WBJEE 2009 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(C) $20$ માંથી $3$ સંખ્યાઓ પસંદ કરવાની કુલ રીતો $C(20, 3) = \frac{20 \times 19 \times 18}{3 \times 2 \times 1} = 1140$ છે.
ક્રમિક ત્રિપુટીઓ $(1, 2, 3), (2, 3, 4), \dots, (18, 19, 20)$ છે.
આવી કુલ $18$ ત્રિપુટીઓ મળે.
તેથી સંભાવના $\frac{18}{1140} = \frac{3}{190}$ થાય.

(A) આપેલ પ્રાચલ સમીકરણો $x=5t^2+2$ અને $y=10t+4$ છે.
બીજા સમીકરણ પરથી,$t = \frac{y-4}{10}$.
$t$ ની કિંમત પ્રથમ સમીકરણમાં મૂકતા:
$x-2 = 5\left(\frac{y-4}{10}\right)^2 = 5\left(\frac{(y-4)^2}{100}\right) = \frac{(y-4)^2}{20}$.
આમ,$(y-4)^2 = 20(x-2)$.
આને પ્રમાણિત સ્વરૂપ $(y-k)^2 = 4a(x-h)$ સાથે સરખાવતા,$h=2, k=4$ અને $4a=20$ મળે,તેથી $a=5$.
પરવલય $(y-k)^2 = 4a(x-h)$ ની નાભિ $(h+a, k)$ દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા,નાભિ $(2+5, 4) = (7,4)$ મળે છે.

(C) ગુણધર્મ $\frac{1}{\log _{a} b} = \log _{b} a$ નો ઉપયોગ કરીને,આપણે પદાવલિને આ રીતે લખી શકીએ:
$\log _{12} 3 + \log _{12} 4$
લઘુગણકનો ગુણધર્મ $\log _{b} x + \log _{b} y = \log _{b} (xy)$ લાગુ પાડતા:
$\log _{12} (3 \times 4) = \log _{12} 12$
કારણ કે $\log _{b} b = 1$,તેથી કિંમત $1$ છે.

(B) આપેલ છે કે $x = \log_a (bc)$,$y = \log_b (ca)$,અને $z = \log_c (ab)$.
દરેક પદમાં $1$ ઉમેરતા:
$1+x = 1 + \log_a (bc) = \log_a a + \log_a (bc) = \log_a (abc)$.
તે જ રીતે,$1+y = \log_b (abc)$ અને $1+z = \log_c (abc)$.
હવે,વ્યસ્ત લેતા:
$\frac{1}{1+x} = \frac{1}{\log_a (abc)} = \log_{abc} a$.
$\frac{1}{1+y} = \frac{1}{\log_b (abc)} = \log_{abc} b$.
$\frac{1}{1+z} = \frac{1}{\log_c (abc)} = \log_{abc} c$.
આ પદોનો સરવાળો કરતા:
$\frac{1}{1+x} + \frac{1}{1+y} + \frac{1}{1+z} = \log_{abc} a + \log_{abc} b + \log_{abc} c = \log_{abc} (abc) = 1$.

(C) આપેલ દ્વિઘાત સમીકરણ $x^2 - a(x-1) + b = 0$ છે,જેનું સાદું રૂપ $x^2 - ax + a + b = 0$ થાય છે.
$\alpha$ અને $\beta$ બીજ હોવાથી:
$\alpha^2 - a\alpha = -(a+b)$
$\beta^2 - a\beta = -(a+b)$
આ કિંમતો પદાવલિમાં મૂકતા:
$\frac{1}{-(a+b)} + \frac{1}{-(a+b)} + \frac{2}{a+b} = -\frac{2}{a+b} + \frac{2}{a+b} = 0$.

(B) ધારો કે $|x-2| = y$. કારણ કે $|x-2| \ge 0$,તેથી $y \ge 0$ હોવું જોઈએ.
સમીકરણમાં કિંમત મૂકતા,આપણને $y^2 + y - 2 = 0$ મળે છે.
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા: $(y+2)(y-1) = 0$.
આથી $y = -2$ અથવા $y = 1$ મળે.
$y \ge 0$ હોવાથી,આપણે $y = -2$ ને અવગણીશું. તેથી,$y = 1$.
હવે,$|x-2| = 1$ ઉકેલતા:
$x-2 = 1$ અથવા $x-2 = -1$.
$x = 3$ અથવા $x = 1$.
વાસ્તવિક બીજ $3$ અને $1$ છે.
બીજનો સરવાળો $3 + 1 = 4$ થાય.

(A) ધારો કે આપેલ સમીકરણ $3ax^2+3bx+c=0$ ના બીજ $\alpha$ અને $\beta$ છે.
તેથી,$3a\alpha^2+3b\alpha+c=0$.
આપણે એવું સમીકરણ શોધવા માંગીએ છીએ જેના બીજ $3\alpha$ અને $3\beta$ હોય. ધારો કે $x = 3\alpha$,જેનો અર્થ છે કે $\alpha = \frac{x}{3}$.
મૂળ સમીકરણમાં $\alpha = \frac{x}{3}$ મૂકતા:
$3a(\frac{x}{3})^2 + 3b(\frac{x}{3}) + c = 0$
$3a(\frac{x^2}{9}) + bx + c = 0$
$\frac{ax^2}{3} + bx + c = 0$
આખા સમીકરણને $3$ વડે ગુણતા,આપણને મળે છે:
$ax^2 + 3bx + 3c = 0$.

(C) આપેલ સમીકરણનું વિસ્તરણ કરતા:
$(x^2 - (b+c)x + bc) + (x^2 - (a+c)x + ac) + (x^2 - (a+b)x + ab) = 0$
$3x^2 - 2(a+b+c)x + (ab+bc+ca) = 0$
આ દ્વિઘાત સમીકરણનો વિવેચક $D$ નીચે મુજબ છે:
$D = [-2(a+b+c)]^2 - 4(3)(ab+bc+ca)$
$D = 4(a+b+c)^2 - 12(ab+bc+ca)$
$D = 4(a^2+b^2+c^2 + 2ab+2bc+2ca - 3ab-3bc-3ca)$
$D = 4(a^2+b^2+c^2 - ab-bc-ca)$
$D = 2[(a-b)^2 + (b-c)^2 + (c-a)^2]$
કારણ કે $a, b, c$ વાસ્તવિક છે,તેથી $(a-b)^2, (b-c)^2, (c-a)^2 \geq 0$.
તેથી,$D \geq 0$.
વિવેચક હંમેશા અ-ઋણ હોવાથી,બીજ હંમેશા વાસ્તવિક હોય છે.

(D) આપેલ પદાવલિ: $i^n + i^{n+1} + i^{n+2} + i^{n+3}$
$i^n$ સામાન્ય લેતા: $i^n(1 + i + i^2 + i^3)$
આપણે જાણીએ છીએ કે $i^2 = -1$ અને $i^3 = -i$.
આ કિંમતો મૂકતા: $i^n(1 + i - 1 - i)$
કૌંસમાં રહેલા પદોનું સાદુંરૂપ આપતા: $i^n(0) = 0$
આમ,$i$ ની કોઈપણ ચાર ક્રમિક ઘાતનો સરવાળો $0$ થાય છે.

(C) પ્રથમ,પદાવલિનું સાદું રૂપ આપો: $\frac{1-i}{3+i} + \frac{4i}{5} = \frac{5(1-i) + 4i(3+i)}{5(3+i)}$
$= \frac{5 - 5i + 12i + 4i^2}{5(3+i)}$
$i^2 = -1$ હોવાથી,$\frac{5 + 7i - 4}{15 + 5i} = \frac{1 + 7i}{15 + 5i}$
અંશ અને છેદને અનુબદ્ધ સંકર સંખ્યા $(15 - 5i)$ વડે ગુણતા:
$= \frac{(1 + 7i)(15 - 5i)}{(15 + 5i)(15 - 5i)} = \frac{15 - 5i + 105i - 35i^2}{225 + 25} = \frac{15 + 100i + 35}{250} = \frac{50 + 100i}{250} = \frac{1 + 2i}{5}$
હવે,માનાંક શોધો: $|\frac{1}{5} + \frac{2}{5}i| = \sqrt{(\frac{1}{5})^2 + (\frac{2}{5})^2} = \sqrt{\frac{1}{25} + \frac{4}{25}} = \sqrt{\frac{5}{25}} = \frac{\sqrt{5}}{5}$ એકમ.

(B) ત્રિકોણ અસમતા મુજબ,કોઈપણ સંકર સંખ્યાઓ $z_1$ અને $z_2$ માટે,$|z_1| + |z_2| \geq |z_1 - z_2|$ થાય છે.
ધારો કે $z_1 = z$ અને $z_2 = 1 - z$.
તેથી $|z| + |1 - z| \geq |z + (1 - z)| = |1| = 1$.
કારણ કે $|z - 1| = |1 - z|$,તેથી $|z| + |z - 1| \geq 1$.
ન્યૂનતમ કિંમત $1$ છે,જે ત્યારે મળે છે જ્યારે $z$ સંકર સમતલમાં $0$ અને $1$ ને જોડતા રેખાખંડ પર હોય.

(A) ધારો કે $r$ ક્રમિક પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓ $(n+1), (n+2), \dots, (n+r)$ છે.
તેમનો ગુણાકાર $P = (n+1)(n+2) \dots (n+r)$ છે.
આને આપણે આ રીતે લખી શકીએ:
$P = \frac{(n+r)!}{n!}$.
$r!$ વડે ગુણતા અને ભાગતા,આપણને મળે છે:
$P = \frac{(n+r)!}{n! r!} \times r! = \binom{n+r}{r} \times r!$.
જેમ કે $\binom{n+r}{r}$ એ $n+r$ વસ્તુઓમાંથી $r$ વસ્તુઓ પસંદ કરવાની રીતોની સંખ્યા છે,તે હંમેશા એક પૂર્ણાંક હોય છે.
તેથી,ગુણાકાર $P$ હંમેશા $r!$ વડે વિભાજ્ય છે.

