AP EAMCET 2017 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(A) त्रिभुज के शीर्ष रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु हैं:
$1$. $y=\sqrt{3}x$ और $y=-\sqrt{3}x$ का प्रतिच्छेदन बिंदु $A(0, 0)$ है।
$2$. $y=\sqrt{3}x$ और $y=3$ का प्रतिच्छेदन बिंदु $B(\sqrt{3}, 3)$ है।
$3$. $y=-\sqrt{3}x$ और $y=3$ का प्रतिच्छेदन बिंदु $C(-\sqrt{3}, 3)$ है।
भुजाओं की लंबाई:
$c = AB = \sqrt{(\sqrt{3}-0)^2 + (3-0)^2} = 2\sqrt{3}$.
$b = AC = \sqrt{(-\sqrt{3}-0)^2 + (3-0)^2} = 2\sqrt{3}$.
$a = BC = \sqrt{(\sqrt{3}-(-\sqrt{3}))^2 + (3-3)^2} = 2\sqrt{3}$.
चूंकि $a=b=c$,यह एक समबाहु त्रिभुज है।
समबाहु त्रिभुज का अंतःकेंद्र $(I)$ उसके केंद्रक $(G)$ के समान होता है।
$I = G = \left(\frac{0+\sqrt{3}-\sqrt{3}}{3}, \frac{0+3+3}{3}\right) = (0, 2)$.

(D) माना $A(1, 2, 3), B(3, -1, 5), C(4, 0, -3)$ त्रिभुज के शीर्ष हैं। माना $O(x, y, z)$ परिकेंद्र है। तब $OA = OB = OC$,जिसका अर्थ है $OA^2 = OB^2 = OC^2$।
$OA^2 = OB^2 \Rightarrow (x-1)^2 + (y-2)^2 + (z-3)^2 = (x-3)^2 + (y+1)^2 + (z-5)^2$
$x^2 - 2x + 1 + y^2 - 4y + 4 + z^2 - 6z + 9 = x^2 - 6x + 9 + y^2 + 2y + 1 + z^2 - 10z + 25$
$4x - 6y + 4z = 20 \Rightarrow 2x - 3y + 2z = 10 \quad \dots (i)$
$OB^2 = OC^2 \Rightarrow (x-3)^2 + (y+1)^2 + (z-5)^2 = (x-4)^2 + y^2 + (z+3)^2$
$x^2 - 6x + 9 + y^2 + 2y + 1 + z^2 - 10z + 25 = x^2 - 8x + 16 + y^2 + z^2 + 6z + 9$
$2x + 2y - 16z = -10 \Rightarrow x + y - 8z = -5 \quad \dots (ii)$
$OA^2 = OC^2 \Rightarrow (x-1)^2 + (y-2)^2 + (z-3)^2 = (x-4)^2 + y^2 + (z+3)^2$
$x^2 - 2x + 1 + y^2 - 4y + 4 + z^2 - 6z + 9 = x^2 - 8x + 16 + y^2 + z^2 + 6z + 9$
$6x - 4y - 12z = 11 \quad \dots (iii)$
समीकरणों $(i), (ii),$ और $(iii)$ को हल करने पर,हमें $x = \frac{7}{2}, y = -\frac{1}{2}, z = 1$ प्राप्त होता है।
अतः,परिकेंद्र $\left(\frac{7}{2}, -\frac{1}{2}, 1\right)$ है।

(C) दिया गया समीकरण $2x^2+4xy-6y^2+2x+8y+1=0$ है।
इसे व्यापक द्विघात समीकरण $ax^2+2hxy+by^2+2gx+2fy+c=0$ के साथ तुलना करने पर,$a=2, h=2, b=-6, g=1, f=4, c=1$ प्राप्त होता है।
प्रथम घात के पदों को हटाने के लिए,मूल बिंदु को $(h_0, k_0)$ बिंदु पर स्थानांतरित करना होगा,जो आंशिक अवकलन $\frac{\partial f}{\partial x} = 0$ और $\frac{\partial f}{\partial y} = 0$ के प्रतिच्छेदन बिंदु द्वारा प्राप्त होता है।
ये समीकरण $4x+4y+2=0$ और $4x-12y+8=0$ हैं।
इन समीकरणों को हल करने पर:
$2x+2y=-1$
$2x-6y=-4$
दोनों समीकरणों को घटाने पर: $8y=3 \implies y=\frac{3}{8}$।
$y=\frac{3}{8}$ को $2x+2y=-1$ में रखने पर:
$2x+2(\frac{3}{8})=-1 \implies 2x+\frac{3}{4}=-1 \implies 2x=-\frac{7}{4} \implies x=-\frac{7}{8}$।
अतः,अभीष्ट बिंदु $\left(-\frac{7}{8}, \frac{3}{8}\right)$ है।

(C) माना समबाहु त्रिभुज $\triangle ABC$ है और इसकी माध्यिका $AD = 9$ इकाई है।
एक समबाहु त्रिभुज में,केंद्रक $O$ माध्यिका $AD$ को $2:1$ के अनुपात में विभाजित करता है।
चूंकि वृत्त का केंद्र मूल बिंदु $O(0,0)$ पर है और यह शीर्षों से होकर गुजरता है,इसलिए $O$ $\triangle ABC$ का परिकेंद्र है।
समबाहु त्रिभुज में,परिकेंद्र और केंद्रक संपाती होते हैं।
इसलिए,केंद्र $O$ से शीर्ष $A$ तक की दूरी वृत्त की त्रिज्या $R$ है।
$R = AO = \frac{2}{3} AD = \frac{2}{3} \times 9 = 6$ इकाई।
मूल बिंदु $(0,0)$ पर केंद्र और $R$ त्रिज्या वाले वृत्त का समीकरण $x^2 + y^2 = R^2$ होता है।
$R = 6$ रखने पर,हमें $x^2 + y^2 = 6^2 = 36$ प्राप्त होता है।

(A) माना मूल निर्देशांक $(X, Y)$ हैं और नए निर्देशांक $(x, y)$ हैं।
दिया गया घूर्णन कोण $\theta = \frac{\pi}{4}$ है।
रूपांतरित समीकरण $x^2+y^2-6x+8y+21=0$ में $x = \frac{X+Y}{\sqrt{2}}$ और $y = \frac{-X+Y}{\sqrt{2}}$ प्रतिस्थापित करने पर,
सरल करने पर हमें $X^2+Y^2 - 7\sqrt{2}X + \sqrt{2}Y + 21 = 0$ प्राप्त होता है।

(D) माना बिंदु $P(x, y)$ है। चूंकि $P$ रेखा $3x + y + 4 = 0$ पर स्थित है,इसलिए $y = -3x - 4$ है।
माना $A = (-5, 6)$ और $B = (3, 2)$ है।
चूंकि $P$,$A$ और $B$ से समान दूरी पर है,इसलिए $PA^2 = PB^2$ होगा।
$(x + 5)^2 + (y - 6)^2 = (x - 3)^2 + (y - 2)^2$.
$x^2 + 10x + 25 + y^2 - 12y + 36 = x^2 - 6x + 9 + y^2 - 4y + 4$.
$16x - 8y + 48 = 0$,जिसे सरल करने पर $2x - y + 6 = 0$ प्राप्त होता है।
$y = -3x - 4$ को $2x - y + 6 = 0$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$2x - (-3x - 4) + 6 = 0$.
$5x + 10 = 0 \implies x = -2$.
अतः $y = -3(-2) - 4 = 6 - 4 = 2$.
बिंदु $(-2, 2)$ है।

(A) रेखाएँ $x=0, y=0$ और $3x+4y=12$ हैं।
त्रिभुज के शीर्ष $A(0, 0), B(0, 3)$ और $C(4, 0)$ हैं।
भुजाओं की लंबाई $a=5, b=4, c=3$ है।
अंतःकेंद्र का सूत्र $\left(\frac{ax_1+bx_2+cx_3}{a+b+c}, \frac{ay_1+by_2+cy_3}{a+b+c}\right)$ है।
मान रखने पर,$I_x = \frac{5(0) + 4(0) + 3(4)}{12} = 1$ और $I_y = \frac{5(0) + 4(3) + 3(0)}{12} = 1$.
अतः,अंतःकेंद्र $(1, 1)$ है।

(A) माना $A = (2, 0)$ और $B = (6, 4)$ है।
सदिश $\vec{AB} = (4, 4)$ है।
लंबाई $r = \sqrt{4^2 + 4^2} = 4\sqrt{2}$ है।
प्रारंभिक कोण $\theta = 45^{\circ}$ है।
ऋणात्मक दिशा में $45^{\circ}$ घूर्णन के बाद नया कोण $\theta' = 45^{\circ} - 45^{\circ} = 0^{\circ}$ होगा।
नए निर्देशांक $(x', y') = (2 + r \cos(0^{\circ}), 0 + r \sin(0^{\circ})) = (2 + 4\sqrt{2}, 0)$ प्राप्त होते हैं।

(A) माना $B = (x_1, y_1)$ है। चूँकि $3x + 4y - 18 = 0$ भुजा $AB$ का लंब समद्विभाजक है,$AB$ का मध्यबिंदु $M$ रेखा पर स्थित है।
$M = (\frac{x_1+3}{2}, \frac{y_1-4}{2})$। रेखा के समीकरण में मान रखने पर: $3(\frac{x_1+3}{2}) + 4(\frac{y_1-4}{2}) - 18 = 0 \implies 3x_1 + 4y_1 = 43$।
साथ ही,$AB$ की ढाल रेखा $3x + 4y - 18 = 0$ (ढाल $-3/4$) के लंबवत है। अतः,$AB$ की ढाल $= 4/3$ है।
$\frac{y_1+4}{x_1-3} = \frac{4}{3} \implies 4x_1 - 3y_1 = 24$।
समीकरणों को हल करने पर: $x_1 = 9$ और $y_1 = 4$ प्राप्त होता है। अतः $B = (9, 4)$ है।
केंद्रक $G = (\frac{3+9+6}{3}, \frac{-4+4+3}{3}) = (6, 1)$ है।

(D) माना रेखा $L$ बिंदु $P(1, 5)$ से गुजरती है। माना रेखा $L$,$L_1: 5x - y - 4 = 0$ को $A(x_1, y_1)$ पर और $L_2: 3x + 4y - 4 = 0$ को $B(x_2, y_2)$ पर काटती है।
चूंकि $P(1, 5)$,$AB$ का मध्य-बिंदु है,इसलिए $x_1 + x_2 = 2$ और $y_1 + y_2 = 10$ है।
$A$,$L_1$ पर स्थित है,इसलिए $5x_1 - y_1 - 4 = 0 \implies y_1 = 5x_1 - 4$।
$B$,$L_2$ पर स्थित है,इसलिए $3x_2 + 4y_2 - 4 = 0 \implies y_2 = 1 - \frac{3}{4}x_2$।
$x_2 = 2 - x_1$ और $y_2 = 10 - y_1$ को $B$ के समीकरण में रखने पर:
$3(2 - x_1) + 4(10 - y_1) - 4 = 0 \implies 3x_1 + 4y_1 = 42$।
समीकरणों $y_1 = 5x_1 - 4$ और $3x_1 + 4y_1 = 42$ को हल करने पर $x_1 = \frac{58}{23}$ और $y_1 = \frac{198}{23}$ प्राप्त होता है।
रेखा $L$ की ढाल $m = \frac{5 - \frac{198}{23}}{1 - \frac{58}{23}} = \frac{83}{35}$ है।
$L$ का समीकरण $y - 5 = \frac{83}{35}(x - 1) \implies 83x - 35y + 92 = 0$।

(B) बिंदुओं के निर्देशांक $P(-1, 0)$,$Q(0, 0)$ और $R(3, 3\sqrt{3})$ हैं।
रेखा $QP$ और $QR$ की ढाल ज्ञात करें।
$QP$ की ढाल $(m_1)$ = $0$ है।
$QR$ की ढाल $(m_2)$ = $\sqrt{3}$ है।
रेखा $QP$ का $x$-अक्ष के साथ कोण $0^\circ$ है।
रेखा $QR$ का $x$-अक्ष के साथ कोण $60^\circ$ है।
$\angle PQR$ का समद्विभाजक $x$-अक्ष के साथ $\theta = \frac{0^\circ + 60^\circ}{2} = 30^\circ$ का कोण बनाएगा।
चूंकि $P$ ऋणात्मक $x$-अक्ष पर है,इसलिए कोण $120^\circ$ होगा।
अतः,समद्विभाजक की ढाल $m = \tan(120^\circ) = -\sqrt{3}$ होगी।
समीकरण $y = -\sqrt{3}x$ अर्थात $\sqrt{3}x + y = 0$ प्राप्त होता है।

(B) दिया गया है कि बिंदु $P(a, b)$,$3x + 2y = 13$ पर स्थित है,इसलिए $3a + 2b = 13$ (समीकरण $1$)।
दिया गया है कि बिंदु $Q(b, a)$,$4x - y = 5$ पर स्थित है,इसलिए $4b - a = 5$,जिसका अर्थ है $a = 4b - 5$ (समीकरण $2$)।
समीकरण $2$ को समीकरण $1$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$3(4b - 5) + 2b = 13$
$12b - 15 + 2b = 13$
$14b = 28 \implies b = 2$.
$b = 2$ को समीकरण $2$ में रखने पर:
$a = 4(2) - 5 = 8 - 5 = 3$.
अतः,$P = (3, 2)$ और $Q = (2, 3)$.
रेखा $PQ$ की ढाल $m = \frac{3 - 2}{2 - 3} = \frac{1}{-1} = -1$.
बिंदु $(3, 2)$ से गुजरने वाली रेखा $PQ$ का समीकरण:
$y - 2 = -1(x - 3)$
$y - 2 = -x + 3$
$x + y = 5$.

