मान लीजिए $\bar{a}, \bar{b}, \bar{c}$ तीन सदिश इस प्रकार हैं कि $|\bar{a}|=1, |\bar{c}|=1, |\bar{b}|=4$,और $|\bar{b} \times \bar{c}|=\sqrt{15}$ है। यदि $\lambda \bar{a}=\bar{b}-2 \bar{c}$ है,तो $\lambda$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि $\vec{a} = 2\hat{i} - \hat{j} + \hat{k}$,$\vec{b} = \hat{i} + \hat{j} - 2\hat{k}$ और $\vec{c} = \hat{i} + 3\hat{j} - \hat{k}$ है,तो $\lambda$ ज्ञात कीजिए ताकि $\vec{a}$,$\lambda\vec{b} + \vec{c}$ के लंबवत हो।

यदि $\vec{a} = \hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$ और $\vec{b} = x\hat{i} + y\hat{j} + z\hat{k}$ है,तो $\vec{b}$ के संभावित सदिशों की संख्या ज्ञात कीजिए ताकि $\vec{a} \cdot \vec{b} = 10$ हो,जहाँ $(x, y, z) \in \mathbb{N}$ है।

यदि $\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}=\overrightarrow{0}$,$|\overrightarrow{a}|=3$,$|\overrightarrow{b}|=5$,और $|\overrightarrow{c}|=7$ है,तो $\overrightarrow{a}$ और $\overrightarrow{b}$ के बीच का कोण ज्ञात कीजिए।

यदि सदिश $\vec{AB} = p \hat{i} + q \hat{j} + r \hat{k}$,$\vec{AC} = s \hat{i} + 3 \hat{j} + 4 \hat{k}$,और $\vec{CB} = 3 \hat{i} + \hat{j} - 2 \hat{k}$ एक $\triangle ABC$ बनाते हैं,तो $p, q, r$ और $s$ के मान ज्ञात कीजिए ताकि उस $\triangle ABC$ का क्षेत्रफल $5 \sqrt{6}$ हो।

त्रिभुज $ABC$ में सामान्य संकेतों के अनुसार,यदि $|\overline{BC}|=8, |\overline{CA}|=7, |\overline{AB}|=10$ है,तो $\overline{AC}$ पर $\overline{AB}$ का प्रक्षेप ज्ञात कीजिए।