AP EAMCET 2017 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(D) दिया गया समीकरण $x^6-1=0$ है,जिसका अर्थ है $x^6=1$.
चूंकि $\alpha$ एक मूल है,$\alpha^6=1$.
साथ ही,$\alpha \neq 1$ क्योंकि $\alpha$ अवास्तविक है।
अंश को $\alpha^2(1+\alpha+\alpha^2+\alpha^3)$ के रूप में लिखा जा सकता है।
$\alpha^6-1 = (\alpha-1)(\alpha^5+\alpha^4+\alpha^3+\alpha^2+\alpha+1) = 0$ और $\alpha \neq 1$ होने के कारण,$\alpha^5+\alpha^4+\alpha^3+\alpha^2+\alpha+1 = 0$ है।
अतः $\alpha^5+\alpha^4+\alpha^3+\alpha^2 = -(\alpha+1)$।
इस मान को प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{-(\alpha+1)}{\alpha+1} = -1$।

(C) दिया गया समीकरण $|z-z_1| + |z-z_2| = 2a$ के रूप में है,जहाँ $z_1 = 3i$ और $z_2 = -3i$ है।
यह एक दीर्घवृत्त को दर्शाता है जिसकी नाभियाँ $(0, 3)$ और $(0, -3)$ पर हैं।
नाभियों के बीच की दूरी $2ae = |z_1 - z_2| = |3i - (-3i)| = |6i| = 6$ है।
यहाँ $2a = 10$ दिया गया है,इसलिए $a = 5$ है।
संबंध $2ae = 6$ का उपयोग करने पर,हमें $5e = 3$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $e = \frac{3}{5}$।
अतः,बिंदु पथ $\frac{3}{5}$ उत्केंद्रता वाला एक दीर्घवृत्त है।

(C) दिया गया है,$\log _{\frac{1}{\sqrt{3}}}\left\{\frac{|z|^2-|z|+1}{2+|z|}\right\}>-2$.
चूंकि आधार $a = \frac{1}{\sqrt{3}}$ शर्त $0 < a < 1$ को पूरा करता है,इसलिए लघुगणक को हटाते समय असमिका उलट जाती है:
$\frac{|z|^2-|z|+1}{2+|z|} < \left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^{-2}$.
दाहिनी ओर को सरल करने पर: $\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^{-2} = (\sqrt{3})^2 = 3$.
अतः,$\frac{|z|^2-|z|+1}{2+|z|} < 3$.
दोनों पक्षों को $(2+|z|)$ से गुणा करने पर (चूंकि $|z| \ge 0$,इसलिए $2+|z| > 0$):
$|z|^2-|z|+1 < 3(2+|z|)$.
$|z|^2-|z|+1 < 6+3|z|$.
$|z|^2-4|z|-5 < 0$.
गुणनखंड करने पर: $(|z|-5)(|z|+1) < 0$.
चूंकि $|z| \ge 0$,$|z|+1$ हमेशा धनात्मक है,इसलिए $|z|-5 < 0$ होना चाहिए,जिसका अर्थ है $|z| < 5$.
यह मूल बिंदु पर केंद्रित $5$ त्रिज्या वाले वृत्त के आंतरिक भाग को दर्शाता है।

(C) संकेत बनाने के लिए,हम एक समय में $1, 2, 3, 4, 5, 6,$ या $7$ शीट चुन सकते हैं।
चूंकि संकेत में शीटों का क्रम मायने रखता है,इसलिए हम क्रमचय (permutation) के सूत्र का उपयोग करते हैं: $P(n, r) = \frac{n!}{(n-r)!}$.
कुल संकेतों की संख्या प्रत्येक स्थिति के लिए क्रमचयों का योग है:
$S = P(7, 1) + P(7, 2) + P(7, 3) + P(7, 4) + P(7, 5) + P(7, 6) + P(7, 7)$
$S = 7 + 42 + 210 + 840 + 2520 + 5040 + 5040 = 13699$

(A) यदि किसी संख्या के अंकों का योग $3$ से विभाज्य है,तो वह संख्या $3$ से विभाज्य होती है।
मान लीजिए चार अंकों की संख्या $d_1 d_2 d_3 d_4$ है।
पहले तीन अंकों $(d_1, d_2, d_3)$ के लिए $9$ विकल्प हैं,जो ${1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}$ हैं।
पहले तीन अंकों को चुनने के कुल तरीके $9 \times 9 \times 9 = 729$ हैं।
मान लीजिए पहले तीन अंकों का योग $S = d_1 + d_2 + d_3$ है।
पूरी संख्या के $3$ से विभाज्य होने के लिए,$S + d_4$ को $3$ का गुणज होना चाहिए।
$S$ के किसी भी मान के लिए,हम $d_4 \in {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}$ के लिए ऐसे मान देखते हैं कि $S + d_4 \equiv 0 \pmod{3}$ हो।
यदि $S \equiv 0 \pmod{3}$ है,तो $d_4 \in {3, 6, 9}$ ($3$ विकल्प)।
यदि $S \equiv 1 \pmod{3}$ है,तो $d_4 \in {2, 5, 8}$ ($3$ विकल्प)।
यदि $S \equiv 2 \pmod{3}$ है,तो $d_4 \in {1, 4, 7}$ ($3$ विकल्प)।
सभी मामलों में,$d_4$ के लिए ठीक $3$ विकल्प हैं।
इसलिए,ऐसी चार अंकों की कुल संख्याएँ $729 \times 3 = 2187$ हैं।

(A) चार अंकों की कुल संख्याएँ $9 \times 10 \times 10 \times 10 = 9000$ हैं।
चार अंकों की ऐसी संख्याएँ जिनमें चार अलग-अलग अंक नहीं हैं,उन्हें खोजने के लिए हम कुल संख्या में से चार अलग-अलग अंकों वाली संख्याओं को घटाते हैं।
चार अलग-अलग अंकों वाली चार अंकों की संख्याओं की गणना इस प्रकार की जाती है:
पहला अंक (हजार का स्थान) $1$ से $9$ तक कोई भी अंक हो सकता है ($9$ विकल्प)।
दूसरा अंक शेष $9$ अंकों में से कोई भी हो सकता है ($9$ विकल्प)।
तीसरा अंक शेष $8$ अंकों में से कोई भी हो सकता है ($8$ विकल्प)।
चौथा अंक शेष $7$ अंकों में से कोई भी हो सकता है ($7$ विकल्प)।
अलग-अलग अंकों वाली कुल संख्याएँ = $9 \times 9 \times 8 \times 7 = 4536$।
अतः,चार अंकों की ऐसी संख्याएँ जिनमें चार अलग-अलग अंक नहीं हैं = $9000 - 4536 = 4464$।

(C) $BANANA$ शब्द में $6$ अक्षर हैं: $A, A, A, B, N, N$.
कुल व्यवस्थाएं $= \frac{6!}{3!2!1!} = \frac{720}{6 \times 2} = 60$.
उन व्यवस्थाओं की संख्या ज्ञात करने के लिए जहाँ दोनों $N$ एक साथ न हों,हम कुल व्यवस्थाओं में से उन व्यवस्थाओं को घटाते हैं जहाँ दोनों $N$ एक साथ हैं।
दोनों $N$ को एक इकाई $(NN)$ के रूप में मानें। अब हमारे पास $5$ इकाइयाँ हैं: $A, A, A, B, (NN)$.
$N$ के एक साथ होने की व्यवस्थाएं $= \frac{5!}{3!1!1!} = \frac{120}{6} = 20$.
उन तरीकों की संख्या जहाँ $N$ एक साथ नहीं आते हैं $= 60 - 20 = 40$.

(D) $9$ छात्रवृत्तियों को $3$ छात्रों के बीच इस प्रकार वितरित करने के लिए कि प्रत्येक छात्र को $3$ छात्रवृत्तियाँ मिलें,हम मल्टीनोमियल गुणांक की अवधारणा का उपयोग करते हैं।
तरीकों की संख्या इस सूत्र द्वारा दी गई है:
$\frac{9!}{3! \times 3! \times 3!} = \frac{362880}{6 \times 6 \times 6} = \frac{362880}{216} = 1680$.
अतः,कुल तरीकों की संख्या $1680$ है।

(A) मान लीजिए कि $10$ मध्यवर्ती स्टेशन $S_1, S_2, S_3, \dots, S_{10}$ हैं।
हमें $3$ स्टेशनों का चयन इस प्रकार करना है कि कोई भी दो स्टेशन लगातार न हों।
इसके लिए सूत्र $^{n-r+1}C_r$ है,जहाँ $n = 10$ और $r = 3$ है।
तरीकों की संख्या $= ^{10-3+1}C_3 = ^8C_3$ है।
मान की गणना करने पर: $^8C_3 = \frac{8 \times 7 \times 6}{3 \times 2 \times 1} = 56$।

(B) $3000$ से बड़ी संख्याएँ बनाने के लिए हम $4, 5$ और $6$ अंकों की संख्याओं पर विचार करेंगे।
$1$. $4$ अंकों की संख्याएँ: पहला अंक $3, 4$ या $5$ हो सकता है ($3$ विकल्प)। शेष $3$ स्थानों को $5$ अंकों से $P(5, 3) = 60$ तरीकों से भरा जा सकता है। कुल = $3 \times 60 = 180$.
$2$. $5$ अंकों की संख्याएँ: पहला अंक $0$ नहीं हो सकता ($5$ विकल्प)। शेष $4$ स्थानों को $P(5, 4) = 120$ तरीकों से भरा जा सकता है। कुल = $5 \times 120 = 600$.
$3$. $6$ अंकों की संख्याएँ: पहला अंक $0$ नहीं हो सकता ($5$ विकल्प)। शेष $5$ स्थानों को $P(5, 5) = 120$ तरीकों से भरा जा सकता है। कुल = $5 \times 120 = 600$.
योग: $180 + 600 + 600 = 1380$.

(A) $CAPITAL$ शब्द में अक्षरों का वर्णानुक्रम $A, A, C, I, L, P, T$ है।
कुल अक्षर = $7$ हैं। $A$ दो बार आता है।
$A$ से शुरू होने वाले शब्द: $\frac{6!}{1!} = 720$।
$C$ से शुरू होने वाले शब्द:
$CA...$: $4! = 24$।
$CAI...$: $4! = 24$।
$CAL...$: $4! = 24$।
$CAP...$:
$CAPA...$: $3! = 6$।
$CAPI...$:
$CAPIA...$: $2! = 2$।
$CAPIL...$:
$CAPILA...$: $1! = 1$।
$CAPITAL$: $1$।
कुल रैंक = $720 + 24 + 24 + 24 + 6 + 2 + 1 + 1 = 802$।

(B) सबसे पहले,$6$ अलग सफेद गुलाबों को एक वृत्त में व्यवस्थित करें। $n$ अलग वस्तुओं को एक वृत्त में व्यवस्थित करने के तरीके $(n-1)!$ होते हैं। अतः,$6$ सफेद गुलाबों को व्यवस्थित करने के तरीके $(6-1)! = 5! = 120$ हैं।
वृत्त में $6$ सफेद गुलाबों के बीच $6$ रिक्त स्थान बनते हैं।
हमें $5$ अलग लाल गुलाबों को इन $6$ स्थानों में इस प्रकार रखना है कि कोई भी दो लाल गुलाब एक साथ न हों। $6$ में से $5$ स्थानों को चुनने के तरीके $^6C_5 = 6$ हैं।
चुने गए $5$ स्थानों में $5$ अलग लाल गुलाबों को व्यवस्थित करने के तरीके $5! = 120$ हैं।
चूंकि माला को पलटा जा सकता है (घड़ी की दिशा और घड़ी की विपरीत दिशा की व्यवस्था समान मानी जाती है),इसलिए हम $2$ से भाग देंगे।
कुल तरीके $= \frac{5! \times ^6C_5 \times 5!}{2} = \frac{120 \times 6 \times 120}{2} = \frac{86400}{2} = 43200$.

(C) प्रत्येक प्रश्न के लिए,उत्तर देने के $4$ विकल्प हैं,और प्रश्न को खाली छोड़ने के लिए $1$ विकल्प है।
प्रत्येक $4$ प्रश्नों के लिए,उम्मीदवार के पास $5$ संभावनाएं हैं: या तो $4$ उत्तरों में से एक चुनें या प्रश्न का उत्तर न दें।
$4$ प्रश्नों का उत्तर देने के कुल तरीके (कुछ को खाली छोड़ना शामिल है) $5^4 = 625$ हैं।
चूंकि उम्मीदवार को 'एक या अधिक' प्रश्नों का उत्तर देना है,इसलिए हमें उस स्थिति को बाहर करना होगा जिसमें उम्मीदवार सभी $4$ प्रश्नों को खाली छोड़ देता है।
कुल तरीके = $5^4 - 1 = 625 - 1 = 624$.

(B) हम सर्वसमिका $^{n}C_r + ^{n}C_{r-1} = ^{n+1}C_r$ का उपयोग करते हैं।
योग का विस्तार करने पर:
$\sum_{r=0}^{4} {^{(33-r)}C_4} = ^{33}C_4 + ^{32}C_4 + ^{31}C_4 + ^{30}C_4 + ^{29}C_4$.
अब,व्यंजक इस प्रकार है:
$^{29}C_5 + ^{29}C_4 + ^{30}C_4 + ^{31}C_4 + ^{32}C_4 + ^{33}C_4$.
सर्वसमिका $^{n}C_r + ^{n}C_{r-1} = ^{n+1}C_r$ का उपयोग करने पर:
$^{29}C_5 + ^{29}C_4 = ^{30}C_5$.
$^{30}C_5 + ^{30}C_4 = ^{31}C_5$.
$^{31}C_5 + ^{31}C_4 = ^{32}C_5$.
$^{32}C_5 + ^{32}C_4 = ^{33}C_5$.
$^{33}C_5 + ^{33}C_4 = ^{34}C_5$.
अतः,अंतिम परिणाम $^{34}C_5$ है।

(B) $n!$ के अभाज्य गुणनखंडन में एक अभाज्य संख्या $p$ का घातांक लेजेंड्रे के सूत्र द्वारा दिया जाता है: $E_p(n!) = \sum_{k=1}^{\infty} \lfloor \frac{n}{p^k} \rfloor$.
$n = 37$ और $p = 3$ के लिए:
$\alpha_3 = \lfloor \frac{37}{3} \rfloor + \lfloor \frac{37}{9} \rfloor + \lfloor \frac{37}{27} \rfloor = 12 + 4 + 1 = 17$.
$n = 37$ और $p = 5$ के लिए:
$\alpha_5 = \lfloor \frac{37}{5} \rfloor + \lfloor \frac{37}{25} \rfloor = 7 + 1 = 8$.
अतः,अनुपात $\alpha_3 : \alpha_5 = 17 : 8$ है।

(B) $n$ अवयवों के समुच्चय से $8$ अवयवों वाले उपसमुच्चयों की कुल संख्या $\binom{n}{8}$ द्वारा दी जाती है।
$a_4$ को समाहित करने वाले $8$ अवयवों वाले उपसमुच्चयों की संख्या शेष $(n-1)$ अवयवों में से $7$ अवयवों को चुनने के बराबर है,जो $\binom{n-1}{7}$ है।
प्रश्न के अनुसार,$\binom{n}{8} = 5 \times \binom{n-1}{7}$ है।
सर्वसमिका $\binom{n}{r} = \frac{n}{r} \binom{n-1}{r-1}$ का उपयोग करने पर,हमें $\binom{n}{8} = \frac{n}{8} \binom{n-1}{7}$ प्राप्त होता है।
इसे समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{n}{8} \binom{n-1}{7} = 5 \times \binom{n-1}{7}$।
चूँकि $\binom{n-1}{7} \neq 0$,दोनों पक्षों को $\binom{n-1}{7}$ से विभाजित करने पर $\frac{n}{8} = 5$ प्राप्त होता है।
अतः,$n = 5 \times 8 = 40$।

