों को एक वृत्त में $(5-1)! = 4!$ तरीकों से व्यवस्थित करते हैं।
यह लाल गुलाबों के बीच $5$ अंतराल बनाता है।
हम इन $5$ अंतरालों में $5$ सफेद गुलाबों को $5!$ तरीकों से रख सकते हैं।
अतः,अनुकूल व्यवस्थाओं की संख्या $4! \times 5!$ है।
प्रायिकता $\frac{4! \times 5!}{9!} = \frac{24 \times 120}{362880} = \frac{2880}{362880} = \frac{1}{126}$ है।

(D) $8$ गेंदों को $8$ बैगों में रखने के कुल तरीके $8!$ हैं।
हमें उन तरीकों की संख्या ज्ञात करनी है जिनमें ठीक $5$ गेंदें अपने संबंधित बैग में हों।
सबसे पहले,$8$ में से $5$ गेंदों को चुनते हैं जो सही बैग में हों,जिसे $\binom{8}{5}$ तरीकों से किया जा सकता है।
शेष $3$ गेंदों को शेष $3$ बैगों में इस प्रकार रखा जाना चाहिए कि उनमें से कोई भी अपने संबंधित बैग में न हो। यह $3$ वस्तुओं का अव्यवस्था (derangement) है,जिसे $D_3$ द्वारा दर्शाया जाता है।
$D_3 = 3! \times (1 - \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} - \frac{1}{3!}) = 2$.
अतः,अनुकूल परिणामों की संख्या $\binom{8}{5} \times D_3 = 56 \times 2 = 112$ है।
प्रायिकता $\frac{112}{8!} = \frac{112}{40320} = \frac{1}{360}$ है।

(A) $10$ में से $3$ संख्याएँ चुनने के कुल तरीके $n(S) = {}^{10}C_3 = 120$ हैं।
माना $A$ वह घटना है कि चुनी गई संख्याओं में न्यूनतम $3$ है। इसका अर्थ है कि $3$ चुना गया है,और अन्य दो संख्याएँ $\{4, 5, 6, 7, 8, 9, 10\}$ में से चुनी जानी चाहिए।
अतः,$n(A) = {}^{7}C_2 = 21$।
माना $B$ वह घटना है कि चुनी गई संख्याओं में अधिकतम $7$ है। इसका अर्थ है कि $7$ चुना गया है,और अन्य दो संख्याएँ $\{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ में से चुनी जानी चाहिए।
अतः,$n(B) = {}^{6}C_2 = 15$।
माना $A \cap B$ वह घटना है कि न्यूनतम $3$ और अधिकतम $7$ है। इसका अर्थ है कि $3$ और $7$ चुने गए हैं,और तीसरी संख्या $\{4, 5, 6\}$ में से चुनी जानी चाहिए।
अतः,$n(A \cap B) = {}^{3}C_1 = 3$।
समावेशन-अपवर्जन सिद्धांत का उपयोग करते हुए,$n(A \cup B) = n(A) + n(B) - n(A \cap B) = 21 + 15 - 3 = 33$।
अभीष्ट प्रायिकता $P(A \cup B) = \frac{33}{120} = \frac{11}{40}$ है।

(D) दिया गया है $P(\bar{A}) = \frac{1}{4}$,इसलिए $P(A) = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$.
दिया गया है $P(\overline{A \cup B}) = \frac{1}{6}$,इसलिए $P(A \cup B) = 1 - \frac{1}{6} = \frac{5}{6}$.
सूत्र $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$ का उपयोग करते हुए,$\frac{5}{6} = \frac{3}{4} + P(B) - \frac{1}{4}$.
$\frac{5}{6} = \frac{2}{4} + P(B) = \frac{1}{2} + P(B)$.
$P(B) = \frac{5}{6} - \frac{1}{2} = \frac{5-3}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$.
चूंकि $P(A) = \frac{3}{4}$ और $P(B) = \frac{1}{3}$,$P(A) \neq P(B)$,इसलिए वे समान रूप से संभावित नहीं हैं।
स्वतंत्रता के लिए जाँच: $P(A) \times P(B) = \frac{3}{4} \times \frac{1}{3} = \frac{1}{4}$.
चूंकि $P(A \cap B) = \frac{1}{4}$,हमारे पास $P(A \cap B) = P(A) \times P(B)$ है,जिसका अर्थ है कि $A$ और $B$ स्वतंत्र हैं।
अतः,घटनाएँ स्वतंत्र हैं लेकिन समान रूप से संभावित नहीं हैं।

