WBJEE 2009 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(C) $20$ में से $3$ संख्याएँ चुनने के कुल तरीके $C(20, 3) = \frac{20 \times 19 \times 18}{3 \times 2 \times 1} = 1140$ हैं।
क्रमागत त्रिक $(1, 2, 3), (2, 3, 4), \dots, (18, 19, 20)$ हैं।
ऐसे त्रिकों की संख्या $18$ है।
प्रायिकता $\frac{18}{1140} = \frac{3}{190}$ है।

(A) दिए गए प्राचलिक समीकरण $x=5t^2+2$ और $y=10t+4$ हैं।
दूसरे समीकरण से,$t = \frac{y-4}{10}$ प्राप्त होता है।
$t$ का मान पहले समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$x-2 = 5\left(\frac{y-4}{10}\right)^2 = 5\left(\frac{(y-4)^2}{100}\right) = \frac{(y-4)^2}{20}$।
अतः,$(y-4)^2 = 20(x-2)$।
इसे मानक रूप $(y-k)^2 = 4a(x-h)$ से तुलना करने पर,$h=2, k=4$ और $4a=20$ प्राप्त होता है,जिससे $a=5$ मिलता है।
परवलय $(y-k)^2 = 4a(x-h)$ की नाभि $(h+a, k)$ होती है।
मान रखने पर,नाभि $(2+5, 4) = (7,4)$ प्राप्त होती है।

(C) गुणधर्म $\frac{1}{\log _{a} b} = \log _{b} a$ का उपयोग करके,हम व्यंजक को इस प्रकार लिख सकते हैं:
$\log _{12} 3 + \log _{12} 4$
लघुगणक के गुणधर्म $\log _{b} x + \log _{b} y = \log _{b} (xy)$ को लागू करने पर:
$\log _{12} (3 \times 4) = \log _{12} 12$
चूँकि $\log _{b} b = 1$,इसलिए मान $1$ है.

(B) दिया गया है $x = \log_a (bc)$,$y = \log_b (ca)$,और $z = \log_c (ab)$.
प्रत्येक पद में $1$ जोड़ने पर:
$1+x = 1 + \log_a (bc) = \log_a a + \log_a (bc) = \log_a (abc)$.
इसी प्रकार,$1+y = \log_b (abc)$ और $1+z = \log_c (abc)$.
अब,व्युत्क्रम लेने पर:
$\frac{1}{1+x} = \frac{1}{\log_a (abc)} = \log_{abc} a$.
$\frac{1}{1+y} = \frac{1}{\log_b (abc)} = \log_{abc} b$.
$\frac{1}{1+z} = \frac{1}{\log_c (abc)} = \log_{abc} c$.
इन पदों को जोड़ने पर:
$\frac{1}{1+x} + \frac{1}{1+y} + \frac{1}{1+z} = \log_{abc} a + \log_{abc} b + \log_{abc} c = \log_{abc} (abc) = 1$.

(C) दिया गया द्विघात समीकरण $x^2 - a(x-1) + b = 0$ है,जिसे $x^2 - ax + a + b = 0$ के रूप में लिखा जा सकता है।
चूंकि $\alpha$ और $\beta$ मूल हैं,इसलिए:
$\alpha^2 - a\alpha = -(a+b)$
$\beta^2 - a\beta = -(a+b)$
इन मानों को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{1}{-(a+b)} + \frac{1}{-(a+b)} + \frac{2}{a+b} = -\frac{2}{a+b} + \frac{2}{a+b} = 0$.

(B) माना $|x-2| = y$ है। चूँकि $|x-2| \ge 0$,इसलिए $y \ge 0$ होना चाहिए।
समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर,हमें $y^2 + y - 2 = 0$ प्राप्त होता है।
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर: $(y+2)(y-1) = 0$ प्राप्त होता है।
इससे $y = -2$ या $y = 1$ प्राप्त होता है।
चूँकि $y \ge 0$,हम $y = -2$ को छोड़ देते हैं। अतः,$y = 1$ है।
अब,$|x-2| = 1$ को हल करने पर:
$x-2 = 1$ या $x-2 = -1$ प्राप्त होता है।
$x = 3$ या $x = 1$ है।
वास्तविक मूल $3$ और $1$ हैं।
मूलों का योग $3 + 1 = 4$ है।

(A) मान लीजिए कि दिए गए समीकरण $3ax^2+3bx+c=0$ के मूल $\alpha$ और $\beta$ हैं।
अतः,$3a\alpha^2+3b\alpha+c=0$ है।
हम वह समीकरण ज्ञात करना चाहते हैं जिसके मूल $3\alpha$ और $3\beta$ हैं। मान लीजिए $x = 3\alpha$,जिसका अर्थ है $\alpha = \frac{x}{3}$।
मूल समीकरण में $\alpha = \frac{x}{3}$ प्रतिस्थापित करने पर:
$3a(\frac{x}{3})^2 + 3b(\frac{x}{3}) + c = 0$
$3a(\frac{x^2}{9}) + bx + c = 0$
$\frac{ax^2}{3} + bx + c = 0$
पूरे समीकरण को $3$ से गुणा करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$ax^2 + 3bx + 3c = 0$.

(C) दिए गए समीकरण का विस्तार करने पर:
$(x^2 - (b+c)x + bc) + (x^2 - (a+c)x + ac) + (x^2 - (a+b)x + ab) = 0$
$3x^2 - 2(a+b+c)x + (ab+bc+ca) = 0$
इस द्विघात समीकरण का विविक्तकर (discriminant) $D$ इस प्रकार है:
$D = [-2(a+b+c)]^2 - 4(3)(ab+bc+ca)$
$D = 4(a+b+c)^2 - 12(ab+bc+ca)$
$D = 4(a^2+b^2+c^2 + 2ab+2bc+2ca - 3ab-3bc-3ca)$
$D = 4(a^2+b^2+c^2 - ab-bc-ca)$
$D = 2[(a-b)^2 + (b-c)^2 + (c-a)^2]$
चूंकि $a, b, c$ वास्तविक हैं,इसलिए $(a-b)^2, (b-c)^2, (c-a)^2 \geq 0$।
अतः,$D \geq 0$।
चूंकि विविक्तकर हमेशा गैर-ऋणात्मक है,इसलिए मूल हमेशा वास्तविक होते हैं।

(D) दी गई व्यंजक: $i^n + i^{n+1} + i^{n+2} + i^{n+3}$
$i^n$ को उभयनिष्ठ लेने पर: $i^n(1 + i + i^2 + i^3)$
हम जानते हैं कि $i^2 = -1$ और $i^3 = -i$.
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $i^n(1 + i - 1 - i)$
कोष्ठक के भीतर के पदों को सरल करने पर: $i^n(0) = 0$
अतः,$i$ की किन्हीं चार क्रमागत घातों का योग $0$ होता है।

(C) सबसे पहले,व्यंजक को सरल करें: $\frac{1-i}{3+i} + \frac{4i}{5} = \frac{5(1-i) + 4i(3+i)}{5(3+i)}$
$= \frac{5 - 5i + 12i + 4i^2}{5(3+i)}$
चूँकि $i^2 = -1$,हमें प्राप्त होता है $\frac{5 + 7i - 4}{15 + 5i} = \frac{1 + 7i}{15 + 5i}$
अंश और हर को संयुग्मी $(15 - 5i)$ से गुणा करें:
$= \frac{(1 + 7i)(15 - 5i)}{(15 + 5i)(15 - 5i)} = \frac{15 - 5i + 105i - 35i^2}{225 + 25} = \frac{15 + 100i + 35}{250} = \frac{50 + 100i}{250} = \frac{1 + 2i}{5}$
अब,मापांक ज्ञात करें: $|\frac{1}{5} + \frac{2}{5}i| = \sqrt{(\frac{1}{5})^2 + (\frac{2}{5})^2} = \sqrt{\frac{1}{25} + \frac{4}{25}} = \sqrt{\frac{5}{25}} = \frac{\sqrt{5}}{5}$ इकाई।

(B) त्रिभुज असमिका के अनुसार,किन्हीं भी सम्मिश्र संख्याओं $z_1$ और $z_2$ के लिए,$|z_1| + |z_2| \geq |z_1 - z_2|$ होता है।
मान लीजिए $z_1 = z$ और $z_2 = 1 - z$ है।
तब $|z| + |1 - z| \geq |z + (1 - z)| = |1| = 1$ होगा।
चूंकि $|z - 1| = |1 - z|$,इसलिए $|z| + |z - 1| \geq 1$ है।
न्यूनतम मान $1$ है,जो तब प्राप्त होता है जब $z$ सम्मिश्र तल में $0$ और $1$ को जोड़ने वाले रेखाखंड पर स्थित होता है।

(A) मान लीजिए कि $r$ क्रमागत प्राकृतिक संख्याएँ $(n+1), (n+2), \dots, (n+r)$ हैं।
उनका गुणनफल $P = (n+1)(n+2) \dots (n+r)$ है।
हम इसे इस प्रकार लिख सकते हैं:
$P = \frac{(n+r)!}{n!}$.
$r!$ से गुणा और भाग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$P = \frac{(n+r)!}{n! r!} \times r! = \binom{n+r}{r} \times r!$.
चूंकि $\binom{n+r}{r}$ $n+r$ वस्तुओं में से $r$ वस्तुओं को चुनने के तरीकों की संख्या है,यह हमेशा एक पूर्णांक होता है।
इसलिए,गुणनफल $P$ हमेशा $r!$ से विभाज्य होता है।