(C) $n$ शीर्षों में से $3$ शीर्षों को चुनकर बनने वाले त्रिभुजों की संख्या $t_n = \binom{n}{3} = \frac{n(n-1)(n-2)}{6}$ द्वारा दी जाती है।
दी गई शर्त $t_{n+1} = t_n + 28$ के अनुसार:
$\binom{n+1}{3} - \binom{n}{3} = 28$.
गुणधर्म $\binom{n+1}{3} - \binom{n}{3} = \binom{n}{2}$ का उपयोग करने पर:
$\binom{n}{2} = 28$.
$\frac{n(n-1)}{2} = 28$.
$n(n-1) = 56$.
$n^2 - n - 56 = 0$.
$(n-8)(n+7) = 0$.
चूंकि $n$ धनात्मक होना चाहिए,इसलिए $n = 8$।

(B) दिया गया है कि $p, x_1, x_2, \ldots, x_n$ एक समांतर श्रेणी है जिसका सार्व अंतर $a$ है,अतः $x_k = p + ka$। इस प्रकार,$x_1 = p+a$ और $x_n = p+na$। $x_1, \ldots, x_n$ का समांतर माध्य $\alpha = \frac{x_1 + x_n}{2} = \frac{2p + a(n+1)}{2} \quad (i)$ है।
इसी प्रकार,$q, y_1, \ldots, y_n$ के लिए सार्व अंतर $b$ है,अतः $\beta = \frac{y_1 + y_n}{2} = \frac{2q + b(n+1)}{2} \quad (ii)$ है।
समीकरण $(i)$ और $(ii)$ से,$\frac{2(\alpha - p)}{a} = n+1$ और $\frac{2(\beta - q)}{b} = n+1$ प्राप्त होता है।
अतः,$\frac{2(\alpha - p)}{a} = \frac{2(\beta - q)}{b}$,जो सरल होकर $b(\alpha - p) = a(\beta - q)$ हो जाता है।
इस प्रकार,$P(\alpha, \beta)$ का बिंदुपथ $b(x-p) = a(y-q)$ है।

(C) दी गई श्रेणी $S_n = 4^3 + 8^3 + 12^3 + \ldots + (4n)^3$ है।
इसे $S_n = \sum_{r=1}^{n} (4r)^3$ के रूप में लिखा जा सकता है।
$S_n = \sum_{r=1}^{n} 64r^3 = 64 \sum_{r=1}^{n} r^3$.
प्रथम $n$ प्राकृतिक संख्याओं के घनों के योग के सूत्र का उपयोग करते हुए,$\sum_{r=1}^{n} r^3 = \left[ \frac{n(n+1)}{2} \right]^2 = \frac{n^2(n+1)^2}{4}$.
इसे $S_n$ के व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$S_n = 64 \times \frac{n^2(n+1)^2}{4} = 16n^2(n+1)^2$.
इसे दिए गए रूप $k n^2(n+1)^2$ के साथ तुलना करने पर,हमें $k = 16$ प्राप्त होता है।

(D) माना $S_n = 1 + \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{3}} + \ldots + \frac{1}{\sqrt{n}}$.
किसी भी $k \geq 1$ के लिए,हमारे पास $\sqrt{k} \leq \sqrt{n}$ है,जिसका अर्थ है कि $\frac{1}{\sqrt{k}} \geq \frac{1}{\sqrt{n}}$.
इस असमिका का $k=1$ से $n$ तक योग करने पर:
$S_n = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{\sqrt{k}} \geq \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{\sqrt{n}}$.
$S_n \geq n \times \frac{1}{\sqrt{n}} = \sqrt{n}$.
अतः,सभी $n \in N$ के लिए $S_n \geq \sqrt{n}$ होता है.

(C) हमारे पास है,$\sum_{r=1}^{n-1} r(r+1-\omega)(r+1-\omega^2)$
$= \sum_{r=1}^{n-1} r((r+1)^2 - (r+1)(\omega + \omega^2) + \omega^3)$
चूंकि $\omega^3 = 1$ और $1 + \omega + \omega^2 = 0$,इसलिए $\omega + \omega^2 = -1$.
$= \sum_{r=1}^{n-1} r((r+1)^2 + (r+1) + 1)$
$= \sum_{r=1}^{n-1} r(r^2 + 2r + 1 + r + 1 + 1) = \sum_{r=1}^{n-1} r(r^2 + 3r + 3)$
$= \sum_{r=1}^{n-1} (r^3 + 3r^2 + 3r)$
$= \left[\frac{(n-1)n}{2}\right]^2 + 3 \cdot \frac{(n-1)n(2n-2+1)}{6} + 3 \cdot \frac{(n-1)n}{2}$
$= \frac{n^2(n-1)^2}{4} + \frac{n(n-1)(2n-1)}{2} + \frac{3n(n-1)}{2}$
$= \frac{n(n-1)}{4} [n(n-1) + 2(2n-1) + 6]$
$= \frac{n(n-1)}{4} [n^2 - n + 4n - 2 + 6]$
$= \frac{n(n-1)}{4} (n^2 + 3n + 4)$

(C) माना योगफल $S_n = \frac{1}{2 \cdot 5} + \frac{1}{5 \cdot 8} + \frac{1}{8 \cdot 11} + \ldots + \frac{1}{(3n-1)(3n+2)}$ है।
सामान्य पद $T_k = \frac{1}{(3k-1)(3k+2)}$ है।
हम $T_k = \frac{1}{3} \left( \frac{1}{3k-1} - \frac{1}{3k+2} \right)$ लिख सकते हैं।
अतः,$S_n = \sum_{k=1}^{n} T_k = \frac{1}{3} \sum_{k=1}^{n} \left( \frac{1}{3k-1} - \frac{1}{3k+2} \right)$.
यह एक टेलीस्कोपिंग श्रेणी है:
$S_n = \frac{1}{3} \left[ \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{5} \right) + \left( \frac{1}{5} - \frac{1}{8} \right) + \ldots + \left( \frac{1}{3n-1} - \frac{1}{3n+2} \right) \right]$.
सभी मध्यवर्ती पद कट जाएंगे,जिससे प्राप्त होता है:
$S_n = \frac{1}{3} \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{3n+2} \right) = \frac{1}{3} \left( \frac{3n+2-2}{2(3n+2)} \right) = \frac{n}{2(3n+2)}$.

(B) दिए गए समीकरण हैं:
$(1)$ $\sin x \cosh y = \cos \theta$
$(2)$ $\cos x \sinh y = \sin \theta$
दोनों समीकरणों का वर्ग करने पर:
$(1)$ $\sin^2 x \cosh^2 y = \cos^2 \theta$
$(2)$ $\cos^2 x \sinh^2 y = \sin^2 \theta$
हम जानते हैं कि $\cosh^2 y - \sinh^2 y = 1$,इसलिए $\cosh^2 y = 1 + \sinh^2 y$.
इसे पहले समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$\sin^2 x (1 + \sinh^2 y) = \cos^2 \theta$
$\sin^2 x + \sin^2 x \sinh^2 y = \cos^2 \theta$
$(2)$ से,$\sin^2 \theta = \cos^2 x \sinh^2 y$.
$\cos^2 \theta = 1 - \sin^2 \theta$ का उपयोग करने पर:
$\sin^2 x + \sin^2 x \sinh^2 y = 1 - \cos^2 x \sinh^2 y$
$\sinh^2 y (\sin^2 x + \cos^2 x) = 1 - \sin^2 x$
चूंकि $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$ और $1 - \sin^2 x = \cos^2 x$ है:
$\sinh^2 y = \cos^2 x$.

(B) माना $x = \cot 70^{\circ} + 4 \cos 70^{\circ}$.
इसे $x = \frac{\cos 70^{\circ}}{\sin 70^{\circ}} + 4 \cos 70^{\circ} = \frac{\cos 70^{\circ} + 4 \sin 70^{\circ} \cos 70^{\circ}}{\sin 70^{\circ}}$ के रूप में लिखा जा सकता है।
$2 \sin \theta \cos \theta = \sin 2\theta$ सर्वसमिका का उपयोग करने पर,$x = \frac{\cos 70^{\circ} + 2 \sin 140^{\circ}}{\sin 70^{\circ}}$.
चूंकि $\sin 140^{\circ} = \sin(180^{\circ} - 40^{\circ}) = \sin 40^{\circ}$,इसलिए $x = \frac{\cos 70^{\circ} + 2 \sin 40^{\circ}}{\sin 70^{\circ}}$.
$\cos 70^{\circ} = \sin 20^{\circ}$ का उपयोग करने पर,$x = \frac{\sin 20^{\circ} + 2 \sin 40^{\circ}}{\sin 70^{\circ}} = \frac{\sin 20^{\circ} + \sin 40^{\circ} + \sin 40^{\circ}}{\sin 70^{\circ}}$.
$\sin C + \sin D = 2 \sin \frac{C+D}{2} \cos \frac{C-D}{2}$ का उपयोग करने पर,$\sin 20^{\circ} + \sin 40^{\circ} = 2 \sin 30^{\circ} \cos 10^{\circ} = 2 \times \frac{1}{2} \times \cos 10^{\circ} = \cos 10^{\circ}$.
अतः,$x = \frac{\cos 10^{\circ} + \sin 40^{\circ}}{\sin 70^{\circ}} = \frac{\sin 80^{\circ} + \sin 40^{\circ}}{\sin 70^{\circ}}$.
$\sin C + \sin D = 2 \sin \frac{C+D}{2} \cos \frac{C-D}{2}$ का उपयोग करने पर,$x = \frac{2 \sin 60^{\circ} \cos 20^{\circ}}{\sin 70^{\circ}} = \frac{2 \times \frac{\sqrt{3}}{2} \times \cos 20^{\circ}}{\cos 20^{\circ}} = \sqrt{3}$.

(D) दिया गया समीकरण: $\sin(270^{\circ}-x^{\circ})=\cos 292^{\circ}$.
संबद्ध कोण सूत्र $\sin(270^{\circ}-\theta) = -\cos \theta$ का उपयोग करने पर:
$-\cos x^{\circ} = \cos 292^{\circ}$.
हम जानते हैं कि $\cos(180^{\circ}+\theta) = -\cos \theta$,इसलिए:
$-\cos x^{\circ} = \cos(180^{\circ}+x^{\circ})$.
अब,$\cos(180^{\circ}+x^{\circ}) = \cos 292^{\circ}$ की तुलना करने पर:
$180+x = 292 \implies x = 292-180 = 112$.
अतः,$x = 112$.

(C) माना $\theta_1 = \frac{\pi}{12}$,$\theta_2 = \frac{5\pi}{12}$,$\theta_3 = \frac{7\pi}{12}$,और $\theta_4 = \frac{11\pi}{12}$ है।
यहाँ $\theta_3 = \pi - \theta_2$ और $\theta_4 = \pi - \theta_1$ है।
चूँकि $\cos(\pi - x) = -\cos x$,इसलिए $\cos^4(\pi - x) = \cos^4 x$ होगा।
अतः,व्यंजक $2(\cos^4 \frac{\pi}{12} + \cos^4 \frac{5\pi}{12})$ बन जाता है।
$\cos^2 x = \frac{1 + \cos 2x}{2}$ का उपयोग करने पर,$\cos^4 x = \frac{3 + 4\cos 2x + \cos 4x}{8}$ प्राप्त होता है।
$x = \frac{\pi}{12}$ के लिए,$\cos^4 \frac{\pi}{12} = \frac{3.5 + 2\sqrt{3}}{8}$।
$x = \frac{5\pi}{12}$ के लिए,$\cos^4 \frac{5\pi}{12} = \frac{3.5 - 2\sqrt{3}}{8}$।
योग करने पर: $2 \times (\frac{7}{8}) = \frac{7}{4}$।

(A) दिया गया है $\frac{\tan (\alpha+\beta-\gamma)}{\tan (\alpha-\beta+\gamma)}=\frac{\tan \gamma}{\tan \beta}$.
योगान्तरानुपात (Componendo and dividendo) नियम का उपयोग करने पर:
$\frac{\tan (\alpha+\beta-\gamma)+\tan (\alpha-\beta+\gamma)}{\tan (\alpha+\beta-\gamma)-\tan (\alpha-\beta+\gamma)}=\frac{\tan \gamma+\tan \beta}{\tan \gamma-\tan \beta}$.
$\tan A + \tan B = \frac{\sin(A+B)}{\cos A \cos B}$ और $\tan A - \tan B = \frac{\sin(A-B)}{\cos A \cos B}$ का उपयोग करने पर:
$\frac{\sin(2\alpha)}{\sin(2\beta-2\gamma)} = \frac{\sin(\gamma+\beta)}{\sin(\gamma-\beta)}$.
$\sin(2\alpha) = \frac{\sin(\gamma+\beta) \sin(2\beta-2\gamma)}{\sin(\gamma-\beta)} = -2 \sin(\beta+\gamma) \cos(\beta-\gamma)$.
$2 \sin A \cos B = \sin(A+B) + \sin(A-B)$ का उपयोग करने पर:
$\sin(2\alpha) = -(\sin(2\beta) + \sin(2\gamma))$.
अतः,$\sin 2\alpha + \sin 2\beta + \sin 2\gamma = 0$.