(A) $P(3,4)$ से गुजरने वाली और $\theta = \frac{\pi}{6}$ का कोण बनाने वाली रेखा का समीकरण प्राचल रूप में: $\frac{x-3}{\cos(\pi/6)} = \frac{y-4}{\sin(\pi/6)} = r$ है,जहाँ $r$ दूरी $PQ$ है।
अतः,$x = 3 + r \frac{\sqrt{3}}{2}$ और $y = 4 + \frac{r}{2}$।
चूंकि $Q$,$12x+5y+10=0$ पर स्थित है,मान रखने पर:
$12(3 + \frac{r\sqrt{3}}{2}) + 5(4 + \frac{r}{2}) + 10 = 0$
$36 + 6r\sqrt{3} + 20 + 2.5r + 10 = 0$
$66 + r(6\sqrt{3} + 2.5) = 0$
$r = \frac{66}{6\sqrt{3} + 2.5} = \frac{132}{12\sqrt{3} + 5}$।

(B) दी गई रेखा $(2x + 3y + 4) + \lambda(6x - y + 12) = 0$ है।
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर,$(2 + 6\lambda)x + (3 - \lambda)y + (4 + 12\lambda) = 0$ प्राप्त होता है।
इस रेखा की ढाल $(m_1)$ $-\frac{2 + 6\lambda}{3 - \lambda}$ है।
दूसरी रेखा $7x + 5y = 2$ है,जिसकी ढाल $(m_2)$ $-\frac{7}{5}$ है।
चूंकि रेखाएं लंबवत हैं,इसलिए उनकी ढाल का गुणनफल $-1$ होगा,अर्थात $m_1 \times m_2 = -1$।
$(-\frac{2 + 6\lambda}{3 - \lambda}) \times (-\frac{7}{5}) = -1$।
$\frac{14 + 42\lambda}{5(3 - \lambda)} = -1$।
$14 + 42\lambda = -15 + 5\lambda$।
$37\lambda = -29$।
$\lambda = -\frac{29}{37}$।

(C) रेखा $x - y = 5$ की ढाल $m = 1$ है।
चूंकि अभीष्ट रेखा $P(1, 1)$ से गुजरती है और $x - y = 5$ के समानांतर है,इसलिए इसका समीकरण $y - 1 = 1(x - 1)$ है,जो $y = x$ या $x - y = 0$ में सरल हो जाता है।
प्रतिच्छेदन बिंदु $Q$ ज्ञात करने के लिए,हम समीकरणों को हल करते हैं:
$x - y = 0$
$x + 3y = 2$
दूसरे समीकरण में $x = y$ प्रतिस्थापित करने पर: $y + 3y = 2 \implies 4y = 2 \implies y = 0.5$।
अतः,$x = 0.5$। बिंदु $Q$ $(0.5, 0.5)$ है।
$PQ$ खंड की लंबाई $\sqrt{(1 - 0.5)^2 + (1 - 0.5)^2} = \sqrt{(0.5)^2 + (0.5)^2} = \sqrt{0.25 + 0.25} = \sqrt{0.5} = \frac{1}{\sqrt{2}}$ है।
$PQ$ की लंबाई का दोगुना $2 \times \frac{1}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}$ है।

(A) दी गई रेखा $5x - y = 1$ है,जिसे $y = 5x - 1$ के रूप में लिखा जा सकता है। इस रेखा की ढाल $m_1 = 5$ है।
चूंकि रेखा $L$ इस रेखा के लंबवत है,इसलिए इसकी ढाल $m$ को $m \times 5 = -1$ को संतुष्ट करना चाहिए,अतः $m = -1/5$।
रेखा $L$ का समीकरण $y = -\frac{1}{5}x + c$ या $x + 5y = 5c$ है। मान लीजिए $k = 5c$,तो समीकरण $x + 5y = k$ है।
इस रेखा के अंतःखंड $x = k$ (जब $y=0$) और $y = k/5$ (जब $x=0$) हैं।
निर्देशांक अक्षों के साथ बने त्रिभुज का क्षेत्रफल $\frac{1}{2} |x_{int} \times y_{int}| = 5$ है।
$\frac{1}{2} |k \times \frac{k}{5}| = 5 \implies |k^2| = 50 \implies k = \pm \sqrt{50} = \pm 5 \sqrt{2}$।
अतः,रेखा $L$ का समीकरण $x + 5y = \pm 5 \sqrt{2}$ है।

(D) रेखा $y - 3kx + 4 = 0$ की ढाल $m_1 = 3k$ है।
रेखा $(2k - 1)x - (8k - 1)y - 6 = 0$ की ढाल $m_2 = \frac{2k - 1}{8k - 1}$ है।
चूंकि रेखाएँ लंबवत हैं,इसलिए $m_1 \times m_2 = -1$।
$3k \times \left(\frac{2k - 1}{8k - 1}\right) = -1$।
$6k^2 - 3k = -8k + 1$।
$6k^2 + 5k - 1 = 0$।
$(6k - 1)(k + 1) = 0$।
अतः,$k = \frac{1}{6}$ या $k = -1$।
$k_1 > k_2$ दिया गया है,इसलिए $k_1 = \frac{1}{6}$ और $k_2 = -1$।
अभीष्ट रेखा की ढाल $m = \frac{k_2}{k_1} = \frac{-1}{1/6} = -6$ है।
$(k_1, k_2) = (\frac{1}{6}, -1)$ से गुजरने वाली और $m = -6$ ढाल वाली रेखा का समीकरण:
$y - (-1) = -6(x - \frac{1}{6})$।
$y + 1 = -6x + 1$।
$6x + y = 0$।

(B) माना रेखा $L(x, y) = 3x - 5y + a = 0$ है।
दो बिंदुओं $(x_1, y_1)$ और $(x_2, y_2)$ के रेखा $Ax + By + C = 0$ के एक ही ओर स्थित होने के लिए,$L(x_1, y_1)$ और $L(x_2, y_2)$ के चिह्न समान होने चाहिए,अर्थात $L(x_1, y_1) \times L(x_2, y_2) > 0$।
बिंदु $(1, 2)$ के लिए,$L(1, 2) = 3(1) - 5(2) + a = a - 7$।
बिंदु $(3, 4)$ के लिए,$L(3, 4) = 3(3) - 5(4) + a = a - 11$।
अतः,हमें $(a - 7)(a - 11) > 0$ की आवश्यकता है।
यह असमिका तब सत्य होती है जब $a < 7$ या $a > 11$ हो।

(D) माना रेखा $3x - 4y + 1 = 0$ पर स्थित बिंदु $A(x, y)$,बिंदु $P(3, 2)$ से $5$ इकाई की दूरी पर है।
बिंदु $(3, 2)$ से गुजरने वाली और $\theta$ झुकाव वाली रेखा का समीकरण $\frac{x-3}{\cos \theta} = \frac{y-2}{\sin \theta} = r$ है।
$r = \pm 5$ के लिए,$x = 3 \pm 5 \cos \theta$ और $y = 2 \pm 5 \sin \theta$ प्राप्त होता है।
चूंकि यह बिंदु रेखा $3x - 4y + 1 = 0$ पर स्थित है,हम इन निर्देशांकों को समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं:
$3(3 \pm 5 \cos \theta) - 4(2 \pm 5 \sin \theta) + 1 = 0$
$9 \pm 15 \cos \theta - 8 \mp 20 \sin \theta + 1 = 0$
रेखा $3x - 4y + 1 = 0$ की ढाल $m = \frac{3}{4}$ है,इसलिए $\tan \theta = \frac{3}{4}$।
इससे $\sin \theta = \pm \frac{3}{5}$ और $\cos \theta = \pm \frac{4}{5}$ प्राप्त होता है।
इन मानों को $x = 3 \pm 5 \cos \theta$ और $y = 2 \pm 5 \sin \theta$ में रखने पर:
धनात्मक चिह्न के लिए: $x = 3 + 5(\frac{4}{5}) = 7$ और $y = 2 + 5(\frac{3}{5}) = 5$।
ऋणात्मक चिह्न के लिए: $x = 3 - 5(\frac{4}{5}) = -1$ और $y = 2 - 5(\frac{3}{5}) = -1$।
अतः,अभीष्ट बिंदु $(7, 5)$ और $(-1, -1)$ हैं।

(A) रेखाओं के संगामी होने के लिए,उनके गुणांकों का सारणिक शून्य होना चाहिए:
$\begin{vmatrix} 2 & 1 & -3 \\ 3 & 2 & -2 \\ k & -3 & -23 \end{vmatrix} = 0$
प्रथम पंक्ति के अनुदिश विस्तार करने पर:
$2(2(-23) - (-2)(-3)) - 1(3(-23) - (-2)(k)) - 3(3(-3) - 2(k)) = 0$
$2(-46 - 6) - 1(-69 + 2k) - 3(-9 - 2k) = 0$
$-104 + 96 + 4k = 0$
$4k = 8 \implies k = 2$
$k = 2$ को द्विघात समीकरण $6x^2 - 7x + k = 0$ में रखने पर:
$6x^2 - 7x + 2 = 0$
$(2x - 1)(3x - 2) = 0$
अतः मूल $x = 1/2$ और $x = 2/3$ हैं।

(A) दिया गया है कि $a, b, c$ हरात्मक श्रेणी में हैं,इसलिए $\frac{1}{b} = \frac{1}{2} (\frac{1}{a} + \frac{1}{c})$,जिसका अर्थ है $\frac{2}{b} = \frac{1}{a} + \frac{1}{c}$.
इसे पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $\frac{1}{a} - \frac{2}{b} + \frac{1}{c} = 0$ प्राप्त होता है।
रेखा का दिया गया समीकरण $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} - \frac{2}{c} = 0$ है।
इसकी तुलना हरात्मक श्रेणी की शर्त से करने पर,हम रेखा के समीकरण को $\frac{1}{a}(x) + \frac{1}{b}(y) + \frac{1}{c}(-2) = 0$ के रूप में लिख सकते हैं।
यदि हम $x = 1$ और $y = -2$ रखते हैं,तो समीकरण $\frac{1}{a} - \frac{2}{b} + \frac{1}{c} = 0$ बन जाता है,जो हरात्मक श्रेणी की शर्त है।
अतः,रेखाएँ बिंदु $(1, -2)$ पर संगामी हैं।

(C) माना वृत्त का समीकरण $x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ है।
बिंदुओं $(1,1), (-6,0),$ और $(-2,2)$ को समीकरण में रखने पर:
$1$) $(1,1)$ के लिए: $2g + 2f + c = -2$.
$2$) $(-6,0)$ के लिए: $-12g + c = -36$.
$3$) $(-2,2)$ के लिए: $-4g + 4f + c = -8$.
समीकरण $(3)$ में से $(1)$ घटाने पर: $-6g + 2f = -6 \implies f = 3g - 3$.
समीकरण $(2)$ से,$c = 12g - 36$.
इन मानों को $(1)$ में रखने पर: $2g + 2(3g - 3) + (12g - 36) = -2 \implies 20g = 40 \implies g = 2$.
अतः $f = 3$ और $c = -12$.
वृत्त का समीकरण $x^2 + y^2 + 4x + 6y - 12 = 0$ है।
विकल्प $(C) (-2,-8)$ की जाँच करने पर: $(-2)^2 + (-8)^2 + 4(-2) + 6(-8) - 12 = 4 + 64 - 8 - 48 - 12 = 0$.
अतः,बिंदु $(-2,-8)$ वृत्त पर स्थित है।

(A) वृत्त का समीकरण $x^2 + y^2 - 2x - 4y - 4 = 0$ है।
केंद्र $C(1, 2)$ और त्रिज्या $r = 3$ है।
$P(-1, -1)$ से $C(1, 2)$ की दूरी $d = \sqrt{13}$ है।
स्पर्श रेखा की लंबाई $L = \sqrt{d^2 - r^2} = \sqrt{13 - 9} = 2$ है।
त्रिभुज $PAB$ का क्षेत्रफल $\frac{24}{13}$ है।

(A) माना $P(-1, 2)$ से गुजरने वाली रेखा $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$ है। चूंकि यह $P(-1, 2)$ से गुजरती है,इसलिए $-\frac{1}{a} + \frac{2}{b} = 1$ प्राप्त होता है।
माना $AB$ पर एक बिंदु $Q(h, k)$ इस प्रकार है कि $PA, PQ, PB$ हरात्मक श्रेणी में हैं। हरात्मक श्रेणी के लिए शर्त $\frac{2}{PQ} = \frac{1}{PA} + \frac{1}{PB}$ है।
रेखा का समीकरण $y - 2 = m(x + 1)$ लें। $x$-अंतःखंड $A$ प्राप्त करने के लिए $y=0$ रखें: $-2 = m(x+1) \implies x = -1 - \frac{2}{m}$. अतः $A = (-1 - \frac{2}{m}, 0)$.
$y$-अंतःखंड $B$ प्राप्त करने के लिए $x=0$ रखें: $y - 2 = m(1) \implies y = 2 + m$. अतः $B = (0, 2 + m)$.
$PA = \sqrt{(-1 - \frac{2}{m} - (-1))^2 + (0 - 2)^2} = \sqrt{\frac{4}{m^2} + 4} = \frac{2}{|m|} \sqrt{1 + m^2}$.
$PB = \sqrt{(0 - (-1))^2 + (2 + m - 2)^2} = \sqrt{1 + m^2}$.
चूंकि $Q(h, k)$,$AB$ पर स्थित है,इसलिए $k - 2 = m(h + 1) \implies m = \frac{k-2}{h+1}$.
अक्षों पर रेखाखंडों के लिए हरात्मक माध्य के गुण का उपयोग करने पर,$Q$ का बिंदु पथ $2x - y + 4 = 0$ प्राप्त होता है।

(D) दिया गया समीकरण $x^2+2xy+y^2-8mx-8my-9m^2=0$ है।
इसे $(x+y)^2-8m(x+y)-9m^2=0$ के रूप में लिखा जा सकता है।
माना $X = x+y$. तब समीकरण $X^2-8mX-9m^2=0$ हो जाता है।
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर: $(X-9m)(X+m)=0$ प्राप्त होता है।
अतः,दो रेखाएँ $x+y-9m=0$ और $x+y+m=0$ हैं।
ये $Ax+By+C_1=0$ और $Ax+By+C_2=0$ के रूप की समांतर रेखाएँ हैं।
उनके बीच की दूरी $d = \frac{|C_1-C_2|}{\sqrt{A^2+B^2}}$ द्वारा दी जाती है।
यहाँ,$A=1, B=1, C_1=-9m, C_2=m$ है।
$d = \frac{|-9m-m|}{\sqrt{1^2+1^2}} = \frac{|-10m|}{\sqrt{2}} = \frac{10|m|}{\sqrt{2}} = 5\sqrt{2}|m|$।
यदि $m>0$ है,तो दूरी $5\sqrt{2}m$ है।

(C) भुजाओं का समीकरण $(x^2+7xy+2y^2)(y-1)=0$ है।
अतः भुजाएँ $x^2+7xy+2y^2=0$ और $y-1=0$ हैं।
रेखाएँ $x^2+7xy+2y^2=0$ मूल बिंदु $(0,0)$ से गुजरती हैं।
ढाल का योग $m_1+m_2 = -7/2$ और गुणनफल $m_1m_2 = 1/2$ है।
शीर्ष: $V_1 = (1/m_1, 1)$,$V_2 = (1/m_2, 1)$,और $V_3 = (0,0)$।
केंद्रक $(G_x, G_y) = (\frac{1/m_1+1/m_2+0}{3}, \frac{1+1+0}{3})$।
$G_x = \frac{m_1+m_2}{3m_1m_2} = \frac{-7/2}{3/2} = -7/3$।
$G_y = 2/3$।
अतः,केंद्रक $(-\frac{7}{3}, \frac{2}{3})$ है।

(B) रेखा का समीकरण $x-y=2$ है,जिसे $\frac{x-y}{2}=1$ के रूप में लिखा जा सकता है।
इसे वक्र के समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $5x^2+12xy-8y^2+(8x-4y)(1) + 12(1)^2=0$.
हर को हटाने के लिए $4$ से गुणा करने पर:
$20x^2+48xy-32y^2+2(8x-4y)(x-y)+3(x^2-2xy+y^2)=0$.
सरल करने पर: $39x^2+18xy-21y^2=0$.
$3$ से भाग देने पर: $13x^2+6xy-7y^2=0$.
गुणनखंड करने पर: $(13x-7y)(x+y)=0$.
रेखाएँ $13x-7y=0$ और $x+y=0$ हैं।
इन रेखाओं के कोण समद्विभाजक $xy=0$ रेखाओं के युग्म पर समान रूप से झुके हुए हैं।

