AP EAMCET 2017 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(D) दी गई व्यंजक: $S = ^{37}C_4 + \sum_{r=1}^{5} {^{(42-r)}C_r}$.
योग का विस्तार करने पर:
$S = ^{37}C_4 + ^{41}C_1 + ^{40}C_2 + ^{39}C_3 + ^{38}C_4 + ^{37}C_5$.
पास्कल के सर्वसमिका $^{n}C_r + ^{n}C_{r-1} = ^{n+1}C_r$ का उपयोग करने पर,अंतिम उत्तर $^{42}C_4$ प्राप्त होता है।

(C) हमें समीकरण दिया गया है: $^{n-1}C_r = (k^2 - 3) \cdot ^nC_{r+1}$.
सर्वसमिका $^nC_r = \frac{n}{r} \cdot ^{n-1}C_{r-1}$ का उपयोग करते हुए,हम लिख सकते हैं $^nC_{r+1} = \frac{n}{r+1} \cdot ^{n-1}C_r$.
इसे समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$^{n-1}C_r = (k^2 - 3) \cdot \frac{n}{r+1} \cdot ^{n-1}C_r$.
यह मानते हुए कि $^{n-1}C_r \neq 0$,दोनों पक्षों को $^{n-1}C_r$ से विभाजित करने पर:
$1 = (k^2 - 3) \cdot \frac{n}{r+1}$.
$k^2 - 3$ के लिए पुनर्व्यवस्थित करने पर:
$k^2 - 3 = \frac{r+1}{n}$.
चूंकि $0 \le r \le n-1$,अनुपात $\frac{r+1}{n}$ अंतराल $(0, 1]$ में स्थित है।
अतः,$0 < k^2 - 3 \le 1$.
सभी पक्षों में $3$ जोड़ने पर:
$3 < k^2 \le 4$.
वर्गमूल लेने पर,हमें $k \in [-2, -\sqrt{3}) \cup (\sqrt{3}, 2]$ प्राप्त होता है।
दिए गए विकल्पों के साथ तुलना करने पर,अंतराल $[\sqrt{3}, 2]$ $k$ के संभावित मानों का एक उपसमुच्चय है।

(D) दी गई श्रेणी $x = \sum_{n=2}^{\infty} \frac{2 \cdot 5 \cdot 8 \dots (3n-1)}{n! 3^{n-1}}$ है।
यह द्विपद विस्तार $(1-z)^{-p}$ के समान है।
पदों की तुलना करने पर,हम पाते हैं कि यह श्रेणी $(1-z)^{-2/3}$ से संबंधित है।
गणना करने पर,$x^2 + 8x + 8$ का मान $23$ प्राप्त होता है।

(A) $(1+x)^n$ के विस्तार में $x^r$ का गुणांक ${ }^n C_r$ होता है।
दी गई अभिव्यक्ति में $x^5$ का गुणांक प्रत्येक पद के $x^5$ के गुणांकों का योग है:
${ }^{21} C_5 + { }^{22} C_5 + { }^{23} C_5 + \ldots + { }^{30} C_5$.
सर्वसमिका ${ }^n C_r + { }^n C_{r-1} = { }^{n+1} C_r$ का उपयोग करते हुए:
${ }^{21} C_5 + { }^{22} C_5 + \ldots + { }^{30} C_5 = ({ }^{21} C_6 + { }^{21} C_5 + { }^{22} C_5 + \ldots + { }^{30} C_5) - { }^{21} C_6$.
इस सर्वसमिका को बार-बार लागू करने पर:
${ }^{21} C_6 + { }^{21} C_5 = { }^{22} C_6$.
${ }^{22} C_6 + { }^{22} C_5 = { }^{23} C_6$.
अंतिम पद तक इस प्रक्रिया को जारी रखने पर:
${ }^{30} C_6 + { }^{30} C_5 = { }^{31} C_6$.
अतः,योग ${ }^{31} C_6 - { }^{21} C_6$ है।

(A) $(1+x)^{37}$ के द्विपद विस्तार में कुल $37+1 = 38$ पद हैं। \\ गुणांक $\binom{37}{r}$ द्वारा दिए जाते हैं,जहाँ $r = 0, 1, 2, \dots, 37$ है। \\ अंतिम $19$ पद $r = 19, 20, \dots, 37$ के अनुरूप हैं। \\ सभी गुणांकों का योग $\sum_{r=0}^{37} \binom{37}{r} = 2^{37}$ होता है। \\ समरूपता (symmetry) के अनुसार,$\binom{37}{r} = \binom{37}{37-r}$ होता है। \\ मान लीजिए $S$ अंतिम $19$ पदों के गुणांकों का योग है: $S = \binom{37}{19} + \binom{37}{20} + \dots + \binom{37}{37}$। \\ पहले $19$ पदों का योग $\binom{37}{0} + \binom{37}{1} + \dots + \binom{37}{18}$ है। \\ चूँकि $\binom{37}{0} = \binom{37}{37}, \binom{37}{1} = \binom{37}{36}, \dots, \binom{37}{18} = \binom{37}{19}$ है,इसलिए पहले $19$ पदों का योग अंतिम $19$ पदों के योग के बराबर है। \\ अतः,$2S = \sum_{r=0}^{37} \binom{37}{r} = 2^{37}$। \\ इसलिए,$S = \frac{2^{37}}{2} = 2^{36}$।

(B) दिया गया है कि,$x = \frac{1 \cdot 3}{3 \cdot 6} + \frac{1 \cdot 3 \cdot 5}{3 \cdot 6 \cdot 9} + \frac{1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7}{3 \cdot 6 \cdot 9 \cdot 12} + \ldots \infty \text{ पद}$.
हम पदों को इस प्रकार लिख सकते हैं:
$x = \frac{1 \cdot 3}{3^2 \cdot 2!} + \frac{1 \cdot 3 \cdot 5}{3^3 \cdot 3!} + \frac{1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7}{3^4 \cdot 4!} + \ldots$
द्विपद विस्तार $(1-z)^{-n} = 1 + nz + \frac{n(n+1)}{2!}z^2 + \ldots$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $n = 1/2$ और $z = 2/3$ है।
$x = \left[ 1 + \frac{1}{2}(\frac{2}{3}) + \frac{\frac{1}{2}(\frac{1}{2}+1)}{2!}(\frac{2}{3})^2 + \ldots \right] - (1 + \frac{1}{3})$
$x = (1 - \frac{2}{3})^{-1/2} - \frac{4}{3}$
$x = (\frac{1}{3})^{-1/2} - \frac{4}{3} = \sqrt{3} - \frac{4}{3}$
$3x + 4 = 3\sqrt{3}$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$(3x + 4)^2 = (3\sqrt{3})^2$
$9x^2 + 24x + 16 = 27$
$9x^2 + 24x = 11$.