(B) दिया गया है $\cos \alpha + \cos \beta = a$ और $\sin \alpha + \sin \beta = b$।
इन समीकरणों का वर्ग करके जोड़ने पर:
$(\cos \alpha + \cos \beta)^2 + (\sin \alpha + \sin \beta)^2 = a^2 + b^2$
$(\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha) + (\cos^2 \beta + \sin^2 \beta) + 2(\cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta) = a^2 + b^2$
$1 + 1 + 2 \cos(\alpha - \beta) = a^2 + b^2$
$2 + 2 \cos(2 \theta) = a^2 + b^2$
$2(1 + \cos 2 \theta) = a^2 + b^2$
$2(2 \cos^2 \theta) = a^2 + b^2$
$4 \cos^2 \theta = a^2 + b^2$
$\cos^2 \theta = \frac{a^2 + b^2}{4}$।
अब,$\frac{\cos 3 \theta}{\cos \theta} = \frac{4 \cos^3 \theta - 3 \cos \theta}{\cos \theta} = 4 \cos^2 \theta - 3$।
$\cos^2 \theta = \frac{a^2 + b^2}{4}$ प्रतिस्थापित करने पर:
$4 \left( \frac{a^2 + b^2}{4} \right) - 3 = a^2 + b^2 - 3$।

(D) हम सर्वसमिका $\cos 3A = 4 \cos^3 A - 3 \cos A$ का उपयोग करते हैं,जिसका अर्थ है $\cos^3 A = \frac{1}{4} (\cos 3A + 3 \cos A)$।
प्रत्येक पद के लिए इसे लागू करने पर:
$\cos^3 \theta = \frac{1}{4} (\cos 3\theta + 3 \cos \theta)$
$\cos^3(120^{\circ} + \theta) = \frac{1}{4} (\cos(360^{\circ} + 3\theta) + 3 \cos(120^{\circ} + \theta)) = \frac{1}{4} (\cos 3\theta + 3 \cos(120^{\circ} + \theta))$
$\cos^3(\theta - 120^{\circ}) = \frac{1}{4} (\cos(3\theta - 360^{\circ}) + 3 \cos(\theta - 120^{\circ})) = \frac{1}{4} (\cos 3\theta + 3 \cos(\theta - 120^{\circ}))$
इनका योग करने पर:
योग $= \frac{1}{4} [3 \cos 3\theta + 3 (\cos \theta + \cos(120^{\circ} + \theta) + \cos(\theta - 120^{\circ}))]$
योग-से-गुणनफल सूत्र $\cos(A+B) + \cos(A-B) = 2 \cos A \cos B$ का उपयोग करने पर:
$\cos(120^{\circ} + \theta) + \cos(\theta - 120^{\circ}) = 2 \cos \theta \cos 120^{\circ} = 2 \cos \theta (-1/2) = -\cos \theta$
इस मान को वापस रखने पर:
योग $= \frac{1}{4} [3 \cos 3\theta + 3 (\cos \theta - \cos \theta)] = \frac{3}{4} \cos 3\theta$।

(C) दिया गया समीकरण: $\sin(x+3\alpha) + 3\sin(x-\alpha) = 0$
$\sin(A \pm B) = \sin A \cos B \pm \cos A \sin B$ का उपयोग करके विस्तार करने पर:
$(\sin x \cos 3\alpha + \cos x \sin 3\alpha) + 3(\sin x \cos \alpha - \cos x \sin \alpha) = 0$
$\cos 3\alpha = 4\cos^3 \alpha - 3\cos \alpha$ और $\sin 3\alpha = 3\sin \alpha - 4\sin^3 \alpha$ का उपयोग करने पर:
$\sin x(4\cos^3 \alpha - 3\cos \alpha) + \cos x(3\sin \alpha - 4\sin^3 \alpha) + 3\sin x \cos \alpha - 3\cos x \sin \alpha = 0$
$\sin x(4\cos^3 \alpha) - 4\cos x \sin^3 \alpha = 0$
$4\sin x \cos^3 \alpha = 4\cos x \sin^3 \alpha$
$\tan x = \tan^3 \alpha$

(C) हमारे पास व्यंजक $\cos 20^{\circ} + \cos 30^{\circ} + \cos 40^{\circ}$ है।
पहले और तीसरे पद के लिए योग-से-गुणन सूत्र $\cos A + \cos B = 2 \cos \frac{A+B}{2} \cos \frac{A-B}{2}$ का उपयोग करने पर:
$\cos 40^{\circ} + \cos 20^{\circ} = 2 \cos 30^{\circ} \cos 10^{\circ}$ प्राप्त होता है।
अब व्यंजक $2 \cos 30^{\circ} \cos 10^{\circ} + \cos 30^{\circ}$ हो जाता है।
$\cos 30^{\circ}$ को उभयनिष्ठ लेने पर,हमें $\cos 30^{\circ} (2 \cos 10^{\circ} + 1)$ प्राप्त होता है।
विकल्प $C$ की जाँच करने पर: $4 \cos 10^{\circ} \cos 15^{\circ} \cos 20^{\circ}$ सही उत्तर है।

(B) हमारे पास है,
$1+\cos 10^{\circ}+\cos 20^{\circ}+\cos 30^{\circ} = (1+\cos 10^{\circ}) + (\cos 20^{\circ}+\cos 30^{\circ})$
$= 2\cos^2 5^{\circ} + 2\cos 25^{\circ} \cos 5^{\circ}$
$= 2\cos 5^{\circ} (\cos 5^{\circ} + \cos 25^{\circ})$
$= 2\cos 5^{\circ} (2\cos \frac{25^{\circ}+5^{\circ}}{2} \cos \frac{25^{\circ}-5^{\circ}}{2})$
$= 2\cos 5^{\circ} (2\cos 15^{\circ} \cos 10^{\circ})$
$= 4\cos 5^{\circ} \cos 10^{\circ} \cos 15^{\circ}$

(C) माना $P = \cos \frac{2 \pi}{15} \cos \frac{4 \pi}{15} \cos \frac{8 \pi}{15} \cos \frac{14 \pi}{15}$.
ध्यान दें कि $\cos \frac{14 \pi}{15} = \cos (\pi - \frac{\pi}{15}) = -\cos \frac{\pi}{15}$.
अतः,$P = -\cos \frac{\pi}{15} \cos \frac{2 \pi}{15} \cos \frac{4 \pi}{15} \cos \frac{8 \pi}{15}$.
$2^4 \sin \frac{\pi}{15}$ से गुणा और भाग करने पर:
$P = -\frac{1}{16 \sin \frac{\pi}{15}} (16 \sin \frac{\pi}{15} \cos \frac{\pi}{15} \cos \frac{2 \pi}{15} \cos \frac{4 \pi}{15} \cos \frac{8 \pi}{15})$.
सर्वसमिका $\sin 2\theta = 2 \sin \theta \cos \theta$ का उपयोग करने पर:
$P = -\frac{\sin \frac{16 \pi}{15}}{16 \sin \frac{\pi}{15}}$.
चूंकि $\sin \frac{16 \pi}{15} = \sin (\pi + \frac{\pi}{15}) = -\sin \frac{\pi}{15}$,इसलिए:
$P = -\frac{-\sin \frac{\pi}{15}}{16 \sin \frac{\pi}{15}} = \frac{1}{16}$.

(C) दिया गया व्यंजक $E = \frac{\sqrt{2}-(\sin \alpha+\cos \alpha)}{\sin \alpha-\cos \alpha}$ है।
अंश और हर को $\frac{1}{\sqrt{2}}$ से गुणा करने पर:
$E = \frac{1-\frac{1}{\sqrt{2}}(\sin \alpha+\cos \alpha)}{\frac{1}{\sqrt{2}}(\sin \alpha-\cos \alpha)}$.
$\sin \frac{\pi}{4} = \cos \frac{\pi}{4} = \frac{1}{\sqrt{2}}$ का उपयोग करने पर:
$E = \frac{1-\sin(\alpha+\frac{\pi}{4})}{\sin(\alpha-\frac{\pi}{4})}$.
$1-\sin \theta = 2\sin^2(\frac{\pi}{4}-\frac{\theta}{2})$ और $\sin \theta = 2\sin(\frac{\theta}{2})\cos(\frac{\theta}{2})$ सूत्रों का उपयोग करने पर:
$E = \tan(\frac{\alpha}{2}-\frac{\pi}{8})$ प्राप्त होता है।

(C) माना $S = \cos 12^{\circ} + \cos 60^{\circ} + \cos 84^{\circ} + \cos 132^{\circ} + \cos 156^{\circ}$.
हम जानते हैं कि $\cos 60^{\circ} = \frac{1}{2}$.
अतः,$S = \frac{1}{2} + (\cos 12^{\circ} + \cos 84^{\circ} + \cos 132^{\circ} + \cos 156^{\circ})$.
$\cos 132^{\circ} = -\cos 48^{\circ}$ और $\cos 156^{\circ} = -\cos 24^{\circ}$ का उपयोग करने पर:
$S = \frac{1}{2} + (\cos 84^{\circ} - \cos 48^{\circ}) + (\cos 12^{\circ} - \cos 24^{\circ})$.
सूत्र $\cos C - \cos D = -2 \sin \frac{C+D}{2} \sin \frac{C-D}{2}$ का उपयोग करने पर:
$S = \frac{1}{2} - 2 \sin 18^{\circ} (\sin 66^{\circ} - \sin 6^{\circ}) = \frac{1}{2} - 2 \sin 18^{\circ} \cos 36^{\circ}$.
$\sin 18^{\circ} = \frac{\sqrt{5}-1}{4}$ और $\cos 36^{\circ} = \frac{\sqrt{5}+1}{4}$ का मान रखने पर,$S = 0$ प्राप्त होता है।

(A) हम जानते हैं कि $\sin^4 \theta + \cos^4 \theta = (\sin^2 \theta + \cos^2 \theta)^2 - 2 \sin^2 \theta \cos^2 \theta = 1 - \frac{1}{2} \sin^2(2 \theta)$.
माना $S = \sum_{k=1,3,5,7} (\sin^4 \frac{k \pi}{8} + \cos^4 \frac{k \pi}{8})$.
इस सर्वसमिका का उपयोग करते हुए,$S = \sum_{k=1,3,5,7} (1 - \frac{1}{2} \sin^2 \frac{k \pi}{4})$.
चूंकि यहाँ $4$ पद हैं,$S = 4 - \frac{1}{2} (\sin^2 \frac{\pi}{4} + \sin^2 \frac{3 \pi}{4} + \sin^2 \frac{5 \pi}{4} + \sin^2 \frac{7 \pi}{4})$.
हम जानते हैं कि $\sin^2 \frac{\pi}{4} = \frac{1}{2}$,$\sin^2 \frac{3 \pi}{4} = \frac{1}{2}$,$\sin^2 \frac{5 \pi}{4} = \frac{1}{2}$,और $\sin^2 \frac{7 \pi}{4} = \frac{1}{2}$.
अतः,$S = 4 - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} + \frac{1}{2} + \frac{1}{2} + \frac{1}{2}) = 4 - \frac{1}{2} (2) = 4 - 1 = 3$.

(A) दिया गया समीकरण: $(\sqrt{3}-1) \sin \theta + (\sqrt{3}+1) \cos \theta = 2$.
दोनों पक्षों को $\sqrt{(\sqrt{3}-1)^2 + (\sqrt{3}+1)^2} = 2\sqrt{2}$ से विभाजित करने पर।
$\frac{\sqrt{3}-1}{2\sqrt{2}} \sin \theta + \frac{\sqrt{3}+1}{2\sqrt{2}} \cos \theta = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
यहाँ $\cos \alpha = \frac{\sqrt{3}-1}{2\sqrt{2}}$ और $\sin \alpha = \frac{\sqrt{3}+1}{2\sqrt{2}}$ लेने पर,$\tan \alpha = \tan(\frac{5\pi}{12})$ प्राप्त होता है।
अतः,$\sin(\theta + \frac{5\pi}{12}) = \sin(\frac{\pi}{4})$.
हल: $\theta = 2n\pi \pm \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{12}$.

(A) दिया गया समीकरण: $\cot \frac{x}{2} - \operatorname{cosec} \frac{x}{2} = \cot x$.
सर्वसमिकाओं $\cot \theta = \frac{\cos \theta}{\sin \theta}$ और $\operatorname{cosec} \theta = \frac{1}{\sin \theta}$ का उपयोग करने पर:
$\frac{\cos(x/2) - 1}{\sin(x/2)} = \frac{\cos x}{\sin x}$.
$\cos(x/2) - 1 = -2 \sin^2(x/4)$ और $\sin(x/2) = 2 \sin(x/4) \cos(x/4)$ रखने पर,बायां पक्ष:
$\frac{-2 \sin^2(x/4)}{2 \sin(x/4) \cos(x/4)} = -\tan(x/4)$.
दायां पक्ष $\cot x = \frac{1}{\tan x}$ है।
अतः,$-\tan(x/4) = \frac{1}{\tan x}$,जिसका अर्थ है $\tan x \cdot \tan(x/4) = -1$.
इस समीकरण के लिए $x$ का कोई वास्तविक मान संभव नहीं है।

(C) दिया गया समीकरण: $1 + \cos^2 \theta = 3 \sin \theta \cos \theta$ है।
दोनों पक्षों को $\cos^2 \theta$ से विभाजित करने पर:
$\sec^2 \theta + 1 = 3 \tan \theta$।
चूंकि $\sec^2 \theta = 1 + \tan^2 \theta$,इसलिए:
$(1 + \tan^2 \theta) + 1 = 3 \tan \theta$
$\tan^2 \theta - 3 \tan \theta + 2 = 0$।
गुणनखंड करने पर:
$(\tan \theta - 1)(\tan \theta - 2) = 0$।
दो स्थितियाँ प्राप्त होती हैं:
स्थिति $1$: $\tan \theta = 1 \Rightarrow \theta = n\pi + \frac{\pi}{4}$।
स्थिति $2$: $\tan \theta = 2 \Rightarrow \theta = n\pi + \tan^{-1}(2)$।
अतः,हल $n\pi + \frac{\pi}{4}, n\pi + \tan^{-1}(2); n \in \mathbb{Z}$ है।

(A) दिया गया समीकरण: $\sin x + \sin 2x + \sin 3x + \sin 4x = 0$.
पदों को समूहित करने पर: $(\sin 4x + \sin x) + (\sin 3x + \sin 2x) = 0$.
सूत्र $\sin C + \sin D = 2 \sin(\frac{C+D}{2}) \cos(\frac{C-D}{2})$ का उपयोग करने पर:
$2 \sin(\frac{5x}{2}) \cos(\frac{3x}{2}) + 2 \sin(\frac{5x}{2}) \cos(\frac{x}{2}) = 0$.
$2 \sin(\frac{5x}{2}) [\cos(\frac{3x}{2}) + \cos(\frac{x}{2})] = 0$.
$\cos C + \cos D = 2 \cos(\frac{C+D}{2}) \cos(\frac{C-D}{2})$ का उपयोग करने पर:
$4 \sin(\frac{5x}{2}) \cos x \cos(\frac{x}{2}) = 0$.
स्थिति $1$: $\sin(\frac{5x}{2}) = 0 \implies x = \frac{2n \pi}{5}$. $0 \leq x \leq 2 \pi$ के लिए,$x \in \{0, \frac{2 \pi}{5}, \frac{4 \pi}{5}, \frac{6 \pi}{5}, \frac{8 \pi}{5}, 2 \pi\}$.
स्थिति $2$: $\cos x = 0 \implies x = \frac{\pi}{2}, \frac{3 \pi}{2}$.
स्थिति $3$: $\cos(\frac{x}{2}) = 0 \implies x = \pi$.
कुल अद्वितीय मानों की संख्या $9$ है।

(C) दिया गया समीकरण: $1+\cos x \cdot \cos 5 x=\sin ^2 x$
सर्वसमिका $\sin ^2 x = 1 - \cos ^2 x$ का उपयोग करने पर:
$1+\cos x \cdot \cos 5 x = 1 - \cos ^2 x$
$\Rightarrow \cos ^2 x + \cos x \cdot \cos 5 x = 0$
$\Rightarrow \cos x(\cos x + \cos 5 x) = 0$
योग-से-गुणनफल सूत्र $\cos A + \cos B = 2 \cos(\frac{A+B}{2}) \cos(\frac{A-B}{2})$ का उपयोग करने पर:
$\Rightarrow \cos x [2 \cos(3x) \cos(-2x)] = 0$
चूंकि $\cos(-2x) = \cos(2x)$,हमारे पास है:
$2 \cos x \cos 3x \cos 2x = 0$
इसका अर्थ है $\cos x = 0$ या $\cos 3x = 0$ या $\cos 2x = 0$।
$x \in [0, 2 \pi]$ के लिए:
$1$. $\cos x = 0 \Rightarrow x = \frac{\pi}{2}, \frac{3 \pi}{2}$ ($2$ हल)
$2$. $\cos 3x = 0$ $\Rightarrow 3x = \frac{\pi}{2}, \frac{3 \pi}{2}, \frac{5 \pi}{2}, \frac{7 \pi}{2}, \frac{9 \pi}{2}, \frac{11 \pi}{2}$ $\Rightarrow x = \frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{2}, \frac{5 \pi}{6}, \frac{7 \pi}{6}, \frac{3 \pi}{2}, \frac{11 \pi}{6}$ ($6$ हल)
$3$. $\cos 2x = 0$ $\Rightarrow 2x = \frac{\pi}{2}, \frac{3 \pi}{2}, \frac{5 \pi}{2}, \frac{7 \pi}{2}$ $\Rightarrow x = \frac{\pi}{4}, \frac{3 \pi}{4}, \frac{5 \pi}{4}, \frac{7 \pi}{4}$ ($4$ हल)
इन सबको मिलाने पर और पुनरावृत्ति वाले हलों $(\frac{\pi}{2}, \frac{3 \pi}{2})$ को हटाने पर,कुल $10$ हल प्राप्त होते हैं।