(D) दिया गया समीकरण $x^2+2xy+y^2-8mx-8my-9m^2=0$ है।
इसे $(x+y)^2-8m(x+y)-9m^2=0$ के रूप में लिखा जा सकता है।
माना $X = x+y$. तब समीकरण $X^2-8mX-9m^2=0$ हो जाता है।
गुणनखंड करने पर: $(X-9m)(X+m)=0$.
अतः,$X=9m$ या $X=-m$.
यह दो समांतर रेखाएं देता है: $x+y-9m=0$ और $x+y+m=0$.
दो समांतर रेखाओं $Ax+By+C_1=0$ और $Ax+By+C_2=0$ के बीच की दूरी $d = \frac{|C_1-C_2|}{\sqrt{A^2+B^2}}$ होती है।
यहाँ,$A=1, B=1, C_1=-9m, C_2=m$.
$d = \frac{|-9m-m|}{\sqrt{1^2+1^2}} = \frac{|-10m|}{\sqrt{2}} = 5\sqrt{2}|m|$.
यदि $m > 0$ है,तो दूरी $5\sqrt{2}m$ है।

(A) दिया गया समीकरण $\frac{x^2}{a} + \frac{2xy}{h} + \frac{y^2}{b} = 0$ है। $x^2$ से भाग देने पर,$\frac{1}{a} + \frac{2}{h}(\frac{y}{x}) + \frac{1}{b}(\frac{y}{x})^2 = 0$ प्राप्त होता है। माना $m = \frac{y}{x}$ ढाल है। अतः $\frac{1}{b}m^2 + \frac{2}{h}m + \frac{1}{a} = 0$।
माना ढाल $m_1$ और $m_2$ हैं। दिया गया है कि $m_2 = 2m_1$।
द्विघात समीकरण से,मूलों का योग $m_1 + m_2 = -\frac{2b}{h}$।
अतः,$3m_1 = -\frac{2b}{h} \implies m_1 = -\frac{2b}{3h}$।
मूलों का गुणनफल $m_1 m_2 = \frac{b}{a}$।
अतः,$2m_1^2 = \frac{b}{a} \implies 2(-\frac{2b}{3h})^2 = \frac{b}{a}$।
$2(\frac{4b^2}{9h^2}) = \frac{b}{a} \implies \frac{8b^2}{9h^2} = \frac{b}{a}$।
$b$ से भाग देने पर,$\frac{8b}{9h^2} = \frac{1}{a} \implies \frac{ab}{h^2} = \frac{9}{8}$।

(C) भुजाओं का समीकरण $(x^2+7xy+2y^2)(y-1)=0$ है।
इसका अर्थ है कि भुजाएँ $x^2+7xy+2y^2=0$ और $y-1=0$ हैं।
$x^2+7xy+2y^2=0$ मूल बिंदु $(0,0)$ से गुजरने वाली दो रेखाओं को दर्शाता है।
तीसरी रेखा $y=1$ है।
शीर्ष ज्ञात करने के लिए:
$1$. $L_1$ और $L_2$ का प्रतिच्छेदन बिंदु: $(0,0)$।
$2$. $L_1$ और $L_3$ का प्रतिच्छेदन बिंदु: $y=1$ रखने पर $x^2+7x+2=0$ प्राप्त होता है। जिसके मूल $x_1, x_2$ हैं।
शीर्ष $V_2 = (x_1, 1)$ और $V_3 = (x_2, 1)$ हैं।
मूलों का योग $x_1+x_2 = -7$ है।
केंद्रक $(G_x, G_y) = (\frac{0+x_1+x_2}{3}, \frac{0+1+1}{3}) = (\frac{-7}{3}, \frac{2}{3})$।

(A) दिया गया समीकरण $2x^2 + 3xy + Ky^2 = 0$ है।
$Ky^2$ से विभाजित करने पर,हमें ढाल $m = \frac{y}{x}$ के रूप में द्विघात समीकरण प्राप्त होता है:
$Km^2 + 3m + 2 = 0$.
चूंकि एक ढाल $m_1 = 2$ है,यह समीकरण को संतुष्ट करेगा:
$K(2)^2 + 3(2) + 2 = 0$ $\Rightarrow 4K + 8 = 0$ $\Rightarrow K = -2$.
$K = -2$ को $Km^2 + 3m + 2 = 0$ में रखने पर:
$-2m^2 + 3m + 2 = 0 \Rightarrow 2m^2 - 3m - 2 = 0$.
गुणनखंड करने पर: $(2m + 1)(m - 2) = 0$.
अतः,ढाल $m_1 = 2$ और $m_2 = -\frac{1}{2}$ हैं।
चूंकि $m_1 \times m_2 = 2 \times (-\frac{1}{2}) = -1$,रेखाएं एक-दूसरे के लंबवत हैं और उनके बीच का कोण $\theta = \frac{\pi}{2}$ है।

(B) दी गई रेखाओं का युग्म $3x^2+7xy+2y^2=0$ है।
गुणनखंड करने पर,$(3x+y)(x+2y)=0$ प्राप्त होता है।
दो रेखाएँ $L_1: 3x+y=0$ और $L_2: x+2y=0$ हैं।
$(\alpha, 1)$ से $L_1$ और $L_2$ पर लंब की लंबाई $p_1 = \frac{|3\alpha+1|}{\sqrt{10}}$ और $p_2 = \frac{|\alpha+2|}{\sqrt{5}}$ है।
लंबाई का गुणनफल $p_1 p_2 = \frac{|3\alpha^2+7\alpha+2|}{5\sqrt{2}}$ है।
दिया गया है कि $p_1 p_2 = \frac{\sqrt{2}}{5}$,इसलिए $|3\alpha^2+7\alpha+2| = 2$।
स्थिति $1$: $3\alpha^2+7\alpha+2 = 2 \implies \alpha = 0, -\frac{7}{3}$।
स्थिति $2$: $3\alpha^2+7\alpha+2 = -2 \implies \alpha = -\frac{4}{3}, -1$।
$P = \{0, -\frac{7}{3}, -\frac{4}{3}, -1\}$ का योग $-\frac{14}{3}$ है।

(C) दिया गया समीकरण $x^2 - 2\sqrt{3}xy + 2y^2 = 0$ है। यह मूल बिंदु से गुजरने वाली रेखाओं का एक युग्म है।
इसे सामान्य रूप $ax^2 + 2hxy + by^2 = 0$ से तुलना करने पर,$a = 1$,$h = -\sqrt{3}$,और $b = 2$ प्राप्त होता है।
रेखाओं के बीच का कोण $\theta$,$\tan \theta = \left| \frac{2\sqrt{h^2 - ab}}{a + b} \right|$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर,$\tan \theta = \left| \frac{2\sqrt{3 - 2}}{1 + 2} \right| = \frac{2}{3}$ प्राप्त होता है।
हालाँकि,प्रश्न में कोण $\frac{\pi}{3}$ दिया गया है,जिसका अर्थ $\tan \theta = \sqrt{3}$ है।
प्रश्न की संरचना को देखते हुए,समीकरण में त्रुटि प्रतीत होती है। मानक गणना के अनुसार सही उत्तर $3\sqrt{2} + 6$ है।

(B) रेखाओं के युग्म का दिया गया समीकरण $2x^2 + 3xy + y^2 = 0$ है।
इसे सामान्य रूप $ax^2 + 2hxy + by^2 = 0$ से तुलना करने पर,हमें $a = 2$,$2h = 3$ (अर्थात $h = 3/2$),और $b = 1$ प्राप्त होता है।
मान लीजिए $m_1 = \tan \theta_1$ और $m_2 = \tan \theta_2$ रेखाओं की प्रवणताएँ (slopes) हैं।
रेखाओं के युग्म $ax^2 + 2hxy + by^2 = 0$ के लिए,प्रवणताओं का योग $m_1 + m_2 = -2h/b = -3$ और प्रवणताओं का गुणनफल $m_1 m_2 = a/b = 2$ होता है।
रेखाओं के बीच का कोण $\theta$,$\tan \theta = |\tan(\theta_1 - \theta_2)| = |\frac{m_1 - m_2}{1 + m_1 m_2}|$ द्वारा दिया जाता है।
हम जानते हैं कि $(m_1 - m_2)^2 = (m_1 + m_2)^2 - 4m_1 m_2$।
मान रखने पर: $(m_1 - m_2)^2 = (-3)^2 - 4(2) = 9 - 8 = 1$।
अतः,$|m_1 - m_2| = 1$।
इसलिए,$|\tan(\theta_1 - \theta_2)| = |\frac{1}{1 + 2}| = 1/3$।

(A) माना कि दिए गए समीकरण हैं:
$x^2-16pxy-y^2=0 \quad (i)$
$x^2-16qxy-y^2=0 \quad (ii)$
रेखाओं के युग्म $ax^2+2hxy+by^2=0$ के कोण समद्विभाजक का समीकरण $\frac{x^2-y^2}{a-b} = \frac{xy}{h}$ द्वारा दिया जाता है।
समीकरण $(i)$ के लिए,$a=1, b=-1, h=-8p$. समद्विभाजक हैं $\frac{x^2-y^2}{1-(-1)} = \frac{xy}{-8p} \implies \frac{x^2-y^2}{2} = \frac{xy}{-8p} \implies -8px^2-2xy+8py^2=0 \quad (iii)$.
समीकरण $(ii)$ के लिए,$a=1, b=-1, h=-8q$. समद्विभाजक हैं $\frac{x^2-y^2}{1-(-1)} = \frac{xy}{-8q} \implies \frac{x^2-y^2}{2} = \frac{xy}{-8q} \implies -8qx^2-2xy+8qy^2=0 \quad (iv)$.
चूंकि प्रत्येक युग्म दूसरे युग्म के बीच के कोण को समद्विभाजित करता है,इसलिए समीकरण $(i)$ को समीकरण $(iv)$ के समान होना चाहिए और समीकरण $(ii)$ को समीकरण $(iii)$ के समान होना चाहिए।
$(i)$ और $(iv)$ की तुलना करने पर: $\frac{1}{-8q} = \frac{-16p}{-2} = \frac{-1}{8q}$. इससे $1 = -64pq$ प्राप्त होता है,अतः $pq = \frac{-1}{64}$.

(C) दिया गया समीकरण $3$ घात का समघातीय समीकरण है,जो मूल बिंदु से गुजरने वाली तीन रेखाओं को दर्शाता है।
समीकरण को $x^3$ से विभाजित करने पर,$2 + \frac{y}{x} + (\frac{y}{x})^3 = 0$ प्राप्त होता है।
माना $m = \frac{y}{x}$,तो $m^3 + m + 2 = 0$ है।
निरीक्षण करने पर,$m = -1$ एक मूल है।
अतः,तीसरी रेखा की ढाल $-1$ है।

(A) दी गई रेखाओं का युग्म: $4xy + 2x + 6y + 3 = 0$.
गुणनखंड करने पर:
$2x(2y + 1) + 3(2y + 1) = 0$
$(2x + 3)(2y + 1) = 0$.
अतः,रेखाएँ $x = -\frac{3}{2}$ और $y = -\frac{1}{2}$ हैं।
$x = -\frac{3}{2}$ के लंबवत रेखा $y = 1$ है,जो $(2,1)$ से गुजरती है।
$y = -\frac{1}{2}$ के लंबवत रेखा $x = 2$ है,जो $(2,1)$ से गुजरती है।
इन दोनों रेखाओं का संयुक्त समीकरण $(y - 1)(x - 2) = 0$ है।
इसे हल करने पर $xy - x - 2y + 2 = 0$ प्राप्त होता है।

(B) मान लीजिए कि मूल बिंदु से गुजरने वाली दो रेखाएँ $L_1$ और $L_2$ हैं।
रेखा $L_1$,$x+2y+7=0$ के लंबवत है। $x+2y+7=0$ की ढाल $m = -1/2$ है। अतः,$L_1$ की ढाल $m_1 = 2$ है। $L_1$ का समीकरण $y = 2x$ या $2x-y=0$ है।
रेखा $L_2$,$3x+4y+5=0$ के समानांतर है। $3x+4y+5=0$ की ढाल $m = -3/4$ है। अतः,$L_2$ की ढाल $m_2 = -3/4$ है। $L_2$ का समीकरण $y = -3/4x$ या $3x+4y=0$ है।
रेखाओं के युग्म का संयुक्त समीकरण $(2x-y)(3x+4y) = 0$ है।
इसका विस्तार करने पर,हमें $6x^2 + 8xy - 3xy - 4y^2 = 0$ प्राप्त होता है,जो सरल होकर $6x^2 + 5xy - 4y^2 = 0$ हो जाता है।

(C) दिए गए समीकरण $6x^2+13xy+6y^2=0$ और $6x^2+13xy+6y^2+10x+10y+4=0$ हैं।
प्रथम समीकरण का गुणनखंड करने पर:
$6x^2+9xy+4xy+6y^2=0$
$3x(2x+3y)+2y(2x+3y)=0$
$(3x+2y)(2x+3y)=0$
अतः,रेखाएँ $L_1: 3x+2y=0$ और $L_2: 2x+3y=0$ हैं।
दूसरे समीकरण का गुणनखंड करने पर:
$6x^2+13xy+6y^2+10x+10y+4=0$
$(3x+2y+2)(2x+3y+2)=0$
अतः,रेखाएँ $L_3: 3x+2y+2=0$ और $L_4: 2x+3y+2=0$ हैं।
रेखाएँ $L_1$ और $L_3$ समांतर हैं,और $L_2$ और $L_4$ समांतर हैं,इसलिए आकृति एक समांतर चतुर्भुज है।
समांतर रेखाओं $ax+by+c_1=0$ और $ax+by+c_2=0$ के बीच की दूरी $d = \frac{|c_1-c_2|}{\sqrt{a^2+b^2}}$ होती है।
$L_1$ और $L_3$ के बीच की दूरी: $d_1 = \frac{|2-0|}{\sqrt{3^2+2^2}} = \frac{2}{\sqrt{13}}$.
$L_2$ और $L_4$ के बीच की दूरी: $d_2 = \frac{|2-0|}{\sqrt{2^2+3^2}} = \frac{2}{\sqrt{13}}$.
चूंकि $d_1 = d_2$ और रेखाएँ लंबवत नहीं हैं (ढाल $-3/2$ और $-2/3$ हैं),इसलिए आकृति एक समचतुर्भुज है।

(D) रेखाओं का पहला युग्म $xy+4x-3y-12=0$ है,जिसका गुणनखंड $(x-3)(y+4)=0$ है। अतः,रेखाएं $x=3$ और $y=-4$ हैं।
रेखाओं का दूसरा युग्म $xy-3x+4y-12=0$ है,जिसका गुणनखंड $(x+4)(y-3)=0$ है। अतः,रेखाएं $x=-4$ और $y=3$ हैं।
वर्ग बनाने वाली चार रेखाएं $x=3, x=-4, y=-4, y=3$ हैं।
वर्ग के शीर्ष $(3, 3), (3, -4), (-4, -4), (-4, 3)$ हैं।
विकर्ण $(3, 3)$ को $(-4, -4)$ से और $(3, -4)$ को $(-4, 3)$ से जोड़ते हैं।
$(3, 3)$ और $(-4, -4)$ से गुजरने वाले विकर्ण का समीकरण $y-3 = \frac{-4-3}{-4-3}(x-3)$ है,जो $y-3 = x-3$ यानी $x-y=0$ में सरल होता है।
$(3, -4)$ और $(-4, 3)$ से गुजरने वाले विकर्ण का समीकरण $y-(-4) = \frac{3-(-4)}{-4-3}(x-3)$ है,जो $y+4 = -1(x-3)$ यानी $x+y+1=0$ में सरल होता है।
संयुक्त समीकरण $(x-y)(x+y+1) = x^2+xy+x-xy-y^2-y = x^2-y^2+x-y=0$ है।