(C) हमारे पास $(1+x)^2(8-x)^{-\frac{1}{3}} = (1+2x+x^2) \cdot 8^{-\frac{1}{3}} (1-\frac{x}{8})^{-\frac{1}{3}}$ है।
चूंकि $8^{-\frac{1}{3}} = \frac{1}{2}$,व्यंजक $\frac{1}{2}(1+2x+x^2)(1-\frac{x}{8})^{-\frac{1}{3}}$ हो जाता है।
द्विपद विस्तार $(1-z)^{-n} = 1 + nz + \frac{n(n+1)}{2!}z^2 + \dots$ का उपयोग करते हुए,$(1-\frac{x}{8})^{-\frac{1}{3}} = 1 + \frac{x}{24} + \frac{x^2}{288}$ प्राप्त होता है।
अब,$\frac{1}{2}(1+2x+x^2)(1 + \frac{x}{24} + \frac{x^2}{288})$ का गुणा करने पर $x^2$ का गुणांक $\frac{1}{2} [\frac{1}{288} + \frac{2}{24} + 1] = \frac{313}{576}$ प्राप्त होता है।

(B) दिया गया व्यंजक: $f(x) = \frac{x}{(x-1)^2(x-2)}$.
आंशिक भिन्न का उपयोग करने पर: $\frac{x}{(x-1)^2(x-2)} = \frac{A}{x-1} + \frac{B}{(x-1)^2} + \frac{C}{x-2}$.
स्थिरांकों के लिए हल करने पर: $x = A(x-1)(x-2) + B(x-2) + C(x-1)^2$.
$x=1$ के लिए: $1 = B(1-2) \implies B = -1$.
$x=2$ के लिए: $2 = C(2-1)^2 \implies C = 2$.
$x^2$ के गुणांकों की तुलना करने पर: $0 = A + C \implies A = -2$.
अतः,$f(x) = \frac{-2}{x-1} - \frac{1}{(x-1)^2} + \frac{2}{x-2} = \frac{2}{1-x} - \frac{1}{(1-x)^2} - \frac{1}{1-x/2}$.
विस्तार: $2(1+x+x^2+\dots+x^n+\dots) - (1+2x+3x^2+\dots+(n+1)x^n+\dots) - (1+\frac{x}{2}+\frac{x^2}{4}+\dots+\frac{x^n}{2^n}+\dots)$.
$x^n$ का गुणांक: $2 - (n+1) - \frac{1}{2^n} = 1 - n - \frac{1}{2^n}$.
यह विस्तार $|x| < 1$ के लिए मान्य है।

(C) दीर्घवृत्त की परिभाषा के अनुसार,किसी बिंदु $P(x, y)$ की नाभि $S(1, -1)$ से दूरी,$P$ की नियता $x+y+2=0$ से दूरी की $e$ गुनी होती है।
$SP^2 = e^2 \times (\text{लंबवत दूरी})^2$
$(x-1)^2 + (y+1)^2 = (\frac{2}{3})^2 \times \frac{(x+y+2)^2}{2}$
सरल करने पर,$7x^2 + 7y^2 - 4xy - 26x - 26y + 10 = 0$ प्राप्त होता है।

(C) दिया गया समीकरण $\frac{x^2}{2-r} + \frac{y^2}{r-5} = -1$ है।
$-1$ से गुणा करने पर,हमें $\frac{x^2}{r-2} + \frac{y^2}{5-r} = 1$ प्राप्त होता है।
इसके दीर्घवृत्त होने के लिए,हर (denominators) धनात्मक होने चाहिए,अर्थात $r-2 > 0$ और $5-r > 0$।
इसका अर्थ है $r > 2$ और $r < 5$।
इन दोनों को मिलाने पर,हमें $2 < r < 5$ प्राप्त होता है।

(B) दीर्घवृत्त का केंद्र नाभियों $(-1, 0)$ और $(7, 0)$ का मध्यबिंदु है,जो $(\frac{-1+7}{2}, \frac{0+0}{2}) = (3, 0)$ है।
नाभियों के बीच की दूरी $2ae = 7 - (-1) = 8$ है,इसलिए $ae = 4$।
चूंकि $e = \frac{1}{2}$ दिया गया है,हमारे पास $a(\frac{1}{2}) = 4$ है,जिसका अर्थ है $a = 8$।
संबंध $b^2 = a^2(1 - e^2)$ का उपयोग करते हुए,हमें $b^2 = 8^2(1 - (\frac{1}{2})^2) = 64(1 - \frac{1}{4}) = 64(\frac{3}{4}) = 48$ प्राप्त होता है।
अतः,$b = \sqrt{48} = 4 \sqrt{3}$।
केंद्र $(h, k)$ वाले दीर्घवृत्त पर एक बिंदु के प्राचलिक निर्देशांक $(h + a \cos \theta, k + b \sin \theta)$ होते हैं।
मान रखने पर,हमें $(3 + 8 \cos \theta, 0 + 4 \sqrt{3} \sin \theta) = (3 + 8 \cos \theta, 4 \sqrt{3} \sin \theta)$ प्राप्त होता है।

(B) दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ के लिए,यदि $\alpha$ और $\beta$ नाभीय जीवा के सिरों के उत्केंद्र कोण हैं,तो $\tan(\alpha/2) \tan(\beta/2) = \frac{e-1}{e+1}$ होता है।
यहाँ $a^2 = 25$ और $b^2 = 9$ है,इसलिए $e = \sqrt{1 - 9/25} = 4/5$ है।
अतः,$\tan(\alpha/2) \tan(\beta/2) = \frac{4/5 - 1}{4/5 + 1} = -1/9$ है।
इसलिए,$\frac{\cot(\alpha/2)}{\tan(\beta/2)} = \frac{1}{\tan(\alpha/2) \tan(\beta/2)} = -9$।

(C) मान लीजिए दीर्घवृत्त का समीकरण $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ है।
मान लीजिए $P = (a \cos \theta, b \sin \theta)$ और $Q = (a \cos \phi, b \sin \phi)$ है।
चूंकि $\angle PCQ = 90^{\circ}$ है,$CP$ और $CQ$ की प्रवणताओं का गुणनफल $-1$ है।
अतः,$\frac{b^2}{a^2} \tan \theta \tan \phi = -1$,जिसका अर्थ है $\tan \theta \tan \phi = -\frac{a^2}{b^2}$।
$P$ और $Q$ पर स्पर्श रेखाओं का प्रतिच्छेदन बिंदु $R(h, k)$ है,जहाँ $h = a \frac{\cos(\frac{\theta+\phi}{2})}{\cos(\frac{\theta-\phi}{2})}$ और $k = b \frac{\sin(\frac{\theta+\phi}{2})}{\cos(\frac{\theta-\phi}{2})}$ है।
इससे $R$ का बिंदुपथ $\frac{x^2}{a^4} + \frac{y^2}{b^4} = \frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2}$ प्राप्त होता है,जो एक दीर्घवृत्त को दर्शाता है।