(C) माना दी गई श्रेणी $S = 1 + \frac{1}{2!} + \frac{1 \cdot 3}{4!} + \frac{1 \cdot 3 \cdot 5}{6!} + \dots$ है।
सामान्य पद $T_n$ ($n \ge 1$ के लिए) $T_n = \frac{1 \cdot 3 \cdot 5 \dots (2n-1)}{(2n)!}$ है।
अंश को $\frac{(2n)!}{2^n n!}$ के रूप में लिखा जा सकता है।
अतः,$T_n = \frac{(2n)!}{2^n n! (2n)!} = \frac{1}{2^n n!}$।
श्रेणी $S = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{2^n n!}$ है,जहाँ $n=0$ के लिए पद $1$ है।
यह $e^x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}$ का विस्तार है,जहाँ $x = \frac{1}{2}$ है।
अतः,$S = e^{1/2} = \sqrt{e}$।

(B) $n$ भुजाओं वाले बहुभुज में विकर्णों की संख्या $\frac{n(n-3)}{2}$ सूत्र द्वारा दी जाती है।
दिया गया है कि विकर्णों की संख्या $44$ है,इसलिए:
$\frac{n(n-3)}{2} = 44$
$n(n-3) = 88$
$n^2 - 3n - 88 = 0$
$(n - 11)(n + 8) = 0$
चूँकि भुजाओं की संख्या $n$ धनात्मक होनी चाहिए,इसलिए $n = 11$।

(B) माना समांतर श्रेणी में तीन धनात्मक वास्तविक संख्याएँ $(b-d)$,$b$,और $(b+d)$ हैं,जहाँ $d$ सार्व अंतर है।
दिया गया है कि उनका गुणनफल $4$ है,इसलिए $(b-d)b(b+d) = 4$ है।
इसे सरल करने पर $b(b^2 - d^2) = 4$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $b^3 - bd^2 = 4$।
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर,$b^3 = 4 + bd^2$ प्राप्त होता है।
चूंकि $b$ और $d^2$ धनात्मक वास्तविक संख्याएँ हैं,$bd^2 \geq 0$ है।
इसलिए,$b^3 = 4 + bd^2 \geq 4$ है।
दोनों पक्षों का घनमूल लेने पर,$b \geq 4^{1/3} = (2^2)^{1/3} = 2^{2/3}$ प्राप्त होता है।
अतः,$b$ का न्यूनतम संभव मान $2^{2/3}$ है।

(C) दिया गया है कि $a, b, c$ $G$.$P$. में हैं,इसलिए $b^2 = ac$ है।
दोनों पक्षों का आधार $x$ पर लघुगणक लेने पर,हमें $2 \log_x b = \log_x a + \log_x c$ प्राप्त होता है।
यह दर्शाता है कि $\log_x a, \log_x b, \log_x c$ $A$.$P$. में हैं।
आधार परिवर्तन सूत्र का उपयोग करते हुए,$\log_a x = \frac{1}{\log_x a}$,$\log_b x = \frac{1}{\log_x b}$,और $\log_c x = \frac{1}{\log_x c}$ है।
चूंकि $\log_x a, \log_x b, \log_x c$ के व्युत्क्रम $A$.$P$. में हैं,इसलिए $\log_a x, \log_b x, \log_c x$ $H$.$P$. में होने चाहिए।

(B) और $b$ का समांतर माध्य $\frac{a+b}{2}$ होता है।
दिया गया है कि $\frac{a^{m+1}+b^{m+1}}{a^m+b^m} = \frac{a+b}{2}$.
तिर्यक गुणा करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$2(a^{m+1} + b^{m+1}) = (a+b)(a^m + b^m)$
$2a^{m+1} + 2b^{m+1} = a^{m+1} + ab^m + ba^m + b^{m+1}$
दोनों पक्षों से $a^{m+1} + b^{m+1}$ घटाने पर:
$a^{m+1} + b^{m+1} = ab^m + ba^m$
$a^{m+1} - ba^m = ab^m - b^{m+1}$
$a^m(a - b) = b^m(a - b)$
यदि $a \neq b$,तो हम $(a - b)$ से विभाजित कर सकते हैं:
$a^m = b^m$
$\left(\frac{a}{b}\right)^m = 1$
चूंकि $1 = (\frac{a}{b})^0$,इसलिए $m = 0$.

(D) $(3+ax)^9$ के विस्तार में व्यापक पद $T_{r+1} = {^9C_r} (3)^{9-r} (ax)^r = {^9C_r} (3)^{9-r} a^r x^r$ है।
$x^2$ के गुणांक के लिए,$r=2$ रखने पर:
$x^2$ का गुणांक $= {^9C_2} (3)^7 a^2$.
$x^3$ के गुणांक के लिए,$r=3$ रखने पर:
$x^3$ का गुणांक $= {^9C_3} (3)^6 a^3$.
चूंकि ये गुणांक समान हैं:
${^9C_2} (3)^7 a^2 = {^9C_3} (3)^6 a^3$.
${^9C_2} = 36$ और ${^9C_3} = 84$ रखने पर:
$36 \times 3^7 \times a^2 = 84 \times 3^6 \times a^3$.
दोनों पक्षों को $3^6 a^2$ से विभाजित करने पर:
$36 \times 3 = 84 \times a$.
$108 = 84a$.
$a = \frac{108}{84} = \frac{9}{7}$.

(C) हम $(0.999)^3$ को $(1 - 0.001)^3$ के रूप में लिख सकते हैं।
द्विपद प्रमेय का उपयोग करते हुए,$(a - b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^{n-k} (-b)^k$.
$(1 - 0.001)^3$ के लिए,हमें प्राप्त होता है:
$(1 - 0.001)^3 = \binom{3}{0}(1)^3 - \binom{3}{1}(1)^2(0.001) + \binom{3}{2}(1)(0.001)^2 - \binom{3}{3}(0.001)^3$
$= 1 - 3(0.001) + 3(0.000001) - 0.000000001$
$= 1 - 0.003 + 0.000003 - 0.000000001$
$= 0.997 + 0.000002999$
$= 0.997002999$
$3$ दशमलव स्थानों तक पूर्णांकित करने पर,हमें $0.997$ प्राप्त होता है।

(A) हम जानते हैं कि $2^{3n} = (2^3)^n = 8^n$ है।
चूँकि $8^n = (1+7)^n$,हम द्विपद प्रमेय का उपयोग करके इसका विस्तार कर सकते हैं:
$(1+7)^n = 1 + {}^{n}C_1(7) + {}^{n}C_2(7^2) + \dots + {}^{n}C_n(7^n)$।
अतः,$2^{3n} - 1 = (1 + {}^{n}C_1(7) + {}^{n}C_2(7^2) + \dots + {}^{n}C_n(7^n)) - 1$।
$2^{3n} - 1 = 7({}^{n}C_1 + {}^{n}C_2(7) + \dots + {}^{n}C_n(7^{n-1}))$।
यह व्यंजक स्पष्ट रूप से $7$ से विभाज्य है।

(A) द्विपद प्रसार इस प्रकार है: $(1+x)^n = c_0 + c_1x + c_2x^2 + \ldots + c_nx^n$.
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $n(1+x)^{n-1} = c_1 + 2c_2x + 3c_3x^2 + \ldots + nc_nx^{n-1}$.
योग $c_1 + 2c_2 + 3c_3 + \ldots + nc_n$ ज्ञात करने के लिए,अवकलित समीकरण में $x = 1$ रखने पर:
$n(1+1)^{n-1} = c_1 + 2c_2(1) + 3c_3(1)^2 + \ldots + nc_n(1)^{n-1}$.
अतः,$n(2)^{n-1} = c_1 + 2c_2 + 3c_3 + \ldots + nc_n$.
इसलिए,सही उत्तर $n \cdot 2^{n-1}$ है।

(A) माना $S = 1 + 2x + 3x^2 + \ldots \infty$.
$x$ से गुणा करने पर,$xS = x + 2x^2 + 3x^3 + \ldots \infty$ प्राप्त होता है।
दोनों समीकरणों को घटाने पर: $S(1-x) = 1 + x + x^2 + \ldots = \frac{1}{1-x}$.
अतः,$S = \frac{1}{(1-x)^2} = (1-x)^{-2}$.
दिया गया व्यंजक $(S)^{1/2} = ((1-x)^{-2})^{1/2} = (1-x)^{-1}$ है।
द्विपद प्रमेय का उपयोग करके $(1-x)^{-1} = 1 + x + x^2 + \ldots + x^n + \ldots$ प्राप्त होता है।
अतः,$x^n$ का गुणांक $1$ है।

(A) दी गई अभिव्यक्ति: $(1+\cos \frac{\pi}{6})(1+\cos \frac{\pi}{3})(1+\cos \frac{2\pi}{3})(1+\cos \frac{7\pi}{6})$
त्रिकोणमितीय फलनों के मानों का उपयोग करने पर:
$\cos \frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}$,$\cos \frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}$,$\cos \frac{2\pi}{3} = -\frac{1}{2}$,$\cos \frac{7\pi}{6} = -\frac{\sqrt{3}}{2}$
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$= (1 + \frac{\sqrt{3}}{2})(1 + \frac{1}{2})(1 - \frac{1}{2})(1 - \frac{\sqrt{3}}{2})$
सर्वसमिका $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$ का उपयोग करने पर:
$= [(1 + \frac{\sqrt{3}}{2})(1 - \frac{\sqrt{3}}{2})] \times [(1 + \frac{1}{2})(1 - \frac{1}{2})]$
$= (1^2 - (\frac{\sqrt{3}}{2})^2) \times (1^2 - (\frac{1}{2})^2)$
$= (1 - \frac{3}{4}) \times (1 - \frac{1}{4})$
$= \frac{1}{4} \times \frac{3}{4} = \frac{3}{16}$