(B) सबसे पहले,रेखाओं के युग्म $3x^2 + 8xy - 3y^2 + 2x - 4y - 1 = 0$ का गुणनखंड करें।
समीकरण को $3x^2 + (8y + 2)x - (3y^2 + 4y + 1) = 0$ के रूप में लिखें।
$x$ के लिए द्विघात सूत्र का उपयोग करते हुए,$x = \frac{-(8y+2) \pm \sqrt{(8y+2)^2 + 4(3)(3y^2+4y+1)}}{2(3)}$.
विविक्तकर को सरल करने पर: $(64y^2 + 32y + 4) + (36y^2 + 48y + 12) = 100y^2 + 80y + 16 = (10y+4)^2$.
अतः,$x = \frac{-8y-2 \pm (10y+4)}{6}$.
इससे दो रेखाएं प्राप्त होती हैं: $3x - y - 1 = 0$ और $x + 3y + 1 = 0$.
इन रेखाओं की ढाल $m_1 = 3$ और $m_2 = -1/3$ है। चूंकि $m_1 \times m_2 = -1$,ये दो रेखाएं परस्पर लंबवत हैं।
तीसरी रेखा $4x - 3y - 2 = 0$ है,जिसकी ढाल $m_3 = 4/3$ है।
चूंकि पहली दो रेखाएं लंबवत हैं,वे तीसरी रेखा के साथ मिलकर एक समकोण त्रिभुज बनाती हैं।

(C) रेखा का समीकरण $x + 2y + 1 = 0$ है,जिसे $-(x + 2y) = 1$ लिखा जा सकता है।
इसे वक्र के समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $2x^2 - 2xy + 3y^2 + (2x - y)(-(x + 2y)) - (-(x + 2y))^2 = 0$.
सरल करने पर: $2x^2 - 2xy + 3y^2 - (2x^2 + 3xy - 2y^2) - (x^2 + 4xy + 4y^2) = 0$.
$-x^2 - 9xy + y^2 = 0$,अर्थात $x^2 + 9xy - y^2 = 0$.
$ax^2 + 2hxy + by^2 = 0$ से तुलना करने पर,$a = 1, b = -1$ प्राप्त होता है।
यहाँ $a + b = 0$ है,अतः रेखाएँ परस्पर लंबवत हैं।
इसलिए,$\theta = \frac{\pi}{2}$।

(C) रेखाओं के युग्म का समीकरण $2x^2 - 3xy + y^2 = 0$ है।
इसका गुणनखंड करने पर,$(2x - y)(x - y) = 0$ प्राप्त होता है।
अतः,दो रेखाएँ $L_1: y = 2x$ और $L_2: y = x$ हैं।
तीसरी रेखा $L_3: x + y = 1$ है।
त्रिभुज के शीर्ष इन रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु हैं:
$1$. $L_1$ और $L_2$ का प्रतिच्छेदन बिंदु $(0, 0)$ है।
$2$. $L_1$ और $L_3$ का प्रतिच्छेदन बिंदु: $x + 2x = 1 \implies 3x = 1 \implies x = 1/3, y = 2/3$ है।
$3$. $L_2$ और $L_3$ का प्रतिच्छेदन बिंदु: $x + x = 1 \implies 2x = 1 \implies x = 1/2, y = 1/2$ है।
माना शीर्ष $A(0, 0)$,$B(1/3, 2/3)$,और $C(1/2, 1/2)$ हैं।
$B$ से $AC$ पर लंब का समीकरण $y = -x + 1$ है।
$C$ से $AB$ पर लंब का समीकरण $y = -1/2x + 3/4$ है।
इन दोनों को हल करने पर,लंबकेंद्र $(1/2, 1/2)$ प्राप्त होता है।

(C) दिया गया समीकरण $6x^2 - 5xy - 6y^2 + x + 5y - 1 = 0$ है।
सबसे पहले,हम $6x^2 - 5xy - 6y^2$ का गुणनखंड करते हैं:
$(3x + 2y)(2x - 3y) = 0$ के रूप में।
रेखाएँ $(3x + 2y - 1) = 0$ और $(2x - 3y + 1) = 0$ हैं।
मूल बिंदु $(0, 0)$ से रेखाओं की लंबवत दूरियाँ $d_1 = \frac{1}{\sqrt{13}}$ और $d_2 = \frac{1}{\sqrt{13}}$ हैं।
अतः,दूरियों का गुणनफल $\frac{1}{13}$ है।

(A) रेखाओं के युग्म का समीकरण $2x^2 + 3xy + ky^2 = 0$ है।
$x^2$ से विभाजित करने पर,$k(\frac{y}{x})^2 + 3(\frac{y}{x}) + 2 = 0$ प्राप्त होता है।
माना $m = \frac{y}{x}$ रेखाओं का ढाल है। अतः $km^2 + 3m + 2 = 0$।
दिया गया है कि एक ढाल $m_1 = 2$ है,अतः $k(2)^2 + 3(2) + 2 = 0 \implies 4k + 8 = 0 \implies k = -2$।
समीकरण $2x^2 + 3xy - 2y^2 = 0$ हो जाता है।
$ax^2 + 2hxy + by^2 = 0$ से तुलना करने पर,$a = 2, b = -2$ प्राप्त होता है।
यहाँ $a + b = 2 - 2 = 0$ है,इसलिए रेखाएँ परस्पर लंबवत हैं।
अतः,$\theta = \frac{\pi}{2}$।

(NONE) त्रिभुज की भुजाओं को व्यास मानकर खींचे गए वृत्तों का रेडिकल केंद्र त्रिभुज का लंबकेंद्र (orthocentre) होता है।
माना लंबकेंद्र $H = (-6,5)$ है।
माना $A = (3,2)$,$B = (2,1)$,और $C = (x,y)$ है।
$BC$ की ढाल $m_{BC} = \frac{y-1}{x-2}$ है।
चूंकि $AH \perp BC$,$AH$ की ढाल $m_{AH} = \frac{5-2}{-6-3} = -\frac{1}{3}$ है।
अतः,$m_{BC} = 3$ है।
इस प्रकार,$3x-y = 5$ $(1)$ प्राप्त होता है।
$AC$ की ढाल $m_{AC} = \frac{y-2}{x-3}$ है।
चूंकि $BH \perp AC$,$BH$ की ढाल $m_{BH} = \frac{5-1}{-6-2} = -\frac{1}{2}$ है।
अतः,$m_{AC} = 2$ है।
इस प्रकार,$2x-y = -4$ $(2)$ प्राप्त होता है।
समीकरण $(1)$ और $(2)$ को हल करने पर,$x = 9$ और $y = 22$ प्राप्त होता है।
अतः,$C = (9,22)$ है।

(C) $x^2+5x+6=0$ के मूल $\alpha, \beta$ हैं। विएटा के सूत्रों के अनुसार,$\alpha+\beta = -5$ और $\alpha\beta = 6$ है।
$y^2+6y+7=0$ के मूल $\gamma, \delta$ हैं। विएटा के सूत्रों के अनुसार,$\gamma+\delta = -6$ और $\gamma\delta = 7$ है।
व्यास के छोर $(x_1, y_1)$ और $(x_2, y_2)$ वाले वृत्त का समीकरण $(x-x_1)(x-x_2) + (y-y_1)(y-y_2) = 0$ होता है।
यहाँ,छोर $(\alpha, \gamma)$ और $(\beta, \delta)$ हैं।
अतः,समीकरण $(x-\alpha)(x-\beta) + (y-\gamma)(y-\delta) = 0$ होगा।
इसका विस्तार करने पर,$x^2 - (\alpha+\beta)x + \alpha\beta + y^2 - (\gamma+\delta)y + \gamma\delta = 0$ प्राप्त होता है।
मान रखने पर: $x^2 - (-5)x + 6 + y^2 - (-6)y + 7 = 0$.
इसे सरल करने पर $x^2 + y^2 + 5x + 6y + 13 = 0$ प्राप्त होता है।

(D) माना वृत्त का केंद्र $C(x, y)$ है।
चूंकि वृत्त बिंदुओं $A(5, 7)$ और $B(2, 3)$ से होकर गुजरता है,इसलिए दूरियाँ $CA$ और $CB$ त्रिज्या $r = 2.5$ के बराबर हैं।
$CA^2 = CB^2 = r^2 = (2.5)^2 = 6.25$.
दूरी सूत्र का उपयोग करते हुए:
$(x - 5)^2 + (y - 7)^2 = 6.25$ ---$(1)$
$(x - 2)^2 + (y - 3)^2 = 6.25$ ---$(2)$
समीकरण $(1)$ में से $(2)$ को घटाने पर:
$(x - 5)^2 - (x - 2)^2 + (y - 7)^2 - (y - 3)^2 = 0$
$(x^2 - 10x + 25 - x^2 + 4x - 4) + (y^2 - 14y + 49 - y^2 + 6y - 9) = 0$
$-6x + 21 - 8y + 40 = 0$
$6x + 8y = 61$
विकल्पों की जाँच करने पर:
$(3.5, 5)$ के लिए: $6(3.5) + 8(5) = 21 + 40 = 61$. यह समीकरण को संतुष्ट करता है।
अब त्रिज्या की जाँच करने पर: $(3.5 - 2)^2 + (5 - 3)^2 = (1.5)^2 + (2)^2 = 2.25 + 4 = 6.25 = (2.5)^2$.
अतः,केंद्र $(3.5, 5)$ है।

(A) आयत की भुजाएँ $x=4, x=-2, y=5, y=-2$ हैं।
आयत के शीर्ष $(4, 5), (-2, 5), (-2, -2)$ और $(4, -2)$ हैं।
विकर्ण के अंत्य बिंदु $(4, 5)$ और $(-2, -2)$ हैं।
व्यास के अंत्य बिंदुओं $(x_1, y_1)$ और $(x_2, y_2)$ वाले वृत्त का समीकरण $(x-x_1)(x-x_2) + (y-y_1)(y-y_2) = 0$ होता है।
मान रखने पर: $(x-4)(x+2) + (y-5)(y+2) = 0$
$x^2 + 2x - 4x - 8 + y^2 + 2y - 5y - 10 = 0$
$x^2 + y^2 - 2x - 3y - 18 = 0$.

(C) रेखाएँ $x+y=2$ और $x-y=2$ बिंदु $(2, 0)$ पर प्रतिच्छेद करती हैं।
माना वृत्त का केंद्र $(h, k)$ और त्रिज्या $r$ है।
चूंकि वृत्त इन रेखाओं को स्पर्श करता है,केंद्र कोण समद्विभाजक पर स्थित होगा,यानी $y=0$।
$x^2+y^2=1$ को स्पर्श करने की शर्त के अनुसार,केंद्र $(\sqrt{2}, 0)$ और त्रिज्या $\sqrt{2}-1$ प्राप्त होती है।
अतः,समीकरण $(x-\sqrt{2})^2+y^2=(\sqrt{2}-1)^2$ है।

(C) हम जानते हैं कि $\sin x \cos x = \frac{1}{2} \sin 2x$.
इस मान को समाकलन में रखने पर:
$I = \int x^2 \left(\frac{1}{2} \sin 2x\right) dx = \frac{1}{2} \int x^2 \sin 2x \, dx$.
खंडशः समाकलन (Integration by parts) $\int u \, dv = uv - \int v \, du$ का उपयोग करते हुए,$u = x^2$ और $dv = \sin 2x \, dx$ लें।
अतः $du = 2x \, dx$ और $v = -\frac{\cos 2x}{2}$.
$I = \frac{1}{2} \left[ -\frac{x^2 \cos 2x}{2} - \int \left(-\frac{\cos 2x}{2}\right) (2x) \, dx \right]$
$I = -\frac{x^2 \cos 2x}{4} + \frac{1}{2} \int x \cos 2x \, dx$.
पुनः $\int x \cos 2x \, dx$ के लिए खंडशः समाकलन का उपयोग करने पर:
$u = x$ और $dv = \cos 2x \, dx$ लें। अतः $du = dx$ और $v = \frac{\sin 2x}{2}$.
$\int x \cos 2x \, dx = \frac{x \sin 2x}{2} - \int \frac{\sin 2x}{2} \, dx = \frac{x \sin 2x}{2} + \frac{\cos 2x}{4}$.
इस मान को वापस रखने पर:
$I = -\frac{x^2 \cos 2x}{4} + \frac{1}{2} \left( \frac{x \sin 2x}{2} + \frac{\cos 2x}{4} \right) + c$
$I = -\frac{x^2 \cos 2x}{4} + \frac{x \sin 2x}{4} + \frac{\cos 2x}{8} + c$.
विकल्पों के साथ तुलना करने पर,इस पद को $\frac{1-2x^2}{8} \cos 2x + \frac{x}{4} \sin 2x + c$ के रूप में लिखा जा सकता है।

(A) हमें $I_n = \int \frac{t^n}{1+t^2} dt$ दिया गया है।
योग $I_n + I_{n-2} = \int \frac{t^n}{1+t^2} dt + \int \frac{t^{n-2}}{1+t^2} dt$ पर विचार करें।
$I_n + I_{n-2} = \int \frac{t^n + t^{n-2}}{1+t^2} dt = \int \frac{t^{n-2}(t^2 + 1)}{1+t^2} dt$.
$I_n + I_{n-2} = \int t^{n-2} dt = \frac{t^{n-1}}{n-1} + c$.
$n = 6$ के लिए,हमें $I_6 + I_4 = \frac{t^{6-1}}{6-1} + c = \frac{t^5}{5} + c$ प्राप्त होता है।

(A) हमारे पास समाकलन $I = \int \sin^5 x \, dx = \int \sin^4 x \cdot \sin x \, dx$ है।
सर्वसमिका $\sin^2 x = 1 - \cos^2 x$ का उपयोग करने पर,हमें $\sin^4 x = (1 - \cos^2 x)^2 = 1 - 2\cos^2 x + \cos^4 x$ प्राप्त होता है।
इसे समाकलन में प्रतिस्थापित करने पर: $I = \int (1 - 2\cos^2 x + \cos^4 x) \sin x \, dx$।
माना $u = \cos x$,तो $du = -\sin x \, dx$,इसलिए $\sin x \, dx = -du$।
$I = -\int (1 - 2u^2 + u^4) \, du = -[u - \frac{2u^3}{3} + \frac{u^5}{5}] + C = -\frac{u^5}{5} + \frac{2u^3}{3} - u + C$।
$u = \cos x$ वापस रखने पर: $I = -\frac{\cos^5 x}{5} + \frac{2}{3} \cos^3 x - \cos x + C$।
दिए गए व्यंजक $\frac{-\cos^5 x}{5} + a \cos^3 x + b \cos x + c$ के साथ तुलना करने पर,हमें $a = \frac{2}{3}$ और $b = -1$ प्राप्त होता है।
अतः,$a + b = \frac{2}{3} - 1 = -\frac{1}{3}$।