(A) माना दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ की स्पर्श रेखा का समीकरण $y = mx + \sqrt{a^2 m^2 + b^2}$ है।
माना केंद्र $(0, 0)$ से इस स्पर्श रेखा पर लंब का पाद $(h, k)$ है।
स्पर्श रेखा की ढाल $m$ है,इसलिए लंब रेखा की ढाल $-\frac{1}{m}$ है।
केंद्र $(0, 0)$ से गुजरने वाली लंब रेखा का समीकरण $y = -\frac{1}{m} x$ है,जिसका अर्थ है $m = -\frac{x}{y}$।
चूंकि $(h, k)$ स्पर्श रेखा पर स्थित है,$k = mh + \sqrt{a^2 m^2 + b^2}$।
$m = -\frac{h}{k}$ को समीकरण में रखने पर: $k = -\frac{h^2}{k} + \sqrt{a^2 \frac{h^2}{k^2} + b^2}$।
$k + \frac{h^2}{k} = \sqrt{\frac{a^2 h^2 + b^2 k^2}{k^2}}$।
$\frac{k^2 + h^2}{k} = \frac{\sqrt{a^2 h^2 + b^2 k^2}}{k}$।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,हमें $(h^2 + k^2)^2 = a^2 h^2 + b^2 k^2$ प्राप्त होता है।
$(h, k)$ को $(x, y)$ से बदलने पर,बिंदुपथ $(x^2 + y^2)^2 = a^2 x^2 + b^2 y^2$ है।

(D) वृत्त $x^2+y^2=16$ के लिए $m$ ढाल वाली स्पर्शरेखा का समीकरण $y=mx \pm 4\sqrt{1+m^2}$ है।
दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{49}+\frac{y^2}{4}=1$ के लिए $m$ ढाल वाली स्पर्शरेखा का समीकरण $y=mx \pm \sqrt{49m^2+4}$ है।
उभयनिष्ठ स्पर्शरेखा के लिए,अचर पद समान होने चाहिए:
$16(1+m^2) = 49m^2+4$
$16+16m^2 = 49m^2+4$
$33m^2 = 12$
$m^2 = \frac{4}{11}$
$m = \pm \frac{2}{\sqrt{11}}$.
यह मान रखने पर,हमें $\sqrt{11}y = \pm 2x \pm 4\sqrt{15}$ प्राप्त होता है।
अतः,सही विकल्प $\sqrt{11}y=2x+4\sqrt{15}$ है।

(B) दीर्घवृत्त का समीकरण $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ है,जहाँ $a^2 = 32$ है।
नाभिलंब का एक सिरा $(ae, \frac{b^2}{a})$ है।
$(x_1, y_1)$ पर अभिलंब का समीकरण $\frac{a^2x}{x_1} - \frac{b^2y}{y_1} = a^2 - b^2$ है।
$(x_1, y_1) = (ae, \frac{b^2}{a})$ रखने पर,हमें $\frac{a^2x}{ae} - \frac{b^2y}{b^2/a} = a^2 - b^2$ प्राप्त होता है,जो सरल होकर $\frac{ax}{e} - ay = a^2 - b^2$ हो जाता है।
चूंकि यह अभिलंब लघु अक्ष के सिरे $(0, b)$ से होकर गुजरता है,इसलिए $\frac{a(0)}{e} - a(b) = a^2 - b^2$,अर्थात $-ab = a^2 - b^2$,या $b^2 - ab - a^2 = 0$।
$a^2$ से भाग देने पर,$(\frac{b}{a})^2 - (\frac{b}{a}) - 1 = 0$ प्राप्त होता है।
चूंकि $b^2 = a^2(1-e^2)$,इसलिए $(\frac{b}{a})^2 = 1-e^2$ है।
अतः,$(1-e^2) - \sqrt{1-e^2} - 1 = 0$,जिससे $\sqrt{1-e^2} = -e^2$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$1-e^2 = e^4$,अतः $1 = e^4 + e^2$।
हमें $\frac{e^4}{1-e^2}$ का मान ज्ञात करना है। चूंकि $1-e^2 = e^4$,व्यंजक $\frac{e^4}{e^4} = 1$ हो जाता है।

(A) दीर्घवृत्त का समीकरण $3x^2 + 2y^2 - 5 = 0$ है।
बिंदु $(x_1, y_1) = (1, 2)$ है।
स्पर्श रेखाओं के युग्म का समीकरण $SS_1 = T^2$ है।
यहाँ $S = 3x^2 + 2y^2 - 5$,$S_1 = 6$,और $T = 3x + 4y - 5$ है।
$SS_1 = T^2$ में मान रखने पर:
$(3x^2 + 2y^2 - 5)(6) = (3x + 4y - 5)^2$.
सरल करने पर $9x^2 - 4y^2 - 24xy + 30x + 40y - 55 = 0$ प्राप्त होता है।
यहाँ $a = 9$,$b = -4$,और $h = -12$ है।
कोण $\theta$ के लिए $\tan \theta = \left|\frac{2\sqrt{h^2 - ab}}{a + b}\right|$ सूत्र का उपयोग करने पर:
$\tan \theta = \frac{2\sqrt{144 + 36}}{5} = \frac{12\sqrt{5}}{5}$.
अतः,$\theta = \tan^{-1}\left(\frac{12\sqrt{5}}{5}\right)$.

(A) दी गई रेखाओं के समीकरण $y=2x+\sqrt{76}$ और $y=-\frac{1}{2}x+4$ हैं।
ढाल-अंतःखंड रूप $y=mx+c$ के साथ तुलना करने पर,हमें ढाल $m_1=2$ और $m_2=-\frac{1}{2}$ प्राप्त होती है।
चूंकि $m_1 \times m_2 = 2 \times (-\frac{1}{2}) = -1$,इसलिए दोनों रेखाएँ एक-दूसरे पर लंबवत हैं।
दीर्घवृत्त के दो लंबवत स्पर्श रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु का बिंदुपथ उसका निर्देशक वृत्त (director circle) होता है।
दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ के लिए निर्देशक वृत्त का समीकरण $x^2+y^2=a^2+b^2$ है।
यहाँ,$a^2=16$ और $b^2=12$ है।
अतः,वृत्त का समीकरण $x^2+y^2=16+12=28$ है।

(D) दिया गया समीकरण $\frac{x^2}{c-12} + \frac{y^2}{7-c} = 1$ है।
इस समीकरण के अतिपरवलय होने के लिए,हरों (denominators) का गुणनफल ऋणात्मक होना चाहिए,अर्थात $(c-12)(7-c) < 0$।
$-1$ से गुणा करने पर,हमें $(c-12)(c-7) > 0$ प्राप्त होता है।
इस असमिका को हल करने पर,हमें $c < 7$ या $c > 12$ प्राप्त होता है।
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(B) अतिपरवलय पर बिंदु $P$ को $(a \sec \theta, b \tan \theta)$ मानिए।
$P$ पर स्पर्श रेखा का समीकरण $\frac{x \sec \theta}{a} - \frac{y \tan \theta}{b} = 1$ है।
रेखाएँ $L_1: bx - ay = 0$ और $L_2: bx + ay = 0$ हैं।
$Q$ ज्ञात करने के लिए,$\frac{x \sec \theta}{a} - \frac{y \tan \theta}{b} = 1$ और $bx = ay \implies y = \frac{bx}{a}$ को हल करें।
$y$ का मान रखने पर: $x(\frac{\sec \theta}{a} - \frac{\tan \theta}{a}) = 1 \implies x = a(\sec \theta + \tan \theta)$.
अतः $y = b(\sec \theta + \tan \theta)$। इसलिए $Q = (a(\sec \theta + \tan \theta), b(\sec \theta + \tan \theta))$।
$CQ^2 = (a^2+b^2)(\sec \theta + \tan \theta)^2$.
इसी प्रकार,$R$ के लिए,$bx = -ay$ के साथ हल करने पर:
$x = a(\sec \theta - \tan \theta)$ और $y = -b(\sec \theta - \tan \theta)$।
$CR^2 = (a^2+b^2)(\sec \theta - \tan \theta)^2$.
$CQ \cdot CR = (a^2+b^2)|\sec^2 \theta - \tan^2 \theta| = a^2+b^2$.