(C) ધારો કે આપેલ શ્રેણી $S = 1 + \frac{1}{2!} + \frac{1 \cdot 3}{4!} + \frac{1 \cdot 3 \cdot 5}{6!} + \dots$ છે.
સામાન્ય પદ $T_n$ ($n \ge 1$ માટે) $T_n = \frac{1 \cdot 3 \cdot 5 \dots (2n-1)}{(2n)!}$ છે.
અંશને $\frac{(2n)!}{2^n n!}$ તરીકે લખી શકાય.
તેથી,$T_n = \frac{(2n)!}{2^n n! (2n)!} = \frac{1}{2^n n!}$.
શ્રેણી $S = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{2^n n!}$ છે,જ્યાં $n=0$ માટેનું પદ $1$ છે.
આ $e^x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}$ નું વિસ્તરણ છે,જ્યાં $x = \frac{1}{2}$ છે.
તેથી,$S = e^{1/2} = \sqrt{e}$.

(B) $n$ બાજુઓ ધરાવતા બહુકોણમાં વિકર્ણોની સંખ્યા $\frac{n(n-3)}{2}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે વિકર્ણોની સંખ્યા $44$ છે,તેથી:
$\frac{n(n-3)}{2} = 44$
$n(n-3) = 88$
$n^2 - 3n - 88 = 0$
$(n - 11)(n + 8) = 0$
બાજુઓની સંખ્યા $n$ ધન હોવી જોઈએ,તેથી $n = 11$.

(B) ધારો કે સમાંતર શ્રેણીમાં ત્રણ ધન વાસ્તવિક સંખ્યાઓ $(b-d)$,$b$,અને $(b+d)$ છે,જ્યાં $d$ સામાન્ય તફાવત છે.
આપેલ છે કે તેમનો ગુણાકાર $4$ છે,તેથી $(b-d)b(b+d) = 4$.
આનું સાદું રૂપ આપતા $b(b^2 - d^2) = 4$ મળે,જેનો અર્થ છે કે $b^3 - bd^2 = 4$.
પદોને ફરીથી ગોઠવતા,$b^3 = 4 + bd^2$ મળે.
કારણ કે $b$ અને $d^2$ ધન વાસ્તવિક સંખ્યાઓ છે,$bd^2 \geq 0$.
તેથી,$b^3 = 4 + bd^2 \geq 4$.
બંને બાજુ ઘનમૂળ લેતા,$b \geq 4^{1/3} = (2^2)^{1/3} = 2^{2/3}$ મળે.
આમ,$b$ ની ન્યૂનતમ શક્ય કિંમત $2^{2/3}$ છે.

(C) આપેલ છે કે $a, b, c$ એ $G$.$P$. માં છે,તેથી $b^2 = ac$.
બંને બાજુ આધાર $x$ સાથે લઘુગણક લેતા,આપણને $2 \log_x b = \log_x a + \log_x c$ મળે છે.
આ સૂચવે છે કે $\log_x a, \log_x b, \log_x c$ એ $A$.$P$. માં છે.
આધાર બદલવાના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$\log_a x = \frac{1}{\log_x a}$,$\log_b x = \frac{1}{\log_x b}$,અને $\log_c x = \frac{1}{\log_x c}$.
કારણ કે $\log_x a, \log_x b, \log_x c$ ના વ્યસ્ત $A$.$P$. માં છે,તેથી $\log_a x, \log_b x, \log_c x$ એ $H$.$P$. માં હોવા જોઈએ.

(B) અને $b$ નો સમાંતર મધ્યક $\frac{a+b}{2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે $\frac{a^{m+1}+b^{m+1}}{a^m+b^m} = \frac{a+b}{2}$.
ચોકડી ગુણાકાર કરતા,આપણને મળે છે:
$2(a^{m+1} + b^{m+1}) = (a+b)(a^m + b^m)$
$2a^{m+1} + 2b^{m+1} = a^{m+1} + ab^m + ba^m + b^{m+1}$
બંને બાજુથી $a^{m+1} + b^{m+1}$ બાદ કરતા:
$a^{m+1} + b^{m+1} = ab^m + ba^m$
$a^{m+1} - ba^m = ab^m - b^{m+1}$
$a^m(a - b) = b^m(a - b)$
જો $a \neq b$ હોય,તો આપણે $(a - b)$ વડે ભાગી શકીએ:
$a^m = b^m$
$\left(\frac{a}{b}\right)^m = 1$
કારણ કે $1 = (\frac{a}{b})^0$,તેથી $m = 0$.

(D) $(3+ax)^9$ ના વિસ્તરણમાં સામાન્ય પદ $T_{r+1} = {^9C_r} (3)^{9-r} (ax)^r = {^9C_r} (3)^{9-r} a^r x^r$ છે.
$x^2$ ના સહગુણક માટે,$r=2$ લેતા:
$x^2$ નો સહગુણક $= {^9C_2} (3)^7 a^2$.
$x^3$ ના સહગુણક માટે,$r=3$ લેતા:
$x^3$ નો સહગુણક $= {^9C_3} (3)^6 a^3$.
આ સહગુણકો સમાન હોવાથી:
${^9C_2} (3)^7 a^2 = {^9C_3} (3)^6 a^3$.
${^9C_2} = 36$ અને ${^9C_3} = 84$ મુકતા:
$36 \times 3^7 \times a^2 = 84 \times 3^6 \times a^3$.
બંને બાજુ $3^6 a^2$ વડે ભાગતા:
$36 \times 3 = 84 \times a$.
$108 = 84a$.
$a = \frac{108}{84} = \frac{9}{7}$.

(C) આપણે $(0.999)^3$ ને $(1 - 0.001)^3$ તરીકે લખી શકીએ છીએ.
દ્વિપદી પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,$(a - b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^{n-k} (-b)^k$.
$(1 - 0.001)^3$ માટે,આપણને મળે:
$(1 - 0.001)^3 = \binom{3}{0}(1)^3 - \binom{3}{1}(1)^2(0.001) + \binom{3}{2}(1)(0.001)^2 - \binom{3}{3}(0.001)^3$
$= 1 - 3(0.001) + 3(0.000001) - 0.000000001$
$= 1 - 0.003 + 0.000003 - 0.000000001$
$= 0.997 + 0.000002999$
$= 0.997002999$
$3$ દશાંશ સ્થળ સુધી રાઉન્ડ કરતા,આપણને $0.997$ મળે છે.

(A) આપણે જાણીએ છીએ કે $2^{3n} = (2^3)^n = 8^n$.
$8^n = (1+7)^n$ હોવાથી,આપણે દ્વિપદી પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીને વિસ્તરણ કરી શકીએ:
$(1+7)^n = 1 + {}^{n}C_1(7) + {}^{n}C_2(7^2) + \dots + {}^{n}C_n(7^n)$.
તેથી,$2^{3n} - 1 = (1 + {}^{n}C_1(7) + {}^{n}C_2(7^2) + \dots + {}^{n}C_n(7^n)) - 1$.
$2^{3n} - 1 = 7({}^{n}C_1 + {}^{n}C_2(7) + \dots + {}^{n}C_n(7^{n-1}))$.
આ પદ સ્પષ્ટપણે $7$ વડે વિભાજ્ય છે.

(A) દ્વિપદી વિસ્તરણ આ મુજબ છે: $(1+x)^n = c_0 + c_1x + c_2x^2 + \ldots + c_nx^n$.
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા: $n(1+x)^{n-1} = c_1 + 2c_2x + 3c_3x^2 + \ldots + nc_nx^{n-1}$.
સરવાળો $c_1 + 2c_2 + 3c_3 + \ldots + nc_n$ શોધવા માટે,વિકલિત સમીકરણમાં $x = 1$ મૂકતા:
$n(1+1)^{n-1} = c_1 + 2c_2(1) + 3c_3(1)^2 + \ldots + nc_n(1)^{n-1}$.
આથી,$n(2)^{n-1} = c_1 + 2c_2 + 3c_3 + \ldots + nc_n$.
તેથી,સાચો જવાબ $n \cdot 2^{n-1}$ છે.

(A) ધારો કે $S = 1 + 2x + 3x^2 + \ldots \infty$.
$x$ વડે ગુણતા,$xS = x + 2x^2 + 3x^3 + \ldots \infty$ મળે.
બંને સમીકરણોની બાદબાકી કરતા: $S(1-x) = 1 + x + x^2 + \ldots = \frac{1}{1-x}$.
તેથી,$S = \frac{1}{(1-x)^2} = (1-x)^{-2}$.
આપેલ પદાવલિ $(S)^{1/2} = ((1-x)^{-2})^{1/2} = (1-x)^{-1}$ છે.
દ્વિપદી પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીને $(1-x)^{-1} = 1 + x + x^2 + \ldots + x^n + \ldots$ મળે.
આમ,$x^n$ નો સહગુણક $1$ છે.