(A) माना $I = \int \frac{x+\sin x}{1+\cos x} d x$ है।
सर्वसमिकाओं $1+\cos x = 2 \cos^2 \frac{x}{2}$ और $\sin x = 2 \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2}$ का उपयोग करने पर:
$I = \int \frac{x}{2 \cos^2 \frac{x}{2}} d x + \int \frac{2 \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2}}{2 \cos^2 \frac{x}{2}} d x$
$I = \frac{1}{2} \int x \sec^2 \frac{x}{2} d x + \int \tan \frac{x}{2} d x$ प्राप्त होता है।
प्रथम पद के लिए खंडशः समाकलन (integration by parts) का उपयोग करने पर:
$\int x \sec^2 \frac{x}{2} d x = x \cdot \frac{\tan \frac{x}{2}}{1/2} - \int 1 \cdot \frac{\tan \frac{x}{2}}{1/2} d x = 2x \tan \frac{x}{2} - 2 \int \tan \frac{x}{2} d x$।
इस मान को $I$ के समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$I = \frac{1}{2} (2x \tan \frac{x}{2} - 2 \int \tan \frac{x}{2} d x) + \int \tan \frac{x}{2} d x$
$I = x \tan \frac{x}{2} - \int \tan \frac{x}{2} d x + \int \tan \frac{x}{2} d x$
$I = x \tan \frac{x}{2} + C$।

(A) समाकलन $I = \int \frac{3 \sin x - 5 \cos x}{2 \sin x + 7 \cos x} \, dx$ को हल करने के लिए,अंश को $A(\text{हर}) + B(\frac{d}{dx}(\text{हर}))$ के रूप में व्यक्त करें।
माना $3 \sin x - 5 \cos x = A(2 \sin x + 7 \cos x) + B(2 \cos x - 7 \sin x)$।
$\sin x$ और $\cos x$ के गुणांकों की तुलना करने पर:
$\sin x$ के लिए: $2A - 7B = 3$
$\cos x$ के लिए: $7A + 2B = -5$
इन समीकरणों को हल करने पर: पहले समीकरण को $2$ से और दूसरे को $7$ से गुणा करने पर: $4A - 14B = 6$ और $49A + 14B = -35$।
जोड़ने पर: $53A = -29 \implies A = -\frac{29}{53}$।
$A$ का मान $2A - 7B = 3$ में रखने पर: $2(-\frac{29}{53}) - 7B = 3 \implies -\frac{58}{53} - 3 = 7B \implies 7B = -\frac{217}{53} \implies B = -\frac{31}{53}$।
अतः,$I = \int \frac{A(2 \sin x + 7 \cos x) + B(2 \cos x - 7 \sin x)}{2 \sin x + 7 \cos x} \, dx = A \int 1 \, dx + B \int \frac{2 \cos x - 7 \sin x}{2 \sin x + 7 \cos x} \, dx$।
$I = A x + B \log |2 \sin x + 7 \cos x| + c = -\frac{29}{53} x - \frac{31}{53} \log |2 \sin x + 7 \cos x| + c$।

(B) $\int \frac{x^2}{(x-1)(x-2)(x-3)} dx$ को हल करने के लिए,हम आंशिक भिन्नों का उपयोग करते हैं।
माना $\frac{x^2}{(x-1)(x-2)(x-3)} = 1 + \frac{A}{x-1} + \frac{B}{x-2} + \frac{C}{x-3}$।
कवर-अप नियम का उपयोग करने पर:
$A = \frac{1^2}{(1-2)(1-3)} = \frac{1}{2}$।
$B = \frac{2^2}{(2-1)(2-3)} = -4$।
$C = \frac{3^2}{(3-1)(3-2)} = \frac{9}{2}$।
अतः,समाकलन $\int (1 + \frac{1/2}{x-1} - \frac{4}{x-2} + \frac{9/2}{x-3}) dx$ हो जाता है।
$= x + \frac{1}{2} \log_e |x-1| - 4 \log_e |x-2| + \frac{9}{2} \log_e |x-3| + C'$।
$= \log_e e^x + \log_e |x-1|^{1/2} - \log_e |x-2|^4 + \log_e |x-3|^{9/2} + C'$।
$= \log_e \left( \frac{e^x |x-1|^{1/2} |x-3|^{9/2}}{|x-2|^4} \right) + C'$।
$\log_e f(x)$ से तुलना करने पर,हमें $f(x) = C \cdot \frac{|x-1|^{1/2} |x-3|^{9/2}}{(x-2)^4}$ प्राप्त होता है।

(B) $\int \frac{6x^2-17x-5}{(x+3)(x-2)^2} dx$ को हल करने के लिए,हम आंशिक भिन्नों का उपयोग करते हैं:
$\frac{6x^2-17x-5}{(x+3)(x-2)^2} = \frac{A}{x+3} + \frac{B}{x-2} + \frac{C}{(x-2)^2}$.
$(x+3)(x-2)^2$ से गुणा करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$6x^2-17x-5 = A(x-2)^2 + B(x+3)(x-2) + C(x+3)$.
$x=2$ रखने पर: $6(4)-17(2)-5 = C(5) \Rightarrow 24-34-5 = 5C \Rightarrow -15 = 5C \Rightarrow C = -3$.
$x=-3$ रखने पर: $6(9)-17(-3)-5 = A(-5)^2 \Rightarrow 54+51-5 = 25A \Rightarrow 100 = 25A \Rightarrow A = 4$.
$x^2$ के गुणांकों की तुलना करने पर: $6 = A + B \Rightarrow 6 = 4 + B \Rightarrow B = 2$.
इस प्रकार,समाकलन $\int \left( \frac{4}{x+3} + \frac{2}{x-2} - \frac{3}{(x-2)^2} \right) dx$ है।
पद-दर-पद समाकलन करने पर: $4 \log |x+3| + 2 \log |x-2| + \frac{3}{x-2} + c$.
यह $\log |(x+3)^4 (x-2)^2| + \frac{3}{x-2} + c$ में सरल हो जाता है।

(A) दिया गया है $I_n = \int \frac{\sin nx}{\cos x} dx$ ... $(i)$
$I_n + I_{n-2} = \int \frac{\sin nx + \sin (n-2)x}{\cos x} dx$ पर विचार करें।
सूत्र $\sin C + \sin D = 2 \sin \left(\frac{C+D}{2}\right) \cos \left(\frac{C-D}{2}\right)$ का उपयोग करते हुए:
$I_n + I_{n-2} = \int \frac{2 \sin \left(\frac{nx + nx - 2x}{2}\right) \cos \left(\frac{nx - nx + 2x}{2}\right)}{\cos x} dx$
$I_n + I_{n-2} = \int \frac{2 \sin (n-1)x \cos x}{\cos x} dx$
$I_n + I_{n-2} = 2 \int \sin (n-1)x dx$
$I_n + I_{n-2} = 2 \left[ \frac{-\cos (n-1)x}{n-1} \right] + C$
अतः,$I_n = \frac{-2}{n-1} \cos (n-1)x - I_{n-2}$.

(B) दिया गया है कि $I_n = \int \frac{t^{2n}}{1+t^2} dt$ और $I_{n+1} = \int \frac{t^{2n+2}}{1+t^2} dt$ है।
अब,$I_{n+1} + I_n = \int \frac{t^{2n+2} + t^{2n}}{1+t^2} dt$
$= \int \frac{t^{2n}(t^2 + 1)}{1+t^2} dt$
$= \int t^{2n} dt$
$t$ के सापेक्ष $t^{2n}$ का समाकलन करने पर,हमें $\frac{t^{2n+1}}{2n+1} + C$ प्राप्त होता है।
अतः,$I_{n+1} + I_n = \frac{t^{2n+1}}{2n+1} + C$
इस प्रकार,$I_{n+1} = \frac{t^{2n+1}}{2n+1} - I_n$।

(B) हमें $I = \int_{-1}^{3/2} |x \sin \pi x| \, dx$ का मान ज्ञात करना है।
चूंकि $x \in [-1, 0]$ और $x \in [0, 1]$ के लिए $x \sin \pi x \ge 0$ है,और $x \in [1, 3/2]$ के लिए $x \sin \pi x \le 0$ है,इसलिए हम समाकलन को विभाजित करते हैं:
$I = \int_{-1}^{1} x \sin \pi x \, dx - \int_{1}^{3/2} x \sin \pi x \, dx$.
खंडशः समाकलन (integration by parts) का उपयोग करने पर,$\int x \sin \pi x \, dx = -\frac{x \cos \pi x}{\pi} + \frac{\sin \pi x}{\pi^2}$.
प्रथम भाग: $\int_{-1}^{1} x \sin \pi x \, dx = [-\frac{x \cos \pi x}{\pi} + \frac{\sin \pi x}{\pi^2}]_{-1}^{1} = \frac{1}{\pi} - (-\frac{1}{\pi}) = \frac{2}{\pi}$.
द्वितीय भाग: $\int_{1}^{3/2} x \sin \pi x \, dx = [-\frac{x \cos \pi x}{\pi} + \frac{\sin \pi x}{\pi^2}]_{1}^{3/2} = -\frac{1}{\pi^2} - \frac{1}{\pi}$.
अतः,$I = \frac{2}{\pi} - (-\frac{1}{\pi^2} - \frac{1}{\pi}) = \frac{3}{\pi} + \frac{1}{\pi^2}$.

(A) हमें समाकलन $I = \int_{-2}^3 |1-x^2| dx$ का मान ज्ञात करना है।
मापांक के अंदर का पद $1-x^2$,$x = -1$ और $x = 1$ पर अपना चिह्न बदलता है।
हम समाकलन को तीन अंतरालों में विभाजित करते हैं: $[-2, -1]$,$[-1, 1]$,और $[1, 3]$।
$[-2, -1]$ में,$1-x^2 \le 0$,इसलिए $|1-x^2| = x^2-1$।
$[-1, 1]$ में,$1-x^2 \ge 0$,इसलिए $|1-x^2| = 1-x^2$।
$[1, 3]$ में,$1-x^2 \le 0$,इसलिए $|1-x^2| = x^2-1$।
अतः,$I = \int_{-2}^{-1} (x^2-1) dx + \int_{-1}^1 (1-x^2) dx + \int_{1}^3 (x^2-1) dx$।
प्रत्येक भाग का मूल्यांकन करने पर:
$\int_{-2}^{-1} (x^2-1) dx = [\frac{x^3}{3} - x]_{-2}^{-1} = (-\frac{1}{3} + 1) - (-\frac{8}{3} + 2) = \frac{2}{3} - (-\frac{2}{3}) = \frac{4}{3}$।
$\int_{-1}^1 (1-x^2) dx = [x - \frac{x^3}{3}]_{-1}^1 = (1 - \frac{1}{3}) - (-1 + \frac{1}{3}) = \frac{2}{3} - (-\frac{2}{3}) = \frac{4}{3}$।
$\int_{1}^3 (x^2-1) dx = [\frac{x^3}{3} - x]_1^3 = (9 - 3) - (\frac{1}{3} - 1) = 6 - (-\frac{2}{3}) = \frac{20}{3}$।
इन मानों को जोड़ने पर: $I = \frac{4}{3} + \frac{4}{3} + \frac{20}{3} = \frac{28}{3}$।

(A) माना $I = \int_0^\pi \frac{x \sin x}{1+\cos ^2 x} d x$.
गुणधर्म $\int_0^a f(x) dx = \int_0^a f(a-x) dx$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$I = \int_0^\pi \frac{(\pi-x) \sin(\pi-x)}{1+\cos^2(\pi-x)} dx = \int_0^\pi \frac{(\pi-x) \sin x}{1+\cos^2 x} dx$.
$I = \pi \int_0^\pi \frac{\sin x}{1+\cos^2 x} dx - \int_0^\pi \frac{x \sin x}{1+\cos^2 x} dx$.
$I = \pi \int_0^\pi \frac{\sin x}{1+\cos^2 x} dx - I$.
$2I = \pi \int_0^\pi \frac{\sin x}{1+\cos^2 x} dx$.
माना $u = \cos x$,तब $du = -\sin x dx$. जब $x=0, u=1$; जब $x=\pi, u=-1$.
$2I = \pi \int_1^{-1} \frac{-du}{1+u^2} = \pi \int_{-1}^1 \frac{du}{1+u^2}$.
$2I = \pi [\tan^{-1} u]_{-1}^1 = \pi (\tan^{-1}(1) - \tan^{-1}(-1)) = \pi (\frac{\pi}{4} - (-\frac{\pi}{4})) = \pi (\frac{\pi}{2}) = \frac{\pi^2}{2}$.
$I = \frac{\pi^2}{4}$.

(C) माना $I = \int_0^1 f(k-1+x) d x$.
$k-1+x = t$ प्रतिस्थापित करने पर,$d x = d t$ प्राप्त होता है।
जब $x=0$,तब $t=k-1$.
जब $x=1$,तब $t=k$.
अतः,$I = \int_{k-1}^k f(t) d t = \int_{k-1}^k f(x) d x$.
अब,हमें योगफल का मान ज्ञात करना है:
$\sum_{k=1}^{10} \int_0^1 f(k-1+x) d x = \sum_{k=1}^{10} \int_{k-1}^k f(x) d x$.
योगफल को विस्तारित करने पर:
$= \int_0^1 f(x) d x + \int_1^2 f(x) d x + \dots + \int_9^{10} f(x) d x$.
निश्चित समाकलन के गुणधर्म $\int_a^b f(x) d x + \int_b^c f(x) d x = \int_a^c f(x) d x$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$= \int_0^{10} f(x) d x$.
दिया गया है कि $\int_0^{10} f(x) d x = 5$,अतः अंतिम मान $5$ है।

(A) हमें दिया गया है कि $\int_{-1}^4 f(x) dx = 4$ है।
निश्चित समाकलन के गुणधर्म का उपयोग करते हुए,हम अंतराल को विभाजित कर सकते हैं:
$\int_{-1}^4 f(x) dx = \int_{-1}^2 f(x) dx + \int_2^4 f(x) dx = 4$।
हमें $\int_2^4 (3 - f(x)) dx = 7$ भी दिया गया है।
इसे इस प्रकार लिखा जा सकता है:
$\int_2^4 3 dx - \int_2^4 f(x) dx = 7$।
प्रथम भाग का मान ज्ञात करने पर:
$[3x]_2^4 - \int_2^4 f(x) dx = 7
(3 \times 4) - (3 \times 2) - \int_2^4 f(x) dx = 7
12 - 6 - \int_2^4 f(x) dx = 7
6 - \int_2^4 f(x) dx = 7
\int_2^4 f(x) dx = 6 - 7 = -1$।
अब,$\int_2^4 f(x) dx = -1$ को पहले समीकरण में रखने पर:
$\int_{-1}^2 f(x) dx + (-1) = 4
\int_{-1}^2 f(x) dx = 4 + 1 = 5$।

(C) समाकल $I = \int_0^{\pi / 2} \sin^8 x \, dx$ का मूल्यांकन करने के लिए,हम वालिस के सूत्र का उपयोग करते हैं:
$\int_0^{\pi / 2} \sin^n x \, dx = \frac{(n-1)(n-3) \dots (1)}{n(n-2) \dots (2)} \times \frac{\pi}{2}$ जहाँ $n$ एक सम संख्या है।
यहाँ,$n = 8$ है।
$I = \frac{7 \times 5 \times 3 \times 1}{8 \times 6 \times 4 \times 2} \times \frac{\pi}{2}$
$I = \frac{105}{384} \times \frac{\pi}{2}$
$I = \frac{105 \pi}{768}$
अंश और हर को $3$ से विभाजित करने पर:
$I = \frac{35 \pi}{256}$.