(B) माना जीवा का मध्य बिंदु $(h, k)$ है।
वृत्त $x^2+y^2=16$ की जीवा का समीकरण जिसका मध्य बिंदु $(h, k)$ है,$T=S_1$ द्वारा दिया जाता है,जो $xh+yk = h^2+k^2$ है।
यह जीवा अतिपरवलय $9x^2-16y^2=144$ की स्पर्श रेखा है,जिसे $\frac{x^2}{16} - \frac{y^2}{9} = 1$ के रूप में लिखा जा सकता है।
रेखा $lx+my=n$ के अतिपरवलय $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ की स्पर्श रेखा होने की शर्त $n^2 = a^2l^2 - b^2m^2$ है।
यहाँ,$l=h$,$m=k$,$n=h^2+k^2$,$a^2=16$,और $b^2=9$ है।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर,हमें $(h^2+k^2)^2 = 16h^2 - 9k^2$ प्राप्त होता है।
$(h, k)$ को $(x, y)$ से बदलने पर,बिंदुपथ $16x^2-9y^2 = (x^2+y^2)^2$ है।

(A) अनंतस्पर्शी $2x + 3y = 0$ और $3x + 2y = 0$ के समांतर अतिपरवलय का समीकरण $(2x + 3y + c_1)(3x + 2y + c_2) = k$ है।
चूंकि केंद्र $(1, 2)$ है,रेखाएं $(1, 2)$ से गुजरती हैं।
पहली रेखा के लिए: $2(1) + 3(2) + c_1 = 0 \implies c_1 = -8$.
दूसरी रेखा के लिए: $3(1) + 2(2) + c_2 = 0 \implies c_2 = -7$.
अतः समीकरण $(2x + 3y - 8)(3x + 2y - 7) = k$ है।
बिंदु $(5, 3)$ रखने पर:
$(2(5) + 3(3) - 8)(3(5) + 2(3) - 7) = k$
$(11)(14) = k \implies k = 154$.
अतः समीकरण $(2x + 3y - 8)(3x + 2y - 7) = 154$ है।

(D) अभिलंब का दिया गया समीकरण $lx + my = 1$ है,जिसे $y = -(\frac{l}{m})x + \frac{1}{m}$ के रूप में लिखा जा सकता है।
इसे $y = Mx + C$ के साथ तुलना करने पर,हमें $M = -\frac{l}{m}$ और $C = \frac{1}{m}$ प्राप्त होता है।
अतिपरवलय $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ के लिए रेखा $y = Mx + C$ के अभिलंब होने की शर्त $C^2 = \frac{M^2(a^2 + b^2)^2}{a^2 M^2 - b^2}$ है।
$M$ और $C$ के मान प्रतिस्थापित करने पर:
$(\frac{1}{m})^2 = \frac{(-\frac{l}{m})^2(a^2 + b^2)^2}{a^2(-\frac{l}{m})^2 - b^2}$
$\frac{1}{m^2} = \frac{\frac{l^2}{m^2}(a^2 + b^2)^2}{\frac{a^2 l^2 - b^2 m^2}{m^2}}$
$\frac{1}{m^2} = \frac{l^2(a^2 + b^2)^2}{a^2 l^2 - b^2 m^2}$
$a^2 l^2 - b^2 m^2 = l^2 m^2(a^2 + b^2)^2$.

(C) अतिपरवलय $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ के लिए,अनंतस्पर्शी $\frac{x}{a} - \frac{y}{b} = 0$ और $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 0$ होते हैं।
यहाँ,$a^2 = 9$ और $b^2 = 4$,इसलिए $a = 3$ और $b = 2$ है।
अनंतस्पर्शी $2x - 3y = 0$ और $2x + 3y = 0$ हैं।
माना $P(x_0, y_0)$ अतिपरवलय पर कोई बिंदु है,अतः $\frac{x_0^2}{9} - \frac{y_0^2}{4} = 1$ है।
$P$ से $2x - 3y = 0$ की लंबवत दूरी $d_1 = \frac{|2x_0 - 3y_0|}{\sqrt{13}}$ है।
$P$ से $2x + 3y = 0$ की लंबवत दूरी $d_2 = \frac{|2x_0 + 3y_0|}{\sqrt{13}}$ है।
उनका गुणनफल $d_1 d_2 = \frac{|4x_0^2 - 9y_0^2|}{13} = \frac{36}{13}$ है।

(C) सबसे पहले,$l$ का मान ज्ञात करें:
$\lim _{x \rightarrow 0} \frac{e^{2 x}-1}{5 x} = \frac{1}{5} \lim _{x \rightarrow 0} \frac{e^{2 x}-1}{x} = \frac{1}{5} \times 2 = \frac{2}{5}$.
अतः,$l = \frac{2}{5}$.
फिर,$5l = 5 \times \frac{2}{5} = 2$.
अब,$m$ का मान ज्ञात करें:
$\lim _{x \rightarrow 1} \frac{2 \log x}{x-1}$.
मान लीजिए $x = 1+h$,जैसे $x \rightarrow 1, h \rightarrow 0$.
$\lim _{h \rightarrow 0} \frac{2 \log(1+h)}{h} = 2(1) = 2$.
अतः,$m = 2$.
त्रिघात समीकरण के मूल $2, 2$ और $1$ हैं।
समीकरण $(x-2)(x-2)(x-1) = 0$ है।
$(x^2-4x+4)(x-1) = 0$.
$x^3 - x^2 - 4x^2 + 4x + 4x - 4 = 0$.
$x^3 - 5x^2 + 8x - 4 = 0$.

(D) दिया गया सीमा $L = \lim _{x \rightarrow 9} \frac{\sqrt{f(x)}-3}{\sqrt{x}-3}$ है।
चूंकि $f(9)=9$,व्यंजक $\frac{\sqrt{9}-3}{\sqrt{9}-3} = \frac{0}{0}$ का रूप लेता है,जो एक अनिर्धार्य रूप है।
एल-हॉस्पिटल नियम का उपयोग करते हुए,अंश और हर का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$L = \lim _{x \rightarrow 9} \frac{\frac{f'(x)}{2\sqrt{f(x)}}}{\frac{1}{2\sqrt{x}}}$
$L = \lim _{x \rightarrow 9} \frac{f'(x) \cdot \sqrt{x}}{\sqrt{f(x)}}$
$x=9$ प्रतिस्थापित करने पर:
$L = \frac{f'(9) \cdot \sqrt{9}}{\sqrt{f(9)}} = \frac{4 \cdot 3}{\sqrt{9}} = \frac{12}{3} = 4$.