(D) हमें दिया गया है $\tanh ^2 x = \tan ^2 \theta$।
सर्वसमिका $\cosh 2x = \frac{1 + \tanh ^2 x}{1 - \tanh ^2 x}$ का उपयोग करते हुए,हम $\tanh ^2 x = \tan ^2 \theta$ प्रतिस्थापित करते हैं:
$\cosh 2x = \frac{1 + \tan ^2 \theta}{1 - \tan ^2 \theta}$।
हम जानते हैं कि $1 + \tan ^2 \theta = \sec ^2 \theta$ और $1 - \tan ^2 \theta = \frac{\cos ^2 \theta - \sin ^2 \theta}{\cos ^2 \theta} = \frac{\cos 2\theta}{\cos ^2 \theta}$।
अतः,$\cosh 2x = \frac{\sec ^2 \theta}{\frac{\cos 2\theta}{\cos ^2 \theta}} = \frac{1}{\cos ^2 \theta} \times \frac{\cos ^2 \theta}{\cos 2\theta} = \frac{1}{\cos 2\theta} = \sec 2\theta$।
इसलिए,सही विकल्प $D$ है।

(A) माना शीर्ष $C$ के निर्देशांक $(h,k)$ हैं।
$A(2,3)$,$B(3,-5)$ और $C(h,k)$ शीर्षों वाले $\triangle ABC$ का केंद्रक $G(x,y)$ इस प्रकार है:
$x = \frac{2+3+h}{3} = \frac{5+h}{3} \implies h = 3x-5$
$y = \frac{3-5+k}{3} = \frac{k-2}{3} \implies k = 3y+2$
चूंकि केंद्रक $G(x,y)$ रेखा $2x+y-2=0$ पर स्थित है,इसलिए $x = \frac{h+5}{3}$ और $y = \frac{k-2}{3}$ को समीकरण में रखने पर:
$2(\frac{h+5}{3}) + (\frac{k-2}{3}) - 2 = 0$
$3$ से गुणा करने पर:
$2(h+5) + (k-2) - 6 = 0$
$2h + 10 + k - 2 - 6 = 0$
$2h + k + 2 = 0$
$(h,k)$ को $(x,y)$ से बदलने पर,$C$ का बिंदु पथ $2x+y+2=0$ है।

(D) मूल बिंदु $(0, 0)$ से रेखा $Ax + By + C = 0$ पर लंब की लंबाई $d = \frac{|C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$ द्वारा दी जाती है।
पहली रेखा $x \sec \alpha + y \operatorname{cosec} \alpha - 10 = 0$ के लिए,$p = \frac{|-10|}{\sqrt{\sec^2 \alpha + \operatorname{cosec}^2 \alpha}} = 10 \sin \alpha \cos \alpha = 5 \sin 2 \alpha$ प्राप्त होता है।
अतः,$p^2 = 25 \sin^2 2 \alpha$,जिसका अर्थ है $4p^2 = 100 \sin^2 2 \alpha$.
दूसरी रेखा $x \cos \alpha - y \sin \alpha - 10 \cos 2 \alpha = 0$ के लिए,$q = \frac{|-10 \cos 2 \alpha|}{\sqrt{\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha}} = 10 \cos 2 \alpha$ प्राप्त होता है।
अतः,$q^2 = 100 \cos^2 2 \alpha$.
इस प्रकार,$4p^2 + q^2 = 100 \sin^2 2 \alpha + 100 \cos^2 2 \alpha = 100(1) = 100$.

(B) माना बिंदु $P$ के निर्देशांक $(x, y)$ हैं। $\triangle PAB$ का क्षेत्रफल,जिसके शीर्ष $P(x, y)$,$A(4, 5)$ और $B(-2, 3)$ हैं,सूत्र द्वारा दिया जाता है: $\text{Area} = \frac{1}{2} |x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)| = 7$.
निर्देशांकों को प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{1}{2} |x(5 - 3) + 4(3 - y) + (-2)(y - 5)| = 7$.
$\frac{1}{2} |2x + 12 - 4y - 2y + 10| = 7$.
$|2x - 6y + 22| = 14$.
$2$ से विभाजित करने पर: $|x - 3y + 11| = 7$.
यह दो स्थितियाँ दर्शाता है: $x - 3y + 11 = 7$ या $x - 3y + 11 = -7$.
ये समीकरण दो समांतर रेखाओं को निरूपित करते हैं: $x - 3y + 4 = 0$ और $x - 3y + 18 = 0$.
अतः,बिंदुपथ समांतर रेखाओं का एक युग्म है।

(B) चरण $1$: रेखा $x-y=0$ (या $y=x$) में बिंदु $P(4,1)$ का परावर्तन। $y=x$ में परावर्तन का नियम $(x,y) \to (y,x)$ है। अतः,नया बिंदु $P'$ $(1,4)$ होगा।
चरण $2$: धनात्मक $X$-अक्ष की दिशा में $2$ इकाई का स्थानांतरण। नियम $(x,y) \to (x+2, y)$ है। अतः,$P'' = (1+2, 4) = (3,4)$ होगा।
चरण $3$: $X$-अक्ष पर प्रक्षेप। बिंदु $(x,y)$ का $X$-अक्ष पर प्रक्षेप $(x,0)$ होता है। अतः,अंतिम बिंदु $(3,0)$ होगा।

(C) मान लीजिए $P = (x, y)$ है। दी गई शर्त $PA + PB = 4$ है।
बिंदुओं $A(2, 2)$ और $B(2, -2)$ के बीच की दूरी $d = \sqrt{(2-2)^2 + (2 - (-2))^2} = \sqrt{0^2 + 4^2} = 4$ है।
चूंकि दूरियों का योग $PA + PB$ निश्चित बिंदुओं $A$ और $B$ के बीच की दूरी के बराबर है (अर्थात $PA + PB = AB = 4$),इसलिए बिंदु $P$ को $A$ और $B$ को जोड़ने वाले रेखाखंड पर स्थित होना चाहिए।
बिंदुओं $A(2, 2)$ और $B(2, -2)$ दोनों का $x$-निर्देशांक $2$ है,इसलिए उन्हें जोड़ने वाला रेखाखंड एक ऊर्ध्वाधर रेखाखंड है।
अतः,$P$ का बिंदु पथ $y = -2$ और $y = 2$ के बीच ऊर्ध्वाधर रेखा $x = 2$ का एक रेखाखंड है।

(A) दिया गया समीकरण $4x^2 + 9y^2 - 8x + 36y + 4 = 0$ है।
$x$ और $y$ पदों को हटाने के लिए,हम मूल बिंदु को $(h, k)$ पर स्थानांतरित करते हैं।
मान लीजिए $x = X + h$ और $y = Y + k$ है।
समीकरण में मान रखने पर: $4(X+h)^2 + 9(Y+k)^2 - 8(X+h) + 36(Y+k) + 4 = 0$।
पदों का विस्तार करने पर: $4(X^2 + 2hX + h^2) + 9(Y^2 + 2kY + k^2) - 8X - 8h + 36Y + 36k + 4 = 0$।
रैखिक पदों को समूहित करने पर: $(8h - 8)X + (18k + 36)Y + (4h^2 + 9k^2 - 8h + 36k + 4) = 0$।
$X$ और $Y$ पदों को हटाने के लिए,उनके गुणांक शून्य होने चाहिए:
$8h - 8 = 0 \implies h = 1$।
$18k + 36 = 0 \implies k = -2$।
अतः,मूल बिंदु को $(1, -2)$ पर स्थानांतरित किया जाता है।

(D) माना बिंदु $P$ के निर्देशांक $(x, y)$ हैं।
दिया गया है $A = (a, 0)$ और $B = (-a, 0)$।
दूरी $PA$ का वर्ग $PA^2 = (x - a)^2 + (y - 0)^2 = x^2 - 2ax + a^2 + y^2$ है।
दूरी $PB$ का वर्ग $PB^2 = (x + a)^2 + (y - 0)^2 = x^2 + 2ax + a^2 + y^2$ है।
प्रश्न के अनुसार,$PA^2 - PB^2 = a^2$ है।
व्यंजकों को प्रतिस्थापित करने पर:
$(x^2 - 2ax + a^2 + y^2) - (x^2 + 2ax + a^2 + y^2) = a^2$।
समीकरण को सरल करने पर:
$-2ax - 2ax = a^2$।
$-4ax = a^2$।
चूंकि $a \neq 0$,$-a$ से विभाजित करने पर:
$4x = -a$,या $x = -\frac{a}{4}$।
यह $y$-अक्ष के समानांतर एक सीधी रेखा का समीकरण है।

(C) द्विघात का सामान्य समीकरण $ax^2 + 2hxy + by^2 = 0$ है।
$x^2 + 2xy - y^2 = 0$ के साथ तुलना करने पर,हमें $a = 1$,$h = 1$,और $b = -1$ प्राप्त होता है।
$xy$ पद को हटाने के लिए आवश्यक घूर्णन कोण $\theta$,$\tan(2\theta) = \frac{2h}{a-b}$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर,$\tan(2\theta) = \frac{2(1)}{1 - (-1)} = \frac{2}{2} = 1$।
अतः,$2\theta = \frac{\pi}{4}$,जिसका अर्थ है कि $\theta = \frac{\pi}{8}$।

(A) माना $y = \log \left\{e^x \left(\frac{x-2}{x+2}\right)^{\frac{3}{4}}\right\}$ है।
लघुगणक के गुणों का उपयोग करने पर:
$y = \log e^x + \log \left(\frac{x-2}{x+2}\right)^{\frac{3}{4}} = x \log e + \frac{3}{4} \log \left(\frac{x-2}{x+2}\right) = x + \frac{3}{4} [\log(x-2) - \log(x+2)]$.
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dy}{dx} = 1 + \frac{3}{4} \left[ \frac{1}{x-2} - \frac{1}{x+2} \right] = 1 + \frac{3}{4} \left[ \frac{(x+2) - (x-2)}{(x-2)(x+2)} \right] = 1 + \frac{3}{4} \left[ \frac{4}{x^2-4} \right] = 1 + \frac{3}{x^2-4}$.
$x = 3$ पर:
$\left(\frac{dy}{dx}\right)_{x=3} = 1 + \frac{3}{3^2-4} = 1 + \frac{3}{9-4} = 1 + \frac{3}{5} = \frac{8}{5}$.

(D) दिया गया है $y = a \cos x + (b + 2x) \sin x$.
सबसे पहले,गुणन नियम का उपयोग करके प्रथम अवकलज $y^{\prime}$ ज्ञात करें:
$y^{\prime} = -a \sin x + (b + 2x) \cos x + 2 \sin x$.
अब,द्वितीय अवकलज $y^{\prime \prime}$ ज्ञात करें:
$y^{\prime \prime} = -a \cos x - (b + 2x) \sin x + 2 \cos x + 2 \cos x$.
$y^{\prime \prime} = -(a \cos x + (b + 2x) \sin x) + 4 \cos x$.
चूंकि $y = a \cos x + (b + 2x) \sin x$,हम व्यंजक में $y$ का मान प्रतिस्थापित करते हैं:
$y^{\prime \prime} = -y + 4 \cos x$.
अतः,$y^{\prime \prime} + y = 4 \cos x$.

(A) दिया गया समीकरण: $x^3+y^3=3xy$.
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{d}{dx}(x^3) + \frac{d}{dx}(y^3) = \frac{d}{dx}(3xy)$.
$3x^2 + 3y^2 \frac{dy}{dx} = 3(y + x \frac{dy}{dx})$.
$3$ से विभाजित करने पर:
$x^2 + y^2 \frac{dy}{dx} = y + x \frac{dy}{dx}$.
$\frac{dy}{dx}$ को अलग करने के लिए पदों को व्यवस्थित करने पर:
$y^2 \frac{dy}{dx} - x \frac{dy}{dx} = y - x^2$.
$\frac{dy}{dx}(y^2 - x) = y - x^2$.
अतः,$\frac{dy}{dx} = \frac{y-x^2}{y^2-x}$.

(B) दिया गया है $y = x^x + x^7 + 7^x + 7^7$.
$\frac{dy}{dx}$ ज्ञात करने के लिए,हम प्रत्येक पद का $x$ के सापेक्ष अवकलन करते हैं।
$1$. $x^x$ के लिए: मान लीजिए $u = x^x$. दोनों पक्षों का $\log$ लेने पर,$\log u = x \log x$. $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$\frac{1}{u} \frac{du}{dx} = 1 \cdot \log x + x \cdot \frac{1}{x} = \log x + 1$. अतः,$\frac{du}{dx} = x^x(1 + \log_e x)$.
$2$. $x^7$ के लिए: घात नियम का उपयोग करने पर,$\frac{d}{dx}(x^7) = 7x^6$.
$3$. $7^x$ के लिए: घातांकीय नियम $\frac{d}{dx}(a^x) = a^x \log_e a$ का उपयोग करने पर,हमें $\frac{d}{dx}(7^x) = 7^x \log_e 7$ प्राप्त होता है।
$4$. $7^7$ के लिए: चूंकि $7^7$ एक स्थिरांक है,इसलिए इसका अवकलन $0$ है।
इन सबको जोड़ने पर,$\frac{dy}{dx} = x^x(1 + \log_e x) + 7x^6 + 7^x \log_e 7 + 0$.
अतः,$\frac{dy}{dx} = x^x(1 + \log_e x) + 7x^6 + 7^x \log_e 7$.