(A) આપેલ પદાવલિ: $(1+\cos \frac{\pi}{6})(1+\cos \frac{\pi}{3})(1+\cos \frac{2\pi}{3})(1+\cos \frac{7\pi}{6})$
ત્રિકોણમિતીય વિધેયોની કિંમતોનો ઉપયોગ કરતા:
$\cos \frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}$,$\cos \frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}$,$\cos \frac{2\pi}{3} = -\frac{1}{2}$,$\cos \frac{7\pi}{6} = -\frac{\sqrt{3}}{2}$
આ કિંમતો મૂકતા:
$= (1 + \frac{\sqrt{3}}{2})(1 + \frac{1}{2})(1 - \frac{1}{2})(1 - \frac{\sqrt{3}}{2})$
નિત્યસમ $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$ નો ઉપયોગ કરતા:
$= [(1 + \frac{\sqrt{3}}{2})(1 - \frac{\sqrt{3}}{2})] \times [(1 + \frac{1}{2})(1 - \frac{1}{2})]$
$= (1^2 - (\frac{\sqrt{3}}{2})^2) \times (1^2 - (\frac{1}{2})^2)$
$= (1 - \frac{3}{4}) \times (1 - \frac{1}{4})$
$= \frac{1}{4} \times \frac{3}{4} = \frac{3}{16}$

(B) આપેલ પદાવલિ: $\cos 15^{\circ} \cos 7.5^{\circ} \sin 7.5^{\circ}$.
નિત્યસમ $\sin 2\theta = 2 \sin \theta \cos \theta$ નો ઉપયોગ કરતા,$\sin 7.5^{\circ} \cos 7.5^{\circ} = \frac{1}{2} \sin(2 \times 7.5^{\circ}) = \frac{1}{2} \sin 15^{\circ}$.
આ કિંમત મૂળ પદાવલિમાં મુકતા:
$\cos 15^{\circ} \times (\frac{1}{2} \sin 15^{\circ}) = \frac{1}{2} \sin 15^{\circ} \cos 15^{\circ}$.
ફરીથી,$\sin 2\theta = 2 \sin \theta \cos \theta$ નો ઉપયોગ કરતા,$\sin 15^{\circ} \cos 15^{\circ} = \frac{1}{2} \sin(2 \times 15^{\circ}) = \frac{1}{2} \sin 30^{\circ}$.
તેથી,પદાવલિ $\frac{1}{2} \times (\frac{1}{2} \sin 30^{\circ}) = \frac{1}{4} \sin 30^{\circ}$ બને છે.
$\sin 30^{\circ} = \frac{1}{2}$ હોવાથી,અંતિમ જવાબ $\frac{1}{4} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{8}$ છે.

(A) આપેલ પદાવલિ: $\frac{2}{\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+2 \cos 4x}}}}$
નિત્યસમ $1 + \cos 2\theta = 2 \cos^2 \theta$ નો ઉપયોગ કરતા,$2 + 2 \cos 4x = 2(1 + \cos 4x) = 2(2 \cos^2 2x) = 4 \cos^2 2x$ મળે.
આ કિંમત અંદરના વર્ગમૂળમાં મૂકતા: $\sqrt{2+2 \cos 4x} = \sqrt{4 \cos^2 2x} = 2 \cos 2x$.
હવે પદાવલિ બને છે: $\frac{2}{\sqrt{2+\sqrt{2+2 \cos 2x}}}$.
ફરીથી,$2 + 2 \cos 2x = 2(1 + \cos 2x) = 2(2 \cos^2 x) = 4 \cos^2 x$ નો ઉપયોગ કરતા.
આ કિંમત મૂકતા: $\sqrt{2+2 \cos 2x} = \sqrt{4 \cos^2 x} = 2 \cos x$.
હવે પદાવલિ બને છે: $\frac{2}{\sqrt{2+2 \cos x}}$.
$2 + 2 \cos x = 2(1 + \cos x) = 2(2 \cos^2 \frac{x}{2}) = 4 \cos^2 \frac{x}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા.
આમ,$\sqrt{2+2 \cos x} = 2 \cos \frac{x}{2}$.
અંતે,પદાવલિનું સાદું રૂપ $\frac{2}{2 \cos \frac{x}{2}} = \frac{1}{\cos \frac{x}{2}} = \sec \frac{x}{2}$ થાય છે.

(D) પ્રથમ,આપણે પદાવલિ $f(a) = a^2 - 4a + 6$ ની ન્યૂનતમ કિંમત શોધીએ.
પૂર્ણવર્ગ બનાવતા,$f(a) = (a-2)^2 + 2$ મળે છે.
$(a-2)^2 + 2$ ની ન્યૂનતમ કિંમત $2$ છે જ્યારે $a=2$ હોય.
તેથી,$\min_{a \in \mathbb{R}} \{1, a^2 - 4a + 6\} = \min \{1, 2\} = 1$.
હવે,સમીકરણ $\sin x + \cos x = 1$ ઉકેલીએ.
બંને બાજુ $\sqrt{2}$ વડે ભાગતા,$\frac{1}{\sqrt{2}} \sin x + \frac{1}{\sqrt{2}} \cos x = \frac{1}{\sqrt{2}}$ મળે છે.
આને $\sin(x + \frac{\pi}{4}) = \sin(\frac{\pi}{4})$ તરીકે લખી શકાય.
$\sin \theta = \sin \alpha$ નો વ્યાપક ઉકેલ $\theta = n\pi + (-1)^n \alpha$ છે.
તેથી,$x + \frac{\pi}{4} = n\pi + (-1)^n \frac{\pi}{4}$.
$x$ માટે ઉકેલતા,$x = n\pi + (-1)^n \frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{4}$ મળે છે.

(D) આપેલ સમીકરણ: $5 \cos 2 \theta + 2 \cos^2 \frac{\theta}{2} + 1 = 0$
નિત્યસમ $2 \cos^2 \frac{\theta}{2} = 1 + \cos \theta$ નો ઉપયોગ કરતા:
$5 \cos 2 \theta + (1 + \cos \theta) + 1 = 0$
$5(2 \cos^2 \theta - 1) + \cos \theta + 2 = 0$
$10 \cos^2 \theta + \cos \theta - 3 = 0$
અવયવ પાડતા:
$(5 \cos \theta - 3)(2 \cos \theta + 1) = 0$
કિસ્સો $1$: $2 \cos \theta + 1 = 0 \implies \cos \theta = -\frac{1}{2} \implies \theta = \frac{2\pi}{3}$.
કિસ્સો $2$: $5 \cos \theta - 3 = 0 \implies \cos \theta = \frac{3}{5} \implies \theta = \cos^{-1}\left(\frac{3}{5}\right)$.

(D) આપણે જાણીએ છીએ કે પદાવલિ $a \sin x + b \cos x$ એ અંતરાલ $[-\sqrt{a^2 + b^2}, \sqrt{a^2 + b^2}]$ માં રહેલી છે.
અહીં,$a = \sqrt{3}$ અને $b = 1$ છે.
તેથી,$\sqrt{3} \sin x + \cos x$ ની મહત્તમ કિંમત $\sqrt{(\sqrt{3})^2 + 1^2} = \sqrt{3 + 1} = \sqrt{4} = 2$ છે.
આ પદાવલિની મહત્તમ કિંમત $2$ હોવાથી,તે ક્યારેય $4$ ની બરાબર થઈ શકે નહીં.
તેથી,સમીકરણ $\sqrt{3} \sin x + \cos x = 4$ નો કોઈ ઉકેલ નથી.

(C) આપેલ છે કે $A \equiv (2, 4)$.
$C$ એ $x$-અક્ષમાં $A$ નું પ્રતિબિંબ હોવાથી,$C$ ના યામ $(2, -4)$ થશે.
$B$ એ $y$-અક્ષમાં $C$ નું પ્રતિબિંબ હોવાથી,$B$ ના યામ $(-2, -4)$ થશે.
હવે,અંતર સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને $|AB|$ શોધીએ:
$|AB| = \sqrt{(2 - (-2))^2 + (4 - (-4))^2}$
$|AB| = \sqrt{(2 + 2)^2 + (4 + 4)^2}$
$|AB| = \sqrt{4^2 + 8^2}$
$|AB| = \sqrt{16 + 64}$
$|AB| = \sqrt{80}$
$|AB| = \sqrt{16 \times 5} = 4 \sqrt{5}$

(A) આપેલ છે કે $C$ એ $A(-3, 4)$ અને $B(2, 1)$ ને જોડતા રેખાખંડનું $AC : BC = 2 : 1$ ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરે છે.
વિભાજન સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$C(x, y)$ ના યામ:
$x = \frac{m_1x_2 + m_2x_1}{m_1 + m_2} = \frac{2(2) + 1(-3)}{2 + 1} = \frac{4 - 3}{3} = \frac{1}{3}$
$y = \frac{m_1y_2 + m_2y_1}{m_1 + m_2} = \frac{2(1) + 1(4)}{2 + 1} = \frac{2 + 4}{3} = \frac{6}{3} = 2$
આમ,$C$ ના યામ $\left(\frac{1}{3}, 2\right)$ છે.

(C) ધારો કે $P$ એ ઉગમબિંદુ $(0,0)$ થી રેખા $x+y=2$ પરના લંબનો લંબપાદ છે.
$P$ એ $x+y=2$ ને લંબ રેખા પર આવેલું હોવાથી,તેનું સમીકરણ $x-y+k=0$ સ્વરૂપનું છે.
આ રેખા ઉગમબિંદુ $(0,0)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી $0-0+k=0$,જે $k=0$ આપે છે.
આમ,રેખા $OP$ નું સમીકરણ $y=x$ છે.
$P$ ના યામ નીચેના સમીકરણો ઉકેલીને મેળવી શકાય છે:
$x+y=2$
$y=x$
પ્રથમ સમીકરણમાં $y=x$ મુકતા,આપણને $x+x=2$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $2x=2$,તેથી $x=1$.
$y=x$ હોવાથી,$y=1$ મળે છે.
તેથી,લંબપાદ $P$ ના યામ $(1,1)$ છે.

(B) પ્રારંભિક રેખા $A(2,0)$ માંથી પસાર થાય છે અને $x$-અક્ષ સાથે $30^{\circ}$ નો ખૂણો બનાવે છે.
જ્યારે રેખાને ઘડિયાળની દિશામાં $15^{\circ}$ ફેરવવામાં આવે,ત્યારે $x$-અક્ષ સાથેનો નવો ખૂણો $\theta = 30^{\circ} - 15^{\circ} = 15^{\circ}$ થાય છે.
નવી રેખાનો ઢાળ $m = \tan 15^{\circ} = 2-\sqrt{3}$ છે.
$(2,0)$ માંથી પસાર થતી અને $m = 2-\sqrt{3}$ ઢાળ ધરાવતી રેખાનું સમીકરણ $y - 0 = (2-\sqrt{3})(x - 2)$ છે.
તેથી,$(2-\sqrt{3})x - y - 4 + 2\sqrt{3} = 0$ મળે છે.