(C) चूँकि $A, B, C$ परस्पर अपवर्जी और निशेष घटनाएँ हैं,इसलिए $P(A) + P(B) + P(C) = 1$.
दिया गया है $P(B) = 2 P(C)$,अतः $P(C) = \frac{1}{2} P(B)$.
यह भी दिया गया है कि $P(A) = \frac{2}{3} P(B)$.
इन मानों को योग में रखने पर: $\frac{2}{3} P(B) + P(B) + \frac{1}{2} P(B) = 1$.
लघुत्तम समापवर्त्य $(6)$ लेने पर: $\frac{4}{6} P(B) + \frac{6}{6} P(B) + \frac{3}{6} P(B) = 1$.
$\frac{13}{6} P(B) = 1 \implies P(B) = \frac{6}{13}$.
अतः $P(A) = \frac{2}{3} \times \frac{6}{13} = \frac{4}{13}$ और $P(C) = \frac{1}{2} \times \frac{6}{13} = \frac{3}{13}$.
चूँकि $A$ और $C$ परस्पर अपवर्जी हैं,$P(A \cup C) = P(A) + P(C) = \frac{4}{13} + \frac{3}{13} = \frac{7}{13}$.

(A) मान लीजिए कि $W_i$ और $B_i$ क्रमशः बक्से $B_i$ से सफेद और काली गेंद निकालने की घटनाएं हैं। प्रायिकताएं इस प्रकार हैं:
$B_1$ के लिए: $P(W_1) = \frac{1}{3}, P(B_1) = \frac{2}{3}$
$B_2$ के लिए: $P(W_2) = \frac{3}{4}, P(B_2) = \frac{1}{4}$
$B_3$ के लिए: $P(W_3) = \frac{2}{5}, P(B_3) = \frac{3}{5}$
हमें दो काली और एक सफेद गेंद निकालने की प्रायिकता ज्ञात करनी है। यह तीन परस्पर अनन्य तरीकों से हो सकता है:
$1$. $(W_1, B_2, B_3)$: $P(W_1) \times P(B_2) \times P(B_3) = \frac{1}{3} \times \frac{1}{4} \times \frac{3}{5} = \frac{3}{60}$
$2$. $(B_1, W_2, B_3)$: $P(B_1) \times P(W_2) \times P(B_3) = \frac{2}{3} \times \frac{3}{4} \times \frac{3}{5} = \frac{18}{60}$
$3$. $(B_1, B_2, W_3)$: $P(B_1) \times P(B_2) \times P(W_3) = \frac{2}{3} \times \frac{1}{4} \times \frac{2}{5} = \frac{4}{60}$
कुल प्रायिकता इन प्रायिकताओं का योग है:
$P = \frac{3}{60} + \frac{18}{60} + \frac{4}{60} = \frac{25}{60} = \frac{5}{12}$

(C) दिए गए समुच्चय $S = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}$ के कुल उपसमुच्चयों की संख्या $2^n$ है,जहाँ $n=9$ है।
कुल उपसमुच्चय $= 2^9 = 512$।
हमें उन उपसमुच्चयों की संख्या ज्ञात करनी है जिनमें कम से कम एक विषम संख्या हो।
पूरक विधि का उपयोग करना आसान है: उन उपसमुच्चयों की संख्या जिनमें कोई भी विषम संख्या न हो।
एक उपसमुच्चय में कोई विषम संख्या नहीं होगी यदि और केवल यदि उसके सभी अवयव सम हों।
समुच्चय में सम संख्याएँ $\{2, 4, 6, 8\}$ हैं।
केवल इन सम संख्याओं का उपयोग करके बनने वाले उपसमुच्चयों की संख्या $2^4 = 16$ है।
इन $16$ उपसमुच्चयों में रिक्त समुच्चय $\emptyset$ भी शामिल है।
अतः,कम से कम एक विषम संख्या वाले उपसमुच्चयों की संख्या $=$ कुल उपसमुच्चय $-$ केवल सम संख्याओं वाले उपसमुच्चय।
अभीष्ट संख्या $= 512 - 16 = 496$।