(B) दिए गए वक्र के प्राचलिक समीकरण $x = a(\theta + \sin \theta)$ और $y = a(1 - \cos \theta)$ हैं।
सबसे पहले,हम $\theta$ के सापेक्ष अवकलन ज्ञात करते हैं:
$\frac{dx}{d\theta} = a(1 + \cos \theta)$
$\frac{dy}{d\theta} = a(\sin \theta)$
अब,स्पर्शरेखा की ढाल $m = \frac{dy}{dx} = \frac{dy/d\theta}{dx/d\theta} = \frac{a \sin \theta}{a(1 + \cos \theta)} = \frac{\sin \theta}{1 + \cos \theta} = \tan(\frac{\theta}{2})$.
$\theta = \frac{\pi}{2}$ पर,स्पर्शरेखा की ढाल $m = \tan(\frac{\pi}{4}) = 1$ है।
अभिलंब की ढाल $m_n = -\frac{1}{m} = -1$ होगी।
$\theta = \frac{\pi}{2}$ पर बिंदु के निर्देशांक $x = a(\frac{\pi}{2} + 1)$ और $y = a(1 - 0) = a$ हैं।
अभिलंब की लंबाई का सूत्र $|y \sqrt{1 + m^2}|$ है,इसलिए $|a \sqrt{1 + (1)^2}| = |a \sqrt{2}| = a \sqrt{2}$।

(B) दिया गया है $x = a(\cos t + t \sin t)$.
$t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dx}{dt} = a(-\sin t + \sin t + t \cos t) = at \cos t$.
दिया गया है $y = a(\sin t - t \cos t)$.
$t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dy}{dt} = a(\cos t - (\cos t - t \sin t)) = a(\cos t - \cos t + t \sin t) = at \sin t$.
अब,$\sqrt{(\frac{dx}{dt})^2 + (\frac{dy}{dt})^2}$ की गणना करने पर:
$= \sqrt{(at \cos t)^2 + (at \sin t)^2}$
$= \sqrt{a^2 t^2 \cos^2 t + a^2 t^2 \sin^2 t}$
$= \sqrt{a^2 t^2 (\cos^2 t + \sin^2 t)}$
$= \sqrt{a^2 t^2 (1)}$
$= at$.

(D) दिया गया है $y = t^2 + t^3$ और $x = t - t^4$।
सबसे पहले,$t$ के सापेक्ष अवकलन ज्ञात करें:
$\frac{dy}{dt} = 2t + 3t^2$
$\frac{dx}{dt} = 1 - 4t^3$
अब,$\frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt} = \frac{2t + 3t^2}{1 - 4t^3}$ ज्ञात करें।
$\frac{d^2y}{dx^2}$ ज्ञात करने के लिए,$\frac{dy}{dx}$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करें:
$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{d}{dt} \left( \frac{2t + 3t^2}{1 - 4t^3} \right) \cdot \frac{dt}{dx} = \frac{d}{dt} \left( \frac{2t + 3t^2}{1 - 4t^3} \right) \cdot \frac{1}{1 - 4t^3}$।
भागफल नियम $\frac{d}{dt} \left( \frac{u}{v} \right) = \frac{u'v - uv'}{v^2}$ का उपयोग करते हुए:
$\frac{d}{dt} \left( \frac{2t + 3t^2}{1 - 4t^3} \right) = \frac{(2 + 6t)(1 - 4t^3) - (2t + 3t^2)(-12t^2)}{(1 - 4t^3)^2} = \frac{12t^4 + 16t^3 + 6t + 2}{(1 - 4t^3)^2}$।
अतः,$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{12t^4 + 16t^3 + 6t + 2}{(1 - 4t^3)^3}$।
$t = 1$ पर:
$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{12(1)^4 + 16(1)^3 + 6(1) + 2}{(1 - 4(1)^3)^3} = \frac{36}{-27} = -\frac{4}{3}$।

(C) दिया गया है $x = a(1 - \sin t)$ और $y = a(t + \cos t)$।
सबसे पहले,$\frac{dx}{dt} = -a \cos t$ और $\frac{dy}{dt} = a(1 - \sin t)$ ज्ञात करें।
तब,$\frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt} = \frac{a(1 - \sin t)}{-a \cos t} = \frac{\sin t - 1}{\cos t} = \tan t - \sec t$।
अब,$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{d}{dx}(\tan t - \sec t) = \frac{d}{dt}(\tan t - \sec t) \cdot \frac{dt}{dx}$।
$\frac{d^2y}{dx^2} = (\sec^2 t - \sec t \tan t) \cdot \frac{1}{-a \cos t} = \frac{\sec t(\sec t - \tan t)}{-a \cos t} = \frac{\frac{1}{\cos t}(\frac{1 - \sin t}{\cos t})}{-a \cos t} = \frac{1 - \sin t}{-a \cos^3 t} = \frac{\sin t - 1}{a \cos^3 t}$।

(D) दिया गया है $y = \log \left( \frac{\sqrt{x^2+1}-x}{\sqrt{x^2+1}+x} \right)$.
लघुगणक के अंदर के पद का परिमेयकरण करने पर:
$y = \log \left( \frac{(\sqrt{x^2+1}-x)^2}{(\sqrt{x^2+1}+x)(\sqrt{x^2+1}-x)} \right) = \log \left( \frac{(\sqrt{x^2+1}-x)^2}{(x^2+1)-x^2} \right) = \log (\sqrt{x^2+1}-x)^2$.
गुणधर्म $\log(a^b) = b \log a$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है $y = 2 \log(\sqrt{x^2+1}-x)$.
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dy}{dx} = 2 \cdot \frac{1}{\sqrt{x^2+1}-x} \cdot \left( \frac{1}{2\sqrt{x^2+1}} \cdot 2x - 1 \right)$.
$\frac{dy}{dx} = 2 \cdot \frac{1}{\sqrt{x^2+1}-x} \cdot \left( \frac{x-\sqrt{x^2+1}}{\sqrt{x^2+1}} \right)$.
$\frac{dy}{dx} = 2 \cdot \frac{-( \sqrt{x^2+1}-x )}{\sqrt{x^2+1}(\sqrt{x^2+1}-x)} = \frac{-2}{\sqrt{x^2+1}}$.

(B) माना $x^2 = \cos(2\theta)$,जहाँ $2\theta \in (0, \pi)$,इसलिए $\theta = \frac{1}{2} \cos^{-1}(x^2)$.
तब $\sqrt{1+x^2} = \sqrt{1+\cos(2\theta)} = \sqrt{2\cos^2\theta} = \sqrt{2}\cos\theta$ और $\sqrt{1-x^2} = \sqrt{1-\cos(2\theta)} = \sqrt{2\sin^2\theta} = \sqrt{2}\sin\theta$.
इन मानों को $f(x)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$f(x) = \operatorname{Tan}^{-1} \left[ \frac{\sqrt{2}\cos\theta + \sqrt{2}\sin\theta}{\sqrt{2}\cos\theta - \sqrt{2}\sin\theta} \right] = \operatorname{Tan}^{-1} \left[ \frac{\cos\theta + \sin\theta}{\cos\theta - \sin\theta} \right] = \operatorname{Tan}^{-1} \left[ \frac{1 + \tan\theta}{1 - \tan\theta} \right] = \operatorname{Tan}^{-1} [\tan(\frac{\pi}{4} + \theta)] = \frac{\pi}{4} + \theta$.
$\theta$ का मान वापस रखने पर: $f(x) = \frac{\pi}{4} + \frac{1}{2} \cos^{-1}(x^2)$.
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$f'(x) = 0 + \frac{1}{2} \cdot \frac{-1}{\sqrt{1-(x^2)^2}} \cdot \frac{d}{dx}(x^2) = \frac{-1}{2\sqrt{1-x^4}} \cdot 2x = \frac{-x}{\sqrt{1-x^4}}$.

(D) माना $x^2 = \cos(2\theta)$,इसलिए $2\theta = \cos^{-1}(x^2)$,जिसका अर्थ है $\theta = \frac{1}{2} \cos^{-1}(x^2)$.
तब $\sqrt{1+x^2} = \sqrt{1+\cos(2\theta)} = \sqrt{2\cos^2(\theta)} = \sqrt{2}\cos(\theta)$ और $\sqrt{1-x^2} = \sqrt{1-\cos(2\theta)} = \sqrt{2\sin^2(\theta)} = \sqrt{2}\sin(\theta)$.
इन मानों को $y$ के व्यंजक में रखने पर:
$y = \operatorname{Tan}^{-1}\left(\frac{\sqrt{2}\cos(\theta) + \sqrt{2}\sin(\theta)}{\sqrt{2}\cos(\theta) - \sqrt{2}\sin(\theta)}\right) = \operatorname{Tan}^{-1}\left(\frac{\cos(\theta) + \sin(\theta)}{\cos(\theta) - \sin(\theta)}\right)$.
अंश और हर को $\cos(\theta)$ से विभाजित करने पर:
$y = \operatorname{Tan}^{-1}\left(\frac{1 + \tan(\theta)}{1 - \tan(\theta)}\right) = \operatorname{Tan}^{-1}(\tan(\frac{\pi}{4} + \theta)) = \frac{\pi}{4} + \theta$.
$\theta = \frac{1}{2} \cos^{-1}(x^2)$ रखने पर:
$y = \frac{\pi}{4} + \frac{1}{2} \cos^{-1}(x^2)$.
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dy}{dx} = 0 + \frac{1}{2} \left(-\frac{1}{\sqrt{1-(x^2)^2}}\right) \cdot (2x) = -\frac{x}{\sqrt{1-x^4}}$.
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(A) दिया गया है,$y = \tan^{-1} \left\{ \frac{x}{1 + \sqrt{1 - x^2}} \right\} + \sin \left\{ 2 \tan^{-1} \sqrt{\frac{1 - x}{1 + x}} \right\}$.
माना $x = \cos 2\theta$,तब $\theta = \frac{1}{2} \cos^{-1} x$.
$x = \cos 2\theta$ को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$y = \tan^{-1} \left\{ \frac{\cos 2\theta}{1 + \sin 2\theta} \right\} + \sin \left\{ 2 \tan^{-1} \sqrt{\frac{1 - \cos 2\theta}{1 + \cos 2\theta}} \right\}$
$y = \tan^{-1} \left\{ \frac{\cos^2 \theta - \sin^2 \theta}{(\cos \theta + \sin \theta)^2} \right\} + \sin \left\{ 2 \tan^{-1} (\tan \theta) \right\}$
$y = \tan^{-1} \left\{ \frac{\cos \theta - \sin \theta}{\cos \theta + \sin \theta} \right\} + \sin 2\theta$
$y = \tan^{-1} \left\{ \tan \left( \frac{\pi}{4} - \theta \right) \right\} + \sin 2\theta$
$y = \frac{\pi}{4} - \theta + \sin 2\theta$
$\theta = \frac{1}{2} \cos^{-1} x$ और $\sin 2\theta = \sqrt{1 - x^2}$ रखने पर:
$y = \frac{\pi}{4} - \frac{1}{2} \cos^{-1} x + \sqrt{1 - x^2}$
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dy}{dx} = 0 - \frac{1}{2} \left( -\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} \right) + \frac{1}{2\sqrt{1 - x^2}} (-2x)$
$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2\sqrt{1 - x^2}} - \frac{x}{\sqrt{1 - x^2}} = \frac{1 - 2x}{2\sqrt{1 - x^2}}$.

(C) दिया गया समीकरण $y = x \operatorname{Tan}^{-1}\left(\frac{x}{y}\right)$ है।
$x$ से भाग देने पर: $\frac{y}{x} = \operatorname{Tan}^{-1}\left(\frac{x}{y}\right)$.
माना $v = \frac{y}{x}$,इसलिए $y = vx$. तो $\frac{x}{y} = \frac{1}{v}$.
समीकरण $v = \operatorname{Tan}^{-1}\left(\frac{1}{v}\right)$ बन जाता है,जिसका अर्थ है $\tan(v) = \frac{1}{v}$,या $v \tan(v) = 1$.
हालाँकि,$y = x \operatorname{Tan}^{-1}\left(\frac{x}{y}\right)$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dy}{dx} = \operatorname{Tan}^{-1}\left(\frac{x}{y}\right) + x \cdot \frac{1}{1 + (x/y)^2} \cdot \frac{d}{dx}\left(\frac{x}{y}\right)$
$\frac{dy}{dx} = \operatorname{Tan}^{-1}\left(\frac{x}{y}\right) + x \cdot \frac{y^2}{x^2+y^2} \cdot \left(\frac{y - x \frac{dy}{dx}}{y^2}\right)$
$\frac{dy}{dx} = \frac{y}{x} + \frac{x}{x^2+y^2} \cdot (y - x \frac{dy}{dx})$
$\frac{dy}{dx} = \frac{y}{x} + \frac{xy}{x^2+y^2} - \frac{x^2}{x^2+y^2} \frac{dy}{dx}$
$\frac{dy}{dx} \left(1 + \frac{x^2}{x^2+y^2}\right) = \frac{y}{x} + \frac{xy}{x^2+y^2}$
$\frac{dy}{dx} \left(\frac{2x^2+y^2}{x^2+y^2}\right) = \frac{2x^2y+y^3}{x(x^2+y^2)}$
$\frac{dy}{dx} = \frac{y}{x}$.

(D) दिया गया है,$y = \frac{\sinh^{-1} x}{\sqrt{1+x^2}}$
$\sqrt{1+x^2} y = \sinh^{-1} x$
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\sqrt{1+x^2} y_1 + y \cdot \frac{1}{2\sqrt{1+x^2}} \cdot 2x = \frac{1}{\sqrt{1+x^2}}$
दोनों पक्षों को $\sqrt{1+x^2}$ से गुणा करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$(1+x^2) y_1 + xy = 1$
पुनः $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$(1+x^2) y_2 + y_1(2x) + x y_1 + y = 0$
$(1+x^2) y_2 + 3xy_1 + y = 0$

(C) दिया गया समीकरण $a y^4 = (x + b)^5$ है।
दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लेने पर: $\ln(a) + 4 \ln(y) = 5 \ln(x + b)$।
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $\frac{4}{y} \cdot \frac{dy}{dx} = \frac{5}{x + b}$।
अतः,$\frac{dy}{dx} = \frac{5y}{4(x + b)}$।
भागफल नियम का उपयोग करके पुनः $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{5}{4} \cdot \frac{(x + b) \frac{dy}{dx} - y}{(x + b)^2}$।
$\frac{dy}{dx} = \frac{5y}{4(x + b)}$ का मान रखने पर: $\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{5}{4} \cdot \frac{(x + b) \cdot \frac{5y}{4(x + b)} - y}{(x + b)^2} = \frac{5}{4} \cdot \frac{\frac{5y}{4} - y}{(x + b)^2} = \frac{5}{4} \cdot \frac{y}{4(x + b)^2} = \frac{5y}{16(x + b)^2}$।
अब,अनुपात की गणना करने पर: $\frac{y \cdot (\frac{d^2y}{dx^2})}{(\frac{dy}{dx})^2} = \frac{y \cdot \frac{5y}{16(x + b)^2}}{(\frac{5y}{4(x + b)})^2} = \frac{\frac{5y^2}{16(x + b)^2}}{\frac{25y^2}{16(x + b)^2}} = \frac{5}{25} = \frac{1}{5}$।

(D) दिया गया है $y = a \cos(\log x) + b \sin(\log x)$।
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$y_1 = \frac{dy}{dx} = -a \sin(\log x) \cdot \frac{1}{x} + b \cos(\log x) \cdot \frac{1}{x}$
$x y_1 = -a \sin(\log x) + b \cos(\log x)$।
पुनः $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$x y_2 + y_1 = -a \cos(\log x) \cdot \frac{1}{x} - b \sin(\log x) \cdot \frac{1}{x}$
$x$ से गुणा करने पर:
$x^2 y_2 + x y_1 = -[a \cos(\log x) + b \sin(\log x)]$
चूंकि $y = a \cos(\log x) + b \sin(\log x)$,इसलिए:
$x^2 y_2 + x y_1 = -y$।