(C) ધારો કે આપેલ શિરોબિંદુ $V = (-4, 5)$ છે અને આપેલ વિકર્ણ $L_1: 7x - y + 8 = 0$ છે.
ચોરસમાં,વિકર્ણો એકબીજાને લંબ હોય છે.
બીજો વિકર્ણ $L_2$ એ શિરોબિંદુ $V(-4, 5)$ માંથી પસાર થાય છે અને $L_1$ ને લંબ છે.
$L_1$ નો ઢાળ $m_1 = 7$ છે.
તેથી,$L_2$ નો ઢાળ $m_2 = -1/7$ થશે.
$(-4, 5)$ માંથી પસાર થતી રેખા $L_2$ નું સમીકરણ:
$y - 5 = -\frac{1}{7}(x + 4)$
$7y - 35 = -x - 4$
$x + 7y = 31$
આમ,બીજા વિકર્ણનું સમીકરણ $7y + x = 31$ છે.

(A) આપેલ રેખાઓ $L_1: x+y-4=0$ અને $L_2: 2x+2y-5=0$ છે,જેને $x+y-2.5=0$ તરીકે લખી શકાય.
બંને રેખાઓનો ઢાળ સમાન $(-1)$ હોવાથી,રેખાઓ સમાંતર છે.
બે સમાંતર રેખાઓ $ax+by+c_1=0$ અને $ax+by+c_2=0$ વચ્ચેનું લંબ અંતર $d = \frac{|c_1-c_2|}{\sqrt{a^2+b^2}}$ દ્વારા મળે છે.
અહીં,$d = \frac{|-4 - (-2.5)|}{\sqrt{1^2+1^2}} = \frac{|-1.5|}{\sqrt{2}} = \frac{1.5}{\sqrt{2}} = \frac{3}{2\sqrt{2}} \approx 1.06$.
બે રેખાઓ વચ્ચેનું અંતર $\approx 1.06$ છે,જે $1$ કરતા વધારે છે,તેથી રેખા $x+y=4$ પર એવું કોઈ બિંદુ નથી જે રેખા $2x+2y=5$ થી $1$ એકમ અંતરે હોય.
આમ,આવા બિંદુઓની સંખ્યા $0$ છે.

(D) વર્તુળનું સમીકરણ $x^2+y^2-4x=0$ છે.
સામાન્ય સ્વરૂપ $x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ સાથે સરખાવતા,આપણને $g=-2$,$f=0$,અને $c=0$ મળે છે.
વર્તુળનું કેન્દ્ર $(-g, -f) = (2, 0)$ છે.
આપેલ મધ્યબિંદુ $(x_1, y_1)$ વાળી જીવાનું સમીકરણ $T = S_1$ છે,જ્યાં $T = xx_1 + yy_1 + g(x+x_1) + f(y+y_1) + c$ અને $S_1 = x_1^2 + y_1^2 + 2gx_1 + 2fy_1 + c$ છે.
અહીં,$(x_1, y_1) = (1, 0)$.
$T = x(1) + y(0) - 2(x+1) + 0(y+0) + 0 = x - 2x - 2 = -x - 2$.
$S_1 = (1)^2 + (0)^2 - 4(1) = 1 - 4 = -3$.
$T = S_1$ લેતા,આપણને $-x - 2 = -3$ મળે છે,જેનું સાદું રૂપ $x = 1$ થાય છે.

(B) બે વર્તુળો બે ભિન્ન બિંદુઓમાં છેદે તે માટે,તેમના કેન્દ્રો વચ્ચેનું અંતર $d$ એ શરત $|r_1 - r_2| < d < r_1 + r_2$ નું પાલન કરવું જોઈએ.
પ્રથમ વર્તુળ $x^2+y^2-10x+16=0$ માટે,કેન્દ્ર $C_1$ એ $(5, 0)$ છે અને ત્રિજ્યા $r_1 = \sqrt{5^2 + 0^2 - 16} = \sqrt{25-16} = 3$ છે.
બીજા વર્તુળ $x^2+y^2=a^2$ માટે,કેન્દ્ર $C_2$ એ $(0, 0)$ છે અને ત્રિજ્યા $r_2 = |a|$ છે.
કેન્દ્રો વચ્ચેનું અંતર $d = \sqrt{(5-0)^2 + (0-0)^2} = 5$ છે.
શરત $|r_1 - r_2| < d < r_1 + r_2$ લાગુ પાડતા:
$|3 - |a|| < 5 < 3 + |a|$.
$5 < 3 + |a|$ પરથી,આપણને $|a| > 2$ મળે છે,જેનો અર્થ છે $a > 2$ અથવા $a < -2$.
$|3 - |a|| < 5$ પરથી,આપણને $-5 < 3 - |a| < 5$ મળે છે,જેનું સાદું રૂપ $-8 < -|a| < 2$ અથવા $-2 < |a| < 8$ થાય છે.
આ બંનેને જોડતા,આપણને $2 < |a| < 8$ મળે છે. $a$ ત્રિજ્યા હોવાથી,$a > 0$,તેથી $2 < a < 8$.

(D) વર્તુળ $x^2+y^2=16$ માટે,કેન્દ્ર $C_1$ એ $(0,0)$ છે અને ત્રિજ્યા $r_1 = 4$ છે.
વર્તુળ $x^2+y^2-2y=0$ માટે,કેન્દ્ર $C_2$ એ $(0,1)$ છે અને ત્રિજ્યા $r_2 = \sqrt{0^2+1^2} = 1$ છે.
કેન્દ્રો $C_1$ અને $C_2$ વચ્ચેનું અંતર $d = \sqrt{(0-0)^2 + (1-0)^2} = 1$ છે.
અંતર $d$ ની ત્રિજ્યાઓ સાથે સરખામણી કરતા:
$r_1 - r_2 = 4 - 1 = 3$.
અહીં $d < r_1 - r_2$ $(1 < 3)$ હોવાથી,વર્તુળ $C_2$ એ વર્તુળ $C_1$ ની અંદર આવેલું છે.
તેથી,બંને વર્તુળો વચ્ચે કોઈ સામાન્ય સ્પર્શક નથી.

(D) ધારો કે ઉપવલય $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ છે. નાભિઓ $S(ae, 0)$ અને $S'(-ae, 0)$ છે,અને ગૌણ અક્ષનું અંત્યબિંદુ $B(0, b)$ છે.
આપેલ છે કે ખૂણો $\angle SBS' = 90^{\circ}$.
ત્રિકોણ $\triangle SBS'$ સમદ્વિબાજુ હોવાથી,$B$ માંથી $SS'$ પરનો વેધ ખૂણા $\angle SBS'$ ને દુભાગે છે.
તેથી,$\angle OBS = 45^{\circ}$.
કાટકોણ ત્રિકોણ $\triangle OBS$ માં,$\tan(45^{\circ}) = \frac{OB}{OS} = \frac{b}{ae}$.
$\tan(45^{\circ}) = 1$ હોવાથી,$1 = \frac{b}{ae}$,જેનો અર્થ છે $b = ae$.
સંબંધ $b^2 = a^2(1 - e^2)$ નો ઉપયોગ કરીને,$b^2 = a^2e^2$ મૂકતા:
$a^2e^2 = a^2(1 - e^2)$
$e^2 = 1 - e^2$
$2e^2 = 1$
$e^2 = \frac{1}{2}$
$e = \frac{1}{\sqrt{2}}$.

(A) આપેલ ઉપવલયનું સમીકરણ: $\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{4} = 1$ અને રેખા $y = 2t^2$.
$y = 2t^2$ ને ઉપવલયના સમીકરણમાં મૂકતા:
$\frac{x^2}{9} + \frac{(2t^2)^2}{4} = 1$
$\frac{x^2}{9} + \frac{4t^4}{4} = 1$
$\frac{x^2}{9} + t^4 = 1$
$x^2 = 9(1 - t^4)$
છેદબિંદુઓ વાસ્તવિક હોવા માટે,$x^2 \geq 0$ હોવું જોઈએ:
$9(1 - t^4) \geq 0$
$1 - t^4 \geq 0$
$t^4 \leq 1$
$(t^2 - 1)(t^2 + 1) \leq 0$
કારણ કે $t^2 + 1 > 0$ તમામ વાસ્તવિક $t$ માટે,તેથી $t^2 - 1 \leq 0$ હોવું જોઈએ.
$t^2 \leq 1$
$|t| \leq 1$

(D) શંકુ $S: x^2 - y^2 - 8x + 2y + 11 = 0$ માટે બિંદુ $(x_1, y_1)$ આગળ સ્પર્શકનું સમીકરણ $T = 0$ દ્વારા મળે છે.
$x^2 \to xx_1$,$y^2 \to yy_1$,$x \to \frac{x+x_1}{2}$,અને $y \to \frac{y+y_1}{2}$ મૂકતા:
$xx_1 - yy_1 - 8\left(\frac{x+x_1}{2}\right) + 2\left(\frac{y+y_1}{2}\right) + 11 = 0$
બિંદુ $(x_1, y_1) = (2, 1)$ મૂકતા:
$x(2) - y(1) - 4(x + 2) + 1(y + 1) + 11 = 0$
$2x - y - 4x - 8 + y + 1 + 11 = 0$
$-2x + 4 = 0$
$2x = 4$
$x = 2$
તેથી,સ્પર્શકનું સમીકરણ $x - 2 = 0$ છે.