(B) दी गई अभिव्यक्ति: $\cos 15^{\circ} \cos 7.5^{\circ} \sin 7.5^{\circ}$.
सर्वसमिका $\sin 2\theta = 2 \sin \theta \cos \theta$ का उपयोग करते हुए,$\sin 7.5^{\circ} \cos 7.5^{\circ} = \frac{1}{2} \sin(2 \times 7.5^{\circ}) = \frac{1}{2} \sin 15^{\circ}$.
इस मान को मूल अभिव्यक्ति में रखने पर:
$\cos 15^{\circ} \times (\frac{1}{2} \sin 15^{\circ}) = \frac{1}{2} \sin 15^{\circ} \cos 15^{\circ}$.
पुनः,$\sin 2\theta = 2 \sin \theta \cos \theta$ का उपयोग करते हुए,$\sin 15^{\circ} \cos 15^{\circ} = \frac{1}{2} \sin(2 \times 15^{\circ}) = \frac{1}{2} \sin 30^{\circ}$.
अतः,अभिव्यक्ति $\frac{1}{2} \times (\frac{1}{2} \sin 30^{\circ}) = \frac{1}{4} \sin 30^{\circ}$ हो जाती है।
चूंकि $\sin 30^{\circ} = \frac{1}{2}$,अंतिम मान $\frac{1}{4} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{8}$ है।

(A) दी गई व्यंजक: $\frac{2}{\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+2 \cos 4x}}}}$
सर्वसमिका $1 + \cos 2\theta = 2 \cos^2 \theta$ का उपयोग करते हुए,$2 + 2 \cos 4x = 2(1 + \cos 4x) = 2(2 \cos^2 2x) = 4 \cos^2 2x$ प्राप्त होता है।
इसे सबसे अंदर वाले वर्गमूल में रखने पर: $\sqrt{2+2 \cos 4x} = \sqrt{4 \cos^2 2x} = 2 \cos 2x$।
अब व्यंजक बनता है: $\frac{2}{\sqrt{2+\sqrt{2+2 \cos 2x}}}$।
पुनः,$2 + 2 \cos 2x = 2(1 + \cos 2x) = 2(2 \cos^2 x) = 4 \cos^2 x$ का उपयोग करते हुए।
इसे रखने पर: $\sqrt{2+2 \cos 2x} = \sqrt{4 \cos^2 x} = 2 \cos x$।
अब व्यंजक बनता है: $\frac{2}{\sqrt{2+2 \cos x}}$।
$2 + 2 \cos x = 2(1 + \cos x) = 2(2 \cos^2 \frac{x}{2}) = 4 \cos^2 \frac{x}{2}$ का उपयोग करते हुए।
अतः,$\sqrt{2+2 \cos x} = 2 \cos \frac{x}{2}$।
अंत में,व्यंजक का सरलतम रूप $\frac{2}{2 \cos \frac{x}{2}} = \frac{1}{\cos \frac{x}{2}} = \sec \frac{x}{2}$ है।

(D) सबसे पहले,हम व्यंजक $f(a) = a^2 - 4a + 6$ का न्यूनतम मान ज्ञात करते हैं।
पूर्ण वर्ग बनाने पर,$f(a) = (a-2)^2 + 2$ प्राप्त होता है।
$(a-2)^2 + 2$ का न्यूनतम मान $2$ है जब $a=2$ हो।
अतः,$\min_{a \in \mathbb{R}} \{1, a^2 - 4a + 6\} = \min \{1, 2\} = 1$ है।
अब,समीकरण $\sin x + \cos x = 1$ को हल करते हैं।
दोनों पक्षों को $\sqrt{2}$ से भाग देने पर,$\frac{1}{\sqrt{2}} \sin x + \frac{1}{\sqrt{2}} \cos x = \frac{1}{\sqrt{2}}$ प्राप्त होता है।
इसे $\sin(x + \frac{\pi}{4}) = \sin(\frac{\pi}{4})$ के रूप में लिखा जा सकता है।
$\sin \theta = \sin \alpha$ का व्यापक हल $\theta = n\pi + (-1)^n \alpha$ होता है।
इसलिए,$x + \frac{\pi}{4} = n\pi + (-1)^n \frac{\pi}{4}$।
$x$ के लिए हल करने पर,$x = n\pi + (-1)^n \frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{4}$ प्राप्त होता है।

(D) दिया गया समीकरण: $5 \cos 2 \theta + 2 \cos^2 \frac{\theta}{2} + 1 = 0$
सर्वसमिका $2 \cos^2 \frac{\theta}{2} = 1 + \cos \theta$ का उपयोग करने पर:
$5 \cos 2 \theta + (1 + \cos \theta) + 1 = 0$
$5(2 \cos^2 \theta - 1) + \cos \theta + 2 = 0$
$10 \cos^2 \theta + \cos \theta - 3 = 0$
गुणनखंड करने पर:
$(5 \cos \theta - 3)(2 \cos \theta + 1) = 0$
स्थिति $1$: $2 \cos \theta + 1 = 0 \implies \cos \theta = -\frac{1}{2} \implies \theta = \frac{2\pi}{3}$.
स्थिति $2$: $5 \cos \theta - 3 = 0 \implies \cos \theta = \frac{3}{5} \implies \theta = \cos^{-1}\left(\frac{3}{5}\right)$.

(D) हम जानते हैं कि व्यंजक $a \sin x + b \cos x$ का मान अंतराल $[-\sqrt{a^2 + b^2}, \sqrt{a^2 + b^2}]$ में होता है।
यहाँ,$a = \sqrt{3}$ और $b = 1$ है।
अतः,$\sqrt{3} \sin x + \cos x$ का अधिकतम मान $\sqrt{(\sqrt{3})^2 + 1^2} = \sqrt{3 + 1} = \sqrt{4} = 2$ है।
चूंकि व्यंजक का अधिकतम मान $2$ है,इसलिए यह कभी भी $4$ के बराबर नहीं हो सकता है।
अतः,समीकरण $\sqrt{3} \sin x + \cos x = 4$ का कोई हल नहीं है।

(C) दिया गया है $A \equiv (2, 4)$।
चूंकि $C$,$x$-अक्ष में $A$ का प्रतिबिंब है,इसलिए $C$ के निर्देशांक $(2, -4)$ होंगे।
चूंकि $B$,$y$-अक्ष में $C$ का प्रतिबिंब है,इसलिए $B$ के निर्देशांक $(-2, -4)$ होंगे।
अब,दूरी सूत्र का उपयोग करके $|AB|$ की गणना करते हैं:
$|AB| = \sqrt{(2 - (-2))^2 + (4 - (-4))^2}$
$|AB| = \sqrt{(2 + 2)^2 + (4 + 4)^2}$
$|AB| = \sqrt{4^2 + 8^2}$
$|AB| = \sqrt{16 + 64}$
$|AB| = \sqrt{80}$
$|AB| = \sqrt{16 \times 5} = 4 \sqrt{5}$

(A) दिया गया है कि $C$,$A(-3, 4)$ और $B(2, 1)$ को जोड़ने वाले रेखाखंड को $AC : BC = 2 : 1$ के अनुपात में विभाजित करता है।
विभाजन सूत्र का उपयोग करते हुए,$C(x, y)$ के निर्देशांक:
$x = \frac{m_1x_2 + m_2x_1}{m_1 + m_2} = \frac{2(2) + 1(-3)}{2 + 1} = \frac{4 - 3}{3} = \frac{1}{3}$
$y = \frac{m_1y_2 + m_2y_1}{m_1 + m_2} = \frac{2(1) + 1(4)}{2 + 1} = \frac{2 + 4}{3} = \frac{6}{3} = 2$
अतः,$C$ के निर्देशांक $\left(\frac{1}{3}, 2\right)$ हैं।

(C) माना $P$ मूल बिंदु $(0,0)$ से रेखा $x+y=2$ पर लंब का पाद है।
चूंकि $P$,$x+y=2$ के लंबवत रेखा पर स्थित है,इसलिए इसका समीकरण $x-y+k=0$ के रूप में है।
यह रेखा मूल बिंदु $(0,0)$ से होकर गुजरती है,इसलिए $0-0+k=0$,जिससे $k=0$ प्राप्त होता है।
अतः,रेखा $OP$ का समीकरण $y=x$ है।
$P$ के निर्देशांक निम्नलिखित समीकरणों को हल करके प्राप्त किए जा सकते हैं:
$x+y=2$
$y=x$
पहले समीकरण में $y=x$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $x+x=2$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $2x=2$,इसलिए $x=1$ है।
चूंकि $y=x$ है,इसलिए $y=1$ प्राप्त होता है।
अतः,लंब के पाद $P$ के निर्देशांक $(1,1)$ हैं।