(A) दिया गया समीकरण: $(\sqrt{3}-1) \sin \theta + (\sqrt{3}+1) \cos \theta = 2$.
दोनों पक्षों को $\sqrt{(\sqrt{3}-1)^2 + (\sqrt{3}+1)^2} = 2\sqrt{2}$ से विभाजित करने पर।
$\frac{\sqrt{3}-1}{2\sqrt{2}} \sin \theta + \frac{\sqrt{3}+1}{2\sqrt{2}} \cos \theta = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
माना $\cos \alpha = \frac{\sqrt{3}+1}{2\sqrt{2}}$ और $\sin \alpha = \frac{\sqrt{3}-1}{2\sqrt{2}}$.
अतः $\tan \alpha = \tan(\frac{\pi}{12})$,जिससे $\alpha = \frac{\pi}{12}$.
समीकरण $\cos(\theta - \alpha) = \cos(\frac{\pi}{4})$ बन जाता है।
व्यापक हल $\theta = 2n\pi \pm \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{12}$ है।

(D) माना शीर्ष $A(1, \sqrt{3})$,$B(0, 0)$,और $C(2, 0)$ हैं।
भुजाओं की लंबाई की गणना:
$AB = \sqrt{(1-0)^2 + (\sqrt{3}-0)^2} = \sqrt{1 + 3} = 2$
$BC = \sqrt{(2-0)^2 + (0-0)^2} = \sqrt{4} = 2$
$AC = \sqrt{(2-1)^2 + (0-\sqrt{3})^2} = \sqrt{1 + 3} = 2$
चूंकि सभी भुजाएं समान हैं,इसलिए यह एक समबाहु त्रिभुज है।
समबाहु त्रिभुज के लिए,अंतःकेंद्र और केंद्रक एक ही होते हैं।
केंद्रक $(G) = \left(\frac{x_1+x_2+x_3}{3}, \frac{y_1+y_2+y_3}{3}\right)$ द्वारा दिया जाता है।
$G = \left(\frac{1+0+2}{3}, \frac{\sqrt{3}+0+0}{3}\right) = \left(\frac{3}{3}, \frac{\sqrt{3}}{3}\right) = \left(1, \frac{1}{\sqrt{3}}\right)$.

(C) दिए गए समीकरण $xy+4x-3y-12=0$ और $xy-3x+4y-12=0$ हैं।
पहले समीकरण के लिए: $x(y+4)-3(y+4)=0 \Rightarrow (x-3)(y+4)=0$। यह रेखाओं $x=3$ और $y=-4$ को दर्शाता है।
दूसरे समीकरण के लिए: $x(y-3)+4(y-3)=0 \Rightarrow (x+4)(y-3)=0$। यह रेखाओं $x=-4$ और $y=3$ को दर्शाता है।
वर्ग बनाने वाली चार रेखाएँ $x=3, x=-4, y=3, y=-4$ हैं।
वर्ग के शीर्ष $A(-4,-4), B(3,-4), C(3,3)$ और $D(-4,3)$ हैं।
विकर्ण $AC$,$A(-4,-4)$ और $C(3,3)$ से होकर गुजरता है। इसका समीकरण $y-(-4) = \frac{3-(-4)}{3-(-4)}(x-(-4))$ $\Rightarrow y+4 = 1(x+4)$ $\Rightarrow x-y=0$ है।
विकर्ण $BD$,$B(3,-4)$ और $D(-4,3)$ से होकर गुजरता है। इसका समीकरण $y-(-4) = \frac{3-(-4)}{-4-3}(x-3)$ $\Rightarrow y+4 = \frac{7}{-7}(x-3)$ $\Rightarrow y+4 = -x+3$ $\Rightarrow x+y+1=0$ है।
विकर्णों का संयुक्त समीकरण $(x-y)(x+y+1)=0$ है।
इसका विस्तार करने पर,हमें $x^2+xy+x-xy-y^2-y=0$ प्राप्त होता है,जो सरल होकर $x^2-y^2+x-y=0$ हो जाता है।

(D) दीर्घवृत्त की दो नाभियों से किसी भी स्पर्श रेखा पर डाले गए लंब की लंबाइयों का गुणनफल अर्ध-लघु अक्ष के वर्ग के बराबर होता है।
दिए गए दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{25}=1$ के लिए,$a^2 = 9$ और $b^2 = 25$ है। चूँकि $b^2 > a^2$,इसलिए अर्ध-लघु अक्ष $b = \sqrt{9} = 3$ है।
अतः,लंब की लंबाइयों का गुणनफल $b^2 = 3^2 = 9$ है।