(C) ઉપવલય $E_1: 3x^2 + 5y^2 = 32$ માટે,બિંદુ $(3,5)$ નું સ્થાન ચકાસો: $3(3)^2 + 5(5)^2 = 27 + 125 = 152$. $152 > 32$ હોવાથી,બિંદુ $(3,5)$ એ $E_1$ ની બહાર છે. તેથી,$E_1$ પર $2$ સ્પર્શકો દોરી શકાય.
ઉપવલય $E_2: 25x^2 + 9y^2 = 450$ માટે,બિંદુ $(3,5)$ નું સ્થાન ચકાસો: $25(3)^2 + 9(5)^2 = 225 + 225 = 450$. પરિણામ $450$ હોવાથી,બિંદુ $(3,5)$ એ $E_2$ પર છે. તેથી,$E_2$ પર માત્ર $1$ સ્પર્શક દોરી શકાય.
સ્પર્શકોની કુલ સંખ્યા $2 + 1 = 3$ છે.

(B) વિધેય $f(x) = \frac{\sqrt{x+3}}{x+1}$ માત્ર ત્યારે જ વ્યાખ્યાયિત થાય છે જ્યારે $x+3 \geq 0$,એટલે કે $x \geq -3$.
$x < -3$ માટે,પદ $\sqrt{x+3}$ એ ઋણ સંખ્યાનું વર્ગમૂળ દર્શાવે છે,જે વાસ્તવિક સંખ્યાઓના ગણમાં વ્યાખ્યાયિત નથી.
કારણ કે લક્ષ $\lim_{x \rightarrow -3^{-}} f(x)$ માટે $x$ ની $-3$ થી નાની કિંમતો માટે વિધેયનું મૂલ્ય ચકાસવું પડે છે,અને આ અંતરાલમાં વિધેય વ્યાખ્યાયિત નથી,તેથી લક્ષનું અસ્તિત્વ નથી.

(D) ધારો કે $x = 1 + h$. જ્યારે $x \rightarrow 1$,ત્યારે $h \rightarrow 0$.
આ કિંમત લક્ષમાં મૂકતા:
$\lim_{h \rightarrow 0} \frac{\sin(e^{(1+h)-1}-1)}{\log(1+h)} = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{\sin(e^h-1)}{\log(1+h)}$
આપણે જાણીએ છીએ કે $\lim_{u \rightarrow 0} \frac{\sin u}{u} = 1$,$\lim_{h \rightarrow 0} \frac{\log(1+h)}{h} = 1$,અને $\lim_{h \rightarrow 0} \frac{e^h-1}{h} = 1$.
પદાવલિને ફરીથી લખતા:
$\lim_{h \rightarrow 0} \left( \frac{\sin(e^h-1)}{e^h-1} \cdot \frac{e^h-1}{h} \cdot \frac{h}{\log(1+h)} \right)$
$= 1 \cdot 1 \cdot \frac{1}{1} = 1$.

(A) આપેલ છે: $a = 2 \sqrt{2}$,$b = 6$,અને $A = 45^{\circ}$.
સાઇનના નિયમનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B}$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{2 \sqrt{2}}{\sin 45^{\circ}} = \frac{6}{\sin B}$.
$\sin B = \frac{b \sin A}{a} = \frac{6 \times \sin 45^{\circ}}{2 \sqrt{2}}$.
$\sin B = \frac{6 \times \frac{1}{\sqrt{2}}}{2 \sqrt{2}} = \frac{6}{2 \times 2} = \frac{6}{4} = 1.5$.
$\sin B$ ની કિંમત $1$ થી વધુ હોઈ શકે નહીં,તેથી $\sin B = 1.5$ શક્ય નથી.
તેથી,કોઈ ત્રિકોણ શક્ય નથી.

(C) આપેલ સંબંધ: $\sin A \sin B = \frac{ab}{c^2}$
સાઇન નિયમ મુજબ,$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R$.
આથી,$\sin A = \frac{a}{2R}$,$\sin B = \frac{b}{2R}$,અને $\sin C = \frac{c}{2R}$.
આ કિંમતો સમીકરણમાં મૂકતા:
$\left(\frac{a}{2R}\right) \left(\frac{b}{2R}\right) = \frac{ab}{c^2}$
$\frac{ab}{4R^2} = \frac{ab}{c^2}$
$ab$ ને દૂર કરતા:
$\frac{1}{4R^2} = \frac{1}{c^2}$ $\Rightarrow c^2 = 4R^2$ $\Rightarrow c = 2R$.
$c = 2R$ હોવાથી,$\frac{c}{\sin C} = 2R \Rightarrow \sin C = \frac{c}{2R} = 1$.
તેથી,$C = 90^{\circ}$.
આમ,ત્રિકોણ કાટકોણ ત્રિકોણ છે.

(C) $\triangle ABC$ માં સાઈન નિયમનો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B}$
આપેલી કિંમતો મૂકતા:
$\frac{2}{2/3} = \frac{3}{\sin B}$
$3 = \frac{3}{\sin B}$
$\sin B = 1$
તેથી,$B = 90^{\circ}$ અથવા $\frac{\pi}{2}$ રેડિયન થાય.

(C) આપણે જાણીએ છીએ કે બે ગણનો તફાવત $A-B = A \cap B^c$ થાય છે.
આ કિંમત પદાવલિમાં મૂકતા,આપણને મળે છે:
$A-(A-B) = A-(A \cap B^c)$
ગુણધર્મ $X-Y = X \cap Y^c$ નો ઉપયોગ કરતા:
$= A \cap (A \cap B^c)^c$
ડી મોર્ગનનો નિયમ $(A \cap B^c)^c = A^c \cup (B^c)^c = A^c \cup B$ લાગુ કરતા:
$= A \cap (A^c \cup B)$
વિભાજનના નિયમનો ઉપયોગ કરતા:
$= (A \cap A^c) \cup (A \cap B)$
કારણ કે $A \cap A^c = \emptyset$ છે:
$= \emptyset \cup (A \cap B) = A \cap B$
તેથી,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(A) આપેલ છે $P = \frac{1}{2} \sin^2 \theta + \frac{1}{3} \cos^2 \theta$.
નિત્યસમ $\cos^2 \theta = 1 - \sin^2 \theta$ નો ઉપયોગ કરતા:
$P = \frac{1}{2} \sin^2 \theta + \frac{1}{3} (1 - \sin^2 \theta)$
$P = \frac{1}{3} + (\frac{1}{2} - \frac{1}{3}) \sin^2 \theta$
$P = \frac{1}{3} + \frac{1}{6} \sin^2 \theta$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $0 \leq \sin^2 \theta \leq 1$,તેથી:
$0 \leq \frac{1}{6} \sin^2 \theta \leq \frac{1}{6}$
બધા પદોમાં $\frac{1}{3}$ ઉમેરતા:
$\frac{1}{3} \leq \frac{1}{3} + \frac{1}{6} \sin^2 \theta \leq \frac{1}{3} + \frac{1}{6}$
$\frac{1}{3} \leq P \leq \frac{1}{2}$.

(C) આપણે જાણીએ છીએ કે કોસાઇન વિધેયનો વિસ્તાર $-1 \leq \cos \theta \leq 1$ છે.
બધી બાજુ $5$ વડે ગુણતા,આપણને $-5 \leq 5 \cos \theta \leq 5$ મળે છે.
અસમતાના દરેક ભાગમાં $12$ ઉમેરતા,આપણને $-5 + 12 \leq 5 \cos \theta + 12 \leq 5 + 12$ મળે છે.
આનું સાદું રૂપ $7 \leq 5 \cos \theta + 12 \leq 17$ થાય છે.
આમ,$5 \cos \theta + 12$ ની ન્યૂનતમ કિંમત $7$ છે.

(B) આપેલ વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx}(x \log x) + y = 2 \log x$ છે.
બંને બાજુ $(x \log x)$ વડે ભાગતા,આપણને મળે છે:
$\frac{dy}{dx} + \frac{y}{x \log x} = \frac{2 \log x}{x \log x} = \frac{2}{x}$.
આ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ સ્વરૂપનું સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે,જ્યાં $P = \frac{1}{x \log x}$ અને $Q = \frac{2}{x}$ છે.
સંકલ્યકારક અવયવ $(IF)$ $e^{\int P dx}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$IF = e^{\int \frac{1}{x \log x} dx}$.
ધારો કે $u = \log x$,તો $du = \frac{1}{x} dx$ થાય.
$IF = e^{\int \frac{1}{u} du} = e^{\log u} = u = \log x$.
આમ,સંકલ્યકારક અવયવ $\log x$ છે.

(B) ધારો કે $\theta = \frac{1}{2} \cos ^{-1}\left(\frac{a}{b}\right)$,તેથી $\cos 2 \theta = \frac{a}{b}$.
પદાવલિ $\tan \left(\frac{\pi}{4} + \theta\right) + \tan \left(\frac{\pi}{4} - \theta\right)$ છે.
વિસ્તરણ કરતા:
$= \left( \frac{1 + \tan \theta}{1 - \tan \theta} \right) + \left( \frac{1 - \tan \theta}{1 + \tan \theta} \right)$
$= \frac{(1 + \tan \theta)^2 + (1 - \tan \theta)^2}{1 - \tan^2 \theta}$
$= \frac{2(1 + \tan^2 \theta)}{1 - \tan^2 \theta} = \frac{2}{\cos 2 \theta}$.
$\cos 2 \theta = \frac{a}{b}$ મૂકતા,આપણને $\frac{2}{a/b} = \frac{2b}{a}$ મળે છે.

(A) આપેલ પદાવલિ $\lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{r=1}^n \frac{n}{n^2+r^2}$ છે.
સરવાળાની અંદરના પદના અંશ અને છેદને $n^2$ વડે ભાગતા,આપણને મળે છે:
$\lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{r=1}^n \frac{1/n}{1+(r/n)^2}$.
આ $\int_0^1 f(x) \, dx$ સ્વરૂપનો રીમાન સરવાળો છે,જ્યાં $f(x) = \frac{1}{1+x^2}$ છે.
તેથી,લક્ષ $\int_0^1 \frac{1}{1+x^2} \, dx$ થશે.
સંકલનનું મૂલ્ય શોધતા,$[\tan^{-1} x]_0^1 = \tan^{-1}(1) - \tan^{-1}(0) = \frac{\pi}{4} - 0 = \frac{\pi}{4}$ મળે છે.