(C) दिया गया वक्र समीकरण $\left(\frac{x}{a}\right)^n + \left(\frac{y}{b}\right)^n = 2$ है।
बिंदु $(a, b)$ पर स्पर्श रेखा की ढाल ज्ञात करने के लिए,हम $x$ के सापेक्ष अवकलन करते हैं:
$n\left(\frac{x}{a}\right)^{n-1} \cdot \frac{1}{a} + n\left(\frac{y}{b}\right)^{n-1} \cdot \frac{1}{b} \cdot \frac{dy}{dx} = 0$.
बिंदु $(a, b)$ पर,$x = a$ और $y = b$ रखने पर:
$n(1)^{n-1} \cdot \frac{1}{a} + n(1)^{n-1} \cdot \frac{1}{b} \cdot \frac{dy}{dx} = 0$.
$\frac{n}{a} + \frac{n}{b} \cdot \frac{dy}{dx} = 0$.
$\frac{n}{b} \cdot \frac{dy}{dx} = -\frac{n}{a} \implies \frac{dy}{dx} = -\frac{b}{a}$.
बिंदु $(a, b)$ पर स्पर्श रेखा का समीकरण $y - b = m(x - a)$ है,जहाँ $m = -\frac{b}{a}$ है।
$y - b = -\frac{b}{a}(x - a)$.
$a(y - b) = -b(x - a)$.
$ay - ab = -bx + ab$.
$bx + ay = 2ab$.
दोनों पक्षों को $ab$ से विभाजित करने पर,हमें $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 2$ प्राप्त होता है।
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(B) वक्र का समीकरण $x^{2/3} + y^{2/3} = a^{2/3}$ है।
प्राचलिक समीकरण $x = a \cos^3 \theta$ और $y = a \sin^3 \theta$ हैं।
अवकलन $\frac{dy}{dx} = \frac{dy/d\theta}{dx/d\theta} = \frac{3a \sin^2 \theta \cos \theta}{-3a \cos^2 \theta \sin \theta} = -\tan \theta$ प्राप्त होता है।
स्पर्शरेखा की ढाल $m_T = -\tan \theta$ है।
अभिलंब की ढाल $m_N = \frac{-1}{m_T} = \cot \theta$ है।
दिया गया है कि अभिलंब $X$-अक्ष के साथ $\phi$ कोण बनाता है,इसलिए इसकी ढाल $\tan \phi$ है।
अतः,$\tan \phi = \cot \theta = \tan(\frac{\pi}{2} - \theta)$,जिसका अर्थ है $\phi = \frac{\pi}{2} - \theta$,या $\theta = \frac{\pi}{2} - \phi$.
$\theta$ का मान प्राचलिक निर्देशांकों में रखने पर: $x = a \cos^3(\frac{\pi}{2} - \phi) = a \sin^3 \phi$ और $y = a \sin^3(\frac{\pi}{2} - \phi) = a \cos^3 \phi$.
बिंदु $(a \sin^3 \phi, a \cos^3 \phi)$ पर और $\tan \phi$ ढाल वाले अभिलंब का समीकरण:
$y - a \cos^3 \phi = \tan \phi (x - a \sin^3 \phi)$
$y \cos \phi - a \cos^4 \phi = x \sin \phi - a \sin^4 \phi$
$y \cos \phi - x \sin \phi = a (\cos^4 \phi - \sin^4 \phi)$
$y \cos \phi - x \sin \phi = a (\cos^2 \phi - \sin^2 \phi)(\cos^2 \phi + \sin^2 \phi)$
$y \cos \phi - x \sin \phi = a \cos 2 \phi$.

(A) दिए गए वक्र हैं:
$x^2 = 3y \quad ...(i)$
$x^2 + y^2 = 4 \quad ...(ii)$
समीकरण $(ii)$ में $x^2 = 3y$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$3y + y^2 = 4$
$y^2 + 3y - 4 = 0$
$(y + 4)(y - 1) = 0$
चूंकि $x^2 = 3y$,$y$ गैर-ऋणात्मक होना चाहिए,इसलिए $y = 1$.
$y = 1$ को $x^2 = 3y$ में रखने पर,$x^2 = 3$,इसलिए $x = \pm \sqrt{3}$.
अतः,प्रतिच्छेदन बिंदु $(\sqrt{3}, 1)$ और $(-\sqrt{3}, 1)$ हैं।
अब,$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$(i)$ के लिए,$2x = 3 \frac{dy}{dx} \implies \frac{dy}{dx} = \frac{2x}{3}$.
$(ii)$ के लिए,$2x + 2y \frac{dy}{dx} = 0 \implies \frac{dy}{dx} = -\frac{x}{y}$.
बिंदु $(\sqrt{3}, 1)$ पर:
$m_1 = \frac{2\sqrt{3}}{3} = \frac{2}{\sqrt{3}}$
$m_2 = -\frac{\sqrt{3}}{1} = -\sqrt{3}$
वक्रों के बीच का कोण $\theta$ इस प्रकार है:
$\tan \theta = \left| \frac{m_1 - m_2}{1 + m_1 m_2} \right| = \left| \frac{\frac{2}{\sqrt{3}} - (-\sqrt{3})}{1 + (\frac{2}{\sqrt{3}})(-\sqrt{3})} \right|$
$\tan \theta = \left| \frac{\frac{2 + 3}{\sqrt{3}}}{1 - 2} \right| = \left| \frac{5/\sqrt{3}}{-1} \right| = \frac{5}{\sqrt{3}}$
इसलिए,$\theta = \tan^{-1} \left( \frac{5}{\sqrt{3}} \right)$.

(D) दिए गए वक्र $C_1: x^2 y = 1$ और $C_2: y(x^2 + 1) = 2$ हैं।
सबसे पहले,दूसरे समीकरण में $y = 1/x^2$ रखकर प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करें: $(1/x^2)(x^2 + 1) = 2 \implies 1 + 1/x^2 = 2 \implies 1/x^2 = 1 \implies x^2 = 1 \implies x = \pm 1$.
$x = 1$ के लिए,$y = 1$. $x = -1$ के लिए,$y = 1$. प्रतिच्छेदन बिंदु $(1, 1)$ और $(-1, 1)$ हैं।
$C_1$ के लिए,$y = x^{-2} \implies dy/dx = -2x^{-3} = -2/x^3$. $(1, 1)$ पर,$m_1 = -2$.
$C_2$ के लिए,$y = 2/(x^2 + 1) \implies dy/dx = -2(2x)/(x^2 + 1)^2 = -4x/(x^2 + 1)^2$. $(1, 1)$ पर,$m_2 = -4(1)/(1+1)^2 = -4/4 = -1$.
वक्रों के बीच का कोण $\theta$,$\tan \theta = |(m_1 - m_2) / (1 + m_1 m_2)|$ द्वारा दिया जाता है।
$\tan \theta = |(-2 - (-1)) / (1 + (-2)(-1))| = |-1 / (1 + 2)| = |-1/3| = 1/3$.
अतः,$\theta = \operatorname{Tan}^{-1}(1/3)$.

(B) माना शंकु की त्रिज्या $R = 10 \ cm$ है और इसकी ऊँचाई $H$ है। माना अंतर्निहित बेलन की त्रिज्या $r$ और ऊँचाई $h$ है।
समरूप त्रिभुजों के गुणधर्म से,$\frac{H-h}{r} = \frac{H}{R}$,जिसका अर्थ है $h = H(1 - \frac{r}{R})$।
बेलन का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल $S = 2\pi rh = 2\pi r H(1 - \frac{r}{R}) = 2\pi H(r - \frac{r^2}{R})$ है।
$S$ को अधिकतम करने के लिए,हम $r$ के सापेक्ष अवकलन करते हैं और इसे शून्य के बराबर रखते हैं: $\frac{dS}{dr} = 2\pi H(1 - \frac{2r}{R}) = 0$।
इससे $1 - \frac{2r}{R} = 0$ प्राप्त होता है,अतः $r = \frac{R}{2}$।
चूँकि $R = 10 \ cm$ दिया गया है,इसलिए $r = \frac{10}{2} = 5 \ cm$ होगा।

(B) माना $x$ घन के किनारे की लंबाई है और $V$ इसका आयतन है।
दिया गया है कि किनारे की लंबाई में परिवर्तन की दर $\frac{dx}{dt} = 1 \text{ cm/sec}$ है।
घन का आयतन $V = x^3$ द्वारा दिया जाता है।
समय $t$ के सापेक्ष दोनों पक्षों का अवकलन करने पर,हमें $\frac{dV}{dt} = 3x^2 \frac{dx}{dt}$ प्राप्त होता है।
जब किनारे की लंबाई $x = 5 \text{ cm}$ है,तो हम अवकलज में मान प्रतिस्थापित करते हैं:
$\frac{dV}{dt} = 3(5)^2(1) = 3 \times 25 \times 1 = 75 \text{ cc/sec}$।
अतः,आयतन में परिवर्तन की दर $75 \text{ cc/sec}$ है।

(D) दिया गया स्थिति फलन $S(t) = t^3 - 3t^2 + 4t - 2$ है।
वेग $v(t)$,$S(t)$ का $t$ के सापेक्ष अवकलन है:
$v(t) = \frac{dS}{dt} = 3t^2 - 6t + 4$.
त्वरण $a(t)$,$v(t)$ का $t$ के सापेक्ष अवकलन है:
$a(t) = \frac{dv}{dt} = 6t - 6$.
त्वरण को शून्य के बराबर रखकर समय $t$ ज्ञात करें:
$6t - 6 = 0 \implies t = 1 \text{ सेकंड}$.
अब,$t = 1$ को वेग फलन में प्रतिस्थापित करें:
$v(1) = 3(1)^2 - 6(1) + 4 = 3 - 6 + 4 = 1 \text{ m/s}$.
अतः,जब त्वरण शून्य होता है तो कण का वेग $1 \text{ m/s}$ होता है।

(D) दिया गया वक्र $x^3 = 12y$ है। समय $t$ के सापेक्ष दोनों पक्षों का अवकलन करने पर:
$3x^2 \frac{dx}{dt} = 12 \frac{dy}{dt}$
$\frac{dy}{dt} = \frac{3x^2}{12} \frac{dx}{dt} = \frac{x^2}{4} \frac{dx}{dt}$
दिया गया है कि $x$ के परिवर्तन की दर $y$ के परिवर्तन की दर से अधिक है,अर्थात $\frac{dx}{dt} > \frac{dy}{dt}$।
$\frac{dy}{dt}$ का मान प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{dx}{dt} > \frac{x^2}{4} \frac{dx}{dt}$
चूंकि $x > 0$ है,$\frac{dx}{dt}$ धनात्मक है,इसलिए $\frac{dx}{dt}$ से विभाजित करने पर:
$1 > \frac{x^2}{4}$
$x^2 < 4$
$|x| < 2$
चूंकि $x > 0$ की शर्त दी गई है,इसलिए $x$ के लिए अंतराल $(0, 2)$ है।

(A) माना $V$ आयतन है,$r$ त्रिज्या है,और $h$ किसी समय $t$ पर उल्टे शंकु में पानी की ऊँचाई है।
दिया है,$\frac{dV}{dt} = 3 \ m^3/min$.
शंकु का आयतन $V = \frac{1}{3} \pi r^2 h$ होता है।
शंकु में त्रिभुजों की समानता से,हमारे पास $\frac{r}{h} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$ है,जिसका अर्थ है $r = \frac{2}{3}h$.
आयतन सूत्र में $r$ का मान रखने पर:
$V = \frac{1}{3} \pi \left(\frac{2}{3}h\right)^2 h = \frac{1}{3} \pi \left(\frac{4}{9}h^2\right) h = \frac{4}{27} \pi h^3$.
$t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dV}{dt} = \frac{4}{27} \pi (3h^2) \frac{dh}{dt} = \frac{4}{9} \pi h^2 \frac{dh}{dt}$.
दिया है $\frac{dV}{dt} = 3$ और हमें $h = 3 \ m$ पर $\frac{dh}{dt}$ ज्ञात करना है:
$3 = \frac{4}{9} \pi (3)^2 \frac{dh}{dt}$
$3 = \frac{4}{9} \pi (9) \frac{dh}{dt}$
$3 = 4 \pi \frac{dh}{dt}$
$\frac{dh}{dt} = \frac{3}{4 \pi} \ m/min$.

(C) दिया गया फलन: $f(x) = x(x+3)(x-2) = x^3 + x^2 - 6x$.
चूंकि $f(x)$ एक बहुपद है,यह $[-1, 4]$ पर सतत है और $(-1, 4)$ पर अवकलनीय है।
$LMVT$ के अनुसार,कम से कम एक $c \in (-1, 4)$ ऐसा मौजूद है कि $f'(c) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}$।
यहाँ $a = -1$ और $b = 4$ है।
$f(-1) = (-1)(2)(-3) = 6$.
$f(4) = (4)(7)(2) = 56$.
$f'(x) = 3x^2 + 2x - 6$.
अतः,$3c^2 + 2c - 6 = \frac{56 - 6}{4 - (-1)} = \frac{50}{5} = 10$.
$3c^2 + 2c - 16 = 0$.
द्विघात सूत्र का उपयोग करने पर: $c = \frac{-2 \pm \sqrt{4 - 4(3)(-16)}}{6} = \frac{-2 \pm 14}{6}$.
दो संभावित मान: $c_1 = 2$ और $c_2 = -\frac{8}{3}$।
चूंकि $c \in (-1, 4)$,इसलिए $c = 2$ सही उत्तर है।

(A) दिया गया फलन $f(x) = x \cdot e^{x-x^2}$ है।
वर्धमान या ह्रासमान अंतराल ज्ञात करने के लिए,हम अवकलज $f'(x)$ ज्ञात करते हैं।
गुणन नियम और श्रृंखला नियम का उपयोग करते हुए: $f'(x) = 1 \cdot e^{x-x^2} + x \cdot e^{x-x^2} \cdot (1-2x)$.
$f'(x) = e^{x-x^2} [1 + x(1-2x)] = e^{x-x^2} (1 + x - 2x^2)$.
द्विघात व्यंजक का गुणनखंड करने पर: $1 + x - 2x^2 = -(2x^2 - x - 1) = -(2x+1)(x-1) = (2x+1)(1-x)$.
अतः,$f'(x) = e^{x-x^2} (2x+1)(1-x)$.
फलन के वर्धमान होने के लिए,$f'(x) \geq 0$ होना चाहिए।
चूंकि सभी $x \in R$ के लिए $e^{x-x^2} > 0$,इसलिए $f'(x)$ का चिह्न $(2x+1)(1-x)$ पर निर्भर करता है।
$(2x+1)(1-x) \geq 0$ का अर्थ है $-\frac{1}{2} \leq x \leq 1$.
इस प्रकार,फलन अंतराल $\left[-\frac{1}{2}, 1\right]$ में वर्धमान है।

(B) बैक्टीरिया के बढ़ने का फलन $f(t) = t^4$ द्वारा दिया गया है।
बढ़ने की दर ज्ञात करने के लिए,हम समय $t$ के सापेक्ष $f(t)$ का अवकलन करते हैं:
$f'(t) = \frac{d}{dt}(t^4) = 4t^3$.
हमें दिया गया है कि $t = t_0$ पर बढ़ने की दर $4000 \text{ units/second}$ है।
इसलिए,$f'(t_0) = 4t_0^3 = 4000$.
दोनों पक्षों को $4$ से विभाजित करने पर,हमें $t_0^3 = 1000$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का घनमूल लेने पर,$t_0 = \sqrt[3]{1000} = 10$.
अतः,$t_0 = 10$ सेकंड।