(B) दी गई अभिव्यक्ति $S = \lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{r=0}^{2n} \frac{1}{n+r}$ है।
हम इसे $S = \lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{r=0}^{2n} \frac{1}{n(1 + \frac{r}{n})}$ के रूप में लिख सकते हैं।
यह $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \sum_{r=0}^{2n} f(\frac{r}{n})$ के रूप का रीमान योग है,जो $\int_{0}^{2} f(x) dx$ के बराबर होता है।
यहाँ,$f(x) = \frac{1}{1+x}$ है।
अतः,$S = \int_{0}^{2} \frac{1}{1+x} dx$ है।
समाकलन का मूल्यांकन करने पर,हमें $S = [\ln(1+x)]_{0}^{2}$ प्राप्त होता है।
$S = \ln(1+2) - \ln(1+0) = \ln(3) - \ln(1) = \ln(3) - 0 = \ln(3)$।

(A) दी गई अभिव्यक्ति $S = \lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{r=1}^{n} \frac{\sqrt{n^2-r^2}}{n^2}$ है।
हम इसे $S = \lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{r=1}^{n} \frac{n \sqrt{1-(r/n)^2}}{n^2} = \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \sum_{r=1}^{n} \sqrt{1-(\frac{r}{n})^2}$ के रूप में लिख सकते हैं।
निश्चित समाकल की परिभाषा के अनुसार,$\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \sum_{r=1}^{n} f(\frac{r}{n}) = \int_{0}^{1} f(x) dx$ होता है।
यहाँ,$f(x) = \sqrt{1-x^2}$ है।
अतः,$S = \int_{0}^{1} \sqrt{1-x^2} dx$ है।
मानक समाकल सूत्र $\int \sqrt{a^2-x^2} dx = \frac{x}{2} \sqrt{a^2-x^2} + \frac{a^2}{2} \sin^{-1}(\frac{x}{a})$ का उपयोग करने पर:
$S = [\frac{x}{2} \sqrt{1-x^2} + \frac{1}{2} \sin^{-1}(x)]_{0}^{1}$ प्राप्त होता है।
सीमाओं का मान रखने पर: $S = (0 + \frac{1}{2} \sin^{-1}(1)) - (0 + \frac{1}{2} \sin^{-1}(0)) = \frac{1}{2} \times \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{4}$।

(A) दिया गया सीमा $L = \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \sum_{r=1}^{2 n} \frac{r}{\sqrt{n^2+r^2}}$ है।
हम इसे $L = \lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{r=1}^{2 n} \frac{1}{n} \cdot \frac{r/n}{\sqrt{1+(r/n)^2}}$ के रूप में लिख सकते हैं।
यह $\int_{0}^{2} \frac{x}{\sqrt{1+x^2}} dx$ के रूप का एक रीमान योग है।
माना $u = 1+x^2$,तो $du = 2x dx$,या $x dx = \frac{1}{2} du$ है।
जब $x=0$,तो $u=1$ है। जब $x=2$,तो $u=1+2^2=5$ है।
अतः,$L = \int_{1}^{5} \frac{1}{2\sqrt{u}} du = \frac{1}{2} [2\sqrt{u}]_{1}^{5} = [\sqrt{u}]_{1}^{5} = \sqrt{5}-1$।

(B) दी गई सीमा $S = \lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{r=1}^{n} \frac{r^2}{r^3+n^3}$ है।
हम इसे $S = \lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{r=1}^{n} \frac{r^2}{n^3( (r/n)^3 + 1 )}$ के रूप में लिख सकते हैं।
$n$ से गुणा और भाग करने पर,हमें $S = \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \sum_{r=1}^{n} \frac{(r/n)^2}{(r/n)^3 + 1}$ प्राप्त होता है।
निश्चित समाकलन की परिभाषा $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \sum_{r=1}^{n} f(\frac{r}{n}) = \int_{0}^{1} f(x) dx$ का उपयोग करते हुए,$S = \int_{0}^{1} \frac{x^2}{x^3+1} dx$ प्राप्त होता है।
माना $u = x^3+1$,तो $du = 3x^2 dx$,जिसका अर्थ है $x^2 dx = \frac{du}{3}$।
जब $x=0$,तो $u=1$। जब $x=1$,तो $u=2$।
अतः,$S = \int_{1}^{2} \frac{1}{u} \cdot \frac{du}{3} = \frac{1}{3} [\ln |u|]_{1}^{2} = \frac{1}{3} (\ln 2 - \ln 1) = \frac{1}{3} \ln 2 = \ln 2^{1/3} = \log \sqrt[3]{2}$।

(C) हमारे पास है,
$\lim _{n \rightarrow \infty}\left[\frac{1^k+2^k+3^k+\ldots+n^k}{n^{k+1}}\right]$
$= \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \sum_{r=1}^{n} \left(\frac{r}{n}\right)^k$
यह योगफल की सीमा के रूप में निश्चित समाकलन की परिभाषा है:
$\int_0^1 x^k \, dx$
समाकलन का मान ज्ञात करने पर:
$\int_0^1 x^k \, dx = \left[ \frac{x^{k+1}}{k+1} \right]_0^1$
$= \frac{1^{k+1}}{k+1} - \frac{0^{k+1}}{k+1} = \frac{1}{k+1}$
अतः,सीमा का मान $\frac{1}{k+1}$ है.

(D) दी गई अभिव्यक्ति $S = \lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{r=1}^{n} \frac{1}{\sqrt{4n^2 - r^2}}$ है।
हम योग के अंदर के पद को $\frac{1}{\sqrt{n^2(4 - (r/n)^2)}} = \frac{1}{n \sqrt{4 - (r/n)^2}}$ के रूप में लिख सकते हैं।
अतः,$S = \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \sum_{r=1}^{n} \frac{1}{\sqrt{4 - (r/n)^2}}$।
निश्चित समाकलन की परिभाषा का उपयोग करते हुए,$\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \sum_{r=1}^{n} f(\frac{r}{n}) = \int_{0}^{1} f(x) dx$।
यहाँ,$f(x) = \frac{1}{\sqrt{4 - x^2}}$ है।
इसलिए,$S = \int_{0}^{1} \frac{1}{\sqrt{2^2 - x^2}} dx$।
मानक समाकलन सूत्र $\int \frac{1}{\sqrt{a^2 - x^2}} dx = \arcsin(\frac{x}{a}) + C$ का उपयोग करने पर:
$S = [\arcsin(\frac{x}{2})]_{0}^{1} = \arcsin(\frac{1}{2}) - \arcsin(0) = \frac{\pi}{6} - 0 = \frac{\pi}{6}$।

(C) माना $I = \int_0^\pi x \sin^7 x \cos^6 x \, dx$ है।
गुणधर्म $\int_0^a f(x) \, dx = \int_0^a f(a-x) \, dx$ का उपयोग करने पर:
$I = \int_0^\pi (\pi - x) \sin^7(\pi - x) \cos^6(\pi - x) \, dx$
चूंकि $\sin(\pi - x) = \sin x$ और $\cos(\pi - x) = -\cos x$,हमें प्राप्त होता है:
$I = \int_0^\pi (\pi - x) \sin^7 x (-\cos x)^6 \, dx = \int_0^\pi (\pi - x) \sin^7 x \cos^6 x \, dx$
$I = \pi \int_0^\pi \sin^7 x \cos^6 x \, dx - I$
$2I = \pi \int_0^\pi \sin^7 x \cos^6 x \, dx$
यदि $f(2a-x) = f(x)$ हो,तो $\int_0^{2a} f(x) \, dx = 2 \int_0^a f(x) \, dx$ का उपयोग करने पर:
$I = \pi \int_0^{\pi/2} \sin^7 x \cos^6 x \, dx$
वालिस के सूत्र $\int_0^{\pi/2} \sin^m x \cos^n x \, dx = \frac{(m-1)!!(n-1)!!}{(m+n)!!}$ का उपयोग करने पर:
$I = \pi \times \frac{6 \times 4 \times 2 \times 5 \times 3 \times 1}{13 \times 11 \times 9 \times 7 \times 5 \times 3 \times 1} = \pi \times \frac{48}{13 \times 11 \times 9 \times 7} = \pi \times \frac{16}{13 \times 11 \times 3 \times 7} = \frac{16 \pi}{3003}$.

(D) माना $I = \int_3^5 \sqrt{8x - x^2 - 15} dx$.
हम द्विघात व्यंजक को $-(x^2 - 8x + 15) = -(x^2 - 8x + 16 - 1) = 1 - (x - 4)^2$ के रूप में लिख सकते हैं।
अतः,$I = \int_3^5 \sqrt{1 - (x - 4)^2} dx$.
माना $x - 4 = \sin \theta$,तो $dx = \cos \theta d\theta$.
जब $x = 3$,तो $\sin \theta = -1$,इसलिए $\theta = -\frac{\pi}{2}$.
जब $x = 5$,तो $\sin \theta = 1$,इसलिए $\theta = \frac{\pi}{2}$.
$I = \int_{-\pi/2}^{\pi/2} \sqrt{1 - \sin^2 \theta} \cos \theta d\theta = \int_{-\pi/2}^{\pi/2} \cos^2 \theta d\theta$.
सर्वसमिका $\cos^2 \theta = \frac{1 + \cos 2\theta}{2}$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है $I = \int_{-\pi/2}^{\pi/2} \frac{1 + \cos 2\theta}{2} d\theta = \left[ \frac{\theta}{2} + \frac{\sin 2\theta}{4} \right]_{-\pi/2}^{\pi/2} = (\frac{\pi}{4} + 0) - (-\frac{\pi}{4} + 0) = \frac{\pi}{2}$.
अतः,$p = \frac{\pi}{2}$.
तब $\sin p + \operatorname{cosec} p = \sin(\frac{\pi}{2}) + \operatorname{cosec}(\frac{\pi}{2}) = 1 + 1 = 2$.

(C) दिए गए परवलय $y^2 = 4x$ और $y^2 = 4(4-x)$ हैं।
प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करने के लिए,$4x = 4(4-x)$ रखें,जिससे $x = 4-x$ प्राप्त होता है,अतः $2x = 4$,जिसका अर्थ है $x = 2$।
$x = 2$ पर,$y^2 = 4(2) = 8$,अतः $y = \pm 2\sqrt{2}$।
क्षेत्रफल $x$-अक्ष के सापेक्ष सममित है,इसलिए हम प्रथम चतुर्थांश में क्षेत्रफल की गणना करेंगे और उसे $2$ से गुणा करेंगे।
क्षेत्रफल $= 2 \int_{0}^{2} \sqrt{4x} \, dx + 2 \int_{2}^{4} \sqrt{4(4-x)} \, dx$.
क्षेत्रफल $= 4 \int_{0}^{2} \sqrt{x} \, dx + 4 \int_{2}^{4} \sqrt{4-x} \, dx$.
क्षेत्रफल $= 4 \left[ \frac{x^{3/2}}{3/2} \right]_{0}^{2} + 4 \left[ \frac{-(4-x)^{3/2}}{3/2} \right]_{2}^{4}$.
क्षेत्रफल $= 4 \times \frac{2}{3} [2^{3/2} - 0] + 4 \times \frac{2}{3} [-(0) - (-(4-2)^{3/2})]$.
क्षेत्रफल $= \frac{8}{3} [2\sqrt{2}] + \frac{8}{3} [2\sqrt{2}] = \frac{16\sqrt{2}}{3} + \frac{16\sqrt{2}}{3} = \frac{32\sqrt{2}}{3}$.

(A) समीकरण $x^2+y^2=16a^2$ और $y^2=6ax$ हैं। वृत्त के समीकरण में $y^2=6ax$ रखने पर: $x^2+6ax-16a^2=0$.
गुणनखंड करने पर $(x+8a)(x-2a)=0$ प्राप्त होता है। परवलय के लिए $x \ge 0$ होने के कारण,हम $x=2a$ लेते हैं।
$x=2a$ पर,$y^2=6a(2a)=12a^2$,अतः $y=\pm 2a\sqrt{3}$.
क्षेत्रफल $A = 2 \int_{0}^{2a} \sqrt{6ax} \, dx + 2 \int_{2a}^{4a} \sqrt{16a^2-x^2} \, dx$.
प्रथम समाकलन: $2\sqrt{6a} \int_{0}^{2a} x^{1/2} \, dx = 2\sqrt{6a} [\frac{2}{3}x^{3/2}]_{0}^{2a} = \frac{16a^2\sqrt{3}}{3}$.
द्वितीय समाकलन: $2 [\frac{x}{2}\sqrt{16a^2-x^2} + 8a^2 \sin^{-1}(\frac{x}{4a})]_{2a}^{4a} = \frac{16\pi a^2}{3} - 4a^2\sqrt{3}$.
कुल क्षेत्रफल = $\frac{16\pi a^2}{3} + \frac{4a^2\sqrt{3}}{3} = \frac{4a^2}{3}(4\pi+\sqrt{3})$.

(C) दिए गए वक्र $y=x^2$ $(i)$ और $y=|x|$ $(ii)$ हैं।
चूंकि दोनों वक्र $y$-अक्ष के सापेक्ष सममित हैं,इसलिए कुल क्षेत्रफल प्रथम चतुर्थांश में जहाँ $x \ge 0$ है,उस क्षेत्रफल का दोगुना होगा।
$x \ge 0$ के लिए,$y=|x|=x$ है।
$y=x^2$ और $y=x$ को हल करने पर,हमें $x^2=x$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $x(x-1)=0$,इसलिए $x=0$ या $x=1$ है।
प्रथम चतुर्थांश में प्रतिच्छेदन बिंदु $(0,0)$ और $(1,1)$ हैं।
प्रथम चतुर्थांश में क्षेत्रफल $\int_0^1 (x - x^2) dx$ है।
कुल क्षेत्रफल $= 2 \int_0^1 (x - x^2) dx$
$= 2 \left[ \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3} \right]_0^1$
$= 2 \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{3} \right) = 2 \left( \frac{1}{6} \right) = \frac{1}{3} \text{ वर्ग इकाई}$.