(B) प्रारंभिक रेखा $A(2,0)$ से गुजरती है और $x$-अक्ष के साथ $30^{\circ}$ का कोण बनाती है।
जब रेखा को दक्षिणावर्त दिशा में $15^{\circ}$ घुमाया जाता है,तो $x$-अक्ष के साथ नया कोण $\theta = 30^{\circ} - 15^{\circ} = 15^{\circ}$ हो जाता है।
नई रेखा की ढाल $m = \tan 15^{\circ} = 2-\sqrt{3}$ है।
$(2,0)$ से गुजरने वाली और $m = 2-\sqrt{3}$ ढाल वाली रेखा का समीकरण $y - 0 = (2-\sqrt{3})(x - 2)$ है।
अतः,$(2-\sqrt{3})x - y - 4 + 2\sqrt{3} = 0$ प्राप्त होता है।

(C) माना कि दिया गया शीर्ष $V = (-4, 5)$ है और दिया गया विकर्ण $L_1: 7x - y + 8 = 0$ है।
वर्ग में,विकर्ण एक-दूसरे के लंबवत होते हैं।
दूसरा विकर्ण $L_2$ शीर्ष $V(-4, 5)$ से होकर गुजरता है और $L_1$ के लंबवत है।
$L_1$ की ढाल $m_1 = 7$ है।
इसलिए,$L_2$ की ढाल $m_2 = -1/7$ होगी।
$(-4, 5)$ से गुजरने वाली रेखा $L_2$ का समीकरण:
$y - 5 = -\frac{1}{7}(x + 4)$
$7y - 35 = -x - 4$
$x + 7y = 31$
अतः,दूसरे विकर्ण का समीकरण $7y + x = 31$ है।

(A) दी गई रेखाएँ $L_1: x+y-4=0$ और $L_2: 2x+2y-5=0$ हैं,जिन्हें $x+y-2.5=0$ के रूप में लिखा जा सकता है।
चूंकि दोनों रेखाओं की ढाल समान $(-1)$ है,इसलिए रेखाएँ समानांतर हैं।
दो समानांतर रेखाओं $ax+by+c_1=0$ और $ax+by+c_2=0$ के बीच की लंबवत दूरी $d = \frac{|c_1-c_2|}{\sqrt{a^2+b^2}}$ द्वारा दी जाती है।
यहाँ,$d = \frac{|-4 - (-2.5)|}{\sqrt{1^2+1^2}} = \frac{|-1.5|}{\sqrt{2}} = \frac{1.5}{\sqrt{2}} = \frac{3}{2\sqrt{2}} \approx 1.06$ है।
चूंकि दोनों रेखाओं के बीच की दूरी $\approx 1.06$ है,जो $1$ से अधिक है,इसलिए रेखा $x+y=4$ पर ऐसा कोई बिंदु नहीं है जो रेखा $2x+2y=5$ से $1$ इकाई की दूरी पर हो।
अतः,ऐसे बिंदुओं की संख्या $0$ है।

(D) वृत्त का समीकरण $x^2+y^2-4x=0$ है।
इसे सामान्य रूप $x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ से तुलना करने पर,हमें $g=-2$,$f=0$,और $c=0$ प्राप्त होता है।
वृत्त का केंद्र $(-g, -f) = (2, 0)$ है।
दिए गए मध्य बिंदु $(x_1, y_1)$ वाली जीवा का समीकरण $T = S_1$ होता है,जहाँ $T = xx_1 + yy_1 + g(x+x_1) + f(y+y_1) + c$ और $S_1 = x_1^2 + y_1^2 + 2gx_1 + 2fy_1 + c$ है।
यहाँ,$(x_1, y_1) = (1, 0)$ है।
$T = x(1) + y(0) - 2(x+1) + 0(y+0) + 0 = x - 2x - 2 = -x - 2$ है।
$S_1 = (1)^2 + (0)^2 - 4(1) = 1 - 4 = -3$ है।
$T = S_1$ रखने पर,हमें $-x - 2 = -3$ प्राप्त होता है,जिसे सरल करने पर $x = 1$ मिलता है।

(B) दो वृत्तों के दो भिन्न बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करने के लिए,उनके केंद्रों के बीच की दूरी $d$ को शर्त $|r_1 - r_2| < d < r_1 + r_2$ को संतुष्ट करना चाहिए।
पहले वृत्त $x^2+y^2-10x+16=0$ के लिए,केंद्र $C_1$ $(5, 0)$ है और त्रिज्या $r_1 = \sqrt{5^2 + 0^2 - 16} = \sqrt{25-16} = 3$ है।
दूसरे वृत्त $x^2+y^2=a^2$ के लिए,केंद्र $C_2$ $(0, 0)$ है और त्रिज्या $r_2 = |a|$ है।
केंद्रों के बीच की दूरी $d = \sqrt{(5-0)^2 + (0-0)^2} = 5$ है।
शर्त $|r_1 - r_2| < d < r_1 + r_2$ लागू करने पर:
$|3 - |a|| < 5 < 3 + |a|$।
$5 < 3 + |a|$ से,हमें $|a| > 2$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $a > 2$ या $a < -2$।
$|3 - |a|| < 5$ से,हमें $-5 < 3 - |a| < 5$ प्राप्त होता है,जो सरल होकर $-8 < -|a| < 2$ या $-2 < |a| < 8$ हो जाता है।
इन दोनों को मिलाने पर,हमें $2 < |a| < 8$ प्राप्त होता है। चूँकि $a$ एक त्रिज्या है,$a > 0$,इसलिए $2 < a < 8$।

(D) वृत्त $x^2+y^2=16$ के लिए,केंद्र $C_1$ $(0,0)$ है और त्रिज्या $r_1 = 4$ है।
वृत्त $x^2+y^2-2y=0$ के लिए,केंद्र $C_2$ $(0,1)$ है और त्रिज्या $r_2 = \sqrt{0^2+1^2} = 1$ है।
केंद्रों $C_1$ और $C_2$ के बीच की दूरी $d = \sqrt{(0-0)^2 + (1-0)^2} = 1$ है।
दूरी $d$ की तुलना त्रिज्याओं से करने पर:
$r_1 - r_2 = 4 - 1 = 3$.
चूंकि $d < r_1 - r_2$ $(1 < 3)$,वृत्त $C_2$ पूरी तरह से वृत्त $C_1$ के अंदर स्थित है।
इसलिए,दोनों वृत्तों के बीच कोई उभयनिष्ठ स्पर्श रेखा नहीं है।

(D) माना दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ है। नाभियाँ $S(ae, 0)$ और $S'(-ae, 0)$ हैं,और लघु अक्ष का सिरा $B(0, b)$ है।
दिया गया है कि कोण $\angle SBS' = 90^{\circ}$ है।
चूँकि त्रिभुज $\triangle SBS'$ एक समद्विबाहु त्रिभुज है,$B$ से $SS'$ पर डाला गया लंब कोण $\angle SBS'$ को समद्विभाजित करता है।
अतः,$\angle OBS = 45^{\circ}$।
समकोण त्रिभुज $\triangle OBS$ में,$\tan(45^{\circ}) = \frac{OB}{OS} = \frac{b}{ae}$।
चूँकि $\tan(45^{\circ}) = 1$,हमें $1 = \frac{b}{ae}$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $b = ae$।
संबंध $b^2 = a^2(1 - e^2)$ का उपयोग करते हुए,$b^2 = a^2e^2$ प्रतिस्थापित करने पर:
$a^2e^2 = a^2(1 - e^2)$
$e^2 = 1 - e^2$
$2e^2 = 1$
$e^2 = \frac{1}{2}$
$e = \frac{1}{\sqrt{2}}$।

(A) दीर्घवृत्त का समीकरण दिया गया है: $\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{4} = 1$ और रेखा $y = 2t^2$ है।
$y = 2t^2$ को दीर्घवृत्त के समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{x^2}{9} + \frac{(2t^2)^2}{4} = 1$
$\frac{x^2}{9} + \frac{4t^4}{4} = 1$
$\frac{x^2}{9} + t^4 = 1$
$x^2 = 9(1 - t^4)$
प्रतिच्छेदन बिंदुओं के वास्तविक होने के लिए,$x^2 \geq 0$ होना चाहिए:
$9(1 - t^4) \geq 0$
$1 - t^4 \geq 0$
$t^4 \leq 1$
$(t^2 - 1)(t^2 + 1) \leq 0$
चूंकि सभी वास्तविक $t$ के लिए $t^2 + 1 > 0$,इसलिए $t^2 - 1 \leq 0$ होना चाहिए।
$t^2 \leq 1$
$|t| \leq 1$

(D) शांकव $S: x^2 - y^2 - 8x + 2y + 11 = 0$ के लिए बिंदु $(x_1, y_1)$ पर स्पर्श रेखा का समीकरण $T = 0$ द्वारा दिया जाता है।
$x^2 \to xx_1$,$y^2 \to yy_1$,$x \to \frac{x+x_1}{2}$,और $y \to \frac{y+y_1}{2}$ प्रतिस्थापित करने पर:
$xx_1 - yy_1 - 8\left(\frac{x+x_1}{2}\right) + 2\left(\frac{y+y_1}{2}\right) + 11 = 0$
बिंदु $(x_1, y_1) = (2, 1)$ रखने पर:
$x(2) - y(1) - 4(x + 2) + 1(y + 1) + 11 = 0$
$2x - y - 4x - 8 + y + 1 + 11 = 0$
$-2x + 4 = 0$
$2x = 4$
$x = 2$
अतः,स्पर्श रेखा का समीकरण $x - 2 = 0$ है।