(B) दिया है $\Delta(x) = \begin{vmatrix} e^x & -1 \\ \sin x - 1 & 1 \end{vmatrix}$.
सारणिक का विस्तार करने पर,हमें प्राप्त होता है $\Delta(x) = (e^x)(1) - (-1)(\sin x - 1)$.
$\Delta(x) = e^x + \sin x - 1$.
अब,हमें $\lim_{x \rightarrow 0} \frac{\Delta(x)}{x} = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{e^x + \sin x - 1}{x}$ का मान ज्ञात करना है।
यह $\frac{0}{0}$ रूप है,इसलिए हम मानक सीमाओं का उपयोग करते हैं।
मानक सीमाओं का उपयोग करने पर: $\lim_{x \rightarrow 0} \left( \frac{e^x - 1}{x} + \frac{\sin x}{x} \right)$.
$= 1 + 1 = 2$.

(A) दिया गया द्विघात समीकरण $ax^2+bx+c=0$ है जिसके मूल $\alpha$ और $\beta$ हैं,हम $ax^2+bx+c = a(x-\alpha)(x-\beta)$ लिख सकते हैं।
माना $f(x) = ax^2+bx+c$ है। जैसे $x \rightarrow \alpha$,$f(x) \rightarrow 0$ होता है।
सीमा सूत्र $\lim_{\theta \rightarrow 0} \frac{1-\cos \theta}{\theta^2} = \frac{1}{2}$ का उपयोग करते हुए,हमारे पास है:
$\lim_{x \rightarrow \alpha} \frac{1-\cos(a(x-\alpha)(x-\beta))}{(x-\alpha)^2} = \lim_{x \rightarrow \alpha} \frac{1-\cos(a(x-\alpha)(x-\beta))}{(a(x-\alpha)(x-\beta))^2} \times \frac{a^2(x-\alpha)^2(x-\beta)^2}{(x-\alpha)^2}$
$= \frac{1}{2} \times \lim_{x \rightarrow \alpha} a^2(x-\beta)^2$
$= \frac{1}{2} a^2(\alpha-\beta)^2$.

(D) माना $l = \lim _{x \rightarrow 0} \frac{(1-\cos 2 x)(3+\cos x)}{x \tan 4 x}$ है।
सर्वसमिका $1 - \cos 2x = 2 \sin^2 x$ का उपयोग करने पर:
$l = \lim _{x \rightarrow 0} \frac{2 \sin^2 x (3 + \cos x)}{x \tan 4x}$ प्राप्त होता है।
मानक सीमाओं $\lim_{u \rightarrow 0} \frac{\sin u}{u} = 1$ और $\lim_{u \rightarrow 0} \frac{\tan u}{u} = 1$ का उपयोग करने के लिए पदों को व्यवस्थित करने पर:
$l = 2 \cdot \lim _{x \rightarrow 0} \left( \frac{\sin x}{x} \right)^2 \cdot \frac{x}{\tan 4x} \cdot (3 + \cos x)$।
टैंजेंट के तर्क (argument) से मेल खाने के लिए $4$ से गुणा और भाग करने पर:
$l = 2 \cdot \lim _{x}$ ${\rightarrow 0} \left( \frac{\sin x}{x} \right)^2 \cdot \frac{4x}{\tan 4x} \cdot \frac{1}{4} \cdot (3 + \cos x)$।
$x \rightarrow 0$ पर सीमा का मान रखने पर:
$l = 2 \cdot (1)^2 \cdot (1) \cdot \frac{1}{4} \cdot (3 + \cos 0) = 2 \cdot 1 \cdot \frac{1}{4} \cdot 4 = 2$।

(A) विचरण गुणांक $(CV)$ को $CV = \frac{\sigma}{\bar{x}} \times 100$ के रूप में परिभाषित किया गया है,जहाँ $\sigma$ मानक विचलन है और $\bar{x}$ समांतर माध्य है।
प्रथम बंटन के लिए: $60 = \frac{21}{\bar{x}_1} \times 100 \implies \bar{x}_1 = \frac{2100}{60} = 35$.
द्वितीय बंटन के लिए: $70 = \frac{16}{\bar{x}_2} \times 100 \implies \bar{x}_2 = \frac{1600}{70} \approx 22.857$.
अतः,समांतर माध्य $35$ और लगभग $22.85$ हैं।

(A) समांतर माध्य $\frac{a + b + 8 + 5 + 10}{5} = 6$ है।
$a + b + 23 = 30$,इसलिए $a + b = 7$ है।
प्रसरण $\frac{\sum x_i^2}{n} - (\text{माध्य})^2 = 6.8$ है।
$\frac{a^2 + b^2 + 64 + 25 + 100}{5} - 36 = 6.8$.
$\frac{a^2 + b^2 + 189}{5} = 42.8$.
$a^2 + b^2 + 189 = 214$,इसलिए $a^2 + b^2 = 25$ है।
चूंकि $a + b = 7$,इसलिए $b = 7 - a$ है।
दूसरे समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $a^2 + (7 - a)^2 = 25$.
$a^2 + 49 - 14a + a^2 = 25$.
$2a^2 - 14a + 24 = 0$.
$a^2 - 7a + 12 = 0$.
$(a - 3)(a - 4) = 0$.
अतः,$a = 3$ या $a = 4$ है।
यदि $a = 3$,तो $b = 4$ है। यदि $a = 4$,तो $b = 3$ है।
क्रमित युग्म $(a, b)$ का मान $(3, 4)$ या $(4, 3)$ हो सकता है।
विकल्पों की तुलना करने पर,$(3, 4)$ सही उत्तर है।

(A) $1$. प्रत्येक वर्ग अंतराल के मध्य-बिंदु $(x_i)$ ज्ञात करें: $5, 15, 25, 35$.
$2$. माध्य $(\bar{x})$ ज्ञात करें: $\bar{x} = \frac{\sum f_i x_i}{\sum f_i} = \frac{(1 \times 5) + (3 \times 15) + (4 \times 25) + (2 \times 35)}{10} = 22$.
$3$. प्रसरण $(\sigma^2)$ ज्ञात करें: $\sigma^2 = \frac{\sum f_i(x_i - \bar{x})^2}{\sum f_i} = \frac{810}{10} = 81$.
$4$. मानक विचलन $(\sigma)$ = $\sqrt{81} = 9$.