(C) $[0, 1]$ पर $f(x) = (x+1)^{1/3} - (x-1)^{1/3}$ का अधिकतम मान ज्ञात करने के लिए,हम अवकलज $f'(x)$ निकालते हैं।
$f'(x) = \frac{1}{3}(x+1)^{-2/3} - \frac{1}{3}(x-1)^{-2/3} = \frac{1}{3} \left[ \frac{1}{(x+1)^{2/3}} - \frac{1}{(x-1)^{2/3}} \right]$.
$f'(x) = 0$ रखने पर,हमें $(x-1)^{2/3} = (x+1)^{2/3}$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $|x-1| = |x+1|$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$(x-1)^2 = (x+1)^2$,इसलिए $x^2 - 2x + 1 = x^2 + 2x + 1$,जिससे $4x = 0$ प्राप्त होता है,अर्थात $x = 0$.
अब,हम क्रांतिक बिंदु $x=0$ और अंत बिंदुओं $x=0$ तथा $x=1$ पर $f(x)$ का मान ज्ञात करते हैं।
$x=0$ पर,$f(0) = (0+1)^{1/3} - (0-1)^{1/3} = 1 - (-1) = 2$.
$x=1$ पर,$f(1) = (1+1)^{1/3} - (1-1)^{1/3} = 2^{1/3} - 0 = 2^{1/3}$.
$f(0) = 2$ और $f(1) = 2^{1/3} \approx 1.26$ की तुलना करने पर,अधिकतम मान $2$ है।

(A) $(0,0)$,$(x_1, y_1)$,और $(x_2, y_2)$ शीर्षों वाले त्रिभुज का क्षेत्रफल $A = \frac{1}{2} |x_1 y_2 - x_2 y_1|$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ,शीर्ष $(0,0)$,$(x, \cos x)$,और $(\sin^3 x, 0)$ हैं।
अतः,$x \in (0, \frac{\pi}{2})$ के लिए $A(x) = \frac{1}{2} |x(0) - (\sin^3 x)(\cos x)| = \frac{1}{2} \sin^3 x \cos x$ है।
अधिकतम मान ज्ञात करने के लिए,हम $A(x)$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करते हैं:
$A'(x) = \frac{1}{2} [3 \sin^2 x \cos x \cdot \cos x + \sin^3 x (-\sin x)] = \frac{1}{2} [3 \sin^2 x \cos^2 x - \sin^4 x]$.
$A'(x) = 0$ रखने पर,हमें $3 \sin^2 x \cos^2 x = \sin^4 x$ प्राप्त होता है।
चूंकि $\sin x \neq 0$,इसलिए $3 \cos^2 x = \sin^2 x$,जिसका अर्थ है $\tan^2 x = 3$,अतः $\tan x = \sqrt{3}$ (क्योंकि $x \in (0, \frac{\pi}{2})$)।
इस प्रकार,$x = \frac{\pi}{3}$ है।
$x = \frac{\pi}{3}$ पर,$\sin x = \frac{\sqrt{3}}{2}$ और $\cos x = \frac{1}{2}$ है।
इन मानों को $A(x)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$A = \frac{1}{2} (\frac{\sqrt{3}}{2})^3 (\frac{1}{2}) = \frac{1}{2} (\frac{3 \sqrt{3}}{8}) (\frac{1}{2}) = \frac{3 \sqrt{3}}{32}$.

(C) दिया गया है कि बेलनाकार बर्तन का आयतन $V$ है और इसके ऊपर ढक्कन नहीं है।
मान लीजिए $r$ त्रिज्या है और $h$ बेलन की ऊँचाई है।
बेलन का आयतन $V = \pi r^2 h$ द्वारा दिया जाता है,जिसका अर्थ है $h = \frac{V}{\pi r^2}$।
प्रयुक्त धातु की चादर का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल $S$ (आधार सहित लेकिन ढक्कन के बिना) इस प्रकार है:
$S = 2\pi rh + \pi r^2$
$S$ के समीकरण में $h = \frac{V}{\pi r^2}$ रखने पर:
$S(r) = 2\pi r \left(\frac{V}{\pi r^2}\right) + \pi r^2 = \frac{2V}{r} + \pi r^2$
न्यूनतम पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए,हम $S(r)$ का $r$ के सापेक्ष अवकलन करते हैं और इसे शून्य के बराबर रखते हैं:
$S'(r) = -\frac{2V}{r^2} + 2\pi r = 0$
$2\pi r = \frac{2V}{r^2} \Rightarrow r^3 = \frac{V}{\pi} \Rightarrow r = \sqrt[3]{\frac{V}{\pi}}$
अब,$h$ के समीकरण में $r$ का मान रखने पर:
$h = \frac{V}{\pi r^2} = \frac{V}{\pi (V/\pi)^{2/3}} = \frac{V}{\pi} \cdot \left(\frac{\pi}{V}\right)^{2/3} = \left(\frac{V}{\pi}\right)^{1/3} = \sqrt[3]{\frac{V}{\pi}}$
अतः,न्यूनतम पृष्ठीय क्षेत्रफल के लिए त्रिज्या और ऊँचाई $r = \sqrt[3]{\frac{V}{\pi}}$ और $h = \sqrt[3]{\frac{V}{\pi}}$ है।

(B) मान लीजिए $R(x)$ राजस्व फलन है और $C(x)$ लागत फलन है।
राजस्व $R(x) = x \times \left(5 - \frac{x}{100}\right) = 5x - \frac{x^2}{100}$।
लाभ फलन $P(x) = R(x) - C(x) = \left(5x - \frac{x^2}{100}\right) - \left(\frac{x}{5} + 500\right)$।
$P(x) = 5x - \frac{x^2}{100} - \frac{x}{5} - 500 = 4.8x - \frac{x^2}{100} - 500$।
अधिकतम लाभ ज्ञात करने के लिए,हम अवकलज $P'(x)$ निकालते हैं और इसे $0$ के बराबर रखते हैं।
$P'(x) = 4.8 - \frac{2x}{100} = 4.8 - \frac{x}{50}$।
$P'(x) = 0$ रखने पर,हमें $4.8 = \frac{x}{50}$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $x = 4.8 \times 50 = 240$।
सत्यापन के लिए,हम द्वितीय अवकलज $P''(x) = -\frac{1}{50}$ की जाँच करते हैं।
चूंकि $P''(x) < 0$ है,इसलिए $x = 240$ पर लाभ अधिकतम है।

(A) दिया गया वक्र $3y^2 = (x+5)^3$ है।
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,हमें $6y \frac{dy}{dx} = 3(x+5)^2$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $\frac{dy}{dx} = \frac{(x+5)^2}{2y}$।
उपस्पर्शरेखा की लंबाई $ST = |\frac{y}{dy/dx}| = |\frac{y}{(x+5)^2 / 2y}| = |\frac{2y^2}{(x+5)^2}|$ है।
$y^2 = \frac{(x+5)^3}{3}$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $ST = |\frac{2(x+5)^3}{3(x+5)^2}| = |\frac{2(x+5)}{3}|$ प्राप्त होता है।
अतः,$(ST)^2 = \frac{4(x+5)^2}{9}$,इसलिए $9(ST)^2 = 4(x+5)^2$।
अभिलंब की लंबाई $SN = |y \frac{dy}{dx}| = |y \cdot \frac{(x+5)^2}{2y}| = |\frac{(x+5)^2}{2}|$ है।
इसलिए,$8 SN = 8 \cdot \frac{(x+5)^2}{2} = 4(x+5)^2$।
दोनों परिणामों की तुलना करने पर,हमें $9(ST)^2 = 8 SN$ प्राप्त होता है।

(D) लैग्रेंज के माध्य मान प्रमेय $(LMVT)$ को $[a, b]$ पर लागू करने के लिए,फलन $f(x)$ को निम्नलिखित शर्तों को पूरा करना चाहिए:
$1$. $[a, b]$ पर सतत होना चाहिए।
$2$. $(a, b)$ पर अवकलनीय होना चाहिए।
अंतराल $[0, 1]$ के लिए विकल्पों का विश्लेषण करते हैं:
- विकल्प $A$: फलन $x = 1/2$ पर सतत है क्योंकि $\lim_{x \to 1/2^-} (1/2 - x) = 0$ और $f(1/2) = 0$ है। यह हर जगह अवकलनीय है।
- विकल्प $B$: फलन $x = 0$ पर सतत है क्योंकि $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1 = f(0)$ है। यह हर जगह अवकलनीय है।
- विकल्प $C$: $f(x) = x|x|$ सभी $x \in \mathbb{R}$ के लिए सतत और अवकलनीय है।
- विकल्प $D$: $f(x) = |x|$। $x = 0$ पर,बायां अवकलज $-1$ है और दायां अवकलज $1$ है। चूंकि बायां अवकलज $\neq$ दायां अवकलज,इसलिए फलन $x = 0$ पर अवकलनीय नहीं है। चूंकि $0 \in [0, 1]$,इसलिए $LMVT$ फलन $f(x) = |x|$ पर $[0, 1]$ अंतराल में लागू नहीं होता है।

(D) रोले के प्रमेय को लागू करने के लिए,$f(x)$ को $[1, 2]$ पर संतत,$(1, 2)$ पर अवकलनीय होना चाहिए और $f(1) = f(2)$ होना चाहिए।
यहाँ,$f(1) = (1-1)^3(1-2)^5 = 0$ और $f(2) = (2-1)^3(2-2)^5 = 0$ है। चूँकि $f(1) = f(2) = 0$,रोले का प्रमेय लागू होता है।
हमें $c \in (1, 2)$ ज्ञात करना है ताकि $f'(c) = 0$ हो।
गुणन नियम का उपयोग करते हुए: $f'(x) = 3(x-1)^2(x-2)^5 + 5(x-1)^3(x-2)^4$।
उभयनिष्ठ पदों को बाहर निकालने पर: $f'(x) = (x-1)^2(x-2)^4 [3(x-2) + 5(x-1)]$।
$f'(x) = (x-1)^2(x-2)^4 [3x - 6 + 5x - 5] = (x-1)^2(x-2)^4 (8x - 11)$।
$c \in (1, 2)$ के लिए $f'(c) = 0$ रखने पर:
$(c-1)^2(c-2)^4 (8c - 11) = 0$।
चूँकि $c \neq 1$ और $c \neq 2$,इसलिए $8c - 11 = 0$ होना चाहिए,जिससे $c = \frac{11}{8}$ प्राप्त होता है।

(D) दिया गया फलन $f(x) = (x-1)(x-2) = x^2 - 3x + 2$ अंतराल $[0, 1/2]$ पर है।
लैग्रेंज के माध्य मान प्रमेय के अनुसार,कम से कम एक $c \in (0, 1/2)$ ऐसा विद्यमान है कि $f'(c) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}$ हो।
यहाँ,$a = 0$ और $b = 1/2$ है।
$f(a) = f(0) = (0-1)(0-2) = 2$ है।
$f(b) = f(1/2) = (1/2 - 1)(1/2 - 2) = (-1/2)(-3/2) = 3/4$ है।
$f'(x) = 2x - 3$,इसलिए $f'(c) = 2c - 3$ है।
सूत्र में मान रखने पर: $2c - 3 = \frac{3/4 - 2}{1/2 - 0}$।
$2c - 3 = \frac{-5/4}{1/2} = -5/2$।
$2c = 3 - 5/2 = 1/2$।
$c = 1/4$।
चूंकि $1/4 \in (0, 1/2)$,इसलिए $c$ का मान $1/4$ है।

(C) माना $I = \int \frac{1}{x \sqrt{x^6+1}} \, dx$.
अंश और हर को $x^2$ से गुणा करने पर:
$I = \int \frac{x^2}{x^3 \sqrt{(x^3)^2+1}} \, dx$.
माना $u = x^3$,तब $du = 3x^2 \, dx$,जिसका अर्थ है $x^2 \, dx = \frac{du}{3}$.
इन मानों को समाकलन में प्रतिस्थापित करने पर:
$I = \frac{1}{3} \int \frac{du}{u \sqrt{u^2+1}}$.
मानक समाकलन सूत्र $\int \frac{du}{u \sqrt{u^2+a^2}} = -\frac{1}{a} \operatorname{Sinh}^{-1} \left( \frac{a}{u} \right) + C$ का उपयोग करने पर:
$I = \frac{1}{3} \left( -\operatorname{Sinh}^{-1} \left( \frac{1}{u} \right) \right) + C = -\frac{1}{3} \operatorname{Sinh}^{-1} \left( \frac{1}{x^3} \right) + C$.

(A) माना $I = \int (\sqrt{\tan x} + \sqrt{\cot x}) dx = \int \frac{\tan x + 1}{\sqrt{\tan x}} dx$.
$\tan x = t^2$ प्रतिस्थापित करने पर,$\sec^2 x dx = 2t dt$ प्राप्त होता है।
चूँकि $\sec^2 x = 1 + \tan^2 x = 1 + t^4$,इसलिए $dx = \frac{2t}{1+t^4} dt$ होगा।
अतः,$I = \int \frac{t^2 + 1}{t} \cdot \frac{2t}{1+t^4} dt = 2 \int \frac{t^2 + 1}{t^4 + 1} dt$.
अंश और हर को $t^2$ से विभाजित करने पर: $I = 2 \int \frac{1 + 1/t^2}{t^2 + 1/t^2} dt = 2 \int \frac{1 + 1/t^2}{(t - 1/t)^2 + 2} dt$.
$u = t - 1/t$ लेने पर,$du = (1 + 1/t^2) dt$ प्राप्त होता है।
$I = 2 \int \frac{du}{u^2 + (\sqrt{2})^2} = 2 \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} \tan^{-1}\left(\frac{u}{\sqrt{2}}\right) + c = \sqrt{2} \tan^{-1}\left(\frac{t - 1/t}{\sqrt{2}}\right) + c$.
$t = \sqrt{\tan x}$ रखने पर,$I = \sqrt{2} \tan^{-1}\left(\frac{\tan x - 1}{\sqrt{2 \tan x}}\right) + c$ प्राप्त होता है।

(C) हमारे पास समाकलन $I = \int \frac{1-x^7}{x(1+x^7)} dx$ है।
अंश और हर को $x^6$ से गुणा करने पर:
$I = \int \frac{x^6(1-x^7)}{x^7(1+x^7)} dx$.
माना $u = x^7$,तब $du = 7x^6 dx$,जिसका अर्थ है $x^6 dx = \frac{du}{7}$.
समाकलन में मान रखने पर:
$I = \int \frac{1-u}{u(1+u)} \cdot \frac{du}{7} = \frac{1}{7} \int \frac{1-u}{u(1+u)} du$.
आंशिक भिन्न का उपयोग करने पर: $\frac{1-u}{u(1+u)} = \frac{A}{u} + \frac{B}{1+u}$.
$1-u = A(1+u) + Bu$.
$u=0$ के लिए,$A=1$.
$u=-1$ के लिए,$1-(-1) = B(-1) \Rightarrow B = -2$.
अतः,$I = \frac{1}{7} \int (\frac{1}{u} - \frac{2}{1+u}) du = \frac{1}{7} (\ln |u| - 2 \ln |1+u|) + C$.
$u = x^7$ वापस रखने पर:
$I = \frac{1}{7} \ln |x^7| - \frac{2}{7} \ln |x^7+1| + C = \frac{7}{7} \ln |x| - \frac{2}{7} \ln |x^7+1| + C = 1 \ln |x| - \frac{2}{7} \ln |x^7+1| + C$.
इसकी तुलना $a \ln |x| + b \ln |x^7+1| + c$ से करने पर,हमें $a = 1$ और $b = -2/7$ प्राप्त होता है।

(B) माना $I = \int \frac{e^x-1}{e^x+1} dx$.
हम समाकल्य को इस प्रकार लिख सकते हैं: $I = \int \frac{(e^x+1)-2}{e^x+1} dx$.
यह सरल होकर प्राप्त होता है: $I = \int (1 - \frac{2}{e^x+1}) dx = \int 1 dx - 2 \int \frac{1}{e^x+1} dx$.
$\int \frac{1}{e^x+1} dx$ का समाकलन करने के लिए,अंश और हर को $e^{-x}$ से गुणा करें:
$I = x - 2 \int \frac{e^{-x}}{1+e^{-x}} dx$.
माना $t = 1+e^{-x}$,तब $dt = -e^{-x} dx$,जिसका अर्थ है कि $e^{-x} dx = -dt$.
इन मानों को समाकलन में प्रतिस्थापित करने पर:
$I = x - 2 \int \frac{-dt}{t} = x + 2 \int \frac{1}{t} dt$.
$I = x + 2 \log_e|t| + c = x + 2 \log_e(1+e^{-x}) + c$.
चूंकि $1+e^{-x} = \frac{e^x+1}{e^x}$,इसलिए:
$I = x + 2 \log_e(\frac{e^x+1}{e^x}) + c = x + 2 \log_e(e^x+1) - 2 \log_e(e^x) + c$.
$I = x + 2 \log_e(e^x+1) - 2x + c = 2 \log_e(e^x+1) - x + c$.