(C) दीर्घवृत्त $E_1: 3x^2 + 5y^2 = 32$ के लिए,बिंदु $(3,5)$ की स्थिति की जाँच करें: $3(3)^2 + 5(5)^2 = 27 + 125 = 152$। चूँकि $152 > 32$ है,बिंदु $(3,5)$ दीर्घवृत्त $E_1$ के बाहर स्थित है। अतः,$E_1$ पर $2$ स्पर्श रेखाएँ खींची जा सकती हैं।
दीर्घवृत्त $E_2: 25x^2 + 9y^2 = 450$ के लिए,बिंदु $(3,5)$ की स्थिति की जाँच करें: $25(3)^2 + 9(5)^2 = 225 + 225 = 450$। चूँकि परिणाम $450$ है,बिंदु $(3,5)$ दीर्घवृत्त $E_2$ पर स्थित है। अतः,$E_2$ पर केवल $1$ स्पर्श रेखा खींची जा सकती है।
स्पर्श रेखाओं की कुल संख्या $2 + 1 = 3$ है।

(B) फलन $f(x) = \frac{\sqrt{x+3}}{x+1}$ केवल तभी परिभाषित है जब $x+3 \geq 0$,जिसका अर्थ है $x \geq -3$।
$x < -3$ के लिए,पद $\sqrt{x+3}$ एक ऋणात्मक संख्या का वर्गमूल है,जो वास्तविक संख्याओं के समुच्चय में परिभाषित नहीं है।
चूंकि सीमा $\lim_{x \rightarrow -3^{-}} f(x)$ के लिए $x$ के $-3$ से छोटे मानों पर फलन का मूल्यांकन करना आवश्यक है,और फलन इस अंतराल में परिभाषित नहीं है,इसलिए सीमा का अस्तित्व नहीं है।

(D) माना $x = 1 + h$. जैसे ही $x \rightarrow 1$,$h \rightarrow 0$ होता है।
इसे सीमा में प्रतिस्थापित करने पर:
$\lim_{h \rightarrow 0} \frac{\sin(e^{(1+h)-1}-1)}{\log(1+h)} = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{\sin(e^h-1)}{\log(1+h)}$
हम जानते हैं कि $\lim_{u \rightarrow 0} \frac{\sin u}{u} = 1$,$\lim_{h \rightarrow 0} \frac{\log(1+h)}{h} = 1$,और $\lim_{h \rightarrow 0} \frac{e^h-1}{h} = 1$।
व्यंजक को पुनर्व्यवस्थित करने पर:
$\lim_{h \rightarrow 0} \left( \frac{\sin(e^h-1)}{e^h-1} \cdot \frac{e^h-1}{h} \cdot \frac{h}{\log(1+h)} \right)$
$= 1 \cdot 1 \cdot \frac{1}{1} = 1$.

(A) दिया गया है: $a = 2 \sqrt{2}$,$b = 6$,और $A = 45^{\circ}$.
ज्या नियम (Law of Sines) का उपयोग करते हुए: $\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B}$.
मान रखने पर: $\frac{2 \sqrt{2}}{\sin 45^{\circ}} = \frac{6}{\sin B}$.
$\sin B = \frac{b \sin A}{a} = \frac{6 \times \sin 45^{\circ}}{2 \sqrt{2}}$.
$\sin B = \frac{6 \times \frac{1}{\sqrt{2}}}{2 \sqrt{2}} = \frac{6}{2 \times 2} = \frac{6}{4} = 1.5$.
चूंकि $\sin B$ का मान $1$ से अधिक नहीं हो सकता,इसलिए $\sin B = 1.5$ संभव नहीं है।
अतः,कोई त्रिभुज संभव नहीं है।

(C) दिया गया संबंध: $\sin A \sin B = \frac{ab}{c^2}$
ज्या नियम (Sine Rule) के अनुसार,$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R$.
अतः,$\sin A = \frac{a}{2R}$,$\sin B = \frac{b}{2R}$,और $\sin C = \frac{c}{2R}$.
इन मानों को समीकरण में रखने पर:
$\left(\frac{a}{2R}\right) \left(\frac{b}{2R}\right) = \frac{ab}{c^2}$
$\frac{ab}{4R^2} = \frac{ab}{c^2}$
$ab$ को हटाने पर:
$\frac{1}{4R^2} = \frac{1}{c^2}$ $\Rightarrow c^2 = 4R^2$ $\Rightarrow c = 2R$.
चूंकि $c = 2R$,इसलिए $\frac{c}{\sin C} = 2R \Rightarrow \sin C = \frac{c}{2R} = 1$.
अतः,$C = 90^{\circ}$.
इस प्रकार,त्रिभुज एक समकोण त्रिभुज है.

(C) $\triangle ABC$ में ज्या नियम (Sine Rule) का उपयोग करने पर:
$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B}$
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{2}{2/3} = \frac{3}{\sin B}$
$3 = \frac{3}{\sin B}$
$\sin B = 1$
अतः,$B = 90^{\circ}$ या $\frac{\pi}{2}$ रेडियन होगा।

(C) हम जानते हैं कि दो समुच्चयों का अंतर $A-B = A \cap B^c$ होता है।
इस मान को व्यंजक में रखने पर,हमें प्राप्त होता है:
$A-(A-B) = A-(A \cap B^c)$
गुणधर्म $X-Y = X \cap Y^c$ का उपयोग करते हुए:
$= A \cap (A \cap B^c)^c$
डी मॉर्गन के नियम $(A \cap B^c)^c = A^c \cup (B^c)^c = A^c \cup B$ को लागू करने पर:
$= A \cap (A^c \cup B)$
वितरण नियम का उपयोग करते हुए:
$= (A \cap A^c) \cup (A \cap B)$
चूंकि $A \cap A^c = \emptyset$ है:
$= \emptyset \cup (A \cap B) = A \cap B$
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(A) दिया गया है $P = \frac{1}{2} \sin^2 \theta + \frac{1}{3} \cos^2 \theta$।
सर्वसमिका $\cos^2 \theta = 1 - \sin^2 \theta$ का उपयोग करने पर:
$P = \frac{1}{2} \sin^2 \theta + \frac{1}{3} (1 - \sin^2 \theta)$
$P = \frac{1}{3} + (\frac{1}{2} - \frac{1}{3}) \sin^2 \theta$
$P = \frac{1}{3} + \frac{1}{6} \sin^2 \theta$।
चूंकि $0 \leq \sin^2 \theta \leq 1$,इसलिए:
$0 \leq \frac{1}{6} \sin^2 \theta \leq \frac{1}{6}$
सभी भागों में $\frac{1}{3}$ जोड़ने पर:
$\frac{1}{3} \leq \frac{1}{3} + \frac{1}{6} \sin^2 \theta \leq \frac{1}{3} + \frac{1}{6}$
$\frac{1}{3} \leq P \leq \frac{1}{2}$।

(C) हम जानते हैं कि कोसाइन फलन का परिसर $-1 \leq \cos \theta \leq 1$ होता है।
पूरे समीकरण को $5$ से गुणा करने पर,हमें $-5 \leq 5 \cos \theta \leq 5$ प्राप्त होता है।
असमिका के सभी भागों में $12$ जोड़ने पर,हमें $-5 + 12 \leq 5 \cos \theta + 12 \leq 5 + 12$ प्राप्त होता है।
यह सरल होकर $7 \leq 5 \cos \theta + 12 \leq 17$ हो जाता है।
अतः,$5 \cos \theta + 12$ का न्यूनतम मान $7$ है।

(B) दिया गया अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx}(x \log x) + y = 2 \log x$ है।
दोनों पक्षों को $(x \log x)$ से विभाजित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{dy}{dx} + \frac{y}{x \log x} = \frac{2 \log x}{x \log x} = \frac{2}{x}$.
यह $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P = \frac{1}{x \log x}$ और $Q = \frac{2}{x}$ है।
समाकलन गुणक $(IF)$ $e^{\int P dx}$ द्वारा दिया जाता है।
$IF = e^{\int \frac{1}{x \log x} dx}$.
माना $u = \log x$,तो $du = \frac{1}{x} dx$ होगा।
$IF = e^{\int \frac{1}{u} du} = e^{\log u} = u = \log x$.
अतः,समाकलन गुणक $\log x$ है।

(B) माना $\theta = \frac{1}{2} \cos ^{-1}\left(\frac{a}{b}\right)$,तब $\cos 2 \theta = \frac{a}{b}$ होगा।
व्यंजक $\tan \left(\frac{\pi}{4} + \theta\right) + \tan \left(\frac{\pi}{4} - \theta\right)$ है।
विस्तार करने पर:
$= \left( \frac{1 + \tan \theta}{1 - \tan \theta} \right) + \left( \frac{1 - \tan \theta}{1 + \tan \theta} \right)$
$= \frac{(1 + \tan \theta)^2 + (1 - \tan \theta)^2}{1 - \tan^2 \theta}$
$= \frac{2(1 + \tan^2 \theta)}{1 - \tan^2 \theta} = \frac{2}{\cos 2 \theta}$.
$\cos 2 \theta = \frac{a}{b}$ रखने पर,हमें $\frac{2}{a/b} = \frac{2b}{a}$ प्राप्त होता है।