(A) કોઈ શ્રેણિક $M$ સંમિત કહેવાય જો $M^{T} = M$ હોય.
ધારો કે શ્રેણિક $M = A + A^{T}$ છે.
$M$ નો પરિવર્તિત શ્રેણિક લેતા,આપણને $M^{T} = (A + A^{T})^{T}$ મળે છે.
ગુણધર્મ $(X + Y)^{T} = X^{T} + Y^{T}$ નો ઉપયોગ કરતા,$M^{T} = A^{T} + (A^{T})^{T}$ મળે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $(A^{T})^{T} = A$,તેથી $M^{T} = A^{T} + A = A + A^{T} = M$.
અહીં $M^{T} = M$ હોવાથી,શ્રેણિક $A + A^{T}$ સંમિત છે.

(B) આપેલ સમીકરણ $AB = 3I$ છે,જ્યાં $A$ અને $B$ સમાન કક્ષાના ચોરસ શ્રેણિકો છે અને $I$ એ એકમ શ્રેણિક છે.
$A^{-1}$ શોધવા માટે,સમીકરણની બંને બાજુએ ડાબી બાજુથી $A^{-1}$ વડે ગુણતા:
$A^{-1}(AB) = A^{-1}(3I)$
શ્રેણિક ગુણાકારના જૂથના નિયમનો ઉપયોગ કરતા:
$(A^{-1}A)B = 3(A^{-1}I)$
આપણે જાણીએ છીએ કે $A^{-1}A = I$ અને $A^{-1}I = A^{-1}$,તેથી સમીકરણ આ મુજબ સાદું થાય છે:
$IB = 3A^{-1}$
$B = 3A^{-1}$
બંને બાજુ $3$ વડે ભાગતા,આપણને મળે છે:
$A^{-1} = \frac{1}{3}B$

(B) આપેલ સમીકરણ $A^2-A+I=0$ છે.
આપણે તેને $A^2-A = -I$ તરીકે લખી શકીએ.
બંને બાજુ જમણી બાજુથી $A^{-1}$ વડે ગુણતા,આપણને $(A^2-A)A^{-1} = -I \cdot A^{-1}$ મળે છે.
આનું સાદું રૂપ $A^2 A^{-1} - A A^{-1} = -A^{-1}$ થાય છે.
કારણ કે $A A^{-1} = I$,તેથી $A I - I = -A^{-1}$ મળે.
આના પરથી $A - I = -A^{-1}$ મળે છે.
બંને બાજુ $-1$ વડે ગુણતા,આપણને $A^{-1} = I - A$ મળે છે.

(A) ધારો કે ખૂણો $\theta$ છે. આ ખૂણાને બે ભાગ $\alpha$ અને $\beta$ માં વિભાજિત કરવામાં આવે છે જેથી $\tan \alpha = \frac{1}{2}$ અને $\tan \beta = \frac{1}{3}$ થાય.
તેથી,$\theta = \alpha + \beta = \tan^{-1}(\frac{1}{2}) + \tan^{-1}(\frac{1}{3})$.
સૂત્ર $\tan^{-1} x + \tan^{-1} y = \tan^{-1}(\frac{x+y}{1-xy})$ નો ઉપયોગ કરતા (જ્યાં $xy < 1$):
$\theta = \tan^{-1}\left(\frac{\frac{1}{2} + \frac{1}{3}}{1 - (\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3})}\right)$
$\theta = \tan^{-1}\left(\frac{\frac{5}{6}}{1 - \frac{1}{6}}\right)$
$\theta = \tan^{-1}\left(\frac{\frac{5}{6}}{\frac{5}{6}}\right)$
$\theta = \tan^{-1}(1)$
આમ,$\tan(\frac{\pi}{4}) = 1$ હોવાથી,$\theta = \frac{\pi}{4}$ મળે છે.

(B) વિધેય $f(x) = \sqrt{1 + \log_{e}(1 - x)}$ વ્યાખ્યાયિત થવા માટે,વર્ગમૂળની અંદરની કિંમત અઋણ હોવી જોઈએ અને લઘુગણકનો આધાર ધન હોવો જોઈએ.
$1$. લઘુગણક માટેની શરત: $1 - x > 0 \implies x < 1$.
$2$. વર્ગમૂળ માટેની શરત: $1 + \log_{e}(1 - x) \geq 0$.
$\log_{e}(1 - x) \geq -1$.
બંને બાજુ $e$ આધાર લેતા:
$1 - x \geq e^{-1}$.
$1 - x \geq \frac{1}{e}$.
$x \leq 1 - \frac{1}{e}$.
$x \leq \frac{e - 1}{e}$.
બંને શરતોને જોડતા: $x < 1$ અને $x \leq \frac{e - 1}{e}$.
અહીં $\frac{e - 1}{e} < 1$ હોવાથી,પ્રદેશ $-\infty < x \leq \frac{e - 1}{e}$ થશે.

(D) પગલું $1$: એક-એક (injective) ગુણધર્મ તપાસો. ધારો કે $f(n_1) = f(n_2)$.
$(n_1+5)^2 = (n_2+5)^2$.
કારણ કે $n_1, n_2 \in \mathbb{N}$,$n_1+5 > 0$ અને $n_2+5 > 0$. બંને બાજુ ધન વર્ગમૂળ લેતા,આપણને $n_1+5 = n_2+5$ મળે છે,જેનો અર્થ છે $n_1 = n_2$.
તેથી,$f$ એક-એક છે.
પગલું $2$: વ્યાપ્ત (surjective) ગુણધર્મ તપાસો. $f$ વ્યાપ્ત હોવા માટે,દરેક $y \in \mathbb{N}$ માટે,એવો $n \in \mathbb{N}$ હોવો જોઈએ કે જેથી $f(n) = y$.
ધારો કે $f(n) = (n+5)^2 = y$. કારણ કે $n \ge 1$,$f(n)$ ની ન્યૂનતમ કિંમત $(1+5)^2 = 36$ છે.
આમ,સહ-પ્રદેશ $\mathbb{N}$ માં $1, 2, 3, \dots, 35$ જેવી કિંમતો માટે પ્રદેશ $\mathbb{N}$ માં કોઈ પૂર્વ-પ્રતિબિંબ નથી.
ઉદાહરણ તરીકે,એવો કોઈ $n \in \mathbb{N}$ નથી કે જેથી $(n+5)^2 = 1$.
તેથી,$f$ વ્યાપ્ત નથી.
નિષ્કર્ષ: $f$ એક-એક છે પણ વ્યાપ્ત નથી.

(A) આપેલ વિધેય $f(x) = x + |x|$ છે.
આપણે માનાંક વિધેય $|x|$ ને નીચે મુજબ વ્યાખ્યાયિત કરી શકીએ:
$|x| = \begin{cases} x, & x \geq 0 \\ -x, & x < 0 \end{cases}$
તેથી,વિધેય $f(x)$ ને આ રીતે લખી શકાય:
$f(x) = \begin{cases} x + x, & x \geq 0 \\ x - x, & x < 0 \end{cases} = \begin{cases} 2x, & x \geq 0 \\ 0, & x < 0 \end{cases}$
હવે,આપણે $x = 0$ આગળ સાતત્ય ચકાસીએ:
ડાબી બાજુનું લક્ષ: $\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^-} (0) = 0$
જમણી બાજુનું લક્ષ: $\lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^+} (2x) = 2(0) = 0$
વિધેયની કિંમત: $f(0) = 2(0) = 0$
અહીં $\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^+} f(x) = f(0) = 0$ હોવાથી,વિધેય $x = 0$ આગળ સતત છે.
વળી,$x > 0$ માટે $f(x) = 2x$ એ બહુપદી વિધેય છે અને $x < 0$ માટે $f(x) = 0$ એ અચળ વિધેય છે,તેથી આ વિધેય તમામ $x \in (-\infty, \infty)$ માટે સતત છે.

(C) ધારો કે $y = a \sin^3 t$ અને $x = a \cos^3 t$.
સૌ પ્રથમ,આપણે ચેઈન રૂલનો ઉપયોગ કરીને પ્રથમ વિકલન $\frac{dy}{dx}$ શોધીએ:
$\frac{dy}{dt} = 3a \sin^2 t \cos t$
$\frac{dx}{dt} = -3a \cos^2 t \sin t$
$\frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt} = \frac{3a \sin^2 t \cos t}{-3a \cos^2 t \sin t} = -\tan t$.
હવે,આપણે $x$ ની સાપેક્ષમાં દ્વિતીય વિકલન $\frac{d^2 y}{dx^2}$ શોધીએ:
$\frac{d^2 y}{dx^2} = \frac{d}{dx}(-\tan t) = \frac{d}{dt}(-\tan t) \cdot \frac{dt}{dx} = (-\sec^2 t) \cdot \frac{1}{-3a \cos^2 t \sin t} = \frac{1}{3a \cos^4 t \sin t}$.
$t = \frac{\pi}{4}$ પર કિંમત મૂકતા:
$\cos(\frac{\pi}{4}) = \frac{1}{\sqrt{2}}$ અને $\sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
$\left. \frac{d^2 y}{dx^2} \right|_{t=\pi/4} = \frac{1}{3a (\frac{1}{\sqrt{2}})^4 (\frac{1}{\sqrt{2}})} = \frac{1}{3a (\frac{1}{4}) (\frac{1}{\sqrt{2}})} = \frac{4\sqrt{2}}{3a}$.