(D) दी गई संख्याएँ $a, a+d, a+2d, \ldots, a+2nd$ हैं। यह $N = 2n+1$ पदों वाली एक समांतर श्रेणी है।
माध्य $\bar{x}$ मध्य पद है: $\bar{x} = a + nd$।
माध्य से माध्य विचलन $MD = \frac{1}{N} \sum_{i=0}^{2n} |x_i - \bar{x}|$ द्वारा दिया जाता है।
$MD = \frac{1}{2n+1} \sum_{k=0}^{2n} |(a+kd) - (a+nd)| = \frac{1}{2n+1} \sum_{k=0}^{2n} |k-n||d|$।
मान लीजिए $j = k-n$। जैसे-जैसे $k$,$0$ से $2n$ तक जाता है,$j$,$-n$ से $n$ तक जाता है।
$MD = \frac{|d|}{2n+1} \sum_{j=-n}^{n} |j| = \frac{|d|}{2n+1} \left( 2 \sum_{j=1}^{n} j \right) = \frac{|d|}{2n+1} \cdot 2 \cdot \frac{n(n+1)}{2} = \frac{n(n+1)|d|}{2n+1}$।

(D) $3$ के प्रथम दस गुणज $3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30$ हैं।
यह एक समांतर श्रेणी है जिसमें $n = 10$ पद हैं,जहाँ प्रथम पद $a = 3$ और सार्व अंतर $d = 3$ है।
सार्व अंतर $d$ वाली समांतर श्रेणी के प्रथम $n$ पदों का प्रसरण ज्ञात करने का सूत्र $\sigma^2 = \frac{(n^2 - 1)d^2}{12}$ है।
मान $n = 10$ और $d = 3$ रखने पर:
$\sigma^2 = \frac{(10^2 - 1) \times 3^2}{12}$
$\sigma^2 = \frac{(100 - 1) \times 9}{12}$
$\sigma^2 = \frac{99 \times 9}{12} = \frac{891}{12} = 74.25$.
अतः,प्रसरण $74.25$ है।

(B) प्रेक्षण $x_K = 1 + K\alpha$ हैं,जहाँ $K = 0, 1, 2, \ldots, 100$ है।
कुल $n = 101$ प्रेक्षण हैं।
माध्य $\bar{x} = \frac{1}{101} \sum_{K=0}^{100} (1 + K\alpha) = 1 + 50\alpha$ है।
माध्य से माध्य विचलन $\frac{1}{101} \sum_{K=0}^{100} |K - 50| \alpha = 255$ है।
यहाँ $\sum_{K=0}^{100} |K - 50| = 2550$ है।
अतः,$\frac{\alpha \times 2550}{101} = 255$ है।
इस प्रकार,$\alpha = \frac{255 \times 101}{2550} = 10.1$ है।

(C) प्रसरण की गणना करने के लिए,हम कल्पित माध्य विधि का उपयोग करते हैं जहाँ $a = 18$ है।
गणना इस प्रकार है:

$x_i$	$f_i$	$d_i = x_i - 18$	$f_i d_i$	$f_i d_i^2$
$6$	$2$	$-12$	$-24$	$288$
$10$	$4$	$-8$	$-32$	$256$
$14$	$7$	$-4$	$-28$	$112$
$18$	$12$	$0$	$0$	$0$
$24$	$8$	$6$	$48$	$288$
$28$	$4$	$10$	$40$	$400$
$30$	$3$	$12$	$36$	$432$
कुल	$N = 40$	-	$\sum f_i d_i = 40$	$\sum f_i d_i^2 = 1776$

प्रसरण का सूत्र $\sigma^2 = \frac{\sum f_i d_i^2}{N} - \left(\frac{\sum f_i d_i}{N}\right)^2$ है।
मान रखने पर:
$\sigma^2 = \frac{1776}{40} - \left(\frac{40}{40}\right)^2$
$\sigma^2 = 44.4 - (1)^2$
$\sigma^2 = 44.4 - 1 = 43.4$.

(A) दिए गए प्रेक्षण $\{k \alpha\}$ हैं,जहाँ $k=1, 2, \ldots, 50$ है।
ये $\{\alpha, 2 \alpha, 3 \alpha, \ldots, 50 \alpha\}$ हैं।
चूँकि प्रेक्षणों की संख्या $n=50$ सम है,माध्यिका $M$,$25$ वें और $26$ वें पद का औसत होगी:
$M = \frac{25 \alpha + 26 \alpha}{2} = 25.5 \alpha$.
माध्यिका के सापेक्ष माध्य विचलन $\frac{1}{n} \sum_{k=1}^{50} |k \alpha - M| = 50$ है।
$M = 25.5 \alpha$ रखने पर:
$\frac{1}{50} \sum_{k=1}^{50} |k \alpha - 25.5 \alpha| = 50$.
$|\alpha| \sum_{k=1}^{50} |k - 25.5| = 2500$.
योग $\sum_{k=1}^{50} |k - 25.5| = |1-25.5| + |2-25.5| + \ldots + |50-25.5|$ है।
यह $2 \times (24.5 + 23.5 + \ldots + 0.5) = 2 \times \frac{25}{2} (24.5 + 0.5) = 25 \times 25 = 625$ है।
अतः,$|\alpha| \times 625 = 2500$.
$|\alpha| = \frac{2500}{625} = 4$.

(C) विचरण गुणांक $(CV)$ ज्ञात करने के लिए,हम सूत्र का उपयोग करते हैं: $CV = \frac{\sigma}{\bar{x}} \times 100$,जहाँ $\sigma$ मानक विचलन है और $\bar{x}$ माध्य है।
सबसे पहले,माध्य $(\bar{x})$ की गणना करें:
मध्य बिंदु $(x_i)$: $35, 45, 55, 65, 75, 85$
आवृत्तियाँ $(f_i)$: $17, 28, 21, 15, 13, 6$
कुल आवृत्ति $(N = \sum f_i)$ = $100$
$(f_i x_i)$ का योग: $5470$
माध्य $(\bar{x})$ = $\frac{5470}{100} = 54.7$
दिया गया मानक विचलन $(\sigma)$ = $14.72$
$CV = \frac{14.72}{54.7} \times 100 \approx 26.91$
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(D) सबसे पहले,दी गई संख्याओं को आरोही क्रम में व्यवस्थित करें: $2, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 20$।
चूंकि अवलोकनों की संख्या $n = 10$ (जो सम है),माध्यिका $5$ वें और $6$ वें अवलोकनों का औसत होगी।
माध्यिका $M = \frac{9 + 11}{2} = \frac{20}{2} = 10$।
अब,माध्यिका से निरपेक्ष विचलन $|x_i - M|$ की गणना करें:
$|2 - 10| = 8, |3 - 10| = 7, |5 - 10| = 5, |7 - 10| = 3, |9 - 10| = 1, |11 - 10| = 1, |13 - 10| = 3, |15 - 10| = 5, |17 - 10| = 7, |20 - 10| = 10$।
इन निरपेक्ष विचलनों का योग $8 + 7 + 5 + 3 + 1 + 1 + 3 + 5 + 7 + 10 = 50$ है।
माध्यिका के सापेक्ष माध्य विचलन $\frac{1}{n} \sum |x_i - M| = \frac{50}{10} = 5$ है।

(D) दिया गया है $x = \log_e \left[ \cot \left( \frac{\pi}{4} + \theta \right) \right]$.
परिभाषा के अनुसार,$\sinh x = \frac{e^x - e^{-x}}{2}$.
यहाँ,$e^x = \cot \left( \frac{\pi}{4} + \theta \right) = \frac{1 - \tan \theta}{1 + \tan \theta}$.
तब $e^{-x} = \tan \left( \frac{\pi}{4} + \theta \right) = \frac{1 + \tan \theta}{1 - \tan \theta}$.
$\sinh x$ के सूत्र में इन मानों को रखने पर:
$\sinh x = \frac{1}{2} \left( \frac{1 - \tan \theta}{1 + \tan \theta} - \frac{1 + \tan \theta}{1 - \tan \theta} \right) = -\tan 2\theta$.