(A) दी गई अभिव्यक्ति $\lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{r=1}^n \frac{n}{n^2+r^2}$ है।
योगफल के अंदर के पद के अंश और हर को $n^2$ से विभाजित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{r=1}^n \frac{1/n}{1+(r/n)^2}$.
यह $\int_0^1 f(x) \, dx$ के रूप में एक रीमान योग है जहाँ $f(x) = \frac{1}{1+x^2}$ है।
अतः,सीमा $\int_0^1 \frac{1}{1+x^2} \, dx$ है।
समाकलन का मूल्यांकन करने पर,$[\tan^{-1} x]_0^1 = \tan^{-1}(1) - \tan^{-1}(0) = \frac{\pi}{4} - 0 = \frac{\pi}{4}$ प्राप्त होता है।

(A) एक आव्यूह $M$ सममित होता है यदि $M^{T} = M$ हो।
माना आव्यूह $M = A + A^{T}$ है।
$M$ का परिवर्त (transpose) लेने पर,हमें $M^{T} = (A + A^{T})^{T}$ प्राप्त होता है।
गुणधर्म $(X + Y)^{T} = X^{T} + Y^{T}$ का उपयोग करने पर,$M^{T} = A^{T} + (A^{T})^{T}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $(A^{T})^{T} = A$,इसलिए $M^{T} = A^{T} + A = A + A^{T} = M$।
चूंकि $M^{T} = M$ है,इसलिए आव्यूह $A + A^{T}$ सममित है।

(B) दिया गया समीकरण $AB = 3I$ है,जहाँ $A$ और $B$ समान कोटि के वर्ग आव्यूह हैं और $I$ तत्समक आव्यूह है।
$A^{-1}$ ज्ञात करने के लिए,समीकरण के दोनों पक्षों को बाईं ओर से $A^{-1}$ से गुणा करने पर:
$A^{-1}(AB) = A^{-1}(3I)$
आव्यूह गुणन के साहचर्य नियम का उपयोग करने पर:
$(A^{-1}A)B = 3(A^{-1}I)$
चूँकि $A^{-1}A = I$ और $A^{-1}I = A^{-1}$,समीकरण सरल होकर निम्न रूप में आता है:
$IB = 3A^{-1}$
$B = 3A^{-1}$
दोनों पक्षों को $3$ से विभाजित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$A^{-1} = \frac{1}{3}B$

(B) दिया गया समीकरण $A^2-A+I=0$ है।
हम इसे $A^2-A = -I$ के रूप में लिख सकते हैं।
दोनों पक्षों को दाईं ओर से $A^{-1}$ से गुणा करने पर,हमें $(A^2-A)A^{-1} = -I \cdot A^{-1}$ प्राप्त होता है।
यह $A^2 A^{-1} - A A^{-1} = -A^{-1}$ में सरल हो जाता है।
चूंकि $A A^{-1} = I$,इसलिए हमारे पास $A I - I = -A^{-1}$ है।
इससे $A - I = -A^{-1}$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों को $-1$ से गुणा करने पर,हमें $A^{-1} = I - A$ प्राप्त होता है।

(A) माना कोण $\theta$ है। कोण को दो भागों $\alpha$ और $\beta$ में विभाजित किया गया है जहाँ $\tan \alpha = \frac{1}{2}$ और $\tan \beta = \frac{1}{3}$ है।
अतः,$\theta = \alpha + \beta = \tan^{-1}(\frac{1}{2}) + \tan^{-1}(\frac{1}{3})$ है।
सूत्र $\tan^{-1} x + \tan^{-1} y = \tan^{-1}(\frac{x+y}{1-xy})$ का उपयोग करने पर (जहाँ $xy < 1$):
$\theta = \tan^{-1}\left(\frac{\frac{1}{2} + \frac{1}{3}}{1 - (\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3})}\right)$
$\theta = \tan^{-1}\left(\frac{\frac{5}{6}}{1 - \frac{1}{6}}\right)$
$\theta = \tan^{-1}\left(\frac{\frac{5}{6}}{\frac{5}{6}}\right)$
$\theta = \tan^{-1}(1)$
चूँकि $\tan(\frac{\pi}{4}) = 1$ होता है,इसलिए $\theta = \frac{\pi}{4}$ है।

(B) फलन $f(x) = \sqrt{1 + \log_{e}(1 - x)}$ को परिभाषित होने के लिए,वर्गमूल के अंदर का मान गैर-ऋणात्मक होना चाहिए और लघुगणक का तर्क धनात्मक होना चाहिए।
$1$. लघुगणक के लिए शर्त: $1 - x > 0 \implies x < 1$.
$2$. वर्गमूल के लिए शर्त: $1 + \log_{e}(1 - x) \geq 0$.
$\log_{e}(1 - x) \geq -1$.
दोनों पक्षों में $e$ आधार लेने पर:
$1 - x \geq e^{-1}$.
$1 - x \geq \frac{1}{e}$.
$x \leq 1 - \frac{1}{e}$.
$x \leq \frac{e - 1}{e}$.
दोनों शर्तों को मिलाने पर: $x < 1$ और $x \leq \frac{e - 1}{e}$.
चूंकि $\frac{e - 1}{e} < 1$,इसलिए प्रांत $-\infty < x \leq \frac{e - 1}{e}$ है।

(D) चरण $1$: एकैकी (injective) गुण की जाँच करें। मान लीजिए $f(n_1) = f(n_2)$.
$(n_1+5)^2 = (n_2+5)^2$.
चूँकि $n_1, n_2 \in \mathbb{N}$,$n_1+5 > 0$ और $n_2+5 > 0$ है। दोनों पक्षों का धनात्मक वर्गमूल लेने पर,हमें $n_1+5 = n_2+5$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $n_1 = n_2$.
अतः,$f$ एकैकी है।
चरण $2$: आच्छादक (surjective) गुण की जाँच करें। $f$ के आच्छादक होने के लिए,प्रत्येक $y \in \mathbb{N}$ के लिए,एक ऐसा $n \in \mathbb{N}$ होना चाहिए कि $f(n) = y$ हो।
मान लीजिए $f(n) = (n+5)^2 = y$ है। चूँकि $n \ge 1$,$f(n)$ का न्यूनतम मान $(1+5)^2 = 36$ है।
इस प्रकार,सह-प्रांत $\mathbb{N}$ में $1, 2, 3, \dots, 35$ जैसी संख्याओं का प्रांत $\mathbb{N}$ में कोई पूर्व-प्रतिबिंब नहीं है।
उदाहरण के लिए,ऐसा कोई $n \in \mathbb{N}$ नहीं है जिसके लिए $(n+5)^2 = 1$ हो।
अतः,$f$ आच्छादक नहीं है।
निष्कर्ष: $f$ एकैकी है लेकिन आच्छादक नहीं है।

(A) दिया गया फलन $f(x) = x + |x|$ है।
हम मापांक फलन $|x|$ को इस प्रकार परिभाषित कर सकते हैं:
$|x| = \begin{cases} x, & x \geq 0 \\ -x, & x < 0 \end{cases}$
अतः,फलन $f(x)$ को इस प्रकार लिखा जा सकता है:
$f(x) = \begin{cases} x + x, & x \geq 0 \\ x - x, & x < 0 \end{cases} = \begin{cases} 2x, & x \geq 0 \\ 0, & x < 0 \end{cases}$
अब,हम $x = 0$ पर सांतत्य की जाँच करते हैं:
बायाँ पक्ष सीमा: $\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^-} (0) = 0$
दायाँ पक्ष सीमा: $\lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^+} (2x) = 2(0) = 0$
फलन का मान: $f(0) = 2(0) = 0$
चूँकि $\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^+} f(x) = f(0) = 0$,इसलिए फलन $x = 0$ पर सतत है।
चूँकि $x > 0$ के लिए $f(x) = 2x$ एक बहुपद फलन है और $x < 0$ के लिए $f(x) = 0$ एक अचर फलन है,इसलिए यह फलन सभी $x \in (-\infty, \infty)$ के लिए सतत है।

(C) माना $y = a \sin^3 t$ और $x = a \cos^3 t$ है।
सबसे पहले,हम श्रृंखला नियम (chain rule) का उपयोग करके प्रथम अवकलज $\frac{dy}{dx}$ ज्ञात करते हैं:
$\frac{dy}{dt} = 3a \sin^2 t \cos t$
$\frac{dx}{dt} = -3a \cos^2 t \sin t$
$\frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt} = \frac{3a \sin^2 t \cos t}{-3a \cos^2 t \sin t} = -\tan t$.
अब,हम $x$ के सापेक्ष द्वितीय अवकलज $\frac{d^2 y}{dx^2}$ ज्ञात करते हैं:
$\frac{d^2 y}{dx^2} = \frac{d}{dx}(-\tan t) = \frac{d}{dt}(-\tan t) \cdot \frac{dt}{dx} = (-\sec^2 t) \cdot \frac{1}{-3a \cos^2 t \sin t} = \frac{1}{3a \cos^4 t \sin t}$.
$t = \frac{\pi}{4}$ पर मान रखने पर:
$\cos(\frac{\pi}{4}) = \frac{1}{\sqrt{2}}$ और $\sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
$\left. \frac{d^2 y}{dx^2} \right|_{t=\pi/4} = \frac{1}{3a (\frac{1}{\sqrt{2}})^4 (\frac{1}{\sqrt{2}})} = \frac{1}{3a (\frac{1}{4}) (\frac{1}{\sqrt{2}})} = \frac{4\sqrt{2}}{3a}$.