(A) આપેલ છે કે $y = \tan^{-1} \sqrt{\frac{1-\sin x}{1+\sin x}}$.
નિત્યસમ $\sin x = \cos(\frac{\pi}{2}-x)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$y = \tan^{-1} \sqrt{\frac{1-\cos(\frac{\pi}{2}-x)}{1+\cos(\frac{\pi}{2}-x)}}$.
અડધા ખૂણાના સૂત્રો $1-\cos \theta = 2\sin^2(\frac{\theta}{2})$ અને $1+\cos \theta = 2\cos^2(\frac{\theta}{2})$ નો ઉપયોગ કરતા:
$y = \tan^{-1} \sqrt{\frac{2\sin^2(\frac{\pi}{4}-\frac{x}{2})}{2\cos^2(\frac{\pi}{4}-\frac{x}{2})}} = \tan^{-1} \sqrt{\tan^2(\frac{\pi}{4}-\frac{x}{2})} = \frac{\pi}{4} - \frac{x}{2}$.
હવે,$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(\frac{\pi}{4} - \frac{x}{2}) = 0 - \frac{1}{2} = -\frac{1}{2}$.
આમ,$x = \frac{\pi}{6}$ આગળ કિંમત $-\frac{1}{2}$ મળે છે.

(C) ઉગમબિંદુ $(0,0)$ પર વક્રો $y^2=x$ અને $x^2=y$ વચ્ચેનો ખૂણો શોધવા માટે:
$1$. વક્ર $y^2=x$ માટે,$x$ ની સાપેક્ષે વિકલન કરતા $2y \frac{dy}{dx} = 1$ મળે,તેથી $\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2y}$. ઉગમબિંદુ $(0,0)$ પર,ઢાળ અવ્યાખ્યાયિત છે,જેનો અર્થ છે કે સ્પર્શક $y$-અક્ષ $(x=0)$ છે.
$2$. વક્ર $x^2=y$ માટે,$x$ ની સાપેક્ષે વિકલન કરતા $2x = \frac{dy}{dx}$ મળે. ઉગમબિંદુ $(0,0)$ પર,ઢાળ $\frac{dy}{dx} = 0$ છે,જેનો અર્થ છે કે સ્પર્શક $x$-અક્ષ $(y=0)$ છે.
$3$. $x$-અક્ષ અને $y$-અક્ષ વચ્ચેનો ખૂણો $\frac{\pi}{2}$ રેડિયન છે. તેથી,ઉગમબિંદુ પર બંને વક્રો વચ્ચેનો ખૂણો $\frac{\pi}{2}$ છે.

(A) કણ દ્વારા કાપેલું અંતર $x$ સમીકરણ દ્વારા આપવામાં આવે છે: $x = 3 + 8t - 4t^2$.
વેગ $v$ એ સમયની સાપેક્ષમાં સ્થાનાંતરના ફેરફારનો દર છે,જે $x$ નું $t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરવાથી મળે છે:
$v = \frac{dx}{dt} = \frac{d}{dt}(3 + 8t - 4t^2)$.
વિકલનના નિયમનો ઉપયોગ કરતા:
$v = 0 + 8(1) - 4(2t) = 8 - 8t$.
$1$ સેકન્ડ પછી વેગ શોધવા માટે,વેગના સમીકરણમાં $t = 1$ મૂકતા:
$v = 8 - 8(1) = 8 - 8 = 0$ એકમ/સેકન્ડ.

(B) ધારો કે વર્તુળની ત્રિજ્યા $r$ છે અને ક્ષેત્રફળ $A$ છે.
આપેલ છે કે ત્રિજ્યામાં ફેરફારનો દર $\frac{dr}{dt} = 5 \text{ cm/sec}$ છે.
વર્તુળનું ક્ષેત્રફળ $A = \pi r^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સમય $t$ ની સાપેક્ષમાં બંને બાજુ વિકલન કરતા:
$\frac{dA}{dt} = \frac{d}{dt}(\pi r^2) = 2 \pi r \frac{dr}{dt}$.
આપેલ કિંમતો $r = 20 \text{ cm}$ અને $\frac{dr}{dt} = 5 \text{ cm/sec}$ મૂકતા:
$\frac{dA}{dt} = 2 \pi (20)(5) = 200 \pi \text{ cm}^2/\text{sec}$.
આમ,ક્ષેત્રફળમાં વધારાનો દર $200 \pi \text{ cm}^2/\text{sec}$ છે.

(B) આપેલ સ્થાનાંતર વિધેય: $x = t^3 - 6t^2 + t$.
વેગ $v$ એ સમયની સાપેક્ષમાં સ્થાનાંતરનું પ્રથમ વિકલન છે: $v = \frac{dx}{dt} = \frac{d}{dt}(t^3 - 6t^2 + t) = 3t^2 - 12t + 1$.
પ્રવેગ $a$ એ સમયની સાપેક્ષમાં વેગનું વિકલન છે: $a = \frac{dv}{dt} = \frac{d}{dt}(3t^2 - 12t + 1) = 6t - 12$.
પ્રવેગ શૂન્ય થવા માટે: $a = 0$.
$6t - 12 = 0$.
$6t = 12$.
$t = 2$ એકમ સમય.

(B) વિધેય $f(x)$ માટે અંતરાલ $[a, b]$ પર રોલનું પ્રમેય લાગુ પાડવા માટે નીચેની શરતો પૂર્ણ થવી જોઈએ:
$1$. $f(x)$ એ $[a, b]$ પર સતત હોવું જોઈએ.
$2$. $f(x)$ એ $(a, b)$ પર વિકલનીય હોવું જોઈએ.
$3$. $f(a) = f(b)$ હોવું જોઈએ.
ચાલો અંતરાલ $[-1, 1]$ માટે વિકલ્પો તપાસીએ:
- $f(x) = x$ માટે,$f(-1) = -1$ અને $f(1) = 1$. અહીં $f(-1) \neq f(1)$ હોવાથી,રોલનું પ્રમેય લાગુ પડતું નથી.
- $f(x) = x^2$ માટે,$f(x)$ એ બહુપદી વિધેય છે,તેથી તે $[-1, 1]$ પર સતત છે અને $(-1, 1)$ પર વિકલનીય છે. વળી,$f(-1) = (-1)^2 = 1$ અને $f(1) = (1)^2 = 1$. અહીં $f(-1) = f(1)$ હોવાથી,રોલનું પ્રમેય લાગુ પડે છે.
- $f(x) = 2x^3 + 3$ માટે,$f(-1) = 2(-1)^3 + 3 = 1$ અને $f(1) = 2(1)^3 + 3 = 5$. અહીં $f(-1) \neq f(1)$ હોવાથી,રોલનું પ્રમેય લાગુ પડતું નથી.
- $f(x) = |x|$ માટે,$f(x)$ એ $x = 0$ આગળ વિકલનીય નથી,જે અંતરાલ $(-1, 1)$ માં આવે છે. તેથી,રોલનું પ્રમેય લાગુ પડતું નથી.
આમ,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(C) સંકલન $I = \int \frac{dx}{\sin x+\sqrt{3} \cos x}$ ની ગણતરી કરવા માટે,આપણે $2$ વડે ગુણીએ અને ભાગીએ:
$I = \int \frac{dx}{2(\frac{1}{2} \sin x + \frac{\sqrt{3}}{2} \cos x)}$
નિત્યસમ $\sin(x + \frac{\pi}{3}) = \sin x \cos \frac{\pi}{3} + \cos x \sin \frac{\pi}{3} = \frac{1}{2} \sin x + \frac{\sqrt{3}}{2} \cos x$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે:
$I = \frac{1}{2} \int \frac{dx}{\sin(x + \frac{\pi}{3})} = \frac{1}{2} \int \operatorname{cosec}(x + \frac{\pi}{3}) dx$
પ્રમાણિત સૂત્ર $\int \operatorname{cosec} \theta d\theta = \ln |\tan(\frac{\theta}{2})| + c$ નો ઉપયોગ કરતા:
$I = \frac{1}{2} \ln |\tan(\frac{x + \frac{\pi}{3}}{2})| + c = \frac{1}{2} \ln |\tan(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{6})| + c$.

(B) સંકલન $I = \int \frac{\sin ^{-1} x}{\sqrt{1-x^2}} d x$ ની ગણતરી કરવા માટે,આપણે આદેશની રીતનો ઉપયોગ કરીએ છીએ.
ધારો કે $t = \sin ^{-1} x$.
તેથી,બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,આપણને $\frac{dt}{dx} = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $dt = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} dx$.
આ કિંમતોને સંકલનમાં મૂકતા,આપણને $I = \int t dt$ મળે છે.
$t$ ની સાપેક્ષમાં સંકલન કરતા,આપણને $I = \frac{1}{2} t^2 + c$ મળે છે.
અંતે,$t = \sin ^{-1} x$ પાછું મૂકતા,આપણને $I = \frac{1}{2} (\sin ^{-1} x)^2 + c$ મળે છે.

(B) સંકલન $\int \frac{dx}{x(x+1)}$ ની ગણતરી કરવા માટે,આપણે આંશિક અપૂર્ણાંકની રીતનો ઉપયોગ કરીએ છીએ.
આપણે સંકલ્યને આ રીતે લખી શકીએ: $\frac{1}{x(x+1)} = \frac{A}{x} + \frac{B}{x+1}$.
$x(x+1)$ વડે ગુણતા,આપણને $1 = A(x+1) + Bx$ મળે છે.
$x = 0$ લેતા,આપણને $A = 1$ મળે છે.
$x = -1$ લેતા,આપણને $B = -1$ મળે છે.
આમ,$\frac{1}{x(x+1)} = \frac{1}{x} - \frac{1}{x+1}$.
હવે,દરેક પદનું સંકલન કરતા: $\int \left(\frac{1}{x} - \frac{1}{x+1}\right) dx = \int \frac{1}{x} dx - \int \frac{1}{x+1} dx$.
આનાથી આપણને $\ln |x| - \ln |x+1| + c$ મળે છે.
લઘુગણકના ગુણધર્મ $\ln a - \ln b = \ln \left|\frac{a}{b}\right|$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $\ln \left|\frac{x}{x+1}\right| + c$ મળે છે.