(C) माना $I = \int \cos^{-1}(2x^2-1) \, dx$.
$x = \cos \theta$ प्रतिस्थापित करने पर,$dx = -\sin \theta \, d\theta$ प्राप्त होता है।
समाकलन $I = \int \cos^{-1}(2 \cos^2 \theta - 1) \cdot (-\sin \theta) \, d\theta$ हो जाता है।
सर्वसमिका $\cos 2\theta = 2 \cos^2 \theta - 1$ का उपयोग करने पर,$I = \int \cos^{-1}(\cos 2\theta) \cdot (-\sin \theta) \, d\theta = \int 2\theta \cdot (-\sin \theta) \, d\theta = -2 \int \theta \sin \theta \, d\theta$.
खंडशः समाकलन (Integration by parts) $\int u \, dv = uv - \int v \, du$ का उपयोग करने पर,जहाँ $u = \theta$ और $dv = \sin \theta \, d\theta$:
$I = -2 [\theta(-\cos \theta) - \int (-\cos \theta) \, d\theta] = -2 [-\theta \cos \theta + \sin \theta] + c = 2\theta \cos \theta - 2 \sin \theta + c$.
चूँकि $x = \cos \theta$,अतः $\theta = \cos^{-1} x$ और $\sin \theta = \sqrt{1 - \cos^2 \theta} = \sqrt{1-x^2}$ है।
इन मानों को रखने पर,$I = 2x \cos^{-1} x - 2\sqrt{1-x^2} + c = 2(x \cos^{-1} x - \sqrt{1-x^2}) + c$.

(A) माना $I = \int \frac{dx}{x(x^2+1)^3}$. अंश और हर को $x$ से गुणा करने पर:
$I = \int \frac{x dx}{x^2(x^2+1)^3}$.
माना $x^2 = t$,तब $2x dx = dt$,इसलिए $x dx = \frac{dt}{2}$.
$I = \frac{1}{2} \int \frac{dt}{t(t+1)^3}$.
आंशिक भिन्न का उपयोग करते हुए: $\frac{1}{t(t+1)^3} = \frac{A}{t} + \frac{B}{t+1} + \frac{C}{(t+1)^2} + \frac{D}{(t+1)^3}$.
स्थिरांकों के लिए हल करने पर: $A=1, B=-1, C=-1, D=-1$.
$I = \frac{1}{2} [\int \frac{1}{t} dt - \int \frac{1}{t+1} dt - \int \frac{1}{(t+1)^2} dt - \int \frac{1}{(t+1)^3} dt]$.
$I = \frac{1}{2} [\log|t| - \log|t+1| + \frac{1}{t+1} + \frac{1}{2(t+1)^2}] + c$.
$t = x^2$ प्रतिस्थापित करने पर:
$I = \frac{1}{2} \log \frac{x^2}{x^2+1} + \frac{1}{2(x^2+1)} + \frac{1}{4(x^2+1)^2} + c$.
$I = \log \sqrt{\frac{x^2}{x^2+1}} + \frac{1}{2(x^2+1)} + \frac{1}{4(x^2+1)^2} + c$.

(C) माना $I = \int \frac{d x}{x^{2 / 3}(1+x^{2 / 3})}$.
$x^{1/3} = t$ प्रतिस्थापित करने पर,$x = t^3$ प्राप्त होता है,जिससे $dx = 3t^2 dt$ होता है।
इन मानों को समाकलन में रखने पर:
$I = \int \frac{3t^2 dt}{(t^2)(1+t^2)} = \int \frac{3 dt}{1+t^2}$.
$\frac{1}{1+t^2}$ का समाकलन $\tan^{-1}(t)$ होता है।
अतः,$I = 3 \tan^{-1}(t) + c$.
$t = x^{1/3}$ वापस रखने पर,हमें $I = 3 \tan^{-1}(x^{1/3}) + c$ प्राप्त होता है।

(C) माना $I = \int \frac{dx}{1-2a \cos x + a^2}$ है।
सर्वसमिका $\cos x = \frac{1-\tan^2(x/2)}{1+\tan^2(x/2)}$ का उपयोग करने पर:
$I = \int \frac{dx}{1-2a \left(\frac{1-\tan^2(x/2)}{1+\tan^2(x/2)}\right) + a^2} = \int \frac{\sec^2(x/2) dx}{(1+a^2)(1+\tan^2(x/2)) - 2a(1-\tan^2(x/2))}$ प्राप्त होता है।
माना $t = \tan(x/2)$,तब $dt = \frac{1}{2} \sec^2(x/2) dx$,अतः $\sec^2(x/2) dx = 2 dt$ है।
$I = \int \frac{2 dt}{(1+a^2)(1+t^2) - 2a(1-t^2)} = \int \frac{2 dt}{1+a^2+t^2+a^2t^2-2a+2at^2} = \int \frac{2 dt}{(1-a)^2 + t^2(1+a)^2}$ है।
$I = \frac{2}{(1+a)^2} \int \frac{dt}{\left(\frac{1-a}{1+a}\right)^2 + t^2}$ है।
$\int \frac{dx}{k^2+x^2} = \frac{1}{k} \tan^{-1}(\frac{x}{k})$ सूत्र का उपयोग करने पर:
$I = \frac{2}{(1+a)^2} \cdot \frac{1+a}{1-a} \tan^{-1}\left(t \cdot \frac{1+a}{1-a}\right) + c = \frac{2}{1-a^2} \tan^{-1}\left[\frac{1+a}{1-a} \tan \frac{x}{2}\right] + c$ प्राप्त होता है।

(A) माना $I = \int \frac{6x+5}{\sqrt{6+x-2x^2}} dx$ है।
अंश को $6x+5 = A \frac{d}{dx}(6+x-2x^2) + B$ के रूप में व्यक्त करते हैं।
$6x+5 = A(1-4x) + B = -4Ax + (A+B)$।
गुणांकों की तुलना करने पर,$-4A = 6 \implies A = -\frac{3}{2}$ और $A+B = 5 \implies B = 5 + \frac{3}{2} = \frac{13}{2}$।
अतः,$I = \int \frac{-\frac{3}{2}(1-4x) + \frac{13}{2}}{\sqrt{6+x-2x^2}} dx = -\frac{3}{2} \int \frac{1-4x}{\sqrt{6+x-2x^2}} dx + \frac{13}{2} \int \frac{dx}{\sqrt{6+x-2x^2}}$।
पहले भाग के लिए,$u = 6+x-2x^2$ लें,तो $du = (1-4x)dx$ होगा।
समाकलन $-\frac{3}{2} \int u^{-1/2} du = -\frac{3}{2} (2\sqrt{u}) = -3\sqrt{6+x-2x^2}$ होगा।
दूसरे भाग के लिए,$\int \frac{dx}{\sqrt{6+x-2x^2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} \int \frac{dx}{\sqrt{3 + \frac{x}{2} - x^2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} \int \frac{dx}{\sqrt{\frac{49}{16} - (x-\frac{1}{4})^2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} \sin^{-1}\left(\frac{4x-1}{7}\right)$।
दोनों को मिलाने पर,$I = -3\sqrt{6+x-2x^2} + \frac{13}{2\sqrt{2}} \sin^{-1}\left(\frac{4x-1}{7}\right) + c$ प्राप्त होता है।

(C) माना $I = \int \frac{5x^2+3}{x^2(x^2-2)} dx$.
आंशिक भिन्नों का उपयोग करते हुए,मान लीजिए $\frac{5x^2+3}{x^2(x^2-2)} = \frac{A}{x^2} + \frac{B}{x^2-2}$.
तब $5x^2+3 = A(x^2-2) + Bx^2$.
$x^2$ के गुणांकों की तुलना करने पर: $A+B = 5$.
अचर पदों की तुलना करने पर: $-2A = 3 \implies A = -\frac{3}{2}$.
$A+B=5$ में $A$ का मान रखने पर: $-\frac{3}{2} + B = 5 \implies B = 5 + \frac{3}{2} = \frac{13}{2}$.
अतः,$I = \int \left( -\frac{3}{2x^2} + \frac{13}{2(x^2-2)} \right) dx$.
$I = -\frac{3}{2} \int x^{-2} dx + \frac{13}{2} \int \frac{1}{x^2-(\sqrt{2})^2} dx$.
सूत्र $\int \frac{1}{x^2-a^2} dx = \frac{1}{2a} \log \left| \frac{x-a}{x+a} \right| + C$ का उपयोग करते हुए:
$I = -\frac{3}{2} \left( -\frac{1}{x} \right) + \frac{13}{2} \cdot \frac{1}{2\sqrt{2}} \log \left| \frac{x-\sqrt{2}}{x+\sqrt{2}} \right| + C$.
$I = \frac{3}{2x} + \frac{13}{4\sqrt{2}} \log \left| \frac{x-\sqrt{2}}{x+\sqrt{2}} \right| + C$.

(C) माना $I = \int \frac{x^{e-1}+e^{x-1}}{x^e+e^x} dx$ ... $(i)$
$x^e + e^x = t$ रखने पर ... $(ii)$
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{d}{dx}(x^e + e^x) = \frac{dt}{dx}$
$e x^{e-1} + e^x = \frac{dt}{dx}$
$(e x^{e-1} + e^x) dx = dt$
$e$ को उभयनिष्ठ लेने पर:
$e(x^{e-1} + \frac{e^x}{e}) dx = dt$
$e(x^{e-1} + e^{x-1}) dx = dt$
$(x^{e-1} + e^{x-1}) dx = \frac{1}{e} dt$ ... $(iii)$
$(ii)$ और $(iii)$ के मानों को $(i)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$I = \int \frac{1}{t} \cdot \frac{1}{e} dt$
$I = \frac{1}{e} \int \frac{1}{t} dt$
$I = \frac{1}{e} \log |t| + C$
$t = x^e + e^x$ का मान वापस रखने पर:
$I = \frac{1}{e} \log |x^e + e^x| + C$

(A) समाकलन $I = \int \frac{\sin (x-a)}{\sin (x-b)} dx$ का मूल्यांकन करने के लिए,हम अंश को $\sin((x-b) + (b-a))$ के रूप में लिखते हैं।
$\sin(u+v) = \sin u \cos v + \cos u \sin v$ सर्वसमिका का उपयोग करते हुए:
$I = \int \frac{\sin(x-b)\cos(b-a) + \cos(x-b)\sin(b-a)}{\sin(x-b)} dx$
$I = \int \cos(b-a) dx + \int \sin(b-a) \cot(x-b) dx$
$I = x \cos(b-a) + \sin(b-a) \log |\sin(x-b)| + C$
इसकी तुलना $Ax + B \log |\sin(x-b)| + C$ से करने पर,हमें $A = \cos(b-a)$ और $B = \sin(b-a)$ प्राप्त होता है।
अतः,$(A, B) = (\cos(b-a), \sin(b-a))$।

(C) माना $I = \int \frac{\log _e x}{(1+\log _e x)^2} dx$.
$\log _e x = t$ प्रतिस्थापित करने पर,$x = e^t$ और $dx = e^t dt$ प्राप्त होता है।
इन मानों को समाकलन में रखने पर:
$I = \int \frac{t}{(1+t)^2} e^t dt$.
अंश को $(t+1-1)$ के रूप में लिखने पर:
$I = \int \frac{t+1-1}{(1+t)^2} e^t dt = \int \left( \frac{1}{1+t} - \frac{1}{(1+t)^2} \right) e^t dt$.
मानक समाकलन सूत्र $\int e^x [f(x) + f'(x)] dx = e^x f(x) + C$ का उपयोग करने पर,जहाँ $f(t) = \frac{1}{1+t}$ और $f'(t) = -\frac{1}{(1+t)^2}$:
$I = e^t \left( \frac{1}{1+t} \right) + C$.
$t = \log _e x$ वापस रखने पर:
$I = e^{\log _e x} \left( \frac{1}{1+\log _e x} \right) + C = \frac{x}{1+\log _e x} + C$.

(B) $\int x^5 e^{-2 x} d x$ का मूल्यांकन करने के लिए,हम खंडशः समाकलन (integration by parts) के सूत्र का बार-बार उपयोग करते हैं या सारणीबद्ध विधि (बर्नौली का सूत्र) का उपयोग करते हैं: $\int u v' dx = u v - u' v_1 + u'' v_2 - u''' v_3 + \dots$
यहाँ,$u = x^5$ और $v' = e^{-2 x}$ है।
$u = x^5, u' = 5x^4, u'' = 20x^3, u''' = 60x^2, u^{(4)} = 120x, u^{(5)} = 120, u^{(6)} = 0$.
$v = e^{-2 x}, v_1 = \frac{e^{-2 x}}{-2}, v_2 = \frac{e^{-2 x}}{4}, v_3 = \frac{e^{-2 x}}{-8}, v_4 = \frac{e^{-2 x}}{16}, v_5 = \frac{e^{-2 x}}{-32}, v_6 = \frac{e^{-2 x}}{64}$.
सूत्र लागू करने पर:
$\int x^5 e^{-2 x} d x = x^5 \left(\frac{e^{-2 x}}{-2}\right) - 5x^4 \left(\frac{e^{-2 x}}{4}\right) + 20x^3 \left(\frac{e^{-2 x}}{-8}\right) - 60x^2 \left(\frac{e^{-2 x}}{16}\right) + 120x \left(\frac{e^{-2 x}}{-32}\right) - 120 \left(\frac{e^{-2 x}}{64}\right) + c$
$= -e^{-2 x} \left[ \frac{x^5}{2} + \frac{5x^4}{4} + \frac{20x^3}{8} + \frac{60x^2}{16} + \frac{120x}{32} + \frac{120}{64} \right] + c$
$= -e^{-2 x} \left[ \frac{x^5}{2} + \frac{5x^4}{4} + \frac{5x^3}{2} + \frac{15x^2}{4} + \frac{15x}{4} + \frac{15}{8} \right] + c$.