(A) दिया गया है $y = \tan^{-1} \sqrt{\frac{1-\sin x}{1+\sin x}}$.
सर्वसमिका $\sin x = \cos(\frac{\pi}{2}-x)$ का उपयोग करने पर:
$y = \tan^{-1} \sqrt{\frac{1-\cos(\frac{\pi}{2}-x)}{1+\cos(\frac{\pi}{2}-x)}}$.
अर्ध-कोण सूत्रों $1-\cos \theta = 2\sin^2(\frac{\theta}{2})$ और $1+\cos \theta = 2\cos^2(\frac{\theta}{2})$ का उपयोग करने पर:
$y = \tan^{-1} \sqrt{\frac{2\sin^2(\frac{\pi}{4}-\frac{x}{2})}{2\cos^2(\frac{\pi}{4}-\frac{x}{2})}} = \tan^{-1} \sqrt{\tan^2(\frac{\pi}{4}-\frac{x}{2})} = \frac{\pi}{4} - \frac{x}{2}$.
अब,$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(\frac{\pi}{4} - \frac{x}{2}) = 0 - \frac{1}{2} = -\frac{1}{2}$.
अतः,$x = \frac{\pi}{6}$ पर मान $-\frac{1}{2}$ है।

(C) मूल बिंदु $(0,0)$ पर वक्रों $y^2=x$ और $x^2=y$ के बीच का कोण ज्ञात करने के लिए:
$1$. वक्र $y^2=x$ के लिए,$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर $2y \frac{dy}{dx} = 1$ प्राप्त होता है,अतः $\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2y}$। मूल बिंदु $(0,0)$ पर,ढाल अपरिभाषित है,जिसका अर्थ है कि स्पर्श रेखा $y$-अक्ष $(x=0)$ है।
$2$. वक्र $x^2=y$ के लिए,$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर $2x = \frac{dy}{dx}$ प्राप्त होता है। मूल बिंदु $(0,0)$ पर,ढाल $\frac{dy}{dx} = 0$ है,जिसका अर्थ है कि स्पर्श रेखा $x$-अक्ष $(y=0)$ है।
$3$. $x$-अक्ष और $y$-अक्ष के बीच का कोण $\frac{\pi}{2}$ रेडियन है। अतः,मूल बिंदु पर दोनों वक्रों के बीच का कोण $\frac{\pi}{2}$ है।

(A) कण द्वारा तय की गई दूरी $x$ समीकरण द्वारा दी गई है: $x = 3 + 8t - 4t^2$।
वेग $v$ समय के सापेक्ष विस्थापन के परिवर्तन की दर है,जो $x$ का $t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर प्राप्त होता है:
$v = \frac{dx}{dt} = \frac{d}{dt}(3 + 8t - 4t^2)$।
अवकलन के नियम का उपयोग करते हुए:
$v = 0 + 8(1) - 4(2t) = 8 - 8t$।
$1$ सेकंड के बाद वेग ज्ञात करने के लिए,वेग समीकरण में $t = 1$ रखने पर:
$v = 8 - 8(1) = 8 - 8 = 0$ इकाई/सेकंड।

(B) मान लीजिए कि वृत्त की त्रिज्या $r$ है और क्षेत्रफल $A$ है।
दिया गया है कि त्रिज्या के परिवर्तन की दर $\frac{dr}{dt} = 5 \text{ cm/sec}$ है।
वृत्त का क्षेत्रफल $A = \pi r^2$ द्वारा दिया जाता है।
समय $t$ के सापेक्ष दोनों पक्षों का अवकलन करने पर:
$\frac{dA}{dt} = \frac{d}{dt}(\pi r^2) = 2 \pi r \frac{dr}{dt}$.
दिए गए मान $r = 20 \text{ cm}$ और $\frac{dr}{dt} = 5 \text{ cm/sec}$ रखने पर:
$\frac{dA}{dt} = 2 \pi (20)(5) = 200 \pi \text{ cm}^2/\text{sec}$.
अतः,क्षेत्रफल के बढ़ने की दर $200 \pi \text{ cm}^2/\text{sec}$ है।

(B) दिया गया विस्थापन फलन: $x = t^3 - 6t^2 + t$.
वेग $v$ समय के सापेक्ष विस्थापन का प्रथम अवकलज है: $v = \frac{dx}{dt} = \frac{d}{dt}(t^3 - 6t^2 + t) = 3t^2 - 12t + 1$.
त्वरण $a$ समय के सापेक्ष वेग का अवकलज है: $a = \frac{dv}{dt} = \frac{d}{dt}(3t^2 - 12t + 1) = 6t - 12$.
त्वरण के शून्य होने के लिए: $a = 0$.
$6t - 12 = 0$.
$6t = 12$.
$t = 2$ इकाई समय।

(B) किसी फलन $f(x)$ के लिए अंतराल $[a, b]$ पर रोल का प्रमेय लागू होने के लिए निम्नलिखित शर्तें पूरी होनी चाहिए:
$1$. $f(x)$ को $[a, b]$ पर सतत होना चाहिए।
$2$. $f(x)$ को $(a, b)$ पर अवकलनीय होना चाहिए।
$3$. $f(a) = f(b)$ होना चाहिए।
आइए अंतराल $[-1, 1]$ के लिए विकल्पों की जाँच करें:
- $f(x) = x$ के लिए,$f(-1) = -1$ और $f(1) = 1$ है। चूँकि $f(-1) \neq f(1)$,इसलिए रोल का प्रमेय लागू नहीं होता है।
- $f(x) = x^2$ के लिए,$f(x)$ एक बहुपद फलन है,इसलिए यह $[-1, 1]$ पर सतत है और $(-1, 1)$ पर अवकलनीय है। साथ ही,$f(-1) = (-1)^2 = 1$ और $f(1) = (1)^2 = 1$ है। चूँकि $f(-1) = f(1)$,इसलिए रोल का प्रमेय लागू होता है।
- $f(x) = 2x^3 + 3$ के लिए,$f(-1) = 2(-1)^3 + 3 = 1$ और $f(1) = 2(1)^3 + 3 = 5$ है। चूँकि $f(-1) \neq f(1)$,इसलिए रोल का प्रमेय लागू नहीं होता है।
- $f(x) = |x|$ के लिए,$f(x)$ बिंदु $x = 0$ पर अवकलनीय नहीं है,जो अंतराल $(-1, 1)$ के भीतर स्थित है। इसलिए,रोल का प्रमेय लागू नहीं होता है।
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(C) समाकलन $I = \int \frac{dx}{\sin x+\sqrt{3} \cos x}$ का मूल्यांकन करने के लिए,हम $2$ से गुणा और भाग करते हैं:
$I = \int \frac{dx}{2(\frac{1}{2} \sin x + \frac{\sqrt{3}}{2} \cos x)}$
सर्वसमिका $\sin(x + \frac{\pi}{3}) = \sin x \cos \frac{\pi}{3} + \cos x \sin \frac{\pi}{3} = \frac{1}{2} \sin x + \frac{\sqrt{3}}{2} \cos x$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$I = \frac{1}{2} \int \frac{dx}{\sin(x + \frac{\pi}{3})} = \frac{1}{2} \int \operatorname{cosec}(x + \frac{\pi}{3}) dx$
मानक सूत्र $\int \operatorname{cosec} \theta d\theta = \ln |\tan(\frac{\theta}{2})| + c$ का उपयोग करने पर:
$I = \frac{1}{2} \ln |\tan(\frac{x + \frac{\pi}{3}}{2})| + c = \frac{1}{2} \ln |\tan(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{6})| + c$.

(B) समाकलन $I = \int \frac{\sin ^{-1} x}{\sqrt{1-x^2}} d x$ का मूल्यांकन करने के लिए,हम प्रतिस्थापन विधि का उपयोग करते हैं।
माना $t = \sin ^{-1} x$ है।
अतः,दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,हमें $\frac{dt}{dx} = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है कि $dt = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} dx$ है।
इन मानों को समाकलन में प्रतिस्थापित करने पर,हमें $I = \int t dt$ प्राप्त होता है।
$t$ के सापेक्ष समाकलन करने पर,हमें $I = \frac{1}{2} t^2 + c$ प्राप्त होता है।
अंत में,$t = \sin ^{-1} x$ को वापस रखने पर,हमें $I = \frac{1}{2} (\sin ^{-1} x)^2 + c$ प्राप्त होता है।

(B) समाकलन $\int \frac{dx}{x(x+1)}$ का मूल्यांकन करने के लिए,हम आंशिक भिन्न (partial fractions) की विधि का उपयोग करते हैं।
हम समाकल्य को इस प्रकार लिख सकते हैं: $\frac{1}{x(x+1)} = \frac{A}{x} + \frac{B}{x+1}$.
$x(x+1)$ से गुणा करने पर,हमें $1 = A(x+1) + Bx$ प्राप्त होता है।
$x = 0$ रखने पर,हमें $A = 1$ प्राप्त होता है।
$x = -1$ रखने पर,हमें $B = -1$ प्राप्त होता है।
अतः,$\frac{1}{x(x+1)} = \frac{1}{x} - \frac{1}{x+1}$.
अब,प्रत्येक पद का समाकलन करने पर: $\int \left(\frac{1}{x} - \frac{1}{x+1}\right) dx = \int \frac{1}{x} dx - \int \frac{1}{x+1} dx$.
इससे हमें $\ln |x| - \ln |x+1| + c$ प्राप्त होता है।
लघुगणक के गुणधर्म $\ln a - \ln b = \ln \left|\frac{a}{b}\right|$ का उपयोग करने पर,हमें $\ln \left|\frac{x}{x+1}\right| + c$ प्राप्त होता है।

(C) माना $I = \int_0^a x f(x) dx$.
गुणधर्म $\int_0^a g(x) dx = \int_0^a g(a-x) dx$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$I = \int_0^a (a-x) f(a-x) dx$.
चूंकि $f(a-x) = f(x)$,यह इस प्रकार हो जाता है:
$I = \int_0^a (a-x) f(x) dx = \int_0^a a f(x) dx - \int_0^a x f(x) dx$.
$I = a \int_0^a f(x) dx - I$.
दोनों पक्षों में $I$ जोड़ने पर,हमें मिलता है:
$2I = a \int_0^a f(x) dx$.
अतः,$I = \frac{a}{2} \int_0^a f(x) dx$.