(C) ધારો કે $I = \int_0^a x f(x) dx$.
ગુણધર્મ $\int_0^a g(x) dx = \int_0^a g(a-x) dx$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે:
$I = \int_0^a (a-x) f(a-x) dx$.
કારણ કે $f(a-x) = f(x)$,આ પદ નીચે મુજબ થશે:
$I = \int_0^a (a-x) f(x) dx = \int_0^a a f(x) dx - \int_0^a x f(x) dx$.
$I = a \int_0^a f(x) dx - I$.
બંને બાજુ $I$ ઉમેરતા,આપણને મળે છે:
$2I = a \int_0^a f(x) dx$.
તેથી,$I = \frac{a}{2} \int_0^a f(x) dx$.

(D) આપેલ છે કે $\int_{-1}^4 f(x) dx = 4$ અને $\int_2^4 \{3 - f(x)\} dx = 7$.
પ્રથમ,બીજા સંકલનને ઉકેલો:
$\int_2^4 3 dx - \int_2^4 f(x) dx = 7$
$[3x]_2^4 - \int_2^4 f(x) dx = 7$
$3(4 - 2) - \int_2^4 f(x) dx = 7$
$6 - \int_2^4 f(x) dx = 7$
$\int_2^4 f(x) dx = 6 - 7 = -1$.
હવે,નિશ્ચિત સંકલનના ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરો:
$\int_{-1}^4 f(x) dx = \int_{-1}^2 f(x) dx + \int_2^4 f(x) dx$
$4 = \int_{-1}^2 f(x) dx + (-1)$
$\int_{-1}^2 f(x) dx = 4 + 1 = 5$.

(A) વિધેય $f(x) = e^{x-[x]}$ એ $T = 1$ આવર્તમાન ધરાવતું આવર્તી વિધેય છે,કારણ કે $[x+1] = [x]+1$ થાય છે.
તેથી,$f(x+1) = e^{(x+1)-[x+1]} = e^{x+1-[x]-1} = e^{x-[x]} = f(x)$.
નિશ્ચિત સંકલનના ગુણધર્મ $\int_0^{nT} f(x) \, dx = n \int_0^T f(x) \, dx$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $n = 1000$ અને $T = 1$:
$I = \int_0^{1000} e^{x-[x]} \, dx = 1000 \int_0^1 e^{x-[x]} \, dx$.
$x \in [0, 1)$ માટે,$[x] = 0$ થાય,તેથી $e^{x-[x]} = e^x$.
$I = 1000 \int_0^1 e^x \, dx$.
$I = 1000 [e^x]_0^1 = 1000(e^1 - e^0) = 1000(e-1)$.

(B) ધારો કે $I = \int_{-1}^1 \frac{|x+2|}{x+2} \, dx$. \\ સંકલનનો અંતરાલ $[-1, 1]$ હોવાથી,આપણી પાસે $x \geq -1$ છે. \\ આનો અર્થ એ છે કે $x+2 \geq 1$,તેથી આપેલ અંતરાલમાં $x+2$ હંમેશા ધન છે. \\ તેથી,$|x+2| = x+2$. \\ આને સંકલનમાં મૂકતા,આપણને મળે છે: \\ $I = \int_{-1}^1 \frac{x+2}{x+2} \, dx = \int_{-1}^1 1 \, dx$. \\ સંકલનનું મૂલ્ય શોધતા: \\ $I = [x]_{-1}^1 = 1 - (-1) = 2$.

(A) ધારો કે $I = \int_0^{\infty} \frac{dx}{(x^2+4)(x^2+9)}$.
આંશિક અપૂર્ણાંકની રીતનો ઉપયોગ કરતા,આપણે લખી શકીએ કે $\frac{1}{(x^2+4)(x^2+9)} = \frac{1}{5} \left( \frac{1}{x^2+4} - \frac{1}{x^2+9} \right)$.
તેથી,$I = \frac{1}{5} \left[ \int_0^{\infty} \frac{dx}{x^2+2^2} - \int_0^{\infty} \frac{dx}{x^2+3^2} \right]$.
પ્રમાણિત સંકલન સૂત્ર $\int \frac{dx}{x^2+a^2} = \frac{1}{a} \tan^{-1}(\frac{x}{a}) + C$ નો ઉપયોગ કરતા:
$I = \frac{1}{5} \left[ \left( \frac{1}{2} \tan^{-1}(\frac{x}{2}) \right)_0^{\infty} - \left( \frac{1}{3} \tan^{-1}(\frac{x}{3}) \right)_0^{\infty} \right]$.
સીમાઓ મૂકતા:
$I = \frac{1}{5} \left[ \frac{1}{2} (\frac{\pi}{2} - 0) - \frac{1}{3} (\frac{\pi}{2} - 0) \right]$.
$I = \frac{1}{5} \left[ \frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{6} \right] = \frac{1}{5} \left[ \frac{3\pi - 2\pi}{12} \right] = \frac{1}{5} \cdot \frac{\pi}{12} = \frac{\pi}{60}$.

(B) આપેલ છે: $I_1 = \int_0^{\pi / 4} \sin^2 x \, dx$ અને $I_2 = \int_0^{\pi / 4} \cos^2 x \, dx$.
અંતરાલ $x \in (0, \pi / 4)$ માં,આપણે જાણીએ છીએ કે $\sin x < \cos x$.
આ અંતરાલમાં $\sin x$ અને $\cos x$ બંને ધન હોવાથી,બંને બાજુ વર્ગ કરતા અસમતા જળવાઈ રહે છે: $\sin^2 x < \cos^2 x$.
અંતરાલ $[0, \pi / 4]$ પર બંને બાજુ સંકલન કરતા:
$\int_0^{\pi / 4} \sin^2 x \, dx < \int_0^{\pi / 4} \cos^2 x \, dx$.
તેથી,$I_1 < I_2$.

(B) આપેલ વિકલ સમીકરણ $\frac{d^2 y}{d x^2} = \sqrt{1 - (\frac{dy}{dx})^2}$ છે.
ક્રમ શોધવા માટે,આપણે સમીકરણમાં હાજર સૌથી ઉચ્ચ ક્રમનું વિકલન શોધીએ છીએ.
સૌથી ઉચ્ચ ક્રમનું વિકલન $\frac{d^2 y}{d x^2}$ છે,જે $x$ ની સાપેક્ષમાં $y$ નું દ્વિતીય વિકલન દર્શાવે છે.
વિકલ સમીકરણનો ક્રમ એ સમીકરણમાં સામેલ સૌથી ઉચ્ચ વિકલનના ક્રમ તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે.
અહીં સૌથી ઉચ્ચ વિકલનનો ક્રમ $2$ હોવાથી,આપેલ વિકલ સમીકરણનો ક્રમ $2$ છે.

(B) આપેલ સમીકરણ $x^2+y^2=1$ છે.
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,આપણને મળે છે:
$2x + 2y y^{\prime} = 0$
$2$ વડે ભાગતા,આપણને $x + y y^{\prime} = 0$ મળે છે.
ગુણાકારના નિયમનો ઉપયોગ કરીને ફરીથી $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$1 + y y^{\prime \prime} + (y^{\prime}) \cdot y^{\prime} = 0$
$1 + y y^{\prime \prime} + (y^{\prime})^2 = 0$
આમ,$y y^{\prime \prime} + (y^{\prime})^2 + 1 = 0$.

(B) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $\frac{dy}{dx} = e^{y+x} + e^{y-x}$.
જમણી બાજુને આ રીતે લખી શકાય: $\frac{dy}{dx} = e^y(e^x + e^{-x})$.
ચલને અલગ કરતા: $e^{-y} dy = (e^x + e^{-x}) dx$.
બંને બાજુ સંકલન કરતા: $\int e^{-y} dy = \int (e^x + e^{-x}) dx$.
આથી મળે: $-e^{-y} = e^x - e^{-x} + c$.
બંને બાજુ $-1$ વડે ગુણતા: $e^{-y} = e^{-x} - e^x + c$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(A) વક્રના ઢાળ માટેનું વિકલ સમીકરણ આપેલ છે: $\frac{dy}{dx} = 3x^2$.
વક્રનું સમીકરણ મેળવવા માટે,આપણે બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં સંકલન કરીએ:
$\int dy = \int 3x^2 dx$
$y = x^3 + C$,જ્યાં $C$ એ સંકલનનો અચળાંક છે.
વક્ર બિંદુ $(-1, 1)$ માંથી પસાર થાય છે. આ યામોને સમીકરણમાં મૂકતા:
$1 = (-1)^3 + C$
$1 = -1 + C$
$C = 2$.
$C$ ની કિંમતને સામાન્ય સમીકરણમાં મૂકતા,આપણને મળે છે:
$y = x^3 + 2$.

(A) આપેલ છે કે $A$ અને $B$ સ્વતંત્ર ઘટનાઓ છે,તેથી $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$.
સૂત્ર મુજબ: $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$.
કિંમતો મૂકતા: $0.8 = 0.3 + P(B) - 0.3 \cdot P(B)$.
$0.8 - 0.3 = P(B)(1 - 0.3)$.
$0.5 = 0.7 \cdot P(B)$.
$P(B) = \frac{0.5}{0.7} = \frac{5}{7}$.
નોંધ: પ્રશ્નમાં આપેલ વિકલ્પો મુજબ,જો આપણે ગણતરી કરીએ તો જવાબ $\frac{5}{7}$ આવે છે,પરંતુ પ્રશ્નના સંકેત મુજબ વિકલ્પ $A$ સાચો ગણવામાં આવ્યો છે.