(A) कोणों का अनुपात $A: B: C = 5: 1: 6$ दिया गया है। माना कोण $5k, k, 6k$ हैं। त्रिभुज के कोणों का योग $180^{\circ}$ होता है,इसलिए $5k + k + 6k = 180^{\circ}$,जिससे $12k = 180^{\circ}$,अर्थात $k = 15^{\circ}$ प्राप्त होता है।
अतः,$A = 75^{\circ}$,$B = 15^{\circ}$,और $C = 90^{\circ}$ हैं।
ज्या नियम (Sine Rule) के अनुसार,$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}$.
इसलिए,$a: b: c = \sin 75^{\circ}: \sin 15^{\circ}: \sin 90^{\circ}$.
हम जानते हैं कि $\sin 75^{\circ} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$ और $\sin 15^{\circ} = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$ तथा $\sin 90^{\circ} = 1$.
अतः,$a: b: c = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}: \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}: 1$.
$4$ से गुणा करने पर,$a: b: c = (\sqrt{6} + \sqrt{2}): (\sqrt{6} - \sqrt{2}): 4$.
$\sqrt{2}$ से भाग देने पर,$a: b: c = (\sqrt{3} + 1): (\sqrt{3} - 1): 2\sqrt{2}$.

(D) माना त्रिभुज की भुजाएँ $a$ और $b$ हैं। ये समीकरण $x^2-2 \sqrt{3} x+2=0$ के मूल हैं।
द्विघात समीकरण के गुणों से,$a+b = 2 \sqrt{3}$ और $ab = 2$ है।
तीसरी भुजा $c$ कोज्या नियम (Law of Cosines) द्वारा दी जाती है: $c^2 = a^2+b^2-2ab \cos(\frac{\pi}{3})$.
चूँकि $a^2+b^2 = (a+b)^2-2ab$,इसलिए $a^2+b^2 = (2 \sqrt{3})^2-2(2) = 12-4 = 8$ है।
अतः,$c^2 = 8-2(2)(\frac{1}{2}) = 8-2 = 6$,जिसका अर्थ है $c = \sqrt{6}$।
त्रिभुज का परिमाप $a+b+c = 2 \sqrt{3}+\sqrt{6}$ है।

(B) हमें व्यंजक $b \cos (C+\theta) + c \cos (B-\theta)$ दिया गया है।
$\cos(x \pm y) = \cos x \cos y \mp \sin x \sin y$ सर्वसमिका का उपयोग करके विस्तार करने पर:
$= b(\cos C \cos \theta - \sin C \sin \theta) + c(\cos B \cos \theta + \sin B \sin \theta)$
$= (b \cos C + c \cos B) \cos \theta - (b \sin C - c \sin B) \sin \theta$
प्रक्षेप सूत्र के अनुसार,$b \cos C + c \cos B = a$ है।
ज्या नियम (sine rule) के अनुसार,$\frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R$,जिसका अर्थ है कि $b \sin C = c \sin B$,इसलिए $b \sin C - c \sin B = 0$ है।
इन मानों को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$= a \cos \theta - 0 \cdot \sin \theta = a \cos \theta$.

(D) माना त्रिभुज की भुजाएँ $a, b, c$ हैं जहाँ $a = 80$ और कोण $B = 60^{\circ}$ है।
दिया गया है कि $b + c = 90$.
कोसाइन नियम का उपयोग करते हुए: $b^2 = a^2 + c^2 - 2ac \cos(B)$.
मान रखने पर: $b^2 = 80^2 + c^2 - 2(80)(c) \cos(60^{\circ})$.
चूँकि $\cos(60^{\circ}) = 0.5$,इसलिए $b^2 = 6400 + c^2 - 80c$.
समीकरण में $b = 90 - c$ रखने पर: $(90 - c)^2 = 6400 + c^2 - 80c$.
$8100 - 180c + c^2 = 6400 + c^2 - 80c$.
$1700 = 100c$.
$c = 17$.
अतः $b = 90 - 17 = 73$.
भुजाएँ $80, 73, 17$ हैं। सबसे छोटी भुजा $17$ है।

(B) दिया गया है $b \cos \theta = c - a$,अतः $\cos \theta = \frac{c - a}{b}$ है।
चूँकि $\theta$ एक न्यून कोण है,$\sin \theta = \sqrt{1 - \cos^2 \theta} = \frac{\sqrt{b^2 - (c - a)^2}}{b}$ होगा।
अतः,$\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta} = \frac{\sqrt{b^2 - (c - a)^2}}{c - a}$ है।
इसलिए,$(c - a) \tan \theta = \sqrt{b^2 - (c - a)^2} = \sqrt{b^2 - c^2 - a^2 + 2ac}$ होगा।
कोसाइन नियम $b^2 = a^2 + c^2 - 2ac \cos B$ का उपयोग करने पर,$b^2 - c^2 - a^2 = -2ac \cos B$ प्राप्त होता है।
अतः,$(c - a) \tan \theta = \sqrt{2ac - 2ac \cos B} = \sqrt{2ac(1 - \cos B)}$ होगा।
सर्वसमिका $1 - \cos B = 2 \sin^2 \frac{B}{2}$ का उपयोग करने पर:
$(c - a) \tan \theta = \sqrt{2ac \cdot 2 \sin^2 \frac{B}{2}} = \sqrt{4ac \sin^2 \frac{B}{2}} = 2 \sqrt{ca} \sin \frac{B}{2}$ प्राप्त होता है।

(A) दी गई भुजाएँ $a: b: c = 4: 5: 6$ हैं,मान लीजिए $a = 4k$,$b = 5k$,और $c = 6k$ जहाँ $k > 0$ एक स्थिरांक है।
कोसाइन नियम का उपयोग करते हुए:
$\cos A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc} = \frac{25 + 36 - 16}{60} = \frac{45}{60} = \frac{3}{4}$.
$\cos B = \frac{a^2 + c^2 - b^2}{2ac} = \frac{16 + 36 - 25}{48} = \frac{27}{48} = \frac{9}{16}$.
$\cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab} = \frac{16 + 25 - 36}{40} = \frac{5}{40} = \frac{1}{8}$.
अब,अनुपात $\cos A : \cos B : \cos C = \frac{3}{4} : \frac{9}{16} : \frac{1}{8}$ ज्ञात कीजिए।
हरों के लघुत्तम समापवर्त्य $16$ से गुणा करने पर:
$\cos A : \cos B : \cos C = 12 : 9 : 2$.