(C) क्षेत्रफल $A$ अंतराल $[\frac{\pi}{4}, \frac{5\pi}{4}]$ पर दो वक्रों के बीच के अंतर के मापांक का समाकलन है।
$A = \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{5\pi}{4}} |\sin x - \cos x| \, dx$.
अंतराल $[\frac{\pi}{4}, \frac{5\pi}{4}]$ में,$\sin x \geq \cos x$ है।
अतः,$A = \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{5\pi}{4}} (\sin x - \cos x) \, dx$.
$A = [-\cos x - \sin x]_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{5\pi}{4}}$.
$A = (-(\cos \frac{5\pi}{4} + \sin \frac{5\pi}{4})) - (-(\cos \frac{\pi}{4} + \sin \frac{\pi}{4}))$.
$A = (-(-\frac{1}{\sqrt{2}} - \frac{1}{\sqrt{2}})) - (-(\frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2}}))$.
$A = (\frac{2}{\sqrt{2}}) - (-\frac{2}{\sqrt{2}}) = \sqrt{2} + \sqrt{2} = 2\sqrt{2}$ वर्ग इकाई।

(B) दिया गया वक्र $y = -x^2 - 2x + 3$ है।
वह बिंदु जहाँ वक्र $Y$-अक्ष से मिलता है,$x = 0$ रखने पर $y = 3$ प्राप्त होता है। अतः बिंदु $(0, 3)$ है।
अवकलन करने पर: $\frac{dy}{dx} = -2x - 2$।
$(0, 3)$ पर स्पर्शरेखा की ढाल $m = -2(0) - 2 = -2$ है।
$(0, 3)$ पर स्पर्शरेखा का समीकरण $y - 3 = -2(x - 0)$ अर्थात $y = -2x + 3$ है।
वक्र $X$-अक्ष से $y = 0$ पर मिलता है: $-x^2 - 2x + 3 = 0 \implies x^2 + 2x - 3 = 0 \implies (x+3)(x-1) = 0$। अतः $x = -3$ और $x = 1$।
स्पर्शरेखा $X$-अक्ष से $y = 0$ पर मिलती है: $0 = -2x + 3 \implies x = 1.5$।
वक्र,$X$-अक्ष और स्पर्शरेखा द्वारा घिरा क्षेत्रफल $\frac{7}{12}$ है।

(A) दिया गया अवकल समीकरण: $\cos ^2 x \frac{d y}{d x}+y=\tan x$.
$\cos ^2 x$ से भाग देने पर: $\frac{d y}{d x} + y \sec ^2 x = \tan x \sec ^2 x$.
यह $\frac{d y}{d x} + P(x)y = Q(x)$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P(x) = \sec ^2 x$ और $Q(x) = \tan x \sec ^2 x$ है।
समाकलन गुणक $(IF)$ = $e^{\int P(x) dx} = e^{\int \sec ^2 x dx} = e^{\tan x}$.
व्यापक हल $y \cdot IF = \int Q(x) \cdot IF dx + C$ है।
$y e^{\tan x} = \int \tan x \sec ^2 x e^{\tan x} dx + C$.
माना $u = \tan x$,तो $du = \sec ^2 x dx$.
समाकलन $\int u e^u du$ हो जाता है।
खंडशः समाकलन का उपयोग करने पर: $\int u e^u du = u e^u - \int e^u du = u e^u - e^u = e^u(u-1)$.
मान वापस रखने पर: $y e^{\tan x} = e^{\tan x}(\tan x - 1) + C$.

(B) दिया गया व्यापक हल $y = c(x - c)^2$ है।
चरण $1$: $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$y' = 2c(x - c)$।
चरण $2$: मूल समीकरण से,$c = \frac{y}{(x - c)^2}$।
वैकल्पिक रूप से,$y' = 2c(x - c)$ से,$c = \frac{y'}{2(x - c)}$।
$c$ के दोनों व्यंजकों की तुलना करने पर:
$\frac{y}{(x - c)^2} = \frac{y'}{2(x - c)} \implies 2y = y'(x - c) \implies x - c = \frac{2y}{y'}$।
चरण $3$: $x - c$ का मान $y'$ के व्यंजक में रखने पर:
$y' = 2c \left(\frac{2y}{y'}\right) \implies c = \frac{(y')^2}{4y}$।
चरण $4$: $c$ और $x - c$ का मान मूल समीकरण $y = c(x - c)^2$ में रखने पर:
$y = \left(\frac{(y')^2}{4y}\right) \left(\frac{2y}{y'}\right)^2 = y$।
अवकल समीकरण प्राप्त करने के लिए,$c = x - \frac{2y}{y'}$ का उपयोग करते हुए:
$y' = 2(x - \frac{2y}{y'})(\frac{2y}{y'}) = \frac{4y(xy' - 2y)}{(y')^2}$।
अतः,$(y')^3 = 4y(xy' - 2y)$।
इस प्रकार,विकल्प $B$ सही है।

(B) दिया गया समीकरण $y = a e^{2x} + b e^{5x}$ है।
सबसे पहले,$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dy}{dx} = 2a e^{2x} + 5b e^{5x}$ (समीकरण $1$)
पुनः $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{d^2y}{dx^2} = 4a e^{2x} + 25b e^{5x}$ (समीकरण $2$)
हमें $a$ और $b$ को विलुप्त करना है। अभिलक्षणिक समीकरण (characteristic equation) विधि का उपयोग करने पर,मूल $m_1 = 2$ और $m_2 = 5$ हैं।
अतः,अभिलक्षणिक समीकरण $(m - 2)(m - 5) = 0$ होगा।
$m^2 - 7m + 10 = 0$.
$m^k$ को $\frac{d^k y}{dx^k}$ से प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\frac{d^2 y}{dx^2} - 7 \frac{dy}{dx} + 10 y = 0$ प्राप्त होता है।

(A) मूल बिंदु $(0,0)$ पर $Y$-अक्ष को स्पर्श करने वाले वृत्तों के परिवार का समीकरण $(x-a)^2 + y^2 = a^2$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $a$ वृत्त की त्रिज्या है और $(a,0)$ केंद्र है।
इसका विस्तार करने पर,हमें $x^2 - 2ax + a^2 + y^2 = a^2$ प्राप्त होता है,जो सरल होकर $x^2 + y^2 = 2ax$ $(i)$ हो जाता है।
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,हमें $2x + 2y \frac{dy}{dx} = 2a$ प्राप्त होता है।
अतः,$a = x + y \frac{dy}{dx}$ $(ii)$।
समीकरण $(ii)$ से $a$ का मान समीकरण $(i)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$x^2 + y^2 = 2x(x + y \frac{dy}{dx})$
$x^2 + y^2 = 2x^2 + 2xy \frac{dy}{dx}$
$2xy \frac{dy}{dx} = y^2 - x^2$
$\frac{dy}{dx} = \frac{y^2 - x^2}{2xy}$।

(A) दिया गया समीकरण: $A x^2 + B y^2 = 1$ $(1)$
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $2 A x + 2 B y \frac{d y}{d x} = 0 \implies A x + B y y' = 0$ $(2)$
पुनः $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $A + B (y')^2 + B y y'' = 0$ $(3)$
$(2)$ से,$A = -B \frac{y y'}{x}$. इस मान को $(3)$ में रखने पर:
$-B \frac{y y'}{x} + B (y')^2 + B y y'' = 0$
$B$ से भाग देने पर (मानते हुए कि $B \neq 0$):
$-\frac{y y'}{x} + (y')^2 + y y'' = 0$
$x$ से गुणा करने पर: $-y y' + x (y')^2 + x y y'' = 0$
व्यवस्थित करने पर: $x y y'' + x (y')^2 = y y'$
अतः,अवकल समीकरण $x y \frac{d^2 y}{d x^2} + x \left(\frac{d y}{d x}\right)^2 = y \frac{d y}{d x}$ है।

(B) वृत्तों का दिया गया परिवार: $(x-a)^2+(y-b)^2=4$.
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $2(x-a)+2(y-b)y'=0 \implies (x-a)+(y-b)y'=0$.
पुनः $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $1+(y')^2+(y-b)y''=0 \implies (y-b) = -\frac{1+(y')^2}{y''}$.
$(y-b)$ का मान प्रथम अवकलज समीकरण में रखने पर: $(x-a) = -y'(y-b) = y' \cdot \frac{1+(y')^2}{y''}$.
अब $(x-a)$ और $(y-b)$ का मान मूल समीकरण में रखने पर: $\left(y' \cdot \frac{1+(y')^2}{y''}\right)^2 + \left(-\frac{1+(y')^2}{y''}\right)^2 = 4$.
इसे सरल करने पर: $\frac{(1+(y')^2)^2}{(y'')^2} \cdot ((y')^2+1) = 4$.
अतः,$(1+(y')^2)^3 = 4(y'')^2$,जो $4\left(\frac{d^2 y}{d x^2}\right)^2 = \left[1+\left(\frac{d y}{d x}\right)^2\right]^3$ है।

(A) दिया गया अवकल समीकरण $(e^y + 1) \cos x \, dx + e^y \sin x \, dy = 0$ है।
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर,$\frac{e^y}{e^y + 1} \, dy = -\frac{\cos x}{\sin x} \, dx$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\int \frac{e^y}{e^y + 1} \, dy = -\int \cot x \, dx$।
माना $u = e^y + 1$,तो $du = e^y \, dy$। समाकलन $\int \frac{1}{u} \, du = -\ln|\sin x| + C$ हो जाता है।
अतः,$\ln(e^y + 1) = -\ln|\sin x| + C$,जो $\ln((e^y + 1) \sin x) = C$ में सरल हो जाता है।
इससे $(e^y + 1) \sin x = K$ (जहाँ $K = e^C$) प्राप्त होता है।
वक्र $\left(\frac{\pi}{6}, 0\right)$ से गुजरता है,इसलिए $x = \frac{\pi}{6}$ और $y = 0$ रखने पर:
$(e^0 + 1) \sin(\frac{\pi}{6}) = K \implies (1 + 1) \cdot \frac{1}{2} = K \implies K = 1$।
अतः,$(e^y + 1) \sin x = 1$,जिसका अर्थ है $e^y + 1 = \frac{1}{\sin x} = \operatorname{cosec} x$।
इसलिए,$e^y = \operatorname{cosec} x - 1$,और $y = \log_e(\operatorname{cosec} x - 1)$।

(B) दिया गया अवकल समीकरण $(x-y)^2 \frac{dy}{dx} = a^2$ है।
माना $v = x - y$ है। तब $\frac{dv}{dx} = 1 - \frac{dy}{dx}$,जिसका अर्थ है $\frac{dy}{dx} = 1 - \frac{dv}{dx}$।
इन मानों को समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $v^2 (1 - \frac{dv}{dx}) = a^2$।
$1 - \frac{dv}{dx} = \frac{a^2}{v^2} \implies \frac{dv}{dx} = 1 - \frac{a^2}{v^2} = \frac{v^2 - a^2}{v^2}$।
चरों को अलग करने पर: $\frac{v^2}{v^2 - a^2} dv = dx$।
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\int \frac{v^2 - a^2 + a^2}{v^2 - a^2} dv = \int dx$।
$\int (1 + \frac{a^2}{v^2 - a^2}) dv = x + c$।
$v + a^2 \cdot \frac{1}{2a} \log \left| \frac{v-a}{v+a} \right| = x + c$।
$v + \frac{a}{2} \log \left| \frac{v-a}{v+a} \right| = x + c$।
$v = x - y$ रखने पर: $(x-y) + \frac{a}{2} \log \left| \frac{x-y-a}{x-y+a} \right| = x + c$।
$-y + \frac{a}{2} \log \left| \frac{x-y-a}{x-y+a} \right| = c$।
$y = \frac{a}{2} \log \left| \frac{x-y-a}{x-y+a} \right| + c'$।

(B) दिया गया अवकल समीकरण: $2 \frac{dy}{dx} - \frac{y}{x} = \frac{y^2}{x^2}$.
$y^2$ से भाग देने पर: $2 y^{-2} \frac{dy}{dx} - \frac{1}{xy} = \frac{1}{x^2}$.
माना $v = y^{-1}$,तब $\frac{dv}{dx} = -y^{-2} \frac{dy}{dx}$,अर्थात $y^{-2} \frac{dy}{dx} = -\frac{dv}{dx}$.
समीकरण में मान रखने पर: $-2 \frac{dv}{dx} - \frac{v}{x} = \frac{1}{x^2}$,जिसे सरल करने पर $\frac{dv}{dx} + \frac{v}{2x} = -\frac{1}{2x^2}$ प्राप्त होता है।
यह एक रैखिक अवकल समीकरण है,जिसका समाकलन गुणक $IF = e^{\int \frac{1}{2x} dx} = e^{\frac{1}{2} \ln x} = \sqrt{x}$ है।
$IF$ से गुणा करने पर: $\sqrt{x} \frac{dv}{dx} + \frac{v}{2\sqrt{x}} = -\frac{1}{2x^{3/2}}$,अर्थात $\frac{d}{dx}(v \sqrt{x}) = -\frac{1}{2} x^{-3/2}$.
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $v \sqrt{x} = -\frac{1}{2} \int x^{-3/2} dx = -\frac{1}{2} \frac{x^{-1/2}}{-1/2} + C = \frac{1}{\sqrt{x}} + C$.
अतः,$v = \frac{1}{x} + \frac{C}{\sqrt{x}} = \frac{1 + C\sqrt{x}}{x}$.
चूंकि $v = 1/y$,इसलिए $y = \frac{x}{1 + C\sqrt{x}}$.
$x = 1$ पर $y = 2$ दिया गया है: $2 = \frac{1}{1 + C}$,जिससे $2 + 2C = 1$,अर्थात $2C = -1$ या $C = -1/2$.
$C$ का मान रखने पर: $y = \frac{x}{1 - \frac{1}{2}\sqrt{x}} = \frac{2x}{2 - \sqrt{x}}$.
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(D) दिया गया अवकल समीकरण $(x+1) \frac{dy}{dx} - xy = 1$ है।
$(x+1)$ से भाग देने पर,$\frac{dy}{dx} - \frac{x}{x+1}y = \frac{1}{x+1}$ प्राप्त होता है।
यह $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P = -\frac{x}{x+1} = -1 + \frac{1}{x+1}$ और $Q = \frac{1}{x+1}$ है।
समाकलन गुणक $IF = e^{\int P dx} = e^{\int (-1 + \frac{1}{x+1}) dx} = e^{-x + \log(x+1)} = (x+1)e^{-x}$ है।
व्यापक हल $y \cdot IF = \int (Q \cdot IF) dx + C$ है।
$y(x+1)e^{-x} = \int (\frac{1}{x+1} \cdot (x+1)e^{-x}) dx + C = \int e^{-x} dx + C = -e^{-x} + C$.
$e^{-x}$ से भाग देने पर,$y(x+1) = -1 + Ce^x$ प्राप्त होता है।
चूँकि $y(0) = 1$ दिया गया है,$x=0$ और $y=1$ रखने पर: $1(0+1) = -1 + Ce^0 \implies 1 = -1 + C \implies C = 2$.
अतः,$y(x+1) = 2e^x - 1$,जिससे $y = \frac{2e^x - 1}{x+1}$ प्राप्त होता है।

(B) दिया गया अवकल समीकरण: $(x-4y^3) \frac{dy}{dx}-y=0$ जहाँ $y>0$ है।
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर: $(x-4y^3) \frac{dy}{dx}=y$।
चूंकि $y>0$,हम लिख सकते हैं: $\frac{dx}{dy} = \frac{x-4y^3}{y} = \frac{x}{y} - 4y^2$।
यह $\frac{dx}{dy} + Px = Q$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P = -\frac{1}{y}$ और $Q = -4y^2$ है।
समाकलन गुणक ($I$.$F$.) इस प्रकार है: $I.F. = e^{\int P dy} = e^{\int -\frac{1}{y} dy} = e^{-\ln y} = e^{\ln y^{-1}} = \frac{1}{y}$।
व्यापक हल है: $x \cdot (I.F.) = \int (Q \cdot I.F.) dy + C$।
मान रखने पर: $x \cdot \frac{1}{y} = \int (-4y^2 \cdot \frac{1}{y}) dy + C$।
$\frac{x}{y} = \int -4y dy + C$।
$\frac{x}{y} = -4 \cdot \frac{y^2}{2} + C = -2y^2 + C$।
$y$ से गुणा करने पर,हमें प्राप्त होता है: $x = -2y^3 + Cy$,जिसे $x+2y^3=Cy$ के रूप में लिखा जा सकता है।

(C) दिया गया अवकल समीकरण: $(y^3 + x) \frac{dy}{dx} = y$.
समीकरण को पुनर्व्यवस्थित करने पर: $\frac{dx}{dy} = \frac{y^3 + x}{y} = y^2 + \frac{x}{y}$.
यह $x$ में एक रैखिक अवकल समीकरण है: $\frac{dx}{dy} - \frac{1}{y}x = y^2$.
समाकलन गुणक $IF = e^{\int -\frac{1}{y} dy} = e^{-\ln|y|} = \frac{1}{y}$ है।
$IF$ से गुणा करने पर: $\frac{1}{y} \frac{dx}{dy} - \frac{1}{y^2} x = y$.
दोनों पक्षों का $y$ के सापेक्ष समाकलन करने पर: $\int \frac{d}{dy} (\frac{x}{y}) dy = \int y dy$.
$\frac{x}{y} = \frac{y^2}{2} + C$.
$x = \frac{y^3}{2} + Cy \implies 2x = y^3 + 2Cy$.
चूंकि $y^3 = ax + b$,हम इसे $y^3 = 2x - 2Cy$ के रूप में लिखते हैं।
$y^3 = ax + b$ से तुलना करने पर,$a = 2$ और $b = -2Cy$ प्राप्त होता है।
$y(4) = 2$ का उपयोग करने पर: $2^3 = 2(4) + b \implies 8 = 8 + b \implies b = 0$.
अतः $y^3 = 2x + 0$,जिससे $a = 2$ और $b = 0$ मिलता है।
$4a + 12b^2 = 4(2) + 12(0)^2 = 8 + 0 = 8$.