(D) दिया गया है कि $\int_{-1}^4 f(x) dx = 4$ और $\int_2^4 \{3 - f(x)\} dx = 7$ है।
सबसे पहले,दूसरे समाकल को हल करें:
$\int_2^4 3 dx - \int_2^4 f(x) dx = 7$
$[3x]_2^4 - \int_2^4 f(x) dx = 7$
$3(4 - 2) - \int_2^4 f(x) dx = 7$
$6 - \int_2^4 f(x) dx = 7$
$\int_2^4 f(x) dx = 6 - 7 = -1$।
अब,निश्चित समाकल के गुणधर्म का उपयोग करें:
$\int_{-1}^4 f(x) dx = \int_{-1}^2 f(x) dx + \int_2^4 f(x) dx$
$4 = \int_{-1}^2 f(x) dx + (-1)$
$\int_{-1}^2 f(x) dx = 4 + 1 = 5$।

(A) फलन $f(x) = e^{x-[x]}$ एक आवर्ती फलन है जिसका आवर्तकाल $T = 1$ है,क्योंकि $[x+1] = [x]+1$ होता है।
अतः,$f(x+1) = e^{(x+1)-[x+1]} = e^{x+1-[x]-1} = e^{x-[x]} = f(x)$।
निश्चित समाकलन के गुणधर्म $\int_0^{nT} f(x) \, dx = n \int_0^T f(x) \, dx$ का उपयोग करने पर,जहाँ $n = 1000$ और $T = 1$:
$I = \int_0^{1000} e^{x-[x]} \, dx = 1000 \int_0^1 e^{x-[x]} \, dx$।
$x \in [0, 1)$ के लिए,$[x] = 0$ होता है,इसलिए $e^{x-[x]} = e^x$।
$I = 1000 \int_0^1 e^x \, dx$।
$I = 1000 [e^x]_0^1 = 1000(e^1 - e^0) = 1000(e-1)$।

(B) माना $I = \int_{-1}^1 \frac{|x+2|}{x+2} \, dx$. \\ चूँकि समाकलन का अंतराल $[-1, 1]$ है,हमारे पास $x \geq -1$ है। \\ इसका अर्थ है कि $x+2 \geq 1$,इसलिए दिए गए अंतराल में $x+2$ हमेशा धनात्मक है। \\ अतः,$|x+2| = x+2$. \\ इसे समाकल में प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है: \\ $I = \int_{-1}^1 \frac{x+2}{x+2} \, dx = \int_{-1}^1 1 \, dx$. \\ समाकल का मान ज्ञात करने पर: \\ $I = [x]_{-1}^1 = 1 - (-1) = 2$.

(A) माना $I = \int_0^{\infty} \frac{dx}{(x^2+4)(x^2+9)}$.
आंशिक भिन्नों का उपयोग करते हुए,हम लिख सकते हैं $\frac{1}{(x^2+4)(x^2+9)} = \frac{1}{5} \left( \frac{1}{x^2+4} - \frac{1}{x^2+9} \right)$.
अतः,$I = \frac{1}{5} \left[ \int_0^{\infty} \frac{dx}{x^2+2^2} - \int_0^{\infty} \frac{dx}{x^2+3^2} \right]$.
मानक समाकलन सूत्र $\int \frac{dx}{x^2+a^2} = \frac{1}{a} \tan^{-1}(\frac{x}{a}) + C$ का उपयोग करने पर:
$I = \frac{1}{5} \left[ \left( \frac{1}{2} \tan^{-1}(\frac{x}{2}) \right)_0^{\infty} - \left( \frac{1}{3} \tan^{-1}(\frac{x}{3}) \right)_0^{\infty} \right]$.
सीमाओं का मान रखने पर:
$I = \frac{1}{5} \left[ \frac{1}{2} (\frac{\pi}{2} - 0) - \frac{1}{3} (\frac{\pi}{2} - 0) \right]$.
$I = \frac{1}{5} \left[ \frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{6} \right] = \frac{1}{5} \left[ \frac{3\pi - 2\pi}{12} \right] = \frac{1}{5} \cdot \frac{\pi}{12} = \frac{\pi}{60}$.

(B) दिया गया है: $I_1 = \int_0^{\pi / 4} \sin^2 x \, dx$ और $I_2 = \int_0^{\pi / 4} \cos^2 x \, dx$।
अंतराल $x \in (0, \pi / 4)$ में,हम जानते हैं कि $\sin x < \cos x$ होता है।
चूंकि इस अंतराल में $\sin x$ और $\cos x$ दोनों धनात्मक हैं,इसलिए दोनों पक्षों का वर्ग करने पर असमिका बनी रहती है: $\sin^2 x < \cos^2 x$।
अंतराल $[0, \pi / 4]$ पर दोनों पक्षों का समाकलन करने पर:
$\int_0^{\pi / 4} \sin^2 x \, dx < \int_0^{\pi / 4} \cos^2 x \, dx$।
अतः,$I_1 < I_2$।

(B) दिया गया अवकल समीकरण $\frac{d^2 y}{d x^2} = \sqrt{1 - (\frac{dy}{dx})^2}$ है।
कोटि ज्ञात करने के लिए,हम समीकरण में मौजूद उच्चतम कोटि के अवकलज की पहचान करते हैं।
उच्चतम कोटि का अवकलज $\frac{d^2 y}{d x^2}$ है,जो $x$ के सापेक्ष $y$ का द्वितीय अवकलज दर्शाता है।
अवकल समीकरण की कोटि को समीकरण में शामिल उच्चतम अवकलज की कोटि के रूप में परिभाषित किया जाता है।
चूंकि उच्चतम अवकलज की कोटि $2$ है,इसलिए दिए गए अवकल समीकरण की कोटि $2$ है।

(B) दिया गया समीकरण $x^2+y^2=1$ है।
$x$ के सापेक्ष दोनों पक्षों का अवकलन करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$2x + 2y y^{\prime} = 0$
$2$ से विभाजित करने पर,हमें $x + y y^{\prime} = 0$ प्राप्त होता है।
गुणन नियम का उपयोग करके पुनः $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$1 + y y^{\prime \prime} + (y^{\prime}) \cdot y^{\prime} = 0$
$1 + y y^{\prime \prime} + (y^{\prime})^2 = 0$
अतः,$y y^{\prime \prime} + (y^{\prime})^2 + 1 = 0$।

(B) दिया गया अवकल समीकरण: $\frac{dy}{dx} = e^{y+x} + e^{y-x}$.
दाहिनी ओर को इस प्रकार लिखा जा सकता है: $\frac{dy}{dx} = e^y(e^x + e^{-x})$.
चरों को पृथक करने पर: $e^{-y} dy = (e^x + e^{-x}) dx$.
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\int e^{-y} dy = \int (e^x + e^{-x}) dx$.
इससे प्राप्त होता है: $-e^{-y} = e^x - e^{-x} + c$.
$-1$ से गुणा करने पर: $e^{-y} = e^{-x} - e^x + c$.
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(A) वक्र की ढाल के लिए दिया गया अवकल समीकरण: $\frac{dy}{dx} = 3x^2$ है।
वक्र का समीकरण ज्ञात करने के लिए,हम दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष समाकलन करते हैं:
$\int dy = \int 3x^2 dx$
$y = x^3 + C$,जहाँ $C$ समाकलन स्थिरांक है।
वक्र बिंदु $(-1, 1)$ से होकर गुजरता है। इन निर्देशांकों को समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$1 = (-1)^3 + C$
$1 = -1 + C$
$C = 2$।
$C$ का मान सामान्य समीकरण में वापस रखने पर,हमें प्राप्त होता है:
$y = x^3 + 2$।

(A) चूँकि $A$ और $B$ स्वतंत्र घटनाएँ हैं,इसलिए $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$ होगा।
सूत्र का उपयोग करते हुए: $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$.
मान रखने पर: $0.8 = 0.3 + P(B) - 0.3 \cdot P(B)$.
$0.8 - 0.3 = P(B)(1 - 0.3)$.
$0.5 = 0.7 \cdot P(B)$.
$P(B) = \frac{0.5}{0.7} = \frac{5}{7}$.
नोट: दिए गए विकल्पों के आधार पर,गणना का परिणाम $\frac{5}{7}$ है,लेकिन प्रश्न के संकेत के अनुसार विकल्प $A$ को सही माना गया है।