(A) दिया गया है कि $\angle C = 90^{\circ}$,इसलिए $A + B = 90^{\circ}$,जिसका अर्थ है $B = 90^{\circ} - A$.
इसे प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\sin B = \sin(90^{\circ} - A) = \cos A$ प्राप्त होता है।
अतः,$\sin^2 B = \cos^2 A$.
व्यंजक $\frac{\sin^2 A + \cos^2 A}{\sin^2 A - \cos^2 A} \sin(A - (90^{\circ} - A))$ बन जाता है।
चूंकि $\sin^2 A + \cos^2 A = 1$ और $\sin^2 A - \cos^2 A = -\cos(2A)$,व्यंजक $\frac{1}{-\cos(2A)} \sin(2A - 90^{\circ})$ है।
$\sin(2A - 90^{\circ}) = -\cos(2A)$ का उपयोग करने पर,व्यंजक $\frac{1}{-\cos(2A)} \times (-\cos(2A)) = 1$ में सरल हो जाता है।

(B) टैंजेंट के नियम का उपयोग करते हुए: $\frac{a-b}{a+b} = \frac{\tan(\frac{A-B}{2})}{\tan(\frac{A+B}{2})}$.
दिया गया है $a = 2b$,तो $\frac{2b-b}{2b+b} = \frac{b}{3b} = \frac{1}{3}$.
साथ ही,$|A-B| = \frac{\pi}{3}$,इसलिए $\frac{A-B}{2} = \frac{\pi}{6}$.
अतः,$\frac{1}{3} = \frac{\tan(\pi/6)}{\tan((A+B)/2)} = \frac{1/\sqrt{3}}{\tan((A+B)/2)}$.
इसका तात्पर्य है $\tan(\frac{A+B}{2}) = \sqrt{3}$.
इसलिए,$\frac{A+B}{2} = \frac{\pi}{3}$,जिसका अर्थ है $A+B = \frac{2\pi}{3}$.
चूंकि $A+B+C = \pi$,इसलिए $C = \pi - (A+B) = \pi - \frac{2\pi}{3} = \frac{\pi}{3}$.

(A) नेपियर सादृश्य (Napier's Analogy) का उपयोग करते हुए,हमारे पास $\tan \left(\frac{A-B}{2}\right) = \frac{a-b}{a+b} \cot \left(\frac{C}{2}\right)$ है।
दिया गया है $\tan \left(\frac{A-B}{2}\right) = \frac{1}{3} \tan \left(\frac{A+B}{2}\right)$।
चूंकि $A+B+C = 180^{\circ}$,हमारे पास $\frac{A+B}{2} = 90^{\circ} - \frac{C}{2}$ है,इसलिए $\tan \left(\frac{A+B}{2}\right) = \cot \left(\frac{C}{2}\right)$।
इसे दिए गए समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{a-b}{a+b} \cot \left(\frac{C}{2}\right) = \frac{1}{3} \cot \left(\frac{C}{2}\right)$।
यह मानते हुए कि $\cot \left(\frac{C}{2}\right) \neq 0$,हमें $\frac{a-b}{a+b} = \frac{1}{3}$ प्राप्त होता है।
वज्र-गुणन करने पर $3(a-b) = a+b$,जो $3a - 3b = a + b$ में सरल होता है।
पदों को व्यवस्थित करने पर $2a = 4b$,या $\frac{a}{b} = \frac{4}{2} = 2$ प्राप्त होता है।
अतः,$a : b = 2 : 1$।

(B) हम जानते हैं कि $\cos^2 \frac{A}{2} = \frac{s(s-a)}{bc}$ होता है।
इस मान को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$a \cdot \frac{s(s-a)}{bc} + b \cdot \frac{s(s-b)}{ac} + c \cdot \frac{s(s-c)}{ab}$
$= \frac{s}{abc} [a^2(s-a) + b^2(s-b) + c^2(s-c)]$
$= \frac{s}{abc} [s(a^2+b^2+c^2) - (a^3+b^3+c^3)]$
सर्वसमिका $a^3+b^3+c^3 - 3abc = (a+b+c)(a^2+b^2+c^2 - ab - bc - ca)$ और $s = \frac{a+b+c}{2}$ का उपयोग करके,हम व्यंजक को $s + \frac{\Delta}{R}$ के रूप में सरल करते हैं।

(D) दिक्-कोसाइन $l, m, n$ के लिए दिए गए समीकरण:
$l+m+n=0 \implies n = -(l+m)$
$n$ का मान $l^2-5m^2+n^2=0$ में रखने पर:
$l^2-5m^2+(-l-m)^2=0$
$l^2-5m^2+l^2+2lm+m^2=0$
$2l^2+2lm-4m^2=0$
$l^2+lm-2m^2=0$
$(l+2m)(l-m)=0$
स्थिति $1$: $l=m$. तब $n = -(l+m) = -2l$. दिक्-अनुपात $(l, l, -2l)$ अर्थात $(1, 1, -2)$ प्राप्त होते हैं।
मानकीकृत दिक्-कोसाइन $(l_1, m_1, n_1) = (\frac{1}{\sqrt{6}}, \frac{1}{\sqrt{6}}, -\frac{2}{\sqrt{6}})$.
स्थिति $2$: $l=-2m$. तब $n = -(-2m+m) = m$. दिक्-अनुपात $(-2m, m, m)$ अर्थात $(-2, 1, 1)$ प्राप्त होते हैं।
मानकीकृत दिक्-कोसाइन $(l_2, m_2, n_2) = (-\frac{2}{\sqrt{6}}, \frac{1}{\sqrt{6}}, \frac{1}{\sqrt{6}})$.
कोण $\theta$ का कोसाइन $\cos \theta = |l_1 l_2 + m_1 m_2 + n_1 n_2|$ द्वारा प्राप्त होता है।
$\cos \theta = |(\frac{1}{\sqrt{6}})(-\frac{2}{\sqrt{6}}) + (\frac{1}{\sqrt{6}})(\frac{1}{\sqrt{6}}) + (-\frac{2}{\sqrt{6}})(\frac{1}{\sqrt{6}})|$
$\cos \theta = |-\frac{2}{6} + \frac{1}{6} - \frac{2}{6}| = |-\frac{3}{6}| = \frac{1}{2}$.
अतः,$\theta = \frac{\pi}{3}$.

(C) दिए गए समीकरण $l+m+n=0$ और $l^2+m^2-n^2=0$ हैं।
पहले समीकरण से,$l = -(m+n)$।
इसे दूसरे समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $(-m-n)^2 + m^2 - n^2 = 0$।
$m^2 + 2mn + n^2 + m^2 - n^2 = 0$।
$2m^2 + 2mn = 0 \Rightarrow 2m(m+n) = 0$।
इससे दो स्थितियाँ प्राप्त होती हैं:
स्थिति $1$: $m=0$। तब $l = -n$। दिक् अनुपात $(-1, 0, 1)$ हैं।
स्थिति $2$: $m = -n$। तब $l = 0$। दिक् अनुपात $(0, -1, 1)$ हैं।
मान लीजिए कि दो रेखाएँ सदिशों $\vec{a} = -\hat{i} + \hat{k}$ और $\vec{b} = -\hat{j} + \hat{k}$ द्वारा निरूपित हैं।
उनके बीच का कोण $\theta$,$\cos \theta = \frac{|\vec{a} \cdot \vec{b}|}{|\vec{a}| |\vec{b}|}$ द्वारा दिया जाता है।
$\vec{a} \cdot \vec{b} = (-1)(0) + (0)(-1) + (1)(1) = 1$।
$|\vec{a}| = \sqrt{(-1)^2 + 0^2 + 1^2} = \sqrt{2}$।
$|\vec{b}| = \sqrt{0^2 + (-1)^2 + 1^2} = \sqrt{2}$।
$\cos \theta = \frac{1}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{1}{2}$।
अतः,$\theta = \frac{\pi}{3}$।