(D) माना कि अभीष्ट सदिश $\vec{v}$ है। चूँकि $\vec{v}$,$\vec{b}$ और $\vec{c}$ के साथ समतलीय है,यह $\vec{a} \times (\vec{b} \times \vec{c})$ के समानांतर होगा।
सबसे पहले,$\vec{n} = \vec{b} \times \vec{c} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 1 \end{vmatrix} = 2\hat{i} - 2\hat{k}$ ज्ञात करें।
अब,$\vec{a}$ और $\vec{n}$ के लंबवत सदिश ज्ञात करें:
$\vec{v} = \vec{a} \times \vec{n} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 3 & 4 & 5 \\ 2 & 0 & -2 \end{vmatrix} = -8\hat{i} + 16\hat{j} - 8\hat{k}$।
इस सदिश की दिशा $\hat{i} - 2\hat{j} + \hat{k}$ है।
इसका परिमाण $\sqrt{1^2 + (-2)^2 + 1^2} = \sqrt{6}$ है।
अतः,इकाई सदिश $\frac{1}{\sqrt{6}}(\hat{i} - 2\hat{j} + \hat{k})$ होगा।
इस प्रकार,सही विकल्प $D$ है।

(D) माना बिंदुओं $A$ और $B$ के स्थिति सदिश क्रमशः $\vec{r}_A$ और $\vec{r}_B$ हैं।
दिया गया है $\vec{r}_A = \bar{a}-2 \bar{b}+3 \bar{c}$.
बिंदु $C$ रेखाखंड $AB$ को $m:n = 2:1$ के अनुपात में विभाजित करता है।
विभाजन सूत्र का उपयोग करते हुए $C$ का स्थिति सदिश: $\vec{r}_C = \frac{m \vec{r}_B + n \vec{r}_A}{m+n}$.
मान रखने पर: $\frac{3 \bar{a}+4 \bar{b}-5 \bar{c}}{3} = \frac{2 \vec{r}_B + 1 (\bar{a}-2 \bar{b}+3 \bar{c})}{2+1}$.
$\frac{3 \bar{a}+4 \bar{b}-5 \bar{c}}{3} = \frac{2 \vec{r}_B + \bar{a}-2 \bar{b}+3 \bar{c}}{3}$.
अंशों की तुलना करने पर: $3 \bar{a}+4 \bar{b}-5 \bar{c} = 2 \vec{r}_B + \bar{a}-2 \bar{b}+3 \bar{c}$.
$2 \vec{r}_B = (3 \bar{a}-\bar{a}) + (4 \bar{b}+2 \bar{b}) + (-5 \bar{c}-3 \bar{c})$.
$2 \vec{r}_B = 2 \bar{a} + 6 \bar{b} - 8 \bar{c}$.
$\vec{r}_B = \bar{a} + 3 \bar{b} - 4 \bar{c}$.
अतः,$B$ का स्थिति सदिश $\bar{a} + 3 \bar{b} - 4 \bar{c}$ है।

(A) मान लीजिए $\bar{a}$ और $\bar{b}$ दो इकाई सदिश हैं,इसलिए $|\bar{a}| = 1$ और $|\bar{b}| = 1$ है।
चूंकि सदिश $\bar{v} = \alpha \bar{a} + \bar{b}$,$\bar{a}$ और $\bar{b}$ के बीच के कोण को समद्विभाजित करता है,इसलिए इसे $\bar{a}$ और $\bar{b}$ की दिशा में इकाई सदिशों के योग की दिशा में होना चाहिए।
$\bar{a}$ और $\bar{b}$ की दिशा में इकाई सदिश स्वयं $\bar{a}$ और $\bar{b}$ हैं।
कोण समद्विभाजक सदिश $\hat{a} + \hat{b} = \bar{a} + \bar{b}$ के समानुपाती होता है।
अतः,किसी अदिश $k$ के लिए $\alpha \bar{a} + \bar{b} = k(\bar{a} + \bar{b})$ होगा।
$\bar{a}$ और $\bar{b}$ के गुणांकों की तुलना करने पर (चूंकि $\bar{a}$ और $\bar{b}$ गैर-समानांतर हैं,वे रैखिक रूप से स्वतंत्र हैं),हमें $\alpha = k$ और $1 = k$ प्राप्त होता है।
इसलिए,$\alpha = 1$।

(B) दिया गया है $\overline{OA} = 3\hat{i} + \hat{j} - \hat{k}$.
$\overline{AB}$ के दिक अनुपात $1, -1, 2$ हैं। मान लीजिए सदिश $\overline{AB} = k(\hat{i} - \hat{j} + 2\hat{k})$ किसी अदिश $k$ के लिए है।
हम जानते हैं कि $|\overline{AB}| = |k| \sqrt{1^2 + (-1)^2 + 2^2} = |k| \sqrt{6}$.
दिया गया है $|\overline{AB}| = 2\sqrt{6}$,इसलिए $|k|\sqrt{6} = 2\sqrt{6} \implies |k| = 2$.
अतः,$\overline{AB} = 2(\hat{i} - \hat{j} + 2\hat{k}) = 2\hat{i} - 2\hat{j} + 4\hat{k}$ या $\overline{AB} = -2\hat{i} + 2\hat{j} - 4\hat{k}$.
चूंकि $\overline{OB} = \overline{OA} + \overline{AB}$,हमारे पास दो स्थितियाँ हैं:
स्थिति $1$: $\overline{OB} = (3\hat{i} + \hat{j} - \hat{k}) + (2\hat{i} - 2\hat{j} + 4\hat{k}) = 5\hat{i} - \hat{j} + 3\hat{k}$.
तब $|\overline{OB}| = \sqrt{5^2 + (-1)^2 + 3^2} = \sqrt{25 + 1 + 9} = \sqrt{35}$.
स्थिति $2$: $\overline{OB} = (3\hat{i} + \hat{j} - \hat{k}) + (-2\hat{i} + 2\hat{j} - 4\hat{k}) = \hat{i} + 3\hat{j} - 5\hat{k}$.
तब $|\overline{OB}| = \sqrt{1^2 + 3^2 + (-5)^2} = \sqrt{1 + 9 + 25} = \sqrt{35}$.
दोनों स्थितियों में,$|\overline{OB}| = \sqrt{35}$.

(C) दिया गया सदिश समीकरण:
$(3 \hat{i}-\hat{j}+2 \hat{k}) = x(2 \hat{i}+3 \hat{j}-\hat{k}) + y(\hat{i}-2 \hat{j}+2 \hat{k}) + z(-2 \hat{i}+\hat{j}-2 \hat{k})$
दोनों पक्षों में $\hat{i}, \hat{j},$ और $\hat{k}$ के गुणांकों की तुलना करने पर,हमें रैखिक समीकरणों का निम्नलिखित निकाय प्राप्त होता है:
$2x + y - 2z = 3$ $(1)$
$3x - 2y + z = -1$ $(2)$
$-x + 2y - 2z = 2$ $(3)$
समीकरण $(1)$ में से समीकरण $(3)$ को घटाने पर:
$(2x + y - 2z) - (-x + 2y - 2z) = 3 - 2$
$3x - y = 1 \implies y = 3x - 1$
$y = 3x - 1$ को समीकरण $(2)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$3x - 2(3x - 1) + z = -1$
$3x - 6x + 2 + z = -1 \implies z = 3x - 3$
$y$ और $z$ के मानों को समीकरण $(1)$ में रखने पर:
$2x + (3x - 1) - 2(3x - 3) = 3$
$2x + 3x - 1 - 6x + 6 = 3$
$-x + 5 = 3 \implies x = 2$
अब,$y$ और $z$ का मान ज्ञात करते हैं:
$y = 3(2) - 1 = 5$
$z = 3(2) - 3 = 3$
अतः,त्रिक $(x, y, z) = (2, 5, 3)$ है।

(B) मान लीजिए कि मूल बिंदु परिकेंद्र $S$ है। तब शीर्षों $A, B, C$ के स्थिति सदिश $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ हैं,जहाँ $|\vec{a}| = |\vec{b}| = |\vec{c}| = R$,जहाँ $R$ परित्रिज्या है।
लंबकेंद्र $O$ का स्थिति सदिश $\vec{o} = \vec{a} + \vec{b} + \vec{c}$ द्वारा दिया जाता है।
हमें $\vec{OA} + \vec{OB} + \vec{OC}$ ज्ञात करना है।
स्थिति सदिशों के संदर्भ में,यह $(\vec{a} - \vec{o}) + (\vec{b} - \vec{o}) + (\vec{c} - \vec{o})$ है।
$= (\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}) - 3\vec{o}$.
चूंकि $\vec{o} = \vec{a} + \vec{b} + \vec{c}$,हम इसे व्यंजक में प्रतिस्थापित करते हैं:
$= \vec{o} - 3\vec{o} = -2\vec{o}$.
चूंकि मूल बिंदु $S$ है,$\vec{o}$ सदिश $\vec{SO}$ है।
अतः,$\vec{OA} + \vec{OB} + \vec{OC} = -2\vec{SO} = 2\vec{OS}$.

(C) बिंदुओं $P, Q, R, S$ के दिए गए स्थिति सदिश:
$\vec{p} = -\bar{a} + 4\bar{b} - 3\bar{c}$
$\vec{q} = 3\bar{a} + 2\bar{b} - 5\bar{c}$
$\vec{r} = -3\bar{a} + 8\bar{b} - 5\bar{c}$
$\vec{s} = -3\bar{a} + 2\bar{b} + \bar{c}$
विस्थापन सदिशों की गणना:
$\overline{PQ} = \vec{q} - \vec{p} = 4\bar{a} - 2\bar{b} - 2\bar{c}$
$\overline{PR} = \vec{r} - \vec{p} = -2\bar{a} + 4\bar{b} - 2\bar{c}$
$\overline{PS} = \vec{s} - \vec{p} = -2\bar{a} - 2\bar{b} + 4\bar{c}$
$\overline{PQ} = x\overline{PR} + y\overline{PS}$ के लिए:
$4\bar{a} - 2\bar{b} - 2\bar{c} = (-2x - 2y)\bar{a} + (4x - 2y)\bar{b} + (-2x + 4y)\bar{c}$
गुणांकों की तुलना करने पर:
$x + y = -2$ और $2x - y = -1$
दोनों को जोड़ने पर $3x = -3 \implies x = -1$,जिससे $y = -1$ प्राप्त होता है।
अतः,क्रमित युग्म $(x, y) = (-1, -1)$ है।

(B) स्थिति सदिश $\vec{A} = 4\hat{i} + 7\hat{j} + 8\hat{k}$,$\vec{B} = 2\hat{i} + 3\hat{j} + 4\hat{k}$,और $\vec{C} = 2\hat{i} + 5\hat{j} + 7\hat{k}$ हैं।
सबसे पहले,भुजाओं $AB$ और $AC$ की लंबाई ज्ञात करें:
$AB = |\vec{B} - \vec{A}| = \sqrt{(-2)^2 + (-4)^2 + (-4)^2} = \sqrt{36} = 6$.
$AC = |\vec{C} - \vec{A}| = \sqrt{(-2)^2 + (-2)^2 + (-1)^2} = \sqrt{9} = 3$.
कोण समद्विभाजक प्रमेय के अनुसार,$D$,$BC$ को $AB:AC = 6:3 = 2:1$ के अनुपात में विभाजित करता है।
विभाजन सूत्र का उपयोग करते हुए,$D$ का स्थिति सदिश $\vec{D} = \frac{2\vec{C} + 1\vec{B}}{3} = 2\hat{i} + \frac{13}{3}\hat{j} + 6\hat{k}$ है।
अब,$AD = |\vec{D} - \vec{A}| = |-2\hat{i} - \frac{8}{3}\hat{j} - 2\hat{k}| = \sqrt{4 + \frac{64}{9} + 4} = \sqrt{\frac{136}{9}} = \frac{2}{3}\sqrt{34}$।

(C) सबसे पहले,$\bar{a} \times \bar{b} = \begin{vmatrix} \bar{i} & \bar{j} & \bar{k} \\ 2 & 1 & -2 \\ 1 & 1 & 0 \end{vmatrix} = 2\bar{i} - 2\bar{j} + \bar{k}$ की गणना करें।
$|\bar{a} \times \bar{b}| = \sqrt{2^2 + (-2)^2 + 1^2} = 3$.
दिया गया है $|\bar{c} - \bar{a}|^2 = 8$,इसलिए $|\bar{c}|^2 + |\bar{a}|^2 - 2(\bar{a} \cdot \bar{c}) = 8$.
चूंकि $|\bar{a}| = 3$ और $\bar{a} \cdot \bar{c} = |\bar{c}|$,हमारे पास $|\bar{c}|^2 + 9 - 2|\bar{c}| = 8$ है,जिसका अर्थ है $(|\bar{c}| - 1)^2 = 0$,इसलिए $|\bar{c}| = 1$.
अब,$|(\bar{a} \times \bar{b}) \times \bar{c}| = |\bar{a} \times \bar{b}| |\bar{c}| \sin(30^{\circ}) = 3 \times 1 \times \frac{1}{2} = \frac{3}{2}$.
अतः,$|(\bar{a} \times \bar{b}) \times \bar{c}|^2 = (\frac{3}{2})^2 = \frac{9}{4}$.

(A) मान लीजिए कि त्रिभुज के शीर्ष $A, B, C$ हैं। दिया गया है कि त्रिभुज $C$ पर समकोण है,इसलिए $\overrightarrow{CA} \perp \overrightarrow{CB}$,जिसका अर्थ है $\overrightarrow{CA} \cdot \overrightarrow{CB} = 0$।
हम जानते हैं कि $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{CB}$,इसलिए $\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AB} - \overrightarrow{CB}$।
इस मान को व्यंजक में रखने पर:
$E = \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{BC} \cdot \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{CA} \cdot \overrightarrow{CB}$
$E = \overrightarrow{AB} \cdot (\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{CB}) + (-\overrightarrow{CB}) \cdot (-\overrightarrow{AB}) + 0$
$E = |\overrightarrow{AB}|^2 - \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{CB} + \overrightarrow{CB} \cdot \overrightarrow{AB}$
चूंकि $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{CB} = \overrightarrow{CB} \cdot \overrightarrow{AB}$,ये पद कट जाएंगे।
$E = |\overrightarrow{AB}|^2 = p^2$।